Простые и составные числа.

Простые и составные числа.
Число - одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета
или измерения.
Каждое натуральное число, больше единицы, делится, по крайней мере, на два числа: на 1 и
на само себя. Если ни на какое другое натуральное число нацело не делится, то оно называется
простым, а если у него имеются, еще какие-то делители, то - составным. К простым и
составным не относится только 1.
Небольшую «коллекцию» простых чисел нам поможет составить старинный способ,
придуманный ещё в III веке до н. э. Эратосфеном, киренским хранителем знаменитой
Александрийской библиотеки. Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с 2. 2 отберём
в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнём. Ближайшим будет 3. Его оставляем
для коллекции, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнём. При этом оказывается, что
некоторые числа уже вычеркнуты раньше, например: 6, 12 и др. Следующее наименьшее
незачёркнутое число – это 5. Берём 5, а кратные 5 – зачёркиваем. Повторяя эту процедуру снова и
снова, мы добьёмся того, что незачёркнутыми останутся одни простые числа – они словно
просеялись сквозь решето. Такой способ получил название «решето Эратосфена».
А почему решето? Во времена Эратосфена писали на восковых дощечках, а вместо того,
чтобы числа вычеркивать, дощечку в нужном месте прокалывали. Отсюда и название способа –
«решето Эратосфена».
Эратосфен Киренский— древнегреческий математик (276-194 до нашей эры), заведовал Александрийской
библиотекой и заложил основы математической географии, вычислив с большой точностью величину земного шара.
Первую известную нам таблицу простых чисел составил итальянский математик Пьетро
Антонио Катальди в 1603 году. Она охватывала все простые числа от 2 до 743.
Леонарду Эйлеру удалось доказать, что 2 147 483 647 есть простое число. Очень долго оно
считалось самым большим из известных науке простых чисел, но в 1883 году Иван Михеевич
Первушин сумел доказать, что 2 305 843 002 913 693 951 есть простое число. В наше время с
помощью ЭВМ найдено еще несколько простых чисел, но записать их цифрами подряд трудно, в
них столько цифр, что их хватит на целую книгу.
Следующий, заинтересовавший математиков вопрос был о количестве простых чисел. Ответ
находится в девятой книге знаменитого сочинения Евклида «Начала» - нетленного памятника
древнего мира. Двадцатая теорема в этой книге утверждает:
« Первых простых чисел существует больше любого указанного числа их».
Вот доказательство этой теоремы.
Предположим, что существует некое наибольшее простое число p. Тогда перемножим все простые числа,
начиная с числа 2 и заканчивая числом p, и увеличим полученное произведение на единицу. Результат этих действий
обозначим M.
2*3*5*…*P+ 1=M
Если число M составное, то оно должно иметь по крайне мере один простой делитель. Но этим делителем не
может быть ни одно из простых чисел 2, 3, 5, 7, … p. Поскольку при делении M на каждое из них получаем в остатке
один. Следовательно, число M либо само простое, либо делится на простое число большее p. Значит предположение,
что существует наибольшее простое число p, неверно и множество простых чисел бесконечно.
Простые числа - это ключ к разрешению многих математических проблем, они также
играют большую роль в криптографии (шифровании), благодаря чему интересуют не только
математиков, но и военных, разведку и контрразведку.
Таблица простых чисел есть на форзаце1 учебника математики за 6 класс.
Простые числа-близнецы — пары простых чисел, отличающихся на 2. Первые простые
числа-близнецы: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61),
1
Фо́рзац (нем. Vorsatz) — Элемент конструкции книги, соединяющий книжный блок с переплётной крышкой. Обычно выполняет декоративнооформительскую функцию: скрыть "изнаночную" сторону переплетной крышки и место крепления последней с книжным блоком. Часто на
форзацах помещают различные справочные данные (словари, учебники).