Допущено Міністерством освіти і науки України як підручник для студентів енергетичних спеціальностей вищих навчальних закладів Київ «Технiка» 2001 ББК 31.31я73 Б90 УДК 621.1+536(075.8) Гриф надано Міністерством освіти і науки України згідно з листом № 2/930 від 12.06.2000 р. Р е це нз е нт и : засл. діяч науки і техніки, лауреат держ. премій України, д-р техн. наук, акад. НАН України А. А. Долінський, засл. діяч науки і техніки України, д-р техн. наук, проф. М. Д. Захаров Б90 Буляндра О. Ф. Технічна термодинаміка: Підруч. для студентів енерг. спец. вищ. навч. закладів. – К.: Техніка, 2001. – 320 с.: іл. – Бібліогр.: с. 315. ISBN 966-575-103-4 У підручнику викладено теоретичні основи термодинаміки, термодинамічні процеси ідеальних та реальних газів як закритих, так і проточних систем. Наведено диференціальні рівняння термодинаміки. Детально розглянуто властивості реальних робочих тіл (водяної пари, газових сумішей). Наведено теоретичні положення розрахунку основних параметрів компресорів, циклів двигунів внутрішнього згоряння, газотурбінних та паросилових установок і холодильних машин. Ефективність перетворення енергії в теплових машинах розглядається як на основі енергетичного, так і ексергетичного методів. Б 3302000000 - 008 Без оголош. ББК 31.31я73 202 - 2001 ISBN 966-575-103-4 Ó Буляндра О. Ф., 2001 До 70-річчя Українського державного університету харчових технологій Передмова Життєвий рівень людства в першу чергу залежить від енерговитрат. За даними ООН, потреби людства в енергії подвоюються кожні тринадцять років. Але енергетичні ресурси Землі, тобто запаси енергії, які можна доцільно використати за наявного рівня техніки, є обмеженими. Тому проблема економного використання енергії з кожним роком стає актуальнішою. Україна має істотні запаси енергетичного вугілля і в меншій мірі – нафти і газу. Останнім часом відкрито потужні запаси урану. Для нормального функціонування економіки країни необхідно не менше як 300 млн т умовного палива на рік. Завдяки своїм джерелам ми забезпечуємо потреби лише на третину. Тому поряд з розширенням робіт стосовно розвідки нафти і газу необхідно проводити активну політику в сфері енергозбереження, використання вторинних енергоресурсів і на цій основі створення нових менш енергоємних технологій. Велика увага має приділятися використанню відновлювальних джерел енергії (сонячна енергія, геотермальні води, енергія вітру та інші) та охороні навколишнього середовища. У зв’язку з цим значно зростає роль теплотехніки та її теоретичної частини – технічної термодинаміки. При підготовці інженерів технічного профілю і, особливо, теплоенергетиків, технічна термодинаміка є базовою теоретичною дисципліною, на основі якої будується багато наступних дисциплін. Розділ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І ВИЗНАЧЕННЯ 1.1. ПРЕДМЕТ І МЕТОД ТЕРМОДИНАМІЧНОГО АНАЛІЗУ Розвиток цивілізації безпосередньо пов’язаний з розвитком енергетики. В застосуванні людиною енергії можна виділити такі періоди: 1) від появи людини і приблизно до V–VII ст., коли людина використовувала силу тварин, енергію сонця, а потім і теплоту вогнища; 2) з VII до XVIII ст., коли люди навчилися використовувати енергію вітру і води (вітряки, млини та інше); 3) з XVIII до 50-х років XX ст., коли використовувалася хімічна енергія палива, а основним його джерелом стала непоновлювана енергія мінерального органічного палива (вугілля, нафта та природний газ); 4) з 50-х років нашого століття до сьогодення, тобто сучасний період, який характеризується використанням традиційного палива та ядерної енергії. Як вважають спеціалісти, атомна енергетика на реакторах зі швидкими нейтронами забезпечить людство енергією на тисячоліття. Але цей період також характеризується відчутним виснаженням природних органічних джерел та забрудненням навколишнього середовища. У майбутньому, коли вичерпаються всі непоновлювані хімічні та ядерні енергетичні ресурси, людству треба буде жити в стані енергетичної рівноваги і користуватися поновлюваними ресурсами: енергією сонця, вітру, води, теплотою геотермальних вод та хімічною енергією рослин, тобто тільки розумно, обмежено використовувати енергію, щоб не нашкодити навколишньому середовищу і надати можливість людині жити в злагоді з природою Землі. Зростаюча потреба у використанні енергії спонукала до створення науки, яка б давала можливість ефективно перетворювати один вид енергії в інший. Такою наукою стала термодинаміка. Назва термодинаміка походить від грецьких слів thermo – теплота і dynamis – сила. Термодинаміка як окрема наука почала розвиватися на початку XIX ст. Поява її була зумовлена необхідністю дати наукове пояснення процесам взаємоперетворення теплової і механічної форм енергії в теплових двигунах. При цьому термодинамічний метод базувався на фундаментальних, загальних фізичних законах (началах, принципах), які сформульовані на основі численних дослідних даних і спостережень. Це дає можливість розглядати їх як об’єктивні закони природи. Термодинаміка з’явилась як наука про теплові перетворення в теплових машинах, але в ході свого розвитку вона вийшла за рамки теплоти. Термодинаміку можна розглядати як науку про загальні властивості тіл і закони взаємоперетворення енергії, вона є фундаментальною загальноінженерною дисципліною. Перетворення енергії відіграють важливу роль у багатьох областях науки і техніки, де також використовуються закони термодинаміки, які носять універсальний характер і мають загальне методологічне значення. Це вивело термодинаміку в королеву природничих наук. Термодинамічний метод дослідження має свої специфічні властивості і базується на використанні основних законів термодинаміки. Перший закон – це окремий випадок загального закону збереження і перетворення енергії відносно робочого тіла, за допомогою якого здійснюється взаємоперетворення теплової форми енергії в механічну та навпаки. Сформулював цей закон у 1842 р. Ю. Майєр, який показав, що теплота не є теплецем (невагомою рідиною), і довів рівнозначність теплоти і роботи. Другий закон термодинаміки встановлює умови, за яких можливе взаємоперетворення теплоти в роботу, і, навпаки, вказує напрямок проходження процесів та можливу межу взаємоперетворень. Другий закон термодинаміки був сформульований С. Карно в 1824 р. У 1865 р. Р. Клаузіус ввів поняття ентропії і на цій основі сформулював другий закон термодинаміки, який застосовується і зараз. У техніці другий закон дав змогу окреслити умови отримання найбільшого коефіцієнту корисної дії (ККД) енергетичних процесів, тобто умови реалізації процесів з найменшими втратами. Третій закон термодинаміки, або “теплова теорема” Нернста, характеризує поведінку ентропії робочого тіла поблизу абсолютного нуля. Цей закон був сформульований у 1906 р. В. Нернстом. У 1931 р. Л. Онсагер і С. де Гроот сформулювали закон, який розглядає нерівноважні процеси. Інколи його називають четвертим законом термодинаміки, хоча цей закон не випливає із перших трьох. Інколи до основних законів термодинаміки відносять існування термічної рівноваги між тілами, які мають однакову температуру. Це твердження дістало назву нульового закону термодинаміки. Подальший розвиток термодинаміки сприяв створенню нових її розділів – технічної, хімічної, біологічної та інших термодинамік. Нашим предметом вивчення є технічна термодинаміка – наука, що вивчає закони перетворення теплової енергії в механічну в теплових машинах, а також властивості робочих тіл, які беруть участь у цих перетвореннях. Технічна термодинаміка – це теоретична база теплових машин сучасної енергетики. Технічна термодинаміка не вивчає мікроскопічну будову речовини і механізм молекулярних процесів, а розглядає явища (“феномени”) в цілому і опирається тільки на результати макроскопічних досліджень, тому вона є феноменологічною наукою. Вивченням теплових явищ займається також і молекулярна (статистична) фізика, на базі якої в XIX ст. розвинулась статистична термодинаміка. Молекулярно-статистичний метод базується на розгляданні законів теплового руху величезної кількості молекул. При цьому на основі статистичних методів установлюється взаємозв’язок між характеристиками руху окремих частинок і макрофізичними характеристиками системи. Окремі атоми, молекули не можуть бути предметом дослідження технічної термодинаміки. Статистична термодинаміка дає можливість вияснити фізичний зміст великої кількості термодинамічних понять, а також розрахувати деякі величини (теплоємність газів). Молекулярностатистичний метод є наочнішим, але математичний апарат, який він використовує, є більш громіздким. Як видно, термодинамічний і статистичний методи вивчення теплових явищ виходять із різних позицій. Одначе вони не суперечать, а навпаки, доповнюють один одного. Отже, технічна термодинаміка побудована дедуктивно, тобто згідно з фундаментальними законами природи встановлюються особливості процесів перетворення теплової енергії в механічну і навпаки, а також фізичні властивості тіл. На цій основі розробляється теорія побудови найбільш економічних циклів теплових та холодильних машин, а також технологічних процесів, що супроводжуються споживанням теплоти (сушіння, масоперенос). 1.2. ТЕРМОДИНАМІЧНА СИСТЕМА І НАВКОЛИШНЄ СЕРЕДОВИЩЕ Матеріальне тіло або сукупність тіл, які перебувають у тепловій чи механічній взаємодії між собою і навколишнім середовищем, називаються термодинамічною системою або просто системою. Внаслідок взаємодії тіла (системи) можуть обмінюватись як енергією, так і субстанцією. Величина і форма вибраної системи визначається умовами конкретної задачі. Під навколишнім середовищем розуміють усі зовнішні тіла, які не входять у термодинамічну систему, тобто весь навколишній світ. Термодинамічна система відокремлюється від навколишнього середовища матеріальною або уявною (абстрактною) поверхнею, яка називається контрольною поверхнею (оболонкою). Наприклад, газова суміш у циліндрі з поршнем (рис. 1.1) розглядається як термодинамічна система, навколишнім середовищем є повітря, а контрольною оболонкою є стінки циліндра та поршня. Взаємодія системи з навколишнім середовищем, тобто обмін енергією або субстанцією здійснюється через контрольну оболонку. Наявність Рис. 1.1. Схема термодинамічної контрольної оболонки є необхідною для системи правильного складання балансів субстанції, енергії та ексергії. З погляду проникності контрольної оболонки для субстанції та енергії їй приписують ідеалізовані властивості. У разі механічної взаємодії системи з навколишнім середовищем переміщуються окремі елементи контрольної оболонки внаслідок зміни об’єму і система виконує роботу (або над нею виконується робота). У разі теплової взаємодії відбувається обмін тепловою енергією між системою та навколишнім середовищем. Спосіб або форма, за якими здійснюється передача енергії, називається родом взаємодії. Кількість родів взаємодії, за якими Рис. 1.2. Схеми взаємодії систем з навколишнім система може переда- середовищем вати енергію, називається числом термодинамічних степенів вільності системи. Наприклад, система на рис. 1.1 може обмінюватись енергією завдяки зміні об’єму (механічна робота). Це механічний або деформаційний степінь вільності. Крім цього, система може обмінятись енергією завдяки підведенню чи відведенню теплової енергії. Цей другий степінь вільності називається тепловим або термічним. Системи, які мають більше степенів вільності (деформаційний, термічний, електричний та інші), називаються складними. В термодинаміці розглядають, як правило, прості системи, які мають два степеня вільності (деформаційний і термічний). Такі системи називаються термодеформаційними. Система, яка, крім енергії, обмінюється із зовнішнім середовищем ще й субстанцією, називається відкритою (рис. 1.2, а), а система, яка не обмінюється субстанцією з навколишнім середовищем, – закритою (рис. 1.2, б). Система, яка не обмінюється теплотою з навколишнім середовищем, називається теплоізольованою або адіабатичною. Адіабатична система може бути відкритою (рис. 1.2, в) або закритою (рис. 1.2, г). Система, яка не обмінюється з навколишнім середовищем ні енергією, ні субстанцією, називається ізольованою (рис. 1.2, д). 1.3. КІЛЬКІСТЬ СУБСТАНЦІЇ. РОБОЧЕ ТІЛО Все, що має масу, називається матерією. Матерія виступає у двох формах – субстанціальній і несубстанціальній. Субстанціальною називається матерія, маса спокою якої відмінна від нуля (тіла, молекули, атоми). Матерія, яка не має маси спокою, називається несубстанціальною (фотони). У системі СІ за основну одиницю кількості субстанції прийнято 1 моль. Один моль – це кількість молекул вуглецю С12, яка міститься у масі вуглецю в 0,012 кг. Тоді один моль довільної субстанції дорівнює кількості молекул вуглецю, яка знаходиться у 0,012 кг маси. На практиці часто використовують одиницю, кратну молю, – кіломоль (1000 моль). Часто кількість субстанції визначається за допомогою маси. Маса субстанції, згідно з теорією відносності, залежить від її енергетичного рівня. В системі СІ за одиницю прийнято таку кількість субстанції, маса спокою якої в нормальних енергетичних умовах складає 1 кг (так званий нормальний кілограм). Беручи до уваги, що прирости енергії, які спостерігаються в техніці, мають нескінченно малий вплив на масу, в технічній термодинаміці виступає тільки понятова різниця поміж масою m і кількістю субстанції G. Ці величини виражаються в тих самих одиницях і мають те ж саме числове значення G = m . Поряд з масою, коли це буде потрібно, будемо користуватися кількістю речовини n (кількість молів). Тоді маса речовини визначиться із співвідношення m = mn , де m – молярна маса. Усі параметри, що розраховані на цій основі, називаються мольними (молярними) і позначаються індексом m. Наприклад, молярний об’єм Vm = V / m , де V – загальний об’єм речовини, м3. Важливу роль у процесах взаємодії системи з навколишнім середовищем та в процесах перетворення енергії в теплових машинах відіграє речовина, яка дістала назву робочого тіла (агента). До робочого тіла ставляться певні вимоги: воно має бути недорогим, поширеним у природі, неагресивним до матеріалу обладнання, в якому воно використовується, і мати певні теплофізичні характеристики (невисока температура насичення, значна теплота фазового перетворення, високоентальпійність тощо). Як робоче тіло широко використовуються вода і водяна пара, хладони, гази, суміші рідина – пара, повітря тощо. Робоче тіло розглядається як окремий випадок термодинамічної системи. Система, яка складається із речовин з однаковими фізичними властивостями, називається фізично однорідною. Однорідна система, в середині якої немає поверхонь поділу, називається гомогенною. Система, яка складається з декількох частин з різними фізичними властивостями (вода і пара, лід і пара і под.), що відокремлені видимими поверхнями поділу, називається гетерогенною. Гетерогенні частини (лід, вода, пара) називаються фазами. Залежно від кількості фаз гетерогенні системи бувають дво-, три- або чотирифазними. Хімічно однорідна частина системи називається компонентом. 1.4. ТЕРМОДИНАМІЧНИЙ СТАН І ПАРАМЕТРИ РОБОЧИХ ТІЛ Робоче тіло залежно від зовнішніх умов має різні властивості і може перебувати у різних станах. Оскільки в класичній термодинаміці розглядають макроскопічні системи, то стани термодинамічної системи описуються за допомогою макроскопічних фізичних величин, значення яких можна виміряти дослідним шляхом без знання передісторії системи (T, p, V, m). Якщо вони набувають стійкого значення, то говорять, що система перебуває в певному стані. А фізичні величини, які характеризують цей стан, називаються термодинамічними змінними або параметрами стану. Щоб визначити, чи дана фізична величина є параметром стану, необхідно розглянути її зміну при переході системи із одного стану в інший. Якщо зміна величини залежить виключно від початкового і кінцевого станів, то така величина є параметром стану. Якщо зміна фізичної величини залежить від способу переходу від початкового до кінцевого стану (залежить від передісторії системи), то така величина не є параметром стану (робота, теплота). Не всі параметри стану можуть змінюватися незалежно один від одного. Завжди можна виділити кілька незалежних параметрів, за якими визначають всі параметри стану. Вибір незалежних параметрів є довільним, але кількість їх обмежена. Параметри, які не входять до незалежних і які не вимірюються безпосередньо, називаються функціями стану (ентальпія, ентропія, ексергія та ін.). Теоретично всі величини, які вимірюються, можуть бути використані як термодинамічні параметри. Але доцільно вибирати такі параметри, які дадуть найпростіші співвідношення і які безпосередньо зв’язані з процесами, що відбуваються у системі. Як показує дослід, тепловий стан газу певної маси однозначно може бути охарактеризований за допомогою трьох параметрів, які можна виміряти: об’єму V, тиску p і температури T. Сукупність цих параметрів повністю характеризує тепловий стан системи, тому їх називають основними термічними параметрами. Параметри стану системи, які визначаються сумою параметрів стану всіх окремих частин системи (об’єм V, маса m та інші), називаються екстенсивними. Отже, екстенсивні параметри пов’язані з розміром термодинамічної системи. Параметри, значення яких не залежить від розмірів системи і залишаються однаковими в усіх її частинах, називаються інтенсивними параметрами стану (температура, тиск та інші). Для більшості термодинамічних задач зручніше користуватися питомими величинами, тому що вони поводять себе як інтенсивні параметри і в стані рівноваги залишаються однаковими у кожній точці гомогенної системи. Будь-який екстенсивний параметр, поділений на масу m, стає відповідним інтенсивним параметром або питомою величиною. В подальшому всі питомі та, як виняток, екстенсивний параметр – масу будемо позначати малою літерою. Питомий об’єм – це відношення об’єму, який займає речовина, до її маси, м3/кг: v =V /m , (1.1) де m – маса речовини, кг. Величина, обернена до питомого об’єму, називається густиною. Густина – це кількість речовини в одиниці об’єму, кг/ м3: r = m /V . (1.2) Тиск. Із молекулярно-кінетичних уявлень тиск – це середня сила ударів молекул, що перебувають у безперервному хаотичному русі, яка припадає на одиничну площу стінки посудини і розраховується за рівнянням p= 2 mv 2 n0 , 3 2 (1.3) де n0 – концентрація молекул; m – маса молекули; v 2 – середньоквадратична швидкість поступального руху молекул. Отже, тиск дорівнює 2/3 кінетичної енергії поступального руху молекул в одиниці об’єму. Рівняння (1.3) називається основним рівнянням молекулярнокінетичної теорії газів. Воно встановлює якісний і кількісний зв’язок між макроскопічними параметрами газу як сукупності (колективу) молекул і середніми значеннями тих величин, які характеризують рух кожної молекули зокрема. Зважаючи на те, що немає ніякого сенсу говорити про тиск однієї чи малої кількості молекул, можна стверджувати, що тиск має статистичний характер. Виходячи з макроскопічних уявлень, тиск – це нормальна складова сили, яка діє на одиничну площину: p = Fн / A , де Fн – нормальна складова сили; A – площа площини. (1.4) У міжнародній системі одиниць тиск виражається в паскалях: 1 Па = 1 Н/м2. Паскаль – дуже мала величина, тому використовують 1 кПа = 103 Па або 1 МПа = 106 Па. Крім того, в техніці тиск виражають в атмосферах, у висотах стовпчика рідини, у барах (1 бар = 105 Па). Зв’язок між цими величинами такий: фізична атмосфера: 1 атм = 760 мм рт. ст. = 1,0332 кгс/см2 = 101325 Па = = 10332 мм вод. ст. = 1,013 бар; технічна атмосфера: 1 ат =1 кгс/см2 = 735,6 мм рт. ст. = 98069 Па = = 10000 мм вод. ст. = 0,981 Рис. 1.3. До визначення абсолютного тиску Рис. 1.4. Модель схеми термічної рівноваги бар. Вибір фізичної атмосфери зумовлений тим, що 1 атм дорівнює середньорічному барометричному тиску на рівні поверхні світового океану. Вибір технічної атмосфери пов’язаний із зручностями її застосування. Атмосферний (барометричний) тиск pб вимірюють за допомогою барометрів. Для вимірювання тиску, вищого за атмосферний, тобто надлишкового, використовують манометри. Цей тиск називають манометричним pм. Розрядження pв вимірюють за допомогою вакуумметрів. Термодинамічним параметром є абсолютний тиск, тобто тиск, який вимірюється від абсолютного нуля. Тому його розраховують так (рис. 1.3): а) для манометра p = pб + pм ; (1.5) p = pб - p в . (1.6) б) для вакуумметра Температура. Розглянемо дві термодинамічні системи, наприклад А і Б, в кожній з яких параметри мають стійкі значення. Приведемо ці системи в контакт таким чином, щоб вони могли взаємодіяти між собою крізь діатермічну перегородку і повністю були ізольовані від навколишнього середовища (рис. 1.4). Діатермічною називають таку перегородку, крізь яку не відбувається переносу маси, механічної та електромагнітної енергії. Початковий стан сумарної системи буде постійним, системи почнуть взаємодіяти крізь перегородку. Якщо масообміну немає, то така взаємодія пов’язана з передачею теплоти і називається тепловою. З часом система набуде рівноважного стану, який називається термічною рівновагою між системами А і Б. Поняття термічної рівноваги є основоположним при формулюванні загального або нульового начала термодинаміки. За термічної рівноваги параметри стану двох систем залежать один від одного, тобто існує функція f АБ ( p А , v А , p Б , v Б ) = 0 . У цій функції кожен із параметрів залежить від трьох інших. Функцію fАБ можна визначити дослідним шляхом, наприклад спостерігаючи стан термічної рівноваги залежно від початкових станів систем А і Б. Наявність термічної рівноваги свідчить про наявність нового параметра стану – температури – і дає можливість експериментально його визначити. Якщо температура TА тіла А вища, ніж температура TБ тіла Б, то при їх контакті тіло А передає теплову енергію тілу Б. Якщо поміж тілами не відбувається обміну тепловою енергією, то ці тіла знаходяться між собою в термічній рівновазі, тобто тіла мають однакову температуру. Температура – параметр стану, який визначає здатність системи до передачі теплової енергії. Температура – дуже важливе в технічній термодинаміці поняття, яке встановлюється в результаті аналізу теплової взаємодії між тілами, тобто зміни їхніх станів без макроскопічних переміщень. Температура характеризує ступінь нагрітості тіла. Незважаючи на зрозумілість і наочність, таке якісне визначення температури пов’язане із суб’єктивним відчуттям людиною понять “гаряче” чи “холодне”, але воно не дає кількісної характеристики температури. Із молекулярно-кінетичної теорії температура – це міра середньої кінетичної енергії поступального руху молекул: mv 2 3 = kT , 2 2 (1.7) де m – маса молекули; v 2 – середньоквадратична швидкість молекул; k – стала Больцмана ( k = 1,38 × 10 -23 Дж/К). З (1.7) видно, що температура характеризує середню інтенсивність хаотичного руху молекул. Із збільшенням чи зменшенням температури швидкість руху молекул змінюється і при Т = 0 тепловий рух молекул припиняється. Хоча з молекулярно-кінетичних уявлень температура визначається через кінетичну енергію руху молекул, поняття температури не можна застосовувати до однієї або декількох молекул. Не можна говорити про “гарячі” або “холодні” молекули. Поняття температури втрачає сенс, наприклад, стосовно газу в космічному просторі, де концентрація молекул дуже мала. Отже, температура є статистичною величиною і має сенс лише за великої кількості (колективу) молекул. За одиницю температури можна було б взяти одиниці енергії. Одначе використання одиниць енергії в термометрії становить значні метрологічні труднощі. Крім того, історично склалося так, що для температури було запропоновано використовувати спеціальні одиниці – градуси. Пов’язано це з тим, що вимірювати температуру навчилися раніше, ніж було з’ясовано її фізичний зміст. Як видно з наведених визначень, немає Рис. 1.5. Залежність тиску прямих методів вимірювання температури. та об’єму ідеального газу Для вимірювання температури від температури використовують різні фізичні властивості тіл (тиск, об’єм, електричний опір, термоелектрорушійну силу та інше), які змінюються зі зміною температури. Найбільшого поширення в техніці набув метод вимірювання температури за зміною об’єму рідини. За стоградусною шкалою Цельсія при атмосферному тиску температура 0 танення льоду приймається за нуль, а температура кипіння води за тих же умов – за 100 градусів. Позначається температура в цій шкалі через t oС. За стоградусною шкалою температури можуть бути додатними або від’ємними. Однак за цим способом вимірювання температури є певна неоднозначність. Різні тіла мають свої закони зміни об’єму від температури. Тому застосування термометрів з різними рідинами дають різні значення температури в проміжних точках між 0 і 100 oС. Ситуація змінилася після того, як була встановлена лінійна залежність об’єму і тиску ідеального газу від температури (закони Гей-Люссака та Шарля). Виявилось доцільним екстраполювати пряму до перетину з віссю абсцис і вибрати цю точку за нуль градусів (рис. 1.5). Масштаб цієї температури міг бути довільним, але для переходу від однієї шкали до іншої він був вибраний так, щоб інтервал між температурою танення льоду і температурою кипіння дорівнював 100 oС. За цих умов точка перетину лежить на відстані –273,15 oС (див. рис. 1.5). Визначена таким чином температура називається абсолютною і позначається через Т ( T = t + 273,15 ). Одиницею абсолютної температури є кельвін (К). Розмірність температури, визначена за зміною різних фізичних властивостей тіла, буде різною, тому доцільно температуру ввести в ряд основних одиниць із власною розмірністю. Згідно з Міжнародною системою одиниць абсолютна температура вважається термодинамічною температурою, а шкала, побудована за другим законом термодинаміки, називається термодинамічною температурною шкалою. Величина градуса визначається за умови, що потрійній точці води приписується температура 273,16 К (точно). (Потрійною точкою називається такий стан, в якому всі три фази – лід, вода і пара – перебувають у рівновазі). За стоградусної шкали температура потрійної точки води досить точно дорівнює 0,01 oС. На цих проблемах ми зупинимось пізніше. Безпосереднє вимірювання температур за термодинамічною шкалою є дуже складним. На практиці часто доводиться порівнювати покази різних термометрів у різних вузьких інтервалах температур. Для цих цілей можна було використати водневі та гелієві термометри, які найбільш точно підкоряються законам ідеального газу в широкому інтервалі температур (приблизно від точки кипіння гелію 4,2 К до температури затвердіння золота 1064,34 oС). Газова температура збігається з термодинамічною. Але використання їх теж викликає певні незручності. Нормальні умови. Щоб порівняти фізичні характеристики різних робочих тіл, слід звести їх до однакових умов, які називаються нормальними. За фізичні нормальні умови прийнято р = 760 мм рт. ст. = 101325 Па = 1 атм, Т = 273,15 К. 1.5. ТЕРМОДИНАМІЧНИЙ ПРОЦЕС Зміна параметрів системи при переході з одного стану в інший називається термодинамічним процесом. Параметри змінюються завдяки взаємодії системи з навколишнім середовищем, тобто внаслідок обміну енергією з ним. Приклад – рух поршня в циліндрі. Внаслідок передачі деякої кількості механічної енергії система буде стискуватись або розширюватись, тобто будуть змінюватися параметри р, V, Т і система перейде із одного стану в інший. Система, виведена із стану рівноваги і залишена на саму себе за умови, коли немає взаємодії з навколишнім середовищем, самочинно повертається у стан рівноваги. Процес самочинного повернення у стан рівноваги називається релаксацією. Час, упродовж якого система повертається у рівноважний стан, називається часом релаксації. Час релаксації залежить від фізичних властивостей системи і від параметрів, які змінюються у цьому процесі. Так, зміна параметра р поширюється у газі зі швидкістю механічної хвилі і дорівнює швидкості звуку. Час релаксації в цьому випадку t p = 10 -16 с. Для вирівнювання температури потрібен значно більший час (від десятка хвилин до кількох годин). Це пояснюється інерційністю процесів обміну теплової енергії при хаотичному русі молекул. Процес називається рівноважним, якщо параметри змінюються нескінченно повільно у порівнянні зі зміною їх у релаксаційному процесі. Рівноважний процес можна розглядати як послідовний ряд рівноважних станів системи. Ось чому технічна термодинаміка оперує тільки рівноважними процесами, бо тільки такі процеси можна описати чисельно. Рівноважний процес є, у свою чергу, оборотним. Під оборотним розуміють процес, який проходить як у прямому, так і у зворотному напрямках при тих же параметрах, за умови, що при цьому ніяких змін у навколишньому середовищі і в самій системі не відбувається. Приклад – дуже повільний рух поршня в циліндрі. Система встигає обмінятися енергією з навколишнім середовищем і переходить у рівноважний стан. Розрізняють термічно та механічно оборотні процеси. Якщо теплова взаємодія між системою і навколишнім середовищем відбувається за нескінченно малої різниці температур (ізотермічний процес), то такий процес є термічно оборотним. Якщо обмін механічною енергією відбувається за нескінченно малої різниці тисків, то такий процес є механічно оборотним. Якщо процес відбувається за термічної та механічної рівноваги, то такий процес називається повністю оборотним. Під час теплообміну в термічно оборотному процесі, що проходить у зворотному напрямку, теплота відводиться при тій же температурі і ніяких змін не відбувається як у самій системі (внутрішня рівновага), так і в навколишньому середовищі (зовнішня рівновага). Якщо теплообмін здійснюється за якоїсь різниці температур, то відбувається необоротне знецінення теплоти, оскільки теплова енергія переходить на нижчий температурний рівень. Процеси, які відбуваються швидко порівняно з процесами релаксації і йдуть з порушенням рівноваги за наявності різниці температур чи тисків, називаються нерівноважними. Процеси, які проходять у машинах або в природних умовах тією чи іншою мірою, є нерівноважними. Кількісною мірою нерівноважності є різниця потенціалів DП між поверхнею системи і навколишнім середовищем. Чим більше відношення DП/П, тим більший ступінь нерівноважності. В принципі, ступінь нерівноважності може бути як завгодно малим, тобто в граничному випадку нерівноважний процес стає рівноважним. Тому рівноважні процеси називають квазістатичними. Нерівноважні процеси є необоротними, оскільки система проходить різними шляхами в прямому і зворотному напрямках або відбуваються зміни в самій системі чи в навколишньому середовищі. Практично всі реальні процеси є необоротними. Незважаючи на це, вивчення оборотних процесів має велике практичне значення, тому що дає змогу оцінювати ступінь досконалості процесу. У технічній термодинаміці вивчаються в основному рівноважні процеси. У випадках, коли будуть розглядатися нерівноважні процеси, про це буде спеціально повідомлятися. 1.6. НУЛЬОВИЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМІКИ. РІВНОВАГА В ТЕРМОДИНАМІЧНІЙ СИСТЕМІ Розглянемо термічну рівновагу між трьома системами – А, Б і В. Між системами А і Б існує термічна рівновага. Термічна рівновага існує також між системами Б і В. Якщо привести в контакт системи А і В за допомогою діатермічної перегородки, то, як показує досвід, між системами А і В теж зберігається термічна рівновага. Це і є змістом нульового закону термодинаміки: два тіла, які перебувають у термічній рівновазі з третім тілом, будуть у термічній рівновазі і між собою. Нульовий закон термодинаміки виражає транзитивність термічної рівноваги, тобто, якщо системи перебувають у термічній рівновазі, то вони мають однакову температуру. Зміст цього закону довгий час вважався самоочевидним і вперше був сформульований Р. Х. Фаулером у 1931 р., тобто набагато пізніше першого та другого законів термодинаміки. Нульове начало термодинаміки не виводиться із більш простих або більш фундаментальних положень. Це первинний закон, який лежить в основі багатьох положень термодинаміки. Тепер розглянемо систему, яка складається з декількох частин і є в контакті з навколишнім середовищем певних постійних параметрів. Якщо окремі частини системи не перебувають в однаковому стані, то з часом у системі самочинно настане стан стійкої термодинамічної рівноваги. За термодинамічної рівноваги немає передачі теплоти від однієї частини до іншої та їх механічного переміщення. В системі має місце теплова і механічна рівновага. За термодинамічної рівноваги температура і тиск системи будуть дорівнювати температурі і тиску навколишнього середовища. Якщо зовнішні умови зміняться, то це зумовить зміну параметрів системи і такий стан буде продовжуватися доти, поки знову температура і тиск системи не стануть рівними температурі і тиску навколишнього середовища, тобто поки знову не настане рівновага. Виходячи з наведеного прикладу, можна дати таке визначення рівноважного стану. Стан, в який приходить система за постійних зовнішніх умов і в якому термодинамічні параметри p, V, T та інші фізичні властивості в усіх точках системи залишаються постійними у часі і в системі немає потоків речовини і теплоти, називається рівноважним. Тільки в цьому випадку можна говорити про певний тиск чи температуру системи. Тільки такі стани можна кількісно описати або зобразити графічно. Якщо параметри системи в різних точках різні і змінюються з часом, то такий стан називається нерівноважним. Говорити в цьому випадку про якісь Рис. 1.6. Термодинамічна поверхня рівноважного стану певні значення параметрів і чисельно описати такий стан практично неможливо, оскільки існує різниця тисків, температур тощо. Під дією градієнтів параметрів виникають переноси маси та енергії. Як показує дослід, ізольована система з часом обов’язково перейде в рівноважний стан. Переноси маси та енергії в системі припиняються, хоча тепловий рух молекул продовжується. 1.7. ТЕРМІЧНЕ РІВНЯННЯ СТАНУ. ПОВЕРХНЯ І ДІАГРАМИ СТАНІВ Тепловий стан гомогенної термодинамічної системи при фіксованій масі описується за допомогою термічних параметрів p, V, T. Ці параметри зв’язані між собою, і зміна одного із них веде до зміни іншого. Ця залежність може бути описана аналітично у вигляді функції f ( p,V , T ) = 0 або p = f (V , T ) . (1.8) Співвідношення між термічними параметрами системи (1.8) називається термічним рівнянням стану даної маси і в координатах p, V, T являє собою поверхню, яка називається термодинамічною (рис. 1.6). Термодинамічна поверхня – це геометричне місце точок рівноважного стану системи. Однак користуватися термодинамічною поверхнею незручно і на практиці дуже часто переходять на плоске зображення рівноважних станів системи. Для цього поверхню проектують на координатні площини, тобто Рис. 1.7. Термодинамічні діаграми рівноважного стану фіксують один із параметрів. Такі системи координат називають діаграмами стану. Так, у координатах р – V отримують ряд кривих T = const, які називають ізотермами (рис. 1.7, а), у координатах р – T – ряд кривих V = const, які називають ізохорами (рис. 1.7, б), і в координатах V – Т – ряд кривих р = const, які називають ізобарами (рис. 1.7, в). Рівняння стану встановлюють або дослідним шляхом, або на основі молекулярно-кінетичних (статистичних) уявлень. Методами термодинаміки їх установити неможливо. 1.8. РІВНЯННЯ СТАНУ ІДЕАЛЬНИХ ГАЗІВ Основні газові закони були виведені дослідним шляхом значно раніше, ніж була розроблена молекулярно-кінетична теорія газів. Стисло наведемо ці закони. Як відомо з фізики, у 1662 р. Бойль і незалежно від нього у 1676 р. Маріотт відкрили закон: добуток тиску на об’єм в ізотермічних умовах є величиною постійною: pV = const . (1.9) У 1802 р. Гей-Люссак установив, що в ізобаричному процесі об’єм газу пропорційний температурі: V = V0 (1 + aV t ) , (1.10) де V, V0 – об’єми газу відповідно при температурі t і 0 о С; aV – термічний коефіцієнт відносного об’ємного розширення газу. При малих значеннях тиску величина aV є сталою для всіх газів і дорівнює приблизно 1/273,15 = 0,00366. Подібний закон встановив Шарль для ізохоричного процесу: p = p0 (1 + a p t ) , (1.11) де р, р0 – тиски газу відповідно при температурі t і 0 оС. Як показали досліди, aV = a p . Використовуючи поняття абсолютної температури, рівняння (1.10) і (1.11) можна переписати так: V = V0 aT або V1 / V 2 = T1 / T2 ; p = p0 aT або p1 / p 2 = T1 / T2 . (1.12) (1.13) Із законів Бойля – Маріотта і Гей-Люссака можна вивести зв’язок між трьома параметрами: p1V1 / T1 = p2V2 / T2 = pV / T = B = const. (1.14) Постійна величина В у цьому рівнянні не залежить від стану газу, а залежить від його властивостей, тобто від природи газу, і для різних газів буде різною. Рівняння (1.14) для одного кілограма речовини можна переписати так: pv = RT , (1.15) де R – питома (індивідуальна) газова стала або просто газова стала. Це рівняння називається рівнянням стану ідеального газу або рівнянням Клапейрона. Для довільної маси m газу рівняння (1.15) має вигляд pV = mRT . (1.16) Якщо розглядати один моль газу, то рівняння (1.16) перепишеться так: pVm = mRT , (1.17) де Vm – молярний об’єм газу. Згідно із законом Авогадро молярний об’єм газу за однакових умов займає один і той самий об’єм. За нормальних умов Vm = 22,4 л/моль = 22,4 м3/кмоль. Величина mR = Rm називається універсальною газовою сталою. Рівняння (1.17) має універсальний характер. За нормальних умов універсальна газова стала, Дж/(кмоль×К), розраховується так: Rm = pVm T = 101325 × 22,414 » 8314 . 273,15 Питома газова стала, Дж/(кг×К), визначається за рівнянням R= Rm m = 8314 . m (1.18) Спочатку рівняння стану газу були отримані експериментально, а пізніше – аналітично на основі молекулярно-кінетичної теорії газів. При цьому треба було ввести деякі припущення. Так, молекули розглядаються як матеріальні точки, тобто тіла, що не мають розмірів. Молекули між собою не взаємодіють, вони взаємодіють лише під час їх зіткнення, яке відбувається за законом пружних куль. Така модель газу дістала назву ідеального газу. Використовуючи основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії (1.3) та (1.7), можна вивести всі експериментальні газові закони. Дійсно, p= n kT Þ pV = nkT , V де n – кількість молекул в об’ємі V; k – стала Больцмана ( k = Rm / N ). Запишемо це рівняння для одного моля речовини: pVm = NkT = RmT , де N – число Авогадро. Для одного кілограма речовини pv = RT . У реальних газах треба враховувати сили взаємодії між молекулами та їх власний об’єм. Детальніше закони реальних газів будуть розглянуті в розд. 8. Реальні гази при невисоких тисках і невеликій густині з великою точністю підкоряються законам ідеального газу, тому для технічних розрахунків вони цілком придатні. Контрольні запитання і завдання 1. Схарактеризуйте термодинамічний та молекулярно-статистичний методи вивчення явищ природи. 2. Що є предметом технічної термодинаміки? 3. Дайте означення термодинамічної системи. 4. Які існують термодинамічні системи залежно від умов взаємодії з навколишнім середовищем? 5. Що таке робоче тіло? Як поділяються робочі тіла за їх фізичними властивостями? 6. Дайте означення термодинамічних параметрів стану системи. Що таке питомий об’єм, абсолютний тиск і якими одиницями вони вимірюються? 7. Схарактеризуйте термодинамічний процес. Що таке час релаксації? Які процеси називають рівноважними і нерівноважними, оборотними і необоротними? 8. Дайте означення нульового закону термодинаміки. Що таке рівноважний і нерівноважний стани системи? 9. Наведіть основні рівняння стану ідеальних газів. Що таке газова і універсальна газова стала? Розділ 2. ПЕРШИЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМІКИ 2.1. ЗАКОНИ ЗБЕРЕЖЕННЯ МАТЕРІЇ ТА ЕНЕРГІЇ З погляду матеріалістичної філософії рух – це спосіб буття матерії. Матерія без руху не існує, як не існує і рух без матерії. Абсолютна природа руху реалізується в окремих, якісно специфічних формах руху матерії (механічна, теплова, електрична та інші). Мірою руху матерії є енергія. Різним формам руху відповідають різні види енергії. Будь-яка форма руху здатна і змушена, за певних умов, перетворюватися прямо або опосередковано в будь-яку іншу форму руху внаслідок перетворення одного виду енергії в інший. Великий внесок у відкриття закону збереження і перетворення матерії та енергії М. Ломоносова. У праці “Міркування про причини теплоти та холоду” (1745) Ломоносов відкинув ідею існування теплотворної матерії і теорії теплецю і пояснив теплові явища обертальним рухом самих частинок. Щоб довести кінетичну теорію теплоти, Ломоносов наводить факти перетворення механічної енергії в теплоту (тертя, удар тощо) завдяки руху частинок тіла. Уже в цій праці стверджується, що теплота є внутрішнім рухом молекул. Ломоносов вперше у загальному вигляді формулює принцип збереження і перетворення енергії як закон перетворення матерії та руху. Він наводить його трохи пізніше в листі до Л. Ейлера (1748): “Всі зміни, що бувають у природі, відбуваються так, що коли до чого-небудь дещо добавилось, то це віднімається від дечого іншого. Так, скільки матерії добавилось якомунебудь тілу, стільки ж відніметься від іншого... Тіло, яке своїм поштовхом приводить у рух інше, стільки ж втрачає від свого руху, скільки передає його штовхнутому”. У формулюванні Ломоносова немає конкретних кількісних форм цього закону. Проте воно містить чітке й повне означення суті закону збереження і перетворення матерії та енергії. Важливим є те, що цей закон трактується як загальний закон природи. Кількісні форми закону одержано значно пізніше. Так, у 1840 р. Г. Гесс сформулював закон збереження і перетворення матерії та енергії стосовно термохімічних процесів. На основі закону збереження матерії для термодинамічної системи, відокремленої контрольною оболонкою, можна сформулювати закон збереження мас так – кількість підведеної до системи маси m п дорівнює сумі кількості маси, яка залишилася в системі ( Dm c ) і кількості маси, що виведена із системи ( mв ): mп = Dmc + mв . (2.1) Для елементарного процесу, який відбувається дуже швидко, рівняння (2.1) набуває вигляду dmп = dmc + dmв . (2.2) У рівнянні (2.2) тільки dmc є повним диференціалом. З метою уникнення помилок при інтегруванні рівняння (2.2) подамо у вигляді m& п dt = dmc + m& в dt, (2.3) де m& п , m& в – відповідно потоки підведеної до системи і виведеної із системи мас; dt – елементарний відрізок часу. Для теплотехнічного обладнання, яке працює безперервно (котел, турбіна) або періодично (двигун внутрішнього згоряння) в стаціонарному режимі, тобто параметри стану не змінюються в часі або змінюються періодично, кількість маси, що знаходиться всередині системи, є постійною: mc = idem , dmc = 0 і тоді & п = m& в . m (2.4) Велика роль у відкритті закону збереження і перетворення енергії належить працям Ю. Р. Майєра, Дж. П. Джоуля, Е. Х. Ленца, Г. Гельмгольца та інших. У 1842 р. Майєр встановив закон еквівалентності теплоти та роботи і визначив числове значення механічного еквівалента теплоти. В 1843 р. Джоуль, а потім, незалежно від нього, в 1844 р. Ленц встановили цей закон для електричних і теплових явищ (закон Джоуля – Ленца). В 1847 р. Гельмгольц, проаналізувавши велику кількість фізичних явищ (механічних, теплових, електричних та інших), сформулював закон у загальному вигляді. У 1850 р. Клаузіус опублікував фундаментальну роботу “Про рушійну силу теплоти”, де дав математичне доведення закону збереження енергії, пояснив особливості переходу теплової енергії в інші види енергії. Отже, було показано, що закон збереження і перетворення енергії є фундаментальним законом природи і має абсолютний характер. Цей закон читається так: в ізольованій системі енергія не зникає безслідно і не виникає знову, вона лише переходить із одного виду в інший. Загальна сума всіх видів енергій залишається незмінною. Тоді баланс енергії, відокремленої контрольною оболонкою системи (рис. 2.1), запишеться так: E п = DE c + E в , (2.5) де Eп , Eв – відповідно підведена до системи та відведена від системи енергія; DE c – приріст енергії системи. Для елементарного процесу, який відбувається дуже швидко, рівняння балансу запишеться так: dEп = dEc + dEв . (2.6) У рівнянні (2.6) тільки dEc є повним диференціалом. Тоді, як і для балансу мас (2.3), рівняння (2.6) набуває вигляду Рис. 2.1. Схема енергобалансу E& п dt = dE c + E& в dt , системи (2.7) де E& п , E& в – потоки підведеної та відведеної енергії; dt – елементарний відрізок часу. При визначенні величини dEc необхідно врахувати не тільки зміну інтенсивних параметрів стану системи, а також зміну кількості маси. Для однорідної системи dEc = d (mcec ) = mc dec + ec dmc , (2.8) де mc – зміна маси системи за відрізок часу dt ; ec – питома енергія маси системи. При стаціонарному режимі взаємодії із (2.7) запишемо баланс енергії, віднесений до одиниці часу: E& п = E& в . (2.9) 2.2. ВНУТРІШНЯ ЕНЕРГІЯ СИСТЕМИ Під внутрішньою енергією термодинамічної системи розуміють енергію, яка міститься в самій системі. В поняття внутрішньої енергії включають кінетичну енергію поступального, коливального, обертального руху молекул, енергію коливального руху атомів у молекулах і потенціальну енергію взаємодії частинок. Енергії електронних оболонок атомів і внутрішньоядерна в термодинамічних процесах не змінюються, тому і в поняття внутрішньої енергії не включаються. Отже, під внутрішньою енергією ідеального газу в термодинаміці розуміють кінетичну енергію молекул і атомів газу, а в реальних газах слід враховувати ще потенціальну енергію взаємодії частинок: й U = Uк + Uп , де U – повна внутрішня енергія; U к , U п – відповідно кінетична і потенціальна енергія. Розглянемо складові внутрішньої енергії. Як відомо з молекулярно-кінетичної теорії, кінетична енергія поступального руху молекул і атомів є Рис. 2.2. Схема зміни однозначною функцією температури (див. (1.7)). внутрішньої енергії системи Тому, коли Т прямує до 0, кінетична енергія U к теж прямує до 0, і тепловий рух молекул та атомів припиняється, хоча інші види руху зберігаються (наприклад, рух електронів на електронних оболонках атомів). Потенціальна енергія реального газу визначається силами взаємодії між молекулами і залежить від відстані між молекулами, тобто від об’єму або від тиску р. Як бачимо, внутрішня енергія газів залежить від параметрів стану, тобто внутрішня енергія є однозначною функцією стану (або функцією двох будьяких термічних параметрів): U = f 1 ( p, V ); U = f 2 (T , V ); U = f 3 (T , p ). (2.11) Внутрішня енергія є екстенсивним параметром; її значення залежить від маси. Щоб позбутися цієї залежності, вводять поняття питомої внутрішньої енергії, Дж/кг: u = U /m . (2.12) Оскільки внутрішня енергія газу є функцією стану, то зміна її не залежить від характеру процесу, а залежить тільки від початкового та кінцевого станів: 2 Du1- 2 = ò du = u 2 - u1 . (2.13) 1 Це наочно ілюструє рис 2.2. Як бачимо, Du1-a-2 = Du1-б-2 = - Du2-в-1 = - Du2-c-1. З погляду математики нескінченно мала зміна функції стану є повним диференціалом. Наприклад, якщо u = f (v , T ), то дu ö æ дu ö dv . du = æç ÷ dT + ç ÷ è дТ ø v è дv ø T (2.14) Внутрішня енергія ідеального газу, в якому немає взаємодії між молекулами (u n = 0 ), не залежить від об’єму (du / dv )T = 0 і тиску (du / dp)T =0 і однозначно визначається температурою: ¶u ö u = f (T ), du = æç ÷ dT . è ¶T ø v (2.15) Зміна внутрішньої енергії ідеального газу в будь-якому процесі буде залежати від значень початкової та кінцевої температур. Внутрішня енергія складної системи як адитивна величина визначається сумою енергій окремих частин: u = u1 + u2 + ... + u n = å ui . (2.16) Для більшості термодинамічних розрахунків важливо знати не абсолютне значення внутрішньої енергії, а її зміну в процесі. Тому початок відліку енергії можна вибрати довільно. Так, внутрішню енергію ідеального газу при t = 0 oC прийнято за нуль. 2.3. КООРДИНАТИ СТАНІВ І ПОТЕНЦІАЛИ ТЕРМОДИНАМІЧНИХ ВЗАЄМОДІЙ На практиці найчастіше передача енергії в технічному обладнанні відбувається за допомогою електричного струму, виконання механічної роботи, потоків теплоти та термодинамічного тіла. При складанні балансу енергії треба враховувати механічну роботу, яка виконується всіма силами, що діють в системі. Якщо контрольна оболонка перетинається струменем робочого тіла, яке підводиться до системи або відводиться від системи, необхідно враховувати роботу, виконану в місцях перетину струменем контрольної оболонки. Якщо термодинамічна система рухається відносно системи відліку з якоюсь швидкістю, то треба враховувати роботу сил, що викликали цей рух. Якщо при взаємодії системи відбувається зміна форми контрольної оболонки, то в рівнянні балансу енергії необхідно врахувати роботу, виконану при зміні форми контрольної оболонки. Реальні процеси відбуваються за наявності сил тертя. Подолання сил тертя вимагає витрати деякої роботи. Робота тертя змінює енергетичний стан системи так, що система поглинає рівнозначну кількість теплоти Lтр = Q тр , де Lтр – робота проти сил тертя; Q тр – теплота тертя. Робота тертя викликає розсіювання чи дисипацію енергії. Теплота тертя не виступає як окремий складник в рівнянні балансу енергії. Тертя проявляється в середині системи і впливає на кінцеві значення енергії системи та її параметри. Повна теплота Q, яку прийняло робоче тіло, складається з теплоти, підведеної ззовні Q1-2 , і теплоти тертя Q тp : Q = Q1- 2 + Q тp . У разі взаємодії системи з навколишнім середовищем одночасно будуть змінюватися кілька параметрів стану. Але, як показує досвід, за певної взаємодії серед цих параметрів є тільки один, зміна якого у рівноважному процесі характеризує цю взаємодію. Такі параметри називаються координатами термодинамічного стану. Так, механічна взаємодія переміщення контрольної оболонки, тобто зміна об’єму, свідчить про передачу механічної енергії. Отже, об’єм є координатою деформаційного стану. Значно складніше визначити координату, яка характеризує термічний стан системи. Складність пояснюється хаотичністю теплового руху молекул і неможливістю виміряти його характеристики. У 1852 р. Р. Клаузіус показав, що єдиною величиною, що характеризує теплову взаємодію, є величина, названа ним ентропією. Ентропія є координатою термічного стану системи. Хоча прямі виміри ентропії неможливі, Клаузіус показав, як її можна обрахувати через інші величини, котрі можна виміряти. Другою важливою величиною, яка характеризує форму взаємодії системи з навколишнім середовищем, є потенціал цієї форми взаємодії. Під потенціалом термодинамічної взаємодії розуміють параметр стану, різниця якого на контрольній оболонці і в навколишньому середовищі зумовлює взаємодію і передачу енергії даної форми. Наприклад, умовою механічної взаємодії системи з навколишнім середовищем є наявність різниці тисків, а теплової – різниця температур. Отже, потенціалами термодинамічної системи у разі теплової взаємодії є термодинамічна температура, а в разі механічної – тиск. За умови рівності потенціалів на контрольній оболонці і в навколишньому середовищі система перебуває у рівноважному стані і ніякої взаємодії не відбувається. 2.4. ДЕФОРМАЦІЙНА ВЗАЄМОДІЯ. РОБОТА ДЕФОРМАЦІЇ Розглянемо процес механічної взаємодії закритої термодинамічної системи з навколишнім середовищем. Хай система являє собою однорідне газоподібне тіло довільної форми, що оточене еластичною оболонкою, яка не має опору деформації. Оболонка розміщена в оточуючому середовищі з тиском рс (рис. 2.3). Під дією цього тиску всередині системи з часом створюється такий самий тиск, але напрямлений у протилежний бік. Система приходить у механічну рівновагу з навколишнім середовищем. Якщо до системи підвести деяку кількість теплоти dQ *, то температура системи Рис. 2.3. Схема механічної підвищується і об’єм її збільшується на взаємодії робочого тіла нескінченно малу величину dV. Обмін енергією між системами, який пов’язаний зі зміною об’єму, називають деформаційною роботою або роботою розширення. Внаслідок збільшення об’єму система виконує роботу проти зовнішніх сил. Визначимо цю роботу. Для цього розглянемо елементарну площинку dA, яка в процесі рівноважного розширення переміщується по нормалі на відстань dn. Тоді елементарна робота визначиться як добуток сили, яка діє на цю площинку, на її переміщення (сила визначається як добуток pdA ): dL = p dA dn = p dV , (2.17) де dL – елементарна робота деформації елементарного об’єму; dV – приріст елементарного об’єму в результаті деформації системи. Для кінцевого процесу, коли об’єм системи змінюється від V1 до V2, робота розраховується інтегруванням: V2 L1- 2 = ò p dV . (2.18) V1 Отже, деформаційна робота закритої системи у рівноважному процесі дорівнює добуткові тиску на приріст об’єму. В цьому випадку робота системи L дорівнює роботі зовнішнього середовища – L¢, тому що тиски однакові. Оскільки абсолютний тиск – завжди додатна величина, то знак роботи розширення однозначно визначається знаком dV. У разі розширення системи (dV > 0 і dL > 0) роботу виконує система. У разі стиснення системи (dV < 0 і dL < 0) роботу виконують зовнішні сили. Робота 1 кг маси робочого тіла називається питомою роботою: * У термодинаміці для величин, що характеризують процес, прийнято нескінченно малий приріст позначати через d , а для величин стану – через d . v2 L l = ; l1- 2 = ò pdv . m v (2.19) 1 У довільному випадку тиск може змінюватися за певним законом, тоді v2 l1- 2 = ò p(v )dv . v1 (2.20) Залежність p = p(v ) для рівноважного процесу можна зобразити графічно (рис. 2.4). Графічне зображення процесів у p - v -діаграмі називається робочою діаграмою. Як видно з рис 2.4, елементарна робота pdv , з урахуванням масштабу, дорівнює заштрихованій площині. Робота процесу розширення 1–2 дорівнює площі 1 - 2 - v 2 - v 1 - 1 . Отже, робота розширення (стиснення) еквівалентна площі під кривою процесу і залежить від характеру термодинамічного процесу. Так, із початкового стану 1 в кінцевий стан 2 можна перейти різними шляхами. Кожному шляху буде відповідати своя робота l1-a - 2 > l1- 2 > l1-c - 2 . Із цього випливає, що робота, на відміну від внутрішньої енергії, температури, тиску тощо, не є функцією стану, а є характеристикою процесу, тобто механічної взаємодії системи з навколишнім середовищем. Зміна внутрішньої енергії не залежить від шляху переходу системи, тому Рис. 2.4. Робоча діаграма Du1-a - 2 = Du1- 2 = Du1- c - 2 . Інтеграл ò pdv залежить від шляху інтегрування, тому елементарну роботу dl не можна розраховувати за початковим та кінцевим станами системи, тобто через параметри стану. Елементарна робота не є повним диференціалом. Оскільки робота розширення завжди пов’язана із спрямованим переміщенням окремих частин системи (рух поршня, деформація тощо), то вона завжди характеризує упорядковану (макрофізичну) форму передачі енергії і є мірою переданої енергії. У зв’язку з тим, що тиск навколишнього середовища pc > 0 , то частина роботи розширення системи витрачається на подолання сили цього тиску (площа 1¢ - 2 ¢ - v 2 - v 1 , рис. 2.4). Тоді корисна робота розраховується за виразом l1- 2 к = l1- 2 - Fc DX = l1- 2 - Ap c DX = l1- 2 - p c (v 2 - v 1 ), (2.21) де l1- 2 – повна робота розширення; l1-2 к – корисна робота розширення; Fc – сила зовнішнього тиску; А – площа елемента; DX – елементарне переміщення елементів системи; v 1 , v 2 – початковий і кінцевий об’єми системи. Рівняння (2.17), (2.18) і (2.20) можна застосовувати і до термічно необоротних процесів, коли спостерігається градієнт температури при передачі теплоти. Але ці рівняння не можуть застосовуватися до необоротних процесів, що проходять з тертям. У таких процесах частина роботи робочого тіла витрачається на подолання сил тертя і повна робота є меншою, ніж в оборотному процесі. Тоді корисна робота може бути розрахована за виразом l1- 2 к = l1- 2 - p c ( v 2 - v 1 ) - l1-2 тp = l1- 2 - p c (v 2 - v 1 ) - q1- 2 тp , (2.22) де l1- 2 тр = q1- 2 тр – відповідно робота і теплота тертя. 2.5. РОБОТА ЯК УЗАГАЛЬНЕНА МІРА ЕНЕРГЕТИЧНИХ ВЗАЄМОДІЙ СИСТЕМИ Детальне вивчення закономірностей перетворення одних видів енергії в інші показує, що вони мають багато загальних властивостей, які не залежать ні від форми обміну енергією, ні від властивостей робочих тіл, які беруть участь в обміні енергією. Тому стало можливим вивчати ці закономірності з одних і тих же позицій і однаковими методами. Розглянемо це на прикладі визначення роботи складної системи. Крім деформаційної роботи, такі системи можуть виконувати роботу (або над системами виконується робота) без зміни об’єму – внаслідок зміни кінетичної енергії руху, потенціальної енергії положення, а також внаслідок взаємодії з електричними та магнітними полями. Тоді елементарна робота системи в загальному вигляді складається із суми робіт: dLc = dL + dLмех + dLк + dLп + dLe + dLм + ..., (2.23) де dL, dLмех , dLк , dLп , dLe , dLм – елементарні роботи відповідно розширення, механічної, кінетичної, потенціальної, електричної та магнітної взаємодій. Розглянемо, як розраховуються складові елементарної роботи. Для спрощення будемо вважати, що напрямки дії сил і переміщення тіл збігаються. Як відомо з фізики, dLмех = Fdx = madx, (2.24) де F – сила, яка діє на тіло; dx – шлях, пройдений тілом; m – маса тіла; a – прискорення тіла. Робота, яка витрачається на зміну кінетичної енергії системи, dLк = mwdw , (2.25) де w – швидкість поступального руху тіла. Робота, яка витрачається на зміну потенціальної енергії, dLп = mg dh , (2.26) де dh – зміна висоти підйому; g – прискорення вільного падіння. Робота, яка витрачається на подолання сил електричного поля, dLE = Eqdr , (2.27) де E – напруженість електричного поля; q – електричний заряд; dr – шлях, пройдений зарядом. Аналогічно розраховуються елементарні роботи і в разі інших взаємодій. Вирази (2.17), (2.24)–(2.27) для розрахунку елементарних робіт подібні між собою не тільки за формою, а й за фізичною суттю. Будь-яка елементарна робота будь-якого виду визначається як добуток інтенсивної величини на зміну екстенсивної величини, яка характеризує даний вид взаємодії. Інтенсивними величинами є тиск, механічна сила, вага, електрична сила та інші, а екстенсивними – зміни об’єму, шляху, швидкості, положення тощо. Інтенсивні величини дістали назву узагальнених сил Хк, а екстенсивні – узагальнених координат. Тоді елементарна робота будь-якого роду взаємодії дорівнює добутку узагальненої сили на зміну узагальненої координати: dLк = X к dxк . (2.28) У термодинаміці узагальненою силою є потенціал взаємодії Пк. Оскільки в термодинаміці прийнято роботу системи вважати додатною, а роботу зовнішніх сил – від’ємною, то Пк = - X к . Узагальнені координати збігаються з координатами стану системи. Тоді загальний вираз енергетичної взаємодії (2.28) перепишеться так: dQк = П к dxк , (2.29) тобто кількість енергії, переданої у формі роботи за будь-якого роду взаємодії, дорівнює добутку потенціалу заданої взаємодії на зміну відповідної координати термодинамічного стану. Слід пам’ятати, що наведені формули для розрахунку елементарної роботи будь-якої взаємодії будуть справедливими лише для рівноважних процесів. Рис. 2.5. Схеми переведення системи із одного стану в інший шляхом виконання роботи і передачі деякої кількості теплоти 2.6. ТЕПЛОВА ВЗАЄМОДІЯ. ЕНТРОПІЯ Як було зазначено раніше, із багатьох видів енергії є тільки два принципово різних способи (форми) передачі енергії – робота і теплота. Теплообмін не пов’язаний з макроскопічним переміщенням системи. Теплообмін – це передача енергії на молекулярному рівні або шляхом випромінювання. У разі хаотичного руху молекули обмінюються енергією. Аналітичне визначення кількості переданої енергії на молекулярному рівні є складною задачею. Крім того, теплова енергія робочому тілу може передаватись і внаслідок виконання роботи. Розглянемо такий приклад. У закритій адіабатичній посудині міститься робоче тіло в стані 1. Переведемо робоче тіло в стан 2 двома способами. За першим система переводиться в стан 2 внаслідок виконання крильчаткою деякої роботи L1–2 (рис. 2.5, а). Завдяки цьому за наявності сил тертя система нагрівається, температура її підвищується від Т1 до Т2, внутрішня енергія зміниться від U1 до U2 і система із стану 1 (р1, V1, Т1) перейде в стан 2 (р2, V1, Т2). Оскільки система адіабатична, то вся виконана над системою робота іде на зміну внутрішньої енергії: L1ад- 2 = U 2 - U1. (2.30) Тепер переведемо систему в стан 2 підведенням деякої кількості теплоти (рис. 2.5, б). Теплота може передаватись як за рахунок безпосереднього контакту, так і випромінюванням. Видалимо на одній із стін камери ізоляцію і через діатермічну оболонку приведемо систему в контакт з тепловіддавачем, який має постійну температуру Т = Т2. З часом система із стану 1 (р1, V1, Т1) перейде в стан 2 (р2, V1, Т2) і в системі настане термодинамічна рівновага. Внаслідок передачі деякої енергії або кількості теплоти Q1-2 температура системи підвищиться від Т1 до Т2 , внутрішня енергія зміниться від U1 до U2. Через те, що над системою не виконується робота і сама система не виконує ніякої роботи, то вся підведена теплота іде на зміну внутрішньої енергії: Q1-2 =U 2 - U 1 . (2.31) Оскільки внутрішня енергія є функцією стану, то її зміна в обох процесах буде однаковою. Отже, через межу системи енергія може передаватись у формі роботи або теплоти. Як і робота, теплота не є функцією стану. Кількість теплоти, яка передається системі між двома певними станами, залежить від характеру процесу, від шляху, яким система переходить від одного стану в інший. Теплота є характеристикою процесу. Теплота передається тільки за наявності різниці температур від системи з вищою температурою до системи з нижчою. Робота і теплота є різними формами передачі енергії, тому не можна говорити, що тіло має запас теплоти чи роботи. Великий внесок у розвиток уявлень про теплоту і роботу англійського фізика Д. Джоуля. Внаслідок проведених дослідів Д. Джоуль установив, що між виконаною роботою і кількістю підведеної теплоти існує взаємозв’язок: Q = AL , (2.32) де А – коефіцієнт пропорційності, або механічний еквівалент теплоти. Величина А є сталою і не залежить від способу отримання теплоти і роботи, температури тіла та ін. У разі виконання однакової роботи завжди отримаємо однакову кількість теплоти. Величина А залежить від вибору фізичних одиниць, і в Міжнародній системі одиниць (SI) А = 1, тому що робота і теплота вимірюються в джоулях. Великі труднощі становило введення кількісної міри теплової взаємодії робочого тіла з навколишнім середовищем. У зв’язку з хаотичністю теплового руху молекул неможливо знайти параметр, зміна якого характеризувала б зміну стану системи внаслідок передачі енергії у вигляді теплоти. Теоретичний аналіз теплових явищ, проведений Р. Клаузіусом у 1852–1864 рр., дав можливість йому зробити висновок, що елементарну кількість теплоти в рівноважному процесі можна розрахувати за загальною формулою енергетичної взаємодії (2.29), де інтенсивним параметром є термодинамічна температура Т, а екстенсивним, або координатою стану, – ентропія, яка позначається через S: dQ = TdS . (2.33) Детальніше зміст параметра S розглянемо пізніше. Як було показано раніше, температура системи змінюється або внаслідок передачі їй деякої кількості теплоти, або внаслідок виконання системою (чи над системою) деякої роботи. Тому за зміною температури не можна визначити, віддає чи одержує система енергію. Тільки зміна ентропії характеризує процес теплової взаємодії. Оскільки абсолютна температура – завжди додатна величина, то, як видно із (2.33), з підведенням теплоти (dQ > 0) ентропія зростає ( dS > 0) , з відведенням (dQ < 0) – ентропія зменшується (dS < 0) . Щоб розрахувати кількість підведеної (відведеної) в процесі теплоти, треба зінтегрувати вираз (2.33): 2 2 1 1 Q1- 2 = ò dQ = ò TdS . (2.34) У загальному вигляді температура Т є функцією процесу, тому треба знати залежність T=T(S). Тоді рівняння (2.34) перепишеться так: 2 Q1- 2 = ò T ( S )dS . (2.35) 1 Отже, можна зробити висновок, що спільним між теплотою і роботою є те, що вони є енергетичними характеристиками процесів теплової та механічної взаємодії термодинамічної системи з навколишнім середовищем і мірою переданої кількості енергії. Проте теплота і робота суттєво різняться між собою. Так, робота завжди і повністю переходить у теплоту (тертя). Теплота переходить в роботу лише за певних умов (наявність гарячого і холодного джерел енергії і робочого тіла). Пояснюється це тим, що робота – це передача упорядкованої форми енергії, а теплота – передача енергії хаотичного руху молекул. 2.7. РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ЗАКОНУ ТЕРМОДИНАМІКИ ДЛЯ ЗАКРИТИХ СИСТЕМ Дуже часто перший закон термодинаміки розглядають як окремий випадок загального закону збереження і перетворення енергії стосовно тепломеханічних процесів. Розглянемо систему, що перебуває в тепловій і механічній взаємодії з навколишнім середовищем. Внаслідок передачі деякої кількості теплоти dQ об’єм і температура системи збільшаться відповідно на dV і dT. З підвищенням температури інтенсивність теплового руху молекул підвищиться, а отже, збільшиться і кінетична енергія. Збільшення об’єму системи свідчить про те, що збільшилася відстань між молекулами, а отже, і потенціальна енергія. Таким чином, повна внутрішня енергія системи U зростає. З іншого боку, збільшення об’єму системи свідчить про те, що вона виконує роботу L проти зовнішнього тиску. Тоді, враховуючи закон збереження і перетворення енергії, в диференціальній формі з урахуванням знаків можна записати dU = dQ + ( - dL). (2.36) Крім внутрішньої енергії, для довільної системи з кількома степенями вільності потрібно також врахувати так звану зовнішню енергію Езов, в яку входять: кінетична енергія руху системи Ек, потенціальна енергія положення системи в гравітаційному полі Еп, енергія, спричинена дією електричного Ее і магнітного Ем полів та інші. Тоді вираз для зміни повної енергії системи набуде вигляду dE = dU + dE зов = dU + dE к + dE п + dEе + ... = = dU + mwdw + mgdh + E e qdr + ... (2.37) Підставимо (2.37) у (2.36): dU + mwdw + mgdh + Eqdr + ... = dQ - dL . (2.38) Для нерухомих систем і для багатьох задач технічної термодинаміки потенціальними енергіями зовнішніх силових полів можна знехтувати і вираз (2.38) набуде вигляду dU = dQ - dL . (2.39) У термодинаміці вираз (2.39) зручніше записувати у вигляді dQ = dU + dL. (2.40) Для однорідних термодеформаційних систем зручно користуватись питомими величинами. Тоді для 1 кг робочого тіла рівняння (2.40) запишеться так: dq = du + dl = du + pdv . (2.41) Рівняння (2.40), (2.41) – це математичний вираз першого закону термодинаміки, який читається так: теплота, яка надається системі в термодинамічному процесі, іде на приріст внутрішньої енергії і на виконання роботи проти зовнішніх сил. Три величини, що входять у перший закон термодинаміки – внутрішня енергія, теплота та робота – є основними і дуже важливими для розуміння термодинаміки в цілому. Хоча величини Q, U, L мають однакові одиниці виміру – джоулі, фізичний зміст їх суттєво різниться. Так, внутрішня енергія є функцією стану і характеризує енергію, накопичену системою. Теплота і робота не є функціями стану, вони показують кількість переданої (відведеної) енергії системі за умови її теплової і механічної взаємодії. Про запас теплоти або роботи говорити не можна. Теплова і механічна взаємодії – це два способи зміни внутрішньої енергії. Але неможливо виділити окремо складові зміни внутрішньої енергії, спричинені передачею теплоти чи виконанням роботи. В інтегральній формі перший закон термодинаміки набуде вигляду Q1- 2 = U 2 - U 1 + L1- 2 (2.42) q1-2 = u 2 - u1 + l1-2 . (2.43) або в питомих величинах Залежно від характеру процесу кожний із трьох членів першого закону термодинаміки може бути додатним, від’ємним або нульовим. Прийнято підведену до системи теплоту вважати додатною, відведену – від’ємною. Відповідно робота, виконана системою, вважається додатною, а робота над системою – від’ємною. Контрольні запитання і завдання 1. Сформулюйте загальний закон збереження енергії. 2. Що таке внутрішня енергія термодинамічної системи? В чому відмінність внутрішньої енергії ідеального та реального газів? Доведіть, що внутрішня енергія – параметр стану системи. 3. Що таке деформаційна робота системи і як вона розраховується? Як розраховується робота розширення в p–v-координатах? Доведіть, що робота – характеристика процесу. 4. Покажіть, що робота – узагальнена міра будь-яких енергетичних взаємодій системи. 5. Розкрийте фізичну сутність теплової взаємодії системи з навколишнім середовищем. Що мають спільного і чим відрізняються теплота і робота? 6. Запишіть математичний вираз першого закону термодинаміки і проаналізуйте його. Розділ 3. ТЕПЛОЄМНІСТЬ ІДЕАЛЬНИХ ГАЗІВ 3.1. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ Під середньою теплоємністю в інтервалі температур Т1…Т2 розуміють кількість теплоти, яку потрібно надати однорідному тілу, або відняти від нього, щоб змінити його температуру на один градус: C де C T2 T1 T2 T1 = Q1-2 Q = 1-2 , DT1-2 T2 - T1 (3.1) – середня теплоємність тіла в інтервалі температур Т1…Т2; DQ1-2 – кількість теплоти, яка передана тілу в процесі 1–2; Т1, Т2 – відповідно початкова і кінцева температури тіла. Границя, до якої прямує середня теплоємність при DT ® 0 , називається істинною теплоємністю: C = lim DQ DT ®0 DT = dQ . dT (3.2) Як видно з означення, теплоємність є екстенсивним параметром, залежить від маси системи. Щоб позбутися цього, вводять поняття питомої теплоємності, тобто теплоємності одиничної кількості речовини (для спрощення слово «питомий» не вживають). Залежно від вибору одиниці речовини теплоємність газів буває: масовою с – теплоємність 1 кг маси, Дж/(кг×К); об’ємною с¢ – теплоємність 1 м3 газу за нормальних умов, Дж/( м 3 × К ); мольною cm – теплоємність моля речовини Дж/(моль×К). Отже, dQ ; mdT dQ c¢ = ; Vн dT c= cm = dQ , ndT де Vн – об’єм газу за нормальних умов; n – кількість речовини, моль. Між теплоємностями існує такий зв’язок: cm cm c c = ; c¢ = ; c¢ = ; c = c¢ v н , rн m 22,4 (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) де r н , v н – відповідно густина і питомий об’єм тіла за нормальних умов. 3.2. ТЕПЛОЄМНІСТЬ ГАЗУ ЯК ФУНКЦІЯ ПРОЦЕСУ ТА ВЛАСТИВОСТЕЙ РОБОЧОГО ТІЛА Як було показано раніше, кількість теплоти, що передається тілу під час теплової взаємодії з навколишнім середовищем, визначається характером процесу (рис. 3.1). Як видно з рисунка, на ділянках а–б і б–в у разі зміни температури на одну й ту саму величину DТ кількість переданої теплоти Qаб і Qбв буде різною. Нагрівання робочого тіла на один градус залежно від процесу потребує різної кількості теплоти, тобто теплоємність буде різною. Отже, поняття теплоємності має сенс лише тоді, коли відомо характер процесу. Залежно від виду процесу теплоємність одного й того тіла може змінюватися від нуля до ± ¥. Дійсно, як випливає з (3.3), при Т = соnst (ізотермічний процес) с = ¥, а при dQ = 0 (адіабатичний процес) с = 0. Отже, теплоємність не є параметром стану, а характеризує властивості тіла і процесу. Дійсно, підставляючи dQ із (2.33) у вираз (3.2), дістанемо С = ТdS/dT. Повна похідна dS/dT є функцією процесу. Пояснюється це тим, що зміна температури зумовлена не тільки кількістю підведеної в процесі теплоти dQ, а й величиною здійсненої роботи dL, яка визначається фізичними властивостями тіла. Якщо параметр х є постійним, то повна похідна замінюється частинною похідною (¶S / ¶T )х , а теплоємність у цьому процесі позначається Сx. У термодинаміці найбільше практичне значення для газів мають питомі теплоємності при постійних об’ємі v і тиску р: с v = ( ¶q / ¶T ) v ; с p = ( ¶q / ¶T ) p . Установимо зв’язок між cv і c p . Для цього використаємо термодинаміки: перше начало dq = du + pdv . В ізохоричному процесі pdv = 0, тоді c v = ( ¶q / ¶T ) v = ( ¶u / ¶T ) v ; c v = ( ¶u / ¶T ) v . (3.7) Для ідеального газу теплоємність за умови постійного об’єму дорівнює приростові внутрішньої енергії у разі зміни температури на один градус. В ізобаричному процесі c p = ( ¶q / ¶T ) p = = (¶u / ¶T ) p + p ( ¶v / ¶T ) p . (3.8) Оскільки внутрішня енергія ідеального газу не залежить від об’єму і тиску, то частинні похідні можна замінити повним диференціалом (¶u / ¶T ) p = (¶u / ¶T ) v = du / dT = cv . (3.9) Із рівняння стану при p = const (¶v / ¶T) p = R / p , тоді æ Rö c p = cv + p çç ÷÷ = cv + R. è pø (3.10) Подібний вираз можна записати для молекулярної теплоємності: cm p = cm v + Rm . (3.11) Останні вирази називаються рівняннями Майєра. Як видно, теплоємність c p більша за cv . Це пояснюється тим, що в ізохоричному процесі теплота витрачається тільки на зміну внутрішньої енергії, а в ізобаричному – на зміну внутрішньої енергії і роботу розширення. Із рівняння (3.10) випливає фізичний зміст газової сталої – це робота розширення, яку виконує 1 кг газу в ізобаричному процесі у разі нагрівання на один градус. Для реальних газів c p - cv > R , оскільки, крім зовнішньої роботи, частина енергії витрачається на внутрішню роботу проти сил взаємодії молекул. У термодинамічних розрахунках часто використовують відношення теплоємностей cp =k, (3.12) cv де k – коефіцієнт Пуассона або показник адіабати. 3.3. МОЛЕКУЛЯРНО-КІНЕТИЧНА ТЕОРІЯ ТЕПЛОЄМНОСТІ Теплоємність газів може бути визначена на підставі молекулярнокінетичних уявлень. Оскільки Рис. 3.1. Залежність кількості молекулярно-кінетична теорія газів переданої системі теплоти базується на законах ньютонової механіки, від температури Рис. 3.2. До визначення степеня вільності різних молекул газу то застосування її до теплоємностей газів має обмежений характер. Більш задовільні результати дає квантова теорія. Проте для багатьох практичних випадків класична теорія збігається із дослідними даними. Пояснюється це тим, що класична теорія є граничним випадком квантової і має певну сферу застосування, де результати за двома теоріями збігаються. Внутрішня енергія ідеального газу складається з кінетичної енергії його молекул. Виходячи із основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії (1.7), внутрішня енергія одного кіломоля Um = N mv 2 3 3 = N kT = RmT , 2 2 2 (3.13) де N – число Авогадро (6,023×1023); k = Rm/N – стала Больцмана; інші величини загальноприйняті. Для визначення теплоємності газу використаємо закон про рівномірний розподіл енергії за степенями вільності. Цей закон випливає із хаотичності теплового руху молекул. Оскільки жодному з напрямків не надається переваги, то на кожний із можливих напрямків припадає однакова кількість енергії. Під кількістю степенів вільності розуміють найменшу кількість координат, що визначає положення тіла в просторі. Кількість степенів вільності збігається з кількістю можливих переміщень тіла. В молекулярнокінетичній теорії одноатомні молекули газів розглядаються як матеріальні точки, що рухаються поступально. Для матеріальної точки кількість степенів вільності і = 3 (три координати поступального руху) (рис. 3.2, а). Для двохатомних молекул, жорстко зв’язаних між собою, кількість степенів вільності і = 5 (рис. 3.2, б) (три степеня вільності поступального і два – обертального рухів). Для три- та багатоатомних молекул газів кількість степенів вільності і = 6 (рис. 3.2, в). Як показано раніше (див. (1.7)), енергія поступального руху одноатомної молекули mv 2 3 = kT . 