P n

Урок 6
Формула Бернулли.
Формула Бернулли. Закон больших чисел.
При введении понятия вероятности отмечалось, что
если вероятность некоторого события А равна р, то
вероятнее всего, что при повторении испытания много раз
относительная частота благоприятных этому событию
исходов будет мало отличаться от значения р.
Это утверждение, называемое в теории вероятностей
законом больших чисел, лежит в основе всех практических
приложений этой теории – оно позволяет с помощью
вычисленных вероятностей предсказывать частоту
наступления данного события в длинной серии независимых
испытаний.
Пусть производится n независимых
испытаний, в каждом из которых событие А может
появиться либо не появиться. Вероятность
появления события А в каждом испытании одна и та
же и равна p. Тогда вероятность не наступления
события А в каждом испытании также постоянна и
равна q=1-p. Требуется найти вероятность того, что
при n испытаниях событие А появится ровно m раз
и , следовательно, не произойдет это событие n-m
раз. Причем, не требуется, чтобы событие А
повторилось ровно m раз в определенном порядке.
Выведем формулу Бернулли, позволяющую
вычислить вероятность того, что в серии из n
независимых испытаний событие А , имеющее
вероятность р, встретиться m раз. Результат серии из
n испытаний можно записать в виде ряда из букв А и
Ā, имеющего длину n. Например, если проведено
семь испытаний, причем событие А произошло во
втором , третьем и пятом испытаниях, то запишем
результат данной серии в виде ĀААĀАĀĀ.
Так как испытания данной серии независимы друг
от друга, то для вычисления вероятности данного исхода
испытаний надо заменить в записи этой серии каждую
букву А ее вероятностью p , а каждую букву Ā ее
вероятностью 1-p и перемножить эти числа.
Пример 1. Проводится серия из 8 независимых испытаний.
Событие А имеет вероятность р=0,7. Чему равна
вероятность того, что получиться исход вида ААĀАAĀAĀ. ?
Решение. Заменяем каждую букву А на 0,7, а каждую
букву Ā на 1-0,7=0,3.
Получаем
0,7×0,7×0,3×0,7×0,7×0,3×0,7×0,3=0,750,33.
Вообще, если событие А имеет вероятность р,
то вероятность появления конкретной серии из n
испытаний, в которой это событие произошло m раз,
равна pmqn-m, где q=1-p.
Теорема. Пусть вероятность события А равна р, и
пусть P n (m)- это вероятность того, что в серии из n
независимых испытаний это событие произойдет
ровно m раз. Тогда справедлива теорема Бернулли
nm
Pn (m)  Cn p q .
Доказательство. Вероятность одного события,
m
m
состоящего в том, что в n испытаниях событие А
наступит ровно m раз и не наступит n-m раз, по
теореме умножения вероятностей равна pmqn-m.
Число таких событий равно числу сочетаний
m
из n элементов по m элементов, то есть Cn . Так
как события несовместные, то по теореме сложения
вероятностей несовместных событий искомая
вероятность равна сумме вероятностей всех
возможных событий:
Pn (m)  Cn p q
m
m
nm
.
Пример 2. Какова вероятность того, что при десяти
бросаниях игральной кости 3 очка выпадут ровно 2
раза?
Решение. Вероятность выпадения 3 очков при
одном бросании равна 1/6. Поэтому р=1/6, q=5/6. Так
как, кроме того, n=10 и m=2, то по формуле
Бернулли имеем:
1
Р 10 (2)  С  
6
2
10
2
 5  10  9  5
.
  
10
26
6
8
8
Следствия из формул Бернулли.
Вероятность того, что в серии из n испытаний
событие наступит:
1) Менее m раз –
Pn(0)+ Pn(1)+…+ Pn(m-1);
2) Более m раз –
Pn(m+1)+ Pn(m+2)+…+ Pn(n);
3) Не менее m раз –
Pn(m)+ Pn(m+1)+…+ Pn(n);
4) Не более m раз –
Pn(0)+ Pn(1)+…+ Pn(m).
Пример .
Монету бросают 6 раз. Найти вероятность
того, что герб выпадет:
а) менее 2 раз; б) не менее 2 раз.
Решение.
6
1
11
a) P  P6 (0)  Р 6 (1)     С6  
2
2
5
1 1 6 7
    .
 2  64 64 64
7 57
b) P( B)  1  ( P6 (0)  Р 6 (1))  1   .
64 64