TÅÌÀ 2. Ëîãè÷åñêèå èñ÷èñëåíèÿ Öåëü è çàäà÷è

TÅÌÀ 2. Ëîãè÷åñêèå èñ÷èñëåíèÿ
Öåëü è çàäà÷è
Öåëü êîíòåíòà òåìû 2 ïîçíàêîìèòü ÷èòàòåëÿ ñ äâóìÿ îñíîâíûìè ðàçäåëàìè ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè: èñ÷èñëåíèåì âûñêàçûâàíèé è èñ÷èñëåíèåì
ïðåäèêàòîâ.
Çàäà÷è êîíòåíòà òåìû 2:
• Ââåñòè ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè íàä âûñêàçûâàíèÿìè è èññëåäîâàòü èõ
ñâîéñòâà;
• Äàòü îïðåäåëåíèå ëîãè÷åñêîãî ñëåäñòâèÿ â àëãåáðå âûñêàçûâàíèé è
ïðèâåñòè òåîðåìû î ëîãè÷åñêîì ñëåäñòâèè;
• Ðàññìîòðåòü èñïîëüçîâàíèå äèçúþíêòèâíîé è êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíûõ ôîðì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôîðìóë àëãåáðû âûñêàçûâàíèé;
• Ââåñòè ïîíÿòèÿ ïðåäèêàòîâ, êâàíòîðîâ è ôîðìóë àëãåáðû ïðåäèêàòîâ,
èññëåäîâàòü ñâîéñòâà êâàíòîðîâ;
• Äàòü ïðåäñòàâëåíèå î ôîðìàëüíûõ àêñèîìàòè÷åñêèõ òåîðèÿõ èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé è èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ.
Îãëàâëåíèå
Ÿ 2.1. Àëôàâèò ëîãèêè âûñêàçûâàíèé. Îñíîâíûå ñâîéñòâà ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé.
Ÿ 2.2. Ëîãè÷åñêîå ñëåäñòâèå.
Ÿ 2.3. Äèçúþíêòèâíàÿ è êîíúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíûå ôîðìû ôîðìóë.
Ÿ 2.4. Ëîãèêà ïðåäèêàòîâ.
Ÿ 2.5. Ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ L èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé.
Ÿ 2.6. Ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ L1 èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ.
Ÿ 2.1.
Àëôàâèò ëîãèêè âûñêàçûâàíèé. Îñíîâíûå ñâîéñòâà ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé
Ëîãèêà îäíà èç íàèáîëåå äðåâíèõ íàóê. Îíà çàíèìàåòñÿ ìåòîäàìè ðàññóæäåíèé, êîòîðûå èç âåðíûõ ïîñûëîê ïðèâîäÿò ê âåðíûì âûâîäàì. Ñîâðåìåííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà âêëþ÷àåò â ñåáÿ äâà îñíîâíûõ ðàçäåëà:
1
èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé è èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ, ÿâëÿþùèåñÿ ïðèìåðàìè íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûõ ôîðìàëüíûõ àêñèîìàòè÷åñêèõ òåîðèé.
Ëîãèêà âûñêàçûâàíèé ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé: àëãåáðû âûñêàçûâàíèé è
îáîáùàþùåé åå ôîðìàëüíîé àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèè èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Àëãåáðà âûñêàçûâàíèé áûëà ïîñòðîåíà àíãëèéñêèì ìàòåìàòèêîì
Äæ. Áóëåì (18151864). Îñíîâíûìè îáúåêòàìè àëãåáðû âûñêàçûâàíèé ÿâëÿþòñÿ âûñêàçûâàíèÿ.
Âûñêàçûâàíèåì íàçûâàåòñÿ ëþáîå óòâåðæäåíèå, êîòîðîå ëèáî èñòèííî,
ëèáî ëîæíî. Âûñêàçûâàíèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü çàãëàâíûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà, íàçûâàåìûìè â äàëüíåéøåì ïðîïîçèöèîíàëüíûìè áóêâàìè.
Íàïðèìåð,
• A = {7 < 5} ëîæíîå âûñêàçûâàíèå;
• B = {Ìîñêâà ñòîëèöà ÐÔ} èñòèííîå âûñêàçûâàíèå;
• sin 2x íå ÿâëÿåòñÿ âûñêàçûâàíèåì.
Èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå âûñêàçûâàíèÿ A åñòü ÷èñëî, êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì [A] è ðàâíî 1, åñëè âûñêàçûâàíèå A èñòèííîå, èëè ðàâíî
0, åñëè âûñêàçûâàíèå A ëîæíîå.
Ñóùåñòâóþò è äðóãèå ñèìâîëû äëÿ îáîçíà÷åíèÿ èñòèííûõ è ëîæíûõ
âûñêàçûâàíèé, íàïðèìåð, "true" è "false", èëè "È" è "Ë" (èñòèíà è ëîæü).
Íà ìíîæåñòâå âûñêàçûâàíèé ââåäåì ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè, ñ ïîìîùüþ
êîòîðûõ ïîëó÷àþòñÿ íîâûå âûñêàçûâàíèÿ.
1. Îòðèöàíèå âûñêàçûâàíèÿ A åñòü âûñêàçûâàíèå, îáîçíà÷àåìîå eA (÷èòàåòñÿ "íå A"), èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå êîòîðîãî íå ñîâïàäàåò ñ èñòèííîñòíûì çíà÷åíèåì âûñêàçûâàíèÿ A, ò. å. [ eA] = 1 − [A].
2. Êîíúþíêöèÿ äâóõ âûñêàçûâàíèé A è B åñòü âûñêàçûâàíèå, îáîçíà÷àåìîå A&B (÷èòàåòñÿ "A è B "), èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå êîòîðîãî âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå [A&B] = min{[A], [B]}. Êîíúþíêöèÿ èñòèííà
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èñòèííû îáà ñîìíîæèòåëÿ.
3. Äèçúþíêöèÿ äâóõ âûñêàçûâàíèé A è B åñòü âûñêàçûâàíèå, îáîçíà÷àåìîå A ∨ B (÷èòàåòñÿ "A èëè B "), èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå êîòîðîãî
âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå [A ∨ B] = max{[A], [B]}. Äèçúþíêöèÿ ëîæíà
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëîæíû îáà ñëàãàåìûõ.
4. Èìïëèêàöèÿ ñ ïîñûëêîé A è çàêëþ÷åíèåì B åñòü âûñêàçûâàíèå, îáîçíà÷àåìîå A ⇒ B (÷èòàåòñÿ "èç A ñëåäóåò B "), èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå êîòîðîãî âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå [A ⇒ B] = 1 − [A] + [A][B].
2
Èìïëèêàöèÿ ëîæíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîñûëêà èñòèííà, à
çàêëþ÷åíèå ëîæíî ("èç èñòèíû ëîæü íå ñëåäóåò").
5. Ýêâèâàëåíöèÿ äâóõ âûñêàçûâàíèé A è B åñòü âûñêàçûâàíèå, îáîçíà÷àåìîå ñèìâîëîì A ⇔ B (÷èòàåòñÿ "A ðàâíîñèëüíî B "), èñòèííîñòíîå
çíà÷åíèå
êîòîðîãî
âû÷èñëÿåòñÿ
ïî
ôîðìóëå
[A ⇔ B] = [A][B] + (1 − [A])(1 − [B]). Ýêâèâàëåíöèÿ èñòèííà òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà îáà ÷ëåíà ýêâèâàëåíöèè ïðèíèìàþò îäèíàêîâûå
èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ.
Ñèìâîëû ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé e, &, ∨, ⇒, ⇔ íàçûâàþòñÿ ëîãè÷åñêèìè
ñâÿçêàìè èëè ïðîïîçèöèîíàëüíûìè ñâÿçêàìè.
Èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ âûñêàçûâàíèé, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ ââåäåííûõ ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê, ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç òàáëèöû 2.1.1.
Òàáëèöà 2.1.1.
[A]
0
0
1
1
[B] [ eA] [A&B] [A ∨ B] [A ⇒ B]
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
Áóêâû, îáîçíà÷àþùèå âûñêàçûâàíèÿ, ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè è ñêîáêè ñîñòàâëÿþò àëôàâèò ÿçûêîâ ëîãèêè âûñêàçûâàíèé: àëãåáðû âûñêàçûâàíèé è
èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòîâ àëôàâèòà ìîæíî ïîñòðîèòü ðàçíîîáðàçíûå ëîãè÷åñêèå ôîðìóëû.
Ôîðìóëû ëîãèêè âûñêàçûâàíèé îïðåäåëÿþòñÿ ðåêóððåíòíî:
• ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ áóêâà åñòü ôîðìóëà (àòîìàðíàÿ ôîðìóëà, àòîì );
• åñëè A è B ôîðìóëû, òî ôîðìóëàìè ÿâëÿþòñÿ (eA), (A&B), (A ∨ B),
(A ⇒ B), (A ⇔ B), ïðè ýòîì A è B íàçûâàþòñÿ ïîäôîðìóëàìè íîâûõ
ôîðìóë.
• äðóãèõ ôîðìóë íåò;
Ôîðìóëû çàêëþ÷àþòñÿ â êðóãëûå ñêîáêè. Ôîðìóëû îáîçíà÷àþòñÿ çàãëàâíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè, òàê êàê ëþáàÿ ôîðìóëà ýòî âûñêàçûâàíèå.
Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè ïðèìåì ñîãëàøåíèå î ñîêðàùåíèè ÷èñëà ñêîáîê
â ôîðìóëå:
• âíåøíèå ñêîáêè îïóñêàþòñÿ;
• ââîäèòñÿ ïðèîðèòåò ñâÿçîê (ïî óáûâàíèþ) e, &, ∨, ⇒, ⇔;
3
• åñëè â ôîðìóëå èñïîëüçóþòñÿ äâå îäèíàêîâûå ñâÿçêè ïîäðÿä, òî äåéñòâèÿ âûïîëíÿþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ñëåâà íàïðàâî.
Ïðèìåð 2.1.1.
1. Óïðîùåííàÿ çàïèñü ôîðìóëû ((eA) ⇒ (A&B)) èìååò âèä eA ⇒ A&B.
2. Äëÿ ôîðìóëû ((( eA) ⇒ C)&B) óïðîùåííàÿ çàïèñü : ( eA ⇒ C)&B.
3. Ïðåäñòàâèì ëîãè÷åñêîé ôîðìóëîé ñëåäóþùåå âûñêàçûâàíèå: "Åñëè
ïåðâàÿ ôèðìà èçìåíèò ðàñöåíêè íà ñâîþ ïðîäóêöèþ, à âòîðàÿ îñòàâèò
èõ ïðåæíèìè, òî òðåòüÿ ôèðìà òàêæå èçìåíèò ñâîè ðàñöåíêè". Äëÿ
ýòîãî ââåäåì âûñêàçûâàíèÿ: Fn "n-àÿ ôèðìà èçìåíèëà ðàñöåíêè íà
ïðîäóêöèþ", ãäå n = 1, 2, 3. Òîãäà çàäàííîå â ïðèìåðå óòâåðæäåíèå
ìîæåò áûòü çàïèñàíî ôîðìóëîé:
F1 & eF2 ⇒ F3 .
Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ëþáàÿ ôîðìóëà àëãåáðû âûñêàçûâàíèé ÿâëÿåòñÿ âûñêàçûâàíèåì, è åå èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå çàâèñèò îò èñòèííîñòíûõ
çíà÷åíèé ïðîïîçèöèîíàëüíûõ áóêâ, âõîäÿùèõ â íåå. ×òîáû ïðîñëåäèòü ýòó
çàâèñèìîñòü, ââîäÿò ïîíÿòèå èíòåðïðåòàöèè ôîðìóëû.
Èíòåðïðåòàöèåé ôîðìóëû F íàçûâàåòñÿ ïðàâèëî I , ñîïîñòàâëÿþùåå
âñåì áóêâàì ôîðìóëû îïðåäåëåííûå èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ.
Ïðèìåð 2.1.2. Äëÿ ôîðìóëû F = A ∨ B ⇒ eB ðàññìîòðèì îäíó èç åå
èíòåðïðåòàöèé: ïîëîæèì, íàïðèìåð, [A] = 1, [B] = 0. Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè
ñ îïðåäåëåíèåì ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê, èñïîëüçóÿ òàáëèöó 2.1.1, âû÷èñëèì èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå ñàìîé ôîðìóëû â ýòîé èíòåðïðåòàöèé: [F ] = 1, ò. å. â
ðàññìàòðèâàåìîé èíòåðïðåòàöèè ôîðìóëà F åñòü èñòèííîå âûñêàçûâàíèå.
Çàìå÷àíèå 2.1.1. Êàæäîé ôîðìóëå ìîæíî ñîïîñòàâèòü èñòèííîñòíóþ
òàáëèöó, â ñòðîêàõ êîòîðîé çàïèñàíû èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ áóêâ ôîðìóëû è ñàìîé ôîðìóëû, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçëè÷íûì èíòåðïðåòàöèÿì. Èíòåðïðåòàöèè óäîáíî ïåðå÷èñëÿòü â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ÷èñåë, îáðàçîâàííûõ èñòèííîñòíûìè çíà÷åíèÿìè áóêâ (â äâîè÷íîé ñèñòåìå).  òàáëèöó
ìîæíî äîáàâèòü ñòîëáöû èñòèííîñòíûõ çíà÷åíèé îòäåëüíûõ ïîäôîðìóë.
Äëÿ ïðèìåðà 2.1.2 èñòèííîñòíàÿ òàáëèöà ôîðìóëû F ñîâïàäàåò ñ òàáëèöåé 2.1.2.
Òàáëèöà 2.1.2.
Èíòåðïðåòàöèè
I1
I2
I3
I4
[A]
0
0
1
1
[B] [A ∨ B] [ eB]
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
[F ] = [A ∨ B ⇒eB]
1
0
1
0
4
Âàæíóþ ðîëü â àëãåáðå âûñêàçûâàíèé èãðàþò ôîðìóëû, êîòîðûå èñòèííû âî âñåõ ñâîèõ èíòåðïðåòàöèÿõ. Òàêèå ôîðìóëû íàçûâàþòñÿ òàâòîëîãèÿìè.
Ïðèìåð 2.1.3. Ñîñòàâèì èñòèííîñòíóþ òàáëèöó 2.1.3 ôîðìóëû T = (A ⇒ B) ∨ eB.
Òàáëèöà 2.1.3.
