Приближенные формулы в схеме Бернулли 1 Локальная формула МуавраЛапласа Если npq 10 , то 1 Pn (k ) ( x), npq где 2 k np p 0; p 1; p 0,5; x npq Свойства функции (x ) ( x) 1 e 2 1. Четная ( x) ( x) . 2. При 3 x 5, ( x) 0 x2 2 Формула Пуассона Если npq 10 и p 0,1 , то Pn (k ) где 4 np k k! e , Интегральная формула МуавраЛапласа Pn (k1 k k2 ) ( x2 ) ( x1 ) k1 np k2 np x1 ; x2 npq npq 5 Свойства функции Лапласа 1. Нечетная ( x ) ( x ) . 2. Возрастающая. 3. При x 5, ( x ) 1 2 (x) Таблицы значений Функции (x ) http://natalymath.narod.ru/plotnost_norm_rasp.html Распределения Пуассона http://natalymath.narod.ru/puasson.html Функции (x) http://natalymath.narod.ru/laplas.html Задача 1 Известно, 80% специалистов в районе имеет высшее образование. Найти вероятность того, что из 100 наудачу отобранных человек высшее образование имеет: а) 70 человек, б) от 65 до 90 человек. Решение npq 100 0,8 0,2 16 10 а) Применяем локальную формулу Лапласа Pn (k ) x 1 ( x) npq k np 70 100 0,8 10 2,5 4 npq 100 0,8 0,2 1 P100 (70) 0,0175 0,0044 16 Решение б) Применяем интегральную формулу Муавра Лапласа Pn (k1 k k2 ) ( x2 ) ( x1 ) x1 k1 np 65 100 0,8 15 3,75, 4 npq 100 0,8 0,2 x2 k 2 np 90 100 0,8 10 2,5 npq 100 0,8 0,2 4 P100 (65 k 90) (2,5) (3,75) 0,49379 0,49991 0,9937 Задача 2 Вероятность того, что при сортировке изделий одно из них будет разбито, равна 0,005. Найти вероятность того, что из 200 изделий окажутся разбитыми: а) три изделия, Б)не более двух, В) не менее двух Решение npq 200 0,005 0,995 0,995 10 p 0,1 Применяем формулу Пуассона, где np 200 0,005 1 а) при k=3: 13 1 1 P200 (3) e 0,06 3! 6e б) при k 2 P200 (0 k 2) P200 (0) P200 (1) P200 (2) 10 1 11 1 12 1 1 e e e 1 1 0,5 0,93 0! 1! 2! e в) при k 2 P200 (2 k 200) 1 P200 (0 k 1) 1 P200 (0) P200 (1) 10 1 11 1 1 1 e e 1 1 1 0,26 0! 1! e