Генерический подход к алгоритмическим проблемам

Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì
ïðîáëåìàì
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
ÎÔ ÈÌ ÑÎ ÐÀÍ, Îìñê
Íîÿáðü, 2012
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ïîäõîäû ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
1
Êëàññè÷åñêèé ïîäõîä ê âû÷èñëèìîñòè (Òüþðèíã, ×åð÷,
Ìàðêîâ, Åðøîâ, Ãîí÷àðîâ è äð.).
2
Êëàññè÷åñêèé ïîäõîä ê ñëîæíîñòè âû÷èñëåíèé ñëîæíîñòü â õóäøåì ñëó÷àå (Êóê, Ëåâèí, Êàðï è äð.)
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ñëîæíîñòü â ñðåäíåì
1
Èíòóèòèâíî (íî íå òî÷íî) ñëîæíîñòü â ñðåäíåì ñðåäíåå
÷èñëî øàãîâ àëãîðèòìà ïî âñåì âõîäàì.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ñëîæíîñòü â ñðåäíåì
1
Èíòóèòèâíî (íî íå òî÷íî) ñëîæíîñòü â ñðåäíåì ñðåäíåå
÷èñëî øàãîâ àëãîðèòìà ïî âñåì âõîäàì.
2
Ëåâèí è Ãóðåâè÷ ââåë èíâàðèàíòíîå ïîíÿòèå ñëîæíîñòè â
ñðåäíåì.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ñëîæíîñòü â ñðåäíåì
1
Èíòóèòèâíî (íî íå òî÷íî) ñëîæíîñòü â ñðåäíåì ñðåäíåå
÷èñëî øàãîâ àëãîðèòìà ïî âñåì âõîäàì.
2
Ëåâèí è Ãóðåâè÷ ââåë èíâàðèàíòíîå ïîíÿòèå ñëîæíîñòè â
ñðåäíåì.
3
Òèïè÷íîå çàáëóæäåíèå: ñëîæíîñòü â ñðåäíåì = ÷èñëî
øàãîâ ðàáîòû àëãîðèòìà íà òèïè÷íîì (ñëó÷àéíîì) âõîäå.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ñëîæíîñòü â ñðåäíåì
1
Èíòóèòèâíî (íî íå òî÷íî) ñëîæíîñòü â ñðåäíåì ñðåäíåå
÷èñëî øàãîâ àëãîðèòìà ïî âñåì âõîäàì.
2
Ëåâèí è Ãóðåâè÷ ââåë èíâàðèàíòíîå ïîíÿòèå ñëîæíîñòè â
ñðåäíåì.
3
Òèïè÷íîå çàáëóæäåíèå: ñëîæíîñòü â ñðåäíåì = ÷èñëî
øàãîâ ðàáîòû àëãîðèòìà íà òèïè÷íîì (ñëó÷àéíîì) âõîäå.
4
Ñëîæíîñòü â ñðåäíåì íå ïðèãîäíà äëÿ êðèïòîãðàôèè: åñòü
àëãîðèòìû, êîòîðûå íà ïî÷òè âñåõ âõîäàõ ðàáîòàþò çà
ëèíåéíîå âðåìÿ, à èõ ñëîæíîñòü ýêñïîíåíöèàëüíà.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ãåíåðè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü
1
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä (Ðåìåñëåííèêîâ, Áîðîâèê, Ìÿñíèêîâ,
Øóïï, Êàïîâè÷, Ðûáàëîâ, Äæîêóø).
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ãåíåðè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü
1
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä (Ðåìåñëåííèêîâ, Áîðîâèê, Ìÿñíèêîâ,
Øóïï, Êàïîâè÷, Ðûáàëîâ, Äæîêóø).
2
Ãåíåðè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü = êëàññè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü íà
ìíîæåñòâå ïî÷òè âñåõ âõîäîâ.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ãåíåðè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü
1
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä (Ðåìåñëåííèêîâ, Áîðîâèê, Ìÿñíèêîâ,
Øóïï, Êàïîâè÷, Ðûáàëîâ, Äæîêóø).
