ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÑÊÈÉ ÖÅÍÒÐ
¾ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ È ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅ¿
ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÀÊÀÄÅÌÈÈ ÍÀÓÊ
ÈÍÑÒÈÒÓÒ ÏÐÎÁËÅÌ ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÈ
ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÀÊÀÄÅÌÈÈ ÍÀÓÊ
À. À. Êóäðÿâöåâ
Ó×ÅÁÍÎÅ ÏÎÑÎÁÈÅ
ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
Äîïóùåíî ÓÌÎ ïî êëàññè÷åñêîìó óíèâåðñèòåòñêîìó îáðàçîâàíèþ
â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé,
îáó÷àþùèõñÿ ïî íàïðàâëåíèÿì ÂÏÎ
010400 ¾Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà¿
è 010300 ¾Ôóíäàìåíòàëüíûå èíôîðìàòèêà è èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè¿
Ìîñêâà
ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ
2015
ÓÄÊ: 519.2
ÁÁÊ: 22.171
Ê88
Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ Ó÷åíîãî ñîâåòà
Ôåäåðàëüíîãî èññëåäîâàòåëüñêîãî öåíòðà ¾Èíôîðìàòèêà è óïðàâëåíèå¿
Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê
Ðåöåíçåíò: äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð Ñ. ß. Øîðãèí
Ê88 À. À. Êóäðÿâöåâ
Ó×ÅÁÍÎÅ ÏÎÑÎÁÈÅ ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ:
Ó÷åáíîå ïîñîáèå. Ì.: ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ, 2015. 118 ñ. ISBN 978-5-91993-050-1.
Ïîñîáèå ñîäåðæèò 12 ïàðàãðàôîâ, ðàçáèòûõ íà 15 çàíÿòèé ñòàíäàðòíûé êóðñ ñåìèíàðîâ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Êàæäîå çàíÿòèå âêëþ÷àåò â ñåáÿ âñþ íåîáõîäèìóþ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ òåîðåòè÷åñêóþ áàçó; ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñòóäåíò ïîñåùàåò ëåêöèè
ïî äàííîìó ïðåäìåòó è èìååò âîçìîæíîñòü óãëóáëåííîãî èçó÷åíèÿ ìàòåðèàëà ïðè ïîìîùè ó÷åáíèêîâ. Ðàçäåëû êíèãè ñíàáæåíû ðèñóíêàìè, èëëþñòðèðóþùèìè òåîðåòè÷åñêèé
è ïðàêòè÷åñêèé ìàòåðèàë, êîòîðûé, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðåäñòàâëåí çàäà÷àìè ñ ðåøåíèÿìè
è òàê íàçûâàåìûìè ¾äîìàøíèìè çàäàíèÿìè¿, ïðåäíàçíà÷åííûìè äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî
ðåøåíèÿ â êîíöå ñåìèíàðà è â äîìàøíèõ óñëîâèÿõ.
Ìàòåðèàë, èçëîæåííûé â êíèãå, îñíîâàí íà êóðñå ñåìèíàðîâ, êîòîðûé àâòîð íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò âåäåò íà ôàêóëüòåòå âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè
Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Ì. Â. Ëîìîíîñîâà. Äàííîå ïîñîáèå
ìîæåò áûòü ïîëåçíî êàê äëÿ ïðåïîäàâàòåëåé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, òàê è äëÿ ñòóäåíòîâ,
íà÷èíàþùèõ çíàêîìèòüñÿ ñ ýòîé íàóêîé.
Ïîñîáèå ïóáëèêóåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ íàïðàâëåíèÿìè ñîâìåñòíîé äåÿòåëüíîñòè, îñóùåñòâëÿåìîé ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ è ôàêóëüòåòîì âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè
ÌÃÓ èìåíè Ì. Â. Ëîìîíîñîâà â ðàìêàõ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ Íàó÷íî-îáðàçîâàòåëüíîãî
öåíòðà ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ ÂÌÊ ÌÃÓ.
Ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ â ó÷åáíîì ïðîöåññå íà êàôåäðå ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè è êàôåäðå èíôîðìàöèîííîé áåçîïàñíîñòè ôàêóëüòåòà âû÷èñëèòåëüíîé
ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Ì. Â. Ëîìîíîñîâà.
ISBN 978-5-91993-050-1
2
© À. À. Êóäðÿâöåâ
© ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ
Ñîäåðæàíèå
Ïðåäèñëîâèå
4
Ñïèñîê îáîçíà÷åíèé
6
1. Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè
9
2. Ãåîìåòðè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè
18
3. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè è íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé
24
4. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è ôîðìóëà Áàéåñà
30
5. Ñõåìà Áåðíóëëè
35
6. Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî
41
7. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ ðàñïðåäåëåíèÿ
48
8. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèÿ è ìîìåíòû
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
72
9. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå è ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè
86
10. Ìíîãîìåðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
92
11. Âèäû ñõîäèìîñòåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
99
12. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
105
Ïðèëîæåíèå: õàðàêòåðèñòèêè îñíîâíûõ ðàñïðåäåëåíèé
111
Ïðèëîæåíèå: çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Ëàïëàñà
Φ0 (x)
113
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà
115
Ëèòåðàòóðà
118
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü
120
3
Ïðåäèñëîâèå
Íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ âåêîâ ôèëîñîôû íå ìîãóò ïðèéòè ê ñîãëàñèþ ïî âîïðîñó: ñóùåñòâóåò ëè ñëó÷àéíîñòü è íåîïðåäåëåííîñòü èëè âñå, ÷òî ïðîèñõîäèò
â íàøåì ìèðå, ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì íåèçâåñòíûõ íàì çàêîíîìåðíîñòåé è, âîîáùå ãîâîðÿ, äåòåðìèíèðîâàíî? Àâòîð äàííîãî ïîñîáèÿ ïðèäåðæèâàåòñÿ òîé òî÷êè
çðåíèÿ, ÷òî ñëó÷àéíîñòü ýòî ñêîðåå íåèçâåñòíîñòü, íåæåëè íåîïðåäåëåííîñòü;
ñëó÷àéíîñòü ïðîèñòåêàåò èç íåçíàíèÿ âñåõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû, â êîòîðîé ïðîèçâîäèòñÿ òîò èëè èíîé ýêñïåðèìåíò. Êàê ìû ñ âàìè óâèäèì, ñ ìàòåìàòè÷åñêîé
òî÷êè çðåíèÿ ñëó÷àéíîñòè (â ñìûñëå íåîïðåäåëåííîñòè) òàêæå íå ñóùåñòâóåò, à
îñíîâíîå ïîíÿòèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ¾ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà¿ åñòü íå ÷òî èíîå,
êàê ñòðîãî çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, îáëàäàþùàÿ âïîëíå îïðåäåëåííûìè ñâîéñòâàìè.
×òî òàêîå òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé? Êàê ðàçâèâàëàñü òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé? ×òî
ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì èçó÷åíèÿ ýòîé íàóêè? Íà ïåðâûé âîïðîñ ÷èòàòåëü ïîëó÷èò
îòâåò íà ëåêöèÿõ ïî êóðñó ¾Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà¿
èëè íàéäåò åãî â ó÷åáíèêàõ, ññûëêè íà ìíîãèå èç êîòîðûõ ïðèâåäåíû â êîíöå
êíèãè. Äëÿ îòâåòà íà âòîðîé âîïðîñ àâòîð ðåêîìåíäóåò îçíàêîìèòüñÿ ñ î÷åðêàìè ïî èñòîðèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, òàêèìè, íàïðèìåð, êàê [1] è [2]. Îòâåòó íà
òðåòèé âîïðîñ ïîñâÿùåíà ýòà êíèãà.
Ïðåïîäàâàíèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé îáû÷íî âåäåòñÿ îäíèì èç äâóõ ñïîñîáîâ:
èñòîðè÷åñêèì èëè àêñèîìàòè÷åñêèì. Èñòîðè÷åñêèé ñïîñîá ïðèâîäèò ê îáùåïðèíÿòûì àêñèîìàì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîñòåïåííî, ïîâòîðÿÿ îñíîâíûå ýòàïû
ôîðìèðîâàíèÿ è ðàçâèòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî èñòîêè
òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ëåæàò â ïåðåïèñêå âûäàþùèõñÿ ìàòåìàòèêîâ Á. Ïàñêàëÿ
è Ï. Ôåðìà, îòíîñÿùåéñÿ ê 1654 ã. Î÷åâèäíî, ÷òî çà ïîñëåäíèå 350 ëåò îïðåäåëåíèÿ îñíîâíûõ ïîíÿòèé ïðåòåðïåëè ñóùåñòâåííûå èçìåíåíèÿ. Êîíåö òàêèì
èçìåíåíèÿì (â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé) ïîëîæèë âåëèêèé ñîâåòñêèé ìàòåìàòèê À. Í. Êîëìîãîðîâ, ïðåäëîæèâøèé â 1933 ã. íàáîð àêñèîì,
êîòîðûé âïåðâûå áûë îïóáëèêîâàí íà íåìåöêîì ÿçûêå â êíèãå [3] è íà ðóññêîì
ÿçûêå â [4] â ïåðåâîäå Ã. Ì. Áàâëè. Îñíîâíàÿ îïàñíîñòü, êîòîðóþ ïðåäñòàâëÿåò
èñòîðè÷åñêèé ïîäõîä äëÿ ñòóäåíòà, âïåðâûå ñòîëêíóâøåãîñÿ ñ òàêîé ñëîæíîé
äèñöèïëèíîé, êàê òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé, ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïåðâûå ïðîñòåéøèå îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè, ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è ïðî÷èå ÿâëÿþòñÿ â XXI âå4
êå, ìÿãêî ãîâîðÿ, óñòàðåâøèìè. Íåêîòîðûå æå íåðàäèâûå ñòóäåíòû, íå ïîíèìàÿ,
÷òî òàêèå îïðåäåëåíèÿ ïðèâåäåíû ëèøü â êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè, è íå äî÷èòàâ ó÷åáíèê äî ñîâðåìåííûõ îïðåäåëåíèé, óäèâëÿþòñÿ ïîëó÷åííîé íà ýêçàìåíå
íåóäîâëåòâîðèòåëüíîé îöåíêå.
Àêñèîìàòè÷åñêèé ñïîñîá ïðåïîäàâàíèÿ îñíîâàí íà èçëîæåíèè ñîâðåìåííûõ
àêñèîì è ðåçóëüòàòîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñ ìèíèìàëüíûìè èñòîðè÷åñêèìè ýêñêóðñàìè. Òàêîé ïîäõîä îïàñåí äëÿ ñòóäåíòà áîëüøèì îáúåìîì íîâûõ ïîíÿòèé,
ðàçáèðàòüñÿ â êîòîðûõ ïî êàêèì-òî ïðè÷èíàì òîò æå ñòóäåíò íå æåëàåò, ïðåäïî÷èòàÿ îòòÿíóòü çíàêîìñòâî ñ ó÷åáíèêîì äî ýêçàìåíàöèîííîé ñåññèè.
 ðàìêàõ äàííîãî ïîñîáèÿ àâòîð ïîïûòàëñÿ, èçëàãàÿ òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé ïðè
ïîìîùè èñòîðè÷åñêîãî ïîäõîäà, ïðåäóïðåäèòü ÷èòàòåëÿ î òîì, êàêèå èç îïðåäåëåíèé óæå óñòàðåëè, à òàêæå óäåëèòü îñîáîå âíèìàíèå ðàçúÿñíåíèþ ñîâðåìåííûõ àêñèîì íà óðîâíå ñòóäåíòà âòîðîãî êóðñà òåõíè÷åñêîãî âóçà, çíàêîìîãî ñ
îñíîâíûìè ìåòîäàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è òåîðèè ìíîæåñòâ.
Ïîñîáèå ñîäåðæèò 12 ïàðàãðàôîâ, ðàçáèòûõ íà 15 çàíÿòèé ñòàíäàðòíûé
êóðñ ñåìèíàðîâ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Êàæäîå çàíÿòèå âêëþ÷àåò â ñåáÿ âñþ
íåîáõîäèìóþ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ òåîðåòè÷åñêóþ áàçó, ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî ñòóäåíò ïîñåùàåò êóðñ ëåêöèé ïî äàííîìó ïðåäìåòó è èìååò âîçìîæíîñòü
óãëóáëåííîãî èçó÷åíèÿ ìàòåðèàëà ïðè ïîìîùè ó÷åáíèêîâ (ñïèñîê ó÷åáíèêîâ è
çàäà÷íèêîâ, èñïîëüçîâàííûõ ïðè íàïèñàíèè ïîñîáèÿ è ðåêîìåíäîâàííûõ àâòîðîì, ìîæíî íàéòè â êîíöå êíèãè). Ðàçäåëû êíèãè ñíàáæåíû ðèñóíêàìè, èëëþñòðèðóþùèìè òåîðåòè÷åñêèé è ïðàêòè÷åñêèé ìàòåðèàë, êîòîðûé, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðåäñòàâëåí çàäà÷àìè ñ ðåøåíèÿìè è òàê íàçûâàåìûìè ¾äîìàøíèìè çàäàíèÿìè¿, ïðåäíàçíà÷åííûìè äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ â êîíöå ñåìèíàðà
è â äîìàøíèõ óñëîâèÿõ.
Àâòîð íå çàäàâàëñÿ öåëüþ ñîñòàâëåíèÿ ó÷åáíèêà èëè ñáîðíèêà çàäà÷, åãî æåëàíèåì áûëî ñêîðåå îáúÿñíèòü, íåæåëè íàó÷èòü. Ìàòåðèàë, èçëîæåííûé â äàííîé ðàáîòå, îñíîâàí íà êóðñå ñåìèíàðîâ, êîòîðûé àâòîð íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ
ëåò âåäåò íà ôàêóëüòåòå âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Ì. Â. Ëîìîíîñîâà, è íà êíèãå àâòîðà ¾Ïîñîáèå ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ è òåõíè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé¿, îïóáëèêîâàííîé â 2009 ãîäó. Ïðåäñòàâëåííûé ìàòåðèàë
â ïåðâóþ î÷åðåäü ÿâëÿåòñÿ ¾øïàðãàëêîé¿ äëÿ ñàìîãî àâòîðà è åãî ó÷åíèêîâ, íî
òàêæå ìîæåò áûòü ïîëåçåí ìîëîäûì ïðåïîäàâàòåëÿì è ñòóäåíòàì, íà÷èíàþùèì
çíàêîìèòüñÿ ñ òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé.
Àâòîð ïðèçíàòåëåí ïðîôåññîðó Ñ. ß. Øîðãèíó çà íåîöåíèìóþ ïîìîùü è ïîääåðæêó ïðè èçäàíèè äàííîé ðàáîòû, Å. Í. Àðóòþíîâó çà ìíîãîëåòíþþ ïîçèòèâíóþ êðèòèêó, ïðîôåññîðó Â. Þ. Êîðîëåâó çà ëåñòíûå îòçûâû, êàñàþùèåñÿ
ñîäåðæàíèÿ êíèãè, è ñòóäåíòàì, ¾ïîçàèìñòâîâàâøèì¿ ó àâòîðà êîíñïåêòû ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé, çà ïîáóäèòåëüíûé ìîòèâ ê íàïèñàíèþ ïîñîáèÿ.
5
Ñïèñîê îáîçíà÷åíèé
 òåêñòå ïîñîáèÿ èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
(!)
çíàê, óêàçûâàþùèé íà òî, ÷òî ïðèâîäèìîå îïðåäåëåíèå óñòàðåëî;
êîíåö ðåøåíèÿ çàäà÷è;
Ω
ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ (ñîáûòèé);
ω
ýëåìåíòàðíûé èñõîä (ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå);
{ω1 , . . . , ωn } ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ ω1 , . . . , ωn ;
A∪B
ñóììà ñîáûòèé A è B ;
A∩B
ïðîèçâåäåíèå ñîáûòèé A è B ;
AB
ïðîèçâåäåíèå ñîáûòèé A è B ;
A\B
ðàçíîñòü ñîáûòèé A è B ;
∅
íåâîçìîæíîå ñîáûòèå;
A
ñîáûòèå, äîïîëíèòåëüíîå ê ñîáûòèþ A;
P(A)
âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A;
|A|
ìîùíîñòü ìíîæåñòâà A;
k
Cn
÷èñëî ñî÷åòàíèé èç n ïî k : Cnk = n!/(k!(n − k)!);
n!
ôàêòîðèàë ÷èñëà n: n! = 1 · 2 · . . . · n;
mes G
ãåîìåòðè÷åñêàÿ ìåðà (äëèíà, ïëîùàäü, îáúåì) ìíîæåñòâà G;
P(A| B)
óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè, ÷òî
ïðîèçîøëî ñîáûòèå B ;
P (n, k)
âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ k ¾óñïåõîâ¿ â ñõåìå n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè;
R(n, k)
âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ íå ìåíåå k ¾óñïåõîâ¿ â ñõåìå
n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè;
IR
ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë;
A
àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ Ω;
F
σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ Ω;
σ(B)
σ -àëãåáðà, ïîðîæäåííàÿ ìíîæåñòâîì B ;
B
áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà;
B[0, 1]
áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ îòðåçêà [0, 1];
6
f : X −→ Y
ξ −1 (B)
Pξ (B)
ξ≡η
ξ =η
ï.í.
îòîáðàæåíèå f , äåéñòâóþùåå èç X â Y ;
ïîëíûé ïðîîáðàç ìíîæåñòâà B ïðè îòîáðàæåíèè ξ ;
ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ;
òîæäåñòâåííîå ðàâåíñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η ;
ðàâåíñòâî ïî÷òè íàâåðíîå (ýêâèâàëåíòíîñòü) ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η ;
d
ðàâåíñòâî ïî ðàñïðåäåëåíèþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
ξ è η;
Fξ (x)
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ;
ξ =a
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ , âûðîæäåííàÿ â òî÷êå a;
ξ ∼ Pξ
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Pξ ;
Bi(n, p)
áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè n è p;
P ois(λ)
ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ;
G(p)
ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì p;
IN
ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë;
R
èíòåãðàë Ëåáåãà ôóíêöèè g ïî ìåðå µ íà ìíîæåS g dµ
ñòâå S ;
R
èíòåãðàë Ëåáåãà ôóíêöèè g ïî ìåðå µ íà ìíîæåS g(s) µ(ds)
ñòâå S ;
fξ (x)
ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ;
R[a, b]
ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a è b (íà
îòðåçêå [a, b]);
2
N (a, σ )
íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a è σ 2 ;
N (0, 1)
ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå;
Φ(x)
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî
çàêîíà;
ϕ(x)
ïëîòíîñòü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ;
Φa, σ2 (x)
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíîãî çàêîíà ñ ïàðàìåòðàìè a è σ 2 ;
ϕa, σ2 (x)
ïëîòíîñòü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè a è σ 2 ;
exp(λ)
ïîêàçàòåëüíîå (ýêñïîíåíöèàëüíîå) ðàñïðåäåëåíèå ñ
ïàðàìåòðîì λ;
K(a, σ)
ðàñïðåäåëåíèå Êîøè ñ ïàðàìåòðàìè a è σ ;
Eξ
ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ;
Rb
a f (x) du(x) èíòåãðàë Ñòèëòüåñà îò ôóíêöèè f (x) ïî ôóíêöèè
u(x) íà îòðåçêå [a, b];
n
IR
n-ìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî;
Dξ
äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ;
cov(ξ, η)
êîâàðèàöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η ;
ξ=η
ï.í.
7
ρ(ξ, η)
Eξ k
E(ξ − Eξ)k
E|ξ|k
E|ξ − Eξ|k
Eξ [k]
ϕξ (t)
ψξ (z)
H ∗G
F (s) (x)
ï.í.
ξn −→ ξ
ξn −→ ξ
P
ñõîäèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ ïî âåðîÿòíîñòè;
ξn −→ ξ
(r)
ñõîäèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ â ñðåäíåì ïîðÿäêà r;
d
ñõîäèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ ïî ðàñïðåäåëåíèþ;
ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . ê
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ ;
ñëàáàÿ
ñõîäèìîñòü
ôóíêöèé
ðàñïðåäåëåíèÿ
F1 , F2 , . . . ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F ;
èíäèêàòîð, èëè èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ.
ξn −→ ξ
ξn =⇒ ξ
Fn =⇒ F
1ω (A)
8
êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η ;
ìîìåíò ïîðÿäêà k ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ;
öåíòðàëüíûé ìîìåíò ïîðÿäêà k ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ;
àáñîëþòíûé ìîìåíò ïîðÿäêà k ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ;
öåíòðàëüíûé àáñîëþòíûé ìîìåíò ïîðÿäêà k ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ;
ôàêòîðèàëüíûé ìîìåíò ïîðÿäêà k ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ;
õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ;
ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ;
ñâåðòêà ôóíêöèé H è G;
ñèììåòðèçàöèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x);
ñõîäèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ ïî÷òè íàâåðíîå (ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà);
1. Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå
âåðîÿòíîñòè
ÇÀÍßÒÈÅ 1
(!) ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.1. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, èëè ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, ýòî ëþáîå ìíîæåñòâî Ω âçàèìîèñêëþ÷àþùèõ èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà òàêîå, ÷òî êàæäûé èíòåðåñóþùèé íàñ ðåçóëüòàò ýêñïåðèìåíòà
ìîæåò áûòü îäíîçíà÷íî îïèñàí ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòîâ ýòîãî ìíîæåñòâà.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 1.1. Åñëè ïåðåä îïðåäåëåíèåì ñòîèò çíàê ¾(!)¿, òî ýòî îçíà÷àåò,
÷òî îíî óñòàðåëî. Ñîâðåìåííàÿ ôîðìà îïðåäåëåíèÿ áóäåò äàíà ïîçæå.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 1.2. Îïðåäåëåíèå 1.1 ÿâëÿåòñÿ ñêîðåå ôèëîñîôñêèì îïèñàíèåì
ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, ñîäåðæàùèì àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ äàííîãî îáúåêòà. Ñàìî ïîíÿòèå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ÿâëÿåòñÿ áàçîâûì äëÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è, êàê ñëåäñòâèå, íåôîðìàëèçóåìûì (òàê æå, êàê
íåôîðìàëèçóåìî ïîíÿòèå òî÷êè â ãåîìåòðèè). Êàê ìû óâèäèì â 6, äëÿ ïîñòðîåíèÿ àêñèîì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü Ω êàê ïðîèçâîëüíîå
íåïóñòîå ìíîæåñòâî.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 1.3. Ïðèðîäà ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, êàê ïðàâèëî, íàñ èíòåðåñîâàòü íå áóäåò, ïîñêîëüêó ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå Ω íå âñåãäà
âîçìîæíî. Òåì íå ìåíåå â çàäà÷àõ, ñâÿçàííûõ ñ ýëåìåíòàðíîé òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé, ïîñòðîåíèå Ω áûâàåò ïîëåçíûì, à èíîãäà è íåîáõîäèìûì çàíÿòèåì, áåç
êîòîðîãî ïðàâèëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è âîîáùå íåâîçìîæíî.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.2. Ýëåìåíòàðíûì èñõîäîì, èëè ýëåìåíòàðíûì ñîáûòèåì, íàçûâàåòñÿ ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Ãîâîðÿò, ÷òî
ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå ïðîèçîøëî, åñëè ðàññìàòðèâàåìûé ýêñïåðèìåíò çàêîí÷èëñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì äàííîìó ýëåìåíòàðíîìó ñîáûòèþ ðåçóëüòàòîì.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 1.4. Âåçäå äàëåå, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ýëåìåíòàðíûå èñõîäû ÷åðåç ω , à ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ÷åðåç Ω.
ÇÀÄÀ×À 1.1. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ýêñïåðèìåíò, çàêëþ÷àþùèéñÿ â äâóêðàòíîì
ïîäáðàñûâàíèè ìîíåòû. Îïèñàòü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω, ñîîòâåòñòâóþùåå ýêñïåðèìåíòó.
9
ÐÅØÅÍÈÅ. Âîñïîëüçóåìñÿ îïðåäåëåíèåì 1.1 äëÿ ïîñòðîåíèÿ Ω. Ýêñïåðèìåíò
ñîñòîèò èç äâóõ ïîäáðàñûâàíèé ìîíåòû, ïîýòîìó èñõîä ¾âûïàäåò ãåðá¿ íå áóäåò
îïèñûâàòü ðåçóëüòàò ýêñïåðèìåíòà. Îäíàêî ñ ïîìîùüþ èñõîäà ¾â ïåðâîì ïîäáðàñûâàíèè âûïàäåò ãåðá, âî âòîðîì ïîäáðàñûâàíèè âûïàäåò ãåðá¿ óæå ìîæíî
îïèñàòü îäèí èç âîçìîæíûõ ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòà. Çàêîäèðóåì âûïàäåíèå
ãåðáà è âûïàäåíèå ðåøåòêè ñîîòâåòñòâåííî áóêâàìè ¾ã¿ è ¾ð¿. Òîãäà ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ
Ω = {ãã, ãð, ðã, ðð},
î÷åâèäíî, óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåíèþ 1.1, à ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ îòâåòîì
çàäà÷è. ÇÀÄÀ×À 1.2. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëåäóþùèé ýêñïåðèìåíò. Ìîíåòà ïîäáðàñûâàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà âïåðâûå íå âûïàäåò ãåðá. Îïèñàòü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω, ñîîòâåòñòâóþùåå ýêñïåðèìåíòó.
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïîíÿòíî, ÷òî äàííûé ýêñïåðèìåíò, ÷èñòî òåîðåòè÷åñêè, ìîæåò
ïðîäîëæàòüñÿ áåñêîíå÷íî äîëãî. Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòàðíûå
èñõîäû.  ñëó÷àå âûïàäåíèÿ ãåðáà â ïåðâîì ïîäáðàñûâàíèè ýêñïåðèìåíò ïðåêðàùàåòñÿ. Åñëè â ïåðâîì ïîäáðàñûâàíèè âûïàëà ðåøåòêà, òî ýêñïåðèìåíò ïðîäîëæàåòñÿ. Ïîñëå âòîðîãî ïîäáðàñûâàíèÿ ýêñïåðèìåíò ïðåêðàùàåòñÿ òîëüêî â
òîì ñëó÷àå, åñëè âûïàäàåò ãåðá. È òàê äàëåå. Òàêèì îáðàçîì, âîñïîëüçîâàâøèñü
îáîçíà÷åíèÿìè çàäà÷è 1.1, ïîëó÷àåì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé
èìååò âèä
Ω = {ã, ðã, ððã, . . . , ðð. . . ðã, . . .}. Ìû ðàññìîòðåëè äâà ýêñïåðèìåíòà.  ïåðâîì ýêñïåðèìåíòå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ îïèñûâàåòñÿ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì, âî âòîðîì ñ÷åòíûì
ìíîæåñòâîì.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.3. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíûì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíûì.
(!) ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.4. Ñîáûòèåì, èëè ñëó÷àéíûì ñîáûòèåì, íàçûâàåòñÿ
ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà Ω.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 1.5. Ãîâîðÿò, ÷òî ñîáûòèå A ïðîèçîøëî, åñëè ïðîèçîøëî ëþáîå
ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå ω ∈ A, íàçûâàåìîå â ýòîì ñëó÷àå áëàãîïðèÿòñòâóþùèì
ñîáûòèþ A.
ÇÀÄÀ×À 1.3. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ýêñïåðèìåíò, çàêëþ÷àþùèéñÿ â äâóêðàòíîì
ïîäáðàñûâàíèè ìîíåòû. Îïèñàòü ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, îïðåäåëåííûõ â çàäà÷å 1.1, ñîáûòèÿ A = {âî âòîðîì ïîäáðàñûâàíèè âûïàäåò ãåðá} è
B = {ðåøåòêà íå âûïàäåò äâà ðàçà ïîäðÿä}.
ÐÅØÅÍÈÅ. Î÷åâèäíî, ÷òî ñîáûòèþ A áëàãîïðèÿòñòâóþò ëèøü ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ ¾ãã¿ è ¾ðã¿, à ñîáûòèþ B âñå ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ, çà èñêëþ÷åíèåì ¾ðð¿. Òàêèì îáðàçîì, A = {ãã, ðã} è B = {ãã, ãð, ðã}. Ïåðâîíà÷àëüíî
10
ñ÷èòàëîñü, ÷òî ëþáàÿ ñîâîêóïíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ìîæåò ñîîòâåòñòâîâàòü íåêîòîðîìó ñëó÷àéíîìó ñîáûòèþ. Èìåííî ïî ýòîé ïðè÷èíå ïðåäïîëàãàëîñü,
÷òî ñîáûòèåì ÿâëÿåòñÿ ëþáîå ïîäìíîæåñòâî Ω. Êàê ìû óâèäèì â äàëüíåéøåì,
ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ Ω íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ óäîáíûì îáúåêòîì, îïèñûâàþùèì êëàññ âñåõ âîçìîæíûõ ñîáûòèé. Óæå â 5 íàì áóäåò óäîáíî ðàññìàòðèâàòü
ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ÷åòûðåõ âîçìîæíûõ ñîáûòèé, ïðèòîì ÷òî ìíîæåñòâî
âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìîæåò èìåòü ñêîëü óãîäíî áîëüøóþ ìîùíîñòü. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.5. Ñóììîé ñîáûòèé A è B íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, ïðèíàäëåæàùèõ ñîáûòèþ A èëè ñîáûòèþ B .
Îáîçíà÷åíèå: A ∪ B .
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.6. Ïðîèçâåäåíèåì ñîáûòèé A è B íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå,
ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, îäíîâðåìåííî ïðèíàäëåæàùèõ ñîáûòèþ
A è ñîáûòèþ B . Îáîçíà÷åíèå: AB , A ∩ B .
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.7. Ðàçíîñòü ñîáûòèé A è B ñîñòîèò èç ýëåìåíòàðíûõ
ñîáûòèé, ïðèíàäëåæàùèõ ñîáûòèþ A, íî íå ïðèíàäëåæàùèõ ñîáûòèþ B . Îáîçíà÷åíèå: A\B .
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.8. Ñîáûòèå Ω íàçûâàåòñÿ äîñòîâåðíûì ñîáûòèåì. Ñîáûòèå ∅ = Ω\Ω íàçûâàåòñÿ íåâîçìîæíûì ñîáûòèåì.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 1.6. Äëÿ ëþáîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ âñåãäà
îïðåäåëåíû äîñòîâåðíîå è íåâîçìîæíîå ñîáûòèå, ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà Ω ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ Ω ⊂ Ω è ∅ ⊂ Ω.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.9. Ñîáûòèå A = Ω\A íàçûâàåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì ñîáûòèåì ê ñîáûòèþ A.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.10. Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòíûìè, åñëè
AB = ∅.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 1.7. Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî ìåæäó îïåðàöèÿìè íàä ñîáûòèÿìè è îïåðàöèÿìè íàä ìíîæåñòâàìè ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ àíàëîãèÿ. Ê ïðèìåðó,
ñóììà äâóõ ñîáûòèé A è B â òåîðèè ìíîæåñòâ íàçûâàåòñÿ îáúåäèíåíèåì A è
B (îáîçíà÷åíèÿ ïðè ýòîì ñîâïàäàþò). Îäíàêî èñòîðè÷åñêè ñëîæèëîñü òàê, ÷òî
òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé èñïîëüçóåò ñâîþ òåðìèíîëîãèþ ïðè ðàáîòå ñ ìíîæåñòâàìèñîáûòèÿìè, ïîýòîìó ãðàìîòíåå íàçûâàòü ïåðå÷èñëåííûå îïåðàöèè èìåííî òàê,
êàê îíè áûëè îïðåäåëåíû. Òåì íå ìåíåå íå ñòîèò çàáûâàòü, ÷òî ïî ñâîåé ñóòè
ñîáûòèå åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ìíîæåñòâî, ïîýòîìó ïðè ðàáîòå ñ ñîáûòèÿìè áûâàåò ïîëåçíî àêòèâíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðèåìàìè òåîðèè ìíîæåñòâ, à òàêæå ðèñîâàòü
èëëþñòðàöèè, ïîìîãàþùèå îöåíèòü, ÷åì áóäåò ÿâëÿòüñÿ òî èëè èíîå ñîáûòèå. Íà
ðèñ. 1.11.3 èçîáðàæåíû (çàøòðèõîâàíû) ñîîòâåòñòâåííî ñóììà, ïðîèçâåäåíèå è
ðàçíîñòü ñîáûòèé A è B .
11
Ω
Ω
A
B
Ω
A
Ðèñ. 1.1
B
Ðèñ. 1.2
A
B
Ðèñ. 1.3
(!) ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.11. Ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíû âåðîÿòíîñòè ýëåìåíòàðíûõ
èñõîäîâ, åñëè íà Ω çàäàíà íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ P òàêàÿ, ÷òî
X
P(ω) = 1.
(1.1)
ω∈Ω
Ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ P çàäàåò íà Ω ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé.
(!) ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.12. Âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ A íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
P(A) =
X
P(ω).
(1.2)
ω∈A
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 1.8. Îïðåäåëåíèå 1.11 ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì äëÿ ýëåìåíòàðíîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, åãî ìîæíî íàéòè âî âñåõ ó÷åáíèêàõ ïî ýòîé äèñöèïëèíå. Ïðè ýòîì èìåííî îíî âî ìíîãîì îáóñëàâëèâàåò íåïîíèìàíèå òîãî, ÷åì
èìåííî ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòü. Çàìåòèì, ÷òî â îïðåäåëåíèè 1.11 âåðîÿòíîñòü
îïðåäåëÿåòñÿ êàê ôóíêöèÿ ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ, à â îïðåäåëåíèè 1.12 êàê
ôóíêöèÿ ñîáûòèÿ, òî åñòü íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé. ×òî
æå ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè?  áûòó ìû ïðèâûêëè àññîöèèðîâàòü âåðîÿòíîñòü èìåííî ñî ñëó÷àéíûì ñîáûòèåì.  òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
äàííûé ïîäõîä îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì, òî åñòü âåðîÿòíîñòü âñåãäà åñòü ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå ñëó÷àéíûõ, à íå ýëåìåíòàðíûõ, ñîáûòèé. Äëÿ
òîãî ÷òîáû â äàëüíåéøåì íå ïðèõîäèòü ê ïàðàäîêñàëüíûì âûâîäàì, êàñàþùèìñÿ
îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè, äîãîâîðèìñÿ îïðåäåëÿòü ýëåìåíòàðíûå âåðîÿòíîñòè íå íà ýëåìåíòàõ Ω, à íà îäíîòî÷å÷íûõ ïîäìíîæåñòâàõ Ω. Ñîîòíîøåíèÿ
(1.1) è (1.2) ïðàâèëüíåå çàïèñûâàòü â âèäå
X
P({ω}) = 1
ω∈Ω
è
P(A) =
X
ω∈A
ñîîòâåòñòâåííî.
12
P({ω})
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 1.9. Óæå çäåñü ñëåäóåò îãîâîðèòüñÿ, ÷òî
âåðîÿòíîñòü òàêæå íàçûâàþò âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé. Èç
A
B
æèçíåííîé ïðàêòèêè è óðîêîâ ôèçèêè íàì èçâåñòíî, ÷òî
ìåðàìè òàêæå ÿâëÿþòñÿ äëèíà, ïëîùàäü, îáúåì, ìàññà.
C
Âåðîÿòíîñòü, ïî ñóòè, íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò ïåðå÷èñëåííûõ ôóíêöèé ìíîæåñòâ, åñëè íå ñ÷èòàòü ñâîéñòâà íîðÐèñ. 1.4
ìèðîâàííîñòè (óñëîâèå (1.1)), êîòîðîå ãëàñèò, ÷òî âåðîÿòíîñòü äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ âñåãäà ðàâíÿåòñÿ åäèíèöå. Ïîýòîìó ïðè ïîäñ÷åòå
âåðîÿòíîñòè ñëîæíîãî ñîáûòèÿ, ñîñòîÿùåãî èç ñóìì, ïðîèçâåäåíèé è ðàçíîñòåé
áîëåå ïðîñòûõ ñîáûòèé, áûâàåò ïîëåçíî îòíîñèòüñÿ ê âåðîÿòíîñòè êàê, íàïðèìåð, ê ïëîùàäè. Íà ðèñ. 1.4 çàøòðèõîâàíî ñîáûòèå D, êîòîðîå ôîðìàëüíî èìååò
äîâîëüíî ñëîæíîå âûðàæåíèå
Ω
D = (A ∪ B ∪ C)\(A\(B ∪ C))\(B\(A ∪ C))\(C\(A ∪ B))\ABC,
íî èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ P(D) äîñòàòî÷íî çíàòü âåðîÿòíîñòè
ñîáûòèé ABC , AB , AC è BC , ïðè÷åì
P(D) = P(AB) + P(AC) + P(BC) − 3P(ABC).
(1.3)
Äàííûé ïîäõîä íå äàåò ñòðîãîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è, îäíàêî îí
ïîëåçåí òåì, ÷òî ïîçâîëÿåò ïîíÿòü, ÷òî òðåáóåòñÿ íàéòè. À, êàê èçâåñòíî, ïîíÿòü
çàäà÷ó çíà÷èò íàïîëîâèíó ðåøèòü åå.
Ñëåäóþùèå òðè ñâîéñòâà ÿâëÿþòñÿ îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè âåðîÿòíîñòè:
1. P(∅) = 0, P(Ω) = 1;
2. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB);
3. P(A) = 1 − P(A).
ÇÀÄÀ×À 1.4. Íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ õîòÿ áû îäíîãî ãåðáà ïðè äâóêðàòíîì ïîäáðàñûâàíèè ìîíåòû â ðàìêàõ óñëîâèÿ çàäà÷è 1.1.
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü A ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî òðåáóåòñÿ íàéòè. Äëÿ
òîãî ÷òîáû âû÷èñëèòü P(A), íåîáõîäèìî çàäàòü âåðîÿòíîñòè íà îäíîòî÷å÷íûõ
ïîäìíîæåñòâàõ Ω. Îïðåäåëèì èõ, íàïðèìåð, ñëåäóþùèì îáðàçîì: P({ãã}) = 0.1,
P({ãð}) = 0.2, P({ðã}) = 0.3, P({ðð}) = 0.4. Òàê îïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ P
óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåíèþ 1.11, òî åñòü ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ. Çàìåòèì, ÷òî
A = {ãã, ãð, ðã}. Ñëåäîâàòåëüíî, P(A) = 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6. ÂÎÏÐÎÑ. Ìû çíàåì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ãåðáà ïðè îäíîêðàòíîì ïîäáðàñûâàíèè ìîíåòû ðàâíÿåòñÿ âåðîÿòíîñòè ïîÿâëåíèÿ ðåøåòêè. Ïî÷åìó âñå âåðîÿòíîñòè â ðåøåíèè çàäà÷è 1.4 ðàçëè÷íû?
ÎÒÂÅÒ. Íà ñàìîì äåëå âîïðîñ ñëåäóåò ïîñòàâèòü øèðå: êàêèì îáðàçîì ìîæíî
îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé? Äî íà÷àëà XX âåêà ïðåîáëàäàë êëàññè÷åñêèé
13
ïîäõîä ê îïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòåé ñîáûòèé. Ñàì ýòîò ïîäõîä áûë îñíîâàí íà
äâóõ ïðèíöèïàõ: àïðèîðíîì è ñòàòèñòè÷åñêîì. Âî-ïåðâûõ, ìû ìîæåì ïîëîæèòü
âåðîÿòíîñòè íåñêîëüêèõ ñîáûòèé ðàâíûìè ìåæäó ñîáîé, åñëè íå ñóùåñòâóåò ïîâîäà ñ÷èòàòü êàêîå-òî ñîáûòèå áîëåå ¾ïðåäïî÷òèòåëüíûì¿, íåæåëè äðóãèå. Ýòî
àïðèîðíûé ïîäõîä.  ñòàòèñòè÷åñêîì ïîäõîäå ïðîâîäèòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîå
÷èñëî ýêñïåðèìåíòîâ è âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ ïîëàãàþò ðàâíîé ïðåäåëó îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòû ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ.
 ñëó÷àå ñ ïðàâèëüíîé èäåàëüíîé ìîíåòîé ìû íå ìîæåì àïðèîðè îòäàòü ïðåäïî÷òåíèå íè îäíîé èç ñòîðîí ìîíåòû, ïîýòîìó ëîãè÷íî ïîëîæèòü âåðîÿòíîñòü
âûïàäåíèÿ ãåðáà ðàâíîé âåðîÿòíîñòè âûïàäåíèÿ ðåøåòêè. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðîâåðèòü ïðàâèëüíîñòü òàêèõ ðàññóæäåíèé ñòàòèñòè÷åñêè, ìîæíî ïðîâåñòè ñåðèþ
îïûòîâ è âûÿñíèòü, êàê âåäåò ñåáÿ îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ, ñêàæåì,
ãåðáà. Òàê, âî âòîðîé ïîëîâèíå XVIII âåêà Æ. Ë. Áþôôîí ïðîâåë 4040 ïîäáðàñûâàíèé ìîíåòû, ïðè ýòîì ãåðá âûïàë 2048 ðàç (îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ðàâíÿåòñÿ
0.508); ïîçæå, óæå â êîíöå XIX âåêà, Ê. Ïèðñîí ïðîâåë 24000 ïîäáðàñûâàíèé,
ãåðá âûïàë 12012 ðàç (îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ðàâíÿåòñÿ 0.5005). Äåéñòâèòåëüíî, êàê ìû âèäèì, ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ãåðáà ïðèáëèæàåòñÿ ê 1/2 ïðè óâåëè÷åíèè
÷èñëà èñïûòàíèé. Èìåííî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîñëóæèëî ïîâîäîì ê îïðåäåëåíèþ
âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ A êàê ïðåäåëà îòíîøåíèÿ ÷èñëà nA ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ A
â n ýêñïåðèìåíòàõ ê ÷èñëó ýêñïåðèìåíòîâ:
nA
.
n→∞ n
P(A) = lim
(1.4)
Ð. Ìèçåñîì áûëà ïðåäïðèíÿòà äîâîëüíî óñïåøíàÿ ïîïûòêà ïîñòðîåíèÿ ñèñòåìû àêñèîì, îñíîâàííûõ íà ñîîòíîøåíèè (1.4). Ñàìûì ñëàáûì ìåñòîì øêîëû
Ìèçåñà ÿâëÿåòñÿ íåâîçìîæíîñòü ïðîâåäåíèÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ÷èñëà ýêñïåðèìåíòîâ äëÿ âûÿâëåíèÿ âñåõ ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {nA /n}n≥1 äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðåäåëà (1.4). Ñ ïîÿâëåíèåì ñèñòåìû àêñèîì À. Í. Êîëìîãîðîâà ìèçåñîâñêàÿ ÷àñòîòíàÿ øêîëà ïîñòåïåííî îêîí÷àòåëüíî ïîòåðÿëà âåñ â íàóêå. Îäíàêî
ñïðàâåäëèâîñòè ðàäè ñòîèò çàìåòèòü, ÷òî ìíîãèå èçâåñòíûå ìàòåìàòèêè, ïèñàâøèå ñâîè ñàìûå èçâåñòíûå ðàáîòû â ðàìêàõ êîëìîãîðîâñêîé àêñèîìàòèêè, áûëè
òåì íå ìåíåå ïðèâåðæåíöàìè ìèçåñîâñêîãî ïîäõîäà.
Ñòîèò òàêæå çàìåòèòü, ÷òî äî ñèõ ïîð ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîíÿòèå ñëó÷àéíîñòè (èëè ñòîõàñòè÷íîñòè) ìîæíî ïðèìåíÿòü òîëüêî ê òåì ýêñïåðèìåíòàì,
êîòîðûå íàðÿäó ñî ñâîéñòâàìè íåäåòåðìèíèðîâàííîñòè è âîçìîæíîñòè ïîâòîðåíèÿ ïðè íåèçìåííûõ óñëîâèÿõ îáëàäàþò òàêæå ñâîéñòâîì óñòîé÷èâîñòè îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò. ×òî æå êàñàåòñÿ çàäà÷è 1.4, òî â íåé ìû íå çàäàâàëèñü öåëüþ
ïîñòðîèòü ìîäåëü, îòðàæàþùóþ äåéñòâèòåëüíûé ýêñïåðèìåíò. Íàñ èíòåðåñîâàëî
ëèøü ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè.
