специальность 05.13.18

ПРОГРАММА
экзамена для поступления в аспирантуру
(кафедра параллельных алгоритмов, специальность 05.13.18)
Моделирование физических процессов и численная реализация
1. Простейшая краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального
оператора.
2. Собственный спектр положительно определенных операторов /понятие о спектре,
собственные числа и элементы/.
3. Разложение по собственному спектру положительно определенного оператора.
4. Задача Штурма - Лиувилля.
5. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, краевые условия и краевые задачи. Задача
Коши, проблема существования и единственности решения.
6. Задачи Дирихле и Неймана.
7. Вариационный метод.
8 Уравнение теплопроводности, волновое уравнение.
9. Метод итерации. Теорема о сжатых отображениях.
10. Решение систем алгебраических уравнений методами итераций
11. Решение системы алгебраических уравнений методами исключений.
12. Оценки погрешности приближенного решения системы.
13. Итерационный метод нахождения собственных значений и собственных векторов
матриц.
14. Интерполирование. Погрешность, конечные разности.
15. Формулы Лагранжа и Ньютона.
Вычислительные методы
16. Машинные представления действительного числа. Влияние формы представления на
вычислительный процесс.
1
17.
Задачи линейной алгебры. Понятие о псевдорешении.
18.
Гладкая аппроксимация и интерполяция. Сплайны Шонберга. Минимальные
сплайны.
19.
Производная нелинейной операции. Метод Ньютона.
20.
Вторая производная нелинейной операции. Скорость сходимости метода Ньютона.
21.
Вычисление многократных интегралов. Кубатурные формулы. Метод Монте-Карло.
22.
Метод последовательных приближений для интегральных уравнений.
23.
Метод механических квадратур. Метод моментов.
24. Некорректные задачи. Постановки Адамара и Тихонова, Понятие о регуляризаторе.
25. Некорректная задача для интегрального уравнения первого рода.
26. Вариационный метод. Абстрактная схема.
27. Метод Ритца дли задачи Дирихле
28. Вариационно - сеточные методы. Оценка сходимости.
29. Сеточные методы. Постановка задачи. Аппроксимация, сеточный шаблон.
30. Устойчивость и сходимость. Теорема о порядке сходимости на решении.
31. Нестационарная задача. Оценка сходимости.
32. Задача Коши. Периодические решения. Условие Неймана.
33. Задача линейного программирования. Понятие вершины. Базисные переменные.
34. Симплекс-метод для задач линейного программирования.
Теория сплайнов и вейвлетов
35. Интерполяция и аппроксимация функций. Интерполяция Лагранжа, Эрмита, ЭрмитаБиркгофа. Интерполяционные полиномы. Нахождение неточно заданной входной информации и исправление. Влияние округления при вычислениях на ЭВМ. Приближение
различными типами сплайнов.
36. Эрмитовы кубические сплайны. В-сплайны. Минимальные сплайны. Минимальные
лагранжевы сплайны. Аппроксимационные тождества.
37. Обработка информации с помощью сплайнов. Применение минимальных сплайнов
для сжатия
и восстановления числовых потоков. В том числе - сложной графической информации.
2
38.
Применение к решению задач математической физики и распараллеливание.
Решение краевых задач вариационно-разностным методом. Устойчивость вычислений.
Приближения в комплексной области. Всплески и цифровые фильтры.
39. О понятии "всплеск". Цифровые фильтры. Быстрое дискретное преобразование Фурье
40. Обработка сигналов и изображений. Естественная параллельная структура
всплесковых преобразований
41. Кратно-масштабное уравнение и масштабирующая функция. Примеры
масштабирующих функций. Прямое разложение и пространство всплесков. Ортогональное
разложение.
42.
Переход от одного базиса к другому. Формулы декомпозиции и реконструкции
43. Ортовсплески в ортогональном разложении цепочки вложенных пространств.
Кратно-масштабный анализ.
44.
Образующие минимальные сплайны. Пространства минимальных сплайнов.
Приведенный образующий минимальный сплайн и его характеристический многочлен
45. Псевдосвертка и калибровочное соотношение. Цепочки приведенных сплайнов.
Распараллеливание всплесковой фильтрации сигнала.
46. Формулы декомпозиции и реконструкции и их распараллеливание.
