Загрузил Дамир Мадьяров

prezentatsia ДУ в полных дифференциальных уравнениях

Реклама
Тема”ДУ в полных
дифференциалах.
Интегрирующий
множитель.
СПЕЦИАЛЬНО ДЛЯ
НИКИФОРОВОЙ СВЕТЛАНЫ
ВИТАЛЬЕВНЫ
Выполнила
группа 3132.
Фото для того ,
чтобы Вы не
забывали, как
мы выглядим .
Дифференциальное уравнение первого порядка вида
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
(1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его
левая часть представляет полный дифференциал некоторой
функции u(x,y), т.е.
Теорема. Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в
полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в
некоторой односвязной области D изменения переменных x и y
выполнялось условие
Общий интеграл уравнения (1) имеет вид u(x,y)=C или
Решить дифференциальное уравнение 𝑥𝑦 ′ = 𝑦
𝑑𝑦
1)Нужно переписать производную немного в другом виде, используя, что 𝑦 ′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑥∙ =𝑦
2)Смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные?
Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой
части организовать только «иксы»
𝑑𝑦 𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
3)Интегрирование дифференциального уравнения
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
4)Считаем интегралы
ln 𝑦 = ln 𝑥 + 𝐶 – решение в неявном виде
Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен
и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после
интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но
далеко не всегда!) целесообразно записать тоже под логарифмом. И
записать НЕПРЕМЕННО, если получились одни логарифмы (как в
рассматриваемом примере).
То есть, ВМЕСТО записи ln 𝑦 = ln 𝑥 + 𝐶 обычно пишут ln 𝑦 = ln 𝑥 + ln С′
ln 𝑦 = ln 𝑥 + ln С′
ln 𝑦 = ln С𝑥
𝑦 = 𝐶𝑥, где C=const – Общее решение
Скачать