1) - Решение задач по математике, физике

Контрольная работа № 1
по математике
для студентов ИНЭК (заочное отделение)
специальностей М, ГМУ, УП
1 курс, I семестр
Методические указания по выполнению контрольной работы
В соответствии с учебным планом студенты-заочники ИНЭК
выполняют задания контрольной работы № 1.
Каждый студент выполняет один вариант контрольной работы
№ 1. Выбор варианта осуществляется по сумме последних 3-х цифр
номера зачетки, причем если в сумме получилось число N, больше 25,
то студенты выполняют N-25 вариант. Например, номер зачетки
студента № 057809, сумма последних трех цифр 17, следовательно,
студент выполняет вариант № 17. Если номер зачетки № 067899,
сумма последних трех цифр 26, следовательно, студент выполняет
вариант № 1.
Выполняя контрольную работу, студент-заочник должен
руководствоваться следующим:
1. Контрольные работы необходимо сдавать на рецензию в сроки,
установленные графиком учебного процесса.
2. Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради в
клетку (12 или 18 листов). Обложка тетради оформляется по
образцу, который нужно получить у методиста.
3. Если при защите контрольной работы преподавателем будет
установлено,
что
контрольная
работа
выполнена
несамостоятельно, или содержит задачи не своего варианта, то
она не будет зачтена и студент должен будет или дать все
необходимые пояснения по решенным задачам, или выполнить
новую контрольную работу по своему варианту.
4. К зачету (экзамену) студент допускается только с зачтенной
контрольной работой.
Вопросы для подготовки к зачету (экзамену)
I семестр.
1. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Ранг матрицы.
1
2. Определители и их свойства. Решение систем линейных
уравнений методом Крамера.
3. Ранг матрицы. Решение систем линейных уравнений методом
Гаусса.
4. Векторы (основные понятия) и действия над ними. Скалярное
произведение.
Векторное
произведение.
Смешанное
произведение.
5. Уравнения прямой на плоскости (общее, каноническое,
проходящей через две точки, параметрическое, с угловым
коэффициентом). Взаимное расположение двух прямых.
Расстояние от точки до прямой.
6. Кривые 2-го порядка на плоскости.
7. Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Расстояние от
точки до плоскости.
8. Понятие функции, область определения, основные элементарные
функции. Классы функций.
9. Предел бесконечной числовой последовательности, предел
функции одной переменной.
10. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их
свойства. Эквивалентные бесконечно малые.
11. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы.
12. Непрерывность функции одной переменной в точке и на
интервале. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их
классификация.
13. Понятие производной функции. Геометрический и физический
смысл производной.
14. Основные правила дифференцирования. Таблица производных.
15. Дифференциал функции одной переменной, его геометрический
смысл.
16. Производные и дифференциалы высших порядков.
17. Приложения производной к исследованию функций и
построению графиков: интервалы монотонности, экстремумы,
выпуклость, точки перегиба.
Рекомендуемая литература
1.
2.
Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей
математики. М., 1995.
Щипачев В.С. Высшая математика. М., 2001.
2
Высшая математика для экономистов.
Под редакцией
Кремера Н.Ш., М., 1997.
Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под
редакцией Ермакова В.И. М., 2002.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистики. М., 2001.
3.
4.
5.
Методические указания при подготовке к выполнению
контрольной работы
1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
1.1. Определители второго порядка
a1 b1
Определителем второго порядка
называется число:
a 2 b2
a1
b1
 a1b2  a 2 b1 .
a 2 b2
Определение показывает несложность вычисления определителей второго
порядка.
2 3
1 4
Примеры.
= 2  3 - 1  3  6 - 3 = 3,
= - 1 - 8 = - 9.
1 3
2 1
1.2. Определители третьего порядка
a1
b1
c1
Определителем третьего порядка
называется число,
a 2 b2 c 2
a 3 b3 c 3
которое может быть вычислено по следующему правилу (правило Саррюса): к
определителю справа приписывается первый и второй столбцы и элементы,
стоящие на диагоналях полученной таблицы, перемножаются, а затем эти
произведения складываются, причем произведения элементов на диагоналях,
идущих снизу вверх, берутся со знаком минус:
a1
b1
c1 a1
b1
a2
a3
b2
b3
c2 a2
c3 a3
b2  a1b2 c3  b1c 2 a 3  c1 a 2 b3  a 3 b2 c1  b3 c 2 a1  c3 a 2 b1 .
b3
Примеры.
3
а)
3 2 1 32
4 3 2 4 3 = 3  3  3  2  2  5  1  4  4 - 5  3  1 - 4  2  3 - 3  4  2  27 + 20 + 16 5 4 3 54
-15-24-24=0
б)
3 1 1 31
4 1 1 4 1 = 3 + 5 + 8 - 5 - 6 - 4 = 1.
5 2 1 52
Задачи для самостоятельного решения
1.3.
Вычислить определители второго и третьего порядка:
а)
2
1
3 1
2 3
г) 4
2
0
0
б)
;
1
0 ;
1
1 1
2
3
в)
;
1
2
0
4
1 -1 1
д) 1
2
2
;
0
3
е ) 1 10  2 .
0 16
1
2 1 ;
4 3
1.4. Определители произвольного порядка
Пусть задан определитель n-го порядка
a11 a12 ... a1n
a 21 a 22 ... a 2 n
.
...
... ... ...
a n1 a n 2
a nn
Для любого определителя выполнены свойства:
а) если в определителе две строки или два столбца равны, то
определитель равен нулю:
1 3 1 2
2 4 2 2
= 0;
3 1 3 1
1 1 1 1
б) если в определителе какая-либо строка или столбец состоит из нулей,
то этот определитель равен нулю:
4
1 1 1 2
2 3 4 5
0 0 0 0
= 0;
1 2 1 1
в) общий множитель в строке или столбце можно вынести за знак
определителя:
2 3 4 5
1 3 4 5
4 4 5 6
4 5 6 7
=2
2 4 5 6
;
2 5 6 7
8 6 7 8
4 6 7 8
г) если в определителе поменять местами две строки или два столбца, то
определитель изменит знак:
1 2 4 3
5 1 3 1
2 1 3 2
5 1 3 1
1 2 4 3
=-
2 1 3 2
;
3 1 4 1
3 1 4 1
д) определитель не изменится, если к произвольной строке прибавить
другую строку, домноженную на любое число. Это же справедливо и для
столбцов. Например, в следующем определителе к третьей строке добавлена
первая, домноженная на минус два:
4 3 1 1
2 3 1 2
8 5 2 3
=
4
3 1 1
2
3 1 2
0 1 0 1
.
4 1 1 1
4
1 1 1
Для вычисления определителей специального
применимо следующее правило:
a11 a12 a13 ... a1k
треугольного
0
a 22
a 23
... a 2 k
0
0
a 33
... a 3k . =a11 a 22 a 33  a kk
...
...
...
...
0
0
0
... a kk
вида
.
...
Свойства определителей позволяют любой определитель свести к
треугольному виду и вычислить его по указанному правилу.
Примеры.
5
а)
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
= (ко
второй строке прибавляем первую,
8 10 12 14
домноженную на (-2), к третьей строке прибавляем первую, домноженную на
(-3), к четвертой строке прибавляем первую, домноженную на (-8))

1
2
3
4
0
1
2
3
0 2
4
6
= (к третьей строке прибавляем вторую, домноженную
0  6  12  18
на (-2))
1
2
3
4

0
1
2
3
0
0
0
0
= 0 (по второму свойству определителей).
0  6  12  18
б)
3
5
7 2
1
2
3 4
= (поменяем вторую и первую строки местами, чтобы иметь
2 3 3 2
1
3 5 4
единицу на первом месте в первой строке) =
-
1
2
3 4
3
5
7 2
2 3 3 2
1
3
(-3) и т.д.) =
1
-
0
2
= (ко второй строке прибавляем первую, домноженную на
5 4
3
4
- 1 - 2 - 10
0
1
9
10
0
1
2
0
1 2 3
=
4
0 1 2 10
0 1 9 10
0 1 2
0
=
1 2 3
4
0 1 2
10
0 0 7
0
0 0 0 - 10
6
= - 70 .
5
в)
10 12 14
11
2
12 14
16
3
12 15
(к
=
третьей
строке
прибавляем
вторую,
21 4 12 16
домноженную на (-1), к четвертой строке прибавляем третью, домноженную на
(-1), для уменьшения чисел в первом столбце)
5 10 12 14

11
2
12 14
5
1
0
1
5
1
0
1
= 0.
1.5. Задачи для самостоятельного решения
Вычислить определители:
1 2 3 0
а)
0 1 2 3
3 0 1 2
б)
;
2 3 0 1
в)
1 1
1
1
1  2
4
8
1  3
9
 27
г)
;
 1  4  16  64
1
2
3
4
2
1
-4
3
;
3 -4
-1 - 2
4
3
2
-1
10
2
0
0
0
12 10
2
0
0
0
12 10
2
0 .
0
0
12 10
0
0
0
2
12 10
2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
2.1. Понятие матрицы
Матрицей порядка nm называется прямоугольная таблица чисел вида
 a11 a12  a1m 


 a 21 a 22  a 2 m 
A
.
    


a
a

a
n2
nm 
 n1
7
Числа аij называются элементами матрицы. Матрицу будем коротко
записывать A = (аij) nm . Если n=m, то матрица называется квадратной
порядка n.
1, при i  j
Матрица E с элементами aij  
(i,j=1,2,…,n) называется
0,
при
i

j

единичной матрицей n-го порядка.
2.2. Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу А на число , необходимо умножить каждый
элемент матрицы на это число.
 3 5 7
Пример. Для матрицы А = 
 найдем произведение 3  A . Из
 2  1 0
 3  3 3  5 3  7   9 15 21
определения получаем 3  А = 
  
.
 3  2 3  (-1) 3  0   6 - 3 0 
2.3. Сложение матриц
Если матрица В = (bij)nm имеет тот же порядок, что и матрица А =
=(аij)nm, то можно определить их сумму - матрицу С = А + В = (cij)nm того же
порядка - по правилу: сij = аij + bij для i =1, 2,..., n; j = 1, 2,..., m. Матрицы
различных порядков складывать нельзя.
Пример. Найдем сумму матриц А + В, где
3 5 7
1 2 4
,
 , тогда
А = 
B = 
2
1
0
2
3
2




52
3  1
А + B = 
2  2 -1  3
7  4   4 7 11
 
.
0  2   4 2 2 
2.4. Умножение матриц
Произведением матрицы А = (аij)nm на матрицу В = (bij)mp называется
матрица С = А В = (сij)np, построенная по правилу
m
cij =  aik  bkj .
k 1
Практически перемножение матриц осуществляется следующим образом:
берут i-ю строку матрицы А, умножают ее поэлементно на j-й столбец матрицы
В и эти произведения складывают. Полученное число является элементом
матрицы С, стоящим в i-й строке и j-м столбце.
Пример. Найдем произведение матриц АВ, если
8
2 1


B =  1 1  . Тогда
 3 2


 1 2  3 1  1 3 11  3 1  1 2   2 + 3 + 3 1 + 3 + 2   8 6 
  
 = 
.
АB = 
2

2

0

1

4

3
2

1

0

1

4

2
4
+
0
+
12
2
+
0
+
8
16
10

 
 

1 3 1
,
А = 
2
0
4


Внимание:
а) матрица А имеет порядок nm, матрица В имеет порядок mp, а их
произведение АВ - порядок np;
б) в общем случае АВ  ВА.
Примеры.
а) Найдем ВА, где матрицы А и В взяты из предыдущего примера:
2 1
 2 + 2 6 + 0 2 + 4  4 6 6 

 1 3 1 
 

 =  1  2 3 + 0 1  4  =  3 3 5 .
BА =  1 1  
 3 2   2 0 4   3 + 4 9 + 0 3 + 8   7 9 11



 

б) Найдем значение матричного многочлена В = 2А2 + 3А + 5Е, где
 1 1 2


А =  1 3 1 ,
4 1 1


Имеем
1

2
=
A 1
4

1 0 0


E =  0 1 0  - единичная матрица третьего порядка.
0 0 1


1 2  1 1 2  10 6

 
3 1  1 3 1  =  8 11
1 1  4 1 1   9 8
 20 12 10 
3 3



2
2 A =  16 22 12 , 3 A   3 9
 18 16 20 
12 3



5

6 ,
10 
6

3 ,
3 
5 0 0


5E   0 5 0 , тогда
0 0 5


 20 12 10   3 3 6   5 0 0   28 15 16 

 
 
 

B =  16 22 12    3 9 3    0 5 0    19 36 15 .
 18 16 20  12 3 3   0 0 5   30 19 28 

 
 
 

2.5. Задачи для самостоятельного решения
9
а) Найти произведение матриц АВ, где
 1 2 0 - 1


А =  0 4 0 - 1,
- 2 1 0 3 


 5 1


-1 0 
B=
.
1 1


0
2


б) Найти произведения АВ и ВА, где
А = 4 - 1 0 2 ,
 2
 
7
B =  .
1
 
0
1
ВС, где
2
0 1

7 - 7


3 2
,
C
=
2
0

.
0 - 3
 0 - 3



2 0
в) Найти значение выражения 3А –
 3 - 4


1 0
А=
,
0 -1


2
3


 2

 0
B=
-1

 5
2.6. Обратная матрица
Для квадратной матрицы А порядка n можно определить такую матрицу Х
порядка n, что ХА = АХ = Е, где Е - единичная матрица порядка n.
Матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.
Следующие условия являются необходимыми и достаточными, чтобы у
матрицы А = (аij)nm была определена обратная матрица:
а) n=m;
б) определитель матрицы А не равняется нулю:
a11 a12 ... a1n
a a 22 ... a 2n
det A = 21
 0.
... ... ... ...
a n1 a n 2 ... a nn
Следующие преобразования строк матрицы называются элементарными:
а) умножение любой строки на число, отличное от нуля;
б) прибавление к строке другой строки, домноженной на любое число;
в) перестановка строк;
г) отбрасывание нулевой строки.
Для нахождения обратной матрицы А-1 применяется следующее правило:
а) выписывается матрица
10
 a11 a12 ... a1n 1 0 ... 0 


 a 21 a 22 ... a 2 n 0 1 ... 0 
(2.1)
 ... ... ... ... ... ... ... ... 



