1 - Факультет экономических наук

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ, часть 2» для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет компьютерных наук
Департамент анализа данных и искусственного интеллекта
Программа дисциплины
Математический анализ, часть 2
для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика»
подготовки бакалавра»
Авторы программы: д.ф.-м.н, доцент А.Е. Лепский, к.ф.-м.н, доцент А.Ю. Напеденина, к.ф.м.н., доцент А.А. Никитин
Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики
«28»_августа 2014 г
Зав. кафедрой Ф.Т. Алескеров
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель [Введите И.О. Фамилия]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
1
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ, часть 2» для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
1 Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика»,
изучающих дисциплину «Математический анализ».
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом Государственного образовательного бюджетного
учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория
«национальный исследовательский университет»;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010400.62 «Прикладная
математика и информатика», утвержденным в 2011 г.
2 Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Математический анализ, часть 2» являются:
 ознакомление студентов с теоретическими основами таких разделов математического анализа как теория числовых и функциональных рядов, кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, теория поля, ряды и интегралы Фурье;
 формирование практических навыков работы с числовыми и функциональными
рядами, кратными, криволинейными и поверхностными интегралами.
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
ЗНАТЬ И УМЕТЬ ИСПОЛЬЗОВАТЬ основные понятия:





теории числовых и функциональных рядов;
собственных и несобственных интегралов, зависящих от параметра;
кратных, криволинейных и поверхностных интегралов;
теории поля;
теория рядов и интегралов Фурье;
ИМЕТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ:




о признаках сходимости числовых рядов, признаках равномерной сходимости
функциональных рядов и несобственных интегралов, зависящих от параметра;
о способах вычисления кратных, поверхностных и криволинейных интегралов;
о применении основных формул и теорем векторного анализа;
о характере сходимости рядов Фурье;
ИМЕТЬ НАВЫК:


исследования числовых рядов на сходимость;
исследования функциональных рядов на равномерную сходимость;
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ, часть 2» для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра




исследования несобственных интегралов, зависящих от параметра на равномерную
сходимость;
вычисления кратных, поверхностных и криволинейных интегралов в разных системах координат;
применений формулы Стокса и теоремы Гаусса к вычислению криволинейных и поверхностных интегралов;
разложения функций в ряды Тейлора и Фурье;
ДОЛЖЕН ВЛАДЕТЬ:



