МБОУ «Гимназия № 1» с.Красногвардейское, Ставропольский

МБОУ «Гимназия № 1» с.Красногвардейское, Ставропольский край
Предмет: математика
6 класс
Тема урока: «Простые и составные числа. Решето Эратосфена.»
Урок – открытия новых знаний
Бледных И.Г.
учитель математики
2013 год
1
Тема урока: «Простые и составные числа. Решето Эратосфена.»
Цель: ввести понятие простого и составного числа, познакомить с применением их при
решении задач;
расширить представление о натуральных числах, способствовать развитию логического
мышления, исторического кругозора, математической интуиции, умению анализировать;
воспитывать у учащихся коммуникативные компетенции - культуру общения, навыки
выступления, элементы ораторского искусства.
Ход урока.
I.Оргмомент.
Учитель: Здравствуйте!
Сколько человек сегодня в классе?
Кто отсутствует?
Есть вопросы по домашней работе?
Сегодня мы пополним наши знания о натуральных числах.
II. Актуализация знаний.
Учитель:
1. Дайте определение натурального числа.
2. Назовите самое маленькое натуральное число.
3. Назовите самое большое натуральное число.
4. Какие действия можно выполнять с натуральными числами?
5. Дайте определение делителя числа а.
На доске вы видите слова, которыми вы пользуетесь в жизни, не догадываясь, что они
имеют отношение к определённым числам и теме сегодняшнего урока (простые,
составные, близнецы, совершенные, дружественные), два из них содержатся в названии
темы нашего урока. Какие именно, вы узнаете, убрав лишние слоги из этого ряда букв:
Ве-вер-де-дру-е-же-жи-и-из-по-про-про-прос-со-со-став-ствен-тель-тые-ла-лолы-ми-ми-ни-ны-ные-ный-ный-це-цент-чис-шен
Я читаю вопрос, вы вычёркиваете ответ в этой цепочке
1. Сотая часть числа (процент)
2. Числа, расположенные на координатной прямой справа от нуля называются
(положительными)
3. Натуральные числа, им противоположными и 0 называют (целыми)
4. Результат действия умножения (произведение)
5. Основанный на дружбе (дружественная страна) (дружественный)
6. Обладающий совершенством, полнотою достоинств (совершенный)
Учитель: из оставшихся слогов соберите тему нашего урока (Простые и составные числа)
Задание 1. Даны числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Найдите все делители для каждого из
чисел.
Выпишите в 1-й столбик числа, имеющие:
- один делитель;
- два делителя;
- больше двух делителей.
Какое название вы бы дали числам, которые имеют два делителя? Какое название
вы бы дали числам, которые имеют больше двух делителей? А будет ли единица простым
числом? Будет ли единица составным числом?
Дайте определение простого числа. Дайте определение составного числа.
III. Историческая справка
2
Учитель: Свойства простых и составных чисел интересовали учёных Древнего
мира. Одним из таких был древнегреческий учёный Эратосфен (276 - 194 гг. до н. э.). Он
заложил основы математической географии, вычислив с большой точностью величину
земного шара. Он дал простой способ определения простых чисел. Этот способ назвали…
Решив ребус, вы узнаете как.
(решето)
«Решето Эратосфена».
Предположим, что нам требуется найти все простые числа, лежащие на отрезке
натурального ряда от 1 до некоторого числа N, например до 100.
Практическая работа. (раздать заготовленные листы, с квадратной таблицей 10 х 10).
Все числа выписаны в квадратной таблице.
1. Зачёркивайте те, что делятся на 2 (вычёркивайте каждое второе).
2. Зачёркивайте те, что делятся на 3 (каждое третье).
3. Зачёркивайте те, что делятся на 5 (т.к. те, что делятся на 4, уже зачеркнуты, раз
они делятся на 2).
4. Зачёркивайте те, что делятся на 7 (так как те, что делятся на 6, зачеркнуты, четные)
и... все.
Действует теорема, что больше зачеркивать ничего не нужно - оставшиеся числа все
сплошь простые.