Èíòåðïðåòàöèè
I1
I2
I3
I4
[A]
0
0
1
1
[B] [A ⇒ B] [ eB]
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
[(A ⇒ B)∨eB]
1
1
1
1
Îêàçàëîñü, ÷òî ôîðìóëà T èñòèííà âî âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ, ò. å. ôîðìóëà T ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñóùåñòâóþò ôîðìóëû, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ëîæíûìè
âî âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ, òàêèå ôîðìóëû íàçûâàþòñÿ ïðîòèâîðå÷èÿìè, èëè
íåâûïîëíèìûìè ôîðìóëàìè. Íàïðèìåð, ôîðìóëà G = A & eA åñòü ïðîòèâîðå÷èå (íåâûïîëíèìàÿ), ò. ê. â ëþáîé èç äâóõ âîçìîæíûõ ñâîèõ èíòåðïðåòàöèé îíà ëîæíà.
È íàêîíåö, ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ âûïîëíèìîé, åñëè îíà èñòèííà â êàêîéëèáî èíòåðïðåòàöèè. Òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ íàçûâàåòñÿ ìîäåëüþ ôîðìóëû.
Òàê, ôîðìóëà F = A ∨ B ⇒eB , äëÿ êîòîðîé òàáëèöà 2.1.2 ÿâëÿåòñÿ
èñòèííîñòíîé òàáëèöåé, âûïîëíèìàÿ ôîðìóëà, èìåþùàÿ äâå ìîäåëè I1 è
I3 .
Íà ìíîæåñòâå âñåõ ôîðìóë àëãåáðû âûñêàçûâàíèé ìîæåò áûòü ââåäåíî
îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, ðàçáèâàþùåå âñå ôîðìóëû íà êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè.
Äâå ôîðìóëû F è G íàçûâàþòñÿ ëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûìè ôîðìóëàìè (îáîçíà÷åíèå F = G), åñëè F ⇔ G åñòü òàâòîëîãèÿ, ò. å. ëîãè÷åñêè
ýêâèâàëåíòíûå ôîðìóëû ýòî ôîðìóëû, ïðèíèìàþùèå îäèíàêîâûå èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ â êàæäîé èíòåðïðåòàöèè.
Î÷åâèäíî, ÷òî îòíîøåíèå ëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè îáëàäàåò ñâîéñòâàìè ðåôëåêñèâíîñòè, ñèììåòðè÷íîñòè è òðàíçèòèâíîñòè.
Ïðèìåð 2.1.4. Äîêàæåì ëîãè÷åñêóþ ýêâèâàëåíòíîñòü ôîðìóë F = A ⇒
B è G =eA ∨ B.
Ðåøåíèå. Ñîñòàâèì èñòèííîñòíóþ òàáëèöó 2.1.4 äëÿ äàííûõ ôîðìóë.
5
Òàáëèöà 2.1.4.
Èíòåðïðåòàöèè
I1
I2
I3
I4
[A]
0
0
1
1
[B]
0
1
0
1
[F ] = [A ⇒ B]
1
1
0
1
[G] = [ eA ∨ B]
1
1
0
1
Èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ ôîðìóë F è G ñîâïàäàþò â êàæäîé èíòåðïðåòàöèè, ñëåäîâàòåëüíî, F = G.
Ïðèìåð 2.1.5. Ïðîâåðèì, ýêâèâàëåíòíû ëè ôîðìóëû, ïðåäñòàâëÿþùèå
ñëåäóþùèå âûñêàçûâàíèÿ:
F ={èíòåðíàöèîíàëèñò íå ìîæåò áûòü ôàøèñòîì},
G ={èíòåðíàöèîíàëèçì è ôàøèçì íåñîâìåñòèìû},
P ={îí èíòåðíàöèîíàëèñò èëè îí íå ôàøèñò},
Q ={ôàøèñò íå ìîæåò áûòü èíòåðíàöèîíàëèñòîì}.
Ðåøåíèå. Ïðåäñòàâèì êàæäîå âûñêàçûâàíèå ëîãè÷åñêîé ôîðìóëîé. Äëÿ
ýòîãî ââåäåì ñëåäóþùèå ïðîñòûå âûñêàçûâàíèÿ: A ={îí èíòåðíàöèîíàëèñò}, B ={îí ôàøèñò}. Òîãäà óñëîâèå ïðèìåðà ìîæåò áûòü ïåðåôîðìóëèðîâàíî òàê: ÿâëÿþòñÿ ëè ëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûìè ôîðìóëû
F = A ⇒eB,
G =e(A&B),
P = A∨eB,
Q = B ⇒eA?
Ñîñòàâèì èñòèííîñòíóþ òàáëèöó 2.1.5 äëÿ äàííûõ ôîðìóë. Èç òàáëèöû
íàõîäèì, ÷òî èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ ôîðìóë F, G, Q ñîâïàäàþò âî âñåõ
èíòåðïðåòàöèÿõ, ñëåäîâàòåëüíî, F = G = Q. Ôîðìóëà P èì íå ýêâèâàëåíòíà, ïîñêîëüêó íà èíòåðïðåòàöèè I2 åå èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå íå ñîâïàäàåò
ñ èñòèííîñòíûìè çíà÷åíèÿìè ôîðìóë F, G, Q.
Òàáëèöà 2.1.5.
Èíòåðïðåòàöèè
I1
I2
I3
I4
[A]
0
0
1
1
[B]
0
1
0
1
[F ] =
[A ⇒eB]
1
1
1
0
[G] =
[ e(A&B)]
1
1
1
0
[P ] =
[A∨eB]
1
0
1
1
[Q] =
[B ⇒eA]
1
1
1
0
Òàêèì îáðàçîì, ñ ââåäåíèåì ïîíÿòèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ôîðìóë ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü óïðîùåíèÿ ôîðìóëû, ò. å. ïðåîáðàçîâàíèå ôîðìóëû
â äðóãóþ, ýêâèâàëåíòíóþ èñõîäíîé è èìåþùóþ áîëåå ïðîñòîé âèä. Ïðè
6
ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è èñïîëüçóþòñÿ ïðèâîäèìûå íèæå ñâîéñòâà ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé íàä âûñêàçûâàíèÿìè. Ýòè ñâîéñòâà ïðèíÿòî íàçûâàòü ëîãè÷åñêèìè çàêîíàìè. Îáîçíà÷èì I òàâòîëîãèþ, O ïðîòèâîðå÷èå,
A, B, C ïðîèçâîëüíûå ôîðìóëû àëãåáðû âûñêàçûâàíèé. Òîãäà ñïðàâåäëèâû çàêîíû, ïðèâåäåííûå â òàáëèöå 2.1.6.
Òàáëèöà 2.1.6. Ëîãè÷åñêèå çàêîíû

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ñâîéñòâà
êîíúþíêöèè
Ñâîéñòâà
äèçúþíêöèè
Íàçâàíèÿ çàêîíîâ
çàêîí
èäåìïîòåíòíîñòè
A&B = B&A
A∨B = B ∨A
êîììóòàòèâíûé
çàêîí
(A&B)&C = A&(B&C) = (A∨B)∨C = A∨(B ∨C) =
àññîöèàòèâíûé
= A&B&C
= A∨B ∨C
çàêîí
A&(B ∨C) =
A ∨ B&C =
äèñòðèáóòèâíûé
= A&B ∨ A&C
= (A ∨ B)&(A ∨ C)
çàêîí
A&(B ∨(A&C)) =
A∨(B&(A ∨C)) =
ìîäóëÿðíûé
= A&B ∨ A&C
= (A ∨ B)&(A ∨ C)
çàêîí
çàêîíû äåéñòâèé
A&I = A, A&O = O
A∨ I = I, A∨ O = A
c òàâòîëîãèåé è
ïðîòèâîðå÷èåì
A&(A∨B) = A
A∨(A&B) = A
çàêîí ïîãëîùåíèÿ
A&A = A
A∨A = A
A&eA = O
çàêîí ïðîòèâîðå÷èÿ
A∨eA = I
çàêîí èñêëþ÷åííîãî
òðåòüåãî
e(eA) = A
e(A&B) =eA∨eB
e(A ∨ B) =eA&eB
11
A ⇒ B =eA ∨ B
12
A ⇔ B = (A&B) ∨ ( eA&eB )
çàêîíû äåéñòâèé
c îòðèöàíèåì
çàêîí äâîéíîãî
îòðèöàíèÿ
çàêîíû
äå Ìîðãàíà
çàêîí óäàëåíèÿ
èìïëèêàöèè
çàêîí óäàëåíèÿ
ýêâèâàëåíöèè
Ñïðàâåäëèâîñòü îñíîâíûõ çàêîíîâ 1 10 è âñïîìîãàòåëüíûõ 11 12
äîêàçûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ èñòèííîñòíûõ òàáëèö, òàê, â ïðèìåðå 2.1.4 ïðèâåäåíî äîêàçàòåëüñòâî çàêîíà óäàëåíèÿ èìïëèêàöèè.
Ïðèìåð 2.1.6. Óïðîñòèì ôîðìóëó F = C&B ∨ C&A&eB ∨ C&eA&eB.
Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî âñå ñëàãàåìûå â ëîãè÷åñêîé ñóììå èìåþò îáùèé
ëîãè÷åñêèé ìíîæèòåëü C . Èñïîëüçóåì äèñòðèáóòèâíûé çàêîí è âûíåñåì
7
âëåâî çà ñêîáêè C&. Ïîëó÷èì F = C&(B ∨ A&eB∨eA&eB).
Ïîâòîðèì ýòîò ïðèåì: îñòàâøèåñÿ â ñêîáêàõ âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìûå
èìåþò îáùèé ìíîæèòåëü eB . Âûíåñåì èç íèõ âïðàâî &eB , òîãäà
F = C&(B ∨ (A∨eA)&eB).
Ïðèìåíèì çàêîí èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî A∨eA = I è ïîëó÷èì
F = C&(B ∨ I&eB).
Ïðèìåíèì çàêîí äåéñòâèé ñ òàâòîëîãèåé I&eB =eB è çàêîí èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî B∨eB = I, ÷òî ïîçâîëèò îêîí÷àòåëüíî óïðîñòèòü ôîðìóëó:
F = C&(B∨eB) = C&I = C.
Ÿ 2.2.
Ëîãè÷åñêîå ñëåäñòâèå
Âåëèêèì äîñòèæåíèåì ÷åëîâå÷åñêîãî ðàçóìà ÿâëÿåòñÿ åãî âîçìîæíîñòü
äîáûâàòü íîâûå çíàíèÿ èç óæå èìåþùèõñÿ ïóòåì ëîãè÷åñêèõ ðàññóæäåíèé, íå òðåáóþùèõ äëèòåëüíîãî íàêîïëåíèÿ íàáëþäåíèé èëè îðãàíèçàöèè
äîðîãîñòîÿùèõ ýêñïåðèìåíòîâ. Â àëãåáðå âûñêàçûâàíèé ìåòîä, ñ ïîìîùüþ
êîòîðîãî èç âåðíûõ ïîñûëîê ïîëó÷àþò âåðíûå âûâîäû, ðåàëèçóåòñÿ â ïîíÿòèè ëîãè÷åñêîãî ñëåäñòâèÿ.
Ôîðìóëà R íàçûâàåòñÿ ëîãè÷åñêèì ñëåäñòâèåì ôîðìóë F1 , F2 , . . . , Fn ,
íàçûâàåìûõ ïîñûëêàìè èëè ãèïîòåçàìè, åñëè R èñòèííà â êàæäîé èíòåðïðåòàöèè, ãäå èñòèííû F1 , F2 , . . . , Fn . Îáû÷íî ýòîò ôàêò çàïèñûâàþò
ñëåäóþùèìè ñèìâîëàìè: F1 , F2 , . . . , Fn 7→ R èëè F1
F2
...
Fn
R
 îïðåäåëåíèè ëîãè÷åñêîãî ñëåäñòâèÿ ñîäåðæèòñÿ ïðàâèëî ëîãè÷åñêîãî
âûâîäà â àëãåáðå âûñêàçûâàíèé. Ýòî ïðàâèëî çàäàåò (n + 1)-ìåñòíîå îòíîøåíèå âûâîäà íà ìíîæåñòâå âñåõ ôîðìóë àëãåáðû âûñêàçûâàíèé. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë (F1 , F2 , . . . , Fn , R) óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó îòíîøåíèþ,
åñëè R åñòü ëîãè÷åñêîå ñëåäñòâèå ôîðìóë F1 , F2 , . . . , Fn , ÷òî ïðîâåðÿåòñÿ ñ
ïîìîùüþ èñòèííîñòíûõ òàáëèö ýòèõ ôîðìóë.
Ïðèìåð 2.2.1. Âåðíî ëè, ÷òî èç ïîñûëîê F1 ={â õîêêåé èãðàþò íàñòîÿùèå ìóæ÷èíû}, F2 ={òðóñ íå èãðàåò â õîêêåé}, F3 ={îí íå èãðàåò â
õîêêåé} ëîãè÷åñêèì ñëåäñòâèåì ÿâëÿåòñÿ âûñêàçûâàíèå R ={îí òðóñ}?
Ðåøåíèå. Ââåäåì ïðîñòåéøèå âûñêàçûâàíèÿ:
M ={îí íàñòîÿùèé ìóæ÷èíà, ò. å. íå òðóñ},
8
X ={îí èãðàåò â õîêêåé}.
Âûðàçèì ÷åðåç ýòè âûñêàçûâàíèÿ çàäàííûå ïîñûëêè è ïðåäïîëàãàåìîå
ñëåäñòâèå:
F1 = X ⇒ M, F2 =eM ⇒eX, F3 =eX, R =eM.
Ñîñòàâèì èñòèííîñòíóþ òàáëèöó 2.2.1 äëÿ ýòèõ ôîðìóë.
Òàáëèöà 2.2.1
Èíòåðïðåòàöèè [M ] [X]
I1
I2
I3
I4
0
0
1
1
0
1
0
1
[F1 ] =
[F2 ] =
[F3 ] =
[R] =
= [X ⇒ M ] [ eM ⇒eX] = [ eX] = [ eM ]
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
Íàéäåíû äâå èíòåðïðåòàöèè I1 è I3 , â êîòîðûõ èñòèííû âñå ïîñûëêè.
Íî â èíòåðïðåòàöèè I3 âûñêàçûâàíèå R ={îí òðóñ} îêàçàëîñü ëîæíûì.
Ñëåäîâàòåëüíî, â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ëîãè÷åñêîãî ñëåäñòâèÿ âûñêàçûâàíèå R íå ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêèì ñëåäñòâèåì èç äàííûõ ïîñûëîê.
 ñëó÷àå áîëüøîãî êîëè÷åñòâà ãèïîòåç èñïîëüçîâàíèå èñòèííîñòíûõ òàáëèö ôîðìóë äëÿ ïðîâåðêè âåðíîñòè ëîãè÷åñêîãî âûâîäà ñòàíîâèòñÿ âåñüìà
òðóäîåìêîé çàäà÷åé. Ðàññìîòðèì àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ âåðíîñòè ëîãè÷åñêîãî âûâîäà. Ýòîò ìåòîä îñíîâàí íà ïðèìåíåíèè ñëåäóþùèõ
òåîðåì.