Распараллеливание всплесковой фильтрации сигнала с гарантированным порядком
аппроксимации
47. О построении вейвлетного разложения на неравномерной сетке.
Случайные процессы. Математическая статистика. Метод Монте-Карло.
48. Марковские процессы. Начальное распределение и переходная функция.
Конечномерные распределения.
49.
Стационарные в широком смысле процессы. Ковариационная функция и
спектральная мера. Процесс авторегрессии и скользящего суммирования.
50.
Гауссовские процессы. Простейшие свойства. Примеры.
51. Оценивание. Точечные оценки, их свойства. Оценки максимального правдоподобия.
Доверительные
интервалы.
52. Меры зависимости. Коэффициент корреляции Пирсона, Спирмена. Корреляционное
отношение.
53. Принципы построения критериев для проверки гипотез. Уровень значимости.
Мощность
критерия. Примеры критериев.
3
54. Моделирование случайных величин. Основные методы получения псевдослучайных
чисел. Методы моделирования случайных величин с заданным распределением.
Трудоемкость моделирования.
55. Моделирование марковских процессов. Моделирование гауссовских процессов.
Моделирование стационарных в широком смысле процессов.
56. Вычисление интегралов методом Монте-Карло. Методы уменьшения трудоемкости.
Оценки по поглощению и столкновению для решения интегральных уравнений. Решение
задач переноса излучения. Решение простейших задач математической физики.
Теория автоматов. Операционные системы. Распараллеливание
57. Понятие о вероятностном конечном автомате. Автоматы частного вида.
Детерминированные автоматы.
58. Способ задания вероятностных автоматов. Методы задания детерминированных
автоматов (графы, автоматная матрица, таблицы переходов и выходов, системы
канонических уравнений).
59. Операционные системы. Управление памятью. Процессы и распараллеливание в
Unix.
60.
Файловая структура в Unix. Управление файлами.
61. Алгоритмические языки высокого уровня. Объектно-ориентированное
программирование (С++, Visual C++, Fortran).
62. Программные средства для распараллеливания (MPI, Open MP, DVM)
63. Концепция неограниченного параллелизма; область ее применимости.
64. Распараллеливание методов решеия систем линейных алгебраических уравнений.
Литература
[1] Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. Высшая школа. 1977.
[2] Канторович Л.В. , Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных
пространствах., М., 1959.
[3] Крылов В.И., Бобков В. В., Монастырский П.И. "Вычислительные методы высшей
математики" Высшая школа.Минск.1972.
[4] Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Теория минимальных сплайнов. СПб.: Издательство
С.-Петербургского университета, 2000. 317 с.
[5] Чуи К. Введение в вейвлеты. М.: Мир. 2001.
4
[6] Демьянович Ю.К. Всплески \& Минимльные сплайны. СПб.: Издательство С.Петербургского университета, 2003.
[7] Вентцель Е.Д.
Курс теории случайных процессов. М.: Наука 1996
[8] Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М., Наука, 1973.
[9] Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М., Наука, 1982.
[10] Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высш. шк., 1992.
[11] Чирков М.К. Основы общей теории конечных автоматов. Изд-во ЛГУ, 1975.
[12] Вирт. Алгоритмы + структуры данных = программы. М.: Мир, 1983.
[13] Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. СПб. 2002.
[14] Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Лекции по параллельным вычислениям. СПб.:
Издательство
С.-Петербургского университета, 2003.
[15] Yukiya Aoyama, Jun Nakano. RS/6000 SP: Practical MPI Programming. IBM. Technical
Sup-port Organization. 2000. www.redbook.ibm.com
[16] А.Я.Хелемский. Лекции по функционаьному анализу. М.: МЦНМО,
2004. 552 с.
[17] И.П.Мысовских. Лекции по методам вычислений. СПб. 1998.
[18] И.К.Даугавет. Введение в келассическую теори приближения
функций. СПб. 2011. 232 с.
[19] С.Г.Михлин. Вариационные методы в математической физике. 1970. 512 с.
[20] И.Добеши. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая
динами-ка". 2001. 464 с.
[21] Ю.К.,Демьянович, И.Г.Бурова и др. Параллельные алгоритмы. Разработка и реализация.
М., 2012. 344 с.
Зав. кафедрой параллельных алгоритмов
профессор доктор физ.-мат.наук
Ю.К.Демьянович
5