методами теории числовых и функциональных рядов;
методами векторного анализа;
методами теории рядов и преобразований Фурье.
Выпускник по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» с квалификацией (степенью) бакалавр в соответствии с целями основной образовательной программы и задачами профессиональной деятельности, указанными в пп. 3.2.1 и
3.6 ОС ГОБУ ВПО ГУ-ВШЭ, должен обладать следующими компетенциями:
Компетенция
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Стандартные (лекционно-семинарские), самостоятельные внеаудиторные занятия
Стандартные (лекционно-семинарские), самостоятельные внеаудиторные занятия
ОНК-1
Способность к анализу и синтезу
на основе системного подхода
ОНК-2
Способность перейти от проблемной ситуации к проблемам,
задачам и лежащим в их основе
противоречиям
ОНК-3
Способность использовать методы критического анализа, развития научных теорий, опровержения и фальсификации, оценить
качество исследований в некоторой предметной области
Стандартные (лекционно-семинарские), самостоятельные внеаудиторные занятия
ОНК-4
Готовность использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной
деятельности, применять методы
математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования
при работе в какой-либо предметной области
Стандартные (лекционно-семинарские), самостоятельные внеаудиторные занятия
ОНК-5
Готовность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь
их для решения соответствующий аппарат дисциплины
Стандартные (лекционно-семинарские), самостоятельные внеаудиторные занятия
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ, часть 2» для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Компетенция
Общенаучная
Общенаучная
Инструментальные
Профессиональные
Профессиональные
Профессиональные
Профессиональные
Профессиональные
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
ОНК-6
Способность приобретать новые
знания с использованием научной
методологии и современных образовательных и информационных технологий
Стандартные (лекционно-семинарские), самостоятельные внеаудиторные занятия
ОНК-7
Способность порождать новые
идеи (креативность)
Стандартные (лекционно-семинарские), самостоятельные внеаудиторные занятия
ИК-2
Умение работать на компьютере,
навыки использования основных
классов прикладного программного обеспечения, работы в компьютерных сетях, составления
баз данных
самостоятельные внеаудиторные занятия
ПК-1
Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных
фактов, концепций, принципов
теорий, связанных с прикладной
математикой и информатикой
Стандартные (лекционно-семинарские), самостоятельные внеаудиторные занятия
ПК-2
способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат
Стандартные (лекционно-семинарские), самостоятельные внеаудиторные занятия
ПК-3
способность в составе научноисследовательского и производственного коллектива решать задачи профессиональной деятельности в соответствии с профилем
подготовки, общаться с экспертами в других предметных областях
Стандартные (лекционно-семинарские), самостоятельные внеаудиторные занятия
ПК-4
способность критически оценивать собственную квалификацию
и её востребованность, переосмысливать накопленный практический опыт, изменять при
необходимости вид и характер
своей профессиональной деятельности
Стандартные (лекционно-семинарские), самостоятельные внеаудиторные занятия
ПК-8
способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку математических моделей,
алгоритмических и программных
Стандартные (лекционно-семинарские), самостоятельные внеаудиторные занятия
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ, часть 2» для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
решений
4 Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к математическому и естественнонаучному циклу
дисциплин, к блоку дисциплин базовой части, обеспечивающих подготовку.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями
и компетенциями:
 Математический анализ, часть 1;
 Геометрия алгебра.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при
изучении следующих дисциплин:
 Математический анализ, часть 1;
 Дифференциальные уравнения;
 Теория вероятностей и математическая статистика;
 Случайные процессы;
 Эконометрика;
 Методы оптимизации;
 Моделирование непрерывных процессов (доп. главы дифференциальных уравнений, теория функций и функциональный анализ);
 Моделирование физических процессов (физика, уравнения математической физики).
5 Тематический план учебной дисциплины
Название темы
6
7
8
9
1 модуль 2-го курса
Числовые и функциональные
ряды. Степенные ряды.
2 модуль 2-го курса
Интегралы, зависящие от параметра.
3 модуль 2-го курса
Интегральное исчисление
для функций многих переменных. Элементы векторного анализа.
4 модуль 2-го курса
Ряды и интегралы Фурье.
Преобразование Фурье.
Итого на втором курсе
Всего
часов
Аудиторные часы
лекции
сем. и
практ. занятия
Самостоятельная работа
72
16
16
40
72
16
16
40
90
20
20
50
90
20
20
50
324
72
72
180
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ, часть 2» для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
6 Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма контроля
1
2 курс
2
3
Параметры
4
текущий контрольная
(неделя) работа (КР)
домашнее
задание (ДЗ)
2
5
5
1
1
1
итоговый зачет (ЗАЧ)
1
экзамен
(ЭКЗ)
письменная работа на 80
минут
письменное задание и вычислительная часть, срок
выполнения: 10 недель
письменная работа теоретически-практического характера на 120 мин
письменная работа теоретически-практического характера на 120 мин
1
6.1 Критерии оценки знаний, навыков
Оценка всех форм контроля знаний осуществляется по 10-ти бальной шкале. При этом
домашнее задание засчитывается на:
100% при получении на КР [7,10] баллов,
50% при получении на КР [4,7) баллов,
0%
при получении на КР [0,4) баллов.
