МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ШАКАРИМА г. Семей
Документ СМК 3 уровня
УМКД
УМКД
Редакция № 1 от УМКД 042-02.01.20.06/02-2013
1.09.2013 г.
Учебно-методические
материалы
дисциплины
«математический
для студентов
анализ
1»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
«Математический анализ 1»
для специальности 5В010900 «Математика»
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ
Семей
2013
Глоссарий
№
Новые понятия
21 Методы
интегрирования
Содержание
 udv  uv   vdu - интегрирование по частям.
Ax  B
A
Ax  B
A
22 Простейшие
;
; 2
; 2
D0
n
x  a x  a 
x  px  q x  px  q n
рациональные
дроби
23 Интегрирование
 RSinx, Cosx dx .
тригонометрических
x
2t
1- t2
2dt
tg  t , Sinx 
, Cosx 
, dx 
функций
2
2
2
1 t
2
1 t
1 t
Универсальная подстановка
 Sin
а)
x  Cos n xdx
m
и
n
cos 2 x 
б)
–
m
четные.
sin 2 x 
1  cos 2 x
2
1  cos 2 x
2
и
или
m – нечетные. sin 2 x  cos 2 x  1,
cos xdx  d (sin x) или sin xdx  d (cos x)
n
в) n + m – четное, отрицательное. 1  tg 2 x 
1
и
cos 2 x
1
1
1
dx  d (tgx) ,
dx  d (ctgx)
,
2
2
sin x cos x
sin 2 x
.1)  R x, n ax  b , m ax  b dx ,замена
1  ctg 2 x 
24 Интегрирование
иррациональных
функций


Nx N 1
(ax  b)  t , N  ÍÎÊ (m, n), dx 
dx
a
N
2. а)
 R( x,
б)
 R( x,
m 2  x 2 )dx; замена x  mtgt, dx 
в)
 R( x,
x  m )dx; замена
3.  
2
4.
x x2  a2
Геометрические
приложения
;
x
a2  x2
m
m cos t
, dx  
dx
sin t
sin 2 x
замена x 
a
a
, dx   2
t
t dt
n
1
1
; азамена x  a  , dx   2
t
t dt
ax 2  bx  c
ax  bx  c dx
2
dx
m
dt
cos 2 t
dx
Mx  N

x
2
dx
  (x   )
1
m 2  x 2 )dx; замена x  m sin t , dx  m cos tdt
, замена à õ 
b
d
a
c
b
2 a
 t , dx 
dt
a
S   ( f 2 ( x)  f1 ( x))dx , S   (2 ( y)  1 ( y)) dy - площадь
определенного
интеграла
фигуры
b
b
V    y dx    f 2 ( x)dx - объем тела вращения вокруг
2
a
a
оси ОХ
b

V  2 xf ( x) dx объем тела вращения вокруг оси ОУ
a



2


l    xt (t )    yt (t )  dt , l   1  f  ( x) dx - длина

 


a
2
2
b
дуги
2
Функция двух
переменных
z = f(x, y).
z
f ( x, y )
 z   f y/ ( x, y );
 z y/  f x ( x, y ). - частные
x
x
производные 1 порядка
1)
f ( x, y )
f ( x, y )
dx 
dy - полный дифференциал
x
y
f ( x, y )
f ( x, y )
3) f ( x  x, y  y )  f ( x, y) 
x 
y
x
y
2) dz 
приближенные вычисления
2z
2z
4) 2  f xx ( x, y );
 f yy ( x, y );
x
y 2
2 z
2 z
 f xy ( x, y);
 f yx ( x, y); - частные
xy
yx
производные второго порядка
5) Экстремум функции двух переменных
2z
2z
A  2  f xx ( x, y );
C  2  f yy ( x, y );
x
y
2 z
 f xy ( x, y) . Если ( x0 , y 0 )  AC  B 2  0 , то
xy
экстремум есть. Если A  0 , то P( x0 , y 0 ) -минимум,
если A  0 , то P( x0 , y 0 ) - максимум
6) Производная по направлению
u
u u
u
u
 lim

