Якубов-МатАн-211000_62

[Оставьте этот титульный лист для дисциплины, закрепленной за одной кафедрой]
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет [Введите название факультета и отделения (если есть), на котором реализуется образовательная программа]
Программа дисциплины
Математический анализ.
для направления/ специальности
подготовки бакалавра
“Инфокоммуникационные технологии и системы связи”
Автор программы:
Якубов В.Я., [email protected]
Одобрена на заседании кафедры Высшей математики «___»____________ 2012 г
Зав. кафедрой Кузьмина Л.И.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель [Введите И.О. Фамилия]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 211000.62
«Конструирование и технология электронных средств» подготовки бакалавра
1. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки по специальности 211000.62 «Конструирование и технология электронных средств» подготовки бакалавра изучающих «Математический
анализ»:
Программа разработана в соответствии с:
 ФГОС для направления 211000.62 «Конструирование и технология электронных
средства» подготовки бакалавра;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 211000.62 «Конструирование и технология электронных средств» подготовки бакалавра, утвержденным в
2012г.
Целями освоения дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика являются изучение основ теории вероятностей и математической статистики и применение полученных знаний для решения конкретных практических задач.
2. Цели освоения дисциплины
Дисциплина “Математический анализ” обеспечивает приобретение знаний и умений в
соответствии с государственным образовательным стандартом, соответствует фундаментализации образования, формированию мировоззрения и развитию системного мышления. Она знакомит студента с основными понятиями и методами теории пределов, дифференциального и интегрального исчисления функций одного и нескольких действительных переменных.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
Знать:
 Основные положения теории пределов и непрерывных функций, теории числовых и функциональных рядов, теории дифференциальных уравнений:
 Основные теоремы дифференциального и интегрального исчисления функций
одного и нескольких действительных переменных;
Уметь:
 Решать основные задачи на вычисление пределов функций, их дифференцирование и интегрирование, на вычисление интегралов, решение дифференциальных уравнений;
Иметь навыки
 Применение стандартных методов и моделей математического анализа к решению прикладных задач.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 211000.62
«Конструирование и технология электронных средств» подготовки бакалавра
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Код по Дескрипторы – основные признаки
ФГОС/ освоения (показатели достижения
НИУ
результата)
ОК-1
способность владеть культурой
мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору
ОК-2 способность логически верно, аргументированно и ясно строить
устную и письменную речь
ОК-10 способность использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной
деятельности, применять методы
математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования
ПК-21 Способность применять системный подход и математические методы в формализации решения
прикладных задач
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Лекции, семинарские занятия
Семинарские занятия, самостоятельная работа
Лекции, семинарские занятия, самостоятельная работа
Формируется в процессе выполнения самостоятельных
работ и в процессе аудиторной работы
4. Место дисциплины в структуре образовательной программы
“Математический анализ” относится к циклу математических и естественнонаучных
дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку.
Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях приобретённых в рамках
школьной программы по математике.
Для освоения учебной дисциплины от студентов не требуется знаний и умений, выходящих за рамки школьной программы.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении всех последующих математических и других близких дисциплин, предусмотренных программой обучения.
5. Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
5
Название раздела
Функция, предел, непрерывность.
Производная
Формула Тейлора и ее применения
Итого:
Неопределённый интеграл
Определённый интеграл
Всего
часов
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
14
14
14
2
30
4
4
14
2
30
4
4
Самостоятельная
работа
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 211000.62
«Конструирование и технология электронных средств» подготовки бакалавра
6
7
8
9
10
Несобственный интеграл
Функции многих переменных
Числовые ряды
Функциональные ряды
Кратные, криволинейные и поверхностные
интегралы
Итого:
4
8
4
10
6
4
8
4
10
6
40
40
6. Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Форма контроля
1 год
1
3
4
письменная работа 40 минут
Контрольная
работа
Текущий
(неделя)
2
Параметры
√
√
письменная работа 80 минут
устный коллоквиум
80 минут
Коллоквиум
Домашнее
задание
Зачет
Промежуточный
Экзамен
Итоговый
Экзамен
6.1
√
√
устный зачёт 160 минут
устный экзамен 160 минут
√
устный экзамен 160 минут
Критерии оценки знаний, навыков
Контрольная работа состоит в решении стандартных задач по материалам курса, требующих технических навыков. Ошибки технического характера (в умеренном количестве) не влекут значительного снижения оценки. Наличие правильного подхода к решению задачи (даже
при отсутствии его технической реализации) учитывается в пользу студента.
