1.5. Фундаментальный S

КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
И МОДЕЛИРОВАНИЕ 2009 Т. 1 № 2 С. 161−171
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Решение краевых задач с помощью S-сплайна
Д. А. Силаев1,a, Д. О. Коротаев2
1
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова,
механико-математический факультет,
119991, ГСП-1, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, Главное здание
2
Институт автоматизации проектирования РАН,
123056, г. Москва, 2-я Брестская ул., д. 19/18
E-mail: a [email protected]
Получено 25 сентября 2008 г.
Данная работа посвящена применению теории S-сплайнов для решения уравнений в частных
производных на примере уравнения Пуассона. S-сплайн — кусочно-полиномиальная функция,
коэффициенты полиномов которой определяются из двух условий: первая часть коэффициентов
определяется условиями гладкой склейки, остальные определяются методом наименьших квадратов. В зависимости от порядка рассматриваемых полиномов и соотношения между количеством условий первого и второго типов мы получаем S-сплайны с разными свойствами. На настоящий момент изучены сплайны 3-й степени класса C 1 и сплайны 5-й степени класса C 2 (т. е. на них
накладывались условия гладкой склейки вплоть до первой и второй производных соответственно).
Мы рассмотрим, каким образом могут быть применены сплайны 3-й степени класса C 1 при решении уравнения Пуассона на круге и в других областях.
Ключевые слова: теория S-сплайнов, уравнение Пуассона, решение дифференциальных уравнений
Solving of boundary tasks by using S-spline
D. A. Silaev1, D. O. Korotaev2
1
Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, MSU, Glavnoe Zdanie, GSP-1,
Leninskiye Gory, Moscow, 119991, Russia
2
Institute for Computer Aided Design, 2nd Brestskaya str. 19/18, Moscow, 123056, Russia
Abstract. — This article is dedicated to use of S-spline theory for solving equations in partial derivatives. For
example, we consider solution of the Poisson equation. S-spline — is a piecewise-polynomial function. Its coefficients are defined by two states. The first part of coefficients are defined by smoothness of the spline. The second coefficients are determined by least-squares method. According to order of considered polynomial and number of conditions of first and second type we get S-splines with different properties. At this moment we have
investigated order 3 S-splines of class C1 and order 5 S-splines of class C 2 (they meet conditions of smoothness
of order 1 and 2 respectively). We will consider how the order 3 S-splines of class C1 can be applied for solving
equation of Poisson on circle and other areas.
Key words: S-spline theory, Poisson equation, differential equations solving
Citation: Computer Research and Modeling, 2009, vol. 1, no. 2, pp. 161–171 (Russian).
© 2009 Д. А. Силаев, Д. О. Коротаев
Д. А. Силаев, Д. О. Коротаев
162
1. Одномерный S-сплайн
1.1. Определение одномерного S-сплайна
Рассмотрим на отрезке [a b] равномерную сетку {xk }kk 0K , xk  a  kh, h — шаг сетки.
Рассмотрим на [a b] еще одну равномерную сетку {l }ll 0L , l  a  lH , H  mh m  Z  Пусть
y  ( y0  y1 … yK )  R K 1 и y0  R. Обозначим


n





j 2



P n u  u ( x)  a0  a1 x   a j x j 
множество полиномов степени n с фиксированными коэффициентами a0  a1. Рассмотрим функM
ционал:  l (u )   (u (l  kh)  yml  k ) 2 .
k 0
n
В классе P ищется такой полином, который минимизирует l и удовлетворяет следующим начальным условиям:
(1.1)
a00  y0  a10  y0
и условиям гладкой склейки двух последовательных полиномов
a0l  gl 1 (l  l 1 )  gl 1 ( H ) a1l  g l 1( H )
(1.2)
Определение 1. S-сплайном назовем функцию Smn  M ( x), которая совпадает с полиномом g l ( x) на отрезке l  x  l 1 .
Определение 2. Периодическим S-сплайном называется S-сплайн, являющийся периодической функцией на отрезке [a b].
Предположение периодичности означает замену начальных условий (1.1) на следующие
условия периодичности:
a00  g L 1 ( H ) a10  g  L 1( H ).
(1.3)
Здесь L — число полиномов, составляющих сплайн.
1.2. Построение системы линейных уравнений
Условия минимизации функционала l (u ) дадут нам следующие уравнения:







