Дифференциальные уравнения второго порядка

{ задача Коши - геометрическая интерпретация дифференциального уравнения второго порядка - приемы
интегрирования дифференциальных уравнений 2-го порядка - уравнение погони – примеры }
Дифференциальное уравнение второго порядка может иметь вид F(x,y,y’,y’’) = 0
или y’’ = f(x,y,y’). Общим решением уравнения является функция y = j (x, C1, C2),
существенно зависящая от двух произвольных постоянных и обращающая данное
уравнение в тождество при любых значениях этих постоянных. Частное решение
получается при закреплении постоянных С1, С2 .
2
d y
dy
Задача отыскания решения дифференциального уравнения
 f ( x ,y , )
2
dx
dx
удовлетворяющего заданным начальным условиям
y(x0 ) = y0, y’(x0) = y’0 называется задачей Коши.
Теорема
Если функция f - правая часть дифференциального уравнения d2y/dx2 = f(x,y,dy/dx)
непрерывна в некоторой замкнутой трехмерной области D: oxyy’ и имеет в этой
области ограниченные частные производную дf/дy, дf/дy’, то каждой внутренней
точке области D соответствует, и притом единственное, решение,
удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Геометрически это означает, что через каждую точку M0 (x0,y0, y’0 )области D
проходит одна и только одна интегральная кривая рассматриваемого
уравнения.
Данная теорема называется теоремой
существования и единственности решения
дифференциального уравнения
Y’
M0 (x0,y0, y’0 )
d 2y
dy
 f ( x ,y , )
2
dx
dx
D
y
o
P0 (x0,y0)
x
y  j ( x , C1 , C 2 )
y  j( x )
y ( x0 )  y0
dy
dy

dx x0 dx
0
j ( x0 )  y0
j ( x0 )  y0
d 2 j( x )
dj ( x )
 f ( x , j ( x ),
)
2
dx
dx
@
Решить дифференциальное уравнение второго порядка, при
заданных начальных условиях
f ’y = 0
dy
d 2y
1 dy
dx
2

x dx
dy
dv
1
dv
v 
 v  
dx
dx
x
v
2
dy
x
 C1 x  y  C1
 C2
dx
2
1
y ( 1 )  1  C1  C 2  1
2
y ( 1 )  1  C1  1
y( 1 )  1
Решение

dx x  1
dx
 x  v  C1 x
1
f ’y’ = 1/x
D: x 0
y
x2  1
y 
2
 C1  1

C  1
 2
2
M(1,1)
o
C2 = tgjo = 1
x
Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка F(x,y,y’,y’’)=0..
Этим уравнением для каждой точки M(x,y) определяется связь между координатами
точки, через которую проходит интегральная кривая, производной функции
dy/dx - угловым коэффициент касательной к интегральной кривой, и, через вторую
производную, кривизной кривой k.
y = j(x)
y’ = dj/dx
1
R 
k
R 
1
k
k 
d 2y
dx 2
2

 dy  
1  



 dx  
3
2
Метод понижения порядка
Тип I
dy
d 2y
  f ( x )dx  C 1
 f( x)
2
dx
dx
y 
 (  f ( x )dx ) dx
 C1 x  C2
2
 dy 
d


d 2y
dy
dx


Тип II

 f( y)
2
f( y)
2
dx
dx
dx
dy

 2  f ( y ) dy  C 1
dx
2
2
 dy 

  2  f ( y ) dy  C 1
 dx 
dy
 f ( y ) dy
 C1
 x  C2
Метод понижения порядка
y   f ( y  )
Тип III 
y   f ( x , y  )
y   u , y  
y   f ( y , y  )
Тип IV y   j ( x )  0 ,
y  j ( x )  м.ф.
du

dx
y   u , y  
 du
 dx  f ( u )
 du

 f ( x ,u )
dx
du
du dy
du


u
dx
dy dx
dy
du
~ ( y ,u ), du  j
~ ( y ,u ) / u  j( y ,u )
u j
dy
dy
2
d
y
y
@ Решить дифференциальное

2
e
dx 2
уравнение
Решение
dy d 2 y
y dy
2

4
e
dx dx 2
dx
dy

 2 e y 
dx
e
 d(
dy


e
y
2
y
y ( 0 )  0 , y ( 0 )  2
C 2  2
C1  0
dy 2
dy 2
)  4 e y dy  (
)  4 e y  C1
dx
dx
 2  dx
1x
 2 e
y  ln

y
2
 2 x  C 2
1
1  x 2
Определить траекторию преследования цели ракетой, если цель
движется вдоль прямой, а скорости цели и ракеты равны между собой.
P
A
Если точка A движется вдоль заданной кривой, а
точка P преследует её, причем вектор направления
движения точки P всегда направлен на точку A , и
скорости движения точек постоянны, то траектория
точки P называется кривой погони.
Такая задача впервые была решена французским
математиком Pierre Bouguer в 1732 году,
впоследствии задачи такого класса исследовались
английским математиком Boole.
Уравнение кривой погони выводится при условии, что вектор касательной к
траектории в точке P всегда параллелен линии, соединяющей A и P
A  P Pt'
 ' 1
A  P Pt
P
A  P   Pt'
Pt'  1
AP
Пусть точка A движется вдоль оси y, тогда
уравнение её движения:
A
Уравнение движения точки P в параметрической форме :
2
2
 dy 
 dx 
    1
 dt 
 dt 
1
x2  (t  y )2
1
x  0
A( t )  
y  t
P( x , y )  P( t )
0
t

dx 
 x   dt 
  1

 y   dy 
 dt 
Последнее уравнение может быть переписано в следующем виде
2
dy
dx 

2
2
(
t

y
)

x

x

(
t

y
)



dt
dt 

2
2




dy
dy
dx
dx








2
2

 x    1  2 x ( y  t )     ( t  y )    1   0
  dt 

  dt 

 dt  dt 




2
2
 dy 
 dx 
 dx  dy 
 x 2    2 x ( t  y )     ( t  y ) 2    0
 dt 
 dt  dt 
 dt 
2
dy
dx 
dx
 dy
 x
 (t  y )

0

x

(
t

y
)
0 

dt
dt
dt
dt


dy
dy dx
dy
 
1  y 2 dx  tv  t

/
x
t  y  0
dx
dt dt
dx
2
dy
d 2y
 dy 
2
x
 y   1  y  dx  0

x
 1   0
2
dx
dx
 dx 


Последнее уравнение допускает понижение порядка
dy
u 
dx

du
1  u2
du
x
 1  u2  0 
dx

du
x
 1  u2 
dx
du
1  u2

dx

x
dx
2
2
2 2
2

u

1

u

4
C
x

1

u

16
C
x

8
C
xu

u

x
2
2
2
16C 22 x 2  1
1
u 
 2 C2 x 

8 C2 x
8 C2 x
y  C1  C 2 x 2 

1
dy    2 C2 x 
8 C2 x

ln x
8 C2

dx


y  C1  C 2 x 2 
P
A
x
  
 x0
2
ln x
8 C2
Начальные условия: в момент времени t = 0 точка P находится в
точке плоскости M0 и имеет скорость V = 1
y ( x0 )  x0
y0
dy

dx x0
x0

 , r0  x 2  y 2

0
0

После подстановки этих величин в общее
решение получаем частное решение
1
y  y0  r0   y0  r0  ln   3 y0  r0 
4
A
C
B
D