Òåîðåìà 2.2.1 (Î ëîãè÷åñêîì ñëåäñòâèè). Ôîðìóëà R åñòü ëîãè÷åñêîå
ñëåäñòâèå ôîðìóë F1 , F2 , . . . , Fn òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôîðìóëà
F1 & . . . &Fn ⇒ R
(2.2.1)
ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé.
Äîêàçàòåëüñòâî íåîáõîäèìîñòè: Ïóñòü R ëîãè÷åñêîå ñëåäñòâèå ôîðìóë F1 , F2 , . . . , Fn . Äîêàæåì, ÷òî ôîðìóëà (2.2.1) òàâòîëîãèÿ. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì âñå âîçìîæíûå èíòåðïðåòàöèè è óáåäèìñÿ, ÷òî â êàæäîé
èç íèõ ôîðìóëà (2.2.1) èñòèííà. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì èíòåðïðåòàöèè, â
êîòîðûõ õîòÿ áû îäíà èç ïîñûëîê, íàïðèìåð Fk , ëîæíà, òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ êîíúþíêöèè ëîæíî ëîãè÷åñêîå ïðîèçâåäåíèå ïîñûëîê
F1 &F2 . . . &Fk . . . &Fn = O. Ïî îïðåäåëåíèþ èìïëèêàöèè ôîðìóëà O ⇒ R
èñòèííà ïðè ëþáîì èñòèííîñòíîì çíà÷åíèè R. Îòêóäà ôîðìóëà (2.2.1) èñòèííà âî âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ, â êîòîðûõ õîòÿ áû îäíà èç ïîñûëîê ëîæíà.
Òåïåðü ðàññìîòðèì èíòåðïðåòàöèè, â êîòîðûõ âñå ïîñûëêè èñòèííû. Â
íèõ ëîãè÷åñêîå ïðîèçâåäåíèå ïîñûëîê F1 & . . . &Fn = I (èñòèííî). Ôîðìóëà R òàêæå èñòèííà êàê ëîãè÷åñêîå ñëåäñòâèå èç èñòèííûõ ïîñûëîê. Ïî
9
îïðåäåëåíèþ èìïëèêàöèè I ⇒ I = I, îòêóäà ñëåäóåò èñòèííîñòü ôîðìóëû
(2.2.1) è â ýòèõ èíòåðïðåòàöèÿõ.
Èòàê, åñëè R ëîãè÷åñêîå ñëåäñòâèå, òî ôîðìóëà (2.2.1) èñòèííà â ëþáîé èíòåðïðåòàöèè, ò.å. îíà ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé.
Äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè:
Ïóñòü ôîðìóëà (2.2.1) òàâòîëîãèÿ. Äîêàæåì, ÷òî òîãäà ôîðìóëà R
åñòü ëîãè÷åñêîå ñëåäñòâèå ïîñûëîê F1 , F2 , . . . , Fn .
Êàê òàâòîëîãèÿ ôîðìóëà (2.2.1) èñòèííà â ëþáîé èíòåðïðåòàöèè. Ïî
îïðåäåëåíèþ èìïëèêàöèè ôîðìóëà (F1 & . . . &Fn ) ⇒ R (ò. å. ôîðìóëà (2.2.1)) èñòèííà â òðåõ ñëó÷àÿõ:
1) [F1 & . . . &Fn ] = 0, [R] = 0;
2) [F1 & . . . &Fn ] = 0, [R] = 1;
3) [F1 & . . . &Fn ] = 1, [R] = 1.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî R ëîãè÷åñêîå ñëåäñòâèå èñõîäíûõ ãèïîòåç, íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî ñëó÷àé, ãäå âñå ïîñûëêè F1 , F2 , . . . , Fn èñòèííû
(òðåòèé ñëó÷àé). Íî â òðåòüåì ñëó÷àå èç èñòèííîñòè èìïëèêàöèè è âñåõ ïîñûëîê âûòåêàåò èñòèííîñòü è ôîðìóëû R. Çíà÷èò, âî âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ,
ãäå èñòèííû ïîñûëêè F1 , F2 , . . . , Fn , èñòèííà è ôîðìóëà R. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ ëîãè÷åñêîãî ñëåäñòâèÿ ïîëó÷èì, ÷òî R åñòü ëîãè÷åñêîå ñëåäñòâèå
ôîðìóë F1 , F2 , . . . , Fn .
Òåîðåìà 2.2.2 (Î ëîãè÷åñêîì ñëåäñòâèè). Ôîðìóëà R åñòü ëîãè÷åñêîå
ñëåäñòâèå ôîðìóë F1 , F2 , . . . , Fn òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôîðìóëà
F1 & . . . &Fn &eR
(2.2.2)
ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîðå÷èåì.
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò èç òåîðåìû 2.2.1 è òîãî ôàêòà,
÷òî ôîðìóëà (2.2.2) åñòü îòðèöàíèå ôîðìóëû (2.2.1), ò. å.
F1 & . . . &Fn &eR =e(F1 & . . . &Fn ⇒ R).
Ïðèìåð 2.2.2. Íà ðûíêå òðàíñïîðòíûõ óñëóã ñîòðóäíè÷àþò òðè ôèðìû,
êîòîðûå çàêëþ÷èëè ñëåäóþùèå ñîãëàøåíèÿ, ðåãëàìåíòèðóþùèå èçìåíåíèÿ
èõ ðàñöåíîê íà óñëóãè:
1. åñëè âòîðàÿ ôèðìà èçìåíèò ðàñöåíêè, òî òðåòüÿ èõ òàêæå èçìåíÿåò;
2. åñëè âòîðàÿ ôèðìà íå èçìåíèò ðàñöåíêè, òî ïåðâàÿ èõ òàêæå íå ìåíÿåò.
10
Èçâåñòíî, ÷òî â íåêîòîðûé äåíü â òðåòüåé ôèðìå ìîæíî áûëî îïëàòèòü
óñëóãè ïî ïðåæíåé öåíå. Èçìåíèëà ëè ñâîè ðàñöåíêè â ýòîò äåíü ïåðâàÿ
ôèðìà?
Ðåøåíèå. Ââåäåì ïðîñòåéøèå âûñêàçûâàíèÿ: An = {n-àÿ ôèðìà èçìåíèëà ñâîè ðàñöåíêè â ýòîò äåíü}, ãäå n = 1, 2, 3. Òîãäà ïîñûëêè è ïðåäïîëàãàåìîå ñëåäñòâèå ìîãóò áûòü çàïèñàíû ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè:
F1 = A2 ⇒ A3 , F2 =eA2 ⇒ A1 , F3 =eA3 , R =eA1 . Äëÿ èññëåäîâàíèÿ âåðíîñòè
ëîãè÷åñêîãî âûâîäà âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé 2.2.2. Ñîñòàâèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôîðìóëó F âèäà (2.2.2). Åñëè ýòà ôîðìóëà îêàæåòñÿ ïðîòèâîðå÷èåì,
òî ïî òåîðåìå 2.2.2 ïîëó÷èì, ÷òî R ëîãè÷åñêîå ñëåäñòâèå èñõîäíûõ ãèïîòåç.
F = F1 &F2 &F3 &eR = (A2 ⇒ A3 )&( eA2 ⇒eA1 )&eA3 &e(eA1 ).
Óïðîñòèì ýòó ôîðìóëó, ïðèìåíÿÿ ëîãè÷åñêèå çàêîíû.
¢
¡
¢ ¡
F = ( eA2 ∨A3 )&(A2 ∨eA1 )&eA3 &A1 = ( eA2 ∨A3 )&eA3 & (A2∨eA1 )&A1 =
= ( eA2 &eA3 )&(A2 &A1 ) = ( eA2 &A2 )&eA3 &A1 = O&eA3 &A1 = O.
Ôîðìóëà F îêàçàëàñü ïðîòèâîðå÷èåì, òîãäà R ëîãè÷åñêîå ñëåäñòâèå
èñõîäíûõ ïîñûëîê è â ýòîò äåíü ïåðâàÿ ôèðìà ñâîèõ ðàñöåíîê íå ìåíÿëà.
Ñóùåñòâóþò óñòîÿâøèåñÿ ôîðìû ëîãè÷åñêèõ ðàññóæäåíèé, â êîòîðûõ
èç èñòèííûõ ïîñûëîê (ãèïîòåç) ïîëó÷àþòñÿ èñòèííûå çàêëþ÷åíèÿ. Òàêèå
ñïîñîáû ðàññóæäåíèÿ íàçûâàþòñÿ ñèëëîãèçìàìè. Ñ÷èòàþò, ÷òî âïåðâûå
ñèëëîãèçìû ñèñòåìàòèçèðîâàë Àðèñòîòåëü. Ôàêòè÷åñêè ñèëëîãèçì ýòî
ñîâîêóïíîñòü ãèïîòåç è ëîãè÷åñêîãî ñëåäñòâèÿ èç íèõ. Ñïîñîá çàïèñè ñèëëîãèçìà òàêîé æå, êàê ëîãè÷åñêîãî ñëåäñòâèÿ.
Îòìåòèì ÷åòûðå íàèáîëåå èçâåñòíûõ ñèëëîãèçìà.
• Modus ponens (ñïîñîá ñïóñêà):
P ⇒Q
P
Q .
Äîêàçàòåëüñòâî ïî òåîðåìå 2.2.2 î ëîãè÷åñêîì ñëåäñòâèè:
F = (P ⇒ Q)&P &eQ = ( eP ∨Q)&P &eQ = ( eP &P ∨Q&P )&eQ =
= (Î ∨Q&P )&eQ = Q&P &eQ = Î.
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàþòñÿ ñëåäóþùèå ñèëëîãèçìû:
11
• Modus tollens (ñïîñîá îòðèöàíèÿ):
P ⇒Q
eQ
eP .
• Äèçúþíêòèâíûé ñèëëîãèçì :
P ∨Q
eP
Q .
• Ãèïîòåòè÷åñêèé ñèëëîãèçì (òðàíçèòèâíîñòü èìïëèêàöèè):
P ⇒Q
Q⇒U
P ⇒U .
Òåîðåìîé â àëãåáðå âûñêàçûâàíèé íàçûâàåòñÿ òàâòîëîãèÿ âèäà:
F1 & . . . &Fn ⇒ R .
(2.2.3)
Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà âèäà (2.2.3) ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé, îçíà÷àåò äîêàçàòü, ÷òî äàííàÿ ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé.
Èç ïðèâåäåííûõ âûøå ñèëëîãèçìîâ ïî òåîðåìå 2.2.1 î ëîãè÷åñêîì ñëåäñòâèè ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå òåîðåìû:
1. (P ⇒ Q)&P ⇒ Q;
2. (P ⇒ Q)&eQ ⇒eP ;
3. (P ∨ Q)&eP ⇒ Q;
4. (P ⇒ Q)&(Q ⇒ U ) ⇒ (P ⇒ U ).
Ÿ 2.3.
Äèçúþíêòèâíàÿ è êîíúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíûå
ôîðìû ôîðìóë
 ýòîì ïàðàãðàôå áóäåò ðàññìîòðåí ñïåöèàëüíûé âèä çàïèñè ôîðìóë
àëãåáðû âûñêàçûâàíèé, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ìû íàó÷èìñÿ ïî çàäàííîé èñòèííîñòíîé òàáëèöå ôîðìóëû íàõîäèòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ôîðìóëó àëãåáðû âûñêàçûâàíèé.
12
Ýëåìåíòàðíîé êîíúþíêöèåé íàçûâàåòñÿ ôîðìóëà, ñîäåðæàùàÿ ïðîïîçèöèîíàëüíûå áóêâû èëè èõ îòðèöàíèÿ, ñîåäèíåííûå òîëüêî ëîãè÷åñêîé
ñâÿçêîé êîíúþíêöèè (&).
Çàðåçåðâèðóåì äëÿ îáîçíà÷åíèÿ òàêèõ ôîðìóë áóêâó K. Íàïðèìåð,
K = A&eB&C&B ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ.
Äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé (ÄÍÔ) íàçûâàåòñÿ äèçúþíêöèÿ
íåñêîëüêèõ ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé, ò. å. ôîðìóëà âèäà
F = K1 ∨ K2 ∨ . . . ∨ Km , ãäå m ≥ 1.
Ýëåìåíòàðíîé äèçúþíêöèåé íàçûâàåòñÿ ôîðìóëà, ñîäåðæàùàÿ ïðîïîçèöèîíàëüíûå áóêâû èëè èõ îòðèöàíèÿ, ñîåäèíåííûå òîëüêî ëîãè÷åñêîé
ñâÿçêîé äèçúþíêöèè (∨).
Çàðåçåðâèðóåì äëÿ îáîçíà÷åíèÿ òàêèõ ôîðìóë áóêâó D. Íàïðèìåð,
D =eB∨eA ∨ C ýëåìåíòàðíàÿ äèçúþíêöèÿ.
Êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé (ÊÍÔ) íàçûâàåòñÿ êîíúþíêöèÿ
íåñêîëüêèõ ýëåìåíòàðíûõ äèçúþíêöèé, ò. å. ôîðìóëà âèäà
S = D1 &D2 & . . . &Dm , ãäå m ≥ 1.
Çàìå÷àíèå. Äîãîâîðèìñÿ ñ÷èòàòü ëþáóþ áóêâó èëè åå îòðèöàíèå åäèíè÷íîé ýëåìåíòàðíîé êîíúþíêöèåé èëè åäèíè÷íîé ýëåìåíòàðíîé äèçúþíêöèåé ïî êîíòåêñòó.
Òîãäà ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ íåñêîëüêèõ áóêâ èëè èõ îòðèöàíèé
ìîæíî ñ÷èòàòü ÊÍÔ, à ýëåìåíòàðíóþ äèçúþíêöèþ íåñêîëüêèõ áóêâ èëè
èõ îòðèöàíèé ìîæíî ñ÷èòàòü ÄÍÔ.
Ïðèìåð 2.3.1. Ôîðìóëà F = A&eB ∨C&A çàïèñàíà â ÄÍÔ.
Ôîðìóëà S = eA&(B ∨ A)&( eB ∨ C ∨eC) çàïèñàíà â ÊÍÔ.
Ôîðìóëó A∨ eB ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÄÍÔ, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ
åäèíè÷íûõ ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé, èëè êàê ÊÍÔ, ñîñòîÿùóþ èç îäíîé
äèçúþíêöèè.