Выставляемая оценка за контрольную работу, домашнее задание, или коллоквиум равна
среднему арифметическому полученных студентом оценок (по 10-ти балльной шкале) за отдельные задачи (вопросы на коллоквиуме).
На зачёте и экзамене проверяется умение студента: 1) формулировать и доказывать теоремы курса (демонстрируя при этом знание соответствующих определений); 2) решать стандартные задачи курса. При доказательстве теорем допустимо пользоваться соображениями и
понятиями, выходящими за рамки курса. При этом, однако, студент должен продемонстрировать знание соответствующих определений и методов.
Сдача студентом экзамена оценивается по 10-балльной системе в совокупности с накопленным баллом в соответствии со знаниями и навыками, проявленными студентом на экзамене.
Способ округления оценки – арифметический. 10-балльная оценка переводится в пятибалльную
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 211000.62
«Конструирование и технология электронных средств» подготовки бакалавра
(8-10 баллов – оценка «5», 6-7 баллов – оценка «4», 4-5 баллов – оценка «3», 0-4 балла – оценка
«2»).
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.2
Порядок формирования оценок по дисциплине
Накопленная ( Oнакоплi ) и результирующая ( O резi ) оценка за i -й модуль рассчитывается
следующим образом.
Накопленная оценка получается из учёта домашней, самостоятельной работы студента и
его работы в аудитории.
В модуле 1 проводится один зачёт:
Oрез1  0.5* Oнакопл 1 0.5* Озачёт1 .
В модуле 2 проводится контрольная работа:
Oрез 2  0.5* Oнакопл 2 0.5* Окр1 .
В модуле 3 проводятся контрольная работа и зачёт:
Oрез3  0.33  Oнакопл 3  0.33* Oкр2 *0.33  Озачёт2 .
В модуле 4 проводится итоговый экзамен.
Итоговый экзамен подразумевает проверку знаний студентов по всему курсу.
Итоговая (идущая в диплом) оценка по учебной дисциплине формируется следующим
образом:
Oитоговая  0.2  Oрез1  0.15  Oрез 2  0.2  Oрез3  0.1 Онакопл4  0.35  Оитоговый экзамен .
Способ округления оценок на всех этапах контроля: в пользу студента.
Студент, получивший неудовлетворительную оценку (меньше 4 баллов по десятибалльной шкале) за контрольную работу или за коллоквиум может исправить свой результат, переписав (один раз) контрольную работу или пересдав (один раз) коллоквиум. Результат переписывания контрольной работы или пересдачи коллоквиума умножается на коэффициент 0.7, но первоначальная оценка не может ухудшиться.
При накопленной оценке выше 7 баллов и активной самостоятельной и аудиторной работе в течение модуля студент может (по его согласию!) освобождаться преподавателем от сдачи зачёта/экзамена; в этом случае результирующая оценка совпадает с накопленной.
Неудовлетворительная (меньше 4 баллов) оценка на зачёте/экзамене является блокирующей, в этом случае результирующей оценкой является незачёт/неудовлетворительно (см.
«Положение об организации контроля знаний», http://www.hse.ru/docs/35010753.html).
7. Содержание дисциплины
I. Функция, предел, непрерывность.
Предмет математического анализа. Основные обозначения и кванторы. Действительные
числа и числовая ось. Множества на числовой прямой: отрезок, интервал, полуинтервал, окрестность точки, проколотая -окрестность точки, полуокрестности, окрестности бесконечностей ±∞. Функция, способы ее задания: аналитический, графический, табличный. Элементарные свойства функций: монотонность, ограниченность, четность, нечетность, периодичность;
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 211000.62
«Конструирование и технология электронных средств» подготовки бакалавра
примеры. Построение графиков функций с использованием сдвигов, сжатий и растяжений по
осям координат и отражений относительно начала и оси ординат.
Понятия числовой последовательности и ее предела. Ограниченные и неограниченные
последовательности, монотонные последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности, пример расходящейся ограниченной последовательности. Формулировка теоремы
Вейерштрасса о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Независимость
сходимости и предела от значений конечного числа членов последовательности. Арифметические операции над последовательностями. Предел суммы, произведения и отношения двух сходящихся последовательностей. Бесконечно малые последовательности, следствия для них. Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми последовательностями.
