Ответьте на вопросы (за все задание 20 баллов, за каждое по 2

I.Ответьте на вопросы (за все задание 18 баллов, за каждое по 2 балла)
1. Комплексное число z  1  i . Тогда arg z
/
2. Комплексное число z  3  i . Тогда z
/
3. В алгебраической форме комплексное число
2i
имеет вид
1  2i
/
4. В показательной форме комплексное число 1  i  представимо в виде
/
5. Аргумент комплексного числа (1  i 3 ) 4 равен
/
6. Модуль комплексного числа ( 3  i) 5 равен
/
4
7. Значение корня wk  4 1  i , k  0,1,2,3 , 0  arg wk 

2
равно
/
8. Расстояние между точками z1  3  i и z 2  1  3i равно
/
9.Решением уравнения z  2 z  1  2i является
/
II. Решите следующие задачи (за все задание 18 баллов, за каждое по 3 балла)
1. Функция f ( z ) 
2i
, тогда Im f ( z ) равна
z i
2. Если z  x  iy , то
3. Значениями
Arge iz
/
равен
/
Ln (i ) являются
/
4. Значениями (i) i являются
/
5. Все значения Arcth ( i ) образуют множество
/
6. Решением уравнения e z  i  0 является множество
/
III. Выберите правильный вариант ответа (за все задание 12 баллов, за каждое по 3
балла)
1. Какая функция является аналитической в C ?:
(A) z z
2.
(C)
z 2  iz
(D) Rez 2 Imz
Какая функция является гармонической в C ?:
(A) 2 x 2  y 2
3.
(B) z  i z
/
(B) x 2  iy 2
(C)
/
x 2  xy
(D)
Значение sin( iz ) равно:
(A) ch z
(B) i sh z
y
x  y2
2
/
(C)
i sin z
(D) i cos z
4. Функция f  u  iv , f (0)  0 является аналитической в C , u  2 xy . Тогда f :
(A) z 2
(B) z 3
(C)
2z 2
(D)  i z 2
IV. Решить задачи (за все задание 20 баллов, за каждое по 5 баллов)
1. С помощью формулы Коши f ( z 0 ) 
1
f ( z )dz
вычислить интеграл

2 i  z  z 0
dz
z( z   )

z 1
3. Функцию
1
разложить в ряд Тейлора в окрестности z 0  1
z3
4. Функцию
1
разложить в ряд Лорана в кольце K  z : 0  z  1  1
z ( z  1)
2
2
/
5. Вычислить Re s
z 0
V.
ez
z 2 ( z  1)
Решить задачи (за все задание 24 баллов, за каждое по 6 баллов)
С помощью теории вычетов вычислить интегралы:
a)
а)
б)
( z  1)dz
z 2 ( z  1) sin z ,
б)
 ze
z 1
1
2z
2
dz
dz
в) 
3  sin x
0

г)
 x
0
dx
2
4

2
в)
г)
V.
Решить задачи (за все задание 8 баллов, за каждое по 4 баллов)
1. С помощью вычетов разложить на простые дроби
z3
z3  z
2. С помощью теоремы Руше определить число корней уравнения
z 7  5z 4  z 2  2  0
в круге
z  1.