Èòàê, òåïåðü áóäåò ïîíÿòíî, êàêèìè ïðåäïîñûëêàìè ðóêîâîäñòâîâàëèñü ìàòåìàòèêè, äàâàÿ ñëåäóþùåå êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå.
14
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.13. Ïóñòü Ω ñîñòîèò èç n ýëåìåíòîâ ω1 , . . . , ωn , ïðè÷åì
âñå ñîáûòèÿ {ωi } ðàâíîâåðîÿòíû, òî åñòü P({ωi }) = 1/n, i = 1, . . . , n. Â ýòîì
ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ñîáûòèÿ A îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
P(A) =
|A| ÷èñëî ýëåìåíòîâ A
=
.
|Ω|
n
Çäåñü ñèìâîëîì |A| îáîçíà÷àåòñÿ ìîùíîñòü ìíîæåñòâà A. Ïðè ýòîì ãîâîðÿò,
÷òî ôóíêöèÿ P çàäàåò êëàññè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè, èëè ðàâíîìåðíîå äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 1.10.  ôîðìóëèðîâêàõ ìíîãèõ çàäà÷ âñòðå÷àåòñÿ ñëîâî ¾íàóäà÷ó¿. Åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, òî ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïðè ýòîì
ìû èìååì äåëî ñ êëàññè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì èëè ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì (ñì. 2) âåðîÿòíîñòè.
ÇÀÄÀ×À 1.5. Èç êîëîäû â 36 êàðò íàóäà÷ó âûíèìàþò òðè êàðòû. Íàéòè
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè íèõ îêàæåòñÿ òî÷íî îäèí òóç.
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü P êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü. Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, òî åñòü ÷èñëî ñïîñîáîâ âûíóòü òðè êàðòû èç 36, ðàâíÿåòñÿ
3
. Ïóñòü A ðàññìàòðèâàåìîå ñîáûòèå. Íàéäåì åãî ìîùíîñòü. Ñðåäè òðåõ
C36
êàðò íàõîäèòñÿ îäèí òóç è äâå êàðòû, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ òóçàìè. Òóç ìîæåò
áûòü âûáðàí èç ÷åòûðåõ òóçîâ C41 ñïîñîáàìè, à äâå îñòàëüíûå êàðòû èç 32 ¾íåòó3
2
2
2
≈
/C36
. Îòâåò: P(A) = C41 C32
ñïîñîáàìè. Òàêèì îáðàçîì, |A| = C41 C32
çîâ¿ C32
≈ 0.2779. ÇÀÄÀ×À 1.6.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
ñðåäè òðåõ êàðò îêàæåòñÿ õîòÿ áû îäèí òóç.
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü P êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü. Çàìåòèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå ñîáûòèå A èìååò äîïîëíèòåëüíîå ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî íàéòè
î÷åíü ëåãêî. ×èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ â A ðàâíÿåòñÿ ÷èñëó ñïîñîáîâ âûáðàòü
3
òðè ¾íåòóçà¿ èç 32 ¾íåòóçîâ¿, òî åñòü C32
. Äàííûé ìåòîä ðåøåíèÿ ïîçâîëÿåò
âû÷èñëÿòü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ ÷åðåç âåðîÿòíîñòü äîïîëíèòåëüíîãî ñîáûòèÿ. Ñ
äðóãîé ñòîðîíû, ìîæíî ðàçáèòü ñîáûòèå A íà òðè íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèÿ A1 ,
A2 è A3 , êàæäîå èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëó òóçîâ, â òî÷íîñòè íàõîäÿùèõñÿ
ñðåäè òðåõ âûíóòûõ êàðò. Òàêîé ìåòîä ðåøåíèÿ îáóñëîâëåí òåì, ÷òî âåðîÿòíîñòü
ñóììû íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé ðàâíÿåòñÿ ñóììå ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðîÿòíîñòåé.
2
1
0
Ìîùíîñòè ýòèõ ñîáûòèé ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî C41 C32
, C42 C32
è C43 C32
. Îòâåò:
3
2
1
C32
C41 C32
C42 C32
C43
P(A) = 1 − 3 =
+
+ 3 ≈ 0.3053. 3
3
C36
C36
C36
C36
ÄÎÌÀØÍÅÅ ÇÀÄÀÍÈÅ
ÇÀÄÀ×À 1.7. Ñòðîãî äîêàçàòü ñîîòíîøåíèå (1.3).
15
ÇÀÄÀ×À 1.8. Ïîêàçàòü ãðàôè÷åñêè è ñòðîãî äîêàçàòü îñíîâíûå ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè.
ÇÀÄÀ×À 1.9 (ñïîðòëîòî ¾6 èç 49¿).  óðíå íàõîäÿòñÿ 49 øàðîâ, çàíóìåðîâàííûõ ïåðâûìè íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè. Èç óðíû èçâëåêàþòñÿ íàóäà÷ó 6 øàðîâ
è íàçûâàþòñÿ èõ íîìåðà. Åñëè èãðàþùèé â ëîòåðåþ óãàäàë 4, 5 èëè 6 èç ýòèõ
íîìåðîâ, òî åãî áèëåò ñ÷èòàåòñÿ âûèãðûøíûì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èãðàþùèé óãàäàåò: à) â òî÷íîñòè 4 íîìåðà; á) â òî÷íîñòè 5 íîìåðîâ; â) 6 íîìåðîâ.
ÇÀÄÀ×À 1.10. Êàêîå ñîáûòèå áîëåå âåðîÿòíî: {ïðè ÷åòûðåõ áðîñàíèÿõ èãðàëüíîé êîñòè õîòÿ áû ðàç âûïàäåò øåñòü î÷êîâ} èëè {ïðè äâàäöàòè ÷åòûðåõ
áðîñàíèÿõ äâóõ èãðàëüíûõ êîñòåé õîòÿ áû ðàç îäíîâðåìåííî âûïàäóò øåñòü è
øåñòü î÷êîâ}?
ÇÀÄÀ×À 1.11. Äâà ðàâíîñèëüíûõ èãðîêà íà÷àëè èãðó, ñîñòîÿùóþ èç íåñêîëüêèõ ïàðòèé. Êàæäàÿ ïàðòèÿ íåïðåìåííî âûèãðûâàåòñÿ îäíèì èç èãðîêîâ. Òîò
èç èãðîêîâ, êòî âûèãðûâàåò ïåðâûì 6 ïàðòèé, çàáèðàåò îáå ðàâíûå ñòàâêè, âíåñåííûå â íà÷àëå èãðû. Íî èãðîêè ñîãëàñèëèñü ïðåêðàòèòü èãðó, íå îêîí÷èâ åå,
ïðè ñ÷åòå 5:3. Êàê íóæíî ðàçäåëèòü ñòàâêè, ÷òîáû èãðà áûëà áåçîáèäíîé?
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 1.11. Çàäà÷è 1.10 è 1.11 áûëè ïîñòàâëåíû êàâàëåðîì äå Ìåðå â
ïåðâîé ïîëîâèíå XVII âåêà. Îáñóæäåíèþ ýòèõ çàäà÷ áûëà ïîñâåùàíà ïåðåïèñêà
Á. Ïàñêàëÿ è Ï. Ôåðìà, îòíîñÿùàÿñÿ ê 1654 ãîäó. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðèíÿòî
ñ÷èòàòü, ÷òî ðåøåíèå èìåííî ýòèõ çàäà÷ ïîëîæèëî íà÷àëî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
êàê îòäåëüíîé âåòâè ìàòåìàòèêè.
ÇÀÄÀ×À 1.12. Íà âîñüìè îäèíàêîâûõ êàðòî÷êàõ íàïèñàíû ñîîòâåòñòâåííî
÷èñëà 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 è 13. Íàóäà÷ó áåðóòñÿ äâå êàðòî÷êè. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáðàçîâàííàÿ èç äâóõ ïîëó÷åííûõ ÷èñåë äðîáü áóäåò ñîêðàòèìà.
ÇÀÄÀ×À 1.13. Áðîñàåòñÿ n èãðàëüíûõ êîñòåé. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
íà âñåõ êîñòÿõ âûïàäåò îäèíàêîâîå ÷èñëî î÷êîâ.
ÇÀÄÀ×À 1.14. Èç ïîëíîãî íàáîðà 28 êîñòåé äîìèíî íàóäà÷ó áåðóòñÿ 5 êîñòåé. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè íèõ áóäåò õîòÿ áû îäíà êîñòü ñ øåñòüþ
î÷êàìè.
ÇÀÄÀ×À 1.15.  ðÿä èëè çà êðóãëûé ñòîë â ñëó÷àéíîì ïîðÿäêå ðàññàæèâàþòñÿ n ëèö. Íàéòè â òîì è äðóãîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâà îïðåäåëåííûõ
ëèöà îêàæóòñÿ ðÿäîì.
ÇÀÄÀ×À 1.16. Ïî N ÿùèêàì ðàçìåùàþòñÿ n ðàçëè÷èìûõ øàðîâ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÿùèêè ñ íîìåðàìè 1, . . . , N áóäóò ñîäåðæàòü n1 , . . . , nN
øàðîâ ñîîòâåòñòâåííî (n1 + . . . + nN = n).
ÇÀÄÀ×À 1.17.  óðíå K êðàñíûõ, L áåëûõ è M ÷åðíûõ øàðîâ. Èç óðíû ñ
âîçâðàùåíèåì (áåç âîçâðàùåíèÿ) èçâëåêàþòñÿ n øàðîâ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî áóäåò èçâëå÷åíî k êðàñíûõ, l áåëûõ è m ÷åðíûõ øàðîâ (k + l + m = n).
ÇÀÄÀ×À 1.18.  çàëå, íàñ÷èòûâàþùåì n + k ìåñò, ñëó÷àéíûì îáðàçîì çàíèìàþò ìåñòà n ÷åëîâåê. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áóäóò çàíÿòû îïðåäå16
ëåííûå m ≤ n ìåñò.
ÇÀÄÀ×À 1.19. Íåñêîëüêî ðàç áðîñàåòñÿ èãðàëüíàÿ êîñòü. Êàêîå ñîáûòèå áîëåå
âåðîÿòíî: {ñóììà âûïàâøèõ î÷êîâ áóäåò ÷åòíà} èëè {ñóììà âûïàâøèõ î÷êîâ
áóäåò íå÷åòíà}?
ÇÀÄÀ×À 1.20. Ñîðîê ó÷àñòíèêîâ òóðíèðà ðàçáèâàþòñÿ íà ÷åòûðå ðàâíûå
ãðóïïû. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷åòûðå ñèëüíåéøèõ ó÷àñòíèêà îêàæóòñÿ â
ðàçíûõ ãðóïïàõ.
17
2. Ãåîìåòðè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè
ÇÀÍßÒÈÅ 2
Íåäîñòàòîê êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè î÷åâèäåí. Åùå â ñàìîì
íà÷àëå ðàçâèòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé èññëåäîâàòåëè ñòàëêèâàëèñü ñ ýêñïåðèìåíòàìè, â êîòîðûõ ÷èñëî âîçìîæíûõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì
è, áîëåå òîãî, íåñ÷åòíûì. Îáùàÿ çàäà÷à, êîòîðàÿ ïðèâåëà ê îáîáùåíèþ ïîíÿòèÿ âåðîÿòíîñòè, ñòàâèëàñü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü èìååòñÿ, íàïðèìåð íà
ïëîñêîñòè, íåêîòîðàÿ îáëàñòü G, à â íåé îáëàñòü g ñ êâàäðèðóåìîé ãðàíèöåé.
Ñëó÷àéíûì îáðàçîì (íàóäà÷ó) â îáëàñòü G áðîñàåòñÿ òî÷êà. Òðåáóåòñÿ íàéòè
âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ òî÷êè â îáëàñòü g . (Óñëîâèå êâàäðèðóåìîñòè òðåáóåòñÿ
äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ òî÷êè íà ãðàíèöó îáëàñòè.) Ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî áðîøåííàÿ òî÷êà ìîæåò ïîïàñòü â ëþáóþ òî÷êó îáëàñòè G. Ïðè
ýòîì, ââèäó äåéñòâîâàâøåãî äîëãîå âðåìÿ ñòåðåîòèïà ¾ðàâíîìåðíîñòè¿, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â îáëàñòü g åñòåñòâåííî ïðèíèìàëàñü ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíîé
ïëîùàäè (â îáùåì ñëó÷àå ìåðå) îáëàñòè g è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíîé ïëîùàäè
(â îáùåì ñëó÷àå ìåðå) îáëàñòè G, òî åñòü
p=
mes g
.
mes G
(2.1)
Çäåñü ñèìâîëîì ¾mes¿ îáîçíà÷àåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ìåðà ìíîæåñòâà. Òàê îïðåäåëåííàÿ âåðîÿòíîñòü íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòüþ.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 2.1. Ïðè îïðåäåëåíèè âåðîÿòíîñòè ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (2.1)
ãîâîðÿò, ÷òî p çàäàåò ðàâíîìåðíîå â îáëàñòè G ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé, èëè
÷òî ñëó÷àéíûì îáðàçîì áðîøåííàÿ òî÷êà ðàñïðåäåëåíà â îáëàñòè G ðàâíîìåðíî.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 2.2. Óæå èç îïðåäåëåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè ñëåäóåò
îñíîâíîé, ïî ìíåíèþ àâòîðà, ôèëîñîôñêèé òåçèñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, à èìåííî:
åñëè âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ ðàâíÿåòñÿ íóëþ, òî ýòî íå îçíà÷àåò, ÷òî äàííîå ñîáûòèå ÿâëÿåòñÿ íåâîçìîæíûì. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè áðîñàíèè òî÷êè â îáëàñòü G ìû
íåèçáåæíî ïîïàäåì â íåêîòîðóþ îäíîòî÷å÷íóþ îáëàñòü g , ïðè÷åì èç ôîðìóëû
(2.1) ñëåäóåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ýòó îáëàñòü ðàâíÿåòñÿ íóëþ. Åñëè
íåêîòîðîå ñîáûòèå îáëàäàåò íóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ, òî ýòî îçíà÷àåò ëèøü, ÷òî
ïðè ìíîãîêðàòíîì ïîâòîðåíèè ýêñïåðèìåíòà îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ
18
äàííîãî ñîáûòèÿ áóäåò áëèçêà ê íóëþ (ñì. êîììåíòàðèè 1, êàñàþùèåñÿ àêñèîìàòèêè Ìèçåñà). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî
âåðîÿòíîñòü íåâîçìîæíîãî ñîáûòèÿ âñåãäà ðàâíà íóëþ.
Ñàìîé èçâåñòíîé çàäà÷åé íà ãåîìåòðè÷åñêóþ âåðîÿòíîñòü, ïîæàëóé, ÿâëÿåòñÿ
ñëåäóþùàÿ.
ÇÀÄÀ×À 2.1 (ïàðàäîêñ Áåðòðàíà). Âûáåðåì íàóäà÷ó õîðäó AB â êðóãå. Òðåáóåòñÿ íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äëèíà õîðäû áóäåò ïðåâîñõîäèòü äëèíó ñòîðîíû âïèñàííîãî ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà.
ÐÅØÅÍÈÅ 1. Ïî ñîîáðàæåíèÿì ñèììåòðèè ìîæíî çàðàíåå çàäàòü íàïðàâëåíèå õîðäû. Ïðîâåäåì äèàìåòð, ïåðg
ïåíäèêóëÿðíûé ê ýòîìó íàïðàâëåíèþ. Î÷åâèäíî, ÷òî äëèA
B
íà õîðäû áóäåò áîëüøå äëèíû ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà òîG
ãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà öåíòð õîðäû îêàæåòñÿ íà èíòåðâàëå g (ñì. ðèñ. 2.1). Ïîñêîëüêó â äàííîì ñëó÷àå îáëàñòüþ
Ðèñ. 2.1
G ÿâëÿåòñÿ ðàññìàòðèâàåìûé äèàìåòð, ôîðìóëà (2.1) äàåò îòâåò 1/2 (çäåñü â êà÷åñòâå ìåðû èñïîëüçóåòñÿ äëèíà).
ÐÅØÅÍÈÅ 2. Ïî ñîîáðàæåíèÿì ñèììåòðèè ìîæíî
G
çàðàíåå çàôèêñèðîâàòü îäèí êîíåö õîðäû (òî÷êà A) íà
îêðóæíîñòè. Î÷åâèäíî, ÷òî äëèíà õîðäû áóäåò áîëüøå
g
äëèíû ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîA
ãäà âòîðîé êîíåö õîðäû (òî÷êà B ) îêàæåòñÿ íà äóãå g
(ñì. ðèñ. 2.2). Ïîñêîëüêó â äàííîì ñëó÷àå îáëàñòüþ G
Ðèñ. 2.2
ÿâëÿåòñÿ âñÿ îêðóæíîñòü, ôîðìóëà (2.1) äàåò îòâåò 1/3
(çäåñü â êà÷åñòâå ìåðû èñïîëüçóåòñÿ äëèíà).
B
A
g
G
B
Ðèñ. 2.3
ÐÅØÅÍÈÅ 3. Äëÿ òîãî ÷òîáû îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå
õîðäû, äîñòàòî÷íî çàäàòü åå ñåðåäèíó. Î÷åâèäíî, ÷òî äëèíà õîðäû áóäåò áîëüøå äëèíû ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå öåíòð áóäåò ëåæàòü â êðóãå
g (ñì. ðèñ. 2.3). Ïîñêîëüêó â äàííîì ñëó÷àå îáëàñòüþ G
ÿâëÿåòñÿ âåñü êðóã, ôîðìóëà (2.1) äàåò îòâåò 1/4 (çäåñü â
êà÷åñòâå ìåðû èñïîëüçóåòñÿ ïëîùàäü). ÂÎÏÐÎÑ. Êàêîé èç îòâåòîâ çàäà÷è 2.1 ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì?
ÎÒÂÅÒ. Ïðàâèëüíûìè ÿâëÿþòñÿ âñå îòâåòû. Áîëåå òîãî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
ëþáîå ÷èñëî íà îòðåçêå [0, 1] ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì îòâåòîì ê ýòîé çàäà÷å. Äàâàéòå ðàçáåðåìñÿ, ÷åì âûçâàíà íåêîððåêòíîñòü óñëîâèÿ. Êàê ìû âèäåëè â 1,
¾ñëó÷àéíîñòü¿ îïðåäåëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω. Áîëåå òîãî, íåëüçÿ îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ, íå çíàÿ ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ
èñõîäîâ, ïîñêîëüêó ñîáûòèå âñåãäà åñòü ïîäìíîæåñòâî Ω.  ðåøåíèÿõ 13 ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ðàçëè÷íû; èìè ÿâëÿþòñÿ îáëàñòè G (äèàìåòð,
îêðóæíîñòü è êðóã ñîîòâåòñòâåííî).  ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷àõ âñåãäà òðåáóåòñÿ
19
ôîðìàëüíîå îïèñàíèå îáúåêòà èññëåäîâàíèÿ. Â ýëåìåíòàðíîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé òàêèì îáúåêòîì ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Ïîýòîìó â
15 ïîëåçíî íà÷èíàòü ðåøåíèå çàäà÷è ñ îïèñàíèÿ Ω.
Ñëåäóþùèå äâå çàäà÷è òàêæå ñ÷èòàþòñÿ êëàññè÷åñêèìè çàäà÷àìè íà ãåîìåòðè÷åñêóþ âåðîÿòíîñòü.
ÇÀÄÀ×À 2.2 (çàäà÷à î âñòðå÷å). Äâà ëèöà X è Y óñëîâèëèñü âñòðåòèòüñÿ â
îïðåäåëåííîì ìåñòå ìåæäó 12 è 13 ÷àñàìè. Ïðèøåäøèé ïåðâûì æäåò äðóãîãî â
òå÷åíèå 20 ìèíóò, ïîñëå ÷åãî óõîäèò. ×åìó ðàâíà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ëèöà X
è Y âñòðåòÿòñÿ, åñëè ïðèõîä êàæäîãî èç íèõ â òå÷åíèå óêàçàííîãî ÷àñà ìîæåò
ïðîèçîéòè íàóäà÷ó è ìîìåíòû ïðèõîäà íåçàâèñèìû (òî åñòü ìîìåíò ïðèõîäà
îäíîãî ëèöà íå âëèÿåò íà ìîìåíò ïðèõîäà äðóãîãî).
y
1
ÐÅØÅÍÈÅ.  ýòîé çàäà÷å ìû èìååì äåëî ñ ¾äâóìåðíîé ñëó÷àéíîñòüþ¿, ïîýòîìó èìååò ñìûñë ðàññìîòg
ðåòü äâóìåðíîå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé G.
1
3
Îáîçíà÷èì ìîìåíòû ïðèõîäà ëèö X è Y ÷åðåç x è y
x
1
0
ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ñ íà1
3
÷àëîì êîîðäèíàò â òî÷êå ¾12 ÷àñîâ¿ è åäèíèöåé èçìåÐèñ. 2.4
ðåíèÿ â 1 ÷àñ îáëàñòü G ïðåäñòàâèìà â âèäå êâàäðàòà
G = {(x, y)| x, y ∈ [0, 1]}. Äâà ëèöà ñìîãóò âñòðåòèòüñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìîìåíòû èõ ïðèõîäîâ óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó |x − y| ≤ 1/3, x, y ∈ [0, 1].
Îáëàñòü g ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ âñòðå÷å, âûäåëåíà íà
ðèñ. 2.4. Èñêîìàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ïëîùàäåé
îáëàñòåé g è G. Îòâåò: 5/9. G
ÇÀÄÀ×À 2.3 (èãëà Áþôôîíà). Ïëîñêîñòü ðàçãðàôëåíà ïàðàëëåëüíûìè ïðÿìûìè, îòñòîÿùèìè äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå 2a. Íà ïëîñêîñòü íàóäà÷ó áðîñàåòñÿ èãëà äëèíû 2l < 2a. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èãëà ïåðåñå÷åò êàêóþíèáóäü ïðÿìóþ.
ÐÅØÅÍÈÅ. Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëîæåíèå èãëû îäíîçíà÷íî (ñ òî÷íîñòüþ äî ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà) îïðåäåëÿåòñÿ ðàññòîÿíèåì x îò öåíòðà èãëû äî áëèæàéøåé èç ïðÿìûõ è óãëîì ϕ ìåæäó íàïðàâëåíèåì èãëû è îäíîé èç ïðÿìûõ (ñì.
ðèñ. 2.5). Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ G ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ïðÿìîóãîëüíèê {(x, ϕ)| x ∈ [0, a], ϕ ∈ [0, π]}. Çàìåòèì, ÷òî ïåðåñå÷åíèå
èãëû ñ ïðÿìîé âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
x ≤ l sin ϕ. Íà ðèñ. 2.6 èçîáðàæåíû îáëàñòü G è îáëàñòü áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ
ïåðåñå÷åíèþ èñõîäîâ g . Èñêîìàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü p íàõîäèòñÿ ïî
ôîðìóëå
p=
20
mes g
1
=
mes G
aπ
Zπ
l sin ϕ dϕ =
0
2l
.
aπ
x
a
2l
G
g
x
ϕ
x ≤ l sin ϕ
2a
πϕ
0
Ðèñ. 2.5
Ðèñ. 2.6
ÇÀÄÀ×À 2.4. Íà ïëîñêîñòü, ðàçãðàôëåííóþ ïàðàëëåëüíûìè ïðÿìûìè, îòñòîÿùèìè äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå 2a, íàóäà÷ó áðîøåí âûïóêëûé êîíòóð,
äèàìåòð (ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè êîíòóðà) êîòîðîãî
ìåíüøå 2a, à ïåðèìåòð ðàâåí S . Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êîíòóð ïåðåñå÷åò
îäíó èç ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ.
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü P ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîíòóð áðîñàåòñÿ íà ïëîñêîñòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ê êîíòóðó æåñòêî ïðèâÿçûâàåòñÿ îòðåçîê è áðîñàåòñÿ íà ïëîñêîñòü, êàê èãëà Áþôôîíà (ñì. çàäà÷ó 2.3).
Ñíà÷àëà ðåøèì ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó äëÿ âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà W ñ âåðøèíàìè W1 , . . . , Wn è ñòîðîíàìè w1 , . . . , wn , äëèíû êîòîðûõ ðàâíû 2l1 , . . . , 2ln
ñîîòâåòñòâåííî. Îáîçíà÷èì ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî òðåáóåòñÿ íàéòè, ÷åðåç A. Ïåðåñå÷åíèå W ñ ïðÿìîé âîçìîæíî îäíèì è òîëüêî îäíèì èç ñëåäóþùèõ
ñïîñîáîâ. Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ:
1. ÿâëÿþòñÿ äâóìÿ âåðøèíàìè, ïðèíàäëåæàùèìè ðàçëè÷íûì ñòîðîíàì;
2. ÿâëÿþòñÿ äâóìÿ âåðøèíàìè, ïðèíàäëåæàùèìè îäíîé èç ñòîðîí, â ýòîì
ñëó÷àå îäíà èç ñòîðîí W öåëèêîì ëåæèò íà ïðÿìîé;
3. ñîâïàäàþò è ÿâëÿþòñÿ îäíîé èç âåðøèí W ;
4. ëåæàò íà ðàçëè÷íûõ ñòîðîíàõ, ïðè÷åì ëèøü îäíà ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé;
5. ëåæàò íà ðàçëè÷íûõ ñòîðîíàõ è ÿâëÿþòñÿ âíóòðåííèìè òî÷êàìè ñòîðîí.
Îáîçíà÷èì ïåðå÷èñëåííûå ñîáûòèÿ ÷åðåç Ai , i = 1, . . . , 5, ñîîòâåòñòâåííî. Çàìåòèì, ÷òî, ïîñêîëüêó ñîáûòèÿ Ai ÿâëÿþòñÿ íåñîâìåñòíûìè è â ñóììå äàþò A,
P5
ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà P(A) = i=1 P(Ai ). Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ñîáûòèÿ A1 , A3
è A4 ñîîòâåòñòâóþò ïåðåñå÷åíèþ ïðÿìîé ñ èãëîé Áþôôîíà wj â òî÷êå Wk (äëÿ
íåêîòîðûõ j è k ), ÿâëÿþùåéñÿ êîíöîì èãëû. Òàêîå ïåðåñå÷åíèå âîçìîæíî â òåðìèíàõ çàäà÷è 2.3 ëèøü â ñëó÷àå, êîãäà x = lj sin ϕ (ñì. ðèñ. 2.5 è 2.6), íî òàêèå
òî÷êè (x, ϕ) ëåæàò íà êðèâîé, îòíîøåíèå ïëîùàäè êîòîðîé ê ïëîùàäè îáëàñòè
G ðàâíÿåòñÿ íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé A1 , A3 è A4 ðàâíÿþòñÿ
íóëþ. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì P(A2 ) = 0, ïîñêîëüêó ñîáûòèþ A2 áëàãîïðèÿòñòâóþò ëèøü òàêèå èñõîäû (x, ϕ), äëÿ êîòîðûõ x = 0.
Íàéäåì âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A5 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Aij , i, j = 1, . . . , n, ñîáûòèÿ, çàêëþ÷àþùèåñÿ â òîì, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ïðîèçîøëî ïî âíóòðåííèì òî÷êàì
ñòîðîí wi è wj ñîîòâåòñòâåííî. Êàê ìû âûÿñíèëè, P(Aii ) = 0 äëÿ âñåõ i. Èìååì
A5 = (A12 + . . . + A1n ) + (A23 + . . . + A2n ) + . . . + An−1,n .
(2.2)
21
Ïîñêîëüêó âñå ñîáûòèÿ, ñòîÿùèå â ïðàâîé ÷àñòè (2.2), ÿâëÿþòñÿ íåñîâìåñòíûìè,
ïîëó÷àåì
P(A5 ) = (P(A12 ) + . . . + P(A1n )) + (P(A23 ) + . . . + P(A2n )) + . . . + P(An−1,n ) =
1
= [(P(A11 ) + . . . + P(A1n ))+ . . . +(P(An1 ) + . . . + P(Ann ))] .
2
Íî êàæäàÿ ñóììà âèäà P(Ai1 ) + . . . + P(Ain ) åñòü íå ÷òî èíîå, êàê âåðîÿòíîñòü
ïåðåñå÷åíèÿ ñòîðîíû wi ñ ïðÿìîé.  çàäà÷å 2.3 ìû ïîêàçàëè, ÷òî ýòà âåðîÿòíîñòü
ðàâíÿåòñÿ 2li /(aπ). Òàêèì îáðàçîì,
n
S
1 X 2li
=
.
P(A) = P(A5 ) =
2 i=1 aπ
2aπ
Êàê âèäíî, âåðîÿòíîñòü P(A) íå çàâèñèò îò ÷èñëà ñòîðîí n-óãîëüíèêà. Ïîñêîëüêó ëþáîé âûïóêëûé êîíòóð ìîæíî ñêîëü óãîäíî òî÷íî ïðèáëèçèòü íåêîòîðûì âûïóêëûì n-óãîëüíèêîì, èñêîìàÿ â çàäà÷å âåðîÿòíîñòü áóäåò íåîòëè÷èìî
áëèçêà ÷èñëó P(A). Îòâåò: S/(2aπ). ÄÎÌÀØÍÅÅ ÇÀÄÀÍÈÅ
ÇÀÄÀ×À 2.5. Ïîêàçàòü, ÷òî â óñëîâèÿõ çàäà÷è 2.1 îòâåòîì ìîæåò ÿâëÿòüñÿ
ëþáîå ÷èñëî íà îòðåçêå [0, 1].
ÇÀÄÀ×À 2.6. Äâå òî÷êè âûáèðàþòñÿ íàóäà÷ó íà îòðåçêå [−1, 1]. Ïóñòü p è
q êîîðäèíàòû ýòèõ òî÷åê. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
x2 + px + q = 0 áóäåò èìåòü âåùåñòâåííûå êîðíè.
ÇÀÄÀ×À 2.7. Íà îòðåçîê íàóäà÷ó îäíó çà äðóãîé áðîñàþò òðè òî÷êè. Êàêîâà
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òðåòüÿ ïî ñ÷åòó òî÷êà ïîïàäåò ìåæäó äâóìÿ ïåðâûìè?
ÇÀÄÀ×À 2.8.  êðóã âïèñàí êâàäðàò. Òî÷êà íàóäà÷ó áðîñàåòñÿ â êðóã. Íàéòè
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíà ïîïàäåò â êâàäðàò.
ÇÀÄÀ×À 2.9. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñóììà äâóõ íàóäà÷ó âçÿòûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, êàæäîå èç êîòîðûõ íå áîëüøå åäèíèöû, íå ïðåâçîéäåò åäèíèöû, à èõ ïðîèçâåäåíèå áóäåò íå áîëüøå 2/9?
ÇÀÄÀ×À 2.10. Íà îêðóæíîñòè íàóäà÷ó âûáðàíû òðè òî÷êè A, B è C . Íàéòè
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òðåóãîëüíèê ABC áóäåò îñòðîóãîëüíûì.
ÇÀÄÀ×À 2.11. Ñòåðæåíü åäèíè÷íîé äëèíû ðàçëîìàí â äâóõ íàóäà÷ó âûáðàííûõ òî÷êàõ. ×åìó ðàâíà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç ïîëó÷åííûõ îòðåçêîâ ìîæíî
ñîñòàâèòü òðåóãîëüíèê?
ÇÀÄÀ×À 2.12. Òî÷êà B ïðèíàäëåæèò îòðåçêó AC . Íà îòðåçîê AB äëèíû
a íàóäà÷ó áðîñàåòñÿ òî÷êà. Íà îòðåçîê BC äëèíû b òàêæå íàóäà÷ó áðîñàåòñÿ
òî÷êà. ×åìó ðàâíà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç îòðåçêîâ: 1) îò òî÷êè A äî ïåðâîé
22
áðîøåííîé òî÷êè, 2) ìåæäó äâóìÿ áðîøåííûìè òî÷êàìè, 3) îò âòîðîé áðîøåííîé òî÷êè äî òî÷êè C ìîæíî ñîñòàâèòü òðåóãîëüíèê?
ÇÀÄÀ×À 2.13. Íà îòðåçîê [0, 1] íàóäà÷ó áðîøåíà òî÷êà. Òî÷êà äåëèò îòðåçîê
íà äâå ÷àñòè. Ïóñòü ξ äëèíà áîëüøåé ÷àñòè, à η äëèíà ìåíüøåé ÷àñòè. Íàéòè
P(ξ < x) è P(η < x) ïðè ëþáîì x.
ÇÀÄÀ×À 2.14.  åäèíè÷íûé êâàäðàò íàóäà÷ó áðîøåíà òî÷êà A. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî ôèêñèðîâàííîé ñòîðîíû êâàäðàòà
áóäåò ìåíüøå x (äëÿ ëþáîãî x).
ÇÀÄÀ×À 2.15.  åäèíè÷íûé êâàäðàò íàóäà÷ó áðîøåíà òî÷êà A. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî áëèæàéøåé ñòîðîíû êâàäðàòà áóäåò
ìåíüøå x (äëÿ ëþáîãî x).
ÇÀÄÀ×À 2.16.  åäèíè÷íûé êâàäðàò íàóäà÷ó áðîøåíà òî÷êà A. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî öåíòðà êâàäðàòà áóäåò ìåíüøå x
(äëÿ ëþáîãî x).
ÇÀÄÀ×À 2.17.  åäèíè÷íûé êâàäðàò íàóäà÷ó áðîøåíà òî÷êà A. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî ôèêñèðîâàííîé âåðøèíû êâàäðàòà
áóäåò ìåíüøå x (äëÿ ëþáîãî x).
ÇÀÄÀ×À 2.18.  ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè äëèíû 1 è 2 íàóäà÷ó áðîøåíà
òî÷êà A. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî áëèæàéøåé
ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà áóäåò ìåíüøå x (äëÿ ëþáîãî x).
ÇÀÄÀ×À 2.19.  ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè äëèíû 1 è 2 íàóäà÷ó áðîøåíà
òî÷êà A. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî ëþáîé ñòîðîíû
ïðÿìîóãîëüíèêà áóäåò ìåíüøå x (äëÿ ëþáîãî x).
ÇÀÄÀ×À 2.20.  ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè äëèíû 1 è 2 íàóäà÷ó áðîøåíà
òî÷êà A. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè A äî äèàãîíàëåé
ïðÿìîóãîëüíèêà áóäóò ìåíüøå x (äëÿ ëþáîãî x).
23
3. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè è
íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé
ÇÀÍßÒÈÅ 3
Ðàññìîòðèì äâóêðàòíîå ïîäáðàñûâàíèå ïðàâèëüíîé èäåàëüíîé ìîíåòû. Òðåáóåòñÿ íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâà ðàçà ïîäðÿä âûïàäåò ãåðá ïðè óñëîâèè,
÷òî èçâåñòíî, ÷òî ãåðá âûïàäåò õîòÿ áû îäèí ðàç. Îáîçíà÷èì A = {ãåðá âûïàäåò
äâà ðàçà ïîäðÿä} è B = {ãåðá âûïàäåò õîòÿ áû îäèí ðàç}. Äëÿ íàõîæäåíèÿ
âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ A, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.12, òðåáóåòñÿ íàéòè îòíîøåíèå
êîëè÷åñòâà èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A, ê îáùåìó ÷èñëó ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé. Äîïîëíèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ, ïðåäîñòàâëÿåìàÿ ñîáûòèåì B ,
âåäåò ê ¾ñóæåíèþ¿ ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, òî åñòü íàì òåïåðü òðåáóåòñÿ íàéòè âåðîÿòíîñòü p, âûáèðàÿ èç èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ B , èñõîäû, áëàãîïðèÿòñòâóþùèå A. Òàêèì îáðàçîì, p = 1/3. Çàìåòèì, ÷òî
p=
1 P(AB)
=
,
3
P(B)
ïîñêîëüêó ñîáûòèå A öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â ñîáûòèè B .
Ðàññìîòðèì áîëåå îáùèé ñëó÷àé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ âêëþ÷àåò n ýëåìåíòîâ. Ïóñòü ñîáûòèå A âêëþ÷àåò k ýëåìåíòîâ,
ñîáûòèå B l ýëåìåíòîâ, ñîáûòèå AB m ýëåìåíòîâ. Èçâåñòíî, ÷òî ïðîèçîéäåò
ñîáûòèå B , òî åñòü ïðîèçîéäåò îäíî èç l ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé. Òðåáóåòñÿ íàéòè (â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðîèçîéäåò
ñîáûòèå A. Èç l ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ íàì áóäóò áëàãîïðèÿòñòâîâàòü ëèøü m
èñõîäîâ (ñîáûòèå AB ). Òàêèì îáðàçîì, èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü p ðàâíÿåòñÿ m/l.
Çàìåòèì, ÷òî
p=
m m/n P(AB)
=
=
.
l
l/n
P(B)
Âûøåîïèñàííûå ïðèìåðû îáîñíîâûâàþò ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 3.1. Ïóñòü A è B íåêîòîðûå ñîáûòèÿ, ïðè÷åì P(B) > 0.
Óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè, ÷òî èçâåñòíî, ÷òî ïðîèçî24
øëî ñîáûòèå B , íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
P(A| B) =
P(AB)
.
P(B)
Òåïåðü ðàññìîòðèì äâà ïðîèçâîëüíûõ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèÿ A è B . Ïóñòü, íàïðèìåð, A = {çàâòðà âûïàäåò ñíåã} è B = {â÷åðà èçìåíèëñÿ êóðñ ðóáëÿ}. ×åìó
ðàâíÿåòñÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïðîèçîøëî ñîáûòèå B ?
Î÷åâèäíî, ÷òî âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A îñòàåòñÿ íåèçìåííîé íåçàâèñèìî îò òîãî,
ïðîèçîøëî ñîáûòèå B èëè íåò. Òî åñòü ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî P(A| B) = P(A).
Èç îïðåäåëåíèÿ 3.1, â ñâîþ î÷åðåäü, ñëåäóåò (ïðè óñëîâèè P(B) > 0), ÷òî
P(AB) = P(A)P(B).
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 3.2. Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè
P(AB) = P(A)P(B).
(3.1)
Íå ñëåäóåò ïóòàòü ïîíÿòèÿ ¾íåñîâìåñòíîñòè¿ (îïðåäåëåíèå 1.10) è ¾íåçàâèñèìîñòè¿ ñîáûòèé.
ÇÀÄÀ×À 3.1. Ïóñòü P(A) > 0 è P(B) > 0. Ìîãóò ëè íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ A
è B áûòü íåñîâìåñòíûìè? Ìîãóò ëè íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ A è B áûòü íåçàâèñèìûìè?
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü A è B íåêîòîðûå íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ íåíóëåâîé âåðîÿòíîñòè. Èç (3.1) ñëåäóåò, ÷òî P(AB) > 0. Òàêèì îáðàçîì, íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè íå ìîãóò áûòü íåñîâìåñòíûìè. Ðàññìîòðèì äâà
íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèÿ A è B ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè. Î÷åâèäíî, ÷òî ðàâåíñòâî (3.1) â ýòîì ñëó÷àå íå âûïîëíÿåòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ
ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè íå ìîãóò áûòü íåçàâèñèìûìè. Íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1. åñëè P(B) > 0, òî íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé A è B ýêâèâàëåíòíà ðàâåíñòâó
P(A| B) = P(A);
2. åñëè ñîáûòèÿ A è B íåçàâèñèìû, òî A è B òàêæå íåçàâèñèìû;
3. åñëè ñîáûòèÿ A è B1 íåçàâèñèìû è ñîáûòèÿ A è B2 íåçàâèñèìû, ïðè÷åì
B1 B2 = ∅, òî ñîáûòèÿ A è B1 ∪ B2 íåçàâèñèìû.
ÇÀÄÀ×À 3.2. Ðàññìàòðèâàåòñÿ äâóêðàòíîå ïîäáðàñûâàíèå ïðàâèëüíîé èäåàëüíîé ìîíåòû. Ïîêàçàòü, ÷òî ñîáûòèÿ A = {â ïåðâîì ïîäáðàñûâàíèè âûïàäåò
ãåðá} è B = {âî âòîðîì ïîäáðàñûâàíèè âûïàäåò ðåøåòêà} ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè.
25
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü P êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü. Îáû÷íî íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé äîêàçûâàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ðàâåíñòâà (3.1).  äàííîì ñëó÷àå èìååì
1 1 1
= · = P(A)P(B). 4 2 2
ÇÀÄÀ×À 3.3. Ïóñòü Ω = {(ω1 , ω2 )| ω1 , ω2 ∈ [0, 1]} è
P(AB) = P({ãð}) =
A = {(ω1 , ω2 )| 0 ≤ ω1 ≤ 1, 0 < a ≤ ω2 ≤ 1},
B = {(ω1 , ω2 )| 0 < b ≤ ω1 ≤ 1, 0 ≤ ω2 ≤ 1},
C = {(ω1 , ω2 )| ω2 ≤ (ω1 − b)/(1 − b), ω1 , ω2 ∈ [0, 1]}
(ñì. ðèñ. 3.1). Ðàññìàòðèâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèé ( 2). Áóäóò
ëè ñîáûòèÿ A è B íåçàâèñèìûìè? Áóäóò ëè ñîáûòèÿ A è C íåçàâèñèìûìè?
ω2
1
a
0
b
1
Ðèñ. 3.1
ω1
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü P ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü.
Ïðîâåðèì ðàâåíñòâî (3.1) â îáîèõ ñëó÷àÿõ. Èìååì
P(AB) = (1 − a)(1 − b) = P(A)P(B), òî åñòü A è B
íåçàâèñèìû. Äàëåå, P(AC) = (1 − b)(1 − a)2 /2 6=
6= (1 − a)(1 − b)/2 = P(A)P(C). Òàêèì îáðàçîì, ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà (3.1) ìû ïîêàçàëè îòñóòñòâèå íåçàâèñèìîñòè A è C . ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 3.3. Ñîáûòèÿ B1 , . . . , Bn íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè, åñëè äëÿ ëþáûõ 1 ≤ i1 < . . . < ir ≤ n, r = 2, . . . , n,
P
r
\
k=1
!
Bik
=
r
Y
P(Bik ).
(3.2)
k=1
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 3.1. Äðóãèìè ñëîâàìè, ñîáûòèÿ ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè, åñëè äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà ýòèõ ñîáûòèé âåðîÿòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ ñîáûòèé ðàâíÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ âåðîÿòíîñòåé. Èç
íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé â ñîâîêóïíîñòè ýëåìåíòàðíî ñëåäóåò ïîïàðíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé (ñëó÷àé r = 2 â (3.2)).
ÇÀÄÀ×À 3.4. Ïîêàçàòü, ÷òî èç ïîïàðíîé íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé íå ñëåäóåò
íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé â ñîâîêóïíîñòè.
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü P êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü. Ðàññìîòðèì îäíîêðàòíîå
ïîäáðàñûâàíèå ïðàâèëüíîãî èäåàëüíîãî òåòðàýäðà, îäíà ãðàíü êîòîðîãî îêðàøåíà â êðàñíûé öâåò, âòîðàÿ â æåëòûé, òðåòüÿ â çåëåíûé, à íà ÷åòâåðòóþ ãðàíü
íàíåñåíû âñå òðè öâåòà. Ââåäåì ñëåäóþùèå ñîáûòèÿ: Ê = { òåòðàýäð óïàäåò íà
ãðàíü, ñîäåðæàùóþ êðàñíûé öâåò}, Æ = { òåòðàýäð óïàäåò íà ãðàíü, ñîäåðæàùóþ æåëòûé öâåò}, Ç = { òåòðàýäð óïàäåò íà ãðàíü, ñîäåðæàùóþ çåëåíûé
26
öâåò}. Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáûå äâà èç ýòèõ òðåõ ñîáûòèé ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè,
ïîñêîëüêó, íàïðèìåð, P(ÊÆ) = 1/4 = 1/2 · 1/2 = P(Ê)P(Æ). Îäíàêî
P(ÊÆÇ) =
1 1
6= = P(Ê)P(Æ)P(Ç),
4 8
èç ÷åãî ñëåäóåò, ÷òî äàííûå ñîáûòèÿ íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè.
