Контрольная работа по теме “Электричество”. Демо-версия. 1. (1 балл) Тонкое кольцо радиуса R равномерно заряжено зарядом Q и находится в вакууме. В центре этого кольца находится пылинка массой m (пренебрежимо малой по сравнению с массой кольца), заряженная зарядом q, противоположным по знаку заряду кольца. Найти угловую частоту малых колебаний пылинки. 2. (2 балла) Полусфера радиуса R заряжена равномерно по ее поверхности с поверхностной плотностью . Найти напряженность электрического поля в центре полусферы (под центром полусферы понимается центр соответствующей сферы). 3. (2 балла) Между двумя соединенными друг с другом металлическими пластинами находится тонкая диэлектрическая пленка с равномерно распределенным по ней зарядом с поверхностной плотностью . Расстояние от нее до верхней пластины равно a , до нижней – b (см. рисунок). Соответственно, на пластинах наводятся заряды с поверхностными плотностями . Найти . Краевыми эффектами пренебречь. 4. (2 балла) Проволочная рамка в виде окружности с током может вращаться вокруг горизонтальной оси OO ' (см. рис.). Линейная плотность массы (масса единицы длины) проволоки равна , в рамке течет ток I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном вдоль поля тяжести. Определить угол отклонения плоскости окружности от вертикали. Ускорение свободного падения g считать известным, радиус петли в ответ не входит. 5. (2 балла) Бесконечный провод с током I и квадратная проводящая рамка в виде квадрата со строной a находятся в одной плоскости (см. рис.). Полное омическое сопротивление рамки равно R. Рамку перемещают вправо с постоянной скоростью v. На каком расстоянии x0 провода ток в рамке будет равен заданному значению I 0 , если известно, что это происходит на малом (по сравнению с размерами рамки) расстоянии от провода ( x0 a ). от 6. (1 балл) Вычислить внутреннюю индуктивность единицы длины прямолинейного провода круглого сечения (плотность тока распределена равномерно по всему сечению провода). Магнитная проницаемость материала провода равна , радиус провода в ответ не входит. Решения 1. (1 балл) Тонкое кольцо радиуса R равномерно заряжено зарядом Q и находится в вакууме. В центре этого кольца находится пылинка массой m (пренебрежимо малой по сравнению с массой кольца), заряженная зарядом q, противоположным по знаку заряду кольца. Найти угловую частоту малых колебаний пылинки. 1/2 1 Qq F ( z) 1 Qq Решение: Fz ( z ) = z z 0 = . 3/2 3 3 4 0 ( R 2 + z 2 ) m 4 0 R m 4 0 R m 1 Qqz 2. (2 балла) Полусфера радиуса R находится в вакууме и заряжена равномерно по ее поверхности с поверхностной плотностью . Найти напряженность электрического поля в центре полусферы (под центром полусферы понимается центр соответствующей сферы). 1 dq Решение: dEz = cos , где – угол между вертикалью и направлением на кольцо 4 0 R2 радиуса R sin и толщиной Rd . dq = dS = 2 R sin Rd = 2 R 2 sin d . Отсюда /2 dEz = . sin cos d = sin cos d , Ez = 2 0 0 4 0 2 0 3. (2 балла) Между двумя соединенными друг с другом металлическими пластинами находится тонкая диэлектрическая пленка с равномерно распределенным по ней зарядом с поверхностной плотностью . Расстояние от нее до верхней пластины равно a , до нижней – b (см. рисунок). Соответственно, на пластинах наводятся заряды с поверхностными плотностями . Найти . Краевыми эффектами пренебречь. ( b − a ) , уравновешивается 2 0 b−a разностью потенциалов, создаваемой пластинами: = ( b + a ) = . 0 2 b+a Решение: разность потенциалов, создаваемая пленкой, = 4. (2 балла) Проволочная рамка в виде окружности с током может вращаться вокруг горизонтальной оси OO ' (см. рис.). Линейная плотность массы (масса единицы длины) проволоки равна , в рамке течет ток I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном вдоль поля тяжести. Определить угол отклонения плоскости окружности от вертикали. Ускорение свободного падения g считать известным, радиус петли в ответ не входит. Решение: Момент силы Ампера, действующий на рамку с током, равен 2 M = IS B M z = I R B cos . Момент силы тяжести (его проекция на ось z): 2 R 2 g sin . IB Приравнивая, получаем: tg = . 2g 5. (2 балла) Бесконечный провод с током I и квадратная проводящая рамка в виде квадрата со строной a находятся в одной плоскости (см. рис.). Полное омическое сопротивление рамки равно R. Рамку перемещают вправо с постоянной скоростью v. На каком расстоянии x0 провода ток в рамке будет равен заданному значению I 0 , если известно, что это происходит на малом (по сравнению с размерами рамки) расстоянии от провода ( x0 a ). Решение: Поле провода на расстоянии r от него: B = 0 ind = x+a I 2 r d aI d a I v = 0 ln (1 + a / x ) = 0 2 dt 2 dt 2 x (1 + a / x ) от . = Badr = 0 x aI ln (1 + a / x ) . 2 2 интересует). Индукционный Iind ( x a) = 0 (ставим модуль, т.к. знак нас не I ind = 0 ток: a2 I v . 2 2 R x (1 + a / x ) aI v av I . = I 0 x0 = 0 2 R x 2 R I 0 6. (1 балл) Вычислить внутреннюю индуктивность единицы длины прямолинейного провода круглого сечения (плотность тока распределена равномерно по всему сечению провода). Магнитная проницаемость материала провода равна , радиус провода в ответ не входит. HB 0 I 2 r 2 r 1 = Решение: По теореме Гаусса поле внутри кабеля: H = I , = , 2 2 R 4 ( 2 )2 R 2 r 2 R W = 2 rdr = 0 LI 2 L= 0 . 2 8 Вариант 1 1. (2 балла) Две концентрические проводящие сферы имеют радиусы и соответственно (см. рис.). На внешней сфере поддерживается потенциал , а внутренняя заземлена с помощью тонкой проволоки, проходящей через маленькое отверстие во внешней сфере (проволока ее не касается, т.е. сферы проводником не соединены). Найти заряд внутренней сферы . 2. (2 балла) Две части плоского конденсатора полностью заполнены разными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями и (см. рисунок). Заряд на обкладках конденсатора (по абсолютной величине) равен Q. Определить величину (с учетом знака!) поляризационного заряда верхнего диэлектрика у левой обкладки конденсатора, если высота нижней части конденсатора в x раз больше высоты верхней (прочие размеры совпадают). Краевыми эффектами пренебречь. Указание: на верхней и нижней частях конденсатора поверхностная плотность свободного заряда на обкладках однородна по поверхности обкладок, но имеет разные значения. 3. (2 балла) Найти изменение полной (во всем пространстве) энергии уединенной металлической сферы с зарядом , если её окружить концентрическим сферическим слоем из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε, с внутренним и внешним радиусами соответственно (см. рисунок). Вне диэлектрика – Соответственно, нужно найти наличии диэлектрика, , где и вакуум. – энергия при – при его отсутствии. 4. (2 балла) По двум проводникам, изготовленным в виде тонких плоских бесконечных лент (проводящих плоскостей), текут токи проводимости с поверхностной плотностью (см. рисунок). Токи текут в одну сторону. Между проводниками находится немагнитная среда, а вокруг них – среда с магнитной проницаемостью . Найти – поверхностную плотность молекулярных токов, которые протекают по границе магнитной среды и проводников. Ответ выразить в векторной форме через вектор поверхностной плотности тока . 5. (2 балла) Электрический кабель имеет сечение в виде цилиндра радиуса R (см. рисунок). Магнитная проницаемость материала кабеля равна µ. Найти индуктивность кабеля на единицу длины. Считать, что ток в кабеле равномерно распределен по его сечению. Решения 1. (2 балла) Две концентрические проводящие сферы имеют радиусы и соответственно (см. рис.). На внешней сфере поддерживается потенциал , а внутренняя заземлена с помощью тонкой проволоки, проходящей через маленькое отверстие во внешней сфере (проволока ее не касается, т.е. сферы проводником не соединены). Найти заряд внутренней сферы . Решение: запишем выражения для потенциалов сфер: Система из двух уравнений относительно двух неизвестных . имеет решение вида: . Ответ: . 2. (2 балла) Две части плоского конденсатора полностью заполнены разными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями и (см. рисунок). Заряд на обкладках конденсатора (по абсолютной величине) равен Q. Определить величину (с учетом знака!) поляризационного заряда верхнего диэлектрика у левой обкладки конденсатора, если высота нижней части конденсатора в x раз больше высоты верхней (прочие размеры совпадают). Краевыми эффектами пренебречь. Указание: на верхней и нижней частях конденсатора поверхностная плотность свободного заряда на обкладках однородна по поверхности обкладок, но имеет разные значения. Решение: пусть поверхностная плотность свободного заряда на обкладках конденсатора есть (верхняя часть) и (нижняя часть). Соответственно, поле в диэлектрике: Из граничных условий на тангенциальную компоненту вектора E получим: заряд обкладок: , . . Полный . Из этих двух условий получаем систему уравнений: . Из этой системы: . Поляризация: . Величина плотности поляризационного заряда диэлектрика у левой обкладки конденсатора определяется через скачок поляризации: . Соответственно, заряд: . условию задачи: . Из этого условия получаем: Ответ: По . . 3. (2 балла) Найти изменение полной (во всем пространстве) энергии уединенной металлической сферы с зарядом , если её окружить концентрическим сферическим слоем из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε, с внутренним и внешним радиусами соответственно (см. рисунок). Вне диэлектрика – Соответственно, нужно найти наличии диэлектрика, , где и вакуум. – энергия при – при его отсутствии. Решение: очевидно, что объемная плотность энергии при окружении сферы диэлектриком изменяется только в слое этого диэлектрика. Соответственно, изменение энергии можно записать в виде: диэлектрике ( ) и , в , где – объемная плотность энергии электрического поля в вакууме ( , ), где , . Окончательно: . Ответ: . 4. (2 балла) По двум проводникам, изготовленным в виде тонких плоских бесконечных лент (проводящих плоскостей), текут токи проводимости с поверхностной плотностью (см. рисунок). Токи текут в одну сторону. Между проводниками находится немагнитная среда, а вокруг них – среда с магнитной проницаемостью . Найти – поверхностную плотность молекулярных токов, которые протекают по границе магнитной среды и проводников. Ответ выразить в векторной форме через вектор поверхностной плотности тока . Решение: По теореме о циркуляции магнитного поля и в силу симметрии системы, напряженность магнитного поля во внешнем пространстве есть Поверхностная плотность молекулярных токов . Ответ: . . Из аналогичных соображений . находится через скачок намагниченности: 5. (2 балла) Электрический кабель имеет сечение в виде цилиндра радиуса R (см. рисунок). Магнитная проницаемость материала кабеля равна µ. Найти индуктивность кабеля на единицу длины. Считать, что ток в кабеле равномерно распределен по его сечению. Решение: Индуктивность определяем . Поля в кабеле: . Отсюда Ответ: . . энергетическим методом: , где . Объемная плотность энергии: Вариант 2 1. (2 балла) Две концентрические проводящие сферы имеют радиусы и соответственно (см. рисунок). Внешняя сфера содержится при потенциале , а внутренняя – заземлена с помощью тонкой проволоки, проходящей через маленькое отверстие во внешней сфере (проволока ее не касается, т.е. сферы проводником не соединены). Найти заряд внешней сферы . 