ФТФ ОЗО 2 семестр

Математический анализ. ФТФ, ОЗО, 2 семестр.
Преподаватель: Маничева Светлана Владимировна.
Вопросы для самостоятельной подготовки.
Неопределенный интеграл.
Неопределенный интеграл и его свойства.
Таблица основных интегралов.
Интегрирование функций методом замены переменной.
Интегрирование функций по частям.
Интегрирование рациональных функций.
Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен.
Интегрирование тригонометрических функций.
Интегрирование иррациональных функций.
Определенный интеграл.
9. Определенный интеграл и его свойства.
10. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
11. Интегрирование функций заменой переменной и по частям.
12. Геометрические приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры, длина дуги
кривой, площадь поверхности вращения и объём тела вращения.
13. Физические приложения определенного интеграла.
14. Несобственные интегралы первого и второго рода.
Дифференцирование функций нескольких переменных.
15. Понятие функции двух и нескольких переменных.
16. Поверхности и линии уровня функций двух переменных.
17. Предел и непрерывность функции двух переменных.
18. Частные производные функции двух переменных.
19. Дифференцируемость и дифференциал функции двух переменных.
20. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
21. Производная по направлению.
22. Градиент функции двух переменных.
23. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
24. Формула Тейлора для функции двух переменных.
25. Экстремумы функции двух переменных.
26. Абсолютный экстремум функции двух переменных.
Интегрирование функций нескольких переменных.
27. Криволинейные интегралы первого и второго рода.
28. Двойной интеграл в прямоугольных и полярных координатах.
29. Геометрические приложения двойного интеграла: объём тела, площадь области и площадь
поверхности.
30. Физические приложения двойного интеграла: масса, статистические моменты, координаты центра
масс пластинки и моменты инерции пластинки.
31. Формула Грина.
32. Понятие о тройном интеграле.
33. Поверхностные интегралы первого и второго рода.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Литература:
1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.
2. Письменный Д.Т. Сборник задач по высшей математике.
3. Шипачев В.С. Высшая математика.
4. Баврин И.И. Высшая математика.
5. Учебники по математическому анализу или по высшей математике.
Домашняя контрольная работа по математическому анализу.
ФТФ. ОЗО. 2 семестр.
Преподаватель: Маничева Светлана Владимировна.
 p x

1
1. Вычислите интегралы: 1)
3
1
p 

2)   p1e x  2 dx . [9]
x 
1
2
 p 2 x  p3 dx ; [9]
1
2. Найдите значение интегралов: 1)  cos( p1 x  p3 )dx ; [3]
2 x  p3
dx . [6]
 5x  6
1
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y  x и y  x . [12]
2
Найдите статистические моменты и координаты цента тяжести плоской фигуры, ограниченной
линиями y  p3 sin x ( 0  x   ) и y  0 . [13]
Сила упругости пружины, растянутой на 0,05 м, равна 3 H. Какую работу надо произвести, чтобы
растянуть пружину на эти 0,05 м? [13]
1
0
dx
dx
Найдите несобственные интегралы: 1) 
; 2) 
. [14]
2
x
 1  x
0
3. Найдите значения интегралов: 1)
4.
5.
6.
7.
2)  ( p1 x  p 2 ) sin xdx . [4]

p1 x  p 2
dx ; [5]
x 1
2)
x
2
8. Вычислите дифференциал функции z  p1 x 2 y  p 2 xy3  p3 в точке (-1;1). [19]
9. Найдите касательную плоскость и нормаль к поверхности z  p3 arctg ( xy) в точке (-1;-1). [20]
10. Найдите производную функции z  ln( p1 x 2  p2 y 2 ) в точке A(1;1) по направлению вектора



a  3i  4 j . [21]
11. Найдите направление наибольшего роста функции (градиент) z  e p1x  sin( p 2 y )  p3 в начале
координат (т.е. в точке (0;0)). [22]
12. Исследуйте функцию z  p1 xy  p 2 x 2  p3 y на экстремум. [25]
13. Вычислите двойной интеграл, переходя к полярным координатам:
 

x 2  y 2  p1 dx , где область
G
интегрирования, задается неравенствами G : x  0 , y  0 , 1  x 2  y 2  4 . [28]
14. Вычислите криволинейный интеграл первого рода
y
2
ds , где С – первая арка циклоиды
C
x  p1 (t  sin t ) , y  p1 (1  cos t ) . [27]
15. Вычислите криволинейный интеграл второго рода
px
1
2
ydx  p2 ydy , где АВ – дуга параболы
AB
y  x 2 от точки А(1;1) до точки В(2;4). [27]
16. Применяя формулу Грина, вычислить  ( p1 x  y)dx  ( x  p2 y)dy , где L – окружность x 2  y 2  9 ,
L
пробегаемая против хода часовой стрелки. [31]
Правила подготовки.
1. В отдельных тетрадях составляется конспект с ответами на предложенные вопросы. Своими
конспектами можно будет пользоваться на зачете и экзамене.
2. Контрольные работы выполняются в тонких тетрадях. В контрольных работах фигурируют
параметры p1, p 2, p3 , вместо них вы должны вставлять свои следующие числа: p1 - это число,
равное количеству букв в вашей фамилии, p 2 - это число, равное количеству букв в вашем имени,
p 3 - это число, равное количеству букв в вашем отчестве. На титульном листе прописать четко
фамилию, имя, отчество. В конце каждой задачи в квадратных скобках указан номер
теоретического вопроса, по которому рассматривать задачу.
3. Все работы сдаются в начале летней сессии преподавателю лично в руки.