Ïðèâåäåííûé ïðèìåð íàçûâàåòñÿ ïðèìåðîì Ñ. Í. Áåðíøòåéíà, êîòîðûé, êàê è
À. Í. Êîëìîãîðîâ, òîæå ïðåäëàãàë â íà÷àëå XX âåêà ñâîþ àêñèîìàòèêó òåîðèè
âåðîÿòíîñòåé.
Ìîæíî ïðèâåñòè åùå îäèí ïðèìåð, èëëþñòðèðóþùèé
A
óòâåðæäåíèå çàäà÷è, êîòîðûé ïî ñóòè ÿâëÿåòñÿ ãðàôè÷å1
ñêîé èíòåðïðåòàöèåé ïðèìåðà Áåðíøòåéíà. Ðàññìîòðèì
2
Ω = {(ω1 , ω2 )| 0 ≤ ω1 , ω2 ≤ 1}. Ñîáûòèÿ A, B è C ïîêàC
B
1
0
1
çàíû íà ðèñ. 3.2 (çàøòðèõîâàíû ðàçíûìè ñòèëÿìè). Ðàñ2
ñìàòðèâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèé. Î÷åÐèñ. 3.2
âèäíî, ÷òî äàííûå ñîáûòèÿ íåçàâèñèìû ïîïàðíî, íî íå
ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè. 1
ÇÀÄÀ×À 3.5. Äîêàçàòü, ÷òî
P(A1 . . . An ) = P(A1 ) · P(A2 | A1 ) · . . . · P(An | A1 . . . An−1 ),
(3.3)
åñëè âñå âõîäÿùèå â ïðàâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè îïðåäåëåíû.
ÐÅØÅÍÈÅ çàäà÷è ñîñòîèò â íåïîñðåäñòâåííîì ïðèìåíåíèè îïðåäåëåíèÿ 3.1.
Äåéñòâèòåëüíî,
P(A1 ) · P(A2 | A1 ) · . . . · P(An | A1 . . . An−1 ) =
= P(A1 ) ·
P(A1 A2 ) P(A1 A2 A3 )
P(A1 . . . An−1 An )
·
· ... ·
= P(A1 . . . An ). P(A1 )
P(A1 A2 )
P(A1 . . . An−1 )
ÇÀÄÀ×À 3.6. Èç óðíû, ñîäåðæàùåé 3 áåëûõ è 2 ÷åðíûõ øàðà, ïî ñõåìå ñëó÷àéíîãî âûáîðà áåç âîçâðàùåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíî èçâëåêàþòñÿ øàðû. Íàéòè
âåðîÿòíîñòü pk , k = 1, . . . , 4, òîãî, ÷òî ÷åðíûé øàð âïåðâûå ïîÿâèòñÿ ïðè k -ì
èñïûòàíèè.
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü P êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ci ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî â i-ì èñïûòàíèè ïîÿâèòñÿ ÷åðíûé øàð. Ïóñòü Bk =
= {âïåðâûå ÷åðíûé øàð ïîÿâèòñÿ ïðè k -ì èñïûòàíèè}. Òðåáóåòñÿ íàéòè pk =
= P(Bk ). Ñîáûòèÿ Bk ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç Ci è C i ñëåäóþùèì îáðàçîì:
B1 = C1 ,
B 2 = C 1 C2 ,
B 3 = C 1 C 2 C3 ,
B 4 = C 1 C 2 C 3 C4 .
Ïî ôîðìóëå (3.3) ïîëó÷àåì
P(B1 ) = P(C1 ),
P(B2 ) = P(C 1 )P(C2 | C 1 ),
27
P(B3 ) = P(C 1 )P(C 2 | C 1 )P(C3 | C 1 C 2 ),
P(B4 ) = P(C 1 )P(C 2 | C 1 )P(C 3 | C 1 C 2 )P(C4 | C 1 C 2 C 3 ).
Ïî êëàññè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ 1.13 âåðîÿòíîñòè èìååì
2
P(C1 ) = ,
5
3
P(C 1 ) = ,
5
P(C i+1 | C 1 . . . C i ) =
3−i
,
5−i
2
, i = 1, 2, 3.
5−i
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì p1 = 0.4, p2 = 0.3, p3 = 0.2 è p4 = 0.1. ÇÀÄÀ×À 3.7. Ðàçðûâ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïðîèñõîäèò â òîì ñëó÷àå, êîãäà
âûõîäèò èç ñòðîÿ õîòÿ áû îäèí èç òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ.
Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íå áóäåò ðàçðûâà öåïè, åñëè ýëåìåíòû âûõîäÿò
èç ñòðîÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà ñ âåðîÿòíîñòÿìè 0.3, 0.4 è 0.6. Êàê èçìåíèòñÿ
èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïåðâûé ýëåìåíò íå âûéäåò èç ñòðîÿ?
ÐÅØÅÍÈÅ. Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü p ðàâíà âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî íå âûéäóò
èç ñòðîÿ âñå òðè ýëåìåíòà. Îáîçíà÷èì Ak = {k -é ýëåìåíò íå âûéäåò èç ñòðîÿ},
k = 1, 2, 3. Òîãäà p = P(A1 A2 A3 ). Òàê êàê ñîáûòèÿ Ai ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè,
èìååì
P(Ci+1 | C 1 . . . C i ) =
p = P(A1 )P(A2 )P(A3 ) = (1 − 0.3) · (1 − 0.4) · (1 − 0.6) = 0.168.
Åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïåðâûé ýëåìåíò íå âûéäåò èç ñòðîÿ, òî
p = P(A1 A2 A3 | A1 ) = P(A2 )P(A3 ) = 0.24. ÄÎÌÀØÍÅÅ ÇÀÄÀÍÈÅ
ÇÀÄÀ×À 3.8. Ðåøèòü çàäà÷ó 3.1, åñëè õîòÿ áû îäíà èç âåðîÿòíîñòåé P(A) èëè
P(B) ðàâíÿåòñÿ íóëþ.
ÇÀÄÀ×À 3.9. Äîêàçàòü ñâîéñòâà íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé, ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì 1.12 âåðîÿòíîñòè.
ÇÀÄÀ×À 3.10. Ïóñòü ñîáûòèÿ A, B è C íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, ïðè÷åì
êàæäîå èç ýòèõ ñîáûòèé èìååò âåðîÿòíîñòü, îòëè÷íóþ îò íóëÿ è åäèíèöû. Ìîãóò
ëè ñîáûòèÿ AB , BC è AC áûòü ïîïàðíî íåçàâèñèìûìè è íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè? Èçìåíèòñÿ ëè îòâåò, åñëè õîòÿ áû îäíî èç ñîáûòèé A, B è C èìååò
âåðîÿòíîñòü íóëü èëè åäèíèöà?
ÇÀÄÀ×À 3.11.  åäèíè÷íûé êâàäðàò íàóäà÷ó áðîøåíà òî÷êà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òî÷êà áóäåò óäàëåíà îò öåíòðà êâàäðàòà íà ðàññòîÿíèå, ìåíüøåå
÷åì 1/3, åñëè èçâåñòíî, ÷òî îò êàæäîé èç ñòîðîí êâàäðàòà îíà óäàëåíà áîëüøå
÷åì íà 1/6?
28
ÇÀÄÀ×À 3.12. Ïóñòü ñîáûòèÿ A è B íåçàâèñèìû è A è C íåçàâèñèìû. Ïîêàçàòü, ÷òî A è B ∪ C ìîãóò íå áûòü íåçàâèñèìûìè.
ÇÀÄÀ×À 3.13. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè áðîñàíèè òðåõ èãðàëüíûõ
êîñòåé õîòÿ áû íà îäíîé âûïàäåò øåñòü î÷êîâ ïðè óñëîâèè, ÷òî íà âñåõ êîñòÿõ
âûïàäóò ãðàíè ñ ÷åòíûì ÷èñëîì î÷êîâ.
ÇÀÄÀ×À 3.14. Ñëåäóåò ëè ïîïàðíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé A1 , A2 è A3 èç
ðàâåíñòâà
P(A1 A2 A3 ) = P(A1 )P(A2 )P(A3 )?
ÇÀÄÀ×À 3.15. Ïóñòü A1 , . . . , An íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè ñîáûòèÿ. ÄîQn
êàçàòü, ÷òî P(∪ni=1 Ai ) = 1 − i=1 P(Ai ).
ÇÀÄÀ×À 3.16. Âåðíî ëè ðàâåíñòâî P(A| B) + P(A| B) = 1?
ÇÀÄÀ×À 3.17. Ïóñòü P(A| B) > P(B| A), P(A) > 0 è P(B) > 0. Âåðíî ëè, ÷òî
P(A) > P(B)?
ÇÀÄÀ×À 3.18. Íàóäà÷ó áðîøåíî äâå èãðàëüíûå êîñòè. Íàéòè óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âûïàäóò äâå ¾ïÿòåðêè¿, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ñóììà âûïàâøèõ
î÷êîâ äåëèòñÿ íà ïÿòü.
ÇÀÄÀ×À 3.19. Ïî öåëè ïðîèçâîäèòñÿ n íåçàâèñèìûõ âûñòðåëîâ. Âåðîÿòíîñòü
ïîïàäàíèÿ ïðè i-ì âûñòðåëå ðàâíà pi , i = 1, . . . , n. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
ïðè n âûñòðåëàõ áóäåò íå ìåíåå äâóõ ïîïàäàíèé.
ÇÀÄÀ×À 3.20. Èç êîëîäû â 36 êàðò íàóäà÷ó ïîñëåäîâàòåëüíî âûíóòû äâå êàðòû. Íàéòè: à) áåçóñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âòîðàÿ êàðòà îêàæåòñÿ òóçîì
(íåèçâåñòíî, êàêàÿ êàðòà áûëà âûíóòà âíà÷àëå); á) óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî âòîðàÿ êàðòà áóäåò òóçîì, åñëè ïåðâîíà÷àëüíî áûë âûíóò òóç.
29
4. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è
ôîðìóëà Áàéåñà
ÇÀÍßÒÈÅ 4
ÒÅÎÐÅÌÀ 4.1 (ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè). Ïóñòü A íåêîòîðîå ñîáûòèå, B1 , . . . , Bn ñóòü ïîïàðíî íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ, èìåþùèå ïîëîæèòåëüíûå âåðîÿòíîñòè è òàêèå, ÷òî A ⊂ ∪ni=1 Bi . Òîãäà èìååò ìåñòî ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè:
P(A) =
n
X
P(Bi )P(A| Bi ).
(4.1)
i=1
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 4.1. Åñëè ñîáûòèÿ B1 , . . . , Bn óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû 4.1 è ñâîéñòâó ∪ni=1 Bi = Ω, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíè îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó
ñîáûòèé.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 4.2. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé è â
ñëó÷àå, êîãäà ðàññìàòðèâàåìàÿ ñîâîêóïíîñòü ñîáûòèé Bi ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîé,
ïðè ýòîì âåðõíèé ïðåäåë ñóììèðîâàíèÿ n çàìåíÿåòñÿ íà ∞.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 4.3. Ñîîòíîøåíèå (4.1) ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó
Ω
Bi
A
P(A) =
n
X
P(ABi ).
i=1
Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè èìååò ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë: ïëîùàäü ôèãóðû ðàâíÿåòñÿ
ñóììå ïëîùàäåé ôèãóð, íà êîòîðûå îíà ¾ðàçðåçàíà¿ (ñì. ðèñ. 4.1).
ÒÅÎÐÅÌÀ 4.2 (ôîðìóëà Áàéåñà). Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 4.1.
Ïðåäïîëîæèì äîïîëíèòåëüíî, ÷òî P(A) > 0. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Áàéåñà
Ðèñ. 4.1
P(Bk )P(A| Bk )
P(Bk | A) = Pn
.
P(B
)P(A|
B
)
i
i
i=1
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 4.4. Òåîðåìà 4.2 ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíûì ñëåäñòâèåì òåîðåìû 4.1 è àññîöèèðóåòñÿ ñ èìåíåì Ò. Áàéåñà ñ ëåãêîé ðóêè Ï. Ëàïëàñà. Ñàì
Áàéåñ çàíèìàëñÿ äðóãèìè çàäà÷àìè, ïîäðîáíåå ñì., íàïðèìåð, [1].
30
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 4.5. Ñîáûòèÿ Bk â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû 4.2 ïðèíÿòî íàçûâàòü ãèïîòåçàìè. Çàìåòèì, ÷òî ïîíÿòèå ãèïîòåçû èìååò ñîâåðøåííî èíîé ñìûñë
â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Âîîáùå ãîâîðÿ, ãèïîòåçà åñòü ïðåäïîëîæåíèå, à íå
ñîáûòèå. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ìû íå áóäåì óïîòðåáëÿòü èñòîðè÷åñêè ñëîæèâøóþñÿ
òåðìèíîëîãèþ ïðèìåíèòåëüíî ê ñîáûòèÿì Bk .
ÇÀÄÀ×À 4.1.  ÿùèê, ñîäåðæàùèé 8 èñïðàâíûõ èçäåëèé, äîáàâëåíî 2 èçäåëèÿ, âçÿòûõ ñî ñêëàäà. Èçâåñòíî, ÷òî äîëÿ áðàêîâàííûõ èçäåëèé íà ñêëàäå ðàâíà
5%. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âçÿòîå íàóäà÷ó èç ïîïîëíåííîãî ÿùèêà èçäåëèå
íå áóäåò áðàêîâàííûì.
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü P êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü.  äàííîé çàäà÷å íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü àïðèîðè, ñêîëüêî áðàêîâàííûõ èçäåëèé äîáàâëåíî â ÿùèê. Ïðè
ýòîì ëåãêî ïåðå÷èñëèòü âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû âûáîðà èçäåëèé ñî ñêëàäà: ìû
ìîæåì âçÿòü â òî÷íîñòè íóëü, îäíî èëè äâà áðàêîâàííûõ èçäåëèÿ èíîãî íå
äàíî. Òàêèì îáðàçîì, ìû ðàçáèâàåì âñå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ íà
ïîëíóþ ãðóïïó ñîáûòèé Bk = {èç äâóõ èçäåëèé, âçÿòûõ ñî ñêëàäà, ðîâíî k áóäóò áðàêîâàííûìè}, k = 0, 1, 2, ïîñêîëüêó B0 ∪ B1 ∪ B2 = Ω è Bk Bl = ∅, k 6= l.
Âîçíèêíîâåíèå ïîëíîé ãðóïïû ñîáûòèé â ôîðìóëèðîâêå çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ âåðíûì ïðèçíàêîì òîãî, ÷òî ïðè ðåøåíèè íàì ïðèäåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé
ïîëíîé âåðîÿòíîñòè èëè ôîðìóëîé Áàéåñà. Ïóñòü A = {èçäåëèå, âçÿòîå èç ïîïîëíåííîãî ÿùèêà, áóäåò íå áðàêîâàííûì}. Òðåáóåòñÿ íàéòè P(A). Âîñïîëüçóåìñÿ
ôîðìóëîé ïîëíîé âåðîÿòíîñòè:
P(A) = P(B0 )P(A| B0 ) + P(B1 )P(A| B1 ) + P(B2 )P(A| B2 ).
Î÷åâèäíî, ÷òî
10 − k
, k = 0, 1, 2,
10
ïîñêîëüêó, åñëè ïðîèçîéäåò ñîáûòèå Bk , òî â ÿùèêå áóäåò 10 − k èñïðàâíûõ
èçäåëèé. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî íà ñêëàäå èìååòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî èçäåëèé, ìû
ïîëó÷àåì, ÷òî âåðîÿòíîñòü âçÿòü îäíî áðàêîâàííîå èçäåëèå ñî ñêëàäà ðàâíÿåòñÿ
0.05, ïðè÷åì ýòà âåðîÿòíîñòü íå èçìåíèòñÿ, êîãäà ìû áóäåì áðàòü âòîðîå èçäåëèå.
Ñ÷èòàÿ, ÷òî êàæäîå äîáàâëåííîå èçäåëèå ìîæåò áûòü áðàêîâàííûì íåçàâèñèìî
îò äðóãîãî, ïîëó÷àåì
P(A| Bk ) =
P(B0 ) = 0.952 , P(B1 ) = 0.05 · 0.95 + 0.95 · 0.05, P(B2 ) = 0.052 .
Ñëåäîâàòåëüíî, P(A) = 0.99. ÇÀÄÀ×À 4.2. Èç óðíû, ñîäåðæàùåé 4 áåëûõ è 2 ÷åðíûõ øàðà, ïî ñõåìå âûáîðà
áåç âîçâðàùåíèÿ îòîáðàëè 2 øàðà. Øàð, âçÿòûé íàóäà÷ó èç ýòèõ äâóõ, îêàçàëñÿ
áåëûì. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âòîðîé øàð òîæå áåëûé?
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü P êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü. Çäåñü, êàê è â ïðåäûäóùåé
çàäà÷å, ìû èìååì äåëî ñ ïîëíîé ãðóïïîé ñîáûòèé Bk = {ñðåäè äâóõ îòîáðàííûõ
èç óðíû øàðîâ ðîâíî k áåëûõ}, k = 0, 1, 2. Ïóñòü A = {øàð, âçÿòûé íàóäà÷ó èç
31
äâóõ îòîáðàííûõ, áåëûé}. Òðåáóåòñÿ íàéòè óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü P(B2 | A). Ïî
ôîðìóëå Áàéåñà èìååì
P(B2 | A) =
P(B2 )P(A| B2 )
.
P(B0 )P(A| B0 ) + P(B1 )P(A| B1 ) + P(B2 )P(A| B2 )
Ïîëüçóÿñü ðàññóæäåíèÿìè, ïðèâåäåííûìè â ðåøåíèè çàäà÷è 1.5, ïîëó÷àåì
P(B0 ) =
C22
1
C41 C21
8
C42
6
=
,
P(B
)
=
=
,
P(B
)
=
=
.
1
2
C62
15
C62
15
C62
15
Èç äâóõ îòîáðàííûõ øàðîâ áåëûé øàð ìîæíî èçâëå÷ü ñ âåðîÿòíîñòÿìè
P(A| B0 ) = 0,
P(A| B1 ) = 0.5,
P(A| B2 ) = 1.
Ñëåäîâàòåëüíî, P(B2 | A) = 0.6. ÇÀÄÀ×À 4.3. Òåëåãðàôíîå ñîîáùåíèå ñîñòîèò èç ñèãíàëîâ ¾òî÷êà¿ è ¾òèðå¿.
Ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà ïîìåõ òàêîâû, ÷òî èñêàæàþòñÿ â ñðåäíåì 2/5 ñîîáùåíèé ¾òî÷êà¿ è 1/3 ñîîáùåíèé ¾òèðå¿. Èçâåñòíî, ÷òî ñðåäè ïåðåäàâàåìûõ ñèãíàëîâ ¾òî÷êà¿ è ¾òèðå¿ âñòðå÷àþòñÿ â îòíîøåíèè 5 : 3. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü
òîãî, ÷òî áóäåò ïðèíÿò ïåðåäàâàåìûé ñèãíàë, åñëè à) áóäåò ïðèíÿò ñèãíàë ¾òî÷êà¿; á) áóäåò ïðèíÿò ñèãíàë ¾òèðå¿.
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü A = {ïðèíÿò ñèãíàë ¾òî÷êà¿} è B = {ïðèíÿò ñèãíàë
¾òèðå¿}. Ñîáûòèÿ C1 = {ïåðåäàí ñèãíàë ¾òî÷êà¿} è C2 = {ïåðåäàí ñèãíàë
¾òèðå¿} îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó. Ïî óñëîâèþ
P(C1 ) : P(C2 ) = 5 : 3,
ñëåäîâàòåëüíî, P(C1 ) = 5/8 è P(C2 ) = 3/8. Ïîñêîëüêó
3
P(A| C1 ) = ,
5
1
P(A| C2 ) = ,
3
2
P(B| C1 ) = ,
5
ïî ôîðìóëå Áàéåñà èìååì
2
P(B| C2 ) = ,
3
P(C1 | A) =
P(C2 | B) =
32
P(C1 )P(A| C1 )
3
= ,
P(C1 )P(A| C1 ) + P(C2 )P(A| C2 ) 4
P(C2 )P(B| C2 )
1
= .
P(C1 )P(B| C1 ) + P(C2 )P(B| C2 ) 2
ÄÎÌÀØÍÅÅ ÇÀÄÀÍÈÅ
ÇÀÄÀ×À 4.4. Äîêàçàòü òåîðåìû 4.1 è 4.2.
ÇÀÄÀ×À 4.5. Èìåþòñÿ òðè íåîòëè÷èìûå óðíû.  ïåðâîé óðíå íàõîäèòñÿ N1
áåëûõ è M1 ÷åðíûõ, âî âòîðîé N2 áåëûõ è M2 ÷åðíûõ, â òðåòüåé N3 áåëûõ
è M3 ÷åðíûõ øàðîâ. Íàóäà÷ó âûáèðàåòñÿ îäíà èç óðí è èç íåå âûáèðàþòñÿ áåç
âîçâðàùåíèÿ äâà øàðà. Îäèí èç íèõ îêàçàëñÿ áåëûì, äðóãîé ÷åðíûì. Íàéòè
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âûáîð ïðîèçâîäèëñÿ èç ïåðâîé (âòîðîé, òðåòüåé) óðíû.
ÇÀÄÀ×À 4.6.  ïåðâîé óðíå N1 áåëûõ è M1 ÷åðíûõ øàðîâ, âî âòîðîé N2
áåëûõ è M2 ÷åðíûõ øàðîâ. Èç ïåðâîé óðíû âî âòîðóþ ïåðåêëàäûâàþò øàð.
Ïîñëå ýòîãî èç âòîðîé óðíû èçâëåêàþò îäèí øàð. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
îí îêàæåòñÿ áåëûì?
ÇÀÄÀ×À 4.7. Äâà ñòðåëêà ñòðåëÿþò ïî ìèøåíè. Îäèí èç íèõ ïîïàäàåò â
öåëü â ñðåäíåì â 5 ñëó÷àÿõ, à âòîðîé â 8 ñëó÷àÿõ èç 10. Ïåðåä âûñòðåëîì
îíè áðîñàþò ïðàâèëüíóþ ìîíåòó äëÿ îïðåäåëåíèÿ î÷åðåäíîñòè. Ïîñòîðîííèé
íàáëþäàòåëü âèäèò, ÷òî ñòðåëîê ïîïàë â öåëü, íî íå çíàåò, êòî â äàííûé ìîìåíò
ñòðåëÿë. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñòðåëÿë ïåðâûé ñòðåëîê?
ÇÀÄÀ×À 4.8.  ïåðâîé óðíå N1 áåëûõ è M1 ÷åðíûõ, âî âòîðîé N2 áåëûõ
è M2 ÷åðíûõ øàðîâ. Èç ïåðâîé óðíû áåç âîçâðàùåíèÿ èçâëåêàþòñÿ n1 øàðîâ, à
èç âòîðîé n2 øàðîâ. Âñå èçâëå÷åííûå øàðû êëàäóòñÿ â òðåòüþ óðíó, èç êîòîðîé íàóäà÷ó èçâëåêàåòñÿ îäèí øàð. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îí îêàæåòñÿ
áåëûì?
ÇÀÄÀ×À 4.9.  óðíå ïåðâîíà÷àëüíî íàõîäèëîñü N áåëûõ è M ÷åðíûõ øàðîâ.
Îäèí øàð ïîòåðÿí, è öâåò åãî íåèçâåñòåí. Èç óðíû áåç âîçâðàùåíèÿ èçâëå÷åíû
äâà øàðà, è îáà îêàçàëèñü áåëûìè. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîòåðÿí
áåëûé øàð.
ÇÀÄÀ×À 4.10. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ñïðàâî÷íîå áþðî â òå÷åíèå ÷àñà îáðàòÿòñÿ k ÷åëîâåê, ðàâíà λk exp{−λ}/k! ïðè íåêîòîðîì λ > 0. Êàæäûé ÷åëîâåê
ïîëó÷àåò îòêàç íåçàâèñèìî îò äðóãèõ, âåðîÿòíîñòü îòêàçà ðàâíà p. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â òå÷åíèå ÷àñà ðîâíî s ÷åëîâåê íå ïîëó÷àò îòâåò íà ñâîé
âîïðîñ.
ÇÀÄÀ×À 4.11.  ïåðâîé óðíå íàõîäèòñÿ N1 áåëûõ è M1 ÷åðíûõ, âî âòîðîé N2 áåëûõ è M2 ÷åðíûõ, â òðåòüåé N3 áåëûõ è M3 ÷åðíûõ øàðîâ. Èç ïåðâîé
óðíû íàóäà÷ó èçâëåêàþò îäèí øàð è ïåðåêëàäûâàþò âî âòîðóþ óðíó. Çàòåì
ïåðåêëàäûâàþò îäèí øàð èç âòîðîé óðíû â òðåòüþ è, íàêîíåö, èç òðåòüåé â
ïåðâóþ. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ñîñòàâ øàðîâ â ïåðâîé óðíå îñòàíåòñÿ ïðåæíèì?
ÇÀÄÀ×À 4.12.  óðíå 7 áåëûõ è 3 ÷åðíûõ øàðà. Áåç âîçâðàùåíèÿ èçâëåêàþòñÿ
3 øàðà. Èçâåñòíî, ÷òî ñðåäè íèõ åñòü ÷åðíûé øàð. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
äðóãèå äâà øàðà îêàæóòñÿ áåëûìè?
ÇÀÄÀ×À 4.13. Óðíà ñîäåðæèò îäèí øàð, ïðî êîòîðûé èçâåñòíî, ÷òî îí ëèáî
áåëûé, ëèáî ÷åðíûé ñ îäèíàêîâûìè âåðîÿòíîñòÿìè.  óðíó êëàäóò îäèí áåëûé
33
øàð è çàòåì íàóäà÷ó èçâëåêàþò îäèí øàð. Îí îêàçàëñÿ áåëûì. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îñòàâøèéñÿ â óðíå øàð áóäåò áåëûì?
ÇÀÄÀ×À 4.14. Ãðóïïà ñòóäåíòîâ, ñäàþùàÿ ýêçàìåí, ñîñòîèò èç 5 îòëè÷íèêîâ,
10 õîðîøèõ ñòóäåíòîâ è 15 ñëàáûõ ñòóäåíòîâ; îòëè÷íèê âñåãäà ïîëó÷àåò îöåíêó îòëè÷íî, õîðîøèé ñòóäåíò îòëè÷íî è õîðîøî ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè,
ñëàáûé ñòóäåíò õîðîøî, óäîâëåòâîðèòåëüíî è íåóäîâëåòâîðèòåëüíî ñ ðàâíûìè
âåðîÿòíîñòÿìè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íàóãàä âûçâàííûé ñòóäåíò ïîëó÷èò îöåíêó: à) îòëè÷íî; á) õîðîøî; â) óäîâëåòâîðèòåëüíî?
ÇÀÄÀ×À 4.15.  ïåðâîé óðíå íàõîäèòñÿ 1 áåëûé è 9 ÷åðíûõ øàðîâ, à âî
âòîðîé 1 ÷åðíûé è 5 áåëûõ. Èç êàæäîé óðíû ïî ñõåìå ñëó÷àéíîãî âûáîðà áåç
âîçâðàùåíèÿ óäàëèëè ïî îäíîìó øàðó, à îñòàâøèåñÿ øàðû ïîëîæèëè â òðåòüþ
óðíó. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî øàð, âûíóòûé èç òðåòüåé óðíû, îêàæåòñÿ
áåëûì.
ÇÀÄÀ×À 4.16.  ïåðâîé óðíå ëåæèò 1 áåëûé øàð è 4 êðàñíûõ, à âî âòîðîé 1 áåëûé è 7 êðàñíûõ.  ïåðâóþ óðíó äîáàâëÿþò äâà øàðà, íàóäà÷ó âûáðàííûõ
èç âòîðîé óðíû. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî øàð, âûáðàííûé èç ïîïîëíåííîé
ïåðâîé óðíû, áóäåò áåëûì.
ÇÀÄÀ×À 4.17. Ïóñòü â óñëîâèÿõ çàäà÷è 4.16 èç ïîïîëíåííîé ïåðâîé óðíû ïî
ñõåìå ñëó÷àéíîãî âûáîðà ñ âîçâðàùåíèåì èçâëåêàþò k øàðîâ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü
òîãî, ÷òî âñå îíè áóäóò áåëûìè.
ÇÀÄÀ×À 4.18.  îäíîé óðíå ñîäåðæèòñÿ 1 áåëûé è 2 ÷åðíûõ øàðà, à â äðóãîé
óðíå 2 áåëûõ è 3 ÷åðíûõ.  òðåòüþ óðíó êëàäóò äâà øàðà, íàóäà÷ó âûáðàííûõ èç ïåðâîé óðíû, è äâà øàðà, íàóäà÷ó âûáðàííûõ èç âòîðîé óðíû. Êàêîâà
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî øàð, èçâëå÷åííûé èç òðåòüåé óðíû, áóäåò áåëûì?
ÇÀÄÀ×À 4.19.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 4.18 íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè âûáîðå
ñ âîçâðàùåíèåì èç òðåòüåé óðíû äâóõ øàðîâ îäèí èç íèõ áóäåò áåëûì, à äðóãîé
÷åðíûì.
ÇÀÄÀ×À 4.20. Ðåøèòü çàäà÷ó 4.19 äëÿ ñõåìû âûáîðà áåç âîçâðàùåíèÿ.
34
5. Ñõåìà Áåðíóëëè
ÇÀÍßÒÈÅ 5
Ïîñòàâèì íåêîòîðîìó ýêñïåðèìåíòó (èñïûòàíèþ) â ñîîòâåòñòâèå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ñîáûòèé, êðîìå äîñòîâåðíîãî è íåâîçìîæíîãî ñîáûòèé, âêëþ÷àåò ëèøü äâà ýëåìåíòà A1 è A1 (çäåñü ìû âïåðâûå ðàññìàòðèâàåì ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ñîáûòèé
íå êàê ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ Ω1 ). Ïóñòü íà äàííîì ìíîæåñòâå ñîáûòèé
çàäàíà íåêîòîðàÿ âåðîÿòíîñòü P1 . Íàçîâåì ñîáûòèå A1 ¾óñïåõîì¿, à ñîáûòèå
A1 ¾íåóñïåõîì¿. Ïóñòü âåðîÿòíîñòü ¾óñïåõà¿ èçâåñòíà è ðàâíÿåòñÿ p, òî åñòü
P1 (A1 ) = p. Ðàññìîòðèì òåïåðü íîâûé ýêñïåðèìåíò, ñîñòîÿùèé èç ñåðèè n èñïûòàíèé, îïèñûâàåìûõ ïðîñòðàíñòâàìè Ωi (òî÷íûìè êîïèÿìè Ω1 ), â êàæäîì èç
êîòîðûõ èìååòñÿ ñâîé ¾óñïåõ¿ Ai è ¾íåóñïåõ¿ Ai , ïðè÷åì âåðîÿòíîñòü ¾óñïåõà¿
P1 (Ai ) ðàâíÿåòñÿ p äëÿ âñåõ i = 1, . . . , n è, êðîìå òîãî, âñå èñïûòàíèÿ ÿâëÿþòñÿ
íåçàâèñèìûìè, òî åñòü
P1
Aδ11 · . . . · Aδnn
=
n
Y
P1
Aδi i
(5.1)
i=1
äëÿ âñåõ íàáîðîâ (δ1 , . . . , δn ), δi ∈ {0, 1}, i = 1, . . . , n, ãäå ñîáûòèå Aδi i åñòü
¾óñïåõ¿ â i-ì èñïûòàíèè, åñëè δi = 1, è ¾íåóñïåõ¿, åñëè δi = 0. Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ ëþáîé öåïî÷êè äëèíû n, ñîñòîÿùåé èç ¾óñïåõîâ¿ è ¾íåóñïåõîâ¿, âåðîÿòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ ñîáûòèé ðàâíÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòåé ñîáûòèé, òî åñòü äàííàÿ öåïî÷êà ñîñòîèò èç íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé. Ëåãêî ïîêàçàòü,
÷òî âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (5.1) âëå÷åò íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé Aδ11 , . . . , Aδnn â
ñîâîêóïíîñòè. Ïîñòðîåííóþ ìîäåëü íàçûâàþò ñõåìîé íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé
Áåðíóëëè.
Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω îïèñûâàåò ñõåìó n èñïûòàíèé
Áåðíóëëè, òî åñòü êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó èñõîäó ω ∈ Ω ñòàâèòñÿ âî âçàèìíî
îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðàÿ öåïî÷êà Aδ11 , . . . , Aδnn èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, íåêîòîðûé äâîè÷íûé íàáîð (δ1 , . . . , δn ). Îñíîâûâàÿñü íà ðàâåíñòâå (5.1),
îïðåäåëèì íà êàæäîì îäíîòî÷å÷íîì ìíîæåñòâå {ω} âåðîÿòíîñòü P ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
P({ω}) = pk (1 − p)n−k ,
(5.2)
35
ãäå k åñòü ÷èñëî ¾óñïåõîâ¿ â n èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, ÷èñëî åäèíèö â íàáîðå (δ1 , . . . , δn ). Ïóñòü (ñëó÷àéíàÿ) âåëè÷èíà ξn ðàâíÿåòñÿ ÷èñëó
¾óñïåõîâ¿ â n èñïûòàíèÿõ. Òîãäà äëÿ âåðîÿòíîñòè P (n, k) ïîÿâëåíèÿ ðîâíî k
¾óñïåõîâ¿ â n èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
X
P (n, k) = P(ξn = k) =
P({ω}) = Cnk pk (1 − p)n−k ,
(5.3)
ω: δ1 +...+δn =k
ïîñêîëüêó ÷èñëî ñî÷åòàíèé Cnk åñòü ÷èñëî âñåõ äâîè÷íûõ íàáîðîâ äëèíû n, âêëþ÷àþùèõ â òî÷íîñòè k åäèíèö. Êàê ìû óâèäèì â 7, ÷èñëà P (n, k) îïðåäåëÿþò
òàê íàçûâàåìîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, èëè ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè, ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξn . Çàìåòèì, ÷òî äîâîëüíî ÷àñòî ïîä ðàñïðåäåëåíèåì Áåðíóëëè
ïîäðàçóìåâàþò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðè n = 1.
ÇÀÄÀ×À 5.1. Íàéòè âåðîÿòíîñòü R(n, k) ïîÿâëåíèÿ íå ìåíåå k ¾óñïåõîâ¿ â
ñõåìå n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè (k = 0, . . . , n).
ÐÅØÅÍÈÅ. Î÷åâèäíî, ÷òî èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
R(n, k) =
n
X
i=k
P (n, i) = 1 −
k−1
X
P (n, i).
(5.4)
i=0
Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè R(n, 1) ïîÿâëåíèÿ õîòÿ áû
îäíîãî ¾óñïåõà¿ â n èñïûòàíèÿõ, êîòîðàÿ âû÷èñëÿåòñÿ ÷åðåç âåðîÿòíîñòü äîïîëíèòåëüíîãî ñîáûòèÿ ïî ôîðìóëå
R(n, 1) = 1 − (1 − p)n . ÇÀÄÀ×À 5.2. ×òî âåðîÿòíåå âûèãðàòü ó ðàâíîñèëüíîãî ïðîòèâíèêà (íè÷åéíûé èñõîä ïàðòèè èñêëþ÷åí): à) òðè ïàðòèè èç ÷åòûðåõ èëè ïÿòü ïàðòèé èç
âîñüìè; á) íå ìåíåå òðåõ ïàðòèé èç ÷åòûðåõ èëè íå ìåíåå ïÿòè ïàðòèé èç âîñüìè?
ÐÅØÅÍÈÅ. Òàê êàê ïðîòèâíèêè ðàâíîñèëüíûå, òî âåðîÿòíîñòü ¾óñïåõà¿ (âûèãðûøà) â êàæäîì èñïûòàíèè (ïàðòèè) ðàâíà 1/2. Äëÿ òîãî ÷òîáû îòâåòèòü
íà âîïðîñû çàäà÷è, äîñòàòî÷íî íàéòè âåðîÿòíîñòè P (4, 3), P (8, 5), R(4, 3) è
R(8, 5). Ïî ôîðìóëàì (5.3) è (5.4) ïîëó÷àåì
1
1
7
1
P (4, 3) = C43 4 = >
= C85 8 = P (8, 5),
2
4 32
2
4
X
8
X
5
93
R(4, 3) =
P (4, i) =
<
=
P (8, i) = R(8, 5). 16
256
i=3
i=5
ÇÀÄÀ×À 5.3.  ïàðòèè èç n = 200 èçäåëèé êàæäîå èçäåëèå íåçàâèñèìî îò
îñòàëüíûõ ìîæåò áûòü áðàêîâàííûì ñ âåðîÿòíîñòüþ p = 0.01. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷èñëî áðàêîâàííûõ èçäåëèé â ýòîé ïàðòèè áóäåò ðàâíî òðåì.
36
ÐÅØÅÍÈÅ. Áóäåì ïîíèìàòü ïîä ¾óñïåõîì¿ ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî èçäåëèå ÿâëÿåòñÿ áðàêîâàííûì. Èñïûòàíèå Áåðíóëëè ñîñòîèò â ïðîâåðêå èçäåëèÿ
íà áðàê. Òðåáóåòñÿ íàéòè âåðîÿòíîñòü P (200, 3). Ïî ôîðìóëå (5.3) èìååì
3
P (200, 3) = C200
(0.01)3 (0.99)197 .
Âû÷èñëèòü âðó÷íóþ ïðàâóþ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ïðåäñòàâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî òðóäíîé çàäà÷åé. Îäíàêî èìåÿ êàëüêóëÿòîð, ìîæíî ïîëó÷èòü îòâåò:
P (200, 3) ≈ 0.18136. ÇÀÄÀ×À 5.4.  ïàðòèè èç n = 22 500 èçäåëèé êàæäîå èçäåëèå íåçàâèñèìî
îò äðóãèõ ìîæåò áûòü áðàêîâàííûì ñ âåðîÿòíîñòüþ p = 0.2. Íàéòè âåðîÿòíîñòü
òîãî, ÷òî ÷èñëî ξn áðàêîâàííûõ èçäåëèé áóäåò çàêëþ÷åíî ìåæäó 4380 è 4560.
ÐÅØÅÍÈÅ. Òàê æå, êàê è â çàäà÷å 5.3, áóäåì ïîíèìàòü ïîä ¾óñïåõîì¿ ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî èçäåëèå ÿâëÿåòñÿ áðàêîâàííûì. Î÷åâèäíî, ÷òî èñêîìàÿ
âåðîÿòíîñòü P íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
P =
4560
X
4560
X
P (22500, k) =
k=4380
k
C22500
(0.2)k (0.8)22500−k .
k=4380
Äëÿ òîãî ÷òîáû äîâåñòè äî ÷èñëà ïðàâóþ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà, óæå íåäîñòàòî÷íî ìîùíîãî êàëüêóëÿòîðà òðåáóåòñÿ íàïèñàòü ïðîãðàììó íà êîìïüþòåðå. Êàê ìû âèäèì, íàõîæäåíèå âåðîÿòíîñòåé P (n, k) ìîæåò áûòü ñîïðÿæåíî ñ
áîëüøèìè âû÷èñëèòåëüíûìè ñëîæíîñòÿìè. Îäíàêî ñóùåñòâóþò ñïîñîáû áûñòðîé è äîñòàòî÷íî òî÷íîé îöåíêè ýòèõ âåðîÿòíîñòåé. Ìåòîäû òàêèõ îöåíîê äàþò
äâå íèæåñëåäóþùèå òåîðåìû.
Äîîïðåäåëèì ÷èñëà P (n, k) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
P (n, k) =
(
Cnk pk (1 − p)n−k
0
ïðè k = 0, . . . , n;
ïðè k = n + 1, n + 2, . . .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ¾óñïåõà¿ â îäíîì èñïûòàíèè äëÿ ñõåìû, ñîñòîÿùåé èç n èñïûòàíèé, çàâèñèò îò n, è îáîçíà÷èì åå ÷åðåç pn . Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
ÒÅÎÐÅÌÀ 5.1 (òåîðåìà Ïóàññîíà). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî pn −→ 0 ïðè n → ∞
òàê, ÷òî pn n −→ λ ïðè n → ∞, ãäå λ íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.
Òîãäà äëÿ âñåõ k = 0, 1, . . . ïðè n → ∞ èìååò ìåñòî àñèìïòîòèêà
P (n, k) −→ πk ,
ãäå ÷èñëà πk îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèåì
πk = e−λ
λk
.
k!
(5.5)
37
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 5.1. Ïðè ïðàêòè÷åñêîì ïðèìåíåíèè òåîðåìû 5.1 ïðåäïîëàãàþò,
÷òî pn = p ôèêñèðîâàííàÿ âåðîÿòíîñòü ¾óñïåõà¿ â ñõåìå ñ çàäàííûì ÷èñëîì
èñïûòàíèé n, ÷èñëî λ ïîëàãàþò ðàâíûì np.  ýòîì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâà àïïðîêñèìàöèÿ
P (n, k) ≈ πk .
 7 áóäåò ïîêàçàíà ñâÿçü ÷èñåë πk ñ òàê íàçûâàåìûì ïóàññîíîâñêèì çàêîíîì
ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 5.2. Òåîðåìà Ïóàññîíà äàåò õîðîøåå ïðèáëèæåíèå, åñëè âåëè÷èíà p äîñòàòî÷íî ìàëà îòíîñèòåëüíî îáùåãî ÷èñëà èñïûòàíèé n. Ìû áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî, åñëè np2 < 0.1.
ÒÅÎÐÅÌÀ 5.2 (èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà ÌóàâðàËàïëàñà). Ïóñòü p = const,
ξn ÷èñëî ¾óñïåõîâ¿ â n èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè. Òîãäà ïðè n → ∞ èìååò ìåñòî
àñèìïòîòèêà
ξn − np
≤ x2
P x1 ≤ p
np(1 − p)
!
1
−→ √
2π
Zx2
u2
e− 2 du
(5.6)
x1
ðàâíîìåðíî ïî x1 è x2 (−∞ ≤ x1 ≤ x2 ≤ +∞).
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 5.3. Ïðè âû÷èñëåíèè ïðàâîé ÷àñòè ñîîòíîøåíèÿ (5.6) èñïîëüçóþòñÿ ôóíêöèè
1
Φ(x) = √
2π
Zx
2
− u2
e
du
è
−∞
1
Φ0 (x) = √
2π
Zx
u2
e− 2 du,
0
çíà÷åíèÿ êîòîðûõ ïðè çàäàííûõ x ìîæíî íàéòè â òàáëèöàõ (ñì. Ïðèëîæåíèå).
 7 áóäåò ïîêàçàíà ñâÿçü äàííûõ ôóíêöèé ñ òàê íàçûâàåìûì íîðìàëüíûì
çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 5.4. Òåîðåìà 5.2 äàåò õîðîøåå ïðèáëèæåíèå â ñëó÷àå, êîãäà
âåëè÷èíà np(1 − p) äîñòàòî÷íî âåëèêà. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî, åñëè np(1 − p) > 20.
Äëÿ òîãî ÷òîáû óáåäèòüñÿ â äåéñòâåííîñòè ïðèìåíåíèÿ òåîðåì 5.1 è 5.2, ðåøèì çàäà÷è 5.3 è 5.4, íåçíà÷èòåëüíî èçìåíèâ èõ óñëîâèÿ.
ÇÀÄÀ×À 5.5.  ïàðòèè èç n = 200 èçäåëèé êàæäîå èçäåëèå íåçàâèñèìî îò
îñòàëüíûõ ìîæåò áûòü áðàêîâàííûì ñ âåðîÿòíîñòüþ p = 0.01. Îöåíèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷èñëî áðàêîâàííûõ èçäåëèé â ýòîé ïàðòèè áóäåò ðàâíî òðåì.
