ПУД-А-21-осень-ТФКП__бакал_Шур

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория функций комплексного переменного» для направления 220400.62
«Управление в технических системах» подготовки бакалавра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет электронной техники и телекоммуникаций
Программа дисциплины «ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО»
для направления 220400.62 «Управление в технических системах»
подготовки бакалавра
Автор программы:
Шур М.Г., доктор физ.-мат.наук, профессор, [email protected]
Одобрена на заседании кафедры
Высшей математики МИЭМ НИУ ВШЭ «____»______2013г.
Зав.кафедрой
Л.И.Кузьмина
Рекомендована секцией УМС
Председатель
«____»______2013г.
Утверждена УС
факультета электронной техники и телекоммуникаций «____»______2013г.
Ученый секретарь
Москва, 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и
другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория функций комплексного переменного» для направления 220400.62
«Управление в технических системах» подготовки бакалавра
1. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 220400.62 «Управление в технических системах»,
изучающих дисциплину «Теория функций комплексного переменного».
Программа разработана в соответствии с:
 ФГОС ВПО;
 Образовательной программой направления 220400.62 «Управление в технических
системах» подготовки бакалавра;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 220400.62 «Управление в
технических системах» подготовки бакалавра, утвержденным в 2013 г.
2. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Теория функций комплексного переменного» являются:
 освоение основных понятий и методов теории функций комплексного переменного,
включая операционное исчисление;
 формирование у студентов естественнонаучного мировоззрения и развитие у них
системного мышления;
 освоение современных математических методов решения прикладных задач, требующих
применения теории функций комплексного переменного.
В результате изучения данной дисциплины у студента должно сформироваться целостное
представление об основных понятиях и методах теории функций комплексного переменного, что
позволит ему применять данные знания при решении профессиональных задач.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать:
 основные положения и методы теории функций комплексного переменного;
 возможности, доставляемые изучаемой дисциплиной для приложений.
 Уметь:
 применять методы теории функций комплексного переменного для постановки и
решения прикладных задач.
 Иметь навыки (приобрести опыт):
 использования методов теории функций комплексного переменного при решении
прикладных задач.
4. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к математическому и естественно-научному циклу
дисциплин (вариативная часть).
Изучение данной дисциплины базируется на дисциплине:
 Математический анализ,
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями:
 знание курса «Математический анализ» в полном объеме.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении
дисциплин профессионального цикла (например, при изучении дисциплин «Электротехника и
электроника», «Теоретические основы электротехники»).
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория функций комплексного переменного» для направления 220400.62
«Управление в технических системах» подготовки бакалавра
5. Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
Всего
часов
Название раздела
Теория функций комплексного
переменного
Операционное исчисление
ИТОГО
116
64
180
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
24
22
70
10
32
8
32
46
116
6. Формы контроля знаний студентов
Тип
Форма
контроля
контроля
Текущий Контрольная
(неделя) работа 1
Контрольная
работа 2
Промежут Зачет
очный
Итоговый Экзамен
1 год
1 мод. 2 мод.
7
16
Параметры
Письменная работа (2 аудиторных часа)
Письменная работа (2 аудиторных часа)
Зачет в устной форме (2 аудиторных часа)
9
17
Экзамен в устной форме (2 аудиторных часа)
6.1. Критерии оценки знаний, навыков
При проведении контрольной работы для получения оценок 4-5 баллов студент должен
выполнить две трети предложенного задания. При полном выполнении задания ставятся оценки 810 баллов в зависимости от наличия или отсутствия небольших недочетов (например, ошибок
технического характера или неполной аргументации). При получении оценок 0-5 баллов студент
может один раз переписать контрольную работу. При переписывании оценки 8-10 баллов
понижаются до 7 баллов.
На зачете или экзамене для получения оценок 4-5 баллов студент должен
продемонстрировать знание основных определений и примеров и не допускать принципиальных
ошибок в формулировках основных теорем. При полном ответе ставятся оценки 8-10 баллов в
зависимости от наличия или отсутствия небольших недочетов. При этом учитывается работа
студента в течение семестра.
Все виды оценок выставляется по 10-балльной шкале.
6.2. Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает работу каждого студента на практических занятиях, учитывая его
активность и правильность предлагаемых решений (оценки выставляются в рабочую ведомость).
Оценивается также самостоятельная работа студентов: учитывается число решенных задач,
правильность решений, полнота аргументации (оценки выставляются в рабочую ведомость).
Накопленная оценка по 10-балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед
промежуточным или итоговым контролем – Oсам. раб. .
Накопленная оценка за i -ый модуль ( i =1, 2) рассчитывается по формуле:
Онакопленная i  0,6  Отекущий i  0,4  Осам. раб. i ,
где
Отекущий i О к
3
рi
.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория функций комплексного переменного» для направления 220400.62
«Управление в технических системах» подготовки бакалавра
Оценка Опром ежуточная также учитывает успеваемость студента в 1-ом модуле:
Опром ежуточная  0,3  Отекущий 1  0,7  О зачет .
Итоговая накопленная оценка рассчитывается по формуле:
Онакопленная итоговая  0,5  (Опром ежуточная  Онакопленная 2 ) .
Способ округления всех приведенных оценок – арифметический.
Студент имеет право один раз переписать каждую контрольную работу, если при ее
написании получил 0-5 баллов (см. п. 6.1).
На зачете или экзамене студент может получить дополнительный вопрос, ответ на который
оценивается в 1 балл.
Результирующая оценка за дисциплину формируется в соответствии с формулой:
О результирующая  0,7  Оитоговый контроль  0,3  Онакопленная итоговая
Результирующая оценка округляется по арифметическому способу.
7. Содержание дисциплины
Раздел 1. Теория функций комплексного переменного
Лекции 1-2. Комплексные числа и их алгебраическая, тригонометрическая и показательные
формы. Комплексная плоскость и кривые на ней. Функции комплексного переменного, их
пределы и непрерывность.
Лекции 3-4. Дифференцируемые и регулярные функции. Условия Коши-Римана.
Гармонические функции. Восстановление регулярной функции по ее действительной или мнимой
части. Конформные отображения и теорема Римана. Определение и регулярность элементарных
функций комплексного переменного. Конформные отображения, соответствующие этим
функциям.
Лекции 5-6. Интеграл функции комплексного переменного по кривой. Интегральная теорема
