Пример расчета линии ТОЭ

Задача 3.6. На уст. процессы в линиях с распред. параметрами
Дано:
f  3000 Гц
R0 l
I1
http://www.toehelp.ru
L0 l
I2
e
G0 l
C0 l
конец линии
R0  10 Ом / км
начало линии
l  80 км
ZH
toehelp.ru
C0  6  10 9 Ф / км
U1
L0  2,05  10 3 Гн / км
U2
G0  1,25  10 6 См / км
I 2  100 мA
Z Н  300 Ом
По заданным в табл.3.5. параметрам (R0, L0, G0, C0), и частоте f, длине линии l,
комплексным значениям напряжения U 2 и тока I 2 в конце линии, сопротивлению нагрузки
Z Н выполним следующий расчет:
1) Рассчитаем напряжение U 1 и ток I 1 в начале линии, активную P и полную S
мощности в начале и конце линии, а также КПД линии.
Найдем угловую частоту колебаний источника ЭДС
рад
  2f  2  3000  18849,56
с
Продольное комплексное сопротивление на единицу длины однородной линии:
Z 0  R0  jL0  10  j18849,56  2,05  10 3  10  j38,6416   39,9146e j75,49
Поперечная комплексная проводимость на единицу длины однородной линии:

Ом
км

Y 0  G0  j C0  1,25  10 6  j18849,56  6  10 9  1,25  10 6  j1,130973  10 4 
 1,131042  10 4 e j89,37
Cм
км
Параметр  (коэффициент распространения)
  Z 0 Y 0  39,9146e j75,49  1,131042  10 4 e j89,37  4,51451  10 3 e j164,86 
 0,06719e j82,43   0,008851  j0,066604     j
отсюда
  0,008851 Нп / км (коэффициент ослабления)
  0,066604 рад / км (коэффициент фазы)
Найдем характеристическое сопротивление лини
  ZC 
Z0
39,9146e j75,49

 594,055e j6 ,94   589,702  j71,78  Ом
Y0
1,131042  10 4 e j89,37
http://www.toehelp.ru
Запишем выражение для комплексного напряжения и тока в зависимости от координаты x
(отсчитывается от конца линии)
U( x )  A1e x  A2 ex
A1e x  A2 ex
I( x ) 
ZC
, где
A1 
U 2  Z C I 2 30   589,702  j71,78   100  10 3


2
2
  44,4851  j3,589   44,6296e  j4,61 В
U 2  Z C I 2 30   589,702  j71,78   100  10 3
A2 


2
2
  14,4851  j3,589   14,9231e j166 ,08 В
, где
U 2  I 2 Z Н  100  10 3  300  30 B
Теперь найдем напряжение и ток в начале линии (x=l)
U 1  U( l )  A1e l  A2 e  l 
 44,6296e  j4,61  e
 44,6296e
 j4,61
0,008851 j0,066604 80
e
0,70808
j5,32832
 14,9231e j166 ,08  e 
 0,008851 j0,066604 80
180
e

 14,9231e
j166 ,08
e
0,70808
 j5,32832

180
e


 90,6021  e j300,68  7,351  e  j139,21 
 46 ,2291  j77,9206  5,5655  j4,8023   40,6636  j82,7229   92,177e  j63,82 В
I1  I( l ) 


A1e l  A2 e  l

ZC
44,6296e  j4,61  e
0,008851 j0,066604 80
 14,9231e j166 ,08  e 
 0,008851 j0,066604 80
594,055e j6 ,94
44,6296e
 j4,61
e
0,70808
j5,32832
e
180

 14,9231e
594,055e


90,6021  e j300,68  7,351  e  j139,21
594,055e j6 ,94
89,6045e j54,69
594,055e j6 ,94

j166 ,08
e
0,70808
 j5,32832
e
180


 j6 ,94
46 ,2291  j77,9206  5,5655  j4,8023
594,055e  j6 ,94
 0,150835e j47 ,75   0,101417  j0,111651 A


http://www.toehelp.ru

Найдем полную S 1 мощность в начале линии: S 1  U1 I 1

, где I 1 - сопряженный комплекс тока I1

S 1  U1 I 1  92,177e j63,82  0,150835e j47,75  13,9035e j16 ,07  13,3602  j3,8486  В  A
Следовательно активная мощность в начале линии:
P1  Re[ S 1 ]  Re 13,3602  j3,8486   13,3602 Вт

Найдем полную S 2 мощность в конце линии: S 2  U 2 I 2

, где I 2 - сопряженный комплекс тока I 2

S 2  U 2 I 2  30  100  10 3  3 В  A
Следовательно активная мощность в конце линии:
P2  Re[ S 2 ]  3  3 Вт
КПД линии:
P
3
 2 
 0,2245  22,45 %
P1 13,3602
toehelp.ru
2) Полагая, что линия п.1. стала линией без потерь (R0=G0=0), а нагрузка на конце
линии стала активной и равной модулю комплексной нагрузки п.1, определим
напряжение U 1 и ток I 1 в начале линии, а также длину электромагнитной волны  .
Для линии без потерь:
Z H  Z H  300  300 Ом
Такая линия характеризуется волновым сопротивлением:
L0
2,05  10 3

 584,523 Ом
C0
6  10 9
и коэффициентом распространения:
  ZC 
  j L0 C0  j18849,56 2,05  10 3  6  10 9  j0,066108
Волновое сопротивление линии без потерь является активным и не зависит от частоты.
Коэффициент распространения определяется только коэффициентом фазы:
    j
, где
  0 (коэффициент ослабления)
  0,066108 рад / км (коэффициент фазы)
В установившемся режиме уравнения линии без потерь от показательной формы
преобразуются к уравнениям в круговых тригонометрических функциях:
U( x )  U 2 cos x  jZC I 2 sin x
I( x )  I 2 cos x  j
U2
sin x
ZC
http://www.toehelp.ru
Теперь найдем напряжение и ток в начале линии (x=l)
U 1  U( l )  U 2 cos  l  jZC I 2 sin  l 




180
180
 30  сos  0,066108 
 80   j584,523  100  10 3  sin  0,066108 
 80  










 30 cos( 303,017 )  j58,4523 sin( 303,017 )   16 ,3466  j49,0128   51,6669e j71,56 В
I1  I( l )  I 2 cos  l  j
U2
sin  l 
ZC




180
30
180
 100  10 3 сos  0,066108 
 80   j
 sin  0,066108 
 80  





584,523





 100  10 3 cos( 303,017 )  j0,051324 sin( 303,017 ) 
  0,054489  j0,043036   0,069434e j38,3 A
, где U 2  I 2 Z Н  100  10 3  300  30 B
Определим длину электромагнитной волны  :
2
2
2

 

 95,044 км

 0,066108
3) Для линии без потерь п.2. построим график распределения действующего значения
напряжения вдоль линии в функции координаты x (отсчитываеся от конца линии)
U Д ( x )  U( x ) 
U 2 cos  x    ZC I 2 sin  x  
2
2

 30 cos 0,066108  x  2   584,523  100  10 3 sin 0,066108  x   

 30 cos 0,066108  x  2   58,4523 sin 0,066108  x  2
2
UД( x )  B
60
55
50
45
toehelp.ru
40
35
30
25
20
Конец
15
линии
Начало
линии
10
5
0
x, км
0
10
20
30
40
50
60
70
l
80