Письменный Конспект Полный курс

Д.Т.ПИСЬМЕННЫЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ ПО ВЬIСШЕИ МАТЕМАТИКЕ 1 1 Высшее образование 10-е издание, исправленное МОСКВА 4~ АЙРИС ПРЕСС 2011 УДК ББК 51(075.8) 22. lя73-2 П35 Все права защищены. Никакая часть данной книги не может переиздаваться или распространяться в любой форме и любыми средствами, электронными или механическими, включая фотокопирование, звукозапись, любые запоминающие устройства и системы поиска информации, без письменного разрешения правообладателя. Серийное оформление А. М. Драговой Письменный, Д. Т. П35 Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. - 2011. - 608 с.: ил. - 10-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, (Высшее образование). ISBN 978-5-8112-4351-8 Настоящий курс лекций предназначен для студентов, изучающих высшую математику в различных учебных заведениях. Книга содержит необходимый материал по всем разделам курса высшей математики (линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, основы математического анализа), которые обычно изучаются студентами на первом и втором курсах вуза, а также дополнительные главы, необходимые при изучении специальных курсов (двойные, тройные, криволинейные и поверхностные интегралы, дифференциальные уравнения, элементы теории поля и теории функций комплексного переменного, основы операционного исчисления). Доступный, но строгий с научной точки зрения язык изложения, а также большое количество примеров и задач позволят студентам эффективно под готовиться к сдаче зачетов и экзаменов. ББК 22. lя73-2 УДК 51(075.8) ISBN 978-5-8112-4351-8 © ООО «Издательство «АЙРИС-пресс», 2002 ОГЛАВЛЕНИЕ Пр~словие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ § 1. Матрицы................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Основные понятия....................................... 1.2. Действия над матрицами................................ § 2. Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Основные понятия....................................... 2.2. Свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Невырожденные матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Основные понятия....................................... 3.2. Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Системы линейных уравнений.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Основные понятия....................................... 4.2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли..................... . . . . . . . 4.3. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.. 4.5. Системы линейных однородных уравнений. . . . . . . . . . . . . . 16 16 17 20 20 22 24 24 25 27 29 29 30 32 34 37 Глава 11. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ § 5. Векторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Основные понятия....................................... 5.2. Линейные операции над векторами..................... 5.3. Проекция вектора на ось . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы. . . . . . . . . . . . . . 5.5. Действия над векторами, заданными проекциями...... § 6. Скалярное произведение векторов и его свойства . . . . . . . . . . . . 6.1. Определение скалярного произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Свойства скалярного произведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Выражение скалярного произведения через координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Некоторые приложения скалярного произведения . . . . . . § 7. Векторное произведение векторов и его свойства............ 7.1. Определение векторного произведения.................. 3 39 39 40 42 44 45 47 47 48 49 50 51 51 7.2. 7.3. Свойства векторного произведения...................... 7.4. Некоторые приложения векторного произведения....... через координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8. 52 Выражение векторного произведения Смешанное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. Определение смешанного произведения, его геометрический смысл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Свойства смешанного произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Выражение смешанного произведения через координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Некоторые приложения смешанного произведения...... 53 54 55 55 55 56 57 Глава 111. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 9. Система координат на плоскости........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. 9.2. Основные понятия....................................... Основные приложения метода координат на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. 58 58 Преобразование системы координат... . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 10. Линии на плоскости.......................................... 10.1.Основные понятия....................................... 10.2. Уравнения прямой на плоскости........................ 10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи . . . . . . . . . § 11. Линии второго порядка на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.Основные понятия....................................... 11.2.Окружность.............................................. 11.3.Эллипс................................................... 11.4. Гипербола.............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.Парабола................................................. 11.6. Общее уравнение линий второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . 60 61 64 64 68 73 74 74 75 76 79 84 86 Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 12. Уравнения поверхности и линии в пространстве............. 12.1.Основные понятия....................................... 90 90 92 96 98 101 12.2. Уравнения плоскости в пространстве................... 12.3. Плоскость. Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4. Уравнения прямой в пространстве...................... 12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи . . . . . . . 12.6. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 12. 7. Цилиндрические поверхности.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4 12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности . . . . . . . 12.9. Канонические уравнения поверхностей 106 второго порядка......................................... 109 Глава V. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ § 13. Множества. Действительные числа.......................... 13.1.Основные понятия....................................... 116 116 13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 13.3. Числовые промежутки. Окрестность точки............. 119 § 14. Функция...................................................... 120 14.1. Понятие функции........................................ 120 14.2. Числовые функции. График функции. Способы задания функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 14.3.Основные характеристики функции..................... 122 14.4.Обратная функция....................................... 123 14.5. Сложная функция... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 14.6. Основные элементарные функции и их графики . . . . . . . . 124 § 15. Последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 15.1. Числовая последовательность........................... 127 15.2. Предел числовой последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 15.3. Предельный переход в неравенствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 § 16. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 16.1.Предел функции в точке................................ 132 16.2.Односторонние пределы................................. 134 16.3. Предел функции при х -t оо. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 16.4.Бесконечно большая функция (6.б.ф.)................... 135 § 17. Бесконечно малые функции (б.м.ф.)......................... 136 17.1.Определения и основные теоремы....................... 136 17.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией........................... 140 17.3. Основные теоремы о пределах.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 17.4. Признаки существования пределов...................... 144 17.5. Первый замечательный предел.......................... 145 17.6. Второй замечательный предел..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 § 18. Эквивалентные бесконечно малые функции.................. 148 18.1. Сравнение бесконечно малых функций.................. 148 18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5 18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций .......................................... § 19. Непрерывность функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1. Непрерывность функции в точке........................ 19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3. Точки разрыва функции и их классификация.......... 19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке.. . . . . . . . . . . § 20. Производная функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.Задачи, приводящие к понятию производной ............ 20.2. Определение производной; ее механический 151 153 153 155 155 158 159 161 161 и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 20.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 20.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций...................................... 167 20.5. Производная сложной и обратной функций . . . . . . . . . . . . . 169 20.6. Производные основных элементарных функций. . . . . . . . . 171 20.7.Гиперболические функции и их производные........... 175 20.8. Таблица производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 § 21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.