2
Ãåíåðè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü = êëàññè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü íà
ìíîæåñòâå ïî÷òè âñåõ âõîäîâ.
3
Ïðîáëåìà ãåíåðè÷åñêè ïîëèíîìèàëüíà, åñëè ñóùåñòâóåò
÷àñòè÷íûé àëãîðèòì äëÿ åå ðåøåíèÿ, êîòîðûé
îñòàíàâëèâàåòñÿ íà ïî÷òè âñåõ âõîäàõ.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ãåíåðè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü
1
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä (Ðåìåñëåííèêîâ, Áîðîâèê, Ìÿñíèêîâ,
Øóïï, Êàïîâè÷, Ðûáàëîâ, Äæîêóø).
2
Ãåíåðè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü = êëàññè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü íà
ìíîæåñòâå ïî÷òè âñåõ âõîäîâ.
3
Ïðîáëåìà ãåíåðè÷åñêè ïîëèíîìèàëüíà, åñëè ñóùåñòâóåò
÷àñòè÷íûé àëãîðèòì äëÿ åå ðåøåíèÿ, êîòîðûé
îñòàíàâëèâàåòñÿ íà ïî÷òè âñåõ âõîäàõ.
4
Êàê è â ñëîæíîñòè â ñðåäíåì, ïðîáëåìû ðàññìàòðèâàþòñÿ
ñ çàäàííîé ìåðîé íà ìíîæåñòâå âõîäîâ.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ãåíåðè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü
1
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä (Ðåìåñëåííèêîâ, Áîðîâèê, Ìÿñíèêîâ,
Øóïï, Êàïîâè÷, Ðûáàëîâ, Äæîêóø).
2
Ãåíåðè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü = êëàññè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü íà
ìíîæåñòâå ïî÷òè âñåõ âõîäîâ.
3
Ïðîáëåìà ãåíåðè÷åñêè ïîëèíîìèàëüíà, åñëè ñóùåñòâóåò
÷àñòè÷íûé àëãîðèòì äëÿ åå ðåøåíèÿ, êîòîðûé
îñòàíàâëèâàåòñÿ íà ïî÷òè âñåõ âõîäàõ.
4
Êàê è â ñëîæíîñòè â ñðåäíåì, ïðîáëåìû ðàññìàòðèâàþòñÿ
ñ çàäàííîé ìåðîé íà ìíîæåñòâå âõîäîâ.
5
Ìîæíî è èíòåðåñíî ðàññìàòðèâàòü ãåíåðè÷åñêóþ
ñëîæíîñòü íåðàçðåøèìûõ ïðîáëåì.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Êëàññè÷åñêèé ïîäõîä
Àëãîðèòì (áûñòðî) ðàáîòàåò íà âñåõ âõîäàõ.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ñëîæíîñòü â ñðåäíåì
Àëãîðèòì áûñòðî ðàáîòàåò íà ïî÷òè âñåõ âõîäàõ, ìåäëåííî íà
ïëîõèõ, íî M(Tn ) ≤ p(n).
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä
Àëãîðèòì áûñòðî ðàáîòàåò íà ïî÷òè âñåõ âõîäàõ è èãíîðèðóåò
ïëîõèå.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ñðàâíåíèå ïîäõîäîâ
Ðàçðåøèìîñòü (çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ):
Êëàññè÷åñêè ðàçðåøèìà ⇒  ñðåäíåì ðàçðåøèìà ⇒
Ãåíåðè÷åñêè ðàçðåøèìà.
