Олимпиадные задания по математике, 10 класс

Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике, 5 класс
Время выполнения – 3 часа
Каждое задание оценивается в 5 баллов
1. Расшифруйте запись:
2. Полный сосуд с сиропом весит 33 кг. Сосуд, заполненный наполовину,
весит 17 кг. Какова масса пустого сосуда?
3. Как с помощью двух бидонов 5л и 8л отлить из молочной цистерны 7л
молока?
Молоко разрешается выливать обратно в цистерну.
4. Как разрезать прямоугольник, длина которого 16 см, а ширина 9 см, на две
равные
части, из которых можно составить квадрат?
5. Катя и Юра купили лотерейные билеты с номерами: 625517 и
322324, и
обнаружили, что в каждом из номеров можно расставить знаки
арифметических
действий и скобки так, что в каждом случае результат будет равняться 100.
Как это
можно сделать?
Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике, 6 класс
Время выполнения – 3 часа
Каждое задание оценивается в 5 баллов
1. Восстановите запись:
* 2 *
*
* * * 8
+
* * * * *
2 * * 0 0 4
х
3
*
7
*
2. Между цифрами 1 2 3 4 5 6 нужно расставить знаки «+» и «-» так, чтобы
после выполнения действий получилась единица.
3. Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд
подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. А
когда поезд отъезжал, один из них насчитал еще 2 скамейки. Сколько
насчитали остальные?
4. В апреле 3 пятницы были нечетные числа. Каким днем недели было 25
апреля?
5. Имеется 2 сосуда – 3 л и 5 л. Нужно, пользуясь ими, налить 1 л воды.
Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике, 7 класс
Время выполнения – 3 часа
Каждое задание оценивается в 5 баллов
1. Восстановите запись:
* 2 *
*
* * * 8
+
* * * * *
2 * * 0 0 4
х
3
*
7
*
2. Три купчихи - Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена
Уваровна - сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили
вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна - 15, а
Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна - 14. Сколько чашек чая выпили
все три купчихи вместе?
3. Витя выложил из карточек с цифрами пример на сложение и затем
поменял местами две карточки. Как видите, равенство нарушилось. Какие
карточки переставил Витя?
31415
29182
58578
4. Делится ли число 11*21*31*41*51*…*91-1 на 10?
Почему?
5. Кусок мыла имеет форму параллелепипеда. После семи стирок длина,
ширина и толщина куска мыла уменьшилась вдвое. На сколько таких же
стирок хватит оставшегося мыла?
Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике, 8 класс
1. (2б) За весну Обломов похудел на 25%, затем за летоприбавил в весе 20%,
за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или
поправился за год?
2. (3б) Доказать, что разность 92000-72000делится на 10.
3. (4б) Города A и B расположены на реке на расстоянии 10км друг от друга.
На что пароходу потребуется больше времени: проплыть от A до B и обратно
или проплыть 20 км по озеру.
4. (5б) Четверо ребят --- Алеша, Боря, Ваня и Гриша --- соревновались в беге.
На следующий день, на вопрос, кто какое место занял, они ответили так:
Алеша: Я не был ни первым, ни последним.
Боря: Я не был последним.
Ваня: Я был первым.
Гриша: Я был последним.
Известно, что три из этих ответов правильные, а один --- неверный. Кто
сказал неправду? Кто был первым?
5. (8б) Имеются контейнеры двух видов: по 130 кг и по 150 кг. Нужно
полностью загрузить ими грузовик грузоподъемностью 3 тонны. Можно ли
это сделать?
Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике, 9 класс
1. (8б) На участке трамвайного пути длиной в 1 км. пешеход, проходящий
этот участок в течение 12 минут, ежедневно подсчитывал число трамваев,
его обгоняющих и встречных. В течение года первых оказалось 225, вторых -- 600. Определить скорость трамвая.
2. (2б) Найти два трехзначных числа, зная, что их сумма кратна 498, а
частное кратно 5.
3. (6б) Найти все такие двузначные числа A, для каждого из которых два из
следующих четырех утверждений верны, а два - неверны:
а) A делится на 5,
б) A делится на 23,
в) A+7 есть точный квадрат,
г) A-10 есть точный квадрат.
4. (4б) Верно ли, что среди любых 30 различных натуральных чисел, не
превосходящих 50, всегда можно выбрать два, одно из которых вдвое больше
другого?
5. (3б) Дан угол в 19о. Построить циркулем угол в 1о.
Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике, 10 класс
Каждое задание оценивается в 5 баллов
1.Трава на лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров
съели бы ее за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров съели бы всю
траву за 96 дней?
2. За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил в весе 20%, за
осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или
поправился за год?