2 2 Отже, на один степінь вільності поступального руху молекул в середньому припадає 1/2 kT. Яка енергія буде припадати на один степінь вільності обертального руху? Відповідь на це запитання дає закон рівномірного розподілу енергії за степенями вільності, встановлений Дж. Максвеллом і Л. Больцманом: у рівноважній системі, що складається з великої кількості частинок (молекул), кінетична енергія розподіляється в середньому порівну між різними степенями вільності руху частинок. На кожний степінь вільності при температурі Т в середньому припадає енергія, що дорівнює 1/2 kT. У загальному випадку, коли молекула має і степенів вільності, внутрішня енергія Um = i R T. 2 m (3.14) Розрахуємо молярні теплоємності газів. Якщо газ нагрівається при постійному об’ємі, то згідно з першим законом термодинаміки він не виконує роботи і вся підведена теплота іде на зміну внутрішньої енергії. Для одного моля газу можна записати dQ = dU m = cm v dT , звідки cm v = dU m dT = i Rm . 2 (3.15) Тоді рівняння Майєра (3.11) перепишеться так: cm p = i i+2 Rm + Rm = Rm , 2 2 (3.16) а рівняння (3.12) – i+2 Rm i+2 . k = 2 = i i Rm 2 (3.17) Оскільки для одноатомних газів і = 3, то cm v = 3 Rm = 12,56 кДж/(кмоль×К); 2 cm p = 20,93 кДж/(кмоль×К); k = 1,67. Для двохатомних газів і = 5, cm v = 20,93 кДж/(кмоль×К); cm p = = 29,31 кДж/(кмоль×К), k = 1,41. Для багатоатомних газів і = 6, cm v = 29,31 кДж/(кмоль×К); cm p = = 33,26 кДж/(кмоль×К), k = 1,33. Наведені розрахунки добре підтверджуються дослідними даними для одноатомних газів, в обмеженому інтервалі температур для двохатомних газів і дають дуже слабкий збіг результатів для багатоатомних газів. Для складних молекул типу С2H5OH, C6H6 та інших досліди показують, що навіть за нормальних умов значення cm v дуже різняться. Так, класична теорія теплоємностей для спирту дає cm v = 3 Rm , а за дослідними даними cm v = 8 Rm , тобто для складних молекул треба враховувати і степені вільності коливального руху молекул. У деяких випадках це дає непогані результати. Але і врахування степенів вільності коливального руху дає незадовільні результати для багатоатомних молекул. Другим недоліком класичної теорії теплоємності газів є те, що вона не описує температурної залежності. 3.4. ЗАЛЕЖНІСТЬ ТЕПЛОЄМНОСТІ ГАЗІВ ВІД ТЕМПЕРАТУРИ Для одноатомних газів дослідні значення cm v досить близькі з розрахунковими даними за формулою cm v = 3 Rm і не залежать від 2 температури. Для двохатомних газів молярна теплоємність cm v не завжди дорівнює 5 R . Якщо для них графічно зобразити дослідну залежність cm v (T ) , то одер2 m жимо залежність, що показана на рис 3.3. Як видно, класичне значення 5 cm v = Rm має місце тільки для певного 2 інтервалу температур. Отже, такий характер cm v (T ) є свідченням того, що для двохатомних молекул рівномірний розподіл енергії за степенями вільності виконується Рис. 3.3. Залежність теплоємності лише за певних температур. При Т < Т1 газу від температури значення cm v близьке до 3 Rm , тобто молекули двохатомних газів поводять 2 себе так, ніби для них властиві лише степені вільності поступального руху. В інтервалі температур Т1…Т2 ніби «виморожуються» степені вільностей коливального руху. При Т > T3 з’являються степені вільності коливального руху. Це реалізується при досить високих температурах (для молекул N2, O2, H2 та інших ці температури становлять кілька тисяч градусів). В області кімнатних температур теплоємність cm v двохатомних газів пов’язана з поступальним та обертальним рухами молекул і досить близька 5 до теоретичного значення cm v = Rm . Із зниженням температури 2 3 теплоємність cm v зменшується. Для H2 і D2 (дейтерію) cm v = Rm . Для 2 інших газів це значення cm v не досягається, оскільки вони ще до цього зріджуються. Водень при 60 К поводить себе як одноатомний газ. У випадку пружних молекул двохатомного газу треба врахувати степені вільності коливального руху, тоді максимальне теоретичне значення 7 теплоємності cm v = Rm не досягається, оскільки раніше наступає 2 дисоціація молекул газу на атоми. Отже, розглянута класична теорія теплоємності ідеального газу, навіть при доповненні її уявленнями про поступове «включення» степенів вільності обертального та коливального рухів, не дає задовільного пояснення температурної залежності теплоємності. Для багатоатомних газів ця картина ще більше ускладнюється. Подальший розвиток цієї проблеми показав, що теплоємність газів описується квантовою теорією, яка базується на уявленнях про дискретність енергетичних рівнів молекул. Квантова теорія, основи якої закладено працями М. Планка і А. Ейнштейна, дала змогу подолати труднощі класичної теорії теплоємності. Але опис квантової теорії теплоємності виходить за рамки цього підручника і ми на ньому не будемо зупинятися. У загальному вигляді, згідно з квантовою теорією, залежність дійсної теплоємності від температури описується степеневим поліномом ct = c0 + at + bt 2 + ¼ , (3.18) де ct , c0 – теплоємності газу при температурі t і 0 °С; а, b – постійні величини для даного газу. У технічних розрахунках нелінійну залежність теплоємності від температури замінюють лінійною залежністю типу ct = c0 + at . (3.19) Тоді кількість підведеної в цьому процесі теплоти можна розрахувати за формулою t2 q1-2 = ò ( c 0 + at ) dt . (3.20) t1 У теплотехнічних розрахунках дуже часто доводиться розраховувати кількість теплоти, що Рис. 3.4. Схема визначення підведена при зміні температури не від нуля, а від середньої теплоємності t1 до t2. Такі розрахунки зручно проводити через t середню теплоємність c t2 для цього інтервалу температур (рис. 3.4). 1 Середня теплоємність дорівнює висоті прямокутника t 2 - t1 - 1¢ - 2 ¢ - t 2 , площа якого дорівнює площі прямокутника t1 - 1 - 2 - t 2 : t c t2 = 1 q1- 2 a = c 0 + (t1 + t 2 ). 2 t 2 - t1 (3.21) Тоді кількість теплоти, що підведена до системи в процесі 1–2, t q1-2 = c t 2 ( t 2 - t1 ) . (3.22) 1 У довідковій літературі наведено середні значення теплоємностей від 0 до t ºC, які розраховуються за формулою c t0 = c 0 + at . 2 (3.23) Тоді середня теплоємність в інтервалі температур t1…t2 c t2 = t1 ( c × t - c × t ). t2 0 2 t 2 - t1 t1 0 1 (3.24) Щоб розрахувати дійсні та середні теплоємності газів, у довідковій літературі наведено інтерполяційні формули для певного інтервалу температур. Кількість теплоти, що підведена (відведена) до системи, залежно від одиниць і кількості речовини розраховується так: [ Q1- 2 = q1-2 m = q1-2V н = m с t2 t1 0 × t 2 - с 0 × t1 ] = V [с ¢ × t - с ¢ × t ] . (3.25) н t2 0 2 t1 0 1 3.5. ЕНТАЛЬПІЯ Визначимо повну енергію розширеної системи, що складається із циліндра з газом і поршня з вантажем (рис. 3.5). Потенціальна енергія поршня з вантажем дорівнює потенціальній енергії тиску газу: mg y = pAy = pV , Рис. 3.5. Схема визначення повної енергії розширеної системи де m – маса вантажу; А – площа поршня; g – прискорення вільного падіння; y – висота, на яку піднято вантаж. Повна енергія Е такої системи дорівнює сумі внутрішньої енергії газу U і потенціальної енергії тиску, тобто E = U + pV = H . (3.26) Повна енергія системи дістала назву ентальпії і позначається через H. Термін ентальпія походить від грецького enthalpo – “нагріваю” і був уведений у 1909 р. Х. Камерлінг-Оннесом. Величина pV характеризує потенціальну енергію газу, стиснутого зовнішнім тиском. Отже, ентальпія розширеної системи – це сума внутрішньої і потенціальної енергій, що зумовлена зовнішнім тиском. Одиницею ентальпії є джоуль (Дж). Оскільки параметри U, p, V, що визначають ентальпію, є параметрами стану, то сама ентальпія також є параметром стану і може бути зображена як функція двох будь-яких термічних параметрів (наприклад, H = f 1 ( p , T ), H = f 2 ( p , v ) ). А це говорить про те, що dH є повним диференціалом цих незалежних змінних: ¶H ö æ ¶H ö dH = æç ÷ dp. ÷ dT + ç ¶ T è øp è ¶p ø T (3.27) Ентальпія є екстенсивним параметром, тому вводять поняття питомої ентальпії h, Дж/кг: h= H або h = u + pv = u (T ) + RT . m (3.28) Отже, бачимо, що ентальпія ідеального газу, як і внутрішня енергія, є однозначною функцією температури і не залежить від тиску й об’єму (немає сил взаємодії між молекулами): æ ¶h ö = æ ¶h ö = dh . ç ÷ ç ÷ è ¶T ø p è dp ø v dT Для практичних розрахунків важливо знати не абсолютне значення ентальпії, а її зміну. Оскільки ентальпія є повним диференціалом, то її зміна в будьякому процесі не залежить від характеру процесу, а залежить тільки від початкового і кінцевого станів: 2 Dh1- 2 = ò dh = h2 - h1 = (u 2 + p 2 v 2 ) - (u1 + p1 v 1 ). (3.29) 1 Початок відліку h пов’язаний з початком відліку u. Так, у потрійній точці води u = 0 і h птр = pv = 610,8 × 0,001 = 0,611 Дж/кг. Величина dh для ідеального газу у рівнянні (3.29) може бути визначена: dh = du + dpv = cv dT + RdT = (cv + R ) dT = c p dT . (3.30) Підставимо (3.30) у (3.29): t2 h2 - h1 = ò c p dT = q p . (3.31) t1 Ентальпія ідеального газу дорівнює кількості теплоти, яку потрібно підвести до 1 кг газу в ізобаричному процесі, щоб нагріти його від 0 °С до температури t: t h = ò c p dT . (3.32) 0 Враховуючи визначення ентальпії h і використовуючи р і Т як незалежні параметри, першому законові термодинаміки можна надати інший вигляд: dq = du + pdv = du + d ( pv ) - v dp = dh - v dp . (3.33) Використовуючи вираз (3.30), перший закон термодинаміки можна записати так: dq = c p dT - v dp = dh - v dp . (3.34) В інтегральній формі p2 q12 = h2 - h1 - ò v dp . p1 Коли р = const, то q12 = h2 - h1 . Із рівняння (3.34) можна визначити ізобаричну теплоємність (3.35) cp = dq p æ ¶h ö =ç ÷ . dT è ¶T ø p (3.36) Для ідеальних газів частинну похідну ¶h ¶T можна замінити повним диференціалом, тоді dh . (3.37) cp = dT Отже, ізобарична теплоємність характеризує темп зростання ентальпії і дорівнює зміні її у разі зміни температури на один градус. Ентальпія відіграє велику роль у теплотехнічних розрахунках. Значення ентальпії для різних парів і газів наведено в довідковій літературі. Оскільки в теплотехніці багато теплових процесів відбувається за постійних тисків (котлові агрегати, холодильні установки, теплообмінники тощо), то, користуючись значеннями ентальпії, теплові розрахунки можна значно спростити. Ентальпія широко використовується в графічних методах дослідження термодинамічних процесів і циклів. 3.6. ЕНТРОПІЯ. ТРЕТІЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМІКИ У загальному вигляді обґрунтування існування ентропії є досить складною проблемою. Оскільки ентропія є функцією стану, то треба довести, що диференціал dq/T є повним диференціалом. Дещо простіше це зробити для ідеального газу. Щоб ввести поняття ентропії ідеального газу, використаємо перший закон термодинаміки: dQ = dU + dL = cv mdT + pdV . (3.38) Як було зазначено раніше, величина dQ не є повним диференціалом, але цей вираз можна перетворити у повний диференціал множенням на інтегруючий множник 1/T: dQ cv mdT pdV . = + T T T (3.39) Двочлен праворуч є функцією параметрів стану Т, р, V, тоді член dQ/Т теж є функцією стану, яка називається зміною ентропії S: dS = dQ / T . (3.40) Ентропія є екстенсивним параметром, тому вводять поняття питомої ентропії, Дж/(кг×К): dQ dq = . T mT Ентропія є функцією стану і має цілком визначені значення для кожного стану. Якщо система переходить із стану 1 у стан 2 різними шляхами (рис 3.6), то зміна ентропії не залежить від характеру процесу і визначається тільки початковим та кінцевим станами: s = (3.41) DS1-a -2 = DS1-б-2 = DS1-в-2 = S 2 - S1. Рис. 3.6. Схема визначення Оскільки ентропія є функцією стану системи, зміни ентропії як функції то для її визначення треба задати два незалежних стану параметри: S = f 1 ( p , T ), S = f 2 ( p , V ), S = f 3 (V , T ). Тоді повний диференціал ентропії, наприклад при параметрах р Т і Т, набуде вигляду æ ¶S ö ¶S ö dS = ç ÷ dр + æç ÷ dT . ¶ ¶ p è T øp è øT (3.42) В. Нерст у 1906 р. встановив, що при температурі, що наближається до абсолютного нуля, ентропія речовини теж наближається до нуля: S 0 ® 0 при T ® 0. (3.43) Цей принцип називається третім законом термодинаміки або тепловою теоремою Нерста. Теорема Нерста дає можливість розрахувати абсолютне значення ентропії. Однак у теплотехнічних розрахунках часто доводиться визначати не абсолютне значення, а зміну ентропії в тому чи іншому термодинамічному процесі. Визначимо зміну ентропії 1 кг ідеального газу. Для цього використаємо рівняння першого закону термодинаміки T V 1 11 2 2 dq dv dT ; = cv ò -R ò T T v 1 T V 2 D s1 - 2 = ò T v s2 - s1 = cv ln 2 + R ln 2 . T1 v1 (3.44) Використовуючи запис першого закону термодинаміки, через ентальпію (3.34) зміну ентропії можна розрахувати в змінних Т і р: dq T2 c p dT p2 Rdp = ò - ò ; T T p 1 T p 2 s 2 - s1 = ò 1 s 2 - s1 = c p ln 1 T2 p - R ln 2 . T1 p1 (3.45) Оскільки ентропія є функцією стану, то для колового рівноважного процесу ò ds = 0 . Якщо відомими є ентропія і один з термічних параметрів, то однозначно визначається стан робочого тіла. Надзвичайно зручно задавати стан робочого тіла в координатах T–s. Така діаграма дістала назву теплової. Лінія 1–2 у цій діаграмі зображає Рис. 3.7. Теплова діаграма рівноважний термодинамічний процес (рис 3.7). Оскільки 2 dq = Tds, q1-2 = ò Tds , 1 (3.46) то площа під кривою процесу, обмежена крайніми ординатами і віссю абсцис, еквівалентна теплоті процесу. У зв’язку з цим ця діаграма має широке застосування у графічних розрахунках кількості теплоти в різних процесах теплового обладнання. Із визначення питомої ентропії (3.41) можна встановити зв’язок між ентропією та дійсною теплоємністю речовини за будьякого термодинамічного процесу: c x = T ( ¶s / ¶T ) x . (3.47) Як бачимо, теплоємність речовини є добутком абсолютної температури на частинну похідну ентропії в цьому процесі. Враховуючи поняття ентропії, першому закону термодинаміки за незалежних змінних v і Т можна надати такого вигляду: Tds = du + pdv . (3.48) Якщо незалежні змінні задаються через p і T, то перший закон запишеться так: Tds = dh - v dp . (3.49) Якщо в термодинамічній системі, крім деформаційної роботи, здійснюється робота зовнішніх сил немеханічного характеру, то рівняння (2.41) і (3.34) перепишуться так: k =n Tds = du + pdv + å П k dx k ; (3.50) Tds = dh - v dp + å П k dx k . (3.51) k =1 k =n k =1 КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ 1. Дайте означення середньої та дійсної теплоємностей. Які питомі теплоємності для газів ви знаєте? Запишіть зв’язок між ними. 2. Покажіть, що теплоємність є одночасно функцією процесу і властивостей робочого тіла. 3. Виведіть формулу Майєра для питомих та молярних теплоємностей. 4. Розкрийте фізичні особливості теплоємностей на основі молекулярно-кінетичної теорії газів. Запишіть формули для розрахунків молярних теплоємностей при постійних об’ємі і тиску. Охарактеризуйте недоліки класичної теорії теплоємностей. 5. Як залежить теплоємність газів від температури? Наведіть формули для розрахунку дійсної теплоємності залежно від температури. 6. Як розраховуються середні теплоємності газів у інтервалі температур t1…t2? 7. Що таке ентальпія, її одиниці? Покажіть, що ентальпія є параметром стану. Наведіть формули для розрахунку ентальпії. Як записується перший закон термодинаміки через ентальпію? Запишіть вираз ізобаричної теплоємності газу через ентальпію та охарактеризуйте його. 8. Поясніть, чому ентропія є координатою теплової взаємодії системи? Як вводиться поняття ентропії на основі першого закону термодинаміки? Покажіть, що ентропія є параметром стану для оборотних процесів. 9. Охарактеризуйте третій закон термодинаміки. Наведіть формули для розрахунку зміни ентропії. 10. Що таке теплова діаграма? В чому зручність її використання? 11. Наведіть вирази першого закону термодинаміки з використанням понять теплоємності, ентальпії та ентропії. Розділ 4. ТЕРМОДИНАМІЧНІ ПРОЦЕСИ ІДЕАЛЬНИХ ГАЗІВ У ЗАКРИТИХ СИСТЕМАХ 4.1. МЕТА АНАЛІЗУ ТЕРМОДИНАМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ Під час взаємодії системи з навколишнім середовищем у ній відбуваються термодинамічні процеси. Метою вивчення термодинамічних процесів є розроблення методів визначення функцій зміни параметрів та кількість теплоти dq і роботи dl, якими система обмінялася з навколишнім середовищем. При цьому будуть розглядатися рівноважні процеси закритих систем за умови постійної теплоємності. Для розв’язання цієї задачі використаємо узагальнене рівняння стану (1.14), перший закон термодинаміки (2.41) та означення ентальпії (3.28), ентропії (3.41), внутрішньої енергії (2.13), (3.9) та роботи (2.18), що записані для питомих величин. У термодинамічних процесах, у загальному випадку, тільки два будьяких термічних параметри можуть змінюватися незалежно, третій набуває значення, яке відповідає рівнянню стану (1.14). Але для практичних випадків найбільший інтерес становить вивчення деяких часткових процесів, які відбуваються, коли постійним є лише один термічний параметр. До них належать: ізохоричний процес, який проходить при d v = 0, тобто при v = const; ізобаричний – при dp = 0, тобто p = const; ізотермічний – при dT = 0, тобто T = const; адіабатичний – при dq = 0, тобто S = const. Термодинамічні процеси дослідимо в такій послідовності: 1) на основі узагальненого рівняння стану виведемо рівняння процесу; 2) для наочності рівноважні термодинамічні процеси будемо графічно зображати в плоских діаграмах p–v i T–s. Перша діаграма зручна для визначення роботи в процесі, а друга – для визначення кількості теплоти; 3) щоб установити характер взаємоперетворення енергії, запишемо перший закон термодинаміки для цього процесу; 4) на основі першого закону виведемо формули для розрахунку кількості теплоти q1–2 і роботи процесу l1–2; 5) на основі першого закону термодинаміки визначимо зміни трьох функцій стану Du, Dh i DS , які не залежать від характеру процесу, а залежать тільки від початкового і кінцевого стану системи і є загальними для всіх процесів. 4.2. ІЗОХОРИЧНИЙ ПРОЦЕС Рівняння ізохоричного процесу виведемо із (1.14): p1V pV p p T p = 2 Þ 1 = 2 Þ 2 = 2 . T1 T2 T1 T2 T1 p1 (4.1) Як бачимо, в ізохоричному процесі тиск газу пропорційний температурі. У координатах p–v графік ізохори – це пряма лінія, паралельна осі ординат (рис. 4.1, а). У разі підведення теплоти тиск і температура підвищуються, процес відбувається вздовж лінії 1–2. При відведенні теплоти від системи процес проходить вздовж лінії 1 - 2¢ . Оскільки в ізохоричному процесі dv = 0, то перший закон термодинаміки (2.41) набуває вигляду dq = du = c v dT . (4.2) Як бачимо, вся підведена в ізохоричному процесі теплота іде на збільшення внутрішньої енергії. Якщо теплота відводиться, то внутрішня енергія зменшується. Внутрішню енергію і кількість теплоти процесу можна визначити через теплоємність і зміну температури. Якщо вважати c v = const , то 2 2 1 1 q1-2 = ò du = u2 - u1 = ò c v dT = c v (T2 - T1 ) = c v (t 2 - t1 ). (4.3) Якщо в процесі бере участь m кг або Vн м3 газу, то кількість теплоти, або зміна внутрішньої енергії, визначається за формулою Q1- 2 = DU 1-2 = mc v (t 2 - t1 ) = V н c ¢v (t 2 - t1 ) , де Vн – об’єм газу за нормальних умов. Рис. 4.1. Графічне зображення ізохоричного процесу Якщо врахувати залежність теплоємності від температури, то q1- 2 = u 2 - u1 = c 02 × t 2 - c 01 × t = c t 2 × (t 2 - t1 ) . t t t 1 (4.4) Робота розширення в ізохоричному процесі дорівнює нулю, оскільки dv = 0 і pdv = dl = 0. Зміна ентропії визначається за формулою (3.44): 2 T p dq 2 c v dT =ò = c v ln 2 = c v ln 2 . T T T p1 1 1 1 2 Ds1-2 = ò ds = s 2 - s1 = ò 1 (4.5) Як бачимо, зміна ентропії в ізохоричному процесі має логарифмічний характер (рис. 4.1, б). У разі підведення теплоти dq > 0 і ds > 0 (лінія 1–2), у разі відведення – dq < 0 і ds < 0 (лінія 1–2¢). Оскільки в ізохоричному процесі сv dT = dq = Tds , то крутість ізохори у T–s-діаграмі визначається рівнянням tga = dT T . = ds cv (4.6) Площа під кривою процесу в координатах T–s відповідає кількості підведеної (відведеної) теплоти та зміні внутрішньої енергії. Оскільки зміна внутрішньої енергії ідеального газу є однозначною функцією стану і не залежить від характеру процесу, то площа під кривою в ізохоричному процесі на T–s-діаграмі відповідає зміні внутрішньої енергії будь-якого термодинамічного процесу у цьому інтервалі температур. Якщо у першому законі термодинаміки величину dq зобразити колом, роботу l – прямокутником, а внутрішню енергію – трикутником, то схема енергобалансу має вигляд, показаний на рис 4.1, в. 4.3. ІЗОБАРИЧНИЙ ПРОЦЕС Рівняння ізобаричного процесу із (1.14) pV1 pV2 V T = Þ 2 = 2 = ... = const . T1 T2 V1 T1 (4.7) В ізобаричному процесі об’єм пропорційний абсолютній температурі. В координатах p–v ізобаричний процес зображається лінією, паралельною осі абсцис (рис. 4.2, а). Якщо теплота підводиться до системи, то об’єм і температура зростають (лінія 1–2), а якщо відводиться, то падають (лінія 1–2¢). Перше начало термодинаміки в цьому процесі має звичайний вигляд (2.41). Зміна внутрішньої енергії визначається, як і в ізохоричному процесі, за Рис. 4.2. Графічне зображення ізобаричного процесу формулами (4.3), (4.4). Питома робота розширення v2 l1-2 = ò pdv = p (v 2 - v 1 ) = R (T2 - T1 ) . (4.8) v1 Якщо в процесі бере участь m кг газу, то робота визначається за формулою L1-2 = mp (v 2 - v 1 ) = p (V2 - V1 ) (4.9) L1-2 = mR (T2 - T1 ). (4.10) або Площа під кривою процесу на р–v-діаграмі відповідає роботі. При цьому знак роботи визначається знаками dv і dT. У випадку розширення і нагрівання системи робота буде додатною. Кількість теплоти, що підведена в процесі при c p = const, 2 2 1 1 q1-2 = ò c p dT = c p (T2 - T1 ) = ò dh = h2 - h1 . (4.11) Отже, визначати теплоту в ізобаричному процесі дуже зручно за допомогою зміни ентальпії. Для m кг або Vн м3 газу Q1-2 = mc p (t 2 - t1 ) = Vн c ¢p (t 2 - t1 ). (4.12) У разі змінної теплоємності кількість теплоти q1-2 розраховується за допомогою середньої теплоємності c p t2 t1 : q1 - 2 = c p t2 0 × t2 - c p t1 0 × t1 = c p t2 t1 × ( t2 - t1 ) . (4.13) Оскільки в ізобаричному процесі змінюється не тільки об’єм, а й температура , то теплота процесу витрачається на зовнішню роботу і зміну внутрішньої енергії. Виведемо співвідношення між частками теплоти, що витрачаються на здійснення роботи і зміну внутрішньої енергії. Для цього використаємо перший закон термодинаміки: dq = du + dl , або 1= du dl + . dq dq (4.14) Оскільки du = сvdT, а dq = cpdT, то, підставивши їх в (4.14), дістанемо 1= cv dT dl , + c p dT dq або 1 dl =1- . k dq (4.15) Тоді частка теплоти, яка іде на зміну внутрішньої енергії, буде du 1 = . dq k (4.16) Отже, в ізобаричному процесі частки теплоти, що витрачаються на зміну внутрішньої енергії і виконання зовнішньої роботи, набувають певних значень і визначаються фізичними властивостями газу (k). Так, для одноатомних газів k = 1,67, du/dq = 0,599, dl/dq = 0,401. Для двохатомних газів k = 1,4, du/dq = 0,715, dl/dq = 0,285. Для трьох- і багатоатомних газів k = 1,33, du/dq = 0,751, dl/dq = 0,249. Отже, із збільшенням атомності газів частка теплоти, що витрачена на зміну внутрішньої енергії, збільшується, а на виконання роботи – зменшується. Зміна ентропії при ср = const визначається так: 2 T2 1 T 2 c dT T v dq p = ò = c p ln 2 = c p ln 2 . T T T v1 1 T T s 2 - s1 = ò ds = ò 1 (4.17) 1 Як бачимо, залежність ентропії від температури в ізобаричному процесі має логарифмічний характер (рис. 4.2, б). Під час нагрівання (Т2 > Т1) ентропія зростає (ds > 0), під час охолодження (Т2 < Т1) – зменшується (ds < 0). Оскільки в ізобаричному процесі Tds = dq = cpdT, то крутість ізобари у T– s-діаграмі визначається рівнянням tga = dT T = . ds c p (4.18) Враховуючи, що ср > cv , ізохора у T–s-діаграмі крутіша, ніж ізобара. Площа під кривою процесу еквівалентна кількості теплоти q1- 2 , яка в цьому процесі дорівнює зміні ентальпії Dh1- 2 . Оскільки ентальпія є однозначною функцією стану, то її зміна не залежить від характеру переходу системи з початкового стану в кінцевий і площа під кривою ізобаричного процесу буде еквівалентна зміні ентальпії у будь-якому процесі в цьому інтервалі температур. Схему енергобалансу процесу показано на рис. 4.2, в. 4.4. ІЗОТЕРМІЧНИЙ ПРОЦЕС Ізотермічний процес проходить при Т = const, тому рівняння стану буде p1v 1 = p2 v 2 = ¼ = const; p2 / p1 = v 2 / v 1 = ¼const. (4.19) Співвідношення (4.19) є законом Бойля–Маріотта. Як бачимо, в ізотермічному процесі тиски і об’єми обернено пропорційні. В координатах p–v ізотерма є рівнобічною гіперболою (рис. 4.3, а). Крутість ізотерми у p–v-координатах можна визначити із рівняння (4.19). Для цього здиференціюємо його: vdp + pdv = 0, тоді dp p (4.20) tga = =- . dv v Рівняння першого закону термодинаміки для ізотермічного процесу Рис. 4.3. Графічне зображення ізотермічного процесу 2 dq = pdv ; q1- 2 = ò pdv . (4.21) 1 У цьому процесі (Т = const) зміни внутрішньої енергії du = cvdT = 0 і ентальпії dh = cрdT = 0, тобто процес відбувається одночасно при u = const і h = const. Вся підведена теплота витрачається на виконання роботи. Щодо виконання роботи, то ізотермічний процес є найбільш ефективним. З підведенням теплоти (процес 1–2) система розширюється і виконує додатну роботу. З відведенням теплоти система стискується і робота буде від’ємною. Виведемо вираз для обчислення роботи і кількості теплоти, використавши формулу (4.21): 2 v1 1 v1 q1- 2 = l1- 2 = ò pdv = ò RT v dv p = RT ln 2 = RT ln 2 . v v1 p2 (4.22) Використовуючи рівняння Клапейрона–Менделєєва, роботу і кількість теплоти можна знайти за формулою v p q1- 2 = l1- 2 = p1v 1 ln 2 = p1v 1 ln 1 (4.23) v1 p2 або v p q1- 2 = l1- 2 = p2 v 2 ln 2 = p2 v 2 ln 1 . (4.24) v1 p2 Через те що теплоємність в ізотермічному процесі не має числового значення (ст = ± ¥), неможливо визначити кількість теплоти за теплоємністю. Роботу і кількість теплоти визначають також за ентропією: q1- 2 = ò Tds = T (s 2 - s1 ) . (4.25) На діаграмі T–s-ізотерма зображається прямою, паралельною осі абсцис (рис. 4.3, б). З підведенням теплоти (лінія 1–2) dq > 0 і ентропія зростає (ds > 0), з відведенням – dq < 0 і ds < 0. Площа під кривою процесу відповідає кількості теплоти процесу. Зміну ентропії можна розрахувати так: 2 2 dq q12 Ds1-2 = s2 - s1 = ò ds = ò = . (4.26) T T 1 1 Підставивши q1–2 із (4.21) і (4.22), дістанемо вирази для визначення зміни ентропії: æ ö æ p ö (4.27) s 2 - s1 = R ln ç v ÷ = R ln ç 1 ÷ ç v1 ÷ è p2 ø è ø або pv æv ö pv æ p ö s2 - s1 = 1 1 ln ç 2 ÷ = 1 1 ln ç 1 ÷ . (4. 28) T v T 1 ø è è p2 ø Замість p1v1 у рівнянні (4.28) можна використати p2 v2. Схему енергобалансу ізотермічного процесу показано на рис. 4.3, в. 4.5. АДІАБАТИЧНИЙ ПРОЦЕС Адіабатичний процес відбувається без теплообміну з навколишнім середовищем (dq = 0). За реальних умов адіабатичним можна вважати процес, який проходить в обладнанні з ідеальною теплоізоляцією або коли процес відбувається дуже швидко і система не встигає обмінятися теплотою з навколишнім середовищем. Перший закон термодинаміки у цьому випадку 0 = du + dl , du = - dl , - du = dl , (4.29) тобто в адіабатичному процесі система виконує роботу завдяки зменшенню внутрішньої енергії, а коли витрачається зовнішня робота, то внутрішня енергія системи збільшується. Складемо рівняння адіабати. Для цього підставимо вирази для du і dl у рівняння (4.29) і дістанемо c v dT + pdv = 0 ; c v dT + RT dv = 0 . v Розділивши змінні, зінтегруємо цей вираз при постійній cv : T2 dT R v2 dv T2 ò T = - c ò v ; ln T = 1 v v1 T1 c p - cv v 2 v = - ( k - 1) ln 2 , ln cv v1 v1 де k = cp/сv – показник адіабати. Після потенціювання дістанемо рівняння адіабати Рис. 4.4. Графічне зображення адіабатичного процесу T2 æ v 1 ö ÷ =ç T1 çè v 2 ÷ø k -1 ; T1 v 1k -1 = T2 v k2 -1 . (4.30) Щоб записати рівняння адіабати (4.30) у змінних p, v , підставимо Т із рівняння стану: p1v 1 k -1 p 2 v 2 k -1 v1 = v2 ; R R p1v 1k = p 2 v k2 . (4.31) Рівняння (4.31) вперше було виведено Пуассоном і називається його ім’ям. Якщо в рівнянні (4.31) замінити v його виразом із рівняння стану, то матимемо зв’язок між Т і р: k -1 T1 æ p1 ö k =ç ÷ . T2 è p 2 ø (4.32) На діаграмі p–v рівняння адіабати зображається нерівнобічною гіперболою (рис. 4.4, а). Оскільки k > 1, то адіабата змінюється крутіше, ніж ізотерма. У разі адіабатичного розширення тиск падає швидше, ніж у разі ізотермічного. Питому роботу розширення і зміну внутрішньої енергії можна визначити із (4.29): l1- 2 = - Du 2 -1 = Du1- 2 = u1 - u 2 = - c v (T2 - T1 ) = c v (T1 - T2 ) . (4.33) З урахуванням залежності теплоємності від температури вираз (4.33) для визначення l1–2 та Du1–2 запишеться так: l1- 2 = Du1- 2 = с v t2 × (T1 - T2 ) . t 1 (4.34) Для газу масою m кг або об’ємом Vн м3 вираз (4.33) матиме вигляд L1-2 = mc v (T1 - T2 ) = V н с v¢ (T1 - T2 ). (4.35) Вираз (4.33) можна записати в змінних p і v. Для цього помножимо і розділимо його на R = c p - c v : l1-2 = cv R 1 1 (T - T2 ) = ( RT1 - RT2 ) = ( p v - p2 v 2 ) = c p - cv 1 k -1 k -1 1 1 1 ö k -1 ö æ æ p1 v 1 æ p 2 v 2 ö p1 v 1 ç p 2 é p1 ù k ÷ p1v 1 ç é p 2 ù k ÷ 1= 1= ÷= ç1 ÷= k -1 è p1 v 1 ø k - 1 çç p1 êë p 2 úû ÷÷ k - 1 çç êë p1 úû ÷ ø ø è è k 1 p v æ év ù ö = 1 1 ç1 - ê 1 ú ÷ . (4.36) k -1 ç ëv 2 û ÷ è ø Рівняння (4.36) для розрахунку питомої роботи передбачає незалежність показника k від температури. Досвід показує, що при невисоких температурах k є постійною величиною і для двохатомних газів k = 1,4. З підвищенням температури k зменшується. Для двохатомних газів у межах 0…2000 °С показник адіабати можна визначити за формулою k = 1,40 - 0,5 ×10 -4 t . (4.37) Для визначення роботи m кг газу в формулі (4.36) треба питомий об’єм v замінити загальним об’ємом: k -1 ö æ k -1 p1V1 ç é p2 ù k ÷ p1 × V1 æç é V1 ù ö÷ 1 L1- 2 = ( p1V1 - p 2V2 ) = 1 = 1 . (4.38) k -1 k - 1 çç êë p1 úû ÷÷ k - 1 ç êëV2 úû ÷ è ø è ø Оскільки в адіабатичному процесі dq = 0, то теплоємність с = dq/dT = 0. Зміна ентропії ds = 0 і s = const, тому рівноважний адіабатичний процес ще називається ізоентропійним. 4.6. ПОЛІТРОПНІ ПРОЦЕСИ У техніці дуже часто доводиться аналізувати процеси стиснення і розширення газів у двигунах та компресорах. Ці процеси не можна віднести ні до адіабатичних, ні до ізопроцесів. Вони мають якийсь проміжний стан. Будь-які довільні процеси, що відбуваються в термодинамічних системах, дістали назву політропних. Щоб вивести рівняння політропи, використаємо дві форми запису першого закону термодинаміки – (2.41) і (3.33): dq = du + pdv ; dq = dh - v dp. Якщо позначити через сп теплоємність політропного процесу, то ці рівняння перепишуться так: спdT = сvdT + pdv ; спdT = сpdT – vdp або (сп – сv)dT = pdv; (сп – сp)dT = –vdp. Розділимо друге рівняння на перше: (cп - c p ) ( cп - cv ) =- v dp (cп - c p ) ; pdv + v dp = 0. pdv (cп - cv ) Розділивши змінні та зінтегрувавши останній вираз, дістанемо рівняння політропи (cп - с p ) dv (c п - сv ) ò v +ò dp =0; p (cп - c p ) ln v + ln p = const . (cп - c p ) Після потенціювання (c п - c p ) pv (cп -cv ) = const . (4.39) Позначимо (cп - c p ) (c п - cv ) =n. (4.40) Величина n називається показником адіабати. Тоді рівняння (4.39) набуде вигляду pv n = const . (4.41) Рівняння політропи відрізняється від рівняння адіабати тільки показником степеня. Проте слід підкреслити, що показник адіабати k у загальному випадку є величиною змінною, тоді як показник політропи є постійною величиною для конкретного процесу і залежно від характеру процесу може змінюватися від –¥ до +¥. Так, для ізобари n = 0, оскільки pv0 = p =const, для ізотерми n = 1 (pv1 = const), для адіабати n = k, для ізохори n = ¥. Дійсно, рівняння ізохори можна записати так: pv ¥ 1 ¥ = p v = p 0 v = v = const . Як бачимо, політропний процес є узагальнюючим і включає в себе всі часткові процеси. За аналогією з адіабатичним процесом запишемо рівняння політропи через параметри T i v та T і p: 1- n Tv n -1 = const ; Tp n = const . (4.42) Роботу в політропному процесі можна визначити за такими самими формулами, як і в адіабатичному процесі, замінивши показник k на n: l1- 2 = æ ö 1 ( p1v 1 - p2v 2 ) = R (T1 - T2 ) = RT1 çç1 - T2 ÷÷ = n -1 n -1 n - 1 è T1 ø pv æ T ö pv æ æv ö = 1 1 çç1 - 2 ÷÷ = 1 1 ç1 - çç 1 ÷÷ n - 1 è T1 ø n - 1 ç è v 2 ø è n -1 ö æ ÷ = p1v 1 ç1 - æç p2 ö÷ n ÷ . ÷ n -1 ç ç p ÷ ÷ ç è 1ø ÷ ø ø è n -1 ö (4.43) Кількість теплоти процесу можна визначити за першим законом термодинаміки: q = Du + l. Зміни внутрішньої енергії та ентальпії у політропному процесі обчислюють за загальними формулами, а роботу – за одним із виразів (4.43). Кількість теплоти, що підводиться у політропному процесі, визначається за першим законом термодинаміки: q1-2 = c v (T2 - T1 ) + R (T - T1 ) = æç cv + 1 -R n ö÷ (T2 - T1 ) . 1- n 2 è ø Із (4.40) дістанемо вираз політропному процесі: для теплоємності (4.44) ідеального газу у c п = cv n-k . n -1 (4.45) Член рівняння (4.44) cv + R/(1 – n) також можна звести до виразу (4.45), тоді рівняння (4.44) перепишеться так: q1–2 = сп(T2 – T1). (4.46) Визначимо, які частки теплоти використовуються на зміну внутрішньої енергії і виконання зовнішньої роботи в політропному процесі. Із першого закону термодинаміки 1= du dl + . dq dq (4.47) Частка внутрішньої енергії du cv dT cv = = . dq c п dT cп З урахуванням (4.45) du n -1 = . dq n-k (4.48) Якщо відомо кількість теплоти процесу q1–2, то зміна внутрішньої енергії Du1- 2 = u 2 - u1 = n -1 q . n - k 1- 2 (4.49) Тоді частка теплоти, яка витрачається на роботу, визначається із (4.47) з урахуванням (4.48): dl n -1 1- k = 1= . dq n-k n-k (4.50) Якщо відомо кількість теплоти q1–2, то робота процесу l1- 2 = 1- k q . n 1- 2 (4.51) Як бачимо, частки теплоти, які витрачаються на зміну внутрішньої енергії і роботу розширення, залежать від характеру процесу (n) і фізичних властивостей газу (k). Зміна ентропії у політропному процесі розраховується, як завжди: 2 T2 T 1 1 1 2 c dT T dq n - k T2 ln = ò п = cп ln 2 = cv n - 1 T1 T T T T1 T Ds = s2 - s1 = ò ds = ò (4.52) або æv ö æT ö s2 - s1 = cv lnçç 2 ÷÷ + R lnçç 2 ÷÷ ; T è v1 ø è 1ø (4.53) æp ö æT ö s 2 - s1 = c p lnç 2 ÷ - R lnç 2 ÷ ; T 1 è p1 ø è ø (4.54) Рис. 4.5. Залежність теплоємності політропного процесу від показника æ p2 ö æ v 2 ö політропи s2 - s1 = cv ln ç ÷ + c p lnç ÷. è p1 ø è v1 ø (4.55) 4.7. ТЕПЛОЄМНІСТЬ ПОЛІТРОПНИХ ПРОЦЕСІВ Якщо cv, k i n постійні, то величина cп також є постійною для конкретного процесу. Тому політропні процеси називають ще процесами з постійною теплоємністю. Політропній процес, як уже зазначалося раніше, має узагальнюючий характер, охоплює всю сукупність термодинамічних процесів. Дійсно, для ізохоричного процесу n = ±¥. Підставивши n у (4.45), маємо с п= с v. Для ізобаричного процесу n = 0 і с п = сp , для ізотермічного – n = 1, с п = ±¥, для адіабатичного – n = k, сп = 0. Зобразимо залежність сп = f(n) графічно (рис. 4.5). Як бачимо, теплоємність газів залежить від показника політропи n і є характеристикою процесу взаємодії системи з навколишнім середовищем. Можна встановити три характерні зони зміни теплоємностей: 1) сп > сv при n < 1; 2) сп < 0 при 1< n < k; 3) 0 <сп <сv при n > k. Для другої групи політропних процесів, які лежать між ізотермою і адіабатою, теплоємність є від’ємною величиною. Пояснюється це тим, що у цих процесах газ виконує роботу, яка перевищує кількість підведеної теплоти l1–2 > q1–2, тобто на роботу також витрачається частина внутрішньої енергії і система охолоджується (dT < 0). Виходячи з поняття теплоємності с = (dq/dT)п, бачимо, що чисельник і знаменник мають різні знаки, тобто теплоємність є від’ємною величиною. Рис. 4.6. Зображення політропних процесів у p–v- і T–s-координатах 4.8. ЗОБРАЖЕННЯ ПОЛІТРОПНИХ ПРОЦЕСІВ У p–v- І T–s-КООРДИНАТАХ Характер проходження політропних процесів і їх розміщення на p–v- і T–s-координатах визначається показником політропи n. Щоб проаналізувати взаємодію системи з навколишнім середовищем у політропних процесах при зміні n від –¥ до +¥, виберемо довільно точку 0 і через неї проведемо часткові процеси в p–v- і T–s-координатах (рис. 4.6). Процеси відбуваються як у бік розширення, так і стиснення системи. Часткові процеси ділять усе поле на вісім областей, в межах яких лежать процеси з певними властивостями. Ізохора (n = ¥) ділить поле діаграми на дві зони. Ліворуч від ізохори (області V–VIII) всі процеси проходять завдяки зовнішнім силам, робота від’ємна. Навпаки, процеси, які проходять праворуч від ізохори (область I– IV), виконують додатну роботу, система розширюється. Адіабата (n = k) також ділить усе поле на дві зони. Всі процеси, які відбуваються праворуч і угору від адіабати (області I–III, VIII), проходять завдяки підведенню теплоти (dq > 0), а ліворуч і донизу (області IV–VII) – відведенню теплоти (dq < 0). Ізотерма (n = 1) ділить поле на зони, де процеси відбуваються зі збільшенням внутрішньої енергії (du > 0) (області I, II, VII, VIII) і зменшенням внутрішньої енергії (du < 0) (області III–VI). Особливий інтерес становлять області, де dq і du мають різні знаки (області III i VII). Так, у межах області III процеси відбуваються з підведенням теплоти (dq > 0) і зменшенням внутрішньої енергії (du < 0), тобто з охолод- Рис. 4.7. До визначення показника політропи n у логарифмічних координатах женням системи (dT < 0). Пояснюється це тим, що в цій області виконується додатна робота, Рис. 4.8. Схема визначення калоричних яка більша за підведену кількість параметрів системи за T–s-діаграмою теплоти |l| > |q|, і частина внутрішньої енергії витрачається на роботу. Оскільки dq і dT мають різні знаки, то теплоємність у цій області буде від’ємною (рис 4.6, а). В області VII, навпаки, теплота відводиться (dq < 0), а внутрішня енергія і температура системи підвищуються (du > 0 i dT > 0). Пояснюється це тим, що в межах цієї області всі процеси відбуваються завдяки зовнішнім силам (dl < 0). Робота витрачається на збільшення внутрішньої енергії, а частина її відводиться у вигляді теплоти. На рис. 4.6, б всі ізопроцеси зображено в T–s-координатах. Як бачимо, всі процеси праворуч від адіабати проходять зі збільшенням ентропії (Ds > 0). Відбувається це внаслідок підведення деякої кількості теплоти dq. В областях ліворуч від адіабати всі процеси проходять при Ds < 0 і відведенні теплоти від робочого тіла (dq < 0). Усі процеси, які відбуваються в областях угору від ізотерми (n = 1), проходять із збільшенням внутрішньої енергії і підвищенням температури (du > 0, D T < 0), процеси, які відбуваються донизу від ізотерми, – з охолодженням робочого тіла і зменшенням внутрішньої енергії ( D и < 0, D T < 0). В областях I–III температура підвищується внаслідок підведення теплоти. В областях IV–VI система охолоджується (dq < 0) і температура знижується (DT < 0). В усіх областях, крім III i VII, теплоємність додатна. В областях III i VII знаки dT і dq різні, тому і теплоємність буде від’ємною. У практиці теплотехнічних розрахунків інколи потрібно визначити показник політропи n. Якщо відомі координати двох будь-яких точок, то показник політропи n можна визначити з рівнянь політропи n= lg( p1 / p2 ) lg(T1 / T2 ) n - 1 lg(T2 / T1 ) ; n -1 = ; = . n lg(v 2 / v 1 ) lg(v 2 / v 1 ) lg( p2 / p1 ) (4.56) Якщо перше рівняння політропи записати в логарифмічних координатах, то легко можна визначити показник політропи n (рис. 4.7) графічним методом: lg p + n lg v = const . (4.57) З цього рівняння дістанемо, що n = lg p / lg v = tga , де a – кут нахилу в логарифмічних координатах. Крім того, показник політропи можна визначити також іншими способами, наприклад за точками і площами р–v- або T–s-діаграм. Політропний процес як узагальнюючий дає можливість наочно простежити, як змінюються калоричні параметри системи залежно від показника політропи n і як їх можна розрахувати. Для цього розглянемо довільний політропний процес 1–2п у T–s-координатах (рис. 4.8). Процес здійснюється внаслідок підведення теплоти q, про що свідчить зростання ентропії Ds. Кількість підведеної теплоти дорівнює площі 1–2п–г–а–1. Внаслідок підведення теплоти температура підвищиться від T1 до T2. Зміна питомої внутрішньої енергії в будь-якому процесі дорівнює площі 1–2v–б–а–1 під кривою ізохоричного процесу, який проходить в межах тих же температур T1...T2, що і політропний процес. Оскільки температура системи зростає, то внутрішня енергія і ентропія збільшуються (Du > 0 i Ds > 0). Зміна ентальпії тіла у будь-якому процесі, в тому числі і в політропному, дорівнює площі 1–2р–в–а–1 під кривою ізобаричного процесу, який здійснюється в межах тих же температур T1…T2. Крім того, зміну величин Dh, Du i q можна визначити за умови лінеаризації кривих і введення середніх температур процесу. Наприклад, зміну внутрішньої енергії процесу наближено можна розрахувати за формулою Du = Ds v (T1 + T2 ) . 2 (4.58) За такими ж формулами можна визначити Dh i Dq. Слід відмітити, що заміна криволінійних залежностей прямолінійними призводить до певних похибок у розрахунках. Чим більша різниця DT1–2, тим більша похибка. Для точних розрахунків користуватися такими формулами небажано. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ 1. Дайте означення всіх термодинамічних процесів (ізохоричного, ізобаричного, ізотермічного, адіабатичного і політропного). 2. Виведіть рівняння стану, розрахункові формули для визначення кількості підведеної або відведеної теплоти в ізохоричному процесі. Визначте зміни внутрішньої енергії і ентропії ізохоричного процесу. 3. Виведіть рівняння стану, розрахункові формули для визначення кількості підведеної (відведеної) теплоти і роботи в ізобаричному процесі. Визначте зміни внутрішньої енергії, ентальпії і ентропії в ізобаричному процесі. 4. Виведіть рівняння стану, розрахункові формули для визначення кількості підведеної (відведеної) теплоти і роботи в ізотермічному процесі. Визначте зміни внутрішньої енергії, ентальпії і ентропії в ізотермічному процесі. 5. Виведіть рівняння стану, розрахункові формули для визначення роботи в адіабатичному процесі. 6. Покажіть, що політропний процес є узагальнюючим процесом. Наведіть вирази для визначення показників політропи і теплоємності. В яких співвідношеннях теплота політропного процесу перетворюється в роботу і внутрішню енергію? 7. Наведіть графік залежності теплоємності політропних процесів від показника n і поясніть хід кривої. 8. Зобразіть політропні процеси в p–v- i T–s-координатах і поясніть характер зміни процесів залежно від місця на діаграмах. Як можна визначити показник політропи? Розділ 5. ДРУГИЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМІКИ 5.1. КОЛОВИЙ ПРОЦЕС АБО ЦИКЛ У разі однократного процесу розширення газу можна отримати лише незначну кількість роботи, оскільки через деякий час температура і тиск газу вирівнюються з параметрами навколишнього середовища. Щоб повторно одержати роботу, тіло стисненням треба повернути в початковий стан. Отже, для безперервного одержання роботи розімкнені термодинамічні процеси непридатні. Робоче тіло має здійснювати коловий процес, внаслідок якого всі параметри і функції стану змінюються таким чином, що в кінці циклу набувають початкових значень. На діаграмах цикли зображуються замкненою лінією. Замкнені термодинамічні процеси знайшли широке практичне застосування в теплових машинах, оскільки вони дають можливість безперервно перетворювати теплоту в роботу або переводити теплоту на більш високий потенціальний рівень. Залежно від призначення цикли бувають прямими або зворотними. Прямими називаються цикли, які застосовуються для одержання роботи за рахунок теплоти. За такими циклами працюють усі теплові машини. Зворотні цикли призначені для перенесення теплоти від більш холодних до більш гарячих тіл. За такими циклами працюють холодильні машини і теплові насоси. Зрозуміло, що процес розширення газу потрібно здійснювати вздовж шляху, який відрізняється від шляху стиснення. В протилежному випадку v2 додатна робота розширення Lроз = ò p ( v ) dv буде дорівнювати від’ємній v1 v1 роботі стиснення Lст = ò p ( v ) dv і сумарна робота циклу буде дорівнювати v2 нулю. Щоб одержати додатну роботу, процес розширення має проходити при більш високих тисках, ніж процес стиснення. Цикли в координатах p – v i T–s зображаються замкненими кривими (рис. 5.1, а, б). Припустимо, що з підведенням деякої кількості теплоти Q1 робоче тіло розширюється вздовж лінії 1–3–2. При цьому виконується робота, еквівалентна площі 1–3–2–6–7–1 (рис. 5.1, а). Повернення системи в початковий стан можна здійснити відведенням теплоти трьома шляхами: Рис. 5.1. Графічне зображення циклу 1. Крива стиснення 2–3–1 збігається з кривою розширення. У цьому випадку додатна робота розширення дорівнює від’ємній роботі стиснення і сумарна робота циклу дорівнює нулю. 2. Крива стиснення 2–4–1 лежить над кривою розширення. У цьому випадку робота стиснення Lст, що дорівнює площі 2–4–1–7–6–2, буде більшою за роботу розширення. 3. Крива стиснення 2–5–1 лежить під кривою розширення, і виграш у роботі циклу буде дорівнювати площі 1–3–2–5–1. Кількість підведеної в процесі розширення теплоти Q1 еквівалентна площі 1–3–2–6–7–1 (рис. 5.1, б). Процес підведення теплоти відбувається із збільшенням ентропії (DS > 0). Щоб повернути систему в початковий стан, потрібно відвести деяку кількість теплоти Q2, внаслідок чого ентропія системи зменшується (DS < 0). Отже, кількість теплоти, що перетворюється в циклі у роботу, дорівнює Qц = Q1 – Q2. Як показано раніше, значення підведеної Q1 та відведеної Q2 теплоти залежать від вибраного процесу. Кількість теплоти Q2 залежить від форми шляху, яким система повертається в початковий стан. Якщо система повертається за кривою 2–5–1, то Q2 < Q1, якщо за 2–3–1, то Q2 = Q1, за 2–4– 1 – Q2 > Q1. Тільки в першому випадку у циклі може бути одержана додатна робота. Зінтегруємо перше рівняння термодинаміки для циклу: ò dQ = ò dU + ò pdV . (5.1) Оскільки внутрішня енергія U є функцією стану, то ò dU = 0 . У зв’язку з тим, що ò dQ = Q1 - Q2 = Qц , а ò pdV = Lроз - Lст = Lц , можна записати Q1 - Q2 = Lц . (5.2) Як бачимо, в роботу перетворюється не вся теплота Q1, підведена ззовні робочому тілу, а різниця між підведеною і відведеною в навколишнє середовище. Прямі цикли здійснюються за годинниковою стрілкою, і Lц > 0. Для того щоб цикли здійснювалися за годинниковою стрілкою, треба мати джерела теплоти при високій температурі, які передають робочому тілу теплоту Q1, та джерела при низькій температурі, куди відводиться теплота Q2. Система, від якої відбирається теплота Q1, називається тепловіддавачем або гарячим джерелом теплоти, а система, якій віддається теплота Q2, – теплоприймачем або холодним джерелом. Щоб одержати максимальну роботу, треба здійснювати оборотний цикл і підведена теплота Q1 має бути максимальною, а відведена Q2 – мінімальною. Для цього теплоту Q1 від тепловіддавача до робочого тіла слід передавати в оборотному процесі за нескінченно малої різниці температур (ізотермічний процес). Віддачу теплоти Q2 від робочого тіла до теплоприймача слід здійснювати за таких самих умов. Для того щоб забезпечити умови оборотності, процеси мають проходити з нескінченно малою швидкістю. Якщо температура робочого тіла змінюється в процесі теплообміну, то треба мати нескінченно велику кількість джерел теплоти з нескінченно малою різницею температур і робоче тіло має послідовно контактувати з ними. 5.2. ТЕРМОДИНАМІЧНИЙ АНАЛІЗ ЦИКЛІВ Ефективність перетворення теплоти в роботу, або ступінь досконалості процесу теплової машини, характеризується термічним коефіцієнтом корисної дії ht. Під термічним коефіцієнтом розуміють відношення кількості теплоти, що перетворилась у роботу, до кількості підведеної теплоти: ht = Q1 - Q2 Q L = 1- 2 = ц Q1 Q1 Q1 (5.3) q1 - q2 q l = 1- 2 = ц . q1 q1 q1 (5.4) або через питомі величини ht = Оскільки величина q2 за абсолютним значенням завжди більше від нуля, то термічний коефіцієнт завжди менше від одиниці. Чим більше значення ht, тим досконаліший цикл, тим більше теплоти перетворюється в роботу. Термічний коефіцієнт міг би дорівнювати одиниці лише за умови q1 = ¥ або q2 = 0, чого, як показано вище, здійснити неможливо. Слід зауважити, що назва ht як коефіцієнта корисної дії не є вдалою. Відведення теплоти q2 до холодного джерела не є втратою, це плата за можливість повернути систему в початковий стан після здійснення роботи. Отже, термічний ККД циклу характеризує здатність теплоти перетворюватися в роботу, тобто ht є по суті коефіцієнтом перетворюваності теплоти в роботу в циклі. Перетворити теплоту в роботу можна лише в циклах за умови наявності робочого тіла і двох джерел теплоти, які мають різну температуру. У зворотному циклі робота розширення робочого тіла відбувається при нижчих тисках і температурах, ніж стиснення, і робота розширення менша, ніж робота стиснення. Такий цикл можна здійснити, лише витративши зовнішню роботу. У таких циклах змінюється напрямок переходу теплоти. Так, теплота q2 підводиться до робочого тіла від холодного джерела при низьких температурах. При цьому витрачається деяка зовнішня робота lц, що перетворюється у внутрішню енергію робочого тіла і підвищує його температуру. Сумарна енергія робочого тіла віддається гарячому джерелу (навколишнє середовище) при більш високій температурі. Отже, в циклі здійснюється передача теплоти q2 від менш нагрітого до більш нагрітого тіла. Із закону збереження енергії q2 + lц = q1 . (5.5) За такими циклами працюють холодильні установки. Ефективність такого циклу визначається холодильним коефіцієнтом e, який чисельно дорівнює відношенню кількості теплоти, яка відбирається від холодного джерела q2, до витраченої роботи: e= q2 q2 1 = ; e= -1. lц q1 - q2 ht (5.6) Найбільш ефективним вважається такий зворотний цикл, коли за мінімальної витрати зовнішньої роботи відбирається найбільша кількість теплоти q2. Величина q2 називається питомою холодопродуктивністю. Установки, що працюють за зворотними циклами при більш високих температурах джерел теплоти, ніж у холодильних машинах, називаються тепловими насосами. Вони застосовуються для підвищення потенціалу вторинних теплоносіїв, що потім використовуються для опалення приміщень, у теплообмінних апаратах тощо. 5.3. ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ ТА ФОРМУЛЮВАННЯ ДРУГОГО ЗАКОНУ ТЕРМОДИНАМІКИ Перший закон термодинаміки встановлює чисельний зв’язок між різними видами енергії за умови їх взаємоперетворень у будь-якому процесі. Проте цей закон нічого не говорить про особливості цього перетворення, які процеси можливі і в якому напрямку вони проходять. Як показує досвід, природні процеси є необоротними, нерівноважними і проходять у певному напрямку – в бік досягнення більш стійкого рівноважного стану. Другий закон термодинаміки характеризує особливості перетворення теплової енергії в механічну і навпаки. Оскільки цих особливостей багато, то і формулювань другого закону нині існує багато, але вони мають різну ступінь загальності. Рис. 5.2. Схема Так, під час теплообміну теплота самочинно перетворення теплоти в переходить від тіла з більшою температурою до роботу тіла з меншою температурою. Зворотний процес самочинно відбуватися не може. Для здійснення його потрібно виконати деяку роботу. Виходячи з цієї особливості теплообміну, Р. Клаузіус другий закон термодинаміки сформулював так: теплота не може самочинно переходити від менш нагрітих тіл до більш нагрітих, або некомпенсований перехід теплоти від тіла з меншою температурою до тіла з більшою температурою неможливий. Крім того, перетворення теплоти в роботу і навпаки мають свої специфічні особливості. Так, робота просто і повністю перетворюється в теплоту (завдяки силам тертя). Цей процес є необоротним. Щоб здійснити його, достатньо в навколишньому середовищі мати приймач теплоти. Зовсім поіншому відбувається перетворення теплоти в роботу. Теплоту системи протягом тривалого часу неможливо безпосередньо перетворити у роботу лише охолодженням системи. Для цього потрібно створити спеціальні умови. Так, перетворення теплоти в роботу в теплових машинах відбувається внаслідок передачі деякої кількості теплоти Q1 від гарячого джерела робочому тілу. Робоче тіло, розширюючись, виконує роботу. При цьому не вся теплота перетворюється в роботу. Щоб повернути робоче тіло в початковий стан, треба від нього відвести деяку кількість теплоти Q2 (рис. 5.2). Враховуючи особливості перетворення теплоти в роботу, У. Томсон дав таке формулювання другого закону: теплоту будь-якого тіла неможливо перетворити в роботу, не виконуючи ніякої іншої дії, крім охолодження цього тіла. В. Оствальд, бажаючи надати загальності другому закону термодинаміки, сформулював його так: неможливо створити вічний двигун (perpetuum mobile) другого роду. Під вічним двигуном другого роду розуміють двигун, який міг би працювати з одним джерелом теплоти. Дійсно, якщо допустити, що двигун безперервної дії міг би працювати лише завдяки теплоті від охолодження тепловіддавача, то, використовуючи необмежені запаси теплоти в навколишньому середовищі (атмосфера, вода океанів), можна отримати практично необмежене джерело енергії, тобто вічний двигун. Як показують розрахунки, енергії від охолодження води світового океану лише на 0,01 °С достатньо на покриття потреб енергетичних установок усіх країн земної кулі на 1700 років. Проте, згідно з другим законом термодинаміки, для використання теплоти необмежених джерел потрібно мати теплоприймач з температурою, нижчою, ніж температура навколишнього середовища. Самочинне перетворення роботи в теплоту пов’язано з переходом упорядкованої, організованої форми руху системи, як менш імовірної, у неупорядкований, хаотичний рух частинок системи, як більш імовірний, рівноважний стан. Рівноважні стани імовірніші, тому всі природні процеси прямують до рівноваги. Виходячи з імовірності стану системи, другий закон термодинаміки можна сформулювати так: які б процеси не відбувалися у макроскопічній системі, вона не може самочинно переходити із більш імовірного у менш імовірний стан. Кінцевий стан системи завжди буде або більш імовірним (необоротні процеси), або, принаймні, залишиться таким самим (оборотні процеси). Таке формулювання другого закону є найбільш загальним. Як випливає з наведених формулювань, другий закон термодинаміки узагальнює особливості перетворення теплової форми енергії, виходячи із макрофізичних уявлень. 5. 4. ІДЕАЛЬНИЙ ЦИКЛ КАРНО ТА ЙОГО КОЕФІЦІЄНТ КОРИСНОЇ ДІЇ Щоб одержати максимальну роботу, цикл має бути оборотним, тобто він має складатися лише з оборотних термодинамічних процесів, бо тільки в цьому випадку не відбувається втрат роботи і знецінення (деградації) теплоти. Кількість джерел теплоти може бути зменшена до двох, якщо теплоту підводити до робочого тіла і відводити від нього за ізотермічних умов. У цьому випадку джерела теплоти повинні мати нескінченно велику теплоємність, щоб з відведенням чи підведенням деякої кількості теплоти температура їх не змінювалась. Рис. 5.3. Цикл Карно Вперше такий цикл запропонував у 1824 р. французький інженер С. Карно. За наявності одного тепловіддавача і одного теплоприймача, відповідно при температурах Т1 і Т2, що не змінюються з часом, цикл можна побудувати так (рис. 5.3). Спочатку в ізотермічному процесі розширення 1–2 від об’єму v1 і тиску р1 до об’єму v2 і тиску р2 теплота q1 від тепловіддавача оборотно передається робочому тілу при температурі Т1. Газ виконує роботу, що визначається площею 1–2–v2–v1–1 (рис. 5.3, а). Зміна температури робочого тіла від температури тепловіддавача Т1 до температури теплоприймача Т2 відбувається під час розширення робочого тіла від v2 до v3 в оборотному адіабатичному процесі 2–3. При цьому виконується робота, що еквівалентна площі 2–3–v3–v2–2. Оскільки процес адіабатичний (dq = 0), то робота виконується внаслідок зменшення внутрішньої роботи системи l2–3 = Du2–3 = cv(T1–T2). Стиснення 3–4 також відбувається в оборотному ізотермічному процесі при температурі теплоприймача Т2 внаслідок відведення теплоти q2. Від’ємна робота стиснення визначається площею 3–4–v4–v3–3. Кінцеві параметри процесу p4, v4, T4 мають бути такими, щоб при подальшому стисненні в процесі 4–1 адіабата пройшла через початкову точку 1. Робота циклу дорівнює сумі робіт усіх процесів. Враховуючи знаки, сумарна робота циклу буде додатною і визначається площею циклу 1–2–3–4. На тепловій діаграмі T–s (рис. 5.3, б) цикл Карно зображується прямокутником 1–2–3–4. Підведення теплоти q1 в ізотермічному процесі відбувається при температурі Т1. Кількість підведеної теплоти відповідає площі 1–2–s2– s1–1, або може бути обчислена за формулою q1 = (s2 – s1)T1. В адіабатичному процесі 2–3 температура тіла знижується до температури теплоприймача Т2. Кількість теплоти, що віддає робоче тіло в ізотермічному процесі стиснення, еквівалентна площі 3–4–s1–s2–3 і визначається за формулою q2 = (s1 – s2)T2 = = – (s2 – s1)T2. Робота, що витрачається на адіабатичне стиснення 4–1, збільшує внутрішню енергію робочого тіла і його температура підвищується до Т1. Різниця теплот q1 - q2 , що перетворилася в роботу, зображується площею циклу 1–2–3–4 на тепловій діаграмі. Термічний коефіцієнт корисної дії циклу Карно, як і будь-якого теплового циклу, можна визначити також за формулою (5.4) ht= q1 - q 2 . q1 Підведена і відведена кількість теплоти в ізотермічних процесах визначається за формулою (4.22) q1 = RT1 ln v v2 ; q2 = RT2 ln 3 , v1 v4 тоді RT1 ln ht= v2 v - RT2 ln 3 v1 v4 . v2 RT1 ln v1 (5.7) Щоб цикл був замкнений, точки 1 і 4 мають розміщуватися на одній і тій самій адіабаті. Використовуючи рівняння адіабати (4.30), можна записати T1 v 1k -1 = T2 v 4k -1 . Подібне рівняння запишемо для станів 2 і 3: T1 v 2k -1 = T2 v 3k -1 . Поділивши останнє рівняння на передостаннє, дістанемо v2 v3 = . v1 v 4 (5.8) Рівняння (5.8) є умовою замкненості циклу. Підставивши цей вираз у рівняння (5.7), матимемо T - T2 T ht= 1 = 1- 2 . (5.9) T1 T1 Вираз (5.9) можна дістати, якщо кількість теплоти розрахувати за формулою (3.46). Як бачимо, значення ht залежить тільки від абсолютних температур тепловіддавача і теплоприймача і не залежить від властивостей робочого тіла. Це положення дістало назву теореми Карно. Вираз (5.9) дійсний для будь-якої теплової машини, що працює за оборотним циклом. Термічний коефіцієнт завжди менший від одиниці. Якщо Т2 = 0 або Т1 = ¥ , то ht = 1, що неможливо здійснити, оскільки не існує джерел теплоти як з нескінченно високою температурою, так і з температурою, що дорівнює абсолютному нулю. Якщо Т1 = Т2, то ht = 0. Коефіцієнт корисної дії циклу Карно має найбільше значення порівняно із значенням ht будь-якого циклу, що здійснюється в цьому ж інтервалі температур Т1…Т2. Для Рис. 5.4. Схема доведення доведення цього зобразимо цикл Карно 1–2–3– максимальної роботи циклу 4 і довільний цикл а–б–в–г, що здійснюється в Карно тих же межах температур, в координатах T–s (рис. 5.4). Визначимо ККД цих циклів. Як відомо, для будь-якого циклу ht = 1–q2/q1. Із рис. 5.4 бачимо, що в циклі Карно q1k дорівнює площі 1–2–s2––s1–1, а q2k – площі 4– 3–s2–s1–4. Для довільного циклу q1д дорівнює площі а–б–в–s2–s1–а, а q2д – площі а–г–в–s2–s1–а. Оскільки q1k > q1д , a q2д > q2k , то hkt > htд . Отже, максимально можливе перетворення теплоти в роботу здійснюється в циклі Карно. Оскільки цикл Карно складається із ідеальних оборотних процесів, то він дістав назву ідеального циклу Карно. Незважаючи на це, цикл Карно має велике практичне значення, оскільки порівняння коефіцієнтів корисної дії реальних циклів і циклу Карно дає можливість зробити висновок про досконалість циклу. Проаналізуємо, як впливають зміни температур Т1 і Т2 на ККД циклу Карно. Для цього візьмемо похідні від виразу (5.9): æ ¶ht ö = - T2 æ ¶ht ö = - 1 = - T1 ; ç . ÷ ÷ ç T1 è ¶T1 øT2 T12 è ¶T2 øT1 T12 (5.10) Оскільки Т1 > T2, то æ ¶ht ö < æ ¶ht ö ÷ . ÷ ç ç è ¶T1 øT2 è ¶T2 øT1 Це свідчить про те, що швидкість зміни термічного ККД циклу Карно меншою мірою залежить від температури тепловіддавача Т1, ніж від температури теплоприймача Т2. Ефективність перетворення теплоти в роботу залежить від відношення температур Т2/Т1. Чим більша Т1 і менша Т2, тим вищий ККД. Нині максимальна температура t1, що реалізується в теплових двигунах, може досягати 2000 °С. Температура t2 обумовлена температурою навколишнього середовища. Визначимо ht залежно від t1 за умови, що t2 = 15 °C (середньорічна розрахункова температура для України): 200 400 600 800 1000 1300 1400 1600 1800 t, °С 0, 39 0, 53 0, 67 0, 73 0, 77 0, 80 0, 83 0, 85 0, 86 ht Для парових машин t1max = 650 °C (максимальна температура, при якій можуть безпечно працювати лопатки парових турбін із спеціальних сплавів) і t2min = 30 °C (температура пари в конденсаторі). Тоді ht = 67,7 %. Для двигунів внутрішнього згорання t1max = 2000 °C i t2min = 300 °C. Тоді ht = 74 %. Але реальні двигуни не працюють за циклом Карно і їх ККД значно нижчий. Для парових установок він не перевищує 40 %, а для двигунів внутрішнього згоряння – 42 %. Як бачимо із розгляду циклу Карно, для максимального перетворення теплоти в роботу треба здійснити рівноважну передачу теплоти від тіла з температурою Т1 до тіла з температурою Т2. Якби такий теплообмін здійснювався безпосередньо між тілами, то він обов’язково був би необоротним. Оборотний процес передачі теплоти можна здійснити лише за допомогою посередника (робочого тіла), що виконує роботу. Передача теплоти q1 робочому тілу від тепловіддавача з температурою Т1 здійснюється в ізотермічному процесі. Тільки ізотермічний процес передачі теплоти є рівноважним (оборотним). Перехід системи з температурного рівня Т1 на рівень Т2 відбувається в адіабатичному процесі. Передача теплоти q2 від робочого тіла до теплоприймача здійснюється теж в оборотному (ізотермічному) процесі при температурі Т2. При цьому кількість теплоти, що передається теплоприймачеві, менша, ніж кількість теплоти, що віддає тепловіддавач, на величину виконаної роботи. Отже, лише наявність робочого тіла (системи) дає можливість оборотно здійснити передачу енергії між тілами з різною температурою, а сама система здійснює цикл Карно. При цьому неможливо всю підведену до системи теплоту перетворити в роботу, як і оборотно безперервно перетворювати теплоту в роботу за наявності лише одного джерела енергії. 5.5. ЗВОРОТНИЙ ЦИКЛ КАРНО Цикл Карно дає можливість здійснити і зворотний цикл. Як уже сказано, зворотні цикли застосовуються для передачі теплоти від холодного до гарячого тіла. Максимальна ефективність циклу досягається тоді, коли всі процеси будуть оборотними. На рис. 5.5 наведено зворотний цикл Карно (позначення точок залишається таким, як і в прямому циклі). Робоче тіло із стану 1 розширюється за адіабатою 1–4. Причому робота розширення відбувається внаслідок зменшення внутрішньої енергії, і система охолоджується до температури Т2. Потім робота розширення l4–3 відбувається в ізотермічному процесі внаслідок підведення теплоти q2 від холодного джерела. Стиснення системи відбувається за адіабатою 3–2. Робота стиснення йде на зростання внутрішньої енергії системи і Рис. 5.5. Зворотний цикл Карно температура її збільшується від Т2 до Т1. Подальше стиснення 2–1 відбувається в ізотермічних умовах внаслідок передачі теплоти q1 гарячому джерелу. Робота розширення циклу дорівнює площі 1–4–3–v3 –v1 –1. Робота стиснення циклу дорівнює площі 3–2–1–v1–v3 –3. Як бачимо, загальна робота стиснення більша, ніж робота розширення, тобто на здійснення циклу треба затратити зовнішню роботу, яка дорівнює різниці робіт розширення і стиснення: lц = площа 3–2–1–v1–v3–3 – площа 1–4–3–v3–v1–1 = площа 1–4–3–2–1. Робота стиснення перетворюється в теплоту і разом з теплотою q2 передається гарячому джерелу. Отже, можна стверджувати, що для здійснення передачі теплоти з нижчого температурного рівня на вищий треба затратити деяку роботу (компенсаційний процес). Як показано раніше, ефективність зворотного циклу характеризують за допомогою холодильного коефіцієнта e . Під холодильним коефіцієнтом розуміють відношення теплоти q2 до роботи циклу lц, тобто e показує кількість теплоти, яка відбирається від холодного джерела при виконанні одиничної роботи. Використовуючи рівняння (3.46), вираз (5.6) можемо записати в такому вигляді: e= T2 (s2 - s1 ) T2 = . T1 (s2 - s1 ) - T2 (s2 - s1 ) T1 - T2 (5.11) Холодильний коефіцієнт не є коефіцієнтом корисної дії холодильної машини, хоча і характеризує її ефективність. Числове значення його, залежно від співвідношення q1 і q2, може бути як більшим, так і меншим за одиницю. Ефективність ідеального зворотного циклу Карно, як і прямого, не залежить від властивостей робочого тіла, а залежить лише від абсолютних температур тепловіддавача і теплоприймача. При цьому найбільше значення e буде в оборотному циклі Карно. Отже, здійснити оборотну передачу теплоти від холодного тіла до гарячого можна лише за умови виконання роботи зовнішнім джерелом над термодинамічною системою, яка виконує рівноважний цикл Карно. 5.6. АБСОЛЮТНА ШКАЛА ТЕМПЕРАТУР Як було показано раніше, вимірювання температури за допомогою термометрів залежить від фізичних властивостей термометричних тіл, що використовуються в цих термометрах, тобто не можна однозначно визначити температуру в проміжках між реперними точками. Незалежність термічного коефіцієнта корисної дії циклу Карно від фізичних властивостей робочого тіла, за допомогою якого здійснюється цикл, дає змогу ввести нову шкалу температур. Вперше на можливість побудови такої шкали вказав У. Кельвін (Томсон). Для побудови цієї шкали використаємо вирази (5.4) і (5.9), звідки випливає, що q2 T2 = . q1 T1 (5.12) Як видно, у цьому виразі замість відношення температур можна використати відношення питомих теплот. Якщо вважати, що величини q1 i q2 можуть бути попередньо виміряні, то для визначення абсолютної температури треба одній з температур (Т1 чи Т2) надати певного значення, тобто вибрати реперну точку. На ІХ Генеральній конференції з мір та ваг (1948 р.) було прийнято рішення температурі потрійної точки води приписати значення 273,16 К (точно). Тоді, здійснюючи цикл Карно, в якому теплоприймач має температуру 273,16 К, і знаючи відношення q2/q1 (або відношення робіт l2/l1 в ізотермічних процесах Т2 і Т1), можна визначити температуру Т1. Побудована на цій основі шкала дістала назву термодинамічної температурної шкали або шкали Кельвіна. Вибір значення температури в потрійній точці 273,16 К пов’язаний з бажанням зберегти раніше прийняту стоградусну шкалу температур Цельсія. Нижньою межею шкали Кельвіна є абсолютний нуль. Якщо здійснити цикл Карно в межах температур Т1 і Т2 = 0, то q2 = 0, тобто за таких умов уся підведена теплота перетворилась би в роботу (q1 = l) і ККД такого циклу дорівнював би одиниці. Така температура приймається за абсолютний нуль. Отже, ідеальний цикл Карно дає можливість побудувати абсолютну шкалу температур, в якій температура не залежить від властивостей робочого тіла. Але практична реалізація термодинамічної шкали викликає великі труднощі. Тому була введена міжнародна практична шкала температур (МПШТ), яка є реалізацією термодинамічної шкали температур і будується на дванадцяти реперних точках, температура яких легко відтворюється в лабораторних умовах. Одна із цих точок задається самим визначенням градуса термодинамічної шкали (температура потрійної точки води 273,16 К). Інші точки встановлюються на основі температур фазових переходів різних речовин – від потрійної точки гелію до температури плавлення золота (1064,43 °С). На основі цих точок і будується міжнародна практична шкала температур. 5.7. УЗАГАЛЬНЕНИЙ (РЕГЕНЕРАТИВНИЙ) ЦИКЛ КАРНО Максимальний термічний ККД в заданому інтервалі температур Т1...Т2 має оборотний цикл Карно. Але на практиці здійснити цикл Карно неможливо. Та бажання отримати максимальний ККД привело до пропозиції здійснити цикл за наявності двох – гарячого і холодного – джерел теплоти при постійних температурах, але конфігурація його відрізняється від конфігурації циклу Карно. Так, якщо замість адіабат у циклі Карно використати будь-які оборотні процеси і якщо вони в Т–s-координатах є еквідистантними (рівновіддаленими) кривими, то термічний ККД такого циклу дорівнює ККД циклу Карно, що здійснюється в тому ж інтервалі температур. На рис. 5.6 зображено цикл Карно 1–2–3k–4k та цикл 1–2–3–4, що складається із двох ізотерм і двох ізобар. Кількість підведеної теплоти в обох циклах є однаковою: q1 = площі 1–2– –s2–s1–1 = T1(s2 – s1). Перехід робочого тіла із температурного рівня Т1 на рівень Т2 відбувається за ізобарою 2–3 внаслідок відведення теплоти q2–3 = = площі 2–s2–s3–3. Для здійснення оборотного переходу системи від температури Т1 до температури Т2 треба мати в цьому інтервалі необмежену кількість теплоприймачів, температура яких відрізнялась би між собою на нескінченно малу величину. Тоді елементарна кількість теплоти d q i оборотно передається точковому теплоприймачеві при температурі Ті і можна стверджувати, що вся кількість теплоти q= 2 -3 n q i площі 2 - s 2 - s 3 - 3 відводиться в оборотному процесі. å d= =i 1 Далі теплота відбирається за ізотермічних умов при Т2 = const. Оскільки криві 2–3 і 4–1 є еквідистантними, то площа 3 k - s 2 - s1 - 4 k = = площі 3 - s 3 - s 4 - 4 = q 2 , тобто кількість переданої теплоприймачеві теплоти в обох циклах є однаковою. У разі зворотного переходу системи від Т2 до Т1 елементарні кількості теплоти dq мають оборотно передаватися за тих же температур. Тоді кількість теплоти, що передається робочому тілу в процесі 4–1, n q 4 -1 = å d q i = i =1 = площі 1 - s1 - s 4 - 4 . Проміжними тепловіддавачами в процесі 4–1 є ті самі теплоприймачі, що й у процесі 2–3. Оскільки криві 2–3 і 4–1 еквідистантні, то зміна ентропії s2 – s3 = s1 – s4 і площа 2–s2–s3–3 = площі 1–s1–s4–4, тобто q2–3 = q4–1. Отже, в такому циклі вся теплота, що відбирається від робочого тіла внаслідок регенерації, повністю повертається йому. Тому можна стверджувати, що проміжні тепловіддавачі не виконують роботи в циклі. Робота циклу виконується завдяки зовнішнім джерелам теплоти. Дійсно, lц = q1 – q2-3 – q2 + q4–1 = q1 – q2. ККД цього циклу l q -q T ( s - s ) - T2 ( s3 - s4 ) h t= u = 1 2 = 1 2 1 . T1 ( s2 - s1 ) q1 q1 (5.13) Оскільки лінії процесів 2–3 і 4–1 рівновіддалені, то s2 - s1 = s3 - s4 . (5.14) Підставивши вираз (5.14) в (5.13), дістанемо ht= T1 - T2 T = 1- 2 . T1 T1 (5.15) Отже, термічний ККД розглянутого оборотного циклу дорівнює ККД циклу Карно. Цикли, для здійснення яких використовують регенератори теплоти, називаються регенеративними або узагальненими. Розглянутий цикл, в якому q2–3 = q4–1, тобто відбувається повна регенерація, називається ідеальним регенеративним. Цикли з частковою регенерацією теплоти при підігріванні води широко застосовуються в циклах паросилових і газотурбінних установок для підігрівання Рис. 5.6. Узагальнений повітря та в інших установках. регенеративний цикл Карно Рис. 5.7. До визначення середньоінтегральної термодинамічної температури Рис. 5.8. Еквівалентний цикл Карно 5.8. СЕРЕДНЬОІНТЕГРАЛЬНА ТЕРМОДИНАМІЧНА ТЕМПЕРАТУРА. ЕКВІВАЛЕНТНИЙ ЦИКЛ КАРНО Часто для порівняння ефективності циклів і характеристики процесів використовують кількість теплоти, що підводиться до системи. Якщо теплота підводиться в довільному рівноважному процесі 1–2 (рис. 5.7), то, як було показано раніше, площа між кривою процесу і віссю s в координатах Т–s дорівнює кількості теплоти. Дійсно, із означення ентропії s2 q1- 2 = ò Tds = площі 1 - 2 - s 2 - s1 . (5.16) s1 Неізотермічні процеси теплообміну дуже зручно описувати, як ізотермічні, за допомогою поняття середньоінтегральної термодинамічної температури. Під середньоінтегральною температурою певного процесу 1–2 розуміють таку умовно постійну температуру еквівалентного ізотермічного процесу T1- 2 , в якому кількість підведеної теплоти q1–2 і зміна ентропії Δs1–2 дорівнюють показникам реального процесу. Тоді s2 ò Tds q1- 2 s1 T1- 2 = = . Ds1- 2 s 2 - s1 (5.17) У T–s-діаграмі середньоінтегральна температура дорівнює висоті умовного прямокутника s1–3–4–s2, площа якого дорівнює площі 1–2–s2–s1. Користуючись поняттям середньоінтегральної температури, кількість теплоти умовного процесу визначають за виразом q1- 2 = T1- 2 D s1- 2 . (5.18) Визначимо середньоінтегральну температуру для політропного процесу, теплоємність якого є постійною: q1- 2 = cп (T2 - T1 ) , D s1- 2 = cп ln T2 / T1 , тоді T1- 2 = c п (T2 - T1 ) = (T2 - T1 ) / ln (T2 / T1 ) . c п ln T2 / T1 (5.19) (5.20) Отже, середньоінтегральна температура залежить не від характеру процесу, а лише від температури на початку та в кінці процесу. Розглянемо довільний цикл а–б–в–г (рис. 5.8). Термічний ККД такого циклу можна визначити за формулою h t = 1 - q2 / q1 . Кількості підведеної і відведеної теплоти визначаються за формулою (5.18): q1 = T1D s a -в ; q2 = T2 D s в -a . Підставивши q1 i q2 у вираз для ККД, дістанемо h t = 1 - T2 / T1 . (5.21) Отже, довільний цикл можна замінити циклом 1–2–3–4, який складається із двох ізотерм (T1 i T2 ) і двох адіабат, проведених через найменше і найбільше значення ентропії в довільному циклі. Такий цикл дістав назву еквівалентного циклу Карно. Робота і ККД еквівалентного циклу дорівнюють таким показникам у довільному циклі. 5.9. МАТЕМАТИЧНИЙ ВИРАЗ ДРУГОГО ЗАКОНУ ТЕРМОДИНАМІКИ Другий закон термодинаміки випливає із дослідних даних і не може бути виведений з інших положень термодинаміки. Справедливість його підтверджується численними дослідами. Із них виводять важливі і значимі для технічних процесів кількісні співвідношення. У техніці залежності завжди подають у кількісній формі, тобто у вигляді математичних співвідношень між фізичними величинами. Для першого закону це вдалося зробити завдяки введенню поняття внутрішньої енергії як параметра стану в поєднанні з характеристикою процесу – теплотою і роботою. В другому законі це завдання виконується за допомогою введеного Р. Клаузіусом параметра стану – ентропії. Щоб вивести математичний вираз другого закону термодинаміки, використаємо вирази для ККД теплових циклів. Як показано раніше, термічний ККД будь-якого прямого циклу визначається за формулою (5.4) h t = 1 - q2 / q1 , для оборотного циклу Карно формулою (5.9) – за h t = 1 - T2 / T1 . Порівняємо ці вирази: 1 - q2 / q1 = 1 - T2 / T1 , або q2 / T2 = q1 / T1 . Враховуючи, що теплота q2 має Рис. 5.9. До виведення від’ємний знак, останній вираз набуде математичного виразу другого вигляду закону термодинаміки q1 q2 + =0. T1 T2 (5.22) Величина q/T називається зведеною теплотою. Тоді отриманий результат можна сформулювати так: алгебраїчна сума зведених теплот для оборотного циклу Карно дорівнює нулю. Цей висновок є характеристикою оборотного циклу, не залежить від властивостей тіл, які здійснюють цей цикл, і буде справедливим для будь-якого довільного циклу. Розглянемо довільний оборотний цикл, зображений на рис. 5.9. Розіб’ємо цикл на n елементарних циклів. Для цього проведемо ряд адіабат. Оскільки адіабати лежать на нескінченно малій відстані одна від одної, то одержані цикли можна розглядати як елементарні цикли Карно а–б–в–г. Температуру на ділянці а–б підведення теплоти можна вважати постійною і рівною Т1 , а на ділянці в–г відведення теплоти – Т2. Для двох суміжних елементарних циклів Карно одна й та сама адіабата, наприклад А–Б, є спільною, вздовж якої адіабатичний процес проходить в одному циклі у напрямку від А до Б, тобто відбувається процес розширення системи, а у суміжному – від Б до А, тобто відбувається стиснення системи. Внаслідок оборотності всі перетворення в адіабатичних процесах повністю компенсуються і сума береться тільки по зовнішньому контуру основного циклу 1–2–1. Тоді вираз (5.22) для елементарного циклу Карно запишеться так: dq1 dq2 + =0. T1 T2 (5.23) Враховуючи сукупність елементарних циклів Карно, вираз (5.23) для всього циклу dq dq (5.24) å T1 + å T 2 = 0. 