Êëàññè÷åñêè ðàçðåøèìà :  ñðåäíåì ðàçðåøèìà :
Ãåíåðè÷åñêè ðàçðåøèìà.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Èñòîðèÿ ïîÿâëåíèÿ ãåíåðè÷åñêîãî ïîäõîäà
1
I. Kapovich, A. Myasnikov, P. Schupp, V. Shpilrain.
Generic-case complexity, decision problems in group theory and
random walks. J. Algebra, vol. 264, no. 2 (2003), pp. 665694.
2
A.Borovik, A.Myasnikov, V.Remeslennikov Multiplicative
measures on free groups // Int. Journal of Algebra and
Computations, V.13, n.6 (2003) pp. 705731.
3
I.Kapovich, A.Myasnikov, P.Schupp, V.Shpilrain Avrage-case
complexity of the word and membership problems in group
theory // Advances in Mathematics, V.190, 2005, n.2,pp.
343359.
4
A. V. Borovik, A. G. Myasnikov, V. N. Remeslennikov, The
conjugacy problem in amalgamated products I: Regular
elements and black holes // Intern. J. of Algebra and
Computation, 17:7 (2007), 1299-1333.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Àñèìïòîòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü
Îïðåäåëåíèå
Ïóñòü I âñå âõîäû, In âñå âõîäû ðàçìåðà n.
Àñèìïòîòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü ìíîæåñòâà S ⊆ I
µ(S) = lim
n→∞
|S ∩ In |
.
|In |
Çàìå÷àíèå
|S∩In |
|In |
âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü âõîä èç S åñëè ìû ãåíåðèðóåì
âõîäû ðàçìåðà n ñëó÷àéíî è ðàâíîìåðíî.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ãåíåðè÷åñêèå ìíîæåñòâà
Îïðåäåëåíèå
Ìíîæåñòâî âõîäîâ S ⊆ I íàçûâàåòñÿ
ãåíåðè÷åñêèì åñëè µ(S) = 1
ïðåíåáðåæèìûì åñëè µ(S) = 0
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ïðèìåðû ãåíåðè÷åñêèõ è ïðåíåáðåæèìûõ ìíîæåñòâ
I = N ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ïðåäñòàâëåííûõ
äâîè÷íûìè ñòðîêàìè, ðàçìåð n äëèíà ñòðîêè n.
Ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë P ïðåíåáðåæèìî, ò.ê.
|P ∩ In |
π(2n )
=
=O
|In |
2n
1
.
n
Ìíîæåñòâî ñîñòàâíûõ ÷èñåë C ãåíåðè÷åñêîå, ò.ê.
C = N \ P.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ãåíåðè÷åñêàÿ ðàçðåøèìîñòü
Îïðåäåëåíèå
S ⊆ I ãåíåðè÷åñêè ðàçðåøèìî (çà ïîëèíîìèàëüíîå
âðåìÿ) åñëè ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî G òàêîå, ÷òî:
1
G ãåíåðè÷åñêîå
2
G ðàçðåøèìî (çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ)
3
S ∩ G ðàçðåøèìî (çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ)
Ãåíåðè÷åñêèé àëãîðèòì A äëÿ S ðàáîòàåò íà âõîäå a òàê:
1
2
3
ïðîâåðÿåò a ∈ G ?
åñëè a ∈
/ G , âûäàåò "ÍÅ ÇÍÀÞ!"
åñëè a ∈ G ðåøàåò a ∈ S ∩ G ?
Îïðåäåëåíèå
Ìíîæåñòâî BH(A) = I \ G íàçûâàåòñÿ ÷åðíîé äûðîé
àëãîðèòìà A.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ïðèìåðû
1
Ïðîáëåìà îñòàíîâêè äëÿ ìàøèí Òüþðèíãà ñ
îäíîíàïðàâëåííîé ëåíòîé (Õýìêèíñ, Ìÿñíèêîâ, 2006)
2
Ïðîáëåìà ðàâåíñòâà ñëîâ äëÿ ïîëóãðóïï Ìàðêîâà, Ïîñòà,
Öåéòèíà è Ìàòèÿñåâè÷à (Ìÿñíèêîâ, Óøàêîâ, Äîíã Âóê Âîí
2005).