Переход к пределу в одном и двух неравенствах. Предел последовательности (1+1/n)n, число e.
Предел функции. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел, и
утверждение о сохранении знака. Пределы суммы, разности, произведения и отношения двух
функций. Бесконечно малые функции, следствия для них. Бесконечно большие функции, их
связь с бесконечно малыми. Примеры. Односторонние пределы и их связь с обычным (двусторонним) пределом. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Непрерывность суммы, произведения и отношения непрерывных
функций. Непрерывность многочлена и тригонометрических функций. Непрерывность сложной
функции. Элементарные функции и их непрерывность.
Определение обратной функции, ее существование для строго монотонной функции,
связь графиков взаимно обратных функций. Теорема о непрерывности функции, обратной к непрерывной строго монотонной функции (формулировка). Примеры. Устранимые разрывы в
точке, разрывы первого и второго рода, примеры. Теорема Коши о промежуточных значениях
функции, непрерывной на отрезке, и теоремы Вейерштрасса об ограниченности и достижении
наименьшего и наибольшего значений (формулировки с разбором примеров).
Асимптотическое сравнение функций, символ “о”. Асимптотическое сравнение логарифмической, степенной и показательной функций на бесконечности (без доказательства). Первый замечательный предел. Второй замечательный предел (без доказательства, по аналогии с
последовательностями). Следствия. Эквивалентность функций. Асимптотические соотношения
sin x ~ x, ln( 1  x ) ~ x, e x  1 ~ x, (1  x)  1 ~ x при x0. Замена функций эквивалентными при
вычислении пределов.
II. Производная.
Определение производной и односторонних производных. Геометрический и механический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции, имеющей
производную в данной точке. Непрерывность дифференцируемой функции. Пример непрерывной функции, не имеющей производной в данной точке. Производная суммы, произведения и
отношения дифференцируемых функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции (формулировка с пояснениями). Производные основных элементарных функций.
Производные высших порядков, формула Лейбница (без доказательства). Дифференциал функции, его геометрический смысл. Линеаризация функций. Дифференцирование параметрически
заданной функции.
Локальные экстремумы функции. Необходимое условие (теорема Ферма). Теорема Ролля. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений). Постоянство функции с нулевой производной на отрезке. Условия, достаточные для монотонности. Условия, достаточные для экстремума в данной точке. Использование первой производной при построении графиков функций. Теорема Коши. Неопределенности вида 0/0 и  /  . Правила Лопиталя (доказательство
только в случае 0/0). Примеры. Неопределенности вида 0  ,    , 0  , 1  ,  0. Способы их
раскрытия, примеры.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 211000.62
«Конструирование и технология электронных средств» подготовки бакалавра
III. Формула Тейлора и ее применения.
Многочлен Тейлора, коэффициенты Тейлора, остаточный член в формуле Тейлора.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Формула Тейлора с остаточным
членом в форме Пеано (вывод из формулы с остаточным членом в форме Лагранжа). Формулы
Маклорена для ex, sin x, cos x, (1+x), ln(1+x). Приближенное вычисление числа e и значений
тригонометрических функций с оценкой погрешности.
Достаточные условия для экстремума функции (с использованием второй производной).
Выпуклость кривой. Точки перегиба. Нахождение точек перегиба. Асимптоты графика функции: вертикальная, наклонная и горизонтальная. Способы их нахождения. Схема полного исследования функции по двум производным и характерным точкам. Пример.
IV. Неопределенный интеграл.
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменной. Интегрирование по частям. Примеры.
Интегрирование простейших дробей 4 типов. Теорема о разложимости правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей (без доказательства). Приемы построения разложений.
Интегрирование рациональных функций. Интегрирование иррациональных функций, функций
вида R(ex), R(sin x, cos x). Интегрирование степеней и произведений синуса и косинуса.
V. Определенный интеграл.
Задача о площади криволинейной трапеции. Определение определенного интеграла.