cos   cos   cos 
s S 0 S x
y
z
B
7) gradu 
2.2 ПЛАНЫ
u  u  u 
i
j
k градиент функции u
x
dy
z
ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ НА 2 СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ № 1
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
1.Понятия первообразной функции и неопределенного интеграла.
2.Свойства неопределенного интеграла
3.Правила интегрирования
4.Таблица интегралов
Литература: [3], стр.279-285
ЛЕКЦИЯ № 2.
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1.Интегрирование подведением под знак дифференциала.
2.Интегрирование путем преобразования подынтегрального выражения
Литература: [3], стр.286-288 (четные)
ЛЕКЦИЯ № 3.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ
1.Метод замены переменной
2.Примеры
Литература: [3], стр. 289-292 (четные)
ЛЕКЦИЯ № 4.
ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
1. Интегрирования по частям
2.Примеры
Литература: [3], стр. 293-295 (четные)
ЛЕКЦИЯ № 5.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1.Постановка задачи интегрирования в конечном виде
2.Метод неопределенных коэффициентов
Литература: [3], стр. 296-302 (четные)
ЛЕКЦИЯ № 6.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1.Метод рационализации подынтегрального выражения
2.Интегрирование биномиальных дифференциалов
Литература: [3], стр. 304-307 (четные)
ЛЕКЦИЯ № 7.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИЙ
1.Интегрирование дифференциалов R (sinx, cosx)dx применением универсальной
подстановки
2.Интегрирование тригонометрических функций с помощью подстановок y=tgx , y=sinx,
y=cosx
Литература: [3], стр. 312-313(четные)
ЛЕКЦИЯ № 8.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
1.Интегрирование тригонометрических функций с помощью преобразования
подынтегральной функции
2.Применение формул тригонометрии к интегрированию некоторых тригонометрических
выражений
3.Периодические функции.
Литература: [3], стр. 315-316
ЛЕКЦИЯ № 9.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
1.Интегрирование выражений вида R(ex)
2.Интгерирование выражений, содержащих гиперболические функции
Литература:[6], стр.230-231
[6], стр.312-316
ЛЕКЦИЯ № 10.
ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
1.Площадь криволенейной трапеции
2.Суммы Дарбу и их свойства
Литература: [3], стр.320-325
ЛЕКЦИЯ № 11.
ИНТЕГРАЛ РИМАНА. КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ
1.Интеграл Римана как предел интегральных сумм.
2.Критерий интегрируемости функции
3.Классы функций, интегрируемых по Риману
Литература: [3],стр.326-329
ЛЕКЦИЯ № 12.
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1.Интеграл по ориентированному прометсутку
2.Свойства интеграла, выражаемые равенствами
3.Свойства интеграла, выражаемые неравенствами
Литература: [3], стр.329-334
ЛЕКЦИЯ № 13.
ТЕОРЕМЫ О СРЕДЕНМ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ
ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА
1.Теорема о среднем
2.Обобщенная теорема о среднем
3.Определенный интеграл как функция верхнего предела
Литература: [3], стр.334-337
ЛЕКЦИЯ № 14.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
1.Замена переменной в определенном интеграле
Литература: [3], стр.341-343
ЛЕКЦИЯ № 15.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
1.Интегрирование по частям в определенном интеграле
2.Первый замечательный предел.
3.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Литература: [3], стр. 343
ЛЕКЦИЯ № 16.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ГЕОМЕТРИИ
1.Квадрируемые области. Площадь как предел
2.Нахождение площадей
3.Длина дуги кривой
Литература:[3], стр.354-359, стр.376-378
ЛЕКЦИЯ № 17.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ГЕОМЕТРИИ
1.Площадь поверхности вращения
2.Объем тела
Литература:[3], стр.363-369
ЛЕКЦИЯ № 18.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО В ГЕОМЕТРИИ
1.Нахождение площадей, длины дуги кривой (кривая задана в параметричесикх
координатах)
2.Площадь в полярных координатах
Литература:[3], стр.361, стр.374-375
ЛЕКЦИЯ № 19.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ФИЗИКИ.
1.Схема применения определенного интеграла
2.Статитические моменты и центр тяжести плоской фигуры
3.Односторонняя непрерывность функции.
4.Существование и непрерывность обратной функции.
5.Исследование функции на непрерывность и построение графиков.
Литература:[3], стр.384-388