S2 a0l  S3 a1l h  S4 a2l h 2  S5 a3l h3  P1l ,
S3a0l  S4a1l h S5a2l h2  S6a3l h3  P2l ,
(1.4)
где
M
M
k 0
k 0
S j   k j  Pjl   yml  k k j 1 
(1.5)
Произведем замену переменных ai  ai hi  i  01 2 3 При этом уравнения (1.2) и (1.4) преобразуются в следующие:
a l01  ma1l 1  m2 a l21  m3 a 3l 1  a l0,

2 l 1
l 1
l 1
l
 a1  2ma 2  3m a 3  a1,







S2 a l0  S3 a1l  S4 a l2  S5 a l3  P1l ,
S3 a l0 S4 a1l  S5 a l2 S6 a 3l  P2l ,
(1.6)
(1.7)
____________________ КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ____________________
Решение краевых задач с помощью S-сплайна
163
Обозначим матрицы:
A1 
S2
S3
S3
S
 A2  4
S4
S5
S5
1 m
m2 m3
 B1 
 B2 

S6
0 1
2m 3m2
Кроме того, пусть
 l 
 l 
P
a 
a 
и X 2l   0   X 2l 1   2   где l  01… L  1
l


 al 
P
a
 1
 3
 l 
 1 


 l 
 2 
Pl  
Тогда систему уравнений для определения коэффициентов периодического сплайна можно
записать в виде



















E
A1
B1
0
0
0
A2
B2
0
0
0
0
E
A1
B1
0
0
0
A2
B2
… B1
… 0
… 0
… 0
… 0
B2  

0  

0  

0  

0 
0
0
0
0
… A1
A




 
2  

















2 L 1 


X0
X1
X2
X3
X4
X



















0 

P 0 

0 

 P1  .

0 
P
(1.8)




L 1 


1 0
.
0 1
Для непериодического сплайна первые две строки заменяются на стартовые условия (1.1).
Введем обозначение1:
Размерность этой системы — 4L x 4 L. Здесь E, как обычно, единичная матрица: E 
1
U
1 2
1
m T35  m3T34
A
A
m
m2
2 T35 3 T34
A
A
1
1
m m2T45  m3T34
A
A

m
m2
12 T45 3 T44
A
A
(1.9)
где
A  det( A2 )  det
S4
S5
S5
 S4 S6  S52  0
S6
Tij  Si S j  Si 1S j 1.
(1.10)
(1.11)
Если сделать некоторые преобразования, то система (1.8) распадается на систему размерности 2L x 2 L :
 E

U
 0


 0

0
E
U
0
0
E
0
0
  X 0    B2 A21 P L 1 



 

1P0 
2 

B
A
X




2 2








1
1
4
  X     B2 A2 P  ,







 