3
Çàäà÷à ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ñèìïëåêñ-ìåòîä
ãåíåðè÷åñêè ýôôåêòèâåí (Ñìåéë, Âåðøèê, 1983).
4
Ïðîáëåìà èçîìîðôèçìà ãðàôîâ (Ýðäåø, Êàðï, Ëèïòîí,
1970-å).
5
Ìíîãî÷èñëåííûå NP -ïîëíûå ïðîáëåìû.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ïðîáëåìà èçîìîðôèçìà ãðàôîâ
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ïðîáëåìà èçîìîðôèçìà ãðàôîâ
ÂÕÎÄ: Ãðàôû G1 è G2 ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì âåðøèí,
çàäàííûå ìàòðèöàìè ñìåæíîñòè M(G1 ) è M(G2 ).
ÂÛÕÎÄ: ÄÀ, åñëè ãðàôû G1 è G2 èçîìîðôíû, ÍÅÒ,
èíà÷å.
Ðàçìåð âõîäà = ÷èñëî âåðøèí â ãðàôàõ.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ïðîáëåìà èçîìîðôèçìà ãðàôîâ
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ãåíåðè÷åñêàÿ ëåãêîðàçðåøèìîñòü ÈÃ
ÀËÃÎÐÈÒÌ: ñðàâíèòü ÷èñëî ðåáåð G1 è G2 (÷èñëî 1 â
ìàòðèöàõ ñìåæíîñòè). Åñëè îíî ðàçíîå, òî âûäàòü ÍÅÒ, èíà÷å
ÍÅ ÇÍÀÞ.
Äîëÿ ïàð ìàòðèö ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì 1:
Pn2
i
i
i=0 Cn2 Cn2
2
2n
2
=
√
n
C2n
2
2
n2
=
(2n2 )!
∼
2n2 (n2 !)2
2
4πn2 (2n2 /e)2n
1
√
∼ n2
→ 0.
2 =
2
2n
πn
2 · 2π(n /e)
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ãåíåðè÷åñêîé ðàçðåøèìîñòè ìàëî!
Ïóñòü G ãåíåðè÷åñêîå ïîëèíîìèàëüíîå ìíîæåñòâî òàêîå, ÷òî
n−1
|G ∩ In |
=
.
|In |
n
Áûñòðûé âåðîÿòíîñòíûé àëãîðèòì äëÿ ãåíåðàöèè âõîäîâ x ∈
/ G:
Øàã 1. Ñãåíåðèðîâàòü ñëó÷àéíûé âõîä x ðàçìåðà n.
Øàã 2. Åñëè x ∈ G , òî ïîâòîðèòü øàã 1, èíà÷å çàêîí÷èòü.
Âåðîÿòíîñòü ïîëó÷àòü âõîäû òîëüêî èç G çà n2 ðàóíäîâ:
n−1
n
n 2
=
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
1
1−
n
n n
→ e −n
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ñèëüíî ãåíåðè÷åñêàÿ ðàçðåøèìîñòü
Îïðåäåëåíèå
Ìíîæåñòâî âõîäîâ S ⊆ I íàçûâàåòñÿ ñèëüíî ãåíåðè÷åñêèì
åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ρn =
|S ∩ In |
, n = 1, 2, 3, . . .
|In |
ýêñïîíåíöèàëüíî áûñòðî ñòðåìèòñÿ ê 1.
