Дифференциальные уравнения первого порядка

Занятие 11
Дифференциальные
уравнения первого
порядка
11.1
Основные понятия
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется соотношение
F (x, y, y , y , . . . , y (n) ) = 0,
связывающее независимую переменную x, функцию y = y(x)
и её производные y , y , . . . , y (n) . Порядок старшей производной
n, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Прилагательное "обыкновенный"означает, что
рассматриваются функции y(x) одной переменной, и мы его в
дальнейшем будем опускать. Более того, мы часто будем опускать прилагательное "дифференциальное". Дифференциальное
уравнение
y (n) = f (x, y, y , y , . . . , y (n−1) )
называется дифференциальным уравнением порядка n, разрешенным относительно старшей производной.
80
Решением дифференциального уравнения называется функция y = ϕ(x), при подстановки которой в уравнение получается тождество. Решить уравнение это значит найти все его решения. Решение уравнения часто получается в виде функции,
заданной неявно уравнением Φ(x, y) = 0. Решения уравнения
иногда называют его интегралами.
Задача 11.1. Проверить, что указанные функции являются решениями данных уравнений:
2
2
a) y = ex+x + 2ex , y − y = 2xex+x ;
b) y = sin x + x, (y )2 + (y )2 = 1.
Дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Множество всех его решений называется общим решением.
Как следует из теоремы Коши, общее решение дифференциального уравнения порядка n зависит от n произвольных постоянных. Общим решением мы будем называть семейство функций
y = ϕ(x, C1 , . . . , Cn ),
зависящих от n произвольных постоянных C 1 , . . . , Cn такое, что:
)
i) при любых значениях постоянных C10 , . . . , Cn (из некоторой
области) функции y = ϕ(x, C10 , . . . , Cn0 ) являются решениями
уравнения; ii) (почти) любое решение уравнения получается в
таком виде при некоторых значениях постоянных. Отметим, что
число произвольных постоянных равно порядку уравнения.
Пример. Простейшим дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
y = f (x).
Решение этого уравнения — это любая первообразная функции
f (x). Общее решение — это множество всех первообразных, т.е.
неопределенный интеграл. Таким образом,
общее решение про
стейшего уравнения имеет вид y = f (x)dx = F (x)+C, где F (x)
— одна из первообразных, а C — произвольная постоянная.
81
Дифференциальное уравнение первого порядка записывается
следующим образом:
F (x, y, y ) = 0 .
Дифференциальное уравнение первого порядка разрешенное
относительно производной имеет вид
y = f (x, y) .
(1)
dy
, мы можем записать уравнение (1) в виде:
Подставляя y = yx
f (x, y)dx − dy = 0. Более симметричным образом:
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0.
(1 )
Это — дифференциальное уравнение первого порядка разрешенное относительно производной в дифференциальном виде.
11.2
Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение (1) называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, если функция
f (x, y) = f1 (x)f2 (y)
является произведением функции, зависящей только от x, и
функции, зависящей только от y, т.е. если оно имеет вид y =
f1 (x)f2 (y). Дифференциальное уравнение (1 ) является уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид:
M1 (x)N1 (y)dx + M2 (x)N2 (y)dy = 0.
(2)
Решение уравнения с разделяющимися переменными состоит
dy
, мы можем записать уравнев следующем. Подставляя y = dx
ние в дифференциальном виде (2). Затем мы разделяем пере82
менные, т.е. делаем так, чтобы x содержалось только в одной
части уравнения, а y — только в другой: переносим второе слагаемое направо
M1 (x)N1 (y)dx = −M2 (x)N2 (y)dy
и делим на M2 (x)N1 (y). Получаем уравнение с разделенными
переменными
M1 (x)
N2 (y)
dx = −
dy.
M2 (x)
N1 (y)
Интегрируя это уравнение, т.е. приравнивая интегралы от левой
и правой части, получим общее решение дифференциального
уравнения с разделяющимися переменными:
N2 (y)
M1 (x)
dx = −
dy.
M2 (x)
N1 (y)
При вычислении неопределенных интегралов мы учитывает
произвольную постоянную только в одном из них. Обычно получается общее решение, заданное неявно, и практически y не
удается выразить через x.