2. (2 балла) Две части плоского конденсатора полностью заполнены разными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями и (см. рисунок). Заряд на обкладках конденсатора (по абсолютной величине) равен Q. Определить величину (с учетом знака!) поляризационного заряда нижнего диэлектрика у правой обкладки конденсатора, если высота верхней части конденсатора в x раз больше высоты нижней (прочие размеры совпадают). Краевыми эффектами пренебречь. Указание: на верхней и нижней частях конденсатора поверхностная плотность свободного заряда на обкладках однородна по поверхности обкладок, но имеет разные значения. 3. (2 балла) Какую работу против электрических сил нужно совершить, чтобы уменьшить радиус заряженной проводящей сферы с первоначального радиуса Заряд сферы равен Q, сфера находится в вакууме. до окончательного ( ). 4. (2 балла) По проводнику, изготовленному в виде тонкой плоской бесконечной ленты (проводящей плоскости) течет постоянный ток с поверхностной плотностью (см. рисунок). С одной стороны плоскости к ней прилегает бесконечная пластина конечной (неизвестной) толщины, сделанная из материала с магнитной проницаемостью µ. Вокруг этой системы – немагнитная среда. Найти – поверхностную плотность молекулярных токов, которые протекают по нижней границе пластины. Ответ выразить в векторной форме через вектор поверхностной плотности тока по абсолютной величине. . Указание: поле H по обе стороны пластины одинаково 5. (2 балла) Электрический кабель имеет сечение в виде двух концентрических цилиндров с радиусами и (см. рисунок). Магнитная проницаемость материала кабеля (он сосредоточен между цилиндрами) равна µ. Найти индуктивность кабеля на единицу длины. Считать, что ток в кабеле равномерно распределен по его сечению. Решения 1. ( 2 балла) Две концентрические проводящие сферы имеют радиусы и соответственно (см. рисунок). Внешняя сфера содержится при потенциале , а внутренняя – заземлена с помощью тонкой проволоки, проходящей через маленькое отверстие во внешней сфере (проволока ее не касается, т.е. сферы проводником не соединены). Найти заряд внешней сферы Решение: запишем выражения для потенциалов сфер: Система из двух уравнений относительно двух неизвестных . . имеет решение вида: . Ответ: . 2. (2 балла) Две части плоского конденсатора полностью заполнены разными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями и (см. рисунок). Заряд на обкладках конденсатора (по абсолютной величине) равен Q. Определить величину (с учетом знака!) поляризационного заряда нижнего диэлектрика у правой обкладки конденсатора, если высота верхней части конденсатора в x раз больше высоты нижней (прочие размеры совпадают). Указание: на верхней и нижней частях конденсатора поверхностная плотность свободного заряда на обкладках однородна по поверхности обкладок, но имеет разные значения. Решение: пусть поверхностная плотность свободного заряда на обкладках конденсатора есть (верхняя часть) и (нижняя часть). Соответственно, поле в диэлектрике: Из граничных условий на тангенциальную компоненту вектора E получим: заряд обкладок: , . . Полный . Из этих двух условий получаем систему уравнений: . Из этой системы: . Поляризация: . Величина плотности поляризационного заряда диэлектрика у правой обкладки конденсатора определяется через скачок поляризации: . Соответственно, заряд: задачи: Ответ: . По условию . Из этого условия получаем: . . 3. (2 балла) Какую работу против электрических сил нужно совершить, чтобы уменьшить радиус заряженной проводящей сферы с первоначального радиуса до окончательного ( ). Заряд сферы равен Q, сфера находится в вакууме. Решение: очевидно, что для вычисления работы необходимо рассчитать энергию, сосредоточенную в сферическом слое с внутренним и внешним радиусами соответственно. Соответственно, энергию можно записать в виде: , где объемная плотность энергии электрического поля в вакууме, , Ответ: . Окончательно: и – , где . . 4. (2 балла) По проводнику, изготовленному в виде тонкой плоской бесконечной ленты (проводящей плоскости) течет постоянный ток с поверхностной плотностью (см. рисунок). С одной стороны плоскости к ней прилегает бесконечная пластина конечной (неизвестной) толщины, сделанная из материала с магнитной проницаемостью µ. Вокруг этой системы – немагнитная среда. Найти – поверхностную плотность молекулярных токов, которые протекают по нижней границе пластины. Ответ выразить в векторной форме через вектор поверхностной плотности тока . Указание: поле H по обе стороны пластины одинаково по абсолютной величине. Решение: По теореме о циркуляции магнитного поля и в силу симметрии системы, напряженность магнитного поля во внешнем пространстве есть тангенциальную составляющую вектора H поле в пластине: на рисунке). Поверхностная плотность молекулярных токов границе пластины, находится через скачок намагниченности: . Из граничных условий на (направлено справа налево , которые протекают по нижней . Ответ: . 5. (2 балла) Электрический кабель имеет сечение в виде двух концентрических цилиндров с радиусами и (см. рисунок). Магнитная проницаемость материала кабеля (он сосредоточен между цилиндрами) равна µ. Найти индуктивность кабеля на единицу длины. Считать, что ток в кабеле равномерно распределен по его сечению. Решение: Индуктивность определяем . Поля в кабеле: . Отсюда Ответ: методом: , где . Объемная плотность энергии: . . энергетическим Вариант 3 1. (2 балл) Сферический конденсатор наполовину заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью проницаемостью и наполовину – диэлектриком с (см. рис. конденсатора в разрезе). Внутренний и внешний радиусы обкладок конденсатора равны Определить емкость конденсатора. и соответственно. 2. (2 балла) Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 с толщинами и с проницаемостями и соответственно. Площадь каждой обкладки равна S. Найти плотность σ′ связанных зарядов на границе раздела диэлектрических слоев (с учетом знака!), если напряжение на конденсаторе равно U и электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2. Краевыми эффектами пренебречь. 3. (2 балла) Между обкладками диэлектрическая пластина толщиной плоского воздушного конденсатора с диэлектрической проницаемостью расположена , а суммарная толщина оставшихся воздушных зазоров между пластиной и обкладками равна . Обкладки имеют одинаковую площадь S, а напряжение между ними поддерживается равным . Определить энергию электрического поля, заключенную внутри конденсатора. Краевыми эффектами пренебречь. 4. (2 балла) Найти отношение магнитных потоков через квадратную рамку при двух ее положениях относительно прямого проводника с током (см. рис). 5. (2 балла) На плоской границе раздела двух сред с магнитными проницаемостями и находится прямой бесконечно длинный проводник, по которому течет ток I. Найти модуль вектора B в зависимости от расстояния r до провода. Среды ток не проводят. Силовые линии вектора B считать окружностями. Решения Желтым выделены комментарии для ассистентов 1. (2 балла) Сферический конденсатор наполовину заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью диэлектриком с проницаемостью и наполовину – (см. рис. конденсатора в разрезе). Внутренний и внешний радиусы обкладок конденсатора равны и соответственно. Определить емкость конденсатора. Решение: емкость сферического конденсатора с диэлектриком: . Половина конденсатора имеет половинную емкость. Емкость конденсатора из двух полусфер есть емкость двух параллельно соединенных конденсаторов-полусфер: . Ответ: . Комментарии: Если пишут выражение для последовательного соединения конденсаторов (списано, очевидно), то ставим 1 балл за задачу. Если в ответе пишут коэффициент 4 вместо 2, то снижаем на 1 балл. 2. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 с толщинами и с проницаемостями и соответственно. Площадь каждой обкладки равна S. Найти плотность σ′ связанных зарядов на границе раздела диэлектрических слоев (с учетом знака!), если напряжение на конденсаторе равно U и электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2. Решение: . Ответ: Замечание: обращаем внимание на знак! Если знак не верен – снимаем 1 балл. 3. (2 балла) (2 балла) Между обкладками плоского воздушного конденсатора расположена диэлектрическая пластина толщиной с диэлектрической проницаемостью , а суммарная толщина оставшихся воздушных зазоров между пластиной и обкладками равна . Обкладки имеют одинаковую площадь S, а напряжение между ними поддерживается равным . Определить энергию электрического поля, заключенную внутри конденсатора. Краевыми эффектами пренебречь. Решение: определяем электрическое поле внутри конденсатора: , объемная плотность энергии: Полная энергия электрического поля: . . Ответ: . 4. (2 балла) Найти отношение магнитных потоков через квадратную рамку при двух ее положениях относительно прямого проводника с током (см. рис). Решение: . 5. (2 балла) На плоской границе раздела двух сред с магнитными проницаемостями и находится прямой бесконечно длинный проводник, по которому течет ток I. Найти модуль вектора B в зависимости от расстояния r до провода. Среды ток не проводят. Силовые линии вектора B считать окружностями. Решение: Пусть в среде 1 вектор H имеет значение циркуляции магнитного поля имеем: компоненту вектора B дают: Итого: , а в среде 2 - . По теореме о . Граничные условия на нормальную . . Вариант 4 1. (2 балла) Цилиндрический конденсатор наполовину диэлектриком с диэлектрической проницаемостью диэлектриком с проницаемостью заполнен и наполовину – (см. рис. конденсатора в разрезе). Внутренний и внешний радиусы обкладок конденсатора равны и соответственно. Пренебрегая краевыми эффектами на торце конденсатора, определить удельную (на единицу длины) емкость конденсатора. 2. (2 балла) В центр диэлектрического шара радиуса R с диэлектрической проницаемостью помещен точечный сторонний заряд q. Шар помещен в безграничную диэлектрическую среду с диэлектрической проницаемостью . Определить поверхностную плотность связанных зарядов (с учетом знака!) на поверхности шара. 3. (2 балла) В плоский конденсатор емкостью С вставлена диэлектрическая пластина с проницаемостью (пластина занимает весь объем конденсатора, конденсатор имеет емкость С без пластины). Конденсатор зарядили до разности потенциалов U и отключили от источника напряжения. Какую минимальную работу А нужно совершить, чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора? Трение пренебрежимо мало. Краевыми эффектами пренебречь. 4. (2 балла) Вблизи длинного прямого провода на расстоянии l от него находится прямоугольная рамка с размерами , которая находится в одной плоскости с проводом и одной из сторон параллельна ему (см. рис.). Найти взаимную индуктивность рамки и провода. 