Функция Ляпунова процесса проектирования

Структура управляющего
вектора при оптимизации
аналоговых цепей
Александр Михайлович Земляк1,2
Татьяна Михайловна Маркина1
1НТУУ
Киевский политехнический институт, Украина
2Автономный университет Пуэбла, Мексика
Содержание
•
•
•
•
•
Введение
Формулировка проблемы проектирования
Функция Ляпунова процесса проектирования
Структура оптимальной стратегии
Выводы
Введение
Традиционные подходы к сокращению необходимого времени
анализа системы разработаны досконально.
Разработка алгоритма для наилучшей стратегии оптимизации
является важнейшей задачей.
В то же время требуется выработать критерий, позволяющий
сравнивать различные стратегии оптимизации цепей с точки
зрения числа операций без расчета самого времени.
Оказалось полезным введение понятия функции Ляпунова
процесса оптимизации.
Была выявлена определенная корреляция между поведением
функции Ляпунова для некоторой стратегии оптимизации цепи и
ее полным процессорным временем
Формулировка проблемы
Новая формулировка проблемы.
a) Модель системы:
1  u  g  X   0
j
j
j  1,2,..., M
(1)
b) Процедура параметрической оптимизации:
X s1  X s  t s  H s
где
 
H s  f F X s ,U s
  X ,U  
1

Управляющий вектор:

(2)
F  X , U   C  X    X , U 
M
2
u

g
 j j X 
j 1
U  u1 , u2 ,..., uM 
uj  
  0;1
Непрерывная форма
Процедура оптимизации:
dxi
 f i  X ,U 
dt
i  1,2,..., N
(3)
j  1,2,..., M
(4)
Модель системы:
1  u  g
j
j
 X  0
Функции
f i  X ,U  для градиентного метода имеют вид:

 
1 M
2
C X    u j g j  X  
f i  X , U   b
xi 
 j 1




f i X , U  b  ui  K
xi

1  u 
i K
dt
i  1,2,..., K


1 M
2
C X    u j g j  X  
 j 1


 x ' i   i  X  
(5)
i  K  1, K  2,..., N
Дискретная форма
Градиентный метод
xis 1  xis  t s  f i  X ,U 
i  1,2,..., K , K  1,...N
1  u  g  X   0
j
где

F X ,U 
xi

F  X ,U 
x i
fi X ,U   
f i  X ,U   u i  K

1  uiK 
 xis  i  X 

ts
где
F  X ,U   C X  
(7)
j  1,2,..., M
j
1

M
2
u
g
 j j X 
j 1
(6)
i  1,2,..., K
(8)
i  K  1, K  2,..., N
Функция Ляпунова процесса проектирования
Какой критерий позволит найти оптимальный управляющий вектор U ?
Известна идея для анализа устойчивости динамической системы на
основе прямого метода Ляпунова.
Процесс проектирования определен как динамическая управляемая
система .
Предполагается
использовать
функцию
Ляпунова
процесса
проектирования для выявления оптимальной структуры управляющего
вектора, в частности для поиска оптимальных точек переключения
управляющих функций.
Есть
свобода
определения
функции
неединственности задания этой функции.
Ляпунова
благодаря
Давайте зададим функцию Ляпунова следующими формулами:
 F  X , U  

V  X , U    
xi
i 

2
V  X , U   F  X , U 
r
где F(X,U) обобщенная целевая функция процедуры оптимизации.
Последняя формула применяется в случае положительной целевой
функции равной нулю в оптимальной точке.
(9)
(10)
Структура оптимальной стратегии
Надо минимизировать время переходного процесса динамической
системы путем специального выбора функций правой части
основной системы уравнений.
• Необходимо изменить функции f i  X , U  путем выбора
управляющего вектора U для достижения максимальной
скорости уменьшения функции Ляпунова
• Введем новую функцию, являющуюся нормированной
производной функции Ляпунова:

W  V /V
(11)
Примеры
Рис. 1. Нелинейная пассивная цепь с двумя
узлами
Таблица 1. Зависимости процессорного времени
от точки переключения для схемы с двумя узлами
N Точка Число
Процессорное
перекл. итераций время, (сек)
1
147
8319
0,221
2
167
6501
0,172
3
187
3697
0,096
4
207
2860
0,073
5
227
3383
0,087
6
247
5429
0,142
7
267
6682
0,175
Рис. 2. Процессорное время проектирования как
функция точки переключения, соответствующей
шагу n процесса оптимизации
Рис. 3. Поведение функций V(t) и W(t) в течение процесса
оптимизации для семи последовательных значений номера
шага точки переключения (с 147 до 267)
Рис. 4. Поведение функций V(t) и W(t) в течение начального
интервала процесса оптимизации
Рис. 5. Односкадный усилитель
Таблица 2. Зависимость процессорного времени от
точки переключения для однокаскадного усилителя
N Точка Число
Процессорное
перекл. итераций время, (сек)
1
33
2433
0,404
2
34
2180
0,361
3
35
1748
0,289
4
36
61
0,01
5
37
1705
0,281
6
38
2111
0,349
7
39
2349
0,389
Рис. 6. Поведение функций V(t) и W(t) в течение процесса
оптимизации для семи последовательных значений
номера шага точки переключения (с 147 до 267)
Рис. 7. Двухкаскадный усилитель
Таблица 3. Зависимость процессорного времени от
точки переключения для двухкаскадного усилителя
N Точка
Точка
Число
Процессорное
перекл. 1 перекл. 2 итераций время, (сек)
1
7
8
4900
9,91
2
8
9
4486
9,11
3
9
10
3785
7,69
4
10
11
1354
2,74
5
11
12
3618
7,34
6
12
13
4424
8,98
7
13
14
4882
9,89
Рис. 8. Поведение функций V(t) и W(t) в течение
процесса проектирования для семи
последовательных значений номера первой
точки переключения (с 7 до 13)
Рис. 9. Трехкаскадный усилитель
Таблица 4. Зависимость процессорного времени от
точки переключения для трехкаскадного усилителя
N Точка
Точка
Число
Процессорное
перекл. 1 перекл. 2 итераций время, (сек)
1
10
16
8187
154,31
2
11
17
7432
140,04
3
12
18
6125
115,36
4
13
19
2087
39,14
5
14
20
10259
193,33
6
15
21
11610
218,82
7
16
22
12372
233,16
Рис. 10. Поведение функций V(t) и W(t) в
течение процесса проектирования для семи
последовательных значений номера первой
точки переключения (с 10 до 16)
Выводы
• Опираясь на характеристики функции Ляпунова, возможно
провести детальный анализ свойств различных стратегий
оптимизации электронных цепей.
• Получение
оптимальных
точек
переключения
управляющего вектора является составным элементом
квазиоптимального по времени алгоритма оптимизации цепей
наряду с открытым ранее эффектом сверхускорения процесса
оптимизации и адекватным выбором начальной точки
процесса оптимизации.
• Введение функции W, являющейся нормированной
временной производной функции Ляпунова, и исследование
поведения
этой
функции
позволило
адекватно
проанализировать
и
сравнить
поведение
основных
характеристик процесса оптимизации электронных цепей.
• Оптимальные точки переключения получены на основе
анализа поведения производной функции Ляпунова при
последовательном сдвиге точки переключения управляющего
вектора в процессе анализа.