О СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ

1840
УДК 531.36 : 62-503.51
О СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ
ДВИЖЕНИЙ ГОЛОНОМНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ
А.С. Андреев
Ульяновский государственный университет
Россия, 432017, Ульяновск, Л. Толстого ул., 42
E-mail: [email protected]
О.А. Перегудова
Ульяновский государственный университет
Россия, 432017, Ульяновск, Л. Толстого ул., 42
E-mail: [email protected]
Ключевые слова: стабилизация, управляемая механическая система, векторфункция Ляпунова, система сравнения, управление движением, программное движение
Аннотация: В работе решена задача о стабилизации программного движения голономной механической системы с конечным числом степеней свободы. Предложен
новый тип управления, учитывающий нелинейность системы и нестационарность
программного движения. С помощью построения вектор-функции Ляпунова и системы сравнения получены достаточные условия нелокальной стабилизации заданного
движения. Обоснована робастность построенного закона управления по отношению
к вариациям параметров системы и неуправляемых сил.
1.
Введение
Современное развитие робототехники, создание и эксплуатация новых моделей
мобильных роботов и промышленных манипуляторов, разработка дистанционно и самоуправляемых аппаратов с длительным временем функционирования стимулируют
интенсивные исследования по теории и конструированию управляемых механических
систем. Сложность этих исследований состоит в создании структуры управления такими системами с учетом таких особенностей, как большая размерность системы,
ограничение на управляющие воздействия, минимизация времени приведения системы к заданному режиму и затраченных ресурсов, всесторонний учет действующих
сил, наличие неопределенностей, вызываемых параметрическими и внешними возмущениями и т.д. В связи с этим важное значение имеет решение фундаментальной
проблемы — развитие нелинейной теории управления по выводу новых методов решения задач нелокального управления механическими системами. Широкой базой
для проведения современных исследований указанных задач является прямой метод
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1841
Ляпунова и его развитие — метод сравнения с вектор-функцией Ляпунова, представленный работами многих известных ученых [1], [2]. В работе [3] дано развитие метода
сравнения для задач устойчивости решений неавтономных обыкновенных дифференциальных в направлении смягчения условий классических теорем и посвящены разработке новых способов построения вектор-функций Ляпунова и систем сравнения.
В настоящей работе с использованием метода сравнения с вектор-функцией Ляпунова решена задача стабилизации программного движения голономной механической системы путем построения управления с учетом ее нелинейности и нестационарности.
2.
Постановка задачи
Рассматривается управляемая механическая система, положение которой опреляется n обобщенными координатами q1 , q2 , . . . , qn , а движение описывается уравнениями Лагранжа
∂T
d ∂T
−
= Q + U,
(1)
dt ∂ q̇
∂q
где q = (q1 , q2 , . . . , qn )0 ∈ Rn есть вектор координат, T = 1/2q̇ 0 A(q)q̇ — кинетическая
энергия системы, A ∈ Rn×n является положительно-определенной и непрерывно дифференцируемой матрицей, Q = Q(t, q, q̇) — вектор обобщенных неуправляемых сил,
U ∈ Rn — вектор управления. Здесь и далее (·)0 — операция транспонирования,
||q||2 = q12 + q22 + . . . + qn2 — норма в Rn .
Уравнения (1) можно представить в виде
(2)
A(q)q̈ = q̇ 0 C(q)q̇ + Q + U,
где C = C(q) — вектор-столбец матриц, C = (C (1) , C (2) , . . . , C (n) )0 ,
(k)
C (k) = (cij ),
(k)
cij = ∂aij /∂qk − ∂akj /∂qi .
Пусть X = {(q (0) (t), q̇ (0) (t)) : [t0 , +∞) → Rn } есть заданное множество программных движений, ограниченных областью
G0 = {||q|| 6 g0 = const > 0,
||q̇|| 6 g1 = const > 0}.
Пусть (q (0) , q̇ (0) ) ∈ X есть движение, задаваемое управлением U = U (0) (t), так
что для существования этого движения выполнено равенство
(3)
A(0) (t)q̈ (0) (t) = (q̇ (0) (t))0 C (0) (t)q̇ (0) (t) + Q(0) (t) + U (0) (t),
где A(0) (t) = A(q (0) (t)), C (0) (t) = C(q (0) (t)), Q(0) (t) = Q(t, q (0) (t), q̇ (0) (t)).
Введем возмущение x = q − q (0) (t) управляющее воздействие U (1) = U − U (0) (t).
Согласно (2) уравнения возмущенного движения могут быть записаны в виде
(4)
A(1) (t, x)ẍ = ẋ0 C (1) (t, x)ẋ + Q(1) (t, x) + Q(2) (t, x, ẋ) + U (1) ,
где A(1) (t, x) = A(q (0) (t) + x), C (1) (t, x) = C(q (0) (t) + x), Q(1) (t, x) = (A(0) (t) −
A(1) (t, x))q̈ (0) (t) + (q̇ (0) (t))0 (C (1) (t, x) − C (0) (t))q̇ (0) (t) + Q(t, q (0) (t) + x, q̇ (0) (t)) −
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1842
Q(t, q (0) (t), q̇ (0) (t)), Q(2) (t, x, ẋ) = Q(t, q (0) (t) + x, q̇ (0) (t) + ẋ) − Q(t, q (0) (t) + x, q̇ (0) (t)) +
(q̇ (0) )0 C (1) (t, x)ẋ + ẋC (1) (t, x)q (0) (t).
