Теория к зачету по курсу «Краевые задачи и вариационное исчисление» Билет состоит из 2-х вопросов: формулировка + доказательство и просто формулировка. На зачете студенты одновременно получают билет по теории и задачи по темам, которые не зачтены на контрольных. За два зачета сделать нужно все в любом порядке (в отличие от задач, теория – единое испытание, если в целом не сдали, в следующий раз получаете опять оба вопроса). Чтобы сдать теорию, нужно что-то написать по доказательству, в остальном критерии расплывчатые, т. к. нет оценки. Оглавление 1-е вопросы 1. Сформулируйте постановку краевой задачи для приведенного к дивергентному виду линейного ОДУ 2-го порядка. Докажите тождество Лагранжа и следствие из него о связи между определителем Вронского для решений однородного ОДУ из краевой задачи и коэффициентом при старшей производной в этом ОДУ. 2. Сформулируйте постановку краевой задачи для приведенного к дивергентному виду линейного ОДУ 2-го порядка. Выведите формулу Грина и следствие из этой формулы о соотношении для двух функций, удовлетворяющих одинаковым краевым условиям. 3. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и докажите, что её собственные функции, отвечающие одному собственному значению, линейно зависимы. 4. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и докажите, что её собственные значения действительны, а собственные функции могут быть выбраны действительно значными. 5. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и докажите, что её собственные функции, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны. 6. Сформулируйте определение первого интеграла нормальной системы ОДУ и докажите теорему о необходимом и достаточном условии того, что функция является первым интегралом. 7. Сформулируйте определение первого интеграла нормальной системы ОДУ и докажите теорему о неявном задании решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ алгебраической системой с первыми интегралами. 8. Сформулируйте определение характеристик линейного однородного уравнения в частных производных 1-го порядка и докажите теорему о необходимом и достаточном условии того, что функция является решением этого уравнения. 9. Сформулируйте определение функционала и его вариации, докажите теорему о необходимом условии экстремума функционала. 10. Докажите основную лемму вариационного исчисления. 2-е вопросы Все определения, постановки задач и формулировки теорем и лемм из 1-х вопросов, а также 1. Сформулируйте постановку краевой задачи для приведенного к дивергентному виду линейного ОДУ 2-го порядка и определение функции Грина для этой задачи. 2. Сформулируйте постановку краевой задачи для приведенного к дивергентному виду линейного ОДУ 2-го порядка и теорему о существовании и единственности функции Грина для нее. Выпишите с помощью функции Грина решение этой задачи. 3. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и теорему об оценке снизу для ее собственных значений. 4. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и теорему Стеклова. 5. Сформулируйте теорему об общем решении линейного однородного уравнения в частных производных 1-го порядка. 6. Сформулируйте теорему о частном решении квазилинейного неоднородного уравнения в частных производных 1-го порядка. 7. Сформулируйте определение функционала и его вариации. 8. Сформулируйте теорему о необходимом условии экстремума функционала вида ∫𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ )𝑑𝑥. 9. Сформулируйте теорему о необходимом условии экстремума функционала вида ∫𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … 𝑦 (𝑛) )𝑑𝑥. 10. Сформулируйте теорему о необходимом условии экстремума функционала вида ∬ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑢𝑥, 𝑢𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 1-е вопросы 1. Сформулируйте постановку краевой задачи для приведенного к дивергентному виду линейного ОДУ 2-го порядка. Докажите тождество Лагранжа и следствие из него о связи между определителем Вронского для решений однородного ОДУ из краевой задачи и коэффициентом при старшей производной в этом ОДУ. Постановка: Тождество Лагранжа: Следствие: 2. Сформулируйте постановку краевой задачи для приведенного к дивергентному виду линейного ОДУ 2-го порядка. Выведите формулу Грина и следствие из этой формулы о соотношении для двух функций, удовлетворяющих одинаковым краевым условиям. Постановка: Формула Грина: Для тождества Грина необходимо знать тождество Лагранжа. Следствие: 3. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и докажите, что её собственные функции, отвечающие одному собственному значению, линейно зависимы. 4. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и докажите, что её собственные значения действительны, а собственные функции могут быть выбраны действительно значными. 5. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и докажите, что её собственные функции, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны. 6. Сформулируйте определение первого интеграла нормальной системы ОДУ и докажите теорему о необходимом и достаточном условии того, что функция является первым интегралом. 7. Сформулируйте определение первого интеграла нормальной системы ОДУ и докажите теорему о неявном задании решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ алгебраической системой с первыми интегралами. 8. Сформулируйте определение характеристик линейного однородного уравнения в частных производных 1-го порядка и докажите теорему о необходимом и достаточном условии того, что функция является решением этого уравнения. 9. Сформулируйте определение функционала и его вариации, докажите теорему о необходимом условии экстремума функционала. 10. Докажите основную лемму вариационного исчисления. 2-е вопросы 1. Сформулируйте постановку краевой задачи для приведенного к дивергентному виду линейного ОДУ 2-го порядка и определение функции Грина для этой задачи. Постановка: Определение: 2. Сформулируйте постановку краевой задачи для приведенного к дивергентному виду линейного ОДУ 2-го порядка и теорему о существовании и единственности функции Грина для нее. Выпишите с помощью функции Грина решение этой задачи. Постановка: Теорема: Решение: 3. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и теорему об оценке снизу для ее собственных значений. Задача Штурма-Лиувилля Теорема об оценке снизу для ее собственных значений 4. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и теорему Стеклова. Задача Штурма-Лиувилля Теорема Стеклова 5. Сформулируйте теорему об общем решении линейного однородного уравнения в частных производных 1-го порядка. 6. Сформулируйте теорему о частном решении квазилинейного неоднородного уравнения в частных производных 1-го порядка. 7. Сформулируйте определение функционала и его вариации. 8. Сформулируйте теорему о необходимом условии экстремума функционала вида ∫𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ )𝑑𝑥. 9. Сформулируйте теорему о необходимом условии экстремума функционала вида ∫𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … 𝑦 (𝑛) )𝑑𝑥. 10. Сформулируйте теорему о необходимом условии экстремума функционала вида ∬𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑢𝑥, 𝑢𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 Полезные ссылки Учебник