3. Решить уравнение
4
21  10 x  12  21  10 x
4. В некоторой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин
оснований трапеции, а угол между диагоналями равен 60°. Доказать, что
трапеция равнобедренная.
5. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению:
x2 – xy – 2x + 3y = 11.
Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике, 11 класс
Каждое задание оценивается в 5 баллов
1. Двое рабочих могут напилить за день 5 поленниц дров, а наколоть 8
поленниц. сколько поленниц дров они должны напилить, чтобы успеть
наколоть их в тот же день?
3
2. На острове 3 всех мужчин женаты и 5 всех женщин замужем. Какая доля
населения острова состоит в браке?
2
3. Вычислить, не пользуясь таблицами и микрокалькулятором,
tg 1° ∙ tg 2° ∙ tg 3° ∙ ... ∙ tg 89°.
4. Точки P, K, M, N – соответственно середины сторон AB, BC, CD, DA
выпуклого четырехугольника ABCD. Отрезки AK и CP пересекаются в точке
F, отрезки AM и CN – в точке E. Площадь четырехугольника AFCE равна 666.
Найдите площадь четырехугольника ABCD.
5. В компании из шести человек один правдолюб, то есть всегда говорит
правду; двое – дипломаты, то есть могут говорить правду или ложь; а
остальные – лжецы, то есть всегда лгут. Чтобы узнать, кто из них есть кто,
каждого спросили, кто он есть. Первый сказал, что правдолюб, второй – что
он дипломат, третий – что он лжец, четвертый – что он не правдолюб, пятый
– что он не дипломат, а шестой – что он не лжец.
Кто из них есть кто?
Ключи к олимпиадным заданиям по математике
Математика, 5 класс.
Время выполнения – 3 часа
1. Расшифруйте запись:
Ответ:
А = 6, Б = 9, С = 1.
2. Полный сосуд с сиропом весит 33 кг. Сосуд, заполненный наполовину,
весит 17 кг. Какова масса пустого сосуда?
Ответ: 33 – 17 = 16(кг) весит половина сиропа.
16 • 2 = 32(кг) весит сироп.
33 – 32 = 1(кг) весит сосуд.
3. Как с помощью двух бидонов 5л и 8л отлить из молочной цистерны 7л
молока?
Молоко разрешается выливать обратно в цистерну.
Ответ: 1) Налить молоко в пятилитровый бидон и перелить в
восьмилитровый.
2) Снова налить молоко в пятилитровый бидон и долить восьмилитровый
бидон.
Тогда в пятилитровом бидоне останется 2л молока.
3) Вылить молоко в цистерну из восьмилитрового бидона.
4) Перелить 2л молока из пятилитрового бидона в восьмилитровый бидон.
5) Налить молоко в пятилитровый бидон и перелить его в восьмилитровый.
В результате в восьмилитровом бидоне получим 2+5=7 (л) молока.
4. Как разрезать прямоугольник, длина которого 16 см, а ширина 9 см, на две
равные
части, из которых можно составить квадрат?
Ответ: См . рис.
5. Катя и Юра купили лотерейные билеты с номерами: 625517 и
322324, и
обнаружили, что в каждом из номеров можно расставить знаки
арифметических
действий и скобки так, что в каждом случае результат будет равняться 100.
Как это можно сделать?
Ответ: 62 + 55 - 17 и (3+22) · (3-2)· 4
Математика, 6 класс
Время выполнения – 3 часа
1. Восстановите запись:
* 2 * 3
* *
* * * 8 7
+
* * * * *
2 * * 0 0 4 *
Ответ: 7243*29=210047
2. Между цифрами 1 2 3 4 5 6 нужно расставить знаки «+» и «-» так, чтобы
после выполнения действий получилась единица.
Решение. 1+2+3-4+5-6=1. После ознакомления учащихся с отрицательными
числами можно рассмотреть несколько других решений. Например: 1-2-3 + 45 + 6=1, -1-2-3-4+5+6=1 и т. д. Очевидно, чтобы получить решение, нужно
сумму положительных слагаемых сделать равной 11.
3. Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд
подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. А
когда поезд отъезжал, один из них насчитал еще 2 скамейки. Сколько
насчитали остальные?
Ответ: 5 и 10 скамеек.
Решение: Очевидно, что тот, кто до остановки проехал большую часть
перрона, насчитал большее число скамеек. Пусть первый насчитал 15
скамеек, второй 12, третий 7. Так как первый насчитал на 3 скамейки больше,
чем второй, то, когда поезд будет отъезжать, второй увидит эти 3 скамейки,
т.е. насчитает на 3 скамейки больше, чем первый. Аналогично третий
насчитает на 8 скамеек больше, чем первый. Раз кто-то насчитал 2 скамейки,
то это мог быть только первый. Значит, остальные насчитали 2+3=5 и 2+8=10
скамеек.