Все задания зачетного варианта содержат теоретический вопрос и задачу. При
письменном ответе на теоретический вопрос студент должен продемонстрировать уровень знаний основных определений, теорем, методов и пр., доказательств некоторых теоретических положений курса. При решении практической задачи студент должен показать
умение применить теоретические факты к решению данной задачи, продемонстрировать
навыки решения данного класса задач. Оценки теоретической и практической части задания относятся как 3:7.
7 Содержание дисциплины
1. Числовые и функциональные ряды. Степенные ряды.
([1], том 1, гл. 4; [3], гл. 4; [5], гл. VIII, IX)
Количество часов аудиторной работы –32 часа.
Количество часов самостоятельной работы – 40 часов: проработка лекционного материала (ПЛ) – 8 час, подготовка к семинарским занятиям (ПС) – 16 часа, выполнение
домашнего задания (ДЗ) – 16 часа.
Понятие числового ряда, сходящегося ряда и его суммы. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сравнения для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши.
Интегральный признак Коши. Эталонные ряды. Критерий Коши сходимости ряда. Понятие
абсолютной и условной сходимости числового ряда. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Признаки Дирихле и Абеля. Переместительное свойство абсолютно
сходящихся рядов. Умножение абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана для условно
сходящихся рядов.
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ, часть 2» для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Функциональные последовательности, их сходимость в точке и на множестве. Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных последовательностей, критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей. Равномерная
сходимость функционального ряда, критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Признак
Дирихле. Теорема о непрерывности предела суммы функционального ряда. Теорема о
почленном интегрировании функционального ряда и о переходе к пределу под знаком интеграла для функциональной последовательности. Теорема о почленном дифференцировании
функционального ряда.
Степенной ряд. Теорема Абеля, интервал и радиус сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда при помощи признаков Коши и Даламбера.
Непрерывность суммы степенного ряда. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Разложение функций функции в степенные ряды. Теорема о
единственности представления. Ряд Тейлора (Маклорена) функции. Необходимое и достаточное условия сходимости ряда Тейлора для заданной функции к заданной функции. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.
2. Интегралы, зависящие от параметра.
([1],т. 2, гл. 6, §§ 53, 54; [3], гл.5, §§ 49 -50; [5], гл.XV, §§ 71 - 73)
Количество часов аудиторной работы –32 часа.
Количество часов самостоятельной работы – 40 часов: ПЛ – 8 час, ПС – 16 часа, ДЗ – 16
часа.
Собственные интегралы, зависящие от параметра, их непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость по параметру.
Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Понятие равномерной сходимости. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости по параметру. Теорема о несобственном интегрировании несобственного интеграла по параметру. Достаточные
признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра
(признаки Вейерштрасса, Дирихле, Абеля, Дини) Применения для вычисления интегралов.
Интегралы Дирихле, Эйлера-Пуассона, Френеля. Формула Фруллани. Эйлеровы интегралы.
Свойства Гамма и Бета функций. Связь между интегралами Эйлера. Формула Стирлинга.
3. Интегральное исчисление для функций многих переменных. Элементы векторного
анализа.
([1], т.2, гл. 6, §§ 44 – 52, 3, гл.5, §§ 42 – 48, 5, гл. X - XI)
Количество часов аудиторной работы –40 часа.
Количество часов самостоятельной работы – 50 часов: ПЛ – 10 час, ПС – 20 часа, ДЗ –
20 часа.
Повторение основных понятий, связанных с топологией n-мерного евклидова пространства. Понятие меры Жордана, множества, измеримые по Жордану. Критерий измеримости множества. Основные свойства меры Жордана. n-мерные цилиндры. Множества меры
ноль. Определение кратного интеграла Римана. Верхние и нижние суммы Дарбу. Основные
классы функций, интегрируемых по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных. Основные свойства кратного интеграла. Двойные интегралы. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в двойных интегралах. Переход к полярным координатам в двойных интегралах. Геометрические и физические
приложения двойных интегралов. Тройные интегралы. Сведение тройного интеграла к повторному. Понятие регулярного преобразования. Замена переменных в n-кратных интегра7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ, часть 2» для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
лах. Якобиан n-мерного отображения. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройных интегралах. Сферическая система координат в n-мерном пространстве. Геометрические и механические приложения тройных интегралов.
Несобственные кратные интегралы. Монотонно исчерпывающие последовательности.
Критерий сходимости кратного несобственного интеграла от неотрицательной функции.
Общий признак сравнения. Несобственные кратные интегралы от знакопеременной функции.
Совпадение понятий абсолютной и условной сходимости для кратных интегралов.
Элементы теории кривых на плоскости и в трехмерном пространстве. Гладкие кривые. Понятие криволинейного интеграла первого рода по дуге гладкой плоской кривой. Распространение на трехмерный случай. Основные свойства криволинейного интеграла первого
рода. Формула сведения криволинейного интеграла первого рода к определенному интегралу. Понятие криволинейного интеграла второго рода по дуге гладкой плоской кривой. Распространение на трехмерный случай. Основные свойства криволинейного интеграла первого