Условия существования определенного интеграла: необходимость ограниченности функции,
достаточность непрерывности и кусочной непрерывности. Основные свойства определенного
интеграла: линейность, аддитивность, независимость интеграла от значения функции в одной
точке, интегрирование неравенств, оценки. Непрерывность интеграла с переменным верхним
пределом и его дифференцируемость. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в
определенном интеграле. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
Теорема о среднем для определенного интеграла. Геометрические и физические приложения
определенного интеграла. Площади фигур, длина кривой, объем тела вращения. Работа переменной силы. Статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции плоской
пластинки.
VI. Несобственный интеграл.
Несобственный интеграл первого рода. Определение и пример вычисления. Теоремы
сравнения для интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость.
Интегрирование по частям при исследовании несобственных интегралов на условную сходимость. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций). Несобственные
интегралы с несколькими особенностями.
VII. Функции многих переменных.
Расстояние и окрестность точки в Rn, неравенство треугольника. Множества в Rn: ограниченные и неограниченные, открытые, замкнутые, связные, компакты. Сходимость последовательности точек в Rn ее эквивалентность покоординатной сходимости. Предел и непрерывность
в точке функции нескольких переменных. Непрерывность суммы, произведения, отношения
непрерывных функций, непрерывность сложной функции. Непрерывность на множестве, свойства функций, непрерывных на компакте (формулировки).
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 211000.62
«Конструирование и технология электронных средств» подготовки бакалавра
Частные производные первого порядка функции нескольких переменных. Определение
дифференцируемости в точке, непрерывность дифференцируемой функции, достаточные условия для дифференцируемости (формулировка). Производная сложной функции. Касательная
плоскость и нормаль к поверхности, заданной явным уравнением. Дифференциал, его геометрический смысл, линеаризация. Экстремум функции нескольких переменных, необходимые
условия для экстремума.
Частные производные высших порядков. Формулировка теоремы Шварца о равенстве
смешанных производных. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Достаточные условия для экстремума (формулировка). Примеры. Градиент, производная по направлению, линии уровня и поверхности уровня.
Неявные функции, постановка задачи. Формулировка теоремы существования и
единственности. Примеры. Геометрические приложения: касательная и нормаль к кривой (на
плоскости), заданной неявным уравнением, касательная плоскость и нормаль к поверхности,
заданной неявным уравнением. Условный экстремум функции многих переменных. Определение и примеры. Метод множителей Лагранжа.
VIII. Числовые ряды.
Определения ряда, частичной суммы и суммы ряда, остатка ряда, сходящегося и расходящегося рядов. Свойства рядов: одновременная сходимость ряда и его остатка, нулевой предел
остатка, линейность, необходимый признак сходимости ряда. Исследование сходимости по
определению.
Ряд с неотрицательными членами. Существование конечной или бесконечной суммы такого ряда. Достаточные признаки сходимости: признак сравнения, предельный признак сравнения, радикальный признак Коши, признак Даламбера, интегральный признак Коши. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница
и оценка остатка такого ряда.
IX. Функциональные ряды.
Функциональные последовательности и ряды, область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда. Почленная интегрируемость и почленная дифференцируемость функциональных рядов и соответствующие утверждения о функциональных последовательностях. Примеры.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Промежуток сходимости, радиус сходимости, его вычисление. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенных рядов. Примеры. Ряд Тейлора. Признак его сходимости к разлагаемой функции. Ряды Маклорена функций

e x ,sin x, cos x, 1  x  , ln 1  x  .
Пространство кусочно-непрерывных функций, скалярное произведение и норма в нём.
Среднеквадратичная сходимость, её сравнение с равномерной и поточечной сходимостью. Ортогональные и ортонормированные системы функций. Линейная независимость конечной системы ортогональных функций. Тригонометрическая система функций и её ортогональность.
Задача о наилучшем приближении функции элементами ортогональной системы. Ряд
Фурье по ортогональной системе. Неравенство Бесселя. Сходимость ряда Фурье в смысле средних квадратов и равенство Парсеваля. Полнота ортогональной системы. Следствия для тригонометрической системы. Ряд Фурье по синусам (косинусам).