1 L  2 

2 L2 
 B A P


 E   X
2 2



U
0
0
(1.12)
1
Матрицу U назовем матрицей устойчивости, поскольку, как мы увидим далее, она определяет устойчивость
сплайна.
_____________________________________ 2009, Т. 1, № 2, С. 161–171 ______________________________________
Д. А. Силаев, Д. О. Коротаев
164
из которой находятся первый и второй коэффициенты полиномов. Остальные два коэффициента определяются из метода наименьших квадратов (1.4). Заметим, что матрица U, определенная
нами выше, может быть также записана в виде U  B1  B2 A21 A1.
1.3. Существование и единственность S-сплайнов
Теорема 1. При любых начальных условиях и для любых констант m и M существует
и единственен непериодический сплайн Sm M [ y]( x).
Теорема 2. Пусть числа m и M таковы, что собственные числа матpицы U не равны корню степени L из единицы. Тогда существует и единственен периодический сплайн Sm M [ y]( x).
1.4. Сходимость S-сплайнов
Теорема 3. Пусть f ( x)  C4 [a b] — периодическая функция и пусть выполнены предположения
 f ( xk )  fk  Ch4 
(1.13)
где константа C не зависит от h. Пусть, кроме того, собственные числа матрицы U (1.9)
по модулю меньше единицы. Тогда периодический сплайн Sm M ( x) с узлами на равномерной
сетке l  a  lH имеет дефект два (т. е. Sm3  M ( x)  C1[a b] ), и для x  [a b] справедливы следующие оценки:
f ( p ) ( x)  Sm( p M) ( x)  C p h4 p  p  01 2 3.
(1.14)
Теорема 4. Пусть f ( x)  C4 [a b] и пусть выполнены предположения
 f ( xk )  f k  Ch4   f (0)  f 0  Ch3 
(1.15)
где константа C не зависит от h. Пусть, кроме того, собственные числа матрицы U (1.9) по
модулю меньше единицы. Тогда непериодический сплайн Sm M ( x) c узлами на равномерной сетке
l  a  lH имеет дефект два (т. е. Sm3  M ( x)  C1[a b] ), и для x [a b] справедливы следующие
оценки:
f ( p ) ( x)  Sm( p M) ( x)  C p h4 p  p  01 2 3.
(1.16)
Замечание. Как показано в работе [1], выполнение условия m  M  * , где  *  0,93, обеспечивает устойчивость, собственные числа матрицы U оказываются по модулю меньше единицы.
1.5. Фундаментальный S-сплайн
Фундаментальный S-сплайн B j ( x) — это периодический или непериодический S-сплайн,
построенный по данным y  ( y0  y1 … yK )  R K 1 и y0  R вида: { y i   ij, i  0,..., K }. Легко видеть, что линейная комбинация
K
 y B ( x)  S ( x)
j 0
j
j
является S-сплайном, приближающим началь-
ные данные  yi  i  0… K .
____________________ КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ____________________
Решение краевых задач с помощью S-сплайна
165
Приведем графики фундаментальных S-сплайнов для периодического случая (см. рис. 1).
Рис. 1
2. S-сплайн на круге
2.1. Построение   r -сплайна
Будем рассматривать на единичном круге полярные сетки:
{i  ih1  i  01… K1} { k  kH1  k  0… L1}
H1  m1h1  K1  m1 L1  K1h1  2 ,
{rj  jh2  j  01… K 2 } {Rl  lH 2  l  0… L2 }
H 2  m2 h2  K 2  m2 L2  K 2 h2  1
Будем строить аппроксимацию функции f (  r ) на круге при условии, что функция f имеет 4 производных по переменным r и  , т. е.
f  C 4 [01]  [0 2 ].
(2.1)
Пусть { yij  f (i  rj ) i  0… K1 j  0… K 2 } — значения в узлах сетки, по которым будет
проводиться аппроксимация. При каждом j  1… K 2 построим периодический S-сплайн S j ( )
на отрезке [0 2 ] по начальным данным { yij  i  0… K1}. Каждый из этих сплайнов аппроксимирует функцию f (  rj ) на окружности с радиусом r j , причем в силу теоремы о сходимости
S (j p ) ( ) 
 p f (  rj )

p
 Ch14 p   [0 2 ]
p  01 2 3
Далее, фиксируем произвольное  [0 2 ]. Рассмотрим набор {z j  S j ( ) j 1… K 2  z0  y00 }.
Также обозначим z0 — значение, получаемое по некоторому алгоритму по набору {z j }, которое приближает f  r ( r   ) r  0 с порядком не ниже третьего. Например,
z 0 
1
h2
3
1


3( z1  z0 )  2 ( z2  z0 )  3 ( z3  z0 ) 