ЛЕКЦИЯ № 20.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1. Несобственные интегралы I рода
2. Несобственные интегралы II рода
3.Абсолютная сходимость интегралов
Литература:[3], стр.297-299
ЛЕКЦИЯ № 21.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ «ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ»
1.Определение функции нескольких переменных уравнение поверхности Z=F(X,Y)
2.Арифметическое n-мерное пространство
3.Открытые и замкнутые области
Литература:[3], стр.218-227
ЛЕКЦИЯ № 22.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИЙ. ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.Предел функции нескольких переменных
2.Повторные пределы
Литература:[3], стр.228-234
ЛЕКЦИЯ № 23.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ
ФУНКЦИЯХ.
1.Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных
2.Теорема об обращении функции в нуль
3.Теорема об ограниченности функции
Литература:[3], стр.234-236
ЛЕКЦИЯ № 24.
ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.Частные производные
2.Полное приращение функции
3.Производные от сложных функций
Литература:[3], стр. 243-249
ЛЕКЦИЯ № 25.
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
1. Полный дифференциал
2.Инвариантность формы полного дифференциала
Литература:[3], стр.251-254
ЛЕКЦИЯ № 26.
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
1. Производные высших порядков
2.Теоремы о смешанных производных
Литература:[3], стр.259-262
ЛЕКЦИЯ № 27.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
1.Дифференциалы высших порядков
2. Дифференциалы сложных функций
Литература:[3], стр.263-268
ЛЕКЦИЯ № 28.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ .
1. Формула Тейлора функций нескольких переменных .
Литература:[3], стр.266-268
ЛЕКЦИЯ № 29.
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.Экстремумы функции нескольких переменных
2.Исследование стационарных точек
Литература:[3], стр.268-274
ЛЕКЦИЯ № 30.
НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
1.Исследование функции нескольких переменных на наибольшее и наименьшее
значения
2.Текстовые задачи
Литература:[3], стр.274-278
2.3 ПЛАНЫ
ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ.
ЗАНЯТИЕ № 1.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1.Непосредственные интегрирование
2.Интегрирование подведением под знак дифференциала
Литература: [5], стр. 118, №1674-1684(четные)
ЗАНЯТИЕ № 2.
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1.Интегрирование путем преобразования подынтегрального выражения
2.Интегрирование методом разложения
Литература: [5], стр. 118, №1686-1702. (четные)
ЗАНЯТИЕ № 3.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ
1.Интегрирование методом замены переменной
Литература: [6], стр.206 , № 36.3-47.3(четные)
ЗАНЯТИЕ № 4.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
1.Интегрирование по частям
Литература: [6],
стр.214 , №93.3-100.3(четные)
ЗАНЯТИЕ № 5.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО –РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1.Знаменатель имеет только действительные различные корни
2.Знаменатель имеет только действительные корни, некоторые из них -кратные
Литература: [5], стр. 121, №2012- 2025 №247 (четные).
ЗАНЯТИЕ № 6.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО –РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1.Знаменатель имеет комплексные различные корни
2.Знаменатель имеет комплексные кратные корни
Литература: [5], стр. 122, № 2036-2054(четные)
ЗАНЯТИЕ № 7.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1.Интегралы вида
 R ( x,
ax  b
) dx
a1 x  b1
m
2.Подстановки Эйлера
Литература: [6], стр. 225, № 144.3-148.3 (четные)
[5], стр. 123, № 2068-2074(четные)
ЗАНЯТИЕ № 8.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ БИНОМИАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
1Интегрирование биномиальных дифференциалов, m.e. выражений виды xm (a+bxn)pdx
Литература: [5], стр. 123, № 2076 - №2086 (четные)
ЗАНЯТИЕ № 9.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
1.Интегралы вида SR(sin x, cos x)dx.
2.Интегралы вида Ssin m x, cos nx dx.
Литература: [5], стр. 123, №2090-2102(четные)
ЗАНЯТИЕ № 10.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ
НЬЮТОНА -ЛЕЙБНИЦА
1.Применение формулы Ньютона –Лейбница к вычислению определенного интеграла
Литература: [5], стр. 128, № 2231-2240(четные)