Коши и интегральная формула Коши. Бесконечная дифференцируемость регулярных функций.
Теорема Мореры.
Лекция 7. Регулярность суммы степенного ряда. Способы вычисления радиуса сходимости
степенного ряда. Разложение регулярной функции в ряд Тейлора. Теоремы единственности а) для
степенного ряда и б) для регулярных функций. Нули регулярной функции.
Лекции 8-9. Изолированные особые точки однозначного характера. Теорема об устранении
особенности. Теорема Лиувилля. Классификация изолированных особых точек. Ряд Лорана и
разложение функции, регулярной в кольце, в ряд Лорана. Разложение Лорана в окрестности
существенно особой точки или полюса.
Лекции 10-11. Вычеты и способы их вычисления. Вычет в бесконечно удаленной точке.
Применение вычетов при вычислении несобственных интегралов.
Практические занятия 1-2 проводятся по материалу лекций 1-2. Занятия 3-6 проводятся по
материалу лекций 3-5. Занятие 7 отведено контрольной работе 1 по материалу занятий 1-6.
Занятие 8 отражает материал лекций 6-7. Занятие 9 отведено зачету за 1 модуль (материал лекций
1-7). Занятие 10 проводится по материалу лекций 8-9. Занятия 11-12 проводятся по материалу
лекций 10-11.
Каждое практическое занятие занимает 2 аудиторных часа. Общий объем самостоятельной
работы – 70 часов (из них 20 часов для подготовки к текущему контролю и практическим
занятиям и 50 часов для выполнения текущих домашних заданий).
Литература: базовый учебник (см. п.10.1), гл. 1-3.
Раздел 2. Операционное исчисление
Лекции 12-15. Оригиналы и изображения. Основополагающие теоремы операционного
исчисления. Таблица изображений. Приложения операционного исчисления к решению
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория функций комплексного переменного» для направления 220400.62
«Управление в технических системах» подготовки бакалавра
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и
расчету электрических схем.
Лекция 16. Обзорная лекция. Практические занятия 13-15 проводятся по материалу лекций
12-15. Занятие 16 отведено контрольной работе по материалу лекций 10-16 (теория вычетов и
операционное исчисление).
Общий объем самостоятельной работы – 46 часов (из них 15 часов для подготовки к
текущему контролю и практическим занятиям и 31 час для выполнения текущих домашних
заданий).
Литература: базовый учебник, гл. 4.
8. Образовательные технологии
Все практические занятия проводятся в интерактивной форме и посвящаются решению
соответствующих задач. При необходимости кратко обсуждаются необходимые теоретические
положения.
9. Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1. Тематика заданий текущего контроля
Примерные задачи для контрольной работы № 1:
1. Вычислить Ln i , ln i и sin 2i .
2. Найти регулярную функцию w  u  i  v , если u  ln( x 2  y 2 ) .
3. Найти дробно-линейную функцию, переводящую точки -1, 0, 1 соответственно в точки 1,
i , -1, и указать соответствующий образ верхней полуплоскости.
4. Вычислить интеграл  xdz , где L - верхняя полуокружность окружности z  1,
проходимая в положительном направлении.
На контрольной работе № 2 предлагаются 4 задачи, связанные, соответственно, с темами:
а) разложение заданной функции в заданном кольце в ряд Лорана (или определение типа
особых точек заданной функции);
б) применение теории вычетов для вычисления заданных интегралов;
в) нахождение изображения заданного оригинала;
г) нахождение оригинала по заданному изображению (или решение линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами операционным методом).
9.2. Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к экзамену:
1. Объяснить, как связаны алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы
записи комплексного числа. Объясните, как выполняются арифметические операции с
комплексными числами, заданными а) в алгебраической и б) показательной формах.
2. Дать определение расширенной комплексной плоскости и окрестности точки  .
3. Дать определение кусочно-гладкой кривой z  z (t ) , d  t   на комплексной плоскости.
Написать параметрические уравнения а) окружности с центром в точке a и радиусом R1 и б)
отрезка, соединяющего точки z1 и z 2 ( z1  z 2 ).
4. Применительно к функциям комплексного переменного дать определение функции а)
непрерывной и б) дифференцируемой в данной точке. Сформулировать условие
дифференцируемости. Доказать дифференцируемость функции z 2 в любой точке z .
5. Доказать (частично) теорему об условиях Коши-Римана. Показать, что если функция
w( z )  u ( x, y )  iv ( x, y ) дифференцируема в точке z  x  iy , то w( z )  u x ( x, y)  ivx ( x, y) в этой
точке.
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория функций комплексного переменного» для направления 220400.62
«Управление в технических системах» подготовки бакалавра
6. Дать определение регулярной функции. Привести пример функции, являющейся
дифференцируемой, но нерегулярной в некоторой точке.
7. Дать определение и привести пример гармонической функции. Показать, что
действительная и мнимая части регулярной в области функции являются гармоническими
функциями в этой области.
8. Объяснить, как восстанавливается регулярная функция по ее действительной (или
мнимой) части.
9. Доказать теорему о геометрическом смысле модуля и аргумента производной w(z )
функции w(z ) комплексного переменного. Дать определение конформного отображения.
10. Описать свойства отображения, определяемого дробно-линейной функцией. Вывести
круговое свойство. Привести примеры.
11. Дать определение функции e z . Вывести ее свойства.
12. Дать определения функций sin z и cos z и вывести их свойства.
13. Описать отображения, определяемые функциями z n (n  1, 2, ...) и e z .
14. Дать определение интеграла функции комплексного переменного по кусочно-гладкой
кривой Г. Сформулировать правило оценки интеграла. Описать способ его сведения к
обыкновенному интегралу.
15. Доказать интегральную формулу Коши.
16. Сформулировать теорему о бесконечной дифференцируемости регулярной функции и
привести ее частичное доказательство.
17. Сформулировать теорему Мореры и частично доказать теорему Вейерштрасса о рядах
регулярных функций.
18. Доказать теорему о форме множества сходимости степенного ряда и рассказать о
способах вычисления радиуса сходимости степенного ряда.
19. Доказать теорему о разложении регулярной функции в ряд Тейлора. Привести примеры
таких разложений.
20. Доказать теорему о представлении регулярной функции в окрестности ее нуля.
21. Частично доказать теорему единственности для регулярных функций.
22. Дать определение изолированной особой точки однозначного характера и указать
классификацию таких точек. Привести примеры особых точек.
23. Доказать теорему об устранении особенности и вывести из нее теорему Лиувилля.
24. Доказать теорему о форме множества сходимости ряда Лорана.
25. Доказать теорему о разложении функции, регулярной в кольце, в ряд Лорана. Привести
примеры таких разложений.
26. Доказать теорему о поведении функции в окрестности полюса и сформулировать теорему
о ее поведении в окрестности существенно особой точки.
27. Описать (с обоснованием) связь между нулями и полюсами функции.
28. Дать определение вычета. Вывести формулу для вычисления вычета в полюсе k -го
порядка.
29. Доказать основную теорему теории вычетов и привести пример ее применения.