Теорема Дирихле о поточечной сходимости ряда Фурье (формулировка). Достаточные
условия равномерной сходимости ряда Фурье. Экспонента с комплексным показателем и ряд
Фурье в комплексной форме.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 211000.62
«Конструирование и технология электронных средств» подготовки бакалавра
X. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла: объём цилиндра. Определение
двойного интеграла по прямоугольнику. Необходимое условие интегрируемости: ограниченность. Достаточные условия интегрируемости: непрерывность или разрывы на кусочно-гладких
кривых (без доказательства). Интеграл по области с кусочно-гладкой границей. Линейность,
аддитивность, интегрирование неравенств. Теорема о среднем. Сведение двойного интеграла к
повторному.
Замена переменных в двойном интеграле. Преобразование площади элементарного прямоугольника при линейной замене и в общем случае. Якобиан и его геометрическая интерпретация. Полярные координаты на плоскости: определение и якобиан. Физические и геометрические приложения двойного интеграла. Площадь плоской фигуры. Объём тела. Масса неоднородной пластинки. Центр тяжести фигуры. Моменты инерции пластины.
Определения криволинейных и поверхностных интегралов.
8. Образовательные технологии
Образовательные технологии:
– чтение лекций;
– проведение практических занятий;
– выполнение студентами контрольной работы и домашнего задания;
– проведение экзамена.
9. Понедельный план проведения лекционных занятий.
1 семестр. Модули 1-2.
Лекция 1.
Глава I. Вещественные числа.
1. Краткая история появления вещественных чисел. Бесконечные десятичные
дроби.
2. Модуль (абсолютное значение) вещественного числа и его свойства.
3. Упорядоченность множества вещественных чисел.
Лекция 2.
4. Числовая ось (прямая). Числовые промежутки и окрестности.
Глава II. Вещественные числовые функции, последовательности.
1. Определения и способы задания функций. Примеры.
Лекция 3.
2. Ограниченные и неограниченные числовые множества, функции, последовательности. Примеры.
3. Монотонные функции и последовательности. Примеры.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 211000.62
«Конструирование и технология электронных средств» подготовки бакалавра
4. Чётные, нечётные, обыкновенные функции. Примеры.
5. Периодические функции. Примеры.
Лекция 4.
6. Пределы и непрерывность функций.
a) Конечный предел. Определение по Коши. Бесконечно малая функция.
Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.
b) Определение непрерывности по Коши. Приращение функции и непрерывность.
7. Арифметические действия с пределами и непрерывными функциями.
8. Предельный переход в неравенствах.
Лекция 5.
9. Непрерывность функций sin x, cos x, tg x,sec x, ctg x, cosec x . Первый замечательный предел.
10.Бесконечные пределы. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями.
Лекция 6.
11.Односторонние пределы и односторонняя непрерывность.
12.Точки разрыва функции и их классификация. Теорема о точках разрыва монотонной функции.
13.Непрерывность и предел сложной функции. Теоремы 1,2,3 о непрерывности
и пределе сложной функции. Непрерывность функции на множестве. Примеры. Метод замены переменной в пределах.
14.Предел и непрерывность функции по Гейне. Теорема о существовании предела по Гейне, следствие о непрерывности функции в точке.
Лекция 7.
15.Функции, непрерывные на промежутке. Непрерывность элементарных
функций. Теорема Коши о промежуточном значении функции. Теорема о
непрерывности обратной функции. Обратные тригонометрические функции
и их непрерывность. Степенные функции с рациональными показателями,
корни и их непрерывность. Показательная функция и её непрерывность.
Общая степенная функция и её непрерывность. Основные элементарные
функции, элементарные функции (определения 1 и 2) и их непрерывность.
Лекция 8.
16.Число e. Теорема о втором замечательном пределе и следствия 1, 2, 3, 4 из
неё.
17.Типы неопределённостей и их раскрытие.
18. Эквивалентные функции, символы O и о (определения и теорема об их использовании). Примеры. Сравнение функций log a x, x a , a x при x   (теорема
и следствия 1, 2, 3 из неё).
19.Теоремы Вейерштрасса и Кантора о функциях, непрерывных на отрезке.
Лекция 9.
Глава III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 211000.62
«Конструирование и технология электронных средств» подготовки бакалавра
1. История вопроса (задачи Лейбница и Ньютона). Определение производной,
дифференцируемости функции (определения 1 и 2). Теорема о непрерывности дифференцируемой функции. Определение односторонней производной
и функции, дифференцируемой на промежутке (определения 3,4).
2. Основные правила дифференцирования.
3. Таблица производных основных элементарных функций.