ЗАНЯТИЕ № 11.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
1.Замена переменной в определенном интеграле
Литература: [5], стр. 130, №2275-2280 (четные)
ЗАНЯТИЕ № 12.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
1.Интегрирование по частям в определенном интеграле
Литература: [5], стр. 129, № 2259-2265 (четные)
ЗАНЯТИЕ № 13.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ГЕОМЕТРИИ
1.Вычисление площадей
2.Длина дуги кривой
Литература: [5], стр. 143, № 2455, 2458, 2519 (четные).
ЗАНЯТИЕ № 14.
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
1.Частные производные
2.Дифференциалы. Полные дифференциалы
Литература: [5], стр. 188, № 3036-3050(четные), стр.190, №3094-3098, №3101,3102
(четные)
ЗАНЯТИЕ № 15.
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ . НАИБОЛЬШИЕ И
НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.Экстремумы функции двух переменных
2.Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
Литература: [5], стр. 200, № 3259-3261(четные), стр.201, №3279, 3280
Тезисы лекций.
ЛЕКЦИЯ № 1
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
1.Понятия первообразной функции и неопределенного интеграла.
2.Свойства неопределенного интеграла
3.Правила интегрирования
4.Таблица интегралов
1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.
[1, c. 291]
2. Свойства неопределенных интегралов.
Пример 1.
Пример 2.
[2, c. 227]
3. Правила
интегрирования.
[2, c. 230]
4. Таблица основных интегралов.
[2, c. 231]
ЛЕКЦИЯ № 2.
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1.Интегрирование подведением под знак дифференциала.
2. Интегрирование путем преобразования подынтегрального выражения
1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
.
[2, c. 232]
2. Интегрирование путем преобразования подынтегрального
выражения
[2, c. 233]
ЛЕКЦИЯ № 3.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ
1.Метод замены переменной
2.Примеры
1. Метод замены переменной
[1, c. 297]
2.Примеры
[1, c. 298]
ЛЕКЦИЯ № 4.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
1. Интегрирование по частям
2.Примеры
1. Интегрирование по частям
[1, c. 300]
2.Примеры
[1, c. 300]
ЛЕКЦИЯ № 5.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1.Постановка задачи интегрирования в конечном виде
2.Метод неопределенных коэффициентов
1.Постановка задачи интегрирования в конечном виде
[3, c. 36]
2. Метод неопределенных коэффициентов.
[1, c. 321]
ЛЕКЦИЯ № 6.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1.Метод рационализации подынтегрального выражения
2.Интегрирование биномиальных дифференциалов
1. Метод рационализации подынтегрального выражения.
[3, c. 50]
2. Интегрирование биноминальных дифференциалов.
[3, c. 279], [2, c. 256]
ЛЕКЦИЯ № 7.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИЙ
1.Интегрирование тригонометрических функций с помощью подстановок y=tgx , y=sinx,
y=cosx
1. Интегрирование тригонометрических функций с помощью
подстановок y=tgx , y=sinx, y=cosx
[1, c. 322]
ЛЕКЦИЯ № 8.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
1.Интегрирование тригонометрических функций с помощью преобразования
подынтегральной функции
2.Применение формул тригонометрии к интегрированию некоторых тригонометрических
выражений
3.Периодические функции.
1. Интегрирование тригонометрических функций с помощью
преобразования подынтегральной функции.
[2, c. 249]
2.Применение формул тригонометрии к интегрированию некоторых
тригонометрических выражений
[2, c. 250]
ЛЕКЦИЯ № 9.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Интегрирование дифференциалов R(sin x, cos x)dx применением универсальной
подстановки.
2.Интегрирование выражений вида R(ex)
3.Интгерирование выражений вида
 R(
n
e ax  b )dx , (a  0)
4. Интегрирование гиперболических функций.
1. Интегрирование дифференциалов R(sin x, cos x)dx применением
универсальной подстановки.
[2, c. 248]
2. Интегрирование выражений вида R(ex).
Интеграл типа  R (e x )dx рационализируется, а следовательно, до конца
вычисляется с помощью подстановки e x  t .
Пример 1. Вычислить интеграл:
ex 1
 e x  1dx .
Решение. Положим e x  t , отсюда e x dx  dt и, значит,
ex 1
t  1 dt
2t  (t  1)
dt
dt
 e x  1dx   t  1  t   (t  1)  t  dt  2 t  1   t  2 ln | t  1 |  ln | t | C 
 2 ln( e x  1)  x  C .
1  e2x
 1  e 3 x dx .
dt
Решение. Полагаем e x  t ; отсюда dx  . Значит,
t
2
2
x
1  t dt
1 t
(t  t  1)  t 2
dt
tdt
e 1