...
0
0
...
1
a nn

 a n1 a n 2
б) с помощью элементарных преобразований над строками матрицы (2.1)
превращают ее левую половину в единичную матрицу. Тогда ее правая
половина превращается в обратную к ней матрицу А-1.
Примеры.
а) Для матрицы
 3 2 2


А =  1 3 1


 5 3 4
найдем обратную.
По приведенному выше правилу получаем:
3 2 2 1 0 0  1 3 1 0 1 0 1 3 1

 
 
1
3
1
0
1
0

   3 2 2 1 0 0   0 - 7 - 1
5 3 4 0 0 1  2 1 2  1 0 1 0 - 5 0
 
 

3 1 0
1
0   1 0 1  0.6  0.2
1

 
 0 - 7 -1 1  3
0    0 0 - 1 2.4  0.2
0 1
0 0.2 0.4  0.2   0 1 0 0.2
0.4

 1 0 0 1.8  0.4  0.8   1 0 0 1.8  0.4

 
  0 0 1  2 .4
0.2
1.4    0 1 0 0.2
0.4
 0 1 0 0.2
0.4  0.2   0 0 1  2.4
0.2

Итак, обратная матрица А-1 равна
 9 - 2 - 4


1
A 1   1
2 - 1 .
5

 - 12 1 7 
0

1  3 0 
 1  2 1 
0
1
0.6 

 1.4  
 0.2 
 0.8 

 0.2 .
1.4 
б) Решим матричное уравнение ХА + В = С, где
1 2 0


1 0 1
 0 1 0
, C = 
.
А =  0 1 1 , B = 
2
1
0
2
3
1




1 1 0


Умножим уравнение справа (порядок важен) на матрицу А-1. Тогда
ХАА-1 + ВА-1 = СА-1. Так как
АА-1 = Е, то ХЕ + ВА-1 = СА-1 или
X = СА-1- - ВА-1 =(С-В)А-1.
11
Найдем разность матриц
Вычислим матрицу А-1
 - 1 1 - 1
.
C  B = 
 0 2 1
1 2 0 1 0 0 1 2

 
0
1
1
0
1
0

  0 1
1 1 0 0 0 1 0 - 1

 
1 2 0 1 0 0  1

 
  0 1 0 1 0  1   0
0 0 1  1 1 1  0

 
Тогда
0 0 1 2 0 1 0 0
 

1 0 1 0  0 1 1 0 1 0 
0  1 0 1   0 0 1  1 1 1 
0 0 1 0 2 
- 1 0 2



1 0 1 0  1, т.е. A-1 =  1 0 - 1
- 1 1 1
0 1  1 1 1 


0 1
2
1 0

 3 - 1 - 4
1
1
1


 1 0  1 = 
.
Х = (С-В)А-1 = 
0
2
1
1
1
1




1 
1 1
2.7. Задачи для самостоятельного решения
а) Найти А-1, где
2 0 5 


А =  1 3 16 .
 0 - 1 10 


б) Решить матричное уравнение АХ =В, где
2 1
1
 4


 
А = 3 -5
3 , B =  1 .
2
8
7 - 1 

 
3.РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
3.1. Линейные системы уравнений
Дана система m уравнений с n неизвестными
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
.

...
...
...
...
...
...
...
...

a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
12
(3.1)
Решением этой системы называется любая совокупность n чисел (1,
2,..., n), которая при подстановке в систему вместо совокупности неизвестных
обращает каждое уравнение системы в тождество. Система (3.1) называется
совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае она
называется несовместной..
Матрицы
 a11 a12 ... a1n b1 
 a11 a12 ... a1n 




a 22 ... a 2n 
 a 21 a 22 ... a 2n b2 
a
А =  21
,
А
=
1
 ...
...
... ... ... 
... ... ... ... 




a

a
a
...
a
a
...
a
b
m2
mn 
m2
mn
 m1
m
 m1
называются соответственно матрицей и расширенной матрицей
системы (3.1).
Исследование на совместность и решение системы производят обычно
одновременно с помощью метода Гаусса. Напомним, что элементы аii в
матрице А называются диагональными. Метод Гаусса заключается в
элементарных преобразованиях строк матрицы А1 так, чтобы элементы
преобразованной матрицы, стоящее ниже диагональных элементов, были
нулевыми. При этом необходимо следить за диагональными элементами: они
не должны обращаться в нуль. Если же при элементарных преобразованиях
строк какой-либо диагональный элемент обратится в нуль (например, аii = 0), то
поступать необходимо следующим образом: а) если в этом же столбце (где
диагональный элемент оказался равен нулю) имеется ниже диагонального
элемента ненулевой элемент, то соответствующую строку меняют местом с i-й
строкой и продолжают преобразования; б) если же ниже нулевого
диагонального элемента все элементы нулевые, то мы должны перейти к
построению ступенчато-диагональной матрицы. Для этого сдвигаемся на один
столбец вправо и считаем, что и диагональ матрицы тоже сдвинулась вправо и
далее поступаем как описано выше. После всех преобразований матрица
системы должна принять так называемый диагонально ступенчатый вид:
 a11 a12 a13 a14 a15 a16 ...


 0 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 ...
 0
0
0 a34 a35 a36 ...


0
0
0
...
 0

a 45 a 46
 0

0
0
0
0
a56 ...

 ... ...
...
...
...
... ...


0
0
0
0
0 ...
 0
Ступенек в преобразованной матрице может быть несколько, причем разной
длины. Элементы, которые будут стоять в углах таких ступенек, назовем
ступенчато-диагональными (в данном примере это: а11, а22, а34, а45, а56, ...).
Примеры.
а) Проверим совместность системы
13
 x1  5 x 2  4 x 3  3 x 4  1

2 x1  x 2  2 x 3  x 4  0
5 x  3 x  8 x  x  1.
2
3
4
 1
Для этого запишем расширенную матрицу системы и проведем элементарные
преобразования над строками:
4
3 1  1 5 4 3 1
1 5 4 3 1 1 5

 
 

=
2
1
2
1
0

0
11
6
7

2

0
11
6
7
2






А1
 5 3 8 1 1   0 - 22 - 12 - 14  4   0 22 12 14 4 

 
 

1 5 4 3 1


  0 11 6 7 2 .
0 0 0 0 0


Из сказанного выше вытекает, что данная система совместна.
б) Исследуем на совместность систему
 x1  3x 2  5 x3  7 x 4  9 x5  1

 x1  2 x 2  3x3  4 x 4  5 x5  2
 2 x  11x  12 x  25 x  22 x  4.
2
3
4
5
 1
Записав расширенную матрицу системы, с помощью
преобразований получаем
элементарных
7
9 1 1 3 5
7
9 1
1 3 5 7 9 1 1 3 5

 
 

=
1
2
3
4
5
2

0
5
2
11
4
1

0
5
2
11
4
1





.
А1
 2 11 12 25 22 4   0 5 2 11 4 2   0 0 0
0
0 3 

 
 
Таким образом, данная система несовместна.
3.2. Решение системы уравнений
После выяснения совместности системы строят ее общее решение. Для
этого вновь полученную после
элементарных преобразований матрицу
записывают в виде системы, отбросив нулевые строки. Количество уравнений в
этой системе определяет количество основных неизвестных. Все остальные
неизвестные считаются свободными, им придаются произвольные значения. В
качестве основных неизвестных берут неизвестные при ступенчатодиагональных элементах.
Примеры.
а) Построим общее решение системы из первого примера предыдущего
пункта. После элементарных преобразований (см. выше) получаем систему
14
 x1  5 x 2  4 x3  3x 4  1
.

11 x 2  6 x3  7 x 4  2

Уравнений два, поэтому считаем х1 и х2 (стоящие при ступенчато-диагональных элементах) основными, а х3 и х4 свободными. Находим из системы
основные неизвестные через свободные:
2 6
7
x 2   x3  x 4 ,
11 11
11
1
x1  1  5x 2  4 x3  3x 4  1  14 x3  2 x 4 .
11
Таким образом, общее решение системы имеет вид:
1

x

 1 11 1  14c1  2c 2 

 x  1 2  6c  7c 
1
2
 2 11

 x 3  c1
x  c .
 4
2
б) Решим систему
 x1  x 2  x3  1

 x1  x 2  2 x3  1
2 x  2 x  4 x  2.
2
3
 1
Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем ее
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

 
 

А1 =  1 1 2 1    0 0 1 0    0 0 1 0 .
 2 2 4 2  0 0 1 0  0 0 0 0

 
 

Выбираем в качестве основных переменные х1 и х3, как стоящие при
ступенчато-диагональных элементах, переменная х2 берется свободной. Итак,
 x1  x 2  x3  1

x3  0

и общее решение системы
 x1  1  c

 x2  c
 x  0.
 3
3.3. Задачи для самостоятельного решения
Исследовать и в случае совместности решить предлагаемые ниже
системы линейных уравнений.
15
2 x1  7 x 2  3x3  x 4  6

б) 3x1  5 x 2  2 x3  2 x 4  4
9 x  4 x  x  7 x  2
2
3
4
 1
3 x1  2 x 2  5 x 3  x 4  3
 2 x  3 x  x  5 x  3
 1
2
3
4
в) 
 x1  2 x 2  x 3  4 x 4  3
 x1  x 2  4 x 3  9 x 4  22.
2 x  y  z  2

а)  x  2 y  3z  1
 x  3y  2z  3

3.4. Собственные вектора и собственные значения матрицы
Вектор-столбец
 x1 
 
 x2 
X  0

 
 xn 
называется собственным вектором квадратной матрицы A n  го порядка,
соответствующим собственному значению  , если он удовлетворяет
матричному уравнению
AX  X , или  A  E X  0.
Здесь E - единичная матрица n - го порядка, а 0 – нулевой вектор-столбец. При
условии, что вектор X  0 , получаем характеристическое уравнение для
определения собственных значений  :
det A  E   0.
Координаты собственного вектора X i , соответствующего собственному
значению  i , являются решением системы уравнений
a12 x 2  ... 
a1n x n  0 ,
a11   i x1 

a 21 x1  a 22   i x 2  ... 
a 2n x n  0,


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a n1 x1 
a n 2 x 2  ...  ( a nn   i )x n  0.
Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя.
Пример. Определить собственные значения и собственные векторы
1 6 
матрицы A  
.
1
2


Решение. Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид:
1 
6
 0, или 2  3  4  0
1
2
16
откуда следует, что матрица A имеет два собственных значения  1  4 и
 2  1. Собственный вектор X 1 , соответствующий  1  4 , определяется из
системы уравнений вида
6x2  0
(1  4) x1 
 3 x1  6 x 2  0
, или 

x1  (2  4) x 2  0

 x1  2 x 2  0,
которая сводится к одному уравнению x1  2 x 2 . Полагая x 2  t , получаем
решение в виде x1  2t , x 2  t. Следовательно, первый собственный вектор
 2
есть X 1    t.
1
Второй собственный вектор X 2 , соответствующий собственному
значению  2  1, определяется из системы уравнений вида:
6x2  0
 (1  1) x1 

x1  (2  1) x 2  0.