ÐÅØÅÍÈÅ. Îöåíèì âåðîÿòíîñòü P (200, 3) ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ïóàññîíà.
Äåéñòâèòåëüíî, òåîðåìà 5.1 äàåò õîðîøåå ïðèáëèæåíèå, ïîñêîëüêó âåëè÷èíà
np2 = 0.02 äîñòàòî÷íî ìàëà. Èìååì λ = np = 2,
P (200, 3) ≈ e−2
38
23
≈ 0.1805.
3!
Åñëè ñðàâíèòü ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñ îòâåòîì çàäà÷è 5.3, ìû óâèäèì, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ñîñòàâëÿåò âñåãî 0.5%. ÇÀÄÀ×À 5.6.  ïàðòèè èç n = 22 500 èçäåëèé êàæäîå èçäåëèå íåçàâèñèìî îò
äðóãèõ ìîæåò áûòü áðàêîâàííûì ñ âåðîÿòíîñòüþ p = 0.2. Îöåíèòü âåðîÿòíîñòü
òîãî, ÷òî ÷èñëî ξn áðàêîâàííûõ èçäåëèé áóäåò çàêëþ÷åíî ìåæäó 4380 è 4560.
ÐÅØÅÍÈÅ. Îöåíèì èñêîìîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè P ïðè ïîìîùè òåîðåìû 5.2, ïîñêîëüêó âåëè÷èíà np(1 − p) = 3600 äîñòàòî÷íî âåëèêà. Èìååì np =
= 22500 · 0.2 = 4500, np(1 − p) = 22500 · 0.2 · 0.8 = 3600,
P = P(4380 ≤ ξn ≤ 4560) =
4380 − 4500 ξn − 4500 4560 − 4500
=P
≤
≤
60
60
60
ξn − 4500
≤1 ≈
= P −2 ≤
60
1
≈√
2π
Z1
=
−x2
e 2 dx = Φ(1) − Φ(−2).
−2
Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Φ(x) â òî÷êàõ −2 è 1 ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 0.0228 è 0.8413
(ýòè çíà÷åíèÿ ìîæíî íàéòè â ñòàòèñòè÷åñêèõ òàáëèöàõ). Îòâåò: P ≈ 0.8185. ÄÎÌÀØÍÅÅ ÇÀÄÀÍÈÅ
ÇÀÄÀ×À 5.7. Ïîêàçàòü, ÷òî âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (5.1) âëå÷åò íåçàâèñèìîñòü
ñîáûòèé Aδ11 , . . . , Aδnn â ñîâîêóïíîñòè.
ÇÀÄÀ×À 5.8. Ïîêàçàòü, ÷òî ñîîòíîøåíèå (5.2) çàäàåò íà Ω ðàñïðåäåëåíèå
âåðîÿòíîñòåé.
ÇÀÄÀ×À 5.9. Ïîêàçàòü, ÷òî ÷èñëà πk èç ñîîòíîøåíèÿ (5.5) çàäàþò ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé íà ìíîæåñòâå öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë.
ÇÀÄÀ×À 5.10. Îòðåçîê äëèíû a + b ïîäåëåí íà äâå ÷àñòè äëèíîé a è b ñîîòâåòñòâåííî. Íà îòðåçîê íàóäà÷ó ïîñëåäîâàòåëüíî áðîñàþòñÿ n òî÷åê. Íàéòè
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ðîâíî m èç n òî÷åê ïîïàäóò íà ÷àñòü îòðåçêà äëèíîé a.
ÇÀÄÀ×À 5.11. Ïðîâåäåíî 20 íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ çàêëþ÷àåòñÿ â îäíîâðåìåííîì ïîäáðàñûâàíèè òðåõ ïðàâèëüíûõ èäåàëüíûõ ìîíåò.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîòÿ áû â îäíîì èñïûòàíèè ïîÿâÿòñÿ òðè ãåðáà.
ÇÀÄÀ×À 5.12. Äâå ïðàâèëüíûå èäåàëüíûå ìîíåòû ïîäáðàñûâàþò 4800 ðàç.
Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ñîáûòèå {ãåðá, ãåðá} ïîÿâèòñÿ ìåíüøå 1140 ðàç.
39
ÇÀÄÀ×À 5.13. Èñïûòàíèå çàêëþ÷àåòñÿ â áðîñàíèè òðåõ èãðàëüíûõ êîñòåé.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ïÿòè íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ ðîâíî äâà ðàçà
âûïàäåò ïî òðè ¾åäèíèöû¿.
ÇÀÄÀ×À 5.14. Èç óðíû, ñîäåðæàùåé 1 áåëûé è 4 ÷åðíûõ øàðà, ïî ñõåìå ñëó÷àéíîãî âûáîðà ñ âîçâðàùåíèåì ïðîâîäÿò 2500 èçâëå÷åíèé øàðîâ. Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ÷èñëî ïîÿâëåíèé áåëîãî øàðà áóäåò
çàêëþ÷åíî ìåæäó 480 è 540.
ÇÀÄÀ×À 5.15. Ïðè ïåðåäà÷å ñîîáùåíèÿ âåðîÿòíîñòü èñêàæåíèÿ îäíîãî çíàêà
ðàâíà 0.1. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñîîáùåíèå èç 10 çíàêîâ: à) íå áóäåò
èñêàæåíî; á) áóäåò ñîäåðæàòü ðîâíî òðè èñêàæåíèÿ; â) áóäåò ñîäåðæàòü íå áîëåå
òðåõ èñêàæåíèé?
ÇÀÄÀ×À 5.16. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü ïðè îäíîì âûñòðåëå ðàâíà 0.01.
Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ïðè 100 âûñòðåëàõ áóäåò
íå áîëåå òðåõ ïîïàäàíèé.
ÇÀÄÀ×À 5.17. Êàæäóþ ñåêóíäó ñ âåðîÿòíîñòüþ p íåçàâèñèìî îò äðóãèõ ìîìåíòîâ âðåìåíè ïî äîðîãå ïðîåçæàåò àâòîìîáèëü. Ïåøåõîäó äëÿ ïåðåõîäà äîðîãè íåîáõîäèìî 3 ñåêóíäû. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîäîøåäøèé ê äîðîãå ïåøåõîä áóäåò îæèäàòü âîçìîæíîñòè ïåðåõîäà: à) 3 ñåêóíäû; á) 4 ñåêóíäû;
â) 5 ñåêóíä?
ÇÀÄÀ×À 5.18.  ïîñåëêå 2500 æèòåëåé. Êàæäûé èç íèõ ïðèìåðíî 6 ðàç â
ìåñÿö åçäèò íà ïîåçäå â ãîðîä, âûáèðàÿ äíè ïîåçäîê ïî ñëó÷àéíûì ìîòèâàì
íåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ. Êàêîé íàèìåíüøåé âìåñòèìîñòüþ äîëæåí îáëàäàòü
ïîåçä, ÷òîáû îí ïåðåïîëíÿëñÿ â ñðåäíåì íå ÷àùå îäíîãî ðàçà â 100 äíåé (ïîåçä
õîäèò ðàç â ñóòêè)?
ÇÀÄÀ×À 5.19. Íà îäíîé ñòðàíèöå 2400 çíàêîâ. Ïðè òèïîãðàôñêîì íàáîðå
âåðîÿòíîñòü èñêàæåíèÿ îäíîãî çíàêà ðàâíà 1/800. Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå
âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî íà ñòðàíèöå áóäåò íå ìåíåå äâóõ îïå÷àòîê.
ÇÀÄÀ×À 5.20. Äâèæåíèåì ÷àñòèöû ïî öåëûì òî÷êàì ïðÿìîé óïðàâëÿåò ñõåìà
Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ ¾óñïåõà¿ p: åñëè â äàííîì èñïûòàíèè ñõåìû Áåðíóëëè
ïðîèçîøåë ¾óñïåõ¿, òî ÷àñòèöà èç ñâîåãî ïîëîæåíèÿ ïåðåõîäèò â ïðàâóþ ñîñåäíþþ òî÷êó, à â ïðîòèâíîì ñëó÷àå â ëåâóþ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çà n
øàãîâ ÷àñòèöà èç òî÷êè 0 ïåðåéäåò â òî÷êó m.
40
6. Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî
ÇÀÍßÒÈÅ 6
 ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì îáùåïðèíÿòûå â íàñòîÿùåå âðåìÿ àêñèîìû
òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, íî ïðåæäå ââåäåì ðÿä ïîíÿòèé, êîòîðûå áóäóò íåîáõîäèìû íàì â äàëüíåéøåì. Â 15 ìû ïðåäïîëàãàëè êàê ñàìî ñîáîé ðàçóìåþùååñÿ,
÷òî ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ñîáûòèé ÿâëÿþòñÿ ñîáûòèÿìè. Íàñòàëî âðåìÿ ¾óçàêîíèòü¿ ýòè ïðåäïîëîæåíèÿ.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 6.1. Ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, èëè ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, íàçûâàåòñÿ ëþáîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî Ω.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 6.2. Àëãåáðîé A íàçûâàåòñÿ êëàññ (ìíîæåñòâî) ïîäìíîæåñòâ Ω, îáëàäàþùèé ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè (àêñèîìàìè):
1. Ω ∈ A;
2. åñëè A ∈ A è B ∈ A, òî A ∪ B ∈ A è A ∩ B ∈ A;
3. åñëè A ∈ A, òî A ∈ A.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 6.3. σ -àëãåáðîé F íàçûâàåòñÿ êëàññ (ìíîæåñòâî) ïîäìíîæåñòâ Ω, îáëàäàþùèé ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè (àêñèîìàìè):
1. Ω ∈ F ;
∞
2. åñëè A1 , A2 , . . . ∈ F , òî ∪∞
i=1 Ai ∈ F è ∩i=1 Ai ∈ F ;
3. åñëè A ∈ F , òî A ∈ F .
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 6.4. Ñîáûòèåì, èëè ñëó÷àéíûì ñîáûòèåì, íàçûâàåòñÿ ýëåìåíò σ -àëãåáðû F èëè, â áîëåå îáùåì ñëó÷àå, àëãåáðû A.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 6.1. Ëþáàÿ σ -àëãåáðà ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé, îáðàòíîå íåâåðíî.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 6.2. Âîîáùå ãîâîðÿ, àëãåáðà åñòü ìíîæåñòâî, çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíî íåêîòîðûõ îïåðàöèé.  äàííîì ñëó÷àå òàêèìè îïåðàöèÿìè ÿâëÿþòñÿ
òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è âçÿòèÿ äîïîëíåíèÿ.
Çàìåòèì, ÷òî ïðèâåäåííûå àêñèîìû èçáûòî÷íû. Òàê, â àêñèîìàõ 2 àëãåáðû è
σ -àëãåáðû äîñòàòî÷íî ëèøü ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå (ñóììà) ñîáûòèé
41
∞
ÿâëÿëîñü ñîáûòèåì, ïîñêîëüêó A ∪ B = A ∩ B è ∪∞
i=1 Ai = ∩i=1 Ai (A ∩ B = A ∪ B
∞
è ∩∞
i=1 Ai = ∪i=1 Ai ). Áîëåå òîãî, åñëè àëãåáðà èëè σ -àëãåáðà ÿâëÿåòñÿ íåïóñòûì
ìíîæåñòâîì, òî àêñèîìà 1 òàêæå èçáûòî÷íà, ïîñêîëüêó Ω = A ∪ A.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 6.3. Êàê ìû ìîãëè óáåäèòüñÿ â ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ, èñòîðè÷åñêè áûëî ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî ñóììà ñîáûòèé, ïðîèçâåäåíèå ñîáûòèé è äîïîëíèòåëüíîå ñîáûòèå òàêæå ÿâëÿþòñÿ ñîáûòèÿìè.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå, êîãäà
ìíîæåñòâî ñîáûòèé ÿâëÿëîñü ìíîæåñòâîì âñåõ ïîäìíîæåñòâ Ω, òàêîå ïðåäïîëîæåíèå íå âûçûâàëî íèêàêèõ çàòðóäíåíèé, îäíàêî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïîÿâèëèñü
çàäà÷è (ñì. êîììåíòàðèè ê òåîðåìå Óëàìà â 7), ïîêàçûâàþùèå, ÷òî ìíîæåñòâî
âñåõ ïîäìíîæåñòâ íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ óäîáíîé áàçîé èññëåäîâàíèé, à èíîãäà äàæå
íàîáîðîò. Ïîýòîìó ïîÿâèëàñü íåîáõîäèìîñòü ñóçèòü êëàññ äîïóñòèìûõ ñîáûòèé,
ñîõðàíèâ ïðè ýòîì óñòîÿâøèåñÿ ñâîéñòâà åãî ýëåìåíòîâ. Èäåàëüíûì îáúåêòîì,
ïîçâîëÿþùèì ïðîäåëàòü âûøåîïèñàííóþ ïðîöåäóðó, è ÿâëÿåòñÿ àëãåáðà, êîòîðàÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè áûëà âûòåñíåíà σ -àëãåáðîé êàê ñâîèì îáîáùåíèåì.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 6.4. Ïðàêòèêà ïîêàçûâàåò, ÷òî ñòóäåíòû çà÷àñòóþ ïóòàþò ïîíÿòèÿ ¾ïîäìíîæåñòâî¿ è ¾ýëåìåíò¿. ×òîáû íå óñóãóáëÿòü ïóòàíèöó, ìû áóäåì
óïîòðåáëÿòü òåðìèí ¾ñîäåðæèòñÿ¿, êîãäà ðå÷ü èäåò î ïîäìíîæåñòâå, è ¾âêëþ÷àåòñÿ¿, êîãäà ðå÷ü èäåò îá ýëåìåíòå ìíîæåñòâà. Ê ïðèìåðó, ïóñòîå ìíîæåñòâî
∅ ñîäåðæèòñÿ â ëþáîì ìíîæåñòâå, â ÷àñòíîñòè â äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé IR, òî
åñòü ∅ ⊂ IR, è âêëþ÷àåòñÿ (ïî àêñèîìàì 1 è 3 îïðåäåëåíèÿ 6.3) â ëþáóþ σ -àëãåáðó F ïîäìíîæåñòâ IR, òî åñòü ∅ ∈ F . Ïðè ýòîì ñàìà äåéñòâèòåëüíàÿ ïðÿìàÿ
IR íå âêëþ÷àåò ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅, ïîñêîëüêó â íåé íåò òàêîãî ýëåìåíòà.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 6.5. σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ Ω íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîé,
åñëè îíà ñîäåðæèòñÿ â ëþáîé σ -àëãåáðå ïîäìíîæåñòâ Ω. σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ Ω íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíîé, åñëè îíà ñîäåðæèò ëþáóþ σ -àëãåáðó ïîäìíîæåñòâ Ω.
ÇÀÄÀ×À 6.1. Ïîñòðîèòü ìèíèìàëüíóþ è ìàêñèìàëüíóþ σ -àëãåáðó ïîäìíîæåñòâ Ω.
ÐÅØÅÍÈÅ. Çàìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî àêñèîìàì 1 è 3 îïðåäåëåíèÿ 6.3 ìíîæåñòâî
{Ω, ∅} ñîäåðæèòñÿ â ëþáîé σ -àëãåáðå. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî îíî óäîâëåòâîðÿåò
àêñèîìå 2, òî åñòü è ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé σ -àëãåáðîé.  ñâîþ î÷åðåäü, î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ Ω, áóäó÷è σ -àëãåáðîé, ñîäåðæèò ëþáîé
êëàññ ïîäìíîæåñòâ Ω, òî åñòü ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíîé σ -àëãåáðîé. Ðàññìîòðèì åùå îäíó, âîçìîæíî íàèáîëåå âàæíóþ, σ -àëãåáðó.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 6.6. Íàèìåíüøàÿ σ -àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ ìíîæåñòâî B ,
íàçûâàåòñÿ σ -àëãåáðîé, ïîðîæäåííîé B . Îáîçíà÷åíèå: σ(B).
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 6.5. Ïîä íàèìåíüøåé σ -àëãåáðîé (àëãåáðîé), ñîäåðæàùåé ìíîæåñòâî B , ïîíèìàþò σ -àëãåáðó (àëãåáðó), ÿâëÿþùóþñÿ ïåðåñå÷åíèåì âñåõ
σ -àëãåáð (àëãåáð), ñîäåðæàùèõ B .
42
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 6.7. Áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðîé B íàçûâàåòñÿ σ -àëãåáðà, ïîðîæäåííàÿ ìíîæåñòâîì âñåõ îòêðûòûõ èíòåðâàëîâ.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 6.8. Ýëåìåíòû áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðû íàçûâàþòñÿ áîðåëåâñêèìè ìíîæåñòâàìè.
ÇÀÄÀ×À 6.2. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâà {a} è [a, b), a, b ∈ IR, ÿâëÿþòñÿ áîðåëåâñêèìè.
ÐÅØÅÍÈÅ. Äîêàçàòåëüñòâî ñâîäèòñÿ ê ïðèìåíåíèþ àêñèîìû 2 σ -àëãåáðû. Èç
îïðåäåëåíèÿ 6.7 ñëåäóåò, ÷òî âñå èíòåðâàëû âèäà (a, b) ïðèíàäëåæàò áîðåëåâñêîé
σ -àëãåáðå. Ñîîòíîøåíèÿ
{a} =
∞ \
n=1
1
1
a− , a+
n
n
è
[a, b) =
∞ \
n=1
1
a− , b
n
çàâåðøàþò äîêàçàòåëüñòâî. ÇÀÄÀ×À 6.3. Ïóñòü Ω = [0, 1]. Îïèñàòü σ -àëãåáðó σ(B) ïîäìíîæåñòâ Ω, ïîðîæäåííóþ ìíîæåñòâîì B = {(0, 1/3), (1/3, 1)}.
ÐÅØÅÍÈÅ. Ðåøåíèå ñâîäèòñÿ ê ïðèìåíåíèþ àêñèîì σ -àëãåáðû. Èç àêñèîìû 1 è îïðåäåëåíèÿ 6.6 ñëåäóåò, ÷òî Ω ∈ σ(B), (0, 1/3) ∈ σ(B) è (1/3, 1) ∈ σ(B).
Èç àêñèîìû 2 ñëåäóåò, ÷òî (0, 1/3) ∪ (1/3, 1) ∈ σ(B) è ∅ ∈ σ(B). Íàêîíåö, èç
àêñèîìû 3 ñëåäóåò, ÷òî {0, 1/3, 1} ∈ σ(B), {0}∪[1/3, 1] ∈ σ(B) è [0, 1/3]∪{1} ∈
∈ σ(B). Òàêèì îáðàçîì, íàèìåíüøàÿ σ -àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ B , èìååò âèä:
σ(B) = {Ω, ∅, (0, 1/3), (1/3, 1), (0, 1/3) ∪ (1/3, 1),
{0, 1/3, 1}, {0} ∪ [1/3, 1], [0, 1/3] ∪ {1}}. ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 6.6. Çàìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî σ(B) èç çàäà÷è 6.3 âêëþ÷àåò
8 = 23 ýëåìåíòîâ. Åñëè σ -àëãåáðà èìååò êîíå÷íóþ ìîùíîñòü, òî ÷èñëî åå ýëåìåíòîâ âñåãäà åñòü íåêîòîðàÿ ñòåïåíü äâîéêè.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 6.9. Ïàðû (Ω, A) è (Ω, F) íàçûâàþòñÿ èçìåðèìûìè ïðîñòðàíñòâàìè. Ýëåìåíòû àëãåáðû A è σ -àëãåáðû F íàçûâàþòñÿ èçìåðèìûìè
ìíîæåñòâàìè.
 îïðåäåëåíèè 6.9 îïðåäåëÿþòñÿ îáúåêòû, â íàçâàíèÿõ êîòîðûõ ôèãóðèðóåò ñëîâî ¾ìåðà¿. Êàê óæå áûëî ñêàçàíî â 1, âåðîÿòíîñòü ÿâëÿåòñÿ ìåðîé, òî
åñòü ôóíêöèåé ìíîæåñòâ, îáëàäàþùåé ñâîéñòâîì àääèòèâíîñòè (ñì. îïðåäåëåíèå 6.10). Ñâÿçü âåðîÿòíîñòè ñ èçìåðèìûìè ïðîñòðàíñòâàìè è èçìåðèìûìè
ìíîæåñòâàìè (òåìè ìíîæåñòâàìè, êîòîðûå ìîæíî ¾èçìåðèòü¿) çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì îïðåäåëåíèåì.
(!) ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 6.10. Âåðîÿòíîñòüþ, èëè âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé, íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ P : A −→ IR, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì àêñèîìàì:
1. íåîòðèöàòåëüíîñòü: P(A) ≥ 0, ∀A ∈ A;
43
2. íîðìèðîâàííîñòü: P(Ω) = 1;
3. (êîíå÷íàÿ) àääèòèâíîñòü: åñëè A1 , . . . , An ∈ A, Ai Aj = ∅, i 6= j , òî
!
n
n
[
X
P
Ai =
P(Ai ).
i=1
i=1
Ñîâðåìåííîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè îáîáùàåò îïðåäåëåíèå 6.10 íà ñëó÷àé,
êîãäà îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòíîé ìåðû ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðàÿ σ -àëãåáðà,
ñëåäóþùèì îáðàçîì.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 6.11. Âåðîÿòíîñòüþ, èëè âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé, íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ P : F −→ IR, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì àêñèîìàì:
1. íåîòðèöàòåëüíîñòü: P(A) ≥ 0, ∀A ∈ F ;
2. íîðìèðîâàííîñòü: P(Ω) = 1;
3. σ -àääèòèâíîñòü (èëè ñ÷åòíàÿ àääèòèâíîñòü): åñëè A1 , A2 , . . . ∈ F ,
Ai Aj = ∅, i 6= j , òî
!
∞
∞
[
X
P
Ai =
P(Ai ).
i=1
i=1
Îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ ¾âåðîÿòíîñòü¿, êîòîðîå äàåòñÿ â îïðåäåëåíèè 6.11, ïîòðåáîâàëîñü â ïåðâóþ î÷åðåäü ïîòîìó, ÷òî êîíå÷íî àääèòèâíûå ìåðû íå îáëàäàþò
âïîëíå åñòåñòâåííûì ñâîéñòâîì íåïðåðûâíîñòè, êîòîðîå äëÿ ôóíêöèé ìíîæåñòâ
èìååò ñëåäóþùèé âèä.
ÀÊÑÈÎÌÀ ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÎÑÒÈ. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Bn } ñîáûòèé òàêîâà, ÷òî Bn+1 ⊂ Bn è B = ∩∞
n=1 Bn . Òîãäà P(Bn ) −→ P(B) ïðè n → ∞.
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.1. Òðåáîâàíèå àêñèîìû íåïðåðûâíîñòè è êîíå÷íîé àääèòèâíîñòè âåðîÿòíîñòè ýêâèâàëåíòíî σ -àääèòèâíîñòè âåðîÿòíîñòè.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 6.12. Òðîéêà (Ω, F, P) íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîì. Òðîéêà (Ω, A, P) íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîì â
øèðîêîì ñìûñëå. Âåðîÿòíîñòü P òàêæå íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòåé íà Ω (íà (Ω, F)).
ÂÎÏÐÎÑ. ×òî ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà?
ÎÒÂÅÒ. Äåéñòâèòåëüíî, ïîä ïðîñòðàíñòâîì îáû÷íî ïîíèìàþò ìíîæåñòâî, ó
êîòîðîãî çàäàíû âçàèìîñâÿçè (îòíîøåíèÿ) ìåæäó åãî ýëåìåíòàìè. Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî íå åñòü ïðîñòðàíñòâî â ãåîìåòðè÷åñêîì èëè òîïîëîãè÷åñêîì
ñìûñëå ýòîãî ñëîâà. Ýòî ìîäåëü, â êîòîðîé îïðåäåëåíèå êàæäîãî ñëåäóþùåãî
ýëåìåíòà òðîéêè áàçèðóåòñÿ íà ïðåäûäóùèõ. Ñàìî ñëîâî ¾ïðîñòðàíñòâî¿ â îïðåäåëåíèè 6.12 ïîÿâèëîñü ïîä âëèÿíèåì àíãëî-àìåðèêàíñêîé øêîëû. À. Í. Êîëìîãîðîâ, ôîðìóëèðóÿ àêñèîìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé â êíèãå [4], íàçûâàë òðîéêó
44
(Ω, F, P) ïîëåì âåðîÿòíîñòåé. Îäíàêî ïîíÿòèå ¾ïîëå¿, òàê æå êàê è ïîíÿòèå
¾ïðîñòðàíñòâî¿, íå îòðàæàåò ñóòè îïèñûâàåìîãî îáúåêòà, ïîñêîëüêó íå ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì, à ñëåäîâàòåëüíî, íå âêëþ÷àåò íèêàêèõ ýëåìåíòîâ. Àíàëîãè÷íîå
çàìå÷àíèå îòíîñèòñÿ ê ïîíÿòèþ ¾èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî¿.
Ïðè ïîñòðîåíèè èçìåðèìûõ ïðîñòðàíñòâ è âåðîÿòíîñòíûõ ïðîñòðàíñòâ íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî σ -àëãåáðà äîëæíà âêëþ÷àòü âñå âîçìîæíûå èíòåðåñóþùèå íàñ ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ, à âåðîÿòíîñòü, êîòîðóþ ìîæíî çàäàòü íà ïðîñòðàíñòâå ñîáûòèé íåîäíîçíà÷íî, äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ñâîéñòâó óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîò (ñì. 1).  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ íàñ íå áóäåò èíòåðåñîâàòü ïðèðîäà áàçîâîãî
âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà, îäíàêî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëüíûõ ïðèìåðîâ ìû
áóäåì ÷àñòî ïîëüçîâàòüñÿ âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîì âèäà ([0, 1], B[0, 1] , λ),
ãäå B[0, 1] áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ îòðåçêà [0, 1], à λ ìåðà Ëåáåãà,
ê îïðåäåëåíèþ êîòîðîé ìû ñåé÷àñ è ïåðåéäåì.
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.2 (òåîðåìà Êàðàòåîäîðè). Ïóñòü (Ω, A, P) âåðîÿòíîñòíîå
ïðîñòðàíñòâî â øèðîêîì ñìûñëå. Òîãäà ñóùåñòâóåò, è ïðèòîì åäèíñòâåííàÿ,
âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà Q, îïðåäåëåííàÿ íà σ(A), òàêàÿ ÷òî
Q(A) = P(A),
∀A ∈ A.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 6.13. Ìåðà Q èç ôîðìóëèðîâêè òåîðåìû 6.2 íàçûâàåòñÿ
ïðîäîëæåíèåì ìåðû P íà σ -àëãåáðó σ(A).
ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 6.1. Êàæäîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî â øèðîêîì ñìûñëå
(Ω, A, P) àâòîìàòè÷åñêè îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, σ(A), Q).
ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 6.2. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè íà èçìåðèìûõ ïðîñòðàíñòâàõ (IR, B) è ([0, 1], B[0, 1] ) äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòè íà èíòåðâàëàõ.
Êàê èçâåñòíî, äëÿ êàæäîãî îòêðûòîãî èíòåðâàëà ìîæíî îïðåäåëèòü ïîíÿòèå
äëèíû. Î÷åâèäíî, ÷òî äàííîå ïîíÿòèå ìîæíî îïðåäåëèòü è äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà, ÿâëÿþùåãîñÿ ïåðåñå÷åíèåì èëè îáúåäèíåíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà èíòåðâàëîâ.
Òàêèì îáðàçîì, ïîíÿòèå äëèíû êàê ìåðû ïðèìåíèìî ê ëþáîìó ýëåìåíòó àëãåáðû, ïîðîæäåííîé ìíîæåñòâîì âñåõ îòêðûòûõ èíòåðâàëîâ.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 6.14. Ìåðîé Ëåáåãà íàçûâàåòñÿ ìåðà, ÿâëÿþùàÿñÿ ïðîäîëæåíèåì äëèíû ñ íàèìåíüøåé àëãåáðû, ñîäåðæàùåé ìíîæåñòâî âñåõ îòêðûòûõ èíòåðâàëîâ, íà áîðåëåâñêóþ σ -àëãåáðó.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 6.7. Ìåðà Ëåáåãà íà èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå ([0, 1], B[0, 1] ) ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíîé, ïîñêîëüêó â äàííîì ñëó÷àå îáëàäàåò ñâîéñòâîì íîðìèðîâàííîñòè.
Îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè âåðîÿòíîñòè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå:
1. P(∅) = 0;
2. P(A) = 1 − P(A);
45
3. åñëè A ⊂ B , òî P(A) ≤ P(B);
4. P(A) ≤ 1, ∀A ∈ F ;
5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB);
6. P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B);
7. P (∪∞
n=1 An ) ≤
P∞
n=1 P(An ).
 çàêëþ÷åíèå äàííîãî ïàðàãðàôà ñäåëàåì íåñêîëüêî çàìå÷àíèé, êàñàþùèõñÿ
òåðìèíîëîãèè, ñâÿçàííîé ñ ìåðàìè.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 6.8. Âåçäå äàëåå, åñëè ýòî íå áóäåò âûçûâàòü ðàçíî÷òåíèé, ìû
áóäåì ïèñàòü P{ω| . . .} âìåñòî P({ω| . . .}), îïóñêàÿ ëèøíèå ñêîáêè â çàïèñè.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 6.15. Ãîâîðÿò, ÷òî íåêîòîðîå ñâîéñòâî âûïîëíÿåòñÿ ïî÷òè âñþäó, åñëè îíî âûïîëíÿåòñÿ âåçäå, çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà, ìåðà êîòîðîãî ðàâíÿåòñÿ íóëþ. Ãîâîðÿò, ÷òî íåêîòîðîå
ñâîéñòâî âûïîëíÿåòñÿ ïî÷òè íàâåðíîå, åñëè îíî âûïîëíÿåòñÿ íà ìíîæåñòâå,
âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî ðàâíÿåòñÿ åäèíèöå.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 6.9. Åñëè ìåðà îáëàäàåò ñâîéñòâîì íîðìèðîâàííîñòè, òî åñòü
ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíîé, òî ôîðìóëèðîâêè ¾ïî÷òè íàâåðíîå¿ è ¾ïî÷òè âñþäó¿
ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè.
ÄÎÌÀØÍÅÅ ÇÀÄÀÍÈÅ
ÇÀÄÀ×À 6.4. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâà (a, b], [a, b] è (−∞, b], a, b ∈ IR, ÿâëÿþòñÿ áîðåëåâñêèìè.
ÇÀÄÀ×À 6.5. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ áîðåëåâñêèì.
ÇÀÄÀ×À 6.6. Ïîêàçàòü, ÷òî ïåðåñå÷åíèå äâóõ σ -àëãåáð íàä Ω ÿâëÿåòñÿ
σ -àëãåáðîé.
ÇÀÄÀ×À 6.7. Äîêàçàòü óòâåðæäåíèÿ çàìå÷àíèé 6.1 è 6.6.
ÇÀÄÀ×À 6.8. Ïóñòü Ω = [0, 1]. Îïèñàòü σ -àëãåáðó σ(B) ïîäìíîæåñòâ Ω, ïîðîæäåííóþ ìíîæåñòâîì B , åñëè
1. B = {Ω}; B = {∅};
2. B = Ω; B = ∅;
3. B = {[0, 2/3], [1/3, 1]};
4. B = {[0, 1/2], [1/2, 1]};
5. B = {{0}, {1}};
6. B = {[1/3, 1/2]}.
46
ÇÀÄÀ×À 6.9. Äîêàçàòü òåîðåìó 6.1.
ÇÀÄÀ×À 6.10. Ïîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî {B ∩ [0, 1], B ∈ B} åñòü áîðåëåâñêàÿ
σ -àëãåáðà B[0, 1] ïîäìíîæåñòâ îòðåçêà [0, 1].
ÇÀÄÀ×À 6.11. Äîêàçàòü îñíîâíûå ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè.
ÇÀÄÀ×À 6.12. Äîêàçàòü ñâîéñòâà íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé ( 3), ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì 6.11 âåðîÿòíîñòè.
ÇÀÄÀ×À 6.13. Ïðàâèëüíàÿ èäåàëüíàÿ ìîíåòà ïîäáðàñûâàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà îíà äâà ðàçà ïîäðÿä íå âûïàäåò îäíîé ñòîðîíîé. Ïîñòðîèòü âåðîÿòíîñòíîå
ïðîñòðàíñòâî, îïèñûâàþùåå äàííûé îïûò. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷èñëî
ïîäáðàñûâàíèé áóäåò ÷åòíûì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷èñëî ïîäáðàñûâàíèé íå ïðåâîñõîäèò 5.
ÇÀÄÀ×À 6.14. Ìîæåò ëè ÷èñëî âñåõ ñîáûòèé êàêîãî-ëèáî âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà áûòü ðàâíûì 130, 129, 128?
ÇÀÄÀ×À 6.15. Îïèñàòü σ -àëãåáðó, ïîðîæäåííóþ ìíîæåñòâîì ñîáûòèé íóëåâîé âåðîÿòíîñòè. Îïèñàòü σ -àëãåáðó, ïîðîæäåííóþ ìíîæåñòâîì ñîáûòèé âåðîÿòíîñòè åäèíèöà.
ÇÀÄÀ×À 6.16. ×èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé íåêîòîðîãî âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà ðàâíî n. Óêàçàòü ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå âîçìîæíîå çíà÷åíèå
äëÿ ÷èñëà ñîáûòèé.
ÇÀÄÀ×À 6.17. Ìîæåò ëè áûòü: à) ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé êîíå÷íî, à
÷èñëî ñîáûòèé áåñêîíå÷íî; á) ÷èñëî ñîáûòèé êîíå÷íî, à ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ
ñîáûòèé áåñêîíå÷íî?
ÇÀÄÀ×À 6.18. Ïóñòü F σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ Ω. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè F
áåñêîíå÷íî, òî ñóùåñòâóåò ñ÷åòíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïóñòûõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ýëåìåíòîâ F .
ÇÀÄÀ×À 6.19. Ïóñòü A1 , A2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâ Ω. Îïðåäåëèòü ìîùíîñòü σ -àëãåáðû, ïîðîæäåííîé ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.
ÇÀÄÀ×À 6.20. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïðîñòðàíñòâà Ω íèêàêàÿ σ -àëãåáðà
åãî ïîäìíîæåñòâ íå ìîæåò èìåòü ñ÷åòíóþ ìîùíîñòü.
47
7. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ
ðàñïðåäåëåíèÿ
ÇÀÍßÒÈÅ 7
Ïóñòü çàäàíî íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P).
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7.1. Ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíàÿ
ôóíêöèÿ ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ξ : Ω −→ IR, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâîì èçìåðèìîñòè:
ξ −1 (B) ≡ {ω| ξ(ω) ∈ B} ∈ F
(7.1)
äëÿ ëþáîãî B ∈ B .
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.1. Îáîçíà÷åíèå ξ −1 (B) ÷èòàåòñÿ ¾ïîëíûé ïðîîáðàç B ¿.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.2. Âåçäå äàëåå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
ñòðî÷íûìè ãðå÷åñêèìè áóêâàìè, à ÷àñòíûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (òî
åñòü çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðè ôèêñèðîâàííûõ ω ) ñòðî÷íûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè.
Ðàññìîòðèì îïðåäåëåíèå 7.1 áîëåå ïîäðîáíî. Âî-ïåðâûõ, çàìåòèì, ÷òî, ïîñêîëüêó ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ìîæåò èìåòü àáñîëþòíî ïðîèçâîëüíóþ ñòðóêòóðó, èçó÷åíèå åãî ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè, âîîáùå ãîâîðÿ,
íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Ïîýòîìó íàì íåîáõîäèì íåêîòîðûé âñïîìîãàòåëüíûé îáúåêò, êîòîðûé ¾îöèôðîâûâàë¿ áû ýëåìåíòàðíûå èñõîäû. Òàêèì îáúåêòîì, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ Ω.
Âî-âòîðûõ, äëÿ òîãî ÷òîáû ïîíÿòü ñâîéñòâî èçìåðèìîñòè, ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð.
ÇÀÄÀ×À 7.1. Ïóñòü çàäàíî èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî
(Ω = [0, 1], F = {∅, Ω}). Ïóñòü ôóíêöèÿ ξ(ω) îïðåäåëåíà òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 7.1. Òðåáóåòñÿ íàéòè âåðîÿòíîñòü P(ξ < 1/2).
ξ(ω)
1
0
1
2
1
Ðèñ. 7.1
48
ω
ÐÅØÅÍÈÅ. Çàìåòèì, ÷òî
1
1
P ξ<
= P{ω| ξ(ω) = 0} = P ω ∈
,1 .
2
2
Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ìíîãèå äåëàþò âûâîä, ÷òî èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà
1/2, ïîñêîëüêó äëèíà èíòåðâàëà (1/2, 1] â äâà ðàçà ìåíüøå, ÷åì äëèíà îòðåçêà
[0, 1]. Íî çàìåòèì, ÷òî íà äàííîì èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, F) âåðîÿòíîñòü P
ìîæíî çàäàòü åäèíñòâåííûì îáðàçîì: P(∅) = 0, P(Ω) = 1. ×åìó æå áóäåò ðàâíà
èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü: íóëþ èëè åäèíèöå?
Âìåñòî îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ, äàâàéòå ïðîâåðèì, áóäåò ëè ÿâëÿòüñÿ ôóíêöèÿ
ξ(ω) èçìåðèìîé â äàííîì ñëó÷àå. Î÷åâèäíî, íåò, ïîñêîëüêó ïîëíûé ïðîîáðàç
ξ −1 ((−∞, 1/2)) = (1/2, 1] íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì σ -àëãåáðû F . Òàêèì îáðàçîì,
íà ðèñ. 7.1 èçîáðàæåíà ôóíêöèÿ, äëÿ êîòîðîé ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à íå èìååò
ñìûñëà. Îòâåò: çàäà÷à ïîñòàâëåíà íåêîððåêòíî. ÂÎÏÐÎÑ. Ìîæíî ëè èçìåíèòü óñëîâèå çàäà÷è 7.1 òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îíà
èìåëà ðåøåíèå?
ÎÒÂÅÒ. Äëÿ ýòîãî äîïîëíèì σ -àëãåáðó F ýëåìåíòàìè [0, 1/2] è (1/2, 1] è
îïðåäåëèì âåðîÿòíîñòè P([0, 1/2]) = 0.1 è P((1/2, 1]) = 0.9.  ýòîì ñëó÷àå èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü áóäåò ðàâíÿòüñÿ 0.9. Åñëè îïðåäåëèòü F êàê áîðåëåâñêóþ
σ -àëãåáðó ïîäìíîæåñòâ îòðåçêà [0, 1], à âåðîÿòíîñòü îïðåäåëèòü êàê ìåðó Ëåáåãà, òî ìû ïîëó÷èì áîëåå åñòåñòâåííûé îòâåò îäíà âòîðàÿ.
ÇÀÄÀ×À 7.2. Íàðèñîâàòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó.
ÐÅØÅÍÈÅ. Çàäà÷à, ïîñòàâëåííàÿ òàêèì îáðàçîì, ìîæåò âûçâàòü íåäîóìåíèå ó ÷åëîâåêà, ïðèâûêøåãî îòîæäåñòâëÿòü ñëó÷àéíîñòü ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ.
Êàê ìîæíî íàðèñîâàòü òî, ÷òî íå îïðåäåëåíî? Îäíàêî ¾ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñëó÷àéíîñòü¿ èìååò ïðèðîäó, îòëè÷íóþ îò áûòîâîé. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ
âïîëíå îïðåäåëåííîé ôóíêöèåé ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà (çäåñü, îäíàêî ñëåäóåò îãîâîðèòüñÿ, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ íå âñåãäà èíòåðåñóåò íàñ êàê
òàêîâîå, ïîñêîëüêó åãî ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå íå âñåãäà âîçìîæíî).
Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è îïðåäåëèì èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F) êàê
ïàðó ([0, 1], B[0, 1] ) è ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ξ(ω), èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 7.1. Ýòà
ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç âîçìîæíûõ ðåøåíèé çàäà÷è. ÂÎÏÐÎÑ.  îïðåäåëåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íå ôèãóðèðóåò âåðîÿòíîñòü
(ìåðà). Ïî÷åìó ñâîéñòâî (7.1) íàçûâàåòñÿ ¾èçìåðèìîñòüþ¿?
ÎÒÂÅÒ. Íà ñàìîì äåëå âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íåçðèìî ïðèñóòñòâóåò â îïðåäåëåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.  ïàðàãðàôàõ 15 ìû ñòàëêèâàëèñü ñ ñèòóàöèåé,
êîãäà íåêîòîðûé (¾ñëó÷àéíûé¿) îáúåêò ξ ïîïàäàë â íåêîòîðîå çàäàííîå ìíîæåñòâî B . Òàêèìè îáúåêòàìè ìîãëè áûòü ñëó÷àéíûì îáðàçîì áðîøåííàÿ òî÷êà, âûïàâøèå íà èãðàëüíûõ êîñòÿõ î÷êè, ÷èñëî ¾óñïåõîâ¿ â ñõåìå Áåðíóëëè,
à ñîîòâåòñòâóþùèìè ìíîæåñòâàìè îòðåçîê èëè ãåîìåòðè÷åñêàÿ îáëàñòü, îäíîòî÷å÷íîå ìíîæåñòâî, âêëþ÷àþùåå çàäàííîå ÷èñëî î÷êîâ, íàïåðåä çàäàííîå
÷èñëî ¾óñïåõîâ¿ (îäíîòî÷å÷íîå ìíîæåñòâî èëè ïîäìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë). Ïðè ýòîì íàñ êàæäûé ðàç èíòåðåñîâàëà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ {ξ ∈ B}.
Íî, êàê ìû çíàåì, ñîáûòèå åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ýëåìåíò σ -àëãåáðû F , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòíîé ìåðû. Èìåííî ïîýòîìó íàì
49
íåîáõîäèìî óñëîâèå (7.1), èìåííî ïîýòîìó îíî íîñèò íàçâàíèå ¾èçìåðèìîñòü¿
è èìåííî ïîýòîìó ýëåìåíòû σ -àëãåáðû òàêæå íàçûâàþòñÿ èçìåðèìûìè ìíîæåñòâàìè (òî åñòü ìíîæåñòâàìè, êîòîðûå ìîæíî ¾èçìåðèòü¿).
ÂÎÏÐÎÑ. Ïî÷åìó â îïðåäåëåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èñïîëüçóåòñÿ áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà B , âåäü ãîðàçäî óäîáíåå èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå B , íàïðèìåð,
ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ IR?
