1.09 Вопрос 1.9. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы.

1.09
Вопрос 1.9. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы.
Фундаментальная система решений. Метод вариации постоянных для решения
неоднородных уравнений.
Ответ:
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида
,
где x = x(t) — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто
говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени t,
штрих означает дифференцирование по t. Число n называется порядком
дифференциального уравнения. Для решения линейных неоднородных
дифференциальных уравнений используется Метод Лагранжа (дифференциальные
уравнения).
Линейные дифференциальные уравнения
Def: ЛДУ ::= y(n)+p1(x)y(n-1)+p2(x)y(n-2)+…+pn(x)y=f(x) (3), где pi(x) — произвольные
функции.
Def: Линейные дифференциальный оператор ::= L[x]= y(n)+p1(x)y(n-1)+p2(x)y(n2)
+…+pn(x)y.
Def: Однородное ЛДУ — f(x) ≡ 0, (иначе неоднородное).
Свойства ЛДУ: если имеем систему решений, то любая их ЛК — тоже решение (обычная
линейность); y≡0 всегда решение.
Def: Уравнение с постоянными коэффициентами ::= ЛДУ, такое что все pi(x)=const.
Def: Функции 1, … n ЛНЗ на <a, b> ::= ∑cii=0 => все ci=0.
Th: Общее решение неоднородного ЛДУ — сумма общего решения соответствующего
однородного уравнения и любого частного решения.
Методы решения однородного ЛДУ
Def: система векторов ЛНЗ, если нет их тождественно нулевой линейной комбинации
Запись (3) эквивалентна системе уравнений:
 y1'  y2

...
(4)
 '
y

y
n

1
n

 yn'  f  an yn  ...  a1 y1n
Либо, что эквивалентно, y’=A(x)y+f(x), где A(x) — матрица, x, y, f(x)— вектора.
Def: Определитель Вронского для 1, … n (n-1 раз дифференцируемы) ::= W(x)=|wij|,
wij=j(i-1).
Th: y1, ..., yn — ЛНЗ на (a, b) <=> W(x)<>0 на (a, b) для любого x.
Th: Если y1, ..., yn — ЛНЗ на (a, b) и являются решение однородного ЛДУ => фундаментальная
система решений, Соответственно, их линейная комбинация – Общее решение.
1
1.09
Уравнение с постоянными коэффициентами
Def: Метод Эйлера ::= будем искать решение в виде y=Γeλx (ΓRn, λC), тогда имеем
Γλeλx=AΓeλx, таким образом (A-λE)Γ=0 (E — единичная матрица). Нетривиальные решения
существуют при det(A-λE)=0, таким образом имеем полиномиальное уравнение для λ. Вид
фундаментальной системы решений зависит от корней полинома.
1.
Все корни различны: λ1, …, λn => Γ1, …, Γn и Γieλix — решения системы.
2.
Если λ корень кратности k: решения: Γ1eλt, Γ2teλt, …, Γ2tk-1eλt.
Метод вариации постоянных коэффициентов для решения
неоднородных уравнений.
Для неоднородных уравнений часто используется следующая техника – решаем
однородное уравнение, а коэффициенты в линейной комбинации представим функциями –
дальше подставим в уравнение. Нулевое решение сокращается – для остатка решаем
элементарное уравнение. Работает, не всегда (понимать надо!).
Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами.
При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы
трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного
порядка.
Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными
коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде:
(2)
Решения системы (2) обладают следующими свойствами:
1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже являются
решениями этой системы.
2) Если y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 – тоже являются
решениями системы.
Решения системы ищутся в виде:
Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на
ekx, получаем:
2
1.09
Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно,
чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:
В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени
относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три
корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2):
Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением
системы (2):
[an error occurred while processing this directive]
Пример. Найти общее решение системы уравнений:
Составим характеристическое уравнение:
Решим систему уравнений:
3
1.09
Для k1:
Полагая
(принимается любое значение), получаем:
Для k2:
Полагая
(принимается любое значение), получаем:
Общее решение системы:
Этот пример может быть решен другим способом:
Продифференцируем первое уравнение:
Подставим в это выражение производную у =2x + 2y из второго уравнения.
Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:
4
1.09
Обозначив
, получаем решение системы:
5