Эта система уравнений также сводится к одному уравнению x1  3x 2  0;
полагая x 2  t , запишем ее решение в виде x1  3t , x 2  t. Следовательно,
  3
второй собственный вектор есть X 2    t.
 1
Таким образом, матрица A имеет два собственных значения  1  4 ,
 2  1 и два собственных вектора, равных (с точностью до постоянного
 2
  3
множителя) X 1   , X 2   .
1
 1
4. ВЕКТОРЫ, ПРОСТЕЙШИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
4.1. Основные понятия
Понятие вектора известно из школьного курса. Наиболее часто мы будем
пользоваться координатной формой записи векторов: a  (a1 , a 2 , a3 ) .
Напомним, что всегда вектор предполагается свободным, т.е. его можно без
изменения длины и направления переносить в любую точку пространства. В
случае координатного задания вектора его длина вычисляется по формуле:
(4.1)
a  a12  a 2 2  a3 2 .
Направление же вектора a определяется углами , , , образованными
вектором a с положительными полуосями координат Ох, Оу, Oz, которые
можно найти из формул для направляющих косинусов этих углов:
cos  =
a1
,
a
cos  =
a2
,
a
17
cos  =
a3
.
a
(4.2)
4.2. Операции над векторами
Произведение вектора a на скалярный множитель  определяется по
формуле  a = (а1, а2, а3).
Для двух векторов a  (a1 , a 2 , a 3 ) , b  (b1 , b2 , b3 ) их сумма и разность
определяются по правилам:
a  b  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 ,
a
 b 
a1
 b1 , a2  b2 , a3
 b3.
Геометрически сумма и разность векторов строится как на рисунке:
d a b
c  a b
Если точка О - начало координат, а М - точка с координатами (x, y, z), то
вектор OМ  r ( M )  ( x, y, z ) называется радиусом-вектором точки М.
Вектор АB с началом в точке А(x1, y1, z1) и концом в точке В(x2, y2, z2) в
координатном виде записывается так: АB = ( x2  x1 , y2  y1, z 2  z1 ) .
Примеры.
а) В треугольнике АВС сторона АВ точками М и N разделена на три
АМ  МN  NB . Найти вектор CM , если
равные части:
CA  a , CB  b . Если построить треугольник и указанные вектора, то из
геометрических правил сложения и вычитания легко получаются равенства
1
1
b  a . Таa  AB  b , т.е. AB  b  a . Так как AM  AB , то АМ 
3
3
1
b  a   1 2 a  b .
ким образом, CM  a  АМ  a 
3
3
б) Найти длину вектора a = (10, 15, -30) и его направляющие косинусы.
По формулам (4.1) и (4.2) определяем
18
a =
10 2  15 2  ( 30 ) 2  100 + 225 + 900
cos  =
10 2
15 3
- 30
6
= , cos  = = , cos  =
=- .
35 7
35 7
35
7

1225
 35,
3) Найти вектор А В , если А(2, 1, 0) и В(3, 0, 5).
Из формулы для координат вектора АB имеем АB = (3-2, 0-1, 5-0) =
= (1, -1, 5).
4.3. Задачи для самостоятельного решения
а) Дан треугольник АВС. На стороне ВС расположена точка М так, что
BM : МC =  . Найти вектор АМ , если AB = a , АC  b.
б) Найти координаты вектора АB  CD , где А(0, 0, 1), В(3, 2, 1), С(4,
6, 5), D(1, 6, 3).
в) Даны радиусы - векторы вершин треугольника АВС:
r  A  1, 2, 3, r B   3, 2, 1, r C   1, 4, 1.
Показать, что треугольник АBC - равносторонний.
г) Вычислить длину вектора a (1, 2, 1) и найти его направляющие
косинусы.
д) Даны точки А(1, 2, 3) и В(3, -4, 6). Найти длину и направление
вектора А В .
5. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
5.1. Определение и свойства
Пусть даны два вектора a и b .Тогда их скалярное произведение
определяется из равенства a  b  (a , b )  a  b  cos  , где  - угол между
этими векторами.
Если
векторы
заданы
в
координатной
форме
a  (a1 , a 2 , a 3 ) ,
b  (b1 , b2 , b3 ) , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:
a  b  a1  b1  a 2  b2  a3  b3 .
19
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
2
а) a  a  a ;
б) если a  b (ортогональные вектора), то a  b = 0;
в) a  b  b  a ;
г) a (b  c )  a  b  a  c ;
д) (  a )  b  (a  b )  a (  b ) , где λ- любое число.
Примеры.
а) Найти скалярное произведение векторов a = (2, 1, 1) и b = (2, -5, 1).
Из определения имеем a  b = 2  2  1  (5)  1  1  4  5  1  0 .
б) Даны вектор a = (m, 3, 4) и вектор b = (4, m, -7). При каких значениях
m вектор a ортогонален вектору b ?
Из условий ортогональности имеем:
a  b = 4m + 3m -28 = 0,
7m = 28, m = 4.
в) Найти (5a  3b )  (2a  b ) , если
a  2,
b 3 и a  b .
Из свойств скалярного произведения имеем: a  b  b  a  0 ,
т.к. a  b , тогда
(5a  3b )  (2a  b )  5a  2a  5a  b  3b  2a  3b  b  10 a
2
 5a  b  6b  a  3 b
2
 10  2 2  3  3 2  40  27  13.
г) Определить угол между векторами a = (1, 2, 3) и b = (0, 4, -2).
a b
Так как a  b  a  b cos , то cos  =
. Из координатного
a b
представления векторов находим
по формуле (4.1) имеем
тогда cos  =
2
14  20
a  b  1  0  2  4  3  (2)  0+8-6=2,
a = 12 + 2 2 + 3 2 = 14 ,
=
1
70
b = 0 2 + 4 2 + (-2) 2 = 20 ,
.
5.2. Задачи для самостоятельного решения
а) Даны векторы a = (3, -2, -4), b = (6, -2, 3). Найти ( 3a  2b )( 2a  b ).
б) Вычислить работу силы f = (1, 2, 1) при перемещении материальной
точки из положения М1(-1, 2, 0) в положение М2(2, 1, 3) . Напомним, что работа
20

вектора силы
f
равна скалярному произведению вектора
f
на вектор
перемещения M 1 M 2 .
в) Найти координаты вектора x , если он коллинеарен вектору
a = (2, 1, 0) и его скалярное произведение на вектор a равно 3, т.е. a  x  3.
6. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
6.1. Определение векторного произведения
Если
вектора
и
заданы в
координатной форме
b
a
a  a1 , a 2 , a3 , b  (b1 , b2 , b3 ) то их векторное произведение определяется
по формуле:
i
j k
a  b  a1 a 2 a3  ( a 2 b3  a3 b2 )i  ( a3 b1  a1 b3 ) j  ( a1 b2  a2 b1 )k ,
b1 b2 b3
где i , j , k -орты осей координат Ox, Oy, Oz, соответственно:
i = 1, 0, 0, j = 0, 1, 0, k = 0, 0, 1.
Пример.
Найдем
векторное
a  1, 2, 4 и b  (1, 2, 1) .
Из приведенной формулы имеем
i
a b
произведение
векторов
j k
 1 2 4
 (2 1  4  2)i  (4 1  1 1) j  (1  2  2 1)k  (2  8)i  (4  1) j 
1 2 1
 (2  2)k  6i  3 j  0k  (6, 3, 0).
6.2. Свойства векторного произведения
Отметим следующие свойства векторного произведения:
а) a  b  a , a  b  b ;
б) a  b  a b sin  , т.е. модуль векторного произведения равен площади
параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах;
в) a  b  b  a ;
г) a  b  0 , если либо a = 0 , либо b = 0 , либо вектора a и b коллинеарны;
д) (a )  b  a  (b )  (a  b ) , где λ –любое число;
е) a  (b  c )  a  b  a  c .
21
Приведенные свойства позволяют решать многие задачи геометрии и
векторного анализа.
Примеры.
а) Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах
a = (3, 6, -2) и b = (-2, 3, 6).
Имеем
i
j k
a  b  3 6  2  (6  6  (2)  3)i  (( 2)  (2)  3  6) j  (3  3  6  (2)) k 
2 3 6
 42i  14 j  21k  7(6,  2, 3).
Тогда
S пар.  a  b  7 6 2  (2) 2  3 2  7 49  49.
б) Вычислим площадь треугольника с вершинами А(1, 1, 1), В(2, 3, 4),
С(4, 3, 2).
На сторонах АВ и АС достроим треугольник до параллелограмма АВСD.
1
1
Тогда S ABC  S ABCD  AB  AC . Так как AB  (1, 2, 3), AC  (3, 2, 1), то
2
2
i j k
AB  AC  1 2 3  (2  6)i  (9  1) j  (2  6)k  (4, 8,  4).
3 2 1
Следовательно,
AB  AC  4 1  4  1  4 6 , а
1
S ABC  4 6  2 6.
2
в) Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах
a + 3 b и 3 a + b , если a  b  1, а угол между векторами a и b
равен /6.
Заметим, что a  a  0
для любого вектора.
S  (a  3b )  (3a  b )  3a  a  a  b  9b  a  3b  b 
Следовательно,

 4.
6
Итак, искомая площадь параллелограмма S=4.
г) Известно, что вектор c ортогонален векторам a = (3, 2, 1) и
b = (2, 3, 1), а | c | = 3. Найти вектор c .
Так как вектор c ортогонален векторам a и, b то он коллинеарен
вектору a  b . Имеем
 a  b  9a  b  8 a  b  8 a b sin
22
i
ab

j k
3 2 1
 (2  3)i  (2  3) j  (9  4)k  i  j  5k  (1,  1, 5).
2 3 1
Таким
c  (a  b )  (,  , 5 ).
образом,
c   27  3 3  ,

условиям задачи: c1,2  
Следовательно,
3
. Итак, имеем два вектора, удовлетворяющих
3
3
(1, 1,5).
3
6.3. Задачи для самостоятельного решения
а) Даны векторы a = (-1, 3, 2) и b = (2, 1, 1). Найти координаты векторов:
1) a  b ; 2) (2a  b )  (2a  b ) .
б) В треугольнике с вершинами А(1, -1, 2), В(5, -6,2), С(1, 3, -1) найти
высоту h = BD .
в) Найти координаты вектора x , если он ортогонален векторам
a = (2, 1, -3) и b = (1, 3, -2), а также удовлетворяет условию x (1, -7, 2)=10.
7. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
7.1. Определение и свойства
Смешанным произведением трех векторов
a  (a1 , a 2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ), c  (c1 , c 2 , c3 ) называется число
a b c  (a  b )  c  a  (b  c ).
Смешанное произведение обладает следующими свойствами:
а) a b c  0 , если все три вектора параллельны одной и той же плоскости
(компланарны);
б) a b c  b c a  c a b ;
a1 a 2 a3
в) a b c  b1 b2 b3 ;
c1 c 2 c3
г) объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c , равен
ab c .
Примеры.
а) Найти смешанное произведение векторов a =(5, 7, 2), b = (1, -1, 1),
23
c = (2, 2, 1).
Из определения имеем
5 7 2
a b c  1  1 1 = -5 + 14 + 4 + 4 - 10 - 7 = 0, т.е. вектора a, b и c компланарны.
2 2 1
б) Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(2, 2, 2),
В(4, 3, 3), С(4, 5, 4), D(5, 5, 6).
Из свойств смешанного произведения заключаем, что искомый объем
равен
21 1
1
1
1
7
V  АB  АC  АD  mod 2 3 2  7  .
6
6
6
6
3 3 4
в) Вычислим (a  b )(b  c )(c  a ).
Используя определение смешанного произведения и свойства векторного
и скалярного произведений получаем
(a  b )(b  c )(c  a )  (a  b )(b  c )  (c  a )  (a  b )(b  c  b  a  c  c 
c  a )  a (b  c )  a (b  a )  a (c  a )  b (b  c )  b (b  a )  b (c  a )  a b c  b c a 
 a b c  a b c  0.
г) По координатам вершин пирамиды A1 (3;2;2), A2 (1;3;1), A3 (2;0;4),
A4 (6;4;6) найти: 1) длины ребер A1 A2 и A1 A3 ; 2) угол между ребрами A1 A2 и
A1 A3 ; 3) площадь грани A1 A2 A3 ; 4) объем пирамиды A1 A2 A3 A4 .
Находим векторы A1 A2 и A1 A3
A1 A2  (1  3)i  (3  (2)) j  (1  2)k  2i  j  k ;
A1 A3  (2  3)i  (0  (2)) j  (4  2)k  i  2 j  2k .
Длины векторов, т.е. длины ребер A1 A2 и A1 A3 , таковы:
A1 A2  (2) 2  (1) 2  (1) 2  6;
A1 A3  (1) 2  2 2  2 2  3.
Скалярное произведение векторов A1 A2 и A1 A3 равно
A1 A2  A1 A3  (2)  (1)  (1)  2  (1)  2  2,
а косинус угла между ними:
24
cos  
A1 A2  A1 A3

