II. Содержание дисциплины - факультете информатики ТГУ.

МИНОБРНАУКИ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета
С.П. Сущенко
«
»
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I
ЕН.Ф.1.07
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
трудоемкость дисциплины 6 зачетных единиц
НАПРАВЛЕНИЕ 010400 – ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Томск
2010
2010 г.
УТВЕРЖДЕНО
СОСТАВИТЕЛЬ
кафедрой программной инженерии.
д.ф.-м.н, профессор кафедры программ-
Протокол №19 от 01.12.2010
ной инженерии
А.Ф.Терпугов
Зав. кафедрой, профессор
О.А. Змеев
I. Организационно-методический раздел
Цель курса – освоение математического анализа.
Задача учебного курса – изучение методов математического анализа.
Дисциплины-предшественники – нет.
Требования к уровню освоения дисциплины – владение методами математического анализа.
II. Содержание дисциплины
II.1. Лекционный курс
Тема 1. Теория вещественных чисел.
Множества, операции над множествами. Взаимно-однозначное соответствие между
множествами. Счетные множества, их свойства. Взаимно-однозначное соответствие точка –
число. Несчетность отрезка [0, 1] и понятие о множествах мощности континуума.
Счетность множества рациональных чисел. Вещественные числа, правило сравнения
вещественных чисел. Верхняя и нижняя грани числового множества, супремум и инфимум,
их свойства. Теорема о существовании супремума.
Приближение вещественных чисел рациональными.
Тема 2. Теория пределов.
Определение числовой последовательности, операции над последовательностями.
Определение предела числовой последовательности. Бесконечно-малые последовательности и их свойства. Сходящиеся последовательности и их свойства. Предельный переход в
неравенствах. Монотонные последовательности, теорема о существовании предела монотонной последовательности. Лемма о вложенных отрезках. Бином Ньютона и число e.
Подпоследовательности и предельная точка, связь этих понятий. Лемма БольцаноВейерштрасса. Признак сходимости Больцано-Коши для последовательности. Верхний и
нижний пределы последовательности и их свойства.
Функция одной переменной, способы ее задания. Предельное значение функции.
Теорема, связывающая понятие предела функции и предела последовательности. Свойства
предельных значений. Монотонные функции, теорема о существовании предела монотонной функции. Признак Больцано-Коши существования предела функции. Сравнение бесконечно-малых и бесконечно-больших величин, O и o символика.
Тема 3. Непрерывные функции.
Определение непрерывности функции, разрывы функции, типы разрывов. Свойства
непрерывных функций, непрерывность сложной функции.
Первая и вторая теоремы Больцано-Коши, первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
Обратная функция и теорема о существовании обратной функции у строго монотонной непрерывной функции. Равномерная непрерывность и теорема Кантора.
Непрерывность элементарных функций – показательная функция гиперболические
функции, логарифмическая функция, степенная функция. Непрерывность тригонометрических функций и функций, обратных к тригонометрическим.
Замечательные пределы:
,
,
,
,
и другие. Неопределенные выражения. Раскрытие степенных неопределенностей.
Тема 4. Производная.
Определение производной и ее геометрический смысл. Алгебра производных, таблица производных. Особые случаи.
Теорема Ферма, теорема Ролля. Формулы Коши и Лагранжа.
Производные высших порядков. Дифференциал и его геометрический смысл. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции, связь дифференциала и
производной. Правила дифференцирования. Дифференциалы высших порядков. Производные от параметрически заданных функций.
Формула Тейлора для полинома. Формула Тейлора для функции, свойства остаточного члена. Остаточный член в форме Пеано, остаточный член в форме Лагранжа. Разложение в ряд Тейлора функций e x , sin x, cos x, ln(1  x), (1  x)  .
Тема 5. Применение производных.
Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа
0

и .
0

Условие постоянства и монотонности функции. Определение локального и глобального экстремума функции, необходимое и достаточное условия экстремума. Схема исследования функции на экстремум.
Выпуклые и вогнутые функции, вид их графика и свойства Неравенство Иенсена.
Связь выпуклости с поведением производной и видом ее графика по отношению к касательной. Точки перегиба, необходимое и достаточное условия точки перегиба. Схема исследования функции на выпуклость – вогнутость.
Асимптоты. Схема исследования графика функции.
II.2. Практические занятия
По всем темам лекционной части курса предусмотрены практические занятия.
III. Распределение часов курса по темам и видам работ
№№ пп
Наименование тем
Всего Аудиторные занятия (час),
часов
в том числе
практилекции
ки
1
2
3
4
5
ИТОГО
Теория вещественных чисел
Теория пределов
Непрерывные функции
Производная
Применение производных
28
28
38
32
36
162
8
8
12
8
10
46
6
6
12
10
10
44
Самостоятельная
работа
лабораторные
занятия
0
14
14
14
14
16
72
IV. Учебно-методическое обеспечение курса
IV.1. Основная литература
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1, 2,
3. – М.: Наука, 1970.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1, 2. – М.: Наука,
1980.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.:
Наука, 1972.