ÎÒÂÅÒ. Áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà B ïîÿâèëàñü â îïðåäåëåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïî áîëüøåé ÷àñòè èñòîðè÷åñêè, ïîñêîëüêó äî ðàçâèòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé â ñàìîñòîÿòåëüíóþ íàóêó äîñòàòî÷íî áûëî óìåòü âû÷èñëÿòü âåðîÿòíîñòü
ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â íåêîòîðûé èíòåðâàë. Êëàññ B ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî øèðîêèì. Ïîñòðîåíèå íåáîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äîñòàòî÷íî òðóäîåìêóþ çàäà÷ó (ñì., íàïðèìåð, [5, ñ. 264]). Êðîìå òîãî, â 1930 ãîäó
Ñ. Ì. Óëàìîì (ñì. [6]) áûëà äîêàçàíà òåîðåìà, êîòîðàÿ ãëàñèò, ÷òî êîíå÷íàÿ ìåðà, îïðåäåëåííàÿ íà âñåõ ïîäìíîæåñòâàõ ìíîæåñòâà ìîùíîñòè êîíòèíóóì,
ðàâíà íóëþ òîæäåñòâåííî, åñëè îíà ðàâíà íóëþ äëÿ êàæäîãî îäíîòî÷å÷íîãî
ïîäìíîæåñòâà. Êàê ìû óæå ãîâîðèëè â 2, ìåðà îäíîòî÷å÷íîãî ìíîæåñòâà
ðàâíÿåòñÿ íóëþ, åñëè â êà÷åñòâå ìåðû ðàññìàòðèâàòü, íàïðèìåð, ãåîìåòðè÷åñêóþ âåðîÿòíîñòü. Íèæå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî òàêèì æå ñâîéñòâîì îáëàäàþò âñå
òàê íàçûâàåìûå àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ. Îäíàêî âåðîÿòíîñòü íå
ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ òîæäåñòâåííî, ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòü äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ âñåãäà ðàâíÿåòñÿ åäèíèöå. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ
IR ñèëüíî óñòóïàåò áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðå ïðè îïðåäåëåíèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ñì. îïðåäåëåíèå 7.2). Áîëåå òîãî, áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî óäîáíûì îáúåêòîì,
ïîñêîëüêó åå ýëåìåíòû ëåãêî èçìåðèòü ñ ïîìîùüþ ìåðû Ëåáåãà (äëèíû), à äëÿ
îïðåäåëåíèÿ áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðû íà ëþáîì ïðîñòðàíñòâå äîñòàòî÷íî çàäàòü
íà ýòîì ïðîñòðàíñòâå ìåòðèêó èëè òîïîëîãèþ (êîòîðûå è îïðåäåëÿþò îòêðûòûå
ìíîæåñòâà).  ñëó÷àå, êîãäà â îïðåäåëåíèè 7.1 ôèãóðèðóåò ïðîèçâîëüíîå èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî (S, H) âìåñòî èçìåðèìîãî ïðîñòðàíñòâà (IR, B), èçìåðèìîå
îòîáðàæåíèå ξ íàçûâàþò ñëó÷àéíûì ýëåìåíòîì.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7.2. Ðàñïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ
ôóíêöèÿ Pξ : B −→ IR, îïðåäåëåííàÿ äëÿ ëþáîãî B ∈ B ïî ïðàâèëó
Pξ (B) = P(ξ ∈ B).
(7.2)
Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ðàñïðåäåëåíèå Pξ , òî ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíó Pξ .
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.3. Åñëè Pξ (Z) = 1, ãäå Z åñòü ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë, òî
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ öåëî÷èñëåííîé.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.4. Íà ôèêñèðîâàííîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ñâîå ðàñïðåäåëåíèå, íî ïî çàäàííîìó ðàñïðåäåëåíèþ íåëüçÿ îäíîçíà÷íî âîññòàíîâèòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó.
50
Åñëè ïåðâîå óòâåðæäåíèå çàìå÷àíèÿ äîñòàòî÷íî î÷åâèäíî ââèäó îäíîçíà÷íîé îïðåäåëåííîñòè ïðàâîé ÷àñòè
(7.2), òî âòîðîå òðåáóåò íåêîòîðîãî ïîÿñíåíèÿ. Ðàññìîòζ(ω)
ðèì ïðèìåð. Ïóñòü çàäàíî âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî
ω
0 1 1
1
([0, 1], B[0, 1] , λ), ãäå λ ìåðà Ëåáåãà. Ðàññìîòðèì äâå
4 2
ôóíêöèè η(ω) è ζ(ω), îïðåäåëåííûå òàê, êàê ïîêàçàíî
Ðèñ. 7.2
íà ðèñ. 7.2.
Äîêàæåì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí η è ζ ñîâïàäàþò. Äëÿ ýòîãî
ðàçîáüåì σ -àëãåáðó B íà ÷åòûðå êëàññà. Ïóñòü êëàññ B1 âêëþ÷àåò âñå áîðåëåâñêèå ìíîæåñòâà, âêëþ÷àþùèå òî÷êè 0 è 1, êëàññ B2 âêëþ÷àåò âñå áîðåëåâñêèå
ìíîæåñòâà, íå âêëþ÷àþùèå 0 è 1, êëàññ B3 âêëþ÷àåò âñå áîðåëåâñêèå ìíîæåñòâà,
âêëþ÷àþùèå 0 è íå âêëþ÷àþùèå 1, êëàññ B4 âêëþ÷àåò âñå áîðåëåâñêèå ìíîæåñòâà, íå âêëþ÷àþùèå 0 è âêëþ÷àþùèå 1. Î÷åâèäíî, ÷òî B = B1 ∪ B2 ∪ B3 ∪ B4 è
Bi Bj = ∅, i 6= j . Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà B1 ∈ B1 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
1
η(ω)
P{ω| ζ(ω) ∈ B1 } = λ([0, 1]\{1/4}) = λ([0, 1]) = P(η ∈ B1 ) = 1.
Àíàëîãè÷íî äëÿ Bi ∈ Bi , i = 2, 3, 4, èìååì
P(ζ ∈ B2 ) = λ({1/4}) = λ(∅) = P(η ∈ B2 ) = 0
è
1
P(ζ ∈ B3 ) = P(ζ ∈ B4 ) = P(η ∈ B3 ) = P(η ∈ B4 ) = .
2
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîêàçàëè, ÷òî äëÿ ëþáîãî áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà B çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèé Pη (B) è Pζ (B) ñîâïàäàþò, íî ïðè ýòîì, êàê âèäíî èç ðèñóíêà,
ñàìè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íå ñîâïàäàþò íè â îäíîé òî÷êå.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7.3. Ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ìîãóò èìåòü ìåñòî
ñëåäóþùèå îñíîâíûå çíàêè ðàâåíñòâà.
1. Òîæäåñòâåííîå ðàâåíñòâî. Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ òîæäåñòâåííî ðàâíà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå η , åñëè ξ(ω) = η(ω) äëÿ âñåõ ω ∈ Ω.
Îáîçíà÷åíèå: ξ ≡ η .
2. Ðàâåíñòâî ïî÷òè íàâåðíîå. Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàâíÿåòñÿ
ïî÷òè íàâåðíîå, èëè ýêâèâàëåíòíà, ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå η , åñëè P{ω| ξ(ω) =
= η(ω)} = 1. Îáîçíà÷åíèå: ξ = η .
ï.í.
3. Ðàâåíñòâî ïî ðàñïðåäåëåíèþ. Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàâíÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå η ïî ðàñïðåäåëåíèþ, åñëè Pξ (B) = Pη (B) äëÿ ëþáîãî
d
áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà B . Îáîçíà÷åíèå: ξ = η .
Î÷åâèäíî, ÷òî ðàâåíñòâî 1 èç îïðåäåëåíèÿ 7.3 ÿâëÿåòñÿ ñàìûì ñèëüíûì, à
ðàâåíñòâî 3 ñàìûì ñëàáûì. Òàê, âñå òðè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ , η è ζ (ñì.
51
ðèñ. 7.1 è 7.2) ðàâíû ïî ðàñïðåäåëåíèþ, ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è ζ ðàâíû ïî÷òè
íàâåðíîå, è íèêàêèå äâå èç ýòèõ òðåõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íå ðàâíû òîæäåñòâåííî.
Çàìåòèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÿâëÿåòñÿ íå ñëèøêîì óäîáíûì îáúåêòîì èçó÷åíèÿ, ïîñêîëüêó åãî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ åñòü σ -àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ B , à áîëüøèíñòâî ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà ðàçðàáîòàíû äëÿ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé.
Äëÿ òîãî ÷òîáû óïðîñòèòü çàäà÷ó èññëåäîâàòåëÿ, ââîäèòñÿ ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7.4. Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå Fξ : IR −→ IR, îïðåäåëåííîå ïî ïðàâèëó
Fξ (x) = P(ξ < x)
èëè
Fξ (x) = Pξ ((−∞, x))
äëÿ âñåõ x ∈ IR.
ÒÅÎÐÅÌÀ 7.1. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû âçàèìíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Îïðåäåëåíèå 7.4 è òåîðåìà 7.1 äàþò âîçìîæíîñòü ðàáîòàòü ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïîñðåäñòâîì áîëåå ïðèâû÷íîãî îáúåêòà äåéñòâèòåëüíîé
ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè:
1. íåóáûâàíèå: åñëè x1 ≤ x2 , òî F (x1 ) ≤ F (x2 );
2. íåïðåðûâíîñòü ñëåâà: limx→x0 −0 F (x) = F (x0 );
3. limx→−∞ F (x) = 0, limx→+∞ F (x) = 1.
ÒÅÎÐÅÌÀ 7.2. Åñëè ôóíêöèÿ F (x) îáëàäàåò ñâîéñòâàìè 13, òî ñóùåñòâóåò âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P) è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íà íåì
òàêàÿ, ÷òî F (x) = P(ξ < x) äëÿ âñåõ x ∈ IR.
Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ, îáëàäàþùàÿ âûøåïåðå÷èñëåííûìè ñâîéñòâàìè, âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Íà
ðèñ. 7.37.5 ïîêàçàíû íåêîòîðûå âîçìîæíûå âèäû ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ.
F (x)
F (x)
F (x)
1
1
1
0
Ðèñ. 7.3
52
x
0
Ðèñ. 7.4
x
0
Ðèñ. 7.5
x
ÄÎÌÀØÍÅÅ ÇÀÄÀÍÈÅ
ÇÀÄÀ×À 7.3. Ïîêàçàòü, êàêàÿ ôóíêöèÿ ξ(ω) ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìîé íà ëþáîì
èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, F). Ïîêàçàòü, íà êàêîì èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå
(Ω, F) èçìåðèìà ëþáàÿ ôóíêöèÿ ξ(ω).
ÇÀÄÀ×À 7.4. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò èìåòü íå áîëåå
÷åì ñ÷åòíîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà.
ÇÀÄÀ×À 7.5. Ïóñòü g(x) è ξ(ω) íåêîòîðûå ôóíêöèè, ïðè÷åì g(x) íåèçìåðèìà, à ξ(ω) èçìåðèìà (íà íåêîòîðûõ èçìåðèìûõ ïðîñòðàíñòâàõ). Ìîæåò ëè
ôóíêöèÿ g(ξ(ω)) áûòü èçìåðèìîé (íåèçìåðèìîé)?
ÇÀÄÀ×À 7.6. Ïóñòü g(x) è ξ(ω) íåêîòîðûå íåèçìåðèìûå ôóíêöèè (íà íåêîòîðûõ èçìåðèìûõ ïðîñòðàíñòâàõ). Ìîæåò ëè ôóíêöèÿ g(ξ(ω)) áûòü èçìåðèìîé
(íåèçìåðèìîé)?
ÇÀÄÀ×À 7.7. Ïóñòü g(x) è ξ(ω) íåêîòîðûå ôóíêöèè, ïðè÷åì g(x) èçìåðèìà, à ξ(ω) íåèçìåðèìà (íà íåêîòîðûõ èçìåðèìûõ ïðîñòðàíñòâàõ). Ìîæåò ëè
ôóíêöèÿ g(ξ(ω)) áûòü èçìåðèìîé (íåèçìåðèìîé)?
ÇÀÄÀ×À 7.8. Ïóñòü g(x) áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ (òî åñòü äåéñòâèòåëüíàÿ
èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî, ñì. îïðåäåëåíèå 8.3), à ξ(ω)
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëåííàÿ íà íåêîòîðîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå
(Ω, F, P). Äîêàçàòü, ÷òî g(ξ(ω)) ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé íà (Ω, F, P).
ÇÀÄÀ×À 7.9. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x).
Íàéòè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí aξ , ξ + b, a, b ∈ IR, è
1/2(ξ + |ξ|).
ÇÀÄÀ×À 7.10. Îáÿçàíà ëè ôóíêöèÿ ξ áûòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, åñëè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ: à) ξ 2 ; á) |ξ|; â) cos ξ ; ã) exp{ξ}?
ÇÀÄÀ×À 7.11. Ìîæåò ëè ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
áûòü âñþäó ïëîòíûì íà ïðÿìîé?
ÇÀÄÀ×À 7.12. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå ïðÿìîé, òî îíà ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà âñåé ïðÿìîé.
ÇÀÄÀ×À 7.13. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íå ìîæåò áûòü ïåðèîäè÷åñêîé.
ÇÀÄÀ×À 7.14. Äîêàçàòü îñíîâíûå ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.
ÇÀÄÀ×À 7.15. Ïîêàçàòü, ÷òî öåëî÷èñëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ñòóïåí÷àòóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ (ñì. ðèñ. 7.4).
ÇÀÄÀ×À 7.16. Ïîñòðîèòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ
(ñì. ðèñ. 7.1), îïðåäåëåííîé íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ([0, 1], B[0, 1] , λ), ãäå
λ ìåðà Ëåáåãà.
ÇÀÄÀ×À 7.17. Ïîñòðîèòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ
(ñì. ðèñ. 7.1), îïðåäåëåííîé íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ([0, 1], F, P), ãäå
F = {Ω, ∅, [0, 1/2], (1/2, 1]}, P([0, 1/2]) = 0.1 è P((1/2, 1]) = 0.9.
53
ÇÀÄÀ×À 7.18. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 7.3, òî P(ξ = x) = 0 äëÿ âñåõ x ∈ IR.
ÇÀÄÀ×À 7.19. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 7.5, òî P(ξ = x) = 0 äëÿ ïî÷òè âñåõ (ïî ìåðå
Ëåáåãà) x ∈ IR, íî ñóùåñòâóåò òàêîå x, ÷òî P(ξ = x) 6= 0.
ÇÀÄÀ×À 7.20. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ èìååò ìåñòî
ðàâåíñòâî P(ξ = x) = 0 äëÿ ïî÷òè âñåõ (ïî ìåðå Ëåáåãà) x ∈ IR.
54
ÇÀÍßÒÈÅ 8
Ïóñòü çàäàíî íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P).
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7.5. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíîé, åñëè
ñóùåñòâóåò íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî B òàêîå, ÷òî Pξ (B) = 1. Ðàñïðåäåëåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå, òàêæå íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíûì.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.5. Èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò äèñêðåòíîå
ðàñïðåäåëåíèå, åñëè îíà ïðèíèìàåò ñ íåíóëåâûìè âåðîÿòíîñòÿìè íå áîëåå ÷åì
ñ÷åòíîå ÷èñëî çíà÷åíèé. Îäíàêî çàìåòèì, ÷òî òàêîå îïðåäåëåíèå íå ÿâëÿåòñÿ
âïîëíå êîððåêòíûì, ïîñêîëüêó åìó óäîâëåòâîðÿåò ëþáàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà,
òàê êàê åñëè P(ξ = x) > 0, òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ èìååò â òî÷êå x
ðàçðûâ. Íî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íå ìîæåò èìåòü áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ÷èñëî
òî÷åê ðàçðûâà (ñì. çàäà÷ó 7.4).
Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîãî ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ:
Òàáëèöà 7.1
x1 x2 x3 . . . xn . . .
p1 p2 p3 . . . pn . . .
Çäåñü ÷èñëà xi ýòî âîçìîæíûå ÷àñòíûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ
(xi 6= xj , äëÿ i 6= j ), à äëÿ ÷èñåë pi ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
pi = P(ξ = xi ) > 0,
X
pi = 1.
i
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.6.  äàëüíåéøåì ïðè ðàáîòå ñ äèñêðåòíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè íàì çà÷àñòóþ áóäåò óäîáíà èíòåðïðåòàöèÿ âåðîÿòíîñòè êàê ìàññû. Ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ, ôàêòè÷åñêè, îïðåäåëÿåò íà ïðÿìîé ñèñòåìó òî÷åê, èìåþùèõ êîîðäèíàòû xi , â êîòîðûõ ñîñðåäîòî÷åíû ìàññû pi .
ÇÀÄÀ×À 7.21. Ïîêàçàòü, ÷òî ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå.
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü çàäàí íåêîòîðûé ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè ðàññóæäåíèé, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ìîæåò ïðèíèìàòü
òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ: 0 è 1 (îáû÷íî òàê ãîâîðÿò â ñëó÷àå, êîãäà P(ξ = 0) > 0,
P(ξ = 1) > 0 è P(ξ ∈ {0, 1}) = 1; âîîáùå ãîâîðÿ, îáëàñòüþ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÿâëÿåòñÿ âñÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ïðÿìàÿ). Ðàçîáüåì áîðåëåâñêóþ
σ -àëãåáðó B íà ÷åòûðå êëàññà B1 , B2 , B3 è B4 , êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â îáîñíîâàíèè çàìå÷àíèÿ 7.4. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà Bi ∈ Bi
âåðîÿòíîñòü P(ξ ∈ Bi ) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó: P(ξ ∈ B1 ) = P(Ω),
55
P(ξ ∈ B2 ) = P(∅), P(ξ ∈ B3 ) = P(ξ = 0), P(ξ ∈ B4 ) = P(ξ = 1). Òàêèì îáðàçîì,
ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó pi = P(ξ ∈ {xi }), à îäíîòî÷å÷íûå ìíîæåñòâà, êàê óæå
ãîâîðèëîñü âûøå, ÿâëÿþòñÿ áîðåëåâñêèìè. ÇÀÄÀ×À 7.22. Ïóñòü çàäàí ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ (ñì. òàáëèöó 7.1). Ïîñòðîèòü
ñîîòâåòñòâóþùóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ.
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷èñëà xi îáðàçóþò âîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Çàôèêñèðóåì íåêîòîðîå
÷èñëî x. Î÷åâèäíî, ÷òî
F (x)
1
p3
p2
p1
x1 x2 0
F (x) = P(ξ < x) =
x3
x
X
i: xi <x
P(ξ = xi ) =
X
pi .
i: xi <x
Òàêèì îáðàçîì, ãðàôèê äèñêðåòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 7.6.
Çàìåòèì, ÷òî äèñêðåòíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñòóïåí÷àòîé, òî
åñòü èìååò ðàçðûâ â êàæäîé òî÷êå x, äëÿ êîòîðîé P(ξ = x) > 0, ïðè÷åì
F (x + 0) − F (x) = P(ξ = x), à â îñòàëüíûõ òî÷êàõ ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìåðà Ëåáåãà λ{F 0 (x) 6= 0} = λ{x| P(ξ = x) > 0} = 0. ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.7. Äëÿ òîãî ÷òîáû îïðåäåëèòü ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, äîñòàòî÷íî çàäàòü íåêîòîðóþ õàðàêòåðèñòèêó, êîòîðàÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ðàññìàòðèâàåìîå ðàñïðåäåëåíèå.  ñëó÷àå äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé òàêîé õàðàêòåðèñòèêîé ìîæåò áûòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïîçæå ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ òàêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè, êàê ïëîòíîñòü, ïðîèçâîäÿùàÿ è õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèè.
Ðàññìîòðèì íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ âèäû äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ðàñïðåäåëåíèé. Ñ áîëüøèíñòâîì èç íèõ ìû óæå âñòðå÷àëèñü â ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7.6. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííîé (â
òî÷êå a), åñëè P(ξ = a) = 1. Ñîîòâåòñòâóþùåå ðàñïðåäåëåíèå òàêæå íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííûì. Îáîçíà÷åíèå: ξ = a.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7.7. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò êëàññè÷åñêîå, èëè ðàâíîìåðíîå äèñêðåòíîå, ðàñïðåäåëåíèå, åñëè P(ξ = xi ) = 1/n, xi ∈ IR, i = 1, . . . , n.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7.8. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè n ∈ IN è p ∈ (0, 1), åñëè P(ξ = k) = Cnk pk (1 − p)n−k ,
k = 0, . . . , n. Îáîçíà÷åíèå: ξ ∼ Bi(n, p).
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.8. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå òàêæå íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Áåðíóëëè, íî ÷àùå ïîä ðàñïðåäåëåíèåì Áåðíóëëè ïîäðàçóìåâàþò ðàñïðåäåëåíèå Bi(1, p).
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.9. Îáû÷íî ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ , èìåþùàÿ áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè n è p, ñîîòâåòñòâóåò ñõåìå n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ ¾óñïåõà¿ p. Ïðè ýòîì èìååòñÿ â âèäó,
Ðèñ. 7.6
ï.í.
56
÷òî ðàñïðåäåëåíèå ξ ñîâïàäàåò ñ ðàñïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ðàâíîé
÷èñëó ¾óñïåõîâ¿ â ñõåìå Áåðíóëëè. Àíàëîãè÷íî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η , èìåþùàÿ
áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè 1 è p, îïèñûâàåò îäíî èñïûòàíèå
Áåðíóëëè. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî η = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â
îäíîì èñïûòàíèè ïðîèçîøåë ¾óñïåõ¿.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7.9. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå, èëè ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà, ñ ïàðàìåòðîì λ > 0, åñëè
P(ξ = k) = e
k
−λ λ
k!
,
ãäå k = 0, 1, . . . Îáîçíà÷åíèå: ξ ∼ P ois(λ).
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7.10. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì p ∈ (0, 1), åñëè P(ξ = k) = (1 − p)pk , k = 0, 1, . . .
Îáîçíà÷åíèå: ξ ∼ G(p).
ÇÀÄÀ×À 7.23. Èçîáðàçèòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå âûðîæäåííîìó, êëàññè÷åñêîìó (äëÿ n = 3) è áèíîìèàëüíîìó (ñ ïàðàìåòðàìè 1 è p)
ðàñïðåäåëåíèÿì.
ÐÅØÅÍÈÅ. Íà ðèñ. 7.77.9 èçîáðàæåíû ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. F (x)
1
F (x)
1
F (x)
1
1
3
p
1
3
1 p
1
3
0
a
x1 x2 0
x
Ðèñ. 7.7
x3
x
0
Ðèñ. 7.8
1
x
Ðèñ. 7.9
ÇÀÄÀ×À 7.24. Èçîáðàçèòü ãðàôè÷åñêè ÷àñòíûå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé, ñîîòâåòñòâóþùèå ïóàññîíîâñêîìó è ãåîìåòðè÷åñêîìó ðàñïðåäåëåíèÿì.
ÐÅØÅÍÈÅ. Íà ðèñ. 7.10 è 7.11 èçîáðàæåíû ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàôèêè. pi
pi
1 p
e
λ
0
1 2 3 4 5 6 i
Ðèñ. 7.10
0
1 2 3 4 5 6 i
Ðèñ. 7.11
ÇÀÄÀ×À 7.25. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè P(ξ = i) = 0.2, i = −2, −1, 0, 1, 2. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí η = −ξ è ζ = |ξ|.
57
ÐÅØÅÍÈÅ. Êîãäà ðå÷ü èäåò î äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíàõ, ïðîùå âñåãî, ñîãëàñíî çàäà÷å 7.21, èñêàòü ðàñïðåäåëåíèå ÷åðåç ÷àñòíûå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé P(ξ = xi ). Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η èìååì P(η = i) = P(ξ = −i) = 0.2,
i = −2, −1, 0, 1, 2. Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ èìååì P(ζ = i) = P({ξ = i}∪
∪{ξ = −i}) = 0.4, i = 1, 2, è P(ζ = 0) = P(ξ = 0) = 0.2. Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü àêñèîìîé àääèòèâíîñòè âåðîÿòíîñòè è òåì, ÷òî âåðîÿòíîñòè ýêâèâàëåíòíûõ
ñîáûòèé ñîâïàäàþò, òî åñòü P(A) = P(B), åñëè A = B . ÇÀÄÀ×À 7.26. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0 è 1, à ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η çíà÷åíèÿ −1, 0 è 1. Âåðîÿòíîñòè P(ξ = i, η = j), i = 0, 1,
j = −1, 0, 1, çàäàþòñÿ ñëåäóþùåé òàáëèöåé:
Òàáëèöà 7.2
P(·, ·) η = −1 η = 0 η = 1
ξ=0
1/16
1/4
1/16
ξ=1
1/16
1/4
5/16
Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ = ξη .
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.10.  ôîðìóëèðîâêå çàäà÷è 7.26 ìû âïåðâûå ñòîëêíóëèñü ñ
àðãóìåíòîì âåðîÿòíîñòè, çàïèñàííûì â âèäå ïåðå÷èñëåíèÿ ñîáûòèé ÷åðåç çàïÿòóþ. Ïîäîáíàÿ çàïèñü ïîíèìàåòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáûòèé.
ÐÅØÅÍÈÅ. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζ ïðèíèìàåò ñ íåíóëåâûìè âåðîÿòíîñòÿìè ëèøü çíà÷åíèÿ −1, 0 è 1. Íàéäåì ÷àñòíûå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé
P(ζ = k), k = −1, 0, 1. Èìååì
P(ζ = −1) = P(η = −1, ξ = 1) =
1
,
16
P(ζ = 0) = P({η = 0, ξ = 0} ∪ {η = 0, ξ = 1}∪
5
∪{η = −1, ξ = 0} ∪ {η = 1, ξ = 0}) = ,
8
5
P(ζ = 1) = P(η = 1, ξ = 1) = .
16
Çäåñü ìû îïÿòü âîñïîëüçîâàëèñü àääèòèâíîñòüþ âåðîÿòíîñòè. 58
ÄÎÌÀØÍÅÅ ÇÀÄÀÍÈÅ
ÇÀÄÀ×À 7.27. Ïóñòü ξ = 0. Ïîñòðîèòü ïðèìåð ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ(ω),
ïðèíèìàþùåé âñå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ.
ï.í.
ÇÀÄÀ×À 7.28. Ïóñòü ξ è η äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îïðåäåëåííûå íà îäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèè ξ + η , ξ − η ,
max{ξ, η}, min{ξ, η}, ξη è |ξ| ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.
ÇÀÄÀ×À 7.29. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0 è 1, à ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η çíà÷åíèÿ −1, 0 è 1. Âåðîÿòíîñòè P(ξ = i, η = j), i = 0, 1,
j = −1, 0, 1, çàäàþòñÿ òàáëèöåé 7.2. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû:
à) ζ1 = ξ + η ; á) ζ2 = ξ − η .
ÇÀÄÀ×À 7.30. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0 è 1, à ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η çíà÷åíèÿ −1, 0 è 1. Âåðîÿòíîñòè P(ξ = i, η = j), i = 0, 1,
j = −1, 0, 1, çàäàþòñÿ òàáëèöåé 7.2. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèÿ ξ è η .
ÇÀÄÀ×À 7.31. Íàéòè ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå P(ζ1 = i, ζ2 = j) ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí ζ1 è ζ2 , îïðåäåëåííûõ â çàäà÷å 7.28.
ÇÀÄÀ×À 7.32. Èçîáðàçèòü ãðàôè÷åñêè ÷àñòíûå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé è ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàñïðåäåëåíèþ P ois(1.5).
ÇÀÄÀ×À 7.33. Èçîáðàçèòü ãðàôè÷åñêè ÷àñòíûå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé è ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàñïðåäåëåíèþ Bi(3, 1/3).
ÇÀÄÀ×À 7.34. Èçîáðàçèòü ãðàôè÷åñêè ÷àñòíûå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé è ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàñïðåäåëåíèþ G(1/3).
ÇÀÄÀ×À 7.35. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé P(ξ = k) = C/[k(k + 1)], k = 1, 2, . . . Íàéòè: à) ïîñòîÿííóþ C ;
á) P(ξ ≤ 3); â) P(n1 ≤ ξ ≤ n2 ), n1 , n2 ∈ IN.
ÇÀÄÀ×À 7.36. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé P(ξ = k) = C/[k(k + 1)(k + 2)], k = 1, 2, . . . Íàéòè: à) ïîñòîÿííóþ
C ; á) P(ξ ≥ 3); â) P(n1 ≤ ξ ≤ n2 ), n1 , n2 ∈ IN.
ÇÀÄÀ×À 7.37. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ −1 è 1, à ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η çíà÷åíèÿ −1, 0 è 1. Âåðîÿòíîñòè P(ξ = i, η = j), i = −1, 1,
j = −1, 0, 1, çàäàþòñÿ ñëåäóþùåé òàáëèöåé:
Òàáëèöà 7.3
P(·, ·)
η = −1 η = 0 η = 1
ξ = −1
1/8
1/12
7/24
ξ=1
5/24
1/6
1/8
Íàéòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η .
59
ÇÀÄÀ×À 7.38. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ −1 è 1, à ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η çíà÷åíèÿ −1, 0 è 1. Âåðîÿòíîñòè P(ξ = i, η = j), i = −1, 1,
j = −1, 0, 1, çàäàþòñÿ òàáëèöåé 7.3. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
ζ1 = ξ + η è ζ2 = ξη .
ÇÀÄÀ×À 7.39. ×èñëî ïðîâåäåííûõ îïûòîâ N ñëó÷àéíî è ìîæåò èçìåíÿòüñÿ
îò íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè, ïðè÷åì
P(N = n) = e
n
−λ λ
n!
,
λ > 0, n = 0, 1, . . .
Êàæäûé îïûò íåçàâèñèìî îò äðóãèõ îïûòîâ è îò ÷èñëà îïûòîâ ìîæåò áûòü
óñïåøíûì ñ âåðîÿòíîñòüþ p. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà óñïåøíûõ îïûòîâ.
ÇÀÄÀ×À 7.40. Âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ ãåðáà ïðè êàæäîì èç ïÿòè áðîñàíèé
ìîíåòû ðàâíà 0.5. Ïîñòðîèòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ îòíîøåíèÿ ÷èñëà ïîÿâëåíèé
ãåðáà ê ÷èñëó ïîÿâëåíèé ðåøåòêè è ãðàôèê ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.
60
ÇÀÍßÒÈÅ 9
Ïðåæäå ÷åì ïðèñòóïèòü ê èçëîæåíèþ ïîíÿòèÿ àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè,
êîòîðîìó ïîñâÿùåíî äàííîå çàíÿòèå, ñêàæåì íåñêîëüêî ñëîâ î âàæíîì îáîáùåíèè ïîíÿòèÿ èíòåãðàëà, à èìåííî îá èíòåãðàëå Ëåáåãà.
Ïóñòü çàäàíî íåêîòîðîå èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî
(S, H) è ïîëíàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ñ÷åòíî-àääèòèâíàÿ
ìåðà µ íà íåì. Ìåðà íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè âñå ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà íóëåâîé ìåðû ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè H. Ìåðà µ ôàêòè÷åñêè îòëè÷àåòñÿ îò âåðîÿòíîñòs
0 S
i 1 Si Si+1
íîé ìåðû P ëèøü îòñóòñòâèåì àêñèîìû íîðìèðîâàííîÐèñ. 7.12
ñòè. Ïóñòü µ(S) < ∞. Ðàññìîòðèì ïðîñòóþ ôóíêöèþ
g : S −→ IR, òî åñòü ôóíêöèþ, ïðèíèìàþùóþ íå áîëåå ñ÷åòíîãî ÷èñëà çíà÷åíèé: g(s) = yn , yn 6= yk ïðè n 6= k , åñëè s ∈ Sn , ãäå Sn ∈ H, ïðè÷åì ∪∞
n=1 Sn = S
(ñì. ðèñ. 7.12). Ôàêòè÷åñêè ôóíêöèÿ g åñòü äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íà
èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (S, H). Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ g ÿâëÿåòñÿ ñóììèðóåìîé
ïî Ëåáåãó, åñëè ðÿä
g(s)
∞
X
yn µ(Sn )
n=1
ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî; ñóììà ýòîãî ðÿäà íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ëåáåãà è îáîçíà÷àåòñÿ
Z
Z
g dµ
èëè
S
g(s) µ(ds).
(7.3)
S
Ôóíêöèÿ f : S −→ IR íàçûâàåòñÿ ñóììèðóåìîé ïî Ëåáåãó íà S , åñëè ñóùåñòâóåò
ðàâíîìåðíî ñõîäÿùàÿñÿ ê f ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîñòûõ ñóììèðóåìûõ ôóíêöèé
gn è ïðåäåë
Z
lim
gn dµ = I
n→∞
S
êîíå÷åí. ×èñëî I íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ëåáåãà è îáîçíà÷àåòñÿ àíàëîãè÷íî
(7.3). Áîëåå ïîäðîáíî îá èíòåãðàëå Ëåáåãà è åãî ñâîéñòâàõ ìîæíî ïðî÷èòàòü,
íàïðèìåð, â [7].
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.11. Íåðåäêî ìîæíî âñòðåòèòü îïðåäåëåíèå ïðîñòîé ôóíêöèè
êàê ôóíêöèè, ïðèíèìàþùåé êîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé. Èíòåãðàë Ëåáåãà ìîæíî òàêæå îïðåäåëèòü ïðè ïîìîùè êîíå÷íîçíà÷íûõ ïðîñòûõ ôóíêöèé, íî íàì â
äàëüíåéøåì áóäåò óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ èìåííî ïðèâåäåííûì îïðåäåëåíèåì.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.12. Ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò èìåòü è áîëåå ñëîæíûé âèä,
íåæåëè ïîêàçàíî íà ðèñ. 7.12. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ Äèðèõëå, ðàâíàÿ åäèíèöå â
ðàöèîíàëüíûõ è íóëþ â èððàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé íà
61
èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (S, H), ãäå S = IR, à H = {IR, ∅, ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë}, à òàêæå íà èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (IR, B), ïðè÷åì åå èíòåãðàë ïî ìåðå Ëåáåãà íà âñåé ïðÿìîé, î÷åâèäíî,
ðàâåí íóëþ.
Ïóñòü çàäàíî íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P).
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7.11. Ðàñïðåäåëåíèå Pξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ
àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ
f (x), ÷òî äëÿ ëþáîãî áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà B ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
Z
f (x) λ(dx),
Pξ (B) =
(7.4)
B
ãäå λ ìåðà Ëåáåãà. Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ .
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.13 (îñíîâíîå ñâîéñòâî ïëîòíîñòè). Åñëè ïëîòíîñòü f (x) ðàñïðåäåëåíèÿ ñóùåñòâóåò, òî
Z
f (x) λ(dx) = 1.
(−∞,+∞)
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.14. Ïîñêîëüêó ïðè ïåðåîïðåäåëåíèè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â îäíîé òî÷êå çíà÷åíèå èíòåãðàëà â (7.4) íå èçìåíèòñÿ, ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëåíà íåîäíîçíà÷íî. Áîëåå òîãî, ïëîòíîñòü áåçáîëåçíåííî ìîæíî
ïåðåîïðåäåëèòü íà ñ÷åòíîì ìíîæåñòâå òî÷åê, à òàêæå íà ëþáîì ìíîæåñòâå òî÷åê ëåáåãîâîé ìåðû íóëü. Êðîìå òîãî, åñëè ðèìàíîâñêèé èíòåãðàë ñóùåñòâóåò,
åãî çíà÷åíèå ðàâíÿåòñÿ èíòåãðàëó Ëåáåãà îò òîé æå ôóíêöèè ïî ìåðå Ëåáåãà,
ïîñêîëüêó ïî îïðåäåëåíèþ ëåáåãîâîé ìåðû dx = λ(dx). Âåçäå äàëåå, åñëè íå
îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî
Zx
Z
f (x) dx,
f (x) λ(dx) =
(−∞,x)
∀x ∈ IR.
−∞
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.15. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå (÷òî ñëåäóåò íàïðÿìóþ èç îïðåäåëåíèÿ 7.11), îáðàòíîå íåâåðíî (ñëåäóåò
èç çàìå÷àíèÿ 7.14).
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.16. Èç îïðåäåëåíèÿ 7.4 è çàìå÷àíèÿ 7.14 ñëåäóåò, ÷òî ñîîòíîøåíèå (7.4) ýêâèâàëåíòíî ñîîòíîøåíèþ
Zx
Fξ (x) =
f (u) du,
−∞
62
(7.5)
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî â òî÷êàõ, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ Fξ (x) äèôôåðåíöèðóåìà, ïëîòíîñòü ìîæíî èñêàòü ïî ôîðìóëå
f (x) =
ïðè÷åì
dF (x)
,
dx
(7.6)
dF (x)
λ f (x) 6=
= 0.
(7.7)
dx
 îñòàëüíûõ òî÷êàõ ïëîòíîñòü ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé ëþáîìó íåîòðèöàòåëüíîìó ÷èñëó.
ÂÎÏÐÎÑ. Ïî÷åìó ðàñïðåäåëåíèå, îïðåäåëåííîå â (7.4) è (7.5), íàçûâàåòñÿ
àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì?
ÎÒÂÅÒ. Âî-ïåðâûõ, ìåðà Pξ íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé îòíîñèòåëüíî ìåðû λ, åñëè Pξ (B) = 0 äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà B , äëÿ êîòîðîãî λ(B) = 0.
Äàííîå óñëîâèå î÷åâèäíî ñëåäóåò èç (7.4), ïîñêîëüêó åñëè ¾äëèíà¿ èíòåðâàëà B
ðàâíÿåòñÿ íóëþ, òî èíòåãðàë ïî ýòîìó èíòåðâàëó òîæå ðàâåí íóëþ.
Âî-âòîðûõ, ôóíêöèÿ F (x) íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé íà IR, åñëè äëÿ
ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî äëÿ ëþáîé êîíå÷íîé ñèñòåìû ïîïàðíî
íåïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëîâ (ak , bk ) ⊂ IR, k = 1, . . . , n, äëÿ êîòîðîé
n
X
(bk − ak ) < δ,
k=1
ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
n
X
|F (bk ) − F (ak )| < ε.
k=1
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ íà IR ôóíêöèÿ èìååò îãðàíè÷åííóþ âàðèàöèþ è ïî÷òè â êàæäîé (îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà) òî÷êå êîíå÷íóþ
ïðîèçâîäíóþ F 0 (x), èíòåãðèðóåìóþ íà IR, ïðè÷åì
Zx
F (x) = F (−∞) +
F 0 (u) du.
−∞
Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîìó çàêîíó, óäîâëåòâîðÿåò ïåðå÷èñëåííûì ñâîéñòâàì, ÷òî è îáúÿñíÿåò ñàìî
íàçâàíèå çàêîíà.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.17. Èç îïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî çàêîíà ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà IR.
ÇÀÄÀ×À 7.41. Âûïèñàòü ïëîòíîñòü ïóàññîíîâñêîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ.
ÐÅØÅÍÈÅ. Äàííàÿ çàäà÷à ïîäðàçóìåâàåò äâà ïðàâèëüíûõ îòâåòà. Ñ îäíîé
ñòîðîíû, èñõîäÿ èç êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ 7.11 ïëîòíîñòè, ìîæíî ñêàçàòü,
63
÷òî çàäà÷à ïîñòàâëåíà íåêîððåêòíî, ïîñêîëüêó ïëîòíîñòü îïðåäåëåíà òîëüêî
äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé, à ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ÿâëÿåòñÿ
äèñêðåòíûì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñóùåñòâóåò áîëåå îáùåå îïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè
ðàñïðåäåëåíèÿ îòíîñèòåëüíî äîìèíèðóþùåé ìåðû, êîòîðîå äàåòñÿ â òåîðåìå
ÐàäîíàÍèêîäèìà (ñì., íàïðèìåð, [7, ñ. 128]). Äîìèíèðóþùåé ìåðîé íàçûâàåòñÿ ìåðà λ, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé àáñîëþòíî íåïðåðûâíà ìåðà P (ñì. îòâåò íà
ïðåäûäóùèé âîïðîñ). Â ñîîòíîøåíèè (7.4) äîìèíèðóþùåé ìåðîé ÿâëÿåòñÿ ìåðà Ëåáåãà. Äëÿ ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Pξ äîìèíèðóþùåé ìåðîé áóäåò
ñ÷èòàþùàÿ ìåðà µ, çíà÷åíèå êîòîðîé íà êàæäîì ìíîæåñòâå ðàâíÿåòñÿ ÷èñëó
öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ òî÷åê, ïîïàâøèõ â äàííîå ìíîæåñòâî. Ôóíêöèÿ f (x),
äëÿ êîòîðîé
Z
Pξ (B) =
f (x) µ(dx),
B
áóäåò èìåòü âèä
λx
x!
äëÿ âñåõ öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ òî÷åê x è f (x) = 0 (èëè ëþáîìó íåîòðèöàòåëüíîìó ÷èñëó) â îñòàëüíûõ òî÷êàõ.
Êðîìå òîãî, èç òåîðåìû ÐàäîíàÍèêîäèìà ñëåäóåò, ÷òî ïëîòíîñòü îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæåñòâà äîìèíèðóþùåé ìåðû íóëü. Òàêèì
îáðàçîì, ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì íå âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (7.6), èìååò ìåðó Ëåáåãà íóëü (ñì. (7.7)); ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî çàêîíà
ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé ïî÷òè âî âñåõ (ïî ìåðå Ëåáåãà) òî÷êàõ; ïëîòíîñòü
ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü ïî ôîðìóëå (7.6), äîîïðåäåëÿÿ åå â òî÷êàõ, ãäå
íå ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíîé F 0 (x), ëþáûì îáðàçîì, ñîõðàíÿÿ åå íåîòðèöàòåëüíîñòü. ÂÎÏÐÎÑ. Ïî÷åìó â îïðåäåëåíèè 7.11 òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ïëîòíîñòü áûëà íåîòðèöàòåëüíîé?
ÎÒÂÅÒ. Êîíå÷íî, åñëè ìû ïåðåîïðåäåëèì ôóíêöèþ f (x) â (7.4) òàê, ÷òîáû
îíà ïðèíèìàëà îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå â îäíîé òî÷êå, òî èíòåãðàë â (7.4) îò
ýòîãî íå èçìåíèò ñâîåãî çíà÷åíèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðåäïîñûëîê äëÿ íåîòðèöàòåëüíîñòè ïëîòíîñòè, ïî ñóùåñòâó, íåò. Îäíàêî åñëè ìû âñïîìíèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ýòî òàêàÿ æå ìåðà, êàê ìàññà, òî ìû çàìåòèì, ÷òî ïëîòíîñòü â îïðåäåëåíèè 7.11 èìååò ñìûñë ïëîòíîñòè, çíàêîìîé íàì ïî øêîëüíûì óðîêàì ôèçèêè.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî â áåñêîíå÷íîì ñòåðæíå ðàñïðåäåëåíà
åäèíè÷íàÿ ìàññà, ïðè÷åì â êàæäîì ñå÷åíèè ñòåðæíÿ ïëîòíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ
ôóíêöèåé f (x), òî äëÿ ïîäñ÷åòà ìàññû ÷àñòè ñòåðæíÿ äëèíû B íàì ïîíàäîáèòñÿ èìåííî ôîðìóëà (7.4). Òàêèì îáðàçîì, íåîòðèöàòåëüíîñòü ïëîòíîñòè âûçâàíà
èñòîðè÷åñêèìè è ôèçè÷åñêèìè ïðåäïîñûëêàìè.
Òåïåðü ðàññìîòðèì íåñêîëüêî íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé.  íèæåñëåäóþùèõ îïðåäåëåíèÿõ ìû áóäåì ïðèâîf (x) = e−λ
64
äèòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ (â êëàññè÷åñêîì åå âèäå), õàðàêòåðèçóþùóþ ñîîòâåòñòâóþùèé çàêîí. Ïðè ýòîì íå ñîñòàâëÿåò òðóäà âûïèñàòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (7.5).
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7.12. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a ∈ IR è b ∈ IR (a < b), èëè ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà íà
îòðåçêå [a, b], åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä
1
f (x) = b − a
0
ïðè x ∈ [a, b];
ïðè x ∈
/ [a, b].
Îáîçíà÷åíèå: ξ ∼ R[a, b].
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.18. Ïëîòíîñòü è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíîãî çàêîíà èçîáðàæåíû íà ðèñ. 7.13 è 7.14 ñîîòâåòñòâåííî.
f (x)
F (x)
1
1
b−a
0
a
x
b
0
Ðèñ. 7.13
a
b
x
Ðèñ. 7.14
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7.13. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a ∈ IR è σ 2 > 0, åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïëîòíîñòü
ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä
f (x) = √
1
(x−a)2
2πσ 2
· e− 2σ2 ,
x ∈ IR.
Îáîçíà÷åíèå: ξ ∼ N (a, σ 2 ).