5. (2 балла) Пространство внутри соленоида заполнено однородным парамагнетиком с магнитной проницаемостью μ. Сам соленоид имеет намотку из N витков в один слой, его внутренний радиус равен b, а поперечное сечение имеет форму квадрата со стороной a, причем размер a по сравнению с размером b не мал (см. рис). Найти магнитный поток через торец соленоида, если ток в обмотке равен I. Решения Желтым выделены комментарии для ассистентов 1. (2 балла) Цилиндрический конденсатор наполовину заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью проницаемостью и наполовину – диэлектриком с (см. рис. конденсатора в разрезе). Внутренний и внешний радиусы обкладок конденсатора равны и соответственно. Пренебрегая краевыми эффектами на торце конденсатора, определить удельную (на единицу длины) емкость конденсатора. Решение: емкость цилиндрического конденсатора с диэлектриком: . Половина конденсатора имеет половинную емкость. Емкость конденсатора из двух полуцилиндров есть емкость двух параллельно соединенных конденсаторов-полуцилиндров: . Ответ: . Комментарии: Если пишут выражение для последовательного соединения конденсаторов (списано, очевидно), то ставим 1 балл за задачу. Если в ответе пишут неверный коэффициент перед выражением, то снижаем на 1 балл. 2. (2 балла) В центр диэлектрического шара радиуса R с диэлектрической проницаемостью помещен точечный сторонний заряд q. Шар помещен в безграничную диэлектрическую среду с диэлектрической проницаемостью . Определить поверхностную плотность связанных зарядов (с учетом знака!) на поверхности шара. Решение: поле внутри шара на границе со средой: . Соответствующая поляризация: , поле вне шара на границе: , Поверхностная плотность связанных зарядов: Ответ: . Замечание: обращаем внимание на знак! Если знак не верен – снимаем 1 балл. 3. В плоский конденсатор емкостью С вставлена диэлектрическая пластина с проницаемостью (пластина занимает весь объем конденсатора, конденсатор имеет емкость С без пластины). Конденсатор зарядили до разности потенциалов U и отключили от источника напряжения. Какую минимальную работу А нужно совершить, чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора? Трение пренебрежимо мало. Краевыми эффектами пренебречь. Решение: . Ответ: . 4. (2 балла) Вблизи длинного прямого провода на расстоянии l от него находится прямоугольная рамка с размерами , которая находится в одной плоскости с проводом и одной из сторон параллельна ему (см. рис.). Найти взаимную индуктивность рамки и провода. Решение: Поле провода: Итого: Ответ: , . . 5. (2 балла) Пространство внутри соленоида заполнено однородным парамагнетиком с магнитной проницаемостью μ. Сам соленоид имеет намотку из N витков в один слой, его внутренний радиус равен b, а поперечное сечение имеет форму квадрата со стороной a, причем размер a по сравнению с размером b не мал (см. рис). Найти магнитный поток через торец соленоида, если ток в обмотке равен I. Решение: По теореме о циркуляции магнитного поля: . Ответ: . Вариант 1 1. (2 балла) Плоский диск с внутренним радиусом R1 и внешним R2 (см. рис.) заряжен с поверхностной плотностью заряда . Определить E z − проекцию на ось z напряженности поля E, создаваемого зарядом диска, в точке, находящейся на расстоянии z от диска, на перпендикуляре, проходящем через центр диска (т. О на рис.). 2. (2 балла) Сферический конденсатор наполовину заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 1 и наполовину – диэлектриком с проницаемостью 2 (см. рис. конденсатора в разрезе). Внутренний и внешний радиусы обкладок конденсатора равны R1 и R2 соответственно. Пренебрегая краевыми эффектами на границе диэлектриков, определить емкость конденсатора. 3. (2 балла) Между обкладками плоского воздушного конденсатора находится пластина из диэлектрика толщиной d1 с диэлектрической проницаемостью ε (см. рис.). Между поверхностями пластины и обкладками конденсатора остались воздушные зазоры, суммарная толщина которых равна d 2 . Определить FS − поверхностную плотность силы притяжения (т.е. силу на единицу площади) между обкладками, если разность потенциалов между ними равна V. Краевыми эффектами пренебречь. 4. (2 балла) В центре плоского замкнутого кольца с постоянным током измеряют индукцию магнитного поля и получают значение B1. Затем, не меняя тока в кольце, его сгибают пополам под углом α (см. рис.), и снова измеряют индукцию поля в той же точке (т. O на рис.), получая значение B2. Найти отношение B2 / B1 . Указание: радиус кольца R в ответ не входит. 5. (2 балла) По кабелю круглого сечения радиуса R течет однородный по плотности ток I, текущий в направлении единичного вектора k (см. рис.). Магнитная восприимчивость материала кабеля изменяется по закону (r ) = r 2 , где r − расстояние от оси кабеля ( задано). Найти 1) j(r ) − плотность объемных молекулярных токов как функцию r (выразить ее в векторной форме через базисные векторы i, j, k , изображенные на рис.); 2) абсолютную величину полного объемного молекулярного тока I (т.е. I считать без учета поверхностного). Решения 1. (2 балла) Плоский диск с внутренним радиусом R1 и внешним R2 (см. рис.) заряжен с поверхностной плотностью заряда . Определить E z − проекцию на ось z напряженности поля E, создаваемого зарядом диска, в точке, находящейся на расстоянии z от диска, на перпендикуляре, проходящем через центр диска (т. О на рис.). dq z z rdr , dq = 2 rdr . Отсюда: dEz = Решение: dEz = . 3/2 4 0 ( z 2 + r 2 ) 2 0 ( z 2 + r 2 )3/2 z 2 + R22 z 2 + R12 2 2 z rdr z dx z 1 z 1 1 Ez = = = = − 2 . 3/2 3/2 1/2 2 2 1/2 2 1/2 2 0 R ( z 2 + r 2 ) 4 0 z + R x 2 0 x z + R 2 0 ( z + R1 ) ( z + R2 ) R2 1 Ответ: Ez ( z ) = 2 1 2 2 z 1 1 − 2 . 2 2 1/2 2 1/2 2 0 ( z + R1 ) ( z + R2 ) 2. (2 балла) Сферический конденсатор наполовину заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 1 и наполовину – диэлектриком с проницаемостью 2 (см. рис. конденсатора в разрезе). Внутренний и внешний радиусы обкладок конденсатора равны R1 и R2 соответственно. Пренебрегая краевыми эффектами на границе диэлектриков, определить емкость конденсатора. R1R2 . R2 − R1 Половина конденсатора имеет половинную емкость. Емкость конденсатора из двух полусфер есть емкость двух параллельно соединенных конденсаторов-полусфер: R R RR C = 4 0 1 2 1 + 2 = 2 0 1 2 (1 + 2 ) . R2 − R1 2 2 R2 − R1 RR Ответ: C = 2 0 1 2 (1 + 2 ) . R2 − R1 Комментарии: Если пишут выражение для последовательного соединения конденсаторов (списано, очевидно), то ставим 1 балл за задачу. Решение: емкость сферического конденсатора с диэлектриком: C = 4 0 3. (2 балла) Между обкладками плоского воздушного конденсатора находится пластина из диэлектрика толщиной d1 с диэлектрической проницаемостью ε (см. рис.). Между поверхностями пластины и обкладками конденсатора остались воздушные зазоры, суммарная толщина которых равна d 2 . Определить FS − поверхностную плотность силы притяжения (т.е. силу на единицу площади) между обкладками, если разность потенциалов между ними равна V. Краевыми эффектами пренебречь. Решение: найдем поле внутри конденсатора. Пусть Eout − напряженность поля в зазорах, Ein − напряженность поля внутри диэлектрика. Из краевых условий получаем: Eout = Ein V . Отсюда: Eout = . Поверхностная плотность заряда на каждой d1 + d2 Eout d 2 + Ein d1 = V обкладке: = 0V . Поверхностная плотность силы притяжения между обкладками: d1 + d2 E V FS = out = 0 2 2 d1 + d 2 2 (берется половина поля Eout чтобы не учитывать действие пластины на саму себя). 2 E V Ответ: FS = out = 0 . 2 2 d1 + d 2 Комментарии: Если нет двойки в знаменателе, то снимаем полбалла. 4. (2 балла) В центре плоского замкнутого кольца с постоянным током измеряют индукцию магнитного поля и получают значение B1. Затем, не меняя тока в кольце, его сгибают пополам под углом α (см. рис.), и снова измеряют индукцию поля в той же точке (т. O на рис.), получая значение B2. Найти отношение B2 / B1 . Указание: радиус кольца R в ответ не входит. Решение: B1 = амплитудой 0 I 4R 0 I 2R . После сгибания кольца две половинки создают векторы поля , с углом между векторами, равным − . По теореме косинусов, сумма 0 I 2 1 − cos . 4R I B 2R 1 − cos Соответственно, 2 = 0 2 1 − cos = = sin . B1 4 R 0 I 2 2 таких векторов имеет амплитуду B2 = Ответ: B2 1 − cos = = sin . B1 2 2 5. (2 балла) По кабелю круглого сечения радиуса R течет однородный по плотности ток I, текущий в направлении единичного вектора k (см. рис.). Магнитная восприимчивость материала кабеля изменяется по закону (r ) = r 2 , где r − расстояние от оси кабеля ( задано). Найти 1) j(r ) − плотность объемных молекулярных токов как функцию r (выразить ее в векторной форме через базисные векторы i, j, k , изображенные на рис.); 2) абсолютную величину полного объемного молекулярного тока I (т.е. I считать без учета поверхностного). Решение: магнитное поле как функция r определяется по теореме о циркуляции: Ir 3 Ir M ( r ) = ( r ) H ( r ) = H (r ) = . Соответственно, намагниченность: . Отсюда: 2 R 2 2 R 2 1 d ( rM (r ) ) 1 d Ir 4 2 Ir 2 k= k = k; 1) (1 балл) j = rot M = r dr r dr 2 R 2 R2 R 2) (1 балл) I = j(r )2 rdr = IR 2 . 0 Ответ: 1) j = 2 Ir 2 k ; 2) I = IR 2 . 2 R Семинар 4.1. Электростатическое поле в вакууме. Блок 1. Нахождение напряжённости электрического поля зарядов. Задача 1 (№3.8 // Иродов 1979) Тонкое полукольцо радиуса R = 20 см заряжено равномерно зарядом q = 0,70 нКл. Найти модуль вектора напряженности электрического поля в центре кривизны этого полукольца. Решение: Из соображений симметрии вектор напряжённости направлен от полукольца в его плоскости. Исходя из этого: 𝐸 = ∫ 𝑑𝐸𝑥 , где 𝑑𝐸𝑥 = cos 𝜑 𝑑𝐸 dq можно выразить как через линейную плотность, так и через угловую. Сделаем через угловую: 𝑞 𝑑𝑞 = 𝜌𝜑 𝑑𝜑 = 𝑑𝜑 𝜋 Тогда: 𝜋/2 𝐸=∫ −𝜋/2 𝑘 𝑞 𝑞 𝑞 𝜋/2 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑑𝜑 = 𝑘 sin 𝜑 | = −𝜋/2 𝑟2𝜋 𝑟2𝜋 2𝜋 2 𝑟 2 𝜀0 Задача 2 (№3.9 // Иродов 1979) Кольцо радиуса r из тонкой проволоки имеет заряд q. Найти модуль напряженности электрического поля на оси кольца как функцию расстояния h до его центра. Исследовать полученную зависимость при h >> r. Определить максимальное значение напряженности и соответствующее расстояние h. Изобразить примерный график функции E(h). Решение: Исходя из геометрии задачи, можно записать уравнение для напряжённости: 𝐸(ℎ) = 𝑘 𝑞 𝑞∙ℎ cos 𝜑 = 𝑘 (𝑟 2 + ℎ2 )2 (𝑟 2 + ℎ2 )3/2 При h >> r квадратом радиуса внутри скобок можно пренебречь, и тогда выражение примет вид, соответствующий точечному заряду. Для нахождения максимума напряжённости: 3 1 𝑑 ℎ 3 2 2 2 2 )2 2 )2 ( ( ( ) = 0 → 𝑟 + ℎ − 2ℎ 𝑟 + ℎ = 0 → ℎ𝑚 = 𝑟/√2 3 𝑑ℎ ( 2 2 𝑟 + ℎ2 )2 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 𝐸 (ℎ𝑚 ) Задача 3 (семинар 4.1 // Ихсанов) Полусфера радиуса R находится в вакууме и заряжена равномерно по ее поверхности с поверхностной плотностью σ. Найти напряженность электрического поля в центре полусферы (под центром полусферы понимается центр соответствующей сферы). Решение: Исходя из геометрии задачи, можно записать уравнение для напряжённости: 𝐸 = ∫ 𝑑𝐸𝑥 = ∫ 𝑘 𝑑𝑞 cos 𝜑 𝑅2 Здесь угол между вертикалью и направлением на кольцо радиусом 𝑅 sin 𝜑 и толщиной 𝑅𝑑𝜑. Тогда 𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝑆 = 𝜎2𝜋𝑅 2 sin 𝜑 𝑑𝜑. Тогда: 𝜎2𝜋𝑅 2 𝑑𝐸𝑥 = 𝑘 cos 𝜑 sin 𝜑 𝑑𝜑 𝑅2 𝜋/2 𝐸=∫ 0 𝜎2𝜋𝑅 2 𝜎 𝜋/2 1 𝜎 ∫ 𝑘 cos 𝜑 sin 𝜑 𝑑𝜑 = sin 2𝜑 𝑑𝜑 = 𝑅2 2𝜀0 0 2 4𝜀0 Задача 4 (№3.12 // Иродов 1979) Тонкое непроводящее кольцо радиуса R заряжено с линейной плотностью λ = λ0cos(φ), где λ0 — постоянная, φ — азимутальный угол. Найти модуль вектора напряженности электрического поля: а) в центре кольца; б) на оси кольца в зависимости от расстояния x до его центра. Исследовать полученное выражение при х >> R. Решение: Исходя из знака амплитуды косинуса, получается, что половина кольца заряжена положительно, а половина – отрицательно, поэтому напряжённость в центре не обращается в ноль и направлена в «центр» отрицательной дуги. Исходя из этого: 𝜋 𝜆0 cos 𝜑 𝑅𝑑𝜑 𝑘𝜆0 𝜋 ∫ cos2 𝜑 𝑑𝜑 𝐸=∫ 𝑘 cos 𝜑 = 2 𝑅 𝑅 −𝜋 −𝜋 Используем формулу понижения степени: 𝜋 𝜋 𝑘𝜆0 𝜋 (cos 2𝜑) 1 𝑘𝜆0 1 𝑘𝜆0 𝜆0 ∫ ( (∫ cos 2𝜑 𝑑𝜑 + ∫ 𝐸= + ) 𝑑𝜑 = 𝑑𝜑) = 𝜋= 𝑅 −𝜋 2 2 𝑅 𝑅 4𝜀0 𝑅 −𝜋 −𝜋 2 Теперь найдём напряжённость на оси кольца. Из построения понятно, что результирующий вектор параллелен плоскости кольца. В целом рассуждения те же, нужно только учесть угол между нормалью к плоскости кольца и направлением на элемент на кольце: 𝜋 𝜋 𝑘𝜆0 𝑘𝜆0 𝑅 2 𝜆0 𝑅 2 2 ∫ cos 2𝜑 𝑑𝜑 = 𝐸= 2 sin 𝛾 ∫ cos 𝜑 𝑑𝜑 = 2 (𝑅 + ℎ2 )3/2 −𝜋 𝑅 + ℎ2 4𝜀0 (𝑅 2 + ℎ2 )3/2 −𝜋 Задача 5 (№3.14 // Иродов 1979) Очень длинная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд λ на единицу длины. Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля в точке, которая отстоит от нити на расстояние y и находится на перпендикуляре к нити, проходящем через один из ее концов. Решение: Нужно сделать рисунок, после чего выразить напряжённость без учёта направления. 𝑑𝐸 = 𝑘 𝑑𝑞 𝑟2 Выпишем соотношения: 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑙; 𝑑𝑙 = 𝑟𝑑𝛼 𝑦 ;𝑟 = cos 𝛼 cos 𝛼 Получаем: 𝜆 𝑑𝐸 = 𝑘 𝑑𝛼 𝑦 Теперь найдём его компоненты по осям для дальнейшего нахождения модуля. 𝜆 𝜆 𝑑𝐸𝑥 = 𝑘 sin 𝛼 𝑑𝛼; 𝑑𝐸𝑦 = 𝑘 cos 𝛼 𝑑𝛼 𝑦 𝑦 𝜋/2 𝐸𝑥 = ∫ 0 𝜋/2 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 𝑘 sin 𝛼 𝑑𝛼 = ; 𝐸𝑦 = ∫ 𝑘 cos 𝛼 𝑑𝛼 = 𝑦 4𝜋𝜀0 𝑦 𝑦 4𝜋𝜀0 𝑦 0 Из результатов понятно, что результирующий вектор ориентирован под углом 45 градусов к стержню. |𝐸 | = √𝐸𝑥2 + 𝐸𝑦2 = Задача 6 (№3.15 // Иродов 1979) 𝜆√2 4𝜋𝜀0 𝑦 Равномерно заряженная нить, на единицу длины которой приходится заряд λ, имеет конфигурации, показанные на рис. (а) и (б). Считая, что радиус закругления R значительно меньше длины нити, найти модуль вектора напряженности электрического поля в точке О. Решение: В пункте (а) итоговая напряжённость является результатов сложения напряжённостей от дуги и двух полубесконечных стержней (лучше нарисовать). Если заряд положительный, то напряжённость дуги направлена вверх-вправо, а стрежней – под диагонали 45 зеркально друг другу. Таким образом, напряжённости от стержней компенсируют друг друга. Осталось рассчитать напряжённость от дуги. 𝜋 4 1 𝜆𝑟𝑑𝜑 𝜆√2 cos 𝜑 = 2 𝜋 4𝜋𝜀0 𝑟 − 4𝜋𝜀0 𝑟 𝐸=∫ 4 В пункте (б) итоговая напряжённость является результатов сложения напряжённостей от полукольца и двух полубесконечных стержней (лучше нарисовать). Если заряд положительный, то напряжённость дуги направлена вверх, а стрежней – под диагонали 45 вниз зеркально друг другу. Напряжённость полукольца: 𝐸= 𝑞 𝜆 = 2𝜋 2 𝑟 2 𝜀0 2𝜋𝑟𝜀0 Напряжённость стержней, спроецированная на ось, вдоль которой лежит напряжённость полукольца: 𝐸𝑥 = 2 𝜆 𝜆 = 4𝜋𝜀0 𝑟 2𝜋𝑟𝜀0 Итого, учитывая направления, получаем: 𝐸𝛴 = 𝜆 𝜆 − =0 2𝜋𝑟𝜀0 2𝜋𝑟𝜀0 Задача 7 (№3.20, Иродов 1979) Два точечных заряда q и –q расположены на расстоянии 2l друг от друга. Найти поток вектора напряжённости электрического поля через круг радиуса R. Решение: Поток равен: 𝑑Ф = 2𝐸 cos 𝜑 𝑑𝑆 = 2𝑞𝑙 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 𝑞𝑙𝑟 𝑑𝑟 = 4𝜋𝜀0 (𝑟 2 + 𝑙2 )3/2 𝜀0 (𝑟 2 + 𝑙2 )3/2 𝑅 𝑞𝑙𝑟 𝑑𝑟 𝑞𝑙 𝑅 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 2 ∫ Ф=∫ = → 𝑟 + 𝑙 = 𝑥; = 2𝑟; 𝑑𝑟 = → 2 2 3/2 𝜀0 0 (𝑟 2 + 𝑙2 )3/2 𝑑𝑟 2𝑟 0 𝜀0 (𝑟 + 𝑙 ) 𝑞𝑙 𝑅 𝑑𝑥 𝑞𝑙 2 𝑞𝑙 2 −𝑞𝑙 ∫ 3/2 = ) |𝑅0 = →Ф= ∗ (− ) |𝑅0 = ∗ (− |𝑅0 2 2 2 2 2𝜀0 0 𝑥 2𝜀0 2𝜀0 √𝑟 + 𝑙 𝜀0 √𝑟 + 𝑙 √𝑥 Ф= −𝑞𝑙 𝜀0 √𝑅 2 + 𝑙2 + 𝑞𝑙 𝑞𝑙 1 ) = (1 − 𝜀0 𝑙 𝜀0 √𝑅 2 + 𝑙2 Блок 2. Теорема Гаусса для электростатического поля. Задача 8 (№3.22 // Иродов 1979) Две длинные параллельные друг другу нити равномерно заряжены так, что на единицу длины каждой из них приходится заряд λ. Расстояние между нитями равно L. Найти максимальное значение напряженности электрического поля в плоскости симметрии этой системы, расположенной между нитями. Решение: Для начала воспользуемся теоремой Гаусса и найдём выражение для напряжённости бесконечной нити: ∫ 𝐸 𝑑𝑆 = 𝑄 𝜏 → 𝐸0 = 𝜀0 2𝜋𝑟𝜀0 Из геометрии задачи следует, что напряжённость в произвольной точке на плоскости симметрии равна: 𝜏𝑥 𝜏𝑥 𝐸 = 2𝐸0 cos 𝜃 = 2 = 𝐿2 𝜋𝑟 𝜀0 𝜋𝜀0 ( 4 + 𝑥 2 ) Здесь х – расстояние от плоскости двух нитей до рассматриваемой точки. Далее найдём условие максимальности поля: 𝐿2 − 𝑥2 𝑑𝐸 𝐿 4 =0→ =0→ =𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝐿2 ( + 𝑥2) 4 Тогда: 𝐸𝑚𝑎𝑥 = Задача 9 (№3.25 // Иродов 1979) 𝜏 𝜋𝜀0 𝐿 Шар радиуса R имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит только от расстояния r до его центра по закону ρ = ρ0(1 — r/R), где ρ0 — постоянная. Полагая диэлектрическую проницаемость шара и окружающего пространства равной единице, найти: а) модуль вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию расстояния r; б) максимальное значение напряженности Eмакс и соответствующее ему значение расстояния rm. Решение: ∫ 𝐸 𝑑𝑆 = ∫ 𝜌𝑑𝑉 𝜀0 Внутри шара получаем: 1 𝑟 𝑟 𝐸 ∗ 4𝜋𝑟 = ∫ 𝜌0 (1 − ) 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 𝜀0 0 𝑅 2 1 3𝑟 𝜌0 𝑟 𝐸(𝑟) = (1 − ) 3 4𝑅 𝜀0 Вне шара получаем: ∫ 𝐸 𝑑𝑆 = ∫ 𝜌𝑑𝑉 𝜀0 1 𝑅 𝑟 𝐸 ∗ 4𝜋𝑟 = ∫ 𝜌0 (1 − ) 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 𝜀0 0 𝑅 2 𝐸(𝑟) = 1 3 𝜌0 𝑅 12 𝑟 2 𝜀0 Понятно, что поле максимально вне шара. Тогда условие экстремума: 𝑑𝐸 (𝑟) 2 =0→𝑟= 𝑅 𝑑𝑟 3 1 𝑅𝜌0 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 9 𝜀0 Задача 10 (№3.26 // Иродов 1979) Система состоит из шара радиуса R, заряженного сферически симметрично, и окружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностью ρ = α/r, где α — постоянная, r — расстояние от центра шара. Найти заряд шара q, при котором модуль вектора напряженности электрического поля вне шара не будет зависеть от r. Чему равна эта напряженность? Диэлектрическая проницаемость шара и окружающей среды предполагается равной единице. Решение: По теореме Гаусса, можно записать для произвольного r>R: 𝑟 𝑞 𝜌𝑑𝑉 𝑞 𝛼 4𝜋𝑟 2 2 ∫ 𝐸 𝑑𝑆 = + ∫ → 𝐸 4𝜋𝑟 = + ∫ 𝑑𝑟 𝜀0 𝜀0 𝜀0 𝑟𝜀0 𝑅 𝐸= 1 𝑞 2𝜋𝛼 2 𝑞 𝛼 𝑅2𝛼 2 )) ( ( + 𝑟 − 𝑅 = + − 4𝜋𝑟 2 𝜀0 𝜀0 4𝜋𝜀0 𝑟 2 2𝜀0 2𝜀0 𝑟 2 Чтобы полученное выражение не зависело от r, должно выполняться: 𝑞 𝑅2𝛼 − = 0 → 𝑞 = 2𝜋𝛼𝑅 2 2 2 4𝜋𝜀0 𝑟 2𝜀0 𝑟 Тогда напряжённость: 𝐸 = 𝛼/2𝜀0 Блок 3. Потенциал электростатического поля. Задача 11 (№3.31 // Иродов 1979) Имеется бесконечно длинная прямая нить, заряженная равномерно с линейной плотностью τ = 0,40 мкКл/м. Вычислить разность потенциалов точек 1 и 2, если точка 2 находится в η = 2,0 раза дальше от нити, чем точка 1. Решение: ∫ 𝐸 𝑑𝑆 = ∫ 𝜏𝑑𝑙 𝜏 →𝐸= 𝜀0 2𝜋𝜀0 𝑟 2 2 𝜏 𝑑𝑟 𝜏 ∫ 𝜑 = ∫ 𝐸 𝑑𝑟 = = ln 𝜂 2𝜋𝜀 𝑟 2𝜋𝜀 0 0 1 1 Задача 12 (№3.32 // Иродов 1979) Найти потенциал и напряженность электрического поля в центре полусферы радиуса R, заряженной равномерно с поверхностной плотностью σ. Решение: Рассмотрим потенциал, создаваемый элементарным зарядом на полусфере: 𝜋/2 𝑑𝑞 𝑑𝑞 𝜎𝑑𝑆 𝜎 2𝜋𝑅 2 sin 𝜑 𝑑𝜑 𝜎𝑟 𝑑𝜑 = 𝑘 → 𝜑 = ∫𝑘 = ∫𝑘 =∫ 𝑘 = 𝑟 𝑟 𝑟 𝑅 2𝜀0 0 Нахождение напряжённости приведено в задаче 4 семинара. Задача 13 (№3.30 // Иродов 1979) Имеются два тонких проволочных кольца радиуса R каждое, оси которых совпадают. Заряды колец равны q и -q. Найти разность потенциалов между центрами колец, отстоящими друг от друга на расстояние a. Решение: Потенциал в каждой из двух точек создаётся обоими кольцами: 𝑞 𝑞 𝜑1 = 𝑘 − 𝑘 1 𝑟 (𝑟 + 𝑎)2 𝑞 𝑞 𝜑2 = −𝑘 + 𝑘 1 𝑟 (𝑟 + 𝑎)2 ∆𝜑 = 𝜑1 − 𝜑2 = 𝑞 1 1− 2 2𝜋𝜀0 𝑅 √1 + ( 𝑎 ) ( 𝑅 ) Задача 14 (№3.36 // Иродов 1979) Определить вектор напряженности электрического поля, потенциал которого зависит от координат x, y по закону: а) φ = a (x2 - y2); б) φ = axy, где a — постоянная. Изобразить примерный вид этих полей с помощью силовых линий (в плоскости x, y). Решение: 𝑬 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜑 Откуда: А) 𝑬 = 2𝛼(𝑦𝒋̂ − 𝑥𝒊̂) Б) 𝑬 = −𝛼𝑦𝒊̂ − 𝛼𝑥𝒋̂ Задача 15 (семинар 4.1 // Ихсанов) На тонкой прямой диэлектрической палочке длиной b равномерно распределен заряд с линейной плотностью ρ. Вычислить потенциал φ, создаваемый всем этим зарядом в точке, расположенной на оси палочки и удаленной от ближайшего ее конца на расстояние a. Решение: Пределы интегрирования следует выбрать такие, что в них «уместился» заряд: 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 𝑑𝑞 𝜌𝑑𝑟 1 𝜌𝑑𝑟 𝜌 𝑑𝑟 𝑑𝜑 = 𝑘 → 𝜑 = ∫𝑘 =∫ →𝜑=∫ 𝑟 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑟 𝑎 𝑎 𝜑= 𝜌 𝜌 𝑏 ln 𝑥 |𝑎+𝑏 = ln (1 + ) 𝑎 4𝜋𝜀0 4𝜋𝜀0 𝑎 Задача 16 (семинар 4.1 // Ихсанов) По поверхности двух концентрических сфер с радиусами R1 и R2 (R1 < R2), находящимися в вакууме, равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями -σ (по внутренней сфере) и σ (по внешней сфере). Найти потенциал в центре сфер. Потенциал, как обычно, нормирован условием “ноль на бесконечности”: φ(r→inf) = 0. Решение: Найдём потенциал в центре произвольной сферы: 𝑟 𝑑𝑞 𝑑𝑞 𝜎𝑑𝑆 1 𝜎 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 𝜎𝑟 𝑑𝜑 = 𝑘 → 𝜑 = ∫𝑘 = ∫𝑘 =∫ = 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝜀0 0 4𝜋𝜀0 Получаем: 𝜑1 = − 𝜎𝑅1 𝜎𝑅2 𝜎(𝑅2 − 𝑅1 ) ; 𝜑2 = → 𝜑 = 𝜑1 + 𝜑2 = 𝜀0 𝜀0 𝜀0 Семинар 4.2. Метод зеркальных отображений. Ёмкость. Блок 1. Метод зеркальных отображений. Задача 1 (№3.54 // Иродов 1979) Небольшой шарик висит над горизонтальной безграничной проводящей плоскостью на изолирующей упругой нити жесткости k. После того как шарик зарядили, он опустился на x см, и его расстояние до проводящей плоскости стало равным l. Найти заряд шарика. Решение: 1 𝑞2 = 𝑘𝑥 → 𝑞 = 4𝑙√𝜋𝜀0 𝑘𝑥 4𝜋𝜀0 (2𝑙)2 Задача 2 (№3.56 // Иродов 1979) Два точечных заряда, q и -q, расположены на расстоянии l друг от друга и на одинаковом расстоянии l/2 от безграничной проводящей плоскости. Найти: а) модуль вектора электрической силы, действующей на каждый заряд; б) модуль вектора напряженности электрического поля в точке, расположенной на середине между этими зарядами. Решение: Из геометрии задачи следует, что нужно ввести два фиктивных заряда. Результирующая сила, действующая на каждый из зарядов, будет направлена по диагонали, «относительно поверхности». 𝑞2 2 𝑞2 2 𝑞2 𝑞2 𝐹=𝑘 2 +𝑘 2 − 𝑘 2 = 𝑘 2 (2√2 − 1) 𝑙 √2 𝑙 √2 2𝑙 𝑙 Теперь найдём напряжённость в точке посередине между «настоящими» зарядами. Из геометрии получаем: 𝐸 = 2 (1 − 1 𝑞 5√5 𝜋𝜀0 𝑙2 ) Задача 3 (№3.60 // Иродов 1979) Тонкая бесконечно длинная нить имеет заряд λ на единицу длины и расположена параллельно безграничной проводящей плоскости. Расстояние между нитью и плоскостью равно l. Найти: а) модуль вектора силы, действующей на единицу длины нити; б) распределение поверхностной плотности заряда σ(x) на плоскости, где x — расстояние от плоскости, перпендикулярной к проводящей поверхности и проходящей через нить. Решение: Введём фиктивную нить с зарядом –q. Тогда создаваемая ею напряжённость: 𝐸=− 𝜆 2𝜋𝑙𝜀0 Сила, действующая на «настоящую нить»: 𝜆 ∗ 𝜆𝑑𝑙 𝜆2 𝐹 = 𝑑𝑞 𝐸 = − → 𝐹𝑙 = − 2𝜋𝑙𝜀0 2𝜋𝑙𝜀0 Из геометрии задачи следует, что напряжённость на границе проводящей плоскости будет направлена «внутрь» её. Тогда: 𝐸𝑛 (𝑥) = 2𝐸 cos 𝜑 = 𝜆 𝑙 𝜆𝑙 = 1 1 𝜋𝜀0 (𝑥 2 + 𝑙2 ) 2𝜋(𝑥 2 + 𝑙2 )2 𝜀0 (𝑥 2 + 𝑙2 )2 𝜎(𝑥) = 𝜀0 𝐸𝑛 = 𝜆𝑙 𝜋(𝑥 2 + 𝑙2 ) Задача 4 (№3.62 // Иродов 1979) Тонкое проволочное кольцо радиуса R имеет заряд q. Кольцо расположено параллельно безграничной проводящей плоскости на расстоянии l от последней. Найти: а) поверхностную плотность заряда в точке плоскости, расположенной симметрично относительно кольца; б) напряженность и потенциал электрического поля в центре кольца. Решение: Исходя из геометрии задачи, напряжённость в точке А (пункт а) будет направлена перпендикулярно поверхности «внутрь». Эта напряжённость имеет вид: 𝐸=𝑘 𝑞∙𝑙 (𝑅 2 + 𝑙2 )3/2 Введём «фиктивное» кольцо с противоположенным знаком (зеркальное отображение) «внутри» проводящей полуповерхности. Тогда в рассматриваемой точке напряжение удвоится. Отсюда: 𝜎 = 𝜀0 ∗ 2𝐸 = 𝑞 ∙𝑙 2𝜋(𝑅 2 + 𝑙2 )3/2 Напряжённость в точке Б (пункт б) будет создано только за счёт «фиктивного» кольца («настоящее» там даст ноль). Получается: 𝐸= 1 𝑞∙𝑙 2𝜋𝜀0 (𝑅 2 + 4𝑙2 )3/2 Потенциал в той же точке сложится из