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ñâÿçîê (ëîãè÷åñêèå çàêîíû),
ìîæíî âñÿêóþ ôîðìóëó àëãåáðû âûñêàçûâàíèé ïðèâåñòè ê ÄÍÔ èëè ê
ÊÍÔ, ò. å. ïîñòðîèòü òàêóþ öåïî÷êó ëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûõ ôîðìóë,
â êîòîðîé ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà èìååò âèä ÄÍÔ èëè ÊÍÔ. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèé ïî ïðèâåäåíèþ èñõîäíîé ôîðìóëû ê íîðìàëüíîé ôîðìå è
ðåêîìåíäóåìûå ëîãè÷åñêèå çàêîíû ïðèâåäåíû â òàáëèöå 2.3.1.
13
Òàáëèöà 2.3.1. Àëãîðèòì ïðèâåäåíèÿ ôîðìóëû ê íîðìàëüíîé ôîðìå
 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèé Ðåêîìåíäóåìûå ëîãè÷åñêèå çàêîíû
1 Óäàëèòü ⇒ è ⇔
A ⇔ B = A &B ∨ eA & eB
2
3
A ⇒ B =eA ∨ B
Äîíåñòè îòðèöàíèå äî àòîìîâ e( eA) = A
e(A & B) = eA ∨ eB
e(A ∨ B) = eA & eB
Ïðèâåñòè áëîêè ôîðìóëû ê
A & (B ∨ C) = A & B ∨ A & C
ÄÍÔ èëè ê ÊÍÔ, èñïîëüçóÿ A ∨ (B & C) = (A ∨ B)&(A ∨ C)
äèñòðèáóòèâíûå çàêîíû
Ïðèìåð 2.3.2. Ïðèâåäåì ôîðìóëó F = (P ∨ eQ) ⇒ R ñíà÷àëà ê ÄÍÔ,
çàòåì ê ÊÍÔ.
Ðåøåíèå.
1) F = e(P ∨ eQ)∨R = eP & eeQ ∨ R = eP & Q ∨ R . Ïîëó÷åíà äèçúþíêöèÿ
äâóõ ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé K1 = eP & Q è K2 = R, ò. å. ÄÍÔ.
2) F = e(P ∨ eQ) ∨ R = eP & Q ∨ R = ( eP ∨ R)&(Q ∨ R). Ïîëó÷åíà
êîíúþíêöèÿ ýëåìåíòàðíûõ äèçúþíêöèé, ò. å. ÊÍÔ.
Òåîðåìà 2.3.1 (Êðèòåðèè ïðîòèâîðå÷èÿ äëÿ ÄÍÔ ). Ôîðìóëà F â àëãåáðå âûñêàçûâàíèé, ïðåäñòàâëåííàÿ â ÄÍÔ, ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîðå÷èåì òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäàÿ ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ â ÄÍÔ ñîäåðæèò
íåêîòîðóþ áóêâó âìåñòå ñ åå îòðèöàíèåì.
Ïðîèëëþñòðèðóåì ñëåäóþùèì ïðèìåðîì ïðèìåíåíèå äàííîé òåîðåìû ê
çàäà÷å ïîèñêà ëîãè÷åñêîãî ñëåäñòâèÿ.
Ïðèìåð 2.3.3. Íà âîïðîñ "Êòî èç òðîèõ ñòóäåíòîâ èçó÷àë ëîãèêó?" ïîëó÷åíû îòâåòû: "Åñëè 1-é ñòóäåíò èçó÷àë ëîãèêó, òî 3-é òîæå", "Íåâåðíî,
÷òî åñëè ëîãèêó èçó÷àë 2-é ñòóäåíò, òî èçó÷àë è 3-é". Êòî æå èç ñòóäåíòîâ
èçó÷àë ëîãèêó?
Ðåøåíèå. Ââåäåì ïðîñòåéøèå âûñêàçûâàíèÿ Ui = {i-é ñòóäåíò èçó÷àë ëîãèêó}, òîãäà ïîñûëêè ïðèìóò âèä: F1 = U1 ⇒ U3 , F2 =e(U2 ⇒ U3 ).
Íàäî ïîäîáðàòü íîìåð i òàê, ÷òîáû ôîðìóëà R = Ui áûëà ëîãè÷åñêèì
ñëåäñòâèåì ôîðìóë F1 è F2 .
Ïî òåîðåìå 2.2.2 î ëîãè÷åñêîì ñëåäñòâèè ñîñòàâèì âñïîìîãàòåëüíóþ
ôîðìóëó F = F1 &F2 &eR = (U1 ⇒ U3 )&e(U2 ⇒ U3 )&eUi , êîòîðàÿ äîëæíà
áûòü ïðîòèâîðå÷èåì ïðè íåêîòîðîì íîìåðå i. Ïðèâåäåì ýòó ôîðìóëó ê
ÄÍÔ:
F = ( eU1 ∨ U3 )&e( eU2 ∨ U3 )&eUi = ( eU1 ∨ U3 )&U2 &eU3 &eUi =
= ( eU1 &U2 &eU3 &eUi ) ∨ (U3 &U2 &eU3 &eUi ).
14
Ðàññìîòðèì ïåðâóþ ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ. Òîëüêî ïðè i = 2 îíà
áóäåò ñîäåðæàòü áóêâó U2 è åå îòðèöàíèå eU2 . Âòîðàÿ ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ ñîäåðæèò áóêâó U3 è åãî îòðèöàíèå eU3 . Ïî òåîðåìå 2.3.1 (êðèòåðèþ ïðîòèâîðå÷èÿ äëÿ ÄÍÔ) âñïîìîãàòåëüíàÿ ôîðìóëà F áóäåò ïðîòèâîðå÷èåì òîëüêî ïðè R = U2 . Ñîîòâåòñòâåííî ôîðìóëà U2 áóäåò ëîãè÷åñêèì
ñëåäñòâèåì ôîðìóë F1 è F2 , è â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè ëîãèêó ìîã
èçó÷àòü òîëüêî âòîðîé ñòóäåíò.
ÄÍÔ íàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííîé (ÑÄÍÔ), åñëè êàæäàÿ ýëåìåíòàðíàÿ
êîíúþíêöèÿ ñîäåðæèò âñå âõîäÿùèå â ôîðìóëó ïðîïîçèöèîíàëüíûå áóêâû
ðîâíî ïî îäíîìó ðàçó ëèáî ñ îòðèöàíèåì, ëèáî áåç íåãî.
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ÑÊÍÔ.
Íàïðèìåð, ôîðìóëà P &Q ∨eP &Q ∨ P &eQ ïðåäñòàâëåíà â ÑÄÍÔ. Ôîðìóëà (P ∨eQ)&( eP ∨ Q) ïðåäñòàâëåíà â ÑÊÍÔ.
Òåîðåìà 2.3.2 (Î ïðåäñòàâëåíèè ôîðìóëû â ñîâåðøåííîé íîðìàëüíîé
ôîðìå ).
1. Âñÿêàÿ ôîðìóëà àëãåáðû âûñêàçûâàíèé, íå ÿâëÿþùàÿñÿ ïðîòèâîðå÷èåì, åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâèìà â ÑÄÍÔ.
2. Âñÿêàÿ ôîðìóëà F , íå ÿâëÿþùàÿñÿ òàâòîëîãèåé, åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâèìà â ÑÊÍÔ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1. Ïóñòü íåêîòîðàÿ ôîðìóëà F àëãåáðû âûñêàçûâàíèé ñîäåðæèò n ðàçëè÷íûõ áóêâ A1 , . . . , An . Èñòèííîñòíàÿ òàáëèöà ýòîé ôîðìóëû èìååò
2n ñòðîê (ïî ÷èñëó ðàçëè÷íûõ èíòåðïðåòàöèé). Åñëè F íå ïðîòèâîðå÷èå, òî â õîòÿ áû îäíîé èíòåðïðåòàöèè ôîðìóëà èñòèííà, è â ñîîòâåòñòâóþùåé ñòðîêå òàáëèöû [F ] = 1.
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ÑÄÍÔ ïî èñòèííîñòíîé òàáëèöå ôîðìóëû.
Øàã 1. Âûäåëèì ñòðîêè òàáëèöû, ãäå [F ] = 1.
Øàã 2. Êàæäîé òàêîé ñòðîêå ñîïîñòàâèì ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ,
ñîäåðæàùóþ âñå ïðîïîçèöèîíàëüíûå áóêâû, ïðè÷åì áóêâà Ai âõîäèò
áåç îòðèöàíèÿ, åñëè [Ai ] = 1, èëè æå ñ îòðèöàíèåì eAi , åñëè [Ai ] = 0.
Øàã 3. Ñîñòàâèì äèçúþíêöèþ âñåõ ïîëó÷åííûõ êîíúþíêöèé, êîòîðàÿ
è ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé ÑÄÍÔ ôîðìóëû F.
Îáîñíîâàíèå àëãîðèòìà: Êàæäàÿ ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ èñòèííà
òîëüêî â èíòåðïðåòàöèè, ñîîòâåòñòâóþùåé "ñâîåé" ñòðîêå. Äèçúþíêöèÿ òàêèõ êîíúþíêöèé èñòèííà â òåõ è òîëüêî òåõ èíòåðïðåòàöèÿõ, â
15
êîòîðûõ èñòèííà èñõîäíàÿ ôîðìóëà. Çíà÷èò, ïîñòðîåííàÿ ÑÄÍÔ ëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà èñõîäíîé ôîðìóëå. Åäèíñòâåííîñòü ÑÄÍÔ òàêæå
ñëåäóåò èç àëãîðèòìà.
2. Ïóñòü íåêîòîðàÿ ôîðìóëà F àëãåáðû âûñêàçûâàíèé ñîäåðæèò n ðàçëè÷íûõ áóêâ A1 , . . . , An . Åñëè F íå òàâòîëîãèÿ, òî â õîòÿ áû îäíîé
èíòåðïðåòàöèè ôîðìóëà ëîæíà, â ñîîòâåòñòâóþùåé ñòðîêå èñòèííîñòíîé òàáëèöû [F ] = 0.
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ÑÊÍÔ ïî èñòèííîñòíîé òàáëèöå ôîðìóëû.
Øàã 1. Âûäåëèì ñòðîêè òàáëèöû, ãäå [F ] = 0.
Øàã 2. Êàæäîé òàêîé ñòðîêå ñîïîñòàâèì ýëåìåíòàðíóþ äèçúþíêöèþ,
ñîäåðæàùóþ âñå ïðîïîçèöèîíàëüíûå áóêâû, ïðè÷åì áóêâà Ai âõîäèò
áåç îòðèöàíèÿ, åñëè [Ai ] = 0, èëè æå ñ îòðèöàíèåì eAi , åñëè [Ai ] = 1.
Øàã 3. Ñîñòàâèì êîíúþíêöèþ âñåõ ïîëó÷åííûõ äèçúþíêöèé, êîòîðàÿ
è ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé ÑÊÍÔ ôîðìóëû F.
Îáîñíîâàíèå àëãîðèòìà àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó.
Ïðèìåð 2.3.4. Ïîñòðîèì ôîðìóëó F àëãåáðû âûñêàçûâàíèé, ðåàëèçóþùóþ âûïîëíåíèå êîìàíäû: "if A then B else C ".
Ðåøåíèå. Ñîñòàâèì èñòèííîñòíóþ òàáëèöó 2.3.1 èñêîìîé ôîðìóëû
Òàáëèöà 2.3.1
Èíòåðïðåòàöèè
I1
I2
I3
I4
I5
I6
I7
I8
[A]
0
0
0
0
1
1
1
1
[B]
0
0
1
1
0
0
1
1
[C]
0
1
0
1
0
1
0
1
[F ]
0
1
0
1
0
0
1
1
Ñîñòàâèì äèçúþíêòèâíóþ ôîðìó ýòîé ôîðìóëû, èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííûé âûøå àëãîðèòì.
1. Âûäåëèì ñòðîêè, ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåðïðåòàöèÿì I2 , I4 , I7 , I8 , ãäå
[F ] = 1.
2. Êàæäîé òàêîé ñòðîêå ñîïîñòàâèì ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ: K2 =
eA&eB&C, K4 =eA&B&C, K7 = A&B&eC, K8 = A&B&C. Ýòè êîíúþíêöèè èñòèííû òîëüêî â "ñâîèõ" èíòåðïðåòàöèÿõ.
16
3. Ñîñòàâèì äèçúþíêöèþ ýòèõ êîíúþíêöèé:
F = eA&eB&C ∨ eA&B&C ∨ A&B&eC ∨ A&B&C.
Óïðîñòèâ ïîëó÷åííóþ ôîðìóëó:
F = eA&C( eB ∨ B) ∨ A&B( eC ∨ C) = A&B ∨ eA&C,
íàéäåì ñëåäóþùèé âèä ôîðìóëû F = A&B ∨ eA&C, êîòîðàÿ ðåàëèçóåò âûïîëíåíèå
êîìàíäû
"if
A
then
B
else
C ",
çàäàííîé
òàáëèöåé 2.3.1.
Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà 2.3.2 ãàðàíòèðóåò, ÷òî ïî ëþáîé èñòèííîñòíîé
òàáëèöå ìîæíî ïîñòðîèòü ôîðìóëó àëãåáðû âûñêàçûâàíèé, ïðè÷åì èç ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ñâÿçîê â ýòó ôîðìóëó ìîãóò âõîäèòü òîëüêî e, &, ∨. Âîçíèêàåò âîïðîñ, à ìîæíî ëè ñîêðàòèòü ÷èñëî èñïîëüçóåìûõ ñâÿçîê. ×òîáû
ðàçîáðàòüñÿ, ââåäåì ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ.
Íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ñâÿçîê íàçûâàåòñÿ ïîëíîé
ñèñòåìîé ñâÿçîê, åñëè ïî ëþáîé èñòèííîñòíîé òàáëèöå ìîæíî ñîñòàâèòü
ñîîòâåòñòâóþùóþ ôîðìóëó ëîãèêè âûñêàçûâàíèé ñ ïîìîùüþ òîëüêî ýòèõ
ñâÿçîê.
Íàïðèìåð, îñíîâíàÿ ñèñòåìà ñâÿçîê { e, &, ∨} ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé. Ïðèâåäåì íåêîòîðûå èç äðóãèõ ïîëíûõ ñèñòåì ñâÿçîê.
Òåîðåìà 2.3.3 (Î ïîëíûõ ñèñòåìàõ ñâÿçîê ). Ñëåäóþùèå ñèñòåìû ñâÿçîê
ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè:
1){ e, ⇒};
2){ e, ∨};
3){ e, &}.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû 2.3.2 ñëåäóåò, ÷òî ïî ëþáîé èñòèííîñòíîé
òàáëèöå ìîæíî ïîñòðîèòü ôîðìóëó àëãåáðû âûñêàçûâàíèé, ïðè÷åì èç ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ñâÿçîê â ýòó ôîðìóëó ìîãóò âõîäèòü òîëüêî e, &, ∨. Ñ ïîìîùüþ çàêîíà óäàëåíèÿ èìïëèêàöèè eA ∨ B = A ⇒ B èçáàâèìñÿ îò ñâÿçîê &, ∨:
A ∨ B =eeA ∨ B = eA ⇒ B;
A&B =e( eA∨eB) =e(A ⇒eB).