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.19. Ïëîòíîñòü è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíîãî çàêîíà
èçîáðàæåíû íà ðèñ. 7.15 è 7.16 ñîîòâåòñòâåííî.
f (x)
F (x)
1
√1
2πσ
1
2
0
6σ
a
Ðèñ. 7.15
x
0
a
x
Ðèñ. 7.16
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.20. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè 0 è 1 íàçûâàþò
ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì è îáîçíà÷àþò ÷åðåç N (0, 1). Ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ÷åðåç
Φ(x), à ïëîòíîñòü ÷åðåç ϕ(x), ñîîòâåòñòâóþùèå õàðàêòåðèñòèêè íîðìàëüíîãî
65
çàêîíà ñ ïàðàìåòðàìè a è σ 2 îáîçíà÷àþò ÷åðåç Φa, σ2 (x) è ϕa, σ2 (x). Ïðè ýòîì
x−a
Φa, σ2 (x) = Φ
.
σ
Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè
1
Φ(x) = √
2π
Zx
(7.8)
u2
e− 2 du
−∞
ìîæíî íàéòè â òàáëèöàõ (ñì. Ïðèëîæåíèå). Ïðè ýòîì çà÷àñòóþ ïðèâîäÿòñÿ íå
çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà Φ(x), à çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Ëàïëàñà
1
Φ0 (x) = √
2π
Zx
u2
e− 2 du.
0
Ïðè îòûñêàíèè òðåáóåìûõ çíà÷åíèé ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
1
+ Φ0 (x), Φ(−x) = 1 − Φ(x), x > 0.
2
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7.14. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ïîêàçàòåëüíîå, èëè ýêñïîíåíöèàëüíîå, ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ > 0, åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ
ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä
(
λe−λx ïðè x ≥ 0;
f (x) =
0
ïðè x < 0.
Φ(x) =
Îáîçíà÷åíèå: ξ ∼ exp(λ).
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.21. Ïëîòíîñòü è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîêàçàòåëüíîãî çàêîíà èçîáðàæåíû íà ðèñ. 7.17 è 7.18 ñîîòâåòñòâåííî.
f (x)
F (x)
1
λ
x
0
x
0
Ðèñ. 7.17
Ðèñ. 7.18
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7.15. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Êîøè ñ
ïàðàìåòðàìè a ∈ IR è σ > 0, åñëè
f (x) =
1
σ
· 2
,
π σ + (x − a)2
x ∈ IR.
Îáîçíà÷åíèå: ξ ∼ K(a, σ).
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.22. Ïëîòíîñòü è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàêîíà Êîøè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 7.19 è 7.20 ñîîòâåòñòâåííî.
66
f (x)
F (x)
1
1
πσ
1
2
0
a
Ðèñ. 7.19
x
a
0
x
Ðèñ. 7.20
Çàìåòèì, ÷òî íå âñÿêîå áàçîâîå ïðîñòðàíñòâî äîïóñêàåò âîçìîæíîñòü ïîñòðîèòü íà íåì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ñ çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèåì.
ÇÀÄÀ×À 7.42. Ïîêàçàòü, ÷òî íå íà âñÿêîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå
(Ω, F, P) ìîæíî ïîñòðîèòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ ñ ðàâíîìåðíûì íà îòðåçêå [0, 1] ðàñïðåäåëåíèåì.
ÐÅØÅÍÈÅ. Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ,
èìåþùåå íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíóþ ìîùíîñòü. Ïîñêîëüêó ìîùíîñòü ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íå ìîæåò áûòü ìåíüøå
êîíòèíóóìà, ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, îïðåäåëåííóþ íà äàííîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, ïîñòðîèòü íåâîçìîæíî. Ñóùåñòâóåò òðè îñíîâíûõ êëàññà ðàñïðåäåëåíèé. Ñ äâóìÿ èç íèõ (äèñêðåòíûìè è àáñîëþòíî íåïðåðûâíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè) ìû óæå ïîçíàêîìèëèñü.
Òåïåðü ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ òðåòüåãî êëàññà.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7.16. Ðàñïðåäåëåíèå Pξ íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì ñèíãóëÿðíîãî òèïà, åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé, íî ìíîæåñòâî òî÷åê ðîñòà äàííîé ôóíêöèè èìååò ìåðó Ëåáåãà íóëü.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7.17. Òî÷êà x íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðîñòà ôóíêöèè F (x),
åñëè äëÿ ëþáîãî äîñòàòî÷íî ìàëîãî ε > 0 â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè (ðàäèóñà,
áîëüøåãî, ÷åì ε) òî÷êè x âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
F (x + ε) − F (x − ε) > 0.
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñèíãóëÿðíîãî òèïà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1. Fξ (x) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ;
2. dF (x)/dx = 0 ïî÷òè âñþäó (ïî ìåðå Ëåáåãà);
3. F (+∞) − F (−∞) = 1.
ÇÀÄÀ×À 7.43. Ïîñòðîèòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñèíãóëÿðíîãî òèïà.
67
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü F (x) = 0 ïðè x < 0 è F (x) = 1
ïðè x > 1. Ðàçîáüåì îòðåçîê [0, 1] íà òðè ðàâíûå ñåã3
4
ìåíòà [0, 1/3], [1/3, 2/3] è [2/3, 1]. Îïðåäåëèì ôóíê1
2
1
öèþ F (x) íà îòðåçêå [1/3, 2/3] ðàâíîé 1/2. Ñ êàæäûì
4
èç îñòàâøèõñÿ îòðåçêîâ ïðîäåëàåì àíàëîãè÷íóþ ïðîx
0 91 29 13 23 79 89 1
öåäóðó, îïðåäåëèâ F (x) = 1/4 ïðè x ∈ [1/9, 2/9] è
Ðèñ. 7.21
F (x) = 3/4 ïðè x ∈ [7/9, 8/9], è òàê äàëåå. Äàííûé
ïðîöåññ ïðîèëëþñòðèðîâàí íà ðèñ. 7.21.  òî÷êàõ ìíîæåñòâà
F (x)
1
∞ [
n [
3k − 2 3k − 1
K = [0, 1]\
,
n
3
3n
n=1
k=1
îïðåäåëèì ôóíêöèþ ïî íåïðåðûâíîñòè.
Î÷åâèäíî, ÷òî ìåðà Ëåáåãà ìíîæåñòâà K ðàâíÿåòñÿ íóëþ. Ìîæíî ïîêàçàòü,
÷òî ìíîæåñòâî K èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóì (ñì., íàïðèìåð, [5, ñ. 63]). Òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåííàÿ ôóíêöèÿ (íàçûâàåìàÿ êðèâîé Êàíòîðà, èëè ôóíêöèåé
Êàíòîðà) óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåíèþ 7.16, à ìíîæåñòâî K (íàçûâàåìîå êàíòîðîâûì ìíîæåñòâîì) ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì íåêîíå÷íîãî è íåñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà,
èìåþùåãî ìåðó Ëåáåãà íóëü. ÂÎÏÐÎÑ. Ïî÷åìó îñíîâíûìè êëàññàìè ðàñïðåäåëåíèé ñ÷èòàþòñÿ èìåííî äèñêðåòíûé, àáñîëþòíî íåïðåðûâíûé è ñèíãóëÿðíûé êëàññû?
ÎÒÂÅÒ íà ýòîò âîïðîñ äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
ÒÅÎÐÅÌÀ 7.3 (òåîðåìà Ëåáåãà). Ëþáàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
F (x) = p1 F1 (x) + p2 F2 (x) + p3 F3 (x),
ãäå pi ≥ 0, i = 1, 2, 3, p1 + p2 + p3 = 1, à ôóíêöèè Fi (x) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè
ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîãî, àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî è ñèíãóëÿðíîãî çàêîíîâ
ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè âñå ÷èñëà pi îòëè÷íû îò íóëÿ, òî ýòî ïðåäñòàâëåíèå
åäèíñòâåííî.
ÇÀÄÀ×À 7.44. Ïóñòü òî÷êà A = (u, v) ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â êâàäðàòå
Ω = {(u, v)| u, v ∈ [0, 1]} (çäåñü ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà ïëîñêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè, ñì. çàìå÷àíèå 2.1). Ïîëîæèì
ξ1 = ξ1 (u, v) = u,
(
1
ïðè u ≥ v;
ξ2 = ξ2 (u, v) =
−1 ïðè u < v.
Íàéòè: à) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ1 ; á) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷àñòíûå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ2 .
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü x > 1, òîãäà
P(ξ1 < x) = P{(u, v)| u < x, (u, v) ∈ Ω} = P(Ω) = 1.
68
Ïóñòü x ≤ 0, òîãäà
P(ξ1 < x) = P{(u, v)| u < x, (u, v) ∈ Ω} = P(∅) = 0.
Åñëè 0 < x ≤ 1, òî ñîáûòèå
A(x) = {(u, v)| u < x, (u, v) ∈ Ω}
îáðàçóåò ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè, ðàâíûìè 1 è x (ñì. ðèñ. 7.22). Ïî îïðåäåëåíèþ ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè èìååì
P(ξ1 < x) =
mes A(x)
= x.
mes Ω
Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíîãî çàêîíà ñ ïàðàìåòðàìè 0 è 1 (ñì. ðèñ. 7.14). Âîñïîëüçîâàâøèñü îïðåäåëåíèåì 7.12 èëè ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ óæå ïîëó÷åííóþ ôóíêöèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè ξ1 :
(
1
f (x) =
0
v
1
ïðè x ∈ [0, 1];
ïðè x ∈
/ [0, 1].
Àíàëîãè÷íî, ïîñêîëüêó èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
{ξ2 < x} = {ξ2 = −1} =
= {(u, v)| u < v, (u, v) ∈ Ω}
0
x
1
Ðèñ. 7.22
u
ïðè −1 < x ≤ 1 (ñì. ðèñ. 7.22), ïîëó÷àåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ2 :
0
P(ξ2 < x) = 1/2
1
ïðè x ≤ −1;
ïðè − 1 < x ≤ 1;
ïðè x > 1.
Íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîãî çàêîíà èìååò ñêà÷êè â
òî÷êàõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòíûì çíà÷åíèÿì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, à âåëè÷èíû ñêà÷êîâ ðàâíÿþòñÿ ÷àñòíûì çíà÷åíèÿì âåðîÿòíîñòè, îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òî
P(ξ2 = −1) = P(ξ2 = 1) = 1/2. Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ2 èíîãäà
íàçûâàþò ñèììåòðè÷íûì áèíîìèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì.
 ñëó÷àå, êîãäà äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíèìàåò îáîçðèìîå ÷èñëî
çíà÷åíèé, åå ðàñïðåäåëåíèå ïðèíÿòî çàïèñûâàòü ñ ïîìîùüþ ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ
â ñòîëáåö. Íàïðèìåð, ðàñïðåäåëåíèå ñèììåòðè÷íîé áèíîìèàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(
−1,
ξ2 =
1,
1/2;
1/2. 69
ÇÀÄÀ×À 7.45. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η = ξ12 , ãäå ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ1 îïðåäåëåíà â çàäà÷å 7.44.
ÐÅØÅÍÈÅ. Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η
ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0 è 1 íà èíòåðâàëàõ (−∞, 0] è (1, +∞) ñîîòâåòñòâåííî.
Íàéäåì P(η < x) ïðè 0 < x ≤ 1. Èìååì
√
√
√
√
P(η < x) = P(ξ12 < x) = P(− x < ξ1 < x) = P(ξ1 < x) = x.
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, ìû îòâåòèëè íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ. ÄÎÌÀØÍÅÅ ÇÀÄÀÍÈÅ
ÇÀÄÀ×À 7.46. Äîêàçàòü ðàâåíñòâî (7.8).
ÇÀÄÀ×À 7.47. Ïóñòü ξ èìååò íîðìàëüíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Φa, σ2 (x).
Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Φa, σ2 (ξ).
ÇÀÄÀ×À 7.48. Âûïèñàòü â ÿâíîì âèäå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíîãî
è ýêñïîíåíöèàëüíîãî çàêîíîâ.
ÇÀÄÀ×À 7.49. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ
ïàðàìåòðîì 1. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû e−ξ .
ÇÀÄÀ×À 7.50. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ 2 è sign ξ .
ÇÀÄÀ×À 7.51. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ
ïàðàìåòðîì 1. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η = [ξ]2 , ãäå [x] öåëàÿ
÷àñòü ÷èñëà x.
ÇÀÄÀ×À 7.52. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò àáñîëþòíî
íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà |ξ| òàêæå èìååò àáñîëþòíî
íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå. Âåðíî ëè îáðàòíîå óòâåðæäåíèå?
ÇÀÄÀ×À 7.53. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ íåêîòîðîãî k > 0 çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
(
ax2 e−kx ïðè x > 0;
f (x) =
0
ïðè x ≤ 0.
Íàéòè êîýôôèöèåíò a è ñîîòâåòñòâóþùóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ.
ÇÀÄÀ×À 7.54. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ
√
ïàðàìåòðîì λ. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è ξ 2 .
ÇÀÄÀ×À 7.55. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ
ïàðàìåòðîì λ. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 1−exp{−λξ}
è λ−1 ln ξ .
ÇÀÄÀ×À 7.56. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà íà îòðåçêå
[0, 1]. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 2ξ + 1 è −ln (1 − ξ).
70
ÇÀÄÀ×À 7.57. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Êîøè ñ ïàðàìåòðàìè 0 è 1. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ 2 /(1 + ξ 2 ) è
1/(1 + ξ 2 ).
ÇÀÄÀ×À 7.58. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Êîøè ñ ïàðàìåòðàìè 0 è 1. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 2ξ/(1 − ξ 2 ) è
1/ξ .
ÇÀÄÀ×À 7.59. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ íåêîòîðîãî C > 0 çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
(
C/x4 ïðè x > 1;
f (x) =
0
ïðè x ≤ 1.
Íàéòè êîýôôèöèåíò C è ñîîòâåòñòâóþùóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ.
ÇÀÄÀ×À 7.60. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îïðåäåëåíà
â çàäà÷å 7.59. Íàéòè ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 1/ξ .
71
8. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå,
äèñïåðñèÿ è ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
ÇÀÍßÒÈÅ 10
Ïóñòü çàäàíî íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P) è ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà ξ íà íåì.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 8.1. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ
íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
Z
Eξ =
ξ(ω) P(dω).
(8.1)
Ω
Åñëè èíòåãðàë (8.1) ðàñõîäèòñÿ, òî ãîâîðÿò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
íå ñóùåñòâóåò.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 8.1. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, åñëè îíî ñóùåñòâóåò, îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî ââèäó óñëîâèÿ àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè â îïðåäåëåíèè èíòåãðàëà
Ëåáåãà (ñì. 7).
Íàõîæäåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà Ëåáåãà íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî óäîáíûì. Äëÿ òîãî ÷òîáû äàòü
áîëåå óäîáíîå ñ àíàëèòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îïðåäåëåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ýêâèâàëåíòíîå (8.1), íàì ïîòðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü åùå îäíî îáîáùåíèå
èíòåãðàëà Ðèìàíà.
Ïóñòü ôóíêöèè f (x) è u(x) îïðåäåëåíû è îãðàíè÷åíû íà [a, b], u(x) ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ è a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b. Ñóììó âèäà
σ = f (y1 )[u(x1 ) − u(x0 )] + . . . + f (yn )[u(xn ) − u(xn−1 )],
ãäå xi−1 ≤ yi ≤ xi , i = 1, . . . , n, íàçûâàþò èíòåãðàëüíîé ñóììîé Ñòèëòüåñà.
Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë ïðè maxi {|u(xi )−u(xi−1 )|} → 0 èíòåãðàëüíûõ
ñóìì σ , ðàâíûé ÷èñëó I , òî I íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ñòèëòüåñà îò ôóíêöèè
f (x) ïî ôóíêöèè u(x) è îáîçíà÷àåòñÿ
Zb
I=
f (x) du(x).
a
72
Ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà ïî ôóíêöèè u(x) íà îòðåçêå
[a, b].
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 8.2. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ
íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
Z+∞
Eξ =
x dFξ (x),
(8.2)
−∞
ãäå Fξ (x) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . Åñëè èíòåãðàë (8.2)
ðàñõîäèòñÿ, òî ãîâîðÿò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íå ñóùåñòâóåò.
Èñïîëüçîâàíèå îïðåäåëåíèÿ 8.2 äëÿ íàõîæäåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
ÿâëÿåòñÿ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ áîëåå óäîáíûì, íåæåëè èñïîëüçîâàíèå îïðåäåëåíèÿ 8.1 ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ÷åðåç èíòåãðàë Ëåáåãà. Îïðåäåëåíèÿ 8.1 è
8.2 ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè.
Êàê èçâåñòíî, ðèìàíîâñêèé èíòåãðàë èìååò ñìûñë ïëîùàäè ïîä êðèâîé, ÿâëÿþùåéñÿ ãðàôèêîì ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè. Òàêîé æå î÷åâèäíûé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë èìååò èíòåãðàë, ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè ñîîòíîøåíèÿ (8.2).
Äåéñòâèòåëüíî, ïîñòðîèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó äëÿ èíòåãðàëà (8.2). Èìååì
σ = y1 [u(x1 ) − u(x0 )] + . . . + yn [u(xn ) − u(xn−1 )],
ãäå xi−1 ≤ yi ≤ xi , i = 1, . . . , n. Íà ðèñ. 8.1 èçîáðàæåíà ñóììà σ äëÿ íåêîòîðîé
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè maxi {|u(xi ) − u(xi−1 )|} → 0,
ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè îòðèöàòåëüíûõ x ñëàãàåìûå yi [u(xi )−u(xi−1 )] ÿâëÿþòñÿ îòðèöàòåëüíûìè, ïîëó÷àåì, ÷òî Eξ = S1 − S2 , ãäå S1 åñòü ïëîùàäü ìåæäó ãðàôèêàìè
ôóíêöèé y = 1 è y = Fξ (x) ïðè x ≥ 0, à S2 ïëîùàäü ïîä ãðàôèêîì ôóíêöèè
y = Fξ (x) ïðè x < 0 (ñì. ðèñ. 8.2). Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë Ñòèëòüåñà (8.2)
ñâÿçàí ñ èíòåãðàëîì Ðèìàíà ñîîòíîøåíèåì
Z+∞
Z0
Z+∞
x dFξ (x) = −
Fξ (x) dx + (1 − Fξ (x)) dx.
−∞
−∞
F (x)
1
(8.3)
0
F (x)
1
S1
0
xi 1 yi xi
Ðèñ. 8.1
x
S2
0
x
Ðèñ. 8.2
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 8.2. Ïðåäñòàâëåíèå (8.3) óäîáíî èñïîëüçîâàòü äëÿ àíàëèçà ¾òÿæåñòè õâîñòîâ¿ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ãîâîðÿò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå èìååò ¾òÿæåëûå õâîñòû¿, åñëè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå äàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íå îïðåäåëåíî. Ïîäîáíàÿ òåðìèíîëîãèÿ ïðèìåíÿåòñÿ è äëÿ àíàëèçà ìîìåíòîâ (ñì. îïðåäåëåíèå 8.13)
äðóãèõ ïîðÿäêîâ.
73
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 8.3. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, à íå ñàìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, òî åñòü èç
d
ξ = η ñëåäóåò Eξ = Eη , îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 8.4. Åñëè Eξ ñóùåñòâóåò è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå è ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ x1 , x2 , . . . ñ âåðîÿòíîñòÿìè p1 ,
p2 , . . . ñîîòâåòñòâåííî, òî
X
Eξ =
xi pi .
(8.4)
i
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 8.5. Åñëè Eξ ñóùåñòâóåò è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ f (x), òî
Z+∞
Eξ =
xf (x) dx.
(8.5)
−∞
Ìû ðàññìîòðåëè ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ åãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà. Êàê èçâåñòíî èç øêîëüíîãî
êóðñà ôèçèêè, êîîðäèíàòà öåíòðà ìàññ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç n òî÷åê íà ïðÿìîé, èìååò âèä
P
n
xi mi
,
(8.6)
i=1 mi
ãäå xi ñóòü êîîðäèíàòû òî÷åê, â êîòîðûõ ñîñðåäîòî÷åíû ìàññû mi ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè æå òðåáóåòñÿ íàéòè êîîðäèíàòó öåíòðà ìàññ áåñêîíå÷íîãî òîíêîãî
ñòåðæíÿ, ïëîòíîñòü â êîòîðîì îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé m(x), òî â ýòîì ñëó÷àå
èñïîëüçóåòñÿ ôîðìóëà
R +∞
xm(x) dx
xö.ì. = R−∞
.
(8.7)
+∞
m(x)
dx
−∞
xö.ì. = Pi=1
n
Âñïîìíèì òåïåðü, ÷òî âåðîÿòíîñòü ÿâëÿåòñÿ òàêîé æå ìåðîé, êàê è ìàññà, ñ òîé
ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî ìàññà-âåðîÿòíîñòü âñåé ñèñòåìû òî÷åê (èëè âñåãî ñòåðæíÿ)
ðàâíÿåòñÿ åäèíèöå. Ïðè ýòîì óñëîâèè çíàìåíàòåëè îáåèõ äðîáåé â (8.6) è (8.7)
ñòàíîâÿòñÿ ðàâíûìè åäèíèöå. Åñëè òåïåðü ñðàâíèòü ñîîòíîøåíèÿ (8.4) è (8.5)
ñ ñîîòíîøåíèÿìè (8.6) è (8.7) ñîîòâåòñòâåííî, òî ñòàíîâèòñÿ ÿñíî, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå åñòü íå ÷òî èíîå, êàê êîîðäèíàòà öåíòðà ìàññ ñèñòåìû, â
êîòîðîé åäèíè÷íàÿ ìàññà ðàñïðåäåëåíà â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ
âåðîÿòíîñòåé.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 8.3. Áîðåëåâñêîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíàÿ
ôóíêöèÿ g : IRn −→ IR, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâîì èçìåðèìîñòè îòíîñèòåëüíî
áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðû Bn :
g −1 (B) ≡ {x ∈ IRn | g(x) ∈ B} ∈ Bn
äëÿ ëþáîãî B ∈ B .
74
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 8.6. Áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà Bn åñòü σ -àëãåáðà, ïîðîæäåííàÿ
âñåìè îòêðûòûìè ìíîæåñòâàìè ïðîñòðàíñòâà IRn . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äàííàÿ
σ -àëãåáðà ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøåé σ -àëãåáðîé, âêëþ÷àþùåé âñå ìíîæåñòâà âèäà
B1 × . . . × Bn , ãäå Bi ∈ B , i = 1, . . . , n.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 8.7. Áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé íà
èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (IRn , Bn ).
ÒÅÎÐÅÌÀ 8.1 (ôîðìóëà çàìåíû ïåðåìåííîé). Ïóñòü ξ åñòü íåêîòîðàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, à g(x) áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà
Z+∞
Z+∞
Eg(ξ) ≡
x dFg(ξ) (x) =
g(x) dFξ (x).
−∞
−∞
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 8.4. Óñëîâíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ξ ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðîèçîøëî ñîáûòèå B (P(B) > 0), íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ
äåéñòâèòåëüíîãî àðãóìåíòà x
F (x| B) = P(ξ < x| B).
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 8.5. Óñëîâíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðîèçîøëî ñîáûòèå B (P(B) > 0), íàçûâàåòñÿ
÷èñëî
Z+∞
x dF (x| B),
E(ξ| B) =
−∞
ãäå F (x| B) åñòü óñëîâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ .
Ïóñòü B1 , . . . , Bn ïîëíàÿ ãðóïïà ñîáûòèé è F (x| B1 ), . . . , F (x| Bn ) ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ñîáûòèÿì óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . Òîãäà ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
F (x) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå
F (x) =
n
X
P(Bi )F (x| Bi ).
i=1
Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà è îïðåäåëåíèÿ 8.5 âûòåêàåò ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå
ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ :
Eξ =
n
X
P(Bi )E(ξ| Bi ).
(8.8)
i=1
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 8.8. Ðàâåíñòâî (8.8) íàçûâàåòñÿ àíàëîãîì ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Ýòà ôîðìóëà îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé è â ñëó÷àå, êîãäà ðàññìàòðèâàåìàÿ ñîâîêóïíîñòü ñîáûòèé Bi ÿâëÿåòñÿ
áåñêîíå÷íîé, ïðè ýòîì âåðõíèé ïðåäåë ñóììèðîâàíèÿ n çàìåíÿåòñÿ íà ∞.
75
Ñåé÷àñ ìû äàäèì îïðåäåëåíèå òàê íàçûâàåìûõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Áîëåå ïîäðîáíî î íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíàõ ðå÷ü ïîéäåò â 1012.
Äàííîå îïðåäåëåíèå òðåáóåòñÿ íàì äëÿ ôîðìóëèðîâàíèÿ íåñêîëüêèõ âàæíûõ
ñâîéñòâ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 8.6. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè
P(ξ1 ∈ B1 , . . . , ξn ∈ Bn ) = P(ξ1 ∈ B1 ) · . . . · P(ξn ∈ Bn )
äëÿ ëþáûõ Bi ∈ B , i = 1, . . . , n.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îáëàäàåò ñëåäóþùèìè îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè:
1. E(a + bξ) = a + bEξ, ãäå a, b ∈ IR;
2. E(ξ +η) = Eξ +Eη , åñëè ñóùåñòâóþò ëþáûå äâà èç ó÷àñòâóþùèõ â ðàâåíñòâå
ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé;
3. åñëè P(a ≤ ξ ≤ b) = 1, òî a ≤ Eξ ≤ b, a, b ∈ IR;
4. |Eξ| ≤ E|ξ|;
5. åñëè P(ξ ≤ η) = 1, òî Eξ ≤ Eη ;
6. åñëè ξ ≥ 0 è Eξ = 0, òî ξ = 0;
ï.í.
7. P(A) = E1ω (A), ãäå 1ω (A) = 1, åñëè ω ∈ A, è 1ω (A) = 0, åñëè ω 6∈ A;
8. ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìû, g(x, y), g1 (x), g2 (y) ñóòü áîðåëåâñêèå ôóíêöèè òàêèå, ÷òî g(x, y) = g1 (x)g2 (y); åñëè P(g1 (ξ) ≥ 0) = 1, P(g2 (η) ≥ 0) = 1 èëè
åñëè Eg1 (ξ), Eg2 (η) ñóùåñòâóþò, òî Eg(ξ, η) = Eg1 (ξ)Eg2 (η), ïðè÷åì äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ Eg(ξ, η) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëè Eg1 (ξ)
è Eg2 (η);
9. åñëè ξ è η ñóòü íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî Eξη = EξEη .
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 8.7. Ôóíêöèÿ 1ω (A) èç ñâîéñòâà 7 ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íàçûâàåòñÿ èíäèêàòîðíîé ôóíêöèåé, èëè èíäèêàòîðîì ñîáûòèÿ A.
ÇÀÄÀ×À 8.1. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ2 è η ,
îïðåäåëåííûõ â çàäà÷àõ 7.44 è 7.45 ñîîòâåòñòâåííî.
ÐÅØÅÍÈÅ. Ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ2 è η áûëè íàéäåíû ïðè
ðåøåíèè çàäà÷ 7.44 è 7.45. Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ
ôîðìóëàìè (8.4) è (8.5). Èìååì
Eξ2 = −1 ·
1
1
+ 1 · = 0.
2
2
Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η , òðåáóåòñÿ íàéòè ïëîòíîñòü fη (x). Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ
76
√
Fη (x), ïîëó÷àåì fη (x) = 1/(2 x) ïðè x ∈ [0, 1] è fη (x) = 0 ïðè x ∈
/ [0, 1]. Òàêèì
îáðàçîì,
Z1
1
1
Eη = x √ dx = . 3
2 x
0
ÇÀÄÀ×À 8.2. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ2 + η ,
ãäå ξ2 è η îïðåäåëåííû â çàäà÷àõ 7.44 è 7.45 ñîîòâåòñòâåííî.
ÐÅØÅÍÈÅ. Äëÿ òîãî ÷òîáû ðåøèòü ýòó çàäà÷ó, ìîæíî íàéòè ðàñïðåäåëåíèå
ñóììû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ2 è η . Î ìåòîäå íàõîæäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû
íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìû ïîãîâîðèì â 10. Ïîäîáíîãî ðîäà çàäà÷è â
îáùåì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íî òðóäîåìêèìè. Íî äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è
íàì äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâîì 2 ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Èìååì
E(ξ2 + η) = Eξ2 + Eη = 1/3. ÇÀÄÀ×À 8.3. Êàæäûé ñòóäåíò ãðóïïû, ñîñòîÿùåé èç 24 ÷åëîâåê, ïåðåä î÷åðåäíûì ñåìèíàðîì ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íåçàâèñèìî îò ñâîèõ êîëëåã äåëàåò
äîìàøíåå çàäàíèå ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.4, åñëè ñòîèò õîðîøàÿ ïîãîäà, è ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.8, åñëè èäåò äîæäü èëè ñíåã. Ñêîëüêî â ñðåäíåì ñòóäåíòîâ ãîòîâû
ê î÷åðåäíîìó ñåìèíàðó, åñëè â ñåìåñòðå íåíàñòíûõ äíåé â ñðåäíåì â äâà ðàçà
áîëüøå, ÷åì ïîãîæèõ?
ÐÅØÅÍÈÅ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ξ ÷èñëî ñòóäåíòîâ, ãîòîâûõ ê çàíÿòèÿì, ÷åðåç
A è B ñîáûòèÿ, çàêëþ÷àþùèåñÿ â òîì, ÷òî ïåðåä ñåìèíàðîì ñòîÿëà õîðîøàÿ
èëè íåíàñòíàÿ ïîãîäà ñîîòâåòñòâåííî. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è P(B) = 2P(A) = 2/3.
Ïîñêîëüêó ñòóäåíòû ãîòîâÿòñÿ ê çàíÿòèÿì íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, ìîæíî
ñ÷èòàòü, ÷òî ìû èìååì äåëî ñî ñõåìîé Áåðíóëëè, â êîòîðîé ¾óñïåõîì¿ ÿâëÿåòñÿ
ñîáûòèå {ñòóäåíò áóäåò ãîòîâ ê ñåìèíàðó}. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ξn , n = 1, . . . , 24,
áèíîìèàëüíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, ñîîòâåòñòâóþùóþ n-ìó èñïûòàíèþ Áåðíóëëè. Çàìåòèì, ÷òî
ξ=
24
X
ξn .
n=1
Íàéäåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ξn . Ïî ôîðìóëå (8.8), ïîñêîëüêó ñîáûòèÿ A è
B îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó, èìååì
Eξn = P(A)E(ξn | A) + P(B)E(ξn | B).
Åñëè ïðîèçîøëî ñîáûòèå A, òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξn èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè 1 è 0.4, à åñëè ïðîèçîøëî ñîáûòèå B , òî âåðîÿòíîñòü
¾óñïåõà¿ ðàâíÿåòñÿ 0.8. Ñëåäîâàòåëüíî,
1
2
2
Eξn = (0 · 0.6 + 1 · 0.4) + (0 · 0.2 + 1 · 0.8) = .
3
3
3
Äëÿ íàõîæäåíèÿ Eξ âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì 2 ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Îòâåò: 16 ñòóäåíòîâ. 77
ÄÎÌÀØÍÅÅ ÇÀÄÀÍÈÅ
ÇÀÄÀ×À 8.4. Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ïîêàçàòü
ñïðàâåäëèâîñòü çàìå÷àíèé 8.4 è 8.5.
ÇÀÄÀ×À 8.5. Äîêàçàòü ñâîéñòâà 17 ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.
ÇÀÄÀ×À 8.6. Ïóñòü ξ íåîòðèöàòåëüíàÿ öåëî÷èñëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
ñ êîíå÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì. Äîêàçàòü, ÷òî
Eξ = P(ξ ≥ 1) + P(ξ ≥ 2) + . . . + P(ξ ≥ n) + . . .
ÇÀÄÀ×À 8.7. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, èìåþùåé ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ,
èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 8.3.
F (x)
1
1
2
0
1
2
1
Ðèñ. 8.3
x
ÇÀÄÀ×À 8.8. Ïóñòü ξ è η îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Âåðíî ëè, ÷òî Eξ = Eη ,
Eξ/η = Eη/ξ , Eξ/(ξ + η) = Eη/(ξ + η), E1/ξ = E1/η ?
ÇÀÄÀ×À 8.9. Ïóñòü ξ è η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñóùåñòâóþò Eξ è Eη , òî ñóùåñòâóåò E max{ξ, η}. Âåðíî ëè îáðàòíîå?
ÇÀÄÀ×À 8.10. Ïóñòü ξ è η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñóùåñòâóþò E max{ξ, η} è E min{ξ, η}, òî ñóùåñòâóþò Eξ è Eη , ïðè÷åì
Eξ + Eη = E max{ξ, η} + E min{ξ, η}.
ÇÀÄÀ×À 8.11. Ïóñòü ξ1 , . . . , ξn ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå êîíå÷íûå
ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ. Äîêàçàòü, ÷òî
E max{ξ1 , . . . , ξn } ≥ max{Eξ1 , . . . , Eξn }
è
E min{ξ1 , . . . , ξn } ≤ min{Eξ1 , . . . , Eξn }.
ÇÀÄÀ×À 8.12. Ïóñòü ξ íåîòðèöàòåëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, òî åñòü òàêàÿ
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ÷òî P(ξ ≥ 0) = 1R. Ïóñòü F (x) åå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
+∞
è Eξ ñóùåñòâóåò. Äîêàçàòü, ÷òî Eξ = 0 (1 − F (x)) dx.
ÇÀÄÀ×À 8.13. Ïóñòü ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ñèììåòðè÷íûì (ñì. çàìå÷àíèå 10.6) îòíîñèòåëüíî íóëÿ ðàñïðåäåëåíèåì. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî âåùåñòâåííîãî a èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî E|ξ + a| ≥ E|ξ|.
ÇÀÄÀ×À 8.14. Ïóñòü ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ êîíå÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì
îæèäàíèåì. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî x âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî max{x, Eξ} ≤
≤ E max{x, ξ}.
ÇÀÄÀ×À 8.15. Ïóñòü ξ èìååò ïëîòíîñòü, çàäàííóþ â çàäà÷å 7.59. Íàéòè Eξ è
E(1/ξ).
78
ÇÀÄÀ×À 8.16. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé îïðåäåëåíî â çàäà÷å 7.35.
ÇÀÄÀ×À 8.17. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí η è ζ ,
îïðåäåëåííûõ â çàäà÷å 7.25.
ÇÀÄÀ×À 8.18. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà íà îòðåçêå
[0, 2π]; η1 = cos ξ ; η2 = sin ξ . Íàéòè Eξ , Eη1 è Eη2 . ßâëÿþòñÿ ëè η1 è η2 íåçàâèñèìûìè?
ÇÀÄÀ×À 8.19. Ïóñòü ξ ∼ K(0, 1). Ïîêàçàòü, ÷òî Eξ íå ñóùåñòâóåò.
ÇÀÄÀ×À 8.20. Ïîñòðîèòü ïðèìåð òàêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ξ , ÷òî ðÿä â ïðàâîé ÷àñòè (8.4) ñõîäèòñÿ, íî Eξ íå ñóùåñòâóåò.
79
ÇÀÍßÒÈÅ 11
Ïóñòü çàäàíî íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P) è ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà ξ íà íåì.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 8.8. Äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
Dξ = E(ξ − Eξ)2 .
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 8.9. Äèñïåðñèÿ åñòü ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îò åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì,
äèñïåðñèÿ åñòü ¾ìåðà ðàçáðîñà¿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 8.10. Äèñïåðñèþ òàêæå ìîæíî îïðåäåëèòü êàê
min E(ξ − a)2 ,
a
ïðè÷åì äàííûé ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ ïðè a = Eξ . Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî Eξ åñòü
íàèëó÷øàÿ îöåíêà â ñðåäíåêâàäðàòè÷íîì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ .
√
Dξ íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì óêëîíåíèåì.
Äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îáëàäàåò ñëåäóþùèìè îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè:
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 8.9. Âåëè÷èíà
1. Dξ = Eξ 2 − (Eξ)2 ;
2. Dξ ≥ 0, ïðè÷åì Dξ = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ξ = const;
ï.í.
3. D(a + bξ) = b2 Dξ , ãäå a, b ∈ IR;
4. åñëè ξ è η ñóòü íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî D(ξ + η) = Dξ + Dη .
ÇÀÄÀ×À 8.21. Äîêàçàòü ñâîéñòâî 4 äèñïåðñèè.
ÐÅØÅÍÈÅ. Äåéñòâèòåëüíî,
D(ξ + η) = E(ξ + η)2 − (Eξ + Eη)2 =
= Eξ 2 + 2Eξη + Eη 2 − (Eξ)2 − 2EξEη − (Eη)2 =
= Eξ 2 − (Eξ)2 + Eη 2 − (Eη)2 = Dξ + Dη.
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ñâîéñòâîì 9 ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Åñëè æå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè, ìû ïîëó÷èì
D(ξ + η) = Dξ + Dη + 2(Eξη − EξEη). ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 8.10. Êîâàðèàöèåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η íàçûâàåòñÿ
÷èñëî
cov(ξ, η) = Eξη − EξEη = E(ξ − Eξ)(η − Eη).
80
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 8.11. Êîâàðèàöèÿ òàêæå íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíûì ñìåøàííûì
ìîìåíòîì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η .
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 8.11. Êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè äâóõ íåâûðîæäåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ êîíå÷íûå äèñïåðñèè, íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
cov(ξ, η)
ρ(ξ, η) = √ √ .
Dξ Dη
Åñëè õîòÿ áû îäíà èç ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η âûðîæäåíà, òî êîýôôèöèåíò
êîððåëÿöèè îáû÷íî ïîëàãàþò ðàâíûì íóëþ.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 8.12. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íàçûâàþòñÿ íåêîððåëèðîâàííûìè, åñëè cov(ξ, η) = 0 èëè ρ(ξ, η) = 0.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 8.12. Èç ðåøåíèÿ çàäà÷è 8.21 âèäíî, ÷òî, âî-ïåðâûõ, D(ξ +η) =
= Dξ + Dη + 2cov(ξ, η) è, âî-âòîðûõ, êîâàðèàöèÿ (à ñëåäîâàòåëüíî, è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè) äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âñåãäà ðàâíÿåòñÿ íóëþ.
 10 ìû ðàññìîòðèì åùå íåñêîëüêî ñâîéñòâ êîâàðèàöèè è êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 8.13. Ìîìåíòîì ïîðÿäêà k ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî Eξ k . Öåíòðàëüíûì ìîìåíòîì ïîðÿäêà k ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ξ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî E(ξ − Eξ)k . Àáñîëþòíûì ìîìåíòîì ïîðÿäêà k ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî E|ξ|k . Öåíòðàëüíûì àáñîëþòíûì ìîìåíòîì ïîðÿäêà k ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî E|ξ − Eξ|k . Ôàêòîðèàëüíûì ìîìåíòîì ïîðÿäêà k ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî Eξ [k] =
= Eξ(ξ − 1) . . . (ξ − k + 1).
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 8.13. Óæå èç îïðåäåëåíèÿ äèñïåðñèè âèäíî, ÷òî åå íå ñóùåñòâóåò, åñëè íå ñóùåñòâóåò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè
èçâåñòíî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, íè÷åãî î ñóùåñòâîâàíèè äèñïåðñèè ñêàçàòü
íåëüçÿ. Äàííîå ïðàâèëî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ëþáûå ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè ñóùåñòâóåò ëþáîé ìîìåíò ïîðÿäêà r, òî ñóùåñòâóåò ëþáîé ìîìåíò ïîðÿäêà q ≤ r. Åñëè ñóùåñòâóåò ìîìåíò ïîðÿäêà q , òî ýòî,
âîîáùå ãîâîðÿ, íå îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ìîìåíò ïîðÿäêà r > q .
 7 ìû äàëè îïðåäåëåíèÿ íåñêîëüêèõ íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ ðàñïðåäåëåíèé.  òàáë. 8.1 ïðèâîäÿòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ðàñïðåäåëåíèÿì ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 8.14. Ñàìûì ïðèìå÷àòåëüíûì â òàáë. 8.1 ÿâëÿåòñÿ îòñóòñòâèå
ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, à ñëåäîâàòåëüíî, è äèñïåðñèè ó ðàñïðåäåëåíèÿ Êîøè. Ýòî âûçâàíî òåì, ÷òî èíòåãðàë
Z+∞
1
σx
dx
π
σ 2 + (x − a)2
−∞
ðàñõîäèòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ðàñïðåäåëåíèå Êîøè ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ïðèìåðîâ
ðàñïðåäåëåíèÿ, äëÿ êîòîðîãî íå ñóùåñòâóåò ìîìåíòîâ, íà÷èíàÿ ñ ïåðâîãî.
81
Òàáëèöà 8.1
Pξ
Eξ
Dξ
ξ =a
a
0
Bi(n, p)
np
np(1 − p)
P ois(λ)
λ
λ
G(p)
p
1−p
p
(1 − p)2
R[a, b]
a+b
2
(a − b)2
12
N (a, σ 2 )
a
σ2
exp(λ)
1
λ
1
λ2
K(a, σ)
∞−∞
ï.í.
 äàëüíåéøåì ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ìû ÷àñòî áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå
óòâåðæäåíèå.
ÒÅÎÐÅÌÀ 8.2 (íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà). Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò
êîíå÷íûé âòîðîé ìîìåíò. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
P(|ξ − Eξ| ≥ ε) ≤
Dξ
.
ε2
(8.9)
ÇÀÄÀ×À 8.22. Íàéòè äèñïåðñèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ2 è η , îïðåäåëåííûõ â
çàäà÷àõ 7.44 è 7.45 ñîîòâåòñòâåííî.
ÐÅØÅÍÈÅ. Ðåøàÿ çàäà÷ó 8.1, ìû íàøëè ïåðâûå ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ2 è η . Âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì 1 äèñïåðñèè äëÿ åå âû÷èñëåíèÿ. Äëÿ
íàõîæäåíèÿ âòîðîãî ìîìåíòà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé 8.1,
ïîëîæèâ g(x) = x2 . Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ2 ÿâëÿåòñÿ âûðîæäåííîé â åäèíèöå.
Ñëåäîâàòåëüíî, Dξ2 = Eξ22 − (Eξ2 )2 = 1 − 0 = 1. Âû÷èñëåíèå äèñïåðñèè êàê
ðàçíîñòè âòîðîãî ìîìåíòà è êâàäðàòà ïåðâîãî ÿâëÿåòñÿ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ
óäîáíûì è äëÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Èìååì
Dη = Eη 2 − (Eη)2 =
Z1
0
82
1
1 1 1
4
x2 √ dx − = − = . 9 5 9 45
2 x
ÇÀÄÀ×À 8.23. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, ïðè÷åì P(ξ1 = 1) = P(ξ1 = −1) = 1/4, P(ξ1 = 0) = 1/2. Íàéòè
ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Sn = ξ1 + . . . + ξn .
ÐÅØÅÍÈÅ. Íàéäåì ìîìåíòû ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ1 . Èìååì
1
1
1
+ 0 · − 1 · = 0,
4
2
4
1
1 1
Dξ1 = Eξ12 = 1 · + 0 · = .
2
2 2
Ïî ñâîéñòâó 2 ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ïîñêîëüêó ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξi
îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû,
Eξ1 = 1 ·
ESn = E
n
X
ξi =
i=1
n
X
Eξi = n · 0 = 0.
i=1
Ïðè ïåðåõîäå îò äèñïåðñèè ñóììû ê ñóììå äèñïåðñèé ìû âîñïîëüçóåìñÿ íåçàâèñèìîñòüþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξi . Ïî ñâîéñòâó 4 äèñïåðñèè ïîëó÷àåì
DSn = D
n
X
i=1
ξi =
n
X
Dξi = n ·
i=1
1 n
= .
2
2
ÇÀÄÀ×À 8.24. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû η1 , η2 , . . . íåçàâèñèìû è èìåþò îäèíàêîâîå Bi(1, 1/2) ðàñïðåäåëåíèå, à ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξi îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè ξi = ηi −ηi+2 , i = 1, 2, . . . Ïîêàçàòü, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , ξ2 , . . . îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, ïðè÷åì ξ1 èìååò òàêîå æå ðàñïðåäåëåíèå, êàê è â çàäà÷å 8.23.