A1 A2  A1 A3
2
3 6
 0,27.
Отсюда следует, что  - тупой угол, равный   arccos 0,27  1,85 (рад.) с
точностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрами A1 A2 и A1 A3 .
Площадь грани A1 A2 A3 равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах A1 A2 и A1 A3 , т.е. половине модуля векторного
произведения этих векторов:
i
j
k
A1 A2  A1 A3   2  1  1  5 j  5k .
1
Следовательно,
S A1 A2 A3 
2
2
1
1 2
5 2
A1 A2  A1 A3 
5  (5) 2 
.
2
2
2
Объем V пирамиды равен
1
объема параллелепипеда, построенного на
6
векторах A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 . Вектор A1 A4  3i  2 j  4k . Итак,
 2 1 1
1
1
V  A1 A2 A1 A3 A1 A4  mod  1
2 2 
6
6
3 2 4

1
mod(30)  5.
6
7.2. Задачи для самостоятельного решения
а) Даны векторы a = (1, 1, -3), b = (-2, 2, 1) и c = (3, -2, 5). Вычислить
ab c .
б) В треугольной пирамиде с вершинами в точках А(1, 1, 1), В(2, 0, 2),
С(2, 2, 2) и D(3, 4, -3) вычислить высоту h = | DE |.
в) Доказать, что четыре точки А(1, 2, 1), В(0, 1, 5), С(-1, 2, 1) и
D(2, 1, 5) лежат в одной плоскости.
8. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
25
8.1. Различные виды уравнений прямой на плоскости
Общее уравнение прямой имеет вид
Ах + Ву + С = 0,
(8.1)
причем вектор n = (А, В)  0. Вектор n является ортогональным к прямой (8.1)
и его называют вектором нормали. Если С = 0, то прямая (8.1) проходит через
начало координат. Если же С  0, то после деления уравнения (8.1) на (-С)
получаем уравнение прямой в отрезках
x y
(8.2)
  1,
a b
C
C
где a   ; b   , причем (а, 0) и (0, b) - координаты точек пересечения
A
B
прямой (8.2) с осями координат.
Пример. Составим уравнение прямой, отсекающей на осях координат
отрезки а = 0,2 , b  -0,1.
Воспользовавшись уравнением (8.2), имеем
y
x

 1 или 5х - 10у - 1 = 0.
0,2 -0,1
Если в уравнении (8.1) В = 0, то прямая параллельна оси Оy. Если же
В  0, то уравнение (8.1) можно преобразовать к уравнению прямой с угловым
коэффициентом
у = kх + b,
(8.3)
A
C
где k   , b   , причем k = tg, а  - угол, образованный прямой с
B
B
положительным направлением оси Ох. Свободный член b в (8.3) - ордината
точки пересечения прямой с осью Оу.
Примеры.
а) Составим уравнение прямой, отсекающей от оси Оу отрезок b= -3 и
образующей с этой осью угол  = /6.
Заметив, что    2   , из уравнения (8.3) выводим у = х·tg  - 3 =
х·tg(/2 -/6) - 3 = 3  x  3 .
б) Представим общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0 в виде уравнения
в отрезках и уравнения с угловым коэффициентом.
Разрешив общее уравнение прямой относительно у, получим уравнение с
угловым коэффициентом: у = 2,4х - 13 (k = -12/-5=2,4, b = -(-65/-5)= -13).
Разделив общее уравнение прямой на 65 и перенеся 1 направо, получим
y
x

1
уравнение в отрезках:
(а = 65/12, b = - 13).
 65   65 
  - 
 12   5 
Если заданы две прямые:
А1х + В1у + С1 = 0
или
у = k1 х + b 1 ,
26
А2х + В2у + С2 = 0
или
у = k2 х + b 2 ,
то для острого угла  между ними справедливы формулы:
cos  
A1 A2  B1 B2
A12  B12  A22  B22
,
(8.4)
tg  =
k2  k
1
1  k1  k 2
.
(8.5)
Отсюда легко получаем условия параллельности прямых:
А1/А2 = В1/В2
или
k1 = k 2
и ортогональности прямых:
А1А2 + В1В2 = 0, или
k 1 = - 1/ k2.
(8.6)
(8.7)
Примеры.
а) Определим острый угол между прямыми у = -3х + 7 и у = 2х + 1.
Из формулы (8.5) имеем
tg  = |(2 - (-3))/(1 + (-3)2)| = 5/5 = 1,  = /4.
б) Покажем, что прямые 4х - 6у + 7 = 0 и 20х - 30у - 11 = 0 параллельны.
Из условий (8.6) имеем 4/20 = (-6)/(-30) = 1/5, т.е. прямые параллельны.
в) Покажем, что прямые 3х - 5у + 7 = 0 и 10х + 6у - 3 = 0 ортогональны.
Применяя условие ортогональности (8.7), имеем 3∙10 - 5∙6 = 0 и делаем
заключение об ортогональности прямых.
Уравнение прямой, проходящей через точку (х0, у0) записывается в виде
А(х - х0) + В(у - у0) = 0
(8.8)
или
A
(8.9)
(k   ) .
B
Уравнение прямой, проходящей через две точки (х0, у0) и (х1, у1)
записывается в виде
x  x0 y  y 0
x  x0
y  y0
0

или
(8.10)
x1  x 0 y1  y 0
x1  x0 y1  y 0
у - у0 = k (х - х0)
Пример. Составим уравнение прямой, проходящей через точки
(-1, 3) и (2, 5).
x - (-1) y - 3
Из (8.9) имеем
или (х + 1)/3 = (у - 3)/2,

2 - (-1) 5 - 3
2х - 3у + 11 = 0.
27
или
8.2. Задачи для самостоятельного решения
а) Написать уравнение прямой и привести его к общему виду, если
1) прямая проходит через точку М(-1, 2) перепендикулярно вектору
n = (2, -3);
2) прямая проходит через точку М(-1, 1) параллельно вектору
q = (2, 0);
3) прямая проходит через точки М1(1, 2) и М2(-1, 0).
б) Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(8, 6) и
отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв. ед.
8.3. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
Если общее уравнение прямой (8.1) умножить на
1
μ
,
2
2
A B
где знак выбирается из условия С<0, то получим уравнение
ах + bу - р = 0,
(8.11)
где коэффициенты имеют следующий геометрический смысл: а = cos ,
b= sin ,  - угол между нормалью к прямой и осью Ох, р - расстояние от
прямой до начала координат. Уравнение (8.11) называется нормальным
уравнением прямой.
Пример. Найдем расстояние от начала координат до прямой
12х - 5у -65 = 0.
Приведем уравнение прямой к нормальному виду, домножив его на
1
1
=
 , где знак “плюс” выбран так, как С = -65. Тогда имеем
144  25 13
(12/13)х - (5/13)у - 5 = 0, следовательно, нужное нам расстояние равно р = 5.
Расстояние от точки (х0, у0) до прямой (8.1) вычисляется по формуле:
d=
Аx 0  By0  C
.
A B
Пример. Определим расстояние от точки (1, 2) до прямой
20х -21у -58 = 0.
Из формулы (8.12) получаем
20  42  58  80 80
d=

 .
400  441
841 29
2
2
(8.12)
Если прямые А1х +В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0 пересекаются, то
их точку пересечения можно найти, решая систему:
28
 A1 x  B1 y  C1  0
.

 A2 x  B2 y  C 2  0
Пример. Покажем, что прямые 3х - 2у + 1= 0 и 2х + 5у -12 = 0
пересекаются, и найдем точку пересечения.
Составим систему и решим ее. Полученная точка и является точкой
пересечения:
y=3 x/ 2+1/ 2 ,
 3 x - 2y + 1 = 0,



2 x+5( 3 x/ 2+1/ 2 )-12=0 ,
2x + 5y - 12 = 0,
 y=3 x/ 2+1/ 2 ,
 x=1,


 y=2.
19 x/ 2=19 / 2 ,
Итак, (1,2)- искомая точка пересечения прямых.
8.4. Геометрические задачи с использованием различных
уравнений прямой
В различных геометрических задачах используются те или иные
уравнения прямой в зависимости от условий. При этом важно помнить
геометрический смысл различных коэффициентов в уравнении прямой.
Наиболее часто используются следующие два факта: в общем уравнении
прямой (8.1) коэффициенты при неизвестных образуют вектор n = (А, В),
ортогональный к этой прямой (вектор нормали); в уравнении
x  x0 y  y 0

l
m
вектор q = (l, m) параллелен этой прямой (направляющий вектор), а прямая
проходит через точку (х0, у0).
Примеры.
а) Составим уравнение прямой, проходящей через точку (-2, -5), и
параллельной прямой 3х + 5у + 2 = 0.
Из уравнения (8.8) имеем А(х+2)+В(у+5)=0. Из условия параллельности
прямых заключаем, что ортогональные им вектора n1 = (3, 5) и n 2 = (А, В) также
параллельны. Следовательно, можно положить n1 = n 2 = (3, 5) (длина вектора
нормали не имеет значения). Итак, нужная нам прямая имеет уравнение:
3(х + 2) + 5(у + 5) = 0
или
3х + 5у + 31 = 0.
б) Даны вершины треугольника А(2, 2), В(-2, -8), С(-6, -2). Составим
уравнение медиан треугольника.
Медиана проходит через вершину А и делит отрезок ВС пополам.
Определим координаты середины отрезка ВС: х0 = ((-2) + (-6))/2 = -4,
у0 = ((-8) + (-2))/2 = -5. Пользуясь теперь уравнением прямой (8.10), проходящей
через две точки, получаем уравнение медианы, проходящей через вершину А:
(х + 4)/6 = (у + 5)/7 или 7х - 6у - 2 = 0.
Аналогично находим урвнения остальных медиан:
29
х1 = 0, у1 = -3, (х + 6)/6 = (у + 2)/(-1),
х + 6у + 18 = 0,
х2 = -2, у2 = 0, (х + 2)/0 = (у + 8)/8, х + 2 = 0.
в) Даны вершины треугольника А(0, 1), В(12, -1), С(6, 5). Составим
уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С.
Высота проходит через точку С, следовательно, ее уравнение можно
записать в виде К(х - 6) + М(у - 5) = 0. Найдем координаты вектора нормали (К,
М): так как наша прямая ортогональна стороне АВ треугольника АВС, то
вектор, соединяющий точки А и В, является ортогональным прямой, его и
можно взять в качестве вектора-нормали: (12 - 0, -1 - 1) = (12, -2). Итак,
уравнение прямой имеет вид: 12(х - 6) - 2(у - 5) = 0 или 12х - 2у -62 = 0.
8.5. Задачи для самостоятельного решения
а) Вычислить расстояние от прямой 2х - у + 1 = 0 до начала координат и
до точки М(-1, 2).
б) В треугольнике с вершинами А(1, 2), В(2, -2), С(6, 1) найти:
1) уравнение стороны АВ;
2) уравнение высоты, проходящей через вершину С, и вычислить ее
длину;
3) найти угол между этой высотой и медианой, проходящей через точку
В.
в) Даны две вершины треугольника А(-10, 2) и B(6, 4); его высоты
пересекаются в точке М(5, 2). Определить координаты третьей вершины С.
9. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
9.1. Плоскость в пространстве
При рассмотрении плоскости в пространстве необходимо иметь в виду,
что методика решения задач аналогична методике решения задач на прямую в
плоскости. Это связано с тем, что различные уравнения плоскости в
пространстве подобны уравнениям прямой на плоскости.
Приведем уравнения плоскости в пространстве:
- общее уравнение плоскости
- Ах + Ву + Сz + D = 0,
(9.1)
где n = (А, В, С) – вектор, ортогональный плоскости (вектором нормали);
- уравнение плоскости в отрезках
x y z
(9.2)
   1,
a b c
30
D
D
D
, b   , c  , причем (а, 0, 0), (0, в, 0), (0, 0, с) - координаты
A
B
C
точек пересечения плоскости с осями координат;
- уравнение плоскости, проходящей через точку (х0, у0, z0) с вектором нормали
n = (А, В, С)
А(х - х0) + В(у - у0) + С(z - z0) = 0,
(9.3)
- нормальное уравнение плоскости
хcos  + уcos  + zcos  - p = 0,
(9.4)
где р - расстояние от плоскости до начала координат, , ,  - углы между
координатными осями и вектором нормалью к плоскости, направленным от
начала координат к плоскости;
- уравнение плоскости, проходящей через три точки (х1, у1, z1), (х2, у2, z2),
(х3, у3, z3)
x  x1
y  y1
z  z1
где a  
x 2  x1
y 2  y1
z 2  z1  0
x3  x1
y 3  y1
z 3  z1
(9.5)
Приведение общего уравнения плоскости (9.1) к нормальному виду (9.4)
осуществляется домножением на множитель:
1
μ
,
2
2
2
A  B C
где знак выбирается из условия D<0.
Расстояние d от точки (х0, у0, z0) до плоскости (9.1) вычисляется по
формуле:
Аx 0  By0  Cz0  D
d=
(9.6)
.
2
2
2
A  B C
Угол между плоскостями А1х + В1у + С1z + D1 = 0
А2х + В2у + С2z + D2 = 0 определяется из формулы:
cos  =
A1 A2  B1 B2  C1C 2
.
и
(9.7)
A1  B1  C1 A2  B2  C 2
Условие параллельности плоскостей:
А1/А2 = В1/В2 = С1/С2,
(9.8)
и условие ортогональности:
А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0.
(9.9)
Примеры.
а) Приведем уравнение плоскости 2х + 4у - 5z + 21 = 0 к нормальному
виду.
Домножив уравнение на нормирующий множитель
2
2
2
2
31
2
2
1
1