Ïîñëå ýòîãî â ôîðìóëå îñòàëèñü ñâÿçêè {e, ⇒}. Äâà îñòàëüíûõ óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû äîêàçûâàþòñÿ àíàëîãè÷íî.
Ïðèìåð 2.3.5. Çàïèøåì ñ ïîìîùüþ ñâÿçîê {e, ⇒} ôîðìóëó F = A ∨
B&(A ∨ C).
Óäàëèì ñâÿçêó ∨, ïîëó÷èì F = eA ⇒ B & ( eA ⇒ C). Çàòåì óäàëèì
ñâÿçêó &, ïîëó÷èâ îêîí÷àòåëüíî F = eA ⇒e(B ⇒e( eA ⇒ C)).
17
Ÿ 2.4.
Ëîãèêà ïðåäèêàòîâ
Ëîãèêà ïðåäèêàòîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçâèòèå ëîãèêè âûñêàçûâàíèé.
Òàê æå, êàê è ëîãèêà âûñêàçûâàíèé, ëîãèêà ïðåäèêàòîâ ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé: àëãåáðû ïðåäèêàòîâ è îáîáùàþùåé åå ôîðìàëüíîé àêñèîìàòè÷åñêîé
òåîðèè èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ.
Ïîíÿòèÿ ëîãè÷åñêîãî âûñêàçûâàíèÿ ñòàíîâèòñÿ íåäîñòàòî÷íûì ïðè ïåðåõîäå ê ðàññìîòðåíèþ àáñòðàêòíûõ ñóæäåíèé.  äåéñòâèòåëüíîñòè ìû
÷àñòî ñòàëêèâàåìñÿ ñ ïðåäëîæåíèÿìè, ñîäåðæàùèìè íåîïðåäåëåííûå îáúåêòû, ïðè÷åì èñòèííîñòü èëè ëîæíîñòü òàêèõ ïðåäëîæåíèé ìîæåò áûòü
âûÿñíåíà òîëüêî ïîñëå ïîäñòàíîâêè âìåñòî íåîïðåäåëåííûõ îáúåêòîâ èõ
äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé. Íàïðèìåð, óòâåðæäåíèå "ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ
ãîðîäàìè áîëüøå 300 êì" ñòàíîâèòñÿ èñòèííûì èëè ëîæíûì âûñêàçûâàíèåì òîëüêî ïîñëå ïîäñòàíîâêè â íåãî íàçâàíèé äâóõ êîíêðåòíûõ ãîðîäîâ.
×òîáû îõâàòèòü ñëó÷àè ïîäîáíîãî ðîäà, â ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå ïðåäèêàòà.
Ïóñòü D íåêîòîðîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî, ýëåìåíòû êîòîðîãî áóäåì
íàçûâàòü ïðåäìåòàìè è îáîçíà÷àòü ñòðî÷íûìè áóêâàìè a, b, . . .. Ïóñòü x
ïåðåìåííàÿ, ïðèíèìàþùàÿ ñâîè çíà÷åíèÿ â îáëàñòè D. Áóäåì íàçûâàòü x
ïðåäìåòíîé ïåðåìåííîé.
Îäíîìåñòíûì ïðåäèêàòîì P (x) íàçûâàåòñÿ òàêîå âûðàæåíèå, ñîäåðæàùåå ïðåäìåòíóþ ïåðåìåííóþ x, êîòîðîå ïðè çàìåíå x íà ëþáîé ïðåäìåò
a ∈ D ñòàíîâèòñÿ âûñêàçûâàíèåì P (a).
Òàêèì îáðàçîì, îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò P (x) ÿâëÿåòñÿ âûñêàçûâàòåëüíîé ôóíêöèåé ïðåäìåòíîé ïåðåìåííîé x ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D.
Ïðèìåð 2.4.1. Îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò P (x) = {x < 0} çàäàí íà ìíîæåñòâå öåëûõ ÷èñåë Z. Ïðè x = 3 îí ñòàíîâèòñÿ ëîæíûì âûñêàçûâàíèåì
P (3) = {3 < 0}. Ïðè X = −5 âûñêàçûâàíèå P (−5) = {−5 < 0} èñòèííîå.
Ãîâîðÿò, ÷òî ïðåäìåò a èç D óäîâëåòâîðÿåò ïðåäèêàòó P (x), åñëè âûñêàçûâàíèå P (a) èñòèííîå, ò. å. åãî èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå [P (a)] = 1.
Íàçîâåì n-ìåñòíûì ïðåäèêàòîì ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D âûðàæåíèå P (x1 , . . . , xn ), êîòîðîå ïðè çàìåíå ïðåäìåòíûõ ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn
ëþáûìè ïðåäìåòàìè a1 , . . . , an èç D ñòàíîâèòñÿ âûñêàçûâàíèåì. Òî åñòü
n-ìåñòíûé ïðåäèêàò ÿâëÿåòñÿ âûñêàçûâàòåëüíîé ôóíêöèåé n ïðåäìåòíûõ
ïåðåìåííûõ ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D.
Âûñêàçûâàíèÿ áóäåì ñ÷èòàòü íóëüìåñòíûìè ïðåäèêàòàìè. Îíè ÿâëÿþòñÿ àíàëîãîì ïîñòîÿííîé ôóíêöèè.
Ïðèìåð 2.4.2. Íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N çàäàí òðåõìåñòíûé
ïðåäèêàò P (x1 , x2 , x3 ) = {x1 åñòü îáùèé äåëèòåëü x2 è x3 }. Ïðè x1 = 3,
x2 = 15, x3 = 6 âûñêàçûâàíèå P (3, 15, 6) = {3 åñòü îáùèé äåëèòåëü 15 è 6}
18
èñòèííîå.
Îòìåòèì, ÷òî êàæäûé n-ìåñòíûé ïðåäèêàò P (x1 , . . . , xn ) çàäàåò íà ìíîæåñòâå D n-ìåñòíîå îòíîøåíèå R òàêîå, ÷òî (a1 , . . . , an ) ∈ R òîëüêî åñëè
[P (a1 , . . . , an )] = 1. Âåðíî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: êàæäîìó n-ìåñòíîìó
îòíîøåíèþ R íà ìíîæåñòâå D ñîîòâåòñòâóåò n-ìåñòíûé ïðåäèêàò
P (x1 , . . . , xn ) òàêîé, ÷òî [P (a1 , . . . , an )] = 1 òîëüêî åñëè (a1 , . . . , an ) ∈ R.
Ïðèìåð 2.4.3. Íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå D = {1, 2, 3} çàäàí äâóìåñòíûé
ïðåäèêàò P (x, y) = {0 < x−y < 3}. Çàïèøåì â òàáëèöó 2.4.1. èñòèííîñòíûå
çíà÷åíèÿ âûñêàçûâàíèé, ïîëó÷åííûõ ïðè âñåâîçìîæíûõ ïîäñòàíîâêàõ â
ïðåäèêàò ïðåäìåòíûõ ïåðåìåííûõ èç D.
Òàáëèöà 2.4.1
x
1
1
1
2
2
y
1
2
3
1
2
[P (x, y)]
0
0
0
1
0
x
2
3
3
3
y
3
1
2
3
[P (x, y)]
0
1
1
0
Èç äåâÿòè âîçìîæíûõ ïîäñòàíîâîê òîëüêî òðè óäîâëåòâîðÿþò äàííîìó ïðåäèêàòó, çàäàþùåìó íà D îòíîøåíèå P = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}.
Îïðåäåëèì îïåðàöèè íàä îäíîìåñòíûìè ïðåäèêàòàìè, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ïîëó÷àþòñÿ íîâûå ïðåäèêàòû.
• Îòðèöàíèåì ïðåäèêàòà P (x) ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D íàçûâàåòñÿ
ïðåäèêàò eP (x), îïðåäåëåííûé íà òîì æå ìíîæåñòâå D è òàêîé, ÷òî
äëÿ âñåõ ïðåäìåòîâ a ∈ D èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå [ eP (a)] = 1 − [P (a)].
• Êîíúþíêöèåé ïðåäèêàòîâ P (x) è Q(x), îïðåäåëåííûõ íà îáùåì ìíîæåñòâå D, íàçûâàåòñÿ ïðåäèêàò P (x)&Q(x), òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ ïðåäìåòîâ a ∈ D èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå [P (a)&Q(a)] = min{[P (a)], [Q(a)]}.
• Äèçúþíêöèåé ïðåäèêàòîâ P (x) è Q(x), îïðåäåëåííûõ íà îáùåì ìíîæåñòâå D, íàçûâàåòñÿ ïðåäèêàò P (x) ∨ Q(x), òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ ïðåäìåòîâ a ∈ D èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå [P (a)∨Q(a)] = max{[P (a)], [Q(a)]}.
• Èìïëèêàöèåé ñ ïîñûëêîé P (x) è çàêëþ÷åíèåì Q(x) ïðåäèêàòîâ, îïðåäåëåííûõ íà îáùåì ìíîæåñòâå D, íàçûâàåòñÿ ïðåäèêàò P (x) ⇒ Q(x),
òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ ïðåäìåòîâ a ∈ D èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå
[P (a) ⇒ Q(a)] = 1 − [P (a)] + [P (a)][Q(a)].
• Ýêâèâàëåíöèåé ïðåäèêàòîâ P (x) è Q(x), îïðåäåëåííûõ íà îáùåì ìíîæåñòâå D, íàçûâàåòñÿ ïðåäèêàò P (x) ⇔ Q(x), òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ
19
ïðåäìåòîâ a ∈ D åãî èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
[P (a) ⇔ Q(a)] = [P (a)][Q(a)] + (1 − [P (a)])(1 − [Q(a)]).
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè íàä n-ìåñòíûìè ïðåäèêàòàìè.
Êðîìå ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé, íàä ïðåäèêàòàìè îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèå
îïåðàöèè íàâåøèâàíèÿ êâàíòîðîâ.
Ïóñòü P (x) îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D. Âûñêàçûâàíèå "äëÿ âñåõ x èç D P (x) èñòèííî" îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì ∀xP (x),
è ýòî âûñêàçûâàíèå èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà P (a) èñòèííî
äëÿ âñåõ ïðåäìåòîâ a èç D. Åñëè íàéäåòñÿ ïðåäìåò b ∈ D, òàêîé, ÷òî
[P (b)] = 0, òî ñèìâîë ∀xP (x) îáîçíà÷àåò ëîæíîå âûñêàçûâàíèå.
Ñèìâîë ∀ íàçûâàåòñÿ êâàíòîðîì âñåîáùíîñòè, ñèìâîë ∀x íàçûâàåòñÿ
êâàíòîðíûì êîìïëåêñîì, ïåðåõîä îò P (x) ê ∀xP (x) íàçûâàåòñÿ íàâåøèâàíèåì êâàíòîðà âñåîáùíîñòè ïî ïåðåìåííîé x íà ïðåäèêàò P (x).
Ïðèìåð 2.4.4. Ïóñòü íà ìíîæåñòâå D âñåõ ëþäåé çàäàí îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò P (x) = {x ñìåðòåí}. Âûñêàçûâàíèå "âñå ëþäè ñìåðòíû" èñòèííîå,
îíî îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì ∀xP (x).
Ïóñòü P (x) îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D. Âûñêàçûâàíèå "ñóùåñòâóåò òàêîé x èç D, ÷òî P (x) èñòèííî" îáîçíà÷àåòñÿ
ñèìâîëîì ∃xP (x), è ýòî âûñêàçûâàíèå èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
íàéäåòñÿ ïðåäìåò b ∈ D, òàêîé, ÷òî [P (b)] = 1. Åñëè æå äëÿ âñåõ ïðåäìåòîâ b ∈ D îêàæåòñÿ [P (b)] = 0, òî ñèìâîë ∃xP (x) áóäåò îáîçíà÷àòü ëîæíîå
âûñêàçûâàíèå.
Ñèìâîë ∃ íàçûâàåòñÿ êâàíòîðîì ñóùåñòâîâàíèÿ, ñèìâîë ∃x íàçûâàåòñÿ
êâàíòîðíûì êîìïëåêñîì, ïåðåõîä îò P (x) ê ∃xP (x) íàçûâàåòñÿ íàâåøèâàíèåì êâàíòîðà ñóùåñòâîâàíèÿ ïî ïåðåìåííîé x íà ïðåäèêàò P (x).
Ïðèìåð 2.4.5. Ïóñòü çàäàí îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò P (x) = {1 < x < 2}.
Âûñêàçûâàíèå ∃xP (x) ëîæíî íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N , íî èñòèííî íà ìíîæåñòâå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë R .
Ãîâîðÿò, ÷òî íàâåøèâàíèå êâàíòîðà íà îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò ñâÿçûâàåò ïðåäìåòíóþ ïåðåìåííóþ, òàê êàê èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå âûñêàçûâàíèÿ
∀xP (x) èëè ∃xP (x) íå çàâèñèò îò x, îíî çàâèñèò îò ñîâîêóïíîñòè çíà÷åíèé
ïðåäèêàòà P (x) íà ìíîæåñòâå D. Ïðè ýòîì ñâÿçàííóþ ïåðåìåííóþ ìîæíî
îáîçíà÷àòü ëþáîé áóêâîé, íàïðèìåð ∀xP (x) = ∀tP (t), òî åñòü ñâÿçàííóþ
ïåðåìåííóþ ìîæíî ïåðåèìåíîâûâàòü.
Ïóñòü n-ìåñòíûé ïðåäèêàò P (x1 , . . . , xn ) çàäàí íà ìíîæåñòâå D. Ñèìâîë ∀xk P (x1 , . . . , xk , . . . , xn ) îáîçíà÷àåò (n − 1)-ìåñòíûé ïðåäèêàò, êîòîðûé
ïðè
çàìåíå
ïåðåìåííûõ
x1 , . . . , xk−1 , xk+1 , . . . , xn
íà
ëþáûå
ïðåäìåòû a1 , . . . , ak−1 , ak+1 , . . . , an èç D ñòàíîâèòñÿ âûñêàçûâàíèåì
20
∀xk P (a1 , . . . , ak−1 , xk , ak+1 , . . . , an ).
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ∃xk P (x1 , . . . , xk , . . . , xn ).
Íàâåøèâàíèå êàêîãî-ëèáî êâàíòîðà ïî îäíîé èç ïåðåìåííûõ xk íà ìíîãîìåñòíûé ïðåäèêàò ñâÿçûâàåò ïåðåìåííóþ xk , ïðè ýòîì ñâÿçàííóþ ïåðåìåííóþ ìîæíî îáîçíà÷àòü ëþáîé áóêâîé, íàïðèìåð, ∀xP (x, y) = ∀tP (t, y).