Ïîêàçàòü, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξi è ξi+j íåçàâèñèìû ïðè j ∈ IN, j 6= 2. Íàéòè
ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Sn = ξ1 + . . . + ξn ,
n ≥ 2.
ÐÅØÅÍÈÅ. Íàéäåì P(ξ1 = 1). Ïîñêîëüêó ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ηi íåçàâèñèìû, èìååì
1
P(ξ1 = 1) = P(η1 − η3 = 1) = P(η1 = 1, η3 = 0) = P(η1 = 1)P(η3 = 0) = .
4
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì P(ξ1 = 0) è P(ξ1 = −1).
Äëÿ ïðîâåðêè íåçàâèñèìîñòè íåêîòîðûõ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ζ1 è
ζ2 äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî P(ζ1 = x1 , ζ2 = x2 ) = P(ζ1 = x1 )P(ζ2 = x2 ) äëÿ âñåõ
x1 è x2 . Ýòî ñëåäóåò èç ðàññóæäåíèé, àíàëîãè÷íûõ ïðîâåäåííûì ïðè ðåøåíèè
çàäà÷è 7.21.  ÷àñòíîñòè, äëÿ j 6= 2 èìååì
P(ξi = 1, ξi+j = −1) = P(ηi = 1, ηi+2 = 0, ηi+j = 0, ηi+j+2 = 1) =
1 1
· = P(ξi = 1)P(ξi+j = −1).
4 4
Äëÿ îñòàëüíûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξi è ξi+j ñïðàâåäëèâû àíàëîãè÷íûå
ðàâåíñòâà.
= P(ηi = 1)P(ηi+2 = 0)P(ηi+j = 0)P(ηi+j+2 = 1) =
83
 ðåøåíèè çàäà÷è 8.23 ìû ïîêàçàëè, ÷òî ESn = 0. Ê ñîæàëåíèþ, ìû íå ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâîì 4 äèñïåðñèè äëÿ íàõîæäåíèÿ DSn , ïîñêîëüêó
î÷åâèäíî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξi è ξi+2 íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè (ýòî ëåãêî
ïðîâåðèòü, ïîêàçàâ, íàïðèìåð, ÷òî P(ξi = 1, ξi+2 = 1) 6= P(ξi = 1)P(ξi+2 = 1)).
Íàéäåì ESn2 = DSn . Ïðè ýòîì áóäåì ó÷èòûâàòü, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξi ξj
ñóòü ξi2 ïðè i = j è ðàâíÿþòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ η1 η3 − η32 − η1 η5 + η3 η5 ïðè
|i − j| = 2. Èìååì
ESn2 = E
n
X
!2
ξi
=E
i=1
n
X
i=1
ξi ·
n
X
!
ξj
j=1
= E
=
X
i, j: i=j
ξi ξj +
X
i, j: |i−j|=2
ξi ξj +
X
ξi ξj =
i, j: |i−j|6=0, 2
= nEξ12 + 2(n − 2)E(η1 η3 − η32 − η1 η5 + η3 η5 ) + (n2 − n − 2(n − 2))Eξ1 Eξ2 =
1 1 1 1
1
= n · + 2(n − 2)
− − +
+ (n2 − 3n + 4) · 0 = 1. 2
4 2 4 4
ÇÀÄÀ×À 8.25. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ηn ðàâíà ñóììå î÷êîâ, ïîÿâèâøèõñÿ
ïðè n íåçàâèñèìûõ áðîñàíèÿõ ïðàâèëüíîé èãðàëüíîé êîñòè. Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà (8.9), îöåíèòü ñâåðõó äëÿ íåêîòîðîãî ε > 0
η
n
P
− 3.5 ≥ ε .
n
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü ξi ÷èñëî î÷êîâ, âûïàâøåå ïðè i-ì áðîñàíèè. Âîñïîëüçîâàâøèñü êëàññè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè îäíîì
áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè ñðåäíåå ÷èñëî âûïàâøèõ î÷êîâ Eξi ðàâíÿåòñÿ 3.5. Ïîñêîëüêó
P
n
ηn
ξi
3.5n
E = E i=1 =
= 3.5,
n
n
n
à òàêæå ââèäó íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξi , èç êîòîðîé ñëåäóåò
Pn
Pn
ηn
ξ
n(91/6 − (21/6)2 )
i
i=1
i=1 Dξi
=
=
,
D =D
n
n
n2
n2
ïîëó÷àåì
η
105
n
P
− 3.5 ≥ ε ≤
.
n
36nε2
ÄÎÌÀØÍÅÅ ÇÀÄÀÍÈÅ
ÇÀÄÀ×À 8.26. Ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü çàìå÷àíèÿ 8.10.
ÇÀÄÀ×À 8.27. Äîêàçàòü ñâîéñòâà 13 äèñïåðñèè.
ÇÀÄÀ×À 8.28. Äîêàçàòü ðåçóëüòàòû, ïðèâåäåííûå â òàáëèöå 8.1.
84
ÇÀÄÀ×À 8.29. Ïóñòü ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ êîíå÷íîé äèñïåðñèåé òàêàÿ,
÷òî Dξ ≥ Eξ 2 . Äîêàçàòü, ÷òî 2E|ξ| ≤ Dξ + 1.
ÇÀÄÀ×À 8.30. Ïóñòü ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà òàêàÿ, ÷òî P(0 < ξ < 1) = 1.
Äîêàçàòü, ÷òî Dξ < Eξ .
ÇÀÄÀ×À 8.31. Ïóñòü ξ ïî÷òè íàâåðíîå îãðàíè÷åííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà:
P(|ξ| ≤ c) = 1. Äîêàçàòü, ÷òî Dξ ≤ cE|ξ|.
ÇÀÄÀ×À 8.32. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ = ξ(ω), îïðåäåëåííîé íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, F, P), ãäå
Ω = [0, 1], F = B[0, 1] , P = λ ìåðà Ëåáåãà, åñëè: à) ξ = ω 2 ; á) ξ = ω − 1/2;
â) ξ = sin πω ; ã) ξ = sin 2πω .
ÇÀÄÀ×À 8.33. Äèàìåòð êðóãà d èçìåðåí ïðèáëèæåííî, èçâåñòíî ëèøü, ÷òî
0 < a ≤ d ≤ b. Ñ÷èòàÿ d ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé íà
îòðåçêå [a, b], íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ïëîùàäè êðóãà.
ÇÀÄÀ×À 8.34. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn+1 îïèñûâàþò ðåçóëüòàòû n + 1 èñïûòàíèé Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ ¾óñïåõà¿ p è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
ηn ðàâíà ÷èñëó òàêèõ i (i = 1, . . . , n), ÷òî ξi = ξi+1 = 1. Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî
×åáûøåâà (8.9), îöåíèòü ñâåðõó P(|ηn /n − p2 | ≥ ε) äëÿ âñåõ ε > 0.
ÇÀÄÀ×À 8.35. Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ êîíå÷íûìè
äèñïåðñèÿìè. Äîêàçàòü, ÷òî Dξη ≥ Dξ · Dη .
ÇÀÄÀ×À 8.36. Ïóñòü ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ êîíå÷íûì ÷åòâåðòûì ìîìåíòîì. Ñðàâíèòü Eξ 4 è (Eξ)4 .
ÇÀÄÀ×À 8.37. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íåçàâèñèìû è Eξ = 1,
Eη = 2, Dξ = 1 è Dη = 4. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí:
à) ξ 2 + 2η 2 − ξη − 4ξ + η + 4; á) (ξ + η + 1)2 .
ÇÀÄÀ×À 8.38. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η , èìåþùèõ
êîíå÷íûå äèñïåðñèè, ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
p
p
p 2
p 2
Dξ − Dη ≤ D(ξ + η) ≤
Dξ + Dη .
ÇÀÄÀ×À 8.39. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η , èìåþùèõ
êîíå÷íûå âòîðûå ìîìåíòû, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
E|ξη| ≤
p
Eξ 2 ·
p
Eη 2 .
ÇÀÄÀ×À 8.40. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé öåëî÷èñëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ξ , èìåþùåé êîíå÷íûé âòîðîé ìîìåíò, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Eξ(1 − Eξ) ≤ Dξ .
85
9. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå è ïðîèçâîäÿùèå
ôóíêöèè
ÇÀÍßÒÈÅ 12
Ïóñòü çàäàíî íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P) è ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà ξ íà íåì. Íàðÿäó ñ âåùåñòâåííûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè òàêæå
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êîìïëåêñíîçíà÷íûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïîíèìàÿ ïîä
ýòèì ôóíêöèþ ξ1 (ω) + iξ2 (ω), ãäå (ξ1 , ξ2 ) ñëó÷àéíûé âåêòîð (ïîäðîáíåå î ñëó÷àéíûõ âåêòîðàõ ðå÷ü ïîéäåò â 10). Ïðè ýòîì ïðàâèëà ðàáîòû ñî ñëó÷àéíûìè
âåëè÷èíàìè îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, à ìíèìàÿ åäèíèöà i ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê
îáû÷íàÿ êîíñòàíòà.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 9.1. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ
íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî
ϕξ : IR −→ C , îïðåäåëÿåìàÿ äëÿ âñåõ t ∈ IR ñîîòíîøåíèåì
Z+∞
ϕξ (t) = Eeitξ =
eitx dFξ (x).
(9.1)
−∞
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 9.1. Ôóíêöèÿ ϕξ (t), îïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøåíèåì (9.1), íàçûâàåòñÿ òàêæå ïðåîáðàçîâàíèåì ÔóðüåÑòèëòüåñà ôóíêöèè Fξ (x). Åñëè ôóíêöèÿ
Fξ (x) èìååò ïëîòíîñòü fξ (x), òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ åñòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè fξ (x):
Z+∞
ϕξ (t) =
eitx fξ (x) dx.
−∞
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 9.2. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ âñåãäà ñóùåñòâóåò, òàê êàê
Z+∞
Z+∞
|ϕξ (t)| =
eitx dFξ (x) ≤
eitx dFξ (x) = 1.
−∞
86
−∞
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 9.3. Èç ñâîéñòâ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è îïðåäåëåíèÿ 9.1 ñëåäóåò,
÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ òàêæå ïðåäñòàâèìà â âèäå
ϕξ (t) = E cos(tξ) + iE sin(tξ).
(9.2)
Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè:
1. äëÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ
è
ϕξ (0) = 1
|ϕξ (t)| ≤ 1
äëÿ âñåõ t;
2. äëÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ è ëþáûõ a, b ∈ IR
ϕaξ+b (t) = eitb ϕξ (at);
3. åñëè ξ è η ñóòü íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî
ϕξ+η (t) = ϕξ (t)ϕη (t);
4. õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ϕξ (t) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà;
5. åñëè E|ξ|k < ∞, k ≥ 1, òî ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ k -ÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíê(k)
öèè ϕξ (t) è ϕξ (t)
(2k)
t=0
= ik Eξ k ; åñëè ïðîèçâîäíàÿ ÷åòíîãî ïîðÿäêà ϕξ
ñóùåñòâóåò è êîíå÷íà, òî E|ξ|
2k
(2k)
< ∞ è ϕξ (t)
k
(t)
t=0
2k
= (−1) Eξ ;
t=0
6. äëÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
ϕξ (t) = ϕξ (−t) = ϕ−ξ (t).
ÒÅÎÐÅÌÀ 9.1 (òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè). Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû âçàèìíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò åå ðàñïðåäåëåíèå.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 9.2. Ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a0 , a1 , . . . íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî
ψ : C −→ C , îïðåäåëåííàÿ äëÿ |z| ≤ 1 ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ψ(z) =
∞
X
an z n .
n=0
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 9.3. Ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé öåëî÷èñëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , ïðèíèìàþùåé ñ ïîëîæèòåëüíûìè âåðîÿòíîñòÿìè ëèøü íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî ψξ : C −→ C , îïðåäåëåííàÿ äëÿ |z| ≤ 1 ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ψξ (z) = Ez ξ .
87
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 9.4. Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì
îïðåäåëåíèÿ 9.3 è ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ 0, 1, . . . ñ âåðîÿòíîñòÿìè p0 , p1 , . . .
ñîîòâåòñòâåííî, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
ξ
ψξ (z) = Ez =
∞
X
z n pn ,
n=0
èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû åñòü íå ÷òî
èíîå, êàê ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòíûõ çíà÷åíèé âåðîÿòíîñòè p0 , p1 , . . . Èìåííî ïî ýòîé ïðè÷èíå ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà
ëèøü äëÿ öåëî÷èñëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè:
1. ψξ (eit ) = ϕξ (t);
2. åñëè ξ è η ñóòü íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
ψξ+η (z) = ψξ (z)ψη (z);
(k)
3. åñëè E|ξ|k < ∞, k ≥ 1, òî ψξ (z)
= Eξ [k] .
z=1
ÒÅÎÐÅÌÀ 9.2. Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ, åñëè îíà ñóùåñòâóåò, âçàèìíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
E ξk
ϕξ
ξ
Fξ
ψξ
Pξ
fξ
Ðèñ. 9.1
Èòàê, ìû ïîçíàêîìèëèñü ñî âñåìè îñíîâíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è èõ ðàñïðåäåëåíèé. Íà
ðèñ. 9.1 ïîêàçàíà äèàãðàììà èìïëèêàöèé äëÿ ââåäåííûõ
õàðàêòåðèñòèê. Ñòðåëêè ïîêàçûâàþò, êàêèå õàðàêòåðèñòèêè îïðåäåëÿþò äðóãèå îäíîçíà÷íî, åñëè ñóùåñòâóþò.
 òàáë. 9.1 ïðèâåäåíû ôîðìóëû äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ è ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé îñíîâíûõ ðàñïðåäåëåíèé.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 9.5. Ôîðìàëüíî, ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ äëÿ âûðîæäåííîé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íå îïðåäåëåíà, åñëè ÷èñëî a íå ÿâëÿåòñÿ öåëûì.
ÇÀÄÀ×À 9.1. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ cos t ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïîñòðîèì ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû òàêîå, ÷òî åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ cos t. Èç ñîîòíîøåíèÿ (9.2) âûòåêàåò, ÷òî
cos t =
eit + e−it
1
1
= · e1·it + · e−1·it .
2
2
2
Çàìåòèì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà åñòü íå ÷òî èíîå, êàê õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñèììåòðè÷íîãî áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. 88
Òàáëèöà 9.1
Pξ
ϕξ (t)
ψξ (z)
ξ =a
ï.í.
eita
za
Bi(n, p)
(1 + p(eit − 1))n
(1 + p(z − 1))n
P ois(λ)
eλ(e −1)
it
eλ(z−1)
G(p)
1−p
1 − peit
1−p
1 − pz
R[a, b]
eitb − eita
it(b − a)
R[−a, a]
sin at
at
N (a, σ 2 )
eita− 2
exp(λ)
λ
λ − it
K(a, σ)
eita−σ|t|
σ 2 t2
ÇÀÄÀ×À 9.2. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ e−i|t| íå ìîæåò áûòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîé
ôóíêöèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
ÐÅØÅÍÈÅ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì 6 õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî e−i|t| åñòü õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . Òîãäà
ϕ−ξ (t) = ϕξ (−t) = e−i|t| ,
∀ t ∈ IR,
òî åñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ξ è −ξ ñîâïàäàþò (ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ñèììåòðè÷íîå ðàñïðåäåëåíèå). Íî òîãäà äëÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
ϕξ (t) = ϕξ (t).
Êàê èçâåñòíî, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîå ÷èñëî ðàâíî ñàìîìó ÷èñëó òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà êîìïëåêñíîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì (ýòî, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò èç (9.2)). Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ, ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ
e−i|t| íå ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé. ÇÀÄÀ×À 9.3. Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ íåêîòîðîé öåëî÷èñëåííîé ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû ξ , ïðèíèìàþùåé ñ ïîëîæèòåëüíûìè âåðîÿòíîñòÿìè ëèøü íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, ðàâíà ψ(z). Íàéòè Eξ è Dξ .
89
ÐÅØÅÍÈÅ. Âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì 3 ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè. Èìååì
Eξ = Eξ [1] = ψ 0 (z)
,
z=1
Dξ = Eξ 2 − (Eξ)2 = Eξ(ξ − 1) + Eξ − (Eξ)2 = Eξ [2] + Eξ(1 − Eξ) =
0
0
(2)
.
1 − ψ (z)
+ ψ (z)
= ψ (z)
z=1
z=1
z=1
ÇÀÄÀ×À 9.4. Ïóñòü ξ ∼ P ois(λ1 ) è η ∼ P ois(λ2 ) íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå
âåëè÷èíû. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ = ξ + η .
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïî òåîðåìå 9.1 äîñòàòî÷íî íàéòè âèä õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ϕζ (t). Íàéäåì õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . Ïî òåîðåìå 8.1 èìååì
ϕξ (t) = Ee
itξ
=
∞
X
k=0
k
itk −λ1 λ1
e e
k!
−λ1
=e
∞
X
(λ1 eit )k
k=0
k!
it
it
= e−λ1 eλ1 e = eλ1 (e −1) .
Ïî ñâîéñòâó 8 ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
it
ϕζ (t) = ϕξ (t)ϕη (t) = e(λ1 +λ2 )(e −1) .
Çàìåòèì, ÷òî ñóììà íåçàâèñèìûõ ïóàññîíîâñêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí èìååò òàêæå ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå. ÄÎÌÀØÍÅÅ ÇÀÄÀÍÈÅ
ÇÀÄÀ×À 9.5. Äîêàçàòü ðåçóëüòàòû, ïðèâåäåííûå â òàáëèöå 9.1.
ÇÀÄÀ×À 9.6. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ψ(z) = |z| íå ìîæåò áûòü ïðîèçâîäÿùåé
ôóíêöèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
ÇÀÄÀ×À 9.7. Ïóñòü ξ è η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðè÷åì ξ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0 è 1 ñ âåðîÿòíîñòÿìè 1/2 êàæäîå, à η çíà÷åíèÿ 0, 1, 2, 3 ñ âåðîÿòíîñòÿìè
1/8, 1/4, 1/2, 1/8 ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ , íå çàâèñÿùåé îò ξ è òàêîé, ÷òî ξ + ζ = η .
ÇÀÄÀ×À 9.8. Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Äîêàçàòü, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ 2 + η 2
èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì 1/2.
ÇÀÄÀ×À 9.9. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ñëåäóþùèå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè: à) cos2 t; á) exp{−t2 }.
ÇÀÄÀ×À 9.10. Äîêàçàòü îñíîâíûå ñâîéñòâà õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè.
ÇÀÄÀ×À 9.11. Äîêàçàòü îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè.
90
ÇÀÄÀ×À 9.12. Ïóñòü N, ξ1 , ξ2 , . . . íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, N èìååò ðàñðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ, à ξ1 , ξ2 , . . . èìååþò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì θ. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
η=
N
X
ξk .
k=1
Çäåñü
P0
k=1 (·) = 0, íåçàâèñèìî îò ñëàãàåìûõ.
ÇÀÄÀ×À 9.13. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ñëåäóþùèå ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè: à) (1 + z)2 /4; á) p(1 − (1 − p)z)−1 .
ÇÀÄÀ×À 9.14. Äîêàçàòü, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ÷åòíà òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ F (x) = 1 − F (−x + 0).
ÇÀÄÀ×À 9.15. Äîêàçàòü, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ âåùåñòâåííà òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ÷åòíà.
ÇÀÄÀ×À 9.16. Äîêàçàòü, ÷òî ÷åòíàÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ϕ(t) ïðåäñòàâèìà â âèäå
+∞
Z
cos tx dF (x),
ϕ(t) =
−∞
ãäå F (x) ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ.
ÇÀÄÀ×À 9.17. Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé ϕ(t). Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ
ôóíêöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ − η .
ÇÀÄÀ×À 9.18. Ïóñòü F (x) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé
ôóíêöèåé ϕ(t). Äîêàçàòü, ÷òî Re ϕ(t) ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé,
è íàéòè ñîîòâåòñòâóþùóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ.
ÇÀÄÀ×À 9.19. Ïóñòü F (x) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé
ôóíêöèåé ϕ(t). Äîêàçàòü, ÷òî |ϕ(t)|2 ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé, è
íàéòè ñîîòâåòñòâóþùóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ.
ÇÀÄÀ×À 9.20. Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ñèììåòðè÷íîå ðàñïðåäåëåíèå, ïðè÷åì ξ − η è |ξ| − |η|
îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ξ .
91
10. Ìíîãîìåðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
ÇÀÍßÒÈÅ 13
Ïóñòü çàäàíî íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P) è ñëó÷àéíûå
âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íà íåì.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 10.1. Âåêòîð ξ(ω) = (ξ1 (ω), . . . , ξn (ω)) íàçûâàåòñÿ n-ìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, èëè ñëó÷àéíûì âåêòîðîì, ñî çíà÷åíèÿìè â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå IRn .
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 10.2. Ôóíêöèÿ
P(ξ ∈ B) = P{ω| (ξ1 (ω), . . . , ξn (ω)) ∈ B},
îïðåäåëåííàÿ äëÿ âñåõ áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ B ∈ Bn , ãäå Bn åñòü áîðåëåâñêàÿ
σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ IRn , íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ ,
èëè ñîâìåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , . . . , ξn .
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 10.3. Îïðåäåëåííàÿ äëÿ âñåõ âåùåñòâåííûõ x1 , . . . , xn ôóíêöèÿ F (x1 , . . . , xn ) = P(ξ1 < x1 , . . . , ξn < xn ) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ , èëè ñîâìåñòíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí ξ1 , . . . , ξn .
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 10.4. Åñëè ñóùåñòâóåò íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) =
= f (x1 , . . . , xn ), x ∈ IRn , òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ B ∈ Bn
Z
Z
Z
P(ξ ∈ B) = f (x) dx ≡ . . . f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn ,
B
B
òî ñîîòâåòñòâóþùåå ðàñïðåäåëåíèå íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì, à
ôóíêöèÿ f (x) ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ , èëè ñîâìåñòíîé ïëîòíîñòüþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , . . . , ξn .
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 10.5. Ìàðãèíàëüíûìè, èëè ÷àñòíûìè, ðàñïðåäåëåíèÿìè íàçûâàþòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξi , i = 1, . . . , n, êîìïîíåíò âåêòîðà ξ .
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 10.1. Ìàðãèíàëüíûå, èëè ÷àñòíûå, ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ , äëÿ êîòîðîãî Fi (x) = P(ξi < x), âû÷èñëÿþòñÿ ïî
92
ñîâìåñòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x1 , . . . , xn ) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Fi (xi ) = F (+∞, . . . , +∞, xi , +∞, . . . , +∞).
 8 áûëî äàíî îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïîâòîðèì ýòî
îïðåäåëåíèå è ïðèâåäåì ðÿä óòâåðæäåíèé äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 10.6. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íàçûâàþòñÿ (ñòîõàñòè÷åñêè) íåçàâèñèìûìè, åñëè äëÿ âñåõ Bi ∈ B , i = 1, . . . , n,
P(ξ1 ∈ B1 , . . . , ξn ∈ Bn ) = P(ξ1 ∈ B1 ) · . . . · P(ξn ∈ Bn ).
(10.1)
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 10.2. Âûðîæäåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñòîõàñòè÷åñêè íå çàâèñèò îò ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
ÇÀÄÀ×À 10.1. Ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåâûðîæäåííûõ íåçàâèñèìûõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
ÐÅØÅÍÈÅ.
Ïóñòü áàçîâîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî åñòü òðîéêà
([0, 1], B[0, 1] , λ), ãäå λ ìåðà Ëåáåãà. Îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(
1,
ξn (ω) =
0,
ãäå
An =
n−1 2[
i=1
åñëè ω ∈ An ;
åñëè ω ∈ An ,
2i − 2 2i − 1
,
,
2n
2n
n = 1, 2, . . . Íà ðèñ. 10.1 è 10.2 èçîáðàæåíû ïåðâûå äâà ÷ëåíà ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
ξ1 (ω)
1
0
ξ2 (ω)
1
1
2
1
Ðèñ. 10.1
ω
0
1
4
1
2
3
4
1
ω
Ðèñ. 10.2
Ïóñòü n ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Äëÿ ïðîâåðêè íåçàâèñèìîñòè
äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà
(10.1) òîëüêî äëÿ âñåõ îäíîòî÷å÷íûõ ìíîæåñòâ Bi = {xi } (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 7.21).  ÷àñòíîñòè, äëÿ x1 = . . . = xn = 1 èìååì
1
P(ξ1 = 1, . . . , ξn = 1) = P 0, n
=
2
93
1
= P(ξ1 = 1) · . . . · P(ξn = 1).
2n
Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ îñòàëüíûõ x1 , . . . , xn ðàâåíñòâî òàêæå âûïîëíÿåòñÿ. ÒÅÎÐÅÌÀ 10.1 (êðèòåðèé íåçàâèñèìîñòè). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn
íåçàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ ñîâìåñòíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
ïðåäñòàâèìà â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ìàðãèíàëüíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ
âñåõ x1 , . . . , xn ∈ IR:
=
F (x1 , . . . , xn ) = F1 (x1 ) · . . . · Fn (xn ).
ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 10.1. Åñëè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ = (ξ1 , . . . , ξn )
ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì, òî íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì
íåçàâèñèìîñòè ξ1 , . . . , ξn ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ ñîâìåñòíîé ïëîòíîñòè êàê ïðîèçâåäåíèÿ ìàðãèíàëüíûõ ïëîòíîñòåé äëÿ âñåõ x1 , . . . , xn ∈ IR:
f (x1 , . . . , xn ) = f1 (x1 ) · . . . · fn (xn ).
Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ H(x) è G(x) ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû ýòèõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïî îáîáùåííîé ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè èìååì
Z+∞
F (x) = P(ξ + η < x) = P(ξ < x − η) =
H(x − y) dG(y).
−∞
Çàìåòèì, ÷òî äàííàÿ ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé, òî åñòü
Z+∞
F (x) =
G(x − y) dH(y).
−∞
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 10.7. Ñâåðòêîé ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ H(x) è G(x) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ
Z+∞
Z+∞
F (x) =
H(x − y) dG(y) =
G(x − y) dH(y).
−∞
−∞
Îáîçíà÷åíèå: F (x) = (H ∗ G)(x) = (G ∗ H)(x) èëè F = H ∗ G = G ∗ H .
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 10.3. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí åñòü ñâåðòêà ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëàãàåìûõ.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 10.4. Åñëè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ H(x) èìååò ïëîòíîñòü h(x),
òî ñâåðòêà F (x) = (H ∗ G)(x) òàêæå èìååò ïëîòíîñòü
Z+∞
f (x) =
h(x − y) dG(y).
−∞
94
(10.2)
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 10.8. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ H(x) íàçûâàåòñÿ êîìïîíåíòîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x), åñëè ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
G(x) òàêàÿ, ÷òî F = G ∗ H .
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 10.9. Ñèììåòðèçàöèåé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
Z+∞
F (s) (x) =
F (x + y) dF (y).
−∞
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 10.5. Ñèììåòðèçàöèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) åñòü ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçíîñòè íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí, èìåþùèõ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x).
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 10.6. Ñèììåòðèçàöèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η , èìåþùåé ñèììåòðè÷íîå ðàñïðåäåëåíèå, òî åñòü
P(η < x) = P(η > −x)
d
äëÿ âñåõ x ∈ IR. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü η = ξ − ξ1 , ãäå ξ è ξ1 íåçàâèñèìûå
îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Òîãäà
P(η < x) = P(ξ − ξ1 < x) = P(ξ1 − ξ < x) = P(−η < x) = P(η > −x).
ÇÀÄÀ×À 10.2. Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå
ðàâíîìåðíîå íà îòðåçêå [0, 1] ðàñïðåäåëåíèå. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû ξ + η .
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü h(x) ïëîòíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η . Íàéäåì ïëîòíîñòü f (x) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ + η . Çàìåòèì, ÷òî
(
1
h(x − y) =
0
(
1
h(y) =
0
ïðè x − y ∈ [0, 1];
ïðè x − y 6∈ [0, 1],
ïðè y ∈ [0, 1];
ïðè y 6∈ [0, 1].
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (10.2). Èìååì
Z+∞
f (x) =
h(x − y)h(y) dy.
−∞
Ïðè x 6∈ [0, 2] ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàâíÿåòñÿ íóëþ. Ïðè x ∈ [0, 2] ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàâíÿåòñÿ åäèíèöå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x − y è y
95
ïðèíàäëåæàò îòðåçêó [0, 1] îäíîâðåìåííî, òî åñòü x − 1 ≤ y ≤ x. Òàêèì îáðàçîì,
ïðè x ∈ [0, 1]
Zx
h(x − y)h(y) dy = x,
f (x) =
0
à ïðè x ∈ [1, 2]
Z1
h(x − y)h(y) dy = 2 − x.
f (x) =
x−1
 îñòàëüíûõ òî÷êàõ f (x) = 0.  8 ìû ïîçíàêîìèëèñü ñ ïîíÿòèÿìè ¾êîâàðèàöèÿ¿ è ¾êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè¿. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ýòèõ îáúåêòîâ. Ìû óæå ïîêàçàëè, ÷òî
åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íåçàâèñèìû, òî èõ êîâàðèàöèÿ ðàâíÿåòñÿ íóëþ. Âåðíî
ëè îáðàòíîå óòâåðæäåíèå?
ÇÀÄÀ×À 10.3. Ïîêàçàòü, ÷òî èç íåêîððåëèðîâàííîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ
è η íå ñëåäóåò, ÷òî ξ è η íåçàâèñèìû.
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü ζ è ξ íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðè÷åì Eξ =
= Eζ = 0. Ïîëîæèì η = ξζ . Î÷åâèäíî, ÷òî ξ è η íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè (çà èñêëþ÷åíèåì òðèâèàëüíûõ ñëó÷àåâ, íàïðèìåð, êîãäà ξ âûðîæäåííàÿ
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà). Ïðè ýòîì
Eξη = Eξ 2 ζ = Eξ 2 Eζ = 0 = EξEη. ÇÀÄÀ×À 10.4. Ïîêàçàòü, ÷òî êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ρ(ξ, η) ëþáûõ íåâûðîæäåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η , èìåþùèõ êîíå÷íûå âòîðûå ìîìåíòû, îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1. ρ(ξ, η) = 0, åñëè ξ è η íåçàâèñèìû;
2. |ρ(ξ, η)| ≤ 1;
3. |ρ(ξ, η)| = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ξ è η ïî÷òè íàâåðíîå ëèíåéíî
ñâÿçàíû.
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïåðâîå ñâîéñòâî áûëî îáîñíîâàíî â 8. Ïóñòü
ξ − Eξ
ξ1 = √
Dξ
è
η − Eη
η1 = √
.
Dη
Çàìåòèì, ÷òî Eξ1 = Eη1 = 0 è Dξ1 = Dη1 = 1 (ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, óäîâëåòâîðÿþùèå ýòèì ñâîéñòâàì íàçûâàþòñÿ öåíòðèðîâàííûìè è íîðìèðîâàííûìè
ñîîòâåòñòâåííî). Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ öåïî÷êà ñîîòíîøåíèé:
0 ≤ D(ξ1 ± η1 ) = E(ξ1 ± η1 )2 = Eξ12 + Eη12 ± 2ρ(ξ, η) = 2 ± 2ρ(ξ, η),
96
êîòîðàÿ è äîêàçûâàåò âòîðîå ñâîéñòâî êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè.
Ïóñòü ξ è η ïî÷òè íàâåðíîå ëèíåéíî ñâÿçàíû, òî åñòü P(η = a + bξ) = 1 äëÿ
íåêîòîðûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a è b 6= 0. Èìååì
ξ − Eξ a + bξ − a − bEξ
√
ρ(ξ, η) = E √
·
= sign b.
Dξ
|b| Dξ
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî |ρ(ξ, η)| = 1. Òîãäà
D(ξ1 ± η1 ) = 2 ± 2ρ(ξ, η) = 0.
Íî ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæåò èìåòü ìåñòî ëèøü â ñëó÷àå, êîãäà ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà ξ1 ± η1 ÿâëÿåòñÿ âûðîæäåííîé (â íåêîòîðîé òî÷êå c). Ñëåäîâàòåëüíî,
√
√
p
Dξ
Dξ
P ξ = ∓ √ η ± √ Eη + c Dξ + Eξ = 1. Dη
Dη
ÄÎÌÀØÍÅÅ ÇÀÄÀÍÈÅ
ÇÀÄÀ×À 10.5. Îáîñíîâàòü ñïðàâåäëèâîñòü çàìå÷àíèÿ 10.2.
ÇÀÄÀ×À 10.6. Ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ ðàâíîìåðíîå íà îòðåçêå [0, 1] ðàñïðåäåëåíèå.
ÇÀÄÀ×À 10.7. Ïóñòü ξ èìååò ðàâíîìåðíîå íà îòðåçêå [0, 1] ðàñïðåäåëåíèå.
Íàéòè ñèììåòðèçàöèþ åå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.
ÇÀÄÀ×À 10.8. Ìîãóò ëè íåâûðîæäåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η áûòü
ñòîõàñòè÷åñêè íåçàâèñèìûìè, åñëè îíè ñâÿçàíû ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ,
íàïðèìåð ξ 2 + η 2 = 1?
ÇÀÄÀ×À 10.9. Ïóñòü ξ è η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, P(ξ > 0) = P(η > 0) = 3/4,
P(ξ + η > 0) = 1/2. Äîêàçàòü, ÷òî ξ è η íå íåçàâèñèìû.
ÇÀÄÀ×À 10.10. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 è ξ2 èìåþò ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè λ1 è λ2 ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷åì λ1 ≤ λ2 . Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ
ëþáîãî t ≥ 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî P(ξ1 ≤ t) ≥ P(ξ2 ≤ t).
ÇÀÄÀ×À 10.11. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 è ξ2 íåçàâèñèìû è èìåþò ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè λ1 è λ2 ñîîòâåòñòâåííî. Íàéòè
P(ξ1 = k| ξ1 + ξ2 = n), k = 1, . . . , n.
ÇÀÄÀ×À 10.12. Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðè÷åì ξ
èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì 1, à η ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà íà îòðåçêå [0, 1]. Íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ξ + η .
ÇÀÄÀ×À 10.13. Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû òàêèå, ÷òî
ñóììà ξ +η èìååò âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå. Äîêàçàòü, ÷òî êàæäàÿ èç ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η èìååò âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå. Ìîæíî ëè ýòî óòâåðæäàòü,
åñëè ξ è η íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè?
97
ÇÀÄÀ×À 10.14. Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðè÷åì
d
ξ + η = ξ . Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η .
ÇÀÄÀ×À 10.15. Ïóñòü ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
F (x). Íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F2 (x, y) ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ, ξ).
ÇÀÄÀ×À 10.16. Ïóñòü ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
F (x). Íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F2 (x, y) ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (ξ, |ξ|).
ÇÀÄÀ×À 10.17. Ïóñòü ξ èìååò ðàâíîìåðíîå íà îòðåçêå [0, 1] ðàñïðåäåëåíèå.
Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû −λ−1 ln ξ , λ > 0.
ÇÀÄÀ×À 10.18. Ïóñòü ξ èìååò ñèììåòðè÷íîå ðàñïðåäåëåíèå è 0 < Dξ < ∞.
Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è |ξ|.
ÇÀÄÀ×À 10.19. Ïóñòü ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðè÷åì P(ξ > 0) = α,
P(ξ < 0) = β , Eξ = a, E|ξ| = b. Íàéòè cov(ξ, sign ξ).
ÇÀÄÀ×À 10.20. Ïîñòðîèòü íà íåêîòîðîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå
(Ω, F, P) äâå íåêîððåëèðîâàííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η , êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè.
98
11. Âèäû ñõîäèìîñòåé ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí
ÇÀÍßÒÈÅ 14
Ïóñòü çàäàíî íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P) è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ, ξ1 , ξ2 , . . . ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íà íåì.  7 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî
ðàâåíñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæíî îïðåäåëÿòü ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Ïîðàçíîìó ìîæíî îïðåäåëÿòü è ñõîäèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ðàññìîòðèì îñíîâíûå âèäû òàêèõ ñõîäèìîñòåé.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 11.1. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , . . . ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñõîäèòñÿ ïî÷òè íàâåðíîå (ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà) ê ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíå ξ , åñëè ïðè n → ∞
P {ω| ξn (ω) −→ ξ(ω)} = 1.
ï.í.
Îáîçíà÷åíèå: ξn −→ ξ .
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 11.2. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , . . . ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ , åñëè äëÿ ëþáîãî
ε > 0 ïðè n → ∞
P(|ξn − ξ| > ε) −→ 0.
P
Îáîçíà÷åíèå: ξn −→ ξ .
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 11.3. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , . . . ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñõîäèòñÿ â ñðåäíåì ïîðÿäêà r (â ñðåäíåì, åñëè r = 1, â ñðåäíåì
êâàäðàòè÷åñêîì, åñëè r = 2) ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ , åñëè ïðè n → ∞
E|ξn − ξ|r −→ 0.
(r)
Îáîçíà÷åíèå: ξn −→ ξ .
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 11.4. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , . . . ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ , åñëè ïðè
n → ∞ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ1 (x),
Fξ2 (x), . . . ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (x) â êàæäîé òî÷êå íåïðåðûâd
íîñòè ïîñëåäíåé. Îáîçíà÷åíèå: ξn −→ ξ .
99
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 11.5. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , . . . ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ , åñëè äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè f (x) ïðè n → ∞
Ef (ξn ) −→ Ef (ξ).
Îáîçíà÷åíèå: ξn =⇒ ξ .
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 11.6. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ F1 , F2 , . . . ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F , åñëè äëÿ ëþáîé
íåïðåðûâíîé îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè f (x) ïðè n → ∞
Z+∞
Z+∞
f (x) dFn (x) −→
f (x) dF (x).
−∞
−∞
Îáîçíà÷åíèå: Fn (x) =⇒ F (x).
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 11.1. Î÷åâèäíî, ÷òî ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ1 , Fξ2 , . . . ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ ýêâèâàëåíòíà ñëàáîé ñõîäèìîñòè
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ .
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 11.2. Ïîñêîëüêó â îïðåäåëåíèÿõ 11.4 è 11.5 ðå÷ü èäåò î ðàñïðåäåëåíèÿõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, à íå î ñàìèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíàõ, òðåáîâàíèå
åäèíñòâåííîñòè áàçîâîãî âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà, íà êîòîðîì îïðåäåëåíû
ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ, ξ1 , ξ2 , . . ., ÿâëÿåòñÿ â äàííîì ñëó÷àå íåñóùåñòâåííûì.
ÒÅÎÐÅÌÀ 11.1 (òåîðåìà íåïðåðûâíîñòè). Ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ξ ýêâèâàëåíòíà ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ϕξ1 (t), ϕξ2 (t), . . . ê õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ϕξ (t) ïðè n → ∞ â êàæäîé
òî÷êå t ∈ IR.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 11.3. Îáû÷íî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëàáîé ñõîäèìîñòè ïîëüçóþòñÿ èìåííî òåîðåìîé 11.1, ïîñêîëüêó äîêàçûâàòü ïîòî÷å÷íóþ ñõîäèìîñòü ôóíêöèé ãîðàçäî ïðîùå, íåæåëè ñõîäèìîñòü èíòåãðàëîâ îò âñåõ íåïðåðûâíûõ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 11.4. Äëÿ ðàçëè÷íûõ âèäîâ ñõîäèìîñòåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è
èõ ðàñïðåäåëåíèé ñïðàâåäëèâà äèàãðàììà èìïëèêàöèé, ïðèâåäåííàÿ íà ðèñ. 11.1.
n. H.
ξn −→ ξ
ξn =⇒ ξ
Fn =⇒ F
d
ξn −→
ξ
ϕn −→ ϕ
P
ξn −→
ξ
(r )
ξn −→ ξ
Ðèñ. 11.1
Íà ïðàêòèêå èññëåäîâàòåëÿ ìîãóò èíòåðåñîâàòü ðàçíûå âèäû ñõîäèìîñòåé â
çàâèñèìîñòè îò ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è. Íàïðèìåð, çà÷àñòóþ ïðåäñòàâëÿåòñÿ
100
íåâîçìîæíûì âû÷èñëèòü ðàñïðåäåëåíèå íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ â òî÷íîñòè, äàæå åñëè èçâåñòíû âñå ïàðàìåòðû ìîäåëè. Îäíàêî åñëè ïðè ýòîì óäàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ, θ ñëàáî ñòðåìèòñÿ
ê èçâåñòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ G ïðè ñòðåìëåíèè ïàðàìåòðà θ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëó, òî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ àïïðîêñèìàöèåé Fξ, θ (x) ≈ G(x) è
èñêàòü èíòåðåñóþùèå íàñ õàðàêòåðèñòèêè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ, θ â òåðìèíàõ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ G. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â òåîðåòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå
ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî îöåíêà Tn (X) íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ ÿâëÿåòñÿ ¾õîðîøåé¿, åñP
ëè ïðè n → ∞ èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü Tn (X) −→ θ. Òàêèå îöåíêè íàçûâàþòñÿ
ñîñòîÿòåëüíûìè è íàõîäÿò øèðîêîå ïðèìåíåíèå â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå.
Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî èíûõ ïðèìåðîâ ïðèìåíåíèÿ ðàçëè÷íûõ âèäîâ ñõîäèìîñòåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí êàê â òåîðèè, òàê è íà ïðàêòèêå. Íàøåé çàäà÷åé â
íàñòîÿùåå âðåìÿ íå ÿâëÿåòñÿ óãëóáëåííîå èçó÷åíèå âîçìîæíûõ ïîñòàíîâîê çàäà÷ íà ñõîäèìîñòü. Çàìåòèì ëèøü, ÷òî áîëüøîå ÷èñëî îïðåäåëåíèé ñõîäèìîñòåé
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ÿâëÿåòñÿ îïðàâäàííûì è êðàéíå âàæíûì.
(r)
ÇÀÄÀ×À 11.1. Ïîêàçàòü, ÷òî èç ñõîäèìîñòè ξn −→ ξ ñëåäóåò ñõîäèìîñòü
P
ξn −→ ξ (n → ∞).
ÐÅØÅÍÈÅ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ îáîáùåííûì íåðàâåíñòâîì ×åáûøåâà, ñïðàâåäëèâûì äëÿ âñåõ ε > 0 è
r > 0:
E|ξn − ξ|r
P(|ξn − ξ| ≥ ε) ≤
.
εr
P
ÇÀÄÀ×À 11.2. Ïîêàçàòü, ÷òî èç ñõîäèìîñòè ξn −→ ξ íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòü
(r)
ξn −→ ξ (n → ∞).
ÐÅØÅÍÈÅ. Äîñòàòî÷íî ïðèâåñòè ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äèñêðåòíûõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ÷àñòíûå çíà÷åíèÿ êîòîðûõ âîçðàñòàþò áûñòðåå ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòíûõ çíà÷åíèé âåðîÿòíîñòè, íî ñàìè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñõîäÿòñÿ
ïî âåðîÿòíîñòè. Ðàññìîòðèì âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî ([0, 1], B[0, 1] , λ), ãäå
λ ìåðà Ëåáåãà. Ïóñòü
(
en , åñëè 0 ≤ ω ≤ 1/n;
ξn =
0,
åñëè 1/n < ω ≤ 1.
P
ï.í.
Î÷åâèäíî, ÷òî ξn −→ 0 (áîëåå òîãî, ξn −→ 0), íî
ern
−→ ∞
E|ξn | =
n
r
ïðè n → ∞ äëÿ ëþáîãî r > 0. P
ÇÀÄÀ×À 11.3. Ïîêàçàòü, ÷òî èç ñõîäèìîñòè ξn −→ ξ íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòü
ï.í.
ξn −→ ξ (n → ∞).