,
4  16  25
3 5
где знак минус взят, так как D>0, получим нормальное уравнение плоскости в
виде
2
4
5
7

xy+
z 0.
3
3 5
3 5
5
б) Составим уравнение плоскости, проходящей через точку (1, 2, 3) и
ортогональную вектору (3, 2, 1).
Из уравнения (9.3) и геометрического смысла коэффициентов уравнения
сразу имеем 3(х - 1) + 2(у - 2) + (z - 3) = 0 или
3х + 2у + z - 10 = 0.
в) Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку (3, 2, -1) и
параллельную плоскости 3х - 5у + 2z - 10 = 0.
В силу параллельности плоскостей векторы нормали у обеих плоскостей
можно взять равными, т.е. вектор (3, -5, 2) является вектором нормали нашей
плоскости. Тогда из уравнения (9.3) имеем
3(х - 3) - 5(у - 2) + 2(z + 1) = =0 или 3х - 5у + 2z + 3 = 0.
г) Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3,
2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z - 3 = 0.
Для нахождения уравнения заданной плоскости нам необходимо найти
вектор нормали n этой плоскости. Так как он ортогонален нашей плоскости,
то он ортогонален любому вектору, параллельному этой плоскости. Таким
образом, вектор нормали n ортогонален векторам А В и вектору нормали
плоскости х + у + 2z - 3 = 0, т.е. n1 = (1, 1, 2). Из свойств векторного
произведения вытекает, что в качестве вектора нормали нашей плоскости
можно взять вектор n = А В  n 1.
Итак,
i j k
n = 1 3  5  i (6  5)  j (5  2)  k (1  3) = (11, -7, -2).
1 1 2

Из (9.3) теперь легко имеем 11(х - 2) - 7(у + 1) - 2(z - 4) = 0 или
11х - 7у - 2z -21 = 0.
д) Найти угол между плоскостью P1 , проходящей через точки A1 (2;4;1),
A3 (0;2;3),
P2 ,
A2 (1;2;0),
и плоскостью
заданной уравнением
5x  2 y  3z  1  0.
Взяв
A1 M ,
текущую
A1 A2 ,
точку
M ( x, y, z )  P1
и
определив
вектора
A1 A3 , уравнение плоскости P1 находим по формуле (9.5):
32
x2
y  4 z 1
x2
 1  2 2  4 0  1  0,
0  2  2  4 3 1
т.е.
3
2
y  4 z 1
6
2
1
2
 0,
7( x  2)  4( y  4)  3( z  1)  0, 7 x  4 y  3z  1.
По уравнению плоскостей определяем их нормальные векторы:
n1  7i  4 j  3k , n2  5i  2 j  3k . Угол  между плоскостями P1 и P2
находим по формуле (9.7):
n n
cos   1 2  0,64,
n1 n2
откуда   arccos0,64  0,87 рад.
9.2. Задачи для самостоятельного решения
а) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1, 2, 0) и
В(2, 1, 1), перпендикулярно плоскости -х + у - 1 = 0.
б) Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало
координат перпендикулярно к двум плоскостям 2х - у + 3z - 1 = 0,
х + 2у + z = 0.
в) Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью 2х-3у+6z=6 и
координатными плоскостями.
г) Исследовать взаимное расположение данных пар плоскостей. В случае
их параллельности найти расстояние между ними, в случае пересечения - угол
между ними:
1) -х + 2у - z + 1 = 0, у + 3z - 1 = 0;
2) 2х - у + z - 1 = 0, -4х + 2у - 2z - 1 = 0.
9.3. Прямая и плоскость
Уравнение прямой в пространстве может быть записано как
уравнение линии пересечения двух плоскостей в следующем виде:
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
.
(9.10)

 A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0
На практике больше применяется каноническое уравнение прямой в
пространстве
33
x - x1 y - y1 z - z1
(9.11)


,
l
m
n
где (х1, у1, z1) - точка, через которую эта прямая проходит, а q = (l, m, n) вектор, параллельный прямой, - направляющий вектор.
Уравнение прямой, проходящей через две точки (х1, у1, z1) и (х2, у2, z2),
имеет вид:
x - x1
y  y1
z  z1


,
(9.12)
x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки A1 (4;3;1)
и A2 (5;3;0).
Используя формулу (9.12), получаем
y  (3)
x4
z 1 x  4 y  3 z 1


,


.
5  4  3  (3) 0  1
1
0
1
Равенство нулю знаменателя второй дроби означает, что прямая принадлежит
плоскости y  3.
Острый угол между двумя прямыми в канонической форме:
x - x2 y  y2 z  z 2
x - x1 y  y1 z  z1


,
и


,
l2
m2
n2
l1
m1
n1
определяется по формуле:
cos  
l1l 2  m1m2  n1n 2
l1  m1  n1
2
2
2
l 2  m2  n2
2
2
2
(9.13)
Условия параллельности прямых в канонической форме:
l1/l2 = m1/m2 = n1/n2.
(9.14)
Условие ортогональности прямых:
l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0.
Примеры.
(9.15)
 2 x  y  3z  1  0
а) Привести уравнение прямой L : 
к каноническому
5 x  4 y  z  7  0
виду.
Решение
Выразим из системы х через у и z:
34
y  2 x  3z  1

,

5
x

4
(
2
x

3
z

1
)

z

7

0

13

z
=
x 1

11
,

39
 y  2x 
x2

11
 11

x

( z  1)

13
.

 11
x 
( y  2)
17

Следовательно,
 11( y  2)  11( z  1)
y  2 z 1
x
x

или


.
17
13
 11
17
13
б) Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую
(х-2)/2 = (у-1)/3 = (z - 3)/1.
Решение.
Запишем уравнение плоскости, проходящей через начало координат и
ортогональной заданной прямой. Так как направляющий вектор заданной
прямой q = (2, 3, 1) в этом случае ортогонален плоскости, то можно положить
n = q и записать уравнение плоскости в виде 2х + 3у + z = 0. Найдем точку
пересечения этой плоскости и прямой для чего решим систему:
 x  2 y 1
 2  3
3 x  2 y  4  0
 x  2

 z 3 ,

 x  2z  4  0 ,
2

2 x  3 y  z  0
2
x

3
y

z

0



y  3x / 2  2

 x  4/7


z  x/2 2
,

 y  8 / 7.
2 x  9 x / 2  6  x / 2  2  0
 z  16 / 7


Из уравнения прямой, проходящей через две точки (9.12), получаем искомое
уравнение прямой:
x0 y0 z 0
или x = y/(-2) = z/4.


4 / 7  8 / 7 16 / 7
в) Через прямую (х + 1)/2 = (у - 1)/(-1) = (z - 2)/3 проведем плоскость,
параллельную прямой х/(-1) = (у + 2)/2 = (z - 3)/(-3).
Решение..
Так как вектора q 1 = (2, -1, 3) и q 2 = (-1, 2, -3) (направляющие вектора
прямых) параллельны плоскости, то их векторное произведение q 1  q 2
ортогонально плоскости, т.е. может быть взято за вектор нормали плоскости.
Итак,
35
i
n 2
1
j
1
2
k
3  i (3  6)  j (3  6)  k (4  1)  3( -1, 1, 1).
3
Прямая (х + 1)/2 = (у - 1)/(-1) = (z - 2)/3 лежит в плоскости. Следовательно, и
точка (-1, 1, 2), через которую она проходит, находится там же. Таким образом,
искомое уравнение плоскости можно записать в виде
-(х + 1) + (у - 1) + (z -2 ) = 0 или х - у - z + 4 =0.
9.4. Задачи для самостоятельного решения
а) Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2, 0, -3)
параллельно:
1) вектору q =(2, -3, 5);
2) прямой (х - 1)/5 = (у + 2)/2 = (z + 1)/(-1);
 3x  y  2 z  7  0
3) прямой 
 x  3 y  2 z  3  0.
б) Задана плоскость x + y - z + 1 = 0 и прямая (x - 1)/0 = y/2 = (z + 1)/1.
Требуется:
1) вычислить угол между ними;
2) написать уравнение плоскости, проходящей через данную прямую
перпендикулярно к данной плоскости.
в) Доказать, что прямые
2 x  2 y  z  10  0
x+7 y  5 z  9
и



x

y

z

22

0
3

1
4

параллельны, и найти расстояние между ними.
г) Найти проекцию точки С(3, -4, -2) на плоскость, проходящую через
параллельные прямые
x5 y 6 z 3
x2 y 3 z 3


,


.
13
1
4
13
1
4
10. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
10.1. Основные определения и обозначения
Определение конечного предела функции в точке: число А называется
пределом функции f (x) при x  a, если для любого ε  0 найдется   0
такое, что f ( x)  A   при 0 < x  a  .
36
Обозначение: lim f ( x)  A или f ( x)  A при x  a.
x a
Функция f (x) ( F ( x)) называется бесконечно малой (бесконечно большой)
1
при x  a, если lim f ( x)  0 ( lim
 0, lim F ( x)  ).
x a F ( x )
x a
xa
Две бесконечно малые (бесконечно большие) функции f (x) и (x), при
f ( x)
 1.
x  a, называются эквивалентными, если lim
xa ( x)
Обозначение: f ( x) ~ ( x).
Предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не
изменится, если каждую из них заменить эквивалентной функцией, т.е.
f ( x)
f ( x)
(10.1)
lim
 lim 1 ,
xa ( x)
xa 1 ( x)
( x) ~ 1 ( x).
если f ( x) ~ f1 ( x),
Отметим, что (С- константа)
C
lim
 0, если lim f ( x)  ;
x a f ( x)
x a
C
lim
 , если lim f ( x)  0 (C  0);
x a f ( x )
x a
f ( x)
lim
 0, если lim f ( x)  0, lim ( x)  ;
xa ( x)
xa
xa
f ( x)
lim
 , если lim f ( x)  , lim ( x)  0.
xa ( x)
xa
xa
Наиболее простым способом вычисления пределов lim f ( x ) является
x a
непосредственная подстановка вместо х числа а. При этом может получится
какое-либо число, которое и является пределом. Например
sin x sin  0
lim

  0.
x x


Второй также несложный случай возникает, если при такой
непосредственной подстановке одна из составляющих имеет предел равный  и
получаются следующие варианты (и их решение): С/ = 0, С/0 = ,
/0 = ,
0, если q  (0, 1)
, если q  (0, 1)
, q   
. Например
q   

,
если
q

1
0
,
если
q

1


lim 2 ln x  2   0 .
x0
В остальных случаях возникают так называемые неопределенности. По
поведению функций пределы делятся на неопределенности вида:
  ,   0, 0 / 0,  /  , 1 , 0 0 ,  0 . Элементарными приемами раскрытия
неопределенностей являются:
37
а) сокращение на множитель, создающий неопределенность;
б) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для
отношения многочленов при x   );
в) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших;
г) использование двух замечательных пределов:
sin ( x)
lim
 1;
 ( x ) 0  ( x )
lim (1  ( x))
 ( x ) 0
1
( x)
 e.
(10.2)
10.2. Неопределенности вида 0/0
а) Рациональные выражения. В случае неопределенности 0/0 для
рациональных выражений всегда применяется прием сокращения множителя,
обращающегося в ноль. Для этого предварительно выделяется линейный
множитель, который обращается в ноль. Для выделения линейного множителя
находят корни квадратного трехчлена и разлагают его на множители.
Пример. Найти предел
x2  x  6
lim
.
x 3 2 x 2  x  21
Находим корни числителя х2 - х - 6: х1 = 3, х2 = -2. Разлагаем его на
множители х2 - х - 6 = (х – 3)(х + 2). То же самое проделываем и для
знаменателя: х1 = 3, х2 = -7/2, 2х2 + х - 21 = 2(х – 3)(х + 7/2) =
= (х – 3)(2х + 7). Подставим эти разложения в предел и сокращаем множители,
обращающиеся в ноль:
( x  3)( x  2)
x2  x  6
x2
5
lim

lim

lim

.
x 3 2 x 2  x  21 x 3 ( x  3)( 2 x  7)
x 3 2 x  7 13
б) Иррациональные выражения. Пределы вычисляются также
сокращением множителя, обращающегося в предельной точке в ноль. Правда
предварительно для этого иррациональное выражение домножают и делят на
сопряженное выражение, т.е., если выражение имеет вид (a  b), то его
домножают и делят на (a  b).
Пример. Найти предел
lim
x 1
1  3x 2  2
x2  x
.
Домножим числитель и знаменатель на выражение ( 1  3x 2  2) ,
одновременно разлагая знаменатель на множители:
38
lim
x 1
1  3x 2  2
x2  x
 lim
( 1  3x 2  2)( 1  3 x 2  2)
x 1
x( x  1)( 1  3 x  2)
2

