Математика 5-11 классы

Всероссийская олимпиада школьников по математике 2014-2015 уч.год
Школьный этап
5 класс.
1.Вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы сложение было выполнено
правильно:
73*8
+ **46*
9*36
97125
2. Квадрат состоит из 9 равных квадратов. Сколько всего квадратов?
3.Запишите все натуральные числа, делящиеся на 2, лежащие на числовом
луче между числами 1992 и 2007.
4.Разрежьте прямоугольник на 3 треугольника так, чтобы среди
полученных треугольников лишь 1 был прямоугольный.
5.Старший брат идет от дома до школы 30 мин, а младший – 40 мин. Через
сколько минут старший брат догонит младшего, если тот вышел на 5
минут раньше?
6 класс.
2.
7 класс.
3. Машина движется со скоростью 80 км/час. С какой скоростью ей
надо двигаться, чтобы 1 км проезжать на 15 секунд быстрее?
8 класс.
1.Найдите значение выражения
, если
.
2.Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие грибы – 12% воды. Сколько
получится сухих грибов из 11 кг свежих?
3.Дан треугольник ABC. Точка M лежит на стороне BC. Известно, что AB =
BM и AM = MC, угол B равен 100. Найдите остальные углы
треугольника ABC.
4. Работник заключил контракт на месяц на следующих условиях. За каждый
отработанный день он получает 100 рублей. Если же он прогуливает, то не
только ничего не получает, но подвергается штрафу в размере 25 рублей за
каждый день прогула. Через 30 дней выяснилось, что работник ничего не
заработал. Сколько дней он действительно работал?
5.Три друга сделали по одному заявлению про целое число х. Петя: «Число х
больше 4, но меньше 8». Вася: «Число х больше 6, но меньше 9». Толя:
«Число х больше 5, но меньше 8». Найдите число х, если известно, что двое
из друзей сказали правду, а третий солгал. Нужно не только проверить, что
найденное число годится, но и объяснить, почему другие варианты ответа
невозможны.
9 класс.
1. В одном ящике лежат 2010 синих шаров, в другом – 2012 белых. Два
игрока по очереди делают ходы. За один ход разрешается взять три синих
или два белых шара. Выигрывает тот, кто берет последние шары. Кто
выиграет в этой игре: начинающий или его партнер?
2. Из А в В вышел пешеход. Одновременно с ним из пункта В во
встречном направлении выехал велосипедист. Они двигались с
постоянными скоростями, и через час расстояние между ними равнялось 3
км, а еще через час - 14 км. Найдите расстояние между А и В.
3.Как разрезать фигуру, изображенную на рисунке на три равные части?
4.За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето поправился на 20%,
затем за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он в
итоге или поправился?
5. Докажите, что число 11…1122…22 (состоящее из 100 единиц и 100
двоек) есть произведение двух последовательных целых чисел.
10 класс.
1. Докажите, что n3  3n2  5n  3 при любом натуральном п делится на 3.
2. В трапеции ABCD длина основания AD равна 2 2 , а длина основания
BC равна 2 . Угол A = 15°, D = 30°. Найдите длину боковой стороны
AB.
3. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном
получится 3, а в остатке 7. Если из суммы квадратов цифр этого числа
вычесть произведение его цифр, то в результате получится данное
двузначное число. Найти это число.
4. Найдите а, в, с квадратичной функции у = ах2 + вх +с, зная, что этот
график пересекает ось оу в точке (0; 5)
и имеет ровно одну общую точку (2; 0) с осью ох. Постройте этот график.
5. Три подруги были в белом, красном и голубом платьях. Их туфли были
так же трех цветов. Только у Тамары цвета платья и туфель совпадали.
Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были
красными. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.
11 класс.
9
х2
2

х

4
х

3

х2  9
х2  9
2 .Найдите значение выражения: cos 260 sin 260 sin 130 cos 160 .
1. Решите уравнение: х 2  2х  4 
3. В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны
2см, 3см и 4см, вписана окружность радиуса 1,2см. Найдите площадь
четырехугольника.
4. За последний год численность населения города
уменьшилась на 4%, а число безработных увеличилось на 5%. Сколько
процентов от общего числа жителей на данный момент составляют
безработные, если год назад их
было 8%?
5.