Неявно заданная функция ............................... 21.2. Функция, заданная параметрически................... . . § 22. Логарифмическое дифференцирование. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 23. Производные высших порядков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 179 180 181 182 23.1.Производные высших порядков явно заданной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2. Механический смысл производной второго порядка . . . . 23.3. Производные высших порядков неявно заданной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 24. Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1. Понятие дифференциала функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2. Геометрический смысл дифференциала функции . . . . . . . 24.3. Основные теоремы о дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.4. Таблица дифференциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 182 183 183 184 185 185 186 187 188 24.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 190 § 25. Исследование функций при помощи производных. . . . . . . . . . . . 192 25.1.Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях... 192 25.2. Правила Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 25.3. Возрастание и убывание функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 25.4. Максимум и минимум функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 25.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 25.6.Выпуклость графика функции. Точки перегиба ......... 207 25.7.Асимптоты графика функции........................... 209 25.8. Общая схема исследования функции и построения графика................................... 211 § 26. Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 26.1.Формула Тейлора для многочлена...................... 214 26.2. Формула Тейлора для произвольной функции . . . . . . . . . . 215 24.6.Дифференциалы высших порядков...................... Глава VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 27. Понятие и представления комплексных чисел............... 218 218 27.2.Геометрическое изображение комплексных чисел....... 218 27.3.Формы записи комплексных чисел...................... 219 § 28. Действия над комплексными числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 28.1.Сложение комплексных чисел ........................... 221 28.2. Вычитание комплексных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 28.3. Умножение комплексных чисел......................... 222 28.4. Деление комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 28.5. Извлечение корней из комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . 224 27.1.Основные понятия....................................... Глава VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 29. Неопределенный интеграл.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 29.1. Понятие неопределенного интеграла......... . . . . . . . . . . . 226 29.2.Свойства неопределенного интеграла.................... 227 29.3. Таблица основных неопределенных интегралов......... 230 § 30. Основные методы интегрирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 30.1.Метод непосредственного интегрирования............... 232 30.2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной).................................... 234 30.3. Метод интегрирования по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 § 31. Интегрирование рациональных функций..................... 237 31.1.Понятия о рациональных функциях ..................... 237 7 31.2. Интегрирование простейших рациональных дробей..... 31.3. Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 32. Интегрирование тригонометрических функций. . . . . . . . . . . . . . . 32.1. Универсальная тригонометрическая подстановка....... 32.2.Интегралы типа sinm х · cosn xdx...................... 32.3. Использование тригонометрических преобразований. . . . § 33. Интегрирование иррациональных функций.................. J 33.1.Квадратичные иррациональности....................... 33.2. Дробно-линейная подстановка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.3. Тригонометрическая подстановка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.4.Интегралы типа R(x; Jax 2 + Ьх +с) dx ................ 33.5. Интегрирование дифференциального бинома . . . . . . . . . . . § 34. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J 244 246 248 248 249 250 251 251 253 254 255 255 256 Глава VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 35. Определенный интеграл как предел интегральной суммы . . . § 36. Геометрический и физический смысл определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 37. Формула Ньютона-Лейбница" .. " ...... " ..... "" ...... ". . § 38. Основные свойства определенного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . § 39. Вычисления определенного интеграла ........................ 39.1. Формула Ньютона-Лейбница." ............. " .. "".. . . 259 261 263 265 269 269 39.2.Интегрирование подстановкой (заменой переменной)... 269 39.3. Интегрирование по частям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 39.4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 § 40. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл 1 рода)........................ 273 40.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл П рода) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 § 41. Геометрические и физические приложения определенного интеграла..................................................... 278 41.1.Схемы применения определенного интеграла........... 278 41.2. Вычисление площадей плоских фигур . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой................ 283 41.4.Вычисление объема тела................................ 287 41.5. Вычисление площади поверхности вращения............ 289 41.6. Механические приложения определенного интеграла... 291 § 42. Приближенное вычисление определенного интеграла....... . 298 42.1. Формула прямоугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 8 42.2. Формула трапеций....................................... 299 42.3. Формула парабол (Симпсона) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Глава IX. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 43. Функции двух переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 43.1.Основные понятия....................................... 304 43.2. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 43.3. Непрерывность функции двух переменных........ . . . . . . 306 43.4. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 § 44. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 44.1. Частные производные первого порядка и их геометрический смысл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 44.2. Частные производные высших порядков................ 310 44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 44.4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 44.5.Дифференциалы высших порядков...................... 313 44.6. Производная сложной функции. Полная производная.. 314 44. 7. Инвариантность формы полного дифференциала. . . . . . . 316 44.8.Дифференцирование неявной функции .................. 317 § 45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.. . . . . . . . . . . 318 § 46. Экстремум функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 46.1.Основные понятия....................................... 320 46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума. . . . . . . 321 46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Глава Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 47. Общие сведения о дифференциальных уравнениях.......... 47.1.Основные понятия....................................... 325 325 47.2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 § 48. Дифференциальные уравнения первого порядка. . . . . . . . . . . . . 327 48.1.Основные понятия....................................... 327 48.2. Уравнения с разделяющимися переменными............ 330 48.3. Однородные дифференциальные уравнения. . . . . . . . . . . . . 332 48.4. Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли.......... 334 48.5. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 9 48.6. Уравнения Лагранжа и Клеро." ...... """".""" ... § 49. Дифференциальные уравнения высших порядков.. . . . . . . . . . . 49.1.Основные понятия" ... "." .... " .... " .. "" ....... ".. 49.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.......... 49.3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 .4. Линейные однородные ДУ второго порядка. . . . . . . . . . . . . 49.5. Линейные однородные ДУ п-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . § 50. Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.1. Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2. Интегрирование ЛОДУ п-го порядка 342 344 344 346 349 350 353 354 354 с постоянными коэффициентами........................ 357 § 51. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) ....................................................... 358 51.1. Структура общего решения ЛНДУ второго порядка . . . . 358 51.2. Метод вариации произвольных постоянных............. 360 51.3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.Интегрирование ЛНДУ п-го порядка (n 362 > 2) с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 52. Системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.Основные понятия ............................ "......... 52.2. Интегрирование нормальных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3. Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 367 367 369 372 Глава XI. