Document 2541914

Вестник СГТУ. 2004. № 2 (3)
ЭЛЕКТРОНИКА И ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
УДК 621.385.01
В.Б. Байбурин, С.А. Трачук
ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЗАРЯДОВ
В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ
Проведено численное исследование модели поведения двух зарядов в
скрещенных полях. На основе расчета показателей Ляпунова определены
области существования регулярного и хаотического поведения систем, получены карты показателей Ляпунова.
V.B. Bayburin, S.A. Trachuk
CHAOTIC DYNAMICS ASSOCIATED CHARGES IN CROSSED FIELDS
Computational solution behavior of model of two charges in crossed fields
implemented in the article. On the basis of calculation of Lyapunov exponents it
was determined the region of existing regular and chaotic behavior of systems,
were received dynamic conditions map.
y
rk
х
r
B
ra
Рис. 1
98
Особенности движения одиночного заряда
в скрещенных электрическом и магнитном полях
(при неоднородном магнитном поле) рассматривались в работе [1]. Представляет интерес рассмотреть движение заряда q1 в скрещенных полях в
присутствии второго заряда q2, взаимодействующего с первым. Предположим, что оба заряда отрицательны и одинаковы по величине. Следовательно, они будут отталкиваться. Рассмотрим схему в скрещенных полях, аналогичную диоду с
продольным (вдоль оси катода) магнитным полем
и радиальным электрическим полем Er (рис. 1).
В прямоугольной системе координат
уравнения движения двух зарядов применительно к схеме на рис. 1 можно записать в следующем виде:
Электроника и приборостроение
•
•
V
x1 = E x + Fx + Ω1V y ; V x = E x + Fx + Ω 2V y
1
12
1
2
21
2
2

•
•
 x1 = Vx1 ; x2 = Vx2
•
•
V y1 = −Ω1Vx + E y + Fy ; V y2 = −Ω 2Vx + E y + Fy
1
1
12
2
2
21

•
•

 y1 = V y1 ; y 2 = V y2
где x1, y1 – координаты первого заряда в плоскости (x,y); x2, y2 – координаты второго заряда;
Vx1 ,V y1 – скорость движения первого заряда; Vx2 ,V y2 – скорость движения второго заряда;
Ω – циклотронная частота; E x1 , E y1 – составляющие напряженности радиального электрического поля Er, действующие на первый заряд; E x2 , E y2 – на второй заряд.
При этом:

U0
y1
⋅
 E y1 =
2
 r  x1 + y1

ln  a 

 rk 

y2
E = U 0 ⋅
y2
2

 r  x2 + y 2

ln  a 

 rk 
; E x1 =
[(
) ( )]
[(
) ( )]
2
2
; E x2 =
U0
r
ln  a
 rk
U0
r
ln  a
 rk






⋅
x1
[(x ) + (y ) ]
2
2
1
⋅
1
x2
[(x ) + (y ) ] ,
2
2
2
2
где rk – радиус катода; ra – радиус анода; U0 – величина, соответствующая потенциалу
анода.
Силы Fx12 , Fy12 и Fx21 , Fy21 – силы электростатического взаимодействия зарядов.
Принимая, что заряды q1 и q2 равны 1 для сил электростатического взаимодействия, можно записать:
x2 − x1
y 2 − y1