4. В апреле 3 пятницы были нечетные числа. Каким днем недели было 25
апреля?
Ответ: Понедельник
Решение:
Понедельник
25
Вторник
5
Среда
Четверг
Пятница 1 8 15 22 29
Суббота
23
Воскресенье
24
5. Имеется 2 сосуда – 3 л и 5 л. Нужно, пользуясь ими, налить 1 л воды.
х
Решение: Наполним 3 л, перельем в сосуд 5 л, затем нальем ещё раз 3 л в
сосуд и перельем 2 л в сосуд 5 л до полного. В трехлитровом сосуде остался
один литр.
Математика, 7 класс
Время выполнения – 3 часа
1. Восстановите запись:
* 2 *
*
* * * 8
+
* * * * *
2 * * 0 0 4
Ответ: 7243*29=210047
х
3
*
7
*
2. Три купчихи - Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена
Уваровна - сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили
вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна - 15, а
Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна - 14. Сколько чашек чая выпили
все три купчихи вместе?
Ответ: 20 чашек
Решение:
СТ+ОК=11 - по условию задачи
ПУ+ОК=15 - по условию задачи
СТ+ПУ+2ОК=26,
СТ+ПУ=14- по условию задачи
14+2ОК=26
2ОК=12
ОК=6
СТ=5
ПУ=9
ОК+СТ+ПУ=20
3. Витя выложил из карточек с цифрами пример на сложение и затем
поменял местами две карточки. Как видите, равенство нарушилось. Какие
карточки переставил Витя?
31415
29182
58578
Решение: Начнет проверять пример «справа налево». В разрядах единиц и
десятков всё в порядке, а в разряде сотен появляется ошибка. Значит, одна из
цифр этого разряда – 1, 8 или 7 – переставлена. Если предположить, что Витя
переставил две карточки «внутри» разряда сотен (7 и 8), то еще останется
ошибка в разряде десятков тысяч. Значит, одна из цифр разряда сотен
поменялась с цифрой более старшего разряда.
Поэтому меняет только цифру 1 на 9. Цифра 9 в более старших разрядах есть
только одна. Но если 1 и 9 поменять местами, то еще сохранится ошибка в
разряде десятков тысяч.
Цифру 8 можно поменять только на 6, но ни одной цифры 6 в примере нет.
Остается единственная возможность – поменять цифру 7. Вместо нее надо
поставить цифру 9. Она у нас только одно в старших разрядах.
4. Делится ли число 11*21*31*41*51*…*91-1 на 10? Почему?
Решение: Последняя цифра уменьшаемого оканчивается на 1, поэтому
разность оканчивается 0. Значит, число делится на 10.
5. Кусок мыла имеет форму параллелепипеда. После семи стирок длина,
ширина и толщина куска мыла уменьшилась вдвое. На сколько таких же
стирок хватит оставшегося мыла?
Ответ: 1 стирку
Математика, 8 класс
1) Пусть вес Обломова a кг, которые берем за 100%, тогда в конце весны
вес Обломова составляет 75%, т.е. его вес станет 0,75a = y кг. За лето
Обломов поправился на 20% и его вес стал 1,2y = p кг. За осень он
похудел на 10%, т.е. его весь стал 0,9p = k кг. За зиму его вес
увеличился на 20% и стал 1,2k кг. Собираем результаты: 1,2k = 1,2 ×
0,9p = 1,2 × 0,9 × 1,2y = 1,2 × 0,9 × 1,2 × 0,75a = 0,972a. В итоге
Обломов похудел на 2,8%.
2) Числа слишком большие, чтоб их находить, значит, надо найти их
последние цифры.
Последовательность последних цифр в степенях девятки: 9, 1, 9, 1,...
Последовательность последних цифр в степенях семёрки: 7, 9, 3, 1, 7, 9,
3, 1,...
Последняя цифра степени с номером, кратным 4, в обоих случаях равна
1.
2000 = 4 * 500. Значит, последняя цифра числа 9^2000, как и последняя
цифра числа 7^2000, равна 1, и последняя цифра разности этих чисел
равна 0, значит, разность делится на 10.
II способ:
3) Пусть Х - скорость катера по озеру (в стоячей воде)
Пусть У - скорость течения реки
Тогда время затраченное катером на переход 20 км по озеру Т1=20/Х
Время затраченное на переход из А в Б и обратно можно определить по
формуле: Т2 = 10/(Х+У) + 10/(Х-У)
Привели к общему знаменателю получили Т2 = 20Х/(sqr(X)-sqr(У) ) sqr
- квадрат числа
Умножим числ. и знам Т1 на Х: Т1 = 20Х/sqr(X)
Сравнивая Т1 и Т2 видим, что Т2> T1, если У > 0 (числители
одинаковые, знаменатель Т2<знаменателя Т1)
Ответ: При движении по реке будет затрачено больше времени, чем
при движении по озеру
4) Представим высказывания мальчиков в виде таблицы. В ней отметим
ячейки, соответствующие местам, которые могли занять мальчики (с их
слов).