1 2 Якщо кількість циклів n нескінченно зростає, то суму у виразі (5.24) можна замінити інтегралами: dq1 1 dq2 ò T +ò T =0 2 2 1 1 2 (5.25) або для замкненого контуру циклу, не враховуючи знаків підведеної і відведеної теплот, dq (5.26) ò T =0. Вираз (5.26), виведений на основі другого закону термодинаміки, є його математичним виразом і має назву інтеграла Клаузіуса. Цей інтеграл є характеристикою будь-якого оборотного циклу, який здійснюється будь-яким робочим тілом. Слід пам’ятати, що вираз під знаком інтеграла буде дорівнювати нулю в тому випадку, коли одні члени dq / T будуть додатні, а інші – від’ємні, тобто на одних ділянках циклу теплота буде підводитись (dq1 > 0) , а на інших – відводитись (dq2 < 0) . Цим стверджується, що неможливо здійснити цикл за наявності тільки одного джерела енергії теплоти, який тільки віддавав би теплоту. Треба мати також джерело теплоти, якому необхідно віддавати частину теплоти, тобто не можна побудувати вічний двигун другого роду. 5.10. ЗМІНА ЕНТРОПІЇ В ДОВІЛЬНИХ ОБОРОТНИХ І НЕОБОРОТНИХ ПРОЦЕСАХ Підінтегральний вираз рівняння (5.26) за визначенням (3.40) називається зміною ентропії системи: dq / T = ds . Оскільки ентропія є функцією стану, то, зінтегрувавши цей вираз за будьяким оборотним циклом, дістанемо dq ò T = ò ds = 0 . (5.27) Цей математичний вираз є другим законом термодинаміки для оборотних процесів, або принципом (законом) існування ентропії. Ентропія є тепловою координатою стану, і зміна її відбувається тільки внаслідок передачі (віддачі) теплоти системі. Тепер розглянемо особливості нерівноважних процесів. Як уже зазначалося, нерівноважні процеси проходять у певному напрямку і передача енергії відбувається з Рис. 5.10. Зміна ентропії більш високого рівня температури або тиску в необоротних процесах на нижчі. Так, механічна енергія передається тільки тоді, коли між системами існує різниця тисків, спрямована в бік системи з меншим тиском і ніколи навпаки. Подібно теплова енергія передається системі з меншою температурою. Ці процеси є нерівноважними. Розглянемо зміну ентропії в необоротних процесах. Нехай система здійснює цикл, який складається із необоротного 1–3–2 і оборотного 2–4–1 процесів (рис. 5.10). (Оскільки необоротний процес графічно зобразити неможливо, то умовно позначимо його штриховою лінією.) Тоді весь цикл буде необоротним. У зв’язку з необоротністю процесу 1–3–2 додатна робота розширення буде менша ніж в оборотному процесі, і вираз (5.25) у даному випадку запишеться так: dq dq + ò < 0. ò 1-3- 2 T 2 - 4 -1 T (5.28) Оскільки другий інтеграл береться для оборотного процесу, то за визначенням він дорівнює зміні ентропії процесу s1–s2. Тоді вираз (5.28) набуде такого вигляду: dq + ( s1 - s 2 ) < 0 ò 1-3- 2 T або dq < s2 - s1 . ò 1-3- 2 T (5.29) Оскільки ентропія є функцією стану, то її зміна при переході системи із стану 1 у стан 2 не залежить від того, був процес оборотним чи необоротним (D s1-3- 2 = Ds1- 4-2 ) . Це свідчить про те, що підінтегральна функція dq / T в необоротних процесах не є параметром стану. Для елементарного процесу вираз (5.29) запишеться так: ds > dq . T (5.30) Ця нерівність є математичним виразом другого закону термодинаміки для нерівноважних процесів і має назву принципу (закону) зростання ентропії. Отже, другий закон термодинаміки об’єднує два дослідних факти – принцип існування ентропії (ds = 0), що описує рівноважні процеси, і принцип зростання ентропії (ds > 0), що описує нерівноважні процеси. Зростання ентропії з фізичного погляду пояснюється тим, що в необоротних (реальних) процесах частина роботи завдяки силам тертя обов’язково перетворюється в теплоту, тобто з’являється внутрішня теплота, яка і збільшує ентропію. Враховуючи оборотність і необоротність процесів, вираз (5.30) перепишеться так: ds ³ dq , T (5.31) а для будь-якого циклу рівняння (5.29) буде таким: dq ò T £0. (5.32) Цей вираз є математичним записом другого закону термодинаміки для оборотних (знак рівняння) і необоротних (нерівність) колових процесів. Зауважимо, що у виразі (5.32) Т є температурою тепловіддавача і теплоприймача, а не робочого тіла. Якщо теплота передається робочому тілу, то dq буде додатною, а коли відводиться – від’ємною. Тепер розглянемо ізольовану систему, яка не перебуває в тепловій взаємодії з навколишнім середовищем (dq = 0) . Тоді рівняння (5.31) перепишеться так: ds ³ 0 . (5.33) Отже, якщо в адіабатичній системі проходять оборотні (ідеальні) процеси, то ентропія не змінюється, залишається величиною постійною. Якщо в системі відбуваються необоротні реальні процеси, то ентропія системи завжди збільшується. Зменшуватися ентропія ізольованої системи не може. 5.11. ФІЗИЧНИЙ ЗМІСТ ЕНТРОПІЇ Розглянемо, як впливають необоротні процеси на зміну ентропії і перетворення теплової енергії в механічну. Спочатку розглянемо процес механічної взаємодії системи з навколишнім середовищем. Хай відбувається процес адіабатичного стиснення ідеального газу з одного й того ж початкового стану 1 (рис. 5.11) в оборотному 1–2 і необоротному 1–2' процесах. Газ стискається до одного й того ж питомого об’єму v2. Вважаючи, що через деякий час система після необоротного процесу прийде в Рис. 5.11. Оборотне стан рівноваги, кінцевий стан системи 2' є цілком і необоротне адіабатичне стиснення ідеального газу визначеним. Внаслідок необоротного стиснення температура T2¢ > T2 , тоді і внутрішня енергія u 2 ¢ > u 2 . Із першого закону термодинаміки робота стиснення оборотного процесу l об = u 2 - u1 , а необоротного – l необ = u 2¢ - u1 . В необоротному процесі l необ >l об , оскільки частина енергії витрачається на подолання тертя. Для оборотного процесу 1–2 ентропія не змінюється (s1 = s2 ) , а в необоротному процесі s2 ¢ > s1 , тобто ентропія зростає. Отже, хоча необоротний процес відбувається без теплообміну (dq = 0) , ентропія системи зростає. Це свідчить про те, що в необоротних процесах ентропія змінюється не тільки внаслідок підведення (відведення) теплоти, як і в оборотних процесах (ds = dq / T ) , а й за рахунок теплоти тертя. Збільшення ентропії адіабатичної системи внаслідок механічної взаємодії ніяким механічним шляхом не можна привести до початкового стану. Повернення ентропії системи до початкового стану можливе лише за умови зняття ізоляції і відведенням деякої кількості теплоти. У цьому відношенні теплота і робота еквівалентні одне одному (перший закон термодинаміки). Одначе вони і суттєво різняться. Так, тільки завдяки тепловіддачі можна зменшити ентропію, а збільшити її можна як за рахунок підведення теплоти, так і внаслідок будь-якого необоротного процесу, для якого завжди ds > dq / T . Якщо систему, що не перебуває в стані рівноваги з навколишнім середовищем, ізолювати, то через деякий час під дією внутрішніх градієнтів переносу система самочинно прийде в стан рівноваги. Відбудеться згасання механічних коливань, вирівнювання температури, густини та ін. Усі процеси, що приводять ізольовану систему в рівноважний стан, є нерівноважними і самочинно збільшують ентропію системи. Отже, перехід системи із нерівноважного, тобто нестійкого в термодинамічному понятті стану в рівноважний, стійкий стан, супроводжується зростанням ентропії. В рівноважному стані система набуває найбільшого значення ентропії. Стан системи з максимальною ентропією є найстійкішим. Тепер розглянемо як впливають необоротні процеси на перетворення теплової енергії в роботу. Для прикладу визначимо втрату працездатності системи за наявності необоротної передачі теплоти при різних температурах. Для цього розглянемо два ідеальних цикли Карно, в яких робочим тілом передається однакова кількість теплоти q1 (рис 5.12). Перший цикл Карно здійснюється в інтервалі температур Т1…Т2. У другому випадку теплота q1 спочатку передається проміжному джерелу, що має температуру T1¢ < T1 , а потім – робочому тілу машини, що здійснює оборотний цикл Карно. Температура теплоприймача в обох випадках однакова (Т2). Розглянемо зміну працездатності цієї системи. Оскільки в останньому випадку теплота передається при більш низькій температурі, то додатна робота розширення l¢ буде менша, ніж в ідеальному циклі Карно lк. Втрата працездатності системи у зв’язку з появою необоротного процесу передачі теплоти може бути розрахована так: Рис. 5.12. До визначення втрати працездатності T ö T2 ö æ æ D l = l к - l ¢ = q 1 h t - q 1 h t = q 1 ç 1 - 2 ÷ - q 1 ç 1 - системи ÷= è T1 ø è T1¢ ø T T q q = q1 æç 2 - 2 ö÷ = T2 æç 1 - 1 ö÷ = T2 D s . è T1¢ T1 ø è T1¢ T1 ø (5. 34) Це рівняння дістало назву рівняння Гюї – Стодоли. Зменшення працездатності системи пов’язане з наявністю необоротних процесів і дорівнює добутку зміни ентропії на температуру теплоприймача. Втрата працездатності пов’язана з втратами теплоти в навколишнє середовище. Всі необоротні процеси відбуваються за умови розсіювання енергії, її знецінення, деградації, оскільки система переходить на більш низький енергетичний рівень. Із цього випливає фізичний зміст ентропії. Зміна ентропії є мірою необоротності процесу. Збільшення ентропії закритої системи є кількісною мірою втрати працездатності системи у разі проходження в ній необоротних процесів. Всі природні процеси необоротні, і вони проходять тільки в одному напрямку. Оборотні процеси необхідно розглядати як граничний випадок необоротних процесів. У природі вони не трапляються. Оборотні процеси є найбільш енергетично досконалими, оскільки в роботу перетворюється найбільша частина запасу внутрішньої енергії. 5.12. СТАТИСТИЧНИЙ ЗМІСТ ДРУГОГО ЗАКОНУ ТЕРМОДИНАМІКИ Другий закон термодинаміки для необоротних процесів в ізольованих системах дає тлумачення ентропії як міри необоротності процесів із макроскопічних позицій. З іншого боку, другий закон термодинаміки дає змогу зробити можливі висновки про напрямок проходження нерівноважних процесів. До таких процесів належать процеси переносу (вирівнювання) – теплообмін, масообмін, дифузія тощо. Закон зростання ентропії в ізольованій системі для випадку необоротних процесів відіграє надзвичайно важливу роль. Він забороняє процеси, пов’язані із зменшенням ентропії. Кінцевим результатом необоротних процесів переносу є рівноважний стан, для якого ентропія досягає максимального значення. Але, як було показано в роботах Л. Больцмана, Дж. К. Максвелла, Дж. У. Гіббса, М. Смолуховського, другий закон термодинаміки не є абсолютним законом природи. Важливим є питання про межі застосування другого закону термодинаміки. При цьому, звичайно, говорять про верхню і нижню межі. Нижня межа зумовлена тим, що другий закон термодинаміки є справедливим для макросистем і не може застосовуватись для мікросистем. Під мікросистемами розуміють системи, лінійні розміри яких є одного порядку з розмірами молекул (при цьому тепловий рух, що зумовлений великою кількістю частинок, втрачає сенс). Верхня межа другого закону зумовлена поняттям термодинамічної системи. Для галактичних і тим паче метагалактичних систем значення енергії взаємодії між макроскопічними системами стають приблизно однаковими із значеннями їх внутрішньої енергії і система перестає бути термодинамічною. Тому некритичне перенесення закономірностей переносу в макросистемах Землі на Всесвіт привело Р. Клаузіуса до хибних висновків про так звану “теплову смерть Всесвіту”. Клаузіус стверджував: “Всесвіт з часом прийде в стан термодинамічної рівноваги, що відповідатиме максимуму ентропії. При цьому температури в усіх місцях Всесвіту вирівняються, зникнуть всі причини, що зумовлюють появу будь-яких макроскопічних процесів, і, отже, неможливим стане життя”. Прогресивне значення в цьому напрямі мали праці видатного вченого Л. Больцмана, який на основі законів статистичної фізики і теорії ймовірностей дав тлумачення другого закону термодинаміки. Коротко розглянемо основи теорії Больцмана. Як зазначалося раніше, всі природні процеси самочинно проходять від менш імовірного до більш імовірних станів. При цьому ентропія системи зростає. Отже, між ентропією системи S та термодинамічною ймовірністю її макростану w існує функціональна залежність S = f (w ) . (5.35) Вигляд функції f (w) можна визначити, виходячи із адитивності ентропії та з того, що ймовірність такого стану системи згідно з теоремою множення ймовірностей дорівнює добуткові ймовірностей відповідних станів частин системи, якщо їх можна вважати взаємозалежними. Під термодинамічною ймовірністю макростану w розуміють кількість мікростанів, за допомогою яких реалізується макростан системи, або іншими словами – величина w визначається кількістю мікророзподілів, якими здійснюється даний макростан. Наприклад, нехай макростан системи визначається двома параметрами – v i u. Внутрішня енергія системи дорівнює сумі енергій всіх частинок, що утворюють систему. Енергія окремих частинок може бути різною, але сума має залишатись постійною. Отже, даний макростан системи може бути реалізований багатьма різними мікростанами. Самочинний перехід макросистеми із одного стану в інший пов’язаний із збільшенням кількості мікростанів, за допомогою яких реалізується останній стан. Це свідчить про те, що необоротні процеси проходять за умови зростання ентропії і термодинамічної ймовірності системи. На відміну від математичної ймовірності, що завжди менша за одиницю, термодинамічна ймовірність виражається великими числами. Для прикладу знайдемо зв’язок між величинами S і w. Для цього розглянемо систему, що складається із двох частин: відповідно з ентропіями S1 і S2 і термодинамічними ймовірностями w1 і w2. Ентропія загальної системи буде S, а термодинамічна ймовірність w. Тоді можна записати: S1 = f(w1); S2 = f(w2); S = f(w). Ентропія всієї системи, як адитивна величина, S = S1 + S2, а термодинамічна ймовірність w = w1 × w2 . (5.36) Тоді S = f (w1 , w2 ) = f (w1 ) + f (w2 ) . (5.37) Після математичних перетворень вираз (5. 37) набув логарифмічного характеру: S = k ln w *, (5.38) де k = Rm/N – стала Больцмана. Вираз (5.38) є рівнянням Больцмана i показує, що ентропія системи в певному стані пропорційна натуральному логарифму ймовірності системи в цьому стані. Принцип Больцмана є одним із найважливіших формулювань другого закону термодинаміки, що характеризує його статистичний характер. Одночасно принцип Больцмана глибше розкриває фізичний зміст ентропії як міри невпорядкованості системи, характеристики ймовірності стану системи, як міри наближення ізольованої системи до рівноважного стану. Статистичний характер другого закону термодинаміки свідчить, що в принципі в ізольованій системі можуть відбуватися процеси, які зумовлюють не зростання, а навпаки – зменшення ентропії. Але ймовірність таких процесів у земних умовах є дуже малою. Прикладом відхилень від другого закону термодинаміки є так звані флуктуації (випадкові відхилення спостережуваних значень фізичних величин від їх середніх значень) густини енергії та інших фізичних величин. Згідно з “флуктуаційною гіпотезою” Больцмана рівноважний стан системи є найбільш імовірним. У рівноважній макросистемі Всесвіту можуть самочинно створюватися які завгодно великі флуктуації. Всяка флуктуація має зникати, але одночасно в інших місцях Всесвіту мають створюватися нові флуктуації. Отже, за Больцманом, одні світи мають гинути, а інші – виникати. Проти флуктуаційної гіпотези Л. Больцмана було висунуто ряд заперечень. Одним із них є зникаюче мале значення ймовірності великих флуктуацій. Зауважимо, що ні концепція “теплової смерті” Р. Клаузіуса, ні “флуктуаційна гіпотеза” Больцмана не враховували специфіки Всесвіту як гравітаційної системи, в еволюції якої значну роль відіграють далекодійні гравітаційні сили взаємодії. Згідно із сучасними даними, метагалактика є системою, що розширюється. Галактики рухаються одна відносно одної. Отже, зважаючи на нестаціонарний характер Всесвіту, некоректно екстраполювати другий закон термодинаміки на астрофізичні системи. Врахування гравітаційних сил притягання в теорії А. Ейнштейна приводить до висновку, згідно з яким для Всесвіту не існує стану максимальної ентропії, тобто Всесвіт наближається до “теплової смерті”. Базуючись на сучасних даних астрофізики, можна стверджувати, що Всесвіт є системою, що постійно оновлюється. Одні зірки зникають, інші – виникають. Астрофізик В. Амбарцумян у 1947 р. відкрив новий тип зоряних * Формула S = k ln w викарбувана на пам’ятнику Больцману над його могилою на кладовищі у Відні. систем – групи молодих зірок (зоряні асоціації) віком декілька мільйонів років (Земля існує близько 5 млрд років). Тобто було показано, що процес утворення зірок у Всесвіті продовжується. Отже, на основі викладеного вище можна стверджувати, що неможливо поширювати дію другого закону термодинаміки на Всесвіт, де діють інші закономірності, ніж у межах Землі. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ 1. Що таке коловий процес або цикл? Який цикл називається прямим і який зворотним? Наведіть довільний цикл у p - v - та T - s - діаграмах і проаналізуйте його. Як визначають ступінь досконалості прямих і зворотних циклів? 2. Наведіть відомі Вам формулювання другого закону термодинаміки. Чому для аналізу макроскопічних процесів, що супроводжуються тепловими явищами, окрім першого закону, ще потрібно застосовувати і другий закон термодинаміки? 3. Наведіть ідеальний цикл Карно на p - v - та T - s - діаграмах. Виведіть термічний ККД для прямого і зворотного циклів. Як впливають зміни температур Т1 і Т2 на ККД циклів? Сформулюйте теорему Карно. В чому полягає практична цінність оборотного циклу Карно? 4. Як побудована шкала температур? Поясніть побудову міжнародної практичної шкали температур. 5. Наведіть узагальнений (регенеративний) цикл Карно в T - s - координатах. Докажіть, що ККД ідеального регенеративного циклу дорівнює ККД циклу Карно. 6. Що таке середньоінтегральна температура? Як будується еквівалентний цикл Карно? 7. Що називається зведеною теплотою? Чому дорівнює сума зведених теплот для циклу Карно? Який математичний вираз називається інтегралом Клаузіуса? 8. Як змінюється ентропія в оборотних і необоротних процесах? Запишіть математичний вираз принципів існування і зростання ентропії. Як змінюється ентропія в адіабатичній системі при оборотних і необоротних процесах? 9. Поясніть, чому в необоротних процесах навіть без підведення теплоти ентропія зростає. Як змінюється ентропія при переході системи в рівноважний стан? Як змінюється працездатність системи при передачі теплоти при різних температурах? Наведіть рівняння Гюї–Стодоли. Розкрийте фізичний зміст ентропії. 10. Чи носить абсолютний характер другий закон термодінамики? Наведіть межі застосування другого закону термодинаміки. В чому полягає помилка Р. Клаузіуса про так звану “теплову смерть Всесвіту”? 11. Поясніть статистичний зміст другого закону термодинаміки. Наведіть формулу Больцмана для розрахунку ентропії системи. Чому не можна поширювати дію другого закону термодинаміки на Всесвіт? Розділ 6. ТЕРМОДИНАМІЧНИЙ АНАЛІЗ ПРАЦЕЗДАТНОСТІ ЕНЕРГІЇ РІЗНИХ ВИДІВ 6.1. ЕФЕКТИВНІСТЬ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЕНЕРГІЇ РІЗНИХ ВИДІВ. ЕКСЕРГІЯ І АНЕРГІЯ Задачею технічної термодинаміки є здійснення кількісного аналізу перетворення різних форм енергії на основі першого та другого законів термодинаміки. Як відомо, перший закон не накладає ніяких обмежень на перетворення однієї форми енергії в іншу, крім збереження кількості енергії до і після перетворення. Другий закон термодинаміки вказує на можливість того чи іншого перетворення і дає кількісні співвідношення між енергіями. Другий закон стверджує, що не кожна форма енергії повністю може бути перетворена в іншу. Так, механічна робота завжди і повністю перетворюється в теплоту. Зовсім по-іншому поводить себе теплота, вона перетворюється в роботу лише частково і за певних умов. Ефективність перетворення енергії характеризується відношенням корисної енергії до кількості підведеної (первинної) енергії. Максимальна ефективність перетворення роботи в ідеальних умовах теоретично може досягти одиниці. У реальних умовах, внаслідок сил тертя, відбувається дисипація механічної енергії, у результаті чого ефективність перетворення знижується. Таким чином, наявність необоротних процесів призводить до зниження ефективності перетворення роботи. Теплота, згідно з другим законом термодинаміки, взагалі не може повністю перетворитися в роботу. Ефективність перетворення теплоти в роботу залежить від циклу, що використовується для цих цілей і характеризується термічним ККД. Максимальне значення термічний ККД має в циклі Карно. Але знання термічного ККД не достатньо для термодинамічного аналізу теплового устаткування. Термічний коефіцієнт ht – коефіцієнт перетворення теплоти в роботу – характеризує ступінь досконалості циклу, що складається тільки із оборотних процесів. Необоротність реальних процесів не враховується. Крім того, поняття термічного ККД непридатне для характеристики таких перетворювачів, де крім роботи корисно використовується і теплова енергія (теплофікаційні цикли). Поняття термічного ККД непридатне для характеристики ефективності зворотних циклів. Внутрішню енергію, як і теплоту, неможливо у будь-якій кількості перетворити в роботу. Так, хоча за першим законом термодинаміки для адіабатичної системи l12 = u1 – u2, але це не значить, що система може досягти будь-яких завгодно станів з більш низькими значеннями u2. Для перетворюваної у роботу внутрішньої енергії існує якась верхня межа, яку система не здатна перейти. Ця межа визначається другим законом термодинаміки, згідно з яким ентропія системи у кінцевому стані s2 ³ s1. Наприклад, кінцеві тиск p2 і температура Т2, що система не може самочинно перейти, не можуть бути нижче тиску і температури навколишнього середовища. Тобто внутрішню енергію можна перетворити в роботу лише до певного стану. Робота, навпаки, завжди і в будь-якій кількості внаслідок необоротних процесів перетворюється у внутрішню енергію. Як витікає з наведених прикладів, існує два нерівноцінних напрямки перетворення енергії. Робота (механічна, електрична) без обмеження перетворюється в теплоту і внутрішню енергію, в той час як теплота і внутрішня енергія лише частково перетворюються в роботу. Оборотний цикл визначає верхню межу цього перетворення. Таким чином, за здатністю перетворення існують форми енергії, що повністю і необмежено перетворюються в інші форми (механічна і електрична), і форми енергії, що перетворюються в інші частково, певною мірою, згідно з другим законом термодинаміки (теплота, внутрішня енергія). Кількість теплоти, що перетворюється в роботу, залежить не тільки від початкового стану робочого тіла, а й від кінцевого. На кінцевий стан впливає стан навколишнього середовища. Так, за циклом Карно невикористана теплота q2 віддається теплоприймачеві при найбільш можливій низькій температурі. В земних умовах такою температурою є температура навколишнього середовища Тс. При перетворенні внутрішньої енергії замкненої адіабатичної системи кінцевий тиск р2 не може бути меншим, ніж тиск навколишнього середовища рс. Отже, термодинамічний стан навколишнього середовища обмежує можливості перетворення енергії. Максимальна робота системи, що складається з робочого тіла і навколишнього середовища, при теплових перетвореннях буде одержана тоді, коли система із початкового стану р1, Т1 переходить у стан рівноваги з навколишнім середовищем pc, Tc тільки за двома оборотними (рівноважними) процесами. Спочатку система із початкового стану адіабатично розширюється (стискається) внаслідок зміни внутрішньої енергії, при цьому температура змінюється і досягає температури Тс. Потім в ізотермічному процесі відбувається теплообмін з навколишнім середовищем таким чином, що в кінці процесу тиск вирівнюється з тиском навколишнього середовища. Крім цього, передача системі теплоти повинна здійснюватись в ізотермічних умовах при температурі тепловіддавача Т1. При цьому навколишнє середовище розглядається як система з необмежено великою теплоємністю, параметри якої не змінюються під час приймання або віддачі енергії. Максимально можлива робота, яку може здійснити система при оборотному переході із даного стану в стан рівноваги з навколишнім середовищем, називається ексергією. Виходячи з цього, форми енергії, що повністю перетворюються в інші форми (механічна, електрична), складаються тільки із ексергії, тобто для таких форм поняття енергії і ексергії рівнозначні. Теплота складається із двох частин енергії, одна із них перетворюється в роботу, а друга не перетворюється (необхідність відведення теплоти q2 холодному джерелу). Перша частина енергії є ексергією, а неперетворювана частина одержала назву анергії. Таким чином, теплота складається із ексергії і анергії. На основі понять ексергії і анергії другому законові термодинаміки можна надати таке формулювання: вся енергія складається із ексергії і анергії, кожна з яких може дорівнювати нулю: Е = Ех + Ан. Перший закон термодинаміки формулюється таким чином: сума ексергії і анергії залишається сталою величиною для всіх процесів закритої системи. Необхідно підкреслити, що для поняття “ексергія” чи “анергія” перший закон термодинаміки не діє, оскільки ексергія безперервно зменшується, а анергія збільшується в реальних процесах. Введені поняття ексергії і анергії дають можливість простежити, як перетворюється енергія. Тільки в оборотних процесах ексергія зберігається. У необоротних (реальних) процесах запас ексергії зменшується і вона перетворюється в анергію. Частина ексергії, що перетворилася в анергію, являє собою безповоротні втрати ексергії. Втрати ексергії не можуть бути відновлені ніяким чином, оскільки перетворення анергії в ексергію за другим законом неможливе. Характер зміни ексергії і анергії в оборотних і необоротних процесах дає можливість надати нові формулювання другому законові термодинаміки: В необоротних процесах ексергія перетворюється в анергію. В оборотних процесах ексергія залишається постійною величиною. Анергію неможливо перетворити в ексергію без виконання роботи. Ці формулювання характеризують ті обмеження, що накладаються другим законом термодинаміки на процеси перетворення енергії. Поняття ексергії має велике технічне значення. На потреби багатьох життєво важливих промисловостей (енергетика, транспорт, машинобудування та інше) необхідно витрачати не просто енергію, а ексергію. Задачею енергетиків є забезпечення народного господарства не енергією взагалі, а ексергією, що одержується із природних джерел енергії. Здатність енергії виконувати роботу отримала назву працездатності, а співвідношення, за допомогою яких розраховують максимальну роботу, – функцій працездатності. Розглянемо функції працездатності внутрішньої енергії нерухомого робочого тіла і теплоти. Рис. 6.1. До визначення функції працездатності внутрішньої енергії 6.2. ФУНКЦІЯ ПРАЦЕЗДАТНОСТІ ВНУТРІШНЬОЇ ЕНЕРГІЇ РОБОЧОГО ТІЛА ЗАКРИТОЇ СИСТЕМИ Розглянемо ізольовану термодинамічну систему, що складається із навколишнього середовища і робочого тіла масою 1 кг. Система не знаходиться в стані рівноваги з навколишнім середовищем. Початкові параметри тіла р1, v1, Т1, u1, h1, s1. Для одержання максимальної роботи робоче тіло має оборотним шляхом перейти у стан рівноваги з навколишнім середовищем. Це можливо здійснити лише так: в адіабатичному процесі перевести робоче тіло в теплову рівновагу з навколишнім середовищем (процес 1–а), а потім в ізотермічному процесі а–2 внаслідок теплообміну система приходить у механічну рівновагу з навколишнім середовищем (рис. 6.1). У кінцевому стані 2 робоче тіло характеризується параметрами p2, v2, T2, u2, h2 i s2. При оборотному переході із початкового стану у рівноважний стан 2 система виконує роботу внаслідок зміни внутрішньої енергії системи від U 1с с до U 2 . Тоді за першим законом термодинаміки Q = U 2с - U 1с + L12 або L12 = U 1с - U 2с . (6.1) Внутрішня енергія системи U c складається із внутрішніх енергій навколишнього середовища Uc і робочого тіла u, тобто U 1с = U c1 + u1 , U 2с = U c 2 + u 2 . (6.2) Підставляючи вираз (6.2) у формулу (6.1), дістанемо (U c1 + u1 ) - (U c 2 + u 2 ) = L12 (6.3) або (U c1 - U c 2 ) + (u1 + u 2 ) = L12 . (6.4) В оборотному переході із початкового стану в кінцевий робоче тіло передає навколишньому середовищу деяку кількість теплоти qc і виконує роботу lc проти тиску середовища. Тоді перший закон термодинаміки набуде вигляду U c 2 - U c1 = qc - l c або U c1 - U c 2 = l c - qc . (6.5) Оскільки тиск навколишнього середовища не змінюється, то робота визначається за формулою lc = p 2 ( v 2 - v 1 ) . (6.6) Теплообмін здійснюється в ізотермічних умовах Тс = const і може бути розрахований за формулою qc = T2 (Sc 2 - Sc1 ) . (6.7) Для закритої адіабатичної системи в оборотних процесах зміна ентропії дорівнює нулю. Зміну ентропії навколишнього середовища можна записати через зміну ентропії робочого тіла Sc 2 - Sc1 = s1 - s2 . Тоді вираз (6.7) перепишеться так: qc = T2 (s1 - s2 ) . (6.8) Підставимо рівняння (6.6) і (6.8) в формулу (6.5): U c1 - U c 2 = -T2 (s1 - s2 ) + p2 (v 2 - v 1 ) . (6.9) Підставляючи вираз (6.9) у рівняння (6.4) і враховуючи, що L12 = l12 , дістанемо l12 = u1 - u2 - T2 (s1 - s 2 ) - p2 (v 1 - v 2 ) . (6.10) Для повного використання працездатності внутрішньої енергії системи необхідно, щоб тиск р2 і температура Т2 дорівнювали тиску р0 і температурі Т0. Кінцеві параметри робочого тіла u2, s2, v2 у рівновазі з навколишнім середовищем позначимо через u0, s0, v0. Враховуючи, що максимальна робота l max за визначенням є ексергією ex, рівняння (6.10) перепишеться таким чином: lmax = e x = u1 - u0 - T0 (s1 - s0 ) - p0 (v 1 - v 0 ) . (6.11) Отже, для розрахунку ексергії внутрішньої енергії закритої адіабатичної системи необхідно із зміни внутрішньої енергії (U1 – U0) вирахувати втрати ексергії внаслідок переходу енергії на більш низький температурний рівень Т1®Т0 і втрати ексергії на виштовхування об’єму навколишнього середовища. Втрата ексергії у зв’язку з переходом на більш низький температурний рівень враховується виразом T0(s1 – s2) = T0Ds = вex, що являє собою рівняння Гюї–Стодоли. На рис. 6.1, б ця втрата виражається площею а–2–s2–s1–a. Втрата ексергії на роботу виштовхування враховується виразом р0(v1 – v0). На діаграмі р–v (рис. 6.1, а) ця втрата рівнозначна площі 2–v0–vа– а'–2. Робота виштовхування ніколи не може бути корисною. Ексергія системи рівнозначна площі 1–2–б–1. Опустимо індекси початкового стану робочого тіла (оскільки він може бути довільним), тоді рівняння (6.11) набуває вигляду e x = (u - u0 ) - T0 (s - s0 ) - p (v - v 0 ) . (6. 12) Оскільки параметри навколишнього середовища є постійними, то зміна ексергії не залежить від процесу переходу із початкового стану в рівноважний з навколишнім середовищем і є функцією стану закритої системи. Анергія являє собою ту частину енергії, що не може перетворитися в корисну роботу і визначається рівнянням aн = u0 + T0 (s - s0 ) + p (v - v 0 ) . (6.13) 6.3. ФУНКЦІЯ ПРАЦЕЗДАТНОСТІ ТЕПЛОТИ Щоб визначити функцію працездатності теплоти, необхідно знати ту її частку, що перетворюється в інші види енергії, тобто в корисну роботу. Для одержання корисної роботи із теплоти необхідно, щоб робоче тіло здійснювало цикл. У даному випадку підведення до робочого тіла ексергії дорівнює корисній роботі, а анергія – невикористаній теплоті цикла q2. Розглянемо ідеальний оборотний цикл, в якому тепловіддача здійснюється при температурі навколишнього середовища Т2 = Т0. Підведена до робочого тіла теплота складається із ексергії e xq і анергії aн q : dq1 = de x q + daн q . (6.14) Для визначення складових теплоти використаємо другий закон термодинаміки для баланса ентропії. Зміна ентропії робочого тіла в оборотному циклі DSрт = 0. При підведенні до робочого тіла теплоти dq1 його ентропія збільшується на величину dsq1 = dq1 / T1 . Кількість теплоти dq2, що відводиться в навколишнє середовище, має бути такою, щоб зменшення ентропії робочого тіла дорівнювало її збільшенню: ds q 2 = dq2 / T2 = ds q1 . Рис. 6.2. Зображення ексергії і анергії в тепловій діаграмі Виходячи з цього, запишемо dsq1 + dsq 2 = dq1 dq2 + , T1 T0 (6.15) де Т1 і Т0 – відповідно температури тепловіддавача і навколишнього середовища. Тоді анергія, що дорівнює неперетворюваній теплоті dq2, визначається із формули (6.14): æT ö daн q = dq2 = ç 0 ÷ dq1 = T0 dsq1 . è T1 ø (6.16) Підставляючи значення aн q в формулу (6.14), знаходимо ексергію теплоти T0 æ T0 ö = 1dq . T1 çè T1 ÷ø 1 Ексергія теплоти в будь-якому температурному інтервалі de x q = dq1 - dq1 (6.17) 2 2 dq æ T ö = ò ç1 - 0 ÷ dq1 = q1- 2 - T0 ò 1 . T T 1-2 1 ø 1 1 1è (6.18) ex q Анергія теплоти у цьому ж інтервалі температур 2 dq1 = T0 ò ds . T 1 1 1 2 aн q 1- 2 = T0 ò (6. 19) На тепловій діаграмі Т–s (рис. 6.2) зображені ексергія і анергія теплоти q1–2. Як бачимо, ексергія і анергія залежать від температури навколишнього середовища Т0, тепловіддавача Т1 і кількості переданої теплоти q1–2. Кількість переданої теплоти є характеристикою процесу. Тому ексергія і анергія теж є характеристиками процесу і не є параметрами стану. Коефіцієнт (1 – T0/T1) у рівнянні (6.18) є термічним ККД ідеального циклу Карно, що здійснюється в інтервалі температур Т1…Т0. Тоді рівняння (6.18) можна переписати так: æ T ö (6.20) e x q = h t q1- 2 = ç1 - 0 ÷q1- 2 . 1- 2 è T1 ø Оскільки теплота перетворюється в роботу в циклах, то корисна робота згідно з першим законом lц = q1 - q2 = e x q . (6.21) Звідси випливає, що корисна робота у кращому випадку дорівнює ексергії теплоти. Згідно з другим законом термодинаміки підведена теплота q1 не може бути повністю перетворена в роботу, оскільки вона лише частково складається із ексергії. Анергія не перетворюється в роботу і її необхідно передати навколишньому середовищу. 6.4. ЕКСЕРГЕТИЧНІ БАЛАНС І КОЕФІЦІЄНТ КОРИСНОЇ ДІЇ Оцінка ефективності перетворення енергії у теплових установках за допомогою першого закону термодинаміки на основі балансових рівнянь або термічного ККД не є досконалою, оскільки одержана робота порівнюється зі всією тепловою енергією, яка навіть теоретично за другим законом термодинаміки не може повністю перетворитися в роботу. Тому більш доцільним є порівняння одержаної роботи з її ексергією. Тоді під ексергетичним ККД розуміють відношення корисної роботи до підведеної до системи ексергії h e x = l / ex . (6.22) У випадку, коли перетворення відбувається в оборотних процесах і циклах, то вся ексергія перетворюється в корисну роботу, тобто еx = lmax і ексергетичний ККД дорівнює одиниці. Якщо перетворення енергії відбувається в необоротних процесах або циклах, то з’являються втрати ексергії вe x , тобто частина ексергії переходить в анергію і в корисну роботу перетворюється не вся ексергія (h e x < 1) : l = e x - в ex < l max . Враховуючи останній вираз, для ексергетичного ККД можна записати вe hex = 1- x , (6.23) ex вe х характеризує частку ex втраченої ексергії в окремому елементі апарата або в апараті в цілому. Ця величина при застосуванні більш раціональних процесів може бути зменшена, а з теоретичної точки зору навіть повністю усунена, коли застосовуються тільки оборотні процеси. Для наочного зображення потоків енергії застосовують так звані діаграми, де величина Рис. 6.3. Діаграми енергетичних потоків потоку визначається шириною смуги. Ця діаграма ілюструє закон збереження енергії. Виходячи з другого закону термодинаміки, більш доцільно енергетичні потоки розділити на потоки ексергії та анергії. Така діаграма дає можливість оцінити досконалість процесів перетворення енергії. Діаграма потоків ексергії і анергії в оборотних і в необоротних процесах наведена відповідно на рис. 6.3, а, б. Як бачимо, в оборотних процесах в навколишнє середовище віддається тільки анергія підведеної теплоти q2 = aн. У коловому процесі цю теплоту не можна розглядати як втрату. Це та частина теплоти, яку необхідно віддати навколишньому середовищу, щоб здійснити цикл. У необоротних процесах в навколишнє середовище віддається не тільки анергія підведеної теплоти, а й втрати ексергії внаслідок необоротності процесів q2 = a н + в e x . У цьому випадку в e x можна зменшити або позбутися де застосуванням більш раціональних процесів. Тому важливо знати причини втрат ексергії і способи їх зменшення. Оскільки при необоротних процесах ентропія збільшується, то величина втрати ексергії може бути розрахована за формулою Гюї–Стодоли: n в e x = T 0 å D s нi , (6.24) 1 n де å Ds нi – сума приростів ентропії системи від необоротних процесів. 1 Втрати ексергії дорівнюють добутку температури навколишнього середовища на приріст питомої ентропії системи від необоротних процесів. З урахуванням цього корисна робота циклу n l = l max - в e x = l max - T0 å Ds нi . (6.25) 1 Вирази (6.23) і (6.25) носять узагальнюючий характер і дають можливість визначати втрати ексергії для теплоти і для потоку. Знайдемо втрати питомої ексергії теплоти в довільному процесі 1–2: e xq - exq 1 T T q q = q1 æç 1 - 0 ö÷ - q2 æç 1 - 0 ö÷ = q1 - q2 + T0 æç 1 - 2 ö÷ = T T T T 2 è è è 1 1 ø 2 ø 2 ø n = l ц + T0 å Ds нi = l ц + в e x . 1 (6.26) q Розглянемо два граничних випадки: 1) повністю оборотний цикл, для якого згідно з другим законом термодинаміки D s1 = D s2 = q1 / T1 = q2 / T2 , тобто в цьому випадку в ex = 0 і цикл Карно дає можливість переносити q теплоту від тіла з більшою температурою до тіла з меншою температурою, виконуючи деяку роботу без знецінювання енергії; 2) повністю необоротний процес теплообміну між двома тілами при кінцевій різниці температур. У цьому випадку робота не виконується; l = 0 і згідно з першим законом термодинаміки кількість теплоти q1 , що віддається першим тілом, дорівнює кількості теплоти q2, що сприймається другим тілом. Тоді в ex n q = T0 ( q / T2 - q / T1 ) = T0 ( D s 2 - D s1 ) = T0 å D s нi , (6.27) 1 що збігається з виразом (6. 24). КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ 1. Проаналізуйте яким чином і до якої межі робота, теплота і внутрішня енергія перетворюються в інші форми енергії в оборотних і необоротних процесах. 2. За яких умов досягається максимальна робота при теплових перетвореннях? Що таке ексергія і анергія? Як змінюються ексергія і анергія в оборотних і необоротних процесах? Дайте формулювання першого та другого законів термодинаміки, виходячи із понять ексергії і анергії. 3. Що таке працездатність і функція працездатності енергії? Виведіть функцію працездатності внутрішньої енергії і проаналізуйте її. Запишіть формулу для визначення внутрішньої енергії і проаналізуйте її. 4. Запишіть функцію працездатності теплоти і проаналізуйте її. Наведіть на тепловій діаграмі зображення ексергії і анергії довільного процесу. 5. Що таке ексергетичний ККД? Як він визначається? Наведіть діаграму енергетичних потоків через ексергію і анергію для оборотних і необоротних потоків і проаналізуйте її. Як розраховуються втрати питомої ексергії теплоти в довільному процесі? Розділ 7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ТЕРМОДИНАМІКИ. РІВНОВАГА ТЕРМОДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ 7.1. ОСНОВНІ ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ФУНКЦІЇ. УМОВИ РІВНОВАГИ ТЕРМОДИНАМІЧНОЇ СИСТЕМИ Об’єднавши перший та другий закони термодинаміки, отримаємо TdS ³ dU + pdV . (7.1) Це рівняння деякі автори називають основним рівнянням термодинаміки. Воно слушне як для рівноважних (знак рівності), так і нерівноважних (знак нерівності) процесів. На основі цього рівняння розроблено систему диференціальних рівнянь термодинаміки, що широко використовують при обчислюванні окремих фізичних властивостей робочого тіла (ентальпія, ентропія, теплоємності та ін.) і складанні термодинамічних таблиць. Крім того, маючи експериментальні дані фізичних властивостей тіла, за допомогою диференціальних рівнянь можна знайти рівняння стану. Аналітичний метод термодинамічних досліджень базується на так званих характеристичних функціях, за допомогою яких і їх похідних найбільш просто отримують явні вирази для всіх термодинамічних величин, які характеризують системи і вирази для потенціалів переносу. До основних характеристичних функцій відносять внутрішню енергію U = f (V , S ) , ентальпію H = f ( p, S ) , ізохорично-ізотермічний потенціал F = f (T , V ) і ізобарично-ізотермічний потенціал G = f ( p, T ) . Характеристичні функції є похідними функціями внутрішньої енергії. Тому вони, як і внутрішня енергія, є функціями стану і їх диференціали є повними. Характеристичні функції мають властивості характеристичних лише за певних умов взаємодії (спряження) термодинамічної системи з навколишнім середовищем. Рівняння (7.1) дає можливість установити критерії рівноваги як для ізольованих, так і неізольованих систем. Згідно з другим законом термодинаміки перехід системи до рівноважного стану відбувається самочинно і ентропія системи залишається постійною (оборотні процеси) або зростає (необоротні процеси). В стані рівноваги ентропія системи набуває максимального значення. Якщо термодинамічною системою є однорідне ізольоване тіло, то в стані рівноваги всі параметри однакові ( U = const і V = const , а dU = 0 і dV = 0 ). Тоді вираз (7.1) набуває вигляду dS ³ 0 . (7.2) Знак нерівності у виразі (7.2) характеризує еволюцію переходу системи із нерівноважного в рівноважний стан. Зростання ентропії ( dS > 0 ) свідчить, що цей перехід продовжується. В стані рівноваги dS = 0; S = S max . (7.3) Вираз (7.3) є умовою (критерієм) рівноважного стану ізольованої системи. Таким чином, у рівноважному стані ентропія ізольованої системи досягає максимуму. Для неізольованих систем умови рівноваги будуть залежати від характеру їх взаємодії з навколишнім середовищем. Для простих термодеформаційних систем найбільший практичний інтерес становлять такі форми взаємодії: 1) V = const , S = const ; 2) p = const , S = const ; 3) V = const , T = const ; 4) p = const , T = const . Знайдемо умови рівноваги і характеристичні рівняння за таких умов взаємодії. 1) За першою умовою взаємодії ( dV = 0 і dS = 0 ) основне рівняння термодинаміки (7.1) набуває вигляду (7.4) dU £ 0 . Знак нерівності у виразі (7.4) говорить про наявність нерівноважного процесу. В стані рівноваги dU = 0; U = U min = const . (7.5) Якщо система взаємодіє з навколишнім середовищем, при постійних V і S у стані рівноваги внутрішня енергія приймає мінімальне значення. Вираз (7.5) є критерієм рівноваги системи за цієї взаємодії. Треба зауважити, що умова S = const не свідчить про адіабатичну ізольованість системи. При нерівноважних процесах за цієї взаємодії, щоб підтримувати постійною ентропію, необхідно відводити теплоту від системи. Оскільки внутрішня енергія є функцією стану, то її повний диференціал за незалежних змінних V і S ¶U ö ¶U ö dU = æç ÷ dS + æç ÷ dV . ¶ S øV è è ¶V ø S (7.6) Перепишемо рівняння (7.1) для рівноважного процесу в такому вигляді: dU = TdS - pdV . Порівнюючи вирази (7.6) і (7.7), одержимо (7.7) æç ¶U ö÷ = T ; æç ¶U ö÷ = - p . è ¶V ø S è ¶ S øV (7.8) Отже, за вибраних незалежних змінних V і S внутрішня енергія є характеристичною функцією. За допомогою її частинних похідних за об’ємом і ентропією можна дуже просто визначити параметри T і p. У результаті стають визначеними V, S, U і T, тобто всі параметри стану системи. 2) За умови взаємодії системи з навколишнім середовищем при p = const і S = const основне рівняння термодинаміки (7.1) запишемо через ентальпію. Для цього замінимо член pdV. Дійсно, d ( pV ) = pdV + Vdp . Звідси pdV = d ( pV ) - Vdp . (7.9) TdS ³ dU + d ( pV ) - Vdp = dH - Vdp . (7.10) Тоді Перепишемо вираз (7. 10) у вигляді dH £ TdS + Vdp . (7.11) За даної взаємодії dp = 0 і dS = 0 і процес відбувається за умови dH £ 0 . (7.12) dH = 0; H = H min = const . (7.13) У стані рівноваги Таким чином, за такої взаємодії ентальпія системи при наближенні до стану рівноваги зменшується і досягає мінімуму в стані рівноваги. Вираз (7.13) є умовою рівноваги системи за таких умов. Оскільки ентальпія є функцією стану, то її повний диференціал за незалежних параметрів p і S æ ¶H ö æ ¶H ö ÷÷ dp . dH = ç ÷ dS + çç S ¶ è øp è ¶p ø S (7.14) У стані рівноваги рівняння (7.11) запишеться так: dH = TdS + Vdp . Тоді, порівнюючи (7.14) і (7.15), знаходимо (7.15) æ ¶H ö ÷ = T; ç è ¶S ø p æ ¶H ö ÷÷ = V . çç è ¶p ø S (7.16) Таким чином, за вибраних незалежних змінних p і S ентальпія H є характеристичною функцією. Дійсно, диференціювання функції H = f ( p, S ) за одним із параметрів, при умові постійності другого параметра (7.16) дає можливість знайти параметри T і V. Тоді визначеними будуть U, S і H. 3) За умов взаємодії системи з навколишнім середовищем при V = const і T = const в основному рівнянні термодинаміки член TdS може бути таким: TdS = d (TS ) - SdT . (7.17) З урахуванням (7.17) вираз (7.1) перепишеться так: d (TS ) - SdT ³ dU + pdV або d (U - TS ) £ - SdT - pdV . (7.18) U - TS = F , (7.19) Введемо позначення де F – ізохорично-ізотермічний потенціал, який вперше було введено Г. Гельмгольцем і названо вільною енергією. Тоді вираз (7.18) набуває вигляду dF £ - SdT - pdV . (7.20) Із (7.20) витікає, що за даної взаємодії ( dV = 0 , dT = 0 ) в системі зменшується ізохорично-ізотермічний потенціал: dF £ 0 . (7.21) У стані рівноваги він досягає мінімуму: dF = 0; F = Fmin = const . (7.22) Оскільки функції U, T і S є функціями стану, то і функція F = f (T , V ) є повним диференціалом: æ ¶F ö æ ¶F ö dF = ç ÷ dT + ç ÷ dV . ¶ T è øV è ¶V øT (7.23) Порівнюючи вирази (7.23) і (7.20), що записуються для стану рівноваги, одержимо æç ¶F ö÷ = - S ; æç ¶F ö÷ = - p . (7.24) è ¶V øT è ¶T øV Таким чином, вільна енергія є характеристичною функцією вибраних незалежних змінних T і V. Дійсно, якщо функція F виражається через параметри T і V, то при її диференціюванні за одним із цих параметрів за умови постійності іншого (7.24) можна визначити параметри стану S і p. Тоді визначеними будуть також F, V і T, за якими можна розрахувати U, H і G. 4) Взаємодія системи з навколишнім середовищем відбувається за умови p = const і T = const . Використовуючи вирази (7.9) і (7.7), основне рівняння термодинаміки запишеться так: d (TS ) - SdT ³ dU + d ( pV ) - Vdp або d (U + pV - TS ) £ Vdp - SdT . (7.25) U + pV - TS = H - TS = F + pV = G . (7.26) Позначимо функцію Тоді вираз (7.25) перепишеться так: dG £ Vdp - SdT . (7.27) Функція G називається ізобарично-ізотермічним потенціалом. Вперше ця функція була введена Дж. Гіббсом і за аналогією з вільної енергією (7.19) названа вільною ентальпією. Іноді функцію G називають термодинамічним потенціалом Гіббса. Із (7.27) бачимо, що при ізобарично-ізотермічній взаємодії системи з навколишнім середовищем ( dp = 0 і dT = 0 ) будь-який процес відбувається за умови зменшення ізобарично-ізотермічного потенціалу dG £ 0 , (7.28) dG = 0, G = G min = const . (7.29) а в стані рівноваги Таким чином, при наближенні системи до стану рівноваги вільна ентальпія зменшується і в стані рівноваги набуває мінімального значення. Оскільки всі величини, які входять в (7.26), є функціями стану, то і ізобарично-ізотермічний потенціал G є функцією стану, а диференціал залежності G = f ( p, T ) є повним диференціалом: ¶G ö æ ¶G ö÷ dT . dG = æç ÷ dp + ç è ¶T ø p è ¶p ø T (7.30) Порівнюючи вирази (7.27) і (7.30), знаходимо (¶G / ¶p ) T = V , ( ¶G / ¶T ) p = - S . (7.31) Таким чином, вільна ентальпія G є характеристичною функцією незалежних параметрів р і Т. Дійсно, якщо функція G виражається через параметри р і Т, то при її диференціюванні за одним із цих параметрів при умові постійності другого параметра (7.31) є можливість визначити параметри стану V і S, а також значення G, р і Т, за допомогою яких визначається Н і F. Аналогічно, при інших умовах взаємодії системи з навколишнім середовищем можна знайти й інші характеристичні функції. Але вони не знайшли практичного застосування і мають тільки методичне значення, тому вони тут не розглядаються. Як уже було сказано, характеристичні функції є адитивними величинами, тобто залежать від маси. Щоб позбутися цього, вводять питомі величини, через які записують ці функції. 1. Внутрішня енергія u = U / m ; du = Tds - pdv ; (¶u/¶s )v = T ; (¶u / ¶v ) s = - р . (7.32) 2. Ентальпія h = H / m = u + pv ; dh = Tds + v dp ; (¶h / ¶s ) p = T ; (¶u / ¶p) s = v . (7.33) 3. Ізохорично-ізотермічний потенціал f = F / m = u - Ts ; df = - sdT - pdv ; ( ¶f / ¶T ) v = - s ; (¶f / ¶v )T = - p . (7.34) 4. Ізобарично-ізотермічний потенціал g = G / m = u + pv - Ts = h - Ts = f + pv ; dg = v dp - sdT ; (¶g / ¶p )T = v ; (¶g / ¶T ) p = - s . 7.2. РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ПРОСТИХ СИСТЕМ (7.35) Широке застосування в термодинамічному аналізі знайшли рівняння, вперше сформульовані Дж. К. Максвеллом, що називаються його ім’ям. Рівняння Максвелла отримують перехресним диференціюванням частинних похідних характеристичних функцій. Знайдемо такі рівняння для характеристичних функцій, розглянутих у § 7.1. 1. Перехресно здиференціюємо частинні похідні внутрішньої енергії (7.8) за параметрами s і V: ¶ 2U / ¶S¶V = (¶T / ¶V )S ; ¶ 2U / ¶V¶S = -(¶p / ¶S )V . (7.36) Із виразу (7.36) знаходимо (¶T / ¶V )S = -(¶p / ¶S )V або (¶V / ¶T ) S = -(¶S / ¶p )V . (7.37) Аналогічний вигляд мають ці рівняння для питомих величин u, s: (¶T / ¶v )s = - (¶p / ¶s )v або (¶s / ¶p )v = -(¶v / ¶T ) s . (7.38) 2. Перехресно здиференціюємо частинні похідні ентальпії H (7.16) за параметрами p і s: ¶ 2 H / ¶S¶p = (¶T / ¶p ) s ; ¶ 2 H / ¶p¶S = ( ¶V / ¶S ) p . (7.39) Із виразу (7.39) знаходимо (¶T / ¶p ) s = (¶V / ¶S ) p або (¶p / ¶T )s = (¶S / ¶V ) p . (7.40) Для питомих величин р і s (¶T / ¶p ) s = (¶v / ¶s ) p або (¶p / ¶T )s = (¶s / ¶v ) p . (7.41) 3. Перехресно здиференціюємо частинні похідні ізохорично-ізотермічного потенціалу F (7.24) за параметрами V і T: ¶ 2 F / ¶T¶V = -(¶S / ¶V )T ; ¶ 2 F / ¶V¶T = -(¶p / ¶T )V . (7.42) Із виразу (7.42) знаходимо (¶S / ¶V )T = (¶p / ¶T )V або (¶V / ¶S )T = (¶T / ¶p )V . (7.43) Для питомих величин u, T ці рівняння перепишуться так: (¶s / ¶v )T = (¶p / ¶T ) або (¶v / ¶s )T = (¶T / ¶p )v . (7.44) 4. Перехресно здиференціюємо частинні похідні ізобарично-ізотермічного потенціалу G (7.31) за параметрами p і T: ¶ 2 G / ¶p¶V = (¶V / ¶T ) p ; ¶ 2 G / ¶V¶p = - (¶S / ¶p )T . (7.45) Звідси отримаємо (¶V / ¶T ) p = - (¶S / ¶p )T або (¶Т / ¶V ) p = - (¶p / ¶S )T . (7.46) Для питомих величин ці рівняння набувають вигляду (¶v / ¶T ) p = -(¶s / ¶p )T або (¶T / ¶v ) p = - (¶p / ¶s )T . (7.47) Одержані вище рівняння називаються рівняннями Максвелла. 7.3. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ СТАНУ ТЕРМОДИНАМІЧНОЇ СИСТЕМИ Як було показано раніше, тепловий стан термодинамічної системи однозначно описується термічними параметрами F = f ( p , v , T ) . Нехай система знаходиться в рівноважному стані І, що характеризується параметрами p, v, T. Розглянемо рівноважний стан ІІ, дуже близький до стану І, що характеризується параметрами p + dp , v + dv , T + dT . Зміни параметрів dp, dv, dT мають макроскопічний характер, вони більше можливих флуктуацій відповідних величин і є нескінченно малими порівняно зі значеннями p, v, T. Якщо значення зміни двох параметрів, наприклад dp і dv, вибирають довільно, то третє значення зміни dT вже не буде довільним, а залежить від значення dp і dv (залежно від функції стану). Знайдемо зв’язок між диференціалами змінних. Для цього припустимо, що рівняння стану має вигляд v = f ( p, T ) . (7.48) Оскільки параметри v, p, T є функціями стану, то dv є повним диференціалом: dv = (¶v / ¶p)T dp + (¶v / ¶T ) p dT . (7.49) Як бачимо, кожна частинна похідна є функцією параметрів p і T. Якщо стан системи задається через рівняння p = f ( v ,T ) , (7.50) то повний диференціал dp запишеться так: dp = (¶p/ ¶v )T dv + (¶p/ ¶T ) v dT . У даному випадку частинні похідні є функціями v і T. (7.51) Частинні похідні, що входять у рівняння (7.49) і (7.51), мають свій фізичний зміст. Але при розрахунках зручніше користуватися відносними величинами, так званими коефіцієнтами пружності. Ізобаричний коефіцієнт термічного розширення (стиснення) Нехай система при постійному тиску характеризується параметрами стану v і T. При зміні температури на dT об’єм змінюється на величину dv. Під ізобаричним коефіцієнтом розширення (стиснення) розуміють відносну зміну об’єму при зміні температури на 1 градус: a= 1 ( ¶v / ¶T ) p , v (7.52) де a – функція температури і об’єму. Може бути як додатною, так і від’ємною, і нульовою. Ізохоричний коефіцієнт термічної пружності Система при постійному об’ємі характеризується параметрами стану р і T. При зміні температури на dT тиск системи зміниться на величину dр. Під ізохоричним коефіцієнтом термічної пружності розуміють відносну зміну тиску при зміні температури на 1 градус: b= 1 (¶p / ¶T )v , p (7.53) де b – функція температури і об’єму. Може бути як додатною, так і від’ємною, і нульовою. Ізотермічний коефіцієнт розширення (стиснення) Нехай система при постійній температурі характеризується параметрами стану v і р. При зміні тиску на dр об’єм зміниться на величину dv. Під ізотермічним коефіцієнтом розширення (стиснення) розуміють відносну зміну об’єму при зміні тиску на 1 паскаль: 1 æ ¶v ö c = - çç ÷÷ . v è ¶p øT (7.54) Оскільки збільшення тиску dp > 0 завжди приводить до зменшення об’єму dv < 0 при Т = соnst, тобто відношення (¶v / ¶p)T є завжди від’ємним. Тому у рівнянні (7.54) вводиться знак “–”, щоб отримати додатний коефіцієнт c. Величина c є функцією температури і тиску, але зміна c із зміною р і Т є слабою. Частинні похідні, наведені в рівняннях (7.49) і (7.51), не є незалежними. Наведемо загальне диференціальне рівняння стану системи. Для цього підставимо рівняння (7.51) в (7.49): ¶v = (¶v / ¶p)T [(¶p / ¶v )T dv + (¶p / ¶T )v dT ] + (¶v / ¶T ) p dT . Після спрощення дістанемо (¶v / ¶p )T (¶p / ¶T )v (¶T / ¶v ) p = -1 . (7.55) Рівняння (7.55) називається диференціальним рівнянням стану, а частинні похідні, які входять в нього, – термодинамічними характеристиками системи. Введемо в рівняння (7.55) коефіцієнти (7.52), (7.53), (7.54): - v cpb[1 / (av )] = -1 ; b = a / ( pc) . (7.56) Це відношення дає можливість за досить простими дослідними вимірюваннями a і c розрахувати b. -1 Коефіцієнти a і b мають розмірності [K ] . Для ідеального газу pv = RT . Тоді (¶v / ¶T ) p = R / p = v / T ; (¶p / ¶T )v = R / v = p / T ; (¶v / ¶p )T = -v / p . Звідси a = b = 1/ T . (7.57) При t = 0 o C a 0 = b 0 = 1 / 273,15 . Враховуючи (7.57), із (7.56) одержимо c = 1/ p . (7.58) Як видно із останнього виразу, чим більше зростає тиск, тим менше газ стискається. 7.4. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВНУТРІШНЬОЇ ЕНЕРГІЇ, ЕНТАЛЬПІЇ І ЕНТРОПІЇ Диференціальні рівняння характеристичних функцій в частинних похідних дають можливість визначити за відомими фізичними властивостями внутрішню енергію, ентальпію, ентропію та інші величини, або навпаки за відомими калоричними параметрами фізичні властивості робочих тіл, що значно спрощує експериментальні роботи і зменшує їх об’єм. Як відомо, із трьох основних термодинамічних параметрів р, v, Т тільки два є незалежними. Третій визначається із рівняння стану. При складанні основних диференціальних рівнянь термодинаміки стан системи визначається будь-якими двома парами параметрів v і Т, р і Т або v і р. Розглянемо диференціальні рівняння внутрішньої енергії в незалежних змінних v і Т. Нехай u = f (v ,T ) . Оскільки внутрішня енергія є функцією стану, то її повний диференціал виражається рівнянням du = (¶u / ¶T )v dT + (¶u / ¶v )T dv . (7.59) Знайдемо частинні похідні. Так, із основного рівняння термодинаміки Tds = du + pdv (¶u / ¶v )T = T (¶s / ¶v )T - p . (7.60) Або, використовуючи рівняння Максвелла (7.44), дістанемо (¶u / ¶v )T = T (¶p / ¶T )v - p . (7.61) Це рівняння характеризує залежність внутрішньої енергії від об’єму в ізотермічному процесі. Із першого рівняння термодинаміки dq = du + pdv визначимо частинну похідну (¶u / ¶T )T . Дійсно, du = cdT - pdv . При v = const duv = cv dTv Þ (¶u / ¶T )v = cv . (7.62) Підставляючи (7.61) і (7.62) в (7.59), дістанемо диференціальне рівняння внутрішньої енергії duv = cv dTv + [T (¶p / ¶T )v - p ] dv . (7.63) Диференціальне рівняння ентропії знайдемо підстановкою виразу (7.63) в основне рівняння термодинаміки (7.1): Tds = cv dT + [T (¶p / ¶T )v - p] dv + pdv . Після спрощення отримаємо ds = cv dT / T + (¶p / ¶T )v dv . (7.64) Дістанемо диференціальне рівняння ентальпії h = f ( p, T ) . Оскільки ентальпія є функцією стану, то її повний диференціал dh = (¶h / ¶p )T dp + (¶h / ¶T ) p dT . (7.65) Знайдемо частинні похідні і підставимо їх у вираз (7.65). Із рівняння (7.33) знайдемо (¶h / ¶p )T . Дійсно, dhT = Tds T + v dpT . Тоді (¶h / ¶p )T = T (¶s / ¶p )T + v . (7.66) Замінимо (¶s / ¶p )T через вираз (7.47): (¶h / ¶p )T = -T (¶v / ¶T ) p + v . (7.67) Це рівняння характеризує зміну ентальпії від тиску в ізотермічному процесі. Із рівняння (3.36) частинна похідна (¶h / ¶T ) p = c p . З урахуванням цього і виразу (7.67) рівняння (7.65) набуває вигляду dh = c p dT - [ T (¶v / ¶T ) p - v ] dp . (7.68) Диференціальне рівняння ентропії в незалежних змінних р і Т знайдемо підстановкою виразу (7.68) в (7.33): c p dT - [T (¶v / ¶T ) p - v ]dp = Tds + v dp . Після спрощення дістанемо ds = c p dT / T - (¶v / ¶T ) p dp . (7.69) Отримані диференціальні рівняння внутрішньої енергії (7.63) і ентальпії (7.68) мають велике практичне значення, бо дають зв’язок між фізичними властивостями робочого тіла і калоричними параметрами. Знаючи фізичні властивості робочих тіл, знаходять зміну внутрішньої енергії і ентальпії або, навпаки, розв’язують зворотню задачу – за змінами u і h знаходять зміну термічних параметрів в термодинамічних процесах. Інтегруючи вираз (7.63), визначимо питому внутрішню енергію речовини: 2 2 1 1 Du ( v , T ) = ò c v dT + ò [T ( ¶p / ¶T ) v - p ] dv . Після інтегрування матимемо v Du (v , T ) = u (v 0 , T ) + ò [T( ¶p / ¶T ) v - p ] dv . (7.70) v0 Аналогічно, інтегруючи вираз (7.68), дістанемо p Dh ( p, T ) = h( p 0 ,T ) + ò [T(¶v /¶T) p - v ] dp . (7.71) p0 У цих рівняннях u (v 0 , T ) і h( p0 ,T ) відповідно внутрішня енергія і ентальпія робочого тіла в початковому стані при параметрах p0 і v0 і при тій же температурі Т. Для розв’язування рівнянь необхідно попередньо розрахувати частинні похідні (¶p / ¶T )v , (¶v / ¶T ) p . При цьому інтегрування ведеться за ізотермою. Для розв’язування зворотних задач рівняння (7.63) і (7.68) мають вигляд (¶u / ¶v )T = -[¶ ( p / T ) / ¶ (1 / T ) ]v , (7.72) (¶h / ¶p )T = - [¶ (v / T )/ ¶ (1/ T ) ]p . (7.73) Після інтегрування виразів (7.72) і (7.73) дістанемо T p (v , T ) / T = p0 (v , T0 ) / T0 - ò (¶u / ¶v )T d (1 / T ) , (7.74) T0 T v ( p,T )/T = v 0 ( p,T0 )/T0 - ò (¶h/¶p )T d (1/T ) . (7.75) T0 Тут p0 (v ,T0 ) і v 0 ( p,T0 ) – значення параметрів у початковому стані. В рівнянні (7.74) інтегрування здійснюється при v = const, а в рівнянні (7.75) при р = const. 7.5. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ПИТОМИХ ТЕПЛОЄМНОСТЕЙ За визначенням дійсна теплоємність c x = dq x / dT = T (¶s / ¶T )x , де сх – теплоємність речовини в термодинамічному процесі, в якому зберігається постійним параметр x. У технічній термодинаміці найбільше практичне значення мають теплоємності за постійних об’єму та тиску: cv = T (¶s / ¶T )v , c p = T (¶s / ¶T ) p . (7.76) Рівняння першого закону термодинаміки для ізохоричного процесу Tds = du . Тоді із (7.76) для ізохоричної теплоємності дістанемо вираз cv = (¶u / ¶T )v . (7.77) Таким чином, ізохорична теплоємність дорівнює зміні внутрішньої енергії одиниці речовини при зміні температури на один градус в ізохоричному процесі. Підведена теплота в ізохоричному процесі йде тільки на зміну внутрішньої енергії. Рівняння першого закону термодинаміки для ізобаричного процесу Tds = dh . Тоді, враховуючи це, із (7.76) дістанемо вираз для ізобаричної теплоємності c p = (¶h / ¶T )p . (7.78) Ізобарична теплоємність дорівнює зміні ентальпії одиниці речовини при зміні температури на один градус в ізобаричному процесі, тобто в ізобаричному процесі підведена (відведена) теплота йде не тільки на зміну внутрішньої енергії, а й на виконання роботи розширення. Установимо зв’язок теплоємностей з частинними похідними термічних параметрів. Для цього перетворимо рівняння (7.76): cv = T (¶s / ¶T )v = T (¶s / ¶p )v (¶p / ¶T )v . (7.79) Використовуючи рівняння Максвелла (7.38), із виразу (7.79) одержимо cv = -T (¶v / ¶T )s (¶p / ¶T )v . (7.80) Аналогічно маємо рівняння (7.76) для ізобаричної теплоємності: c p = T (¶s / ¶T ) p = T (¶s / ¶v ) p (¶v /¶T ) p . (7.81) Використовуючи рівняння Максвелла (7.41), вираз (7.81) можна перетворити так: c p = T (¶p / ¶T )s (¶v / ¶T ) p . (7.82) Знайдемо ще співвідношення, що визначають теплоємності. Для цього здиференціюємо вираз (7.61) за температурою при v = const : ( ) ¶ 2 u / ¶v ¶T = T ¶ 2 p / ¶ 2T v . (7.83) Оскільки послідовність диференціювання не впливає на розрахунок змішаних похідних, то вираз (7.83) набуває вигляду ¶ ¶ 2 u / ¶v ¶T = é (¶u / ¶v )T ùú = éê ¶ (¶u / ¶T ) v ùú . êë ¶T û v ë ¶v ûT (7.84) Введемо значення cv із (7.77) в останнє рівняння: ¶ 2u / ¶v ¶T = (¶cv / ¶v )T . (7.85) Підставимо вираз (7.85) в (7.83): (¶cv / ¶v )T = T (¶ 2 p / ¶T 2 ) v . (7.86) Формула (7.86) визначає залежність теплоємності cv від об’єму при T = const . Інтегруючи вираз (7.86), отримаємо залежність, що дає можливість розрахувати зміну теплоємності при зміні об’єму від v 0 до v : ¶2 p dv . 2 v 0 ¶T v cv (v , T ) = cv (v 0 , T ) + T ò (7.87) Тепер знайдемо вираз для визначення c p . Для цього здиференціюємо формулу (7.67) за температурою при p = const : æ ¶ 2v ö ¶ 2h = -T ç 2 ÷ , ç ¶T ÷ ¶p¶T ø è (7.88) ¶ (¶h / ¶p )T ùú = éê ¶ (¶h / ¶T ) p ùú . ¶ 2 h / ¶p¶T = é êë ¶T û p ë ¶p ûT (7.89) p враховуючи, що Введемо значення c p із (7.78) в останнє рівняння: ( ) ¶ 2 h / ¶p¶T = ¶c p / ¶p T . (7.90) Підставимо вираз (7.90) у (7.88): (¶c p / ¶p )T = -T (¶ 2v / ¶T 2 )p . (7.91) Формула (7.91) показує залежність ізобаричної теплоємності c p від тиску при T = const . Інтегруючи (7.91), знайдемо залежність c p при зміні тиску від p0 до p : p ( ) c p ( p, T ) = c p ( p0 , T ) - T ò ¶ 2 v / ¶T 2 p dp . (7.92) p0 Рівняння (7.87) і (7.92) широко застосовуються при визначенні властивостей речовини. Знаючи теплоємність за низьких параметрів і відомі залежності f = f ( p, v , T ) , легко розрахувати теплоємності при високих тисках. Вирази (7.87) і (7.92) використовують для знаходження теплоємностей в конденсованій формі. Для розрахунку теплоємностей газів ці рівняння записуються так: v ( ) (7.93) ( ) (7.94) cv (v ,T ) = cv ¥ (T ) + T ò ¶ 2 p/¶T 2 v dv , ¥ p c p ( p,T ) = c р 0 (T ) - T ò ¶ 2 v /¶T 2 p dp , 0 де c v ¥ , c p 0 – ізохорична і ізобарична теплоємності ідеального газу. Для реального газу – це частина теплоємності, що залежить від температури і не залежить від тиску, а друга складова правої частини являє собою частину теплоємності, що залежить від зміни об’єму та тиску. Знайдемо зв’язок між ізохоричною c v та ізобаричною c p теплоємностями. Для будь-якого процесу кількість теплоти dq = Tds . Підставивши значення ds із (7.64), дістанемо dq = T (¶p / ¶T )v dv + cv dT . (7.95) При p = const dq = c p dT і рівняння (7.95) набуває вигляду c p dT = T (¶p / ¶T )v dv + cv dT . Звідси (7.96) c p - cv = T (¶p / ¶T )v (¶v / ¶T ) p . (7.97) Для ідеального газу, використовуючи рівняння стану pv = RT , знаходимо (¶p / ¶T )v = R / v ; (¶v / ¶T ) p = R / p . (7.98) Підставимо (7.98) у вираз (7.97): c p - cv = TR R =R, v p тобто одержимо формулу Майєра (3.10). 7.6. ТЕРМОДИНАМІЧНІ ПОТЕНЦІАЛИ Поняття термодинамічного потенціалу запозичено із теоретичної механіки. В механіці під потенціалом розуміють функції, диференціал яких із зворотним знаком дорівнює елементарній роботі. За аналогією основні характеристичні функції термодинаміки називають потенціалами. Характеристичні функції відіграють роль потенціальної енергії і їх диференціали за певних умов взаємодії в рівноважному процесі дорівнюють елементарній роботі за виключенням роботи проти зовнішнього тиску. Так, при взаємодії системи з навколишнім середовищем за умови: 1) V = const , S = const – внутрішня енергія U називається ізохоричноізоентропійним потенціалом; 2) p = const , S = const – ентальпія Н називається ізобаричноізоентропійним потенціалом; 3) V = const , T = const – вільна енергія F називається ізохоричноізотермічним потенціалом; 4) p = const , T = const – вільна ентальпія G називається ізобаричноізотермічним потенціалом. У загальному випадку термодинамічна система при взаємодії з навколишнім середовищем крім роботи розширення може здійснювати й інші види робіт недеформаційного характеру (2.23). З урахуванням цього основне рівняння термодинаміки (7.1) запишеться так: TdS ³ dU + pdV + dL¢ , (7.99) де dL¢ – елементарна робота всіх видів взаємодії, крім деформаційної. За першої умови взаємодії ( V = const , S = const ) система може обмінюватися з навколишнім середовищем теплотою таким чином, щоб ентропія залишалась постійною величиною. Тоді рівняння (7.99) перепишеться так: 0 ³ dU + dL¢ або dU £ -dL¢ . (7.100) У даному випадку робота виконується завдяки зміні внутрішньої енергії, тобто внутрішня енергія є термодинамічним Рис. 7.1. Графічне зображення співвідношення між термопотенціалом. За другої умови взаємодії ( p = const , динамічними потенціалами S = const ) система може обмінюватися з навколишнім середовищем як теплотою, так і деформаційною роботою. Тоді (7.99) набуває вигляду 0 ³ dU + pdV + δL¢ = dH + dL¢ або dH £ -dL ¢ . (7.101) У цьому випадку робота виконується завдяки зміні ентальпії системи, тобто ентальпія є термодинамічним потенціалом. За третьої умови взаємодії ( V = const , T = const ) система може обмінюватися з навколишнім середовищем теплотою в ізотермічних процесах. У цьому випадку dV = 0 і dT = 0 і рівняння (7.99) з урахуванням (7.17)– (7.19) набуває вигляду d (U - TS ) = dF £ - SdT - pdV - dL ¢ або dF £ - dL ¢ . (7.102) Тоді робота здійснюється завдяки зміні ізохорично-ізотермічного потенціалу F. За четвертої умови взаємодії ( p = const , T = const ) система може обмінюватися з навколишнім середовищем теплотою і деформаційною роботою. Тоді рівняння (7.99) з урахуванням (7.25)–(7.27) перепишеться так: d (U - Ts + pV ) = dG £ Vdp - SdT - dL¢ або dG £ -dL¢ . (7.103) У цьому випадку робота виконується завдяки зміні ізобарично-ізотермічного потенціалу G. Таким чином, згідно з рівняннями (7.100)–(7.103), робота недеформаційного характеру за певних умов взаємодії системи з навколишнім середовищем здійснюється внаслідок зменшення відповідних функцій. Крім того, ізохорично-ізотермічний потенціал F є також потенціалом при ізотермічній взаємодії. Дійсно, як бачимо із (7.102), в даному випадку dF £ - pdV - dL¢ = dL . (7.104) Отже, при T = const зміна ізохорично-ізотермічного потенціалу дорівнює повній роботі системи в оборотному процесі. Із визначення ізохорично-ізотермічного потенціалу (7.19) вираз для внутрішньої енергії перепишеться так: (7.105) U = F + TS . Згідно з (7.105), робота за ізотермічних умов виконується тільки внаслідок зменшення F, що є складовою внутрішньої енергії. Внутрішня енергія не може повністю, а член ТS взагалі перетворюватися в роботу. Тому величина F була названа вільною, а ТS – зв’язаною енергіями. Із визначення ізобарично-ізотермічного потенціалу (7.26) ентальпія системи (7.106) H = G + TS . Аналогічно з F ізобарично-ізотермічний потенціал G отримав назву вільної ентальпії. Співвідношення між термодинамічними потенціалами можна зобразити графічно (рис 7.1). 7.7. ХІМІЧНИЙ ПОТЕНЦІАЛ До цього часу ми розглядали гомогенні (однорідні) системи, які характеризуються однаковими по всьому об’єму фізичними властивостями. При взаємодії таких систем не відбувається перерозподілу мас між окремими частинами системи і вона залишається постійною величиною. Але на практиці часто зустрічаються системи, що складаються із неоднорідних компонентів, які мають різні фізико-хімічні властивості. Внаслідок взаємодії окремих частин відбувається перерозподіл мас між ними, хоча загальна маса системи залишається незмінною. Крім того, і в однорідних системах відбуваються процеси, що призводять до зміни мас окремих частин системи (фазове перетворення). З перерозподілом маси перерозподіляється енергія в системі. Маса відіграє роль координати стану системи. Дж. Гіббс показав, що причиною масопереносу є неоднорідності системи, їх різні фізичні властивості, що характеризуються різними потенціалами переносу. У зв’язку з цим він ввів поняття хімічного потенціалу компонентів. Диференціал хімічного потенціалу дорівнює роботі хімічних сил у хімічних процесах і фазових перетвореннях. Розглянемо неоднорідну систему, що знаходиться в рівноважному стані й оборотно взаємодіє з навколишнім середовищем. Внаслідок енергетичного обміну в системі відбуваються хімічні й фазові перетворення. Якщо систему розбити на підсистеми, кількість яких дорівнює кількості компонентів, то взаємодія таких підсистем з навколишнім середовищем також носитиме рівноважний характер. Маси перерозподіляються всередині системи, між її окремими підсистемами. Як показано раніше, характеристичні функції U (V , S ) , H ( p, S ) , F (T , V ) і G ( p, T ) є екстенсивними величинами, тобто залежними від маси. Таким чином, в неоднорідних системах масоперенос буде впливати на характеристичні функції. Значення потенціалу повної системи можна подати як добуток середнього питомого потенціалу системи за даних умов взаємодії на масу речовини m. Внутрішня енергія U = u (V , S ) m , (7.107) H = h ( p, S ) m , (7.108) де u (V , S ) = (¶u/ ¶m )V ,S . Ентальпія де h ( p, S ) = (¶H / ¶m) p , S , h = u + pv . Ізохорично-ізотермічний потенціал F = f (V , T ) m , (7.109) де f (V , T ) = (¶F / ¶m )V ,T , f = u - sT . Ізобарично-ізотермічний потенціал G = g ( p, T ) m , (7.110) де g ( p, T ) = (¶G / ¶m ) p ,T , g = h - sT = u + pv - sT . Необхідно відмітити, що всі питомі потенціали є функціями відповідних параметрів системи, а не питомих величин (наприклад (¶U / ¶m )V , S ¹ ¹ (¶U / ¶m )v , s ). Величина g є середнім ізобарично-ізотермічним потенціалом одиничної маси системи і називається хімічним потенціалом. З урахуванням тотожності Tds = dh - v dp диференціал хімічного потенціалу dg = - sdT + v dp . (7.111) Розглянемо, яким чином змінюються термодинамічні потенціали системи при зміні маси. Оскільки при переносі маси переноситься і деяка кількість енергії, що призводить до зміни внутрішньої енергії системи і потенціалів, з’являється додатковий член, який враховує цей перенос. Оскільки G = gm , то диференціал dG = mdg + gdm . (7.112) Підставляючи у вираз (7.112) диференціал хімічного потенціалу (7.111), дістанемо dG = - msdT + mv dp + gdm = - SdT + Vdp + gdm . (7.113) Аналогічно знайдемо вирази і для інших диференціалів: dU = TdS - pdV + gdm , dH = TdS + Vdp + gdm , dF = - SdT - pdV + gdm . (7.114) (7.115) (7.116) Із рівнянь (7.113)–(7.116) хімічний потенціал g = (¶U / ¶m )V , S = (¶H / ¶m ) p , S = (¶F / ¶m )T , V = (¶G / ¶m ) p , T . (7.117) Таким чином, хімічний потенціал являє собою частинну похідну за масою будь-якого термодинамічного потенціалу за відповідних параметрів взаємодії системи з навколишнім середовищем. Хімічний потенціал чисельно дорівнює максимальній роботі системи за цих умов при зменшенні маси на одиницю. Величина g дає можливість розрахувати зміни характеристичних функцій будь-яких систем при зміні кількості речовини. Тому ця величина і отримала назву хімічного потенціалу. Для аналізу деяких процесів в неоднорідних термодинамічних системах більш зручніше користуватися не масою компонентів, а кількістю їх молекул. Тоді член, який враховує зміну маси в характеристичних рівняннях, n gdm = å gm i dNi , (7.118) k =1 де gm i – молекулярний хімічний потенціал і-го компонента; N i – кількість молей (частинок) і-го компонента; n – кількість компонентів. Тоді рівняння (7.113)–(7.116) перепишуться так: n dG = -SdT + Vdp + å gm i dN i , (7.119) k =1 n dU = TdS - pdV + å gm i d N i , (7.120) dH = TdS + Vdp + å gm i dN i , (7.121) dF = -SdT - pdV + å gm i dN i , (7.122) k =1 n r =1 n k =1 Оскільки диференціали характеристичних диференціалами, то хімічний потенціал функцій є повними g mi = (¶G / ¶N i ) p ,T , N ¹ N i = ( ¶U / ¶N i ) S ,V , N ¹ Ni = = ( ¶H / ¶N i ) p , S , N ¹ N i = (¶F / ¶N i ) T ,V , N ¹ N i . (7.123) Із останнього рівняння видно, що молекулярний хімічний потенціал і-го компонента gi – це зміна відповідної характеристичної функції при зміні кількості молей на одиницю. Як вже вказувалось, характеристичні функції є адитивними величинами і залежать від кількості молекул системи. У зв’язку з цим залежність характеристичних функцій від термодинамічних параметрів однорідної системи, яка складається із N частинок, G = Ngm ( p, T ) = Ngm ( p, T ) ; U = Ngm (V / N , S / N ) = Ngm (v m , sm ) ; V H = Ngm ( p, S / N ) = Ngm ( p, sm ) ; F = Ngm æç T ö÷ = Ngm (v m , T ) . (7.124) èN ø Як видно із останнього, характеристичні функції пропорційні кількості молекул системи N, тобто вони є екстенсивними величинами. Молекулярні хімічні потенціали складним чином залежать від кількості частинок та їх властивостей, хімічного потенціалу вільної ентальпії, функціональна залежність якого не включає кількості частинок N, тобто він, як температура і тиск, є інтенсивним параметром. 