Список вопросов на экзамене по линейной алгебре

Вопросы к экзамену по линейной алгебре
1. Множества, операции над ними, диаграммы Венна.
2. Комплексные числа в алгебраической форме и действия над ними. Геометрическая
интерпретация.
3. Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и действия над ними
(возведение в степень, извлечение корня). Геометрическая интерпретация.
4. Многочлены и операции над ними. Теорема о деление многочленов с остатком.
5. Многочлены и их корни. Теорема Безу и следствия из нее.
6. Неразложимые многочлены. Теоремы о неразложимости многочленов.
7. Матрицы и операции над ними. Свойства операций.
8. Определитель матрицы и его свойства.
9. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице. Методы нахождения обратной
матрицы.
10. Ранг матрицы, нахождение его с помощью элементарных преобразований строк.
11. Квадратные системы линейных уравнений. Методы решения квадратных систем
линейных уравнений.
12. Классификация систем линейных уравнений по числу решений. Теорема КронекераКапелли.
13. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
14. Векторы, линейные операции над ними. Декартова система координат.
15. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис на плоскости и в пространстве.
16. Скалярное произведение векторов и его свойства, выражение через координаты.
17. Векторное произведение векторов, его свойства, выражение через координаты.
18. Смешанное произведение векторов, его свойства, выражение через координаты.
19. Общее уравнения плоскости в пространстве, угол между плоскостями, расстояние от
точки до плоскости.
20. Различные уравнения прямой в пространстве, угол между прямыми, расстояние от точки
до прямой.
21. Различные уравнения прямой на плоскости, угол между прямыми.
22. Различные уравнения прямой на плоскости, критерий параллельности и
перпендикулярности прямых.
23. Эллипс
24. Гипербола
25. Парабола
26. Аксиомы поля, примеры полей.
27. Понятие линейного пространства и подпространства. Линейная оболочка. Примеры
линейных пространств.
28. Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства.
29. Базис и размерность линейного пространства. Действия над элементами линейного
пространства в координатной форме.
30. Матрица перехода между базисами линейного пространства. Преобразование координат
вектора при смене базиса.
31. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
Структура общего решения однородной системы линейных уравнений.
32. Неоднородные системы линейных уравнений. Структура общего решения неоднородной
системы линейных уравнений.
33. Понятие евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского.
34. Нормированное пространство. Ортонормированный базис евклидова пространства.
Метод ортогонализации Грамма-Шмидта.
35. Ортогональные матрицы и их свойства.
36. Линейный оператор и его матрица. Преобразование матрицы линейного оператора при
переходе к новому базису.
37. Действия над линейными операторами. Образ и ядро линейного оператора.
38. Собственные числа и векторы. Нахождение собственных векторов.
39. Квадратичная форма и матрица квадратичной формы.