(2.2)
— приближение производной с третьим порядком аппроксимации.
По набору {z j } и z0 строим S (r ) — непериодический S-сплайн на отрезке [01]. Будем считать, что m2  M 2  (здесь    0,93096). Это гарантирует, что собственные значения матрицы U
_____________________________________ 2009, Т. 1, № 2, С. 161–171 ______________________________________
Д. А. Силаев, Д. О. Коротаев
166
по модулю не будут превосходить единицы. Тогда, построенный для  сплайн S (r ) будет аппроксимировать функцию f (  r ) при r [01].
Определение 3. Назовем   r -сплайном функцию S ( r ) , значение которой при любых r
и  определяется по следующему алгоритму: по набору {z j  S j ( ) j  1… K 2  z0  y00 }, z0
строим S (r ), затем полагаем S (  r )  S (r ).
По-другому S (  r )  S (r )  {z j  S j ( ) j  1… K 2  z0  y00 }.
Очевидно, что этот сплайн можно дифференцировать по r 3 раза в любой точке, не принадлежащей сетке, т. е. при r  R j . При r  R j определим производную следующим образом:
p
p
S (  r )  p S (  r  0)
p
r
r
p  01 2 3
Определение 4. Назовем p-й производной по  от   r -сплайна ( p  1 2 3) функцию
p
 p
S (  r ) на единичном круге, которая равна   r -сплайну, построенному по набору


dp
z

S j ( ) j  1… K 2  z0  0
 j
p
d


p  1 2 3
(2.3)
Как и в случае с производной по r , под производной по  в точках    k понимается значение в точке    k  0.
2.2. Получение S-сплайна на круге как явной функции двух переменных
Будем обозначать фундаментальные сплайны по  как Ci ( ), а фундаментальные сплайны по аргументу r как D j (r ).
S (  r )  S (r )  {z j  S j ( ) j  1… K 2  z0  y00 }  S (r ) 
K2
K2
K1 1
K1 1 K 2
j 0
j 0
i 0
i 0 j 0
  z j D j (r )   D j (r )  yij Ci ( )    yij Ci ( ) D j (r ).
(2.4)
Предпоследнее равенство следует из определения набора {z j  S j ( )} и разложения по фунK1 1
даментальным сплайнам S j ( )   yij Ci ( ). График фундаментального сплайна представлен
i 0
на рис. 2.
Рис. 2
____________________ КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ____________________
Решение краевых задач с помощью S-сплайна
167
Теперь рассмотрим укрупненную сетку круга { k  kH1  k  0… L1} где H1  m1h1 ,
и {Rl  lH 2  l  0… L2 } где H 2  m2 h2 . Рассмотрим вид S-сплайна в некотором произвольном
секторе этой сетки:
  kH1    r  lH 2  r  где    H1 и  r  H 2 .
(2.5)
В этом секторе фундаментальные BS-сплайны согласно определению S-сплайна представляются в виде полиномов третьей степени:
3
3
p 0
q 0
Ci ( )   cipk  p D j (r )   cqlj r q.
Подставляя эти выражения в формулу для S ( r ) и меняя порядок суммирования, получим
K1 1 K 2
3
3
p 0
q 0
S (  r )    yij  cipk  p  d qlj r q 
i 0 j 0
3
3
 K1 1 K 2



 i 0 j 0



3
3
    p r q    yij cipk d qlj     a klpq  p r q.
p 0 q 0
(2.6)
p 0 q 0
Представление сплайна на круге в виде разложения по одномерным фундаментальным сплайнам (2.4) позволяет определить понятие смешанной производной для двумерного сплайна.
 pq
Определение 4. Под смешанной производной двумерного сплайна
S (r , ) 0  p 
 p r q
K1 1 K 2
dp
dq
C
(

