вопросы к экзамену-3 курс Жуковец

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Алгебра (заочное, 3 курс)
Отношение делимости в кольце целых чисел
Деление с остатком. Наибольший общий делитель.
Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Наименьшее общее
кратное.
Определение комплексных чисел. Сумма и произведение комплексных
чисел, свойства.
Алгебраическая форма комплексного числа. Мнимая единица. Операции с
комплексными числами в алгебраической форме. Комплексно
сопряженное число.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент
комплексных чисел. Геометрическая интерпретация суммы комплексных
чисел.
Тригонометрическая форма комплексных чисел. Умножение, деление и
возведение комплексных чисел в степень с целым показателем.
Корень n-ой степени из комплексных чисел. Формула Муавра.
Бинарная алгебраическая операция. Ассоциативная алгебраическая
операция. Полугруппы. Примеры. Свойства степеней с натуральным
показателем.
Нейтральный элемент относительно бинарной алгебраической операции.
Моноид. Симметрический элемент.
Группа. Разрешимость простейших уравнений в группе. Коммутативная
группа.
Подгруппа. Критерий подгруппы.
Фактор-множество группы по подгруппе. Смежные классы. Теорема
Лагранжа.
Циклические группы. Группа подстановок.
Гомоморфизм групп. Изоморфизм групп.
Кольца. Свойства колец. Делители нуля.
Кольца. Обратимые элементы. Группа обратимых элементов. Область
целостности.
Поле. Свойства поля.
Матрицы. Виды матриц. Умножение матриц на скаляр.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
Матрицы. Сложение и умножение матриц. Транспонирование матриц.
Кольцо квадратных матриц.
Перестановки. Определитель матрицы.
Определитель матрицы. Свойства определителя.
Миноры и алгебраические дополнения.
Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы. Свойства
обратных матриц.
Системы линейных уравнений. Матричная запись систем. Матричный
метод решения систем линейных уравнений.
Системы линейных уравнений.Формулы Крамера.
Системы линейных уравнений.Метод Гаусса.
Линейные пространства: определение, примеры, простейшие свойства.
Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Линейная
комбинация векторов. Примеры, свойства.
Максимальная линейно независимая подсистема системы векторов.
Определение, свойства.
Основная теорема о линейной зависимости и следствия из нее.
Ранг системы векторов. Элементарные преобразования системы векторов.
Ранг матрицы. Методы поиска ранга матрицы.
Ранг матрицы. Основная теорема о ранге матрицы. Следствия.
Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Совместные системы
линейных алгебраических уравнений.
Базис и размерность линейного пространства. Конечномерные линейные
пространства. Примеры, свойства.
Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в
базисе. Операции над векторами и над координатами векторов.
Матрица системы векторов в базисе. Матрица преобразования координат.
Изменение координат вектора при переходе от базиса к базису.
Подпространство линейного пространства. Критерии подпространства.
Свойства и примеры.
Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка векторов.
Определение и свойства.
42. Однородная
система
линейных
алгебраических
уравнений.
Фундаментальная система решений. Размерность пространства решений.
43. Линейные отображения: определение и простейшие свойства. Критерий
линейности отображения. Теорема о задании линейного отображения.
44. Ядро и образ линейного отображения. Образ и полный прообраз
подпространства. Композиция линейных отображений.
45. Изоморфизмы линейных пространств.
46. Линейные опреаторы. Матрица линейного оператора и связь между
координатами векторов x и f ( x ) .
47. Линейные опреаторы. Преобразование матрицы линейного оператора при
переходе от одного базиса к другому.
48. Действия с линейными операторами. Сумма линейных операторов и
умножение на скаляр. Пространство линейных операторов.
49. Композиция линейных опрераторов. Линейная алгебра.
50. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные
значения линейного оператора. Примеры, свойства.
51. Характеристичекий полином матрицы. Связь корней характеристичекого
полинома с собственными значениями линейного оператора. Примеры.
52. Собственные векторы линейного оператора. Диагонализируемые линейные
операторы.
53. Евклидовы пространства. Скалярное произведение векторов: примеры,
свойства.
54. Норма вектора. Свойста нормы векторов.
55. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между векторами в евклидовых
пространствах.
56. Теорема косинусов и неравенство треугольника в евклидовом
пространстве.
57. Ортогональные векторы. Определение, свойства.
58. Ортогональный и ортонормированный базис. Представление скалярного
произведения в ортогональном и ортонормированном базисах.
59. Ортогонализационный процесс Грама – Шмидта.
60. Ортогональные операторы. Определение, свойства.
61. Ортогональные операторы. Матрица ортогонального оператора.
62. Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Линейная замена в
квадратичной форме.
63. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому
виду.
64. Критерий Сильвестра. Закон инерции квадратичных форм.
Литература
1.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971, 432 с.
2.
Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и
аналитическая геометрия. В 2 ч. Мн.: Амалфея, 2001.,Ч.1., 400 с.; 2001,Ч.2., 352
с.
3.
Фаддеев Д.К., Лекции по алгебре. М.: С-Пб, Лань, 2004, 416 с.
4.
Шнеперман Л.Б. Курс алгебра и теории чисел в задачах и упражнениях:
В 2 ч. Мн.: Вышэйшая школа, 1986. Ч.1., 274 с.; 1987. Ч.2., 258 с.
5.
Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.:
Вышэйшая школа, 1982, 223 с.
6.
Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и
самостоятельной работы : учеб.-метод. пособие. В 2 ч. Ч. 1. Введение в
алгебру. Мн.: БГПУ, 2005, 134 с.
7.
Баркович О.А. Алгебра: задания для практических занятий и
самостоятельной работы : учеб.-метод. пособие. В 2 ч. Ч. 2. Линейная алгебра.
Мн.: БГПУ, 2006, 112 с.
8.
Ляпин Е.С., Айзенштадт А.Я., Лесохин М.М. Упражнения по теории
групп. М.: Наука, 1967, 264 с.
2