КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА СФО
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Защита студентов, не ориентирующихся в выполненной
контрольной работе (независимо от ее качества), признается
неудовлетворительной.
а1 – количество гласных букв в имени студента,
а2 – количество согласных букв в имени студента,
а3 – количество гласных букв в фамилии студента,
а4 – количество согласных букв в фамилии студента
Задача 1.
Вычислить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований
 2 a1

 1
 7

 3
Задача 2.
4
5
5
3
 a1  a 3
0
5
1
a3
 a2
3
2
3a 4 

7
1 

5 
Найти обратную матрицу (с проверкой):
 с использованием присоединенной матрицы;
 с помощью элементарных преобразований строк:
2 
1
4   3 a2 1
 a1 a 2


  a1 5  3 a1a2 
3  a3  ; 
 2
6  8 a4
5 
 3 a 5


2   3 5 3 a 
4

3 

Задача 3.
Решить систему (с проверкой):
 матричным методом;
 методом Крамера:
a 2 x1  a 2 x 2  a 4  a 3 x 3   1a

a1 x1  a 4 x 2  5 x 3  3
3x  a x  7 x  a a
3 2
3
1 4
 1
Задача 4.
2
Исследовать систему (выписать общее, частное и фундаментальное
решения):
 x1  a 3  6x 2  a 2  a 3 x 3  a 4 x 4  a1  3

a 2  3x1  a 3 a 4 x 2  a1 x 3  2 x 4  a 2
3a x  a x  a x  4 x  a a
2 2
2 3
4
1 3
 4 1
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА СФО
Задача 5.
Проверить, что (е1, …, еn) – базис пространства, и найти координаты вектора
х в этом пространстве
1
 3 
  2
 a1 
 
 
 
 
e1   1  e 2    3  e3   2  x   a 2 
 0
 4 
 3 
a 
 
 
 
 3
Задача 6.
Выяснить, является ли система векторов (f1, f2, f3) линейно зависимой. Если
система линейно зависима, найти зависимость между векторами (нулевую
нетривиальную комбинацию векторов). Если система линейно независима,
найти матрицу перехода к базису (g1, g2, g3).
  5
 
f2   0 
a 
 2
2
 
f1   1 
a 
 1
Задача 7.
 a3 
 
f3   4 
3
 
5
 
g 2  14 
13 
 
1
 
g3  9
 2
 
Найти базис и размерность линейной оболочки системы векторов:
 1 


x1    a1 
 1 


Задача 8.
 3
 
g1   5
8
 
 a2 
 
x2    2 
 1
 
 1
 
x3    2 
a 
 3
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы некоторого
линейного оператора
 a3

1
3

a 4 
Задача 9.
Привести квадратичную форму a 2 x  a1 y  a3 xy от двух переменных к
каноническому виду:
 методом выделения полных квадратов;
 методом ортогонального преобразования.
Выяснить, является ли заданная квадратичная форма положительно
определенной.
Задача 10.
Вычислить скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
2
2




a
b  a1   1 a 2 i  a 3 j  a 4  a 3 k ,




a
c  a 4 i   1 a1 j  a 3 k ,




d  a1 i  a 2 j  a 4  a 3 k .


3
2
Пояснить геометрический смысл рассчитываемых произведений.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА СФО
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
ТЕМА 1 Матрицы. Определители
1.
2.
3.
4.
5.
Матрицы. Линейные операции над ними.
Определители второго и третьего порядков. Определители n-го порядка.
Алгебраические дополнения и миноры.
Ранг матрицы.
Обратная матрица.
ТЕМА 2 Системы линейных уравнений
1.
2.
3.
4.
Точные методы решения систем линейных уравнений (матричный метод, метод
Крамера).
Теореме Кронекера-Капелли о совместности систем.
Система линейных однородных уравнений. Подпространство решений линейной
однородной системы, его размерность и базис. Фундаментальная система решений.
Система линейных неоднородных уравнений. Структура множества решений.
ТЕМА 3 Линейное пространство
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Определение линейного пространства.
Линейная комбинация векторов. Понятие линейной независимости векторов.
Базис и размерность векторного пространства.
Теорема о разложении любого вектора по векторам базиса.
Связь координат вектора в различных базисах одного и того же пространства.
Евклидовы и унитарные пространства.
ТЕМА 4 Линейные операторы
1.
2.
3.
Определение линейного оператора. Действия над линейными операторами.
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Характеристический многочлен линейного оператора. Теорема о независимости
характеристического многочлена от выбора базиса.
ТЕМА 5 Квадратичные формы
1.
2.
3.
Квадратичные формы и их матрицы.
Канонический вид. Метод Лагранжа.
Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
ТЕМА 6 Векторная алгебра
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Понятие вектора. Основные операции над векторами.
Базис системы векторов. Теорема о разложении вектора по базису.
Системы координат. Линейное операции над векторами, заданными в координатной
форме.
Скалярное произведение векторов.
Векторное произведение.
Смешанное произведение векторов.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА СФО
ТЕМА 7 Прямые линии и плоскости
1.
2.
3.
4.
Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.
Различные виды уравнения прямой на плоскости. Взаимное расположение двух
прямых на плоскости.
Различные виды уравнения плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух
плоскостей в пространстве.
Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
ТЕМА 8 Линии и поверхности второго порядка
1.
2.
Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения.
Поверхности второго порядка. канонические уравнения.
ТЕМА 9 Комплексные числа
1.
2.
3.
Комплексные числа и действия над ними.
Формы записи комплексных чисел.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел
ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко,
И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред. проф. Н.Ш. Кремер. – 2-е изд., перераб. и доп.
– М.: ЮНИТИ, 2006.– 471 с.
2. Практикум по высшей математики для экономистов: Учеб. пособие для вузов/Кремер
Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А. и др.; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИДАНА, 2003. – 423 с.
3. Шевцов, Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: Учебное пособие/Г.С.
Шевцов. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Магистр, 2011. – 528 с.
4. Просвиров, А.Э., Богряшова, А.Г. Математика: Учебное пособие для студентов
очной и заочной форм обучения. – Волгоград, 2009.
Дополнительная литература
5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для
вузов. – 10-е изд., исправ. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.
6. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах:В 2 ч.: Учеб. пособие
для вузов./Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. – 3-е изд., пераб. и доп. – М.:
Высш. шк.,1980.-320 с.
7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. – М.: Наука, 1988.
Рекомендуемая литература
8. Александров. П.С. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Лань, 2008.
9. Кострикин, А.И. Линейная алгебра и геометрия. – СПб.: Лань, 2008.
10. Беклемишева, Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре:
Учебник./ Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чурбанов. – М.: ФИЗМАТЛИТ.
2003.