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 53. Двойной интеграл ................ " ...................... "... 378 53.1.Основные понятия и определения....................... 378 53.2. Геометрический и физический смысл двойного интеграла................................................ 379 53.3. Основные свойства двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 53.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 53.5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 53.6. Приложения двойного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 § 54. Тройной интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 10 54.1.Основные понятия....................................... 391 54.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 54.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 54.4. Некоторые приложения тройного интеграла . . . . . . . . . . . . 398 Глава ХП. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 55. Криволинейный интеграл 1 рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 55.1.Основные понятия....................................... 402 55.2. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода. . . . . . . . . . 404 55.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла 1 рода.................................................... 405 § 56. Криволинейный интеграл П рода ............................. 407 56.1.Основные понятия....................................... 407 56.2. Вычисление криволинейного интеграла П рода . . . . . . . . . 410 56.3. Формула Остроградского-Грина............... . . . . . . . . . . 412 56.4. Условия независимости криволинейного интеграла П рода от пути интегрирования......................... 414 56.5. Некоторые приложения криволинейного интеграла 11 рода................................................... 418 § 57. Поверхностный интеграл 1 рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 57.1.Основные понятия....................................... 420 57.2.Вычисление поверхностного интеграла 1 рода........... 422 57.3.Некоторые приложения поверхностного интеграла 1 рода.................................................... 425 § 58. Поверхностный интеграл П рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 58.1.Основные понятия....................................... 427 58.2. Вычисление поверхностного интеграла П рода. . . . . . . . . . 429 58.3. Формула Остроградского-Гаусса...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 58.4. Формула Стокса................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 58.5. Некоторые приложения поверхностного интеграла 11 рода................................................... 437 Глава XIII. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ § 59. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 59.1.Основные понятия....................................... 438 59.2. Ряд геометрической прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 59.3. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 11 § 60. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 60.1.Признаки сравнения рядов.............................. 444 60.2. Признак Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 60.3. Радикальный признак Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 60.4. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 § 61. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды............... 451 61.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.......... 451 61.2.Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 61.3. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 Глава XIV. СТЕПЕННЬШ РЯДЫ § 62. Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 62.1.Основные понятия....................................... 457 § 63. Сходимость степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 63.1. Теорема Н. Абеля.......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 63.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда . . . . . . . . 459 63.3. Свойства степенных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 § 64. Разложение функций в степенные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 64.1.Ряды Тейлора и Маклорена............................. 463 64.2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)............................. 465 § 65. Некоторые приложения степенных рядов.................... 471 65.1.Приближенное вычисление значений функции .......... 471 65.2. Приближенное вычисление определенных интегралов . . 473 65.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений................................................ 475 Глава XV. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ § 66. Ряды Фурье................................................... 66.1. Периодические функции. Периодические процессы..... 66.2. Тригонометрический ряд Фурье.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 67. Разложение в ряд Фурье 2?Т-периодических функций . . . . . . . . 67.1. Теорема Дирихле........................................ 67.2.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.. 478 478 480 483 483 486 67.3.Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 67.4. Представление непериодической функции рядом Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 12 67.5.Комплексная форма ряда Фурье........................ 491 § 68. Интеграл Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 Глава XVI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ § 69. Основные понятия теории поля ............................... § 70. Скалярное поле.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.1. Поверхности и линии уровня............................ 70.2. Производная по направлению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.3. Градиент скалярного поля и его свойства. . . . . . . . . . . . . . . § 71. Векторное поле............................................... 71.1. Векторные линии поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Поток поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 501 501 502 504 506 506 507 71.3.Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса... 510 71.4. Циркуляция поля.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 71.5. Ротор поля. Формула Стокса............................ 515 § 72. Оператор Гамильтона......................................... 518 72 .1. Векторные дифференциальные операции первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 72.2. Векторные дифференциальные операции второго порядка......................................... 519 § 73. Некоторые свойства основных классов векторных полей . . . . 520 73.1.Соленоидальное поле.................................... 520 73.2. Потенциальное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 73.3. Гармоническое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 Глава XVII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 74. Функции комплексного переменного.......................... 525 74.1.Основные понятия....................................... 525 74.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 74.3.Основные элементарные функции комплексного переменного.............................................. 527 74.4. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Эйлера-Даламбера............... 74.5.Аналитическая функция. Дифференциал............... 532 535 74.6.Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении . . . . . 538 § 75. Интегрирование функции комплексного переменного. . . . . . . . 540 75.1.Определение, свойства и правила вычисления интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 540 75.2. Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. . . . . . . . . . . . . . . . . 75.3.Интеграл Коши. Интегральная формула Коши ......... § 76. Ряды в комплексной плоскости ............................... 76.1. Числовые ряды.......................................... 76.2. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.3. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.4. Нули аналитической функции.................. . . . . . . . . . 76.5. Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.6. Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 77. Вычет функции............................................... 77.1.Понятие вычета и основная теорема о вычетах......... 544 547 551 551 553 555 558 558 563 567 567 77.2. Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568 Глава XVIII. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ § 78. Преобразование Лапласа..................................... 78.1.Оригиналы и их изображения........................... 572 572 576 588 590 590 593 78.2. Свойства преобразования Лапласа...... . . . . . . . . . . . . . . . . 78.3. Таблица оригиналов и изображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 79. Обратное преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79.1. Теоремы разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79.2. Формула Римана-Меллина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 80. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее пособие предназначено, в первую очередь, для студен тов инженерно-технических специальностей; может быть полезным для всех категорий студентов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Оно представляет собой конспект лекций и адресовано, в основном, студентам первого и второго курсов. Набор освещаемых во просов хорошо виден из оглавления. Данный конспект содержит необходимый материал по всем раз делам курса высшей математики и дополнительным главам, необхо димым при изучении специальных курсов. Изложение теоретическо го материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке. Пособие может быть использовано студентами также для самосто ятельного изучения соответствующего материала, является базой для подготовки к семестровым зачетам и экзаменам по высшей математике. Кроме того, книга должна помочь студенту и в тех случаях, когда он что-то не успел записать на лекции, какие-то лекции были пропу щены, в чем-то трудно (или нет времени) разобраться по другим учеб никам, когда некоторые вопросы «слишком длинны» в его конспектах или много фактического материала, который следует изучить за огра ниченное количество недель, дней. Автор надеется, что данный курс лекций будет полезен и препода вателям, а использование данного пособия будет способствовать более глубокому изучению студентами курса высшей математики и смежных дисциплин. Список обозначений: Q 8 - начало и конец решения примера или задачи; U 8 - начало и конец доказательства; ~ - важные определения; liJ - «обратите особое внимание!» В рамку заключены формулы, которые важно помнить. Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Лекции 1-3 1 § 1. МАТРИЦЫ 1.1. Основные понятия Матрицеi"i называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Ма трица записывается в виде А = ( ~~~ ~~~ ат1 ~-~·:· ) ат2 amn или, сокращенно, А= (aij), где i = 1,т (т. е. i = 1,2,3, ... ,m)-номер строки, j = 1, n (т. е. j = 1, 2, 3, ... , n) - номер столбца. Матрицу А называют матрицей размера т х n и пишут Amxn· Чи сла aij, составляющие матрицу, называются ее элементами. Элемен ты, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ. ~ Матрицы равны ме-;нс.ду coбofi., если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е. А= В, если aij = bij, где i = 1,т, j = 1,n. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратноfi.. Квадратную матрицу размера n х n называют матрицей п-го nорядка. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется дu.агональноfi.. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диаго нали равен единице, называется еди.нu.-чноfi.. Обозначается буквой Е. Пример 1.1. - Еи= о единичная матрица 3-го порядка. Enxn= - с ! единичная матрица п-го порядка. 16 о 1 о ~ Квадратная матрица называется mреуго.п:ьноu, если все элемен ты, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. ~ Матрица, все элементы которой равны нулю, называется ну.аевоu. Обозначается буквой О. Имеет вид 0= (~ ~ ... ~)· .... о о о В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел О и 1 в арифметике. ~ Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответствен но). Их вид: А ~~ = ( В Ь1 Ь2 Ьп). ) , ... = ( ат Матрица размера 1х1, состоящая из одного числа, отождествля ется с этим числом, т. е. (5)1х1 есть 5. ~ Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столб цом с тем же номером, называется матрицей mранспонирован коu к данной. Обозначается Ат. Так, если А= С ~),то Ат=(~ :) , если А=(~), то Ат =(1 О). Транспонированная матрица обладает следующим свойством: (Ат)т =А. 1.2. Действия над матрицами Сложение Операция сложения матриц вводится только для матриц одинако вых размеров. = = (bij) наЗЫJ><!Р.ТСЯ = 1, т, j = 1, п). Су.м.моi1, авух .матри'Ц Amxn (aij) и Bmxn матрица Cmxn (cij) такая, что Cij aij bij (i = = + Записывают С= А+ В. Пример 1.2. ( 2 -3 4 5 3 3 -2 -5 -~) = ( ~ оо -1) 10 . Аналогично определяется разность матриц. 17 Умножение на число Произведением .матри'Ц'Ы Amxn = (aij) на -ч.исло k называется ма трица Bmxn = (Ьij) такая, что Ьij = k · aij (i = 1, m, j = 1, n). Записы вают В= k·A. Пример 1.3. А= ( ~ -~ ~ ) , k = 2, А· k = ( ~ -~ ~). Матрица -А= (-1) ·А называется nротивоnолож;ноi1 .матрице А. Разность матриц А - В можно определить так: А - В = А + (- В). Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обла дают следующими своi1ствами: 1. А+В=В+А; 5. 1 ·А= А; 2. А+ (В +С) = (А+ В) +С; 6. о: · (А+ В) = о:А + о:В; 3. А+О =А; 7. (а+ ,В) ·А= аА + ,ВА; 4. А-А=О; 8. а· (,ВА) = (а.В) ·А, где А, В, С - матрицы, а и f3 - числа. Элементарные преобразования матриц Элементарн'Ы.ми преобразованиями .матриц являются: • перестановка местами двух параллельных рядов матрицы; • умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля; • прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же чи сло. ~ Две матрицы А и В называются эпвива,11,енmними, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразова ний. Записывается А ,...., В. При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят под ряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канони-ч.ескоii, например (~ ~ ~ ~) о о 1 о о о о о 18 Пример 1.4. Привести к каноническому виду матрицу А=(~4 ~ !15 1~). о Q Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаем -2 t t ----- ~ ~) (~ ~ ; ;) 2 3 1 ( о 2 -1 4 о ,...., 5 ------ -(~ 2 -6 -9 :2 :5 -15 ~),...., (~ ~ ~ о 5 -15 о 1 4 о -3 Е о :3 -3 о о о (1 о о о) . • '-=.!L.t Произведение матриц -9 J)- -3 о1 о1 о) 1 ,...., -6 ,...., о 1 о о о о о о liJ Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда 'Число столбцов nepвoii. матрицы равно 'Числу строк вmopotJ. матрицы. = Произведением матрицы Amxn (aiJ) на матрицу Bnxp (cik) такая, что называется матрица Cmxp = Cik =ан . ьlk + ai2 • ~k + ... + ainЬnk, = (Ь;k) где i = 1, т, k = 1,р, т. е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответству ющие элементы k-го столбца матрицы В. Получение элемента Cik схематично изображается так: ~~-=~=-~; :: k J Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и БА всегда существуют. Легко показать, что А· Е = Е ·А = А, где А - квадратная матрица, Е - Пример 1.5. (а11 а21 а11Ь11 + а12Ь21 + а1зЬз1 = ( а21 Ь11 + а22Ь21 + а2зЬз1 единичная матрица того же размера. а12 а1з а22 а2з ) С" ~') 2х3 х Ь 21 Ьз1 Ь22 Ьз2 3х2 а11Ь12 + а12Ь22 + а1зЬз2) а21Ь12 + а22Ь22 + а2зЬз2 2 х 2 · 19 = Пример 1.6. А= С ~ ~),В= С ;) .Тогда произведение А· В не определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпада ет с числом строк матрицы В (2). При этом определено произведение В х А, которое считают следующим образом: · 1+о) = (lo7 4 ~). В ·А= с ~) (~ 1 1) = (1+9 1+6 2+2 1+0 5 2+3 2 о Матрицы А и В называются перестаново·ч:н:ыми, если АВ = ВА. Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. А· (В· С) = (А· В) ·С; 3. (А+ В) ·С = АС+ ВС; 2. А · (В +С) = АВ +АС; 4. а(АВ) = (аА)В, если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл. Для операции транспонирования верны свойства: § 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Основные понятия 2.1. Квадратной матрице А порядка п можно сопоставить число det А (или IAI, или д), называемое ее оnреiJелителем, следующим образом: 1. п = 1. А= (а 1 ); detA = ai. 2. п = 2. А= ( а11 а12 а21 а22 ) ; det А = 1 ан а21 ("" "") а12 3. п = 3, А = а21 а22 а2з аз1 аз2 а33 detA = ; а12 а22 / = ан · а22 - а12 · а21 · ан а12 а21 а22 а2з аз~ аз2 азз а1з Определитель матрицы А также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N являет ся довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов 20 основан на свойстве разложения определителя по элементам некото рого ряда (с. 23, свойство 7). При этом заметим, что определители (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно невысоких порядков определению. Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой: Пример 2.1. Найти определители матриц (; -~) и cosa -sina ( sina). cosa Q Решение: ~3 1 = 2. 6 - 5. (-3) = 12 - (-15) = 27; 1; 1 cosa sinal .z а = 1. = cos2 а+ sш -sina cosa • При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так: 1: : :1~ 1~1 1~1 (основания (основания равнобедренных треугольников треугольников параллельны параллельны побочной главной диагонали) диагонали) Пример 2.2. Вычислить определитель матрицы А= 5 3 -2 1 6 о 1 -4 -3 Q Решение: detA = = 5· 1 · (-3) + (-2). (-4) ·6+3·0· 1-6· 1·1-3· (-2). (-3)-0· (-4) ·5 = = -15 + 48 - 6 - 18 = 48 - 39 = 9. • 21 2.2. Свойства определителей Сформулируем основные свойства определителей, присущие опре делителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на опре делителях 3-го порядка. Своiiство 1 («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот. Иными словами, аз1 аз2 азз а1з а2з азз В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами опре делителя. Своiiство 2. При перестановке двух параллельных рядов опреде литель меняет знак. Своiiство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю. Своiiство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя. Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такоii определитель равен нулю. Q Действительно, ан а~з k·ан k · а1з аз1 аз2 ан а12 = k · а11 а12 а1з аз1 аз2 азз азз а~з = k · О = О. • Своiiство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя пред ставляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей. Например, ан ai2 а21 а22 аз1 аз2 Своiiство 6 а1з + Ь ан а12 а~з ан а12 а23 а21 а22 а2з + а21 а22 с аз~ аз2 азз аз1 аз2 d +с азз + d («Элементарные преобразования Ь определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на лю бое число. Прuмер 2.3. Доказать, что д= а11 а12 а1э а21 а22 а2з аз1 аз2 азз = ан ai2 а21 а22 аз1 аз2 22 а13 + k · а12 а2з + k · а22 азз + k · аз2 Q Решение: Действительно, используя свойства 5, 4 и 3, получим ан а12 а21 а22 аз1 аз2 а13 + k · ai2 а2з + k · а22 азз + k · аз2 = = ан а12 а1з а21 а22 а2з аз1 аз2 азз +k· ан а12 а12 а21 а22 а22 аз1 аз2 аз2 = д+k·О = д. • Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения. ~ Минором некоторого элемента aij определителя п-го порядка на зывается определитель п - 1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых нахо дится выбранный элемент. Обозначается mij. Так, если ~ а12 а1з а22 а2з аз2 азз , то m11 = 1 а22 а2з 1• азз аз2 Адгебраическим доnоднением элемента aij определителя на зывается его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i +j - четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозна чается Aij: Aij = (-l)i+j · mij· Так, Ан= +mн, Аз2 = -mз2· Свойство 7 («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения. Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что :-aii- -ёii2- -iiiЗ 1 д = ·а.;1--а22___а2_з_ =ан· Ан+ а12 · Ai2 + а1з · А1з· аз1 аз2 азз Q В самом деле, имеем = а11 · 1 ::: ::: 1 + а12 · ( -1 ::~ ::: \) + а1з · ::~ 1 ::: 1 = = а11(а22азз - а2заз2) - а12(а21азз - а2заз1) + а1з(а21аз2 - а22аз1) = = ан а22азз - ан а2заз2 - а12а21 азз + а12а2заз1 + + а1за21аз2 - а1за22аз1 = д. 23 • Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей вы соких порядков. Пример 2.4. Вычислите определитель матрицы ( -~ ~ ~ ~) о 1 5 3 2 . -1 7 4 Q Решение: Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в раз ложении будут равны нулю . .:---. 3: 5 :-1: : о: 1 1 7 8 1 7 о 5 3 2 ~-~J -1 7 4 7 01 5 78 5 78 578 =3· 5 3 2 +1· 5 3 2 +О· 7 О 1 -1· 7 О 1 -1 7 4 -1 7 4 -1 7 4 5 3 2 = 3. (7. 3. 4 + (-1). о. 2 + 5. 7. 1 - (-1). 3. 1 - 7. 7. 2 - 5. о. 4)+ + (5. 3. 4 + (-1). 7. 2 + 5. 7. 8 - (-1). 3. 8 - 5. 7. 4 - 5. 7. 2)- (5. о. 2 + 7. 1 . 5 + 7. 3. 8 - 5. о. 8 - 3. 1. 5 - 7. 7. 2) = 122. • Своi1ство 8. Сумма произведений: элементов какого-либо ряда оп ределителя на алгебраические дополнения соответствующих элемен тов параллельного ряда равна нулю. Так, например, а11А21 + ai2A22 + а~зА23 =О. § 3. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МАТРИЦЫ 3.1. Основные понятия Пусть А - квадратная матрица п-го порядка А= ( ~~~ а11 ап1 ~ Квадратная матрица А называется невира.нсденноii, если опре делитель д = det А не равен нулю: д = det А =1 О. В противном случае (д =О) матрица А называется выра.нсденноii. 24 ~ Матрицей, союзноii к матрице А, называется матрица ( А11 А21 где Aij - Ап1) А* = ~-1~ А22 ~~~ А1п Апп А2п , алгебраическое дополнение элемента aij данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя). ~ - Матрица л 1 называется oбpamнoii матрице А, если выполняется условие где Е - А·А- 1 =А- 1 ·А=Е, (3.1) единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Ма трица л- 1 имеет те же размеры, что и матрица А. 3.2. Обратная матрица Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную. О Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть А= (:~~ :~~ аз1 причем det А :j:. О. аз2 Составим союзную матрицу А* = (~~~ А1з т. е. А· А* = det А· Е. Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2). 25 (3.2) Аналогично убеждаемся, что А* · А = det А · Е. (3.3) Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде А* А·--=Е detA и А* --·А=Е. detA Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем А -1 А* = detA' 1 т. е. л-1 = detA. (Ан А21 Аз1) АА112з А22 Аз2 А2з Азз . • Отметим своitства обратной матрицы: 1. det(A- 1 ) = de~ А; 2. (А. в)- 1 = в- 1 . л- 1 ; 3. (А-1 )т = (Ат)-1. Пример 3.1. Найти А-1, если А= (-~ ~). О Решение: 1) Находим det А: detA =1-~ ~ 1=2 + 3 =5 i= О. 2) Находим А*: Ан поэтому А*= с -~). =1, З) Находим л- 1 : л- 1 = А21 =-3, А12 =-(-1) = 1, А22 =2, g( 1l -32) = (_5511 - -5~2) . Проверка: А л-' = ( ~l ~) · (; - : ) = и:: -::;) = (~ ~) = Е 8 Пример 3.2. Определить, при каких значениях А существует ма трица, обратная данной: 26 О Решение: Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдем определитель матрицы А: дА= 1 -2 2 3 О 2 1 1 Л = 3 - О+ 2Л - 12 - О+ 2Л = 4Л - 9. Если 4Л-9 =/;О, т. е. Л =/;~'то дА =/;О, т. е. матрица А невырожденная, имеет обратную. 8 Пример З.З. Показать, что матрица А является обратной для В, 11) если 2 3 ' 3 6 О Решение: Найдем произведение матриц А и В: Аналогично В · А = Е. Следовательно, матрица А является обратной для В. 3.3. 8 Ранг матрицы Рассмотрим матрицу А размера т х п. •-aii ___ ai'2: 1 а22 • 'а21 А= а13 ~.~3·1· ~·3·2· ~.3~ 1 а23 ~--------· .. am1 .. am2 a1n) a2n ... "·.·... ~.3~. am3 · . · amn . Выделим в ней k строк и k столбцов (k ~ min(m;n)). Из элемен тов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются ми норами эmofi. мampuц'!ll. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить С~ ·С~ штук, где С~= k!(nn~ k)! - число сочетаний из п элементов по k.) 27 ~ Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r(A) или rangA. Очевидно, что О ~ r ~ rnin(m; n), где min(m; n) - меньшее из чисел тип. ~ Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров. Пример 3.4. Найти ранг матрицы: А= 2 (3 о О 4 6 1 о -3 Q Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля ~ -~ = -15 =f. О. Значит, r(A) = 2. 1 1 Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами . • Отметим своii.ства ранга матрицъt: 1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется. 2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится. 3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы (см. с. 18). Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диа гонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы. Пример 3.5. Найти ранг матрицы А=(~ ~ ~1 о' используя результаты примера 1.4. Q Решение: В примере 1.4 показано, что то есть А-(~ ~ ~ ю' А~(~ ~ ~ ~). Таким образом, ранг матрицы А равен r(A) 28 = 2. • § 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.1. Основные понятия Системоii линеiiных алгебраи'Ческих уравнениii, содержащей т уравнений и п неизвестных, называется система вида анх1 + ai2X2 + · · · + ainXn { = Ь1, ~~~~~-~- ~~~~-2. ~::: -~-~~~~~- ~ -?-'· .. ат1Х1 + ат2Х2 + · · · + amnXn - Ьт, где числа aij, i = 1, m, j числа Ьi - ~ = 1, п называются коэффициента.ми системы, свободны.ми 'Членами. Подлежат нахождению числа Xn. Такую систему удобно записывать в компактной маmри-ч,н,01'1. форме IA·X=B.I Здесь А- матрица коэффициентов системы, называемая основноii мampиv,eii: А= х --(x~:n~) - вектор-столбец из неизвестных х j, В= (!)-вектор-столбец и' свободных членов Ь,. Произведение матриц А· Х определено, так как в матрице А столб цов столько же, сколько строк в матрице Х (п штук). Расширенноii матрицей системы называется матрица А системы, дополненная столбцом свободных членов г А= ~~~ am1 ... ain a2n ь,) Ь2 am2 ... amn Ьт ai2 ... а22 Решением системы называется п значений неизвестных Х1 = с1 , Х2 = С2, ... , Xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обраща ются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в 29 виде матрицы-столбца C=(i) ~ Система уравнений называется совмесmноii, если она имеет хотя бы одно решение, и несовмесmноiJ, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенноii, если она имеет единственное решение, и неопределенно11, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется часmн'ЬIМ решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему - это значит выяснить, совместна она или не совместна. Если система совместна, найти ее общее решение. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот. liJ Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементар ных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы. Система линейных уравнений называется однороihю11, если все сво бодные члены равны нулю: ~ -~1-~~~-~ -~' { ~~1-~~ -~-~~~~~-~-::: + + · ·· + ат1Х1 ат2Х2 •• amnXn =О. Однородная система всегда совместна, так как х 1 = х 2 = · · · = Xn = О является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальн-ым. 4.2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли Пусть дана произвольная система т линейных уравнений с п не известными + а12Х2 + · · · + a1nXn = Ь1, а21Х1 + а22Х2 + · · · + a2nXn = ~' .................................... ат1Х1 + ат2Х2 + · · · + amnXn = bm. а11х1 { 30 Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает теорема Кронекера-Каnелли. Теорема 4.1. Система Линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы. Примем ее без доказательства. Правила практического разыскания всех решений совместной си стемы линейных уравнений вытекают из следующих теорем. Теорема 4.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвест ных, то система имеет единственное решение. Теорема 4.3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвест ных, то система имеет бесчисленное множество решений. Правило решения произвольной системы линейных уравнений 1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если т(А) -::/- т(А), то система несовместна. 2. Если т(А) = т(А) = т, система совместна. Найти какой-либо ба зисный минор порядка т (напоминание: минор, порядок которого опре деляет ранг матрицы, называется базисным). Взять т уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные урав нения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в ба зисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные п - т неизвестных называют свободны.ми и переносят в правые части уравнений. 3. Найти выражения главных неизвестных через свободные. Полу чено общее решение системы. 4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, по лучим соответствующие значения главных неизвестных. Таким обра зом можно найти частные решения исходной системы уравнений. При.мер 4.1. Исследовать на совместность систему { х + у= 1, Зх +Зу= -2. 31 Q Решение: А= с ~), -_ (1 1 А - 3 3 r(A) = 1, r(A) = 2 Таким образом, r(A) # r(A), следовательно, система несовместна. Пример 8 4.2. Решить систему Х1 - 2Х2 + Х3 + Х4 = 1, Х1 - 2Х2 + Х3 Х4 = -1, { х1 - 2х2 + хз + Зх4 = 3. Q Решение: r(A) = r(A) = 2. Берем два первых уравнения: + Х4 = 1 - Х1 + 2х2, { Х3 Х3 - Х4 = -1 - Х1 + 2х2. -1 д1 - 1 - Х1 + 2Х2 -1-х 1 +2х2 1 - Х1 + 2х21- _ 2 -1 - Х1 + 2х2 . Следовательно, хз = -х1 + 2х2, Х4 = 1 - общее решение. Положив, например, х1 = О, х2 = О, получаем одно из частных решений: х1 = О, Х2 = 0, Х3 = 0, Х4 = 1. 4.3. 8 Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными а11х1 + ai2X2 + · · · + ainXn = Ь1, { ~~ ~~ .