Макаров Антон Александрович МК

За отчетный период были рассмотрены аппроксимационные соотношения как система
линейных алгебраических уравнений, из которой получаются пространства минимальных
сплайнов лагранжева типа произвольного порядка (порядок в дальнейшем обозначим через
m). Были получены новые явные формулы для представления минимальных сплайнов.
Установлена неожиданная связь между алгоритмами построения минимальных сплайнов и
элементарных симметрических многочленов. Среди построенных сплайнов особый интерес
вызывают сплайны, обладающие максимальной гладкостью при заданном минимальном
(компактном) носителе. Были даны примеры построения сплайнов на интервале и на отрезке,
ассоциированных с бесконечной и с конечной неравномерными сетками соответственно.
В зависимости от порождающей вектор-функции были построены полиномиальные и
неполиномиальные (тригонометрические, гиперболические, экспоненциальные) сплайны
второго порядка (m=2). Показано при каком выборе порождающей вектор-функции
получается известный полиномиальный В-сплайн второй степени. Получены явные формулы
для вычисления тригонометрических и гиперболических сплайнов. В дальнейшем при
аппроксимации использовались и другие сплайны, например, экспоненциальные, однако их
явный вид не выписывался. Это связано с тем, что в разрабатываемом программном
комплексе имеется возможность построить произвольный сплайн, задавая в явном виде
только порождающую вектор-функцию.
Для минимальных сплайнов произвольного порядка на неравномерной сетке построена
система линейных функционалов, биортогональная системе координатных сплайнов.
Получены матрицы уточняющей и разрежающей декомпозиции на интервале и на отрезке
для пространств сплайнов произвольного порядка, ассоциированных с бесконечной и с
конечной неравномерными сетками соответственно.
Для функции из пространства (m+1) раз непрерывно дифференцируемых функций построена
аппроксимация в виде линейной комбинации упомянутых сплайнов, коэффициентами
которой
являются
значения
аппроксимационных
функционалов.
В
качестве
аппроксимационных функционалов были использованы упомянутые ранее системы
биортогональных функционалов. Дано представление остатка приближения. Рассмотрены
оценки погрешности аппроксимации, в том числе и оценки, обладающие свойством точности
на компонентах порождающей вектор-функции. Проведены численные эксперименты по
аппроксимации. Для этих целей были использованы полиномиальные, тригонометрические,
гиперболические, экспоненциальные сплайны.
Геометрическое моделирование широко используется при разработке систем
автоматизированного проектирования и связано с построением кривых и поверхностей по
ограниченной информации. Методы построения кривых Безье и B-кривых (или их весового
варианта - NURBS-кривых) являются стандартом де-факто при построении кривых и
поверхностей для различных CAGD-систем. Однако, используемые полиномиальные базисы
не могут точно представить трансцендентные кривые, которые весьма часто используются в
прикладном проектировании. Активно
исследуются различные способы построения
сплайнов, обладающих свойствами B-сплайнов. Особый интерес здесь представляют
алгоритмы удаления и добавления узлов к сплайнам и сплайновым кривым, связанные с
укрупнением и измельчением исходной сетки. Cплайны и вэйвлеты (всплески) нашли
широкое применение в теории информации. Вэйвлетные разложения связаны с составлением
эффективных алгоритмов обработки (сжатия) больших потоков информации. В теории
сплайнов наиболее важными являются интерполяционные и аппроксимационные свойства,
свойства гладкости и устойчивости решения интерполяционных и аппроксимационных задач;
важно также минимизировать вычислительную сложность (объем используемых ресурсов
вычислительной системы: памяти, каналов передачи результатов, времени счета). Если
удается установить вложенность пространств сплайнов на последовательности
измельчающихся или укрупняющихся сеток и представить цепочку вложенных пространств в
виде прямой суммы вэйвлетных пространств, а также реализовать базисные функции с
минимальной длиной носителя, то вычислительная сложность оказывается приемлемой. Для
непрерывно дифференцируемых сплайнов второго порядка (m=2) и для дважды непрерывно
дифференцируемых сплайнов третьего порядка (m=3) на неравномерной сетке найдены
калибровочные соотношения (на интервале и на отрезке), дающие представление сплайнов
на исходной сетке в виде линейной комбинации такого же рода сплайнов на измельченной
(плотной) сетке, и калибровочные соотношения, дающие представление сплайнов на
укрупненной (разреженной) сетке в виде линейной комбинации такого же рода сплайнов на
исходной сетке. Такие представления ведут к вэйвлетному разложению сигналов с быстро
меняющимися характеристиками, что существенно экономит ресурсы вычислительных
систем. Известные кратномасштабные уравнения являются частным случаем полученных
калибровочных соотношений. Калибровочные соотношения позволяют получить матрицы
добавления и удаления узлов (матрицы реконструкции) для сплайнов на интервале и на
отрезке, ассоциированных с бесконечной и с конечной неравномерными сетками
соответственно.
Минимальные сплайны использовались для построения сплайновых кривых. В качестве
базиса для построения В-кривых использовались полиномиальные, тригонометрические,
гиперболические и экспоненциальные сплайны второго порядка (m=2). Решена задача
построения некоторого класса кривых, позволяющего решать задачи управления кривой при
помощи изменения управляющих параметров кривой. По заданному множеству
(упорядоченному) вершин была построена гладкая кривая, проходящая вблизи этих вершин.
Описание кривой ищется в параметрической форме. При рассмотрении «кратных» узлов
имеется возможность строить кривую, проходящую через заданный набор вершин. Для
моделирования различных кривых разработан соответствующий комплекс программ.
Аналогичные результаты справедливы для построения поверхностей.
За отчетный период была исследована возможность применения алгоритмов сплайнвэйвлетного сжатия (использовались минимальные сплайны максимальной гладкости второго
порядка на неравномерной сетке) для обработки первичной радиолокационной информации,
полученной от береговой радиолокационной станции (РЛС). Практически показана
полезность такого применения для решения конкретных задач.