Задача 11.2. Решить дифференциальное уравнение:
a) y = 1 + x2 + y 2 + x2 y 2 ; b) (x − y 2 x) + (y − x2 y)y = 0;
c) (xy 2 − x)dx + (y + xy)dy = 0 ;
d) (1 + y 2 )(e2x dx − ey dy) − (1 + y)dy = 0.
♥ a) Правая часть уравнения разлагается на множители:
dy
1+x2 +y 2 +x2 y 2 = (1+x2 )(1+y 2 ). Подставляя y = yx
, получаем
уравнение
dy
= (1 + x2 )(1 + y 2 ).
dx
Разделяя переменные, т.е. деля обе части уравнения на 1 + y 2 , и
dy
2
умножая на dx, получаем уравнение 1+y
2 = (1+ x )dx. Интегри
dy
руя, получаем общее решение: 1+y2 = (1+x2 )dx, или arctg y =
x + 13 x3 + C. Отсюда можем выразить y: y = tg(x + 13 x3 + C).
♠
83
Ответ: a) y = tg(x + 13 x3 + C); b) x2 + y 2 = x2 y 2 + C;
c) 12 ln |y 2 − 1| + x − ln |x + 1| = C; d) 2ey − e2x + 2 arctg y +
ln (1 + y 2 ) = C.
11.3
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с понятием однородной функции.
Функция f (x, y) называется однородной функцией степени k,
если для любого λ имеет место тождество
f (λx, λy) = λk f (x, y) ,
т.е. если при умножении x и y на одну и ту же постоянную λ
функция умножается на λk . Если k = 0, т.е. f (λx, λy) = f (x, y),
то функция называется просто однородной.
Простейший пример однородной функции — это однородный
многочлен, т.е. многочлен все члены которого имеею одну и ту
же степень k.
Задача 11.3. Проверить, что следующие функции являются
однородными и найти их степень:
a) f (x, y) = x3 − 5xy 2 + 7y 3 , b) f (x, y) = x3 + y 3 .
♥ a) f (λx, λy) = (λx)3 − 5(λx)(λy)2 + 7(λy)3 = λ3 (x3 − 5xy 2 +
7y 3 ) = λ3 f (x, y). ♠
Ответ: a) λ = 3; b) λ = 32 .
При умножении (делении) двух однородных функций снова
получается однородная функция степени равной сумме (разности) их степеней. Любую однородную функцию можно представить как функцию от отношения xy , f (x, y) = ϕ( xy ).
Дифференциальное уравнение первого порядка y = f (x, y)
называется однородным, если функция f (x, y) однородна.
84
Из свойств однородных функций следует, что однородное
дифференциальное уравнение первого порядка может быть представлено в виде
y
(3)
y = ϕ( ).
x
А если дифференциальное уравнение записано в дифференциальном виде (1 ), то оно является однородным, если M (x, y) и
N (x, y) — однородные функции одной и той же степени.
Метод решения. Замена xy = t , где t = y(x)
x — новая неизвестная функция, сводит однородное уравнение к уравнению с
разделяющимися переменными.
Задача 1.4 Решить дифференциальное уравнение:
2
2
2
2
2
a) 2x2 dy =
(x + y )dx ; ; b) (x − xy + y )dy − (2y − xy)dx = 0 ;
2
2
c) xy = 3 x + y + y; d) x + y − (y − x)y = 0 ;
dy
dx
e) y = xy + xy ; f ) 2x2 −2xy+2y
2 = y 2 −4xy .
♥a) Разделим обе части равенства на x 2 dx. Получим уравне 2
ние 2y = 1 + xy . Делая замену xy = t, получаем:
2xt + 2t = 1 + t2 , 2x
dt
2dt
dx
= 1 − 2t + t2 = (t − 1)2 ,
.
=
2
dx
(t − 1)
x
Интегрируем полученное уравнение с разделёнными переменными и, заменяя t на xy , найдём общее решение:
−
2
2
− 2x
= ln x + ln C , − y
= ln xC , Cx = e y−x .
t−1
x −1
Замечание При разделении переменных мы делили на x и (u −
1)2 , что возможно при x = 0 и u − 1 = 0 . Легко проверить,
что x = 0 и u = 1 (то есть y = x) являются также решениеми
данного уравнения и они не входят в общее решение.
