Решения задач интернет-олимпиады по математике 2007/2008 уч. год. 11 класс 1. Решите уравнение x 1 x 5 0 . Решение. См. задачу №1 10 класса. 2. Абсцисса вершины параболы y x 2 4ax 5a равна 4 . Найдите ординату вершины. Решение. См. задачу №2 10 класса. 3. Дано: log8 7 a, log 1 5 b . Найдите log 2 35 . 2 Решение. Приведем заданные логарифмы к основанию 2 1 log8 7 log 2 7, log 1 5 log 2 5 , откуда log2 7 3a, log2 5 b . Тогда иско3 2 мый логарифм равен log2 35 log 2 7 log 2 5 3a b . Ответ: 3a b . 4. Число x увеличили на 44%. На сколько процентов увеличилось число x ? 3 Решение. См. задачу №3 10 класса. 5. Найдите sin 10cos , если tg 3 . 2sin cos Решение. Разделим и числитель, и знаменатель дроби на cos . Получим sin 10cos tg 10 3 10 1 . 2sin cos 2tg 1 2 3 1 Ответ: 1 . 6. При каких значениях a числа 3a a , членами арифметической прогрессии? Решение. См. задачу №5 10 класса. 9 a , 3a 9 являются последовательными 2 7. Сколько различных корней имеет уравнение cos(4 x) x x 2 0 ? Решение. ОДЗ уравнения: x 0;1 . Решение уравнения определится из сово- 1 n x , n cos 4 x 0 8 4 купности уравнений с учетом ОДЗ. Откуда . Пер2 x 0 x x 0 x 1 вая совокупность дает значения x из ОДЗ только при n 0;1; 2; 3 . Ответ: 6 решений. 4 x 3 2 8 . x 1 2 x 2 8 3 x 8. Решите систему неравенств x 7 2 2 22 x 23 x 43 2 x 7 x Решение. Преобразуем систему . 8 8 x 1 x 1 x 1 8 9 9 9 Ответ: x 7;1 . 9. Два автохозяйства отправили несколько машин для перевозки грузов. Число машин, отправленных из второго автохозяйства, меньше удвоенного числа машин, отправленных из первого. Если бы первое автохозяйство послало на две машины больше, а второе – на две меньше, то машин из второго автохозяйства было бы не меньше, чем машин из первого. Сколько машин отправлено из каждого автохозяйства, если всего было отправлено меньше 16 автомашин? Решение. Пусть x и y - количества машин, посланных соответственно из пер- y 2x вого и второго автохозяйств. Составим систему неравенств y 2 x 2 . Вычи x y 16 тая из первого неравенства второе, а затем – из третьего неравенства второе, полу- 2 x2 x 4 . Откуда . Этим неравенствам удовлетворяет единx 2 14 x x 6 ственное натуральное значение x 5 . Подставляя это значение в первое и второе y 10 неравенства системы, получаем систему неравенств для y : . Откуда y 9 . y 9 чаем Ответ: 5 и 9 автомашин. 10.Известно, что f 2 x x 1 . Найдите корни уравнения f ( x) 1 0 . 2x 3 y 1 y2 2 Решение. Сделаем замену переменной y 2 x . Тогда f y . Вид y 3 2y 6 функции не зависит от переменной, принятой для обозначения аргумента. Поэтому f x x2 x2 1 дает x 4 . . Решение уравнения 2x 6 2x 6 11. Решите неравенство Ответ: 4 . 2x 8 x 0. x3 Решение. Решим неравенство обобщенным методом интервалов, предварительно установив область определения неравенства x 4, x 3 . Корень знаменателя: x 3 . Корни числителя определяются из решения иррационального уравнения x0 x0 2x 8 x x 4 x 4 . Отложим корни на числовой оси 2 2 x 8 x x 2 и применим метод интервалов (см. Рис.1). В результате получим: x (3; 4] . Ответ: x (3; 4] . 12. Решите неравенство log3 x 1 2log3 x 2 3x 2 log3 x 2 log3 x 1 2 0 . Решение. Область определения неравенства x 1 . Введем обозначения a log3 ( x 1); b log3 ( x 2) и преобразуем исходное неравенство, разложив 3 второе слагаемое на сумму логарифмов 3a 2a 2b ab 2 0 a 2b ab 2 0 (a 2)(b 1) 0 . Возвратимся к переменной x и решим методом интервалов полученное неравенство log3 ( x 1) 2 log3 ( x 2) 1 0 . Корни левой части x 8 и x 1 . Откуда с 9 учетом области определения неравенства получаем ответ (см. Рис.2). Ответ: x 1; 8 9 1; .