7. глобальные свойства непрерывных функций

«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Авторы программы и лекторы: доц., к.ф.-м.н. И.А. Кострикин, проф., д.ф.-м.н. А.В. Кочергин, ст.
преп. А.А. Любкин.
Аннотация
Математический анализ является одной из базовых дисциплин. На нее опираются такие курсы, как
теория вероятностей и математическая статистика, исследование операций, основы экономической теории и
ряд экономико-математических дисциплин.
Учебная задача
Преподавание математического анализа имеет цели:
– ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения
теоретических и практических задач экономики;
– привить студентам умение самостоятельно изучать литературу по математическому анализу;
– развить логическое и алгоритмическое мышление;
– воспитать абстрактное мышление и умение строго излагать свои мысли;
– выработать у студентов навыки к математическому исследованию прикладных вопросов.
Методы проведения занятий
Лекции, практические занятия, консультации.
Формы самостоятельной работы
Самостоятельное изучение отдельных разделов теории с последующим обсуждением на
консультациях, решение задач, выполнение письменных домашних заданий, подготовка к контрольным
работам, коллоквиумам и итоговым экзаменам.
Формы контроля
Контроль знаний осуществляется в письменной форме в течение всего обучения. В конце семестра
проводится письменный экзамен. Итоговая оценка выставляется по результатам всех работ. В начале
семестра студенты информируются о критериях выставления оценок и получают образцы задач и
теоретических вопросов.
Содержание курса
Тема 1. ВВЕДЕНИЕ
Понятие множества, элемента множества. Операции над множествами. Числовые множества. Понятие
окрестности точки, ε – окрестности, проколотой окрестности, окрестности бесконечности, односторонней
окрестности. Пересечение двух окрестностей. Функциональная зависимость, взаимно однозначное
отображение, сложная функция, обратная функция. Графики основных элементарных функций.
Тема 2. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ)
Понятие
последовательности,
предела
последовательности.
Единственность
предела
последовательности. Примеры сходящихся и расходящихся последовательностей. Понятие бесконечно
малой последовательности. Связь понятий предела и бесконечно малой последовательности. Бесконечно
большие последовательности, их связь с бесконечно малыми. Теорема о сравнении бесконечно малых
последовательностей. Теорема о сумме бесконечно малых последовательностей. Понятие ограниченной
последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности. Теорема о произведении бесконечно
малой последовательности на ограниченную, следствия из нее. Лемма об устойчивости знака (слабый и
сильный варианты). Пределы последовательностей n n , n k q n , a n n ! Теорема о пределе суммы,
произведения, отношения двух последовательностей. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах.
Понятие о числе «е».
Тема 3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Понятие предела функции. Различные варианты пределов. Единственность предела. Бесконечно
большие функции. Бесконечно малые функции. Связь понятий предела и бесконечно малой функции. Связь
между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями. Теорема сравнения бесконечно малых.
Теорема о сумме бесконечно малых функций. Ограниченные функции, локально ограниченные функции.
Локальная ограниченность функции, имеющей предел. Теорема о произведении бесконечно малой функции
на локально ограниченную. Следствия из нее. Лемма об устойчивости знака функции (слабый и сильный
варианты). Предел суммы, произведения, отношения двух функций. Теоремы о переходе к пределу в
неравенствах. Теорема «о двух милиционерах». Теоремы о предельном переходе в сложной функции.
Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.
Тема 4. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ И СИМВОЛ o-МАЛОЕ
Эквивалентные функции. Теорема о замене функций на эквивалентные в произведении и отношении (при
вычислении пределов). Символ о-малое, его свойства. Необходимое и достаточное условие эквивалентности двух
функций. Использование символа о-малое при вычислении пределов. Понятие о правиле Лопиталя вычисления
пределов. Понятие о формуле Маклорена, формулы Маклорена для основных элементарных функций, их
использование при вычислении пределов. Понятие асимптоты. Определение параметров наклонной асимптоты.
Тема 5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Понятие непрерывной функции. Точки разрыва, их классификация. Арифметические операции над
непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций.
Локальные свойства функций, непрерывных в точке.
Тема 6. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Понятие верхней (нижней) границы и грани, максимального (минимального) элемента числового
множества. Рабочее определение верхней (нижней) грани. Существование верхней грани непустого
ограниченного сверху множества. Теорема Вейерштрасса о сходимости монотонной ограниченной
n
⎛
⎝
последовательности. Примеры применения, доказательство сходимости последовательности ⎜1 +
1⎞
⎟ .
n⎠
Лемма о стягивающихся отрезках. Понятие предельной точки (частичного предела) последовательности.
Лемма о предельной точке и теорема Больцано–Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
Понятие фундаментальной последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
Тема 7. ГЛОБАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
Первая и вторая теоремы Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции. Теорема Больцано–Коши
о промежуточных значениях непрерывной функции.
Тема 8. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Понятие производной. Геометрический и механический (экономический) смысл производной. Понятие
дифференцируемой функции; понятие дифференциала. Необходимое и достаточное условие
дифференцируемости функции; единственность дифференциала. Геометрический смысл дифференциала.
Связь непрерывности и дифференцируемости. Производная суммы, произведения, отношения. Производная
сложной функции. Производные основных элементарных функций. Понятие обратной функции. Связь
понятий обратной и монотонной функции. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции
(без доказательства). Производная обратной функции. Свойства дифференциала. Инвариантность формы
первого дифференциала. Эластичность функции по аргументу, ее механический и экономический смысл.
Различные формы представления эластичности. Производные и дифференциалы высших порядков, их
свойства.
Тема 9. ОСНОВНЫЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ
ТЕОРЕМЫ
О
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ
ФУНКЦИЯХ
И
ИХ
Экстремум функции. Необходимое условие внутреннего локального экстремума. Теорема Ролля, ее
геометрический смысл. Теорема Лагранжа о конечном приращении, ее геометрический смысл. Теорема
Коши. Правило Лопиталя (доказательство для случая
0
). Формулы Тейлора и Маклорена с остаточным
0
членом в форме Пеано. Формула Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа и Коши. Запись
формулы Тейлора через дифференциалы. Использование формулы Маклорена для приближенных
вычислений. Понятие ряда Тейлора. Понятие аналитической функции. Пример бесконечно
дифференцируемой функции, не являющейся аналитической. Необходимые и достаточные условия
монотонности функции на интервале. Необходимое условие экстремума второго порядка. Три достаточных
условия экстремума.
Тема 10. ВЫПУКЛОСТЬ ФУНКЦИИ
Выпуклость функции (строгая и нестрогая). Геометрическое определение с помощью хорд и его
перевод на язык неравенств. Определение выпуклости с помощью касательной. Необходимые и
достаточные условия выпуклости. Необходимые и достаточные условия выпуклости дважды
дифференцируемой функции. Понятие точки перегиба. Необходимые и достаточные условия точки
перегиба.