Учитель: А почему «решето»? (выслушать ответы детей, затем зачитать с
учениками толкование этого слова в «Толковом словаре русского языка» Ожегова С.И.,
Шведовой Н.Ю.: «Предмет обихода – широкий обруч с натянутой на него частой
сеткой для просеивания чего-н. Просеять муку сквозь, через р.» (1, с.678) Объясняют
так: зачеркиваем числа, затем зачеркиваем еще числа, то, что остается, как бы напоминает
то, что остается в решете. Дело в том, что вычеркиваемые числа находятся на прямых
линиях, а настоящее решето состоит из нитей, которые в натянутом виде - прямые. И эта
мысль толкает нас к тому, чтобы построить решето весьма своеобразным способом: не
вычеркивая, а только лишь проводя линии по линейке. Получается что-то вроде решета.)
Те немногие числа, которые остались незачёркнутыми, - простые (а также 2, 3, 5 и
7): 11, 13, 17 и т.д. Итак, Решето Эратосфена работает как своего рода аналоговая
вычислительная машина. И, значит, вот что изобрёл великий грек: он изобрёл счётную
машину. А ведь для простых чисел не существует даже формулы, по которой их можно
вычислить все. Нет такой формулы, а «просеять» их при помощи «Решета» можно.
Простые числа располагаются на числовом ряду весьма причудливым образом, но, создав
Решето Эратосфена достаточно большого размера, мы найдём их все, без исключения. Все
они окажутся в «дырках» совершенно правильного геометрически «Решета»! Так
«правильно» ли их расположение или «неправильно»? Никто не может сказать.
Учитель: У вас остались числа, которые делятся только на "1" и на самих себя, т.е.
простые числа. На основе этих рассуждений была создана таблица простых чисел, которая
есть в нашем учебнике на форзаце.
Среди оставшихся чисел есть числа, которые отличаются друг от друга на 2. Это 11
и 13, 17 и 19, 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73.
3
Эти числа в математике называют числа-близнецы.
На доске остались ещё два названия чисел:
Совершенные: сумма собственных делителей равна самому числу:
6 нацело делится на 1,2 и 3, но главное 1+2+3=6,
28 нацело делится на 1,2, 4, 7 и 14, но главное 1+2+4+7+14=28,
496 и т.д. известно всего 29 чисел.
Дружественные: Сумма собственных делителей одного числа равна второму числу, а
сумма собственных делителей второго числа равна первому числу (напечатать числа А и
В на листах А4 и склеить ленты)
«А=90 236453062 3313066515 5201592687 0786444130 4548569003 8961540360
5363719932 5828701918 5759580345 2747004992 7532312907 0333233826 7840675607
3892061566 6452384945
В= 86 2593766501 4359638769 0953818787 1666597148 4088835777 4281383581
6831022646 6591332953 3162256868 3649647747 2706738497 3129580885 3683841099
1321499127 6380031055
У каждой 152 цифры. У каждого 800 различных делителей, у второго – 3200. Числа А и В
обладают замечательным свойством: сумма 779 собственных делителей А равна В,
сложив же 3199 собственных делителей В, мы получим А. Эту интересную пару нашёл в
1972 году амстердамский математик Херман те Риле. Его открытию предшествовала
долгая история.» (2, с. 11)
IV. Решение задач
1. Пользуясь таблицей простых чисел, определите - являются ли эти числа простыми:
809, 735, 441, 77, 997, 496, 991.
2. Известно, что число 809 – простое. Делится ли оно на 17?
3. Задумано простое число. Следующее за ним натуральное число тоже простое.
Какое число задумано?
4. Можно ли назвать самое большое простое число?
5. Назовите самое маленькое простое число.
V. Тест.
1. Какое из чисел простое: 450, 17, 835, 77?
2. Какое из чисел составное: 73, 357, 449, 877?
3. Кто придумал способ отыскания простых чисел?
1. Архимед
2. Евклид
3. Пифагор
4. Эратосфен
4. Назовите номер истинного утверждения:
1. если число чётное, то оно составное
2. число 1- простое
3. число, которое имеет два делителя – простое
4. составное число – число, которое имеет только два делителя
VI. Итог урока.
Что нового вы узнали на уроке?
Как называются натуральные числа, у которых два делителя?
4
Какие числа встречаются в таблице простых чисел?
Почему натуральные числа назвали числа-близнецы, совершенные, дружественные,
выскажите своё предположение?
Литература.
1. Ожегов С.И., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка. – М.:Азбуковник,
1999. – 944 с.
2. Живые числа. Сб. статей 1981 г.: Пер. с нем. – М.: Мир, 1985. – 128 с.
5