Решение уравнений методом подстановки

Открытый урок по теме:
Решение уравнений
методом
подстановки
Учитель математики ГОУ гимназии № 1549
Шмелева Ирина Дмитриевна
Г. Москва
январь 2013г.
2
Цели урока:
Образовательная:
формирование
подстановки.
навыков
решения
уравнений
повышенной
сложности
методом
Развивающая:
развитие памяти, любознательности, познавательного интереса учащихся, умения
преодолевать трудности при решении задач.
Воспитательная:
воспитание аккуратности, наблюдательности, настойчивости в учебе, умение видеть
красивое и удивительное вокруг нас.
Задачи урока:
Закрепление и отработка навыков решение уравнений методом введения новой
переменной.
Методы:
Преобразовательный (при усвоении учащимися и творческом применении навыков и
умений в процессе выполнения упражнений проблемных заданий).
I.Объяснение нового материала.
Метод замены переменной ( или, иначе, метод введения нового неизвестного) состоит в
следующем. Предположим , что уравнение f(x)=p(x). Удалось переписать в виде f((g(x))=
p(g(x)).
Решение уравнения f(x)=p(x) проведем в два этапа:
1) Будем считать, что g(x)=u, решим уравнение f(u)=p(u).
2) Последовательно решим уравнение g(x)=u 1 , g(x)= u 2 ,…, g(x)=u n .
Полученные корни и будут корнями уравнения f(x)=p(x).
Схема метода:
3
 g ( x)  u1
 g ( x)  u
2
f((g(x))=p(g(x))  
 ............

 g ( x)  u n
,где u 1 , u 2 ,….., u n корни уравнения f(u)=p(u).
Введение новой переменной позволяет «разбить задачу на полузадачи», т.е. вместо
основного сложного решать несколько простых уравнений.
Пример.
Решить уравнение (х 2 +х+1) (х 2 +х+2)=12.
Решение:
Решение:
 х 2  х  1  3,
(х 2 +х+1) (х 2 +х+2)=12   2
 х  х  1  4
 х 2  х  2  0,

2
 х  х5 0
 х  2,

 х  1.
1) Пусть u=х 2 +х+1, тогда исходное уравнение:
 и  и 2  1
 и1  3
(u+1)u=12  u 2 +u-12=0   1
.

 и1  и 2  12
 и 2  4
2) х 2 +х+5=0,
D<0, корней нет.
-Нет ли других замен переменной? (Есть).
II. Домашнее задание:
Решить уравнение, используя метод подстановки:
1) х 2 +х=u;
2) х 2 +х+2= u .
III. Обобщение нового материала.
В математике существуют целые классы уравнений, которые можно решать этим
методом
- биквадратные уравнения;
- дробно-рациональные.
IV. Закрепление материала.
1. Решить уравнение:
Решение:
1
4
1
= .
2
5
х ( х  4) ( х  2 )
4
 х 2  4х  1  0
1
1
4
1
1
4
=
=


 2
х ( х  4) ( х  2 ) 2 5
х 2  4х х 2  4х  4 5
 х  4х  5  0

 х  2  5
.

 х  2  5
1) u =x 2 +4x;
 u  1

u  4 x  5  0,
u  5,
 u 1
1
1
4

= 
  u  0,  
u  0,
u u4 5
u  5.

 u  4
u  4



2
2) х 2 +4х-1=0;
D 1 = 5 , уравнение имеет два корня;
х 1 =-2+ 5 ;
х 2 =-2- 5 .
3) х 2 +х+5=0;
D<0, корней нет.
Ответ: -2+ 5 ; -2- 5 .
2. Решить уравнение: х 2 +
1 1
1
+ (х- )=5.
2
2
х
х
Решение:
1

 х 2  2 х  1  0
х   2

1
1
1

х
х 2 + 2 + (х- )=5  
 2 х 2  3 х  2  0, 
1 2
2
х
х

х 
х0

х 3

 х  1  2
 х  1  2


х


1

2

 х  1  2
 х  2

  х2

1


1
 х   2
 х .
2


х0

1
1
1) Пусть u = х- ; u 2 +2= х 2 + 2 .
х
х
5
u2 +
1
u-3=0  2 u 2 +u-6=0 
2
u  2
2

 u  3 .
1
Ответ: -1+ 2 ; -1- 2 ; 2; - .
2
V. Самостоятельная работа:
1. (х 2 +3х+3)(х 2 -2х+3)=24 х 2 .
Ответ:
2.
5  13 5  13
;
; -3+ 6 ;-3- 6 .
2
2
х  4 х 4 х 8 х 8 8
+
=
+
- .
х 1 х 1 х  2 х  2 3
Ответ: 4;-4;
1
1
;- .
2
2
VI. Домашнее задание.
Решите уравнение методом замены переменной:
1. х 6 -9х 3 +8=0. Ответ: 1;2.
2. (х 2 +х+4) 2 +8х(х 2 +х+4)+15 х 2 =0. Ответ: -2; -3;
3. х 2 +
5;- 5.
9х 2
33 5 33 5
=27. Ответ:
;
.
2
2
х3
4. Х(х+3)(х+5)(х+8)=10. Ответ: -4+ 6 ;-4- 6 .
Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме.
Проверка умения решать основные ключевые задачи при решении уравнений методом
введения новой переменной показала , что все учащиеся справились с решением. Они
уверенно распознают задачу, безошибочно обосновывают решение.
Часть учеников испытывали неуверенность, но желание деятельности не пропало, поняли
, что надо совершенствоваться.
6
Правильно научились оформлять письменно решение, что поможет школьникам при
подготовке к выпускным экзаменам, для формирования уверенности учащихся в своих
силах и возможностях. Самостоятельная работа вселила в учеников желание
деятельности.