+_ ~::~~ + ••• ~ -~~~~~-~ ~: an1X1 + an2X2 + ... + annXn - Ьn или в матричной форме А · Х = В. Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы д= 32 называется определителем систем'Ы. Если определитель системы от личен от нуля, то система называется невъ~рожден:ноii. Найдем решение данной системы уравнений в случае д "1 О. Умножив обе части уравнения А· Х = В слева на матрицу л- 1 , получим л- 1 ·А· Х = л- 1 ·В. Поскольку л- 1 ·А= Е и Е · Х = Х, то (4.1) Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матри"t нъtм способом решения системы. Матричное равенство (4.1) запишем в виде то есть Отсюда следует, что х - А11Ь1 1 - + А21Ь2 + ... + Ап1Ьп д ' х _ A1vb1 + А2пЬ2 + · · · + АппЬп п- Но А11 Ь1 д + А21 Ь2 + · · · + Ап1 Ьп есть разложение определителя д1= Ь1 а12 а1п Ь2 а22 а2п Ьп ап2 апп по элементам первого столбца. Определитель д 1 получается из опре делителя д путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. и так, Х1 = ~ д. Аналогично: х2 = ~, где д 2 получен из д путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; х 3 - ~, ... -~ Д · ··· ,Хп - 33 ~ Формулы 1 дi Х; = °Д' i = 1,п (4.2) 1 называются формулами Крамера. Итак, невырожденная система п линейных уравнений с п неиз вестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2). Пример 4.3. Решить систему { 2Х1 - Х2 = 0, х1+Зх2=7. ~ 1=14. 3 =7~0, 1 -11 Q Решение: Л= 21 • Значит, х1=+=1, х2 = 174 =2. 4.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Одним из наиболее универсальных и эффективных методов реше ний линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоя щий в последовательном исключении неизвестных. Пусть дана система уравнений ai1x1 { + а12Х2 + · · · + ainXn = Ь1, ~'-~~ .+.~~~: +::: ~ ~-~~~.: ~: (4.3) ат1Х1 +ат2Х2+ · · · +amnXn- Ьт· Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На пер вом этапе (прямой ход) система приводится к ступен:чатому (в част ности, треугольному) виду. Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид { а11Х1 + ai2X2 + · · · + alkxk + · · · + ainXn = Ь1, а22Х2 + · · · + a2kXk + · · · + a2nXn = Ь2, ............................... akkXk + · · · + aknXn = bk, где k ::::; п, а;; ~ О, i = 1,k. Коэффициенты aii называются главными элементами системы. На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определе ние неизвестных из этой ступенчатой системы. 34 Опишем метод Гаусса подробнее. ПрямоiJ, ход. Будем считать, что элемент а 11 -:f: О (если а 11 = О, то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при х 1 отличен от нуля). Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное х 1 во всех урав нениях, кроме первого (используя элементарные преобразования си стемы). Для этого умножим обе части первого уравнения на _Qll и ан сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на - Oill.. и сложим с третьим уравнением си а11 стемы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему Здесь а~~), Ь~ 1 ) (i,j = 2, m) - новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага. Аналогичным образом, считая главным элементом а~~) -:f: О, ис ключим неизвестное х2 из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно. Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому виду по явятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида О= О, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида О = Ьi, а Ьi "# О, то это свидетель ствует о несовместности системы. Второй этап ( обратныil, ход) заключается в решении ступенча той системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой си Xk через остальные неизвестные (xk+1, ... , Xn)· Затем подставляем значение Xk в предпоследнее урав нение системы и выражаем Xk-l через (xk+l • ... , Xn); затем находим Xk-2, ... ,х1. Придавая свободным неизвестным (xk+i, ... ,xn) произ стемы выражаем первое неизвестное вольные значения, получим бесчисленное множество решений системы. За.ме-ч.ани.я: 1. Если ступенчатая система оказывается треуголь ной, т. е. k = п, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим Xn, из предпоследнего уравнения Xn-l, далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные (Xn-2, ... ,х1). 2. На практике удобнее работать не с системой (4.3), а с расши ренной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над 35 ее строками. Удобно, чтобы коэффициент а 11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на а 11 =/:- 1). Пример 4.4. Решить систему методом Гаусса: { 2х1 - х2 + Зхз - Х1 - х2 - 5хз 5х4 = 1, = 2, 3х1 - 2х2 - 2хз - 5х4 = 3, 7х1 - 5х2 - 9хз - 10х4 = 8. Q Решение: В результате элементарных преобразований над расши ренной матрицей системы (! =~ ;~ ~: ~) (~ =~ -;5 ~5 ~) "' (~ у :~ ;~ !3) (~ ~ ~: ~5 !з) 7 -5 -9 -10 3 8 3 7 -2 -5 -2 -9 -5 -10 3 8 ,..... 1 о 2 26 -10 -3 -6 о о о о о о о о о о исходная система свелась к ступенчатой: - 5хз = 2, { х1 - х2 х2 + 13хз - 5х4 = -3. Поэтому общее решение системы: х2 = 5х4 -13хз -3; х1 = 5х4 -8хз -1. = = Если положить, например, х 3 О, х 4 О, то найдем одно из частных решений этой системы Х1 = -1, Х2 = -3, Хз =О, Х4 =О. 8 Пример 4.5. Решить систему методом Гаусса: Х1 + Х2 + Хз = 3, { 2х1 + Зх2 + 2хз = 7, 3х1 + х2 + хз = 5, 5х1 Х2 Х3 = 3. Q Решение: Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы: (Н Н) (~ 5 -1 -1 3 о 1 1 1 о 31 ) -2 -2 -4 -6 -6 -12 36 (~1Н) (~U:). 0112 0000 Полученная матрица соответствует системе { х1 +х2 +хз = 3, Х2 Хз = 1, = 1. Осуществляя обратный ход, находим хз = 1, х2 = 1, х1 = 1. • Системы линейных однородных уравнений 4.5. Пусть дана система линейных однородных уравнений а11х1 + а12Х2 + · · · + ainXn =О, { ~~1.~~ .~. ~~~~~. ~.::: ~ .~~~~~. ~ .~' am1X1 +am2X2 + · · · +amnXn =О. Очевидно, что однородная система всегда совместна (r( А) = r(A)), она имеет 'Нулевое (тривиалъное) решение х1 = Х2 = · · · = Xn =О. При каких условиях однородная система имеет и ненулевые реше ния? Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основ ной матрицы был меньше числа п неизвестных, т. е. r < п. О Необходимость. Так ка;к ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевид но, r ~ п. Пусть r = п. Тогда один из миноров размера п х п отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение: Xi Л· =Д = О, дi = О, д =1 О. Значит, других, кро- ме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r < п. Достаточность. Пусть r < п. Тогда однородная система, будучи совместной, явля ется неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество реше ний, т. е. имеет и ненулевые решения. • Пусть дана однородная система п линейных уравнений с п неизвестными { ~.'.·~~ ~ -~'.'.~: _+ ·•·•·• ~ ~~~-~~-~о: ап1Х1 + ап2Х2 + · · · + аппХn - О. 37 Теорема 4.5. Для того, чтобы однородная система п линейных урав нений с п неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и до статочно, чтобы ее определитель д был равен нулю, т. е. д = О. О Если система имеет ненулевые решения, то д =О. Ибо при д =/:-О система имеет только единственное, нулевое решение. Если же д =О, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е. r < п. И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений. • Пример 4.6. Решить систему { Х1 - 2х2 + 4хз = О, 2х1 - 3х2 + 5хз = О. Q Решение: - (1 -2 А- 2 -3 Так как r(A) = 2 n=3. r < п, то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем их { х1 - 2х2 = -4хз, 2х1 - Зх2 = -5хз. Л1 = =:~: =~ = 2хз, Л2 = ~ =:~: = 3хз. Стало быть, х 1 1 д 1 д = Х = 2хз, х2 = ~ = 3хз - 1 1 общее решение. Положив х 3 =О, получаем одно частное решение: х 1 =О, х 2 =О, х3 = О. Положив х 3 = 1, получаем второе частное решение: х 1 = 2, Х2 = 3, Х3 = 1 И Т. Д. 8 Глава 11. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Лекции 4-б 1 §5. ВЕКТОРЫ 5.1. Основные понятия Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скал.ярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса. Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определя ются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора. § Вектор - это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отре- зок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А - начало вектора, а В - его конец, то вектор обозначается символом АВ или а. Вектор В А (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется nроmивоnо.1иr.нсн'ЬtМ вектору АВ. Вектор, про тивоположный вектору а, обозначается -а. Длино11 или модулем вектора АВ называется длина отрезка и обо IABI. значается Вектор, длина которого равна нулю, называется нуле вым вектором и обозначается О. Нулевой вектор направления не имеет. Вектор, длина которого равна единице, называется едини"tным век тором и обозначается через ё. Единичный вектор, направление которо го совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора а и обозначается ifJ. Векторы а и Ь называются ко.11..11.инеарни.м.и, если они лежа: на одной прямой или на параллельных прямых; записывают а 11 Ь. § Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой: вектор считается коллинеарным любому вектору. § Два вектора а и Ь называются равними (а= Ь), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в лю бую точку О пространства. На рисунке 1 векторы образуют прямо угольник. Справедливо равенство Ь d, но а ::/= f:. ё. Векторы ii и ё - противоположные, а = -ё. = 39 d Рис. 1 Равные векторы называют также свободными. ~ Три вектора в пространстве называются комn.1tанарнъ~ми, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые колли неарны, то такие векторы компланарны. 5.2. Линейные операции над векторами liJ Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число. Пусть а и Б - два произвольных вектора. Возьмем произволь ную точку О и построим вектор О А = а. От точки А отложим вектор АВ = Б. Вектор О В, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммоi1 векторов а и Б: ОВ =а+ Б (см. рис. 2). /~~ О а+Ь В Рис. 2 Это правило сложения векторов называют правилом треугол:ьника. Сумму двух векторов можно построить также по правu.