 Fx12 = − r 3 ; Fy12 = − r 3

s
s

x
−
x
y
−
y
1
F = 2 1 ; F = 2
.
y21
3
3
 x21
rs
rs
Для численного решения уравнения движения и определения величин фазовых переменных использовался неявный метод, изложенный в работе [2]. При этом принималось:
Ω=1, U0=1, rk=0,5, ra=10, нулевые начальные скорости зарядов. Кроме того, сам катод считался «прозрачным» для движущихся зарядов, а радиальное электрическое поле внутри катода принималось равным полю на катоде. Как показали расчеты, это допущение не влияет
существенно на характер карты динамических режимов в пространстве «катод-анод».
На рис. 2, 3 и 5 представлены области существования хаотических и регулярных траекторий зарядов в координатах (x,y). Эти области («ляпуновское пространство») получены на
основании расчета показателей Ляпунова (λ) и окрашены в различные оттенки серого цвета.
При этом белый цвет соответствует регулярным траекториям (показатель Ляпунова меньше
нуля). Градации темного цвета соответствуют различным положительным значениям показателя по мере роста его величины.
Случай, когда присутствует только один заряд, представлен на рис. 2. Видно, что
практически вся область в этом случае имеет белый или светло-серый цвет, что соответствует регулярным траекториям.
99
Вестник СГТУ. 2004. № 2 (3)
Рис. 2. Карта показателей Ляпунова в плоскости координат (x,y)
в случае присутствия одного заряда. Максимальное значение показателя Ляпунова
λmax=4.030364, минимальное значение показателя Ляпунова λmin=–0.568831
Карты динамических режимов для случаев, когда учтена сила взаимодействия двух
зарядов, представлены на рис. 3, 4:
Рис. 3. Карта показателей Ляпунова в плоскости координат (x,y).
Случай, когда из каждой точки рассматриваемой области оба заряда начинают двигаться
с начальным расстоянием между ними rs=0.3. Максимальное значение показателя Ляпунова
λmax=3.850257, минимальное значение показателя Ляпунова λmin=0.905390
100
Электроника и приборостроение
Для случая, когда один заряд начинает свое движение из одной и той же фиксированной точки (например, с координатами (1;1)), а другой имеет в качестве начальных координат
последовательно координаты каждой точки исследуемой области, карта динамических режимов представлена на рис. 4:
Рис. 4. Карта показателей Ляпунова в плоскости координат (x,y).
Максимальное значение показателя Ляпунова λmax=11.170605,
минимальное значение показателя Ляпунова λmin=–0.760053
а)
б)
Рис. 5. Типичные траектории зарядов:
а – для области хаотических режимов V0 x1 = V0 x2 = V0 y1 = V0 y2 = 0 , x01=0,7, y01=0,4;
б – для области устойчивого поведения, где V0 x1 = V0 x2 = V0 y1 = V0 y2 = 0 , x01=0,6, y01=–0,1.
Светлая линия соответствует траектории движения первого заряда
(первоначальная и смещенная), темная – второго
101
Вестник СГТУ. 2004. № 2 (3)
Типичный вид хаотических (рис. 5, а) и регулярных (рис. 5, б) траекторий в плоскости
координат для случая взаимодействующих зарядов представлен на рис. 5. На рис. 5, а видно,
что в хаотическом режиме траектории зарядов, стартующих при практически совпадающих
начальных условиях, с течением времени быстро расходятся, для них показатель Ляпунова
положителен.
Пример регулярных траекторий представлен на рис. 5, б, где две траектории, имеющие ту же незначительную разницу в начальных условиях, по существу, совпадают. Для них
показатель Ляпунова меньше 0 или близок к 0.
Таким образом, появление второго заряда, взаимодействующего с первым, существенно меняет карту динамических режимов. Практически вся исследуемая область
(рис. 3) соответствует хаотическим траекториям. Вместе с тем, если начальное положение
одного из зарядов фиксировано в одной и той же точке (рис. 4), то появляется значительная часть области, соответствующая регулярным траекториям (белый или светло-серый
цвета на рис. 4). Физически это понятно, так как заряд, стартующий в этой части области,
еще слабо взаимодействует с другим, ввиду относительно большого расстояния между ними.
ЛИТЕРАТУРА
1. Байбурин В.Б., Мантуров А.О., Юдин А.В. Хаотическое поведение зарядов в скрещенных полях // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т.10. № 6. С.62-70.
2. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975. 320 с.
Байбурин Вил Бариевич –
доктор физико-математических наук, профессор,
Заслуженный деятель науки РФ, действительный член РАЕН, заведующий кафедрой
«Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»
Саратовского государственного технического университета
Трачук Светлана Анатольевна –
студентка Саратовского государственного технического университета
102