Например: =0

Основные понятия.
1.Дифференциальным уравнением (ДУ) называется равенство, содержащее
переменную, производные или дифференциалы неизвестной функции.
Общий вид ДУ: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 , 𝑦 ,, … ) = 0, где 𝑥 − независимая переменная; 𝑦 −
неизвестная функция; 𝑦 , − ее производная первого порядка и т. д.
Например: ( 𝑦 , )2 + 3ху=0 ;
5𝑦 ,, +3 𝑦 , − 4 𝑦 = 0.
2. Порядок ДУ – это порядок высшей производной, содержащейся в этом
уравнении.
Например, уравнение 5𝑦 ,, +3 𝑦 , − 4 𝑦 = 0 - это уравнение второго порядка.
3. Решение ДУ – это функция у = 𝒚(х),
определенная на некотором интервале (𝑎; 𝑏), удовлетворяющая этому уравнению, которая
при подстановке в ДУ обращает его в тождество.
Например, для ДУ : х 𝑦 , − 2x 2 = 0 функция у = x 2 будет решением, т. к . при ее подстановке
левая часть уравнения тождественно обращается в нуль: х∙ 2х − 2𝑥 2= 0.
4. Общее решение ДУ – это семейство функций у = 𝝋(х; С) , удовлетворяющее
этому уравнении при произвольном значении постоянной С.
5.Частное решение ДУ – это решение , получающееся из общего решения
при конкретных значениях постоянных С 0 .
Для нахождения частных решений задают дополнительные условия. Эти условия называются
начальными. Начальные условия, или условия Коши, задают значение функции у0 в
фиксированной точке х0.
4.Графиком общего решения ДУ является семейство интегральных
кривых.
5. Графиком частного решения является только одна интегральная
кривая, которая проходит через заданную точку (х 0 ; . у 0 ).
Например, Найти частное решение дифференциального уравнения 𝑦 , = 2х , если у = 5 при
х = 2.
Общим решением ДУ является функция у = х2 +С, где С – произвольная постоянная.
Подставив начальные условия в общее решение, получим: 5 = 22 +С. Тогда С =5 – 4=1.
Найденное значение С = 1, подставим в общее решение, получим: у = х2 +1 – это частное решение
дифференциального уравнения. Оно выделяет одну параболу из семейства интегральных
кривых.
Виды дифференциальных уравнений
1. дифференциальное уравнение первого порядка:
а) с разделяющимися переменными имеет вид:
f 1 (x)f 2 (x)dx +g 1 (y)g 2 (y)dy =0 или у , = f(x) g(y)
б) однородные дифференциальные уравнения имеют вид:
P(x;y)dx +Q(x;y)dy =0,
если функции P(x;y) и Q(x;y)-однородные функции
в)линейные дифференциальные уравнения:
---линейные однородные ДУ имеют вид:
у , + f(x)у =0
---линейные однородные с постоянными коэффициентами имеют вид:
у , +ку +в = 0,
где к и в –некоторые числа и к≠0.
---линейные неоднородные ДУ имеют вид:
у , + f(x)у = g(х).
2. дифференциальное уравнение второго порядка:
а) линейное однородное с постоянными коэффициентами имеет вид:
y ,, + py , + qy =0 , где р и q некоторые числа.
б) линейное неоднородное с постоянными коэффициентами имеет вид:
y ,, + py , + qy =f(x) , где р и q некоторые числа.
в ) линейное неполное однородное с постоянными коэффициентами
y ,,, + qy =0
в
Определить вид следующих дифференциальных уравнений:
1.
(1 – х) dy –(у – 1) dx =0
2.
2у, - 2у + 5 = 0
3.
у, + х2у =х2
4.
y,,+ 2y, - 8y =3sin х
5.
ху + у2 =(2х2 +ху) у,
6.
(х + 2у ) dx + 2х dy
2у
7.
у, +
8.
y,, + 16y = 0
9.
у, =
10.
y,,+ 8y, + 16y =0
х
=х3
у
4х
=0
11.
y,,- 2y, - 3y =2х