Îïðåäåëåíèå
Ïðîáëåìà S ⊆ I ñèëüíî ãåíåðè÷åñêè ðàçðåøèìà (çà
ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ) åñëè ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî G òàêîå,
÷òî
1
G ñèëüíî ãåíåðè÷åñêîå
2
G ðàçðåøèìî (çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ)
3
S ∩ G ðàçðåøèìî (çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ)
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Íåðàçðåøèìîñòü íà ãåíåðè÷åñêèõ ìíîæåñòâàõ
Îïðåäåëåíèå
Ìíîæåñòâî S ⊆ I íàçûâàåòñÿ
ñèëüíî íåðàçðåøèìûì åñëè S íå ñèëüíî ãåíåðè÷åñêè
ðàçðåøèìî, ò.å. íåðàçðåøèìî íà ëþáîì ðåêóðñèâíîì
ñèëüíî ãåíåðè÷åñêîì ìíîæåñòâå
ñóïåð íåðàçðåøèìûì åñëè S íå ãåíåðè÷åñêè ðàçðåøèìî,
ò.å. íåðàçðåøèìî íà ëþáîì ðåêóðñèâíîì ãåíåðè÷åñêîì
ìíîæåñòâå
àáñîëþòíî íåðàçðåøèìûì åñëè S íåðàçðåøèìî íà
ëþáîì ðåêóðñèâíîì íå ïðåíåáðåæèìîì ìíîæåñòâå
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ãåíåðè÷åñêàÿ àìïëèôèêàöèÿ
Îïðåäåëåíèå
Ïóñòü I è J ìíîæåñòâà. Êëîíèðîâàíèåì I â J íàçûâàåòñÿ
ôóíêöèÿ C : I → P(J) òàêàÿ, ÷òî
1
∀x, y ∈ I x 6= y → C (x) ∩ C (y ) = ∅
2
Åñòü àëãîðèòì E : I × N → J òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ I
C (x) = {E (x, 0), E (x, 1), . . . , }
Îïðåäåëåíèå
Êëîíèðîâàíèå S ⊆ I ýòî C (S) =
S
x∈S
C (x).
Îïðåäåëåíèå
Êëîíèðîâàíèå C ñóùåñòâåííîå åñëè µ(C (x)) > 0 äëÿ âñåõ
x ∈ I è ñèëüíî ñóùåñòâåííî åñëè äëÿ âñåõ x ∈ I ìíîæåñòâî
C (x) íå ñèëüíî ïðåíåáðåæèìî.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ãåíåðè÷åñêàÿ àìïëèôèêàöèÿ
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ãåíåðè÷åñêàÿ àìïëèôèêàöèÿ
Òåîðåìà (Ìÿñíèêîâ, Ðûáàëîâ, 2008)
Ïóñòü C : I → P(J) êëîíèðîâàíèå è S ⊆ I íåðàçðåøèìî.
Òîãäà
1
Åñëè C ñóùåñòâåííî, òî C (S) ñóïåð íåðàçðåøèìî.
2
Åñëè C ñèëüíî ñóùåñòâåííîå, òî C (S) ñèëüíî
íåðàçðåøèìî.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ïðîáëåìà îñòàíîâêè
Òåîðåìà (Ðûáàëîâ, 2007)
Ïðîáëåìà îñòàíîâêè ñèëüíî íåðàçðåøèìà.
P ìíîæåñòâî ïðîãðàìì âñåõ ìàøèí Òüþðèíãà. Êëîíèðîâàíèå
C : P → P(P) äîáàâëÿåò íîâûå ñîñòîÿíèÿ è ê ïðîãðàììå
(q1 , 0) → (qj1 , t1 , D1 ),
(q1 , 1) → (qj2 , t2 , D2 ),
...
(qn , 1) → (qj2n , t2n , D2n )
ïðîèçâîëüíûå êîìàíäû äëÿ íîâûõ ñîñòîÿíèé
(qn+1 , 0) → (qk1 , u1 , E1 ),
(qn+1 , 1) → (qk2 , u2 , E2 ),
...
(qn+m , 1) → (qk2m , u2m , E2m )
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ïðîáëåìà ðàâåíñòâà â ïîëóãðóïïàõ
S = ha1 , . . . , am |Ri ïîëóãðóïïà ñ íåðàçðåøèìîé ïðîáëåìîé
ðàâåíñòâà.