лу паралле лограмма (см. рис. 3). у~ о ,, , ,, ,, Рис.3 На рисунке 4 показано сложение трех векторов а, Б и ё. Б ·~ о Рис. 4 40 Под разностъю векторов а и Б понимается вектор ё = а - Б такой, что Б + ё =а (см. рис. 5). Б о ~ ь Рис. 5 Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах а и Б, одна направленная диагональ является суммой векторов а и Б, а другая - разностью (см. рис. 6). Б Рис. 6 Можно вычитать векторы по правилу: а - Б =а+ (-Ь), т. е. вычи тание векторов заменить сложением вектора а с вектором, противопо ложным вектору Б. ~ Произведением вектора а на скал.яр (-ч.исJtо) ,\ называется вектор,\· а (или а· Л), который имеет длину IЛI · вектору а, имеет направление вектора а, если ,\ lal, коллинеарен > О и противоположное направление, если ,\ < О. Например, если дан вектор _lЖ_, то векторы За и -2а будут иметь вид За и -2а Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения: 1) если Б = ,\ · а, то Б 11 а. Наоборот, если Б 11 а, (а -:/- О), то при некотором ,\ верно равенство Б = Ла; 2) всегда а lal · cfJ, т. е. каждый вектор равен произведению его = модуля на орт. Линейные операции над векторами обладают следующими свой ствами: 4. (Л1 + Л2). а= Л1. а+ Л2. а, 5. л · (а+ Б) = л · а+ л · Б. 1. а + Б = Б + а, 2. (а+ Б) + ё = а+ (Б + ё), 3. Л1 . (Л2 . а) = Л1 . Л2 . а, Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: ела- 41 гаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители. 5.3. Проекция вектора на ось Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая. Пpoeкv,ueiJ, то'ЧКU М на ось l называется основание М1 перпенди куляра ММ 1 , опущенного из точки на ось. Точка М1 есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7). 111 Рис. 7 Рис. 8 Если точка М лежит на оси 'l, то проекция точки М на ось совпа дает с М. Пусть АВ - произвольный вектор (АВ ::/:О). Обозначим через А 1 и В 1 проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора АВ и рассмотрим вектор А1В1. Пpoeкv,ueiJ, вектора АВ на ось l называется положительное число IA1B1I, если вектор А 1 В1 и ось l одинаково направлены и отрицатель ное число -IA 1B 11, если вектор А 1 В 1 и ось l противоположно направле ны (см. рис. 8). Если точки А 1 и В 1 совпадают (А 1 В 1 =О), то проекция вектора АВ равна О. Проекция вектора АВ на ось l обозначается так: пр 1 АВ. Если АВ = О или АВ ..l l, то пр 1 АВ = О. Угол r..p между вектором а и осью l (или угол между двумя векто рами) изображен на рисунке 9. Очевидно, О~ r..p ~ 7r. ~ ·dj1 1 1 а <р , 1 1 1 Рис. 9 42 Рассмотрим некоторые основные своi1ства npoeкv,ui1. Своi1ство 1. Проекция вектора ii на ось l равна произведению мо дуля вектора ii на косинус угла ер между вектором и осью, т. е. пр 1 ii = = liil . cos ер. О Если ер = (ii, l) < ~' то пр 1 ii = = +lii1I = liil. cosep. Если ер > ~ (ер ~ 1Г), то пр 1 ii = = -lii1I = -liil · соs(7Г - 1.р) = liil · cosep (см. рис. 10). Если 1..р= ~' то пр 1 ii=O=lal costp. . l • Рис. 10 Следствие 5.1. Проекция вектора на ось положительна (отрицатель на), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол - прямой. Следствие 5.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой. Своi1ство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось. О Пусть, например, d = ii+b+c. Имеем пр1 d = +ld1I = +lii1l+lb1l-lc1I, т. е. ПP1(ii + Б +с) = ПР1 ii + ПР1 Б + ПР1 с (см. рис. 11). • Своftство 3. При умножении вектора ii на число>. его проекция на ось также умножается на это число, т. е. ПР1 (,\ · ii) = ,\ · ПР1 ii. О При>.> О имеем пр 1 (Л·ii) = IЛiil · cosep = (свойство 1) = ,\ · liil · COS ер = ,\ ·ПР~ ii. При>.< О: пр 1 (>. · ii) = IЛiil · соs(7Г - ер) = = ->. · liil. (- cosep) = ,\. ii. cosep = ,\. ПР1 ii. Свойство справедливо, очевидно, и при =0. а1 1 1 1 • 1 - • Ь1 ----+-------- 1 ... - - .... • >. = • Рис. 11 Таким образом, линейные операции над векторами приводят к со ответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов. 43 5.4. Разложение вектора по ортам координатных осеи. Модуль вектора. Направляющие косинусы Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные век торы (орты), обозначаемые i, J, k соответственно (см. рис. 12). z Мз у х Рис. 12 Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его на чало с началом координат: а= ОМ. Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через конец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоско стям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответ ственно через М1 , М2 и М3 • Получим прямоугольный: параллелепи пед, одной из диагоналей: которого является вектор 0Nf. Тогда прх а= = IOM1I, пpyii = IOM2I, прz а= IOMзl· По определению суммы не + M 1 N + N М. = ОЛf2, NM = ОМз, то скольких векторов находим а = ОМ 1 А так как M1N а= ОМ1 + ОМ2 + ОМз. (5.1) ОМ2 = IOM2I · J, (5.2) Но ОМ1 = IOM1I · z, ОМз = IOMзl · k. Обозначим проекции вектора а= ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответствен но через ах, ау и az, т. е. jOM1I =ах, IOM2I =ау, jOMзl = az. Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем J а = ах · z+ ау ·] + az · k. j (5.3) Эта формула является основной: в векторном исчислении и называ ется разлансением вектора по ортам координаmнwх oceii.. 44 Числа ах, ау, az называются координатами вектора а, т. е. коор динаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси. Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом ви де: а= (ax;ayiZz). Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для моду ля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать IOMl 2 = IOM11 2+ IOM21 2+ l0Mзl 2 , т. е. lal 2=а; +а~ +а;. Отсюда liil = ~ (5.4) Vа2 + а2 + а2 Х у Z' т. е. моду.ль вектора равен квадратному корню из сумми квадратов его nроекциiL на оси координат. Пусть углы вектора а с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны а, /З, 'У· По свойству проекции вектора на ось, имеем ах= lal · cosa, ау= lal · соs{З, az = lal · COS"f. (5.5) Или, что то же самое, ах cosa = lal, az ау cosfJ = lal, COS"f= lal· Числа coso:, cosfJ, COS"f называются наnрав.ляющими косtтусами век тора а. Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем lal 2 = lal 2· cos 2а+ liil 2 • cos2 fJ + lal 2 • cos2'У· Сократив на liil 2=/:-О, получим соотношение 1 cos2 а+ cos2 fЗ + cos 2 'У = 1, 1 ~ т. е. сумма квадратов наnрав.ляющих косинусов нену.лево ~ Легко заметить, что координатами единичного вектора е являются го вектора равна единице. числа cos а, cos /З, COS"f, т. е. е = (cos а; соs/З; cos 'У)· Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его мо дуль и направление, т. е. сам вектор. 5.5. Действия наА векторами, заданными проекциями Пусть векторы а= (ax;ay;az) и Ь = (Ьх;Ьу;Ьz) заданы своими про екциями на оси координат Ох, Оу, Oz или, что то же самое а = ах · z+ ау ·] + az · k, 45 Ь = Ьх · z+ Ьу · ] + Ьz · k. Линейные операции над векторами Так как линейные операции над векторами сводятся к соответству ющим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать: 1. ii ± Ь = (ах± Ьх)z +(ау± Ьу)} + (az ± Ьz)k, или кратко ii ± Ь = = (ах±Ьх; ау±Ьу; az±Ьz). То есть при слож:ении (вы'Ч,итании) векторов их одноименные координатъ~ складъtваются (въt'Ч,итаются}. 2. Лii = Лах·z+Лау.]+Лаz·k или короче Лii = (Лах; Лау; Лаz). То есть при умножении вектора на скал.яр координаты вектора умнож:аются на этот скал.яр. Равенство векторов Из определения вектора как направленного отрезка, который мож но передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора ii и Ь равнъt тогда и только тогда, когда выполняются ра венства: ах = Ьх, ау= Ьу, az = Ьz, т. е. Коллинеарность векторов Выясним условия коллинеарности векторов ii и Ь, заданных своими координатами. Так как ii 11 Ь, то можно записать ii = Л·Ь, где Л - некоторое число. То есть ах· z+ау· J + az · k = Л(Ьх · f + Ьу · J + Ьz · k) = ЛЬх · z+ ЛЬу · J + ЛЬz · k. Отсюда т. е. ах = ЛЬх, ах Ьх = >..., ау Ьу = л, ау= ЛЬу, az = ЛЬz, az ах _ ау az Ьz = ).. или Ьх - Ьу - Ьz . liJ Таким образом, проекции коллинеарнъtх векторов проnорционалъ ны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны. КооРдинаты точки Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система ко ординат Oxyz. Для любой точки М координаты вектора ОМ называют ся координатами то'Ч,ки М. Вектор ОМ называется радиус-вектором точки М, обозначается f, т. е. ОМ точки - = f. Следовательно, координаты это координаты ее радиус-вектора f = (х; у; z) или f = х · i +у· J+ z · k. Координаты точки М записываются в виде М(х; у; z). 46 Координаты вектора Найдем координаты вектора ii = АВ, если известны координаты точек A(x1;y1;z1) и B(x2;Y2;z2). Имеем (см. рис. 13): АВ = ОВ - ОА = (х2 · z+ У2 · J + z2 · k) - (х1 · z+ У1 · J + z1 · k) = = (х2 - x1)z + (У2 - Yi)J + (z2 - z1)k. Следовательно, координаты вектора равны разностям соответству ющих координат его конца и на-чала: АВ = (х2 - х1; У2 - У1; z2 - z1). А в ....... ---- ...' х Рис. 13 ь Рис. 14 § б. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА б.1. Определение скалярного произведения ~ Скалярным произведением двух ненулевых векторов ii и Б на зывается 'Чис.11.0, равное произведению длин этих векторов на ко синус угла между ними. Обозначается iib, ii · Б (или (ii, Ь)). Итак, по определению, (6.1) где ер= (а, Б). Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как liil cosc.p = пp;;-ii, (см. рис. 14), а lbl cosc.p = праЬ, то получаем: \ аБ = lal · пра-Б = !БI ·пр;;- а, 1 т. е. скалярное произведение двух векторов равно (6.2) модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с пер вым вектором. 