Ïðèìåð 2.4.6. Ðàññìîòðèì äâóìåñòíûé ïðåäèêàò P (x, y) = {x < y} íà
ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N . Íàâåñèâ êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ ïî ïåðåìåííîé y , ïîëó÷èì îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò Q(x) = ∃yP (x, y), ãäå ïåðåìåííàÿ y ñâÿçàíà. Ïðåäèêàò Q(x) = ∃y{x < y} ñîîòâåòñòâóåò óòâåðæäåíèþ:
"ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî y , ÷òî äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ÷èñëà x âûïîëíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî x < y ".
Åñëè íà íîâûé ïðåäèêàò Q(x) íàâåñèì êâàíòîð âñåîáùíîñòè ïî îñòàâøåéñÿ ïåðåìåííîé x, òî ïîëó÷èì íóëü-ìåñòíûé ïðåäèêàò âûñêàçûâàíèå
∀x(∃y(x < y)), êîòîðîå ãëàñèò: "Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà x ñóùåñòâóåò ÷èñëî y ,
êîòîðîå áîëüøå x". Ýòî âûñêàçûâàíèå ÿâëÿåòñÿ èñòèííûì íà ìíîæåñòâå
N.
Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè äîãîâîðèìñÿ íå ïèñàòü ñêîáêè, ðàçäåëÿþùèå
êâàíòîðíûå êîìïëåêñû. Íàïðèìåð, âûñêàçûâàíèå ∀x(∃yP (x, y)) áóäåì çàïèñûâàòü ∀x∃yP (x, y).
Òàê æå, êàê è â ëîãèêå âûñêàçûâàíèé, â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ôîðìóëû. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ïîíÿòèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ñèìâîëà è òåðìà.
Ïóñòü D ìíîæåñòâî ïðåäìåòîâ. Íàçîâåì n-ìåñòíîé ôóíêöèåé
f (x1 , . . . , xn ) ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D ëþáóþ ôóíêöèþ f : Dn → D.
Ñèìâîë f ( , . . . , ) íàçûâàåòñÿ n-ìåñòíûì ôóíêöèîíàëüíûì ñèìâîëîì.
Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ ðåêóððåíòíî îïðåäåëÿþòñÿ òåðìû :
• ïðåäìåòíàÿ ïîñòîÿííàÿ a ∈ D åñòü òåðì;
• ïðåäìåòíàÿ ïåðåìåííàÿ x åñòü òåðì;
• åñëè t1 , . . . , tn òåðìû è f ( , . . . , ) åñòü n-ìåñòíûé ôóíêöèîíàëüíûé
ñèìâîë, òî f (t1 , . . . , tn ) òåðì;
• äðóãèõ òåðìîâ íåò.
Ïðèìåð 2.4.7. Ïóñòü äâóìåñòíàÿ ôóíêöèÿ f (x, y), çàäàííàÿ íà ìíîæåñòâå D = {1, 3, 4, 7}. Òîãäà¡ ïîñòîÿííàÿ
¢ 7 åñòü òåðì, ïåðåìåííàÿ y òîæå
òåðì, âûðàæåíèÿ f (7, y) è f f (7, y), 3 òàêæå ÿâëÿþòñÿ òåðìàìè.
Ôîðìóëû â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ îáîçíà÷àþò çàãëàâíûìè áóêâàìè è îïðåäåëÿþò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
21
• íóëüìåñòíûé ïðåäèêàò P åñòü ôîðìóëà;
• åñëè P (x1 , . . . , xn ) n-ìåñòíûé ïðåäèêàò è t1 , . . . , tn òåðìû, òî
P (t1 , . . . , tn ) åñòü ôîðìóëà;
• åñëè F è G ôîðìóëû, òî eF , F &G, F ∨ G, F ⇒ G, F ⇔ G òîæå
ôîðìóëû;
• åñëè x ïðåäìåòíàÿ ïåðåìåííàÿ è F ôîðìóëà, òî âûðàæåíèÿ ∀xF è
∃xF òîæå ôîðìóëû, ïðèîðèòåò êâàíòîðíûõ êîìïëåêñîâ âûøå ïðèîðèòåòà ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê;
• äðóãèõ ôîðìóë íåò.
¡
¢
Ïðèìåð 2.4.8. F = ∀x P (x, y) ∨ Q(y) ⇒ P (z, a), ãäå P (x, y) è Q(y) ïðåäèêàòû, åñòü ôîðìóëà.
Îáëàñòüþ äåéñòâèÿ êâàíòîðíîãî êîìïëåêñà íàçûâàåòñÿ ÷àñòü ôîðìóëû, çàêëþ÷åííàÿ â ñêîáêè è ñòîÿùàÿ ñðàçó çà ýòèì êîìïëåêñîì. Ýòè ñêîáêè
â ôîðìóëå ìîãóò áûòü îïóùåíû â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèîðèòåòàìè ñâÿçîê è
êâàíòîðîâ. Â ïðèìåðå 2.4.8 îáëàñòüþ äåéñòâèÿ êâàíòîðíîãî êîìïëåêñà ∀x
ÿâëÿåòñÿ ïîäôîðìóëà (P (x, y) ∨ Q(y)).
Âõîæäåíèå ïåðåìåííîé â ôîðìóëó íàçûâàåòñÿ ñâÿçàííûì, åñëè ýòà ïåðåìåííàÿ âõîäèò â êâàíòîðíûé êîìïëåêñ è íàõîäèòñÿ â îáëàñòè äåéñòâèÿ
ýòîãî êîìïëåêñà.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå âõîæäåíèå ïåðåìåííîé íàçûâàåòñÿ
ñâîáîäíûì.
Ïåðåìåííàÿ ñâîáîäíà â ôîðìóëå, åñëè õîòÿ áû îäíî âõîæäåíèå ýòîé ïåðåìåííîé ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíûì. Ïåðåìåííàÿ íàçûâàåòñÿ ñâÿçàííîé â ôîðìóëå,
åñëè õîòÿ áû îäíî åå âõîæäåíèå ñâÿçàííîå.
Èíòåðïðåòàöèåé I ôîðìóëû F â àëãåáðå ïðåäèêàòîâ íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü äâóõ îáúåêòîâ hD, Πi, ãäå D îáëàñòü èíòåðïðåòàöèè, íà êîòîðîé
îïðåäåëåíà ôîðìóëà, Π ïðàâèëî, êîòîðîå ñîïîñòàâëÿåò:
1. êàæäîé ïðåäìåòíîé ïîñòîÿííîé íåêîòîðûé ïðåäìåò èç îáëàñòè D;
2. êàæäîìó n-ìåñòíîìó ôóíêöèîíàëüíîìó ñèìâîëó íåêîòîðóþ n-ìåñòíóþ ôóíêöèþ f : Dn → D;
3. êàæäîìó n-ìåñòíîìó ïðåäèêàòíîìó ñèìâîëó êîíêðåòíûé ïðåäèêàò, çàäàííûé íà D.
¡
¢
Ïðèìåð 2.4.9. Äëÿ ôîðìóëû F = ∃y P (x, y)&P (a, b) ðàññìîòðèì èíòåðïðåòàöèþ I = hD, Πi, â êîòîðîé îáëàñòü èíòåðïðåòàöèè D = {c, d},
ïðàâèëî Π ñîïîñòàâëÿåò ïîñòîÿííûì a è b ïðåäìåòû c è d ñîîòâåòñòâåííî,
ïðàâèëî Π çàäàåò ïðåäèêàò P (x, y) èñòèííîñòíîé òàáëèöåé:
22
Òàáëèöà 2.4.2
x
c
c
d
d
y
c
d
c
d
[P (x, y)]
1
1
0
1
¡
¢
¡
¢
 ýòîé èíòåðïðåòàöèè F = ∃y P (x, y)&P (c, d) = ∃y P (x, y)&1 =
= ∃yP (x, y). Ýòî îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò ñî ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé x. Èñòèííîñòíàÿ òàáëèöà ôîðìóëû F â äàííîé èíòåðïðåòàöèè:
Òàáëèöà 2.4.3
x
c
d
[ ∃yP (x, y)]
1
1
Ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ èñòèííîé â äàííîé èíòåðïðåòàöèè, åñëè îíà èñòèííà ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ èç çàäàííîé îáëàñòè èíòåðïðåòàöèè D.
Ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ âûïîëíèìîé, åñëè åñòü èíòåðïðåòàöèÿ, â êîòîðîé
ýòà ôîðìóëà èñòèííà. Òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ íàçûâàåòñÿ ìîäåëüþ ôîðìóëû.
Ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ îáùåçíà÷èìîé, åñëè îíà èñòèííà âî âñåõ ñâîèõ
èíòåðïðåòàöèÿõ.
Ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ïðîòèâîðå÷èåì (íåâûïîëíèìîé ), åñëè îíà ëîæíà
âî âñåõ ñâîèõ èíòåðïðåòàöèÿõ.
Äâå ôîðìóëû F è G íàçûâàþòñÿ ëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûìè (îáîçíà÷àåòñÿ F = G), åñëè ôîðìóëà F ⇔ G ÿâëÿåòñÿ îáùåçíà÷èìîé, òî åñòü
ìíîæåñòâà èíòåðïðåòàöèé îáåèõ ôîðìóë ñîâïàäàþò è îáå ôîðìóëû ïðèíèìàþò îäèíàêîâûå èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ â êàæäîé èç ýòèõ èíòåðïðåòàöèé.
Îäíîé èç îñíîâíûõ çàäà÷ ëîãèêè ïðåäèêàòîâ ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à íàõîæäåíèÿ îáùåçíà÷èìûõ ôîðìóë, îïèñûâàþùèõ èñòèííûå óòâåðæäåíèÿ. Îäíàêî, â îòëè÷èå îò ëîãèêè âûñêàçûâàíèé ëîãèêà ïðåäèêàòîâ íå ÿâëÿåòñÿ
ðàçðåøèìîé òåîðèåé, ò. å. íå ñóùåñòâóåò åäèíîãî àëãîðèòìà, ïîçâîëÿþùåãî
çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ ïðîâåðèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ôîðìóëà îáùåçíà÷èìîé.
Èñòèííîñòíûå òàáëèöû ôîðìóë ëîãèêè ïðåäèêàòîâ íåâîçìîæíî ñîñòàâèòü
äëÿ èíòåðïðåòàöèé ñ áåñêîíå÷íîé îáëàñòüþ, ïîýòîìó íåâîçìîæíî ïðîâåðèòü èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ ôîðìóëû âî âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ. Äëÿ íåêîòîðûõ ôîðìóë ëîãèêè ïðåäèêàòîâ óäàåòñÿ ïðîâåðèòü èõ îáùåçíà÷èìîñòü,
èñïîëüçóÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà êâàíòîðîâ.
23
Òåîðåìà 2.4.1 (Î ñâîéñòâàõ êâàíòîðîâ ). Ïóñòü A(x) è B(x) ôîðìóëû,
â êîòîðûå ïåðåìåííàÿ x âõîäèò êàê ñâîáîäíàÿ ïåðåìåííàÿ, è ïóñòü ôîðìóëà
F íå ñîäåðæèò ïåðåìåííóþ x, òîãäà ôîðìóëû òàáëèöû 2.4.4 ëîãè÷åñêè
ýêâèâàëåíòíû.
Òàáëèöà 2.4.4
¡
¢
¡
¢
1 e¡∀xA(x) ¢ = ∃x ¡eA(x) ¢
e ∃xB(x) = ∀x eB(x)¡
¢
2 ∀xA(x)&∀xB(x) = ∀x ¡A(x)&B(x) ¢
∃xA(x) ∨ ∃xB(x)¡ = ∃x A(x)
¢ ∨ B(x)
3 ∀xA(x)&F = ∀x ¡A(x)&F ¢
∀xA(x) ∨ F = ∀x ¡A(x) ∨ F ¢
∃xB(x) ∨ F = ∃x¡ B(x) ∨ F
¢
∃xB(x)&F = ∃x B(x)&F
4 ∀x∀yA(x, y) = ∀y∀xA(x, y)
∃x∀yB(x, y) = ∃y∀xB(x, y)
Ïåðåíîñ êâàíòîðíîãî êîìïëåêñà ÷åðåç îòðèöàíèå
Âûíåñåíèå êâàíòîðíîãî
êîìïëåêñà çà ñêîáêè
Ðàñøèðåíèå îáëàñòè äåéñòâèÿ
êâàíòîðíîãî êîìïëåêñà
Ïåðåñòàíîâêà îäíîèìåííûõ
êâàíòîðíûõ êîìïëåêñîâ
Äîêàçàòåëüñòâî ñâîéñòâà 1. Ðàññìîòðèì êàêóþ-ëèáî èíòåðïðåòàöèþ
ôîðìóëû ∀xA(x) ñ îáëàñòüþ D. Åñëè â ôîðìóëå åñòü ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå, òî çàìåíèì èõ íåêîòîðûìè ïðåäìåòàìè èç D.  ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà
∀xA(x) áóäåò ëèáî èñòèííîé, ëèáî ëîæíîé.
Åñëè [ ∀xA(x)] = 1, òî äëÿ ëþáîãî
a ∈ D áóäåò [A(a)] = 1.
¡ ïðåäìåòà
¢
Òîãäà [ eA(a)]
= 0 ¢è âûñêàçûâàíèå ∃x eA(x) áóäåò ëîæíûì, êàê è âûñêà¡
çûâàíèå e ∀xA(x) .
Åñëè [ ∀xA(x)] = 0, òî íàéäåòñÿ ïðåäìåò
b¢ ∈ D òàêîé, ÷òî [A(b)] = 0.
¡
Òîãäà [ eA(b)]¡ = 1, è ¢âûñêàçûâàíèå ∃x eA(x) áóäåò èñòèííûì, êàê è âûñêàçûâàíèå e ∀xA(x) .
¡
¢
¡
¢
Èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ ôîðìóë e ∀xA(x) è ∃x eA(x) îäèíàêîâû â
êàæäîé èç âîçìîæíûõ èíòåðïðåòàöèé. Çíà÷èò, ôîðìóëû ëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû.
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàþòñÿ âñå îñòàëüíûå ñâîéñòâà.
Ïðèíÿòî äëÿ êðàòêîñòè íàçûâàòü ñâîéñòâà êâàíòîðíûõ êîìïëåêñîâ ñâîéñòâàìè êâàíòîðîâ.
Çàìå÷àíèå 2.4.1. Ðàçíîèìåííûå êâàíòîðíûå êîìïëåêñû, âîîáùå ãîâîðÿ,
íåëüçÿ ìåíÿòü ìåñòàìè, òàê êàê èçìåíåííàÿ ôîðìóëà ìîæåò áûòü íå ýêâèâàëåíòíîé èñõîäíîé ôîðìóëå. Íàïðèìåð, íà ìíîæåñòâå N ôîðìóëû
F = ∀x∃y{x < y} è Q = ∃y∀x{x < y} íå ýêâèâàëåíòíû, òàê êàê F èñòèííîå âûñêàçûâàíèå, à Q ëîæíîå.
