математический анализ - Кафедра высшей математики

Кафедра 30, «Высшая математика»
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(для 1-го семестра факультета «Т»)
1-2 недели.
Основные понятия теории множеств: множество, операции над множествами
(пересечение, объединение, разность множеств). Отображение множеств, взаимно
однозначное соответствие, счётные и несчётные множества.
Некоторые понятия математической логики. Условие, заключение, отрицание.
Кванторы, формальное построение отрицаний с помощью кванторов. Метод
математической индукции.
Действительные числа. Свойства действительных чисел. Рациональные и
иррациональные числа. Плотность множества рациональных чисел во множестве
действительных чисел. Счётность множества рациональных чисел и несчётность
множества иррациональных чисел.
Комплексные числа, их изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного
числа, комплексное сопряжение. Различные формы записи комплексного числа. Формула
Муавра. Извлечение корня из комплексного числа. Показательная форма представления
комплексного числа. Формулы Эйлера.
Точная верхняя и ночная нижняя грани числового множества, их существование у
непустого ограниченного множества. Полнота системы действительных чисел.
3-4 недели
Последовательность и её предел. Единственность предела сходящейся
последовательности. Свойства сходящихся последовательностей (сходимость модуля,
ограниченность, сохранение знака, предельный переход в неравенствах, теорема о трёх
последовательностях). Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Монотонные
последовательности. Существование предела у монотонной ограниченной
последовательности. Число е. Лемма о последовательности стягивающихся отрезков.
Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы
последовательности. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши
существования предела последовательности
Функция, её области определения и значений. Способы задания функций (в частности,
неявное и параметрическое задание). Арифметические действия над функциями. Сложная
и обратная функции. Основные элементарные функции. Ограниченные функции, точная
верхняя и нижняя грани функции на множестве.
5-6 недели.
Предел функции в точке. Эквивалентность двух определений предела функции в точке.
Односторонние пределы. Критерий Коши существования предела функции. Свойства
пределов функций (единственность предела, предел модуля функции, арифметические
свойства пределов, локальная ограниченность функции, сохранение знака, предельный
переход в неравенствах, теорема о трёх функциях, предел сложной функции). Бесконечно
малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых и бесконечно
больших функций. О-символика. Специальные пределы:
Непрерывность функции в точке. Эквивалентные определения непрерывности.
Свойства непрерывных функций (непрерывность суммы, произведения, частного,
сохранение знака, непрерывность сложной функции).
7-8 недели.
Точки разрыва функции и их классификация. Продолжение функции по непрерывности.
Теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции и о достижении ею
своих точных граней на отрезке. Теорема о промежуточных значениях непрерывной
функции. Монотонные функции. Существование односторонних пределов у монотонной
функции. Множество точек разрыва монотонной функции. Критерий непрерывности
монотонной функции. Достаточные условия существования и непрерывности обратной
функции. Непрерывность элементарных функций.
9-10 недели.
Понятие равномерной непрерывности функции. Равномерная непрерывность
функции, непрерывной на отрезке.
Понятие производной. Односторонние производные. Дифференцируемость функции,
её дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Уравнение
касательной и нормали к графику функции, геометрический смысл производной и
дифференциала. Основные свойства производной и дифференциала. Непрерывность
функции, имеющей производную. Производная и дифференциал сложной и обратной
функции. Производные основных элементарных функций. Производные функций,
заданных параметрически.
11-12 недели.
Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
Локальный экстремум. Теорема Ферма. Теорема Ролля о нуле производной. Теорема
Лагранжа о конечных приращениях. Теорема Коши о конечных приращениях. Правило
Лопиталя раскрытия неопределённостей.
Формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано. Единственность коэффициентов
разложения по формуле Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа
и в форме Коши. Формулы Тейлора (Маклорена) для основных элементарных функций: ex
, sin x , cos x , sh x , ch x , ln (1+ x ), (1+ x ) a . Вычисление некоторых пределов с помощью
формулы Тейлора. Выделение главной части.
13-14 недели.
Условие постоянства и монотонности функции на отрезке. Экстремумы функции.
Стационарные точки. Необходимые условия экстремума функции, имеющей
производную. Достаточные условия экстремума функции (исследование по первым и
высшим производным). Выпуклые функции, условия выпуклости функции. Точки
перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Общая схема построения
графика функции.
Элементы теории кривых. Векторная функция скалярного аргумента. Операции над
векторными функциями, непрерывность, дифференцируемость. Правила
дифференцирования (произведение скалярной функции на векторную, скалярное и
векторное произведения).
15-16 недели.
Понятие гладкой кривой. Спрямляемая кривая. Длина дуги, дифференциал дуги.
Понятие кривизны. Выражение кривизны, центра кривизны, радиуса кривизны плоской
кривой.
Первообразная функция и неопределённый интеграл. Таблица основных
неопределённых интегралов. Формулы замены переменной и интегрирования по частям.
Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональностей.
Домашнее задание ДЗ 2-7 выдаётся на 2-й неделе, принимается на 7-й неделе.
Коллоквиум проводится на 11-й неделе.
Контрольная работа проводится на 14-й неделе.
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.
517
В.А.Ильин, Э.Г. Позняк. Основы
математического анализа, т. 1, 2001.
И46
2.
517
Л.Д.Кудрявцев. Курс математического анализа,
т.1. М.: Высшая школа, 1988, 1981, 2003.
К88
3.
517
В.А.Ильин, В.А. Садовничий, Б.Х.Сендов.
Математический анализ. М.: МГУ, 1985.
И46
4.
517
Д30
Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по
математическому анализу. 2003, 2004.
5.
517
П76
А.И.Прилепко, Е.Д.Соломенцев.
Дифференцирование функций одного
переменного. М.: МИФИ, 1992.
6.**
7.
А.И.Прилепко, Е.Д.Соломенцев.
Последовательности, функции, пределы.
М.:МИФИ, 1989.
515
С.В.Шведенко. Комплексные числа и их
изображение. М.:МИФИ, 2000.
Ш34
8.
517
П76
9.
517
М54
10. 517
С.В.Шведенко. Введение в математику и
символическую запись ее утверждений.
М.:МИФИ, 2000.
«Пределы последовательностей и функций.
Вычисление, сравнение бесконечно малых и
бесконечно больших» под ред. Горячева А.П. М.:
МИФИ, 2004, 2001, 1999.
ГорячевА.П., Тищенко М.А. «Исследование
функций». М.: МИФИ, 2004.
М54
11. 517
Горячев А.П., Гордеев Ю.Н. и др. «Нахождение
пределов». М.: МИФИ, 2004, 2000.
М54
12. 517
Горячев А.П., Гордеев Ю.Н. Домашние задания
по математическому анализу. М.: МИФИ, 2004.
Д66
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.
517
Б90
2.
517
Ш34
3.
517
Б50
Я.С.Бугров, С.М.Никольский.
Дифференциальное и интегральное исчисление.
М.: Наука, 1980,1985, 1989.
С.В.Шведенко. Избранные лекции по
математическому анализу, часть 1. М.:МИФИ,
1992.
Г.Н.Берман. Сборник задач по математическому
анализу. М.: Наука, 2003.
** книги в библиотеке МИФИ нет