Òåîðåìà (Ìÿñíèêîâ, Ðûáàëîâ, 2008)
 ïîëóãðóïïå S + (x) = hA, x|R, xai = x, xx = xi ïðîáëåìà
ðàâåíñòâà ñóïåð íåðàçðåøèìà.
Ïóñòü A = {a1 , . . . , an } è Ax = A ∪ {x}. Êëîíèðîâàíèå îòîáðàæåíèå èç A∗ × A∗ â A∗x × A∗x :
C (w1 , w2 ) = {(w1 xv , w2 xu) : v , u ∈ A∗x }.
Òåîðåìà (Ãèëìàí, Ìÿñíèêîâ, Îñèí, 2010)
Ñóùåñòâóåò êîíå÷íî îïðåäåëåííàÿ ãðóïïà ñ ñèëüíî
íåðàçðåøèìîé ïðîáëåìîé ðàâåíñòâà.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ãåíåðè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü òåîðèé ïåðâîãî ïîðÿäêà
1
Ïóñòü Th(A) íåðàçðåøèìàÿ òåîðèÿ. Áóäåò ëè Th(A)
ãåíåðè÷åñêè ðàçðåøèìîé?
2
Ïóñòü Th(A) ðàçðåøèìàÿ òåîðèÿ ñ âûñîêîé
âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòüþ. Áóäåò ëè Th(A) ãåíåðè÷åñêè
ðàçðåøèìîé çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ?
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ïðåäñòàâëåíèå ôîðìóë
∀x1 ∀x2 ∃x3 (((x1 = x2 ) ∨ (x2 = x1 + x3 ))&(x1 = x2 x3 )) ∨ (x3 6= x2 x1 )
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ãåíåðè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü òåîðèé
1
Åñëè òåîðèÿ íåðàçðåøèìà, òî îíà ñèëüíî íåðàçðåøèìà
(Ðûáàëîâ, Ìÿñíèêîâ, 2008).
2
Àðèôìåòèêà Ïðåñáóðãåðà ñèëüíî íåðàçðåøèìà çà
ýêñïîíåíöèàëüíîå âðåìÿ (Ðûáàëîâ, 2010).
3
Ïðè óñëîâèè P = BPP òåîðèÿ óïîðÿäî÷åííîãî ïîëÿ R
ñèëüíî íåðàçðåøèìà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ (Ðûáàëîâ,
Ôåäîñîâ, 2011).
4
Äåñÿòàÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà ñèëüíî íåðàçðåøèìà
(Ðûáàëîâ 2011).
5
Ïðè óñëîâèè P = BPP è P 6= NP ïðîáëåìà âûïîëíèìîñòè
áóëåâûõ ôîðìóë ñèëüíî íåðàçðåøèìà çà ïîëèíîìèàëüíîå
âðåìÿ (Ðûáàëîâ, 2012).
6
Ïðè óñëîâèè P = BPP è P 6= PSPACE ïðîáëåìà
èñòèííîñòè áóëåâûõ ôîðìóë ñèëüíî íåðàçðåøèìà çà
ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ (Ðûáàëîâ, 2012).
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Ýôôåêòèâíàÿ ãåíåðàöèÿ ïëîõèõ âõîäîâ
Òåîðåìà (Ðûáàëîâ, 2012)
Äëÿ ëþáîãî ïîëèíîìèàëüíîãî ãåíåðè÷åñêîãî àëãîðèòìà A,
ðåøàþùåãî
Äåñÿòóþ ïðîáëåìó Ãèëüáåðòà.
Ïðîáëåìó îñòàíîâêè äëÿ ìàøèí Òüþðèíãà.
Íåðàçðåøèìóþ òåîðèþ ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Àðèôìåòèêó Ïðåñáóðãåðà.
ñóùåñòâóåò ïîëèíîìèàëüíûé âåðîÿòíîñòíûé àëãîðèòì, êîòîðûé
ïî ÷èñëó n ãåíåðèðóåò âõîä èç BH(A) ñ âåðîÿòíîñòüþ > 1 − e1n .