потенциалов обоих колец, «настоящего» и «фиктивного»: 𝜑=𝑘 𝑞 𝑞 1 1 ( ) −𝑘 = 𝑘𝑞 − 1 2 𝑅 𝑅 √1 + 4𝑙 2 2 (𝑅 + 𝑙 )2 Блок 2. Ёмкость. Сначала отдельно рассмотреть ёмкости стандартных конденсаторов. Задача 5 (№3.108 // Иродов 1979) Два длинных прямых провода с одинаковым радиусом сечения a расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между их осями равно b. Найти взаимную емкость проводов на единицу их длины при условии b >> a. Решение: Пусть провода имеют заряды q и –q. Тогда каждый из них создаёт напряжённость: 𝜏 𝐸=± 2𝜋𝜀0 𝑟 В совокупности: 𝐸= 𝜏 𝜋𝜀0 𝑟 Тогда разность потенциалов между проводами: 𝑎+𝑏 𝑈=∫ 𝑎 𝜏 𝜏 𝑏−𝑎 𝜏 𝑏 )≈ 𝑑𝑟 = ln ( ln ( ) 𝜋𝜀0 𝑟 𝜋𝜀0 𝑎 𝜋𝜀0 𝑎 Тогда ёмкость: 𝑞 ( ) 𝜋𝜀0 𝐶= 𝑙 = 𝑏 𝑈 ln (𝑎) Задача 6 (№3.110 // Иродов 1979) Найти емкость системы из двух одинаковых металлических шариков радиуса a, расстояние между центрами которых b, причем b >> a. Система находится в однородном диэлектрике с проницаемостью ε. Решение: Пусть шарики имеют заряды q и –q. Тогда каждый из них создаёт напряжённость: 𝑞 𝐸=± 4𝜋𝜀𝜀0 𝑟 2 В совокупности: 𝐸= 𝑞 2𝜋𝜀𝜀0 𝑟 2 Тогда разность потенциалов между шариками: 𝑏−𝑎 𝑈=∫ 𝑎 𝑞 𝑞 𝑑𝑟 ≈ 2𝜋𝜀𝜀0 𝑟 2 2𝜋𝜀𝜀0 𝑎 Ёмкость: 𝐶= 𝑞 = 2𝜋𝜀𝜀0 𝑎 𝑈 Семинар 4.3. Электрический диполь. Электростатическое поле в диэлектрике. Блок 1. Электрический диполь. Задача 1 (№2 // Сивухин т.3 стр. 26 №1) Найти силу взаимодействия F двух точечных диполей p1 и p2, если их дипольные момент направлены вдоль соединяющей их прямой, а расстояние между ними равно r. Решение: 𝑑𝐸 2𝑝𝑘 Известно, что 𝐹 = 𝑝 𝑑𝑟 , 𝐸|| = 𝑟 3 𝑑( 𝐹 = ±𝑝1 2𝑝2 𝑘 ) 𝑟 3 = ± 6𝑘𝑝1 𝑝2 𝑑𝑟 𝑟4 Задача 2 (№1 // семинар 4.3 Ихсанов) Система состоит из заряда, однородно распределенного по полуокружности радиуса а, в центре которой находится точечный заряд (–q) (см. рис.). Найти электрический дипольный момент этой системы. Решение: Центр «тяжести» заряда полуокружности: 𝑥𝑐 = 2 ∫ 𝑟𝑥 𝑑𝑞 𝑟 𝑑𝜑 , 𝑟𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 , 𝑑𝑞 = 𝑞 ∗ 𝑞 𝜋𝑟 2𝑟 𝜋/2 2𝑟 2𝑎 𝑥𝑐 = ∫ cos 𝜑 𝑑𝜑 = = 𝜋 0 𝜋 𝜋 2𝑎 Соответственно дипольный момент: 𝑝 = 𝑞 𝜋 . Задача 3 (№1 // семинар 4.3 Ихсанов) Точечный диполь с электрическим моментом p находится на расстоянии l от бесконечной проводящей плоскости. Найти модуль вектора силы, действующей на диполь, если вектор p перпендикулярен плоскости. Решение: Изображением диполя будет такой же диполь. Поскольку точечный диполь имеет вектор электрического момента, перпендикулярный к плоскости, то создаваемая им напряжённость: 𝐸|| = 2𝑘 𝑝 𝑟3 Тогда сила, действующая на «настоящий» диполь со стороны «фиктивного»: 𝑑𝑟 −3 3𝑝2 𝐹 = 𝑝 ∇𝐸 = 2𝑘𝑝 =− 𝑑𝑟 32𝜋𝜀0 𝑙4 2 Знак «минус» указывает, что это сила притяжения, 𝑟 = 2𝑙. Блок 2. Электростатическое поле в диэлектрике. Задача 4 (№1 // семинар 4.4 Ихсанов) Напряженность электрического поля в точке, отстоящей на расстояние r от оси равномерно заряженной с линейной плотностью заряда и погруженной в диэлектрик тонкой нити, равна E. Найти диэлектрическую проницаемость диэлектрика . Решение: По теореме Гаусcа: E= 1 2 0 r = 1 2 0 E r . Задача 5 (№3 // семинар 4.4 Ихсанов) Металлическая сфера находится в диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостью . Сфера несет заряд q . Найти суммарный связанный заряд на поверхности диэлектрика, примыкающей к сфере. Решение: 4 r 2 0 E = q E = q q q = − P = − 0 E = −( − 1) qsv = −( − 1) 2 2 4 r 0 4 r . Задача 6 (КР Ихсанов) В центр диэлектрического шара радиуса R с диэлектрической проницаемостью 1 помещен точечный сторонний заряд q. Шар помещен в безграничную диэлектрическую среду с диэлектрической проницаемостью 2 . Определить поверхностную плотность связанных зарядов (с учетом знака!) на поверхности шара. Решение: поле внутри шара на границе со средой: границе: Pout = Eout = Ein = q 1 1 4 0 1 a 2 , поле вне шара на 1 1 q 1 1 − 1 Pin = 2 4 0 2 a . Соответствующая поляризация: 4 a 2 1 , q q 1 2 −1 4 a 2 2 . Поверхностная плотность связанных зарядов: Pin − Pout = q 1 1 − 1 2 − 1 q 1 1 − 2 − = 4 a 2 1 2 4 a 2 1 2 Ответ: = q 1 1 − 2 4 a 2 1 2 Задача 7 (КР Ихсанов) Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью по шару радиуса R из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью . Определить поверхностную плотность ' связанных зарядов на поверхности шара. Система находится в вакууме. 4 1 1 1 R E = R3 P = 0 ( − 1) E ' = − Pn 1→2 = ( − 1) 2 3 4 R 3 0 Решение: Ответ: '= R ( − 1) 3 Задача 8 (№6 // семинар 4.4 Ихсанов) Цилиндрический конденсатор, находящийся в воздухе и подключенный к источнику постоянного напряжения U, опускают торцом в жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью (так что диэлектрик начинает заполнять пространство между обкладками). Скорость опускания равна v, R1 и R2 - радиусы внешней и внутренней обкладок соответственно. Найти ток через конденсатор. Решение: Емкость цилиндрического конденсатора без диэлектрика между обкладками равна I= C= 2 0 h ln( R2 / R1 ) , где h - высота, R2 и R1 - радиусы обкладок. 2 0 x 2 0U 2 0 (h − x) 2 0 dQ dQ , Q = CU , C = = + = ( − 1)v ( x + h − x) I = dt dt ln( R2 / R1 ) ln( R2 / R1 ) ln( R2 / R1 ) ln( R2 / R1 ) , . Задача 10 (№8 // семинар 4.4 Ихсанов) Тонкая бесконечно длинная нить, заряженная с линейной плотностью заряда , находится внутри изолятора цилиндрической формы с диэлектрической проницаемостью (оси изолятора и нити совпадают, изолятор тоже бесконечно длинный). Изолятор заряжен равномерно по объему с объемной плотностью заряда . Найти напряженность поля внутри изолятора как функцию расстояния до нити. r2 + 2 rl 0 E = r l + l E = 2 r 0 Решение: 2 Задача 11 (№3.74 // Иродов 1979) Точечный заряд q находится в центре шара из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью ε. Найти поляризованность P как функцию радиус- вектора r относительно центра системы, а также заряд q' внутри сферы, радиус которой меньше радиуса шара. Решение: 𝑃 = 𝜒𝜀0 𝐸 ∮ 𝐷 𝑑𝑆 = 𝑞 → 𝜀𝜀0 𝐸 ∗ 4𝜋𝑟 2 = 𝑞 → 𝐸 = 𝑃 = 𝜒𝜀0 𝐸 → 𝑃 = 𝜒𝜀0 1 𝑞 4𝜋𝜀𝜀0 𝑟 2 1 𝑞 𝜀−1 𝑞 1 𝑞 (1 ) = → 𝐏(𝐫) = − 𝐫 4𝜋𝜀𝜀0 𝑟 2 𝜀 4𝜋𝑟 2 𝜀 4𝜋𝑟 3 1 𝑞 ′ = − ∫ 𝑃 𝑑𝑆 = − (1 − ) 𝑞 𝜀 Поле в полости Общая рекомендация к такого рода задачам: решать графически, т.е. делать рисунок и на нём обозначать данный в условии вектор. После этого нарисовать радиусвекторы к интересующим точкам. Задача 9 (№7 // семинар 4.4 Ихсанов) Непроводящий шар с диэлектрической проницаемостью заряжен однородно по объему с объемной плотностью заряда . В центре шара имеется незаряженная сферическая полость радиуса r0 . Определить напряженность поля внутри шара, но вне полости, как функцию расстояния до его центра. Решение: 4 r 2 0 E = 4 (r 3 − r03 ) (r 3 − r03 ) E= 3 3 0 r 2 . Задача 12 (№9 // семинар 4.4 Ихсанов) Внутри шара из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью , равномерно заряженного по объему с плотностью , находится шарообразная полость некоторого радиуса, так что полость не выходит за границы шара и не захватывает его центр (см. рисунок). Радиус-вектор центра полости, проведенный из центра шара, равен a . Найти вектор (не просто абсолютную величину!) напряженности электростатического поля в произвольной точке этой полости. Решение: Заполняем полость до целого шара (зарядами с плотностями + и - ). По теореме Гаусса поле внутри шара: E (r ) = r 3 0 . Поле внутри полости, заполненной зарядом с E '(r ') = − r' 3 0 , где r ' - радиус вектор точки r , противоположной плотностью: проведенный из центра полости. Суммарное поле: E = r− r'= a ( r − r ') = 3 0 3 0 3 0 3 0 . Задача 13 (№10 // семинар 4.4 Ихсанов) Имеются 2 диэлектрических шара с диэлектрической проницаемостью , однородно заполненные зарядами противоположных знаков с объемными плотностями и − соответственно. Найти электрическое поле в области перекрытия шаров, если вектор, соединяющий центры этих шаров, равен a (см. рисунок). Решение: электрическое поле в некоторой точке в области пересечения от первого шара: E = E1 + E2 = E1 = a ( r1 − r2 ) = 3 0 3 0 . r1 E1 = − r2 3 0 , 3 0 . Полное поле: Блок 3. Конденсаторы с диэлектрическим заполнением. Задача 14 (№4 // семинар 4.4 Ихсанов) Плоский конденсатор заряжен так, что напряженность поля между обкладками равно E0 а расстояние между ними – d. Пространство между обкладками заполнено воздухом. Затем в это пространство до высоты h заливают однородный изотропный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью (см. рисунок). Найти напряженность поля в диэлектрике, если обкладки всегда поддерживаются при начальном напряжении. Eout (d − h) + Ein h = E0 d E0 d Ein = ( d − h) + h Решение: Eout = Ein . Задача 15 (№3.101 // Иродов 1979) Найти ёмкость уединённого шарового проводника радиусом R1, окружённого прилегающим к нему концентрическим слоем однородного диэлектрика с проницаемостью ε и наружным радиусом R2. , Задача 16 (№3.102 // Иродов 1979) К источнику с э.д.с. ξ подключили последовательно два плоских воздушных конденсатора, каждый емкости C. Затем один из конденсаторов заполнили однородным диэлектриком с проницаемостью ε. Во сколько раз уменьшилась напряженность электрического поля в этом конденсаторе? Какой заряд пройдет через источник? Задача 17 (№3.103 // Иродов 1979) Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 с толщинами d1 и d2 и с проницаемостями ε1 и ε2. Площадь каждой обкладки равна S. Найти: а) емкость конденсатора; б) плотность σ' связанных зарядов на границе раздела диэлектрических слоев, если напряжение на конденсаторе равно U и электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2. Задача 18 (№3.104 // Иродов 1979) Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен изотропным диэлектриком, проницаемость ε которого изменяется в перпендикулярном к обкладкам направлении по линейному закону от ε1 до ε2, причем ε2 > ε1 . Площадь каждой обкладки S, расстояние между ними d. Найти: а) емкость конденсатора; б) объемную плотность связанных зарядов как функцию ε, если заряд конденсатора q и поле E в нем направлено в сторону возрастания ε. Задача 19 (№3.105 // Иродов 1979) Найти емкость сферического конденсатора с радиусами обкладок R1 и R2 > R1, который заполнен изотропным диэлектриком с проницаемостью, изменяющейся по закону ε = a/r, где a — постоянная, r — расстояние от центра конденсатора. Решение: По теореме Гаусса: ∮ 𝐸 𝑑𝑆 = ( 𝑞 𝑞𝑟 𝑞𝑟 𝑞 ) → 𝐸 ∙ 4𝜋𝑟 2 = ≡ →𝐸= 𝜀𝜀0 𝛼𝜀0 𝛼𝜀0 4𝜋𝜀0 𝑟 𝑟2 ∆𝜑 = ∫ 𝐸 𝑑𝑟 = 𝑟1 𝐶= Задача 20 (№3.106 // Иродов 1979) 𝑞 𝑟2 ln 4𝜋𝜀0 𝑟1 𝑞 4𝜋𝜀0 = 𝑟 ∆𝜑 ln 2 𝑟1 Цилиндрический конденсатор заполнен двумя слоями диэлектриков с проницаемостями ε1 и ε2. Внутренние радиусы слоёв равны соответственно R1 и R2 (R1 > R2). Максимально допустимая напряжённость электрического поля для этих диэлектриков равна E1m и E2m. При каком соотношении между ε, R, Em напряжённость поля при повышении напряжения одновременно достигнет значения, соответствующего пробою того и другого диэлектрика? Семинар 4.4. Энергия электростатического поля Задача 1 (№3.137 // Иродов 1979) Сферическую оболочку радиуса R1, равномерно заряженную зарядом q, расширили до радиуса R2. Найти работу, совершенную при этом электрическими силами. Решение: 1 𝑞2 1 1 ( − ) 𝐴 = 𝑊1 − 𝑊2 = 𝑞 (𝜑1 − 𝜑2 ) = 2 8𝜋𝜀0 𝑅1 𝑅2 Задача 2 (№1 // Ихсанов 5.2) Какую минимальную работу нужно совершить чтобы у плоского воздушного конденсатора с площадью обкладок S, заряженного зарядом q и разомкнутого, увеличить расстояние между обкладками с d1 до d2? Решение: q 2 (d 2 − d1 ) q2 W= , A = W1 − W2 A = 2C 2 0 S Задача 3 (№3.136 // Иродов 1979) Точечный заряд q находится в центре шарового слоя