)
D j (r ), состоящая из форq  3, понимается следующая конечная сумма   yij
i
d p
dr q
i 0 j 0
мальных производных от соответствующих фундаментальных сплайнов по r и  .
2.3. Сходимость двумерного сплайна
Обозначим h  max(h1  h2 ).
Теорема 5. Пусть m1  M 1  , m2  M 2  и выполнены условия
f  C 4 [01]  [0 2 ].
(2.7)
Тогда для сплайна S ( r ) справедливы оценки
 pq
 pq
S
(


r
)

f ( r )  C pq h4 p  q  где 0  p  q  3.
 p r q
 p r q
Доказательство следует из построения двумерного сплайна, представления его в виде линейной комбинации фундаментальных одномерных сплайнов, а также из сходимости одномерных сплайнов.
2.4. Решение краевых задач с помощью сплайнов
Рассмотрим уравнение Пуассона c некоторыми граничными условиями
 1   u  1  2u
  p(r , ), (r ,  )  D,

r  2
2
 r r  r  r 

u (r , ) D  f (r , ).

(2.8)
Пусть D — некоторая область, лежащая внутри единичного круга.
_____________________________________ 2009, Т. 1, № 2, С. 161–171 ______________________________________
Д. А. Силаев, Д. О. Коротаев
168
Предлагаемый метод решения состоит из следующих шагов:
1) представление предполагаемого решения уравнения в виде линейной комбинации фундаментальных сплайнов;
2) применение метода Галеркина к уравнению в пространстве фундаментальных сплайнов;
3) подстановка граничных условий.
Рассмотрим последовательно эти шаги. Представим решение уравнения в виде
K1 1 K 2
S (  r )   uij Ci ( ) D j (r ),
(2.9)
i  0 j 1
где Ci ( ) и D j (r ) — соответствующие фундаментальные одномерные сплайны.
Домножим исходное уравнение на r . Теперь будем домножать уравнение скалярно на
Cl ( ) Dk (r ), где пары индексов l , k пробегают все значения l  0, , K1  1, k  1, , K 2 , но такие,
что (h2 k , h1l )  D (т. е. только для внутренних узлов области D). В нашем случае в качестве скалярного произведения возьмем интеграл по области D. Получим уравнение
  2u u 1  2u 
2
D r r 2  r  r  2 Cl ( ) Dk (r )rdrd  D p(r, )Cl ( ) Dk (r )r drd.
(2.10)
Заметим, что под интегралом вошел также якобиан r от преобразования в полярные координаты. Рассмотрим процесс интегрирования на примере круга. В случае других областей
можно действовать подобным образом. Область интегрирования разбиваем на сектора вида
r [ Rq , Rq 1 ],  [ p ,  p 1 ], где Rq  qH 2 , q  0,..., L2 ,  p  pH1 , p  0,..., L1. После этого мы можем разбить двойной интеграл на одномерные.
Преобразуем левую часть следующим образом:
L1 1 L2 1  Rq1  p1

  2u u 1  2u 
 2u u 1  2u


r


C
(

)
D
(
r
)
rdrd


r


C ( ) Dk (r )rdrd .
 


2
2 l
D  r 2 r r  2  l k
r
r r 
p  0 q  0  Rq  p



Теперь подставим разложение (2.9) и проинтегрируем по частям:
Rq1
 p1


2


uij   r D j (r ) Dk (r )  rD j (r ) Dk (r )dr  Ci ( )Cl ( )d 

i , j p ,q
p

 Rq
 p1
Rq1


D j (r ) Dk (r )dr

p
Rq
2rD j (r ) Dk  (r )dr
Rq1


Rq1

 2 
Ci( )Cl ( )d    uij r D j (r ) Dk (r )
  rDj (r ) Dk (r ) 
Rq
i , j p ,q
Rq




 p 1

Rq 1
Ci ( )Cl ( )d 
p

Rq
 p 1

 
 p 1
D j (r ) Dk (r )dr  Ci ( )Cl ( )
  Ci ( )Cl ( ) d   


p
p



1
 2


  uij   Cl ( )Ci ( )d Dk (1) D j (1)    rDk (r ) D j (r )  2rDk  (r ) D j (r )dr  

i, j
0
0

2


  Cl ( )Ci ( )d  Dk (r ) D j (r )dr     p(r , )Cl ( ) Dk (r )r 2 drd.