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Îòêðûòûå ïðîáëåìû
Áóäóò ëè ãåíåðè÷åñêè ðàçðåøèìû (çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ)
ñëåäóþùèå ïðîáëåìû:
1) Ôîðìàëüíàÿ àðèôìåòèêà?
2) Àðèôìåòèêà Ïðåñáóðãåðà?
3) Óïîðÿäî÷åííîå ïîëå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë?
4) Ïîëå p -àäè÷åñêèõ ÷èñåë?
5) Ïðîáåìà èñòèííîñòè áóëåâûõ ôîðìóë?
6) Ïðîáëåìà âûïîëíèìîñòè áóëåâûõ ôîðìóë?
7) Ïðîáëåìà îñòàíîâêè äëÿ ìàøèí ñ äâóíàïðàâëåííîé ëåíòîé?
8) Äåñÿòàÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà?
9) Ïðèìåð ê.ï. ãðóïïû ñ ñóïåð íåðàçðåøèìîé ïðîáëåìîé
ðàâåíñòâà.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
×òî äàåò ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä?
1
Âîçíèêëè íîâûå ïîñòàíîâêè àëãîðèòìè÷åñêèõ ïðîáëåì,
ñâÿçàííûå ñ êëàññè÷åñêèìè àëãîðèòìè÷åñêèìè
ïðîáëåìàìè.
2
Íîâûå ìåòîäû îöåíêè õîðîøèõ ÷àñòåé àëãîðèòìè÷åñêèõ
ïðîáëåì, ÷åðíûõ äûð àëãîðèòìîâ (êîìáèíàòîðíûå è
òåîðåòèêî-âåðîÿòíîñòíûå ìåòîäû, öåïè Ìàðêîâà è ò.ä.).
3
Ãåíåðè÷åñêàÿ òåîðèÿ ðåêóðñèè (ðàáîòû Äæîêóøà,
ãåíåðè÷åñêàÿ èåðàðõèÿ Åðøîâà è äð.).
4
Íîâûå ìåòîäû îöåíêè ñòîéêîñòè êðèïòîãðàôè÷åñêèõ
ñèñòåì (ñèñòåìû, îñíîâàííûå íà íåêîììóòàòèâíûõ
ãðóïïàõ).
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì
Áèáëèîãðàôèÿ
1
2
3
4
5
6
I. Kapovich, A. Myasnikov, P. Schupp, V. Shpilrain.
Generic-case complexity, decision problems in group theory and
random walks. J. Algebra, vol. 264, no. 2 (2003), pp. 665694.
A. Rybalov. On the strongly generic undecidability of the
Halting Problem. Theoretical Computer Science, vol. 377
(2007), pp. 268270.
A. Myasnikov, A. Rybalov. Generic complexity of undecidable
problems. Journal of Symbolic Logic, vol. 73, no. 2 (2008), pp.
656673.
A. Rybalov. Generic Complexity of Presburger Arithmetic.
Theory of Computing Systems, vol. 46, no. 1, (2010), pp. 28.
À. Ðûáàëîâ, Â. Ôåäîñîâ. Î ãåíåðè÷åñêîé ñëîæíîñòè
àëãåáðû Òàðñêîãî // Âåñòíèê Îìñêîãî óíèâåðñèòåòà, 2,
2011, Ñ. 39-43.
À. Ðûáàëîâ. Î ãåíåðè÷åñêîé íåðàçðåøèìîñòè Äåñÿòîé
ïðîáëåìû Ãèëüáåðòà // Âåñòíèê Îìñêîãî óíèâåðñèòåòà,
4, 2011, Ñ. 19-22.
Àëåêñàíäð Ðûáàëîâ
Ãåíåðè÷åñêèé ïîäõîä ê àëãîðèòìè÷åñêèì ïðîáëåìàì