из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью ε. Внутренний радиус слоя a, внешний b. Найти электростатическую энергию, заключенную в диэлектрическом слое. Решение: 𝑏 𝜀𝜀0 𝐸 2 𝜀𝜀0 1 𝑞 2 𝑞2 1 1 2 ( ) (4𝜋𝑟 𝑑𝑟) = ( − ) 𝑊=∫ 𝑑𝑉 = ∫ 2 4𝜋𝜀𝜀0 𝑟 2 8𝜋𝜀𝜀0 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎 2 𝑏 Задача 4 (№18.10 // Чертов 1988) Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком (фарфор), объём которого равен V. Поверхностная плотность заряда на пластинах равно σ. Вычислить работу А, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить диэлектрик из конденсатора. Трением диэлектрика о пластины конденсатора пренебречь. Решение: 𝑉 𝑉 𝜀0 𝐸 2 𝜀𝜀0 𝐸 2 𝜎 2𝑈 1 (1 − ) 𝐴 = 𝑊1 − 𝑊2 = ∫ 𝑑𝑉 − ∫ 𝑑𝑉 = 2 2 2𝜀0 𝜀 0 0 Задача 5 (№18.17 // Чертов 1988) Уединенный металлический шар радиусом R1 несет заряд Q. Концентрическая этому шару поверхность делит пространство на две части (внутренняя конечная и внешняя бесконечная), так что энергии электрического поля обеих частей одинаковы. Определить радиус R2 этой сферической поверхности. Решение: 𝑊1 = 𝑊2 𝑅2 𝜀𝜀0 1 𝑞 2 𝑞2 𝑞2 1 1 2 ( ) (4𝜋𝑟 𝑑𝑟) = ∫ ( − ) 𝑊1 = ∫ 𝑑𝑟 = 2 2 4𝜋𝜀𝜀0 𝑟 16𝜀𝜀0 𝜋 𝑅1 𝑅2 𝑅1 4 𝑅1 16𝜀𝜀0 𝜋𝑟 𝑅2 ∞ 𝜀𝜀0 1 𝑞 2 𝑞2 𝑞2 1 2 ( ) ∫ 𝑊2 = ∫ (4𝜋𝑟 𝑑𝑟) = 𝑑𝑟 = 2 4𝜋𝜀𝜀0 𝑟 2 16𝜀𝜀0 𝜋 𝑅2 𝑅2 4 𝑅2 16𝜀𝜀0 𝜋𝑟 ∞ 𝑅2 = 2𝑅1 Задача 6 (№10 // Ихсанов 5.2) Заряд q распределен равномерно по объему шара радиуса R. Полагая диэлектрическую проницаемость равной единице, найти: а) собственную электростатическую энергию шара W; б) отношение энергии W1, запасенной внутри шара, к энергии W2, заключенной в окружающем пространстве. Решение: q r E ( r ) = in R + 4 0 R 3 3 q2 2 2 , , Win / Wout = 1/ 5 . W = W + W = 4 r w dr + 4 r w dr = in out in out 0 R 20 0 R E (r ) = q 1 out 4 0 r 2 Задача 7 (№4 // Ихсанов 5.2) Определить энергию электростатического поля, заключенную в двух плоскопараллельных пластинах толщинами d1 и d2, диэлектрическими проницаемостями 𝜀1 и 𝜀2 и общей площадью S, прижатыми вплотную друг к другу, и помещенными во внешнее электростатическое поле напряженностью E 0. Решение: wi = Ei Di E02 0 E 2 E 2 E 2 d d = , W = 0 0 Sd1 + 0 0 Sd 2 = 0 0 S 1 + 2 2 2 i 21 2 2 2 1 2 Задача 8 (Бограчёв 18) Изолированный от цепи конденсатор с зарядом Q и обкладками площадью S и сторонами L, частично заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 𝜀 (см. рисунок). Найти силу, с которой пластина втягивается в пространство между обкладками конденсатора. F =− dW dx Определение силы, где W- энергия системы. F =− Q2 1 ( ) 2 x C C= 0 S ( x / L) 0 S (1 − x / L) C= 0S d d [( − 1) + d x + 1] L Ответ: F= Q2d −1 2 0 SL [( − 1) x + 1]2 L Задача 9 (№5 // Ихсанов 5.2) Обкладки плоского конденсатора имеют форму квадрата со стороной a и соединены с источником напряжения. Расстояние и разность потенциалов между обкладками соответственно равны d и U. В пространство между обкладками частично вдвинута пластина толщиной Δ в форме квадрата со стороной a. Ее поверхности и стороны параллельны поверхностям и сторонам обкладок, а диэлектрическая проницаемость равна ε. Найти силу, с которой пластина втягивается в пространство между обкладками конденсатора. Решение: Тут сразу несколько конденсаторов. Пусть x – расстояние от левого торца до пластины. Емкость плоского конденсатора без диэлектрика между обкладками: C1 = ax 0 d . Емкость плоского конденсатора с диэлектриком между обкладками: C2 = a(a − x) 0 a(a − x) 0 Ñ = C2 C2v = a(a − x) 0 C2v = 2 C2 + C2v + (d − ) . d − , , Два конденсатора (с диэлектриком и без) соединены параллельно: C= ax 0 a(a − x) 0 + d + (d − ) . Сила: CU 2 U 2 a 0 + (d − ) − d U 2 a 0 ( − 1) Fx = = = − x 2 2 d ( + (d − ) ) 2 d ( + (d − ) ) - притяжение. Задача 10 (№3.141 // Иродов 1979 / №9 // Ихсанов 5.2) Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна S. Какую работу необходимо совершить, чтобы медленно увеличить расстояние между обкладками от x1 до x2, если при этом поддерживать неизменным: а) заряд конденсатора, равный q; б) напряжение на конденсаторе, равное U? Решение: 𝑞2 𝑞2 1 1 𝜀 𝑆 2 1 𝑖 а) 𝑊 = 2𝐶 , 𝐴 = 𝑊2 − 𝑊1 = 2 (𝐶 − 𝐶 ), где 𝐶 = 𝑥0 . 𝑞2 Соответственно: 𝐴 = 2𝜀 𝑆 (𝑥2 − 𝑥1 ) 0 б) 𝑊 = 𝐶𝑈 2 2 𝜀 𝑆𝑈 2 𝑥2 −𝑥1 → 𝐴 = 02 𝑥2 𝑥1 . Вариант 1 1. (1 балл) Тонкое кольцо радиуса R равномерно заряжено зарядом Q и находится в вакууме. В центре этого кольца находится пылинка массой m (пренебрежимо малой по сравнению с массой кольца), заряженная зарядом q, противоположным по знаку заряду кольца. Найти угловую частоту малых колебаний пылинки. 2. (2 балла) В центр диэлектрического шара радиуса R с диэлектрической проницаемостью 1 помещен сторонний заряд q. Шар помещен в безграничную диэлектрическую среду с диэлектрической проницаемостью 2 . Определить поверхностную плотность связанных зарядов на поверхности диэлектрика. 3. (2 балла) Между обкладками плоского воздушного конденсатора находится пластина из диэлектрика толщиной d1 с диэлектрической проницаемостью ε (см. рис.). Между поверхностями пластины и обкладками конденсатора остались воздушные зазоры, суммарная толщина которых равна d 2 . Определить FS − поверхностную плотность силы притяжения (т.е. силу на единицу площади) между обкладками, если разность потенциалов между ними равна V. Краевыми эффектами пренебречь. 4. (1 балл) Проводящий контур, по которому течёт постоянный ток I, состоит из отрезков дуг радиусами r1 и r2 , и радиальных участков (см. рис.). Определить абсолютную величину индукции магнитного поля в точке О. Система находится в немагнитной среде. 5. (2 балла) Найти отношение магнитных потоков через квадратную рамку при двух ее положениях относительно прямого проводника с током (см. рис). 6. (2 балла) На плоской границе раздела двух сред с магнитными проницаемостями 1 и 2 находится прямой бесконечно длинный проводник, по которому течет ток I. Найти модуль вектора B в зависимости от расстояния r до провода. Среды ток не проводят. Силовые линии вектора B считать окружностями. Решения 1. (1 балл) Тонкое кольцо радиуса R равномерно заряжено зарядом Q и находится в вакууме. В центре этого кольца находится пылинка массой m (пренебрежимо малой по сравнению с массой кольца), заряженная зарядом q, противоположным по знаку заряду кольца. Найти угловую частоту малых колебаний пылинки. 1/2 1 Qq Fz ( z ) 1 Qq Решение: Fz ( z ) = z = . 0 3 4 0 ( R 2 + z 2 )3/2 m 4 0 R3m 4 0 R m 1 Qqz 1/2 1 Qq Ответ: 0 = 3 4 0 R m 2. (2 балла) В центр диэлектрического шара радиуса R с диэлектрической проницаемостью 1 помещен сторонний заряд q. Шар помещен в безграничную диэлектрическую среду с диэлектрической проницаемостью 2 . Определить поверхностную плотность связанных зарядов на поверхности диэлектрика. q 1 1 Решение: поле внутри шара на границе со средой: Ein = , поле вне шара на 4 0 1 R2 q 1 1 − 1 q 1 1 границе: . Соответствующая поляризация: , Pin = Eout = 2 4 R 2 1 4 0 2 R q 1 2 −1 . Поверхностная плотность связанных зарядов: Pout = 4 R2 2 Pin − Pout = q 1 1 − 1 2 − 1 q 1 1 − 2 − . = 4 R 2 1 2 4 R 2 1 2 q 1 1 − 2 4 R2 1 2 Замечание: обращаем внимание на знак! Если знак не верен – снимаем 1 балл. Ответ: = 3. (2 балла) Между обкладками плоского воздушного конденсатора находится пластина из диэлектрика толщиной d1 с диэлектрической проницаемостью ε (см. рис.). Между поверхностями пластины и обкладками конденсатора остались воздушные зазоры, суммарная толщина которых равна d 2 . Определить FS − поверхностную плотность силы притяжения (т.е. силу на единицу площади) между обкладками, если разность потенциалов между ними равна V. Краевыми эффектами пренебречь. Решение: найдем поле внутри конденсатора. Пусть Eout − напряженность поля в зазорах, Ein − напряженность поля внутри диэлектрика. Из краевых условий получаем: Eout = Ein V . Отсюда: Eout = . Поверхностная плотность заряда на каждой d1 + d2 Eout d 2 + Ein d1 = V V обкладке: = 0 . Поверхностная плотность силы притяжения между обкладками: d1 + d2 E V FS = out = 0 2 2 d1 + d 2 2 (берется половина поля Eout чтобы не учитывать действие пластины на саму себя). 2 E V Ответ: FS = out = 0 . 2 2 d1 + d 2 4. (1 балл) Проводящий контур, по которому течёт постоянный ток I, состоит из отрезков дуг радиусами r1 и r2 , и радиальных участков (см. рис.). Определить абсолютную величину индукции магнитного поля в точке О. Система находится в немагнитной среде. Решение: Поле в т. O, созданное дугой радиуса r, есть участки поля не создают. Итого: B = Ответ: B = 0 I 8r . Радиальные 0 I 1 1 − . 8 r1 r2 0 I 1 1 − . 8 r1 r2 5. (2 балла) Найти отношение магнитных потоков через квадратную рамку при двух ее положениях относительно прямого проводника с током (см. рис). ln 2 Ответ: 1 = . 2 ln 6 / 5 6. (2 балла) На плоской границе раздела двух сред с магнитными проницаемостями 1 и 2 находится прямой бесконечно длинный проводник, по которому течет ток I. Найти модуль вектора B в зависимости от расстояния r до провода. Среды ток не проводят. Силовые линии вектора B считать окружностями. Решение: пусть в среде 1 вектор H имеет значение H 1 , а в среде 2 - H 2 . По теореме о циркуляции магнитного поля имеем: r ( H1 + H 2 ) = I . Граничные условия на нормальную компоненту вектора B дают: 1 H1 = 2 H 2 . 2 I H1 = r ( 1 + 2 ) r ( H1 + H 2 ) = I I Итого: . B1 (r ) = B2 (r ) = 0 1 2 1 I 1 + 2 r 1 H1 = 2 H 2 H = 2 r ( 1 + 2 ) Вариант 2 1. (2 балла) Найти напряженность электрического поля на оси равномерно заряженного зарядом Q тонкого кольца радиуса R, погруженного в среду с диэлектрической проницаемостью . Поле найти как функцию расстояния от центра кольца h. 2. (1 балл) Напряженность электрического поля в точке, отстоящей на расстояние r от оси равномерно заряженной с линейной плотностью заряда и погруженной в диэлектрик тонкой нити, равна E. Найти диэлектрическую проницаемость диэлектрика . 3. (2 балла) Шар из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью и радиусом R заряжен равномерно по объему с объемной плотностью . Определить энергию электрического поля, сосредоточенную внутри шара. 4. (1 балл) К двум контактам в форме концентрических (с общей осью) тонких цилиндров, между которыми находится проводящая среда с удельным сопротивлением , приложено напряжение U. Радиусы внутреннего и внешнего цилиндров равны R1 и R2 соответственно, длина образующей цилиндров равна l (торцы цилиндров лежат в одной плоскости). Найти ток утечки между контактами. Краевыми эффектами пренебречь. 5. (2 балла) В бесконечной пластине толщины h вырезали полость диаметром h, ось которой параллельна поверхности пластины (см. рис.). Во всем объеме пластины (за исключением полости), течет ток с однородно распределенной по сечению с плотностью тока j. Найти зависимость модуля вектора индукции магнитного поля от координаты x, отсчитываемой от оси полости, в пределах полости ( 0 x h / 2 ). Магнитная проницаемость пластины равна 1. 6. (2 балла) По двум проводникам, изготовленным в виде тонких плоских бесконечных лент (проводящих плоскостей), текут токи проводимости с поверхностной плотностью iS (см. рис.). Токи текут в одну сторону. Между проводниками находится немагнитная среда, а вокруг них – среда с магнитной проницаемостью . Найти i m – поверхностную плотность молекулярных токов, которые протекают по границе магнитной среды и проводников. Ответ выразить в векторной форме через вектор поверхностной плотности тока i S . Решения 1. (2 балла) Найти напряженность электрического поля на оси равномерно заряженного зарядом Q тонкого кольца радиуса R, погруженного в среду с диэлектрической проницаемостью . Поле найти как функцию расстояния от центра кольца h. Решение: dEz = 1 dq 1 Qh cos Ez = . 