7.8. УМОВИ ФАЗОВОЇ РІВНОВАГИ ТЕРМОДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ. ПРАВИЛО ФАЗ ГІББСА У § 7.1 ми розглянули умови рівноваги однокомпонентних, однофазних систем. Але на практиці дуже часто приходиться мати справу з системами, що складаються з різних компонентів і знаходяться в різних фазах. Як приклад розглянемо умови рівноваги ізольованої системи, що складається з двох фаз(наприклад вода і водяна пара), які здатні перетворюватися одна в іншу. Система характеризується такими параметрами: V = V1 + V2 = const , m = m1 + m2 = const , U = U1 + U 2 = const , (7.125) де індекси відносяться відповідно до першої та другої фаз. Перехід деякої кількості речовини із однієї фази в другу викликає зміну параметрів фаз dV1 = -dV2 ; dm1 = -dm2 ; dU1 = -dU 2 ; dS1 = -dS 2 . (7.126) Розглянемо зміну ентропії першої фази dS1 . У даному випадку ентропія S1 є функцією не тільки об’єму V1 , внутрішньої енергії U1 , а також кількості речовини фази m1 , тобто S1 = f1 (V1 , U1 , m1 ) . Тоді повний диференціал dS1 = (¶S1 / ¶V1 )U1 ,m1 dV1 + (¶S1 / ¶U 1 ) V1, m1 dU 1 + + (¶S1 / ¶m1 ) V1 ,U1 dm1 . (7.127) Із (7.1) для рівноважного стану знаходимо (¶S / ¶V )U , m = p / T , (7.128) (¶S / ¶U )V , m = 1 / T . (7.129) Із (7.114) при U = const і V = const маємо (¶S / ¶m)U , V = -g / T . (7.130) Підставляючи (7.128)–(7.130) в рівняння (7.127), отримаємо dS1 = ( p1 / T1 ) dV1 + (1/ T1 ) dU1 - (g1 / T1 ) dm1 . (7.131) Аналогічно запишемо зміну ентропії для фази 2: dS 2 = ( p2 / T2 ) dV2 + (1/ T2 ) dU 2 - (g2 / T2 ) dm2 . (7.132) Оскільки dS1 + dS2 = 0, то, підставивши (7.131) і (7.132) в це рівняння з урахуванням (7.126), дістанемо ( p1 / T1 - p2 / T2 ) dV1 + (1 / T1 - 1 / T2 ) dU1 - (g1 / T1 - g2 / T2 ) dm1 = 0 . (7.133) Диференціали dV1 , dU1 , dm1 взаємно незалежні. Тому щоб ліва частина рівняння (7.133) тотожньо дорівнювала нулю, множники при згаданих диференціалах мають дорівнювати нулю: p1 / T1 - p2 / T2 = 0 , 1 / T1 - 1 / T2 = 0 , g1 / T1 - g2 / T2 = 0 . (7.134) (7.135) (7.136) Отже, умовою рівноваги фаз системи є T1 = T2 , p1 = p2 і g1 = g2 . (7.137) Таким чином, умовою рівноваги двофазної системи є рівність температур, тисків та хімічних потенціалів. При зміні маси однієї із фаз рівновага не порушується. Фази знаходяться в рівновазі не при будь-яких значеннях p і T, а лише при певних їх значеннях ( p = f (T ) ), тобто даному значенню p відповідає одне певне значення T. Аналогічно знаходяться умови рівноваги для систем, в яких кількість фаз більше двох. Для характеристики умов рівноваги багатофазових систем важливу роль відіграє так зване правило фаз Дж. Гіббса. Згідно з цим правилом B = K -Ф + n , (7.138) де В – кількість степенів вільності, або іншими словами кількість незалежних термодинамічних параметрів, які визначають рівноважний стан системи; К – кількість компонентів, тобто кількість різних хімічних речовин, що входять в систему; Ф – кількість фаз; n – кількість зовнішніх незалежних параметрів. Для термодеформаційної системи правило фаз записується так: B = K -Ф + 2 . (7.139) Як видно із (7.139), кількість фаз цілком однозначно залежить від кількості компонентів. Так, для чистої речовини (однокомпонентна система, K = 1 ) B = 3-Ф . (7. 140) Для чистих речовин в однофазному стані Ф = 1 кількість степенів вільності В = 2 . Такими незалежними параметрами можуть бути p і T. Тоді всі інші параметри будуть однозначно визначені (наприклад v, s, h і т. д). Якщо рівноважна однокомпонентна система складається із двох фаз Ф = 2 , то кількість незалежних параметрів у цьому випадку В = 1 , тобто стан кожної фази однозначно визначається одним параметром, наприклад p або T. Якщо відома температура фазового перетворення, то їй буде відповідати тільки один точно визначений тиск. Всі інші інтенсивні параметри однозначно визначаються за таких умов. Правило фаз Гіббса має широке застосування для будь-яких складних систем, в яких відбуваються фазові переходи або хімічні перетворення. 7.9. ФАЗОВА ДІАГРАМА Залежно від параметрів речовина може знаходитися в твердому, рідкому та газоподібному агрегатних станах. Перехід речовини із одного агрегатного стану в інший називається фазовим переходом. Однак необхідно пам’ятати, що поняття агрегатного стану є дещо ширшим, ніж поняття фази. Так, наприклад, лід у твердому стані може перебувати в декількох фазах. Але для більшості задач термодинаміки під фазовим переходом розуміють перехід речовини із одного стану в інший (плавлення, випаровування, сублімація, затвердіння, конденсація тощо). Такі переходи відносяться до фазових переходів 1-го роду, що відбуваються при стрибкоподібній зміні густини і всіх термодинамічних функцій (внутрішня енергія, ентальпія, ентропія та ін.), крім хімічного потенціалу: Du = u2 - u1 ; Dv = v 2 - v 1 ; Ds = s2 - s1 . (7.141) Здійснення цих переходів відбуваються завдяки поглинанню або виділенню деякої кількості теплоти. У різних агрегатних станах речовина має різні фізичні властивості. Пояснюється це різним характером міжмолекулярної взаємодії. Перехід речовини із твердого стану в рідину називається плавленням, зворотний перехід – затвердінням або кристалізацією. Перехід речовини із конденсованого (рідкого) стану в газоподібний називається пароутворенням, зворотний процес – конденсацією. Перехід речовини із твердого стану в газоподібний, минаючи рідину, називається сублімацією, зворотний перехід – десублімацією. При плавленні теплота, що поглинається, витрачається на руйнування гратки кристалічних тіл, тому при постійному зовнішньому тиску плавлення таких тіл відбувається за цілком певної постійної температури Tпл , яка називається температурою плавлення. Кількість теплоти, яку необхідно надати одиниці маси кристалічного тіла в рівноважному ізотермічному процесі при температурі плавлення, щоб перевести його в рідину, називається питомою теплотою плавлення (кДж/кг). У процесі рівноважного плавлення однокомпонентної системи речовина одночасно знаходиться у двох фазах і згідно з правилом фаз Дж. Гіббса (7.140) кількість степенів вільності дорівнює одиниці. Тобто незалежними параметрами, які однозначно визначають рівноважний стан фази, може бути, наприклад, температура Tпл або тиск p. Температурі плавлення однозначно відповідає певне значення тиску p = f1 (Tпл ) . При зміні тиску температура плавлення змінюється. Залежність p = f1 (Tпл ) називається кривою плавлення (затвердіння). Зворотний процес – кристалізація – відбувається при тій же температурі Tпл і виділенні тієї ж кількості теплоти. Деякі речовини із складною молекулярною будовою (скло, полімери та ін.) при нагріванні поступово розм’якшуються і не мають температури плавлення. Розглянемо процес пароутворення. Розрізняють два види пароутворення: випаровування і кипіння. Випаровування – пароутворення із вільної поверхні рідини. Кипіння – пароутворення із всього об’єму рідини з утворенням бульбашок насиченої пари на поверхні нагріву. Випаровування відбувається за будь-якої температури. Із молекулярно-кінетичних уявлень випаровування – процес виходу молекул рідини за її межі. Внаслідок теплового руху молекули обмінюються енергією. Одні молекули віддають, а інші приймають енергію. Якщо кінетична енергія молекули перевищує роботу виходу, то вона покидає рідину і переходить у газоподібний стан. Кількість молекул, які покидають поверхню рідини, залежить від її температури і з ростом температури збільшується. Оскільки на поборювання міжмолекулярних сил при випаровуванні молекул витрачається теплова енергія, то рідина охолоджується, внутрішня енергія зменшується. Для підтримування температури рідини необхідно підводити деяку кількість теплоти, яка називається внутрішньою теплотою випаровування. Крім того, при випаровуванні об’єм речовини збільшується. Тому необхідно витратити ще деяку кількість енергії на виконання роботи розширення. Отже, загальна кількість теплоти, яку необхідно надати одиниці маси рідини в стані кипіння, щоб перевести її в пару, називається питомою теплотою пароутворення або питомою теплотою фазового перетворення. Для рівноважного процесу кипіння із (7.140) видно, що в цьому випадку однокомпонентна система складається із двох фаз (Ф = 2 ) і володіє одним степенем вільності ( В = 1) , тобто кожній температурі відповідає певне значення тиску p = f 2 (Tн ) . Якщо зовнішній тиск постійний, то кипіння відбувається при постійній температурі, що називається температурою кипіння або насичення. Рівноважні ізотермічні процеси фазового перетворення є одночасно ізобаричними. Залежність p = f 2 (Tн ) називають кривою кипіння (конденсації) або кривою насичення. При конденсації виділяється та ж кількість теплоти і процес відбувається при тій же температурі Т н . Аналогічно знаходять залежності p = f 3 (Tс ) при сублімації. Якщо однокомпонентна рівноважна система одночасно знаходиться в трьох фазах, то, згідно з правилом фаз Дж. Гіббса (7.140), кількість степенів вільності в даному випадку дорівнює нулю. Це свідчить про те, що однокомпонентна система може перебувати в рівноважному стані лише за певних значень температури Рис. 7.2. Фазова діаграма та тиску, характерних для даної речовини. Такий стан називають потрійною точкою. На діаграмі p - T потрійна точка знаходиться на перетині трьох рівноважних кривих – плавлення, кипіння та сублімації. На рис. 7.2 зображено характерні криві рівноважних фазових переходів. Лінія ВП тр відповідає процесам сублімації(десублімації), лінія П тр А – процесам плавлення (затвердіння) твердих тіл, лінія П тр К – процесам кипіння (конденсації) рідини. Як бачимо, вся діаграма поділена на три області. Ліворуч від кривих BП тр та П тр A є область твердого стану, праворуч від кривих BП тр і П тр K – область газоподібного стану; між кривими П тр A і П тр K – область рідкого стану. Точка П тр називається потрійною точкою, в якій всі три фази речовини знаходяться в рівновазі. Крива сублімації проходить від потрійної точки в сторону низьких тисків , що свідчить про те, що із зменшенням тиску температура насичення зменшується. Нижче потрійної точки рідина не існує. Лінія кипіння напрямлена вгору і праворуч від потрійної точки, тобто із збільшенням тиску температура кипіння збільшується. Але така залежність спостерігається лише до точки К, що називається критичною. У критичній точці зникає різниця між рідиною та парою. Вище критичної точки речовина не може знаходитися в рідкому стані і фазові перетворення відсутні. Лінія плавлення може мати нахил праворуч П тр A , або ліворуч (штрихова лінія П тр Aв ), так званий аномальний хід. Правий нахил свідчить про те, що зі збільшенням тиску температура плавлення збільшується. Така залежність притаманна для більшості матеріалів. Для деяких матеріалів (наприклад лід) лінія плавлення нахилена ліворуч, що свідчить про те, що із збільшенням тиску температура плавлення зменшується. Розглянемо процес ізобаричного нагріву твердого тіла а–б–в–г за допомогою фазової діаграми. На лінії а–б відбувається процес нагріву тіла. Температура його підвищується, але Рис. 7.3. Фазова діаграма води тіло знаходиться в однофазному стані. В точці б починається процес плавлення, і тіло переходить у двофазний стан. Для кристалічних тіл температура в процесі плавлення залишається постійною, а для аморфних тіл спостерігається поступове розм’якшення з підвищенням температури. Лінія б–в відповідає процесу нагріву рідини. В точці в починається процес кипіння. Речовина переходить у двофазний стан – рідина + пара. Температура кипіння залишається постійною. При подальшому підведенні теплоти речовина переходить в однофазний стан – пару. Лінія в–г відповідає процесу перегріву пари. Фазова діаграма має широке практичне застосування при вивченні процесів фазових перетворень. Як приклад на рис. 7.3 наведено фазову діаграму води. Потрійна точка води знаходиться при p птр = 610,8 Па і Tптр = 273,16 K (t = 0,01°C ) (на рис. не показана), а критична точка К має параметри t кр » 374,15 °С , а p кр » 22,13 МПа . 7. 10. РІВНЯННЯ КЛАПЕЙРОНА – КЛАУЗІУСА Як було вказано раніше, при фазових перетвореннях відбувається зміна питомого об’єму і термодинамічних функцій, тому великий практичний інтерес являє знаходження зв’язку між цими змінами і характером кривих фазових перетворень. Такий зв’язок установлюється за допомогою рівняння Клапейрона – Клаузіуса. Термодинамічний аналіз рівноваги системи, що перебуває у двофазному стані, показує, що рівновага між ними встановлюється за умови (7.137) T1 = T2 , p1 = p2 , g1 = g2 , де індекси 1 і 2 відносяться до першої та другої фаз. Оскільки рівноважні криві фазових перетворень є функціями температури та тиску, то хімічні потенціали на цих кривих також будуть функціями цих параметрів g1 ( p, T ) = g2 ( p, T ) . Оскільки хімічний потенціал є функцією стану, то повні диференціали хімічних потенціалів двох фаз будуть рівні між собою: dg1 = dg2 . Або через параметри p і T (¶g1 / ¶p )T dp + (¶g1 / ¶T ) p dT = (¶g2 / ¶p )T dp + (¶g2 / ¶T ) p dT . Після спрощення [ (¶g2 / ¶p )T - (¶g1 / ¶p )T ]dp = [(¶g1 / ¶T ) p - (¶g2 / ¶T ) p ]dT . (7.142) Враховуючи (7.111), дістанемо, а (¶g / ¶T ) p = - s , (7.143) (¶g / ¶p )T = v . (7.144) Рівняння (7.142) після спрощення перепишуться так: dp / dT = ( s 2 - s1 ) / ( v 2 - v 1 ) , (7.145) де dp/dT – тангенс кута нахилу кривих фазових перетворень у фазовій діаграмі. Рівняння (7.145), що зв’язує кут нахилу кривих фазових перетворень в p–T-діаграмі з величиною скачків зміни ентропії та питомого об’єму, називається рівнянням Клапейрона – Клаузіуса. Оскільки рівноважні фазові перетворення відбуваються за постійних тисках і температурах, то другий закон термодинаміки Tds = dh - v dp у процесах фазових перетворень набуває вигляду Tds = dh або T ( s 2 - s1 ) = h2 - h1 = r . (7.146) Величина зміни ентальпії за визначенням є теплотою фазового перетворення r. Рівняння (7.146) можна переписати так: ( s 2 - s1 ) = r / T . (7.147) Підставивши (7.147) у (7.145), дістанемо dp / dT = r . T (v 2 - v 1 ) (7.148) Рівняння (7.148) описує фазові переходи при плавленні, пароутворенні й сублімації. Для процесів пароутворення при кипінні рівняння (7.148) перепишеться так: r dp н / dTн = , (7.149) Tн ( v ¢¢ - v ¢ ) де v ¢¢ – питомий об’єм сухої насиченої пари; v ¢ – питомий об’єм рідини в стані насичення. При незначних тисках питомий об’єм пари v ¢¢ в тисячі разів більше питомого об’єму рідини v ¢ , тому об’ємом v ¢ можна знехтувати. Розглядаючи пару як ідеальний газ, із рівняння Клапейрона маємо v ¢¢ = RTн / pн . (7.150) Підставляючи (7.150) в (7.149), одержимо dpн / dTн = rpн / (Tн R ) . (7.151) Після розділення змінних і інтегрування (7.151) дістанемо вираз ( ) ln pн = ò r / RdTн / Tн2 + const . (7.152) При низьких тисках величину пароутворення r з деякою похибкою можна вважати постійною і винести за знак інтеграла. Тоді ln pн = -r / RTн + const . (7.153) Константа інтегрування може бути отримана за будь-яких певних значень тиску і температури, наприклад за температурою кипіння при нормальному атмосферному тиску. Як видно із рівняння (7.153), залежність ln pн = f (1 / Tн ) лінійного характеру. Дослідні дані показують, що така залежність має місце у вузькому інтервалі зміни параметрів. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ 1. Дайте означення характеристичної функції. Назвіть характеристичні функції. Запишіть умову рівноваги термодинамічної системи залежно від характеру взаємодії її з навколишнім середовищем (1 – V , S = const ; 2 – p , S = const ; 3 – V , T = const ). Що таке ізохорично-ізотермічний потенціал (вільна енергія)? Що таке ізобарично-ізотермічний потенціал (вільна ентропія)? 2. Виведіть диференціальні співвідношення для основних характеристичних функцій і проаналізуйте їх. 3. Дайте означення термічних коефіцієнтів та запишіть вирази для їх визначення. Знайдіть зв’язок між ними. 4. Запишіть диференціальні рівняння внутрішньої енергії, ентальпії та ентропії й проаналізуйте їх. 5. Виведіть диференціальні рівняння питомих теплоємностей ідеального газу. Як залежить ізохорична й ізобарична теплоємності речовини від термічних параметрів? 6. Що таке термодинамічні потенціали і як вони визначаються для різних умов взаємодії системи з навколишнім середовищем? 7. Що таке хімічний потенціал? Запишіть вирази для визначення хімічного потенціалу через питомі потенціали за різних умов взаємодії системи з навколишнім середовищем і проаналізуйте їх. 8. Виведіть рівняння, що характеризує фазову рівновагу системи. Від яких параметрів залежить рівновага системи? Запишіть правило фаз Гіббса і застосуйте його до термодеформаційної системи. 9. Що таке фазовий перехід? Як змінюються фізичні властивості речовини і термодинамічні функції під час фазових переходів? Що таке плавлення–затвердіння, випаровування–конденсація, сублімація–десублімація? Що називається питомою теплотою плавлення та пароутворення? Наведіть фазову діаграму і проаналізуйте процеси, що відбуваються на всій площі діаграми. Що таке потрійна точка речовини? 10. Виведіть рівняння Клапейрона–Клаузіуса і застосуйте його до різних процесів фазових перетворень. Розділ 8. ТЕРМОДИНАМІКА РЕАЛЬНИХ РОБОЧИХ ТІЛ 8.1. ОСНОВНІ ОСОБЛИВОСТІ РЕАЛЬНИХ ТІЛ В ідеальних газах силами взаємодії між молекулами і їхніми власними об’ємами нехтують. За певних умов ці допущення цілком задовольняють вимоги практичних задач, але за високих тисків властивості реальних газів значно відрізняються від ідеальних і їх неможливо описати за допомогою рівняння стану ідеальних газів. Чим більша густина газів, тим більші відхилення. Це свідчить про те, що в таких випадках слід враховувати власний об’єм і сили взаємодії між молекулами, які можуть спричинити асоціацію або дисоціацію молекул, що суттєво впливає на властивості газів. За малих міжмолекулярних віддалей r діють сили відштовхування, які з ростом r зменшуються, а потім переходять на сили притягання. Відхилення властивостей реального газу від ідеального характеризується за допомогою коефіцієнта стиснення Z = pv / RT . (8.1) Як бачимо, коефіцієнт стиснення Z не є термодинамічним коефіцієнтом відносного стиснення (закон Гей-Люссака (1.10)). Коефіцієнт стиснення характеризує відхилення властивостей реального газу від властивостей ідеального і може бути більше або менше одиниці. Для ідеального газу Z = 1. На рис. 8.1 як приклад наведена залежність Z = f(p) для ідеального газу, водню і метану при Т = 273, 15 К. Для ідеального газу добуток рv не змінюється зі зміною тиску, тобто ізотерма ідеального газу зображується прямою, паралельною осі ординат. Пояснюється це тим, що в ідеальному газі питомий об’єм змінюється обернено пропорційно тиску. Рис. 8.1. До відхилення властивостей реальних газів від ідеального Рис. 8.2. Залежність мінімумів на ізотермах від тиску У випадках, коли Z < 1 (метан), добуток рv з ростом тиску зменшується порівняно з ідеальним газом, що свідчить про те, що реальний газ стискується більше, ніж ідеальний і навпаки, коли Z > 1, то з ростом тиску газ стискується менше, ніж ідеальний (водень і метан за високих тисків). Таку поведінку реальних газів можна пояснити так. Наявність власного об’єму молекул має привести до зменшення стиснення реального газу порівняно з ідеальним, оскільки зменшується вільний об’єм між молекулами. Але наявність сил міжмолекулярного притягання і відштовхування значно ускладнюють поведінку реальних газів. При малих тисках відстань між молекулами достатньо велика порівняно з розмірами молекул. За таких умов діють сили притягання, що спричинює більше стиснення реального газу (Z < 1) порівняно з ідеальним. При зростанні тиску віддаль між молекулами і сили взаємного притягання зменшуються і при певних віддалях між молекулами вони будуть мінімальними. При подальшому підвищенні тиску віддаль між молекулами і вільний об’єм продовжують зменшуватися і за певних значень сили притягання переходять у сили відштовхування. Наявність сил відштовхування і власного об’єму приводить до зменшення стиснення реальних газів порівняно з ідеальними (Z > 1). Залежність Z = f(p) носить узагальнюючий характер. Кожен реальний газ має свої особливості. Так, водень, який має щільну упаковку молекул і, таким чином, малий вільний об’єм, з ростом тиску дає менше стиснення, ніж ідеальний газ. Як показує досвід, місце знаходження мінімуму на ізотермах залежить не тільки від властивостей газу, а і від температури (рис 8.2). Так, спочатку з ростом температури мінімум ізотерми зміщується праворуч, а потім ліворуч і при певному значенні температури досягає осі ординат. Ця температура називається бойлевою Тб, а лінія, що з’єднує мінімуми ізотерм, –лінією Бойля. При температурі Т < Tб в точці мінімуму має місце співвідношення (¶ pv / ¶ p )T = 0 , (8.2) що слушно для ідеального газу. Для ізотерми Т = Tб точка мінімуму збігається з віссю ординат, тобто (¶ pv / ¶ p )T , p =0 = 0 . (8.3) Початкова ділянка ізотерми Tб за невисоких тисків достатньо близька до горизонтальної прямої. Це свідчить про те, що в цій області реальний газ поводить себе як ідеальний. При Т > Tб ізотерми не мають мінімуму, стиснення газу менше, ніж у ідеального і за будь-яких значень р газ поводить себе як реальний. Дослідні дані для багатьох реальних тіл дають можливість визначити приблизне значення температури Бойля за формулою Tб /Ткр = 2,75. 8.2. РІВНЯННЯ СТАНУ РЕАЛЬНИХ ГАЗІВ Враховуючи особливості реальних газів, можна стверджувати, що закони ідеального газу лише наближено описують їхній стан. Тому ряд вчених спробували розробити нові рівняння, що дали б можливість описати поведінку реальних газів у широкому діапазоні змін температур і тисків. Проте, не дивлячись на достатню кількість таких спроб, до цього часу немає надійних рівнянь, що повністю задовольняли б практичні потреби. Одним із перших, найбільш простим і якісно правильним є аналітичне рівняння стану, запропоноване голландським вченим Я. Д. Ван-дер-Ваальсом. Рівняння Ван-дер-Ваальса виведено на основі молекулярно-кінетичної теорії газу з урахуванням сил взаємодії між молекулами і їхнього власного об’єму. За основу було взято рівняння Клапейрона рv = RT і внесені поправки на власний об’єм молекул і молекулярний тиск. Із рівняння ідеального газу v = RT/р бачимо, що при збільшенні тиску об’єм буде зменшуватися і на межі, коли р ® ∞, то v ® 0. Це повністю відповідає поняттю ідеального газу, в якому молекули приймаються за матеріальні точки. При стисненні реального газу об’єм буде наближатися не до нуля, а до деякого гранично малого об’єму “b”, який більше власного об’єму молекул. Пояснюється це тим, що при значних стисненнях, у зв’язку з наявністю сил відштовхування, молекули не можуть бути доведені до безпосереднього дотику. Навколо кожної молекули існує сферична оболонка, в межі якої молекули не можуть проникнути. Поправка на об’єм дорівнює сумарному об’єму таких оболонок, що складає приблизно чотири власних об’єми молекул. Тому у рівняння стану реального газу необхідно вводити не весь об’єм v, а лише вільний для руху молекул об’єм v – b. За цих умов рівняння стану записується так: v - b = RT / p . (8.4) Тепер, якщо р ® ¥, то v ® b. Для кожного газу величина b має цілком певне значення. Із рівняння (8.4) бачимо, що тиск реального газу буде визначатися за формулою р = RT/(v – b) і при однаковій температурі буде більше, ніж у ідеального. Це пояснюється тим, що у реального газу вільний об’єм менший і, таким чином, менша довжина вільного пробігу молекул. Кількість зіткнень молекул зі стінкою зростає, що приводить до підвищення тиску. Друга поправка враховує сили зчеплення між молекулами. Сили зчеплення всередині об’єму і на зовнішній поверхні проявляють себе порізному. На зовнішній поверхні вони діють в тому ж напрямку, що і сили зовнішнього тиску, і створюють додатковий тиск. Дійсно, якщо молекула знаходиться всередині об’єму, то результуюча сила дії всіх оточуючих молекул дорівнює нулю (рис. 8.3). Якщо ж молекули перебувають поблизу стінки або на поверхні, то на них діють сили зчеплення сусідніх молекул, які знаходяться в зоні дії молекулярних сил. (Силами взаємодії зі стінкою або повітрям нехтують, оскільки в газі молекули знаходяться на достатньо великій відстані Рис. 8.3. Схема дії поверхнепорівняно з рідиною). Результуюча таких сил вих сил відмінна від нуля і напрямлена всередину об’єму. Ці сили створюють додатковий тиск. Величина результуючої сили пропорційна концентрації молекул, що притягуються, і концентрації молекул, що притягують. Тобто сила буде пропорційна квадрату концентрації молекул або, що те ж саме, пропорційна квадрату густини газу, або обернено пропорційна квадрату питомого об’єму. Тоді додатковий тиск можна визначити за формулою D pi = a ¢n 2 = ar 2 = a / v 2 , (8.5) де а ¢ , а – коефіцієнти пропорційності, що залежать від роду газу; n – концентрація молекул; r , v – відповідно густина і питомий об’єм газу. З урахуванням цих поправок рівняння Ван-дер-Ваальса записується так: ( p + a / v 2 ) (v - b) = RT . (8. 6) Внутрішній (молекулярний) тиск Dpі залежить від стану речовини. Так, для рідин він досягає дуже великих значень (для води близько тисячі мегапаскалів), чим і пояснюється мала стисливість рідин, оскільки зовнішній тиск, що може дорівнювати десяткам мегапаскалів, складає незначну величину порівняно із внутрішнім тиском. Для газів навпаки, величина Dpі незначна і вони у звичайних умовах легко стискаються. При великих значеннях v поправкою на об’єм “b” можна знехтувати, а додатковий тиск a/v 2 ® 0 і рівняння Ван-дер-Ваальса переходить в рівняння Клапейрона pv = RT . Рівняння Ван-дер-Ваальса є рівнянням третього степеня відносно питомого об’єму і його можна переписати у такому вигляді: v3 - ( b + RT ) p a ab v 2 + æç ö÷ v = 0. p è pø (8.7) Як бачимо, таке рівняння має три корені. Розв’язок цього рівняння може бути таким: 1) рівняння має три різних дійсних корені; 2) рівняння має три дійсних рівних корені; 3) рівняння має один дійсний і два уявних корені. Побудуємо ізотерми, що відповідають рівнянню (8.7) в координатах р – v (рис. 8.4). Як бачимо, характер ізотерм залежить від температури. При відносно низьких температурах ізотерми мають хвилеподібний характер. Так, наприклад, при температурі Т1 і тиску ре рівняння Ван-дер-Ваальса дає три дійсних корені vе, vг, vб. Рівняння Ван-дер-Ваальса може бути переписано у вигляді: (v - v e )(v - v г )(v - v б ) = 0 . (8.8) Стан у точці б відповідає початку конденсації газу. При значеннях об’єму v > v б на ділянці а–б газ поводить себе як ідеальний і описується законом Клапейрона. Хвилеподібна ділянка б–в–г–д–е відповідає фазовому переходу газу в рідину. На цій ділянці Рис. 8.4. Ізотерми речовина знаходиться у двофазному стані: газ– Ван-дер-Ваальса рідина. При переміщенні процесу ліворуч кількість газової фази буде зменшуватися. В точці е газ повністю конденсується і лінія е–ж відповідає рідкому стану речовини. Проте, як було показано в дослідних роботах Т. Ендрюса, процес конденсації реального газу (вуглекислота) при ізотермічному стисненні відбувається при постійному тиску ре (лінія б–е). Газ, що перебуває в рівновазі з рідиною, називається насиченим. Температура і тиск, за яких досягається цей стан, також називаються насиченими. Як показали детальні досліди, стани між точками б і в можуть бути отримані на практиці, якщо процес стиснення газу вести дуже повільно і якщо у газі відсутні центри конденсації (пилинки, іони, краплинки води та інше). Цей стан є відносно стійким (метастабільним) і називається пересиченою парою. На практиці також можуть бути отримані стани на ділянці д–е, що називаються переохолодженою рідиною. Тиск переохолодженої рідини нижче тиску насичення за даної температури. Стани, що відповідають лінії в–г–д, не можуть існувати, оскільки у цих станах речовина має знаходитись у термодинамічній нерівновазі ( ¶p / ¶v )T > 0 , що неможливо. В реальних умовах фазовий перехід здійснюється одночасно за постійних температурі і тиску, оскільки зменшення об’єму відбувається завдяки конденсації газу. З підвищенням температури довжина горизонтальної ділянки фазового переходу б–г–е зменшується, значення коренів v е , v г і v b наближаються один до одного. При певному значенні температури всі три корені приймають однакові дійсні значення і точки зливаються в одну точку К, яка отримала назву критичної. Параметри, яким відповідає критична точка, називаються критичними: Ткр, ркр, vкр. Значення критичних параметрів залежать від роду речовини і визначаються експериментально. У табл. 8.1 наведені критичні параметри для деяких речовин. При критичних параметрах фазові переходи із газоподібного стану в рідину і навпаки відбуваються безперервно. В критичній точці зникає різниця між газом і рідиною. Теплота фазового переходу і коефіцієнт поверхневого натягу в критичній точці дорівнюють нулю. Дійсно, як випливає із рівняння Клапейрона–Клаузіуса (7.149), теплота пароутворення r = Tкр (v ¢¢ - v ¢) dp / dT . Оскільки v ¢¢ = v ¢ і, враховуючи, що dp/dT не може бути нескінченно великим, r в критичній точці дорівнює нулю. У критичній точці ізотерма Ткр має горизонтальну дотичну і перегин, тобто (¶p / ¶v ) Tкр = 0 ; (¶ 2 p / ¶ 2 v )T = 0 . кр При температурах Т > Ткр характер ізотерм реального газу наближається до ізотерми ідеального газу. На них відсутні ділянки фазового переходу, що свідчить про те, що при надкритичних температурах газ ніяким стисненням не може бути перетворений на рідину. Геометричне місце точок закінчення конденсації газу е - е¢ - ¼ K називається нижньою або граничною кривою рідини. Геометричне місце точок початку конденсації b - b¢ - ¼ K називається верхньою або граничною кривою пари. Таким чином, граничні криві ділять площину діаграми на три характерні області. Ліворуч і вгору від нижньої граничної кривої знаходиться область рідини, між граничними кривими – область двофазного стану речовини – рідина і пара; праворуч і вгору від верхньої граничної кривої – область газоподібного стану речовини. Таким чином, рівняння Вандер-Ваальса описує всі агрегатні стани речовини. Поправки у рівнянні Ван-дер-Ваальса можна розрахувати через параметри критичної точки, в якій всі три корені рівні між собою: v е = v г = v b = v кр . Тоді рівняння (8.8) набуває вигляду ( v - v кр ) 3= 0 , або 2 v 3 - 3v 2 v кр + 3vv кр - v 3кр = 0 . (8.9) Для критичної точки рівняння (8.7) v 3 - [(b + RTкр ) / pкр ] v 2 + av / pкр - ab / pкр = 0 . (8.10) Рівняння (8.9) і (8.10) тотожні. Отже, коефіцієнти при змінній v будуть однакові: 2 3v кр = (b + RTкр ) / pкр ; 3v кр = a / pкр ; v 3кр = ab / pкр , звідки знаходимо Таблиця 8.1 Речовина Тиск ркр, МПа Температура Ткр, °С Питомий об’єм vкр, м3/кг Гелій Водень Азот Кисень Повітря Вуглекислота Аміак Вода Етиловий спирт 0,23 1,29 3,40 5,05 3,64 7,38 11,28 22,13 6,38 –267,8 –240,7 –147,0 –119,1 –140,7 31,0 132,7 374,15 243,1 0,0145 0,0333 0,0032 0,0023 – 0,0021 0,0042 0,0031 0,0036 a = 3v кр pкр ; b = v кр / 3 ; R = 8v кр pкр / 3Tкр . (8.11) Із останнього рівняння можна визначити критичні параметри через а і b: pкр = a / 27b 2 ; Tкр = 8a / ( 27bR ) ; v кр = 3b . (8.12) Використовуючи отримані дані, рівняння (8.6) можна записати в безрозмірній формі: æ 3 ö (8.13) çç p + 2 ÷÷ (3j - a ) = 8t , j ø è p де p = ; j = v / v к ; t = T / Tк – відповідно зведені тиск, об’єм і температура. pkp Рівняння (8.13) називається зведеним рівнянням стану. Оскільки воно не включає ніяких величин, що характеризують властивості речовини, то це рівняння є слушним для будь-якої речовини. Стан речовини з однаковими зведеними параметрами p, j і t називають відповідними станами. Отже, якщо два зведені параметри у різних газах однакові, то і треті параметри будуть однаковими, тобто гази знаходяться у відповідних станах. Це твердження носить назву закону відповідних станів. Реальні гази, що перебувають у відповідних станах, є термодинамічно подібними. А це значить, що якщо із досліду відомі властивості якогось реального газу, то за ними можна визначити аналогічні властивості будь-якого іншого газу, якщо вони знаходяться у відповідних станах. Але необхідно відзначити, що висновки на основі термодинамічної подібності, як і саме рівняння Ван-дер-Ваальса, має наближений характер. Лише при малих тисках рівняння Ван-дер-Ваальса кількісно описує поведінку газів. При великих густинах, а також в процесі конденсації і в критичних станах це рівняння дає великі кількісні похибки. Таким чином, ван-дер-ваальсовий газ можна розглядати як друге, після ідеального газу, наближення до реального газу. Рівняння Ван-дер-Ваальса не може бути використано до областей, де газ має явно виражені властивості реального газу (область фазового перетворення, критичний та рідкий стани). Як показує досвід, застосування рівняння Ван-дер-Ваальса для цих областей дає значні похибки порівняно з експериментальними даними. Для характеристики можливості використання рівняння Ван-дер-Ваальса вводять поняття критичного коефіцієнта стиснення: Z кр = pкр v кр / RTкр . Підставляючи значення pкр , v кр , Tкр із рівняння (8.12), одержимо (8.14) Z кр = 3 / 8 = 0,375 . (8.15) В табл. 8.2 наведені значення Zкр для деяких газів. Як бачимо, критичні коефіцієнти стиснення реальних газів суттєво відрізняються від ван-дер-ваальсового значення Zкр = 0,375. Тому можна стверджувати, що рівняння Ван-дер-Ваальса в критичному стані дає лише якісний опис властивостей реального газу. Із р– v -діаграми (рис. 8.4) видно, що ізотерми в газоподібному стані більш пологі, ніж в області рідкого стану. Пояснюється це тим, що газ має значно більшу ізотермічну стисливість ( ¶v / ¶p )T , ніж рідина. Цим же пояснюється поведінка газів при надкритичних температурах. При v < v кр ізотерми більш круті, ніж при v > v кр . Дослідами було встановлено, що коефіцієнти а і b у рівнянні Ван-дерВаальса не є постійними величинами, а залежать від температури і тиску. Тому рядом авторів було запропоновано багато рівнянь стану, що уточнювали значення цих коефіцієнтів. Але ці рівняння не знайшли широкого застосування, оскільки вони дають хороші результати лише у вузькому інтервалі температур і тисків, або мають занадто складний вираз. Пояснюється це тим, що при сильному стисненні газів найменш рухомі молекули завдяки силам зчеплення починають об’єднуватися в комплекси (асоціації). Спочатку утворюються подвійні, а потім потрійні асоціації тощо. Кількість одиноких молекул зменшується. Взаємне розміщення молекул в асоціаціях відповідає стану з мінімальним значенням сумарної потенціальної енергії. Тому такі системи досить стійкі і можуть розпадатися лише внаслідок зовнішніх сил. Складність теоретичного опису поведінки реальних тіл привело вчених до думки надавати експериментальні дані в так званій віріальній формі, тобто без розкриття фізичної суті процесу. Загальне рівняння стану у формі віріального ряду вперше було запропоноване в 1901 р. Камерлінг-Оннесом: pv = A0 + A1 / v + A2 / v 2 + A3 / v 3 + ¼, (8.16) де А0, А1, А2 – віріальні коефіцієнти, що є функціями температури. Таблиця 8.2 Назва газу Гелій Водень Азот Кисень Zкр 0, 320 0, 330 0, 293 0, 293 Назва газу Двоокис вуглецю Водяні пари Бензин Метиловий спирт Zкр 0, 288 0, 224 0, 267 0, 219 Конкретним прикладом такого рівняння є рівняння Майєра-Боголюбова ¥ k B ö æ к pv = RT ç1 - å ÷, 1 v k è к =1 к ø (8.17) де Вк – віріальні коефіцієнти, що виражаються через потенціальну енергію взаємодії двох молекул un і температуру газу. Якщо відома функція un = f(r), то ці коефіцієнти можна розрахувати. Теоретично рівняння Майєра-Боголюбова є точним за любих р і Т у будьякому агрегатному стані речовини, оскільки кількість членів віріального ряду може замінюватися до нескінченності. Для реального газу малої густини у рівнянні Майєра-Боголюбова можна відкинути всі члени віріального ряду, крім перших двох, і воно перетворюється в рівняння Вандер-Ваальса. Для реального газу достатньо великої густини рівняння Майєра-Боголюбова дає достатню точність при значної кількості членів віріального ряду, для визначення яких необхідно мати дослідні дані теплофізичних властивостей. Таким чином, практичне застосування цього рівняння викликає великі труднощі. Емпіричні рівняння стану реальних тіл, записані у віріальній формі, зараз найбільш застосовуються. Вводячи різні індивідуальні коефіцієнти, вчені намагалися врахувати складність молекулярних взаємодій, кінцевий об’єм, утворення асоціацій у вигляді подвійних і потрійних комплексів та ін. Як приклад, можна вказати на рівняння Дюпре, Гірна, Бертло, Діттерічі, Вукаловича–Новікова, Бітті–Бріджмена та багато ін. З двопараметричних кубічних рівнянь стану найбільш точним є рівняння Редлиха–Квонга–Соава: a é ù ê p + v ( v + b ) ú ( v - b ) = RT . ë û Проектування та експлуатація енергетичного і теплового обладнання настійливо вимагають точних рівнянь стану і даних про термодинамічні властивості речовин. Як бачимо із наведеного вище, до цього часу основним джерелом такої інформації залишається експеримент. Опрацювання експериментальних даних здійснюють на основі статистичних методів. Застосування цих методів пов’язано з розв’язанням систем нелінійних алгебричних рівнянь з великою кількістю невідомих. Так, єдине рівняння, що охоплює всі агрегатні стани речовини, вміщує від 40 до 60 коефіцієнтів. Тому значних успіхів у цьому напрямку досягнуто завдяки ЕОМ. За такими розрахунками і на основі експериментальних даних складають таблиці термодинамічних властивостей речовин або будують діаграми станів, що широко використовуються в інженерній практиці. 8.3. ПРОЦЕСИ УТВОРЕННЯ ВОДЯНОЇ ПАРИ. ДІАГРАМИ p– v , Т– v Як відомо, самим розповсюдженим робочим тілом у багатьох галузях техніки є вода і водяна пара (котельні установки, парові турбіни, теплообмінна апаратура і інше). Це пояснюється тим, що вода дуже поширена в природі, легкодоступна, недорога, неагресивна щодо обладнання. Водяна пара утворюється двома способами: випаровуванням або кипінням. Процес фазового перетворення води із рідкого стану в газоподібний називається пароутворенням. Випаровування – процес виходу молекул води за її межі, який відбувається завжди із відкритої поверхні за будь-якої температури. Пояснюється це тим, що молекули води при тепловому русі мають різну енергію. Ті молекули, що мають найбільшу енергію, переборюють сили притягання в поверхневому шарі і переходять у вільний простір. Якщо простір нічим не обмежений, то молекули розсіюються і процес відбувається до тих пір, поки всі молекули не покинуть рідину. З підвищенням температури води інтенсивність теплового руху молекул зростає і процес випаровування інтенсифікується. Якщо випаровування відбувається у закритий простір, то молекули, що покинули рідину, продовжують хаотично рухатися в цьому просторі і створюють парціальний тиск. Випаровування продовжується до тих пір, поки парціальний тиск пари над рідиною менше тиску насичення. Якщо випаровування відбувається в посудину, де знаходиться повітря, то в ній утворюється пароповітряна суміш. У зв’язку з обмеженістю вільного простору частина молекул під час свого руху наближається до поверхні рідини, потрапляє в зону дії молекулярних сил притягання і повертається у рідину. Зворотний перехід водяної пари з газоподібного стану в рідкий називається конденсацією. Таким чином, у закритій посудині одночасно відбуваються два протилежні процеси – випаровування і конденсація. Спочатку концентрація молекул води в просторі мала і кількість молекул, що покидають рідину, буде більше, ніж кількість молекул, що повертаються назад. З часом концентрація молекул пари і їхній парціальний тиск у вільному просторі збільшуються. Це призводить до зменшення швидкості випаровування і збільшення швидкості процесів конденсації. Якщо температура і тиск залишаються незмінними, то настає час, коли кількість молекул, що покидають рідину, дорівнює кількості молекул, що повертаються у рідину, тобто настає динамічна рівновага. За динамічної рівноваги у закритому просторі буде максимально можлива кількість молекул водяної пари. Парціальний тиск і густина пари теж набувають максимальних значень за цих умов. Пара, що перебуває у динамічній рівновазі з рідиною, називається насиченою. Зі зміною температури або тиску динамічна рівновага порушується. Так з підвищенням температури води швидкість руху молекул збільшується, інтенсивність випаровування і парціальний тиск пари зростають. При охолодженні води, навпаки, буде зростати інтенсивність конденсації і парціальний тиск зменшиться. Проте з часом, якщо параметри середовища залишаться незмінними, то система знову прийде у рівновагу. Таким чином можна зробити висновок, що кожній температурі відповідає цілком певне значення тиску насичення. Зі збільшенням температури парціальний тиск пари в стані рівноваги збільшується. Коли тиск насиченої пари дорівнює тиску навколишнього середовища, починається кипіння рідини. Кипіння – це процес пароутворення в усьому Рис. 8.5.об’ємі p– v - і рідини. Т– v -діаграми води і водяної пари Для більш глибокого вивчення зобразимо процеси пароутворення у діаграмах p - v та T - v за умови, що температура і тиск змінюються в широких межах. Для спрощення розглянемо процес пароутворення у закриту посудину при постійному тиску. В посудині повітря відсутнє. Візьмемо 1 кг води при температурі t = 0 °C і атмосферному тиску p 0 , питомий об’єм якої v 0 (точка а на рис 8.5). З підведенням теплоти температура води зростає, а питомий об’єм спочатку зменшується до температури 3,9 °С (на рисунку не показано), а потім зростає. Цей процес а0 - а0¢ продовжується доти, поки вода не досягає температури кипіння (насичення) Тн. Об’єм води внаслідок нагрівання збільшується до v¢0 . З подальшим нагріванням температура води не змінюється і вся теплота йде на фазове перетворення, внаслідок чого процес випаровування відбувається дуже інтенсивно, і об’єм пари різко зростає (v ¢0 - v ¢0¢ ) . У посудині тепер буде знаходитися суміш із дрібнодисперсних краплинок води і пари (двофазний стан), що називається вологою насиченою парою. З подальшим підведенням теплоти кількість рідкої фази буде зменшуватися, а пари збільшуватися, температура ж суміші не змінюється аж до повного перетворення води в пару. Таким чином, процес фазового перетворення є ізобарично-ізотермічним. Знання двох параметрів насичення – тиску і температури – недостатньо для характеристики цього процесу. Потрібно ввести ще один параметр. Таким параметром служить ступінь сухості. Оскільки волога насичена пара – це суміш сухої насиченої пари mс.п і краплинок води mв, що рівномірно розподілені в об’ємі, то під ступінню сухості Х розуміють відношення маси сухої насиченої пари до всієї маси вологої насиченої пари mв.п: X= mс.п mс.п = , mв.п mс.п + mв (8.18) де mв – маса краплинок води. Як випливає із (8.18), ступінь сухості може змінюватися від нуля (точка а0 ) для киплячої води до одиниці в кінці процесу кипіння (точка а0¢¢ ), коли рідина повністю випаровується і посудина буде заповнена тільки парою. Така пара називається сухою насиченою. Температура і питомий об’єм сухої насиченої пари є функціями тиску. Для задання стану сухої насиченої пари достатньо знати один із трьох термічних параметрів – р, v або Т. Стан сухої насиченої пари є дуже нестійким. З подальшим підведенням теплоти температура та об’єм пари зростають і вона переходить в область перегрітої пари (точка а0¢¢¢ ). Перегрітою називається пара, температура якої вище температури насичення при тому ж самому тиску. При незначному охолодженні пара починає конденсуватися і переходить знову в область вологої насиченої пари. Різниця температур між перегрітою парою Тпер і температурою насичення Тн при постійному тиску називається ступенем перегріву. Властивості перегрітої пари наближаються до властивостей ідеального газу. Чим більше ступінь перегріву пари, тим точніше будуть для неї виконуватися закони ідеального газу. Відхилення властивостей перегрітої пари від ідеального газу пояснюється наявністю сил взаємодії між молекулами пари і їх власними розмірами. Через те, що питомий об’єм перегрітої пари при тому самому тиску більший, ніж об’єм насиченої пари, то вона має меншу густину, тобто вона є ненасиченою і під час стиснення поводить себе як звичайний газ. Ось чому більшість газів, що зустрічаються в природі, в дійсності є сильно перегрітими парами. Для характеристики перегрітого стану пари достатньо знати два незалежних параметри (р і v, v і Т або р і Т). Тепер розглянемо процес пароутворення при більш високому тиску р1. Позначимо цей початковий стан через а1. Початковий питомий об’єм v1 не змінюється, бо рідина практично не стискується. Тому з подальшим підвищенням тиску всі початкові точки будуть лежати на одній вертикальній лінії АС, що називається нульовою ізотермою. З підведенням теплоти рідина нагрівається, питомий об’єм її збільшується і процес кипіння настає в точці а¢1 . Порівнюючи точки а¢0 і а¢1 , бачимо, що точка а¢1 змістилася праворуч. Пояснюється це тим, що більш високому тиску відповідає більш висока температура насичення, за рахунок чого і збільшується питомий об’єм. Процес фазового перетворення закінчується в точці а1¢¢ . При порівнянні її з аналогічною точкою а 0¢¢ видно, що вона змістилася ліворуч. Пояснюється це тим, що при більш високому тиску пара стискується більше. Таким чином, з підвищенням тиску, а відповідно і температури, точки а ¢ і а ¢¢ наближаються одна до одної. Пояснюється це тим, що зменшується різниця між густинами води і пари. З подальшим підвищенням тиску до певного значення точки а ¢ і а ¢¢ зіллються у точці К. Ця точка називається критичною, а її параметри критичними. Рис. 8.6. Залежність різницізображена Рис.кривою 8.7. АК, Залежність теплоти Залежність v ¢ = f ( p )зміни графічно яка називається фазового перетворення води від питомих об’ємів v ¢¢ і v ¢ від граничною кривою води (нижня крива, крива насичення води). Для граничної температури температури кривої води Х = 0. Залежність v ¢¢ = f ( p ) зображується кривою КВ і називається граничною кривою пари (верхня гранична крива, крива насичення пари), для якої Х = 1. Для зручності всі параметри киплячої води на нижній граничній кривій позначають одним штрихом, а параметри сухої насиченої пари на верхній граничній кривій – двома штрихами. Як бачимо із р–v-діаграми, властивості води в процесі фазового Температура, перетворення змінюються Речовина К стрибкоподібно. З підведенням деякої Водень 13,95 кількості теплоти dq ці властивості Неон 24,57 змінює не вся маса води, а деяка її Кисень 54,36 частина dm і, наприклад, питомий об’єм Азот 63,15 змінюється на Dv = v ¢¢ - v ¢ . Аналогічно Вода 273,16 змінюються й інші параметри – ентальпія, ентропія тощо. На рис 8.6 наведена залежність різниці питомих об’ємів v ¢¢ і v ¢ від температури для води і водяної пари: зі зростанням температури різниця зменшується і в критичній точці дорівнює нулю. На рис. 8.7 наведена залежність теплоти фазового перетворення r від температури. Як бачимо, зі збільшенням температури r зменшується і в критичній точці, де зникає різниця між властивостями води і водяної пари, дорівнює нулю. Із рис. 8.6 і 8.7 видно, що значення dr / dT і d ( v ¢¢ - v ¢) / dT від’ємні, а в критичній точці ( dr / dT )кр = ¥ і [d (v ¢¢ - v ¢) / dT ] кр = -¥ . Таблиця 8.3 У критичній точці властивості води і водяної пари стають однаковими. Для води критичні параметри становлять: pкр » 221,29 ´ 105 Па , t кр » 374,15 o C , v кр » 0, 00326 м 3 / кг . Критична точка – кінцева точка фазового перетворення рідина – пара. Критичні тиск ркр і температура Ткр є максимальними для області двофазного стану рідина – пара: v ¢¢ - v ¢ = 0 ; v ¢¢ = v ¢ = v кр . При параметрах, вищих за критичні, вода існувати не може. Найменшими параметрами, за яких можливе фазове перетворення вода– пара, є параметри потрійної точки. Потрійна – це така точка, в якій всі три фази (лід, вода, пара) перебувають у рівновазі (точка А на рис. 8.5). Параметри потрійної точки води: рптр ≈ 611 Па, tптр = 0,01 °С, vптр ≈ 0,001 м3/кг. Процес пароутворення під цим тиском показаний лінією АВ, яка називається потрійною. За менших тисків пара може знаходитись у рівновазі тільки з льодом. У табл. 8.3 наведені температури, що відповідають потрійним точкам деяких речовин. За рішенням Міжнародної конференції з властивостей водяної пари (1963 р.) потрійна точка прийнята за початок відліку внутрішньої енергії і ентропії води і водяної пари UА = 0, SА = 0. Для практичних розрахунків ентальпія у потрійній точці hА = 0. Як бачимо, на рис. 8.5 вся площа діаграми розділена на області. Ліворуч від нульової ізотерми АС знаходиться область твердого стану, між нульовою ізотермою і нижньою граничною кривою АК – область некиплячої (ненасиченої) води, між граничними кривими АК і ВК – область вологої насиченої пари (двофазний стан) і праворуч від верхньої граничної кривої ВК – область перегрітої пари. 8.4. Т–s- І h–s-ДІАГРАМИ ВОДЯНОЇ ПАРИ Для теплотехнічних розрахунків і аналізу термодинамічних процесів широко застосовують діаграми Т–s і h–s. Спочатку розглянемо побудову діаграми Т–s. Зручність такої діаграми полягає у тому, що площа під кривою дорівнює кількості теплоти, яка підводиться у цьому процесі. Якщо нагрів води відбувається в ізобаричному процесі, то зміна ентропії може бути розрахована за формулою T2 dT . D s1-2 = s 2 - s1 = ò c р T T 1 За міжнародною угодою, ентропія у потрійній точці дорівнює нулю. Тому інтеграл береться від Т1 = Т0 = 273,16 К. Теплоємність води с вр можна вважати сталою ( с вр = const ). Дійсно, як видно із наведених нижче даних, теплоємність води мало змінюється зі зміною тиску. р, МПа cр, кДж/(кг·К) 1 4,214 10 4,194 20 4,173 30 4,153 40 4,135 50 4,117 Тоді s = c вp T T dT = c вp ln . 273 ,16 T 273 ,16 ò (8.19) Якщо у рівняння (8.19) замість Т підставити температуру насичення Тн, яка відповідає даному тиску, то отримаємо значення s ¢ -ентропії киплячої води. В області вологої насиченої пари зміна ентропії може бути розрахована так: 2 D s1- 2 = s2 - s1 = ò dq / Tн = r / Tн (8.20) 1 або Ентропія перегрітої пари s ¢¢ = s¢ + r / Tн . (8. 21) Tпер s ¢¢¢ = s¢¢ + ò c пp dT / T , (8.22) Tн де c пp – теплоємність перегрітої пари. Відкладаючи на діаграмі Т–s значення s ¢ і s ¢¢ для відповідних температур насичення при тисках p < pкр , одержимо нижню і верхню граничні криві (рис. 8.8.). Нижня гранична крива починається у потрійній точці А. Граничні криві ділять площу діаграми на декілька областей. Між кривими знаходиться двофазна область – пара і вода, праворуч від верхньої граничної кривої – область перегрітої пари. Область діаграми, яка лежить нижче нульової ізотерми, відповідає стану лід і пара. Як приклад на діаграмі наведена ламана лінія а 0 - а ¢ - а ¢¢ - а ¢¢¢ , яка зображає три стадії процесу одержання перегрітої пари масою в 1 кг при тиску р = 0,1 МПа. Лінія а 0 - а ¢ відповідає процесу нагріву води до температури насичення. Площа під кривою нагріву а0 - а ¢-s¢- 0 - a 0 дорівнює ентальпії h¢ – кількості теплоти, яку необхідно надати 1 кг води, щоб нагріти її до температури кипіння. Лінія a¢ - a¢¢ зображає процес фазового переходу, а Рис. 8.8. Т–s-діаграма води і водяної пари Рис. 8.9. Залежність ізобаричної масової теплоємності водяної пари від температури в докритичній області Рис. 8.10. Залежність ізобаричної масової теплоємності водяної пари від температури в надкритичній області площа a¢ - a¢¢ - s¢ - s¢ - a¢ – теплоту пароутворення r. Як бачимо, при підвищенні тиску теплота пароутворення зменшується і в критичній точці дорівнює нулю. Перегрів пари відбувається за логарифмічною кривою а ¢¢ - а ¢¢¢ . Площа a ¢¢ - a ¢¢¢ - s ¢¢¢ - s ¢¢ - a ¢¢ дорівнює теплоті перегріву пари. Теплота перегріву також може бути розрахована за формулою qпер = c пп р (Tпер - Tн ) , де с пп р – середня теплоємність перегрітої пари в інтервалі температур Тн…Тпер. Ентальпія перегрітої пари може бути розрахована так: hпер = h¢ + r + c пп p (Tпер - Tн ) . (8.23) Крутість ізобари визначається кутовим коефіцієнтом tg a = ( ¶T / ¶s ) p = T / c пп p . (8.24) Через те, що теплоємність води с вр не залежить практично від тиску і є сталою величиною, ізобари нагрівання води для різних тисків збігаються з нижньою граничною кривою і в такій діаграмі практично немає області рідкого стану, вона стягується в лінію. Невелике розходження має місце лише при дуже високих тисках. Ізобарична теплоємність у двофазному стані досягає нескінченно великих значень. Дійсно, с p = (¶h / ¶T ) p , а ¶T = 0 , тому c p = ¥ . Складний характер має залежність ізобаричної теплоємності перегрітої пари від температури. На рис. 8.9 наведено залежності c пп від температури p перегрітої водяної пари при різних тисках в докритичній області. Як бачимо, теплоємність при сталому тиску зі збільшенням температури зменшується, при постійній температурі зі збільшенням тиску збільшується, а при наближенні до стану насичення зростає. Штриховою лінією зображена залежність теплоємності сухої насиченої пари на верхній граничній кривій. Із ростом тиску насичення і відповідно температури теплоємність зростає. Пояснюється це появою крупних асоціацій молекул поблизу лінії насичення. Причому з ростом температури і тиску концентрація таких молекул зростає. Інший характер мають залежності с пп р = f (t ) перегрітої водяної пари в надкритичній області (рис. 8.10). Як бачимо, криві теплоємності в цій області мають дзвоноподібний характер. Зі збільшенням тиску максимум кривої зменшується, крива має більш пологий характер. Навпаки при зменшенні тиску піки ростуть і при наближенні до критичного тиску досягають максимуму. Наявність максимумів на кривих с пп р = f ( t ) в надкритичній області пояснюється наявністю процесів, що вимагають додаткової затрати теплоти, тобто в цих станах крупні асоціації молекул розпадаються на ряд дрібних, на що витрачається деяка кількість теплоти. Якщо в докритичній області процес розпаду відбувається в основному в стані насичення, то в надкритичній області – безперервно в деякому інтервалі температур. Для перегрітої пари теплоємність с пп р не є сталою величиною. Так, поблизу стану насичення теплоємність с пп р має великі значення і лінія а ¢¢ - а ¢¢¢ більш полога (рис. 8.8). При віддаленні від верхньої граничної кривої величина с пп р зменшується і крутість кривої зростає. На діаграмі Т–s штриховими лініями нанесені ізохори. В області насичення ізохори мають криволінійний характер з випуклістю, напрямленою вгору. В області перегрітої пари випуклість ізохор напрямлена донизу. Крутість ізохори також визначається за формулою (8.24). Оскільки сv < c p , то ізохори більш круті. Лінії сталого ступеня сухості X = const зображено штриховими лініями. Будуються вони так. Ізобари пропорційно ділять на рівне число відрізків, наприклад 10, а потім ці відрізки з’єднують між собою. h–s-діаграма Діаграма Т–s є наглядною, але розрахунок кількості теплоти через визначення площі під кривою процесу знижує точність таких розрахунків. Тому в інженерній практиці широко розповсюджена h–s-діаграма, яка також будується за табличними даними. За початок координат приймають стан води у потрійній точці. Спочатку наносять граничні криві, а потім проводять лінії ізобар–ізотерм (рис. 8.11). Розглянемо, як вони будуть зображені в h–s-діаграмі. Із визначення ентропії ds = dq p / T = dh / T Þ ( ¶h / ¶s ) p = T . (8.25) Таким чином, тангенс кута нахилу ізобар чисельно дорівнює абсолютній температурі. Як випливає із (8.25), кривизна ізобар в h–s-діаграмі завжди додатна й ізобари не мають зламу при переході зі стану насичення в область перегрітої пари. Чим більша температура, тим крутіша ізобара. Оскільки в області насичення температура не змінюється ( ¶h / ¶s ) p = Tн , то сукупність ізобар утворює пучок прямих, що розходяться догори з постійним нахилом. Оскільки термічне розширення води незначне, то в рідкому стані ізобари дуже близькі до граничної кривої і практично зливаються з нею. Лише за дуже високих тисків спостерігається деяке відхилення ізобар від нижньої граничної кривої. В області перегріву температура пари росте і ізобари більш круті, оскільки з ростом Т росте і коефіцієнт tgα. Характер зміни ізотерми в області перегрітої пари можна знайти з першого закону термодинаміки ( ¶h / ¶s )T = T + v (¶p / ¶s )T . (8.26) Як бачимо, тангенс кута нахилу ізотерми відрізняється від тангенса кута нахилу ізобари членом v (¶p / ¶s )T . Враховуючи, що (¶p / ¶s )T = -(¶T / ¶v ) p , вираз (8.26) перепишеться так: (¶h / ¶s )T = T - v (¶T / ¶v ) p . (8.27) Вираз (¶T / ¶v ) p є оберненою величиною термічної розширюваності. Це величина додатна. Тому при переході через верхню граничну криву кут нахилу ізотерми зменшується і в області перегрітої пари ізотерми розходяться з ізобарами. Спочатку вони більш пологі, ніж ізобари, а потім при віддаленні від верхньої граничної кривої тангенс кута нахилу ізотерм прямує до нуля і вони приймають горизонтальний характер. Дійсно, ентальпія в ізотермічному процесі не змінюється: dh = v c p dT = 0 . Пояснюється це тим, що при віддаленні від насичення перегріта пара за своїми властивостями наближається до ідеального газу, для якого ентальпія є функцією температури. Поблизу стану насичення водяна пара поводить себе як реальний газ. При розширенні енергія пари не залишається сталою величиною, а зростає завдяки збільшенню потенціальної енергії (віддаль між молекулами збільшується, і сили взаємного притягання зростають). У зв’язку з цим росте й ентальпія пари h = u + pv . Критична точка К на цій діаграмі зміщена ліворуч і донизу. Пояснюється це зменшенням ентальпії сухої насиченої пари при наближенні до критичної точки завдяки зменшенню теплоти пароутворення. Ізохори, що нанесені на діаграмі штриховими лініями, мають криволінійний характер як в області вологої насиченої, так і перегрітої пари. Ізохори більш круті, ніж ізобари. Лінії постійного ступеня сухості будуються так, як і в діаграмі T–s. Діаграма була запропонована Мольє в 1904 р. і носить його ім’я. Вона має ряд переваг: технічна робота і кількість теплоти у цій діаграмі зображається відрізками ординат. На практиці не доводиться користуватися лівою нижньою частиною діаграми, тому її не наносять. 8.5. ВИЗНАЧЕННЯ ТЕРМОДИНАМІЧНИХ ПАРАМЕТРІВ ВОДИ І ВОДЯНОЇ ПАРИ Процес одержання перегрітої пари складається із трьох стадій: 1) підігрів води до температури кипіння; 2) пароутворення; 3) перегрів пари. У промислових умовах кожна стадія відбувається у спеціальному обладнанні. Для розрахунку цього обладнання необхідно знати методику розрахунку зміни параметрів води і водяної пари для всіх стадій. Підігрів води. Для спрощення розглянемо процес підігріву 1 кг води при певному тиску р. Початкова температура води 0 °С. Кількість теплоти, яка необхідна для нагрівання води до температури кипіння tн в ізобаричному процесі, можна розрахувати за формулою tн q ¢ = ò c вp dt = c вp t н , 0 або за першим законом термодинаміки Рис. 8.11. h–s-діаграма водяної пари (8.28) v¢ q ¢ = u ¢ - u 0 + ò pdv , (8.29) v де c вp – середня ізобарична теплоємність води в даному інтервалі температур; u0 , u¢ – внутрішня енергія води відповідно в початковому стані й у стані кипіння. Як було показано раніше, теплоємність води c вp практично не залежить від тиску (для помірних тисків c вp » 4,19 кДж/(кг·К)). Тому величина q¢ не залежить від характеру процесу. При нагріванні води до температури насичення питомий об’єм змінюється дуже мало і другим членом в рівнянні (8.29) можна знехтувати. Оскільки внутрішню енергію води при t = 0 °С приймають рівною нулю, то q¢ = u¢ . (8.30) Ентальпію киплячої води можна розрахувати за формулою h ¢ = u ¢ + pv ¢ . Другий член цього рівняння дуже малий порівняно з першим і ним можна знехтувати. Тоді h¢ = u¢ . (8.31) Ентропія киплячої води розраховується за формулою (8.19). Пароутворення. Стадія пароутворення відбувається при сталих р і Т. На термодинамічних діаграмах цей процес зображений лінією a ¢ - a ¢¢ . Теплота пароутворення може бути розрахована за першим законом термодинаміки q = r = u ¢¢ - u ¢ + p (v ¢¢ - v ¢) = (h¢¢ - h¢) . (8.32) Як бачимо, теплота пароутворення витрачається на зміну внутрішньої енергії, тобто на роботу подолання сил зчеплення між молекулами. Цю теплоту називають внутрішньою теплотою пароутворення або роботою дисгрегації l дис = u ¢¢ - u¢ . (8.33) Друга частина теплоти пароутворення витрачається на роботу розширення l роз = p (v ¢¢ - v ¢ ) . (8.34) Ця частина теплоти називається зовнішньою теплотою пароутворення. З урахуванням (8.33) і (8.34) теплота пароутворення запишеться так: r = l дис + l роз . (8.35) Для водяної пари більша частина теплоти пароутворення витрачається на роботу дисгрегації. Так, при р = 0,1 МПа відношення l дис / l роз = 10 . Із рівняння (8.32) ентальпія сухої насиченої пари розраховується за формулою h ¢¢ = h¢ + r . (8.36) Внутрішня енергія сухої насиченої пари визначається із відомої формули u ¢¢ = h¢¢ - pv ¢¢ . (8.37) Рис. 8.12. Залежність h¢¢ , h¢ і r водяної пари від тиску Ентальпія сухої насиченої пари h¢¢ , киплячої води h ¢ і теплота пароутворення r є функціями тиску і температури. На рис. 8.12 наведені ці залежності від величини тиску. Як бачимо, з ростом р зростає ентальпія киплячої води, що пов’язано із зростанням температури насичення tн. Максимального значення h ¢ досягає у критичній точці. Теплота пароутворення r має максимальне значення при низьких тисках, зі збільшенням величини тиску значення r зменшується і в критичній точці досягає нуля. Ентальпія сухої насиченої пари спочатку збільшується, досягаючи максимуму приблизно при р = 3 МПа, а потім зменшується завдяки зменшенню r, і в критичній точці h ¢¢ = h ¢ . Ентропія у стадії пароутворення змінюється від s ¢ до s ¢¢ і може бути розрахована за формулами (8.19) і (8.21). Як уже було сказано, на стадії пароутворення ступінь сухості Х змінюється від нуля на нижній граничній кривій до одиниці на верхній граничній кривій. Волога насичена пара є сумішшю краплинок води і сухої насиченої пари. Тому параметри, що характеризують стан вологої насиченої пари, будуть адитивними величинами. Тоді для пари, яка має ступінь сухості Х, параметри розраховуються за такими формулами: v x = v ¢ + X (v ¢¢ - v ¢) = v ¢(1 - X ) + Xv ¢¢ ; (8.38) s x = s ¢ + X (s ¢¢ - s ¢) = s + Xr / Tн ; (8.39) hx = h¢ + X (h¢¢ - h¢) = h¢ + rX ; (8.40) u x = u¢ + X (u ¢¢ - u¢) = u ¢(1 - X ) + Xu¢¢ . (8.41) Виходячи із цих формул, ступінь сухості можна визначити за одним із таких співвідношень: X = (u x - u ¢) / (u ¢¢ - u ¢) = ( s x - s ¢ ) / ( s ¢¢ - s ¢) = = ( h x - h ¢ ) / (h ¢¢ - h ¢ ) = (v x - v ¢) / (v ¢¢ - v ¢) . (8.42) Враховуючи, що величина v ¢¢ у тисячі разів більше v ¢ , рівняння (8.38) можна записати так: v x » Xv ¢¢ . (8.43) Перегрів пари. Кількість теплоти, яка підводиться до 1 кг пари на стадії перегріву, називається теплотою перегріву і може бути розрахована за формулою qпер = t пер ò c р dt = c р (tпер - t н ) , пп пп (8.44) tн де c рпп – середня масова теплоємність перегрітої пари в інтервалі температур tн ¼t пер . За першим законом термодинаміки q пер = D u пер + l пер = u пер - u ¢¢ + p (v пер - v ¢¢ ) = hпер - h ¢¢ . (8.45) Внутрішня енергія перегрітої пари розраховується за відомою формулою u пер = hпер - pv пер . (8.46) Ентальпія перегрітої пари визначається так: hпер = h ¢¢ + qпер = h ¢¢ + c pпп (t пер - t н ) . (8.47) 8.6. ТЕРМОДИНАМІЧНІ ПРОЦЕСИ ВОДЯНОЇ ПАРИ Для проведення теплотехнічних розрахунків теплового устаткування і термодинамічних процесів, що протікають у ньому, необхідно знати зміну термічних та калоричних параметрів, що дають можливість розрахувати кількість підведеної (відведеної) теплоти і виконану роботу. Це можна здійснити за термодинамічними таблицями води і водяної пари і відповідними аналітичними формулами (розрахунковий метод) або за термодинамічними діаграмами (графічний метод). Розрахунковий метод є Рис. 8.13. Зображення ізохоричного процесу водяної пари в p - v -, T - s - та h - s діаграмах більш точним і більш трудомістким, а графічний менш точним, але більш наглядним і простішим. При дослідженні термодинамічних процесів водяної пари необхідно пам’ятати, що вона є типовим представником реального газу і застосування до неї законів ідеального газу не завжди є можливим. Крім того, дуже часто приходиться мати справу з процесами, що протікають як в області дво-, так і однофазного станів пари, де поведінка та властивості її будуть різними. У загальному випадку для здійснення розрахунку необхідно знати початкові параметри стану пари (не менше двох), характер процесу і хоча б один кінцевий параметр. Всі інші параметри можуть бути знайдені за таблицями, діаграмами або рівняннями стану. Проаналізуємо протікання ізопроцесів водяної пари у діаграмах p - v , T - s та h - s . Ізохоричний процес. Розглянемо процес нагріву насиченої водяної пари в ізохоричних умовах при v > v кр . Початковий стан системи (точка 1) задається параметрами р1 і v1 (рис. 8.13). При підведенні теплоти тиск підвищується від р1 до р2 і зображується вертикальною лінією 1–2 на p - v діаграмі (рис. 8.13, а). При цьому пара спочатку підсушується, ступінь сухості її збільшується і при Х = 1 пара переходить в суху насичену. При подальшому підводі теплоти пара перегрівається. Зовсім по-іншому поводить себе пара при нагріванні, якщо об’єм її менше критичного (точка 11). При підігріванні пара не підсушується, а, навпаки, зволожується і при Х = 0 відбувається конденсація пари і при подальшому підігріванні вона переходить у рідкий стан (точка 21). Складний характер ізохора 1–2 має у діаграмі T - s (рис. 8.13, б). В області насичення випуклість ізохори напрямлена вгору, а в області перегріву – донизу. У діаграмі h - s цей процес зображується лінією 1–2 (рис. 8.13, в), яка має криволінійний характер як в області вологої насиченої пари, так і в перегрітому стані. При перетину верхньої граничної кривої вигину немає. Для здійснення ізохоричного процесу до 1 кг пари необхідно підвести деяку кількість теплоти, яку можна розрахувати за першим законом термодинаміки. Оскільки l12 = 0 , q12 = u 2 (v , T2 ) - u1 (v , T1 ) . (8.48) Зміну внутрішньої енергії в ізохоричному процесі розраховують із співвідношення T2 u 2 (v 2 , T2 ) - u1 (v 1 , T1 ) = ò (¶u / ¶T )T dT . T1 Враховуючи, що (¶u / ¶T )T = cv , останнє рівняння перепишеться так: T2 u 2 (v 2 , T2 ) - u1 (v 1 , T1 ) = ò cv dT . (8.49) T1 Але ізохорична теплоємність c v залежить від агрегатного стану речовини і має різний характер у дво- і однофазному стані. Якщо використати поняття середньої теплоємності cv , то вираз (8.48) набуває вигляду q1-2 = cv (T2 - T1 ) . (8.50) Значення внутрішньої енергії водяної пари не наводяться ні в таблицях, ні на діаграмах. У зв’язку з цим це рівняння доцільно зобразити у вигляді q1-2 = (h2 + p2 v ) - ( h1 + p1v ) = ( h2 - h1 ) - v ( p2 - p1 ) . (8.51) Кількість теплоти q1-2 можна розрахувати і за T - s -діаграмою. Вона еквівалентна заштрихованій площі (рис. 8.13, б). При графічному методі величини, що входять у рівняння (8.51), можна знайти із h - s -діаграми, а при розрахунковому методі h1 – за формулою h1 = hx = h¢ + rX . За тиском p1 із термодинамічних таблиць знаходять h ¢ і r , а за параметрами точки 2 ( p2 і t 2 ) із таблиць перегрітої пари – h2 . Зміна ентропії в ізохоричному процесі визначається так: T2 s 2 (v , T2 ) - s1 (v , T1 ) = ò (¶s / ¶T )v dT . T1 (8.52) Враховуючи, що cv = T (¶s / ¶T )v , рівняння (8.52) перепишеться так: T2 c s 2 (v , T2 ) - s1 (v , T1 ) = ò v dT . T1 T (8.53) Якщо в даному інтервалі температур теплоємність постійна, тоді s 2 (v , T2 ) - s1 (v , T1 ) = cv ln(T2 / T1 ) . Ізобаричний процес найпоширеніший у котельних (8.54) агрегатах, Рис. 8.14. Зображення ізобаричного процесу водяної пари в p - v -, T - s - та h - s діаграмах теплообмінних апаратах та інших. При фазовому перетворенні тиск і температура залишаються сталими. При розширенні пара підсушується, переходить у стан сухої насиченої і потім перегрівається. Зобразимо ці процеси у тих же координатних діаграмах (рис. 8.14). Початковий стан системи (точка 1) задається тиском р1 і ступенем сухості Х1. Кінцевий стан (точка 2) визначається через тиск р1 і температуру t2, або питомий об’єм v 2 . У координатах p - v (рис. 8.14, а)процес має лінійний характер 1–2, у діаграмі T - s (рис. 8.14, б) – в області насичення пряма лінія паралельна осі абсцис. На верхній граничній кривій пряма вигинається і при подальшому розширенні пари має криволінійний характер. На h - s -діаграмі (рис. 8.14, в) ізобаричний процес має прямолінійний характер в області насичення, а в перегрітому стані крива процесу має випуклість, спрямовану донизу. Для здійснення цього процесу необхідно підвести кількість теплоти q1-2 , яку можна розрахувати за першим законом термодинаміки dq = dh - v dp . Оскільки dp = 0 , то 2 q1- 2 = ò dh =D h1- 2 = h2 ( p, T2 ) - h1 ( p, T1 ) . (8.55) 1 Значення h1 і h2 знаходяться аналогічно ізохоричному процесу: за таблицями або за h - s -діаграмою. Зміну ентальпії в ізохоричному процесі можна розрахувати так: T2 ¶h ö D h1- 2 = ò æç ÷ dT . T øp ¶ è T (8.56) 1 Але враховуючи, що (¶h / ¶T ) p = c p , рівняння (8.56) перепишеться так: T2 D h1- 2 = ò c p dT . (8.57) T1 Якщо теплоємність у даному інтервалі температур є постійною величиною, то q1- 2 = D h1- 2 = c p (T2 - T1 ) . (8.58) Крім того, кількість теплоти q1- 2 можна визначити за діаграмою T - s . Вона еквівалентна заштрихованій площі у тепловій діаграмі (рис. 8.14, а), а робота в ізобаричному процесі – заштрихованій площі у робочій діаграмі або її можна розрахувати за формулою l1-2 = p (v 2 - v 1 ) . За тиском р2 і температурою t2 з діаграм або з термодинамічних таблиць знаходять v 2 . Зміна внутрішньої енергії u2 - u1 = q1-2 - l1-2 = (h2 - p2 v 2 ) - (h1 - p1v 1 ) = = ( h2 - h1 ) - p ( v 2 - v 1 ) . (8.59) Зміна ентропії в ізобаричному процесі за відомими співвідношеннями: T2 ¶s ö s 2 ( p , T2 ) - s1 ( p , T1 ) = ò æç ÷ dT T øp ¶ è T (8.60) 1 або, замінюючи (¶s / ¶T ) p = c p / T , зміну ентропії можна розрахувати так: T2 c p dT . T T s2 ( p, T2 ) - s1 ( p, T1 ) = ò (8.61) 1 Коли теплоємність залишається сталою величиною в даному інтервалі температур, s2 ( p, T2 ) - s1 ( p, T1 ) = с p ln (T2 / T1 ) . (8. 62) Отже, зміна ентропії в ізобаричному процесі так, як і в ізохоричному, відбувається за логарифмічним законом. Різниця лише в різних множниках – cv та c p . Ізотермічний процес. Зобразимо цей процес у координатах p - v , T - s і h - s (рис. 8.15). Як бачимо, у координатах p - v ізотермічний процес в області пароутворення являє собою пряму лінію, паралельну осі v . В області перегріву, при розширені пари тиск знижується, процес набуває криволінійного характеру. При віддаленні від лінії Х = 1 крива переходить у гіперболу, тобто водяна пара наближається до ідеального газу. На діаграмі T - s ізотермічний процес являє собою пряму лінію, паралельну осі ентропії, як в області вологої, так i перегрітої пари (рис. 8.15, б). На діаграмі h - s ізотерма зображується прямою в області вологої пари. На кривій Х = 1 пряма вигинається i набуває криволінійного характеру. Випуклість кривої напрямлена вгору. При віддаленні від верхньої граничної кривої при збільшенні об’єму пара за своїми властивостями наближається до ідеального газу, а крива асімптотично до горизонтальної лінії, зміна ентальпiї при цьому dh = 0. Теплоту процесу можна розрахувати за діаграмою T - s (заштрихована площа) або за формулою: 2 q1- 2 = ò Tds = T (s2 - s1 ) . (8.63) 1 Внутрішня енергія водяної пари в ізотермічному процесі на відміну від ідеального газу не залишається сталою i являє собою роботу дисгрегацiї Рис. 8.15. Зображення ізотермічного процесу водяної пари в p - v -, T - s - та h - s діаграмах Рис. 8.16. Зображення адіабатичного процесу водяної пари в p - v -, T - s - та h - s діаграмах u 2 - u1 = ( h2 - p2 v 2 ) - (h1 - p1v 1 ) = (h2 - h1 ) - ( p2 v 2 - p1v 1 ) . Для визначення роботи процесу можна використати (заштрихована площа) або перший закон термодинаміки (8.64) p - v -дiаграму l1-2 = q1-2 - (u 2 - u1 ) = T ( s2 - s1 ) - [( h2 - p2 v 2 ) - ( h1 - p1v 1 )] = = T ( s2 - s1 ) - (h2 - h1 ) + ( p2 v 2 - p1v 1 ) . (8.65) Величини, які входять у формули (8.62)…(8.65), знаходять за діаграмами або за термодинамічними таблицями. Адіабатичний процес. На рис. 8.16 наведено адіабатичний процес розширення водяної пари у координатах p - v , T - s і h - s . На p - v діаграмі адіабата зображається складною кривою, яка наближається до гіперболи. Пояснюється це тим, що для водяної пари показник адіабати не є сталою величиною. Так, в області вологої насиченої пари k розраховується за формулою Цейнера: k =1,035 + 0,1X, а для перегрітої пари k = 1,3. У координатах T - s i h - s адіабата являє собою вертикальну лінію. Як бачимо із наведених графіків, у процесі адіабатичного розширення пара із перегрітого стану переходить у суху насичену, а потім в область вологої насиченої. При цьому частина пари конденсується (X2 < 1). Лише в області дуже зволожених парів, поблизу нижньої граничної кривої, при адіабатичному розширенні пара підсушується. Робота i зміна внутрішньої енергії у цьому процесі можуть бути розраховані за першим законом термодинаміки. Оскільки q1-2 = 0 , то l1-2 = u1 - u2 = (h1 - p1v 1 ) - (h2 - p2 v 2 ) . (8. 66) Крім того, роботу можна знайти за p - v -дiаграмою (заштрихована площа). КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ 1. Яким виразом характеризується відхилення властивостей реального газу від ідеального? Наведіть графік зміни відхилення властивостей водню та метану від тиску і поясніть хід кривих z = f(p). Що таке бойлеві лінія та температура? 2. Запишіть рівняння Ван-дер-Ваальса і поясніть походження поправок а і b. Зобразіть у p - v -діаграмі ізотерми Ван-дер-Ваальса і поясніть їх хід. Що таке критична точка? Якими властивостями вона володіє? Запишіть рівняння Ван-дер-Ваальса в безрозмірній формі і проаналізуйте його. Що таке відповідні стани? Покажіть через критичний коефіцієнт стиснення, що рівняння Ван-дер-Ваальса лише наближено описує властивості реального газу. 3. Що таке асоціації молекул? Як вони впливають на властивості реальних тіл? Запишіть рівняння Майєра–Боголюбова. Недоліки цього рівняння. 4. Наведіть p - v - і T - s -діаграми водяної пари. Розкажіть, як будуються такі діаграми. Яка пара називається вологою насиченою, сухою насиченою та перегрітою? Що таке ступінь сухості пари? Чому із зростанням тиску параметри киплячої води і сухої насиченої пари наближаються один до одного? Розкажіть, як користуватися T - s - і h - s -діаграмами водяної пари? 5. Наведіть рівняння, за якими визначаються параметри води і водяної пари. Що таке робота дисгрегації і розширення? Як змінюється h¢ , h¢¢ і r із зростанням тиску? 6. Наведіть термодинамічні процеси (ізохоричний, ізобаричний, ізотермічний та адіабатичний) в p - v -, T - s - та h - s -діаграмах. Поясніть їх побудову. Як визначаються кількість підведеної теплоти, зміна внутрішньої енергії та робота в ізопроцесах? Розділ 9. СУМІШІ ГАЗІВ 9.1. СУМІШІ ІДЕАЛЬНИХ ГАЗІВ. ЗАКОН ДАЛЬТОНА На практиці часто доводиться мати справу з газовими сумішами (горючі суміші, що використовуються в теплових двигунах, повітря, димові гази, доменний та світильний гази тощо). Під газовою сумішшю розуміють механічну суміш окремих газів, що не вступають між собою в хімічні реакції. Кожний компонент суміші зберігає свої властивості. Термодинамічні властивості суміші газів визначаються як аддитивні величини. Практичний інтерес викликає вивчення властивостей сумішей, що складаються з ідеальних газів. Така суміш називається ідеально газовою сумішшю. Вона є достатньо точним наближенням для багатьох реальних газових сумішей при невисоких тисках (наприклад повітря, димові гази). Кожний компонент, що входить в склад суміші газів, поводить себе так, ніби він один займає весь об’єм суміші і створює тиск на стінки посудини незалежно від наявності інших компонентів. Тиск, що створював би кожний компонент суміші, якби він знаходився в тій же кількості при температурі суміші і займав весь об’єм суміші, називається парціальним. Парціальний тиск і-го компонента суміші pi ідеальних газів може бути розрахований за рівнянням стану m RT pi = i i см , (9.1) Vi де mi – маса і-го компонента суміші; Ri , Vi – газова стала та об’єм і-го компонента; Tсм – температура суміші. Згідно з законом Дальтона загальний тиск суміші газів дорівнює сумі парціальних тисків кожного компонента n pсм = p1 + p2 + ... + pn = å pi , (9.2) i =1 де n – кількість компонентів газової суміші. 