рода. Сведение криволинейного интеграла второго рода к определенному интегралу. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования на плоскости. Формула Грина.
Элементы теории поверхностей в трехмерном пространстве. Понятие площади поверхности. Понятие поверхностного интеграла первого рода для функции. Достаточное
условие интегрируемости функции по кусочно-гладкой поверхности. Сведение поверхностного интеграла первого рода к двойному интегралу. Односторонние и двусторонние поверхности. Поверхностный интеграл второго рода по заданной стороне гладкой поверхности.
Формулы для вычисления поверхностного интеграла второго рода. Формула ГауссаОстроградского. Формула Стокса. Лемма об однозначном проектировании на все координатные плоскости.
Теория поля. Элементы векторного анализа. Биортогональные базисы. Дивергенция и
ротор линейного оператора. Дивергенция и ротор дифференцируемого векторного поля.
Производная по направлению. Дивергенция и ротор в декартовом прямоугольном базисе.
Независимость их от выбора системы декартовых координат. Потенциальные и соленоидальные поля. Условия потенциальности и соленоидальности. Оператор Гамильтона. Повторные операции векторного поля. Оператор Лапласа, независимость его от выбора системы декартовых координат.
4. Ряды Фурье. Преобразование Фурье.
([1],т. 2, гл. 7, §§ 55, 58, 56*; [3], гл.6, §§ 51,53, 54*; [5], гл.XIV, §§ 61, 64 – 66, гл.XV, § 75)
Количество часов аудиторной работы –40 часа.
Количество часов самостоятельной работы – 50 часов: ПЛ – 10 час, ПС – 20 часа, ДЗ –
20 часа.
Евклидово пространство, норма и метрика в нем. Псевдоевклидово пространство. Задача о наилучшем приближении элементов евклидового пространства. Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе, коэффициенты Фурье. Ряды Фурье по
тригонометрическим системам функций. Замкнутые и полные системы в псевдоевклидовом
пространстве. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.
Замкнутость тригонометрической системы и ее свойства. Теорема Фейера, теоремы
Вейерштрасса о приближении непрерывной функции тригонометрическими и алгебраическими многочленами. Следствия из замкнутости тригонометрической системы. Локальная
теорема Фейера.
Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференцирования
тригонометрического ряда Фурье. Теорема Карлесона (без доказательства). Пример Колмогорова.
8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ, часть 2» для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Условия сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Принцип локализации Римана. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье. Класс Гёльдера с
показателем α. Теорема Дини-Липшица (без доказательства). Понятие кусочной гёльдеровости. Комплексная форма записи тригонометрического ряда Фурье.
Интеграл Фурье. Разложение функции в интеграл Фурье. Прямое и обратное преобразование Фурье. Косинус и синус преобразования Фурье. Применение преобразования
Фурье к решению дифференциальных уравнений.
Кратные ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье функции двух переменных. Простейшие условия сходимости кратного ряда Фурье.
8 Образовательные технологии
9 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка всех форм контроля знаний осуществляется по 10-ти бальной шкале с точностью
до 0.1 и не округляются. Округляется только итоговая оценка:
1) при итоговой оценке меньше 3,9 балла ставится оценка «2».
2) если дробная часть итоговой оценки находится в пределах [0, 0.35], то – в меньшую
сторону;
3) если дробная часть итоговой оценки находится в пределах [8, 0.99], то – в большую
сторону;
4) если дробная часть итоговой оценки находится в пределах (0.35, 0.8), то – на усмотрение преподавателя в зависимости от посещения занятий и работе на занятиях.
Оценки выводятся по следующим формулам:
оценка за зачет второго модуля второго курса «ОЗач» = 0,1(«ОДз1»+ «ОДз2») +
0,15(«ОКр1» + («ОКр2»)+ 0,5«ОЗач.раб.»,
где «ОДз1» - оценка за домашнюю контрольную работу по теме числовые и функциональные ряды;
«ОДз2» - оценка за домашнюю контрольную работу по теме кратные интегралы.
«ОКр1» - оценка за аудиторную контрольную работу за первый модуль 2 курса.
«ОКр2» - оценка за аудиторную контрольную работу за второй модуль 2 курса.
«ОЗач.раб.» - оценка за итоговый коллоквиум первого семестра.
оценка за экзамен четвёртого модуля второго курса «ОЭкз» = 0,08(«ОДз3»+ «ОДз4»+
«ОДз5») + 0,13(«ОКр3» + («ОКр4»)+ 0,5«ОЭкз.раб.»,
где «ОДз3» - оценка за домашнюю контрольную работу по теме интегралы, зависящие
от параметра;
«ОДз4» - оценка за домашнюю контрольную работу по теме криволинейные и поверхностные интегралы.
«ОДз5» - оценка за домашнюю контрольную работу по теме ряды Фурье
«ОКр3» - оценка за аудиторную контрольную работу за третий модуль 2 курса.
9
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ, часть 2» для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
«ОКр4» - оценка за аудиторную контрольную работу за четвёртый модуль 2 курса.
«ОЭкз.раб.» - оценка за итоговый коллоквиум второго семестра.
Оценки выставляются в экзаменационную ведомость, куда выставляется также и оценка по
данной дисциплине по пятибалльной шкале, получаемая из оценки по десятибалльной
шкале в соответствии с таблицей соответствия (см. Приложение № 2 к приказу Ректора ГУВШЭ № 6.18.1-01/1601-03 от 16.01.2013).
Таблица соответствия оценок по десятибалльной и пятибалльной системам
По десятибалльной шкале
По пятибалльной шкале
1  неудовлетворительно
неудовлетворительно  2
2  очень плохо
3  плохо
4  удовлетворительно
удовлетворительно  3
5  весьма удовлетворительно
6  хорошо
хорошо  4
7  очень хорошо
8  почти отлично
отлично  5
9  отлично
10 блестяще
Образцы задач для контрольных, зачетных и экзаменационных работ
n  (1)n
.