2 4 0 R + h 4 0 ( R 2 + h 2 )3/2 Ответ: Ez = 1 2 Qh 4 0 ( R 2 + h 2 )3/2 2. (1 балл) Напряженность электрического поля в точке, отстоящей на расстояние r от оси равномерно заряженной с линейной плотностью заряда и погруженной в диэлектрик тонкой нити, равна E. Найти диэлектрическую проницаемость диэлектрика . 1 1 Решение: По теореме Гаусcа: E = . = 2 0 r 2 0 E r 1 Ответ: = 2 0 E r 3. (2 балла) Шар из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью и радиусом R заряжен равномерно по объему с объемной плотностью . Определить энергию электрического поля, сосредоточенную внутри шара. R r D ED 2 r 2 2 2 R5 Решение: D = . ,E = ,w = = W = w4 r 2 dr = 3 0 2 18 0 45 0 0 4. (1 балл) К двум контактам в форме концентрических (с общей осью) тонких цилиндров, между которыми находится проводящая среда с удельным сопротивлением , приложено напряжение U. Радиусы внутреннего и внешнего цилиндров равны R1 и R2 соответственно, длина образующей цилиндров равна l (торцы цилиндров лежат в одной плоскости). Найти ток утечки между контактами. Краевыми эффектами пренебречь. R2 R dr dr U 2 lU R= = ln 2 I = = Решение: dR = dx / S = . 2 rl 2 rl 2 l R1 R R2 R1 ln R1 Ответ: I = 2 lU . R2 ln R1 5. (2 балла) В бесконечной пластине толщины h вырезали полость диаметром h, ось которой параллельна поверхности пластины (см. рис.). Во всем объеме пластины (за исключением полости), течет ток с однородно распределенной по сечению с плотностью тока j. Найти зависимость модуля вектора индукции магнитного поля от координаты x, отсчитываемой от оси полости, в пределах полости ( 0 x h / 2 ). Магнитная проницаемость пластины равна 1. Решение: По теореме о циркуляции магнитного поля, для пластины без полости получаем (выбираем контур длиной l и высотой 2x, симметричный отн-но горизонтальной плоскости симметрии пластины): 1) поле внутри пластины: H 2l = l 2 xj H = xj 2) поле вне пластины: H 2l = lhj H = hj / 2 Аналогично для цилиндрической полости с плотностью тока j (r - расстояние от оси цилиндра): 1) поле внутри полости: H = rj / 2 2) поле вне полости: H = h 2 j / 8r Заполним полость током с той же плотностью j , получим пластину с текущим по ней током с однородной плотностью j . Для компенсации пустим ток по полости в обратном направлении и рассчитаем поле как суперпозицию полей от тока в полости и в пластине (они текут в противоположных направлениях). Итак, поле в полости для 0 x h / 2 : H = xj − xj / 2 = xj / 2 B = 0 xj / 2 Ответ: B = 0 xj / 2 . 7. (2 балла) По двум проводникам, изготовленным в виде тонких плоских бесконечных лент (проводящих плоскостей), текут токи проводимости с поверхностной плотностью iS (см. рисунок). Токи текут в одну сторону. Между проводниками находится немагнитная среда, а вокруг них – среда с магнитной проницаемостью . Найти i m – поверхностную плотность молекулярных токов, которые протекают по границе магнитной среды и проводников. Ответ выразить в векторной форме через вектор поверхностной плотности тока i S . Решение: По теореме о циркуляции магнитного поля и в силу симметрии системы, напряженность магнитного поля во внешнем пространстве есть H out = iS . Из аналогичных соображений H in = 0 . Поверхностная плотность молекулярных токов i m находится через скачок намагниченности: im = ( −1) iS . Ответ: im = ( −1) iS . Вариант 1 1. (2.5 балла) Верхняя половина шара радиуса R заполнена равномерно по объему зарядом +q, нижняя половина − зарядом -q (см. рис.). Найти d − абсолютную величину дипольного момента шара. Замечание: Готовый ответ не принимается. Необходимо взять соответствующий интеграл. Решение: введем систему сферических координат с осью Oz, совпадающей с диаметром шара (перпендикулярным плоскости раздела полушарий). Полярный угол будем отсчитывать от этой оси. Дипольный момент есть интеграл d = r dV . Будем брать этот V интеграл для каждого полушария отдельно. Очевидно (по соображениям симметрии), что дипольный момент направлен вдоль оси z. Поэтому можно брать только его z-компоненту: R 2 /2 0 0 0 d z = r 3 cos sin drd d = dr d d ( r 3 cos sin ) = VS R 4 /2 R 4 3 . Тогда, d z = qR . Аналогично, для 2 8 2 0 4 R3 3 3 второго полушария. Суммарный дипольный момент есть d = qR . 4 3 Ответ: d = qR . 4 = d ( cos sin ) = . Учтем, что = q 2. (1 балл) Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок R1 и R2 (эти радиусы не даны) диэлектрическая проницаемость 1 = const, r R меняется по закону (r ) = , где R − радиус границы 2 = const, r R между диэлектриками (см. рис.). На внутренней обкладке конденсатора находится заряд +q, на внешней − -q. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе двух диэлектриков . −1 q 1 1 q D(r ), = Pn 1→2 = Решение: D (r ) = . P(r ) = − 2 4 R 2 2 1 4 r Ответ: = q 1 1 − . 4 R 2 2 1 3. (2.5 балла) Сфера радиуса R вращается вокруг одного из своих диаметров с угловой скоростью (см. рисунок). По ее поверхности равномерно распределен заряд q. Найти магнитный момент m (по абсолютной величине) такой сферы. Решение: введем систему сферических координат с осью Oz, совпадающей с диаметром (вокруг которого сфера и вращается). Полярный угол будем отсчитывать от этой оси. Элементарный ток через кольцо радиуса r, которое вращается с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через его центр: dI = rd , где d − qR q d = d , где − поверхностная 2 4 R 4 R плотность заряда на поверхности сферы. Итого: 2 3 2 2 q r q R sin q R q R . dm = d r 2 = d m = sin 3 d = 4 R 4 4 0 3 линейная плотность заряда кольца. d = Rd = Ответ: m = q R 2 . 3 4. (2 балла) Постоянный магнит в виде полупространства с плоской границей граничит с немагнитной средой и имеет постоянную намагниченность М, вектор которой параллелен поверхности границы. В немагнитной среде вектор магнитной индукции имеет величину В и образует угол α с нормалью к поверхности (см. рис.). Найти тангенс угла β с нормалью у вектора магнитной индукции внутри магнита. Указание: для постоянных магнитов векторы В и H не связаны зависимостью B = 0 H . (1) (2) Bn = Bn Решение: напишем граничные условия для векторов В и H: (1) , где среда 1 − (2) H = H B cos = B1 cos магнитная, среда 2 − немагнитная. Более подробно: B sin B1 , где обозначение = − M 0 0 ( F ) применяется для тангенциальной составляющей вектора F , а векторы В и H связаны B cos = B1 cos зависимостью B = 0 ( H + M ) . Соответственно, B sin B1 sin . Получаем систему = − M 0 0 B cos = B1 cos из двух уравнений относительно двух неизвестных: . Решая, B sin = B1 sin − 0 M M получаем: tg = tg + 0 . B cos M Ответ: tg = tg + 0 . B cos 5. (2 балла) Длинный прямой провод с гармоническим током с линейной частотой (не путать с круговой ) создает вокруг себя магнитное поле, в котором находится квадратный контур со стороной длиной a (см. рис.). Контур находится на расстоянии b от провода, в контур включена лампочка. Для нормальной работы лампочки ей необходимо синусоидальное напряжение с амплитудой U 0 (частота подойдет любая). Найти I 0 − амплитуду тока в проводе, необходимую для нормальной работы лампочки. Считать, что сопротивление проводов контура сильно меньше сопротивления лампочки (т.е. все ЭДС индукции действует на лампочку). I Решение: поле от провода: B(r ) = 0 . 2 r b+a Ia b +a 1 Ia a Поток через контур: = B(r )adr = 0 dr = 0 ln 1 + . 2 b r 2 b b d 0 a a dI = ln 1 + . Учтем, что I = I 0 sin ( 2 t ) : dt 2 b dt d 0 a a a = ln 1 + I 0 2 cos ( 2 t ) = 0 aI 0 ln 1 + cos ( 2 t ) . Итого, dt 2 b b U0 a индукции: Eind ,0 = 0 aI 0 ln 1 + . Отсюда: I 0 = . a b 0 a ln 1 + b U0 Ответ: I 0 = . a 0 a ln 1 + b ЭДС индукции: амплитуда ЭДС Вариант 2 1. (2.5 балла) Верхнее полушарие радиуса R заполнена равномерно по объему зарядом +q, нижнее − зарядом -q (см. рис.). Полушария соприкасаются своими вершинами, а плоскости их оснований расположены горизонтально. Найти d − абсолютную величину дипольного момента такой конструкции. Замечание: Готовый ответ не принимается. Необходимо взять соответствующий интеграл. Решение: введем систему сферических координат с осью Oz, перпендикулярной плоскости раздела полушарий. Полярный угол будем отсчитывать от этой оси. Дипольный момент есть интеграл d = r dV . Будем брать этот V интеграл для каждого полушария отдельно. Перевернем полушарие плоской стороной вниз. Очевидно (по соображениям симметрии), что дипольный момент направлен вдоль оси z. Поэтому можно брать только его z-компоненту: R 2 /2 0 0 0 d z = r 3 cos sin drd d = dr d d ( r 3 cos sin ) = VS R 4 /2 R 4 3 . Тогда, d z = qR . Аналогично, для 2 3 8 2 0 4 R 3 5 второго полушария. При перевороте полушария получаем d z = qR (центр тяжести 8 3 полушария находится на R от основания). 8 5 Суммарный дипольный момент есть d = qR (удваиваем предыдущий результат). 4 5 Ответ: d = qR . 4 = d ( cos sin ) = . Учтем, что = q 2. (1 балл) Бесконечная плоскопараллельная пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью заряжена однородно с объемной плотностью заряда . Толщина пластины равна 2а, пластина находится в вакууме (см. рис.). Найти объемную плотность связанных зарядов . Решение: проведем ось Ox перпендикулярно поверхности пластины. Начало отсчета примем посередине пластины. Тогда, по −1 x . теореме Гаусса: D( x) = x . Отсюда: P( x) = −1 . −1 1 Ответ: = − = − 1 . = −divP = − 3. (2.5 балла) Круговой конус с основанием радиуса R вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью . По его боковой поверхности (она не включает круг в основании конуса) равномерно распределен заряд q (см. рис.). Найти магнитный момент m (по абсолютной величине) такого конуса. Указание: Площадь боковой поверхности конуса равна RL , где L − длина образующей конуса. Замечание: В условие не входит высота конуса вовсе не случайно. Решение: введем систему цилиндрических координат с осью Oz, совпадающей с осью симметрии конуса (вокруг которого конус и вращается) и с началом отсчета в центре окружности основания конуса. Элементарный ток через кольцо радиуса r, которое вращается с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через его центр: dI = rd , где d − линейная плотность заряда dz кольца. d = , где − поверхностная плотность заряда на поверхности конуса, − cos dz dz r r 2 = r 3 , где r = (h − z )tg , h − угол полураствора конуса. Итого: dm = cos cos высота конуса. h h tg 3 tg 3 h4 tg 3 3 3 Окончательно: m = . Теперь ( h − z ) dz = ( h − z ) dz = cos 0 cos 0 4 cos q q cos = = выразим поверхностную плотность заряда: . Тогда RL Rh q cos h 4 tg 3 q h3 3 qR 2 m = = tg . И наконец учтем, что R = htg , и получим: m = . Rh 4 cos R 4 4 qR 2 Ответ: m = . 4 4. (2 балла) Постоянный магнит в виде полупространства с плоской границей граничит с немагнитной средой и имеет постоянную намагниченность М, вектор которой параллелен поверхности границы. В немагнитной среде вектор магнитной индукции имеет величину В и образует угол α= с нормалью к поверхности (см. 6 рис.). Найти абсолютную величину вектора магнитной индукции В1 внутри магнита при условии, что 0 M = B (ответ выразить через величину B). Указание: для постоянных магнитов векторы В и H не связаны зависимостью B = 0 H . Bn(1) = Bn(2) Решение: напишем граничные условия для векторов В и H: (1) , где среда 1 − (2) H = H B cos = B1 cos магнитная, среда 2 − немагнитная. Более подробно: B sin B1 , где обозначение = −M 0 0 ( F ) применяется для тангенциальной составляющей вектора F , а векторы В и H связаны B cos = B1 cos зависимостью B = 0 ( H + M ) . Соответственно, B sin B1 sin . Получаем систему = −M 0 0 B cos = B1 cos из двух уравнений относительно двух неизвестных: . Решая, B sin = B1 sin − 0 M получаем: 1 + tg 2 = B1 = B2 + 20 MB sin + ( 0 M ) 2 1/2 (тут использовалось 1 ). Учитывая, что 0 M = B и α= : B1 = 3B . 