reshenie sistem linejnykh uravnenij

Решение систем линейных
уравнений. Матрица
системы линейных
уравнений. Определитель
матрицы.
Методы решения систем
линейных уравнений.
• Графический
• Метод подстановки
• Метод сложения
• Метод введения новых переменных
• Метод Крамера (матрица)
Графический метод решения
систем уравнения
Решением системы уравнений с двумя
переменными называется пара значений
переменных, обращающая каждое
уравнение системы в верное равенство.
Решить систему-значит найти все ее
решения или доказать, что решений нет
х+у=12
 х  у  12

х  у  2
х  у  12
у  12  х
лин. урав.
график
прямая
(6;6);(5;7)
х-у=2
х  у  2 лин. уравнен.гр.прямая
у  х2
(0; 2);(2;0)
пересек.(7;5)
Ответ : (7;5)
Сколько решений имеет система?
 у  к1 х  в1

 у  к2 х  в2
Если к1  к2 ; в1  в2
прямые совпадают.
Бесконечное множество решений
Если к1  к2
прямые пересекаются.Одно решение
Если к1  к2 ; в1  в2
прямые параллельны.Нет решений
Метод подстановки
Алгоритм:
1)Выразить у через х или х через у в
любом из уравнений
2) Подставить полученное на первом
шаге выражение вместо данной
переменной во второе уравнение
системы.
3) Решить полученное на втором шаге
уравнение с одной переменной.
4) Найти значение второй переменной.
5) Записать ответ
Решить систему методом подстановки
3х  у  5  0
1) 
2 х  у  7  0
2 х  (3х  5)  7  0
2 х  3х  5  7  0
5х  12
 у  3х  5

2 х  у  7  0
у  3  2, 4  5  2, 2
х  2, 4
Ответ : (2, 4;2, 2)
5 х  3 у  8  0
2) 
 х  12 у  11
5(11 12 у)  3 у  8  0
55  60 у  3 у  8  0
63 у  63
у 1
 х  11  12 у

5 х  3 у  8  0
х  11 12 1  1
Ответ : (1;1)
х  3у  5
3) 
 ху  2
у(5  3 у)  2
5 у  3 у2  2
х  5  3у

 ху  2
3у  5у  2  0
2
Д  в  4ас  25  24  1  0(2к)
2
в  Д 5  1
у1;2 

2а
6
2
у1  1; у2 
3
1)если у  1, то х  5  3 1  2
(2;1)
2
2
2)если у  , то х  5  3   3
3
3
2
(3; )
3
2
Ответ : (2;1);(3; )
3
Метод алгебраического сложения
Чтобы решить уравнение методом сложения
нужно:
1)Сложить или вычесть уравнения
системы.(чтобы избавиться от другой
переменной или для упрощения уравнения)
2)Решить получившееся уравнение с одной
переменной
3)Найти значение другой переменной
4) Записать ответ.
2 х  3 у  5
1) 
 х  3 у  38
2 х  3 у  5

 х  3 у  38
3х  33
х  11
2 11  3 у  5
3 у  5  22
3 у  27
у  9
Ответ : (11; 9)
5 х  11у  8
2) 
10 х  7 у  74
5 х  11у  8 / (2)

10 х  7 у  74
10 х  22 у  16

10 х  7 у  74
29 у  58
у  2
5х  22  8
5х  8  22
5х  30
х6
Ответ : (6; 2)
2)если х  2, то 4  у 2  5

х  у  5
3)   2
2

х  у  3
2
2
у  1
(2; 1);(2;1)
2х  8
2
х 4
2
х  2
2
то
4

у
5
1)если х  2,
у 1
у  1
2
(2;1);(2; 1)
Ответ : (2;1);(2; 1);(2; 1);(2;1)
Метод введения новых
переменных
Метод введения новых переменных
применяется в двух вариантах:
1) Вводится одна новая переменная и
используется только в одном уравнении
системы
2) Вводятся две новые переменные и
используются одновременно в обоих
уравнениях системы.
х
Пусть  п, тогда
у
х у
 у  х  2,5
1) 
 х2  у 2  3

1 5
п   /  2п  0
п 2
п0
2п  5п  2  0
2
Д  в  4ас  25 16  9  0(2к)
в  Д
53
п1;2 

2а
4
2
1
п1  2; п2 
2
х
1)если п  2, то  2
у
х
х  2у
1)если п  2, то  2
у
х  2 у
 2
2
1
х 1
х

у

3

2)если п  , то 
2
у 2
2
2
4у  у  3
3у  3
2
у 1
у  1
2
(2;1);(2; 1)
у  2х
 у  2х
 2
2
х

у
3

2
2
х  4х  3
3х 2  3
х 2  1
корней нет
Ответ : (2;1);(2; 1)
Метод Крамера
Пусть дана система двух линейных уравнений
с двумя неизвестными.
а1 х  в1 у  с1

а2 х  в2 у  с2
Главным определителем системы называется
число, которое равно
Если главный определитель равен 0, то система
имеет бесконечно много решений.
Если главный определитель не равен 0, то
система имеет единственное решение.
Мы должны вычислить еще два
определителя
1.