9.2. СПОСОБИ ЗАДАВАННЯ ГАЗОВИХ СУМІШЕЙ Опис станів ідеальних газових сумішей відрізняється від опису ідеальних газів. Так, для опису стану ідеального газу достатньо знати два параметри, а для опису станів суміші газів крім цього необхідно знати склад суміші. Склад суміші газів може задаватися масовими, об’ємними або мольними частками компонентів. Під масовою часткою gi розуміють відношення маси компонента газу mi до маси суміші газу mсм : g1 = m m1 m ; g2 = 2 ; ... gn = n , mсм mсм mсм отже, n g1 + g2 + ... + gn = å gi = 1. (9.3) i =1 Наприклад, масові частки сухого повітря такі: азоту – 0,7553, кисню – 0,2314, аргону – 0,0128 і вуглекислого газу – 0,0005. В ідеально газовій суміші компонент знаходиться не під своїм парціальним тиском pi , а під сумарним тиском суміші pсм , тому об’єм його в такому випадку складав би Vi . Об’єм, який би займав компонент суміші при температурі і тиску суміші, називається парціальним об’ємом. Відношення парціального об’єму Vi компонента газу до об’єму суміші газу Vсм називається об’ємною часткою газової суміші: r1 = V V1 V ; r2 = 2 ; ... rn = n . Vсм Vсм Vсм Тоді n V1 + V2 + ... + Vn = å Vi = Vсм (9.4) i =1 і n r1 + r2 + ... + rn = å ri = 1 . i =1 Об’ємний склад сухого повітря складає rN2 = 0,7809 , rO2 = 0,2095 , rAr = 0,0093 , rCO2 = 0,0003 . Виходячи із визначення парціального об’єму, за законом Бойля-Маріотта для кожного компонента газу можна записати: piVсм = mi RiTсм і pсмVi = mi RiTсм , звідки piVсм = pсмVi . Тоді p1 V = 1 = r1 ; pсм Vсм p2 V = 2 = r2 ; ... pсм Vсм pn V = n = rn . pсм Vсм Звідси p1 = r1 pсм ; p2 = r2 pсм ; ... pn = rn pсм . (9.5) Молярною часткою xi називають відношення кількості молів компонента ν i до кількості молів суміші газів ν см . Молярну частку можна звести до об’ємної. Дійсно, ν mm rVm (9.6) x i = i = i см = i i см , ν см m i mсм m i r смVсм де ri , rсм – відповідно густина і-го компонента і газової суміші; m см – уявна молярна маса суміші газів, яку мав би умовно однорідний газ, у якого кількість молів і маса дорівнюють кількості молів і масі суміші: m см = mсм . n см (9.7) Враховуючи, що r i / r см = m i / m см , рівняння (9.6) після спрощення V перепишеться так: xi = i = ri . Таким чином, для ідеально газової суміші Vсм об’ємна частка дорівнює його мольній частці. Знайдемо зв’язок між масовими і об’ємними частками: gi = rV r mi m R = i i = i r = i r = см ri mсм r смVсм r см i m см i Ri (9.8) g i Ri g i m см gi r см , = = mi ri Rсм (9.9) і ri = де Rсм – газова стала суміші. 9.3. УЯВНА МОЛЯРНА МАСА СУМІШІ. ГАЗОВА СТАЛА СУМІШІ Поняття уявної молярної суміші дає можливість розглядати суміш як ідеальний однорідний газ, що суттєво спрощує розрахунки. Знайдемо вирази для визначення уявної молярної маси. Із визначення m m молярної маси m i = i знайдемо n i = i . ni mi Тоді n n m (9.10) å ν i = ν см = å i . i =1 i =1 m i Підставляючи (9.10) в (9.7), отримаємо m 1 . m см = n см = n mi gi å å i =1 m i i =1 m i (9.11) Останнє рівняння можна переписати в такому вигляді: m см = 1 g1 g 2 g + + ... + n m1 m 2 mn = Rm 1 = n . (9.12) R1 R2 Rn + + + g1 g2 ... g n å gi Ri Rm Rm Rm i =1 Тоді уявна молярна маса повітря 1 1 m пов = = = 0, 7553 0, 2314 0,0128 0, 0005 g N 2 gO 2 gAr gCO 2 + + + + + + 28, 013 31,999 39,948 44, 01 m N 2 m O 2 m Ar m CO 2 = 28,964 кг/кмоль . Знаючи уявну молярну масу, знайдемо газову сталу із співвідношення Rсм = n g Rm g g g = Rm æç 1 + 2 + ... + n ö÷ = Rm å i = m см mn ø è m1 m 2 i =1 m i n g R n gi = 8 314 å i i = å gi Ri . i =1 Rm i =1 i =1 m i n = 8 314 å (9.13) Наприклад, розрахуємо газову сталу сухого повітря: gO gCO 2 ö æ gN g Rпов = 8 314çç 2 + 2 + Ar + ÷÷ = è m N 2 m O 2 m Ar m CO 2 ø 0,7553 0, 2314 0, 0128 0, 0005 ö = 8 314 æç + + + ÷ = 287,1 Дж/(кг × К) . è 28,013 31,989 39,948 44, 01 ø Визначимо m см і Rсм для випадку, коли суміш задається об’ємними частками . n Оскільки m см n см = å m i n i , то i =1 n m см = å m i i =1 n n r ni = å m i ri = Rm å i . n см i =1 i =1 Ri (9.14) Тоді газова стала суміші Rсм = n Rm 1 . ri å i =1 Ri = n å mi ri i =1 (9.15) Рівняння стану для кожного компонента суміші p1Vсм = m1R1Tсм ; p2Vсм = m2 R2Tсм ... pnVсм = mn RnTсм . Для всієї суміші останнє рівняння n n i =1 i =1 å piVсм = å mi RiTсм . (9.16) Враховуючи закон Дальтона, рівняння (9.16) можна записати в такому вигляді: n pсмVсм = mсмTсм å gi Ri = mсм Tсм Rсм . (9.17) i =1 9.4. ВИЗНАЧЕННЯ ТЕПЛОЄМНОСТЕЙ ГАЗОВИХ СУМІШЕЙ На практиці приходиться розраховувати теплові установки, де використовуються газові суміші. В довідковій літературі не наводяться дані про теплоємності сумішей. Теплоємність суміші є аддитивною величиною і може бути обчислена, якщо відомий склад суміші. Дійсно, кількість теплоти, що надається суміші, дорівнює сумі теплоти, що надаються кожному компоненту суміші: n mсм cсм Dt = å mi ci Dt , (9.18) i =1 де cсм , ci – відповідно масові теплоємності суміші та і-го компонента. Якщо суміш задається масовими частками і передача теплоти здійснюється в ізохоричному процесі, то масова ізохорична теплоємність суміші із (9.18) визначається так: n n m c v см = å i c v i = å gi cv i . (9.19) i =1 i =1 mсм Якщо передача теплоти відбувається в ізобаричному процесі, то масова ізобарична теплоємність суміші n c p см = å g i c p i . (9.20) i =1 Якщо суміш задається об’ємними частками, то об’ємна теплоємність в ізохоричному процесі дорівнює сумі добутків об’ємної теплоємності компонента на його частку n c¢v см = å ri cv¢ i . (9.21) i =1 В ізобаричному процесі n c¢p см = å ri c¢p i . (9.22) i =1 Мольні теплоємності суміші дорівнюють сумі добутків об’ємних часток на мольні теплоємності компонентів суміші у відповідному процесі: n cmv см = å ri cmv i , (9.23) cmp см = å ri cmp i . (9.24) i =1 n i =1 9.5. ПАРОГАЗОВІ СУМІШІ. ТЕРМОДИНАМІЧНІ ОСОБЛИВОСТІ ВОЛОГОГО ПОВІТРЯ Механічна суміш сухого повітря і водяної пари називається вологим повітрям. Сухе повітря, в свою чергу, є також газовою сумішшю, але за технічних умов, де найбільше застосовується вологе повітря (процеси сушіння, кондиціонування, вентиляції тощо), склад його не змінюється і його можна розглядати як ідеальний газ. Таким чином, вологе повітря – це суміш ідеального і реального (водяна пара) газів. Особливістю такої суміші є те, що водяна пара за певних умов може конденсуватися і це не дає можливості застосовувати для таких станів закони ідеально газових сумішей. Необхідно відзначити різницю між поняттям волога пара і вологе повітря. Під вологою парою розуміють суміш сухої насиченої пари і дрібнодисперсних краплинок води. Вологе повітря – суміш сухого повітря та перегрітої або, що значно рідше, сухої насиченої пари. Кількість водяної пари у вологому повітрі не може бути довільною. Залежно від температури і тиску кількість водяної пари, як буде показано нижче, не може бути більша, ніж певне максимальне значення. В цьому принципова різниця вологого повітря та ідеально газових сумішей. Залежно від кількості водяної пари та її стану вологе повітря поводить себе як ідеальний або реальний газ. За природних умов (крім станів, коли відбувається конденсація, або пара знаходиться близько до стану насичення) водяна пара в атмосферному повітрі перебуває в дуже розрідженому стані і за своїми властивостями наближається до ідеального газу. Тому таке вологе повітря можна розглядати як суміш ідеальних газів. Тоді за законом Дальтона барометричний тиск повітря дорівнює сумі парціальних тисків сухого повітря р с.п та водяної пари рп : р = рс.п + рп . (9.25) Об’єм і температура водяної пари і сухого повітря будуть такими же, як і для всієї суміші: V = Vс.п = Vп ; t = t с.п = t п . (9.26) Маса суміші дорівнює сумі мас сухого повітря і водяної пари: m = mс.п + mп . (9.27) Парціальний тиск водяної пари визначається її кількістю в суміші. Чим більша маса пари, тим більше її парціальний тиск рп . Але парціальний тиск не може бути більший за тиск насичення рн пари при температурі суміші t, тобто рп £ рн . Маса водяної пари, що знаходиться в 1 м3 вологого повітря, називається абсолютною вологістю. За визначенням абсолютною вологістю є густина пари rп за даного парціального тиску рп , кг/м3: rп = mп mп . = V Vп (9.28) Властивості і поведінка вологого повітря значною мірою визначаються густиною і станом водяної пари у ньому. Тому для більш детального вивчення процесів у вологому повітрі доцільно використати p - v -діаграму водяної пари (рис. 9.1). Для прикладу розглянемо поведінку вологого повітря, що знаходиться під тиском р . Цьому тиску відповідає температура насичення t н . Спочатку розглянемо зміну властивостей вологого повітря при переході із довільного стану 1, що знаходиться на ізотермі t1 = t н , в стан 2 за постійного тиску р1. В стані 1 абсолютна вологість повітря складає 1 . Внаслідок ізобаричного стиснення абсолютна вологість повітря v1 збільшується (оскільки питомий об’єм зменшується), а температура зменшується. В точці 2 водяна пара переходить у стан насичення при температурі t 2 . Парціальний тиск пари дорівнює тиску насичення за цієї rп1 = температури рп = рн . Загальний тиск суміші р = рп + рс.п . Абсолютна вологість досягає максимально можливої величини за цих умов. Вологе повітря, яке складається із сухого повітря і сухої насиченої водяної пари, називається насиченим. Температура, за якої досягається стан насичення, називається точкою роси. З подальшим стисненням вологого повітря відбувається процес конденсації Рис. 9.1. p - v -діаграма водяної пари пари (лінія 2–2х). При цьому парціальні вологого повітря тиски сухого повітря і водяної пари залишаються сталими внаслідок конденсації водяної пари. Якщо процес стиснення здійснюється в ізотермічних умовах (лінія 1–3), то абсолютна вологість, густина і парціальний тиск водяної пари збільшуються, а парціальний тиск сухого повітря зменшується. Цей процес відбувається, поки парціальний тиск пари не досягне тиску насичення рн = р за даної температури t н (точка 3). У точці 3 знаходиться тільки суха насичена пара ( рп = рн = р, а рс.п = 0 ); у стані насичення вологого повітря – максимально можлива кількість водяної пари за даних умов і його густина дорівнює густині сухої насиченої пари r¢¢ = 1 . Наведене дає можливість v ¢¢ стверджувати, що за певних значень t і р маса водяної пари в повітрі не може перевищувати максимально можливу. Якщо температура вологого повітря t 3 > t н , то при ізотермічному стисненні вологого повітря (лінія 4–5) парціальний тиск пари збільшується і в точці 5 рп = р, але пара не досягає стану насичення. Вологе повітря складається тільки з перегрітої пари. Стан насичення пари при температурі t 3 настає в точці 6, для якої рп = рн = р6 , а р с.п = 0 , тобто в точці 6 знаходиться тільки суха насичена пара. Вологе повітря, що складається із сухого повітря і перегрітої пари, називається ненасиченим. Парціальний тиск водяної пари у ненасиченому повітрі менше тиску насичення при даній температурі. В атмосферному повітрі водяна пара, як правило, перебуває в перегрітому стані. Дійсно, якщо вологе повітря знаходиться при p = 0,1 МПа і температурі 100 °С (наприклад, точка 3), то за будь-якого парціального тиску пари pп < 0,1 МПа повітря буде ненасиченим (лінія 3–1). Стан насичення досягається при pп = 0,1 МПа, але тоді воно буде складатися тільки із сухої насиченої пари. Якщо температура повітря t3 > tн , то пара в ньому завжди перегріта і стан насичення не досягається навіть при p = 0,1 МПа. Як бачимо із наведеної p - v -діаграми водяної пари, вологе повітря може знаходитися в різних станах. Так, праворуч від верхньої граничної кривої а–б вологе повітря перебуває в ненасиченому стані, а на верхній граничній кривій – у стані насичення. Ліворуч від верхньої граничної кривої знаходиться область туману (у нашому випадку не розглядається). За тисків рсм < р суміш складається із сухого повітря, сухої насиченої пари і краплинок води; при тисках рс.п > р – із сухої насиченої пари і краплинок води. Сухе повітря відсутнє. 9.6. ПАРАМЕТРИ СТАНУ ВОЛОГОГО ПОВІТРЯ Використання вологого повітря в сушильній техніці, в метрології тощо вимагає знати його поглинальну здатність до водяної пари. Для характеристики поглинальної здатності вологого повітря вводиться поняття відносної вологості. Під відносною вологістю розуміють відношення дійсної абсолютної вологості ненасиченого вологого повітря до максимально можливої абсолютної вологості за даних р і T : j= rп r mп = max = п. max rн mп rп (9.29) Вважаючи вологе повітря ідеальним газом і використовуючи рівняння Клапейрона, відносну вологість можна виразити через парціальні тиски водяної пари. Дійсно, рпV = mп RпT ; рпmaxV = mпmax RпT , звідки j= mп m пmax = pп p пmax = pп . pн (9.30) Оскільки відносна вологість характеризує ступінь насичення парою вологого повітря, то вона є дуже важливим параметром у сушильній техніці. Чисельно відносна вологість може змінюватися у межах 0 £ j £ 1 , або у процентах 0 £ j £ 100% .Чим менше j, тим при інших однакових умовах більша поглинальна (сушильна) здатність повітря. У термодинамічних процесах вологого повітря маса водяної пари змінюється, а маса сухого повітря залишається постійною. Тому доцільно питомі величини, що характеризують стан повітря, відносити до 1 кг сухого повітря. Відношення маси пари, що знаходиться у вологому повітрі за даних p і T, до маси сухого повітря за тих же умов, називається вологовмістом повітря: d= mп r = п . mс.п r с.п (9.31) Зручність користування величиною d полягає в тому, що в процесах нагріву або охолодження повітря вона залишається постійною. Застосовуючи рівняння Клапейрона, вологовміст також можна виразити через парціальні тиски водяної пари і сухого повітря: рпV = mп RпT ; р с.п V = mс.п Rс.пT . Тоді d= Rс.п рп mп р р 18,016 рп = = 0,622 п . = Rп рс.п m с.п рс.п 28,964 рс.п рс.п (9.32) Виходячи із закону Дальтона, pс.п = p - pп , і враховуючи, що pп = jpн , формулі (9.32) можна надати такого вигляду: рп jрн d = 0,622 = 0,622 . (9.33) р - рп р - jрн З останнього рівняння відносна вологість j= d р . 0,622 + d рн (9.34) За температур нижче температури насичення t < tн і тиску суміші р (рис. 9.1) максимальне значення парціального тиску пари рпmax не може перевищувати рн і відносна вологість є функцією температури і вологовмісту. Із збільшенням температури тиск насичення рн збільшується. Із зміною вологовмісту відносна вологість j теж змінюється. По-іншому поводить себе повітря при температурах t > tн при заданому тиску повітря р. За будь-яких значень t > tн максимальне значення парціального тиску водяної пари pпmax = p і формула (9.34) набуває вигляду j= d . d + 0,622 (9.35) Як випливає із останнього рівняння, відносна вологість при температурах t > tн залежить тільки від вологовмісту і при d = const залишається постійною величиною. За природних умов у вологому повітрі знаходиться незначна кількість водяної пари відносно сухого повітря. Тому для зручності на практиці d виражають в грамах на кілограм сухого повітря. Густина вологого повітря визначається за формулою змішування і дорівнює сумі густин водяної пари і сухого повітря, взятих при їх парціальних тисках: 1+ d = rс.п (1 + d ). (9.36) d У процесі сушіння повітря поглинає водяну пару, парціальний тиск її збільшується, а густина його r зменшується, оскільки пара витісняє повітря. Повітря віддає теплоту сушильному тілу і температура його знижується, що приводить до збільшення r. Причому температура більше впливає на зміну густини вологого повітря, ніж насичення водяною парою, і в кінцевому результаті все ж густина повітря збільшується в процесі сушіння. Визначимо молекулярну масу вологого повітря. Для цього використаємо рівняння (9.14) m в.п = m с.п rс.п + m п rп . (9.37) r в.п = rп + rс.п = rп Виходячи з рівняння (9.5), вираз (9.37) можна переписати так: рс.п р р - рп р + m п п = 28,96 + 18,02 п = р р р р р р р = 28,96 - 28,96 п + 18,02 п = 28,96 - 10,95 п . р р р m в.п = m с.п (9.38) Як випливає із цієї залежності, молярна маса вологого повітря завжди менше молярної маси сухого повітря при тих же тиску і температурі. Із збільшенням вологості повітря його молярна маса зменшується. Газова стала вологого повітря може бути визначена за формулою Rm 8314 R= = (9.39) . p m в.п 28,96 - 10,95 п p Газова стала вологого повітря із збільшенням вологості зростає. Теплоємність вологого повітря визначається як адитивна величина і відноситься, як правило, до (1 + d) кг вологого повітря: п.п c p = c с.п p + dc p , (9.40) п.п де c с.п – відповідно масові теплоємності сухого повітря і перегрітої p , cp водяної пари. Для наближених розрахунків вологого повітря приймають п.п c с.п р = 1,00 кДж/(кг · К), а c р @ 1,93 кДж/(кг · К). Ентальпія вологого повітря визначається як ентальпія суміші газів. У сушильній техніці прийнято ентальпію відносити до 1 кг сухого повітря. Тоді ентальпія вологого повітря дорівнює сумі ентальпій 1 кг сухого повітря і d кг водяної пари: H = hс.п + d × hп . (9.41) Ентальпію сухого повітря, кДж/кг, можна знайти за формулою hс.п = c с.п р t. (9.42) Ентальпія водяної пари, яка знаходиться у вологому повітрі у перегрітому стані, hп = c вр tн + r + c п.п р (t - tн ) , (9.43) де c вр = 4,19 кДж/(кг · К) – теплоємність води; r – теплота пароутворення, величина якої залежить від температури насичення. Для практичних цілей r може бути визначена за формулою r = r0 - 2,3tн = 2500 - 2,3t н , (9.44) де r0 = 2500 кДж/кг – теплота пароутворення води при 0°С. Отже, hп = 4,19t н + (2500 - 2,3tн ) + 1,93(t - t н ) або після спрощення hп = r0 + 1,93t = 2500 + 1,93t. (9.45) Тоді ентальпія вологого повітря, кДж/кг с. п., визначається так: с.п H = c с.п р t + d ( r0 + 1,93t ) = c р t + d (2500 + 1,93t ). (9.46) 9.7. ТЕМПЕРАТУРА МОКРОГО ТЕРМОМЕТРА. АДІАБАТИЧНА ТЕМПЕРАТУРА Розрахунки тепломасообміну між вологим матеріалом і вологим повітрям є достатньо складними і вимагають ряд спрощень. Розглянемо процес тепломасообміну між тонким шаром води і ненасиченим повітрям. Рис. 9.2. Схема тепломасообміну між поверхнею води і вологим повітрям Товщина шару води має бути незначною, щоб не спостерігався градієнт температур по товщині, і температуру її можна вважати однаковою. Температура води в загальному випадку може бути як більша, так і менша від температури вологого повітря. На поверхні шару води пара знаходиться в насиченому стані ( pп = pн ) при температурі води. Спочатку розглянемо випадок, коли температура води tв більше температури вологого повітря tв.п. У цьому разі вода буде віддавати деяку кількість теплоти вологому повітрю. Передача теплоти повітрю викликана кількома причинами. По-перше, завдяки різниці температур t в > tв.п тепловий потік q напрямлений у середину об’єму повітря (рис. 9.2, а). Це приводить до охолодження води. Крім того, з-за наявності різниці парціальних тисків пари на поверхні води і в середині повітря ( рп < рн ) молекули води з поверхневого шару будуть дифундувати в основний шар повітря, переносячи з собою не лише масу, а і деяку кількість теплоти. Зменшення кількості молекул пари в поверхневому шарі поповнюється завдяки випаровуванню з поверхні води, на що також витрачається теплота води, що приводить до зниження її температури. Такий механізм переносу теплоти буде тривати доти, поки температури води і повітря не стануть однаковими. Незважаючи на однаковість температур, випаровування води буде продовжуватися під дією різниці парціальних тисків. Оскільки на випаровування води витрачається її внутрішня енергія, то температура води буде знижуватися. Це призведе до появи причин, що будуть сповільнювати ці процеси. Зі зниженням температури знижується тиск насичення водяної пари в поверхневому шарі й інтенсивність випаровування і дифузії молекул водяної пари в повітря сповільнюються. Зниження температури води відносно температури повітря приводить до появи теплового потоку в протилежному напрямку – від повітря до води (рис. 9.2, б). Тепловий потік від повітря до води із зниженням температури останньої буде зростати. Зростання теплового потоку спостерігатиметься доти, поки не наступить рівновага між зміною внутрішньої енергії води і тепловим потоком від повітря. Після чого подальше зниження температури води припиняється і вона приймає постійне значення, що називається температурою мокрого термометра tм. Значення температури мокрого термометра завжди нижче температури повітря відповідного стану і залежить від інтенсивності процесів тепломасообміну між поверхнею води і вологим повітрям. Із підвищенням вологості повітря, тобто із збільшенням парціального тиску пари рп інтенсивність процесів тепломасообміну зменшується. Якщо в обмежений об’єм вологого повітря того ж стану ввести воду достатньої кількості, то повітря, віддаючи теплоту на випаровування води, саме буде охолоджуватися. При цьому ентальпія повітря буде зменшуватися завдяки насиченню більш ентальпійними молекулами води. Динамічна рівновага між вологим повітрям і водою наступить тоді, коли повітря досягне стану насичення, а його температура стане рівною tм (рис. 9.2, в). Рівняння теплового балансу процесу насичення запишеться так: H1 + c вр tм (d н - d1 ) = H н , (9.47) де H1 , H н – відповідно ентальпія вологого повітря в початковому і в насиченому станах; d1 , d н – вологовміст вологого повітря в початковому і в насиченому станах. Насичення повітря відбувається при tм=const, тому рівняння теплового балансу в координатах H - d є прямою лінією. Якщо вибрати початковий стан при d1 = 0, то рівняння (9.47) набуває вигляду H1 + c вр tм d н = H н . (9.48) Рівняння являє собою процес насичення повітря від абсолютно сухого до насиченого стану. Одночасно це рівняння є ізотермою мокрого термометра, тобто на цій лінії всі точки відповідають тим параметрам вологого повітря, за яких температура мокрого термометра дорівнює tм. При розрахунках сушарок важливе значення має знання так званої адіабатичної температури. При цьому вважають, що сушарка є ідеально ізольованою, а вологий матеріал і волога в ньому мають температуру 0оС. Тоді ентальпію водяної пари приймають рівною нулю і рівняння теплового балансу насичення H1 = H 2 . (9.49) Отже, насичення повітря вологою відбувається за постійної ентальпії, тобто вся теплота, що передається від повітря до вологого матеріалу, повністю повертається до повітря з парою. Оскільки в сушарці немає втрат теплоти, то процес насичення повітря є адіабатичним. Тому температуру, що досягає повітря в стані насичення, називають адіабатичною tа. Величина e = t - tа (9.50) називається потенціалом сушіння і характеризує здатність повітря поглинати вологу із матеріалу, що сушиться. 9.8. Н–d-ДІАГРАМА ВОЛОГОГО ПОВІТРЯ Як бачимо із наведенного вище, розрахунок теплового обладнання, що використовує вологе повітря,вимагає глибоких професійних навичок. Для полегшення цієї роботи Л. К.Рамзін у 1918 р. запропонував діаграму вологого повітря у H–d-координатах. Діаграма побудована для середньорічного атмосферного тиску p = 99,3 кПа(745 мм рт. ст.). З достатньою точністю її можна використовувати і за деяких відхиленнях від цього тиску. В 1923 р. Р.Мольє запропонував аналогічну діаграму, і на Заході вона називається його ім’ям. Для більш раціонального використання площі діаграми осі координат розміщено під кутом 135°. При такому розміщенні координат область ненасиченого стану повітря займає найбільшу площу. Ізоентальпії H = const напрямлені під кутом 45° до горизонту (рис. 9.3). У зв’язку з тим, що частина діаграми, яка розміщена нижче горизонтальної лінії, проведеної через початок координат, на практиці не використовується, її відкидають, і значення вологовмісту переносять на горизонтальну лінію. Лінії d = const ідуть вертикально вгору паралельно осі ординат. Як випливає із рівняння (9.45), ізотерми в координатах Н–d зображаються прямими лініями під певним кутом до осі абсцис. Кутовий коефіцієнт визначається із рівняння ¶Н / ¶d = 2500 + 1,93t . Чим вище температура, тим більше кутовий коефіцієнт, тобто із зростанням температури кут нахилу ізотерм зростає. Для наочності прослідкуємо побудову двох ізотерм при t = 0 °C і t = t1. Як випливає із (9.46), при t = 0 °С і d = 0 H0 = 0. Проводимо через початок координат нульову ізоентальпію. При t = 0 °С і d = d1 H 01 = r0 d1 2500 = d1 = 2,5d1 кДж/(кг · К). 1000 1000 Для знаходження цього стану на лінії d1 = const відкладаємо у відповідному масштабі від нульової ізоентальпії відрізок аб, що дорівнює rd rd 2 H 01 = 0 1 . Аналогічно знаходимо точку при d 2 - H 02 = (лінія вг). 1000 1000 З’єднуючи точки обг, знаходимо положення нульової ізотерми. При t = t1 і d = 0 із (9.46) знаходимо H 0 = c с.п р t1. Відкладаємо на осі ординат відрізок oд = c с.п р t1. Потім визначаємо точки ізотерми при t = t1 і d = d1. Із (9.46) H11 = c с.п р t1 + d1r + 1,93d1t1. Відкладаємо значення ентальпії H11 на лінії d1 = const (лінія ае). Аналогічно знаходимо точку на ізотермі t1 = const при d = d 2 - H12 = c с.п p t1 + d 2 r + 1,93d 2t1 і відкладаємо значення H12 на лінії d2 = const (лінія вє). Рис. З’єднуємо точки деє 9.3. Схема побудови ізоентальпій, ліній постійного вологовмісту і ізотерм і знаходимо положення ізотерми t1. Аналогічно будуються ізотерми і при повітря вщо H–d-координатах інших температурах. Слід ще раз підкреслити, ізотерми не паралельні між собою і з ростом температури кут нахилу ізотерм зростає завдяки збільшенню члена 1,93dt, але зростання незначне, оскільки ця величина мала порівняно з іншими членами рівняння (9.46). На H–d-діаграмі наносять також лінії постійної відносної вологості j=const. Побудову цих ліній здійснюють за рівнянням (9.33). Для цього за даною температурою із таблиць [13] знаходять рн, а із рівняння (9.30) – парціальний тиск пари рп за заданим значенням j, а потім за рівнянням (9.33) – відповідне значення d. На кожній ізотермі визначають точки з однаковими значеннями j і проводять лінії j = const (рис. 9.4). Лінії постійної відносної вологості плавно піднімаються до ізотерми, що відповідає температурі насичення (при барометричному тиску 99,3 кПа tн = 99,4°С). Дійсно, як випливає із (9.30), при підвищенні температури t за постійного d, тобто за постійного парціального тиску пари рп, величина відносної вологості j зменшується внаслідок підвищення тиску насичення рн. Потім при переході через tн лінії j = const вертикально піднімаються вгору. Як бачимо із формули (9.35), при t > tн відносна вологість є функцією тільки вологовмісту і при постійних значеннях d лінія j = const вертикально піднімається вгору з підвищенням температури. Гранична крива j = 100% ділить площу діаграми на дві області. Вище лінії j = 100% вологе повітря знаходиться у ненасиченому стані, нижче лінії j = 100 % – у насиченому (область туману). Водяна пара частково конденсується, і у повітрі з’являються Рис. 9.5. Схема побудови ізотерм дрібнодисперсні краплини води або мокрого термометра і потенціалів частинки льоду чи снігу за низьких сушіння вологого повітря в H–dтемператур. координатах За H–d-діаграмою легко визначається точка роси. Проектуючи лінію d = const на лінію j = 100%, знаходимо точку перетину з ізотермою. Ця температура і відповідає точці роси. У нижній частині діаграми зображена лінія парціального тиску водяної пари рп, яка будується за формулою (9.33). Як випливає із (9.33), вираз для визначення парціального тиску пари pп = р d , 0,622 + d (9.50) тобто залежність pп = f (d ) в координатах pп - d має прямолінійний характер. Щоб знайти pп , необхідно визначити точку перетину ліній d = const, наприклад d1 (рис. 9.4), з лінією парціальних тисків і на правій осі ординат зняти значення рп1 . Для багатьох задач (процеси сушіння, кондиціонування тощо) крім температури сухого повітря t необхідно знати температуру мокрого термометра tм. Для цього використовують рівняння (9.48). Виберемо на кривій j = 100% якусь довільну точку, наприклад А (рис. 9.5). Як відомо, на кривій насичення t = tм . Потім з цієї точки проводимо лінію H A = const до перетину з віссю ординат, тобто коли d = 0 (точка В). Оскільки ентальпія Рис. 9.4. Схема побудови ліній постійної сухого повітря в насиченому стані вологості і парціального тиску пари збільшилася завдяки випарованій воді, вологого повітря в H–d-координатах то для знаходження ентальпії в початковому стані H1 необхідно від точки В вниз відкласти відрізок ВС, який дорівнює c вp t м d н . Лінія, яка з’єднує точки С і А, і є ізотермою мокрого термометра, t м = const. Ізотерми t м = const наносять на H–d-діаграми штриховими лініями. Знаючи t і t м , можна за психрометричною різницею температур Dt = t - t м або за допомогою H–d-діаграми знайти відповідне значення відносної вологості, що знаходиться в точці перетину ізотерм t і t м . Практичний інтерес викликає процес адіабатичного насичення обмеженого об’єму повітря внаслідок вологи матеріалу, що сушиться в ідеальній сушарці. Як вже було показано, в такій сушарці процес насичення повітря водяною парою відбувається при постійній ентальпії, температура вологого повітря знижується, а відносна вологість зростає. Кількість теплоти, що втрачає повітря, дорівнює кількості теплоти, що повертається назад у повітря із випарованою парою. Температура, за якої вологе повітря досягає стану насичення, називається температурою адіабатичного насичення t a . Значення t a знаходять шляхом проведення із даної точки лінії H = const (на рис. 9.5 лінія СD) до перетину з лінією j = 100%. На перетині і буде шукане значення t a . Лінії t a = const паралельні ізоентальпіям. Як бачимо, температура адіабатичного насичення повітря завжди дещо менше температури мокрого термометра для повітря того ж стану. Це пояснюється тим, що до повітря підводиться додаткова теплота випарованої води Dqв = с вp t м d н , що і викликає відповідне збільшення ентальпії. Для характеристики сушильної здатності повітря на H–d-діаграму можна нанести лінії ізопотенціалів сушіння, що характеризують інтенсивність випаровування води залежно від температури і вологовмісту. Для цього використаємо рівняння (9.50). Для побудови ізопотенціалів знаходять точки перетину ізотерм t і t a , що відповідають певному значенню e (наприклад e = 10, 20, 30 тощо). Потім з’єднують точки певного значення e і отримують лінію ізопотенціалу. На рис. 9.5 наведена лінія E1 E2 , що відповідає потенціалу сушіння e = 10°. 9.9. ПРОЦЕСИ У ВОЛОГОМУ ПОВІТРІ. ЗМІШУВАННЯ ПОТОКІВ ВОЛОГОГО ПОВІТРЯ Розглянута побудова зміни окремих параметрів вологого повітря в H–d-координатах дає можливість об’єднати їх в одну діаграму (рис. 9.6). Рис. 9.6. H–d-діаграма вологого повітря Рис. 9.7. Схема визначення параметрів суміші вологого повітря за H–d-діаграмою Стан вологого повітря на діаграмі задається двома параметрами (наприклад t і j , H і d та ін.). Розглянемо зображення деяких процесів у вологому повітрі в H–d-діаграмі. Якщо повітря знаходиться спочатку у стані 1( j1 і t1 ), то процес нагрівання до температури t 2 зображається вертикальною лінією 1–2 (оскільки кількість вологи у повітрі в процесі нагріву не змінюється, d = const). Завдяки нагріву ентальпія повітря підвищується від H1 до H2, а відносна вологість зменшується від j1 до j2 . Процес охолодження відбувається у зворотньому напрямку також при d = const. Ентальпія при цьому зменшується, а відносна вологість збільшується. Якщо охолодження продовжити до точки 1¢ , що знаходиться на кривій j = 100%, то повітря переходить у насичений стан і водяна пара починає конденсуватися. Температура, за якої вологе повітря при d = const досягає стану насичення, є температурою точки роси. При подальшому охолодженні процес конденсації проходить уздовж кривої j = 100% (лінія 1¢ - 1¢¢ ). Для визначення адіабатичної температури, наприклад у точці 2, проводять лінію, паралельну H (лінія 2–3), до перетину з лінією j = 100% і на осі ординат знімають значення t а . На практиці часто необхідно знайти параметри суміші повітря, що утворюється під час змішування потоків повітря з різними параметрами (наприклад, свіжого і відпрацьованого повітря на промпідприємствах, у процесах сушіння, кондиціювання, в овочесховищах, тощо). Розглянемо процес змішування двох потоків повітря різних станів за H–d-діаграмою вологого повітря (рис. 9.7). Перший потік масою m1 має параметри t1 і j1 (точка 1). Другий потік масою m2 характеризується параметрами t 2 і j2 (точка 2). За H–d-діаграмою визначаємо ентальпію і вологовміст повітря у цих точках: H1 і d1 , H 2 і d 2 . Вважаємо, що процес змішування відбувається при p = const в адіабатичних умовах, швидкість потоків незначна і кінетичною енергією потоків можна знехтувати. Складаємо рівняння балансів вологи і теплоти до і після змішування m1d1 + m2 d 2 = mсм d см , H1m1 + H 2 m2 = H см mсм . (9.51) (9.52) Із рівняння (9.51) вологовміст суміші d см = m1d1 + m2 d 2 m1d1 + m2 d 2 = ; mсм m1 + m2 або після перетворення d см - d1 m2 = . d 2 - d см m1 (9.53) Ентальпія суміші знаходиться із рівняння H см = H1m1 + H 2 m2 . m1 + m2 (9.54) Отже, параметри змішуваного повітря зручно визначити за H–d-діаграмою. Якщо точки 1 і 2 з’єднати прямою лінією, то розшукувана точка 3 ділить відстань між точками обернено пропорційно масам змішуваних потоків. Потім за допомогою H–d-діаграми знаходять d см і H см . КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ 1. Що таке газова суміш? Яким способом задається газова суміш? Що таке парціальний тиск і об’єм? Сформулюйте закон Дальтона. 2. Що таке уявна молярна маса і газова стала суміші? За якими формулами вона розраховується? Запишіть рівняння стану суміші і поясніть, як визначається кожна величина. 3. Як визначається теплоємність суміші ідеальних газів? 4. Що таке вологе повітря? За яких умов вологе повітря можна розглядати як ідеальний газ? Поясніть властивості та поведінку вологого повітря за р–v-діаграмою водяної пари. 5. Що таке абсолютна та відносна вологість і вологовміст? За якими формулами вони розраховуються? Що таке температура мокрого термометра? Поясніть, за яких умов вони досягаються? Що таке адіабатична температура і потенціал сушіння? 6. Поясніть, як будується Н–d-діаграма вологого повітря і як нею користуватися для розрахунку процесів сушіння? Як зображаються процеси сушіння, нагріву і охолодження вологого повітря в Н–d-діаграмі? Як визначаються параметри сушіння повітря за Н–d-діаграмою і розрахунковими формулами? Розділ 10. ТЕРМОДИНАМІКА ПОТОКУ 10.1. ОСНОВНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВІДКРИТИХ СИСТЕМ До цього часу ми розглядали закономірності теплової та механічної взаємодії замкнутих термодинамічних систем з навколишнім середовищем. Проте, в техніці дуже часто відбуваються процеси перетворення енергії, в яких робоче тіло перебуває у безперервному русі (парові та газові турбіни, реактивні двигуни, двигуни внутрішнього згоряння, компресори, газопроводи, теплообмінні апарати, сопла, дифузори тощо). Проточні системи мають ряд особливостей, які потрібно враховувати при їх термодинамічному аналізу. Наявність швидкості потоку свідчить про те, що робоче тіло крім внутрішньої енергії володіє кінетичною енергією руху відносно стінок обладнання. Для того, щоб ввести робоче тіло в тепловий апарат і вивести з нього, треба затратити роботу зовнішніх сил на вштовхування робочого тіла, а на виході з апарата вже робоче тіло виконує роботу виштовхування проти сил тиску зовнішнього середовища. У самому апараті до робочого тіла може підводитися (відводитися) зовнішня теплота і воно може виконувати (або над ним виконується) деяку роботу, не пов’язану з деформацією тіла. Така робота називається технічною. У деяких випадках підведення і відведення робочого тіла здійснюються на різних висотах від поверхні землі, тому потрібно враховувати зміну потенціальної енергії робочого тіла. Вивчаючи термодинамічні особливості потоку, слід також враховувати й те, що робоче тіло рухається зі швидкістю, що змінюється вздовж поперечного перерізу каналу, від нуля на поверхні стінок до максимуму на осі. У деяких апаратах швидкість досягає значних величин (сопла). Крім того, із-за наявності тертя швидкість потоку змінюється вздовж апарата. Все це свідчить про необоротність процесів у рухомих системах і застосовувати до них закони класичної термодинаміки можливо лише за певних припущень. Так, перехід тіла із одного поперечного перерізу в нескінченно близький переріз є переходом системи із одного рівноважного стану в інший. Якщо такі процеси відбуваються за нескінченно малої різниці температур, без тертя і теплових втрат, то їх вважають рівноважними. В таких випадках можна вважати, що параметри потоку і його масова витрата у кожному поперечному перерізі не змінюється з часом. Такий потік називається усталеним або стаціонарним. Сказане вище математично можна записати так: m= w1 f1 w2 f 2 = ... = const, = v1 v2 (10.1) де m – масова витрата, кг/с; w1 – середня швидкість потоку у даному перерізі, м/c. Середня швидкість потоку визначається за формулою wi = mv i m , = ri fi fi (10.2) де r1 – густина робочого тіла у даному перерізі, кг/м3; f i – площа поперечного перерізу каналу, м2; v i – питомий об’єм робочого тіла у даному перерізі потоку, м3/кг. Вираз (10.1) є рівнянням нерозривності, або суцільності потоку. Воно описує одномірну модель процесу, коли параметри змінюються лише в напрямку руху потоку. Це рівняння дає можливість установити зв’язок між зміною площі перерізу каналу, питомим об’ємом і швидкістю руху робочого тіла. Перепишемо рівняння (10.1): mv = wf . Тоді злогарифмувавши, а потім здиференціювавши цей вираз при m = const , знайдемо рівняння суцільності у диференціальному вигляді df dv dw = . f v w (10.3) Вираз (10.3) є рівнянням нерозривності потоку в диференціальній формі. Як випливає із рівняння (10.3), якщо відносна зміна швидкості dw більша за w dv dv dw відносну зміну об’єму , то < 0 і відносна зміна площі перерізу v v w df dw dv < 0 , тобто канал у напрямку руху потоку звужується. Якщо , то < f v w df df dw dv > 0 , тобто канал розширюється і якщо , то = 0 , тобто площа = f f v w поперечного перерізу проточної частини каналу не змінюється. 10.2. ПЕРШИЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМІКИ ДЛЯ СТАЦІОНАРНОГО ПОТОКУ Рис. 10.1. Схема тепломеханічного апарата Для виведення першого закону термодинаміки для стаціонарного потоку ( E , m = const ) проточної системи розглянемо принципову схему тепломеханічного апарата (рис. 10.1). Робоче тіло з параметрами p1 , v 1 , T1 і швидкістю w1 крізь вхідний патрубок 1 надходить у камеру 2, де йому ззовні надається деяка кількість теплоти q1- 2 . Далі робоче тіло надходить до теплотехнічного апарата 3 (наприклад у турбіну), де відбувається перетворення енергії потоку в технічну роботу lT . Відпрацьована пара (газ) крізь вихідний патрубок 4 відходить у навколишнє середовище. Розглянемо мислено замкнену частину об’єму потоку, що лежить у межах перерізів І–І, ІІ–ІІ і стінок апарата. В межах цього об’єму змінюється внутрішня енергія робочого тіла DU і виконується робота. Тому до цього об’єму можна застосувати перший закон термодинаміки для закритих систем: Q1- 2 = DU1- 2 + L1- 2 . Запишемо це рівняння з урахуванням властивостей проточної системи. Оскільки внутрішня енергія є функцією стану, то її зміна повністю визначається параметрами робочого тіла на вході і виході із апарата: DU1- 2 = U 2 - U1 . Тепер проаналізуємо, як визначається робота для потоку. Як видно із схеми, для введення робочого тіла масою m в апарат за одиницю часу потрібно виконати деяку роботу Lвш , що дістала назву роботи вштовхування. Ця робота виконується зовнішніми силами і напрямлена проштовхування порції робочого тіла масою m, що вже є на цій ділянці: Lвш = - p1 f1dx1 = - p1DV1 , на (10.4) де p1 f1 – зовнішня сила вштовхування, що береться з від’ємним знаком; dx1 – довжина шляху, яку проходить порція масою m за одиницю часу; DV1 – об’єм робочого тіла, що надходить у вхідний патрубок за одиницю часу. Об’єм DV1 можна виразити через масову витрату DV1 = v 1m , де v 1 – питомий об’єм робочого тіла на вході в апарат. Тоді формула (10.4) перепишеться так: Lвш = - p1v 1m або питома робота вштовхування lвш = - p1v 1 . (10.5) Виходячи із апарата, робоче тіло має виконати роботу проти тиску зовнішнього середовища. Ця робота називається роботою виштовхування lвиш . Вона визначається, як і робота вштовхування, але має додатний знак, бо виконується робочим тілом: lвиш = p2 v 2 . (10.6) Таким чином, для того щоб ввести робоче тіло в апарат і вивести його, потрібно здійснити роботу, що дорівнює алгебраїчній сумі робіт вштовхування і виштовхування. Ця робота називається роботою проштовхування: l прош = lвиш - lвш = p2 v 2 - p1v 1 . (10.7) Крім цього, у зв’язку з тим, що швидкість потоку змінюється вздовж каналу, частина енергії системи витрачається на зміну кінетичної енергії потоку і визначається так: æ w2 - w12 ö ÷÷ Lк = DEк = m çç 2 2 è ø або для 1 кг речовини lк = De к = w22 - w12 . 2 (10.8) Як бачимо із схеми, у загальному випадку введення і виведення робочого тіла із апарата відбувається на різних висотах. Тому робота, що витрачається на зміну потенціальної енергії потоку в апараті, Lп = DEп = mg ( y2 - y1 ) або для 1 кг речовини lп = De п = g ( y2 - y1 ) , (10.9) де g – прискорення вільного падіння. Знак Dlп визначається знаком Dy. Крім цього, частина роботи витрачається на подолання сил тертя, але робота тертя l тр повністю перетворюється в теплоту qтр . Враховуючи сказане, перший закон термодинаміки для стаціонарного потоку для 1 кг речовини запишемо в загальному вигляді: q1-2 + qтр = ( u2 - u1 ) + ( p2 v 2 - p1v1 ) + w22 - w12 + g ( y2 - y1 ) + lт + lтр . 2 (10.10) У диференціальній формі dq + dqтр = du + dpv + wdw + gdy + dl т + dl тр. (10.11) Порівнюючи цей запис першого закону термодинаміки із законом для нерухомої системи (2.41), бачимо, що робота розширення робочого тіла pdv витрачається на роботу проштовхування потоку dpv , на зміну кінетичної енергії потоку wdw , на зміну потенціальної енергії потоку gdy і на технічну роботу dl т . Враховуючи, що u + pv = h і qтр = l тр , рівняння (10.10) перепишемо так: q1- 2 = h2 - h1 + w22 - w12 + g ( y 2 - y1 ) + l т 2 (10.12) або у диференціальній формі dq = dh + wdw + gdy + dl т . (10.13) Для теплових машин зміна потенціальної енергії gdy незначна і нею можна знехтувати. Тоді рівняння (10.12) і (10.13) набувають вигляду w22 - w12 + lт , 2 dq = dh + wdw + dl т . q1- 2 = h2 - h1 + (10.14) Отже, перший закон термодинаміки для потоку можна сформулювати так: теплота, що підводиться до робочого тіла ззовні, витрачається на збільшення ентальпії та кінетичної енергії і виконання технічної роботи. 10.3. НАЯВНА РОБОТА Порівнюючи рівняння (10.12) із записом першого закону для закритих р2 Рис. 10.2. Зображення наявної роботи в p - v -координатах систем у вигляді q = h2 - h1 - ò v dp , можна р1 записати р 2 w22 - w12 + g ( y 2 - y1 ) + l т = - ò v dp. 2 р1 Інтеграл (10.15) р2 ò v dp у діаграмі p - v (рис. 10.2) зображається площею р1 1 - 2 - р2 - р1 - 1 , яка є частиною роботи розширення, що може бути корисною. Ця частина роботи дістала назву наявної роботи l0 : l0 = w 22 - w12 + g ( y 2 - y1 ) + l т . 2 (10.16) Наявна робота використовується на здійснення технічної роботи та зміну кінетичної і потенціальної енергії потоку і характеризує максимально можливу роботу, що може виконати робоче тіло в потоці. Робота проштовхування не може бути корисною. Величина наявної роботи залежить від характеру процесу 1–2. Знайдемо зв’язок між наявною роботою l0 і роботою розширення l . Нагадаємо, що робота розширення l еквівалентна площі 1 - 2 - v 2 - v 1 - 1 . Як видно із рис. 10.2, l 0 + p2 v 2 = l + p1v 1 , звідки l0 = l + p1v 1 - p2 v 2 = l - ( p2 v 2 - p1v 1 ) = l - lпрош , l 0 = l - l прош . (10.17) Якщо розширення системи відбувається у політропному процесі, то робота розширення згідно з (4.43) l= 1 ( p v - p2v 2 ). n -1 1 1 Підставивши значення l в (10.17), дістанемо l0 = 1 n ( p v - p2 v 2 ) + ( p1v 1 - p 2 v 2 ) = ( p v - p2 v 2 ) = nl . (10.18) n -1 1 1 n -1 1 1 Отже, наявна робота залежить від значення показника політропи n і може бути більшою, меншою або дорівнювати роботі розширення. Наприклад, в ізотермічному процесі n = 1, і наявна робота дорівнює роботі розширення. В адіабатичному процесі n = k , і наявна робота в k раз більше роботи розширення. Поняття наявної роботи і її фізичний зміст слушні тільки для потоку. Дійсно, для замкненої системи у процесі ізохоричного охолодження (нагріву) робота розширення дорівнює нулю. Застосувавши поняття наявної p2 роботи до замкненої системи, матимемо, що інтеграл - ò v dp = v ( p1 - p2 ) , p1 хоча ніякої роботи не виконується. Тому, розглядаючи термодинамічні процеси, слід чітко вказувати, рухається робоче тіло чи знаходиться в стані спокою. 10.4. ТЕРМОДИНАМІЧНИЙ АНАЛІЗ РОБОТИ ТЕПЛОМЕХАНІЧНОГО ОБЛАДНАННЯ Особливості перетворення енергії потоку і форма запису першого закону термодинаміки залежить від призначення теплотехнічного апарата. З практичної точки зору найбільший інтерес викликають апарати, в яких завдяки енергії потоку здійснюється технічна робота. При цьому кінетична енергія практично не змінюється. До таких апаратів відносять двигуни внутрішнього згоряння (ДВЗ), теплообмінні апарати, компресори та ін., до другої групи – апарати, в яких, навпаки, технічна робота не виконується, а відбувається зміна кінетичної енергії (сопла, дифузори та ін.). Велику групу теплових апаратів складають теплообмінники, в яких не здійснюється технічна робота і практично не змінюється кінетична енергія потоку. Розглянемо більш детально застосування першого закону термодинаміки потоку для аналізу тепломеханічного обладнання. Теплообмінні апарати призначаються для передавання теплової енергії від гарячого до холодного теплоносія. Технічна робота у таких апаратах не виконується: l т = 0 . Швидкості потоку робочого тіла на вході і виході із теплообмінника незначні і мало відрізняються одна від одної. Тому зміною кінетичної енергії порівняно з підведеною теплотою можна знехтувати: w 22 - w12 << q . 2 Тоді перший закон термодинаміки (10.12) для теплообмінних апаратів набуває вигляду q = h2 - h1 . (10.19) Цей вираз слушний не тільки в ізобаричному процесі, а і в процесах з тертям, коли тиск змінюється вздовж проточної частини апарата. Теплові двигуни. Тепер розглянемо теплове обладнання, що застосовується для одержання технічної роботи. Взагалі, теплова енергія може бути перетворена в механічну роботу двома шляхами: 1) робоче тіло високого тиску і температури, розширюючись у циліндрі, виконує корисну роботу (двигуни внутрішнього згоряння); 2) робоче тіло високого тиску і температури розширюється в соплах так, що його швидкість і кінетична енергія зростають. Кінетична енергія потоку перетворюється у механічну роботу (парові та газові турбіни). Двигуни внутрішнього згоряння – призначаються для отримання технічної роботи завдяки хімічній енергії палива. Зовнішня теплота не передається робочому тілу: q = 0 . Зміна кінетичної енергії потоку газу на вході і на виході із двигуна незначна порівняно з технічною роботою: w22 - w12 << l т . Тоді перший закон має такий вигляд: 2 p2 l т = h1 - h2 = - ò v dp . (10.20) p1 Компресори – призначаються для отримання газів високих тисків. Процес стиснення відбувається завдяки зовнішній технічній роботі, а q = 0 . Швидкості газу на вході і виході приблизно однакові: w1 = w2 . Тоді p2 l т = h1 - h2 = - ò v dp . (10.21) p1 Слід зауважити, що у даному випадку h1 < h2 , тобто зовнішня робота в адіабатичному процесі витрачається на збільшення ентальпії газу. p2 Як випливає із (10.20) і (10.21), для даного типу обладнання інтеграл ò v dp p1 являє собою тільки технічну роботу. Знак технічної роботи залежить від знаку dp. Так, якщо в апараті відбувається зниження тиску (наприклад p2 турбіна) dp < 0, то інтеграл ò v dp > 0 , тобто робота додатна і виконується p1 робочим тілом. У компресорах навпаки dp > 0, і технічна робота від’ємна. Вона виконується над робочим тілом завдяки зовнішньому джерелу. Якщо в апараті не відбувається зміни тиску (теплообмінники) ( dp = 0 ), то технічна робота не виконується ( l т = 0 ). Якщо в апараті відсутній теплообмін з навколишнім середовищем (q = 0), то технічна робота здійснюється виключно внаслідок зменшення ентальпії потоку h1 - h2 (у компресорах навпаки). Величина h1 - h2 = 0 називається наявним теплоперепадом. Наявний теплоперепад відповідає максимуму технічної роботи, що може бути отримана в ідеальному апараті, тобто в якому відсутні необоротні процеси. Із останнього можна зробити висновок, що ентальпія потоку відіграє роль термодинамічного потенціалу. Зменшення її в оборотному адіабатичному процесі розширення дорівнює технічній роботі. Сопла і дифузори. У техніці широке застосування дістали прилади, що являють собою спеціально спрофільовані канали і застосовуються для зміни швидкості потоку. Соплами називаються пристрої, що призначаються для збільшення швидкості, а дифузорами – пристрої для зменшення швидкості потоку. Технічна робота в них не виконується (l т = 0). Перше рівняння термодинаміки набуває вигляду q = h2 - h1 + w 22 - w12 2 або у диференціальній формі dq = dh + wdw . (10.22) Порівнюючи цей вираз першого закону з виразом (3.34), бачимо, що wdw = -v dp. (10.23) Знак “мінус” у цьому рівнянні свідчить про те, що зміна швидкості dw і зміна тиску dp робочого тіла під час руху в каналах змінного перерізу мають різні знаки, тобто збільшення швидкості потоку dw > 0, що відбувається у соплах, можливе лише внаслідок зменшення тиску dp < 0. Зменшення тиску у напрямку руху робочого тіла досягається внаслідок його розширення, тобто зростання питомого об’єму. Такі сопла називаються звуженими. Сопла широко застосовуються в техніці (парові та газові турбіни, реактивні двигуни та ін.). Зменшення швидкості потоку dw < 0 у дифузорах можливе внаслідок збільшення тиску dp > 0 вздовж каналу, а це досягається завдяки зменшенню кінетичної енергії потоку і стиску робочого тіла. Дифузори також широко використовуються в техніці (насоси, вентилятори та інше). 10.5. ІЗОЕНТРОПІЙНЕ ВИТІКАННЯ ГАЗУ ІЗ ЗВУЖЕНОГО СОПЛА Розглянемо процес витікання газу (пари) зі звуженого сопла (рис. 10.3). Газ витікає із резервуара великої місткості, тому його параметри на вході в сопло p1 , v 1 , T1 , w1 i h1 можна вважати постійними. На виході із сопла, тобто, в усті, тиск складає p2 . Витікання робочого тіла відбувається у середовище з тиском pср . Визначимо швидкість w2 і витрату газу m на виході із сопла. Сопла мають невелику довжину, а швидкість руху газу через сопло досягає значних величин, тому газ знаходиться у соплі дуже короткий проміжок часу і не встигає обмінятися теплотою з навколишнім середовищем. Отже, процес витікання робочого тіла із звуженого сопла можна вважати адіабатичним (dq = 0) . Тоді перший закон термодинаміки (10.22) запишеться так: h1 - h2 = p2 w22 - w12 = l0 = - ò v dp, 2 p1 (10.24) тобто зростання швидкості потоку відбувається завдяки зменшенню ентальпії. Наявна робота l0 у даному випадку витрачається на зміну кінетичної енергії потоку під час його проходження через сопло. Ця робота в p - v -діаграмі зображається площею, що знаходиться між лінією адіабатичного розширення тіла в соплі 1–2, ізобарами на вході p1 і на виході із сопла p2 і віссю ординат (рис. 10.4). Із рівняння (10.24) швидкість потоку на виході із сопла визначається так: w2 = 2(h1 - h2 ) + w12 = 2Dh0 + w12 . (10.25) Оскільки витікання газу здійснюється із посудини великої місткості, то швидкістю на вході у сопло w1 можна знехтувати і рівняння (10.25) перепишеться так: w 2 = 2 ( h1 - h2 ) = 2 Dh0 = 2 l 0 , (10.26) де Dh0 – наявний теплоперепад. Він відповідає максимальній кінетичній енергії і максимальній швидкості w2 , що може бути досягнута лише в ідеальних умовах витікання, без тертя. Рівняння (10.25) і (10.26) є слушними для будь-якого робочого тіла. Для ідеального газу теоретичну швидкість потоку w2 можна виразити через термічні параметри стану на виході та вході в сопло: Dh0 = h1 - h2 = (u1 - u Ос кільк и проце с адіаба тични Рис. 10.3. Схема звуженого сопла Рис. 10.4. Зображення наявної роботи в соплі в p - v -діаграмі й, то зміна внутрішньої енергії u1 - u 2 = c v (T2 - T1 ) = cv R 1 (T - T2 ) = ( p v - p2 v 2 ) , c p - cv 1 k -1 1 1 cp – показник адіабати, що характеризує фізичні властивості робочого тіла. cv Підставивши це значення зміни внутрішньої енергії у (10.27), дістанемо 1 ( p v - p 2 v 2 ) + ( p1v 1 - p2 v 2 ) = k ( p1v 1 - p2 v 2 ) , Dh0 = k -1 1 1 k -1 тоді швидкість витікання можна розрахувати за такою формулою: де k = 2k ( p v - p2 v 2 ) k -1 1 1 w2 = або w2 = p v 2k p v æç 1 - 2 × 2 ö÷ . k -1 1 1è p1 v 1 ø (10.28) Використовуючи рівняння адіабати, замінимо в останньому виразі 1 v p k відношення 2 = æç 1 ö÷ , тоді v 1 è p2 ø w2 = 1 é ù p p k 2k ö æ 2 1 ú= p1 v 1 ê1 k -1 p1 çè p 2 ÷ø ú ê ë û k -1 é ù p k 2k ö æ 2 p1 v 1 ê1 - ç ÷ ú= k -1 ê è p1 ø ú ë û k -1 é p2 ö k ù 2k æ (10.29) = RT ê1 - ç ÷ ú. k - 1 1 ê è p1 ø ú ë û Як бачимо, швидкість потоку газу w2 визначається початковими параметрами стану p1 , v 1 , T1 , фізичними властивостями робочого тіла k і тиском на виході із сопла p2 . 10.6. МАСОВА ВИТРАТА ГАЗУ ПРИ ВИТІКАННІ ГАЗУ ІЗ СОПЛА. КРИТИЧНА ШВИДКІСТЬ Масову витрату робочого тіла крізь сопло можна розрахувати виходячи із рівняння суцільності m= f 2w2 , v2 де f 2 і v 2 – відповідно площа поперечного перерізу і питомий об’єм газу на виході із сопла. Підставимо значення w2 (10.29) в останнє рівняння: m = f2 k -1 ù é 2k p1v 1 ê æ p2 ö k ú 1 . ÷ ç k - 1 v 22 ê è p1 ø ú ûú ëê Оскільки процес витікання адіабатичний, Рис. 10.5. Залежність масової витрати ідеального газу від b = p1 / p 2 при витіканні із сопла m = f2 = f2 (10.30) 1 æ p ök то v 2 = v 1 ç 1 ÷ і рівняння (10.30) після è p2 ø перетворень запишеться так: 2k k -1 k -1 é ù p ê1 - æç 2 ö÷ k ú = 2 ê è p1 ø ú û 2 æ p1 ö k ë v1 × ç ÷ p è 2ø p1v 1 k +1 2 é ù 2k p1 êæ p2 ö k æ p 2 ö k ú . ç ÷ -ç ÷ k - 1 v 1 êè p1 ø è p1 ø ú ë û (10.31) Як бачимо, масова витрата газу також визначається його фізичними властивостями ( k ), початковими параметрами p1 , v 1 і залежить від p відношення тисків 2 = b. p1 Згідно з (10.31), залежність m = f (b) при постійних p1 і v 1 має вигляд abc (рис. 10.5). При b = 1 і b = 0 масова витрата m = 0 . Дійсно, b = 1 , коли p1 = p2 , тобто немає перепаду тисків і витікання газу не відбувається. При b = 0 , p2 = 0 питомий об’єм v 2 = ¥ і сопло не може пропустити потік тіла з кінцевою швидкістю. Із зменшенням b у межах 1 > b > b кр масова витрата зростає і за певного æ pкр ö ÷ , що називається критичним, масова витрата досягає значення bкр = çç ÷ è p1 ø максимуму (точка b ). Тиск р2 = ркр , за якого досягається максимальна витрата газу, називається критичним. Із подальшим b bкр > b > 0 масова витрата зменшується до нуля. ( ) зменшенням Порівняння теоретичних та дослідних даних показує, що коли bкр < b < 1 , результати повністю збігаються (ділянка cb ), а коли bкр < b < 0 , повністю не збігаються (ділянка ab ). Дійсна витрата газу на цій ділянці залишається постійною (лінія bd ). Рис. 10.6. Зображення витраРозглянемо детальніше це явище. Як відомо ти із енергії курсу вфізики, пружні p - v -координаколивання, у тому числі і зміна тиску у нерухомому газовому середовищі, тах при витіканні із r ідеального поширюються зі швидкістю звуку a . Коли тиски на вході pсопла 1 і на виході із сопла p2 (рис. 10.3) однакові, то витікання немає і m = 0 . Зменшення тиску r середовища за соплом pср поширюється проти течії газу із швидкістю a і досягає виходу (устя) сопла. На виході із сопла встановлюється нове значення тиску p2 = pср , що викликає перерозподіл тисків і питомих об’ємів газу вздовж сопла. Масова витрата при цьому зростає. З подальшим зменшенням тиску pср тиск в усті сопла p2 зменшується і масова витрата збільшується. Оскільки робоче тіло і хвиля зміни тисків рухаються в протилежних випадках, то відносна швидкість переміщення r r r r пружної хвилі c визначається за формулою c = w2 + a . Поки швидкість витікання газу w2 мала відносно швидкості звуку a , зменшення тиску середовища pср спричинює збільшення швидкості w2 внаслідок зменшення тиску в усті p2 . Mасова витрата і швидкість витікання будуть збільшуватись доти, поки відносна швидкість переміщення пружних r хвиль c не стане нульовою. Швидкість витікання газу досягає звукової r r r (критичної) w2 = wкр = a , а в усті сопла встановлюється критичний тиск pкр . Подальше зменшення тиску pср не приводить до зменшення p2 і до перерозподілу тисків у соплі, а це означає, що швидкість витікання і масова витрата досягли максимуму і більше не змінюються. Хвиля зміни тиску зноситься зустрічною хвилею потоку газу. Розширення газу відбувається поза соплом і енергія, що звільнюється при цьому, витрачається на створення завихрення навколо струменя. Таким чином, при витіканні струменя із звуженого сопла за умови b < bкр безповоротно втрачається енергія. Вона розсіюється в просторі за соплом. Втрата кінетичної енергії може бути зображена в p - v -діаграмі (рис. 10.6). Якщо розширення середовища відбувається до тиску p2 < pкр , то втрата енергії відповідає площі 2кр - 2 - p 2 - p кр - 2кр . Кінетична енергія струменя, що виходить зі звужуючого сопла, зображається площею 1 - 2кр - p кр - p1 - 1 . Розглянемо, за яких умов досягається максимум масової витрати, тобто знайдемо bкр . Початкові параметри приймаємо постійними: p1 , v 1 = const . Візьмемо першу похідну по p2 від виразу у квадратних дужках рівняння (10.31) і прирівняємо її до нуля: 2 k +1 k +1 2 -1 -1 é ù d êæ p2 ö k æ p2 ö k ú 2 æ p2 ö k k + 1 æ p2 ö k = = 0. ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ dp2 êè p1 ø k è p1 ø è p1 ø ú k è p1 ø ë û Після спрощення дістанемо k b кр = pкр æ 2 ö k -1 =ç ÷ . p1 è k + 1 ø (10.32) Як бачимо, bкр є сталою величиною і залежить тільки від фізичних властивостей робочого тіла (величина k ). Але така залежність є слабкою. Так, для одноатомних газів k = 1,67 і bкр = 0,49 ; для двохатомних k = 1,4 і bкр = 0,528 ; для трьохатомних і перегрітої пари k = 1,3 і bкр = 0,546 . Тому для оцінювальних розрахунків приймають bкр = 0,5 . Як показано вище, критична швидкість wкр настає при тиску p2 = pкр . Для визначення wкр підставимо у рівняння (10.29) значення pкр / p1 із (10.32): w кр = k -1 é ù æ p кр ö k ú 2k ê p1v 1 1 - ç = ÷ k +1 ê è p1 ø ú ë û k -1 ù é k ê æç æ 2 ö k -1 ö÷ k ú 2k . p v 1- ç ÷ k -1 1 1 ê çè k +1ø ÷ ú ê è ø ú û ë Після перетворення і спрощення знаходимо 2k pv = k +1 1 1 w кр = 2k RT . k +1 1 (10.33) Критична швидкість визначається початковими параметрами і фізичними властивостями робочого тіла. Її можна виразити через критичні параметри. Оскільки процес витікання вважається адіабатичним, то із рівняння Пуассона 1 æ p кр ö k v 1 = v кр çç ÷÷ . è p1 ø Значення p1 знайдемо із (10.32): k k + 1 ö k -1 p1 = pкр æç ÷ . è 2 ø Знайдемо добуток p1v 1 і підставимо його у (10.33): 1 ùk é k ú ê p кр k + 1 ö k -1 ú . p1 v 1 = pкр æç ÷ v кр ê k ú ê è 2 ø ê p кр æç k + 1 ö÷ k -1 ú û ë è 2 ø Після перетворення і спрощення знаходимо k +1ö p1v 1 = p кр v кр æç ÷. è 2 ø Тоді wкр = 2k k +1ö p v æç ÷ = kpкр v кр . ( k + 1) кр кр è k ø (10.34) Як відомо із курсу фізики, формула (10.34) є виразом для визначення швидкості поширення пружних хвиль у середовищі з параметрами pкр і v кр . Таким чином, критична швидкість витікання робочого тіла дорівнює місцевій швидкості розповсюдження пружних хвиль в усті сопла, коли там установлюються параметри pкр і v кр . 10.7. ОСНОВНІ ЗАКОНОМІРНОСТІ ПОТОКУ ІДЕАЛЬНОГО ГАЗУ У СОПЛАХ І ДИФУЗОРАХ. СОПЛА ЛАВАЛЯ Для аналізу потоку ідеального газу у каналах змінного поперечного перерізу використаємо рівняння суцільності у диференціальній формі (10.3). Спочатку здиференціюємо рівняння адіабати pv k = const , знайдемо dv / v і підставимо його у рівняння (10.3): ( ) d pv k = pkv k -1dv + v k dp = 0 , dv 1 dp . =v k p (10.35) v dp dw = - 2 і теж w w звуку Рис. 10.7. Характер зміни швидкості та тиску потоку і місцевої швидкості підставимо в (10.3). Тоді рівняння (10.3) набуває вигляду вздовж сопел і дифузорів Із співвідношення (10.23) wdw = -v dp знайдемо df dp v dp =+ . f kp w2 Після перетворення ( ) df dp kv p - w2 = . f w2 kp (10.36) Враховуючи, що kv p = a 2 , рівняння (10.36) перепишеться так: ( ) df dp a 2 - w 2 = . f w 2 kp (10.37) Як випливає із (10.37), відносна зміна форми каналів df / f визначається фізичними властивостями робочого тіла ( k ), відносною зміною тиску dp / p, співвідношенням між швидкістю потоку w і місцевою швидкістю звуку a у даному перерізі сопла. Відношення w / a = M називається числом Маха. Число Маха змінюється у межах М 1 . Значення M < 1 відповідають руху потоку з дозвуковою, а M > 1 – з надзвуковою швидкістю. Введемо число Маха у рівняння (10.37): df æ 1 ö dp = ç 2 - 1÷ . f èM ø kp (10.38) Нагадаємо, що рівняння (10.38) описує потік ідеального газу, що здійснюється без теплообміну з навколишнім середовищем, без тертя і без виконання технічної роботи. Як випливає із цього рівняння, за дозвукових швидкостей потоку ( M < 1 ) в дужках буде додатне число, тому величини dp і Рис. 10.8. Схема сопла Лаваля і зміни швидкості df мають однаковий та тиску потоку і місцевої швидкості звуку в ньому знак. При зменшенні тиску вздовж каналу dp < 0 канал має звужуватися: df < 0 , а при підвищенні тиску dp > 0 – розширюватися. Якщо потік рухається з надзвуковою швидкістю ( M > 1 ), залежність між dp і df буде протилежною. Для того, щоб тиск знижувався dp < 0 , канал повинен розширюватися df > 0 (оскільки в дужках у цьому випадку буде від’ємне число). Для підвищення тиску канал має звужуватися. На рис. 10.7 наводиться характер зміни швидкості та тиску потоку і місцевої швидкості звуку вздовж сопел і дифузорів. При дозвукових швидкостях у звуженому соплі (рис. 10.7, а) швидкість потоку збільшується до звукової, але досягти надзвукової швидкості неможливо. При русі потоку за цими швидкостями в дифузорі (рис. 10.7, б) швидкість потоку зменшується. При надзвукових швидкостях навпаки в розширюючих каналах (рис. 10.7, в) відбувається збільшення швидкості потоку завдяки зменшенню тиску, а в звужених каналах (рис. 10.7, г) швидкість зменшується, а тиск збільшується вздовж каналу. Розглянуті приклади показують, що зміни тиску і швидкості потоку створюються протилежною дією геометричної форми каналу на перетворення потенціальної енергії потоку (енергії тиску ) в кінетичну (енергії руху ) у дозвуковій та надзвуковій областях. Це положення носить назву закону геометричного обернення впливу. Профілі сопла і дифузора для надзвукового потоку міняються місцями. Надзвукове сопло – це розширений, а надзвуковий дифузор – звужений канал. Отже, у простому звуженому соплі максимальна швидкість досягається у самому вузькому місці, і вона не може бути більше швидкості звуку. Щоб одержати надзвукову швидкість, необхідно щоб сопла спочатку були звуженими, де швидкість потоку збільшується до звукової. Потім сопло має розширюватись, де тиск буде нижче критичного, а швидкість wx > a . Таке комбіноване сопло вперше запропонував шведський інженер Лаваль (рис. 10.8) у 80-роки XIX століття для одержання надзвукових швидкостей водяної пари. Зараз сопла Лаваля широко застосовують в паросилових установках (турбіни), у реактивних двигунах літаків і ракет, газових турбінах та ін. На рис. 10.8 зображено зміни тиску і швидкості потоку та місцевої швидкості звуку вздовж сопла Лаваля. Як бачимо, у звуженій частині сопла Лаваля тиск потоку і швидкість звуку зменшуються, а швидкість потоку, навпаки, зростає до wкр . У розширювальній частині швидкість w досягає надзвукових значень, а тиск і місцева швидкість звуку продовжують зменшуватися. Тиск у кінці сопла p2 дорівнює тиску навколишнього середовища pср . Таким чином, у соплі Лаваля для прискорення потоку використовується весь перепад тисків від p1 до pср , а в простому звуженому соплі від p1 до pкр . Швидкість руху потоку на виході із сопла Лаваля обчислюється за рівнянням (10.26), а для ідеального газу за (10.29). Площа поперечного перерізу каналу в будь-якому місці визначається за рівнянням суцільності mv x fx = . wx Значення v x і wx можна взяти із графіків або обчислити за формулами: w x = 2(h - h x ) ; p x v kx = p 1 v 1k . Площа мінімального перерізу сопла mv min , a де a – швидкість звуку у найвужчому місці сопла. Площа вихідного перерізу f min = f max = mv max . w2 (10.39) (10.40) Довжина звуженої частини сопла Лаваля вибирається мінімальною, а розширювальної частини визначається за формулою, виходячи із f min , f max і кута конусності a. Для запобігання відриву потоку від стінок сопла в надзвуковій частині конусність вибирають у межах 8…12°. На виході із сопла Лаваля, як уже вказувалося, тиск p2 = pср . При виконанні цих умов Рис. 10.9. Розрахунок процесів сопло називається розрахунковим. Якщо витікання водяної пари за h–sтиск p2 не дорівнює тиску діаграмою навколишнього середовища, то такі сопла називаються нерозрахунковими (наприклад, сопла реактивного двигуна). Із зміною висоти польоту літака змінюється атмосферний тиск. Тому на одній висоті сопло може бути розрахунковим, а на іншій ні. У зв’язку з цим в розширювальній частині сопла створюються стрибки тиску. 10.8. РОЗРАХУНКИ ПРОЦЕСІВ ВИТІКАННЯ ВОДЯНОЇ ПАРИ ЗА h–s-ДІАГРАМОЮ Водяна пара є типовим представником реальних газів, тому здійснити розрахунок процесів течії за аналітичними формулами можливо лише з певною похибкою. Найпростіше виконати ці розрахунки за h - s -діаграмою водяної пари. Спочатку розглянемо процес витікання пари без тертя і без теплообміну з навколишнім середовищем. У початковому стані параметри пари p1 і t1 (точка 1, рис. 10.9). Процес розширення до тиску p2 є ізоентропійним і на діаграмі h–s зображається вертикальною лінією 1–2. Швидкість витікання пари w 2 = 2(h1 - h2 ) , (10.41) де h1 – ентальпія пари в точці 1, визначається за параметрами t1 і p1 ; h2 – ентальпія в точці 2 (визначається за параметрами пари на перетині ізоентропи 1–2 з ізобарою p2 ). Формула (10.41) застосовується, коли p2 > pкр (або b > bкр ). Якщо процес розширення відбувається до критичного тиску pкр (точка 2кр ) або нижче p2 < pкр , то у формулі (10.41) замість величини h2 беруть hкр . Точка 2кр знаходиться на перетині ізоентропи 1- 2кр і ізобари pкр . Тоді критична швидкість w кр = 2 (h1 - hкр ) . (10.42) Критичний тиск визначається за формулою (10.32) k 2 ö k -1 pкр = p1 æç ÷ , è k +1ø а потім за h - s -діаграмою знаходять hкр . k pкр æ 2 ö k -1 За останньою формулою можна розрахувати b кр = = ç ÷ , p1 è k + 1 ø а потім знайти критичний тиск pкр = b кр p1 . Для перегрітої пари k = 1,3 i bкр = 0,528, для сухої насиченої – k = 1,35 і bкр = 0,577. У довідковій літературі ентальпію водяної пари наводять у кілоджоулях, тоді формула (10.41) набуває вигляду w2 = 2 × 1000 ( h1 - h2 ) = 44, 72 ( h1 - h2 ) . (10.43) З аналогічним коефіцієнтом записується і формула (10.42). Якщо розраховане значення pкр виявиться менше p2 , використовують просте звужене сопло, якщо pкр > p2 , то застосовують сопло Лаваля. Дійсний процес витікання. Процеси витікання водяної пари внаслідок втрат теплоти в навколишнє середовище і тертя між робочим тілом і стінками сопла та в потоці між окремими струминками є необоротними. Ентропія пари зростає. Необоротний процес розширення пари до того ж тиску p2 умовно проходить за лінією 1- 2д (рис. 10.9) і дійсний теплоперепад Dhд = h1 - h2 д буде меншим за теоретичний Dh = h1 - h2 . Дійсна швидкість витікання пари w2 д , внаслідок витрати деякої частини кінетичної енергії пари на подолання сил тертя, зменшиться і буде дорівнювати w2 д = 2(h1 - h2д ) = 44,72 Dhд . (10.44) Втрати енергії водяною парою можна визначити за h - s -діаграмою. Дійсно, Dhтр = Dh - Dhд = h2 д - h2 . Відношення дійсної втрати енергії до наявного теплоперепаду називається коефіцієнтом втрати енергії у соплі x= Dhтр Dh = Dh - Dhд Dh =1- Dhд Dh . (10.45) Із (10.45) дійсний теплоперепад можна виразити так: Dhд = Dh(1 - x) . І підставляючи його у формулу (10.44), знайдемо дійсну швидкість w2 д = (1 - x )Dh = 44,72j ( h1 - h2 ) . Коефіцієнт j є відношенням дійсної швидкості пари на виході із сопла до теоретичної і називається швидкісним коефіцієнтом сопла: j= w2 д w2 (j = 0,95...0,98). (10.46) У зв’язку з тим, що w2 д менша, ніж теоретична швидкість w2 , дійсне масове витікання буде меншим за теоретичне. Відношення дійсної масової витрати mд до теоретичної m називається коефіцієнтом витікання: m= mд m . (10.47) Дійсну масову витрату можна визначити за рівнянням суцільності, якщо використати значення w2 д і дійсний питомий об’єм v 2 д в усті сопла: mд = f 2 w2 д . v 2д (10.48) 10.9. ПРОЦЕСИ ЗМІШУВАННЯ ПОТОКІВ. ЕЖЕКТОРИ У техніці часто необхідно змішувати потоки робочих тіл з різними термодинамічними параметрами. Як правило, ці процеси є необоротними, оскільки обмін енергією відбувається при наявності різниці тисків, температур, швидкості та ін. Внаслідок змішування термодинамічні параметри однієї системи зменшуються, а іншої збільшуються. Рух одних систем гальмується, швидкість їх руху зменшується, в інших навпаки – рух Рис. 10.10. Схема ежектора прискорюється, швидкість зростає. Процеси гальмування мають свої специфічні особливості обміну енергією і вимагають окремого їх розгляду. Як показано (10.5), перший закон термодинаміки для адіабатичного потоку робочого тіла в каналах набуває вигляду h1 - h2 = w 22 w12 . 2 2 Перепишемо цей вираз так: h1 + w12 w2 = h2 + 2 . 2 2 (10.49) Із останнього рівняння випливає, що сума ентальпії і кінетичної енергії потоку є величиною постійною, тобто збільшення кінетичної енергії приводить до зменшення ентальпії системи і навпаки. При повному гальмуванні ( w= 0 ) ентальпія приймає максимальне значення, що називається ентальпією адіабатичного гальмування або повною ентальпією: h* = h + w2 , 2 (10.50) де h* – ентальпія адіабатичного гальмування. Якщо потік є ідеальним газом, для якого теплоємність є величиною постійною, а ентальпія визначається за виразом h = c pT , рівняння (10.50) набуває вигляду c pT * = c pT + w2 . 2 Після спрощення отримаємо вираз T* =T + w2 , 2c p де T* – називається температурою адіабатичного гальмування. Це така температура, яку мала б система після її повного гальмування ( w = 0 ) за адіабатичних умов; T – дійсна температура потоку. Враховуючи, що швидкість поширення звукових хвиль (10.34) a= kpv = kRT , і виходячи з рівняння Майєра c p - cv = R , вираз для температури адіабатичного гальмування можна записати так: T* = T + æ æ k - 1 w2 k - 1 w2 ö k - 1 w2 ö = T ç1 + ÷. ÷ = T ç1 + 2 kR 2 kRT ø 2 a2 ø è è (10.51) Введемо число Маха, тоді температура адіабатичного гальмування k -1 2 ö T * = T æç 1 + M ÷. 2 è ø (10.52) Як випливає із (10.52), температура T * залежить від фізичних властивостей робочого тіла ( k ) і числа M і завжди більше дійсної температури потоку T . Поняття температури адіабатичного гальмування знаходить широке застосування в аеродинамічних розрахунках. Термометр, який знаходиться в потоці, дає температуру, близьку до температури адіабатичного гальмування. Виходячи із параметрів гальмування, розглянемо процеси, що відбуваються в ежекторах. Ежекторами називаються пристрої, що призначаються для отримання газів (парів) з підвищеним тиском завдяки змішуванню двох потоків. На рис. 10.10 наведена принципова схема пароструминного пристрою (ежектора). Пара низького тиску p2 через вхідний пристрій надходить у камеру змішування К3. Пара високого тиску p1 подається в сопло С, де відбувається перетворення її потенціальної енергії в кінетичну, внаслідок швидкість потоку досягає значних величин. Після сопла пара високого тиску також подається у камеру змішування, де пара низького тиску знаходиться практично в ізохоричному стані. Передача енергії відбувається в процесі турбулентного змішування потоків. Змішування можна вважати адіабатичним процесом. Для досягнення повного вирівнювання швидкостей і температур відношення довжини камери змішування l до її діаметра d складає 6...8. Потім суміш надходить у дифузор Д, де має місце гальмування руху потоку, внаслідок чого кінетична енергія переходить в потенціальну, і тиск вздовж дифузора зростає і на виході досягає значення p . Термодинамічний розрахунок ежектора полягає у визначенні витрати маси високонапорної пари m кг/с тиском p1 для одержання маси суміші в 1 кг/с при тиску p , якщо тиск низьконапорної пари складає p2 . За таких умов витрата низьконапорної пари складає ( 1 - m ) кг/с. Вважаючи процес змішування в ежекторі адіабатичним, складемо рівняння балансу теплових потоків: h1* m + h2* (1 - m ) = h * , (10.53) де h1* , h2* , h* – відповідно повні ентальпії високонапорної пари на вході в сопло, низьконапорної пари на вході в камеру змішування і суміші на виході з дифузора. Повна ентальпія високонапорної пари h1* на вході в сопло h1* = h1 + w12 , 2 (10.54) де h1 , w1 – відповідно ентальпія і швидкість високонапорної пари на вході в сопло. Повна ентальпія низьконапорної пари h2* на вході в ежектор також може бути визначена за рівнянням w2 h2* = h2 + 2 , (10.55) 2 де h2 , w2 – відповідно ентальпія і швидкість низьконапорної пари на вході в ежектор. Повна ентальпія суміші на виході з дифузора ежектора h* = h + w2 , 2 (10.56) де h, w – відповідно ентальпія і швидкість суміші на виході з дифузора. Для визначення швидкості потоку суміші на виході з дифузора застосуємо теорему збереження кількості руху до об’єму, що знаходиться в середині ежектора: mw1 + (1 - m ) w2 = w . (10.57) Оскільки швидкість w1 >> w2 , то другим членом у лівій частині рівняння (10.57) можна знехтувати. Тоді mw1 = w . (10.58) Підставимо (10.58) в рівняння (10.56): h* = h + m 2 w12 . 2 (10.59) Визначивши w1 з рівняння (10.54), підставимо його у вираз (10.59): ( ) h * = h + m 2 h1* - h1 . (10.60) Щоб знайти h* i m , скористаємося методом послідовних наближень за h - s -діаграмою водяної пари (рис. 10.11). Початкові стани високонапорної (точка 1) і низьконапорної пари(точка 2) Рис. 10.11. Схема розрахунку визначаються за параметрами p1 , h1* i p2 , інжекційних процесів водяної h2* . Крім цього задається тиск суміші p . пари за h–s-діаграмою Потім довільно задають масу m1 і за рівнянням (10.53) знаходять значення h* , а за рівнянням (10.60) – h¢ . На перетині ізоентальпії h¢ і ізобари p2 визначають положення точки 3¢ . Потім від точки 3¢ за ізоентропою відкладають значення члена m12 (h1* - h1 ) – точка 4 ¢ . Якщо точка 4¢ розміщується вище ізобари p = const, то витрата гострої пари вибрана завищеною. Потім зменшують витрату високонапорної пари, наприклад беруть m2 . Аналогічно знаходять h¢¢ і положення точок 3¢¢ і 4 ¢¢ . Якщо точка 4 ¢¢ розміщується нижче ізобари p = const, то витрату збільшують. При правильному підборі витрати гострої пари m точка 4 повинна знаходитися на ізобарі p = const. 