3n
n 1
Исследовать на сходимость числовые ряды 2 – 5:

1. Найти сумму ряда

2.

3  2(1)
3
n ( n 1)
2
1
 
  15
5
n

arcsin
n

.


n2

2n (n  2)3
3. 
.
n 1 (n  5)!

3
4. 
.
n  2 ln 3 (n  1)
n 1
n 1

5.
e
n 1
n2
2 n
 2n  3 

 .
 2n  1 
3
1

1 n2 
6. Исследовать на сходимость ряд   n sin  e  , используя выделение главной части.


n
n 1 

n ( n 1)

2
7. Будет ли данный ряд  (1) 2  (1  cos
):
n
n 1
а) абсолютно сходящимся; б) условно сходящимся?

ln(2n)
8. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд  (1) n 1 4
.
n
n 1

10
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ, часть 2» для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
2 n   n2  1 
9. Доказать сходимость ряда  cos
sin 
 , используя признак Дирихле или Абеля.
7
n 1
 n 

10. Исследовать ряд на сходимость в зависимости от параметра:

 n sin  n cos n  .
1
n 1
11. Найти предельную функцию для функциональной последовательности


1
f n ( x)  n  x 2   x  на множестве E   0,   .
n


12. Найти предельную функцию и доказать равномерную сходимость функциональной поx
следовательности f n ( x)  5 n sin 2
на множестве E  [3,3] .
n n

 x2 
13. Доказать, что ряд  arctg  3  не является равномерно сходящимся на множестве
n 1
n 
E  0,  .
14. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость ряда

(5 x)n
на множестве E  [0, 15 ] .