4. Дифференциал функции.
Лекция 10.
5. Производная сложной функции (теорема).
6. Производная обратной функции (теорема).
7. Таблица производных основных элементарных функций (продолжение).
8. Логарифмическая производная, формула y  y  ln y  . Примеры.
9. Производные и дифференциалы высших порядков.
Лекция 11.
Глава IV. Основные теоремы дифференциального исчисления, исследование
функций.
1. Возрастание, убывание, экстремумы функции (определения 1, 2, 3). Теорема
о возрастании (убывании) функции в точке. Теорема Ферма. Критические
точки, необходимый признак экстремума, 6 случаев. Наибольшее и
наименьшее значение функции.
Лекция 12.
2. Теоремы о среднем значении: теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
3. Теоремы о постоянстве и монотонности функции. Теорема о достаточных
условиях экстремума.
4. Правила Лопиталя. Раскрытие неопределённостей.
Лекция 13.
5. Формула Тейлора. Остаточные члены в форме Лагранжа и Пеано. Формулы
Тейлора (Маклорена) для некоторых элементарных функций:

e x ,sin x, cos x , 1  x  , ln 1 x  , arctg x .
Лекция 14.
6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции. Теорема (достаточные
условия выпуклости в точке). Необходимое условие перегиба.
7. Асимптоты графика функции: наклонная, горизонтальная, вертикальная.
Теорема о существовании асимптоты y  kx  b . Примеры полного исследования функции.
10. Понедельный план проведения практических занятий.
1 семестр. Модули 1-2.
1. Действительные числа. Задание и область существования функции. Решать
№2-8,
11,
12,
15.
Повторить
графики
функций
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 211000.62
«Конструирование и технология электронных средств» подготовки бакалавра
y  kx  b, x  c, y  ax 2  bx  c и операцию выделения полного квадрата в
квадратном трёхчлене.
2. Исследовать
всевозможные
y
ситуации
для
функций
ax  b
a b a b
: c  0,  ,  . Построить графики. Решить №14, 16-23.
cx  d
c d c d
3. Определения: 1)Чётной, нечётной, обыкновенной функции. Решить №22,
23,25. 2)Периодической функции, сложной функции. Решить №26, 29-34,
97.
4. Определение обратной функции. Решить № 38, 39, 44-62.
5. Дать схему построения графиков по: а) характерным точкам, б) поведению функций в граничных точках области существования. Решить №6379, 80-89, 101-105, 114, 118-121.
6. Нахождение пределов, раскрытие простейших неопределённостей. Решить №166-215.
7. Первый замечательный предел. Решить №216-240.
8. Число e, второй замечательный предел. Решить №241-270. Домашняя
контрольная работа №64, 92, 114, 200, 222, 249, 250.
9. Дифференцирование функций. Угловой коэффициент касательной к кривой, уравнение касательной. Скорость движения (средняя, мгновенная).
Решить №341,342, 344, 345, 347, 348, 363-366.
10. Основные правила дифференцирования. Таблица производных. Решить
№368-373, 375-380, 382, 383, 386-389, 394-400, 412-417.
11. Логарифмическая производная, производная высших порядков. Решить
№566-580, 667-680.
12. Возрастание, убывание, экстремумы функции. Наибольшие и наименьшие значения функции. Решить №811-829, 839-842, 845-854. Правила
Лопиталя. Решить №777-800.
13.Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции. Решить №891-900.
Асимптоты графика функции. Решить №901-913.
14.Полное исследование функции. Решить №921-929. Контрольная работа
на полное исследование функции.
11. Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины
16.1 Базовый учебник
1. Фихтенгольц Г.М, Основы математического анализа, Т. 1,2, любого года издания
2. Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т. 1,2,3, любого года издания
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 211000.62
«Конструирование и технология электронных средств» подготовки бакалавра
16.2 Основная литература
1. Бугров Я.С., Никольский С.М., Дифференциальное и интегральное исчисление, М.
«Наука», любого года издания..
2. Задачи и упражнения по математическому анализу (под редакцией Демидовича Б.П.),
М., «Наука», любого года издания.
16.3 Дополнительная литература
1. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. I.- М.: Наука, 1981.- Ч. II.- М.: Наука, 1984.
2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа.- Т. 1, 2.- М.: ВШ, 1981.