Пример 1 Решить дифференциальное уравнение . Решение

Пример 1
Решить дифференциальное уравнение
.
Решение.
Нетрудно заметить, что многочлены P(x,y) и Q(x,y), соответственно, при dx и dy, являются однородн
функциями первого порядка. Поэтому, данное дифференциальное уравнение также будет однородн
Положим y = ux, где u − некоторая новая функция, зависящая от x. Тогда
Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем
Следовательно,
Разделим обе части уравнения на x:
Выполняя деление x, мы могли потерять решение x = 0. Прямая подстановка показывает, что x
= 0действительно является одним из решений нашего уравнения.
Интегрируем последнее выражение:
где C − постоянная интегрирования.
Возвращаясь к старой переменной y, можно записать:
Таким образом, уравнение имеет два решения:
Пример 2
Решить дифференциальное уравнение
.
Решение.
Заметим, что корень x = 0 не принадлежит области определения заданного дифференциального ура
Перепишем уравнение в следующей форме:
Как видно, уравнение является однородным.
Сделаем замену y = ux. Следовательно,
Подставляем полученное выражение в дифференциальное уравнение:
Разделим обе части на x ≠ 0:
В результате мы получаем уравнение с разделяющимися переменными:
На следующем шаге проинтегрируем левую и правую части уравнения:
Следовательно,
Постоянную C здесь можно записать как ln C1 (C1 > 0). Тогда
Таким образом, мы получили два решения:
Если C1 = 0, то ответом является функция y = xe. Легко убедиться, что эта функция будет также и р
дифференциального уравнения. В самом деле, подставляя
в дифференциальное уравнение, находим:
Таким образом, все решения дифференциального уравнения можно представить одной формулой:
где C − произвольное действительное число.