23
n  3x
n 1 n

nx  n
15. Исследовать на сходимость и равномерную сходимость ряд 
ln(1  n 1 n x) на
n x
n 1
множествах E1  (0,1) и E2  (1, ) .

nx 2
:
3
3
n 1 n  x
16. Найти множества всех значений x, при которых функция f ( x)  
а) определена;
б) дифференцируема.
n

n
 1  x 1

1   3 .
n
n 1 
18. Найти радиус сходимости, области сходимости и расходимости степенного ряда
n

n ( x  3)
.
(1) n

5 (n  1)
n 0
19. Разложить функцию f ( x)  ( x  1) cos 2 x в ряд Тейлора в окрестности точки x0= –1. Найти
интервал сходимости этого ряда.
17. Найти области сходимости и расходимости функционального ряда


20. Разложить в ряд Маклорена функцию f ( x)  x x 2  4  4 ln x  x 2  4 .
21. Найти интервал сходимости функционального ряда

 ( x  1)
n 1
n
sin


n 1  n .
22. Найти радиус сходимости, области сходимости и расходимости степенного ряда

5n 1 ( x  3) n
.

3
n  2(4n2  2n  7)
n 0

e  ax
dx .
23. Определите область сходимости интеграла 
2
1

x
0

24. Исследовать на равномерную сходимость интеграл
x e
1
11
a x
dx на множестве a  [1, 2] .
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ, часть 2» для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра

25. Исследовать функцию F (a ) 
xdx
 2 x
a
при a  2 .
0
26. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
27. Вычислить двойной интеграл
 cos( x
2
0
2 y 1
1
1 y
 dy

f ( x, y )dx
.
2
 y )dxdy , где область D задана неравенствами
2
D
x 2  y 2  4, x  0 .
28. Вычислить тройной интеграл
 ( x
2
 y 2  z 2 )dxdydz , где область E задана неравенствами
E
x  y  25, x  0, 0  z  4 .
2
2
29. Вычислить криволинейный интеграл первого рода
 y ds по кривой :
2

y  max(2 x , 2 x), 0  x  2 .
30. Вычислить криволинейный интеграл второго рода
x
 y dx 

yx
dy , где  – дуга параболы
x
y  x от точки A(2,4) до B(1,1).
2


x
1 1
y
1 x 
31. Найти функцию U  U ( x, y ) , если dU  
   dx  
  2  dy .
 x2  y 2 x y 
 x2  y 2 y y 




32. Вычислить поверхностный интеграл первого рода  yzdS , где  - часть конуса

z  x  y , заключенная внутри цилиндра x  y 2  4 x .
33. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
3
3
3
 ( x  yz)dydz  ( y  xz)dzdx  ( z  xy)dxdy , где  – внешняя сторона границы области
2
2
2

G : x 2  y 2  z 2  16, z  0 .
34. Разложить функцию f ( x)  3x 2  5 x в ряд Фурье на интервале (3,5) .
x
35. Представить интегралом Фурье функцию f ( x) 
.
1  x2
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Базовый учебник
Кудрявцев Л.Д. Математический анализ в двух томах. М.: «Высшая школа», 1981
(имеется также переработанное трехтомное издание М.: Дрофа, 2006).
11.2 Основная литература
1. Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу. Т. 1. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. Т. 2. Интегралы и ряды. Т. 3. Функции нескольких переменных. М.: Физматлит, 2003 (или любое другое издание).
2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. М.: Изд-во Моск.
ун-та, 2006.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и и упражнений по математическому анализу. М.:
«Наука», 1997.
12
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ, часть 2» для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
11.3 Дополнительная литература
4. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М.: Физматлит,
2003.
5. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1999.
6. Зорич В.А. Математический анализ. Т.I, II. − М.: Наука, 1984.
7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.II, III −
М.: Наука, 1969.
8. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Лекции по рядам Фурье. МАКС-Пресс, 2000.
11.4 Справочники, словари, энциклопедии
Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные
функции. - М.: Наука, 1983.
11.5 Программные средства
Для успешного освоения дисциплины студенту необходимо выполнить вычислительную часть домашнего задания с использованием высокоуровневых пакетов программ для математических расчетов, таких как MathCad, MATLAB, Mathematica и пр
13