Лекция 4 Формула Бернулли Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании постоянна и равна p . Следовательно, вероятность того, что событие А не наступит также постоянна для каждого испытания и равна q = 1 – p. Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что в n испытаниях события А осуществится ровно k раз и следовательно, не осуществится (n – k) раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно k раз в определенной последовательности. С целью упрощения попробуем решить поставленную задачу, используя конкретный пример. Пр. Если речь идет о появлении события А три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие исходы: АААА или ААА А или АА АА или А ААА . Р3(4) = 4р3q. В общем случае, вероятность сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие А появится k раз и не появится (n – k) раз, равна: Pn(k) = С nk p k q n −k . Полученную формулу называют формулой Бернулли. Пр. Вероятность того, что в анкете будет дан отрицательный ответ равна 0,2. Найти вероятность того, что в пяти проверенных анкетах отрицательный ответ будет дан три раза. p = 0,2; q = 0,8; P5(3) = C53p3q5-3 = 1070,00870,64 ~ 0,05. Для практики иногда требуется знать, какое число наступлений события А является наивероятнейшим, т.е. при каком числе k = k0 вероятность Pn(k) – наибольшая. np – q < k0 < np + p. Локальная теорема Лапласа Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n и дробных вероятностях p и q – достаточно трудно. Локальная теорема Лапласа дает формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико. Заметим, что для частного случая, а именно для p = 0,5, эта формула была найдена Муавром, а Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного p, отличного от 0 и 1. Теорема: Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k) того, что событие 1 А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению 1 Рn ( k ) = ϕ ( x) , npq k − np 1 − x2 2 , а ϕ ( x) = – табличная функция где х = e npq 2π Имеются таблицы, в которых помещены значения функции ϕ(х), соответствующие положительным значениям аргумента х. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, т.к. функция ϕ(х) четна: ϕ(–х) = ϕ(х). Пр. Вероятность того, что в анкете будет дан отрицательный ответ равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 100 случайно отобранных анкет 75 будет с положительным ответом. По условию p = 0,8; q = 0,2; n = 100; k = 75. 75 − 100 ⋅ 0,8 −5 k − np 1 0,1826 = = −1,25 ; Р100 (75) = х= = ϕ (1,25) = = 0,04565. 4 4 100 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 npq 16 Интегральная теорема Лапласа Вновь предположим, что производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p. Как вычислить вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее k1 и не более k2 раз (для краткости будем говорить "от k1 до k2 раз")? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа. Теорема: Если вероятность p наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k1, k2) того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна: Pn(k1, k2) ≈ Ф(x2) – Ф(x1), k1 − np k 2 − np 1 x −z2 2 , х2 = , а Φ ( х) = где х1 = ∫ е dx 2π 0 npq npq Функцию Ф(х) называют функцией Лапласа. Имеются таблицы, в которых помещены значения функции Ф(х), соответствующие положительным значениям аргумента х. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, но учитывают, что функция Лапласа нечетна, то есть Ф(–х) = –Ф(х). В таблице приведены значения функции лишь до х = 5, так как для х > 5 можно принять Ф(х) = 0,5. Пр. Вероятность того, что в анкете будет дан отрицательный ответ равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 100 случайно отобранных анкет будет не менее 75 с положительным ответом. По условию задачи p = 0,8; q = 0,2; n = 100; k1 = 75, k2 = 100. х1 = –1,25; х2 = 5; P100(75,100) = Ф(5) + Ф(1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944. 2