3( x  1)( x  1)
 lim

2
x 1
2
x

1
x( x  1)( 1  3 x  2)
x( x  1)( 1  3 x  2)
 lim
1  3x 2  4
3( x  1)
6 3
 lim
  .
x  1 x( 1  3 x 2  2) 4 2
в) Выражения, содержащие тригонометрические и обратные
тригонометрические функции. Вычисление пределов в этом случае, как
правило, проводится по следующим трем методикам:
1) использование первого замечательного предела
sin ( x)
lim
1
x  x0
( x )
 ( x )0
или эквивалентности:
sin (x)  (x) при (x)  0 (x  x0 );
2) использование формул тригонометрии;
3) применение замены для сведения к первому замечательному преде-лу.
Примеры.
а) Найти предел
sin 5 x
.
x0 sin 2 x
Воспользуемся приведенными эквивалентностями:
lim
sin 5x  5x,
sin 2x  2x
при x 0.
Тогда
lim
x 0
sin 5 x
5x 5
 lim
 .
sin 2 x x0 2 x 2
б) Найти предел
lim
x 0
1  cos x
x
2
.
По формулам тригонометрии (1 - cos x = 2 sin2 (x2)) с учетом
эквивалентности имеем
2
 x
x 2
2 x
 
2 sin
(sin )
1  cos x
2  2 lim
2  2 lim  2   1 .
lim

lim
x 0
x 0
x 0
x 0 x 2
2
x2
x2
x2
39
в) Найти предел
1
lim x arcsin .
x 
x
Для сведения к первому замечательному пределу сделаем две замены:
у = 1/х, z = arcsin y:
arcsin y
1
z
lim x arcsin  lim
 lim
 1.
x 
z 0 sin z
x y 0
y
г) Найти предел
tg πx
.
x2 x  2
lim
Сделаем замену переменной: у = х + 2. Тогда (с учетом периодичности
тангенса и эквивалентности)
tgx
tg( y  2)
tgy
sin y
lim
 lim
 lim
 lim

x  2 x  2
y 0
y 0 y
y 0 y cos y
y
y
 lim
 .
y 0 y cos y
г) Выражения, содержащие логарифмические и показательные функции.
Основными приемами вычисления пределов в этом случае являются:
1) использование эквивалентностей
ln (1 +  (x))   (x), a(x) - 1   (x)ln a при  (х)  0;
2) замена переменной для сведения к приведенным эквивалентностям.
Примеры.
а) Найти предел
1
1 x
1 1 x
1 1  x  2x
ln
 lim
ln
 lim
ln

x 0 x
1  x x 0 2 x 1  x x 0 2 x
1 x
1
2x
1 2x
lim
ln(1 
)  lim

 1.
x 0 2 x
x 0 2 x 1  x
1 x
lim
б) Найти предел
40
lim
x 0
ln(cos x)
x2
 lim
ln(1  (cos x  1))
x2
x 0
 lim
cos x  1
x2
x 0

2
x

x
x
 sin 
 2 sin ( )
 2 sin 2 ( )
2
2  lim
2  2 lim 
lim

2
2
2
x 0
x 0
x 0
x
x
x
2
2
 x
 
1
2
=  2 lim  2   .
x0 x
2
10.3. Неопределенности вида /
Основными примерами этой неопределенности являются рациональные
функции, когда аргумент стремится к бесконечности. Решаются они
вынесением в числителе и знаменателе наивысшей степени х и ее сокращением.
При вычислении окончательного результата постоянно используется равенство
С/ = 0 (C-константа).
Пример. Найти предел
lim
x2  x  6
x 
2 x 2  x  21
.
Выносим наивысшую степень х в числителе и знаменателе:
1 6
1 6
 2)
(1   2 ) (1  1  6 )
x x6
x x
x x
   1.
lim

lim

lim

1 21
1 21
1 21 2
x  2 x 2  x  21 x  2
x 
x (2   2 )
(2   2 ) (2   )
x x
x x
 
2
x 2 (1 
10.4. Неопределенности вида  - , 0, 00, 0, 1
Первые четыре неопределенности с помощью арифметических
преобразований сводятся к рассмотренным ранее случаям. Особый интерес
представляет последняя неопределенность. Для вычисления пределов с
неопределенностью 1 очень удобна следующая формула:
lim u ( x)
x  x0
u ( x ) 1
v ( x ) 
v( x)
e
41
lim v ( x )[ u ( x ) 1]
x x 0
.
Примеры.
а) Найти предел
x
x
lim x (
1)
lim x (
 x 
x  1 x
x 
lim 

e

e

x  1  x 
x 1 x
)
1 x
x
x  1 x
e
lim
e
x
x  x (11 / x )
lim
 e 1 .
б) Найти предел
1
lim cos x 
x2
e
x 0
lim
x 0
cos x 1
x
e
2

1
2.
При вычислении подобных примеров наибольшую опасность
представляет путаница, возникающая в связи с тем, что к определенным
выражениям (типа (2/3) = 0) применяют формулу, как для неопределенности
вида 1. Например
2 x
2
lim 
    1
x 0 3  x


 3
x
0
или
x
 2

x

x(  3) 

 2  3x 
3
x


lim 
    .
  lim
3
x    3  2 x 
x   

2
 x (  2) 
 x

42
11. Задания
для контрольных работ
В контрольную работу № 1 входят следующие задания
ЗАДАЧА 1. Дана расширенная матрица системы. Найти решение этой
системы и
соответствующей ей однородной системы.
 1  1 5 4 14 


1)  3 1  4 1  7 ;
 2 3  3 6  1


1

3) - 1
4

-2
-4
-1
3
-3
1
1  5

5 0 ;
0 1

2
3 6 
1


7 7 
 1 1
5)
;
3 4
1 0 


2

1

5

2


4 0
1
2 9 


7)  3 1  1  1 3 ;
1  2 2
0  8 

 4

9)  1
 2

0
2
5
2
1
3
3 5 

7  3 ;
2  6 
3 - 1  3

- 1 1 0 0 ;
2 4 3 7 
2 1 1 

4 -1 3 
;
1 5  8

7 -1  1 

2

2)  - 1
1

3

1
4)
2

1

1
3 7 
7 - 6


5
- 4  1
2
6)
;
5
0
2 1 


 1 -1

1
2


 6 - 10 0 1  5 


8) 2
1
- 5 1  1 ;
3
3
- 2 4 1 

3

1
10)
1

2

 4 0 2 3 5 


9)  1 5 2 7  3 ;
  2 1 3 2  6


43
- 1  1

-1 2 7 
;
2 4 0 

1 5 0 
2
0 2

1 1
11) 
5 1

4  2

 1 9

13)  2
3
1 1

 2 10 

7  24 
;
1 0 

 3 9 
1 7 14 

0  7  18 ;
2 1 8 
0 2 
1 2 3


15)  0 7  4 3  15 ;
2 1 1  5 0 


 7 9 2 4

0
1
3
 5
17 ) 
1 1  2 2

 3
2 3 7

2 

7 
;
 4

 1 
 1  8 9 1 17 


19)  1 0  1 5  5 ;
 2 1  1 3  3


 3 1  4 1 5 


21)  1
0
1 5 8 ;
 4 1
3 3  4 

2

-1
12) 
0

2

1

14)  3
2

2

3
16) 
1

0

1

2
18) 
-1

3

-2 1
1
1
2
3
0
4
-4 2
1
0
-1 3
3
-3
4
1
-9
3
-4
2
3 6

3 3
;
- 2 1

1 7 
5 10 

- 1 2 ;
1 12 
2  4

1 13 
;
-1  7

7 5 
8 1

- 4 3
;
6 0

- 5 3 
 5 - 4 3 2 3


20)  2 1 - 1 0 1 ;
 - 1 2 2 1 3


4 -5 2  5 


3
2
7
19


22) 
;
1 - 3 5  12 


 2 5 - 12 31 


 7 -7 1 4 


 3 - 2 6 25 
24) 
;
1 -5 1 0 


 - 2 1 4 15 


 6  5 1  2  4


3  2 1  2  1
23) 
;
2  3  1  1  7


0 4

4
1
17


 5  4 1 1  2


25)  2  1 2  3 0 .
 3 3 0 1 10 


44
ЗАДАЧА 2. Дана прямая Ах + Ву + С = 0. Составить уравнение прямой,
проходящей через заданную точку М0
1) параллельно данной прямой;
2) перпендикулярно данной прямой.
Исходные данные взять из табл.1.
Таблица 1
№
вари- А
анта
В
С
М0
А1 В1
С1
D1
А2
В2
С2
D2 М1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
-2
3
-4
0
5
0
3
7
6
6
4
-3
4
-3
1
-1
2
5
6
3
-1
1
-2
7
5
5
3
1
3
0
9
4
3
7
5
3
-3
5
8
1
5
1
-3
1
2
3
-15
-13
3
-7
3;-1
-2;3
7;5
2;3
-3;7
4;5
1;-2
2;-1
3;-2
0;10
5;-5
1;-7
-9;1
3;4
4;2
7;0
1;-2
2;8
1;3
4;-5
0;0
1;1
1;-2
2;-3
-2;1
5
-2
3
5
1
3
3
2
2
1
3
1
2
3
4
1
2
1
1
3
5
2
5
1
1
1
0
5
3
1
0
1
1
0
-1
3
3
1
0
-5
-3
2
-6
-4
-5
1
1
-1
1
-3
-18
1
-26
18
-3
8
3
3
0
-22
7
-5
-3
1
4
-1
5
2
-5
-4
0
1
3
2
1
2
0
3
0
1
2
4
3
0
2
5
1
1
0
2
2
2
2
2
1
2
1
-2
1
1
-1
6
-3
-5
1
0
-3
-2
-2
2
-3
-2
2
4
1
-1
-2
2
1
-2
3
2
-1
-1
-1
-1
2
-2
1
-1
2
4
2
-2
-1
2
-4
-1
3
-4
-9
-1
9
-2
3
-2
-1
1
-3
1
-2
6
-5
11
2
-2
1
17
14
-10
5
3
-5
-7
2
-2
2
-1
-4
-4
5
-6
-1
-2
3
1
2
2
5
1
-2
3
2
5
4
2
2
-3
1
5
4
-4
2
0
1
5
7
3
5
1
-3
-1
4
0
-2
2
-2
-2
-3
-1
1
-2
-1
2
-1
1
1
-6
-1
2
1
-1
-2
3
1
45
1;1;0
1;0;2
0;0;1
2;1;-1
1;2;2
2;3;5
1;-1;-1
2;3;-1
1;-5;3
-7;5;9
-3;2;5
3;-4;-6
2;5;7
0;0;5
3;-2;0
7;0;3;
-3;60
4;0;0
3;0;4
0;5;1
0;0;0
1;2;2
2;3;-1
3;-5;7
2;4;-6
ЗАДАЧА 3. Для матрицы третьего порядка вычислить ее определитель;
найти ее обратную матрицу; найти собственные значения и собственные
вектора:
 2 1 0 