10.10. ФІЗИЧНІ ОСНОВИ ПРОЦЕСІВ ДРОСЕЛЮВАННЯ Під дроселюванням (м’яттям, редукуванням) газу або пари розуміють процес проходження їх крізь місцеві перешкоди, що зустрічаються на їх шляху, внаслідок чого тиск газу за перешкодою падає, а питомий об’єм збільшується. Під місцевими перешкодами розуміють різні звуження каналу (діафрагми, шайби, дроселі, крани, засувки, клапани тощо). Зовнішня робота у процесі дроселювання не виконується ( l т = 0 ). Дроселювання може проходити без теплообміну з навколишнім середовищем (адіабатичне дроселювання) і з підводом або відводом теплоти. Практичне значення має адіабатичне дроселювання, що і буде розглянуто в подальшому. Розглянемо детальніше процес дроселювання у каналі з діафрагмою, схему якого показано на рис. 10.12. Нехай потік обмежений перерізами І-І і ІІ-ІІ. Перерізи лежать на достатній відстані від діафрагми і параметри потоку до і після указаних перерізів залишаються постійними. Оскільки масова витрата не змінюється, а площі поперечних перерізів І-І і ІІ-ІІ приблизно однакові, то зміна швидкостей Dw = w2 - w1 незначна і нею можна знехтувати. У безпосередній близькості від діафрагми і під час проходження крізь неї параметри потоку будуть значно Рис. 10.12. Схема процесу дроселювання змінюватися. Звуження площі поперечного перерізу потоку починається на деякій відстані від місцевого звуження і мінімальне значення площі потоку буде на деякій відстані за звуженням. Далі потік поступово розширюється до початкової площі перерізу. Швидкість потоку під час проходження крізь місцевий опір збільшується, досягає максимуму у найвужчому місці, а потім поступово зменшується до початкового значення (рис. 10.12, а). Тиск потоку, навпаки, перед звуженням починає падати і мінімальне значення досягається у найвужчому місці. Після звуження тиск поступово зростає, але вже не досягає початкового значення (рис. 10.12, б). Пояснюється це витратою деякої частини енергії на подолання місцевого опору, сил тертя о стінки каналу і між течіями потоку. Частина енергії витрачається на створення зон завихрювання до і після місцевого звуження. Зміна швидкості і тиску потоку свідчить про те, що змінюються кінетична і потенціальна енергії. Із збільшенням швидкості збільшується кінетична енергія потоку, а потенціальна – зменшується (тиск падає). За отвором швидкість і кінетична енергія зменшуються до початкових, а тиск і потенціальна енергія збільшуються, але не досягають початкових значень через те, що частина енергії безповоротно витрачається на подолання місцевого опору, створення зон завихрювання і подолання сил тертя. Ця частина енергії сприймається робочим тілом, внаслідок чого ростуть його питомий об’єм v та ентропія s , змінюється його температура. Отже, дроселювання є необоротним процесом. Застосуємо перший закон термодинаміки для потоку до процесу адіабатичного дроселювання ( dq = 0; dl т = 0 ): 0 = h2 - h1 + w22 - w12 . 2 Оскільки w2 » w1 , то цей вираз перепишеться так: h1 = h2 , (10.61) де h1 i h2 – відповідно ентальпії робочого тіла у перерізах І-І і ІІ-ІІ. Як бачимо, на достатній від місцевого опору відстані, де стани робочого тіла є рівноважними, процес дроселювання відбувається за постійної ентальпії. Хоча під час безпосереднього проходження робочого тіла крізь діафрагму ентальпія спочатку зменшується, а потім збільшується до початкового стану (рис. 10.12, в). Із рівняння (10.61), враховуючи, що dh = c p dT і c p = const, маємо 0 = c p dT ; dT = 0; T1 = T2 , тобто під час дроселювання ідеального газу температура його не змінюється. При дроселюванні реального газу температура T2 відрізняється від початкової T1 . Як було показано у роботах англійських фізиків Д. П.Джоуля і У. Томсона, залежно від початкового стану і від умов, в яких відбувається процес дроселювання, температура може збільшуватися, зменшуватися або залишається незмінною. Це явище дістало назву ефекту Джоуля–Томсона. Рівняння (10.61) можна переписати так: u1 + p1v 1 = u 2 + p2 v 2 ; u1 - u 2 = p2 v 2 - p1v 1 . (10.62) Як бачимо з (10.62), робота проштовхування потоку під час дроселювання дорівнює зміні внутрішньої енергії газу або пари. Як відомо, внутрішня енергія реального газу складається з кінетичної (функція температури) і потенціальної (функція об’єму) енергій, тобто u = uк + uп . Тоді зміна внутрішньої енергії потоку газу з врахуванням (10.62) запишеться так: Du = Duк + Duп = Dpv . (10.63) Отже, процес дроселювання відбувається внаслідок роботи проштовхування, що зумовлює зміну внутрішньої енергії робочого тіла. Залежно від співвідношення абсолютних величин Dpv , Duп i Duк можливі такі випадки: 1. Витрата зовнішньої роботи проштовхування газу крізь звуження більше, ніж приріст внутрішньої потенціальної енергії Dpv > Duп . У цьому разі надлишок зовнішньої роботи йде на збільшення кінетичної енергії потоку газу і температура його під час дроселювання збільшується. Таке явище називається від’ємним ефектом Джоуля–Томсона. 2. Робота проштовхування витрачається тільки на розширення газу, тобто тільки на збільшення його внутрішньої потенціальної енергії ( Dpv = Duп ) . Внутрішня кінетична енергія не змінюється (Duк = 0) , а отже, і температура газу не змінюється (нульовий ефект Джоуля–Томсона). 3. Витрата зовнішньої роботи менше, ніж приріст внутрішньої потенціальної енергії ( Dpv < Duп ). У цьому разі частина кінетичної енергії витрачається на приріст потенціальної енергії. Внаслідок цього температура газу знижується (додатний ефект Джоуля–Томсона). Дросель-ефект. Для характеристики зміни температури залежно від тиску в процесі дроселювання вводиться поняття ¶T ö a i = æç ÷ , è ¶p ø i (10.64) де a i називається дросель-ефектом, або диференціальним температурним ефектом Джоуля–Томсона. Для знаходження цієї функції використаємо перший закон термодинаміки у такому вигляді: Tds = dh - v dp . (10.65) Ентальпія є функцією стану і повний її диференціал можна подати залежно від параметрів p i T . Тоді æ ¶h ö æ ¶h ö dh = çç ÷÷ dp + ç ÷ dT . p ¶ è ¶T ø p è øT (10.66) Підставивши цей вираз у (10.65), одержимо ¶h ö æ ¶h ö÷ dT - v dр . Tds = æç ÷ d р+ ç è ¶T ø p è ¶ р øT Після спрощення одержимо é ¶h ù dp æ ¶h ö dT . ds = êæç ö÷ - v ú +ç ÷ ¶ p è ø ë û T è ¶T ø p T Т (10.67) Оскільки ds є повним диференціалом, то ¶ é 1 æ ¶h ö 1 v ù ¶ é 1 æ ¶h ö ù . = ç ÷ ç ÷ ¶T êë T è ¶p ø T T T úû p ¶p êë T è ¶T ø p úû T Після диференціювання і спрощення знайдемо æ ¶h ö = v - T æ ¶v ö . ç ÷ ç ÷ è ¶T ø p è ¶p ø T (10.68) ¶h ö Підставляючи (10.68) у (10.66) і враховуючи, що æç ÷ = c p , дістанемо ¶ è T øp Рис. 10.13. Крива інверсії азоту é ¶v ö ù dh = c p dT - êT æç ÷ - v ú dр . ¶ T è ø p ë û (10.69) Оскільки у процесі дроселювання dh = 0 , то для дросель-ефекту знайдемо вираз ¶v ö T æç ÷ -v T øp ¶ è ¶T ai = . (10.70) = ¶p cp Дросель-ефект характеризує швидкість зміни температури залежно від зміни тиску. Оскільки у процесі дроселювання завжди dp < 0 , а теплоємність ¶v ö c p > 0 , то знак визначається знаком чисельника. Якщо T æç ÷ - v > 0 , то è ¶T ø p ¶v ö ¶T < 0 (додатний ефект Джоуля–Томсона). Якщо T æç ÷ - v < 0 , то ¶T > 0 è ¶T ø p і температура після дроселювання збільшується (від’ємний ефект Джоуля– ¶v ö Томсона). Якщо T æç ÷ - v = 0 , то ¶T = 0 і температура у процесі è ¶T ø p дроселювання не змінюється. Зміна знаку дросель-ефекту називається інверсією. Температура, за якої відсутній дросель-ефект, визначається із останнього виразу і називається температурою інверсії: ¶T ö Tін = v æç ÷ . è ¶v ø p (10.71) Якщо відомо рівняння стану газу, то за (10.71) можна обчислити конкретне значення Tін . Для більшості газів температура інверсії висока: t ін > 600 °С. Однак водень має t ін = –57 °С, а гелій t ін = –239 °С. Для водяної пари t ін = –4000 °С, тому при дроселюванні водяна пара завжди охолоджується. Для кожного тиску речовина має дві точки інверсії – в області рідини і перегрітої пари. Геометричне місце тих станів речовини, де дросель-ефект нульовий і змінює знак, називається кривою інверсії. Для прикладу на рис. 10.13 наведено криву інверсії азоту. Крива інверсії ділить p - t -діаграму на дві області. В середині кривої диференціальний дросель-ефект додатний. Це значить, що початкові параметри системи перед дроселем знаходяться всередині кривої інверсії і після дроселювання температура T2 буде менша, ніж T1 . Якщо початкові параметри системи знаходяться у зовнішній області кривої інверсії, то система після дроселювання нагрівається, тобто дросель-ефект від’ємний. Аналогічний характер криві інверсії мають і для інших речовин. Максимальне значення тиску у точці А свідчить про те, що при всіх тисках p > p A диференціальний дросель-ефект від’ємний. При тисках p < p A дросель-ефект може бути як від’ємним, так і додатним. На практиці дроселювання відбувається при значних перепадах тисків і характеризується інтегральним дросель-ефектом: p2 ò a i dp p2 æ ¶T ö ò çè ¶p ÷ø dp i p p DT T2 - T1 = = 1 = 1 D р p 2 - p1 p 2 - p1 p 2 - p1 , (10.72) де T1 i T2 – відповідно температури до і після дроселювання. Інтегральний дросель-ефект може досягати великих значень. Так, під час дроселювання водяної пари від тиску 30 МПа і температури 450 °С до тиску 0,1 МПа температура пари зменшиться до 180 °С, тобто інтегральний дросель-ефект досягає 270 °С. 10.11. РОЗРАХУНОК ПРОЦЕСІВ ДРОСЕЛЮВАННЯ ВОДЯНОЇ ПАРИ ЗА h–s-ДІАГРАМОЮ Процес дроселювання супроводжується тертям, утворенням завихрювання, тому він є необоротним і графічно зобразити його неможливо. У зв’язку з цим ізоентальпію процесу дроселювання умовно зображають на діаграмах штриховою лінією, де лише початкова і кінцева точки є дійсними. Процес дроселювання водяної пари зручно досліджувати за h–s-діаграмою. За існуючих у теплоенергетиці умов процес дроселювання водяної пари має тільки додатний дросель-ефект. На рис. 10.14 наведено деякі випадки дроселювання водяної пари за різних початкових параметрів. Так, якщо початковий стан пари знаходиться в області перегрітої пари високих параметрів (точка 1), то внаслідок дроселювання (лінія 1–2) температура його знизиться від t1 до t 2 . Під час дроселювання пари високого тиску і не дуже великого перегріву (лінія 3–4–5–6) пара спочатку переходить у стан сухої насиченої (точка 4), потім в область вологої насиченої (лінія 4–5), знову у стан сухої насиченої (точка 5) і знову у стан перегрітої (точка 6). Оскільки дроселювання є необоротним процесом, внаслідок якого ентропія робочого тіла зростає без підведення теплоти ( s2 > s1 ), то це призводить до втрати наявної роботи системи. Якщо, наприклад, перед турбіною водяна пара має параметри p1 i t1 , то внаслідок адіабатичного розширення у турбіні до тиску p3 (лінія 1–7) кожний кілограм пари виконує роботу l17 = h1 - h7 . Якщо пара перед турбіною спочатку дроселюється у засувці до стану 2 (тиск p2 , температура t 2 ), а потім адіабатично розширюється до того самого тиску p3 , то 1 кг пари виконає меншу роботу l 28 = h1 - h8 . Втрата працездатності пари Dl = l17 - l 28 = h8 - h7 = Dh . Чим більший перепад тисків під час дроселювання, тим більше пара втрачає енергетичну цінність і можливість виконувати роботу. Якщо дроселювання йде до тиску p3 (лінія 1–9), то пара повністю втрачає можливість виконувати роботу. Незважаючи на те, що процес дроселювання призводить до втрати енергетичної цінності потоку робочого тіла, він широко застосовується в техніці для регулювання потужності паросилових установок, для регулювання і вимірювання витрат робочого тіла та ін. Оскільки після дроселювання реальних газів їхня температура t 2 зменшується, то цей процес також використовується у техніці одержання низьких температур і зріджених газів. Рис. 10.14. Розрахунок процесів дроселювання водяної пари за h–s-діаграмою 10.12. ЕКСЕРГЕТИЧНИЙ АНАЛІЗ ПРОТОЧНИХ ТЕПЛОВИХ ПРОЦЕСІВ Кількість теплової енергії не є достатньою мірою її практичної придатності. Теплота, яка переноситься робочим тілом, тим цінніша, чим вища температура цього тіла. Теплоту можна в необмеженій кількості черпати із навколишнього середовища, але тоді працездатність її дорівнювала б нулю, її не можна було б використати в теплових процесах для одержання роботи. Тому наряду з кількістю енергії необхідно мати величину, яка характеризує здатність енергії виконувати роботу, тобто її практичну Рис. 10.15. Схема розрахунку доцільність. Як було показано в розділах 5 і 6, така величина вводиться на ексергії потоку основі другого закону термодинаміки з одночасним врахуванням впливу навколишнього середовища на проходження процесів перетворення енергії. Їх реалізація є можливою тільки завдяки натуральним джерелам енергії, які не знаходяться в термодинамічній рівновазі з навколишнім середовищем. До типових природних джерел енергії належать, наприклад, органічні палива (вугілля, нафта та газ), речовини, придатні до створення ядерних реакцій, потоки води з великою потенціальною та кінетичною енергією, сонячне випромінювання тощо. Практична працездатність речовини стає нульовою, якщо речовина перебуває в термодинамічній рівновазі з навколишнім середовищем. Таким чином, навколишнє середовище спричинює природну нульову точку відліку при оцінці практичної працездатності енергії. Вибір міри працездатності є умовним. Як було показано в § 6.1, за таку міру прийнято максимальну роботу, яку названо ексергією. Отже, ексергія – це максимальна робота відносно навколишнього середовища. Навколишнє середовище розглядається як робоче тіло з нескінченно великою теплоємністю, тобто його термодинамічні параметри у процесі взаємодії залишаються постійними. В кінці процесу всі тіла, які приймають у ньому участь, повинні бути в термодинамічній рівновазі з навколишнім середовищем. Враховуючи, що домінуюче практичне значення мають проточні процеси, детальніше розглянемо особливості визначення ексергії потоку. Як було показано раніше (§ 10.3), максимальна корисна робота потоку дорівнює наявній роботі при оборотному переході потоку із початкового стану у стан рівноваги з навколишнім середовищем. Оборотний перехід, як і у випадку нерухомого робочого тіла, можливий лише за умови здійснення двох процесів – адіабатичного 1–а та ізотермічного а–2 (рис. 10.15). Якщо при нерухомому тілі внутрішня енергія здатна тією чи іншою мірою перетворюватися в роботу, то для потоку такою величиною є ентальпія. Щоб визначити ексергію потоку, використаємо рівняння (10.12): w2 ІЯ , (10.73) + Dg y + lт ЕКСЕРГ 2 термічна E xт кінетична потенціальна інших де q дорівнює різниці між підведеною до робочого тіла і відведеною з нього ядерна складників E xк E xп фізична E хімічна E xф xх E xя 2 E xс w E x кінетичної D теплотою (q = q1 - q2 ) . Зміни і потенціальної Dg y енергій 2 потоку дляЕксергія більшості теплотехнічного обладнання незначні і ними можна Рис. 10.16. потоку знехтувати. Тоді рівняння (10.73) має такий вигляд: q = Dh + D q1 - q2 = h2 - h1 + l т . (10.74) У даному випадку термодинамічна система складається з тепловіддавача, потоку робочого тіла і теплоприймача, яким служить навколишнє середовище. Зміна ентропії такої системи Dsc дорівнює сумі змін питомих ентропій тепловіддавача Ds1 , потоку робочого тіла Dsр.т і теплоприймача Ds2 : Dsc = Ds1 + Dsp.т + Ds2 або q q Dsc = - 1 + ( s2 - s1 ) + 2 . T0 T1 (10.75) Зміна ентропії тепловіддавача береться із знаком мінус, тому що він віддає теплоту. З рівняння (10.75) знаходимо q2 і підставляємо у (10.74). Тоді технічна робота може бути розрахована за формулою T l т = h1 - h2 - T0 × Dsc - 0 q1 + T0 (s2 - s1 ) , (10.76) T1 де T1 і T0 – температури тепловіддавача і навколишнього середовища; s1 і s2 – питома ентропія робочого тіла у початковому і кінцевому станах. Робота адіабатичної системи (q1 = 0) буде максимальною тоді, коли у системі відбуваються оборотні процеси (Dsc = 0) і система у кінцевому стані приходить до рівноваги з навколишнім середовищем (h2 = h0 i s2 = s0 ) . У початковому стані рівняння (10.76) для розрахунку ексергії потоку може мати такий вигляд: l t max = e хп = (h - h0 ) - T0 ( s - s0 ) , (10.77) де (h - h0 ) – робота потоку в адіабатичному процесі 1–а (величина цієї роботи на рис. 10.15 визначається площею 1–а–б–р1–1); T0 (s - s0 ) – робота в ізотермічному процесі, яка еквівалентна площі а–2–р2–б–а. Ексергія потоку при його переході із стану 1 в стан 2 визначиться площею 1–2–р2–р1–1. Як видно із рівняння (10.76), ексергія потоку має своє природне нульове значення у стані рівноваги з навколишнім середовищем, коли h = h0 і s = s0 . Анергія потоку розраховується за рівнянням: а нп = h0 + T0 ( s - s0 ) . (10.78) Ексергію потоку речовини, що перетинає нерухому контрольну оболонку, у загальному вигляді можна поділити на такі складники (рис. 10.16). Кінетична ексергія Е хк розраховується з абсолютної середньої швидкості потоку речовини w відносно стінок обладнання, потенціальна ексергія E xп – за висотою розміщення обладнання y відносно поверхні землі. Термічна ексергія E xт виникає внаслідок різних термічних параметрів та хімічного складу речовини потоку відносно відповідних величин навколишнього середовища. Крім того, можна виділити ядерну ексергію E xя , ексергію поверхневого натягу, електричного заряду та ін. При вивченні термодинамічних процесів достатньо розглядати термічну ексергію, а у разі потреби – кінетичну і потенціальну ексергії: ö æW 2 E х = E хк + E хп + E хт = m ç + g y + ex ÷ . (10.79) ø è 2 Термічну ексергію можна поділити на фізичну E xф та хімічну E xх : E xт = E xф + E xх . Фізична ексергія тіла дорівнює нулю, якщо температура і тиск речовини дорівнюють температурі T0 і тиску p0 навколишнього середовища. Речовина має додатну хімічну ексергію, коли її хімічний склад не збігається з хімічним складом всіх тіл оточення. Хімічну ексергію обов’язково необхідно враховувати при дослідженні процесів, у яких відбувається обмін речовини з навколишнім середовищем. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ 1. Дайте означення стаціонарного потоку. Запишіть рівняння нерозривності потоку в інтегральній і диференціальній формі. 2. Виведіть вираз першого закону термодинаміки для потоку. Що таке робота проштовхування? 3. Що таке наявна робота? Як вона зображується в p - v -діаграмі? Виведіть формулу зв’язку уявної і деформаційної робіт? 4. Запишіть перше рівняння потоку стосовно теплообмінних апаратів, двигунів внутрішнього згоряння та компресорів. 5. Що таке сопла і дифузори? Для яких процесів вони використовуються? 6. Виведіть вираз для визначення швидкості та масової витрати газу при витіканні із сопел. Що таке критична швидкість? Чому у звужених соплах неможливо перевершити швидкість звуку? Виведіть формулу для визначення критичної швидкості через критичні параметри потоку газу. 7. Як змінюється площа поперечного перерізу сопла від швидкості витоку? Що таке число Маха? 8. У чому сутність закону (принципу) геометричного обернення впливу? Що таке сопло Лаваля? Як визначаються геометричні розміри сопла Лаваля? За яких умов режим витікання в соплах Лаваля стає нерозрахунковим? 9. Проаналізуйте, користуючись h - s -діаграмою, оборотний та необоротний адіабатичні витікання водяної пари. Наведіть формули визначення дійсної швидкості витікання пари. Що таке коефіцієнт витікання і швидкісний коефіцієнт сопла? 10. Що таке ентальпія та температура адіабатичного гальмування? Запишіть вираз для визначення адіабатичного гальмування потоку. 11. Які пристрої називаються ежекторами? Наведіть формули для розрахунку ентальпії суміші газів на виході із ежектора? У чому сутність метода послідовних наближень для визначення ентальпії суміші парів і маси високонапорної пари за h - s -діаграмою? 12. Що таке дроселювання? Покажіть, що процес адіабатичного дроселювання ідеального газу є ізоентальпійним. Що таке від’ємний, нульовий та додатний ефекти Джоуля– Томсона? 13. Виведіть вираз для диференціального дросель-ефекту? Що таке температура і крива інверсії? Розкажіть, як за h - s -діаграмою розраховується процес дроселювання водяної пари? Розділ 11. РОБОЧІ ПРОЦЕСИ У КОМПРЕСОРАХ 11.1. АНАЛІЗ ПРОЦЕСУ НАГНІТАННЯ ГАЗУ ОДНОСТУПЕНЕВИМ КОМПРЕСОРОМ Стиснення газоподібних тіл та використання їх для технологічних потреб здійснюється за допомогою машин, що називаються нагнітачами (вентилятори, повітродувки, компресори та ін.). Найбільш поширеними є компресори. Вони є також основним елементом газотурбінних та холодильних установок. За принципом дії компресори підрозділяються на об’ємні та лопатеві. В об’ємних компресорах стиснення газу відбувається завдяки зменшенню об’єму між елементами компресора. У лопатевих компресорах – завдяки перетворенню кінетичної енергії потоку в потенціальну у дифузорах, що призводить до підвищення тиску. Об’ємні компресори бувають поршневі, шестеренчасті і ротаційні, а лопатеві – відцентрові та осьові. Незважаючи на велику кількість типів нагнітачів та їхні конструктивні особливості, з термодинамічної точки зору процеси стиснення у них будуть однаковими. Задачею термодинамічного аналізу є встановлення умов, за яких досягається найбільша ефективність роботи нагнітачів. Розглянемо принцип дії та робочі процеси одноступеневого поршневого компресора. Ефективність роботи компресора вивчають за так званою індикаторною діаграмою, що характеризує залежність зміни тиску в циліндрі від місцеположення поршня. Знімається така діаграма за допомогою приладу, що називається індикатором, звідки і пішла назва діаграми. На рис. 11.1 наведено принципову схему та ідеальну індикаторну p–vдіаграму робочих процесів ідеального одноступеневого поршневого компресора. Компресор – це циліндр Ц, всередині якого зворотно- Рис. 11.1. Принципова схема і робочі процеси компресора поступально рухається поршень П. Циліндр охолоджується за допомогою води, що циркулює в охолодній оболонці, або повітря. Якщо охолоджувач – повітря, то для ефективнішого теплообміну зовнішня поверхня оребрюється. У кришці циліндра розміщуються всмоктувальний Вс і нагнітальний Наг клапани. Компресор працює так. Під час руху поршня зліва направо у циліндрі створюється розрідження, під дією атмосферного тиску р1 відкривається всмоктувальний клапан Вс і повітря надходить у циліндр. На p–v-діаграмі цей процес зображується лінією 4–1, що називається лінією всмоктування. Коли поршень досягає крайнього правого положення, процес всмоктування припиняється. Крайні положення поршня називаються верхньою (ВМТ) і нижньою (НМТ) мертвими точками, а об’єм, що проходить поршень між мертвими точками, – робочим об’ємом циліндра Vроб. Під час зворотного руху поршня справа наліво всмоктувальний клапан Вс закривається і відбувається процес стиснення повітря (лінія 1–2) до певного значення тиску р2. Під дією цього тиску відкривається нагнітальний клапан Наг і стиснуте повітря надходить споживачеві (лінія 2–3, що називається лінією нагнітання). Таким чином, стиснуте повітря подається споживачеві один раз за два ходи поршня. У крайньому лівому положенні (ВМТ) процес нагнітання припиняється, нагнітальний клапан закривається і на початку зворотного руху поршня тиск повітря різко падає до початкового (лінія 3–4). Потім всі процеси повторюються. Основною задачею термодинамічного аналізу роботи компресорів є виведення аналітичного виразу для обчислення питомої роботи, що витрачається на процеси всмоктування, стиснення і нагнітання повітря. Для цього спочатку розглянемо так званий ідеальний компресор, тобто такий, в якому немає гідравлічного опору в клапанах, сил тертя, шкідливого об’єму (поршень впритул підходить до кришки). Процеси всмоктування і нагнітання відбуваються при постійних тисках. Процес стиснення є рівноважним. Необхідно відзначити, що лінія 1–2 і площа 1–2–3–4 (рис. 11.1, б) не відповідають питомій роботі. Площа 1–2–3–4 – це технічна робота над масою m, що засмоктується за один хід поршня. Тоді роботу, що витрачається на одержання m кг стиснутого повітря, можна визначити за формулою L = L1- 2 + L 2 -3 - L 4 -1 . Або через питому роботу l = l1-2 + l 2 -3 - l 4 -1 , де l = L . m (11.1) Для компресора робота стиснення l1–2 і нагнітання l2–3 вважаються корисними, а робота всмоктування l4–1 – від’ємною. Оскільки об’єм газу на виході із компресора є змінною величиною і залежить від термодинамічного процесу і ступеня стиснення, то зручно продуктивність компресора задавати через масову m або об’ємну V1 продуктивності за початкових параметрів. Тоді масова продуктивність визначається за рівнянням стану p1 V1 m= , RT1 де р1 і T1 – відповідно тиск і температура газу при всмоктуванні. Питома робота нагнітання l 2 -3 = p2 v 2 (11.1, б), а робота всмоктування l 4 -1 = p1v 1 . Процес стиснення у компресорі може здійснюватися за різними термодинамічними процесами: ізотермічним (лінія 1–2¢), політропним (лінія 1–2) і адіабатичним (лінія 1–2¢¢). Як правило, в реальних умовах процес стиснення відбувається за політропою при n = 1,08...1,22. Тоді роботу стиснення можна визначити за формулою (4.43), але з від’ємним знаком, оскільки робота виконується не системою, а зовнішніми силами і повна питома робота компресора в політропному процесі 1 l пол = ( p v - p 2 v 2 ) - p1 v 1 + p 2 v 2 . n -1 1 1 Після перетворення і спрощення одержимо é p nn-1 ù ö æ n - 1ú . l пол = p v êç 2 ÷ (11.2) n - 1 1 1 êè p1 ø ú û ë Якщо маса всмоктувального газу m ,то повна робота компресора в політропному процесі стиснення é p n -1 ù é p n -1 ù n n n æ 2 ö n ê ú -1 = Lпол = ml пол = pV ç mRT1 êæç 2 ö÷ - 1ú . ÷ 1 n - 1 1 1 êè p1 ø n p ú êè 1 ø ú ë û ë û (11.3) В адіабатичному стисненні é p kk-1 ù ö æ k - 1ú . l ад = p v êç 2 ÷ (11.4) k - 1 1 1 êè p1 ø ú û ë Якщо маса всмоктувального газу m, то повна робота компресора в адіабатичному процесі стиснення é p kk-1 ù é p kk-1 ù ö æ ö æ k k 2 - 1ú . (11.5) - 1ú = mRT1 êç 2 ÷ Lад = ml ад = p V êç ÷ k - 1 1 1 ê è p1 ø ú êè p1 ø ú k -1 û ë û ë При ізотермічному стисненні p2 . (11.6) p1 Якщо маса всмоктувального газу m, то повна робота компресора в ізотермічному процесі стиснення p p V V Lіз = ml із = p1V1 ln 2 = mRT ln 2 = p1V1 ln 2 = mRT ln 2 . (11.7) p1 p1 V1 V1 Як бачимо з рис. 11.1, б і наведених формул, найбільша робота витрачається в адіабатичному процесі (площа 1 - 2¢¢ - 3 - 4 - 1 ). При збільшенні кількості відведеної теплоти робота компресора на стиснення газу зменшується і мінімальною буде в ізотермічному процесі (площа 1 - 2¢ - 3 - 4 - 1 ). Але для здійснення ізотермічного процесу стиснення необхідно дуже інтенсивно охолоджувати компресор, що на практиці не завжди вдається, оскільки стінки циліндра не є ідеально теплопровідними. Тому, як правило, процес стиснення газу у компресорах відбувається у політропних процесах з частковим охолодженням компресора. Якщо в наведених формулах (11.2) – (11.7) тиск р вимірюється в паскалях, робота L в кілоджоулях за годину, масова продуктивність m в кілограмах за годину, а об’ємна V1 – в кубічних метрах за годину, то потужність електродвигуна розраховується за формулою Lад Lпол Lіз N пол = ; N ад = , (11.8) ; N із = 3600 × 1000 3600 × 1000 3600 × 1000 де N – вимірюється в кіловатах. Оскільки технічна робота виконується компресором, то l = -l т . Тоді перший закон термодинаміки для проточної системи запишеться так: l із = p1 v 1 ln æ w 2 - w12 ö ÷÷ - q , l = h2 - h1 + çç 2 (11.9) 2 è ø де q – питома теплота ,що відводиться від газу в процесі його стиснення. Для адіабатичного процесу стиснення q = 0, тоді æ w2 - w12 ö ÷÷ . l = h2 - h1 + çç 2 (11.10) 2 è ø Якщо кінетична енергія газу змінюється на незначну величину, то другим членом у рівнянні (11.10) можна знехтувати: l = h2 - h1 . (11.11) Рівняння (11.11) буде слушним як для ідеального, так і реального компресорів. Для визначення питомої теплоти, що відбирається у процесі стиснення газу, можна скористатися формулами ідеального газу для ізотермічного процесу (4.22) – (4.24), для політропного процесу (4.46). Для адіабатичного dq = 0 . Також можна використовувати перший закон Рис. 11.2. До розрахунку питомої термодинаміки теплоти, яка виділяється в циліндрі q = Dh + l т , компресора, за T–s-діаграмою (11.12) де q – питома теплота, що витрачається на теплообмін з навколишнім середовищем у процесі стиснення газу у компресорі, l т – технічна робота, що є від’ємною величиною, Dh – зміна питомої ентальпії в процесі стиснення газу у компресорі. Для цих же цілей можна використати теплову T–s-діаграму (рис. 11.2). Як бачимо, в адіабатичному процесі q = 0 , оскільки площа під лінією процесу 1 - 2 ¢¢ дорівнює нулю. У політропному процесі необхідно відвести теплоту, що еквівалентна площі 1–2–s2–s1–1, або T + Tпол ö qпол = ( s1 - s2 ) æç із (11.13) ÷. 2 è ø В ізотермічному процесі величина q еквівалентна площі 1–2¢–s2¢–s1–1, або визначається за формулою (11.14) q із = Т із ( s1 - s 2¢ ) . Газ, стиснутий за адіабатою, має найвищу температуру Tад > Т пол > Т із , тому при транспортуванні він охолоджується до температури Т із , втрачає найбільшу кількість енергії, а відтак і найбільшу частину роботи стиснення. Оскільки Tпол < Т ад , то це дає можливість процес стиснення вести до більш високих тисків, не боячись перевищити кінцеву допустиму температуру. Робочий процес компресора – замкнена лінія 4–1–2–3–4 (рис. 11.1) не є термодинамічним коловим процесом або циклом. Лише процес стиснення 1– 2 є термодинамічним, що відбувається при m = const і до якого можна застосувати термодинамічні закони. Інші процеси не є термодинамічними, оскільки відбуваються за змінної маси. Під час всмоктування і нагнітання параметри газу не змінюються ( p= const , v= const ). Виходячи з цього, робочий процес компресора навіть умовно не можна розглядати як термодинамічний цикл. 11.2. ДІЙСНА ІНДИКАТОРНА ДІАГРАМА КОМПРЕСОРА Дійсна індикаторна діаграма відрізняється від розглянутої ідеальної. Пов’язано це з кількома Рис. 11.3. Дійсна індикаторна причинами. По-перше, у реально Рис. 11.4. Залежність об’ємного коефіцієнта корисної дії компресора діаграма компресора діючих компресорах у ВМТ між поршнем і кришкою циліндра, щоб від ступеня стиснення запобігти гідравлічному удару та виходячи із технологічних причин, залишається деякий вільний об’єм, який називається шкідливим Vшк . Шкідливий об’єм складає 4–10 % робочого об’єму Vроб . Наявність гідравлічних опорів у клапанах зумовлює під час всмоктування зменшення тиску порівняно з тиском навколишнього середовища р1, а у процесі нагнітання – збільшення тиску порівняно з тиском р2. На рис. 11.3 наведено дійсну індикаторну діаграму компресора. Як бачимо з діаграми, у кінці процесу нагнітання у циліндрі залишається частина газу Vшк при тиску р2. Під час зворотного ходу поршня шкідливий об’єм розширюється до об’єму Vшк + Vроз , що відповідає тиску всмоктування р1 і лише в точці 4 починається процес всмоктування свіжої порції газу. Лінія 3–4 відповідає процесу розширення шкідливого об’єму. Об’єм свіжого повітря, що надходить у циліндр, V = Vроб - Vроз . Наявність шкідливого об’єму зменшує продуктивність компресора. У зв’язку з цим вводять поняття об’ємного коефіцієнта корисної дії компресора V - V4 V = 1 . (11.15) hV1 = Vроб V1 - Vшк З підвищенням ступеня стиснення газу при постійному шкідливому об’ємі об’ємний ККД зменшується. Дійсно, при підвищенні тиску до p 2¢ (рис. 11.4) лінія нагнітання 2¢–3¢ скорочується, а процес всмоктування свіжої порції повітря починається у точці 4¢ і менший об’єм свіжої порції надходить у циліндр. Об’ємний коефіцієнт у цьому випадку визначається так: V - V4¢ h V2 = 1 . (11.16) V1 - Vшк Із порівняння двох останніх рівнянь видно, що h V2 < h V1 . Як випливає із (11.15) і (11.16), чим менший Vшк , тим більший об’ємний ККД. Чим вище кінцевий тиск, тим менший об’єм займає робоче тіло в кінці стиснення. Якщо кінцевий об’єм стиснення складає Vшк , продуктивність компресора дорівнює нулю. Дійсно, як бачимо з рис. 11.4, якщо процес стиснення вести до p2¢¢ (точка 3 ¢¢ ), то лінія нагнітання взагалі відсутня, а лінія стиснення 1 - 3¢¢ і розширення шкідливого об’єму 3¢¢ - 1 збігаються і продуктивність компресора дорівнює нулю. Крім того, при високих тисках нагнітання сильно підвищується температура газу у кінці стиснення, що може призвести до коксування або навіть самозагоряння мастил у компресорі. У зв’язку з цим в одноступеневих компресорах тиск нагнітання р2 не може перевищувати 0,8–1,0 МПа, а температура газу 180–200 °С. Об’ємний ККД компресора можна також виразити через відносний коефіцієнт шкідливого об’єму a, що дорівнює відношенню шкідливого об’єму до робочого об’єму компресора: a= V шк Vшк = . V роб V1 - Vшк (11.17) Оскільки розширення шкідливого об’єму відбувається в політропному процесі (лінія 3–4), то n p1V4n = p 2Vшк , де n – показник політропи розширення шкідливого об’єму. З останнього рівняння визначимо значення V4 і підставимо його в (11.15): 1 p n V1 - V шк æç 2 ö÷ è p1 ø . hV = V1 - Vшк (11.18) Розділивши почленно це рівняння на знаменник, дістанемо 1 V1 p n hV = - a æç 2 ö÷ . V1 - Vшк è p1 ø (11.19) Перший член рівняння (11.19) можна подати так: V1 V - V шк + V шк = 1 = 1+ a . V1 - V шк V1 - V шк (11.20) Підставивши (11.20) в (11.19), дістанемо 1 é p 1 ù p2 ö n æ æ 2 ö n - 1ú . hV = 1 + a - a ç ÷ = 1- a ê ç ÷ ê è p1 ø ú è p1 ø ë û (11.21) Робота реального компресора відрізняється від роботи ідеального компресора, що визначається за вищенаведеними формулами. Пояснюється це необоротністю термодинамічних процесів і наявністю тертя, гідравлічних опорів, втрат на дроселювання в клапанах та ін. Всі ці втрати враховуються різними коефіцієнтами. Дійсна робота компресора може бути визначена за допомогою індикаторного та механічного ККД компресора. Під індикаторним ККД компресора розуміють відношення теоретичної роботи компресора до індикаторної: L hi= 0 , (11.22) Li де L0 – теоретична робота компресора, що визначається залежно від термодинамічного процесу стиснення; Lі – індикаторна робота, тобто робота, що визначається за індикатором. Індикаторний ККД характеризує ступінь досконалості дійсних робочих процесів усередині компресора. Робота, що витрачається на подолання механічних втрат, ураховується механічним ККД hм. Тоді дійсний ККД компресора hк = hi hм . (11.23) Дійсна потужність двигуна компресора L0 N= . 3600 × 1000 × hк (11.24) Робота компресора при наявності шкідливого об’єму залишається такою ж, як і при його відсутності. Як бачимо з рис. 11.3, роботу компресора (площа 1–2–3–4) при наявності шкідливого об’єму можна визначити як різницю робіт двох ідеальних компресорів (площа 1–2–p2–р1–1 – площа 4–3–p2–p1–4). Або за рівнянням (11.3) é p n -1 ù é p n -1 ù n n n æ 2 ö n ê ú -1 Lпол = - 1ú = pV ç p1V4 êæç 2 ö÷ ÷ 1 n - 1 1 1 êè p1 ø n p ú êè 1 ø ú ë û ë û é p n -1 ù é p n -1 ù n n n n æ ö 2 = - 1ú = p1 (V1 - V4 ) êç RT1 êæç 2 ö÷ - 1ú . ÷ n -1 êè p1 ø ú n -1 êè p1 ø ú ë û ë û Отриманий вираз збігається з (11.3). Пояснюється це тим, що стиснутий в шкідливому об’ємі газ при розширенні до тиску р1 виконує роботу, що компенсує ту роботу, що була витрачена на його стиснення до р2. 11.3. БАГАТОСТУПЕНЕВЕ СТИСНЕННЯ Тільки у разі ізотермічного стиснення температура газу не підвищується, але здійснити ізотермічне охолодження газу у процесі стиснення практично неможливо. Тому для отримання газів високого тиску (до 100 МПа) і наближення процесу до ізотермічного застосовують багатоступеневе стиснення, в якому газ послідовно стискується у кількох ступенях з послідовним охолодженням до початкової температури після кожного ступеня у проміжних холодильниках. На рис. 11.5 наведено принципову схему триступеневого компресора. У першому ступені І газ стискається до тиску р2, надходить у холодильник 1, де охолоджується до початкової температури t1 і нагнітається у циліндр ІІ, де стискається до тиску р3. Після циліндра ІІ газ поступає у холодильник 2, охолоджується до температури t1 і надходить в циліндр ІІІ і т.д. На рис. 11.6 наведено індикаторну діаграму триступеневого компресора. Повітря із навколишнього середовища під тиском р1 надходить у перший циліндр (лінія всмоктування а–1). У циліндрі відбувається політропне Рис. 11.5. Принципова схема триступеневого компресора Рис. 11.6. Індикаторна діаграма триступеневого компресора стиснення повітря 1–2 до тиску р2 і температури T2 (рис. 11.6, б). Після першого циліндра повітря надходить у перший холодильник (лінія 2–б) (рис. 11.6, а). У холодильнику відбувається ізобаричне охолодження повітря (лінія 2–3), внаслідок чого його об’єм зменшується від v2 до v3. Після охолодження повітря надходить у циліндр ступеня ІІ (лінія б–3). У другому циліндрі повітря стискується за політропою 3–4 до тиску р3. Температура при цьому підвищується до T2. Після чого повітря надходить у другий холодильник 2, де охолоджується (лінія 4–5) і подається у циліндр ступеня ІІІ, де політропно стискається (лінія 5–6) до тиску р4, надходить у третій холодильник, охолоджується до початкової температури T1 і надходить споживачеві. Робота триступеневого компресора витрачається на стиснення газу від р1 до р4 і відповідає площі 1–2–3–4–5–6–8–а–1. Чим більше циліндрів і холодильників, тим ближче стиснення газу у багатоступеневому компресорі до ізотермічного (лінія 1–3–5–7). Якби газ стискався в одноступеневому компресорі за політропою 1–9, то робота процесу стиснення відповідала б площі 1–9–8–а–1, а температура підвищилась би до T9, яка значно вища, ніж T2. Таким чином, застосування багатоступеневого компресора дає виграш у роботі, який еквівалентний заштрихованій площі 2–3–4–5–6–9–2. Для забезпечення економічної роботи багатоступеневого компресора потрібно передбачати однакову різницю температур на вході і виході та однаковий ступінь стиснення повітря b для всіх циліндрів. Для політропного стиснення повітря 1–2, 3–4 і 5–6 (рис. 11.6, а) можна записати: n n n p2 æ T2 ö n -1 p3 æ T4 ö n -1 p4 æ T6 ö n -1 =ç ÷ ; ; =ç ÷ =ç ÷ . p1 è T1 ø p2 è T3 ø p3 è T5 ø (11.25) Оскільки T1 = T3 = T5 ,а T2 = T4 = T6 , то p p2 p = 3 = 4 =b, p1 p2 p3 де b – ступінь стиснення. Тоді p2 p3 p4 p = 4 = b3 . p1 p 2 p3 p1 (11.26) Отже, для триступеневого компресора b=3 p4 , p1 (11.27) b=z pк , p1 (11.28) а для z-ступеневого де рк – кінцевий тиск, під яким газ подається споживачеві. Повну роботу багатоступеневого компресора розраховують за формулою l к = zl пов , (11.29) де lпов – повна робота циліндра одного ступеня компресора, що визначається за (11.2). Теплоту, яку газ віддає циліндрові при охолодженні qц¢ , можна розрахувати за T–s-діаграмою (вона еквівалентна заштрихованій площі під кривою процесу 1–2 на рис. 11.6, б) або за формулою q ц¢ = с v n-k (Т - Т 1 ) , n -1 2 де с v – середня масова ізохорична теплоємність газу. Тоді для всієї установки q к = zq ц¢ . (11.30) (11.31) Теплоту, яку газ віддає холодильнику, можна розрахувати також за T–sдіаграмою (еквівалентна заштрихованій площі під кривою процесу 2–3 на рис. 11.6, б) або за формулою q ¢x = с p (T2 - T1 ) = ( h2 - h1 ) , (11.32) де с p – середня масова ізобарична теплоємність газу. Тоді вся теплота, що віддається газом у всіх холодильниках, q x = zq¢x . (11.33) Діаметри циліндрів ступенів стиснення зменшуються з підвищенням тиску при однаковому ході поршня. Співвідношення об’ємів циліндрів неважко знайти, оскільки точки 1,3,5 знаходяться на одній ізотермі. Тоді p1 v 1 = p 2 v 3 , звідки p v (11.34) v 3 = v1 1 = 1 . b p2 Як бачимо, багатоступеневі компресори є складним обладнанням, що дорого коштує. Тому вибір компресора, тобто кількість ступенів стиснення, здійснюють, виходячи із економічних міркувань і технічних можливостей. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ 1. Наведіть принципову схему та індикаторну діаграму одноступеневого компресора і розкажіть принцип його дії. 2. Виведіть формулу для розрахунку повної роботи компресора в політропному, адіабатичному й ізотермічному процесах. Як залежить робота від показника політропи стиснення? В якому термодинамічному процесі робота буде мінімальною? 3. Як визначаєтьcя питома теплота, що відбирається в процесі стиснення газу за Т–sдіаграмою? Чому робочий процес компресора не є термодинамічним циклом? 4. Наведіть дійсну індикаторну діаграму компресора і дайте до неї пояснення. Що таке об’ємний ККД компресора? Наведіть формулу як його визначити. Як впливає наявність шкідливого об’єму на продуктивність компресора? 5. Наведіть принципову схему та індикаторну діаграму триступеневого компресора і поясніть принцип його дії. Які переваги має багатоступеневе стиснення порівняно з одноступеневим? Як визначається необхідне число ступенів стиснення? Як розраховуються об’єми циліндрів ступенів стиснення? Розділ 12. ЦИКЛИ ПОРШНЕВИХ ДВИГУНІВ ВНУТРІШНЬОГО ЗГОРЯННЯ 12.1. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ПОБУДОВИ ЦИКЛІВ ДВИГУНІВ ВНУТРІШНЬОГО ЗГОРЯННЯ Під двигунами внутрішнього згоряння (ДВЗ) розуміють теплові машини, в яких передавання теплоти робочому тілу відбувається безпосередньо у двигуні завдяки згорянню палива. Робочим тілом у таких двигунах є суміш повітря з газом або рідким легкозаймистим паливом (бензин, гас, солярове масло, спирти тощо). У зв’язку з тим, що у таких двигунах паливо згоряє безпосередньо у двигунах, температура робочих тіл досягає великих значень (порядка 2000 °С) і таку суміш можна вважати ідеальним газом. Двигуни внутрішнього згоряння поділяються на поршневі, газові турбіни і реактивні двигуни. Поршневі двигуни внутрішнього згоряння є найбільш поширеними. Вони широко застосовуються в автомобільному, залізничному і водному транспорті, у сільському господарстві (комбайни, трактори та ін.), у переробних галузях харчової промисловості тощо. З термодинамічної точки зору, двигун внутрішнього згоряння мав би працювати за найбільш ефективним циклом Карно (рис. 12.1). Але здійснення цього циклу у ДВЗ наштовхнулось на непереборні перешкоди. Так, за циклом Карно, підвід і відвід теплоти необхідно здійснювати за ізотермічних умов (ізотерми 3–4 і 1–2). Для цього передавання теплоти робочому тілу повинне здійснюватися від гарячого джерела з постійною температурою T1, тобто він повинен мати нескінченно велику теплоємність. Теж саме відноситься і до холодного джерела. Параметри точки 3 визначаються температурою горіння палива T3= T1@1800 °С (для бензинових двигунів) і тиском р3. У точці 1 температура відповідає температурі навколишнього середовища T0 @ 25...30 °С, а тиск дорівнює тиску навколишнього середовища р1 = р0 @ 0,1 МПа. За таких даних розрахункове значення р3 буде більше 290 МПа, що вимагає створення металоємних двигунів. У сучасних двигунах р3 @ 1,5...10 МПа. Розширення та стиснення робочої суміші у двигунах внутрішнього згоряння здійснюється за ізотермою та адіабатою, їхній нахил в координатах p-v є невеликим і приблизно однаковим, а перепад тисків дуже великий (від р3 @ 290 до р1 @ 0,1 МПа). Цикл розтягнутий вздовж осі v. Для даних умов ступінь v3 розширення @ 400 . Це вимагає створювання масивних циліндрів з v1 надзвичайно великим ходом поршня. В сучасних двигунах ступінь стиснення суміші в циліндрах не перевищує 16...18. Тому в ДВЗ необхідно використовувати такі цикли, які б були вільні від недоліків циклу Карно і використовували його переваги. Але ДВЗ мають ряд суттєвих переваг порівняно з другими тепловими двигунами. У зв’язку з тим, що в ДВЗ гаряче джерело теплоти знаходиться в самому двигуні, то відпадає необхідність у наявності великих теплообмінних поверхонь, крізь які здійснюється теплопередача робочому тілу. Це дає можливість створювати дуже компактні ДВЗ. Рис. 12.1. Діаграма циклу Температура робочого тіла у ДВЗ Карно безперервно змінюється і тепловиділення здійснюється не через стінки циліндра, а в самому об’ємі суміші, тому граничне значення температури може досягати великих значень. Крім того, стінки циліндрів і головка блоку циліндрів охолоджуються за вимушеною циркуляцією, тому це дає можливість розширити температурний рівень. Дійсні цикли ДВЗ відрізняються від циклу Карно. Цикл Карно є тільки теоретичним циклом і, визначивши максимальні значення термічного ККД, можна порівнювати дійсні ККД ДВЗ з теоретичними, чим визначається його практичне значення. 12.2. ПРИНЦИП ДІЇ ПОРШНЕВИХ ДВИГУНІВ ВНУТРІШНЬОГО ЗГОРЯННЯ Ступінь термодинамічної досконалості циклу залежить від процесів, з яких складається цикл. Як показали подальші дослідження, найбільш доцільно будувати цикл таким, щоб теплоту підводити в ізохоричному, ізобаричному або змішаному (ізохорично-ізобаричному) процесах. У зв’язку з цим бувають такі цикли: 1) з ізохоричним підведенням теплоти (цикл Отто); 2) з ізобаричним підведенням теплоти (цикл Дізеля); 3) із змішаним підведенням теплоти (цикл Трінклера). У циклі з ізохоричним підведенням теплоти робоча суміш готується у зовнішньому пристрої, який називається карбюратором. Паливом є бензин, спирт або газ. Процес згоряння такої суміші відбувається дуже швидко. У циклі з ізобаричним підведенням теплоти робоча суміш готується безпосередньо у циліндрі за допомогою додаткового компресора. Подача палива і процес згоряння у таких двигунах відбуваються поступово при приблизно постійному тиску. У циклах змішаного підведення теплоти горюча суміш також готується безпосередньо у циліндрі за допомогою паливного насоса. За кількістю ходів поршня, протягом яких відбувається робочий цикл, ДВЗ поділяють на чотири- і двотактні. Розглянемо принцип дії та індикаторну діаграму двигуна внутрішнього згоряння (рис. 12.2). Основним елементом двигуна внутрішнього згоряння є циліндр Ц, усередині якого поршень П здійснює зворотно-поступальний рух. За допомогою кривошипно-шатунного механізму Рис. 12.2. Схема і індикаторна Кр енергія передається споживачеві. Під час діаграма двигуна внутрішнього руху поршня з верхньої мертвої точки зліва згоряння направо відкривається всмоктувальний клапан Вс, і за допомогою спеціального газорозподільного механізму горюча суміш подається у циліндр. Цей процес зображається на індикаторній діаграмі лінією 0–1 (перший такт). Оскільки у всмоктувальному клапані існує гідравлічний опір, то тиск всмоктування буде дещо менший, ніж тиск навколишнього середовища р0. У нижній мертвій точці всмоктувальний клапан закривається і під час руху поршня справа наліво (другий такт) робоча суміш стискається (процес 1–2). Коли поршень знаходиться поблизу ВМТ, у циліндр за допомогою спеціальної електричної свічки Св подається іскра. Суміш миттєво загоряється і тиск різко зростає, практично за постійного об’єму (процес 2–3). Під дією тиску поршень рухається зліва направо (третій такт) і газ, розширюючись (процес 3–4), виконує роботу (робочий хід). У крайньому правому положенні відкривається вихлопний клапан Вих і тиск різко падає (процес 4–1). Наступний рух поршня вліво (четвертий такт) виштовхує відпрацьовану суміш. З наступним рухом поршня направо всі процеси повторюються. Таким чином, робочий цикл ДВЗ здійснюється за чотири ходи поршня або за два повних оберти колінчастого вала і називається чотиритактним. Робочий цикл ДВЗ відрізняється від термодинамічного циклу, що складається тільки з термодинамічних процесів. У робочому циклі ДВЗ процеси всмоктування і виштовхування відбуваються за постійних параметрів суміші і змінній масі, тому вони не є термодинамічними. Робочий цикл ДВЗ є розімкненим. Після спрацювання робоча суміш видаляється, а на її місце надходить нова порція. Оскільки температура робочої суміші внаслідок згоряння палива досягає високих значень, то необхідно інтенсивно охолоджувати циліндр за допомогою проточної води у спеціальних каналах (водяна оболонка) або повітря. Між робочою сумішшю і стінками циліндра відбувається інтенсивний теплообмін за значного градієнта температур, що призводить до втрати працездатності теплоти. Тому дійсні процеси у ДВЗ є необоротними і провести термодинамічний аналіз роботи двигуна можливо лише за певних спрощень. Для здійснення термодинамічного аналізу ДВЗ введемо такі допущення: ¨ процеси горіння суміші і вихлопу спрацьованих газів замінюють процесами підвода і відвода теплоти; ¨ процеси стиснення і розширення відбуваються дуже швидко, робоче тіло не встигає обмінятися теплотою, тому їх вважають адіабатичними; ¨ оскільки температура робочої суміші висока, то вона вважається ідеальним газом; ¨ цикл відбувається за постійної маси робочої суміші; ¨ роботи всмоктування і виштовхування робочої суміші незначні порівняно з додатною роботою циклу (рис. 12.2, а), крім того вони мають різні знаки, тому ними можна знехтувати. Прийняті допущення дають можливість замінити реальні процеси двигуна ідеальним термодинамічним циклом і здійснити його аналіз, що з деяким наближенням можна застосовувати і до реального двигуна. 12.3. ТЕРМОДИНАМІЧНИЙ АНАЛІЗ ЦИКЛУ З ІЗОХОРИЧНИМ ПІДВЕДЕННЯМ ТЕПЛОТИ Вперше у 1862 р. цей цикл був запропонований французьким інженером Бо-де-Роша, а в 1876 р. німецький інженер Н. А. Отто побудував за цією ідеєю бензиновий двигун, який названо його ім’ям. На рис. 12.3 наведено ідеальну індикаторну діаграму такого циклу у р-v- і T–s-координатах. На діаграмі процес стиснення робочої суміші відбувається за адіабатою 1–2, процес підведення теплоти q1 – в ізохоричному процесі 2–3, процес розширення робочої суміші (робочий хід) – в адіабатичному процесі 3–4. Відведення теплоти q2 холодному джерелу здійснюється в ізохоричному процесі 4–1. Визначимо термічний коефіцієнт корисної дії такого циклу. Як відомо, для будь-якого циклу теплової машини ht= lц q1 - q2 q = 1- 2 = . q1 q1 q1 (12.1) Рис. 12.3. Ідеальна індикаторна діаграма циклу двигуна внутрішнього згоряння при ізохоричному підведенні теплоти Кількість теплоти q1, підведеної в ізохоричному процесі, визначимо за формулою q1 = c v (T3 - T2 ) , (12.2) де cv – масова теплоємність робочої суміші при постійному об’ємі; T2, T3 – відповідно температури робочої суміші на початку і в кінці процесу підведення теплоти. За аналогічною формулою визначається кількість теплоти q2: q2 = c v (T4 - T1 ) , (12.3) де T4, T1 – відповідно температури робочої суміші в кінці процесу розширення робочої суміші і при вихлопі. Підставляючи q1 і q2 у (12.1), дістанемо ht = 1 - c v (T4 - T1 ) T - T1 . = 1- 4 c v (T3 - T2 ) T3 - T2 (12.4) Для спрощення цього виразу запишемо температури T2, T3 i T4 через T1. Для того, щоб знайти зв’язок між T1 i T2, використаємо рівняння адіабати v T1 v 1k -1 = T2 v 2k -1 Þ T2 = T1 æç 1 ö÷ v è 2ø Величина k -1 . v1 = e називається ступенем стиснення, тоді v2 Т 2 = Т 1 × e k -1 . Для ізохоричного процесу 2–3 (12.5) T3 p = 3 . T2 p2 p3 = l називається ступенем p2 ізохоричного підвищення тиску. Тоді T3 = T2 l = T1 e k -1l . Величина Зв’язок між температурами T3 i T4 знайдемо з рівняння адіабати 3–4: Рис. 12.4. Залежність термічного коефіцієнта корисної дії циклу Отто від ступеня стиснення ε і показника адіабати T3v 3k -1 = T4 v 4k -1 ; æv ö T4 =T3 ç 3 ÷ è v4 ø k -1 æv ö =T3 ç 2 ÷ è v1 ø k -1 =T3 1 e k -1 . Підставляючи значення T3 із (12.6), дістанемо T4 = T1 l e k -1 1 = T1 l . e k -1 (12.7) Підставляючи значення температур T2, T3 i T4 у рівняння (12.4), дістанемо h t= 1- T1l - T1 T1l e k -1 - T1 e k -1 . Після спрощення маємо h t= 1- 1 e k -1 . (12.8) З рівняння (12.8) можна зробити висновок, що термічний ККД двигунів з ізохоричним підведенням теплоти залежить від ступеня стиснення e і фізичних властивостей суміші k. Із збільшенням e і k коефіцієнт корисної дії збільшується. На рис. 12.4 наведена залежність ht = f (e, k) для ідеального циклу Отто. Однак необхідно враховувати, що із збільшенням ступеня стиснення температура суміші підвищується і за певного значення може досягти температури самозаймання. Це негативно впливає на роботу двигуна, оскільки передчасне самозаймання робочої суміші, коли поршень ще не дійшов до ВМТ, зменшує корисну роботу циклу. Це явище називається детонацією. У крайньому випадку може відбутися аварія двигуна – вихід із ладу кривошипно-шатунного механізму. У зв’язку з цим ступінь стиснення у сучасних карбюраторних двигунах залежно від якості палива не перевищує 8...10. Корисна робота циклу визначається як різниця між адіабатичними роботами розширення і стиснення: l ц = l роз - l ст = ( ) ( ) 1 1 p v - p4 v 4 p v - p1 v 1 . k -1 3 3 k -1 2 2 Після перетворень і спрощень lц = ( ) p1v 1 e k - e (l - 1) (k - 1)(e - 1) . (12.9) Як бачимо із (12.9), робота циклу залежить від початкових параметрів p1, v1, ступеня стиснення e, ступеня ізохоричного підвищення тиску l і фізичних властивостей суміші k. 12.4. ТЕРМОДИНАМІЧНИЙ АНАЛІЗ ЦИКЛУ З ІЗОХОРИЧНО-ІЗОБАРИЧНИМ ПІДВЕДЕННЯМ ТЕПЛОТИ Бажання підвищити ККД циклу Отто завдяки збільшенню ступеня стиснення e спонукало до створення двигунів, де замість легкозаймистої суміші стискається повітря. Паливо подається у циліндр спеціальним компресором, коли поршень перебуває поблизу ВМТ. Паливо подають так, що процес згоряння відбувається приблизно при постійному тиску, а займання палива – від високої температури стиснутого повітря. Уперше цей цикл запропонував німецький інженер Дізель, і тому цикл носить його ім’я. Наявність спеціального компресора ускладнювало влаштування двигуна, тому у подальших дослідженнях російський інженер Г. Трінклер у 1904 р. запропонував безкомпресорний дизель. У безкомпресорних двигунах низькосортне паливо під високим тиском Рис. 12.5. Ідеальна індикаторна діаграма циклу та схема двигуна внутрішнього згоряння при змішаному підведенні теплоти подається у циліндр за допомогою паливного насоса. Паливний насос більш економічний і надійний у роботі, ніж громіздкий компресор. У даний час компресорні дизелі не випускаються. Процес згоряння палива у таких двигунах відбувається при v = const і p = const. На рис. 12.5 наведено схему та ідеальну індикаторну діаграму циклу Трінклера у p–v- i T–s- діаграмах. У процесі адіабатичного стиснення повітря (лінія 1–2) температура його на 200...300 °С перевищує температуру самозаймання палива. У момент, коли поршень П перебуває поблизу ВМТ, паливо насосом подається у форсунку, що розпилює його у форкамері Ф. Форкамеру вузьким каналом з’єднано з циліндром Ц. Під дією високої температури горюча суміш загоряється у форкамері, частина палива практично миттєво згоряє при v = const (лінія 2–3), внаслідок чого тиск різко підвищується і більша частина палива виштовхується у циліндр. Процес горіння продовжується при p = const (лінія 3–4). Подальше адіабатичне розширення робочої суміші (лінія 4–5) забезпечує робочий хід поршня. Коли поршень досягає крайнього правого положення, відкривається вихлопний клапан Вих, різко падає тиск і відпрацьовані гази викидаються у навколишнє середовище (лінія 5– 1). Як бачимо, цикл Трінклера також є чотиритактним і виконується за повних два оберти колінчастого валу. У таких двигунах використовується важке рідинне паливо (дизельне). Визначимо термічний коефіцієнт корисної дії циклу. Як видно з викладеного вище, у даному циклі теплота підводиться як в ізохоричному q¢1 , так і в ізобаричному процесах q1¢¢ . Тоді підведена теплота циклу q1 = q1¢ + q1¢¢ = c v (T3 - T2 ) + c p (T4 - T3 ) . Відведена теплота циклу q2 = c v (T5 - T1 ) . Тоді ht = 1 - q2 c v (T5 - T1 ) = 1= q1 c v (T3 - T2 ) + c p (T4 - T3 ) = 1- T5 - T1 (T3 - T2 ) + k (T4 - T3 ) . (12.10) Виразимо температури у характерних точках через T1. Для адіабатичного процесу стиснення 1–2 температуру T2 визначимо так, як і для циклу Отто: Т 2 = T1 e k -1 . (12.11) Для ізохоричного підведення теплоти температура T3 знаходиться аналогічно: Т 3 = T2 l = T1 e k -1l . (12.12) Для ізобаричного підведення теплоти у процесі 3–4 температуру T4 визначимо із рівняння ізобари T4 = v4 =r, T 3 v3 де r – ступінь попереднього ізобаричного розширення робочої суміші. Тоді Т 4 = T3 r = T1 e k -1l r . (12.13) Тепер знайдемо зв’язок між температурами T4 i T5 в адіабатичному процесі розширення 4–5. Для цього використаємо рівняння адіабати T 5 = æç v 4 ö÷ T 4 è v5 ø k -1 æv rö =ç 3 ÷ è v1 ø k -1 æv rö =ç 2 ÷ è v1 ø k -1 r = æç ö÷ èeø k -1 . Тоді T5 = T4 r k -1 r k -1 e e k -1 = T1 e k -1 l r k -1 = T1 l r k . (12.14) Підставимо одержані вирази для температур T2, T3, T4 i T5 у рівняння (12.10): h t= 1- T1 l r k - T1 ( T1 e k -1 l - T1 e k -1 + k T1 e k -1 l r - T1 e k -1 l ) . Після перетворень і спрощень h t= l rk - 1 e k -1 [(l - 1) + k l (r - 1)] . (12.15) Отже, термічний коефіцієнт ht циклу Трінклера також залежить від ступенів стиснення e, ізохоричного підвищення тиску l, попереднього розширення r і фізичних властивостей робочої суміші k. Із збільшенням значень e і l та зменшенням r термічний коефіцієнт ht збільшується. Для двигунів, що працюють за змішаним циклом, e = 14...18, l = 1,2...1,7 і r = 1,1...1,5. Цикл Трінклера має узагальнюючий характер. Дійсно, якщо в циклі немає ізобаричного розширення суміші (v3 = v4 і r = 1), то цикл Трінклера перетворюється у цикл Отто. Підставляючи у (12.15) r = 1, дістанемо h t=1- l -1 = 1 - e k -1 , e (l - 1) k -1 що відповідає термічному ККД циклу Отто. 12.5. ПОРІВНЯЛЬНИЙ АНАЛІЗ ЕФЕКТИВНОСТІ ЦИКЛІВ ПОРШНЕВИХ ДВИГУНІВ ВНУТРІШНЬОГО ЗГОРЯННЯ З термодинамічної точки зору найефективнішим є цикл, у якому термічний коефіцієнт найбільший. Але порівняння економічної ефективності циклів можна здійснити лише тоді, коли певні параметри процесів будуть однаковими. Спочатку визначимо ефективність розглянутих циклів за умови, що початкові параметри робочої суміші (р1, v1), ступінь стиснення e і кількість відведеної теплоти q2 будуть однаковими. Для аналізу ефективності циклів наведемо ідеальні індикаторні діаграми у р–v- і Т–sкоординатах (рис. 12.6, а, б). Як видно із Т–s-діаграми, за даних умов найбільша кількість теплоти q1 підводиться в ізохоричному циклі (площа а–2–3–с) і менша у змішаному циклі 1 - 2 - 2¢ - 3¢ - 4 - c . Отже, за однакових ступенів стиснення найбільш ефективним є цикл Отто. Але, як бачимо із р–v-діаграми, в ізохоричному процесі підведення теплоти тиск в циліндрі різко зростає (лінія 2–3). Це викликає підвищені вимоги щодо міцності, двигун обвантажується, підвищується його ціна і зменшується його ефективність. Але порівняння ефективності циклів за ступенем стиснення слушне лише у межах допустимих e для ізохоричних циклів. Як відомо, змішані цикли підведення теплоти дають можливість використовувати значно більші ступені стиснення e . Тому доцільно порівняти цикли за найбільш вигідніших для них умовах роботи і при однакових значеннях відведеної теплоти q2. Як бачимо із рис. 12.7, за таких умов найбільш ефективним є змішаний цикл підведення теплоти (площа а–2тр–3 тр–б > площі а–2от–3от–б), тому h тр > hот . Рис. 12.6. Порівнювальні характеристики ефективності роботи різних циклів ДВЗ за ε і q2 = const (12.16) Отже, термічний ККД безкомпресорних дизелів є найбільш високим. Тому у наш час дизельні двигуни випускаються тільки зі змішаним циклом підведення теплоти. Проте ККД реальних двигунів завжди буде менше термічного ККД циклу. Пояснюється це кількома причинами: ¨ необоротністю термодинамічних процесів, що проходять у реальних двигунах; ¨ на виконання процесів всмоктування і виштовхування робочої суміші витрачається робота, що не враховується у теоретичних циклах; ¨ процеси підведення і відведення теплоти не збігаються з теоретичними; Рис. 12.7. Порівнювальні ¨ неадіабатичність процесів стиснення і характеристики ефективності різних циклів ДВЗ за найвигідніших для розширення; ¨ втрати теплоти двигуном при його них умов роботи охолодженні, втрати на тертя, гідравлічний опір у клапанах та ін. У зв’язку з цим ефективність роботи реальних двигунів визначають через ефективний коефіцієнт корисної дії hеф, який дорівнює відношенню ефективної роботи Lеф до повної теплоти згоряння палива у циліндрі Q: hеф = Lеф . Q (12.17) Ефективний коефіцієнт корисної дії включає в себе термодинамічні втрати теплоти h t , втрати, викликані необоротністю термодинамічних процесів hi , механічні втрати на поборювання сил тертя hм : hеф = ht hi hм . (12.18) Індикаторний коефіцієнт корисної дії hi дорівнює відношенню реальної роботи двигуна Lі , що визначається за індикаторною діаграмою, до теоретичної роботи циклу Lц: L hi = i . (12.19) Lц Механічний ККД визначається із співвідношення hм = Lеф . Li (12.20) Необхідно відзначити, що на вибір двигуна впливає не тільки ефективність його роботи, а й інші фактори (умови роботи та експлуатації, вид палива, металоємність та ін.) Карбюраторні двигуни менш металоємні, компактні порівняно з дизелями і широко застосовуються у легковому автомобільному транспорті. Дизелі більш економічні і їх доцільно використовувати у потужних двигунах. Вдосконалення конструкції дизельних двигунів в останній час дають можливість для їх застосовування у легковому транспорті. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ 1. Які теплові установки відносяться до двигунів внутрішнього згоряння? Чому неможливо застосувати цикл Карно у ДВЗ? 2. Поясніть принцип дії ДВЗ. Які ви знаєте цикли ДВЗ? Які допущення приймають для проведення термодинамічного аналізу роботи ДВЗ? 3. Наведіть схему й індикаторну діаграму циклу ДВЗ з ізохоричним підведенням теплоти. Виведіть формулу для розрахунку термічного ККД такого циклу і проаналізуйте її. Що таке детонація і як вона впливає на роботу двигуна? 4. Наведіть схему й індикаторну діаграму циклу ДВЗ з ізохорично-ізобаричним підведенням теплоти. Виведіть формулу для розрахунку ККД такого циклу. Як впливає ступінь об’ємного стиснення e, ізохоричного підвищення тиску l і ізобаричного розширення r на ККД циклу? 5. Проведіть порівняльний аналіз циклів ДВЗ з ізохоричним та ізохорично-ізобаричним підведенням теплоти. Які переваги і недоліки мають ці цикли? Розділ 13. ЦИКЛИ ГАЗОТУРБІННИХ УСТАНОВОК 13.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА ПРИНЦИПИ ДІЇ ГАЗОТУРБІННИХ УСТАНОВОК Наявність зворотно-поступального руху поршня в двигунах внутрішнього згоряння вимагає значних зусиль на подолання інерційних сил і не дає можливості створювати двигуни великої одиничної потужності. Крім того, ДВЗ є двигунами періодичної дії, протягом циклу яких різко змінюються тиск і температура робочого тіла, внаслідок чого вироблена потужність також змінюється періодично. Бажання позбавитися недоліків ДВЗ привели до створення газотурбінних установок (ГТУ). Під газотурбінною розуміють установку, в якій робочим тілом є газоподібні продукти, а двигуном служить турбіна. Цикли ГТУ складаються із тих же термодинамічних процесів, що і цикли ДВЗ, але вони виконуються в різних елементах установки. ГТУ є двигунами безперервної дії. Швидкість руху робочого тіла в газотурбінних установках значно вища (в 50–100 разів), ніж у ДВЗ. Це дає можливість через такі установки передавати значно більші енергетичні потоки і створювати відносно малогабаритні ГТУ великої енергетичної потужності. Розрізняють ГТУ відкритого та закритого типу. В установках закритого типу робоче тіло здійснює коловий процес. У відкритих установках робочим тілом служать продукти згоряння палива, які після спрацювання в циклі направляються в навколишнє середовище. Перевагою закритих установок є те, що практично немає обмежень щодо вибору робочого тіла. Крім того, коловий процес може відбуватися і при підвищених тисках. Тиск газу при всмоктуванні в компресор може бути вищий за атмосферний. З підвищенням тиску ККД установки підвищується. Зміна тисків робочого тіла в циклі дає змогу простіше регулювати потужність установки. Перевагою ГТУ відкритого типу є їх простота, швидкий запуск в роботу, менша вартість та інше. Недолік – забруднення поверхонь турбіни продуктами згоряння палива, що вимагає використання високосортних рідкого або газоподібного палив. Зараз найбільш розповсюджені ГТУ відкритого типу. Установки закритого типу є перспективними для використання спільно з ядерними реакторами, де робочим тілом служить гелій. Оскільки температура робочого тіла ГТУ досягає значних величин, то термічний ККД їх високий. Це робить такі установки дуже перспективними. Однак однією із серйозних проблем подальшого широкого застосування ГТУ є проблема створення жароміцних матеріалів, які б застосовувались на самих відповідальних елементах конструкції установки, що працюють під постійною дією високої температури. Принципова схема газотурбінної установки відкритого типу наведена на рис. 13.1. Паливо в необхідній кількості із живильного баку ЖБ паливним насосом ПН подається у Рис. 13.1. Принципова схема газотурбінної форсунку Ф, розпилюється і установки надходить до камери згоряння КЗ. Повітря стискується компресором КМ від атмосферного p1 до тиску p2 , розбивається на два потоки і надходить до камери згоряння. Первинний потік повітря I надходить безпосередньо в зону горіння і забезпечує повноту згоряння палива. Вторинний потік II подається на стінки камери згоряння і охолоджує їх, а потім змішується з продуктами згоряння. Кількість вторинного повітря розраховують так, щоб підтримувати на виході з камери згоряння максимально допустиму температуру продуктів згоряння. Процес горіння відбувається при постійному тиску p2 . Гази мають високу температуру (1800...2000 °С), тому їх необхідно охолоджувати, щоб запобігти швидкому руйнуванню соплових і робочих лопаток турбіни. Сучасні жаротривкі сталі і сплави дають можливість довгий час працювати при температурах 750...850 °С. При організації газового або рідинного охолодження турбіни температура газу на вході може бути підвищена до 1300 °С. Продукти згоряння надходять до соплового апарата газової турбіни ГТ, де внаслідок адіабатичного розширення ентальпія потоку перетворюється в кінетичну енергію. Гази розганяються до високих швидкостей і направляються на робочі лопатки ротора турбіни. Форма лопаток і напрямок руху газового потоку розраховується так, щоб забезпечити максимальне перетворення кінетичної енергії в механічну. Зусилля, що викликані поворотом струменя в каналах робочих лопаток, обертають ротор турбіни. Перетворення механічної енергії в електричну відбувається в електрогенераторі Г. При проходженні через газову турбіну температура і тиск робочого тіла знижується. Причому, тиск знижується до атмосферного і перепад тисків p2 - p1 повністю використовується на отримання технічної роботи l т . Більша частина цієї роботи витрачається на привід компресора lк і лише різниця l т - lк – на виробництво електроенергії або на інші цілі. Робота паливного насоса невелика і нею можна знехтувати. Відзначимо, що паливний насос, компресор, турбіна і електродвигун знаходяться на одному валу. Газотурбінні установки застосовують у багатьох галузях: в енергетиці, транспорті, для приводу установок на магістральних трубопроводах та ін. В енергетиці ГТУ використовують для виробки електроенергії як в стаціонарних умовах, так і в пересувних установках. Враховуючи, що ГТУ легко запускаються в роботу і швидко виходять на робочий режим, їх застосовують у потужних енергосистемах як пікові і аварійні. В авіації ГТУ використовують в авіації як головні і форсажні двигуни в турбореактивних і турбогвинтових літаках, на суднах морського флоту; як двигуни локомотивів. З розвитком транспортування газу та нафтопродуктів магістральними трубопроводами ГТУ застосовують для приводу відцентрованих нагнітачів та насосів компресорних станцій, а також у технологічних схемах металургійних, хімічних, нафтопереробних і інших комбінатах. Залежно від умов горіння палива в камері згоряння турбіни поділяються на турбіни з горінням при постійному тиску і при постійному об’ємі. Для проведення термодинамічного аналізу роботи газотурбінної установки зробимо ряд припущень. Так, процес стиснення повітря в компресорі вважається адіабатичним. Процес горіння палива замінюється підведенням теплоти q1 . Продукти горіння – це ідеальний газ. Процес розширення продуктів згоряння в турбіні вважається адіабатичним. Процес охолодження газів замінюється відведенням теплоти q2 . Всі процеси вважаються оборотними і цикли будуються для 1 кг речовини. 13.2. ЦИКЛИ ГТУ З ПІДВЕДЕННЯМ ТЕПЛОТИ ПРИ ПОСТІЙНОМУ ТИСКУ Враховуючи наведені вище спрощення, розглянемо цикл ГТУ, схема якої зображена на рис. 13.1, в p - v - і T - s -координатах (рис. 13.2). Стиснення повітря в компресорі від атмосферного p1 до p2 відбувається за адіабатою (лінія 1–2). Процес підведення теплоти q1 здійснюється за ізобаричних умов (лінія 2–3). Робоче тіло розширюється в турбіні від p2 до тиску навколишнього середовища без теплообміну з навколишнім середовищем (лінія 3–4 – виконання роботи). Ізобаричне відведення теплоти q2 (лінія 4–1) відсутнє у реальному циклі, тому такі установки називаються ГТУ розімкнутого типу. Визначимо термічний ККД цього циклу. Використаємо вираз для теплових машин у загальному вигляді Рис. 13.2. Цикл ГТУ з підведенням теплоти при p = const l q -q q ht = ц = 1 2 = 1 - 2 . q1 q1 q1 (13.1) Оскільки підведення і відведення теплоти відбувається в ізобаричних процесах, то q1 = c p (T3 - T2 ) , q2 = c p (T4 - T1 ). (13.2) Підставляючи (13.2) в (13.1), одержимо Т4 -1 Т 4 - Т1 Т1 Т1 ht = 1 = 1=1. c р (Т 3 - Т 2 ) Т3 - Т 2 Т 2 Т3 -1 Т2 c р (Т 4 - Т1 ) (13.3) Спростимо одержаний вираз. Для адіабатичного процесу 1–2 запишемо співвідношення T2 æ v 1 ö =ç ÷ T1 è v 2 ø k -1 = e k -1 або k -1 k -1 T2 æ p1 ö k ÷ =b k . =ç T1 çè p2 ÷ø Тоді (13.4) e k -1 k -1 =b k , де e – ступінь стиснення; b – ступінь підвищення тиску. Рівняння адіабати 3 - 4 T3 æ v 4 ö =ç ÷ T4 è v 3 ø k -1 k -1 æp ö k =ç 3÷ . è p4 ø (13.5) Оскільки p2 = p3 , а p1 = p4 , то із останніх рівнянь k -1 T2 T3 T T v v = ® 4 = 3 = b k , а 1 = 4 = e, v 2 v3 T1 T4 T1 T2 (13.6) тобто ступені адіабатичного стиснення і розширення однакові. Підставляючи (13.6) в (13.3), дістанемо h = 1- 1 e k -1 k -1 b k k -1 b k = 1- 1 1 = 1 - k -1 . e k -1 b k (13.7) Як бачимо із (13.7), термічний ККД ГТУ з ізобаричним підведенням теплоти залежить від ступеня стиснення e або ступеня підвищення тиску b і фізичних властивостей робочого тіла k . Із збільшенням e чи b термічний ККД ідеального циклу ГТУ завжди росте. Пояснюється це тим, що із збільшенням ступеня стиснення збільшується температура газу в кінці стиснення T2¢¢ і відповідно температура на вході в турбіну T3¢¢ . Це свідчить про те, що в процесі 2¢¢ - 3¢¢ (див. рис. 13.2, б) підводиться більша кількість теплоти (q1¢¢ > q1 ) і при однаковому q2 термічний ККД циклу зростає. Термічний ККД циклу можна також визначити із T - s -діаграми як відношення (q1 - q2 ) / q1 або через відношення площі 1 - 2 - 3 - 4 - 1 до площі s1 - 2 - 3 - s4 - s1 . При необхідності зменшити навантаження установки підводять меншу кількість теплоти q¢1 і цикл приймає вигляд 1- 2 - 3¢ - 4¢ (рис. 13.2). Якщо при цьому ступінь стиснення не змінюється, то і термічний ККД теж не змінюється. Термічний ККД циклу ГТУ з ізобаричним підводом теплоти визначається за тією ж формулою, що і ККД циклу ДВЗ з ізохоричним підведенням теплоти. При однакових e і k термічні ККД будуть однаковими. Але в циклах ГТУ максимальне значення e значно менше, ніж у ДВЗ. Корисна робота циклу ГТУ l ц є різницею між роботою адіабатичного розширення газу в турбіні l т і роботою адіабатичного стиснення в компресорі lк : lц = l т - lк . (13.8) Роботи l т і l к можна розрахувати за формулою (11.4): k -1 æ ö æ ç р 4 ö k ö÷ k 1 ÷ æ ç , lт = RT 1 - ç ÷ ÷÷ = c р Т 3 ç 1 - k -1 ÷ k - 1 3 çç è р 3 ø ç ÷ k ø è è b ø (13.9) æ р kk-1 ö ö æ k -1 ö k çæ ÷ - 1 ÷ = c р Т 1 çç b k - 1 ÷÷ . lк = RT1 ç ç 2 ÷ k -1 ç è р1 ø ÷ ø è è ø (13.10) Тоді æ ö æ ö k -1 æ kk-1 ö ö ÷ . (13.11) ç ç T1 æ k 1 ÷ 1 ç ÷ ÷ ç - 1 = c р Т 3 ç 1 - k -1 b -1 ÷ l ц = с р Т 3 ç 1 - k -1 ÷ - c р Т 1 b ç ÷ ÷ T3 çè ÷ ç ç è ø ø÷ k k è b ø è b ø Як бачимо із (13.9) і (13.10), при збільшенні b збільшується величина робіт турбіни і компресора. Однак робота компресора зростає швидше, ніж робота турбіни. Це свідчить про те, що існує якесь оптимальне значення відношення p2 / p1 , при якому робота циклу буде максимальною. Знайдемо ці співвідношення із умови ¶lц / ¶l = 0, k -1 k -1 p k æ ö 2 де l = b k = . ÷ ç è p1 ø Після диференціювання знаходимо k -1 Т3 æр ö k = l опт = ç 2 ÷ . (13.12) Т1 è р1 ø Підставивши цей вираз у (13.11), знайдемо максимальну роботу циклу l цmax = c р Т 3 ( l опт - 1) 2 . (13.13) Отриманий вираз для визначення оптимальної роботи слушний лише для ідеального циклу ГТУ при ізобаричному підведенні теплоти. Але він дає можливість отримати максимальну економічність реальних установок. Розглянемо тепер з деякими спрощеннями реальний цикл ГТУ. Він буде відрізнятися від ідеального тим, що процеси, які відбуваються в циклі, будуть Рис. 13.3. Реальний цикл ГТУ з підведенням теплоти при p = const Рис. 13.4. Залежність термічного та внутрішнього ККД циклу ГТУ від ступеня стиснення необоротними. Зміною тисків під час підведення і відведення теплоти знехтуємо. Адіабатичний процес стиснення газу в компресорі буде здійснюватися не за ізоентропою 1 - 2 ¢ (рис. 13.3), а за лінією 1 - 2 , тобто внаслідок необоротності ентропія і температура робочого тіла в кінці стиснення зростають відносно оборотного процесу. Аналогічно процес розширення відбувається не за ізоентропою 3 - 4 ¢ , а за лінією 3 - 4 , тобто за зростаючої ентропії, і кінцева температура T4 > T4¢ . Як бачимо із рис. 13.3, тільки врахування необоротності реальних процесів стиснення і розширення призводить до зменшення підведеної кількості теплоти q1 на величину площі s1 - 2¢ - 2 - s 2 - s1 , а кількість відведеної теплоти q2 навпаки збільшується на величину площі s 3 - 4 ¢ - 4 - s 4 - s 3 . Таким чином, врахування необоротності процесів стиснення і розширення призводить до зменшення термічного ККД циклу. Чим більше відношення тисків b , тим більше буде зменшуватись q1 і збільшуватиметься q2 , тим самим буде зменшуватись корисна робота циклу lц = q1 - q2 і його ККД. Роботу реального циклу можна розрахувати як різницю між дійсними роботами турбіни l т.д і компресора lк.д та паливного насоса lн.д : l ц.д = l т.д - l к.д - l н.д . (13.14) Враховуючи відношення витрати повітря до витрати газу x = mп / mг , дійсна робота циклу визначається так: l ц.д = ht l т - xl к (1 - x ) l н , hк hн де ht , hк , hн – відносні ККД турбіни, компресора і насоса. Внутрішній ККД такого циклу (13.15) hi = ht l т - xl к (1 - x ) l н hк hн . q1 (13.16) Оскільки з ростом b при заданому відношенні температур T3 / T1 кількість підведеної теплоти зменшується, то буде мати місце і якесь оптимальне максимальне значення bопт , за якого hі буде максимальним (рис. 13.4). Для різних відношень температур T3 / T1 значення bопт буде різним. 