Делим уравнение на x и получаем уравнение y =
c)
3
y
x
y2
x2
+ xy . Это однородное уравнение вида (3). Делая замену
√
= t, откуда y = tx, y = t x + t, получаем: t x + t = 3 1 + t2 + t,
1+
85
√
или t x = 3 1 + t2 . Это уравнение с разделяющимися
пере√
dt
dt
, получаем dx
x = 3 1 + t2 , или
менными. Заменяя t = dx
dt
√ dt
√
= 3dx
= 3 dx
x . Интегрируя, получаем
x , откуда
1+t2 √
1+t2
√
2
t + 1 + t2 = Cx3 ,
ln |t + 1 + t | = 3 ln |x| ln C. Потенцируем:
2
делаем обратную замену t = xy : xy + 1 + xy 2 = Cx3 , и получаем
общее решение дифференциального уравнения: y + x2 + y 2 =
Cx3 . ♠
−
2x
y−x ; b) (y − x)2 = Cy(y − 2x)3 ; c) y +
Ответ: a) Cx = e
3
2
2
x + y = Cx ; d) x2 + 2xy − y 2 = C; e) y 2 = x2 ln Cx2 ;
f ) 2y 3 − 3xy 2 + 6x2 y = C.
Задача 1.5. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию
√
a) y = 2 y ln x, y(e) = 1; b) y ctg x + y = 2, y(0) = −1;
y
c) y 2 + x2 y = xyy , y(3) = 4; d) xdy − ydx = 2xe− x dx, y(1) = 1.
♥a) Это дифференциальное уравнение с разделяющимися
пременными. Сначала находим общее решение. Разделяя пере√ = ln xdx. Интегрируя, найдём общее ременные, получаем: 2dy
y
√
шение: y = x ln x + C или y = (x ln x + C)2 . Частное решение
получим, если в общее решение подставим начальные условия
x = e и y = 1. Тогда 1 = (e − e + C)2 , откуда C = 1.
c) Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка, Сначала
общее решение. Разделив уравнение на
y находим
2
y 2
x , получим x + y = x y . Делая замену xy = t, получаем
dx
t−1
dt =
⇒
t2 + xt + t = t(xt + t) ⇒ x(1 − t)t = −t ⇒
t
x
dx
1
dt =
⇒ t − ln t = ln x + C ⇒ t − ln t − ln x = C
1−
t
x
y
⇒ t − ln tx = C ⇒ − ln y = C - общее решение.
x
Постоянную C определим из начальных условий: C = 43 − ln 4.
Подставив C в общее решение, найдём искомое частное решение:
3y−4x
y = 4e 3x . ♠
86
Ответ: a) y = (x ln x + 1)2 ; b) y = 2 − cos x; c) y = 4e
y
d) e x − 2 ln |x| = e.
3y−4x
3x
;
Контрольные вопросы
1. Что такое дифференциальное уравнение и что такое его
решение?
2. Что значит решить дифференциальное уравнение? Что такое общее решение дифференциального уравнения?
3. Простейшее дифференциальное уравнение и его решение.
4. Как выглядит диффенциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, в дифференциальном виде?
5. Что такое дифференциальное уравнение первого порядка с
разделяющимися пременными?
6. Что такое однородная функция веса k?
7. Приведите три равносильные формы записи однородного
дифференциального уравнения первого порядка. Как решаются
такие уравнения?
Дополнительные вопросы и задачи
D1. Показать, что линейной
заменой
переменных дифференax+by+c
циальное уравнение y = f a1 +b1 +c1 сводится к однородному
дифференциальному уравнению.
x+y−3
.
D2. Решить дифференциальное уравнение y = −x+y+1
D3. Найти кривые, для которых угловой коэффициент касательной пропорционален ординате точки касания.
D4. Найти кривые, для которых в каждой точке длина отрезка
касательной равна длине отрезка, отсекаемого касательной на
оси абсцисс.
87