101
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü áàçîâîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî
(Ω, F, P) èìååò âèä: Ω îêðóæíîñòü åäèíè÷íîé äëèíû,
F áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ Ω, P ìåðà Ëåáåãà íà
ω
ýëåìåíòàõ F . Çàôèêñèðóåì íåêîòîðóþ òî÷êó A0 íà îêðóæíîñòè
A
è ïðîèçâîëüíîå íàïðàâëåíèå. Îòëîæèì îò òî÷êè A0 â çàäàííîì
Ðèñ. 11.2
íàïðàâëåíèè äóãó äëèíû 1/2, îáîçíà÷èì âòîðîé êîíåö äóãè ÷åðåç A1 , çàòåì îò òî÷êè A1 îòëîæèì â çàäàííîì íàïðàâëåíèè äóãó äëèíû 1/3,
âòîðîé êîíåö äóãè îáîçíà÷èì ÷åðåç A2 , îò òî÷êè A2 îòëîæèì äóãó A2 A3 äëèíû
1/4 è òàê äàëåå. Äàííûé ïðîöåññ èçîáðàæåí íà ðèñ. 11.2.
Ïîñòðîèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξn (n = 1, 2, . . .) ïî ïðàâèëó
A3
A0
A2
0
1
(
1,
ξn =
0,
åñëè ω ïðèíàäëåæèò äóãå An−1 An ;
åñëè ω íå ïðèíàäëåæèò äóãå An−1 An .
P
Ïîñêîëüêó äëèíû äóã ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, èìååì ξn −→ 0 ïðè n → ∞. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ω0 ∈ Ω. Ïîñêîëüêó ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä ðàñõîäèòñÿ, äàííóþ òî÷êó ïîêðîåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî äóã Ai−1 Ai . Òàêèì îáðàçîì, â äàííîé
òî÷êå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξ1 (ω0 ), ξ2 (ω0 ), . . .
áóäåò ðàâíÿòüñÿ êàê íóëþ, òàê è åäèíèöå, ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñõîäèòñÿ. Ïîñêîëüêó òî÷êà ω0 âûáðàíà ïðîèçâîëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 (ω), ξ2 (ω), . . . ðàñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå ω ∈ Ω, ÷òî è çàâåðøàåò ðåøåíèå çàäà÷è. P
P
ÇÀÄÀ×À 11.4. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ξn −→ ξ è ξn −→ η , òî P(ξ = η) = 1.
ÐÅØÅÍÈÅ. Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî P(|ξ − η| > δ) < ε äëÿ ëþáûõ ε > 0 è
δ > 0. Èç íåðàâåíñòâà
x
x
+ P |Y | >
,
P (|X + Y | > x) ≤ P |X| >
2
2
(11.1)
ñïðàâåäëèâîãî äëÿ âñåõ x > 0 è ëþáûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y , ñëåäóåò, ÷òî
P(|ξ − η| > δ) = P(|ξn − ξ − ξn + η| > δ) ≤ P(|ξn − ξ| > δ/2) + P(|ξn − η| > δ/2) < ε
äëÿ âñåõ n, á
îëüøèõ íåêîòîðîãî n0 . ×òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü, ïîñêîëüêó ëåâàÿ
÷àñòü íåðàâåíñòâà íå çàâèñèò îò n. d
ÇÀÄÀ×À 11.5. Ïîêàçàòü, ÷òî èç ñõîäèìîñòè ξn −→ ξ íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòü
P
ξn −→ ξ (n → ∞).
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü ξn ≡ η ∼ Bi(1, 1/2), ïðè÷åì ξ = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà,
d
êîãäà η = 0, à ξ = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà η = 1. Î÷åâèäíî, ÷òî ξn −→ ξ ,
íî |ξn − ξ| ≡ 1. 102
ÄÎÌÀØÍÅÅ ÇÀÄÀÍÈÅ
ï.í.
ÇÀÄÀ×À 11.6. Ïîêàçàòü, ÷òî èç ñõîäèìîñòè ξn −→ ξ ñëåäóåò ñõîäèìîñòü
P
ξn −→ ξ (n → ∞).
ÇÀÄÀ×À 11.7. Äîêàçàòü íåðàâåíñòâî (11.1).
P
P
ÇÀÄÀ×À 11.8. Ïóñòü ξn −→ ξ è ηn −→ η . Äîêàçàòü:
P
1. aξn + bηn −→ aξ + bη , a, b ∈ IR;
P
2. |ξn | −→ |ξ|;
P
3. ξn ηn −→ ξη .
ï.í.
ï.í.
ÇÀÄÀ×À 11.9. Ïóñòü ξn −→ ξ è ηn −→ η . Äîêàçàòü:
ï.í.
1. aξn + bηn −→ aξ + bη , a, b ∈ IR;
ï.í.
2. |ξn | −→ |ξ|;
ï.í.
3. ξn ηn −→ ξη .
ÇÀÄÀ×À 11.10. Ïîêàçàòü, ÷òî
P
P
ï.í.
ï.í.
1. åñëè ξn −→ a 6= 0, òî 1/ξn −→ 1/a;
2. åñëè ξn −→ a 6= 0, òî 1/ξn −→ 1/a.
P
ÇÀÄÀ×À 11.11. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ξn −→ ξ , òî ξn =⇒ ξ .
d
d
ÇÀÄÀ×À 11.12. Ñëåäóåò ëè èç ñõîäèìîñòè ξn −→ ξ ñõîäèìîñòü ξn − ξ −→ 0?
P
ÇÀÄÀ×À 11.13. Ïîêàçàòü, ÷òî ξn =⇒ a òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ξn −→ a.
d
P
ÇÀÄÀ×À 11.14. Ïóñòü ξn −→ ξ è ηn −→ 0. Ïîêàçàòü, ÷òî
d
1. ξn + ηn −→ ξ ;
P
2. ξn ηn −→ 0.
P
P
ÇÀÄÀ×À 11.15. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ξn − an −→ 0 è ξn − bn −→ 0 ïðè
n → ∞, ãäå a1 , a2 , . . . è b1 , b2 , . . . äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë,
òî an − bn −→ 0 ïðè n → ∞.
P
P
ÇÀÄÀ×À 11.16. Ïóñòü (ξn − ξ)2 −→ 0 ïðè n → ∞. Äîêàçàòü, ÷òî ξn2 −→ ξ 2
ïðè n → ∞.
ÇÀÄÀ×À 11.17. Ïðèâåñòè ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé, ÷òî èç ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ïîðÿäêà íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ïî÷òè íàâåðíîå.
103
ÇÀÄÀ×À 11.18. Ïðèâåñòè ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí,
ñõîäÿùåéñÿ ïî÷òè íàâåðíîå è òàêîé, ÷òî íèêàêàÿ åå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå
ñõîäèòñÿ â ñðåäíåì ïîðÿäêà r > 0.
ÇÀÄÀ×À 11.19. Äîêàçàòü, ÷òî ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ê
íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíà ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè è
ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íà IR.
ÇÀÄÀ×À 11.20. Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéP
íûõ âåëè÷èí, ïðè÷åì ξn −→ ξ ïðè n → ∞. Äîêàçàòü, ÷òî ξ èìååò âûðîæäåííîå
ðàñïðåäåëåíèå.
104
12. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû òåîðèè
âåðîÿòíîñòåé
ÇÀÍßÒÈÅ 15
Ïóñòü çàäàíî íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P) è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , . . . ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íà íåì.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 12.1. Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè. Ãîâîðÿò, ÷òî äëÿ ýòîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûïîëíÿåòñÿ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë (ÇÁ×), åñëè
Pn
i=1 ξi −
n
Pn
i=1 Eξi
P
−→ 0
ïðè n → ∞.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 12.1. Òðåáîâàíèå ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ó
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξi , i = 1, 2, . . ., ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì, ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå î âûïîëíåíèè çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë âîîáùå íå ìîæåò èäòè ðå÷è.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 12.2. Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè. Ãîâîðÿò, ÷òî äëÿ ýòîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûïîëíÿåòñÿ óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë (ÓÇÁ×), åñëè ïðè n → ∞
Pn
Pn
ξ
−
i
i=1
i=1 Eξi ï.í.
−→ 0.
n
ÒÅÎÐÅÌÀ 12.1 (ÇÁ× â ôîðìå ×åáûøåâà). Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïðè÷åì
Eξ1 = a è Dξ1 = σ 2 < ∞. Òîãäà äëÿ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûïîëíÿåòñÿ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, òî åñòü äëÿ ëþáîãî ε > 0 ïðè n → ∞
Pn
P
i=1 ξi
−a ≥ε
n
−→ 0.
ÒÅÎÐÅÌÀ 12.2 (ÇÁ× â ôîðìå Õèí÷èíà). Åñëè ξ1 , ξ2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íûìè
105
ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè, òî äëÿ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûïîëíÿåòñÿ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë.
ÒÅÎÐÅÌÀ 12.3 (ÓÇÁ× Êîëìîãîðîâà). Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Äëÿ âûïîëíåíèÿ óñèëåííîãî çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ñóùåñòâîâàíèå ó ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ1 êîíå÷íîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.
Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî òåîðåìû 12.112.3 èìåþò î÷åíü ïîõîæóþ ôîðìóëèðîâêó, ìåæäó ïóáëèêàöèÿìè ïåðâîé è ïîñëåäíåé òåîðåì ïðîøëî íåìàëî âðåìåíè
è ïîÿâèëîñü áîëüøîå ÷èñëî íîâûõ ìåòîäîâ èçó÷åíèÿ ñóìì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
Òåîðåìà 12.1 áûëà îïóáëèêîâàíà Ï. Ë. ×åáûøåâûì â 1867 ãîäó â ðàáîòå [8], à
óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë À. Í. Êîëìîãîðîâà (áåç äîêàçàòåëüñòâà) óâèäåë
ñâåò ëèøü â ðàáîòå [3] â 1933 ãîäó.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 12.3. Ãîâîðÿò, ÷òî äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . âûïîëíÿåòñÿ öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà (ÖÏÒ), åñëè
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
Pn
Pn
ξ
−
E
ξ
i
i=1
p Pn i=1 i
D i=1 ξi
ñëàáî ñõîäèòñÿ ïðè n → ∞ ê ñòàíäàðòíî íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíå.
ÒÅÎÐÅÌÀ 12.4 (ÖÏÒ äëÿ íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí). Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî
ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïðè÷åì Eξ1 = a, 0 < Dξ1 = σ 2 < ∞. Òîãäà
äëÿ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûïîëíÿåòñÿ öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà,
òî åñòü ïðè n → ∞
Zx
2
ξ
−
na
1
− u2
i=1 i
√
e
< x =⇒ Φ(x) = √
du.
2π
nσ 2
Pn
P
(12.1)
−∞
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 12.2. Âî ìíîãèõ ó÷åáíèêàõ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé òðåáîâàíèå
íåâûðîæäåííîñòè ñëàãàåìûõ ξi â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû 12.4 íå óêàçûâàåòñÿ
ÿâíî, îäíàêî î÷åâèäíî, ÷òî óñëîâèå σ 2 > 0 ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì.
ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 12.3. Ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ýêâèâàëåíòíà ñõîäèìîñòè ïî ðàñïðåäåëåíèþ, òî åñòü â òåîðåìå 12.4 óòâåðæäàåòñÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ öåíòðèðîâàííûõ è íîðìèðîâàííûõ ñóìì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ê ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ Φ(x) â êàæäîé òî÷êå íåïðåðûâíîñòè ïîñëåäíåé. Îäíàêî ôóíêöèÿ Φ(x) ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé, ñëåäîâàòåëüíî, ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü
â (12.1) ýêâèâàëåíòíà ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî x.
106
Áîëåå òîãî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî, ïîñêîëüêó êàê äîïðåäåëüíûå, òàê è ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ, ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü â (12.1)
ýêâèâàëåíòíà ðàâíîìåðíîé ïî x ∈ IR ñõîäèìîñòè.
ÇÀÄÀ×À 12.1. Äîêàçàòü òåîðåìó 12.1.
ÐÅØÅÍÈÅ. Îáû÷íûì ìåòîäîì ïðè äîêàçàòåëüñòâå çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë
Pn
ÿâëÿåòñÿ ïðèìåíåíèå íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà (8.9). Çàìåòèì, ÷òî E i=1 ξi /n = a,
ñëåäîâàòåëüíî,
Pn
D
ξ
σ2
i
i=1 ξi
i=1
−a ≥ε ≤
= 2 −→ 0
n
n2 ε2
nε
Pn
P
ïðè n → ∞. ÇÀÄÀ×À 12.2. Ïðîâîäÿòñÿ íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ
¾óñïåõà¿ p. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξi ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1, åñëè i-å è (i+1)-å
èñïûòàíèÿ çàêîí÷èëèñü ¾óñïåõîì¿, è 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Âûïîëíÿåòñÿ ëè äëÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξ1 , ξ2 , . . . çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë?
ÐÅØÅÍÈÅ. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ηi ñîîòâåòñòâóåò i-ìó èñïûòàíèþ Áåðíóëëè. Òîãäà {ξi = 1} = {ηi = 1, ηi+1 = 1}. Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξi èìåþò ðàñïðåäåëåíèå Bi(1, p2 ), íî íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Íàéäåì
P
D ni=1 ξi . Èìååì
E
n
X
!2
ξi
=E
i=1
n
X
ξi ·
n
X
= E
ξj
X
ξi ξj +
i=j
j=1
i=1
!
X
ξi ξj +
|j−i|=1
ξi ξj =
|j−i|>1
= E
X
X
(ηi ηi+1 )2 + 2
i=j
X
2
ηi ηi+1
ηi+2 +
j=i+1
X
ηi ηi+1 ηj ηj+1 =
|j−i|>1
= np2 + 2(n − 1)p3 + (n2 − n − 2(n − 1))p4 .
Òàêèì îáðàçîì,
D
n
X
i=1
ξi = E
n
X
i=1
!2
ξi
−
E
n
X
!2
ξi
= np2 + 2(n − 1)p3 + (2 − 3n)p4 .
i=1
Ïðèìåíèâ íåðàâåíñòâî (8.9) ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå
êîí áîëüøèõ ÷èñåë âûïîëíÿåòñÿ. Pn
i=1 ξi /n, ïîëó÷àåì, ÷òî çà-
ÇÀÄÀ×À 12.3. Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðè÷åì
√
n,
ξn = 0,
−√n,
1
;
2n
1
1− ;
n
1
.
2n
107
Âûïîëíÿåòñÿ ëè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξ1 , ξ2 , . . . çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë?
Pn
ÐÅØÅÍÈÅ. Çàìåòèì, ÷òî E i=1 ξi /n = 0 è D
íåðàâåíñòâà (8.9) çàâåðøàåò ðåøåíèå çàäà÷è. Pn
i=1 ξi /n = 1/n. Ïðèìåíåíèå
ÇÀÄÀ×À 12.4. Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðè÷åì
P(ξn = ±2n ) = 1/2. Âûïîëíÿåòñÿ ëè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξ1 , ξ2 , . . . çàêîí
áîëüøèõ ÷èñåë?
Pn
ÐÅØÅÍÈÅ. Çàìåòèì, ÷òî E
äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äàåò
Pn
i=1 ξi
−E
n
P
Pn
i=1 ξi /n = 0. Ïðèìåíåíèå íåðàâåíñòâà (8.9) ê
i=1 ξi
≥ε
n
≤
D
Pn
i=1 ξi
=
n2 ε2
Pn
i=1 2
n2 ε2
i
−→ ∞
ïðè n → ∞. Òàêîé ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì, íî íå âñåãäà âåðíûì ïðèçíàêîì
òîãî, ÷òî çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë íå âûïîëíÿåòñÿ. Ïóñòü ε < 1. Ïîñêîëüêó
P ξ1 + . . . + ξn−2 ≥ 2 − 2n−1 = 1,
èìååì
Pn
ξ
ξ
i
i
i=1
i=1
≥ε ≥P
≥ ε, ξn = 2n , ξn−1 = 2n−1 =
n
n
!
Pn
i=1 ξi
≥ ε ξn = 2n , ξn−1 = 2n−1 P ξn = 2n , ξn−1 = 2n−1 =
n
Pn
P
=P
1
= P ξn = 2n , ξn−1 = 2n−1 = .
4
Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ñëó÷àå çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äåéñòâèòåëüíî íå âûïîëíÿåòñÿ. ÇÀÄÀ×À 12.5. Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðè÷åì 0 < Dξ1 < ∞. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ êîíå÷íûõ
a, b ∈ IR
!
n
X
lim P a ≤
ξi ≤ b = 0.
n→∞
i=1
ÐÅØÅÍÈÅ. Îáîçíà÷èì m = Eξ1 è σ 2 = Dξ1 . Èìååì
lim P a ≤
n→∞
n
X
i=1
!
ξi ≤ b
a − mn
= lim P √
≤
n→∞
σ2n
Pn
b − mn
i=1 ξi − mn
√
≤ √
σ2n
σ2n
.
Ïðèìåíåíèå çàìå÷àíèÿ 12.3 î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè â òåîðåìå 12.4 äîêàçûâàåò
òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå. 108
ÄÎÌÀØÍÅÅ ÇÀÄÀÍÈÅ
ÇÀÄÀ×À 12.6. Ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü çàìå÷àíèÿ 12.3.
ÇÀÄÀ×À 12.7. Äîêàçàòü òåîðåìó 12.4.
ÇÀÄÀ×À 12.8. Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðè÷åì
1
;
2n2
1
1 − 2;
n
1
.
2n2
Âûïîëíÿåòñÿ ëè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξ1 , ξ2 , . . . çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë?
ÇÀÄÀ×À 12.9. Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðè÷åì
n
2−(2n+1) ;
2 ,
ξn = 0,
1 − 2−2n ;
n
−2 , 2−(2n+1) .
n,
ξn = 0,
−n,
Âûïîëíÿåòñÿ ëè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξ1 , ξ2 , . . . çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë?
ÇÀÄÀ×À 12.10. Ïóñòü µn ÷èñëî ¾óñïåõîâ¿ â n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ
ï.í.
Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ ¾óñïåõà¿ p. Äîêàçàòü, ÷òî µn /n −→ p.
ÇÀÄÀ×À 12.11. Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå
ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðè÷åì 0 < Dξ1 < ∞. Âû÷èñëèòü
lim P(ξ1 + . . . + ξn < x).
n→∞
ÇÀÄÀ×À 12.12. Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå
ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ
F (x) =
1 1
+ arctg x.
2 π
Âûïîëíÿåòñÿ ëè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξ1 , ξ2 , . . . çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë?
ÇÀÄÀ×À 12.13. Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå
ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðè÷åì
P(ξn = (−1)k−1 k) =
6
,
k2π2
k = 1, 2, . . .
Âûïîëíÿåòñÿ ëè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξ1 , ξ2 , . . . çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë?
ÇÀÄÀ×À 12.14. Äîêàçàòü çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë â ôîðìå Áåðíóëëè (âïåðâûå
îïóáëèêîâàííûé â êíèãå [9]): ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ
îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïðè÷åì ξ1 ∼ Bi(1, p), p ∈ (0, 1).
Òîãäà äëÿ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûïîëíÿåòñÿ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë.
109
ÇÀÄÀ×À 12.15. Äîêàçàòü çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë â ôîðìå Ïóàññîíà (âïåðâûå
îïóáëèêîâàííûé â êíèãå [10]): ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òàêèõ, ÷òî ξi ∼ Bi(1, pi ), pi ∈ (0, 1), i = 1, 2, . . . Òîãäà
äëÿ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûïîëíÿåòñÿ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë.
ÇÀÄÀ×À 12.16. Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðè n → ∞
ξ1 + . . . + ξn ï.í.
−→ c,
n
ãäå c íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî, òî E|ξ1 | < ∞ è Eξ1 = c.
ÇÀÄÀ×À 12.17. Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ öåíòðèðîâàííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íûìè äèñïåðñèÿìè. Íàéòè Dξ1 , åñëè
P
n
i=1 ξi
√
lim P
n→∞
n
1
= .
3
>1
ÇÀÄÀ×À 12.18. Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ ðàâíîìåðíîå íà îòðåçêå [0, 1] ðàñïðåäåëåíèå. Íàéòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåùåñòâåííûõ ÷èñåë a1 , a2 , . . ., óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ
lim P
n→∞
n
X
√
!
ξi ≤ an n
= p,
i=1
ãäå 0 ≤ p ≤ 1.
ÇÀÄÀ×À 12.19. Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïðè÷åì Eξ1 = a.
Ïóñòü
ξ1 + . . . + ξn
.
n
√
Äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ζn = n η1 · . . . · ηn ñõîäèòñÿ ïî÷òè íàâåðíîå ê a.
ÇÀÄÀ×À 12.20. Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ÷èñëî ¾óñïåõîâ¿ Sn â ñõåìå n = 100 íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ ¾óñïåõà¿ p = 0.5 ëåæèò â ïðåäåëàõ îò 35 äî 65 è îò 47 äî 53. Ïðè êàêèõ
çíà÷åíèÿõ n âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî 0.35 ≤ Sn /n ≤ 0.65, áóäåò áîëüøå 0.998?
ηn =
110
Ïðèëîæåíèå: õàðàêòåðèñòèêè îñíîâíûõ
ðàñïðåäåëåíèé
Pξ
fξ (x)
Eξ
Dξ
R[a, b]
1
· 1x ([a, b]),
b−a
a < b, a, b ∈ IR
a+b
2
(a − b)2
12
N (a, σ 2 )
√
a
σ2
1
λ
1
λ2
1
(x−a)2
2πσ 2
· e− 2σ2 ,
a ∈ IR, σ 2 > 0
λe−λx · 1x ([0, +∞)) ,
exp(λ)
λ>0
K(a, σ)
1
σ
· 2
π σ + (x − a)2
a ∈ IR, σ > 0
Pξ
P(ξ = k)
Eξ
Dξ
ξ =a
ï.í.
1, k = a
a
0
Bi(n, p)
Cnk pk (1 − p)n−k ,
n ∈ IN, p ∈ (0, 1),
k = 0, . . . , n
np
np(1 − p)
λ
λ
p
1−p
p
(1 − p)2
−λ λ
k
P ois(λ)
e
,
k!
λ > 0, k = 0, 1, . . .
G(p)
(1 − p)pk ,
p ∈ (0, 1), k = 0, 1, . . .
111
Pξ
ϕξ (t)
ψξ (z)
ξ =a
ï.í.
eita
za
Bi(n, p)
(1 + p(eit − 1))n
(1 + p(z − 1))n
P ois(λ)
eλ(e −1)
it
eλ(z−1)
G(p)
1−p
1 − peit
1−p
1 − pz
R[a, b]
eitb − eita
it(b − a)
R[−a, a]
sin at
at
N (a, σ 2 )
eita− 2
exp(λ)
λ
λ − it
K(a, σ)
eita−σ|t|
σ 2 t2
Ãðàôèêè ïëîòíîñòåé ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ R[a, b], íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ N (a, σ 2 ), ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ exp(λ):
f (x)
f (x)
f (x)
√1
2πσ
λ
1
b−a
0
a
b
x
0
6σ
a
x
0
x
Ãðàôèêè ôóíêöèé ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ R[a, b], íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ N (a, σ 2 ), ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ exp(λ):
F (x)
F (x)
1
F (x)
1
1
1
2
0
112
a
b
x
0
a
x
0
x
Ïðèëîæåíèå: çíà÷åíèÿ ôóíêöèè
Rx −u2/2
1
Ëàïëàñà Φ0 (x) = √
e
du
2π
0
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
Φ0 (x)
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
x
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
Φ0 (x)
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
x
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
Φ0 (x)
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
x
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
Φ0 (x)
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
113
x
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
114
Φ0 (x)
0,3862
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
x
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
Φ0 (x)
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
x
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
Φ0 (x)
0,4726
0,4739
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
x
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
Φ0 (x)
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,499997
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà
Ó÷åáíèêîâ è çàäà÷íèêîâ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé âûïóùåíî î÷åíü ìíîãî. Íèæåñëåäóþùèé ñïèñîê íå ïðåòåíäóåò íà ïîëíîòó, â íåì ñîäåðæàòñÿ ëèøü ññûëêè
íà òå êíèãè, ïî êîòîðûì àâòîð ó÷èëñÿ è ïðîäîëæàåò ó÷èòüñÿ ñàì.
Ó÷åáíèêè:
Êîëìîãîðîâ À. Í. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.
Ì.Ë.: ÎÍÒÈ ÍÊÒÏ ÑÑÑÐ, 1936;
Ãíåäåíêî Á. Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. 2-å èçä. Ì.:
ÈÒÒË, 1954;
Áîðîâêîâ À. À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. 3-å èçä. Ì.: ÓÐÑÑ,
Íîâîñèáèðñê: Èçä-âî èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè, 1999;
Ôåëëåð Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèëîæåíèÿ.
2-å èçä. Ò. 12. Ì.: Ìèð, 1967;
Ïðîõîðîâ Þ. Â., Ïîíîìàðåíêî Ë. Ñ. Ëåêöèè ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Ì.: ÌÀÊÑ Ïðåññ,
2004;
Øèðÿåâ À. Í. Âåðîÿòíîñòü. Ì.: Íàóêà, 1980;
Ïðîõîðîâ Þ. Â., Ðîçàíîâ Þ. À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.:
Íàóêà, 1987;
Òóòóáàëèí Â. Í. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ,
1972;
×åáûøåâ Ï. Ë. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.Ë.: Èçä-âî Àêàäåìèè íàóê ÑÑÑÐ, 1936;
Áåðíøòåéí Ñ. Í. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.Ë.: Ãîñóäàðñòâåííîå èçä-âî, 1927;
Áåðíøòåéí Ñ. Í. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. 4-å èçä. Ì.Ë.:
ÎÃÈÇ ÈÒÒË, 1946;
Áîåâ Ã. Ï. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.Ë.: ÈÒÒË, 1950;
Ãëèâåíêî Â. È. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.: ÃÓÏÈ, 1937;
Ãëèâåíêî Â. È. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ì.Ë.: ÎÍÒÈ
ÐÒÒË, 1939;
Êëèìîâ Ã. Ï. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1983;
115
Êðàìåð Ã. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Èçä-âî èíîñòðàííîé ëèòåðàòóðû, 1947;
Ëàìïåðòè Äæ. Âåðîÿòíîñòü. Ì.: Íàóêà, 1973;
Íåêðàñîâ Ï. À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ñ.-Ï.: Ñêëàä èçäàíèÿ
ó Ê. Ë. Ðèêêåðà, 1912.
Çàäà÷íèêè: Ïðîõîðîâ À. Â., Óøàêîâ Â. Ã., Óøàêîâ Í. Ã. Çàäà÷è ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Íàóêà, 1986;
Çóáêîâ À. Ì., Ñåâàñòüÿíîâ Á. À., ×èñòÿêîâ Â. Ï. Ñáîðíèê
çàäà÷ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Íàóêà, 1989;
Âåíòöåëü Å. Ñ., Îâ÷àðîâ Ë. À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. 2-å
èçä. Ì.: Íàóêà, 1973;
Âîëîäèí Á. Ã., Ãàíèí Ì. Ï., Äèíåð È. ß., Êîìàðîâ Ë. Á.,
Ñâåøíèêîâ À. À., Ñòàðîáèí Ê. Á. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî òåîðèè
âåðîÿòíîñòåé, ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå è òåîðèè ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé / Ïîä îáùåé ðåä. À. À. Ñâåøíèêîâà. Ì.:
Íàóêà, 1965.
Ïðè ïîäãîòîâêå ïîñîáèÿ àâòîð èñïîëüçîâàë ñëåäóþùèå ó÷åáíèêè è çàäà÷íèêè
â êà÷åñòâå èñòî÷íèêîâ ïðàêòè÷åñêèõ óïðàæíåíèé.
Èñòî÷íèê
Íîìåðà çàäà÷
Áîðîâêîâ À. À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé.
3-å èçä. Ì.: ÓÐÑÑ, Íîâîñèáèðñê:
Èçä-âî èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè, 1999.
Âîëîäèí Á. Ã., Ãàíèí Ì. Ï., Äèíåð È. ß., Êîìàðîâ Ë. Á., Ñâåøíèêîâ À. À., Ñòàðîáèí Ê. Á. Ñáîðíèê
çàäà÷ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå è òåîðèè ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé / Ïîä îáùåé ðåä.
À. À. Ñâåøíèêîâà. Ì.: Íàóêà, 1965.
Ãíåäåíêî Á. Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. 2-å èçä. Ì.: ÈÒÒË, 1954.
1.1, 1.2, 1.9, 3.2, 3.3, 3.4, 6.2, 6.3, 6.4,
7.43, 8.19, 10.3, 10.4.
116
2.9, 3.7, 4.3, 5.1, 5.2, 7.39, 7.40, 7.53,
12.12, 12.13.
1.5, 1.6; 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.11, 2.12;
3.20.
Çóáêîâ À. Ì., Ñåâàñòüÿíîâ Á. À.,
×èñòÿêîâ Â. Ï. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî
òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Íàóêà,
1989.
2.13, 2.14, 2.15, 2.16, 2.17, 2.18, 2.19,
2.20, 3.6, 3.18, 3.19, 4.1, 4.2, 4.15, 4.16,
4.17, 4.18, 4.19, 4.20, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6,
5.11, 5.12, 5.13, 5.14, 5.15, 5.16, 5.17,
5.18, 5.19, 5.20, 7.25, 7.26, 7.34, 7.35,
7.36, 7.37, 7.38, 7.44, 7.45, 7.51, 7.54,
7.55, 7.56, 7.57, 7.58, 7.59, 7.60, 8.1,
8.15, 8.16, 8.17, 8.18, 8.22, 8.23, 8.24,
8.25, 8.34, 9.3.
Ïðîõîðîâ À. Â., Óøàêîâ Â. Ã., Óøà- 1.10, 1.12, 1.13, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17,
êîâ Í. Ã. Çàäà÷è ïî òåîðèè âåðîÿòíî- 1.18, 1.19, 1.20, 2.6, 2.7, 2.8, 2.10, 3.5,
ñòåé. Ì.: Íàóêà, 1986.
3.10, 3.11, 3.12, 3.13, 3.14, 3.15, 3.16,
3.17, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9, 4.10, 4.11,
4.12, 4.13, 4.14, 5.10, 6.8, 6.13, 6.14,
6.15, 6.16, 6.18, 6.19, 6.20, 7.4, 7.8, 7.9,
7.10, 7.11, 7.12, 7.27, 7.49, 7.52, 8.6, 8.8,
8.10, 8.11, 8.12,
8.13, 8.14, 8.29, 8.30, 8.31, 8.32, 8.33,
8.35, 8.37, 8.38,
8.39, 9.1, 9.2, 9.6, 9.7, 9.8, 9.9, 9.12,
9.13, 9.14, 9.15, 9.16,
9.17, 9.18, 9.19, 9.20, 10.9,
10.10, 10.11, 10.12, 10.13,
10.14, 10.15, 10.16, 10.17,
10.18, 10.19, 11.1, 11.2, 11.3, 11.4, 11.5,
11.6, 11.8, 11.9, 11.10, 11.11, 11.12,
11.13, 11.14, 11.15, 11.16, 11.17, 11.18,
11.19, 11.20, 12.1, 12.2, 12.3, 12.4, 12.5,
12.8, 12.9, 12.10, 12.11, 12.16, 12.17,
12.18, 12.19, 12.20.
117
Ëèòåðàòóðà
1. Ìàéñòðîâ Ë. Å. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé: Èñòîðè÷åñêèé î÷åðê. Ì.: Íàóêà,
1967.
2. Ãíåäåíêî Á. Â. Î÷åðê ïî èñòîðèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ì.: ÓÐÑÑ, 2001.
3. Kolmogoro A. Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin:
Springer, 1933.
4. Êîëìîãîðîâ À. Í. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ì.Ë.: ÎÍÒÈ
ÍÊÒÏ ÑÑÑÐ, 1936.
5. Êîëìîãîðîâ À. Í., Ôîìèí Ñ. Â. Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. 5-å èçä. Ì.: Íàóêà, 1981.
6. Îêñòîáè Ä. Ìåðà è êàòåãîðèÿ. Ì.: Íàóêà, 1974.
7. Õàëìîø Ï. Òåîðèÿ ìåðû. Ì.: Èçä-âî èíîñòðàííîé ëèòåðàòóðû, 1953.
8. ×åáûøåâ Ï. Ë. Î ñðåäíèõ âåëè÷èíàõ. Ìàòåìàòè÷åñêèé ñáîðíèê. Ò. II, 1867.
9. Bernoulli J. Ars conjectandi. Basillae, 1713.
10. Poisson S. D. Recherches sur la probabilite des jugements en matiere criminelle
et en matiere civile. Paris, 1837.
11. Ãíåäåíêî Á. Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. 2-å èçä. Ì.: ÈÒÒË, 1954.
12. Áîðîâêîâ À. À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. 3-å èçä. Ì.: ÓÐÑÑ, Íîâîñèáèðñê:
Èçä-âî èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè, 1999.
13. Ôåëëåð Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèëîæåíèÿ. 2-å èçä. Ò. 12.
Ì.: Ìèð, 1967.
14. Ïðîõîðîâ Þ. Â., Ïîíîìàðåíêî Ë. Ñ. Ëåêöèè ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Ì.: ÌÀÊÑ Ïðåññ, 2004.
15. Øèðÿåâ À. Í. Âåðîÿòíîñòü. Ì.: Íàóêà, 1980.
16. Ïðîõîðîâ Þ. Â., Ðîçàíîâ Þ. À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Íàóêà, 1987.
17. Òóòóáàëèí Â. Í. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1972.
118
18. ×åáûøåâ Ï. Ë. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.Ë.: Èçä-âî Àêàäåìèè íàóê ÑÑÑÐ,
1936.
19. Áåðíøòåéí Ñ. Í. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.Ë.: Ãîñóäàðñòâåííîå èçä-âî,
1927.
20. Áåðíøòåéí Ñ. Í. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. 4-å èçä. Ì.Ë.: ÎÃÈÇ ÈÒÒË, 1946.
21. Áîåâ Ã. Ï. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.Ë.: ÈÒÒË, 1950.
22. Ãëèâåíêî Â. È. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.: ÃÓÏÈ, 1937.
23. Ãëèâåíêî Â. È. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ì.Ë.: ÎÍÒÈ ÐÒÒË, 1939.
24. Êëèìîâ Ã. Ï. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Ì.: Èçäâî ÌÃÓ, 1983.
25. Êðàìåð Ã. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Èçä-âî
èíîñòðàííîé ëèòåðàòóðû, 1947.
26. Ëàìïåðòè Äæ. Âåðîÿòíîñòü. Ì.: Íàóêà, 1973.
27. Íåêðàñîâ Ï. À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ñ.-Ï.: Ñêëàä èçäàíèÿ ó Ê. Ë. Ðèêêåðà,
1912.
28. Ôðàíê Ì. Ë. Ýëåìåíòû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ì.Ë.: ÎÍÒÈ ÐÎÒË, 1935.
29. Ïðîõîðîâ À. Â., Óøàêîâ Â. Ã., Óøàêîâ Í. Ã. Çàäà÷è ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.
Ì.: Íàóêà, 1986.
30. Çóáêîâ À. Ì., Ñåâàñòüÿíîâ Á. À., ×èñòÿêîâ Â. Ï. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî òåîðèè
âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Íàóêà, 1989.
31. Âåíòöåëü Å. Ñ., Îâ÷àðîâ Ë. À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. 2-å èçä. Ì.: Íàóêà,
1973.
32. Âîëîäèí Á. Ã., Ãàíèí Ì. Ï., Äèíåð È. ß., Êîìàðîâ Ë. Á., Ñâåøíèêîâ À. À.,
Ñòàðîáèí Ê. Á. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ìàòåìàòè÷åñêîé
ñòàòèñòèêå è òåîðèè ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé / Ïîä îáùåé ðåä. À. À. Ñâåøíèêîâà.
Ì.: Íàóêà, 1965.
119
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü
σ -àääèòèâíîñòü, 44
σ -àëãåáðà, 41
áîðåëåâñêàÿ, 43, 45
ìàêñèìàëüíàÿ, 42
ìèíèìàëüíàÿ, 42
íàèìåíüøàÿ, 42
, ïîðîæäåííàÿ ìíîæåñòâîì, 42
Àääèòèâíîñòü, 43, 44
êîíå÷íàÿ, 44
ñ÷åòíàÿ, 44
Àêñèîìà σ -àääèòèâíîñòè, 44
àääèòèâíîñòè, 44
íåîòðèöàòåëüíîñòè, 43, 44
íåïðåðûâíîñòè, 44
íîðìèðîâàííîñòè, 44
ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè, 44
Àêñèîìû σ -àëãåáðû, 41
àëãåáðû, 41
âåðîÿòíîñòè, 43, 44
Àëãåáðà, 41
íàèìåíüøàÿ, 42
Âåðîÿòíîñòü, 12, 43, 44
ãåîìåòðè÷åñêàÿ, 18
óñëîâíàÿ, 24
Ãèïîòåçà, 31
Äèñïåðñèÿ, 80, 81
Çàäà÷à î âñòðå÷å, 20
Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, 105
â ôîðìå Áåðíóëëè, 109
Ïóàññîíà, 110
Õèí÷èíà, 105
×åáûøåâà, 105
óñèëåííûé, 105
120
Êîëìîãîðîâà, 106
Èãëà Áþôôîíà, 20
Èçìåðèìîñòü, 48
Èíäèêàòîð, 76
Èíòåãðàë Ëåáåãà, 61
Ñòèëòüåñà, 72
Èíòåãðàëüíàÿ ñóììà Ñòèëòüåñà, 72
Èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè, 35
Êîâàðèàöèÿ, 80
Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè, 81
Êðèâàÿ Êàíòîðà, 68
Êðèòåðèé íåçàâèñèìîñòè, 94
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, 72, 73, 81
óñëîâíîå, 75
Ìåðà, 43
Ëåáåãà, 45
àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ, 63
âåðîÿòíîñòíàÿ, 13, 43, 44
ãåîìåòðè÷åñêàÿ, 18
äîìèíèðóþùàÿ, 64
ïîëíàÿ, 61
ñ÷èòàþùàÿ, 64
Ìåðû ïðîäîëæåíèå, 45
Ìíîæåñòâî áîðåëåâñêîå, 43
èçìåðèìîå, 43, 50
êàíòîðîâî, 68
Ìîìåíò, 81
àáñîëþòíûé, 81
ôàêòîðèàëüíûé, 81
öåíòðàëüíûé, 81
àáñîëþòíûé, 81
ñìåøàííûé, 81
Íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà, 82
îáîáùåííîå, 101
Íîðìèðîâàííîñòü, 44
Ïàðàäîêñ Áåðòðàíà, 19
ðàâíîìåðíîå, 18, 65
äèñêðåòíîå, 15, 56
ñèììåòðè÷íîå, 89, 95
ñèíãóëÿðíîãî òèïà, 67
ñëó÷àéíîãî âåêòîðà, 92
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, 50
ñîâìåñòíîå, 92
ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå, 65
÷àñòíîå, 92
ýêñïîíåíöèàëüíîå, 66
Ðàñïðåäåëåíèÿ çàêîí, 50
ïëîòíîñòü, 62, 92
ðÿä, 55, 69
Ïëîòíîñòü, 62
ìàðãèíàëüíàÿ, 94
ñîâìåñòíàÿ, 92
Ïîëå âåðîÿòíîñòåé, 45
Ïîëíûé ïðîîáðàç, 48
Ïî÷òè âñþäó, 46
íàâåðíîå, 46
Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, 86
ÔóðüåÑòèëòüåñà, 86
Ïðèìåð Áåðíøòåéíà, 27
Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ïîñëåäîâàòåëü- Ñâåðòêà, 94
Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè, 13, 45
íîñòè, 87
äèñïåðñèè, 80
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, 87
ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, 76
Ïðîñòðàíñòâî âåðîÿòíîñòíîå, 44
íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé, 25
â øèðîêîì ñìûñëå, 44
ïëîòíîñòè, 62
èçìåðèìîå, 43
ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè, 88
ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, 9, 41
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, 52
äèñêðåòíîå, 10
ñèíãóëÿðíîãî òèïà, 67
ñîáûòèé, 9, 41
õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè, 87
Ðàâåíñòâî ïî ðàñïðåäåëåíèþ, 51
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, 48
ïî÷òè íàâåðíîå, 51
n-ìåðíàÿ, 92
òîæäåñòâåííîå, 51
âûðîæäåííàÿ, 56
Ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè, 36, 56
äèñêðåòíàÿ, 55
Êîøè, 66
íåîòðèöàòåëüíàÿ, 78
Ïóàññîíà, 38, 57
íîðìèðîâàííàÿ, 96
àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå, 62, 92
öåëî÷èñëåííàÿ, 50
áèíîìèàëüíîå, 36, 56
öåíòðèðîâàííàÿ, 96
ñèììåòðè÷íîå, 69
Ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÷àñòíîå çíà÷åíèå,
âåðîÿòíîñòåé, 12, 44
48
âûðîæäåííîå, 56
Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íåçàâèñèìûå, 76,
ãåîìåòðè÷åñêîå, 57
93
äèñêðåòíîå, 55
íåêîððåëèðîâàííûå, 81
êëàññè÷åñêîå, 15, 56
ýêâèâàëåíòíûå, 51
ìàðãèíàëüíîå, 92
Ñëó÷àéíûé âåêòîð, 92
íîðìàëüíîå, 38, 65
ýëåìåíò, 50
ïîêàçàòåëüíîå, 66
Ñîáûòèå, 10, 41
äîïîëíèòåëüíîå, 11
ïóàññîíîâñêîå, 38, 57
121
äîñòîâåðíîå, 11
íåâîçìîæíîå, 11
ñëó÷àéíîå, 10, 41
ýëåìåíòàðíîå, 9
Ñîáûòèé ïîëíàÿ ãðóïïà, 30
ïðîèçâåäåíèå, 11
ðàçíîñòü, 11
ñóììà, 11
Ñîáûòèÿ íåçàâèñèìûå, 25
â ñîâîêóïíîñòè, 26
ïîïàðíî, 26
íåñîâìåñòíûå, 11
Ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà, 101
Ñòàíäàðòíîå óêëîíåíèå, 80
Ñõåìà Áåðíóëëè, 35
Ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì, 99
êâàäðàòè÷åñêîì, 99
ïîðÿäêà r, 99
ïî âåðîÿòíîñòè, 99
ðàñïðåäåëåíèþ, 99
ïî÷òè íàâåðíîå, 99
ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, 99
ñëàáàÿ, 100
Òåîðåìà Êàðàòåîäîðè, 45
Ëåáåãà, 68
ÌóàâðàËàïëàñà èíòåãðàëüíàÿ, 38
Ïóàññîíà, 37
ÐàäîíàÍèêîäèìà, 64
Óëàìà, 42, 50
åäèíñòâåííîñòè, 87
íåïðåðûâíîñòè, 100
öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ, 106
Òî÷êà ðîñòà, 67
Ôîðìóëà Áàéåñà, 30
ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, 30
Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíòà, 95
ñèììåòðèçàöèÿ, 95
Ôóíêöèÿ Äèðèõëå, 61
Êàíòîðà, 68
Ëàïëàñà, 66
122
àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ, 63
áîðåëåâñêàÿ, 74
èíäèêàòîðíàÿ, 76
ïðîñòàÿ, 61
ðàñïðåäåëåíèÿ, 52
ìàðãèíàëüíàÿ, 92
ñëó÷àéíîãî âåêòîðà, 92
ñîâìåñòíàÿ, 92
óñëîâíàÿ, 75
÷àñòíàÿ, 92
ñóììèðóåìàÿ ïî Ëåáåãó, 61
õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ, 86
Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà, 106
Ýëåìåíòàðíûé èñõîä, 9
Ó÷åáíîå èçäàíèå
À. À. Êóäðÿâöåâ
Ó×ÅÁÍÎÅ ÏÎÑÎÁÈÅ
ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
Ðåäàêòîð Å. Í. Àðóòþíîâ
Îðèãèíàë-ìàêåò ïîäãîòîâëåí À. À. Êóäðÿâöåâûì è À. Ë. Þäè÷åâîé
Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 20.05.2015
Òèðàæ 300 ýêç.
Èçäàíî ÔÈÖ ÈÓ ÐÀÍ
119333, Ìîñêâà, óë. Âàâèëîâà, ä. 44, êîðï. 2
123