13.3. ЦИКЛ ГТУ З ПІДВЕДЕННЯМ ТЕПЛОТИ ПРИ р = const І З РЕГЕНЕРАЦІЄЮ Як показали дослідження циклів ГТУ, з підведенням теплоти при p = const температура відпрацьованих у турбіні газів значно вища температури навколишнього середовища і стиснутого після компресора повітря. Це дає можливість зменшити витрати теплоти на нагрівання стиснутого повітря і підвищити термічний ККД завдяки використанню теплоти викидних газів, тобто здійснити регенерацію теплоти. На рис. 13.5 наведена схема ГТУ з регенерацією теплоти. Повітря, що стискається компресором КМ, направляється в регенеративний підігрівник РП. У підігрівник також подаються спрацьовані в газовій турбіні ГТ гази. Внаслідок передачі повітрю деякої кількості теплоти температура його підвищується. Підігріте повітря надходить в камеру згоряння КЗ, де відбувається подальше підігрівання повітря за рахунок теплоти горіння палива. Нагріті до високої температури гази надходять в газову турбіну, де внаслідок розширення виконується робота. Компресор, турбіна і електрогенератор Г знаходяться на одному валу. Спочатку проведемо термодинамічний аналіз ідеального регенеративного циклу ГТУ з підведенням теплоти при p = const у T - s -координатах Рис. 13.5. Схема ГТУ з підведенням теплоти при p = const і з регенерацією Рис. 13.6. Регенеративний цикл ГТУ з підведенням теплоти при p = const (рис. 13.6). Стиснення повітря в компресорі відбувається за адіабатою 1–2. При цьому тиск підвищується від p1 до p2 , а температура зростає від T1 до T2 (параметри стану повітря і газів в характерних точках наведені у відповідних місцях і на схемі). Потім повітря надходить в регенеративний підігрівник, де при p = const завдяки теплоті відпрацьованих газів підігрівається до температури T2 p . Для забезпечення інтенсивного теплообміну температура T2 p має бути меншою від температури відпрацьованих у турбіні газів T4 на деяку величину DT . При зменшенні різниці DT необхідно збільшувати поверхню теплообміну. За умови T2 p = T4 підігрівник мав би нескінченно велику поверхню. Після підігрівника повітря нагрівається в камері згоряння від T2 p до T3 при тиску p2 = const . Потім продукти спалювання адіабатично розширюються в турбіні (лінія 3–4) приблизно до тиску навколишнього середовища, а температура падає до T4 . Після турбіни відпрацьовані гази направляються в регенеративний підігрівник, де в ізобаричних умовах їх температура знижується від T4 до T4 p . Для забезпечення інтенсивного теплообміну температура T4 p має бути більшою від T2 на DT . Подальше ізобаричне охолодження газів (лінія 4 p - 1 ) відбувається в навколишньому середовищі. Кількість теплоти, що передається повітрю в підігрівнику, q p = c p (T2 p - T2 ). (13.17) Кількість теплоти, яку б передали гази за повної регенерації, можна розрахувати за формулою q пов p = c p (T4 - T2 ) . (13.18) Ефективність регенеративного підігрівника характеризується коефіцієнтом регенерації h p , під яким розуміють відношення кількості теплоти, що передається повітрю, до кількості теплоти, яку могли б передати відпрацьовані гази при повній регенерації: hр = qp q пов p = ( с р T2 p - T2 ) » T2 p - T2 . с р (T4 - T2 ) T4 - T2 (13.19) У рівнянні (13.19) теплоємність с p вважається постійною, оскільки повітря і димові гази розглядаються як ідеальні гази. Коефіцієнт регенерації на практиці не може бути вищим 0,75...0,80, оскільки регенеративний підігрівник стає дуже великим, металоємним, що з економічної точки зору є недоцільним. Визначимо спочатку термічний ККД ідеального циклу ГТУ з повною регенерацією. В даному випадку T2 p = T4 , а T2 = T4 p . Тоді кількість підведеної до робочого тіла теплоти в камері згоряння q1 = c p (T3 - T2 p ) = c p (T3 - T4 ) . (13.20) Кількість теплоти, переданої холодильнику, q2 = c p (T4 p - T1 ) = c p (T2 - T1 ) . (13.21) Тоді термічний ККД ht = 1 - q2 T - T1 . =1- 2 q1 T3 - T4 (13.22) T1 . T4 (13.23) Після спрощення дістанемо ht = 1 - Отже, чим вища температура газів на виході із турбіни T4 (температуру T1 вважаємо постійною), тим вищий термічний ККД ідеального циклу з повною регенерацією. Але повну регенерацію здійснити неможливо. Повітря в теплообміннику нагрівається до T2 p < T4 , а гази охолоджуються до T4 p > T2 . Тоді дійсна кількість підведеної в камері згоряння теплоти ( ) ( ) q1 = c p T3 - T2 p = c p (T3 - T2 ) - c p T2 p - T2 , (13.24) а кількість відведеної в навколишнє середовище q2 = c p (T4 p - T1 ) = c p (T4 - T1 ) - c p (T4 - T4 p ) . (13.25) Оскільки c p (T4 - T4 p ) = c р (T2 p - T2 ) , то рівняння (13.25) можна переписати так: q2 = c p (T4 - T1 ) - c p (T2 p - T2 ) . Тоді термічний ККД циклу (13.26) ht = 1 - (T4 - T1 ) - (T2 p - T2 ) . (T3 - T2 ) - (T2 p - T2 ) (13.27) Із формули (13.19) знаходимо T2 p - T2 = h p (T4 - T2 ) . (13.28) Підставимо вираз (13.28) у формулу (13.27): ht = 1 - (T4 - T1 ) - h p (T4 - T2 ) . (T3 - T2 ) - h p (T4 - T2 ) (13.29) Аналіз даного рівняння показує, що як і для циклу з повною регенерацією з підвищенням температури T4 ht зростає. У разі повної регенерації h p = 1 і рівняння (13.29) перетворюється у вираз (13.22). Порівняння циклів ГТУ з регенерацією і без неї показує, що застосування регенерації приводить до підвищення ККД циклу. Як бачимо із T - s -діаграми (див. рис. 13.6), робота циклу зображується площею 1 - 2 - 3 - 4 - 1 і не залежить від того, який був цикл – регенеративний чи інший. Кількість підведеної теплоти завдяки спалюванню палива q1 в регенеративному циклі зображається площею s 2 p - 2 p - 3 - s 4 - s 2 p , а в нерегенеративному – площею s 2 - 2 - 3 - s 4 - s 2 , тобто на виконання однакової роботи в регенеративному циклі витрачається менша кількість теплоти q1 , тобто ККД регенеративного циклу вище. 13.4. РЕГЕНЕРАТИВНИЙ ЦИКЛ ГТУ ІЗ СТУПЕНЕВИМ СТИСНЕННЯМ ПОВІТРЯ І СТУПЕНЕВИМ ПІДВЕДЕННЯМ ТЕПЛОТИ Подальше підвищення ефективності роботи ГТУ можливе завдяки застосуванню ступеневого стиснення повітря з проміжним охолодженням його та ступеневим підведенням теплоти. Як приклад на рис. 13.7 наведена схема установки з триступеневим стисненням повітря і двоступеневим підведенням теплоти. Рис. 13.7. Схема ГТУ із ступеневим стисненням повітря і ступеневим підведенням теплоти Рис. 13.8. Регенеративний цикл ГТУ із ступеневим стисненням повітря і ступеневим підведенням теплоти Розглянемо принцип дії такої установки. Повітря із навколишнього середовища засмоктується компресором КМ1. Стиснуте повітря з параметрами точки 2 надходить в проміжний холодильник Х1, де відбувається його ізобаричне охолодження зовнішнім повітрям до початкової температури. Після холодильника повітря надходить в другий компресор КМ2, стискується, нагрівається і після охолодження в другому холодильнику Х2 подається в третій компресор КМ3. Після компресора повітря надходить в регенеративний підігрівник РП, де завдяки теплоті спрацьованих газів підігрівається до більш високих температур. Подальше підігрівання повітря здійснюється в камері згоряння КЗ1 завдяки теплоті згоряння палива, що подається із живильного баку ЖБ за допомогою паливного насоса ПН. Нагріті до високої температури гази надходять у циліндр високого тиску турбіни ЦВТ. Розширюючись, вони виконують роботу. При цьому температура і тиск газів падають. Після циліндра високого тиску відбувається проміжне підігрівання газів у камері згоряння КЗ2. Оскільки в камеру згоряння КЗ1 подається значно більше повітря, ніж необхідно для процеса горіння, то після ЦВТ турбіни в газах знаходиться багато кисню, який і забезпечує горіння у другій камері. Після цього газ йде у циліндр низького тиску ЦНТ, де спрацьовує практично до тиску навколишнього середовища p0 , а відпрацьовані гази надходять до регенеративного підігрівника, де віддають теплоту стиснутому повітрю. Проведемо термодинамічний аналіз багатоступеневої газотурбінної установки. Для цього введемо деякі допущення. Так, в установці використовуються гази, що підкоряються законам ідеального газу. Процеси стиснення і розширення є ізоентропійними. В підігрівнику відбувається повна регенерація. На рис. 13.8 наводиться цикл такої установки в координатах p - v i T - s . Характерні точки діаграми нанесені в кружечках також і на схемі (рис 13.7). Повітря з параметрами p0 і T0 стискується в першому компресорі за адіабатою 1–2 до тиску p1 і температури T1 . Повітря охолоджується при p1 = const у першому проміжному холодильнику. Повітря віддає q2¢¢ теплоти і його температура знижується до початкової. Після чого повітря з параметрами p1 і T0 адіабатично стискується в другому компресорі (лінія 3–4). При цьому тиск підвищується до p2 , а температура до T1 . Після другого компресора при p2 = const відбувається ізобаричне охолодження повітря в другому холодильнику (лінія 4–5). Віддаючи теплоту q2¢¢¢ , температура повітря знову знижується до початкової. Охолоджене повітря адіабатично стискується в третьому компресорі (лінія 5–6). Тиск його досягає значень p3 , а температура T1 . Після компресора повітря спочатку підігрівається при p3 = const в регенераторі до T2 (лінія 6–7), а потім в камері згоряння до T3 (лінія 7–8). Гази з параметрами p3 і T3 надходять у ЦВТ. Процес розширення газів в турбіні є ізоентропійним (лінія 8–9). Після ЦВТ відбувається проміжне ізобаричне підігрівання газів у камері згоряння КЗ2 (лінія 9–10). Із камери згоряння гази поступають у ЦНТ, спрацьовують і на виході з турбіни температура їх становить T2 (лінія 10–11). У регенераторі відбувається подальше ізобаричне охолодження газів (лінія 11–12). Після регенератора гази охолоджуються за межами установки (лінія 12–1). Визначимо термічний ККД такого циклу. Використаємо для цього рівняння ht = 1 - q2 . q1 (13.30) Теплота q1 у циклі підводиться в першій q¢1 і в другій q1¢¢ камерах згоряння: q1 = q1¢ + q1¢¢ = c p (T8 - T7 ) + c p (T10 - T9 ) . (13.31) Оскільки в даному випадку T8 = T10 = T3 , а T7 = T9 = T2 , то рівняння (13.31) перепишеться так: q1 = 2c p (T3 - T2 ). (13.32) Теплота в циклі q2 відводиться в першому q2¢¢ і в другому q2¢¢¢ холодильниках та в навколишньому середовищі q¢2 : q2 = q¢2 + q¢2¢ + q¢2¢¢ = c p (T12 - T1 ) + c p (T2 - T3 ) + c p (T4 - T5 ). (13.33) Оскільки T12 = T2 = T4 = T1 , а температура точок 1,3,5 дорівнює T0 , то рівняння (13.33) набуває вигляду q2 = 3c p (T1 - T Підставляючи вирази (13.32) і (13.34) у рівняння (13.30), дістанемо ht = 1 Рис. 13.9. Багатоступеневий цикл ГТУ з підведенням теплоти при постійному тиску Якщо установка складається із nк компресорів і nт турбін, то формула (13.35) перепишеться так: ht = 1 - nк (T1 - T0 ) . nт (T3 - T2 ) (13.36) Згідно із прийнятими допущеннями робота стиснення компресорів буде мінімальною, а турбін – максимальною. Тому термічний ККД, визначений для такого ідеального циклу, буде максимальним. Крім того, він буде вищим порівняно з ККД ідеального циклу, в якому стиснення повітря до тих же параметрів відбувається в одноступеневому компресорі, а робота розширення – в одноступеневій турбіні. У реальних регенеративних циклах ГТУ з багатоступеневим стисненням і підведенням теплоти здійснити повну регенерацію теплоти неможливо. Необхідно мати деякий температурний напір DT , тобто температура T7 має бути нижче T2 , а T12 – вище T1 . Крім того й інші параметри взаємозалежні. Оптимальне значення одного параметра залежить від прийнятих значень інших параметрів. Зміна одного із параметрів викликає зміну й інших. Тому визначення оптимальних значень всіх параметрів необхідно здійснювати за оптимальних умов для кожного параметра. Аналітичне рішення даної задачі вимагає знання зв’язку математичних рівнянь всіх процесів циклу і його термічного ККД. Із збільшенням числа ступенів охолодження і підігрівання робочого тіла термічний ККД ГТУ збільшується. Дійсно, зобразимо цикл багатоступеневої установки з повною регенерацією в T - s -координатах (рис 13.9). У даному циклі теплота q2 -3 процесу 2–3 підводиться завдяки охолодженню робочого тіла q4-1 в процесі 4–1. Оскільки лінії 2–3 і 4–1 еквідистантні, то теплоти 3(T1 2(T3 - q2 -3 i q4-1 в розрахунку ККД не враховуються. Тоді підведена в циклі теплота q1 наближено може бути визначена так: q1 = q1¢ + q1¢¢ + ¼ + q1n -1 = T3 Ds34 . (13.37) Відведена в циклі теплота q2 розраховується таким же чином: q 2 = q 2¢ + q2¢¢ + ¼ + q 2n -1 = T0 Ds12 . (13.38) Враховуючи, що Ds34 = Ds12 , термічний ККД ht = 1 - T0 Ds12 T = 1- 0 , T3 Ds 34 T3 (13.39) тобто ККД такого циклу дорівнює ККД циклу Карно. Але необхідно враховувати, що із збільшенням числа ступенів темп збільшення термічного ККД зменшується, а вартість установки збільшується. Тому кількість ступенів необхідно вибирати виходячи з економічної доцільності. 13.5. ЦИКЛ ГТУ З ІЗОХОРИЧНИМ ПІДВЕДЕННЯМ ТЕПЛОТИ Як вже було сказано, цикл ГТУ можна також здійснити при згорянні палива в ізохоричних умовах. На рис. 13.10 наведені схема і діаграма ГТУ з підведенням теплоти при v = const . Працює установка так. Повітря засмоктується компресором КМ, стискується (лінія 1–2) і подається в камеру згоряння КЗ. Одночасно з повітрям в камеру згоряння подається паливним насосом ПН із живильного бака ЖБ рідке паливо. Якщо як паливо застосовують газ, то замість насоса використовується компресор. Повітря і паливо змішують в камері змішування. Запалювання суміші відбувається від електричної свічки СВ при закритих впускному Кл.вп і випускному Кл.вип клапанах. Процес горіння здійснюється в закритому об’ємі і дуже швидко, тому тиск і температура швидко зростають (лінія 2–3, рис. 13.10, б). При певному значенні тиску відкривається випускний клапан, і газова суміш під тиском надходить в газову турбіну. Завдяки адіабатичному розширенню в турбіні гази виконують корисну роботу (процес 3–4), що сприймається електрогенератором Г. Гази розширюються практично до атмосферного тиску. Після спрацювання гази надходять в навколишнє середовище, де вони ізобарично охолоджуються (лінія 4–1). Тиск в камері згоряння падає, і при певному значенні відкривається впускний клапан. Повітря надходить в камеру згоряння, виштовхує через відкритий випускний клапан залишки продуктів горіння і охолоджує камеру, соплову решітку і лопатки турбіни. Потім відкривається впускний клапан палива і закривається випускний. Під час подачі палива всі клапани закриті і процес горіння відбувається за постійного об’єму, тобто в камеру згоряння, як і в ДВЗ, паливо надходить періодично. Турбіна працює циклічно, на відміну від ГТУ з підведенням теплоти при p = const , де процес горіння здійснюється постійно. Проведемо термодинамічний аналіз циклу. Газову суміш будемо вважати ідеальним газом, процеси стиснення і розширення відбуваються в адіабатичних умовах, підведення теплоти – в ізохоричному, відведення – в ізобаричному процесах. Кількість підведеної теплоти в циклі q1 = cv (T3 - T2 ) . (13.40) Кількість відведеної теплоти q2 = c p (T4 - T1 ) . (13.41) Тоді термічний ККД циклу æ T4 ö - 1÷ ç c p (T4 - T1 ) (T4 - T1 ) q2 T1 è T1 ø = 1- k = 1- k ht = 1 = 1. (T3 - T2 ) q1 c v (T3 - T2 ) T2 æ T3 ö - 1÷ ç è T2 ø (13.42) Замінимо відношення температур у рівнянні (13.42) через ступені T підвищення тиску в циклі. Запишемо відношення температур 4 так: T1 T4 T4 T3T2 = . (13.43) T1 T3T2 T1 Рис. 13.10. Схема і цикл ГТУ з підведенням теплоти при постійному об’ємі Із рівняння ізохори (4.1) T3 p = 3 = l, T2 p2 де l – ступінь ізохоричного підвищення тиску. Із рівняння адіабати (4.32) k -1 (13.44) k -1 k -1 k -1 T3 æ p 3 ö k p p p p k k =ç = æç 3 2 ö÷ = æç 3 2 ö÷ = (ls ) k , ÷ T4 è p 4 ø è p2 p4 ø è p 2 p1 ø (13.45) p2 – ступінь підвищення тиску при адіабатичному стисненні. p1 Із рівняння адіабати де s = k -1 k -1 T2 æ p2 ö k =ç =s k . ÷ T1 è p1 ø (13.46) Підставляючи вирази (13.44), (13.45) і (13.46) у формулу (13.43), маємо T4 = T1 1 k -1 1 ls k = l k . k -1 (ls ) k (13.47) Підставимо вирази (13.44), (13.46) і (13.47) у формулу (13.42): ht = 1 - k æ k1 ö ç l - 1÷ ç ÷ 1 è ø. k -1 l -1 (13.48) s k Як випливає з виразу (13.48), термічний ККД циклу ГТУ при ізохоричному підведенні теплоти залежить від фізичних властивостей робочого тіла k і ступеня підвищення тиску в ізохоричному l і адіабатичному s стисненнях. Зі збільшенням l і s ККД циклу зростає. Вплив s на ККД циклу ілюструє рис. 13.11. Як бачимо із діаграми T - s , з підвищенням стиснення ізохора 2¢ - 3¢ проходить вище. Це свідчить про те, що в циклі підводиться більша кількість теплоти q1 , а кількість відведеної теплоти q2 залишається такою ж. У зв’язку з цим ККД зростає. У разі зростання l зростають кількість підведеної теплоти q1 (лінія 2 - 3¢¢ ) і відведеної – q2 (лінія 1 - 4 ¢¢ ). Враховуючи, що ізохора 2 - 3¢¢ крутіша, ніж ізобара 1 - 4 ¢¢ , робота розширення зростає lроз = h3¢¢ - h4 ¢¢ , а робота стиснення ( ) ( lст = h2 - h1 ) залишається незмінною. Тому робота циклу ( lц = lроз - lст ) і його термічний ККД зростають. Але значення l можна збільшувати до певних меж. У ГТУ з ізохоричним підведенням теплоти можна також здійснити регенерацію теплоти. Застосування регенерації приводить до підвищення ефективності установки. Порівняння термічних ККД турбінних установок з ізохоричним і ізобаричним підведенням теплоти показує, що в першому випадку термічний ККД буде більшим. Але ефективний ККД установки з ізохоричним підведенням теплоти буде меншим. Це пояснюється більшими витратами ексергії за змінних параметрах у турбіні із циклом при v = const порівняно із циклом при p = const . Крім того, ГТУ із ізохоричним підведенням теплоти конструктивно є більш складною. Особливо ненадійними є впускний і випускний клапани, що працюють у важких температурних умовах. Тому такі установки не знайшли розповсюдження. 13.6. ЦИКЛИ РЕАКТИВНИХ ДВИГУНІВ З подальшим розвитком авіації і ракетної техніки широке розповсюдження знайшли реактивні двигуни. Тягове зусилля в таких двигунах створюється завдяки реакції струменя газів, який витікає із сопла . У соплах відбувається безпосереднє перетворення потенціальної енергії тиску газів у кінетичну. Кінетична енергія продуктів згоряння створює певну кількість руху літака чи ракети, забезпечує будь-яку швидкість руху незалежно від оточуючого середовища. Залежно від того, який окислювач палива використовується, реактивні двигуни поділяються на повітрянореактивні (ПРД) та ракетні (РД). Окислювачем палива для ПРД є кисень повітря. На борту літаків з ПРД знаходиться лише Рис. 13.11. Вплив ступеня стиснення роботи ГТУ при паливо. Використовуються в на ефективність Рис. 13.12. Схема і діаграмавони тисківтільки та швидкостей турбореактивного двигуна постійному об’ємі повітряному просторі Землі. В ракетах окислювач і паливо розміщуються на борту. Тому такі двигуни застосовуються як в повітряному просторі, так і в космосі. Розглянемо спочатку повітряно-реактивні двигуни. Повітряно-реактивні двигуни в свою чергу за принципом дії поділяються на компресорні і безкомпресорні. На рис. 13.12 наведена схема та діаграма тисків і швидкостей робочого тіла турбокомпресорного реактивного двигуна (ТРД). Розглянемо Рис. 13.13. Цикл турбореактивпринцип дії такого двигуна. Якщо літак ного двигуна рухається із швидкістю w0 , то з такою ж швидкістю в дифузор Д надходить повітря. Тиск повітря дорівнює атмосферному тиску p0 . У дифузорі повітря гальмується, швидкість його знижується до w2 , а тиск підвищується до p1 . З такими параметрами газ надходить в компресор КМ, де відбувається подальше стиснення повітря до тиску p2 . Стиснуте повітря подається в камеру згоряння КЗ. Одночасно в камеру згоряння живильним насосом за допомогою системи трубопроводів Тр через форсунки Ф подається рідке паливо, яке розбризкується і змішується з повітрям. Процес горіння відбувається за постійного тиску p2 . Продукти горіння надходять у газову турбіну ГТ, що приводить в рух ротор компресора. Після газової турбіни гази розширюються в соплі С. При цьому тиск зменшується до атмосферного, а швидкість руху зростає до w6 . Велика швидкість потоку створює тягу літака. Розглянемо цикл ТРД (рис. 13.13). Спочатку процес стиснення повітря відбувається за адіабатою в дифузорі (лінія 1–2). Подальше стиснення повітря здійснюється компресором (лінія 2–3). Процес підведення теплоти q1 відбувається при p = const (лінія 3–4). Продукти згоряння як і стиснення адіабатично розширюються в два етапи. Спочатку суміш розширюється в турбіні (лінія 4–5). Робота турбіни l т , яка дорівнює площі р2 - 4 - 5 - р т - р2 , витрачається на роботу стиснення повітря в компресорі l к , що дорівнює площі р 2 - 3 - 2 - р1 - р 2 . Подальше адіабатичне розширення газів відбувається в реактивному соплі (лінія 5–6), охолодження газів і відведення теплоти q2 – за p0 = const в атмосфері (лінія 6–1). Із наведеного видно, що цикл ТРД аналогічний циклу ГТУ при згорянні палива при p = const . Тому термодинамічний аналіз його проводиться за формулами (13.7), (13.11) та (13.13). Але необхідно пам’ятати, що ступінь стиснення в циклі визначається ступенями стиснення в дифузорі і компресорі. Ступінь стиснення в компресорі практично не залежить від швидкості польоту, в той час як у дифузорі залежить від швидкості польоту і зі збільшенням швидкості збільшується. Тому загальний ступінь стиснення і термічний ККД зі збільшенням швидкості зростають. Швидкість польоту залежить від його висоти. Зі збільшенням висоти густина повітря і опір польоту зменшуються. Тому при однакових потужностях зі зростанням висоти швидкість збільшується. Проте зі збільшенням висоти польоту зменшується температура T1 , що викликає більшу витрату палива при незмінній верхній температурі цикла T4 . Сумарна дія всіх факторів все ж приводить до збільшення ефективності роботи двигуна. Максимальне значення ефективного ККД досягається при швидкостях, близьких до звукових (1000–1500 км/год). Завдяки відносно великій силі тяги на старті і порівняно високій економічності турбореактивних двигунів вони широко застосовуються в сучасній авіації. Безкомпресорні повітряно-реактивні двигуни Як вже підкреслювалося, із зростанням швидкості польоту ступінь попереднього стиснення повітря збільшується і при досягненні певної швидкості не треба дожимати повітря в компресорі, тобто відпадає необхідність у компресорі і в турбіні. Безкомпресорні реактивні двигуни поділяються на прямоструминні (ППРД) і пульсуючі (ПуПРД). Розглянемо принцип дії ППРД (рис. 13.14). При русі літака повітря зі швидкістю w0 надходить у дифузор Д. У дифузорі повітря гальмується, швидкість його падає до w2 , а тиск зростає до p2 . З такими параметрами повітря надходить в камеру згоряння КЗ, де змішується з рідким паливом, що подається насосом через форсунки Ф. Після згоряння палива суміш надходить у сопло С, де відбувається перетворення потенціальної енергії в кінетичну і швидкість потоку суміші зростає до w3 , а тиск падає до p3 . Форма дифузора залежить від швидкості польоту. Так, якщо політ відбувається з дозвуковою швидкістю, то дифузор буде звуженим, а з надзвуковою – розширювальним. Оскільки швидкість газів на виході із сопла, як правило, завжди більше звукової, то використовується сопло Лаваля; якщо швидкість дозвукова, то – звужене сопло. Рис. 13.14. Схема та діаграма швидкостей і тисків прямоструминного реактивного двигуна Рис. 13.15. Цикл прямоструминного реактивного двигуна Цикл повітряно-прямоструминного двигуна (рис. 13.15) складається із адіабати стиснення повітря в дифузорі (лінія 1–2), ізобаричного підведення теплоти q1 в камері згоряння (лінія 2–3), адіабатичного розширення суміші в соплі Лаваля (лінія 3–4) і ізобаричного відведення теплоти q2 в процесі охолодження суміші в навколишньому середовищі (лінія 4–1).Тобто цикл збігається з циклом ГТУ при ізобаричному підведенні теплоти. Знайдемо залежність ККД циклу від швидкості польоту. Термічний ККД такого циклу визначається за формулою ht = 1 - 1 e k -1 =1- T1 . T2 (13.49) Використовуючи перший закон термодинаміки для потоку, складемо рівняння балансу енергії для дифузора w12 - w22 = h2 - h1 = c p (T2 - T1 ). 2 Звідси w12 - w22 T2 T w2 - w22 = -1Þ 2 = 1+ 1 . T1 T1 2c pT1 2c pT1 Підставляючи вираз (13.50) у формулу (13.49), дістанемо (13.50) Рис. 13.16. Схема пульсуючого повітряно-реактивного двигуна ht = 1+ 1 . 2c pT1 (13.51) w12 - w22 Швидкість потоку на вході в камеру згоряння w2 залежить від швидкості розповсюдження полум’я wп . Якщо w2 перевищує wп , то полум’я видувається за межі камери. Для організації нормального процесу горіння в камері згоряння розміщують спеціальні турбулізуючі ґратки ТГ (див. рис. 13.14). Для вуглеводневих палив максимальне значення w2 в межах 25...50 м/с. Розрахунки за формулою (13.51) при теплоємності повітря c p = 1,005 кДж/кг показують, що при малих швидкостях польоту ( w1 < 400 м/с) термічний ККД циклу незначний ht < 0,22. При зростанні швидкості польоту до 1000 м/с ККД досягає 0,64. Але з урахуванням втрат енергії в камері згоряння і в соплі ефективний ККД циклу буде значно меншим. Прямоструминні двигуни застосовуються для надзвукових польотів. Потужність двигуна і тягове зусилля також сильно залежать від швидкості польоту. При зменшенні w1 потужність і тягове зусилля різко падають і при w1 = 0 дорівнюють нулю. Тому для зльоту на таких двигунах використовують спеціальні стартові двигуни, що надають літаку початкову швидкість. Пульсуючий повітряно-реактивний двигун. Бажання підвищити термічний ККД прямоструминних реактивних двигунів при відносно малих швидкостях привели до створення пульсуючого реактивного двигуна (рис. 13.16). У даній схемі камера згоряння КЗ відокремлена від дифузора Д і конфузора Кф ґратками клапанів. Процес горіння відбувається при v = const. Двигун працює так. Адіабатично стиснуте в дифузорі повітря крізь ґратку відкритих впускних клапанів Вп Кл надходить в камеру згоряння. Одночасно в камеру згоряння крізь форсунки Ф надходить паливо. Запалювання суміші здійснюється за допомогою електричної свічки Св. Внаслідок згоряння палива тиск в камері різко зростає. Потім відкриваються вихлопні клапани Вих Кл і Рис. 13.17. Схема реактивного двигуна з твердим продукти згоряння паливом надходять в конфузор Кф і вихлопну трубу Трвих, де адіабатично розширюються гази. Це спричинює Рис. 13.18. Цикл реактивного збільшення їх швидкості і створення тяги літака. двигуна з твердим паливом Розрідження в конфузорі передається в камеру згоряння і викликає відкриття впускних клапанів. Свіжа порція повітря надходить і виштовхує продукти згоряння. Потім закриваються вихлопні клапани, подається паливо і відбувається ізохоричний процес горіння і всі процеси повторюються. Процес горіння здійснюється протягом дуже короткого часу (тисячні частки секунди), і всі процеси виявляються пульсуючими. Як бачимо із наведеного вище, принцип дії і цикл такого двигуна аналогічний циклу газотурбінної установки з підведенням теплоти при постійному об’ємові. Термічний ККД такого циклу вище циклу прямоструминного двигуна, проте система впускних і випускних клапанів ускладнює роботу двигунів і за цієї причини вони не знайшли широкого розповсюдження. Ракетні двигуни. Ракетні двигуни за родом палива, які використовуються в них, підрозділяються на рідинно-ракетні (РРД) та ракетні двигуни з твердим паливом (РДТП). На рис. 13.17 наведена схема РДТП. У таких двигунах тверде паливо ТП (різні види порохів) разом з окислювачем розміщують в камері згоряння КЗ. Під час загоряння палива тиск в камері різко зростає і продукти згоряння надходять в сопло С , де потенціальна енергія тиску перетворюється в кінетичну і продукти згоряння на великій швидкості залишають сопло, розвиваючи силу тяги в протилежну сторону. Цикл РДТП наведений на рис. 13.18. Процес підвищення тиску відбувається дуже швидко, і його можна вважати ізохоричним (лінія 1–2). Горіння здійснюється за ізобаричних умов (лінія 2–3). Розширення газів через велику швидкість і короткий час перебування їх у соплі приймається за адіабатичне (лінія 3–4). Гази в навколишньому середовищі охолоджуються при p = const (лінія 4–1). У рідинно-ракетному двигуні (рис. 13.19) рідинне паливо РП, окислювач О насосами Н подаються в камеру згоряння КЗ. Продукти згоряння надходять у сопло С, де відбувається їх розширення. Після чого вони з великою швидкістю залишають сопло, викидаються в навколишнє середовище і охолоджуються. Цикл РРД аналогічний ідеальному циклу РДТП (див. рис. 13.18). Термічний ККД такого циклу можна розрахувати за загальноприйнятою формулою l ht = ц . (13.52) q1 Кількість підведеної теплоти в циклі q1 = h3 - h2 . (13.53) Робота циклу складається з роботи розширення газів у соплі і роботи стиснення насоса lц = lроз - lст = (h3 - h4 ) - (h2 - h1 ) . (13.54) Оскільки рідинні паливо і окислювач практично не стискуються, то роботою стиснення насоса lст = h2 - h1 можна знехтувати. Тоді, підставивши вирази (13.53) і (13.54) у формулу (13.52), дістанемо ht = h3 - h4 . h3 - h2 (13.55) Виходячи із першого закону термодинаміки, для потоку роботу адіабатичного розширення в соплі можна виразити через кінетичну енергію h3 - h4 = w 24 - w32 , 2 (13.56) де w3 , w4 – швидкості потоку газів на вході і виході із сопла. Оскільки w3 << w4 , то, підставивши вираз (13.56) у формулу (13.55), дістанемо Рис. 13.19. Схема рідинно-реактивного двигуна ht = w24 w2 = 4. 2(h3 - h2 ) 2q1 (13.57) Завдяки простоті конструкції і зручності в експлуатації ракетні двигуни зараз широко застосовуються в ракетній техніці й авіації. Подальший розвиток ракетної техніки привів вчених до думки, що замість енергії хімічного палива можна використовувати енергію ядерних перетворень. В ядерних реактивних двигунах (ЯРД) робоче тіло не є продуктом згоряння. Як показують розрахунки, найбільші швидкості на виході із сопла забезпечуються робочими тілами з малою молекулярною масою. Тобто найбільш вигідним робочим тілом ЯРД є водень, гелій та інше. Хоча тяга, що розвивається ЯРД, менше тяги хімічних реактивних двигунів, ядерні реактивні двигуни можуть працювати протягом значно більшого часу. Тому ЯРД дуже перспективні для використання їх в комбінації з хімічними двигунами в міжпланетних космічних польотах. Спочатку ракета буде виводитися на навколоземні орбіти за допомогою хімічних двигунів, а потім будуть включатися ядерні двигуни. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ 1. Якими перевагами відносно ДВЗ володіють газові турбінні установки? Наведіть принципову схему ГТУ і поясніть принцип її дії. 2. Наведіть цикл ГТУ з ізобаричним підведенням теплоти і виведіть формулу для розрахунку ККД. Як впливають ступені стиснення або підвищення тиску на ККД циклу? Наведіть формули для визначення максимальної роботи циклу. 3. Як впливають необоротність процесів реального циклу на ефективність роботи ГТУ? Виведіть формулу для визначення внутрішнього ККД такого циклу і проаналізуйте її. 3. Наведіть схему та цикл газотурбінної установки з регенерацією теплоти і поясніть принцип її дії. Наведіть формулу для визначення ККД такого циклу і проаналізуйте її. 4. Наведіть схему і регенеративний цикл ГТУ із ступеневими стисненнями повітря і підведенням теплоти. Поясніть принцип дії такої установки, її переваги та недоліки. Виведіть формулу для розрахунку ККД такої установки. Як впливає число компресорів і турбін на термічний ККД? 5. Наведіть схему і цикл ГТУ з ізохоричним підведенням теплоти і поясніть принцип її дії? Виведіть формулу для визначення термічного ККД такого циклу. Як впливає ступінь підвищення тиску в ізохоричному l і адіабатичному s стисненнях? Які суттєві недоліки таких установок? 6. Наведіть схему та цикл турбореактивного двигуна та поясніть принцип його дії. 7. Наведіть схему та цикл повітряно-прямоструминного двигуна та поясніть принцип його дії. Наведіть формулу для визначення ККД такого двигуна з урахуванням швидкості польоту. 8. Що таке повітряно-реактивний двигун і якими особливостями він володіє? 9. Які типи ракетних двигунів ви знаєте? Наведіть схеми і поясніть принцип дії. Виведіть формулу для розрахунку термічного ККД рідинного ракетного двигуна. Розділ 14. ЦИКЛИ ПАРОСИЛОВИХ УСТАНОВОК 14.1. АНАЛІЗ МОЖЛИВОСТЕЙ ЗАСТОСУВАННЯ ЦИКЛУ КАРНО У ПАРОСИЛОВИХ УСТАНОВКАХ Сучасна промислова теплоенергетика базується на використанні паросилових установок (ПСУ). Джерелом енергії в таких установках є теплова енергія продуктів згоряння органічного палива (вугілля, газ та нафтопродукти) або енергія ядерних перетворень важких елементів. Продукти згоряння не виконують ролі робочого тіла. Вони є лише проміжними носіями теплової енергії, яку передають робочому тілу – воді та водяній парі. Основною перевагою води як робочого тіла є те, що вона дешева, легкодоступна, поширена у природі і практично не вступає у взаємодії з матеріалом ПСУ. Як було показано раніше, здійснити ідеальний цикл Карно в ДВЗ, де робочим тілом є продукти згоряння, неможливо, оскільки процеси теплообміну робочого тіла у циклі відбуваються при змінній температурі. Застосування води як робочого тіла дає можливість побудувати тепловий двигун, що працював би за циклом Карно. Пояснюється це тим, що процеси передачі теплоти можна здійснювати при різних р і t під час фазового перетворення води, тобто при кипінні і конденсації, що є ізобаричноізотермічними. Як відомо, цикл Карно складається із двох ізотерм і двох адіабат. Розглянемо, якими властивостями повинно володіти робоче тіло, щоб задовольнити побудову циклу Карно. Так, температура передачі теплоти T1 від гарячого джерела має бути максимально можливою, що визначається міцністю матеріалу лопаток турбіни і теплофізичними властивостями води. Сучасний рівень техніки матеріалознавства дає можливість у разі лопаток із звичайних сталей застосовувати температуру пари Т1 до 575 °С, а у разі лопаток із нержавіючих сталей – до 600–650 °С. З другого боку за цієї температури робоче тіло повинно мати достатньо велику теплоту фазового перетворення, яка, як відомо, з ростом температури зменшується і при критичній температурі дорівнює нулю. Одночасно з ростом температури насичення росте і тиск, що призводить до необхідності обвантаження і ускладнення конструкції установок. Виходячи із цих міркувань, максимальним тиском вважається тиск до 30 МПа. Температура відведення теплоти Т2 тісно пов’язана з температурою навколишнього середовища, що є холодним джерелом. Тому температура потрійної точки води повинна бути не вище температури навколишнього середовища, тобто вода має бути в рідкому стані. Таким чином, Рис. 14.1. Принципова схема та цикл Карно паросилової установки використовуючи вологу пару, можна побудувати цикл Карно, в якому підведення і відведення теплоти відбуваються в ізотермічних умовах при температурах Т1 і Т2. Розглянемо принципову схему паросилової установки (рис. 14.1, а), що працює за циклом Карно, і його зображення в координатах р–v і T–s (рис. 14.1, б, в). Характерні точки циклу нанесені на схемі в кружечках у відповідних місцях. Для здійснення такого оборотного циклу процес передачі теплоти q1 відбувається у паровому котлі ПК за ізобарично-ізотермічних умов (лінія 4– 1). Суха насичена пара (точка 1) з параметрами р1 і Т1 надходить у парову турбіну ПТ. У турбіні відбувається адіабатичне розширення водяної пари (лінія 1–2), завдяки чому виконується корисна робота, яка перетворюється в електричну енергію в генераторі Г. При цьому температура і тиск знижуються до значень Т2 та р2, а ступінь сухості зменшується від 1 до Х2. З такими параметрами пара надходить в конденсатор К, де, охолоджуючись водою ОВ, віддає деяку кількість теплоти q2 і частково конденсується при постійних р2 і Т2. Ступінь сухості при цьому зменшується від Х2 до Х3. З такими параметрами волога водяна пара подається до компресора КМ, де адіабатично стискується (лінія 3–4). Кількість відведеної теплоти q2 і ступінь сухості Х3 мають бути такими, щоб при стисненні в компресорі не вийти за межі насиченого стану (точка 4). Потім пара надходить у паровий котел і цикл замикається. Визначимо термічний ККД такого циклу. Значення температури гарячого джерела визначається критичною температурою води (374,15 °С) і для розрахунків може бути прийнятою 350 °С, що відповідає тиску р1 » 16,5 МПа. Нижня температура визначається параметрами потрійної точки, середньорічною температурою повітря у даній місцевості й умовами теплообміну. Для забезпечення надійного теплообміну температура водяної пари в конденсаторі повинна бути хоч на 10 °С вище середньорічної. Розрахунки показують, що для наших умов t2 » 30 °С. Тиск, що відповідає цій температурі, p2 » 0,004 МПа. Тоді 30 + 273 ht = 1 = 0,51 . 350 + 273 Як бачимо, термічний ККД циклу Карно за таких умов має достатньо велике значення. Тепер розглянемо технічні можливості створення такої установки. При адіабатичному розширенні сухої насиченої пари із точки 1 (р1 = 16,5 МПа, t1 = 350 °С) до тиску р2 = 0,004 МПа вологість її збільшується приблизно до 41 %, що негативно впливає на роботу парової турбіни. В процесі конденсації вологість пари підвищується приблизно до 58 %. Тому компресор буде працювати за ще важчих умов. Якщо розрахувати роботу адіабатичного стиснення компресора за цих умов (площа 3–4–р1–р2–3, рис 14.1, б), то вона не набагато менша за роботу турбіни. Тобто на процес стиснення необхідно витратити таку ж роботу, яку практично отримують у циклі. Це є основною причиною, чому недоцільно будувати паросилову установку за циклом Карно. Зниження початкового тиску р1 і підвищення кінцевого тиску р2 покращує роботу установки, але термічний ККД циклу при цьому різко зменшується. 14.2. СХЕМА ОДЕРЖАННЯ РОБОТИ І ЗРАЗКОВИЙ ЦИКЛ РЕНКІНА Недоліки паросилової установки на вологій насиченій парі, що працює за циклом Карно (велика робота стиснення вологої пари), привела вчених до думки, що процес охолодження необхідно здійснювати до повної конденсації пари і внаслідок цього замінити малоефективний компресор економічним водяним насосом, який підвищує тиск конденсату до тиску в паровому котлі. Вперше такий цикл був запропонований У. Дж. Ренкіним і називається в його честь. На рис. 14.2 наведено схему паросилової установки, що працює за циклом Ренкіна, а на рис. 14.3 зображено цикл у координатах p–v, T–s. Водяна пара з параметрами р1, Т1, h1 (точка 1 на діаграмах і на схемі) надходить в парову турбіну ПТ, де Рис. 14.2. Принципова схема паровнаслідок адіабатичного розширення 1–2 силової установки, яка працює відбувається перетворення потенціальної за циклом Ренкіна енергії пари в кінетичну, а потім у Рис. 14.3. Цикл Ренкіна механічну (електричну) в електрогенераторі Г. Спрацьована пара з параметрами р2, Т2, h2 (точка 2) надходить в конденсатор К, де охолоджується проточною водою ОВ. Конденсатор – це трубчастий теплообмінник, у трубах якого протікає охолоджувальна вода, а в міжтрубному просторі – водяна пара. Водяна пара повністю конденсується (лінія 2–3) і конденсатним насосом КН конденсат подається у живильний бак ЖБ. Із бака вода з параметрами р2, Т2, h3 живильним насосом ЖН подається у водяний економайзер ВЕ під тиском р1, що дорівнює тиску в паровому котлі ПК (лінія 3–4). Оскільки вода практично не стискується, то робота насоса lн дуже мала. Підвищення температури при цьому дуже мале (не більше 1 °С) і ним можна знехтувати (точки 3 і 4 практично збігаються на T–s-діаграмі). Вода спочатку підігрівається в економайзері й надходить у паровий котел при температурі Тн (лінія 4–5). У паровому котлі завдяки теплоті продуктів згоряння відбувається фазове перетворення при Тн і рн = const (процес 5–1). Термічний ККД циклу Ренкіна визначимо за формулою (5.4): ht = q1 - q2 l ц = . q1 q1 (14.1) Як бачимо із рис. 14.3, підведення теплоти q1 здійснюється при постійному тиску р1 під час підігрівання води до кипіння (лінія 4–5) і у процесі фазового перетворення (лінія 5–1). Оскільки процес ізобаричний, то питома кількість теплоти дорівнює різниці ентальпій у точках 1 і 4: q1 = h1 - h4 . (14.2) Процес відведення теплоти здійснюється в конденсаторі при постійному тиску р2 (лінія 2–3). Тоді питома кількість теплоти q2 = h2 - h3 . (14.3) Ентальпії h1, h2, h3 і h4 можна визначити за h–s-діаграмою або за таблицями водяної пари, а величини q1 i q2 – за Т–s-діаграмою. Так, q1 на Т–sдіаграмі визначається площею 1–7–8–4–5– 1, а q2 – площею – 2–3–8–7–2. Підставляючи вирази для q1 та q2 у формулу (14.1), маємо ht = Рис. 14.4. Схема паросилової установки з перегрівом пари . h1 - h4 - h2 + h3 (h1 - h2 ) - (h4 - h3 ) = h1 - h4 h1 - h4 (14.4) Як було сказано вище, внаслідок стиснення конденсату насосом температура його практично не змінюється, тому можна вважати, що h3 » h4. З урахуванням цього рівняння (14.4) перепишеться так: ht = h1 - h2 . h1 - h3 (14.5) Отже, термічний ККД циклу Ренкіна визначається значеннями ентальпії на вході й виході з турбіни та ентальпії живильної води; у свою чергу, значення ентальпії на вході h1 – параметрами р1 і t1, а h2 – тиском р2 на виході із турбіни або у конденсаторі. Розрахунки термічного ККД циклу Ренкіна показують, що він менший, ніж ККД оборотного циклу Карно, оскільки меншими є міра заповнення циклу і середня температура підведення теплоти в циклі Ренкіна. Залежно від параметрів пари термічний ККД циклу Ренкіна ht = 0,35...0,45, в той час як ККД ідеального циклу Карно досягає 0,6. Однак, з урахуванням необоротності процесів, особливо процесу стиснення вологої пари в циклі Карно, ефективний ККД циклу Ренкіна більш високий. Бажання підвищити ККД циклу паросилової установки привело вчених до думки про необхідність перегрівання водяної пари. Схема та цикл такої ПСУ наведені на рис. 14.4 і 14.5, при цьому принципова схема такої установки відрізняється від попередньої лише наявністю пароперегрівника ПП. Всі інші елементи установки і параметри стану в характерних точках такі ж, як і на рис. 14.2. Із барабана котла водяна пара надходить у пароперегрівник ПП, де відбувається під тиском р1 ізобаричне нагрівання її до температури Т1. Оскільки середня температура підведення теплоти збільшується, то і термічний ККД циклу збільшується. Рис. 14.5. Цикл паросилової установки з перегрівом пари Крім того, застосування перегрівання пари приводить до збільшення ступеня сухості пари на виході із турбіни. Дійсно, як бачимо з рис. 14.3 і рис. 14.5, при адіабатичному розширенні пари в турбіні до однакового кінцевого тиску p¢2 ступінь сухості пари в циклі з перегрівом X 2п більше ступеня сухості пари в циклі без перегріву Х2. Це приводить до зменшення сил тертя струмин пари між собою і поверхнею лопаток і зменшенню втрат енергії внаслідок необоротності процесів розширення, що також підвищує ККД циклу з перегріванням пари. Термічний ККД такого циклу також можна визначити за формулою (14.5), де h1 – ентальпія перегрітої пари. Величина h1–h2 – наявний перепад ентальпій, що перетворюється в кінетичну енергію, а потім у технічну роботу, тобто l т = h1 - h2 . (14.6) У формулі (14.5) не враховується робота живильного насоса. За умови v3 = v4 технічна робота насоса може бути розрахована за формулою p2 l н = ò v dp . (14.7) p1 З урахуванням lн робота циклу визначається як різниця додатної технічної роботи турбіни lт і від’ємної роботи насоса lн: l ц = l т - l н = (h1 - h2 ) - (h4 - h3 ) . (14.8) Підставляючи вираз (14.8) у формулу (14.1), дістанемо рівняння (14.4). Відзначимо, що формули (14.4)–(14.8) відносяться до ідеального циклу і не враховують втрат, що мають місце в реальних процесах. Однак ці формули з достатньою точністю можна використати для попередніх розрахунків паро- силових установок. Дуже зручно ці розрахунки проводити за h–s-діаграмою (рис. 14.5). На р–v-діаграмі (рис. 14.5) площа 1–2–р2–р1–1 еквівалентна технічній роботі турбіни lт, а площа 3–4–р1–р2–3 – роботі насоса lн. Різниця площ дорівнює площі 1–2–3–4–1, що еквівалентна корисній роботі циклу l ц. Порівняння роботи насоса lн у циклі Ренкіна з роботою стиснення пари lк у циклі Карно показує, що робота стиснення конденсату значно менше роботи стиснення пари (див. рис. 14.1 і 14.5). Розглянутий цикл Ренкіна з перегрівом пари складається тільки з внутрішньооборотних процесів, тому він отримав назву ідеального. В реальних умовах необхідно враховувати втрати енергії в живильному насосі, в турбіні, в паропроводах та ін. При застосуванні надкритичних параметрів пари ці втрати складають значну величину і розрахунки ККД за формулою (14.5) дають значні похибки. Незважаючи на це, ідеальний цикл Ренкіна є зразковим у промисловій енергетиці. Ефективність роботи паросилової установки визначається питомою витратою пари d, що характеризує витрату пари на виробництво одиничної роботи. Для визначення d можна скористатися рівнянням теплового балансу. Якщо годинна витрата пари D, кг/год, а потужність турбіни N, кВт, то робота, яка виконується D, кг пари, дорівнює D(h1 – h2), кДж/год. Тоді D (h1 - h2 ) можна записати N = , звідки 3600 d= D 3600 = , N h1 - h2 (14.9) де h1 i h2 – виражається у кДж/кг. 14.3. ВПЛИВ ПАРАМЕТРІВ ВОДЯНОЇ ПАРИ НА ЕФЕКТИВНІСТЬ РОБОТИ ПАРОСИЛОВИХ УСТАНОВОК Аналіз впливу параметрів водяної пари доцільно провести не за значеннями ентальпії (14.5), а за термічними параметрами (р1, р2, Т1). Для цього наведемо цикл Ренкіна в T–s-діаграмі. Вплив початкового тиску. Спочатку розглянемо вплив початкового тиску р1 на термічний ККД ідеального циклу Ренкіна (рис. 14.6, 14.7). З підвищенням тиску при постійних Т1 і р2 міра заповнення циклу і середньоінтегральна температура підведення теплоти підвищуються, що приводить до підвищення ht. Пояснюється це тим, що кількість підведеної теплоти q1 зменшується, а робота турбіни l т = h1 - h2 в області перегрітої пари збільшується і досягає максимуму при переході в область вологої пари Рис. 14.6. Вплив початкового тиску p1 на термічний ККД ідеального циклу Ренкіна Рис. 14.7. Залежність термічного і внутрішнього ККД ідеального циклу Ренкіна від початкового тиску p1 (див. рис. 14.6, лінії 1–2 і 1¢–2¢). Однак підвищення тиску р1 вище 30 МПа вважається недоцільним, оскільки це викликає значне підвищення металоємності установки, що небажано. д Але з другого боку, при підвищенні тиску р1 зростає робота насоса l н = h4 - h3 , що зменшує ККД. Враховуючи, що робота насоса мала порівняно з роботою турбіни, термічний ККД ht = f(p1) зростає (див. рис. 14.7). Але суттєвим недоліком цього способу є підвищення вологості пари в кінці розширення (рис. 14.6, точки 2¢ і 2¢¢). Тепер розглянемо, як впливає необоротність процесів на ККД циклу при підвищенні тиску р1. Так, завдяки силам тертя, що виникають між окремими струминами пари, струминами пари і поверхнями лопаток турбіни, процес розширення пари не буде ізоентропійним. Дійсний процес розширення пари проходить вздовж штрихових кривих (див. рис. 14.6), наприклад 1–2д, внаслідок чого зростає ентропія робочого тіла. Кінцева ентальпія h2д > h2. Відбувається втрата теплоти (заштрихована площина). У зв’язку з цим корисна робота (внутрішня або індикаторна) l i = h1 - h2 д менше роботи ідеального циклу l ц = h1 - h2 . Відношення дійсної роботи циклу до теоретичної називається відносним внутрішнім ККД турбіни: (h - h ) l hi = i = 1 2 д . l ц ( h1 - h2 ) (14.10) Якщо при підвищенні тиску р1 процес розширення пари закінчується в області вологої пари, то чим більше тиск, тим більше вологість пари в кінці розширення (Х² < Х¢). Поява краплинок води в парі ще більше спричинює зростання необоротності процесів, втрати ексергії і зниження внутрішнього ККД циклу hі. Тому внутрішній ККД турбіни з підвищенням тиску спочатку зростає завдяки більш швидкому зростанню термічного ККД, досягає максимуму при певному значенні р1опт, а потім падає (крива hі = f (p1) на рис. 14.7) Рис. 14.8. Вплив початкової температури T1 на термічний ККД циклу Ренкіна Рис. 14.9. Залежність внутрішнього ККД циклу Ренкіна від початкової температури T1 внаслідок більш інтенсивного зростання тертя. Оптимальний тиск р1опт залежить від температури Т1 і тиску пари на виході з турбіни р2. Із зростанням Т1 і р2 втрати на тертя в турбіні зменшуються і величина р1опт зростає. Кожним значенням Т1 і р2 відповідає певне значення р1опт. Аналогічно впливає необоротність процесу стиснення на роботу насоса. Дійсна робота насоса збільшується: lн.д > lн. Це також зменшує ККД циклу . Підвищення вологості пари в процесі її розширення спричинює погіршення умов роботи лопаток останніх ступенів проточної частини ротора турбіни. Краплі води викликають інтенсивне зношення (ерозію) поверхонь лопаток. Вплив початкової температури. Запобігти появі краплин води у парі можливо шляхом підвищення температури пари на вході в турбіну Т1 (рис. 14.8), завдяки чому ( T1¢¢ > T1¢ > T1 ) при постійних р1 і р2 термічний ККД підвищується. Пояснюється це підвищенням середньоінтегральної температури підведення теплоти і, таким чином, збільшенням кількості підведеної теплоти ( q1¢¢ > q1¢ > q1 ), в той час як робота насоса не змінюється. Це свідчить, що h1¢¢ > h¢1 > h1 . Крім підвищення термічного ККД циклу підвищується і внутрішній ККД турбіни. Дійсно, при збільшенні температури процес розширення зміщується праворуч і ступінь сухості зростає. Необоротність процесу і втрати енергії зменшуються, що приводить до більш швидкого зростання внутрішнього ККД турбіни і циклу взагалі . Під час переходу в область перегрітої пари при р2 = соnst спрацьована пара залишається перегрітою (лінія 1²–2²) і збільшуються втрати роботи внаслідок ПриККД цьому Рис. чим 14.11. більше Т1, тим більші ці втрати, Рис. 14.10.недорозширення. Залежність термічного Вплив кінцевого тиску p2 Ренкіна від початкових термічний ККД циклу а ідеального зростанняциклу hі сповільнюється (рис. 14.9,налінія б–с). Отже, при Ренкіна переході волотемператури T1 і тиску p1 граничну криву відбувається злам кривої hі = f (Tі ) гості пари через верхню (точка hгр). Однак, як бачимо (рис 14.8), з ростом Т1 робота розширення пари в турбіні збільшується, тому термічний і внутрішній ККД зростають, але дещо повільніше. З підвищенням р2 ізобари р1 і р2 зі збільшенням Т1 наближуються одна до одної і ріст ht і hі уповільнюється. Оскільки на кривій hі = f(Tі) відсутній максимум, то це свідчить про термодинамічну доцільність застосування максимально можливої температури. Підвищувати температуру можна до певного значення, яке визначається термічною міцністю матеріалу лопаток турбіни. Так, при застосуванні лопаток із звичайних сталей t1 = 550...575 °C. Зараз ведуться роботи щодо використання установок з лопатками із нержавіючої сталі, які можуть працювати при перегріванні до t = 600…650 °С. Найдоцільнішим є одночасне підвищення температури і тиску пари. На рис. 14.10 наведено залежності термічного ККД ідеального циклу Ренкіна від температури Т1 і тиску р1. Як бачимо, з ростом Т1 і р1 ККД також зростає. Однак з урахуванням втрат в реальній установці ефективний ККД hеф має максимум, тобто кожній температурі відповідає певне значення р1, за яких досягається максимальне значення ефективного ККД. Тому, підвищуючи температуру Т1 до максимально можливої і вибираючи найбільш економічно ефективне значення р1, забезпечують максимальний ККД циклу. Так, при t1 = 435 °С найбільш ефективним є р1 = 3...5 МПа, при 500 °С – р1 = 8...9 МПа, при t1 = 565 °С – р1 = 11...13 МПа. Вплив кінцевого тиску. Ефективність роботи паросилових установок залежить також від кінцевого тиску р2, або, що рівнозначно, від кінцевої температури Т2. При постійних Т1 і р1 зменшення тиску р2 свідчить про зменшення температури конденсації пари, збільшення температурного інтервалу і, таким чином, про зменшення кількості відведеної теплоти q2. Як бачимо з рис. 14.11, при зниженні тиску від р2 до p¢2 відведена теплота зменшується: q2¢ < q2 , а робота розширення збільшується на Dl = h2 - h2¢ , тобто збільшується ККД циклу. Тому з термодинамічної точки зору завжди вигідно знижувати р2. Але в реальних умовах зниження тиску р2 обмежується двома причинами. По-перше, при зниженні тиску р2 різко зростає об’єм спрацьованої пари, що викликає більшу витрату роботи на перекачування охолоджувальної води. По-друге, оскільки холодним теплоприймачем є навколишнє середовище (повітря, вода річок, озер), то гранична температура циклу визначається із середньорічної температури. Для України середньорічна розрахункова температура дорівнює 15 °С. Для забезпечення надійного теплообміну температура пари в конденсаторі має бути на 10–15 °С вище, тобто t2 = 25...30 °С, що відповідає тиску р2 = 0,003...0,004 МПа. Отже, у конденсаторі необхідно підтримувати відносно глибокий вакуум. Зараз на теплових електростанціях практично досягнуто граничних значень тиску р2, тому подальше підвищення термічного ККД можливе завдяки підвищенню р1 і Т1 та деяких інших інженерних рішень. Для сучасних теплових електростанцій (р1=17 МПа, t1=550 °С і р2 =0,004 МПа) термічний ККД теоретичного циклу ht = 0,46, а з урахуванням внутрішнього ККД (hі = 0,8...0,9) загальний ККД приблизно дорівнює 40 %. 14.4. УДОСКОНАЛЕННЯ ЦИКЛІВ ПАРОСИЛОВИХ УСТАНОВОК Ідеальний цикл Ренкіна складається тільки з внутрішньооборотних процесів. Здійснити їх на практиці неможливо. Тому ефективність реальних циклів значно нижча, ніж циклу Ренкіна. Так, навіть у разі застосування надвисоких параметрів пари і глибокого вакууму у конденсаторі, втрати теплоти у паросилових установках, що працюють за циклом Ренкіна, складають 50–60 %. Тому було запропоновано різні методи удосконалення паросилових установок: 1) підігрівання живильної води завдяки частково відпрацьованій парі (регенеративний цикл); 2) проміжне перегрівання частково відпрацьованої пари (цикли з проміжним перегріванням пари); 3) використання теплоти відпрацьованої пари (теплофікаційні цикли). Регенеративний цикл. Принцип регенерації теплоти в циклі Карно можна застосувати і в циклі Ренкіна. Ідея полягає в тому, що в парогенератор подається попередньо підігріта вода, тобто Рис. 14.13. Схема регенеративного циклу паросилової установки середньоінтегральна температура підведеної теплоти до робочого тіла збільшується. Це зменшує різницю температур між тепловіддавачем і робочим Рис. 14.12. Регенеративний цикл Ренкіна з перегрівом пари тілом і необоротність процесу, що призводить до збільшення термічного ККД. Підігрівання живильної води здійснюється завдяки частково відпрацьованій парі, що відбирається з різних ступенів проточної частини турбіни. Граничною температурою, до якої можна нагріти воду, є температура насичення у парогенераторі. Якщо у паросиловій установці відбувається цикл Ренкіна без перегрівання пари 1–2–3–4 (рис. 14.12), то для здійснення регенеративного циклу необхідно змінити процес адіабатичного розширення пари 1–2 на політропний процес 1–2р, який був би еквідистантний процесу нагрівання води 3–4. Тільки у цьому випадку теплота, що відведена у політропному процесі (площа 1 - 2 ¢ - 2р¢ - 2р - 1 ), дорівнює теплоті підігрівання води (площа 4–4¢–3¢–3–4). Такий цикл називається циклом з повною регенерацією, термічний ККД якого буде дорівнювати термічному ККД циклу Карно. Цикли з повною регенерацією можна виконати і з перегріванням пари 1п– 5–2п–3–4–1–1п. Термічний ККД такого циклу визначається за формулою htр = 1 - T2 (s 2 п - s 3 ) h1 п - h4 . (14.11) Як випливає із виразу (14.11), термічний коефіцієнт корисної дії такого циклу буде більший, ніж циклу Ренкіна без регенерації, оскільки q2 R = T2 (s 2 п - s 3 ) < q2 = T2 (s 2 к - s 3 ) , але менший, ніж у циклу Карно у межах тих же температур (площа 1п–5–2п–3–4–1–1п менше площі 1п–2к–3–4к–1п). Здійснити цикл з повною регенерацією теплоти у промислових умовах неможливо. Але деяке наближення до цього циклу можна зробити. На практиці застосовують цикли з частковою регенерацією теплоти. Схема такої паросилової установки, що працює за таким циклом (три відбори пари I–III), показана на рис. 14.13. Регенерація відбувається завдяки регенеративним підігрівникам, в які подається пара з різних ступенів турбіни. Регенеративними підігрівниками можуть бути поверхневі або змішувальні теплообмінники. Основна частина пари спрацьовує у паровій турбіні ПТ і направляється у конденсатор К, де конденсується, і конденсат послідовно подається у регенеративні змішувальні підігрівники ПРЗIII–ПРЗІ. За допомогою пари регенеративних відборів І–ІІІ вода підігрівається до температур насичення відповідно до тисків відборів р1в , р 2в , р3в і надходить у водяний економайзер ВЕ, а потім у паровий котел ПК. Регенеративний цикл неможливо зобразити в Т–s-діаграмі, оскільки кількість пари в адіабатичному розширенні вздовж проточної частини турбіни зменшується, а в процесі нагрівання – збільшується. Тому зображення регенеративного циклу необхідно розглядати як умовне. На рис. 14.14, а наведений регенеративний цикл з перегріванням пари і з трьома Рис. 14.14. Умовний регенеративний цикл паросилової установки відборами пари, а на рис. 14.14, б – витрата пари вздовж проточної частини турбіни. Проведемо термодинамічний аналіз регенеративного циклу. Позначимо через D, кг/с, кількість пари, що надходить у турбіну. Частки пари, що надходять відповідно в підігрівники І–ІІІ, позначимо через a1, a2, a3. Тоді кількість пари, що подається до першого підігрівника, буде a1D, до другого – a2D і до третього – a3D. Після першого відбору у турбіні залишається (1–a1)D пари, після другого – (1–a1–a2)D, а після третього – (1–a1–a2–a3)D. Остання кількість пари надходить у конденсатор, конденсується і конденсаційним насосом подається у третій підігрівник. Крім цього, у третій підігрівник надходить a3D пари третього відбору. Ця пара змішується з конденсатом і з третього підігрівника виходить (1–a1–a2)D пари, підігрітої до температури насичення води при тиску р3в . Із підігрівника ІІІ вода насосом подається у підігрівник ІІ, де тиск р 2в > р3в . Для підігрівання води до температури насичення при р2в у підігрівник ІІ до цієї кількості води додається a2D пари другого відбору. Із підігрівника ІІ виходить (1–a1)D води, що подається насосом у підігрівник І. Ця кількість води змішується з a1D пари першого відбору та з підігрівника І виходить D живильної води відповідних параметрів, що подається в котлоагрегат. Оскільки тиск пари відборів змінюється ступінчасто від р1в до р3в , то в схемі подачі конденсату необхідно мати декілька насосів, які б підвищували тиск до відповідних значень тисків пари відборів. Кількість пари відбору вибирають, виходячи з умов, що конденсат у підігрівнику нагрівається до температури насичення. Тоді для третього підігрівника рівняння теплового балансу запишеться так: (h3в - h3 ) a 3 = (h3 - hк )(1 - a1 - a 2 - a3 ) , (14.12) пенів де h3в , h3 , hк – відповідно ентальпія пари третього відбору, води на виході із підігрівника і конденсату на вході в підігрівник. Для другого підігрівника (h - h )a = (h - h )(1 - a - a ) , в 2 2 2 2 3 1 2 (14.13) Рис. 14.15. Залежність ККД регенеративного циклу паросилової установки від кількості відборів де h2в , h2 , h3 – відповідно ентальпія пари другого відбору, води на виході і на вході в підігрівник. Для першого підігрівника (h1в - h1 )a1 = ( h1 - h2 )(1 - a1 ) , (14.14) де h1в , h1 , h2 – відповідно ентальпія пари першого відбору, води на виході і на вході в підігрівник. У рівняннях (14.12)–(14.14) у лівій частині – кількість теплоти, яку віддає пара відбору, а в правій – яку сприймає вода у підігрівнику. Із останнього рівняння a1 = h1 - h2 h1в - h2 . (14.15) Послідовно розв’язуючи рівняння (14.12) і (14.13), знаходять a2 і a3. Значення ентальпій обчислюють за h–s-діаграмою або термодинамічними таблицями. Оскільки кількість пари змінюється вздовж проточної частини турбіни, то робота, що виконується в регенеративному циклі, може бути визначена на окремих ділянках: l р = (h1 - h7 ) + (h7 - h8 )(1 - a1 ) + (h8 - h9 )(1 - a1 - a2 ) + (h9 - h2 )(1 - a1 - a2 - a3 ) . (14.16) Як бачимо, робота регенеративного циклу менша, ніж робота циклу Ренкіна l = h1 – h2. Але і кількість теплоти, що підведена в циклі Ренкіна (q = h1 – h3), більша, ніж кількість теплоти, що підводиться p в регенеративному циклі ( q1 = h1 - h12 ) . Якщо врахувати, що відведення теплоти q2 здійснюється за однакової температури Т2, а підведення теплоти q1 – при більш високій температурі в регенеративному циклі, то термічний ККД регенеративного циклу більше ККД циклу Ренкіна (hрt > h t ) . Термічний ККД регенеративного циклу можна знайти за загальною формулою qp h pt = 1 - 2p . (14.17) q1 Кількість теплоти q 2p , що віддається охолоджувальній воді у конденсаторі в розрахунку на 1 кг пари, можна визначити за таким виразом: q 2p = ( h 2 - h3 )(1 - a1 - a 2 - a 3 ) . (14.18) Кількість підведеної теплоти в регенеративному циклі q1p = h1 - h12 . (14.19) Підставляючи вирази (14.18) і (14.19) у формулу (14.17), одержимо h pt = 1 - (h2 - h3 )(1 - a1 - a 2 - a 3 ) h1 - h12 . (14.20) Як показує аналіз, збільшення ступенів відбору пари n приводить до підвищення термічного ККД регенеративного циклу. Однак кожний наступний ступінь відбору вносить все менший вклад у збільшення ККД (рис. 14.15). Як бачимо, найбільші економія палива і підвищення ККД спостерігаються в підігрівниках низького тиску. Чим менші тиск і температура пари, тим більша економія палива і, навпаки, в підігрівниках високих тисків і температур економія мінімальна. Тобто існує гранична температура, перевищення якої не приводить до зростання ККД. Гранична температура досягається за умови, коли середньоінтегральна температура підведення теплоти воді в котлі T1ср дорівнює середньоінтегральній температурі підведення теплоти до води у верхньому підігрівнику T1вср . Тобто, оптимальною температурою регенеративного підігрівання живильної води буде така, за якої забезпечується максимальне зростання ККД. Вона завжди буде дещо менша за T1ср та зі зменшенням кількості відборів зменшуватиметься. Тільки за нескінченно великої кількості ступенів відбору оптимальна температура дорівнює T1ср . Регенеративний цикл значно підвищує ККД для паросилових установок високого тиску. Пояснюється це тим, що з підвищенням тиску збільшується кількість теплоти, що йде на підігрівання води до температури насичення, і зменшується теплота фазового переходу. Так, при р = 3 МПа на підігрів 1 кг води від 30 °С до Тн витрачається приблизно 880 кДж, а на пароутворення – 1900 кДж, а при р = 20 МПа відповідно 1700 і 580 кДж. Але враховуючи, що регенеративні підігрівники коштують дорого, кількість ступенів розраховують, виходячи з економічної доцільності. У потужних сучасних паротурбінних установках кількість ступенів відбору може досягти десяти, що приводить до підвищення ht на 10–15 %. Рис. 14.17. Цикл паросилової установки з проміжним перегрівом пари 14.5. ЦИКЛИ З ПРОМІЖНИМ ПЕРЕГРІВОМ ПАРИ Ступінь сухості пари відіграє важливу роль в ефективності роботи турбіни. При низьких ступенях сухості погіршується гідродинамічний режим роботи турбіни, що приводить до зростання необоротності процесів, втрати енергії, підвищенного зносу лопаток турбіни, зниженню внутрішнього ККД і всієї установки. У сучасних турбінах ступінь сухості не може бути нижче Х = 0,86...0,88. Для підвищення термічного ККД і ступеня сухості застосовують перегрів пари. Але це, як уже було показано, можливе лише до певних параметрів і вимагає додаткових капіталовкладень. Для підвищення термічного ККД і ступеня сухості пари в останніх ступенях турбіни може застосовуватися так званий проміжний (вторинний) перегрів пари (рис. 14.16). У разі застосування проміжного перегрівання турбіна виготовляється з двох частин – циліндра високого тиску ЦВТ і циліндра низького тиску ЦНТ. Циліндри розміщують, як правило, на одному валу. Потік пари, що спрацював у ЦВТ до тиску рпр > р2, виводиться і подається знову в котельний агрегат на проміжний перегрівник пари ППП, де температура його підвищується до Тпр, близької до Т1. Потім потік пари направляється в циліндр низького тиску, де вона спрацьовує до тиску р2. Розглянемо внутрішньооборотний цикл паросилової установки з проміжним перегрівом пари (рис. 14.17). На цій діаграмі процес 1–7 відповідає адіабатичному розширенню пари у ЦВТ, 7–8 – ізобаричному нагріванню пари у проміжному пароперегрівнику, 8–9 – адіабатичному розширенню пари Рис. 14.16. Схема паросилової установки у ЦНТ. Всі інші процеси подібні до з проміжним перегрівом пари процесів циклу Ренкіна. Як бачимо, введення проміжного перегріву пари зміщує кінцеву точку циклу 2 праворуч на віддаль 2–9, тобто приводить до підвищення ступеня сухості пари в кінці процесу розширення в турбіні. Для зручності проведення термодинамічного аналізу цей цикл можна умовно розбити на два: основний цикл Ренкіна (1–2–3–4–5–6–1) і додатковий (2–7–8–9–2). При цьому будемо вважати, що робота розширення основного циклу на дільниці 7–2 дорівнює роботі стиснення додаткового циклу на дільниці 2–7, тому вони не розглядаються. Термічний ККД циклу можна визначити за відомим рівнянням htпр = lц q1 . (14.21) Робота циклу складається з додатних робіт розширення у циліндрах високого і низького тиску і від’ємної роботи насосу на дільниці 3–4: l ц = (h1 - h7 ) + (h8 - h9 ) - (h4 - h3 ) . (14.22) Теплота q1 підводиться в процесах 4–5–6–1 і 7–8. Тоді q1 = (h1 - h4 ) + (h8 - h7 ) . (14.23) Підставляючи вирази для lц і q1 у вираз (14.21), дістанемо hпр t = (h1 - h7 ) + (h8 - h9 ) - (h4 - h3 ) . (h1 - h4 ) + (h8 - h7 ) (14.24) Якщо порівняти цей вираз з виразом для термічного ККД циклу Ренкіна (14.4), то бачимо, що чисельник у формулі (14.24) більше чисельника у формулі (14.4), але одночасно збільшується і знаменник у формулі (14.24). Тому залежно від параметрів термічний ККД циклу з проміжним перегріванням пари може бути більшим або меншим, ніж ККД циклу Ренкіна. Якщо середньоінтегральна температура підведення теплоти в проміжному пароперегрівнику T1ср.пр більша, ніж середньоінтегральна температура підведення теплоти T1ср в основному циклі, то введення проміжного перегріву призводить до збільшення термічного ККД циклу. Крім того, внаслідок підвищення ступеня сухості пари зменшуються втрати енергії від тертя, що спричинює підвищення внутрішнього ККД турбіни. Якщо врахувати, що робота насоса залишається однаковою, а кількість підведеної теплоти q1 l збільшується, то відносна робота насоса н теж зменшується. Отже, можна q1 стверджувати, що введення проміжного перегрівання пари за умови T1ср.пр > T1ср призводить до зростання ефективного ККД паротурбінної установки. Якщо проміжний перегрів здійснюється при T1ср.пр < T1ср, то термічний ККД циклу падає, але зменшення вологості пари все ж приводить до зростання внутрішнього ККД турбіни. Тому ефективний ККД установки за таких умов може зростати або спадати. Однак слід пам’ятати, що основною задачею циклу з проміжним перегрівом пари є підвищення ступеня сухості пари в кінці розширення в турбіні. Шляхом добору різних варіантів параметрів проміжного перегріву пари все ж вдається підвищити ККД цього циклу на 4–6 % порівняно з циклом Ренкіна. 14.6. ТЕПЛОФІКАЦІЙНІ ЦИКЛИ Незважаючи на вдосконалення циклу Ренкіна завдяки регенеративному підігріву води і проміжному перегріву пари, втрати теплоти у конденсаторі ПСУ з охолоджувальною водою складають більше, ніж 50 %. Використати цю теплоту неможливо, оскільки вона є низькопотенціальною і температура її не перевищує 30 °С. Уникнути цієї втрати можна не зменшенням q2, а підвищенням потенціалу, тобто підвищенням p2 i Т2 пари, відпрацьованої в турбіні. Це дає можливість застосовувати цю пару на теплові потреби промисловості або на опалення. Підвищення кінцевого тиску і температури, звичайно, призводить до зменшення термічного ККД циклу і кількості виробленої електроенергії. Але можливість використання великої кількості теплоти q2 дає значний економічний ефект. Станції, що одночасно виробляють електроенергію і теплоту, називаються теплоелектроцентралями (ТЕЦ), а турбіни, що застосовуються для цих цілей, –теплофікаційними. Станції, які виробляють тільки електроенергію, називаються конденсаційними електростанціями (КЕС), а турбіни, що використовуються на таких станціях, – конденсаційними. КЕС працюють за циклом Ренкіна. На ТЕЦ охолоджувальна вода конденсатора не подається у градирню, як на КЕС, а йде на теплові потреби. Для того, щоб використати охолоджувальну воду для опалення, температура її має бути не нижче 70– 100 °С. Для забезпечення ефективної теплопередачі температура пари, що надходить у конденсатор, має бути на 10–15 °С вище. У більшості випадків Рис. 14.18. Теплофікаційний цикл паросилової установки Рис. 14.20. Схема паросилової установки Рис. 14.19. Схема паросилової установки з протитиском з погіршеним вакуумом температура пари буде вища за 100 °С. Тобто тиск пари р2 має бути вищим за атмосферний. Такі турбіни називаються турбінами з протитиском. Розглянемо цикл теплофікаційної паросилової установки у T–s-діаграмі (рис. 14.18). Якщо станція виробляє тільки електроенергію, то вона працює за конденсаційним циклом Ренкіна 1–2–3–4–5–6–1. Якщо одночасно виробляються теплова і електрична енергія, то станція працює за теплофікаційним циклом 1–2¢–3¢–4¢–5–6–1. Отже, кількість теплоти, що перетворена в електроенергію, менша (на величину, еквівалентну площі 2¢–2– 3–4–3¢–2¢). Проте теплота, що корисно використовується, значно зростає і еквівалентна площі 2¢–7–8–3¢–2¢. Тиск пари на виході із теплофікаційної турбіни p ¢2 = 0,10...0,15 МПа, тоді як на виході із конденсаційної р2 = 3...5 кПа. Це свідчить про те, що термічний ККД теплофікаційної турбіни буде нижчим, ніж конденсаційної, але загальна кількість застосованої теплоти у теплофікаційному циклі значно більша. Тому для оцінювання роботи ТЕЦ вводять коефіцієнт використання теплоти hв.т, під яким розуміють відношення суми корисної роботи, що йде на вироблення електроенергії lе, і теплоти qт.с, що направляється тепловому споживачеві, до сумарної кількості теплоти q1, підведеної до робочого тіла в циклі: l + qт.с h в.т = e . (14.25) q1 Теоретично для ідеального теплофікаційного циклу коефіцієнт hв.т може дорівнювати одиниці, а в промислових умовах він дорівнює 0,6–0,9. У конденсаційних турбінах коефіцієнт hв.т дорівнює термічному ККД циклу і не перевищує 0,50–0,55. З цього видно, що комбіноване вироблення теплової і електричної енергії має в певних випадках переваги перед роздільним їх виробленням на КЕС і в котельнях. Оскільки для промисловості і побуту потрібні пара і вода в широкому діапазоні температур і тисків, на ТЕЦ для цього використовують теплофікаційні турбіни різних типів – з протитиском, з погіршеним вакуумом, або з регульованими проміжними відборами пари. Якщо ТЕЦ працює тільки на вироблення електроенергії й опалення, то можуть застосовуватися турбіни з погіршеним вакуумом (рис. 14.19). Тиск у конденсаторах таких турбін підтримують більш високим, ніж у конденсаційних. Це дає можливість нагріту до температури 70–80 °С охолоджувальну воду використовувати для опалення або гарячого водопостачання. Перевагою таких турбін є те, що коли відпадає необхідність в опаленні (літній період), тиск у конденсаторі може бути знижений до глибокого вакууму і вони працюють як конденсаційні. На рис. 14.20 показана схема ТЕЦ з теплофікаційною турбіною з протитиском. За такою схемою пара спрацьовує в турбіні до певного тиску (0,12–1,5 МПа) і направляється на промислові потреби, віддає там теплоту, Рис. 14.21. Схема ТЕЦ з регульованим і нерегульованим відборами пари конденсується і повертається у живильний бак ЖБ. Параметри пари, що подається на технологічні потреби, визначаються характером виробництва. Такі турбіни не мають конденсатора, вони простіші і дешевші, ніж конденсаційні, але вироблення електроенергії повністю залежить від витрати пари на теплові потреби. У разі використання теплофікаційних турбін кожний кілограм пари виконує корисну роботу (див. рис. 14.18) l e = h1 - h2¢ і віддає тепловому споживачеві теплоту qт.с = h2 ¢ - h3¢ . Якщо в такій установці витрата пари складає D, кг/с, то потужність з вироблення електроенергії обчислюється так: N е = (h1 - h2 ¢ )D , а теплова потужність – Qт.с = (h2 ¢ - h3¢ )D . З цих рівнянь видно, що N е і Qт.с жорстко зв’язані між собою. Кількість виробленої електричної енергії визначається потребами не електричних, а теплових споживачів. Турбіна з протитиском працює за вільним тепловим і вимушеним електричним графіками. Це незручно, оскільки графіки потреби у теплоті і електроенергії практично ніколи не збігаються. Цього недоліку позбавлені теплофікаційні турбіни з регульованими проміжними відборами пари. Такі турбіни складаються з двох-трьох циліндрів, що знаходяться на одному валу. На рис. 14.21 наведена схема ТЕЦ з регульованими і нерегульованими відборами пари. За даною схемою через циліндр високого тиску проходить весь потік пари, після чого здійснюється регенеративний відбір пари РВ для підігрівання живильної води. Спрацьована в циліндрі пара також направляється на промислові потреби (ПВ – промисловий відбір) і через регулювальний вентиль у циліндр низького тиску. У циліндрі низького тиску також можуть здійснюватися відбори пари, наприклад, теплофікаційний відбір пари ТВ на потреби опалення. Решта пари спрацьовує до кінця в турбіні і надходить в конденсатор, де конденсується і повертається в систему. Регулюючи співвідношення між відборами пари, можна незалежно змінювати як теплове, так і електричне навантаження турбіни, що дуже зручно і чим пояснюється їх широке розповсюдження на ТЕЦ. При необхідності можуть бути декілька регульованих і нерегульованих відборів пари з різними параметрами. 