0
0
D

1
(2.11)
____________________ КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ____________________
Решение краевых задач с помощью S-сплайна
169
Последнее уравнение ввиду произвольности выбора l и k представляет собой систему для
определения коэффициентов uij . Чтобы сделать ее полной, нам необходимо учесть граничные
условия, которые дадут нам недостающее число уравнений
u C
ij
i
( ) D j (r )
i, j
 f ( , r ).
D
Для круга радиуса единица они будут иметь вид
u C ( )D (1)  f ( ),
ij
i
l
j
l  0,
, K1  1.
(2.12)
i, j
В общем же случае нам необходимо поставить граничные условия в точках пересечения
сетки с границей области D, но столько, сколько нам недостает уравнений (с учетом того количества уравнений, которое получилось для полностью внутренних точек области). Встает закономерный вопрос о том, каким образом выбирать пары индексов (i, j ), которые определяют фундаментальные сплайны, участвующие в разложении предполагаемого решения, для произвольной
области внутри единичного круга. Во-первых, мы берем индексы, соответствующие всем внутренним узлам сетки, как мы это делали при домножении уравнения на фундаментальные сплайны. Во-вторых, мы берем все точки, лежащие на границе или ближайшие к ним узлы, если двигаться по лучам сетки по направлению от границы.
Из системы уравнений (2.11) и (2.12) мы получаем коэффициенты uij в разложении решения по фундаментальным сплайнам, т. е. искомое приближенное решение.
Теорема 6. Пусть u (r , ) — точное решение уравнения (2.8), а S (r , ) — приближенное
решение, полученное в результате вышеописанного метода. Пусть, кроме того, собственные значения матрицы U, построенной для сплайнов по r и по  , по модулю меньше единицы. Тогда
верна оценка
u (r , )  S (r , )  Ch 4 , где h  max(h1 , h2 ).
K1 1 K 2
Доказательство. Аппроксимируем точное решение u сплайном S (r , )    vij Ci ( ) D j (r ).
i  0 j 1
Пусть u  C . Обозначим y  u  S . Тогда, применив теорему 5, получим, что y ( n ) (r , )  C1h4 n ,
4
где n  0,1,2,3. Так как u — точное решение уравнения (2.8), то будет выполнено интегральное
тождество
2
2
 uCl ( ) Dk (r )r drd  p(r , )Cl ( )Dk (r )r drd.
D
D
Разобьем область интегрирования на сектора, как мы это делали в методе Галеркина. Тогда мы сможем почленно дифференцировать u  y  S два раза:
Rq1  p1


  2

 1 2 




( y  S ) Cl ( ) Dk (r )r 2 drd    r 2 p(r , )Cl ( ) Dk (r )drd.
     2


2 
r r  
p  0 q  0  Rq  p   r

 D


L1 1 L2 1
Теперь перенесем члены с y в правую часть, а оставшиеся проинтегрируем по частям, как
мы это делали в методе Галеркина:
2
1



 (1)  rD (r ) D  (r )  2rD  (r ) D  (r )dr  
v
C
(

)
C
(

)
d

D
(1)
D
 k


ij  
l
i
j
k
j
0 k j
i, j
0



2
1


  Cl (r )Ci ( )d  Dk (r ) D j (r )dr  

0
0

_____________________________________ 2009, Т. 1, № 2, С. 161–171 ______________________________________
Д. А. Силаев, Д. О. Коротаев
170
   p(r , )Cl ( ) Dk (r )r drd  
2
Rq 1  p 1
 
y (r ,  )Cl ( ) Dk (r )drd.
p
p , q Rq
D
Как мы видим, полученная система уравнений совпадает с системой (2.11) с точностью до
членов с y. Матрицу этой систему обозначим A  alkij . Введем обозначение z  S (r , )  S (r , ) 
  (uij  vij )Ci ( ) D j (r ). Вычтем из полученной системы систему (2.11), тогда получим систему
i, j
a
ij
lk
(uij  vij )  ylk , или Az  y.
i, j
Rq 1  p 1