 R( x)dx ,
30. Вывести формулу для вычисления интеграла вида
где R (x ) - рациональная

функция. Привести пример.

31. Вывести формулу для вычисления интеграла вида
e
idx
R ( x )dx , где R (x ) - рациональная

функция. Привести пример.
32. Найти изображения оригиналов, равных 1, t n (n  1, 2) и e at при t  0 .
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория функций комплексного переменного» для направления 220400.62
«Управление в технических системах» подготовки бакалавра
33. Доказать регулярность изображения в полуплоскости
lim F ( p)  0 .
Re p  s
и соотношение
p 
34. Доказать свойство линейности изображений, а также теоремы подобия и сдвига.
Использовать эти результаты для нахождения изображений оригиналов, равных sin wt , cos wt ,
t n e t , e t sin wt , e t cos wt при t  0 .
35. Доказать теоремы о дифференцировании оригинала и изображения.
36. Доказать теоремы об интегрировании оригинала и изображения. Найти изображения
t sin 
1
dr при t  0 .
оригиналов, равных sin t и 
0 
t
37. Рассказать о применении операционного исчисления при решении обыкновенного
линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Привести пример.
38. Рассказать о применении операционного исчисления при расчете электрических схем.
Привести пример.
10. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1. Базовый учебник
1. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного,
операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1981.
10.2. Основная литература
1. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. – М.: Наука,
1979.
2. Волковысский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций
комплексного переменного. – М.: Наука, 1970.
10.3. Дополнительная литература
1. Евграфов М.А. Аналитические функции. – М.: Наука, 1969.
10.4. Справочники, словари, энциклопедии
1. Математическая энциклопедия. Тома 1-5. – М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.
7