14.7. ЦИКЛИ ПАРОГАЗОВИХ УСТАНОВОК Незважаючи на те, що в газових Рис. 14.22. Схема парогазової установки турбінних установках використовується робоче тіло при достатньо високих температурах (t1 » 1100...1400 °С), ККД таких установок невеликий. Пояснюється це високими температурами відпрацьованих газів (t2 » 400 °С) і низькою ентальпійністю робочого тіла. Перевагами ГТУ порівняно з ПСУ є значно вища температура підведення теплоти q1, а перевагою паросилових установок – більш низька температура відведення теплоти q2. Очевидно найбільш ефективний – комбінований цикл, в якому температура T1 наближається до максимальної в газовій турбіні, а температура відведення теплоти q2 – до температури T2 парового циклу, тобто до температури навколишнього середовища. Такий цикл буде бінарним, оскільки в ньому використовують два робочих тіла. У цій схемі вся теплота після високотемпературного верхнього (газового або парогазового) циклу майже повністю застосовується в низькотемпературному нижньому (пароводяному) циклі. З метою підвищення ККД ГТУ було запропоновано як робоче тіло суміш високоентальпійної води і газів. Газові турбіни, що працюють на суміші парів води і газів або в схемах яких використовують газ і пару, називаються парогазовими установками (ПГУ). До цього часу розроблено багато схем парогазових установок. Спочатку розглянемо схему ПГУ, в якій газовий і паровий цикли працюють паралельно (рис. 14.22). Стиснуте компресором КМ повітря подається в камеру згоряння КЗ, куди також надходить паливо. Процес горіння відбувається під надлишковим тиском. Продукти згоряння охолоджуються водяною парою і при Рис. 14.23. Цикл парогазової температурі 800–900 °С надходять у установки газову турбіну ГТ, де, розширюючись практично до тиску навколишнього середовища, виконують роботу. Газова турбіна находиться на одному валу з електрогенератором Г. Відпрацьовані в турбіні продукти згоряння при достатньо високій температурі надходять в регенеративний підігрівник РП, де, охолоджуючись, віддають теплоту конденсату, після чого вони викидаються в навколишнє середовище і охолоджуються. Паровий цикл працює таким чином. Перегріта в камері згоряння водяна пара надходить у парову турбіну ПТ, де спрацьовує і надходить у конденсатор К. У конденсаторі пара охолоджується проточною водою ОВ, конденсується і подається насосом Н в регенеративний підігрівник. У підігрівнику конденсат підігрівається до температури насичення і поступає в камеру згоряння. На рис. 14.23 наводиться цикл парогазової установки. Він складається із парового циклу 1–2–3–4–5–6–1 і газового 7–8–9–10. Адіабатично стиснуте в компресорі повітря (лінія 9–10) надходить в камеру згоряння, де йому в ізобаричних умовах (лінія 10–7) передається теплота спалювання палива q1г. Продукти згоряння, адіабатично розширюючись (лінія 7–8), спрацьовують у газовій турбіні. Розширення відбувається практично до тиску навколишнього середовища. Потім гази надходять у регенеративний підігрівник, де здійснюється підігрівання живильної води паросилової установки (лінія 8–8¢). Подальше охолодження продуктів згоряння відбувається в атмосфері (лінія 8¢–9). Ефективність такого циклу значною мірою залежить від різниці температур відпрацьованих газів і живильної води. Чим менше різниця температур Dt = t8 - t5 та Dt = t8 ¢ - t4 , тим ближче ізобара процесу нагрівання води 4–5 до ізобари охолодження газу 8–8¢ і тим ближче вони будуть до еквідистантних. Чим крутіше ідуть ізобари, тим менше зростання ентропії і вище ефективність процесу. Враховуючи, що теплоємності води і газів різні, тобто їх теплові еквіваленти різні, для здійснення ізобаричних процесів нагрівання води і охолодження газів необхідно подавати різні кількості робочих тіл. Співвідношення між масою газу і води можна знайти із рівняння теплового балансу: Dв cв (t5 - t 4 ) = mг cг (t8 - t8¢ ) , (14.26) де Dв – витрата живильної води, кг/с; cв, cг – відповідно теплоємністі води і газів; mг – масова витрата відпрацьованих газів, кг/с. Оскільки процес теплообміну в регенеративному теплообміннику ізобаричний, то рівняння (14.26) можна записати через ентальпії. Для Dв = 1 кг/с h5 - h4 = mг (h8 - h8¢ ) , (14.27) звідки mг = h5 - h4 , h8 - h8¢ (14.28) де h4, h5 – ентальпія живильної води у відповідних станах; h8, h8¢ – ентальпія відпрацьованих газів у відповідних станах. Визначимо термічний ККД такого циклу. Корисна робота циклу складається із робіт парового lп і газового lг циклів. Корисна робота парового циклу визначається за формулою lп = (h1 - h2 ) - (h4 - h3 ) , (14.29) а корисна робота газового циклу lг = mг (h7 - h8 ) - mг (h10 - h9 ) . (14.30) Підведена теплота також складається із теплоти, підведеної в газовому q1г і паровому циклах q1п: q1 = q1г + q1п . (14.31) Теплота, підведена в газовому циклі, q1г = mг (h7 - h10 ) , (14.32) а теплота, підведена в паровому циклі, q1п = h1 - h5 . (14.33) Тоді термічний ККД циклу визначиться так: ht = l г + lп m (h - h8 ) - mг (h10 - h9 ) + (h1 - h2 ) - (h4 - h3 ) = г 7 . (14.34) mг (h7 - h10 ) + (h1 - h5 ) q1г - q1п Термічний ККД такого циклу залежить від параметрів робочих тіл. При роботі на оптимальних параметрах економія палива в циклі порівняно з паровими може досягати 8–12 %. Пояснюється це тим, що ліва частина парового циклу (3–4–5–5¢) являє бінарне підстроювання до газового циклу (9–10–7–8) і теплота відпрацьованих газів використовується для підігрівання води. Втрати теплоти в ГТУ зведені до мінімуму завдяки глибокому охолодженню газів у регенеративному підігрівнику. Економія палива також досягається завдяки тому, що паротурбінна частина таких установок не має власних втрат теплоти з відхідними газами. Крім розглянутої схеми в парогазових установках застосовуються й інші схеми, що також приводять до економії палива. Найбільш ефективною є схема, в якій паровий цикл є повністю утилізаційним відносно газового. На рис. 14.24 наведена схема такої установки. Як і в схемі на рис. 14.22, процес горіння палива здійснюється в камері згоряння, куди під тиском надходить повітря. Температура газів на виході із камери згоряння становить 1100–1300 °С. Така висока температура газів вимагає охолодження лопаток турбіни, яке здійснюється за допомогою водяної пари. Парова частина працює так. Конденсат після конденсатора К живильним насосом ЖН подається в утилізаційний котел КУ. В утилізаційний котел надходять також спрацьовані в газовій турбіні гази, що мають достатньо високу температуру. Після котла пара надходить в пароперегрівник ПП, який знаходиться в газовій турбіні. Завдяки теплоті газів пара перегрівається і подається до парової турбіни ПТ. Після спрацювання до глибокого вакууму пара надходить у конденсатор, де охолоджується охолоджувальною водою ОВ, конденсується і живильним насосом подається в котел. Термічний ККД такого циклу 50 % і більше. Корисна робота циклу складається із суми робіт газової і парової турбіни, Рис. 14.24. Схема парогазової установки з утилізаційним циклом втрати теплоти – із теплоти викидних газів і теплоти, що втрачається в конденсаторі. 14.8. ПЕРСПЕКТИВИ РОЗВИТКУ КОМБІНОВАНИХ ЦИКЛІВ Подальший розвиток енергетики пов’язують з удосконаленням комбінованих парогазових турбінних схем вироблення теплової та електричної енергії. Зараз розробляються дві принципові схеми комбінованих парогазових турбінних установок (КПГТУ) – утилізаційна, що використовує бінарний цикл, і парогазова, з безпосереднім змішуванням водяної пари і газової суміші, що працює на циклі Христіановича – Ченга, який більш широко відомий як схема STIG (Steam Injection Gas Turbine). ПГУ, що працюють на парогазовій суміші, називаються ще контактними або монарними. Переваги КПГТУ проявляються повною мірою лише після розв’язання Рис.як14.25. Схема комбінованої парогазової турбінної таких наукових проблем система введення та регенерації води, охолодження лопаток установки турбіни паром або парогазовою сумішшю, розроблення методик та критеріїв оцінки економічної ефективності енергоустановки з метою вибору оптимальних параметрів. Створювати нові КПТГУ можна двома шляхами: вибирають необхідну газотурбінну установку і переводять її на роботу з парогазовою сумішшю; здійснюють термодинамічний розрахунок циклу КПТГУ, вибирають оптимальні режимні параметри установки і на основі цього проектують нову енергоустановку. Перший підхід вимагає менших витрат коштів, але ефективність таких установок не завжди буде максимально можливою. Другий підхід є дорожчим, але ефективність його максимальна. У деяких країнах (США, Німеччина та інші) вже побудовані дослідно промислові зразки КПТГУ, що підтверджують їх високу ефективність. Для України на даний час актуальним є перший підхід, що не вимагає витрати значних коштів і, крім того, виробництво ГТУ в нашій країні налаштовано на достатньо високому науковому і технічному рівнях. Ряд вчених – С. Фролов, П. Костенко (Харківський авіаційний інститут), Л. Мартиненко, І. Степанов (ЗМКБ “Прогрес”), П. Жеманюк, П. Хомутов (АТ “Мотор Січ”) – запропонували на базі авіаційних двигунів АІ-9-3Б, АІ-9В та D-336 створити нові парогазові установки з впорскуванням пари в газову суміш. На рис. 14.25 наведена принципова схема такої установки. Повітря після стиснення в компресорі низького тиску КМНТ надходить в проміжний охолоджувач –вихрову випарну камеру ВВК, куди також надходить вода в кількості mв, яка завдяки теплоті повітря випаровується, а температура повітря знижується. Охолоджена суміш надходить в компресор високого тиску КМВТ. Наявність ВВК зменшує споживану компресором потужність і збільшує корисну потужність установки. Після КМВТ суміш розділяється на два потоки і надходить у камеру згоряння КЗ. Первинний потік подається безпосередньо в зону горіння палива. Як показали досліди, подача пари в зону горіння в кількості 5–10 % від витрати первинного повітря знижує в продуктах згоряння концентрацію СО в 3, NO – в 1,5–2 рази, NO2 – в 2 рази. Подача вторинної пари в зону змішування ЗЗм практично не впливає на склад продуктів згоряння. Подача води у ВВК приводить до значного зниження температури повітря на вході в камеру згоряння. Внаслідок цього спалюється більше палива і перерозподіляються витрати первинного і вторинного потоків повітря. В зону горіння необхідно подавати більшу частину повітря і тим самим зменшити сумарний коефіцієнт надлишку повітря. Це приводить до росту підведеної теплоти q1 і збільшення ефективності циклу. Використовуючи двигун D-336 і маючи ВВК у схемі енергоустановки, можна одержати додатковий приріст питомої потужності на 43 %. Але основний ефект у такій схемі досягається завдяки введенню енергетичної пари в зону змішування камери згоряння. Енергетична пара виробляється в котлі-утилізаторі КУ внаслідок відпрацьованих у газовій турбіні ГТ газів. Введення відносно холодної пари знижує температуру газів у камері згоряння і одночасно водяна пара перегрівається. В зв’язку з тим, що ентальпія пари більша за ентальпію продуктів згоряння, ентальпія суміші збільшується. Ентальпію парогазової суміші можна розрахувати за такою формулою: hпгс = с г t пгс + [ с в t н + r + с п (t пгс - t н )] d , (14.35) де hпгс – ентальпія парогазової суміші, сг, св, сп – відповідно теплоємності газу, води та водяної пари; tпгс, tн – температури парогазової суміші та насичення води; d – кількість впорскуваної води на 1 кг газу. Оскільки теплоємність св і сп значно більші, ніж теплоємність сг, то при однакових температурах hпгс > hг. Внаслідок цього суттєво збільшується наявний перепад ентальпії робочого тіла при розширенні в турбіні і зростає ККД циклу. Парогазова суміш містить значну кількість води. Викиди її в навколишнє середовище призводять до небажаних результатів (перезволоження атмосфери, заболочування місцевості та ін.). Для запобігання цьому, а також з ціллю економії охолоджуваної води, на виробництво якої витрачаються значні кількості енергії, в наведеній схемі передбачена система регенерації води. Після котла-утилізатора спрацьована суміш надходить у вихровий конденсатор-сепаратор ВКС, де завдяки охолодженій воді mв.кс відбувається регенерація води. Несконденсована водяна пара і дрібні краплини води разом з продуктами згоряння надходять в скрубер С і видаляються. Незважаючи на значні переваги циклів STIG, схеми, що їх реалізують, мають ряд суттєвих недоліків порівняно з чисто бінарними циклами. В таких Рис. 14.27. Зображення циклах витрачається велика кількість хімічно очищеної води, на одержання якої процесу передачі теплоти йде велика кількість енергії. По-друге, температурав відпрацьованої робочої ізотермічних і неізотерпарогазової суміші складає 150–160 °С. Враховуючи, що умовах парогазова суміш мічних має значну ентальпію, втрати енергії з відхідними газами будуть у 10–12 разів більші, ніж у паровому циклі. По-третє, процеси охолодження парогазової суміші і випаровування води в котлі-утилізаторі проходять із значною необоротністю і втратою енергії. Значні роботи по усуненню даних недоліків проведені проф. М. О. Диким і його співробітниками (Національний технічний університет України “КПІ”). Аналіз способів отримання води, придатної для використання в циклі ГТУ, показав, що вони є дорогими, і значно знижують ефективність установки. В той Рис. 14.26. Схема комбінованої парогазової турбінної установки з контактним конденсатором же час в парогазовій суміші міститься достатня для циклу кількість води. Автори розробили надійну технологію отримання води із парогазової суміші за допомогою контактного конденсатора. Це дало можливість створити вперше в світі парогазові установки типа “ Водолій” потужністю 16 і 25 МВт. Схема такої установки наведена на рис. 14.26. Стиснуте в компресорі КМ повітря надходить у камеру згоряння КЗ. Туди ж подається паливо і пара. Парогазова суміш надходить у газову турбіну ГТ, спрацьовує і подається в котел-утилізатор КУ. Там гази, охолоджуючись, віддають теплоту конденсату. Конденсат випаровується, пара перегрівається і надходить у камеру згоряння. Охолоджена в котлі-утилізаторі суміш постає у контактний конденсатор КК, де відбувається конденсація пари, а гази видаляються в навколишнє середовище. Конденсат надходить у конденсатозбірник КЗб, потім в очисник конденсату ОК. Очищений конденсат через Рис. 14.28. Зображення зовнішній охолодник Ох подається у контактний зростання ентропії в конденсатор і в котел-утилізатор. Отже, наведена ізобаричному й схема повністю забезпечує себе живильною ізотермічному процесах водою. Для зменшення втрат теплоти з відпрацьованими газами автори запропонували здійснювати процес передачі теплоти не в ізотермічних, а в ізобаричних умовах. Дійсно, як бачимо з рис. 14.27, процес охолодження газів відбувається за ізобарою 8–9, процес нагрівання води, фазового її перетворення та нагрівання пари – за лінією 4–5–6–1. Для випаровування води від точки насичення 5 може бути використана теплота відпрацьованих газів, що дорівнює площі 8–а–б–8¢–8. Решту теплоти, що дорівнює площі 8¢– б–в–9–8¢, можна застосувати тільки для нагрівання води до температури насичення Т5. Для повного використання теплоти необхідно, щоб теплові еквіваленти парогазової суміші і нагрівальної води були однакові: с пгс mпгс = с в m в , де с пгс – теплоємність парогазової суміші; m пгс , mв – масові витрати парогазової суміші та води. Для підвищення ефективності установки автором запропоновано здійснювати неізотермічне випаровування води на економайзерній ділянці. Заміною ізотермічних процесів можна суттєво підвищити ефективність перетворення теплоти в роботу завдяки зменшенню термодинамічної необоротності процесу фазового перетворення. Як відомо, ізотермічний процес випаровування води в котлі-утилізаторі відбувається при значній зовнішній необоротності, що, згідно з законом Гюї–Стодоли, викликає великі втрати працездатності утилізаційної теплоти: l = T0 Ds. Із рис. 14.28 бачимо, що в ізотермічному процесі випаровування води ентропія зростає на більшу величину Dsіз, ніж при неізотермічному ( Ds із > Dsнеіз). Чим ближче розміщені ізобаричні процеси охолодження відпрацьованих газів і нагрівання води, тим на меншу величину зростає ентропія Dsнеіз. Отже, заміна ізотермічного випаровування води на неізотермічне приводить до зменшення росту ентропії і, очевидно, до збільшення ККД циклу. Так, якщо ПГУ типу “Водолій” має ККД 45 %, то застосування неізотермічного процесу випаровування води на економайзерній ділянці котла-утилізатора підвищує його ККД до 49–50 %, а заміна всього ізотермічного процесу випаровування води на неізотермічний приводить до зростання ККД до 58–59 %. Використання надлишкової води для проміжного охолодження повітря дає можливість підвищити ефективний ККД установки до 62–64 %. Розглянута схема комбінованої парогазової турбінної установки має ряд суттєвих переваг, основними з яких є висока ефективність, екологічна чистота, в 3–8 разів менша металоємність на 1 кВт установленої потужності. Але головною перевагою такої установки є те, що вона не використовує, а, навпаки, виробляє воду під час своєї роботи (до 0,25 кг води на 1 кВт/год). Отже, розглянута схема є принципово новою установкою перетворення теплоти в роботу, аналогів якої немає в світовій практиці і немає ніяких перешкод для її широкого впровадження. Такі установки мають велику перспективу. 14.9. ЦИКЛИ ЯДЕРНИХ ЕНЕРГЕТИЧНИХ УСТАНОВОК Установки, що замість органічного палива використовують енергію розщеплення ядер важких елементів, називаються ядерними енергетичними установками (ЯЕУ). Паливом для них служить уран U238, збагачений ізотопами урану U233, U235 або плутонію Рu239 та Рu241. У природі зустрічаються тільки ізотопи U235 , інші види ядерного палива отримують внаслідок штучних ядерних реакцій. Регульована ланцюгова реакція поділу ядер здійснюється завдяки нейтронам в атомних реакторах. Перші реактори, які використовували природний уран, підтримували реакції поділу завдяки повільним (тепловим) нейтронам. Під час здійснення реакції розщеплення виділяється величезна кількість енергії, наприклад, при розщепленні 1 кг урану U235 виділена кількість теплоти еквівалентна спаленню 2500 т кам’яного вугілля. Значно більша енергія виділяється внаслідок термоядерної реакції синтезу легких елементів. Реакція розщеплення ядер здійснюється безпосередньо в тепловидільних елементах (твел), що являють із себе блоки урану або двооксиду урану. Для запобігання попадання радіоактивних речовин у теплоносій блоки розміщують у герметичні металеві оболонки. Передача теплоти реакції розщеплення здійснюється за допомогою теплоносіїв, у потоці яких знаходяться твели. Як теплоносії використовуються звичайна і важка вода, гази – СО2, гелій, рідкі метали, органічні рідини та ін. Електричні станції, що використовують енергію ядерних реакцій для вироблення електроенергії, називаються атомними електричними Рис. 14.29. СхемаПеретворення одноконтурної АЕС з паровою (а) і газовою (б) турбінами станціями (АЕС). теплової енергії ядерних реакцій у електричну здійснюється завдяки звичайним схемам паросилових або газотурбінних установок. Особливості схем і циклів таких установок визначаються типом ядерного реактора, видом теплоносія та ін. Найбільше поширення знайшли водо-водяні реактори. В даній схемі вода відіграє роль теплоносія і сповільнювача теплових нейтронів, тобто забезпечує здійснення регульованої реакції поділу ядер. Якщо відбір теплоти і одержання роботи відбувається за допомогою одного тіла, то така схема називається одноконтурною. Оскільки робоче тіло в такій схемі безпосередньо контактує з твелами, то з’являється небезпека забруднення води і всього обладнання радіоактивними речовинами. Тоді вся система має біологічний захист. Для запобігання впливу радіоактивних речовин на обслуговуючий персонал використовують двоконтурні схеми, в яких теплоносій після ядерного реактора направляється в парогенератор, віддає теплоту робочому тілу другого контуру і повертається в ядерний реактор. Другий контур є повністю нерадіоактивним. У біологічній оболонці знаходиться ядерний реактор та парогенератор. Іноді використовують триконтурні схеми. Схеми ядерних енергетичних установок. На рис. 14.29 наведені схеми одноконтурних АЕС з паровою (а) і газовою (б) турбінами. В паровій схемі вода, відбираючи теплоту ядерних перетворень у реакторі Р, перетворюється в пару, перегрівається і надходить у парову турбіну ПТ. У паровій турбіні, адіабатично розширюючись, пара спрацьовує і надходить у конденсатор К. Після конденсатора вода насосом Н знову подається в реактор. Схеми з газовим теплоносієм працюють за таким принципом. Потік газу після стиснення в компресорі КМ направляється в реактор Р, де, охолоджуючи твели, газ нагрівається до високих температур, а потім надходить у газову турбіну ГТ. У газовій турбіні відбувається перетворення енергії потоку в механічну, а потім в електричну енергію. Після турбіни газ надходить у зовнішній охолодник Ох, охолоджується і поступає в компресор. Застосування газу як теплоносія має ряд переваг. Гази є більш радіаційно стійкими. Під час проходження газів через реактор вони отримують незначну радіоактивність порівняно з водяною парою і, особливо, з рідкими металами. Але такі схеми мають і ряд суттєвих недоліків. Оскільки теплоємність водяної пари значно більша за теплоємність газів, то для охолодження твелів доводиться прокачувати значно більшу кількість газів. Втрати потужності на прокачку складають 10–15 % від потужності турбіни, в той час як у водо-водяних схемах ці втрати складають 1–3 %. Для їх зменшення збільшують різницю температур теплоносіїв на вході в реактор і на виході із нього. Так, при використанні вуглекислоти ця різниця складає 430– 520 °С, а гелію 550–750 °С. Температура газів на виході із реактора залежно від їх теплофізичних властивостей Рис. 14.30. Схема двоконтурної АЕС і допустимої температури поверхні твелів може складати 350–1100 °С. Найбільш перспективним вважається подальший розвиток ядерних енергетичних установок на базі одноконтурних схем з використанням гелію. Застосування регенеративного циклу дає можливість довести ККД таких установок до 42 %. Для повного запобігання радіоактивного забруднення навколишнього середовища й опромінення обслуговуючого персоналу застосовуються двоконтурні схеми (рис. 14.30). У даній схемі передача теплоти від твелів здійснюється за допомогою проміжного теплоносія. Проміжний теплоносій із реактора Р надходить у паровий генератор ПГ, де здійснюється передача енергії, як правило, воді і водяній парі. Теплоносії первинного і вторинного контурів не контактують між собою. Після парогенератора теплоносій первинного контуру повертається в ядерний реактор, а водяна пара за звичайною схемою надходить у парову турбіну ПТ, здійснює там роботу і подається в конденсатор К. Після конденсатора вода насосом Н знову подається в паровий генератор. Для забезпечення безпеки другий контур відокремлюється від першого за допомогою біологічного захисту БЗ. Матеріал для біологічного захисту – баритобетон. Ефективність циклів АЕС, як і паросилових, залежить від початкових і кінцевих параметрів теплоносіїв, що надходять у парову або газову турбіни. Для підвищення початкової температури водяної пари в первинному контурі можуть використовуватися рідкі метали (в основному калій або натрій). Однак, як вже вказувалось, потужність ядерного реактора визначається допустимою температурою поверхні твелів. При розміщенні ядерних матеріалів у цирконієвій оболонці допустима температура 400–450 °С, при використанні нержавіючої сталі – 600 °С. Певні обмеження на одержання теплоносія з високою температурою викликані теплофізичними властивостями ядерного палива. Значно розширило цей діапазон застосування діоксиду урану UO2, який дає можливість підвищити температуру теплоносія до 1000 °С. Використання рідких металів як теплоносіїв має також і суттєві недоліки. Рідкі метали зазнають значного радіоактивного забруднення, що вимагає застосувати триконтурні схеми. В першому контурі циркулює натрій, в другому – натрій або натрієво-калієвий сплав. У третьому контурі використовується вода. Другий і третій контури повністю нерадіоактивні. Застосування проміжного перегріву в таких схемах приводить до підвищення ефективного ККД АЕС. Але поняття ефективність АЕС має свої специфічні особливості. Так, якщо для ТЕЦ вартість палива у вартості електроенергії складає до 60 %, то на АЕС вона коливається від 15 до 40 %, а в установках, де виробляється плутоній, паливна складова вартості незначна і нею нехтують. Для України, яка відчуває гострий дефіцит власних запасів нафти і газу, подальший розвиток атомної енергетики має першочергове значення. На користь цього свідчить і те, що Україна володіє величезними запасами урану (Кіровоградська область). Але для розвитку атомної енергетики необхідно розробити замкнений цикл одержання ядерного палива, а також, очевидно, нові, більш надійні типи ядерних реакторів. Велику перспективу можуть мати проекти підземних АЕС з використанням реакторів підводних човнів, що на достатньо високому науковому і технічному рівні виготовлялися в колишньому Радянському Союзі. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ 1. Проаналізуйте причини неможливості застосування циклу Карно для паросилових установок. 2. Наведіть принципову схему і поясніть принцип дії паротурбінної установки. Наведіть цикл Ренкіна в р–v- і Т–s-діаграмах. 3. Виведіть формулу для розрахунку термічного ККД ідеального циклу Ренкіна. Як впливає перегрів пари на ефективність роботи установки? 4. Поясніть, як впливають початковий тиск, початкова температура та кінцевий тиск на ефективність роботи паротурбінної установки. 5. Наведіть цикл паротурбінної установки з повною регенерацією. Покажіть, що термічний ККД установки в цьому циклі дорівнює ККД циклу Ренкіна. Наведіть схему і умовний цикл паросилової установки з частковою регенерацією і поясніть принцип її дії. 6. На основі чого визначаються частки пари, що використовують на регенеративний перегрів води? Наведіть ці співвідношення. 7. Виведіть вираз для визначення термічного ККД регенеративного циклу і проаналізуйте його. Як впливає кількість відборів пари на ККД установки? 8. Наведіть схему і цикл паросилової установки з проміжним перегрівом пари і поясніть принцип її дії. Виведіть формулу для термічного ККД такого циклу і проаналізуйте її. 9. Що таке КЕС і ТЕЦ? Наведіть їх схеми. Які недоліки і переваги цих схем використання теплоти? Наведіть теплофікаційний цикл паросилової установки. Що таке коефіцієнт використання теплоти і як він визначається? 10. Наведіть схеми ТЕЦ з погіршеним вакуумом, з протитиском, з регульованими проміжними відборами. Їх переваги і недоліки. В якій залежності знаходиться виробка електроенергії і теплоти в цих схемах? 11. Якими перевагами володіють ГТУ порівняно з ПСУ і навпаки? 12. Наведіть схему ПГУ, в якій паровий і газовий цикл працюють паралельно. Які недоліки такої схеми? 13. Наведіть схему і цикл ПГУ з регенерацією теплоти. Запишіть співвідношення для визначення теплового еквівалента між газом та водою. Виведіть формулу для визначення ККД такого циклу і проаналізуйте її. 14. Наведіть схему ПГУ, в якій паровий цикл є повністю утилізаційним. Якими перевагами володіє така схема? 15. Які шляхи подальшого вдосконалення комбінованих парогазових циклів намітилися в роботах українських вчених? Наведіть схему парогазової установки з впорскуванням пари в газову суміш на базі авіаційних двигунів. Якими недоліками володіють такі цикли? 16. Наведіть схему нової парогазової установки типу “Водолій”. Які суттєво нові елементи включено в цю схему? Якими важливими перевагами володіють такі установки? 17. Які існують перспективи подальшого розвитку атомної енергетики в Україні? Що є паливом в ядерних енергетичних установках? Наведіть схеми одно- і двоконтурної АЕС. Поясніть принцип їх дії. Якими недоліками і перевагами вони володіють? Розділ 15. ЗВОРОТНІ ЦИКЛИ ТЕПЛОВИХ МАШИН 15.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ У багатьох галузях промисловості широко застосовується холод (харчова промисловість, сільське господарство, зрідження газів, кондиціювання повітря, замороження зволожених ґрунтів під час підземного будівництва та ін.) Основним призначенням холодильних установок є відбір енергії від більш холодного тіла (холодильна камера) і передача її більш гарячому тілу. Згідно з другим законом термодинаміки такі процеси не відбуваються самочинно і для проходження їх потрібно витратити зовнішню енергію (механічну або теплову ). Для здійснення такої передачі енергії, а також для трансформації теплоти із низького на більш високий температурний рівень застосовують зворотні цикли. Такі установки називаються трансформаторами теплоти або тепловими насосами . Холодильні установки класифікуються за властивостями робочих тіл як газові і парові. До першої групи відносяться повітряні холодильні установки, до другої – парокомпресорні, робочим тілом яких є пари різних речовин з температурою кипіння при атмосферному тиску нижче 0 °С (аміак NH3, вуглекислота CO2, фреони та ін.), що дає можливість позбавитися необхідності підтримувати розрідження у випарнику, чим виключається підсмоктування зовнішнього повітря. Робочі тіла парокомпресорних установок називаються холодоагентами або хладонами. Найбільш поширені аміак і фреони. Фреони – це фторохлорпохідні вуглеводню із загальною формулою СmHnF2C1. Найбільш поширені фреон-12 (за міжнародним стандартом позначається через R-12), фреон-22 (R-134а) та ін. Температура кипіння фреонів залежить від їх складу. Так, для R-12 при атмосферному тиску tн = -29,8 °С , для R-14 t н = -128 °С , для R-22 tн = -40,8 °С , для R-103 tн = -81 °С . У земних умовах фреони не токсичні, не утворюють вибухонебезпечних сумішей, відносно металів нейтральні. У зв’язку з цим фреони широко застосовують у побутових холодильниках. Але, як показано в роботах останніх років, атоми фреонів, дифундуючи у верхні шари стратосфери, під дією космічних променів розпадаються і виділяють атомарний хлор, який є дуже активним і взаємодіє з озоном. Це призводить до руйнації озонового шару атмосфери. Тому прийнята міжнародна угода, згідно з якою виробництво фреонів, які вміщують хлор, має бути припиненим до 2000 р. Аміак (позначається через R-717) широко використовують у промислових умовах, але він токсично діє на організм людини. Температура кипіння аміаку при р = 0,1 МПа tн = -33,4 °С . Аміак має приблизно однакові з фреоном R-12 термодинамічні властивості, але більшу теплоту пароутворення. Це підвищує ефективність відбору теплоти від холодного джерела і зменшує витрати аміаку порівняно з фреоном R-12. Установки, в яких для одержання холоду витрачається механічна енергія, називаються компресорними, а в яких Рис. 15.1. Цикл Карно холодильної витрачається теплова енергія, – абсорбустановки та теплового насоса ційними. Робочим тілом в абсорбційних установках є потрійна суміш або бінарний розчин, що є сумішшю двох речовин, які повністю розчинюються одна в одній і мають різковідмінні температури насичення. Речовина з нижчою температурою насичення служить холодоагентом, а з вищою – абсорбентом. Як вже вказувалось, призначенням зворотних циклів є відбір за допомогою робочого тіла деякої кількості теплоти Q2 від менш нагрітого тіла і передача теплоти Q1 більш нагрітому тілу. Корисним ефектом холодильної установки є кількість теплоти Q2, що відбирає холодоагент від охолоджуючих тіл, які мають температуру Тх.к < Тн.с. Величина Q2 називається холодопродуктивністю, а кількість теплоти, що відбирається 1 кг холодоагенту q2 , – питомою холодопродуктивністю. Як відомо, найбільш ефективним зворотним циклом є цикл Карно. На рис. 15.1 в координатах T - s наведені цикли холодильної машини 1–2–3–4 і теплового насосу 5–6–7–8. У процесах 1–2 і 5–6 внаслідок адіабатичного стиснення (DS = 0) температура робочого тіла підвищується від Т2 до Т1 у холодильній установці (для зручності позначення параметрів залишимо таким, як і в теплових установках ) і від Т 2¢ до Т 1¢ у тепловому насосі. Для здійснення теплообміну у холодильній камері температура насичення холодоагенту Т2 при тиску р2 повинна бути нижча від температури холодильної камери Тх.к. Для здійснення теплопередачі гарячому джерелу (навколишнє середовище) температура холодоагенту Т1 повинна бути вища за температуру навколишнього середовища Тн.с. У тепловому насосі відбір теплоти q¢2 здійснюється від навколишнього середовища, тому температура насичення холодоагенту Т 2¢ при тиску p¢2 має бути дещо нижчою, ніж температура Тн.с. Процес тепловіддачі від робочого тіла повинен здійснюватися за умови, що температура Т1¢ більша, наприклад, за температуру опалення приміщення Топ. Процес тепловіддачі гарячому джерелу відбувається в ізобарично-ізотермічних процесах конденсації парів холодоагентів 2–3 і 6–7. Кількість теплоти q1, що віддається робочим тілом холодильної установки, еквівалентна площі 2 - 3 - 4 ¢ - 1¢ - 2 , а теплового насосу – площі 6 - 7 - 8¢ - 5¢ - 6 . Повернення робочого тіла у нижній температурний стан Т 2 і Т 2¢ здійснюється в адіабатичних умовах (процес 3–4 і 7–8), передача теплоти q2 холодному джерелу – в ізобарично-ізотермічних умовах відповідно в процесах 4–1 та 8–5. Кількість теплоти q2 на діаграмі Т-s еквівалентна площі 4 - 4 ¢ - 1¢ - 1 - 4 для холодильної установки та площі 8 - 8¢ - 5¢ - 5 - 8 для теплового насосу. Як бачимо з рис. 15.1, кількість відведеної теплоти q1 в зворотному циклі більше кількості підведеної теплоти q2 . Для здійснення такого циклу термодинамічна система використовує від зовнішніх джерел енергію у вигляді роботи. Величина цієї роботи еквівалентна площам 1– 2–3–4–1 та 5–6–7–8–5 і дорівнює різниці між роботами стиснення та розширення холодоагенту. Робота циклу перетворюється в теплоту і разом з теплотою q2, відібраною у охолоджуючого об’єкта, передається теплоприймачу. Тоді згідно з законом збереження енергії q1 = q2 + lц . (15.1) Ефективність роботи холодильної установки визначається холодильним коефіцієнтом e, який дорівнює відношенню холодопродуктивності до витраченої роботи: e= q2 q2 = . l ц q1 - q2 (15.2) Враховуючи, що q2 = D s41T2 , а q1 = D s41T1 , холодильний коефіцієнт e= Т2 . Т1 - Т 2 (15.3) При збільшенні різниці Т1 – Т2 холодильний коефіцієнт зменшується. Як показують розрахунки, якщо теплота відбирається при температурі рідкого гелію, то втрати роботи в сотні раз більші, ніж при кімнатних температурах. Чим менше різниця Т1 – Т2, тим більше e. Як випливає із формули (15.3), ε ≷ 1. Для рівноважного зворотного циклу Карно величина e приймає максимальне значення в заданому інтервалі температур. У реальних установках у зв’язку з необоротністю термодинамічних процесів і наявністю сил тертя в компресорі холодопродуктивність і холодильний коефіцієнт завжди менші, ніж у циклі Карно. У теплових насосах теплота q¢2 відбирається від навколишнього середовища і передається завдяки роботі циклу lц¢ на більш високий температурний рівень. Ефективність роботи теплового насоса характеризується опалювальним коефіцієнтом j, який дорівнює відношенню кількості теплоти q¢1 , що передається теплоприймачу, до роботи циклу: j= q1¢ q ¢2 + l ц Т 1¢ = . = l ц¢ q1¢ - q 2¢ Т 1¢ - Т 2¢ (15.4) Або враховуючи, що Т1¢ » Т оп , а Т 2¢ » Т н.с , опалювальний коефіцієнт завжди більше одиниці (j > 1). Так, наприклад, якщо Тн.с » 273 К, а Топ = 300 К, то j у циклі Карно дорівнює 12. Коли теплові насоси використовують для утилізації відкидної теплоти різних технологічних виробництв, тепловий коефіцієнт називається коефіцієнтом перетворення теплоти. 15.2. ЦИКЛИ ПОВІТРЯНОЇ ХОЛОДИЛЬНОЇ УСТАНОВКИ У схемі на рис. 15.2 холодоагентом є повітря. Повітря після холодильної камери ХК засмоктується компресором КМ, стискується і подається в теплообмінник ТО, потім охолоджується в ізобаричних умовах за допомогою охолоджувальної води ОВ, а далі під тиском надходить у турбодетандер ТТ. У турбодетандері відбувається адіабатичне розширення повітря, внаслідок чого механічна енергія перетворюється в електричну в генераторі Г. При адіабатичному розширенні температура повітря знижується і повітря, поступаючи в холодильну камеру, відбирає з оточення теплоту і нагрівається. Після холодильника повітря знову надходить у компресор і цикл замикається. Для проведення термодинамічного аналізу повітряної холодильної установки розглянемо ідеальний оборотний цикл (рис. 15.3). Внаслідок Рис. 15.2. Схема повітряної холодильної адіабатичного стиснення в компресорі установки Рис. 15.3. Цикл повітряної холодильної установки 1–2 температура повітря зростає від Т1 до Т2, а тиск від р2 до р1. Робота стиснення еквівалентна площі 1–2–р1–р2–1 (рис. 15.3, а). У теплообміннику в ізобаричному процесі 2–3 повітря віддає теплоту q1 охолоджувальній воді і температура його знижується від Т2 до Т3. Величина відданої теплоти q1 еквівалентна площі 2 - 3 - 4 ¢ - 1¢ - 2 (рис. 15.3, б). У турбодетандері повітря, адіабатично розширюючись від р1 до р2 (лінія 3–4), виконує роботу завдяки зменшенню внутрішньої енергії. Температура повітря при цьому падає від Т3 до Т4. Робота йде на зовнішні потреби. Величина роботи еквівалентна площі 3–4–р2–р1–3. У холодильній камері в ізобаричному процесі 4–1 повітря поглинає теплоту q2. Величина цієї теплоти еквівалентна площі 4 - 1 - 1¢ - 4 ¢ - 4 . Температура повітря підвищується від Т4 до Т1. Визначимо холодильний коефіцієнт повітряної холодильної установки. Для цього визначимо q1 і q2 і підставимо у вираз (15.2). Оскільки процеси тепловіддачі в теплообміннику і теплопоглинання у випарнику відбуваються в ізобаричних умовах, то q1 = c р (T2 - T3 ) і q2 = c p (T1 - T4 ) , де Т2, Т3 – відповідно температури повітря на вході і виході з теплообмінника; Т1, Т4 – відповідно температури повітря на вході і виході з холодильної камери. Тоді T T1 æç1 - 4 ö÷ c p (T1 - T4 ) T1 ø q2 è e= = = . (15.5) q1 - q2 c p (T2 - T3 ) - c p (T1 - T4 ) T T æ ö T2 ç 1 - 3 ÷ - T1 æç 1 - 4 ö÷ T2 ø T1 ø è è Враховуючи, що k -1 k -1 T1 æ p1 ö k T4 æ p1 ö k =ç , =ç , ÷ ÷ T2 è p2 ø T3 è p2 ø T1 T4 T T = або 4 = 3 . T2 T3 T1 T2 Підставляючи останній вираз у формулу (15.5), після спрощення дістанемо e= T1 1 1 1 = = = . k -1 T2 - T1 T2 T3 -1 - 1 æ p2 ö k -1 T1 T4 ç ÷ è p1 ø (15.6) Як випливає із виразу (15.6), холодильний коефіцієнт ідеальної холодильної установки залежить від відношення температур Т2/Т1 або Т3/Т4. Чим менше відрізняються Т2 і Т1 чи Т3 і Т4 , тим ближче їх відношення до одиниці, тим більше холодильний коефіцієнт, тим досконаліше установка. Зменшення температури Т3 можна досягти завдяки подачі в теплообмінник більш холодної води. Це дасть можливість вести процес стиснення до більш низького тиску р2, на що буде витрачатися менша робота компресора. На величину холодильного коефіцієнта також впливає температура холодильної камери Тх.к. Чим вище температура Тх.к, тим вищими можуть бути температури Т4 і Т1, тим більшою буде холодопродуктивність q2, меншою робота циклу lц і більшою холодильний коефіцієнт. Порівняємо ефективність циклу холодильної повітряної установки з ефективністю зворотного циклу Карно. Оборотний цикл Карно можна здійснити за умови, що тепловіддача в холодильній камері здійснюється в ізотермічних умовах Тх.к = Т1. Для здійснення оборотного теплообміну в теплообміннику необхідно, щоб температура Т3 дорівнювала температурі ¢ . Такий цикл 1 - 2¢ - 3 - 3¢ - 1 наведений на рис. охолодної води на вході Т о.в 15.3, б. Як бачимо, в циклі Карно значно зростає величина q2 (площа 3¢ - 1 - 1¢ - 4 ¢ - 3¢ ), а робота циклу lц зменшується (площа 1 - 2¢ - 3 - 3¢ - 1 ). Це свідчить про те, що холодильний коефіцієнт циклу Карно значно більше холодильного коефіцієнта повітряної холодильної установки. Внаслідок термодинамічної недосконалості повітряні холодильні машини вимагають великих витрат робочого тіла. Економічність таких установок можна дещо підвищити завдяки застосуванню регенерації теплоти. 15.3. ЦИКЛИ ПАРОКОМПРЕСОРНИХ ХОЛОДИЛЬНИХ УСТАНОВОК Термодинамічна недосконалість повітряної холодильної установки викликана зовнішньою необоротністю ізобаричних процесів підведення і відведення теплоти, які відбуваються при значній різниці температур. Крім того, повітря має Рис. 15.4. Схема парокомпресорної холодильної установки Рис. 15.5. Цикл парокомпресорної холодильної установки незначну теплоємність і як холодоагент є низькоентальпійним. Вказані якщо використати пару низькокиплячого недоліки можна усунути, холодоагенту. Як показав досвід, робота розширення в турбодетандері внаслідок великої необоротності процесів і втрати енергії є незначною, а побудова його вимагає великих витрат. Тому більш доцільно замінити турбодетандер знизуючим тиск пристроєм, який служить також для регулювання подачі рідкого холодоагенту у випарник холодильної камери. У випарнику доцільно випаровувати повністю всю рідину, що збільшує холодопродуктивність установки. Оскільки стиснення пари здійснюється в компресорі, то така установка називається парокомпресорною. Застосування холодоагентів, що мають температуру кипіння нижче 0 °С, дає можливість побудувати зворотні цикли, наближені до циклу Карно. З метою підвищення ефективності у циклі застосовується перегріта пара. На рис. 15.4 представлена схема , а на рис 15.5 – цикл парокомпресорної холодильної установки у T–s-діаграмі (цифри в кружечках на схемі відповідають характерним точкам на діаграмі). Волога або суха насичена пара холодоагенту під тиском р2 засмоктується компресором КМ і стискується до тиску р1. В ідеальному випадку цей процес можна вважати адіабатичним (лінія 1–6). Але в реальних умовах процес стиснення є необоротним і відбувається з втратами (наявність сил тертя), внаслідок чого ентропія процесу зростає і дійсний процес зображується лінією 1–2. Стиснута перегріта пара при температурі Тпер надходить у конденсатор К, де при постійному тиску р1 вона спочатку охолоджується до температури насичення Т н 1 (лінія 2–3), а потім конденсується (лінія 3–4). Теплота охолодження і фазового перетворення q1 передається в навколишнє середовище. Рис. 15.6. Схема побудови циклу парокомпресорної холодильної установки Для зниження температури насичення холодоагенту треба знизити його тиск. Це можна здійснювати за допомогою різних прийомів, але найчастіше використовується дросельний пристрій Др (клапан, вентиль, капілярна трубка тощо). Внаслідок дроселювання (лінія 4–5) тиск рідини зменшується від р1 до р2, а температура від Т н 1 до Т н 2 . Тиск р2 вибирається таким, щоб відповідна йому температура була дещо нижчою від температури холодильної камери Тх.к. Застосування дросельного вентиля відкриттям чи закриттям його дає змогу плавно регулювати тиск і температуру у випарнику Вип холодильної камери ХК. Дроселювання є типово необоротним ізоентальпійним процесом (h = const ) . Графічно зобразити його неможливо. Тому дроселювання умовно позначається штриховою лінією 4–5. У процесі дроселювання рідина частково випаровується і у випарник надходить парорідинна суміш. Кипіння холодоагенту (лінія 5–1) відбувається завдяки теплоті q2 , яка відбирається від охолоджуваних тіл холодильної камери. Далі пара засмоктується компресором КМ і цикл повторюється. У компресор засмоктується волога пара холодоагенту, яка завдяки інтенсивному теплообміну в циліндрі підсушується, а питомий об’єм її зростає. Це вимагає збільшувати габарити і роботу стиснення компресора. Для здійснення зворотного циклу необхідно змінювати тиск робочого тіла, частина холодильної установки, що працює під високим тиском, називається лінією високого тиску (від компресора до дросельного клапана), а під низьким тиском – лінією низького тиску (від дросельного клапана до компресора). Як бачимо із рис. 15.5, застосування в циклі необоротного процесу дроселювання приводить до зростання ентропії і зовнішньої необоротності. Холодопродуктивність установки при цьому зменшується на величину q вт , яка дорівнює площі s 4 - 4 - 5 - s 5 . Але повне випаровування холодоагенту переміщує точку 1 на верхню граничну криву, що спричинює зростання холодопродуктивності q2 . Крім того, застосування перегріву пари холодоагенту при певних співвідношеннях температур Т пер і Т н 2 приводить до збільшення роботи циклу l ц = h 2 - h1 , яка дорівнює площі 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 1 , і зменшення холодильного коефіцієнта. Для інженерних розрахунків компресорних холодильних установок зручно користуватися ентальпійними діаграмами, що дають можливість визначити кількість підведеної і відведеної теплоти в ізобаричних процесах і технічну роботу циклу не за вирахуванням площ, як у Т - s -діаграмі, а за змінами ентальпій. Поширеною для розрахунку холодильних циклів є діаграма lg p - h (рис. 15.6). На цій діаграмі у широкому інтервалі параметрів нанесені термодинамічні характеристики певного холодоагенту (криві сталих ступеней сухості Х, ізотерми, ізохори та адіабати). Як відомо, між граничними кривими Х = 0 та Х = 1 холодоагент знаходиться у двофазному стані, а праворуч від верхньої граничної кривої – у перегрітому стані. Зворотний цикл на цій діаграмі зображається ламаною лінією 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 1 , де 1- 2 – процес стиснення у компресорі, 2 - 3 - 4 – охолодження і конденсація пари у конденсаторі, 4 - 5 – дроселювання, 5 - 1 – пароутворення у випарнику. Визначимо холодильний коефіцієнт парокомпресорної установки за діаграмою lg p - h . Оскільки процеси підведення і відведення теплоти в цьому циклі є ізобарично-ізотермічними, то холодопродуктивність q2 = h1 - h5 , а q1 = h2 - h4 . Тоді за формулою (15.2) e= q2 h1 - h5 h -h = = 1 5 . q1 - q2 (h2 - h4 ) - (h1 - h5 ) h2 - h1 (15.7) Як бачимо із формули (15.7), для підвищення ефективності роботи парокомпресорної холодильної установки треба збільшувати значення q2 і зменшувати роботу циклу lц . Від температури холодильної камери Т х.к залежать q2 і e . Так, при зниженні Т х.к , а відповідно і Tн 2 , величини q2 і e зменшуються. Робота циклу залежить від параметрів ліній охолодження і конденсації 2 - 3 - 4 , що, у свою чергу, визначаються температурою теплоприймача Т н.с (навколишнього середовища, охолоджувальної води тощо). Чим менша різниця Т н.с - Т х.к , тим вище холодильний коефіцієнт. Так, при Т х.к = 4 ¼5 К робота стиснення компресора в 700 раз більша, ніж при Т х.к = 293 К . Парокомпресорні холодильні установки при малих різницях температур Т н.с - Т х.к є найбільш досконалими і застосовуються для отримання температур 0...–120 °С. При великих перепадах температур Т н.с - Т х.к більш досконалими є газові машини. Наприклад, при t1 = 30 °С і t2 = –15 °С для фреону R-12 e = 4,72, для аміаку e = 4,85, а для ідеального циклу Карно e = 5,74. Як бачимо, ефективність парокомпресорних холодильних установок у цьому інтервалі температур є достатньо високою, тоді як повітряна холодильна машина в цьому ж інтервалі температур має холодильний коефіцієнт, який приблизно в 5–6 раз менше, ніж у циклі Карно. Як показують наведені приклади, ефективність холодильної установки залежить від теплофізичних властивостей холодоагенту і інтервалу температур Т н.с і Т х.к , в якому працює установка. Тиск насиченої пари холодоагентів у цьому інтервалі має бути не дуже низьким (наявність глибокого вакууму ускладнювало б установку) і не дуже високим (це теж ускладнювало б установку). Верхня температура циклу парокомпресорної установки Т н 1 визначається температурою навколишнього середовища Т н.с і для всіх установок приблизно однакова. Для розрахунків Т н.с приймають приблизно 15–20 °С. Тоді температура конденсації холодоагенту при р1 має бути більшою на 5–10 °С. Нижня температура циклу Т н 2 визначається призначенням холодильної установки. Парокомпресорні установки залежно від технологічних потреб застосовуються для одержання температур від +3...5 °С до –120 °С. Тому холодоагент вибирають таким, щоб його температура Т н 2 при атмосферному тиску була дещо нижчою температури холодильної камери Т х.к . Як видно із рис. 15.5, холодопродуктивність установки q2 пропорційна різниці ентропій: q2 = Tн 2 (s1 - s5 ) = Tн 2 r =r. Tн 2 (15.8) Тобто, чим більша теплота пароутворення холодоагенту, тим більша холодопродуктивність установки при однаковій витраті холодоагенту. Найкращим холодоагентом є аміак, який при атмосферному тиску має температуру кипіння tн 1 = -34 °С , тобто при використанні аміаку відпадає необхідність створювати вакуум у випарнику холодильної камери. Крім того, аміак має найбільшу теплоту пароутворення. Це значно скорочує його витрату порівняно з іншими холодоагентами при однаковій холодопродуктивності. Так, порівняння аміаку з фреоном-12, що має приблизно однакову температуру насичення при атмосферному тиску Т н1 = -29,8 °С показує, що при майже однакових значеннях e для ( ) Рис. 15.7. Залежність температури кривих кипіння рідини і насиченої пари бінарного розчину від концентрації розчину холодоагенту Рис. 15.8. Схема абсорбційної холодильної установки забезпечення однакової холодопродуктивності годинна витрата фреону-12 приблизно в 10 раз більша, ніж у аміаку. Це пояснюється значно меншим значенням величини r для фреону-12. Парокомпресорні холодильні установки в області помірних температур є достатньо досконалими і широко застосовуються в промисловості і в побуті. 15.4. АБСОРБЦІЙНІ ХОЛОДИЛЬНІ УСТАНОВКИ Як уже було сказано, в абсорбційних холодильних установках використовується не механічна, а теплова енергія. Робочим тілом у таких установках є бінарний розчин речовин, які мають велику різницю в температурах кипіння при однакових тисках. Найбільше розповсюдження одержали водоаміачні розчини. Аміак має низьку температуру кипіння і є холодоагентом, вода виконує роль абсорбенту. Характерним для бінарних розчинів є те, що в стані насичення концентрація низькокиплячої речовини у розчині значно менша, ніж у насиченій парі (рис. 15.7). На цій діаграмі крива 1–а–2 відповідає станам кипіння розчину, а крива 1–в–2 – станам сухої насиченої пари. Як бачимо, при температурі t1 концентрація холодоагенту у розчині С1 (точка А1) менша, ніж його концентрація у парі C¢1 (точка В1). Незважаючи на це, розчин з парою знаходяться у стані рівноваги. Але відносно до розчину з концентрацією С2 < C1 пара буде перебувати у переохолодженому стані, оскільки концентрації C2 відповідає температура насичення t 2 > t1 , тому при їх контакті почнеться абсорбція пари розчином. При цьому теплота абсорбції буде відводиться при більш високій температурі t 2 , ніж температура пари t1 . Тобто здійснюється перехід теплоти від менш нагрітого тіла до більш нагрітого. Принципова схема абсорбційної холодильної установки наведена на рис. 15.8. У парогенераторі ПГ відбувається процес кипіння водоаміачного розчину при параметрах р1 , t1 . На це витрачається теплота q1 , що підводиться від гарячого тепловіддавача. Оскільки температура кипіння аміаку значно нижча, ніж води, то з розчину випаровуються практично тільки пари аміаку, і направляються в конденсатор К, де, охолоджуючись проточною водою або повітрям, конденсуються. Проходячи крізь редукційний вентиль РВ, тиск рідкого аміаку різко знижується до тиску р2 , внаслідок чого частково закипає аміак, і температура його знижується до t 2 . Парорідинна суміш надходить до випарника Вип, де завдяки теплоті q2 охолоджуваних тіл холодильної камери ХК відбувається подальше пароутворення і ступінь сухості пари підвищується до одиниці. Суха насичена пара аміаку при р2 і t 2 надходить в абсорбер Аб, заповнений розчином аміаку. Аміак поглинається розчином і концентрація його збільшується. Оскільки реакція абсорбції екзотермічна, то температура розчину росте і поглинальна здатність його зменшується. З метою запобігання підвищення температури розчину і зменшення поглинальної здатності теплота абсорбції відводиться охолоджувальною водою. Для підтримання концентрацій у парогенераторі та абсорбері на певних рівнях у системі передбачений насос Н, завдяки якому концентрований розчин подається в парогенератор. У генераторі з розчину випаровується аміак. Розчин збіднюється і крізь редукційний вентиль повертається в абсорбер. Отже, здійснюється безперервний термохімічний цикл виробки холоду і низькопотенціальної теплоти. У циклі енергія витрачається у вигляді теплоти q1 і механічної роботи насоса l н . Через малий об’єм рідини ця робота незначна і нею можна знехтувати. Ефективність роботи абсорбційної установки визначається коефіцієнтом тепловикористання, що дорівнює відношенню кількості теплоти q2 , яка відбирається у холодильній камері, до кількості теплоти q1 , що витрачається у парогенераторі на одержання пари холодоагенту: e= q2 . q1 Внаслідок великої необоротності термодинамічних процесів абсорбційної холодильної установки ефективність її роботи невисока (e = 0,2...0,8). Незважаючи на це, абсорбційні установки прості, надійні і дешеві, тому їх широко застосовують у побутовій техніці. Значні роботи в напрямку створення абсорбційно-дифузійних холодильних машин (АДХМ) побутового призначення в останній час проведені в Одеській державній академії харчових технологій під керівництвом проф. М. Д. Захарова. Компонентами робочого тіла в таких установках є: холодоагент – аміак; абсорбент – бідистилят, інертний газ – водень. Схема установки наведена на рис. 15.9. Конструкція АДХМ являє собою герметично закриту систему із стальних труб. Наявність інертного газу в системі створює однаковий тиск у всіх її частинах. Залежно від призначення холодильного апарата робочий тиск складає 1,6…3,0 МПа. Перед включенням апарата в роботу концентрований або міцний водоаміачний розчин (ВАР) знаходиться на рівні Ñ1 . При включенні електронагрівника розчин в термосифоні 2 підігрівається до стану кипіння. Термосифон виготовлений з трубки малого поперечного перерізу, тому парорідинна суміш, яка утворюється під час кипіння, завдяки меншій густині, ніж у міцного ВАРу, піднімається до рівня Ñ2 . У процесі кипіння в основному випаровується низькокиплячий компонент – аміак і на виході з термосифона розчин стає слабким, тобто збідненим на аміак. Збіднений ВАР після відокремлення парової фази вздовж каналу 3 напрямляється до рідинного теплообмінника 4, а потім у верхню частину абсорбера 5. У теплообміннику підігрівається міцний розчин, який надходить до термосифона із ресивера 6. Подальше піРис. 15.9. Схема абсорбційно-дифузної холодиль- дігрівання ВАР здійснюється ної установки: в ректифікаторі 7 під час потоки робочого тіла: ■(◨) – міцний (слабкий) ВАР; проходження через нього ●(○) – насичена (очищена) парогазова суміш; –▶ (–▷) – парової суміші в режимі баррідина (пара); ▽1 (▽2) – рівні міцного (слабкого) ВАР ботування. Після поперечного очищення в ректифікаторі 7 парова суміш надходить у дефлегматор 8, де в процесі теплообміну з навколишнім середовищем відбувається повна очистка аміаку завдяки конденсації пари абсорбента. Очищена пара надходить в конденсатор 9, де зріджується з відведенням теплоти фазового переходу в навколишнє середовище. Рис. 15.10. Схема теплового насосу Рідкий аміак, стікаючи у випарник 10, потрапляє в середовище інертного газу, випаровується при низьких температурах, чим створює процес охолодження. Насичена парами аміаку парогазова суміш має більш високу густину, ніж суміш, що знаходиться в абсорбері 5. Внаслідок цього між випарником і абсорбером з’являється природна циркуляція суміші. По каналу 11 насичена суміш надходить у ресивер 6 і нижню частину абсорбера 5. Назустріч насиченій парогазовій суміші стікає слабкий ВАР. У процесі абсорбції теплота змішування відводиться в навколишнє середовище, що спричинює насичення розчину до міцного стану. Очищена від пари аміаку суміш, яка має меншу густину, вздовж каналу 12 піднімається до випарника 10, а міцний розчин накопичується у ресивері 6. Циркуляція розчину і холодоагенту здійснюється завдяки безперервній роботі термосифона. Таким чином, у даній схемі холодильного апарата всмоктувальну функцію компресора виконує абсорбер, а нагнітальну термосифон. Перевагами апаратів АДХМ є безшумність роботи, відсутність запірних вентилів і рухомих елементів, що підвищує надійність і ресурс, можливість роботи з альтернативними джерелами теплової енергії (сонячне випромінювання, викидна теплота та ін.). Основним недоліком їх є більш низька порівняно з компресорними установками енергетична ефективність. Комплекс досліджень, проведених в останній час науковцями Одеської державної академії харчових технологій, дав можливість підвищити енергетичну ефективність апаратів АДХМ до рівня компресорних холодильних машин. Абсорбційні установки доцільно використовувати, коли для випаровування аміаку в парогенераторі використовуються низькопотенціальні відпрацьовані пари або інші теплоносії. В останній час у системах кондиціювання повітря мають поширення більш ефективні бромистолітієві (LіBr + H2O) абсорбційні холодильні установки. 15.5. ТЕПЛОВІ НАСОСИ Нині для опалення приміщень, технологічних потреб виробництва тощо все більше поширення починають знаходити теплові насоси. Особливе значення це має для України, де відчувається гостра нестача енергоносіїв. Принцип дії теплового насосу подібний до принципу дії холодильної установки, але рівень температур кипіння і конденсації пари холодоагенту в тепловому насосі дещо вищий (див. рис. 15.1). Схему теплового насоса показано на рис. 15.10. Пари холодоагенту з параметрами р 2 , t2 із випарника Вип засмоктуються компресором КМ. У компресорі внаслідок зовнішньої роботи l ц під час стиснення температура і тиск парів холодоагенту збільшуються до значень t1 i р1 . З такими параметрами робоче тіло надходить до теплообмінника ТО, де теплота передається теплоспоживачеві ТС. Охолоджуючись і конденсуючись, холодоагент віддає теплоспоживачеві теплоту q1 , величина якої за законом збереження енергії q1 = q2 + l ц . При проходженні через дросельний вентиль Дв тиск конденсату різко знижується до р2 і він частково закипає. Парорідинна суміш надходить у випарник, де відбувається повне випаровування рідини завдяки теплоті навколишнього середовища (вода, повітря, ґрунт тощо) або теплоті вторинних енергоносіїв (відпрацьований сушильний агент, теплота конденсації конденсаторів, відпрацьовані димові гази, повітря тваринницьких ферм тощо). Ефективність роботи теплового насоса визначається коефіцієнтом перетворення теплоти, або опалювальним коефіцієнтом: y= q1 q2 + lц = e + 1. = lц lц Як бачимо, опалювальний коефіцієнт завжди більше одиниці. Так, якщо тепловий насос працює за циклом Карно, то y буде максимальним. Наприклад, при температурі повітря опалювального приміщення t1 = 25 °C і температурі навколишнього середовища 0 °С y= T2 273 +1 = + 1 = 11,9 , T1 - T2 25 тобто в опалювальне приміщення передається в 11,9 раза більше енергії, ніж витрачено при роботі компресора. В реальних циклах завдяки втратам і необоротності процесів коефіцієнт y складає 3...5. Перевагою теплових насосів є те, що вони піднімають температурний потенціал теплової енергії і при витраті електроенергії на роботу компресора у кількості lц дають можливість отримати теплоти у 3...5 раз більше. Як і для холодильної установки, ефективність роботи теплового насоса залежить від різниці температур Т1 - Т 2 . Чим менша різниця, тим вище y, тобто тим вища ефективність роботи теплового насоса. Якщо джерелом низькопотенціальної енергії є охолоджувальна вода конденсаторів чи компресорів, стічні води, відпрацьоване повітря сушарок тощо, то опалювальний коефіцієнт підвищується. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ 1. Для яких цілей застосовують зворотні цикли? Що таке холодильна установка та тепловий насос? Що спільного між ними і чим вони відрізняються? Які робочі тіла використовуються в холодильних установках? Їх основні характеристики. 2. Наведіть цикли Карно для холодильної установки та теплового насоса в Т - s координатах. Що таке холодильний та опалювальний коефіцієнти? 3. Наведіть схему та цикл повітряної холодильної установки. Проаналізуйте принцип дії такої установки. Виведіть формули для визначення холодильного коефіцієнта такої установки від температур. Які недоліки такої установки? 4. Наведіть схему та цикл у Т - s -координатах парокомпресорної холодильної установки. Проаналізуйте принцип дії такої установки. Які переваги зображення циклів холодильних установок у діаграмі lg p - h ? Запишіть вираз для визначення холодильного коефіцієнта та проаналізуйте його. Як впливає теплота пароутворення холодоагенту на холодопродуктивність установки? 5. Наведіть принципову схему абсорбційної холодильної установки, вкажіть на її переваги та недоліки перед компресорною холодильною установкою. 6. Наведіть принципову схему теплового насоса та проаналізуйте принцип його дії. Запишіть формулу для визначення коефіцієнта перетворення теплоти через опалювальний коефіцієнт. Які суттєві переваги мають теплові насоси перед іншими передавачами енергії? Чому для України є дуже важливим подальше впровадження в народне господарство теплових насосів? Список використаної літератури 1. Алабовский А. Н., Недужий И. А. Техническая термодинамика и теплопередача. – К.: Вища шк., 1990. – 256 с. 2. Алабовский А. Н., Константинов С. М., Недужий И. А. Теплотехника. – К.: Вища шк., 1986. – 256 с. 3. Алексеев Г. М. Энергия и энтропия. – М.: Знание, 1978. – 192 с. 4. Андрющенко А. И. Основы термодинамики циклов теплоэнергетических установок. – М.: Вища шк., 1968. – 288 с. 5. Арнольд Л. В., Михайловский Г. А., Селивестров В. М. Техническая термодинамика и теплопередача. – М.: Высш. шк., 1979. – 445 с. 6. Бер Г. Д. Техническая термодинамика. – М.: Мир, 1977. – 519 с. 7. Теплотехніка / О. Ф. Буляндра, Б. Х. Драганов, В. Г. Федорів та ін. – К.: Вища шк., 1998. – 333 с. 8. Драганов Б. Х., Кузнецов А. В., Рудобашта С. П. Теплотехника и применение теплоты в сельском хозяйстве. – М.: Агропромиздат, 1990. – 464 с. 9. Кирилин В. О., Сычов В. В., Шейдлин О. Е. Техническая термодинамика. – М.: Энергоатомиздат, 1983. – 416 с. 10. Костенко Г. М. Технічна термодинаміка. – К.: Держтехвидав, 1958. 11. Мурзаков В. В. Основы технической термодинамики. – М.: Энергия, 1973. – 304 с. 12. Нащокин В. В. Техническая термодинамика и теплопередача. – М.: Высш. шк., 1975. – 496 с. 13. Ривкин С. Л., Александров А. А. Термодинамические свойства воды и водяного пара. – М.: Энергия, 1975. – 80 с. 14. Сычов В. В. Диференциальные уравнения термодинамики. – М.: Высш. шк., 1991. – 224 с. 15. Теплотехника / Под ред. А. П. Баскакова. – М.: Энергоиздат, 1982. – 264 с. 16. Теплотехника / Под ред. В. И. Крутова. – М.: Машиностроение, 1986. – 427 с. 17. Техническая термодинамика / Под ред. В. И. Крутова. – М.: Машиностроение, 1991. – 384 с. 18. Чеботарьов В. О., Беркута А. Д. Технічна термодинаміка. – К.: Вища шк., 1969. – 204 с. 19. Юдаев Б. М. Техническая термодинамика. Теплопередача. – М.: Высш. шк., 1988. – 480 с. 20. J. Szargut. Termodynamika. – Warszawa, Panstwowe wydawnictwo Naukowe, 1985. ЗМІСТ Передмова ................................................................................................................................. 3 Розділ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І ВИЗНАЧЕННЯ 1.1. Предмет і метод термодинамічного аналізу ........................................................ 4 1.2. Термодинамічна система і навколишнє середовище ......................................... 6 1.3. Кількість субстанції. Робоче тіло ........................................................................... 7 1.4. Термодинамічний стан і параметри робочих тіл ................................................. 9 1.5. Термодинамічний процес ..................................................................................... 14 1.6. Нульовий закон термодинаміки. Рівновага в термодинамічній системі ......... 15 1.7. Термічне рівняння стану. Поверхня і діаграми станів....................................... 16 1.8. Рівняння стану ідеальних газів ............................................................................ 18 Контрольні запитання і завдання .......................................................................... 20 Розділ 2. ПЕРШИЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМІКИ 2.1. Закони збереження матерії та енергії ................................................................. 21 2.2. Внутрішня енергія системи .................................................................................. 23 2.3. Координати станів і потенціали термодинамічних взаємодій .......................... 25 2.4. Деформаційна взаємодія. Робота деформації .................................................. 26 2.5. Робота як узагальнена міра енергетичних взаємодій системи ....................... 29 2.6. Теплова взаємодія. Ентропія ............................................................................... 30 2.7. Рівняння першого закону термодинаміки для закритих систем ...................... 33 Контрольні запитання і завдання .......................................................................... 35 Розділ 3. ТЕПЛОЄМНІСТЬ ІДЕАЛЬНИХ ГАЗІВ 3.1. Основні визначення .............................................................................................. 36 3.2. Теплоємність газу як функція процесу та властивостей робочого тіла .......... 37 3.3. Молекулярно-кінетична теорія теплоємності ..................................................... 38 3.4. Залежність теплоємності газів від температури ................................................ 41 3.5. Ентальпія ................................................................................................................ 43 3.6. Ентропія. Третій закон термодинаміки ............................................................... 46 Контрольні запитання і завдання .......................................................................... 48 Розділ 4. ТЕРМОДИНАМІЧНІ ПРОЦЕСИ ІДЕАЛЬНИХ ГАЗІВ У ЗАКРИТИХ СИСТЕМАХ 4.1. Мета аналізу термодинамічних процесів ........................................................... 50 4.2. Ізохоричний процес ............................................................................................... 51 4.3. Ізобаричний процес ............................................................................................... 52 4.4. Ізотермічний процес .............................................................................................. 55 4.5. Адіабатичний процес ............................................................................................ 57 4.6. Політропні процеси ............................................................................................... 59 4.7. Теплоємність політропних процесів .................................................................... 62 4.8. Зображення політропних процесів у р–v- і Т–s-координатах ........................... 63 Контрольні запитання і завдання .......................................................................... 66 Розділ 5. ДРУГИЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМІКИ 5.1. Коловий процес або цикл ..................................................................................... 67 5.2. Термодинамічний аналіз циклів........................................................................... 69 5.3. Загальні положення та формулювання другого закону термодинаміки ......... 70 5.4. Ідеальний цикл Карно та його коефіцієнт корисної дії...................................... 72 5.5. Зворотний цикл Карно .......................................................................................... 76 5.6. Абсолютна шкала температур ............................................................................. 77 5.7. Узагальнений (регенеративний) цикл Карно...................................................... 79 5.8. Середньоінтегральна термодинамічна температура. Еквівалентний цикл Карно.............................................................................................................. 80 5.9. Математичний вираз другого закону термодинаміки ........................................ 82 5.10. Зміна ентропії в довільних оборотних і необоротних процесах ................... 84 5.11. Фізичний зміст ентропії ....................................................................................... 86 5.12. Статистичний зміст другого закону термодинаміки ........................................ 88 Контрольні запитання і завдання .......................................................................... 91 Розділ 6. ТЕРМОДИНАМІЧНИЙ АНАЛІЗ ПРАЦЕЗДАТНОСТІ ЕНЕРГІЇ РІЗНИХ ВИДІВ 6.1. Ефективність перетворення енергії різних видів. Ексергія і анергія ............... 92 6.2. Функція працездатності внутрішньої енергії робочого тіла закритої системи ...... 94 6.3. Функція працездатності теплоти.......................................................................... 97 6.4. Ексергетичні баланс і коефіцієнт корисної дії .................................................... 99 Контрольні запитання і завдання ........................................................................ 101 Розділ 7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ТЕРМОДИНАМІКИ. РІВНОВАГА ТЕРМОДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ 7.1. Основні характеристичні функції. Умови рівноваги термодинамічної системи ................................................................................... 102 7.2. Рівняння Максвелла для простих систем ........................................................ 107 7.3. Диференціальне рівняння стану термодинамічної системи .......................... 109 7.4. Диференціальні рівняння внутрішньої енергії, ентальпії і ентропії ............... 111 7.5. Диференціальне рівняння питомих теплоємностей ....................................... 114 7.6. Термодинамічні потенціали ............................................................................... 117 7.7. Хімічний потенціал .............................................................................................. 119 7.8. Умови фазової рівноваги термодинамічних систем. Правило фаз Гіббса......... 123 7.9. Фазова діаграма .................................................................................................. 125 7.10. Рівняння Клапейрона – Клаузіуса ................................................................... 128 Контрольні запитання і завдання ........................................................................ 130 Розділ 8. ТЕРМОДИНАМІКА РЕАЛЬНИХ РОБОЧИХ ТІЛ 8.1. Основні особливості реальних тіл ..................................................................... 132 8.2. Рівняння стану реальних газів ........................................................................... 134 8.3. Процеси утворення водяної пари. Діаграми р–v і Т–v ................................... 141 8.4. T–s- і h–s-діаграми водяної пари ....................................................................... 146 8.5. Визначення термодинамічних параметрів води і водяної пари .................... 151 8.6. Термодинамічні процеси водяної пари ............................................................. 154 Контрольні запитання і завдання ........................................................................ 160 Розділ 9. СУМІШІ ГАЗІВ 9.1. Суміші ідеальних газів. Закон Дальтона........................................................... 162 9.2. Способи задавання газових сумішей ................................................................ 162 9.3. Уявна молярна маса суміші. Газова стала суміші........................................... 164 9.4. Визначення теплоємностей газових сумішей .................................................. 166 9.5. Парогазові суміші. Термодинамічні особливості вологого повітря ............... 167 9.6. Параметри стану вологого повітря ................................................................... 170 9.7. Температура мокрого термометра. Адіабатична температура ..................... 173 9.8. H–d-діаграма вологого повітря .......................................................................... 176 9.9. Процеси у вологому повітрі. Змішування потоків вологого повітря .............. 179 Контрольні запитання і завдання ........................................................................ 181 Розділ 10. ТЕРМОДИНАМІКА ПОТОКУ 10.1. Основні характеристики відкритих систем ...................................................... 182 10.2. Перший закон термодинаміки для стаціонарного потоку .............................. 183 10.3. Наявна робота .................................................................................................... 186 10.4. Термодинамічний аналіз роботи тепломеханічного обладнання ................. 188 10.5. Ізоентропійне витікання газу із звуженого сопла ............................................ 191 10.6. Масова витрата газу при витіканні газу із сопла. Критична швидкість ........ 193 10.7. Основні закономірності потоку ідеального газу у соплах і дифузорах. Сопла Лаваля ...................................................................................................... 197 10.8. Розрахунки процесів витікання водяної пари за h–s-діаграмою ........................... 200 10.9. Процеси змішування потоків. Ежектори........................................................... 203 10.10. Фізичні основи процесів дроселювання ......................................................... 206 10.11. Розрахунок процесів дроселювання водяної пари за h–s-діаграмою ........ 212 10.12. Ексергетичний аналіз проточних теплових процесів ................................... 213 Контрольні запитання і завдання ......................................................................... 216 Розділ 11. РОБОЧІ ПРОЦЕСИ У КОМПРЕСОРАХ 11.1. Аналіз процесу нагнітання газу одноступеневим компресором ................... 217 11.2. Дійсна індикаторна діаграма компресора ........................................................ 221 11.3. Багатоступеневе стиснення .............................................................................. 225 Контрольні запитання і завдання ......................................................................... 228 Розділ 12. ЦИКЛИ ПОРШНЕВИХ ДВИГУНІВ ВНУТРІШНЬОГО ЗГОРЯННЯ 12.1. Основні положення побудови циклів двигунів внутрішнього згоряння ........ 229 12.2. Принцип дії поршневих двигунів внутрішнього згоряння ............................... 230 12.3. Термодинамічний аналіз циклу з ізохоричним підведенням теплоти .......... 232 12.4. Термодинамічний аналіз циклу з ізохорично-ізобаричним підведенням теплоти................................................................................................................. 235 12.5. Порівняльний аналіз ефективності циклів поршневих двигунів внутрішнього згоряння ....................................................................................... 238 Контрольні запитання і завдання ......................................................................... 240 Розділ 13. ЦИКЛИ ГАЗОТУРБІННИХ УСТАНОВОК 13.1. Основні поняття та принципи дії газотурбінних установок ............................ 241 13.2. Цикли ГТУ з підведенням теплоти при постійному тиску .............................. 243 13.3. Цикл ГТУ з підведенням теплоти при р = const і з регенерацією ................. 248 13.4. Регенеративний цикл ГТУ із ступеневим стисненням повітря і ступеневим підведенням теплоти ................................................................... 251 13.5. Цикл ГТУ з ізохоричним підведенням теплоти ............................................... 255 13.6. Цикли реактивних двигунів ................................................................................ 258 Контрольні запитання і завдання ........................................................................ 265 Розділ 14. ЦИКЛИ ПАРОСИЛОВИХ УСТАНОВОК 14.1. Аналіз можливостей застосування циклу Карно у паросилових установках ..... 266 14.2. Схема одержання роботи і зразковий цикл Ренкіна ....................................... 268 14.3. Вплив параметрів водяної пари на ефективність роботи паросилових установок ............................................................................................................. 272 14.4. Удосконалення циклів паросилових установок .............................................. 276 14.5. Цикли з проміжним перегрівом пари ................................................................ 281 14.6. Теплофікаційні цикли ......................................................................................... 283 14.7. Цикли парогазових установок ........................................................................... 286 14.8. Перспективи розвитку комбінованих циклів .................................................... 290 14.9. Цикли ядерних енергетичних установок .......................................................... 294 Контрольні запитання і завдання ......................................................................... 298 Розділ 15. ЗВОРОТНІ ЦИКЛИ ТЕПЛОВИХ МАШИН 15.1. Основні поняття .................................................................................................. 299 15.2. Цикли повітряної холодильної установки ........................................................ 302 15.3. Цикли парокомпресорних холодильних установок ........................................ 304 15.4. Абсорбційні холодильні установки ................................................................... 308 15.5. Теплові насоси .................................................................................................... 312 Контрольні запитання і завдання ......................................................................... 313 Список використаної літератури ...................................................................................... 315 Навчальне видання Буляндра Олексій Федорович ТЕХНІЧНА ТЕРМОДИНАМІКА Редактор О.К. Артеменко Художнє оформлення В.С. Жиборовського Художній редактор С.В. Анненков Коректор Н.М. Мірошниченко Комп’ютерна верстка Г.Г. Пузиренка Підписано до друку 02.03.2001. Формат 60×84 1/16. Папір офсетний. Гарнітура Times New Roman. Друк офсетний. Умов. друк. арк. 18,6. Обл.-вид. арк. 21,39. Тираж 1500 прим. Зам. № . Видавництво “Техніка”. 04053 Київ, вул. Обсерваторна, 25. Свідоцтво про державну реєстрацію № 02473145 від 22.12.95. Віддруковано у ТОВ “Лінгвоцентр” 61057 м. Харків-57, вул. Донець-Захаржевського, 4а/4б спільно з ДП “Ясон-К” 03062 м. Київ, пр. Перемоги, 67