Здесь z  zij zij  uij  vij , а y   ylk ylk     y (r , )Cl ( ) Dk (r )drd .
p , q Rq  p




Rq1  p1
 
p , q Rq
p
y (r , )Cl ( ) Dk (r )drd  
p ,q
Rq1  p1
 
Rq
y (r , )Cl ( ) Dk (r )drd 
p
Rq 1  p 1
 sup y
 
p , q Rq
Обозначим c p ,l 
sup
[  p ,  p 1 ]
Cl ( ) Dk (r )r 2 drd .
p
Cl ( ) , d q ,k  sup
r[ Rq , Rq 1 ]
Dk (r )r 2 .
Тогда в силу теоремы 5, примененной к y и ее производным, получим
Rq 1  p 1
sup y
 
p , q Rq
p
Cl ( ) Dk (r )r 2 drd  Ch 2  c p ,l d q ,k H1 H 2 
p ,q



 Cm1m2 h 4  c p ,l d q ,k  Cm1m2 h 4   c p ,l   d q ,k  .
p,q
 p
 q

Теперь покажем, что получившиеся суммы ограничены суммой сходящейся геометрической
прогрессии. Для этого нам потребуется лемма 3 для периодического и непериодического случаев, доказательство которых приведено в [1] и [2]. Из этих лемм, в частности, следует, что отклонение приближения фундаментальными сплайнами от начальных данных удовлетворяет соотношению zn  Cl (nH1 )   l ,m1n   nt zt , где  l , m1n — символы Кронекера,   max( 1 , 2 ), 1 , 2 —
собственные значения матрицы U (1.9). Аналогичные соотношения имеют место и для фундаментальных сплайнов по r . Тогда элементы сумм, стоящих в скобках, ограничены по модулю
членами сходящейся геометрической прогрессии, следовательно, их сумма ограничена суммой
бесконечной сходящейся прогрессии, причем эта сумма не зависит от шагов h1 и h2 , что и требовалось доказать.
В силу единственности S-сплайнов фундаментальные сплайны будут линейно независимыми, а, следовательно, матрица системы A является обратимой, значит:
z  A1 y и z  A1 y

zij  A1 max ylk  C2 h4 
l ,k
 S (r , )  S (r , )  C2 h 4 (следует из теоремы 5).
u(r , )  S (r , )  u(r , )  S (r , )  S (r ,  )  S (r ,  )  C1h 4  C2 h 4  Ch 4 . Теорема доказана. ■
____________________ КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ____________________
Решение краевых задач с помощью S-сплайна
171
2.5. Результаты численных расчетов
Методом, описанным выше, решалась задача:
 1   u  1  2u
 2, r  (0,1),  (0, 2 ),

r   2
2
 r r  r  r 

u (r , ) r 1  sin 2 ( ).

Ниже представлена таблица точности, полученной при разном количестве точек на отрезке
путем сравнения с точным аналитическим решением. В соответствии с теоремой, коэффициент
увеличения точности при уменьшении шага в 1,5 раза должен составлять 1,54  5,0625.
Таблица 1
Кол-во полиномов
по r или по 
Точность
2
1,99746 102
4
8, 608 103
3
6
1,79110
9
5, 46 104
14
21
1,0110
4
2,14 10
5
Коэффициент увеличения
точности
2,32
4,804
3,28
5,45
4,66
Рис. 3
Список литературы
1. Силаев Д. А., Якушина Г. И. Приближение S-сплайнами гладких функций // В кн.: Труды семинара имени И. Г. Петровского. Вып. 10. М.: Изд-во МГУ, 1984. С. 197.
2. Амилющенко А. В., Лукьянов А. И., Силаев Д. А. Применение сплайна для приближения гладких периодических функций // Вестник московского университета. N 6, 1996 г. Материалы
международной конференции и Чебышевских чтений, посвященные 175-летию Чебышева. Т. 1.
С. 22–25.
_____________________________________ 2009, Т. 1, № 2, С. 161–171 ______________________________________