Логарифмические неравенства При решении логарифмических неравенств необходимо учитывать монотонность логарифмической функции : При при эта функция убывает, – возрастает. 1. Решим неравенство: Решение Пояснения Т.к. =3, то запишем данное неравенство в виде Т.к. основание логарифмов 2 больше единицы ,то логарифмическая функция возрастающая и аргументы связаны неравенством того же знака а ОДЗ неравенства задается условием Учитывая эти два условия, получаем систему двух неравенств Эти числа, также являются решениями данного логарифмического уравнения. Решим эту систему: \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 13 Ответ: x 21 . 2. Решим неравенство: Решение Пояснения ОДЗ неравенства определяется условием Так как основания логарифмов меньше единицы, то логарифмическая функция убывающая и аргументы связаны неравенством противоположного знака Учитывая эти два условия, получаем систему двух неравенств Так как второе неравенство более жесткое, чем первое, то полученная система равносильна второму неравенству Ответ: Такие же соображения используются и при решении более сложных неравенств. 3. Решить неравенство: Решение Пояснения ОДЗ неравенства определяется условием Учтем, что Так как основания логарифмов меньше единицы, то логарифмическая функция убывающая и аргументы связаны неравенством противоположного знака Учитывая эти два условия, получаем систему двух неравенств Решаем эту систему: Решим первое неравенство системы методом интервалов: - + - -1 x Решим первое неравенство системы методом интервалов: - + - -1 x Найдем общие решения этих неравенств: -1 Ответ: x . 4. Решить неравенство: Решение Пояснения Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 10: Воспользуемся свойством логарифма , получим: Введем замену переменной y=lgx и приведем к неравенству третьей степени: Разложим его на множители: Т.к. при любых значениях y, то Получаем простейшее логарифмическое неравенство: откуда Ответ: В случае если в основании показательной или логарифмической функции входит неизвестная величина х, то необходимо рассмотреть ситуации, когда это основание принадлежит промежутку и когда принадлежит промежутку . 5. Решить неравенство: . Решение: ОДЗ неравенства определяется условиями: , откуда а) При , т.е. , имеем: , откуда , так как при таком основании функция убывающая) Решим это неравенство: IIIIIIIIIIIIII -1 IIIIIIIIIIIIIIIIIIII x 3 , учитывая ограничения на x ( , имеем: б) При , т.е. с учетом ОДЗ: , имеем: , откуда , (так как при основании большем 1 логарифмическая функция возрастающая). Решим это неравенство: -1 IIIIIIIIIII x 3 , С учетом ограничений на x ( ,получаем: . Объединяя результаты первого и второго случаев, получаем решение неравенства: . Задания для самостоятельного решения. Решите неравенства: 1. log 1 3 12 x 2 2 2.9 log9 x 4 3 3. log 1 3 log 3 (1 x) 0 log 4.0,1 2 lg1 x 1 5.5 0,2 lg x 0,2 2 lg 2 6.x log 2 x 4 0 log x 2 7. log 1 5 x 5 2 x 1 log 2 x 1 2 9. log log 2 2 x 3 0 10. log x 2 x 2 1 8. log 1 2 3 Найдите целые числа х, при которых выполняется неравенство: 11. log 1 2 2 x 1 log 1 2 12 log 1 2 10 log 1 2 6 Найдите наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству: 12.2 x log 1 2 5 log 1 2 5 0 13. lg 3 x 1 lg 32 x 4 lg 3 Найдите наибольшее целое х, Удовлетворяющее неравенству: 14. log 3,1 2 x 8 log 3,1 6 0