2 cos 6 Ответ: B1 = 3B . 5. (2 балла) По длинному прямому проводу течет постоянный ток, а в его магнитном поле находится П-образный проводящий контур ABCD с подвижной перемычкой AB, и расположены они в одной плоскости на расстоянии a друг от друга (см. рис.). Перемычку AB перемещают с заданным постоянным ускорением g, а в начальный момент времени она покоится и совпадает со стороной CD контура. Найти момент времени, в котором абсолютная величина ЭДС индукции в контуре достигнет максимума. Решение: поле от провода: B(r ) = 0 I . 2 r Поток через контур (см. рис.): b (t ) b (t ) 0 Il 1 Il b(t ) = B(r )ldr = dr = 0 ln . 2 a r 2 a a ЭДС индукции (по модулю): Il db(t ) 0 Il v(t ) Il Il d gt gt = 0 = = 0 = 0 . 2 2 dt 2 b(t ) dt 2 a + gt / 2 2 a + gt / 2 2a + gt 2 1/2 2a Максимум этой функции достигается в момент времени tmax = . g 2a Ответ: tmax = . g тождество Вариант 3 1. (2.5 балла) Верхняя половина тонкостенной сферы радиуса R заполнена однородно по поверхности зарядом +q, нижняя половина − зарядом -q (см. рис.). Найти d − абсолютную величину дипольного момента сферы. Замечание: Готовый ответ не принимается. Необходимо взять соответствующий интеграл. Решение: введем систему сферических координат с осью Oz, совпадающей с диаметром сферы (перпендикулярным плоскости раздела полушарий). Полярный угол будем отсчитывать от этой оси. Дипольный момент есть интеграл d = r dV . Будем брать этот V интеграл для каждой сферы отдельно. Очевидно (по соображениям симметрии), что дипольный момент направлен вдоль оси z. Поэтому можно брать только его z-компоненту: 2 /2 2 /2 0 0 0 0 d z = R3 cos sin d d = R3 d d ( cos sin ) = R3 d d ( cos sin ) = R3 . SS q q qR = . Тогда, d z = R3 . Аналогично, для второго полушария. 2 2 2 R 2 R 2 Суммарный дипольный момент есть d = qR (удваиваем предыдущий результат). Ответ: d = qR . Учтем, что = 2. (1 балл) Бесконечная плоскопараллельная пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью заряжена однородно с объемной плотностью заряда . Толщина пластины равна 2а, пластина находится в вакууме (см. рис.). Найти поверхностную плотность связанных зарядов (на любой ее поверхности). Решение: проведем ось Ox перпендикулярно поверхности пластины. Начало отсчета примем посередине пластины. Тогда, по теореме −1 −1 x , = Гаусса: D( x) = x . Отсюда: P( x) = a . −1 1 Ответ: = a = 1 − a . 3. (2 балла) Круговой цилиндр с основанием радиуса R вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью . По его объему равномерно распределен заряд q (см. рис.). Найти магнитный момент m (по абсолютной величине) такого цилиндра. Замечание: В условие не входит высота цилиндра вовсе не случайно. Решение: введем систему цилиндрических координат с осью Oz, совпадающей с осью симметрии цилиндра (вокруг которого цилиндр и вращается) и с началом отсчета в центре окружности основания цилиндр. Элементарный ток через кольцо (или цилиндрический слой) радиуса r, которое вращается с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через его центр: dI = rd , где d − линейная плотность заряда. d = hdr , где − объемная плотность заряда в объеме цилиндра, h − высота цилиндра. Итого: dm = h r 3dr . R Окончательно: m = h r 3dr = 0 h R 4 4 . Теперь выразим объемную плотность заряда: q h R 4 q R 2 q m = = . Тогда . R2h 4 4 R2h qR 2 Ответ: m = . 4 = 4. (2 балла) Постоянный магнит в виде полупространства с плоской границей граничит с немагнитной средой и имеет постоянную намагниченность М, вектор которой параллелен поверхности границы. В немагнитной среде вектор магнитной индукции имеет величину В и образует угол α= с нормалью к поверхности (см. 6 рис.). Найти абсолютную величину вектора магнитной индукции В1 внутри магнита при условии, что 0 M = B (ответ выразить через величину B). Указание: для постоянных магнитов векторы В и H не связаны зависимостью B = 0 H . (1) (2) Bn = Bn Решение: напишем граничные условия для векторов В и H: (1) , где среда 1 − (2) H = H B cos = B1 cos магнитная, среда 2 − немагнитная. Более подробно: B sin B1 , где обозначение = − M 0 0 ( F ) применяется для тангенциальной составляющей вектора F , а векторы В и H связаны B cos = B1 cos зависимостью B = 0 ( H + M ) . Соответственно, B sin B1 sin . Получаем систему = − M 0 0 B cos = B1 cos из двух уравнений относительно двух неизвестных: . Решая, B sin = B1 sin − 0 M получаем: 1 + tg 2 = B1 = B2 + 20 MB sin + ( 0 M ) 2 1/2 (тут использовалось тождество 1 ). Учитывая, что 0 M = B и α= : B1 = 3B . 2 cos 6 Ответ: B1 = 3B . 6. (0.5 балла) На стержень, сделанный из ферромагнетика с магнитной проницаемостью , намотан в один слой провод так, что на единицу длины стержня приходится n витков. Определить энергию W магнитного поля внутри такого соленоида, если сила тока в обмотке равна I, а объем стержня равен V. Краевыми эффектами пренебречь. Решение: по теореме о циркуляции поле внутри стержня: H = In, B = 0 H , полная энергия 0 ( In ) 0 H 2 HB магнитного поля в соленоиде: W = V . =V =V 2 2 2 0 I 2 n 2 Ответ: W = V . 2 2 5 (2 балла). Длинный прямой провод с гармоническим током с линейной частотой (не путать с круговой ) создает вокруг себя магнитное поле, в котором находится квадратный контур со стороной длиной a (см. рис.). Контур находится на расстоянии b от провода, в контур включена лампочка. Для нормальной работы лампочки ей необходимо синусоидальное напряжение с амплитудой U 0 (частота подойдет любая). Найти I 0 − амплитуду тока в проводе, необходимую для нормальной работы лампочки. Считать, что сопротивление проводов контура сильно меньше сопротивления лампочки (т.е. все ЭДС индукции действует на лампочку). I Решение: поле от провода: B(r ) = 0 . 2 r b+a 0 Ia b +a 1 Ia a Поток через контур: = B(r )adr = dr = 0 ln 1 + . 2 b r 2 b b d 0 a a dI ЭДС индукции: = ln 1 + . Учтем, что I = I 0 sin ( 2 t ) : dt 2 b dt d 0 a a a = ln 1 + I 0 2 cos ( 2 t ) = 0 aI 0 ln 1 + cos ( 2 t ) . Итого, амплитуда ЭДС dt 2 b b U0 a индукции: Eind ,0 = 0 aI 0 ln 1 + . Отсюда: I 0 = . a b 0 a ln 1 + b U0 Ответ: I 0 = . a 0 a ln 1 + b Вариант 4 1. (2.5 балла) Верхнее полушарие радиуса R заполнена равномерно по объему зарядом +q, нижнее − зарядом -q (см. рис.). Полушария соприкасаются своими вершинами, а плоскости их оснований расположены горизонтально. Найти d − абсолютную величину дипольного момента такой конструкции. Замечание: Готовый ответ не принимается. Необходимо взять соответствующий интеграл. Решение: введем систему сферических координат с осью Oz, перпендикулярной плоскости раздела полушарий. Полярный угол будем отсчитывать от этой оси. Дипольный момент есть интеграл d = r dV . Будем брать этот V интеграл для каждого полушария отдельно. Перевернем полушарие плоской стороной вниз. Очевидно (по соображениям симметрии), что дипольный момент направлен вдоль оси z. Поэтому можно брать только его z-компоненту: R 2 /2 0 0 0 d z = r 3 cos sin drd d = dr d d ( r 3 cos sin ) = VS R 4 /2 R 4 3 . Тогда, d z = qR . Аналогично, для 2 3 8 2 0 4 R 3 5 второго полушария. При перевороте полушария получаем d z = qR (центр тяжести 8 3 полушария находится на R от основания). 8 5 Суммарный дипольный момент есть d = qR (удваиваем предыдущий результат). 4 5 Ответ: d = qR . 4 = d ( cos sin ) = . Учтем, что = q 2. (1 балл) Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок R1 и R2 (эти радиусы не даны) диэлектрическая проницаемость 1 = const, r R меняется по закону (r ) = , где R − радиус границы 2 = const, r R между диэлектриками (см. рис.). На внутренней обкладке конденсатора находится заряд +q, на внешней − -q. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе двух диэлектриков . −1 q 1 1 q D(r ), = Pn 1→2 = Решение: D (r ) = . P(r ) = − 2 4 R 2 2 1 4 r Ответ: = q 1 1 − . 4 R 2 2 1 3. (2 балла) Круговой цилиндр с основанием радиуса R вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью . По его объему равномерно распределен заряд q (см. рис.). Найти магнитный момент m (по абсолютной величине) такого цилиндра. Замечание: В условие не входит высота цилиндра вовсе не случайно. Решение: введем систему цилиндрических координат с осью Oz, совпадающей с осью симметрии цилиндра (вокруг которого цилиндр и вращается) и с началом отсчета в центре окружности основания цилиндр. Элементарный ток через кольцо (или цилиндрический слой) радиуса r, которое вращается с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через его центр: dI = rd , где d − линейная плотность заряда. d = hdr , где − объемная плотность заряда в объеме цилиндра, h − высота цилиндра. Итого: dm = h r 3dr . R Окончательно: m = h r 3dr = 0 h R 4 4 . Теперь выразим объемную плотность заряда: q h R 4 q R 2 q m = = . Тогда . R2h 4 4 R2h qR 2 Ответ: m = . 4 = 4. (2 балла) Постоянный магнит в виде полупространства с плоской границей граничит с немагнитной средой и имеет постоянную намагниченность М, вектор которой параллелен поверхности границы. В немагнитной среде вектор магнитной индукции имеет величину В и образует угол α с нормалью к поверхности (см. рис.). Найти тангенс угла β с нормалью у вектора магнитной индукции внутри магнита. Указание: для постоянных магнитов векторы В и H не связаны зависимостью B = 0 H . Bn(1) = Bn(2) Решение: напишем граничные условия для векторов В и H: (1) , где среда 1 − (2) H = H B cos = B1 cos магнитная, среда 2 − немагнитная. Более подробно: B sin B1 , где обозначение = −M 0 0 ( F ) применяется для тангенциальной составляющей вектора F , а векторы В и H связаны B cos = B1 cos зависимостью B = 0 ( H + M ) . Соответственно, B sin B1 sin . Получаем систему = −M 0 0 B cos = B1 cos из двух уравнений относительно двух неизвестных: . Решая, B sin = B1 sin − 0 M 0 M . B cos M Ответ: tg = tg + 0 . B cos получаем: tg = tg + 5. (0.5 балла) На стержень, сделанный из ферромагнетика с магнитной проницаемостью , намотан в один слой провод так, что на единицу длины стержня приходится n витков. Определить энергию W магнитного поля внутри такого соленоида, если сила тока в обмотке равна I, а объем стержня равен V. Краевыми эффектами пренебречь. Решение: по теореме о циркуляции поле внутри стержня: H = In, B = 0 H , полная энергия 0 ( In ) 0 H 2 HB магнитного поля в соленоиде: W = V . =V =V 2 2 2 0 I 2 n 2 Ответ: W = V . 2 2 6. (2 балла) По длинному прямому проводу течет постоянный ток, а в его магнитном поле находится П-образный проводящий контур ABCD с подвижной перемычкой AB, и расположены они в одной плоскости на расстоянии a друг от друга (см. рис.). Перемычку AB перемещают с заданным постоянным ускорением g, а в начальный момент времени она покоится и совпадает со стороной CD контура. Найти момент времени, в котором абсолютная величина ЭДС индукции в контуре достигнет максимума. Решение: поле от провода: B(r ) = 0 I . 2 r Поток через контур (см. рис.): b (t ) b (t ) Il 1 Il b(t ) = B(r )ldr = 0 dr = 0 ln . 2 r 2 a a a ЭДС индукции (по модулю): Il db(t ) 0 Il v(t ) Il Il d gt gt = 0 = = 0 = 0 . 2 2 dt 2 b(t ) dt 2 a + gt / 2 2 a + gt / 2 2a + gt 2 1/2 2a Максимум этой функции достигается в момент времени tmax = . g 2a Ответ: tmax = . g