1)  0 2  1;
1 1 1 


1 - 2 0


2)  0 1 0 ;
0 0 1


 1 0 0


3)  0 1 0 ;
 2 0 1


 2 2 - 1


5)  2 - 1 2 ;
-1 2 2 


1 2 0 


6)  2 5 - 2 ;
0 - 2 5 


1 2 0 
 1 2 - 3




7)  2 5 - 2 ; 8)  3 2 - 4 ;
0 - 2 4 
2 -1 0 




1 2 2 


4)  2 1 - 2 ;
2 - 2 1 


5 3 1


9)  1 - 3 - 2 ;
- 5 2 1 


 1 1 - 1


10)  2 1 0 ;
1 -1 1 


1 2 1


11)  2 1 2 ;
 1 2 2


 2 1 0


12)  1 2 0 ;
0 0 1


1 1 1 


13) 1 2 3 ;
1 4 9 


1 2 3


14)  2 3 1 ;
 3 1 2


1 1 0


15)  2 1 2 ;
0 1 1


1 3 0


16)  2 7 0 ;
0 0 7


1 1 0


17)  0 1 0 ;
 0 3 3


2 5 7 
3 - 4 5 
 2 7 3






18)  6 3 4 ; 19)  2 - 3 1 ; 20)  3 9 4 ;
 5 - 2 - 3
 3 - 5 - 1
1 5 3






1 2 2 


21)  2 1 - 2 ;
2 - 2 1 


2 5 9


22)  6 7 2 ;
 3 1 0


-1 3 3 


23)  0 1 0 ;
 0 3 - 1


1 1 - 2


25)  4 2 - 4 .
9 3 - 8


5 3 1


9)  1 - 3 - 2 ;
-5 2 1 


46
 1 1 1


24)  4 2 1;
 9 3 1


ЗАДАЧА 4. Найти определитель четвертого порядка:
1 1 1 1
1)
1 0 1 1
;
1 1 0 1
2)
1
2
3
4
-1
0
3
4
-1 - 2
0
4
1 2 3 4
;
3)
1 4 7 8
2 4 7 9
;
1 1 1 0
-1 - 2 - 3 0
1 2 3 7
0 1 2 3
1
1
0
0
1
1
1
-1
1
1
0
1
1
-1 -1
0
-1
1
1
0
0
-1 1
1
1
2
2
1
1
4
2
2
4
1
7
4)
1 0 1 2
2 1 0 1
;
5)
3 2 1 0
7)
1 2 3 4
4 1 2 3
3 4 1 2
;
8)
4
99
83
1
0
8
16
0
60 17 134 20
15 43 106
13)
1
1
1 1
3 1
1 1
3
0
9)
4
;
11)
5
2
3
3
;
1
2
3
-1 4 3
 8  13
3 4 3 2
3 2 5 4
2 4 2 3
;
3 1
;
3 2 3 6
2 3 6 3
3 6 3 2
17)
2
4
5
4
-3
2
-4
5
-2 -3 -7
-3
4
2
-1
1 -1 -1
1
2 2 3 2
;
;
12)
;
1
2
3
-3
2
- 5 13
1
- 2 10
-2
9
- 8 25
4
3
-2 0
2 -2
5
1
-2
1
3
-1
2
3
-6 -3
15)
6 3 2 3
3
1
2 2 2 3
4 -2 3 2
14)
1 -1
3 2 2 2
2 3 2 2
2 -3 4 1
4 3 3 5
16)
6)
6  12  3 15
2 3 4 1
10)
;
;
1
;
18)
9
4
;
;
14 13
3
- 13
-7 -4
2
10
21 23
0
- 23
12 - 2
-6
7
47
4
3 2 2 2
; 9)
2 3 2 2
2 2 3 2
2 2 2 3
;
19)
6 3
8
4
5 6
4
2
0 3
4
2
4 1 4
;
4 2 4 4
6
4 4 3 4
;
4 4 4 4
4 6 -5
1
6 5
4
-3 2 4
6
4
5 2
3
1
1
1
-4
1
1
-4
1
1
-4
1
1
-4
1
1
1
20)
1 4 4 4
22)
2
23)
;
21)
1
2
3
4
-1
0
3
4
-1 - 2
0
4
;
-1 - 2 - 3 0
0 1 1 1
;
24)
1 0 5 5
1 5 0 5
;
1 5 5 0
1 3 3 3
25)
2 1 3 3
2 2 1 3
.
2 2 2 1
ЗАДАЧА 5. Для прямых Ах + Ву + С = 0
и
А1х + В1у + С1 = 0
найти их взаимное расположение. В случае их пересечения найти угол между
ними, в случае их параллельности - расстояние. Исходные данные взять из
табл. 1.
ЗАДАЧА 6. Даны вершины треугольника с координатами (А, А1), (В,
В1) и (С, С1). Найти уравнения высоты и медианы этого треугольника (на
ваш выбор). Исходные данные взять из табл. 1.
ЗАДАЧА 7. Вычислить расстояние от точки М1 до плоскости
А1х + В1у + С1z + D1 = 0.
Исходные данные взять из табл. 1.
ЗАДАЧА 8. Найти угол между плоскостями А1х + В1у + С1z + D1 = 0 и
А2х + В2у + С2z + D2 = 0. Исходные данные взять из табл. 1.
ЗАДАЧА 9. Написать уравнение прямой, проходящей через точки (x0, y0,
z0) и P. Исходные данные взять из табл. 2.
ЗАДАЧА 10. По координатам вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 найти: 1)
длины ребер A1 A2 и A1 A3 ;
2) угол между ребрами A1 A2 и A1 A3 ; 3) площадь
грани A1 A2 A3 ;
4) объем пирамиды; 5) уравнение прямых A1 A2 и A1 A3 ;
6) уравнения плоскостей A1 A2 A3 и A1 A2 A4 ; 7) угол между плоскостями A1 A2 A3
и A1 A2 A4 ;
48
1. A1  2;1;1, A2  3;1;3, A3  4;2;1, A4  2;3;1.
2. A1  1;2;1, A2  2;2;5, A3  3;3;1, A4  1;4;3.
3. A1 1;1;2 , A2 0;1;6 , A3  1;2;2 , A4 1;3;4 .
4. A1  1;2;1, A2  2;2;5, A3  3;1;1, A4  1;0;3.
5. A1 2;1;1, A2 1;1;5, A3 0;0;1, A4 2;1;3.
6. A1  1;1;2, A2  2;1;2, A3  3;2;2, A4  1;3;0.
7. A1 1;2;1, A2 0;2;5, A3  1;3;1, A4 1;4;3.
8. A1  1;2;1, A2  3;1;5, A3  4;0;1, A4  2;1;3.
9. A1 1;1;2 , A2 0;1;6 , A3  1;0;2 , A4 1;1;4 .
10. A1 1;2;1, A2 0;2;5, A3  1;1;1, A4 1;0;3.
11. A1 0;3;2, A2  1;3;6, A3  2;4;2, A4 0;5;4.
12. A1  1;2;0, A2  2;2;4, A3  3;3;0, A4  1;4;2.
13. A1 2;2;3, A2 1;2;7 , A3 0;3;3, A4 0;1;4 .
14. A1 ( 0;1;2 ), A2 ( 1;1;6 ), A3 ( 2;0;2 ), A4 ( 0;1;4 ).
15. A1 3;0;2 , A2 2;0;6 , A3 1;1;2 , A4 3;2;4 .
16. A1 0;2;1, A2  1;2;3, A3  3;3;7 , A4 0;4;1.
17. A1 2;3;2 , A2 1;3;5, A3 0;4;2 , A4 2;5;4 .
18. A1  1;0;2 , A2  2;0;6 , A3  3;1;2 , A4  1;2;4 .
19. A1 2;0;3, A2 1;0;7 , A3 0;1;3, A4 2;2;5.
20. A1 2;1;2, A2 1;1;6, A3 0;0;2, A4 2;1;4.
21. A1 4;2;5, A2 0;7;1, A3 0;2;7 , A4 1;51;0.
22. A1 4;4;10 , A2 7;10;2 , A3 2;8;4 , A4 9;6;9 .
23. A1 4;6;5, A2 6;9;4 , A3 2;10;10 , A4 7;5;9 .
24. A1 3;5;4 , A2 8;7;4 , A3 5;10;4 , A4 4;7;8.
25. A1 10;6;6 , A2  2;8;2 , A3 6;8;9 , A4 7;10;3.
Таблица 2
№
варианта-
1
2
3
4
5
6
7
8
(x0,y0,z0) (l,m,n)
1;-1;7
-5;2;-3;
-3;-2;8
-7;5;9
1;-2;5
7;2;1
5;6;-3
2;3;-3
2;-3;3
3;-2;-1
3;2;-2
3;-1;4
2;-3;4
3;2;-2
13;1;-4
2;-3;2
P
1;2;-3
1;-2;5
-1;1;0
2;0;-2
0;2;3
0;2;3
3;-4;-2
0;0;0
№
варианта
14
15
16
17
18
19
20
21
49
(x0,y0,z0) (l,m,n)
1;-1;0
-2;1;3
2;-1;5
5;-3;5
-2;0;1
3;-2;0
0;1;0
3;2;-6
1;-2;6
-2;3;2
3;-4;4
-2;2;-1
2;-3;4
1;-1;2
1;-2;3
2;3;-4
P
1;0;-1
4;3;0
2;1;0
3;0;-1
3;1;7
1;2;-7
3;3;5
5;-1;-4
9
10
11
12
13
-4;4;-1
-5;5;5
2;-4;1
5;-3;-1
9;0;2
2;-1;-2
4;-3;-5
3;-2;2
2;-4;3
6;-2;-1
ЗАДАЧА 11.
3;3;1
1;0;2
3;-2;-4
4;2;-1
-5;-5;1
22
23
24
25
5;-1;-4
1;-2;1
3;5;-2
1;-1;3
1;-4;1
2;3;-6
-4;3;-12
3;2-5
Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами
дифференциального исчисления.
1.
1) lim
x 
3) lim
3x 2  5 x
 5x 2  x  1
ln(1  sin 2 x)
x 0
2.
1) lim
e
x2
ln( x  4)
;
x 2 ctg( x  2)
2) lim
;
;
1
x 1
x 2  5x
2)
;
arcsin( 4  x)
;
x 4 ln( x  3)
3) lim
3.
 4x 2  x
1) lim
x  3x 2
 7x  1
x 0
1) lim
x 
3) lim
 5 x 2  3x
x 
5.
1) lim
x 
3) lim
2 x 2  3x  2
x  / 3
tg 2 (  3 x)
(3 x  ) 2
;
;
2
x4 ;

x 4
ln(1  x 2 )
2) lim
;
x 10 sin( 3 x  1)
;
x2
 x2  x
2
1  cos
x
4) lim (5  x)
ln(1  sin 2 3x)
x 0
1
2 2 x2
3x )
3x
2) lim
;
2x 2  2x  5
2x  1
;
x 0,50 ln( 0,5  x)
lim
4) lim (1 
  x 
tg  
4 4
3) lim  x 1
;
x 1 e
1
4.
5
2 x) x  7 ;
4) lim (3 
 2x 2  7x  2
x 
3;2;-6
0;5;6
2;2;3
-1;2;-3
;
4) lim (7 
x 3
2) lim
;
x 3
4
2 x) x 3 ;
e x 3
x 2  5x  6
4) lim (2 x  3)
;
x 2
50

;
3
4 2 x ;
6.
 3x 2  5 x  2
1) lim
x 2  4x
x 
2 x 1
2) lim
;
x 0 
1 
ln 1  2 
x 

;
x
2 ;
3) lim
x 1 x  1
ctg
7.
4) lim (1  5 x 2 )
2
x  4x  3
;
4) lim (9 
x 4
2
x 
 2 x 2  3x
;
1  tgx
;
x  π/4


sin   x 
4

3) lim
 7x 2  4x
9.
1) lim
x  3 x 2
x2
4) lim (3  2 x)
2) lim
;
1) lim
x 
3) lim
1  cos 6 x
x 0
11.
 4x 2  2x
2
e x  1
;
2x 2  x  1
2
x2 ;
;
3
x2 ;
x2
2) lim
;
x 0 tg( x  1)
4) lim (4  x)
x 3
cos(x  3)  2 x
;
x 3
x3
x 0,5

x 1
;
6 x 2  5x  1
2x
4) lim (2  x)
1) lim
3) lim
ctg x  3
x 3
2x  4
;
x 2 arcsin  x  2 
6 x 2  3x  1

x 2
3) lim
10.
6
2 x) x  4 ;


tg  2 x 
2
;
2) lim 
x0
sin 5 x
8.
5x  6 x  1
;
1
x ;
2) lim
2
x  3 x  4
e5x  1
3) lim
;
x 0 ln(1  3 x )
1) lim
x2
sin
 3x  5 x
x 
3
x 0
2
1) lim

2) lim
x 
;
51
1
6 2 x ;
x2  4
2
3x  3x  2
4) lim (5 
x 4

2
x

x) 4 ;
;
12.
x2
1) lim
x 1 tg x 2
3) lim
x 2
13.
;
2) lim
x 0
x 2  3x  2
2x 2  x  6
;
4)
ln x
;
x 0  x  1
1) lim
2 x 2  5x  2
x 2
15.
x2  x  2
2) lim
x 
;
4)
3x 2  4 x  1
x 
 5x  2
;
2
x2 ;
4 x 3  3x 2  2
3
x  x6
8 x 3  11
7 x 3  5x 2  x
4) lim (10  3x)
x 3
52

;
;
1
1

cos
2x ;
lim (1  sin 3x)
x 0
2) lim
x  2
x 1 3 3x 2
4 x 2  3x  2
x 2
1) lim sin x( tg x  x);
3) lim
2x 2  x  4
4) lim (3  2 x)
3x 2  5
;
1) lim
x  
1
ln 1  
x