/
Алеша Боря Ваня Гриша
1-е место
*
*
2-е место *
*
3-е место *
*
4-е место
*
Анализируем высказывание Гриши. Если он обманывает и не занимал
последнего места, то обманывает еще кто-то, кто действительно был
последним. Но тогда обманывают два мальчика, а по условию задачи только
один ответ неверный. Значит, Гриша не обманывает и занял последнее место.
Теперь проанализируем высказывание Вани. Если Ваня не обманывает и
занял первое место, то Алёша и Боря распределили между собой 2-е и 3-е
места. Их высказывания не противоречат этому, но тогда все говорят правду,
а по условию задачи должен быть один неверный ответ. Значит, Ваня всётаки обманывает и первое место занял не он, а Борис.
Ответ: Неправду сказал Ваня. Первым был Боря.
5) Загружаем только МАЛЕНЬКИМИ по 130.
Делим 3000 на 130 и получаем 23,07. Округляем до 23, получаем
23*130=2990
Хотелось бы 10 кг добавить до 3000.
Заполняем по 160 кг.
Делим 3000 на160 получаем целых 18 контейнеров, которые вмещают 2880
кг. Остается 120 кг. Можно добавить один по 130, но это будет уже 3010 кг.
ГАИ не заметит
Ответ
18 по 160 и 1 по 130 это будет 3010 ПЕРЕБОР НА 10 КГ или
23 по 130 это 2990. а здесь НЕДОБОР на 10 кг.
Математика, 9 класс
1. Скорость пешехода 5 км./ч. Количество встречных и обгоняющих трамваев
пропорционально их скоростям сближения, т.е. v+5 км./ч. и v-5 км./ч. (где v -- скорость движения трамвая). Отсюда получается пропорция:
Следовательно, v=11 км./ч.
2. Эти два числа не могут отличаться в 10 раз, иначе одно из них не
трехзначное (значит они отличаются только в 5 раз). Их сумма может
равняться: 1) 498, 2) 996, 3) 1494, 4) 1992. Иэ этих вариантов дает
трехзначные решения только 2).
Ответ: (166, 830).
3. Нужно перебрать все возможные варианты. Их всего 6: 1) а, б; 2) а, в; 3) а,
г; 4) б, в; 5) б,г; 6) в,г. Верны только 3) (ответ --- 35) и 6) (ответ --- 74).
4. Нет, неверно. Можно выписать даже 33 таких числа: 1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12,
13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 27, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 45,
47, 48, 49.
5. Указание: воспользоваться тем, что 19*19=361.
Математика, 10 класс
1. 20 коров.
Пусть было на лугу A кг травы и растет она со скоростью x кг в день. Одна
корова съедает y кг травы в день, получаем следующую систему:
а необходимо найти такое число z, что 96 ∙ z ∙ y = A + 96x. Используя
систему уравнений, получим, что z = 20.
2. Похудел на 2,8%.
3. x = – 6.
4. AC = a + b, где ВС = а; AD = b.
Если BOC = 60°, то ∆BOC, ∆AOD – равносторонние, BD = AC = a + b,
∆ACD = ∆BAD  AB = CD.
5. x2 – xy – 2x + 3y = 11,
y ∙ (x – 3) = x2 – 2x – 11,
8
y = x + 1 + x3 .
возможные варианты для x  N: x = 4; 5; 7; 11, откуда соответствующие
значения переменной y = 13; 10; 10; 13.
значит, (4; 13); (5; 10); (7; 10); (11; 13).
Математика, 11 класс
1
1.
3 13 поленницы дров. Пусть x – количество поленниц, которые рабочие
могут напилить и наколоть в течение дня. Одну поленницу они успевают
1 1
  
8 5
напилить и наколоть за 
часть дня.
1 1 1
1
40
 
Тогда 5 8 x , откуда x = 13 = 3 13 .
12
2. 19 .
3. tg 1° ∙ tg 2° ∙ tg 3° ∙ ... ∙ tg 87° ∙ tg 88° ∙ tg 89° =
= tg 1° ∙ tg 2° ∙ ... ∙ tg (90 – 2)° ∙ tg (90 – 1)° =
= tg 1° ∙ tg 2° ∙ ... ∙ ctg 2° ∙ ctg 1° = 1.
Использовать тождество tg  ∙ ctg  = 1.
4. 1998.
5. Первый, второй, шестой – лжецы; третий, четвертый – дипломаты; пятый –
правдолюб.