Заметив, что Q(1) (t, 0) ≡ 0, Q(2) (t, x, 0) ≡ 0, допустим, что в соответствии с наложенными связями и действующими силами имеют место следующие представления
(5)
Q(1) (t, x) = F (t, x)p(t, x),
Q(2) (t, x, ẋ) = D(t, x)ẋ + ẋ0 S(t, x)ẋ,
2
где F ∈ n × n, D ∈ Rn×n , S ∈ Rn×n , S = (S (1) , S (2) , . . . S (n) )0 есть совокупность некоторых матриц, вектор-функция p(t, x), выражающая нелинейность системы, такова,
что p ∈ C 1 , p(t, 0) ≡ 0, ||p(t, x)|| > p0 (x), p0 (x) = 0 ↔ x = 0.
Исследуется задача о стабилизации невозмущенного движения x = ẋ = 0 системы (4) управляющим воздействием вида
(6)
U 1 (t, x, ẋ) = B(t, x)(ẋ + p(t, x)),
где B ∈ Rn×n есть матрица коэффициентов усиления в структуре обратной связи,
подлежащая определению.
3.
Решение задачи стабилизации
Подбор матрицы B(t, x) проведем, используя для решения задачи векторную
функцию Ляпунова
q
0
(7)
V = (V1 , V2 ) ,
V1 = ||p||,
V2 = (ẋ + p)0 A(1) (ẋ + p).
Допустим, что величины, входящие в (4) и (5), ограничены в области
G = {t > 0,
||x|| 6 2g0 + ε,
||ẋ|| 6 2g1 + ε,
ε = const > 0}
и в этой области выполнены следующие соотношения
(8)
∂p
∂p
− p0 p 6 −µ1 ||p||2 ,
∂t
∂x
∂p
p0 (ẋ + p) 6 m1 ||p||||ẋ + p||,
λ1 ||y||2 6 y 0 Ay 6 λ2 ||y||2 ,
∂x
(ẋ + p)0 (p0 (C (1) + S)p + F p − Dp) 6 λ(m2 ||p|| + m3 ||p||2 )||ẋ + p||,
∂A(1)
1
(1) ∂p
(1)
0
(ẋ + p)
+A
(ẋ + p) + (ẋ + p)(C + S) (ẋ + p) 6
(ẋ + p)
2
∂x
∂x
6 m4 λ1 ||ẋ + p||3 ,
∂p ∂p
1 0 ∂A(1)
0
(1)
0
(1)
(ẋ + p) A
−
p − p
− p (C + S) (ẋ + p)−
∂t ∂x
2 ∂x
p0
− (ẋ + p)0 ((ẋ + p)0 C (1) + S))p) 6 λ1 m5 ||ẋ + p||2 ||p||,
(1)
1 (0)
0
0 ∂A
(ẋ + p) B + D + (q̇ (t))
(ẋ + p) 6 −µ2 λ2 ||ẋ + p||2
2
∂x
где λ1 , λ2 , µ1 , µ2 , m1 — некоторые положительные постоянные, при этом
(9)
λ1 µ1 µ2 − m1 m2 > 0.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
1843
Для вектор-функции Ляпунова (7) будем иметь следующую систему сравнения
(10)
u̇1 = −µ1 u1 +
m1
u2 ,
λ1
u̇2 = m2 u1 − µ2 u2 + m3 u21 + m4 u22 + m5 u1 u2 .
Равномерная асимптотическая устойчивость в большом системы (10) влечет
нелокальную стабилизацию выбранного программного движения системы (1). Линейное приближение (10) является асимптотически устойчивым. Соответственно, программное движение (q (0) (t), q̇ (0) (t)) экспоненциально устойчиво по (p(t, q −
q (0) (t)), q̇ − q̇ (0) (t)).
Проанализируем условия (8). Первые два условия будут выполнены при соответствующем подборе вектор-функции p(t, x). Например, они заведомо имеют место
при
p(t, x) = (f1 (x1 ), f2 (x2 ), . . . , fn (xn )),
∂fk /∂xk > 0 ∀k = 1, 2, . . . , n.
Следующее соотношение включает в себя инерционные параметры и параметры
действующих сил. Они, кроме последнего, заведомо могут быть получены даже
при неполностью известных таких параметрах. Последнее неравенство может быть
достигнуто подбором матрицы B коэффициентов управляющих воздействий. При
этом, эта матрица может быть постоянной, независящей от программного движения
(q (0) (t), q̇ (0) (t)) ∈ X.
4.
Заключение
Таким образом, управляющее воздействие вида (6) заведомо может быть подобрано универсальным по отношению к множеству программных движений X, грубым
по отношению к параметрам системы и неуправляемым силам. Одновременно, последнее неравенство (8) может быть выполнено в части области G исключительно за
счет неуправляемых сил, и соответственно достигнута оптимизация управления.
При условии (3) существования программного движения соответствующее стабилизирующее управление
U = U (0) (t) + B(t, x)(ẋ + f (t, x))
может быть реализовано в классе заданных разрывных функций.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (12-01-33082мол_а_вед) и Минобрнауки России в рамках базовой части (код
проекта 2097).
Список литературы
1.
2.
3.
Лакшмикантам В., Лила С., Мартынюк А.А. Устойчивость движения: метод сравнения.
Киев: Наукова думка, 1991. 248 с.
Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001. 380 с.
Андреев А.С., Перегудова О.А. К методу сравнения в задачах об асимптотической устойчивости // ПММ. 2006. Т. 70, Вып. 6. С. 965-976.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г