Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные
дифференциальные уравнения
Общие понятия



Дифференциальное
уравнение
– это
в
которое
наряду
с
функцией входит и ее
уравнение,
неизвестной
производная.
Если искомая функция зависит от одного
переменного,
то
дифференциальное
уравнение называют обыкновенным.
Произвольное
обыкновенное
дифференциальное уравнение порядка n
имеет вид

F(x, y, y’, y’’, …, y(n))=0.
Общие понятия

Решением
дифференциального
уравнения
порядка n называется функция y(x), имеющая на
некотором интервале (a, b) производные y’(x),
y’’(x), …, y(n)(x) до порядка n включительно и
удовлетворяющая этому уравнению.


Линейным дифференциальным уравнением n-го
порядка называется уравнение вида
y(n)+pn-1y(n-1)+…+p1y’+p0y=f(x),
(1)
 (a<x<b),
где f(x), p0(x), …, pn-1(x) – заданные непрерывные
на интервале (a, b) функции.
Линейные уравнения



Если f(x)≡0, то уравнение называют однородным
дифференциальным уравнением n-го порядка.
В связи с этим уравнение (1) называется
неоднородным.
Если y1, …, ym являются решениями
однородного уравнения, то их линейная
комбинация также является
решением
уравнения.
Система из n линейно независимых решений
однородного дифференциального уравнения nго порядка называется фундаментальной
системой решений этого уравнения.
Линейные однородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами






Какое уравнение называется линейным однородным
дифференциальным
уравнением
с
постоянными
коэффициентами?
Запишите в общем виде линейное однородное уравнение
5-го порядка с постоянным коэффициентами.
Что называют характеристическим уравнением?
Как выглядит общее решение дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами, если корни
характеристического уравнения различны?
Каким будет общее решение дифференциального
уравнения, если среди корней характеристического
уравнения есть комплексные корни?
Запишите в общем виде решение линейного однородного
уравнения с постоянными коэффициентами 5-го порядка,
если среди корней характеристического уравнения есть
корень кратности 3?
Решите уравнения







y’’-5y’+6y=0
y’’’-2y’’-y’+2y=0
y’’+y=0
y’’+y’+y=0
y’’-2y’+y=0
y’’’+3y’’+3y’+y=0
y(4)+2y’’+y=0