Арифметика эллиптических кривых Курс лекций (1/2 года )

Курс лекций (1/2 года )
Арифметика эллиптических кривых
Лектор: к.ф.-м.н. Д.В. Осипов.
Лекции будут проходить на мех-мате МГУ по четвергам в ауд. 14-15 с 16:45 по
18:20. Первая лекция 8.09.2011, затем, начиная с 22.09.2011, еженедельно.
Лекции рассчитаны на студентов 3-5 курсов и аспирантов.
Программа курса
1) Кривые рода 0 над незамкнутыми полями. Принцип Хассе и его выполнимость
для таких кривых, определенных над полем Q.
2) Кубические кривые, кривые рода 1, Вейерштрассова нормальная форма.
3) Когомологии групп: нулевые и первые когомологии. Когомологии Галуа. Формы
алгебраических кривых. Главные однородные пространства.
4) Якобиан кривой рода 1 над незамкнутым полем. Невыполнимость принципа
Хассе для кривых рода 1 над полем Q. Группа Шафаревича-Тейта.
5) Группа Зельмера и ее конечность.
6) Высота точки эллиптической кривой над полем Q. Каноническая высота Тейта.
Теорема Морделла-Вейля.
7) N-накрытия, классификация 2-накрытий. Алгоритм Берча и Суиннертона-Дайера
нахождения порядка группы Зельмера.
8) Кольцо эндоморфизмов эллиптической кривой. Эллиптические кривые над
конечными полями. Теорема Хассе об оценке числа точек эллиптической кривой
над конечным полем.
9) Эллиптические кривые над p-адическими полями. Редукция эллиптической
кривой. Вырожденные эллиптические кривые и их связь с аддитивной и
мультипликативной группой поля.
10) Точки кручения на эллиптической кривой над полем Q. Теорема Нагеля-Лютц.
11) Дзета-функция эллиптической кривой над конечным полем. L-функция
эллиптической кривой над полем Q. Гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера.
12) Модулярность эллиптических кривых над полем Q: кривые Вейля и гипотеза
(теперь теорема!) Таниямы-Вейля. Явные формулы для продолжения L-функции и
ее производных в точку 1 комплексной плоскости.
13) Условный алгоритм Манина отыскания базиса группы рациональных точек и
порядка группы Шафаревича-Тейта для эллиптической кривой над Q.
Полезная литература по курсу лекций:
книги: 1) J.S. Milne “Elliptic Curves”, 2006.
2) J.W.S. Cassels “Lectures on Elliptic Curves”, 1991.
3) J.H. Silverman “The Arithmetic of Elliptic Curves”, 1986.
4) И.Р. Шафаревич “Основы алгебраической геометрии”, том 1.
5) З.И. Боревич, И.Р. Шафаревич “Теория чисел”;
статьи: 1) Birch, B. J.; Swinnerton-Dyer, H. P. F. Notes on elliptic curves. I., J.
Reine Angew. Math. 212, 1963, 7–25.
2) Ю. И. Манин, Круговые поля и модулярные кривые, УМН,
26:6(162) (1971), 7–71.