;
4
x
lim (7  2 x) 3 ;
x 3
x 
1  tgx
;
x  / 4


sin   x 
4

3) lim
2x 2  2x  7
2) lim
3) lim
14.
5 x 2  3x  1
1
33 x 
;
;
16.
2 x
1) lim
x 0
x
3) lim
3x 2  2 x  1
;
3x  5 x  10
4) lim (5 
x 2
x  3x 2
2x 2  x  1
6x 2  x  1
;
4)
1  cos 3x
;
x 
ctg x
x2
4) lim (3  2 x )
x 1
e x2  1
;
x 2 ln( x  2)
2) lim
3x 2  7 x  2
x 1 / 3 3x 2
 11x  4
;
4) lim (9  2 x)
1) lim 4  x 
(1 x ) 2
x 1
3) lim
x 0,5
2) lim
;
6 x 2  5x  1
2 x 2  3x  1
;
3
3x  8 x  4
4) lim (4
x 1
2) lim
1  cos 4 x
1  cos 2x
4) lim
x 0
x2
53
;
4x 3  9x 2  2x
x 
2  3x 2  x 3
1) lim
2
3
x  2x  3x  3x
3) lim
x 0
1
2( x  4)
x 4
1
20.
;
14 x 3  9 x  17
;
x  21x  10 x  2
1) lim
3) lim
;
 6 x  15
1
2 21 x 
;
;
2 x 2  5x  8
x  3x 2
x2  x  2
 5x  2
4
3 x2
lim (9  x )
;
x 2
2) lim
2x 2  7 x  6
;
1
2 x) x  2 ;
x 2  3x  8
2) lim
1) lim
3) lim
21.
3
3
x 0 , 5
19.
4x 3  2x 2  x
x 
 e x  1
1) lim
;
x  arctgx
3) lim
18.
;
3x 2  7 x  2
x1 3
17.
2
2) lim
3
 3x) x 1 ;
x2  x  2
x2  x  6
2x  2  2
x 1  2
;
22.
3x 4  4 x 2  2
1) lim
4
3
x  6x  2x  1
3) lim
x 0
23.
3x 2  x  2
2) xlim
2
1 3x  4 x  1
x sin 3x
cos x  cos3 x
6x 5  4 x 2  8
1) lim
5
3
x  2x  3x  1
2x 2  5x  7
2) xlim
2
1 3x  x  2
1  cos 2 x
x 0 xtg3x
3) lim
24.
1) lim
2) lim
 3x  1
3
x 
x 2  2 x  15
x  5
1  cos 3x
x 0 x sin 2 x
1) lim
x 2
x 4
3) lim
25.
6x  1  5
4) lim
x 4  5x  2
x  2 x 4
1  3x  2x  6
x 2  5x
4) lim
x 5
4) lim
x 3
8 x 5  3x 2  9
2) lim
2x  2x  5
x 1
5
sin 2 3x
x 0 xtg 2 x
3) lim
4) lim
x9
2 x 2  7 x  15
x 1  2
2x  3  3
3x 2  5 x  2
x2  4x  3
x 3
2x  2  4
ЗАДАЧА 12. Исследовать функцию y  f (x) на непрерывность: найти точки
разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график
функции.
1. y 
x5 5
 .
x5 x
2. y 
3. y 
x4 4
 .
x4 x
4. y 
x4 4
 .
x4 x
5. y 
x3 3
 .
x3 x
6. y 
x3 3
 .
x3 x
54
x5
5
 .
x5 x
7. y 
9. y 
x2 2
 .
x2 x
x 1
1
 .
x 1 x
8. y 
x2 2
 .
x2 x
10. y 
x 1
1
 .
x 1 x
x2
,
x  2,

x

2


11. y   4  x 2 ,  2  x  2,
 1

,
x  2.
x

2


x3
,
x  3,

x

3


12. y   9  x 2 ,  3  x  3,
 1

,
x  3.
x

3


x
x  0,
 ,
x


13. y   1  x 2 , 0  x  1,
 1

,
x  1.
x 1

 2x
,
x  0,

x


14. y   4  x 2 , 0  x  2,
 1

,
x  2.
x  2

3 x
,
x  0,

x


15. y   9  x 2 , 0  x  3,
 1

,
x  3.
x  3

1

x  2,
 x  2 ,


16. y   4  x 2 ,  2  x  2,
x2

,
x  2.
 x  2
1

x  3,
 x  3 ,


17. y   9  x 2 ,  3  x  3,
 x3

,
x  3.
 x  3
1

x  1,
 x  1 ,


18. y   1  x 2 ,  1  x  0,
x
 ,
x  0.
 x
1

x  2,
 x  2 ,


19. y   4  x 2 ,  2  x  2,
2 x

,
x  2.
 x
1

x  3,
 x  3 ,


20. y   9  x 2 ,  3  x  0,
3 x

,
x  0.
 x
55
  x,

21. y  2,
 x,

0  x  2,
x2
x


, x  0;

2


24. y   cos x,
0 x ;
2



 x , x .

2
2
x  0;
 2 x,

23. y   x 2  1,
 2,



25. y  


  x, x  0;

22. y  sin x,
0  x  ;
 x  2, x  .

x  0,
0  x  1;
x  1.
 2 x, x  0;
x,
3,
0  x  4;
x  4.
ЗАДАЧА 13. Найти производные функции:
1.
2.
3.


5
а) y  3x  5 / x  1 ,
б)
в) y  2arctgx  arcsin 2 x ,
г)

2
2

3
а) y  4 x  5 x  7 ,
б)
в) y  esin x  arctg 4 x ,
г)
6
5
2

а) y  x 6  3 / x 4  8
,
8
б)
в) y  4arctgx  cos 6 x ,
4.
5.

а) y  3x 2  24 x  5 ,

б)
в) y  earcsin x  cos 4 x ,
г)

6

1  7x2
б) y 
,
cos 4 x
г) y  ln sin 7 x .
4
а) y  2 x  5 / x  7 ,
4
3
в) y  56 x  arcsin 5x ,
6.
г)

4 x5  2
,
y
sin 5 x
y  ln cos 6 x .
cos x  4 x 2
y
,
8  7 x5
y  sin ln 7 x .
2  5x
,
y
sin 3x
y  ln arcsin 2 x .
2 x 2  ctgx
y
,
2
6x  5
y  cos2 (sin x) .

4
2 x  tgx
а) y  5x 2  35 x 2  2 ,
б) y 
в) y  e
г) y  sin(tg 2 x) .
sin x
 arccos3x ,
56
4  2x
2
,
7.
8.


2
а) y  x  3 / x  4 ,
б)
в) y  4tgx  arctg3x ,
г)
3
8


5
а) y  3x 6  24 x  8 ,
б)
2
в) y  e x  arcsin 2 x ,
9.

г)

4
а) y  2 x  3 x  1 ,
б)
в) y  5arctgx  sin 4 x ,
г)
4
3


3
10. а) y  3x 5  1 / x 4  7 ,
б)
в) y  earcsin x  ctg 3x ,

г)

4
3
г) y  2tgx  x sin 2 x .
в) y  arccos2 x  1  4 x 2 ,


3
12. а) y  5x  4 x  3 ,
4
2
5
в) y  arctg x 2  1 ,

б)
г)

3
13. а) y  1 / 4 x8  88 x3  1 ,
б)
в) y  arccos x  1 ,
г)


3
в) y  arctg x  1 ,


 5x  3 
б) y  ln 5  5
 ,
x

1


2
5
15. а) y  3x  5 x  3 ,
8
5
2
1  x6
y  ln
,
1  x6
y  e3 x  2 xtg3x .
4x 1
y  ln 4 4
,
x 1
cos x
y  3  x sin 2 x .
6
3
x
3
б) y  ln 3 3
,
x 2
2
г) y  xctg 3x  2 x .
4
14. а) y  1 / 5 x  3x x  4 ,
5
2  x2
,
y
cos 2 x
y  ln arcsin3x .
x 4  tgx
y
,
4
x 7
y  cos2 (sin 4 x) .
 1  5x 
б) y  ln 5 
 ,
 1  5x 
5
11. а) y  3x  5 / x  2 ,
4
2  3x 5
,
y
sin 2 x
y  ln cos 4 x .
ctgx  cos x
,
y
2
5x  1
y  cos(tg 2 x) .
2
,
x3
2
2
 4

16. а) y   5 x 
 3 ,
x
x


в) y  arctg
г) y  5
x
б) y  ln 4
57
 x 2tg 2 x .
1  8x
,
x8  1
в) y  arccos 1  x ,

г) y  3

в) y  arctg x  1 ,

г) y  2 x

2
20. а)
в)
3
 x6  3 
 ,
б) y  ln 
 6x  2 
4


y   3x 4  4  6  ,
x


1
y  arctg
,
x 1
5
 3

9
y   8 x  2
 6  ,
x x


y  arcsin 1  x ,
г) y  xtg3x  2 x  2 .
 7x  4 
б) y  ln 7  7
 ,
x

2


3
г) y  3sin x  3 x tg 3x .
1 4x 
б) y  ln 3 
 ,
1 4x 
3
21. а) y  1/ 7 x  4 x  x  4 ,
5
4
3
г) y  x tg 5x  3x2 .
ctgx  cos x
б) y 
,
2
3x  1
д) y  tg (cos x)  4 x3 .
3  6x
б) y 
,
cos 4 x
г) y  ln sin 7 x  3x5 .
в) y  arcsin7 x  1  4 x 2 ,


2
22. а) y  1 / 3 x8  8 8 x3  1 ,
в) y  cos4 (sin 3x) ,


5
23. а) y  2 x 2  4 4 x  3 ,
в) y  cos (cos 4 x) ,
3


4
24. а) y  6 x  2 x  x  6 ,
5
3
в) y  tg (sin 4 x) ,

2
 x sin 4 x .
г) y  etgx  x cos 2 x .
5
в)
1
4
в) y  arcsin3x  1  9 x 2 ,
19. а)
2
 3x  4 
б) y  ln 3 
 ,
 3x  1 
4
18. а) y  7 x  3x x  6 ,
3
1  sin 3x
.
1  sin 3x
7
17. а) y  4 x  3 / x3 x  2 ,
5

 x6  1 
6
 ,
б) y  ln 
6
x

5


5
3
x
б)
г)

2
25. а) y  3x 5  4 x  3 x 2  9 ,
б)
в) y  cos(ctg 4 x) ,
г)
58
1  5x3
,
y
sin 6 x
y  arctg ln 7 x  7 2 x3 .
ctgx  sin x
,
y
2
3x  1
y  arctg ln 3x  33 x5 .
ЗАДАЧА 14
Исследовать методами дифференциального исчисления функции
y  f x  и, используя результаты исследования, построить графики
этих функций по следующей схеме:
 найти область определения функции;
 исследовать на четность, нечетность, периодичность;
 найти точки пересечения графика функции с осями координат;
 исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва
функции и ее односторонние пределы в точках разрыва;
 найти точки экстремума и интервалы ее монотонности;
 найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости
графика функции;
 найти асимптоты графика, используя результаты предыдущих
исследований.


1 3
4x
x  14 x 2  49 x  36 ;
б) y 
.
3
4  x2
x2 1
1 3
2
x  25x  143x  119 ; б) y  2
2. а) f  x  
.
20
x 1
x2 1
3
2
3. а) f x   x  8,5x  20x  12,5 ;
б) y  2
.
x 1
1 3
x2
2
4. а) f  x   x  16 x  69 x  54 ;
б) y 
.
3
x 1
1 3
x3
2
x  29 x  215x  187 ; б) y 
5. а) f  x  
.
20
x 1
4x3  5
3
2
6. а) f x   x  9,5x  26x  17,5 ;
б) y 
.
x
1 3
x2  5
2
7. а) f  x   x  8 x  5 x  14 ;
б) y 
.
3
x 3
x4
1 3
2
x  19 x  55x  75 ;
8. а) f  x  
б) y  3 .
20
x 1
4x3
3
2
9. а) f x   x  2,5x  2 x  1,5 ;
б) y  3 .
x 1
1. а) f  x  










59


1
10. а) f  x   x 3  10 x 2  17 x  28 ;
3
б)
11. а) y  2 x 3  3x 2  36x  21 ;
б)
12. а) y  2 x 3  15x 2  36x  32 ;
б)
13. а) y  2 x 3  15x 2  24x  4 ;
б)
14. а) y  2 x 3  9 x 2  24x  61;
б)
15. а) y  2 x 3  9 x 2  24x  56 ;
б)
16. а) y  2 x 3  15x 2  24x  2 ;
б)
17. а) y  x 3  9 x 2  24x  18 ;
б)
18. а) y  x 3  3x 2  24x  26 ;
б)
19. а) y  x 3  3x 2  24x  21;
б)
20. а) y  x 3  9 x 2  24x  17 ;
б)


1 3
x  10 x 2  17 x  28 ;
б)
3
1 3
x  29 x 2  215x  187 ; б)
22. а) f  x  
20
1 3
x  25x 2  143x  119 ; б)
23. а) f  x  
20
21. а) f  x  




24. а) y  2 x 3  9 x 2  24x  61;
б)
25. а) y  2 x 3  15x 2  24x  2 ;
б)
60
2  4x2
y
1 4x2
x2  9
.
y
x
x2  8
.
y
x 1
x 2  21
.
y
x2
x 2  16
.
y
x3
x 2  12
.
y
x4
x 2  25
.
y
x
x 2  24
;
y
x 1
x 2  32
.
y
x2
x 2  27
.
y
x3
x2  7
.
y
x4
x4
y 3 .
x 1
x2  5
.
y
x 3
x 2  32
y
.
x2
x2 1
y 2
.
x 1
4x3
y 3 .
x 1