Òàê æå, êàê è â àëãåáðå âûñêàçûâàíèé, â ëîãèêå ïðåäèêàòîâ ìåòîä, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî èç âåðíûõ ïîñûëîê ïîëó÷àþò âåðíûå âûâîäû, ðåàëèçóåòñÿ
â ïîíÿòèè ëîãè÷åñêîãî ñëåäñòâèÿ.
24
Ôîðìóëà R íàçûâàåòñÿ ëîãè÷åñêèì ñëåäñòâèåì ôîðìóë F1 , . . . , Fm , åñëè
R èñòèííà âî âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ, ãäå èñòèííû âñå ïîñûëêè (ãèïîòåçû)
F1 , . . . , Fm . Îáîçíà÷åíèå: F1 , . . . , Fm 7→ R.
Òåîðåìà 2.4.2 (Î ëîãè÷åñêîì ñëåäñòâèè ). Ôîðìóëà R åñòü ëîãè÷åñêîå
ñëåäñòâèå ôîðìóë F1 , . . . , Fm òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôîðìóëà
F1 & . . . &Fm ⇒ R
(2.4.1)
ÿâëÿåòñÿ îáùåçíà÷èìîé.
Òåîðåìà 2.4.3 (Î ëîãè÷åñêîì ñëåäñòâèè ). Ôîðìóëà R åñòü ëîãè÷åñêîå
ñëåäñòâèå ôîðìóë F1 , . . . , Fm òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôîðìóëà
F1 & . . . &Fm &eR
(2.4.2)
ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîðå÷èåì.
Äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ òåîðåì àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåì î ëîãè÷åñêîì ñëåäñòâèè â ëîãèêå âûñêàçûâàíèé.
Ïðèìåð 2.4.10. Ïðîâåðèì âåðíîñòü ëîãè÷åñêîãî âûâîäà: "Âñÿêèé, êòî
íàõîäèòñÿ â çäðàâîì óìå, ìîæåò ïîíèìàòü ìàòåìàòèêó. Ñóìàñøåäøèé íå
äîïóñêàåòñÿ ê ãîëîñîâàíèþ. Ñîâåðøåííîëåòíèé Anonim íå ìîã ïîíèìàòü
ìàòåìàòèêó, ñëåäîâàòåëüíî, åãî íå äîïóñòèëè ê ãîëîñîâàíèþ".
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì áóêâîé D ìíîæåñòâî âñåõ ëþäåé, áóêâîé x ïðîèçâîëüíîãî ÷åëîâåêà, áóêâîé a Anonimà. Ââåäåì ïðåäèêàòû:
P (x) = {x ïîíèìàåò ìàòåìàòèêó},
V (x) = {x äîïóùåí ê ãîëîñîâàíèþ},
K(x) = {x â çäðàâîì óìå (íå¡ ñóìàñøåäøèé)¢}.
¡
¢
Ñîñòàâèì ïîñûëêè F1 = ∀x K(x) ⇒ P (x) , F2 = ∀x eK(x) ⇒eV (x) ,
F3 =eP (a) è çàêëþ÷åíèå R =eV (a). Áóäåì ðóêîâîäñòâîâàòüñÿ òåîðåìîé
2.4.2 î ëîãè÷åñêîì ñëåäñòâèè. Ïîñòðîèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôîðìóëó (2.4.1):
F = F1 &F2 &F3 ⇒ R è óïðîñòèì åå, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà êâàíòîðîâ:
¡
¢
¡
¢
¡
¢
F = ∀x
K(x)
⇒
P
(x)
&∀x
eK(x)
⇒eV
(x)
&eP
(a)
⇒
eV
(a)
=
µ ³
¶
´
¡
¢ ¡
¢
=e ∀x eK(x) ∨ P (x) & K(x)∨eV (x) &eP (a) ∨eV (a) =
³¡
´
¢ ¡
¢
= ∃x K(x)&eP (x) ∨ eK(x)&V (x) ∨ P (a)∨eV (a) .
Åñëè äîêàæåì îáùåçíà÷èìîñòü ôîðìóëû F , òîãäà ïî òåîðåìå 2.4.2 ôîðìóëà
R áóäåò ëîãè÷åñêèì ñëåäñòâèåì èñõîäíûõ ãèïîòåç. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà íå ÿâëÿåòñÿ îáùåçíà÷èìîé, ò. å. íàéäåòñÿ
íåêîòîðàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ýòîé ôîðìóëû ñ îáëàñòüþ D, â êîòîðîé ôîðìóëà
ÿâëÿåòñÿ ëîæíîé, ò. å. äëÿ âñåõ ïðåäìåòîâ x ∈ D ôîðìóëà
¡
¢ ¡
¢
K(x)&eP (x) ∨ eK(x)&V (x) ∨ P (a)∨eV (a)
25
áóäåò ëîæíîé. Òîãäà ýòà ôîðìóëà äîëæíà áûòü ëîæíîé è ïðè x = a, ò. å.
ôîðìóëà
¡
¢ ¡
¢
K(a)&eP (a) ∨ eK(a)&V (a) ∨ P (a)∨eV (a)
åñòü ëîæíîå âûñêàçûâàíèå. Íî ýòî íå òàê, ïîñêîëüêó ýòà ôîðìóëà íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 2.3.1, êîòîðàÿ äàåò êðèòåðèé ïðîòèâîðå÷èÿ
äëÿ äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìû. Ñëåäîâàòåëüíî, äîïóùåíèå áûëî
íåâåðíûì è ôîðìóëà F ÿâëÿåòñÿ îáùåçíà÷èìîé. Îòêóäà ïî òåîðåìå 2.4.2
ôîðìóëà R ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêèì ñëåäñòâèåì èñõîäíûõ ãèïîòåç.
Ÿ 2.5.
Ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ L èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé
Èñòîðè÷åñêè ïîíÿòèå ôîðìàëüíîé òåîðèè áûëî ðàçðàáîòàíî â ïåðèîä
èíòåíñèâíûõ èññëåäîâàíèé â îáëàñòè îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè â íà÷àëå ÕÕ âåêà è ñâÿçàíî ñ èìåíåì Ä. Ãèëüáåðòà. Ê ýòîìó âðåìåíè çàãîâîðèëè
î êðèçèñå ìàòåìàòèêè, ò. ê. îáíàðóæèëîñü íåñîâåðøåíñòâî òðàäèöèîííûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé, ñâÿçàííîå ñ îòêðûòèåì ïàðàäîêñîâ ðàññóæäåíèé, íå ñîäåðæàùèõ ÿâíûõ ëîãè÷åñêèõ èçúÿíîâ, íî ïðèâîäÿùèõ ê ïðîòèâîðå÷èÿì.
Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ ïàðàäîêñ ëæåöà. Íåêòî ãîâîðèò
"ß ëãó". Åñëè îí ïðè ýòîì ëæåò, òî ñêàçàííîå èì åñòü ëîæü, è, ñëåäîâàòåëüíî, îí íå ëæåò, ãîâîðèò ïðàâäó. Åñëè æå îí íå ëæåò, òî ñêàçàííîå
èì åñòü ïðàâäà, è, ñëåäîâàòåëüíî, îí ëæåò.  ëþáîì ñëó÷àå îêàçûâàåòñÿ,
÷òî îí ëæåò è íå ëæåò îäíîâðåìåííî.
Ïðåîäîëåíèå êðèçèñà ñòàëî âîçìîæíûì áëàãîäàðÿ ââåäåíèþ ïîíÿòèÿ àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèè è ôîðìàëèçàöèè ïîíÿòèÿ äîêàçàòåëüñòâà íà îñíîâå
àêñèîì. Òåîðèè òàêîé ñòðóêòóðû íàçâàëè ôîðìàëüíûìè.
Ôîðìàëüíàÿ àêñèîìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ Φ = hU, L, G, Si ñ÷èòàåòñÿ îïðåäåëåííîé, åñëè çàäàíû:
1. Ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ñèìâîëîâ òåîðèè, êîòîðûå îáðàçóþò àëôàâèò U
òåîðèè. Êîíå÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñèìâîëîâ íàçûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè òåîðèè.
2. Ïîäìíîæåñòâî âûðàæåíèé òåîðèè, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè
(ïðàâèëüíî ïîñòðîåííûìè ôîðìóëàìè ). Ìíîæåñòâî ôîðìóë L íàçûâàåòñÿ ÿçûêîì òåîðèè Φ.
3. Êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî S âûäåëåííûõ ôîðìóë, íàçûâàåìûõ àêñèîìàìè òåîðèè Φ.
26
4. Êîíå÷íîå ÷èñëî îòíîøåíèé ìåæäó ôîðìóëàìè R1 , . . . , Rk , êîòîðûå
íàçûâàþòñÿ ïðàâèëàìè âûâîäà òåîðèè Φ. Ìíîæåñòâî ïðàâèë âûâîäà
G = {R1 , . . . , Rk }. Åñëè ôîðìóëà A íàõîäèòñÿ â îòíîøåíèè Ri ñ ôîðìóëàìè F1 , . . . , Fm , òî A íàçûâàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì
ôîðìóë F1 , . . . , Fm .
Ïî ïðàâèëàì âûâîäà ñòðîèòñÿ ìíîæåñòâî ôîðìóë, íàçûâàåìûõ òåîðåìàìè òåîðèè Φ. Ôîðìóëà A íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé, åñëè ñóùåñòâóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë A1 , . . . , An , òàêèõ, ÷òî An = A, à êàæäàÿ èç ôîðìóë
Ai (ïðè i < n) ëèáî àêñèîìà, ëèáî íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå èç ïðåäûäóùèõ ôîðìóë.
Åñëè àëôàâèò ôîðìàëüíîé òåîðèè ñîäåðæèò ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè è ñðåäè àêñèîì ïðèñóòñòâóþò îáùåçíà÷èìûå ôîðìóëû ëîãèêè ïðåäèêàòîâ, òî
ãîâîðÿò, ÷òî Φ ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ ëîãè÷åñêîãî òèïà èëè ôîðìàëüíîå
èñ÷èñëåíèå ëîãè÷åñêîãî òèïà.
Ãîâîðÿò, ÷òî ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ èìååò ñåìàíòè÷åñêèé ñìûñë, åñëè ñóùåñòâóåò ñîäåðæàòåëüíàÿ òåîðèÿ T , ïîñòðîåííàÿ ïî çàêîíàì äàííîé ôîðìàëüíîé òåîðèè Φ.
Òåîðèÿ T íàçûâàåòñÿ ìîäåëüþ ôîðìàëüíîé òåîðèè Φ, åñëè êàæäàÿ òåîðåìà òåîðèè Φ åñòü òàâòîëîãèÿ (îáùåçíà÷èìàÿ ôîðìóëà) â ñîäåðæàòåëüíîé
òåîðèè T .
Ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ Φ ëîãè÷åñêîãî òèïà (ÔÒËÒ) íàçûâàåòñÿ íåïðîòèâîðå÷èâîé, åñëè íå ñóùåñòâóåò òàêîé ôîðìóëû A, ÷òî ôîðìóëû A è eA îáå
ÿâëÿþòñÿ òåîðåìàìè òåîðèè Φ.
Òåîðèÿ Φ íàçûâàåòñÿ ïîëíîé ïî îòíîøåíèþ ê íåêîòîðîé ñâîåé ìîäåëè T ,
åñëè êàæäîé òàâòîëîãèè (îáùåçíà÷èìîé ôîðìóëå) òåîðèè T ñîîòâåòñòâóåò
òåîðåìà òåîðèè Φ.
Åñëè äëÿ ñîäåðæàòåëüíîé òåîðèè T óäàëîñü ïîñòðîèòü íåïðîòèâîðå÷èâóþ è ïîëíóþ ôîðìàëüíóþ òåîðèþ Φ, äëÿ êîòîðîé òåîðèÿ T ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ, òî òåîðèþ T íàçûâàþò àêñèîìàòèçèðóåìîé, èëè ôîðìàëèçóåìîé,
òåîðèåé.
Òåîðèÿ Φ íàçûâàåòñÿ ðàçðåøèìîé, åñëè ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, ïî êîòîðîìó äëÿ ëþáîé ôîðìóëû òåîðèè Φ ìîæíî îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ýòà ôîðìóëà
òåîðåìîé èëè íåò.
Ïî ìåðå èçó÷åíèÿ íîâûõ çàêîíîâ áîãàòîé ñîäåðæàòåëüíîé òåîðèè T â
ôîðìàëüíóþ òåîðèþ Φ, ìîäåëüþ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ T , äîáàâëÿþòñÿ íîâûå
àêñèîìû, èç êîòîðûõ âûâîäÿòñÿ íîâûå çàêîíû ñîäåðæàòåëüíîé òåîðèè T .
Ïîêàæåì, ÷òî ëîãèêà âûñêàçûâàíèé àêñèîìàòèçèðóåìàÿ ñîäåðæàòåëüíàÿ òåîðèÿ. Ïîñòðîèì íåïðîòèâîðå÷èâóþ è ðàçðåøèìóþ ôîðìàëüíóþ òåîðèþ ëîãè÷åñêîãî òèïà L, èìåíóåìóþ èñ÷èñëåíèåì âûñêàçûâàíèé, äëÿ êî27
òîðîé ëîãèêà âûñêàçûâàíèé ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ.
• Àëôàâèò òåîðèè L ñîñòàâëÿþò ïðîïîçèöèîíàëüíûå áóêâû, äëÿ îáîçíà÷åíèÿ êîòîðûõ èñïîëüçóþò çàãëàâíûå áóêâû ëàòèíñêîãî àëôàâèòà
A, B, . . . (ìîæåò áûòü ñ èíäåêñàìè A1 , A2 , . . . , Ak ), äâà ñèìâîëà ïðèìèòèâíûõ ñâÿçîê e è ⇒, à òàêæå çíàêè ïóíêòóàöèè : ñêîáêè è çàïÿòûå ( ,
). Êîíå÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñèìâîëîâ íàçûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè
òåîðèè L.
• Ôîðìóëû òåîðèè L îïðåäåëÿþòñÿ ðåêóððåíòíî: ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ
áóêâà åñòü ôîðìóëà; åñëè A è B ôîðìóëû, òî ôîðìóëàìè ÿâëÿþòñÿ
(eA), (A ⇒ B). Äðóãèõ ôîðìóë íåò. Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè ïðèíèìàþò ñîãëàøåíèå î ñîêðàùåíèè ÷èñëà ñêîáîê â ôîðìóëå: âíåøíèå ñêîáêè
îïóñêàþòñÿ, ââîäèòñÿ ïðèîðèòåò ñâÿçîê (ïî óáûâàíèþ) e, ⇒.