dt

dx
 e x  1  1  t 3 t  t (t 2  t  1)  t (t 2  t  1) dt   t   t 2  t  1 
1 (2t  1)dt 1
dt
1
1 2
2t  1
 ln | t |   2
 
 ln | t |  ln( t 2  2  1)   arctg
C 
2
2 t  t 1 2  1 
2
2 3
3
3
t   
4
 2
Пример 2. Вычислить интеграл:
1
1
2e x  1
 x  ln( e 2 x  e x  1) 
arctg
C
2
3
3
[5, c. 69]
3.Интгерирование выражений вида  R(n e ax  b )dx , (a  0)
Интеграл вида  R(n e ax  b )dx , (a  0) рационализируется, а значит, и
вычисляется до конца с помощью подстановки t  n e ax  b .
Пример. Вычислить интеграл

1 ex 1
dx .
1 ex 1
Решение. Положим 1  e x  t , отсюда e x  t 3  1 . Логарифмируя, получим
x  ln( t 2  1) и, значит, dx 
2tdt
. Выполняя пдстановку, будем иметь:
t 2 1
t  1 2t
tdt
(t  1)  1
dt
dt
1 ex 1
 1  e x  1dx =  t  1  t 2  1 dt  2 (t  1) 2  2 (t  1) 2 dt  2 t  1  2 (t  1) 2 
2
2
 2 ln | t  1 | 
 C  2 ln( 1  e x  1) 
C
t 1
1 e 1
[5, c. 71]
4. Интегрирование гиперболических функций.
Пример1 :
Пример 2:
Пример 3:
[6, c. 53]
ЛЕКЦИЯ № 10.
ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
1.Площадь криволенейной трапеции
2.Суммы Дарбу и их свойства
1. Площадь криволинейной трапеции.
[3, c. 94]
2. Суммы Дарбу и их свойства.
Таким, образом, всё множество {s} нижних сумм ограничено сверху, например, любой
верхней сумной S. В таком случае это множество имеет точную верхнюю границу
ЛЕКЦИЯ № 12.
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1.Интеграл по ориентированному промежутку
2.Свойства интеграла, выражаемые равенствами
3.Свойства интеграла, выражаемые неравенствами
1. Интеграл по ориентированному промежутку.
[3, c. 108]
2. Свойства интеграла, выражаемые равентсвами.
[3, c. 109]
3. Свойства, выражемые неравенствами.
[3, c. 110]
ЛЕКЦИЯ № 13.
ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ
ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА
1.Теорема о среднем
2.Обобщенная теорема о среднем
3.Определенный интеграл как функция верхнего предела
1. Теорема о среднем.
[3, c. 113]
2. Обобщенная теорема о среднем.
[3, c. 114]
2. Определенный интеграл как функция верхнего предела
[3, c. 115]
ЛЕКЦИЯ № 14.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
1.Замена переменной в определенном интеграле
[4, c. 278]
ЛЕКЦИЯ № 15.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
1.Интегрирование по частям в определенном интеграле
2.Первый замечательный предел.
3.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
1. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
[4, c. 279]
ЛЕКЦИЯ № 16.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ГЕОМЕТРИИ
1.Квадрируемые области. Площадь как предел
2.Нахождение площадей
3.Длина дуги кривой
1.Квадрируемые области. Площадь как предел
ЛЕКЦИЯ № 17.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ГЕОМЕТРИИ
1.Площадь поверхности вращения
2.Объем тела
1. Площадь поверхности вращения.
ЛЕКЦИЯ № 18.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО В ГЕОМЕТРИИ
1.Нахождение площадей, длины дуги кривой (кривая задана в параметрических
координатах)
2.Площадь в полярных координатах
1. Нахождение площадей, длины дуги кривой (кривая задана в
параметрических координатах)
ЛЕКЦИЯ № 19.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ФИЗИКИ.
1.Схема применения определенного интеграла
2.Статитические моменты и центр тяжести плоской фигуры
1.Схема применения определенного интеграла
ЛЕКЦИЯ № 20.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1. Несобственные интегралы I рода
2. Несобственные интегралы II рода
3.Абсолютная сходимость интегралов
1. Несобственные интегралы I рода
ЛЕКЦИЯ № 21.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ «ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ»
1.Определение функции нескольких переменных уравнение поверхности Z=F(X,Y)
2.Арифметическое n-мерное пространство
3.Открытые и замкнутые области
1.Определение функции нескольких переменных. Уравнение
поверхности Z=F(X,Y)
ЛЕКЦИЯ № 22.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИЙ. ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.Предел функции нескольких переменных
2.Повторные пределы
1.Предел функции нескольких переменных
ЛЕКЦИЯ № 23.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ
ФУНКЦИЯХ.
1.Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных
2.Теорема об обращении функции в нуль
3.Теорема об ограниченности функции
1.Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных
ЛЕКЦИЯ № 24.
ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.Частные производные
2.Полное приращение функции
3.Производные от сложных функций
1.Частные производные
ЛЕКЦИЯ № 26.
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
1. Производные высших порядков
2.Теоремы о смешанных производных
1. Производные высших порядков
ЛЕКЦИЯ № 28.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ .
1. Формула Тейлора функций нескольких переменных .
ЛЕКЦИЯ № 29.
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.Экстремумы функции нескольких переменных
2.Исследование стационарных точек
1.Экстремумы функции нескольких переменных
ЛЕКЦИЯ № 30.
НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
1.Исследование функции нескольких переменных на наибольшее и наименьшее
значения
2.Текстовые задачи
1.Исследование функции нескольких переменных на наибольшее и
наименьшее значения