• Àêñèîìàìè òåîðèè L ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå âûäåëåííûå ôîðìóëû:
À1: A
¡ ⇒ (B ⇒ A); ¢
¡
¢
À2: ¡A ⇒ (B ⇒
C)
⇒
(A
⇒
B)
⇒
(A
⇒
C)
;
¢
¡
¢
À3: eB ⇒eA ⇒ ( eB ⇒ A) ⇒ B .
• Ïðàâèëî âûâîäà (åäèíñòâåííîå) Modus Ponens (MP): ôîðìóëà B åñòü
íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå ôîðìóë A è A ⇒ B , ÷òî îáîçíà÷àåòñÿ
A, A ⇒ B 7→ B.
Ýòî ïðàâèëî íàçûâàåòñÿ òàêæå ïðàâèëîì îòäåëåíèÿ.
Ôîðìóëà A íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé òåîðèè L, åñëè ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë A1 , A2 , . . . , An , òàêèõ, ÷òî ëþáàÿ èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ëèáî
àêñèîìîé, ëèáî íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì ïðåäøåñòâóþùèõ ôîðìóë,
ïîëó÷åííûõ ïî ïðàâèëó âûâîäà ÌÐ, è ïðè ýòîì A = An .
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü A1 , A2 , . . . , An íàçûâàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû A èëè âûâîäîì ôîðìóëû A. Ôîðìóëà A íàçûâàåòñÿ âûâîäèìîé. ×èñëî
n íàçûâàåòñÿ äëèíîé äîêàçàòåëüñòâà (äëèíîé âûâîäà).
Îáîçíà÷åíèå òåîðåìû 7→ A.
Ïðèìåð 2.5.1. Íàéäåì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû : 7→ (A ⇒ A).
 àêñèîìå À2 çàìåíèì B íà (A ⇒ A), C íà A. Ïîëó÷èì ïåðâóþ ôîðìóëó
³
³¡
¡
¢´
¢
¡
¢´
A1 : A ⇒ (A ⇒ A) ⇒ A ⇒ A ⇒ (A ⇒ A) ⇒ A ⇒ A .
 àêñèîìå À1 òàêæå çàìåíèì B íà (A ⇒ A), ïîëó÷èì âòîðóþ ôîðìóëó
¡
¢
A2 : A ⇒ (A ⇒ A) ⇒ A .
28
Èç ôîðìóë A1 è A2 ïî ïðàâèëó âûâîäà ÌÐ ïîëó÷èì
¡
¢
¡
¢
A3 : A ⇒ (A ⇒ A) ⇒ A ⇒ A .
Äîáàâèì àêñèîìó À1, â êîòîðîé çàìåíèì B íà A, ïîëó÷èì
A4 : A ⇒ (A ⇒ A).
Èç ôîðìóë A3 è A4 ïî ÌÐ ïîëó÷èì
A5 : (A ⇒ A).
Òåîðåìà 7→ (A ⇒ A) äîêàçàíà, äëèíà äîêàçàòåëüñòâà n = 5.
Âûâåäåííóþ èç àêñèîì ôîðìóëó A ⇒ A ìîæíî èñïîëüçîâàòü â äîêàçàòåëüñòâå íîâûõ òåîðåì íà ïðàâàõ àêñèîìû, òàê êàê åå âûâîä ìîæíî "âñòðîèòü", ò. å. äîáàâèòü â äîêàçàòåëüñòâî.
Äâå ôîðìóëû A è B íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè â òåîðèè L, åñëè ôîðìóëà A ⇔ B åñòü òåîðåìà òåîðèè L. Îáîçíà÷åíèå A = B .
 òåîðèè L, êàê è â àëãåáðå âûñêàçûâàíèé, ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ëîãè÷åñêîãî ñëåäñòâèÿ.
Ôîðìóëà R íàçûâàåòñÿ ñëåäñòâèåì ôîðìóë F1 , . . . , Fm , èìåíóåìûõ ãèïîòåçàìè, åñëè ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë B1 , . . . , Bn , èìåíóåìàÿ âûâîäîì, òàêàÿ, ÷òî Bn = R è êàæäàÿ èç ôîðìóë Bi ëèáî àêñèîìà,
ëèáî ñîâïàäàåò ñ îäíîé èç ãèïîòåç Fk , ëèáî ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäøåñòâóþùèõ
ôîðìóë B1 , . . . , Bi−1 ïî ïðàâèëó âûâîäà ÌÐ.
Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî R âûâîäèìà èç ãèïîòåç F1 , . . . , Fm .
Îáîçíà÷åíèå: F1 , . . . , Fm 7→ R.
Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
íåïðîòèâîðå÷èâóþ, ðàçðåøèìóþ òåîðèþ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé îòíîñèòåëüíî ñâîåé ìîäåëè àëãåáðû âûñêàçûâàíèé.
Èç ïîëíîòû òåîðèè L ïî îòíîøåíèþ ê ñâîåé ìîäåëè àëãåáðå âûñêàçûâàíèé ñëåäóåò, ÷òî ôîðìóëà A åñòü òåîðåìà òåîðèè L òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà A åñòü òàâòîëîãèÿ â ëîãèêå âûñêàçûâàíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ
ëþáîé ôîðìóëû â ëîãèêå âûñêàçûâàíèé ñ ïîìîùüþ èñòèííîñòíîé òàáëèöû
ìîæåò áûòü óñòàíîâëåíî, ÿâëÿåòñÿ ëè îíà òåîðåìîé òåîðèè L.
Ÿ 2.6.
Ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ L1 èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ
Ïîêàæåì, ÷òî àëãåáðà ïðåäèêàòîâ àêñèîìàòèçèðóåìàÿ ñîäåðæàòåëüíàÿ òåîðèÿ. Ïîñòðîèì íåïðîòèâîðå÷èâóþ è ïîëíóþ ôîðìàëüíóþ òåîðèþ
ëîãè÷åñêîãî òèïà, äëÿ êîòîðîé àëãåáðà ïðåäèêàòîâ ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ.
29
Îáîçíà÷èì ýòó òåîðèþ L1 è íàçîâåì åå èñ÷èñëåíèåì ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî
ïîðÿäêà. Ñëîâà ïåðâîãî ïîðÿäêà â íàçâàíèè ãîâîðÿò î òîì, ÷òî êâàíòîðû
â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ ñâÿçûâàþò òîëüêî ïðåäìåòíûå ïåðåìåííûå.
Îïðåäåëèì ôîðìàëüíóþ òåîðèþ L1 ñëåäóþùèì îáðàçîì:
• Àëôàâèò òåîðèè L1 ñîñòàâëÿþò âñå ñèìâîëû ëîãèêè ïðåäèêàòîâ, çà
èñêëþ÷åíèåì ñâÿçîê &, ∨, ⇔ (îíè ââîäÿòñÿ ïîçæå, êàê â òåîðèè L). Êîíå÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñèìâîëîâ íàçûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè òåîðèè L1 ;
• Ôîðìóëû òåîðèè L1 îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê ôîðìóëû ëîãèêè ïðåäèêàòîâ;
• Àêñèîìàìè òåîðèè L1 ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ïÿòü âûäåëåííûõ ôîðìóë:
À1: A
¡ ⇒ (B ⇒ A), ¢
¡
¢
À2: ¡A ⇒ (B ¢⇒ C)¡ ⇒ (A ⇒ B) ⇒
(A
⇒
C)
,
¢
À3: eB ⇒eA ⇒ ( eB ⇒ A) ⇒ B ,
À4: ∀xA(x) ⇒ A(t), ãäå A(x) ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà ñî ñâîáîäíîé
ïåðåìåííîé
x, t ¢ òåðì,
ïåðåìåííóþ x,
¡
¡ íå ñîäåðæàùèé
¢
À5: ∀x A ⇒ B(x) ⇒ A ⇒ ∀xB(x) .
• Ïðàâèëà âûâîäà (èõ äâà):
1) modus Ponens (MP): ôîðìóëà B åñòü íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå
ôîðìóë A è A ⇒ B ïî ÌÐ, ÷òî îáîçíà÷àåòñÿ A, A ⇒ B 7→ B;
2) generalization (Gen) ïðàâèëî îáîáùåíèÿ èëè ïðàâèëî ñâÿçûâàíèÿ êâàíòîðîì âñåîáùíîñòè: åñëè ôîðìóëà B íå ñîäåðæèò ñâîáîäíîãî
âõîæäåíèÿ ïåðåìåííîé x, òî ôîðìóëà B ⇒ ∀xA(x) ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì ôîðìóëû B ⇒ A(x) ïî Gen, ÷òî îáîçíà÷àåòñÿ
B ⇒ A(x) 7→ B ⇒ ∀xA(x).
Êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ ââîäèòñÿ ïîçæå. Ñïèñîê àêñèîì ïîïîëíÿåò ôîðìóëà À6: A(t) ⇒ ∃xA(x), ãäå t òåðì, íå ñîäåðæàùèé ïåðåìåííóþ x.
Ê ïðàâèëàì âûâîäà äîáàâëÿåòñÿ ïðîèçâîäíîå ïðàâèëî âûâîäà
A(x) ⇒ B 7→ ∃xA(x) ⇒ B.
Òåîðåìû è ýêâèâàëåíòíûå ôîðìóëû â òåîðèè L1 îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå,
êàê â òåîðèè L.
Òàê æå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ëîãèêà ïðåäèêàòîâ ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ òåîðèè
L1 , ÷òî òåîðèÿ L1 íåïðîòèâîðå÷èâà è ïîëíà îòíîñèòåëüíî ñâîåé ìîäåëè àëãåáðû ïðåäèêàòîâ.
Îäíàêî òåîðèÿ L1 íå ÿâëÿåòñÿ ðàçðåøèìîé. Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå
ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà.
30
Âûâîäû
• Ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ èç ïðîñòûõ âûñêàçûâàíèé áîëåå ñëîæíûõ, ñîñòàâíûõ âûñêàçûâàíèé.
• Îäíîé èç âàæíûõ çàäà÷ àëãåáðû âûñêàçûâàíèé ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ëîãè÷åñêèõ çàêîíîâ, ò. å. ôîðìóë, êîòîðûå èñòèííû ïðè âñåõ
èñòèííîñòíûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íèõ âûñêàçûâàíèé.
• Ïîíÿòèå ëîãè÷åñêîãî ñëåäñòâèÿ äàåò àëãîðèòì, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî
èç âåðíûõ ïîñûëîê ïîëó÷àþò âåðíûå ñëåäñòâèÿ.
• Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé åñòü íåïðîòèâîðå÷èâàÿ, ðàçðåøèìàÿ ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ ëîãè÷åñêîãî òèïà, äëÿ êîòîðîé àëãåáðà âûñêàçûâàíèé
ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ.
• Ëîãèêà ïðåäèêàòîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçâèòèå ëîãèêè âûñêàçûâàíèé. Òàê æå, êàê è ëîãèêà âûñêàçûâàíèé, ëîãèêà ïðåäèêàòîâ ñîñòîèò
èç äâóõ ÷àñòåé: àëãåáðû ïðåäèêàòîâ è îáîáùàþùåé åå ôîðìàëüíîé
àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèè èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ.
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè
1. Äàéòå îïðåäåëåíèå ôîðìóëû ëîãèêè âûñêàçûâàíèé. Çàïèøèòå ôîðìóëîé âûñêàçûâàíèå: "åñëè ïåðâàÿ ôèðìà èçìåíèò ðàñöåíêè íà ñâîþ
ïðîäóêöèþ èëè âòîðàÿ ôèðìà îñòàâèò èõ ïðåæíèìè, òî òðåòüÿ ôèðìà
èçìåíèò ñâîè ðàñöåíêè".
2. Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå èíòåðïðåòàöèè è èñòèííîñòíîé òàáëèöû
ôîðìóëû. Ñîñòàâüòå èñòèííîñòíóþ òàáëèöó ôîðìóëû, ïîñòðîåííîé â
ïðåäûäóùåì âîïðîñå. ßâëÿåòñÿ ëè ýòà ôîðìóëà òàâòîëîãèåé, ïðîòèâîðå÷èåì èëè âûïîëíèìîé ôîðìóëîé?
3. Ïðèâåäèòå îïðåäåëåíèå ëîãè÷åñêîãî ñëåäñòâèÿ â àëãåáðå âûñêàçûâàíèé. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìû 2.2.1 è 2.2.2 î ëîãè÷åñêîì ñëåäñòâèè. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó 2.2.2, äîêàæèòå ñèëëîãèçì modus tollens:
P ⇒ Q, eQ 7→eP.
4. Äàéòå îïðåäåëåíèå äèçúþíêòèâíîé è êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíûõ
ôîðì ôîðìóëû àëãåáðû âûñêàçûâàíèé. Ïî èñòèííîñòíîé òàáëèöå 2.3.1,
çàìåíèâ â íåé èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ ôîðìóëû F íà ïðîòèâîïîëîæíûå, ïîñòðîéòå äèçúþíêòèâíóþ è êîíúþíêòèâíóþ íîðìàëüíûå ôîðìû
ôîðìóëû F.
31
5. Îïðåäåëèòå ïîíÿòèÿ îäíîìåñòíîãî è n-ìåñòíîãî ïðåäèêàòîâ è îïåðàöèè íàâåøèâàíèÿ êâàíòîðîâ. Ïóñòü ïðåäèêàò P (x, y) â èíòåðïðåòàöèè
ñ îáëàñòüþ D = {c, d} çàäàí òàáëèöåé 2.4.2, ïîñòðîéòå èñòèííîñòíóþ
òàáëèöó ôîðìóëû ∀yP (x, y) â ðàññìàòðèâàåìîé èíòåðïðåòàöèè.
6. Ïðèâåäèòå îïðåäåëåíèÿ íåïðîòèâîðå÷èâîé, ðàçðåøèìîé ôîðìàëüíîé
òåîðèè. ×òî îçíà÷àåò ïîëíîòà ôîðìàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé åå ìîäåëè?
7. Êàêèìè èç âûøåïåðå÷èñëåííûõ ñâîéñòâ îáëàäàþò ôîðìàëüíûå òåîðèè
èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé è èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ?
Áèáëèîãðàôèÿ
1. Ìîñêèíîâà Ã.Í. Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà. Ìàòåìàòèêà äëÿ ìåíåäæåðà
â ïðèìåðàõ è óïðàæíåíèÿõ. Ì.: Ëîãîñ, 2003.
2. Íîâèêîâ Ô.À. Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ïðîãðàììèñòîâ. ÑÏá.:
Ïèòåð, 2006.
3. Àëÿåâ Þ.À., Òþðèí Ñ.Ô. Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà è ìàòåìàòè÷åñêàÿ
ëîãèêà. Ì.: Ôèíàíñû è êðåäèò, 2007.
32