47 б.2. Свойства скалярного произведения 1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: аБ = Ба. - - О аБ = liil · IБI ·cos(ii, Б), а Ба= iБI · liil ·соs(Б, а). И так как liil · lbl = iБI · liil, как произведение чисел и cos(ii, Б) = соs(Б, ii), то iib = Ба. • 2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством от носительно скалярного множителя: (.\ii) · Б = .\(iib). о (.\ii)Б = 1ь1 . ПРь .\ii = ,\. 1ь1 . прь ii = .\(аЬ). • 3. Скалярное произведение обладает распределительным свойст вом: а(Б + ё) = аБ + iiё. О а(Б + ё) = liil · пра-(Б + ё) = liil · (пр" Б + ПРа: ё) = liil пра; Б + ial · пра ё = =~+~ • 4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: ii2 = lal 2 . • О а2 = а· а = lal · lal cos о = lal · lal = lal 2 . -2 i В частности: i -2 = j -2 = k = 1. Если вектор ii возвести скалярно в квадрат и затем извлечь ко рень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль liil, т. е. п = liil сп=/:- ii). Пример 6.1. Найти длину вектора ё (а, Б) = = 3а-4Б, если lal = 2, iБi = 3, %· Q Решение: lёl = # = Jс3и- 4Б) 2 = Jgи2 - 24аБ + 16Б2 = = J 9 . 4 - 24 . 2 . з . ~ + 16 . 9 = /108 = б-JЗ. • 5. Если векторы ii и Б (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если ii ..l Б, то iib = О. Справедливо и обратное утверждение: если аБ = О и ii =/:- О =/:- Б, то ii ..l Б. О Так как ер = (ii, Б) = I' то cos ер = cos I = О. Следовательно, а· Б = lal · IБI ·_о__= о. Если же а· Б = о и lal =/:- о, iБI =/:- о, то cos(a, Ь) = О. Отсюда ер= (а, Ь) = 90°, т. е. ii ..l Б. В частности: z.J = J. k = k . z= о. 48 • б.З. Выражение скалярного произведения через координаты Пусть заданы два вектора Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как мно гочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произве дения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов l, ], k: i j k ахЬхU + aybxJl + azbxkl z j k 1 о о о 1 о о о 1 + axbyl] + аvЬvП + azbykJ + axbzlk + + aybz]k + + azbzkk т. е. 1 а· Ь = ахЬх + ауЬу + azbz.1 Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведениti их одноименн'Ых координат. Пример 6.2. Доказать, что диагонали четырехугольника, задан ного координатами вершин А(-4; -4; 4), В(-3; 2; 2), С(2; 5; 1), D(3; -2; 2), взаимно перпендикулярны. Q Решение: Составим вектора АС и BD, лежащие на диагоналях д;=tн ного четырехугольника. Имеем: АС= (6; 9; -3) и BD = (6; -4; О). Най дем скалярное произведение этих векторов: АС· BD = 36 - 36 - О = О. Отсюда следует, что АС ..l BD. Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны. 8 49 б.4. Некоторые приложения скалярного произведения Угол межАУ векторами Определение угла <р между ненулевыми векторами а= (а"; ау; az) и Б = (Ьх; Ьу; Ьz): а· Б cos <р = lal . 1ь1' т. е. cos <р = . fa2 + а2 + а2zyx .. /ь2 + ь2 + ь2z ух у у Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а и Б: Проекция вектора на заАанное направление Нахождение проекции вектора а на направление, заданное векто ром Б, может осуществляться по формуле прьа = а· Б ( lbl - праЬ = а· Б) lal ' т. е. Работа постоянной силы Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из поло жения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей угол <р с перемещением АВ = S (см. рис. 15). Из физики известно, что работа си лы F при перемещении S равна ~ <р А= F · S · cos<p т. е. А= F · S. Таким образом, работа постоянной силы : ·в при прямолинейном перемещении ее точ ки приложения равна скалярному произ Рис. 15 ведению вектора силы на вектор перемещения. Пример 6. 3. Вычислить работу, произведенную силой F= (3; 2; 4), если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А(2; 4; 6) в положение В(4; 2; 7). Под каким углом к АВ направлена сила F? Q Решение: Находим S = АВ = (2,-2, 1). Стало быть, А= F · S = 3 · 2 + 2 · (-2) + 4 · 1 = 6 (ед. работы). _ _ F·S Угол <р между F и S находим по формуле cos <р = 6 6 2 cos<p= J9+4+16·J4+4+1 = -/29·3 = -/29' 50 IFl·ISI <р , т. е. 2 = arccos -/29 . • § 7. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА 7.1. Определение векторного произведения Три некомпланарных вектора а, Б и с, взятые в указанном порядке, образуют правую mpotiкy, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору Б виден совершаю щимся против часовой стрелки, и .левую, если по часовой (см. рис. 16). правая тройка, ~ левая тройка ii Рис. 16 ~ Векторным nрои.зведени.ем вектора а на вектор Б называется вектор ё, который: 1) перпендикулярен векторам а и Б, т. е. ё .1 а и ё .1 Б; 2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, по строенного на векторах а и Б как на сторонах (см. рис. 17), т. е. lёl = lal · lbl siшp, где 'Р = (а, Ь); 3) векторы ii, Б и ё образуют правую тройку. z ё j ii у х Рис. 18 Рис. 17 Векторное произведение обозначается ii х Били [а, Б]. Из определения векторного произведения непосредственно вытека ют следующие соотношения между ортами l, l х ] = k, ] х k = l, Докажем, например, что l х J = k. 51 J и k (см. рис. 18): k х l = ]. о 1) k J_ i, k J_ J; 2) lkl = 1, но \i х JI = \il · IJI · sin 90° = 1; 3) векторы i, J и k образуют правую тройку (см. рис. 16). 8 Свойства векторного произведения 7.2. 1. При перестановке векторное произведение сомножителей меняет знак, ахЬ т. е. .. :~~ПJ:If т:тп;;J~~n:~:," :::[: ~ ~ j~; ~ j~i~i~ i~ ~ ~ ~ ~: ~; ~; ~~ ~i~i~ i~~ ~:::: /' ... :.:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::·i ii х Б = -(Ь ха) (см. рис. 19). О Векторы ii х Б и Б х ii коллинеарны, име ·:·:·:-:-:-:-:-:-:·:·:·:-:-:-:-:-:-:-:-:·:·1 ют одинаковые модули (площадь паралле ·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.r ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::~ лограмма остается неизменной), но проти воположно направлены (тройки а, Б, а х Б и ii, Б, Б х ii противоположной ориентации). Стало быть, ах Б = -(Б ха). • 2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством скалярного множителя, (Ла) х Б =ах (ЛЬ). = относительно Бха т. е. Л(ii х Ь) = Рис. 19 О Пусть Л > О. Вектор Л(iix Ь) перпендикулярен векторам ii и Б. Вектор (Лii) х Б также перпендикулярен векторам ii и Б (векторы ii, Лii лежат в одной плоскости). Значит, векторы Л(ii х Ь) и (Лii) х Б коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину: JЛ(ii х Ь) 1= Л\а х bl = ЛJal · JbJ · sin(a, Ь) и J(Лii) х bl = IЛiiJ · lbl · sin(Лii, Ь) = Лlal · lbl sin(ii, Ь). Поэтому Л(ii х Ь) = Лii х Б. Аналогично доказывается при Л <О. • 3. Два ненулевых вектора ii и Б коллинеарны тогда и только то гда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а 11 Б {=:::> а х Б = о. О Если ii 11 Б,2..о угол между ними равен 0° или 180°. Но тогда Jii х БJ = = JiiJ · lbl · sin(ii, Ь) = О. Значит, ii х Б =О. Если же ii х Б = О, то JiiJ · Jbl sin ер = О. Но тогда ср = 0° или ер = 180°, т. е. а 11 Б. 8 !iJ В частности, i х i = J х J = k х k = О. 4. Векторное произведение обладает распределительным свойством: (а + Б) х ё = а х ё + Б х ё. Примем без доказательства. 52 Выражение векторного произведения 7 .3. через координаты Мы будем использовать таблицу векторного произведения векто ров l, J и k: k i j о j k -k о -j i k j -i о i Чтобы не ошибиться со знаком, удобно пользо ваться схемой: если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму со впадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему век тору, если не совпадает - третий вектор берется со знаком «минус». Пусть заданы два вектора а = axl +ау]+ azk и Б = Ьхz + Ьу] + Ьzk. Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения): ах Б = (axl +ау]+ azk) х (Ьхl + Ьу] + Ь}i) = = ахЬх(l х z) + axby(Z х J) + axbz(Z х k) + aybx(J х l) + ayby(J Х })+ + aybz(J Х k) + azbx(k Х z) + azby(k Х J) + azbz(k Х k) = =О+ axbyk - axЬzJ - aybxk +О+ aybzl + azЬxJ - azbyz +О= = (aybz - azby)Z - (axbz - azbx)J + (ахЬу - aybx)k = т. е. ах ь- = laь: (7.1) Полученную формулу можно записать еще короче: ахЬ= i j ах ау k az , Ьх Ьу Ьz (7.2) так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению опреде лителя третьего порядка по элементам первой строки. Равенство (7.2) легко запоминается. 53 7 .4. Некоторые приложения векторного произведения Установление коллинеарности векторов Если а 11 Б, то ах Б =О (и наоборот), т. е. ахЬ= i j k ах ау az Ьх Ьу Ьz =0 <=:::} ах - Ьх - ау Ьу = az Ьz <=:::} а 11 Б. НахожАение площаАи параллелограмма и треугольника Согласно определению векторного произведения векторов а и Б /ах Б/ = lal · lbl sinrp, т. е. Sпар = la х Б/. И, значит, Sл = ~la х БI. Определение момента силы относительно точки Пусть в точке А приложена сила F = АВ и пусть О - некоторая точка пространства (см. рис. 20). Из физики известно, что момен,том С'UЛ'Ы F относительно точки О называется вектор М, который проходит через точку О и: 1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В; 2) численно равен произведению силы на плечо ----- IMI = IFI · ON = IFI · lrl · sin rp = IFI · /OAI sin(F, ОА); 3) образует правую тройку с векторами ОА и АВ. Стало быть, М = О А х F. --- Рис. 20 Рис. 21 НахожАение линейной скорости вращения Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой ско ростью r;J вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера iJ = r;J х r, где r = ОМ, где О - некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21). 54 § 8. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 8.1. Определение смешанного произведения, его геометрический смысл Рассмотрим произведение векторов ii, Б и ё, составленное следу ющим образом: (ах Ь) · ё. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведе ние называется векторно-ска.л.ярн:ым, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число. Выясним геометрический смысл вы- ражения (ах Ь)·ё. Построим параллелепи пед, ребрами которого являются векторы ii, Б, ё и вектор d = ii х Б (см. рис. 22). Имеем: (ii х Ь) · ё = d · ё = ldl · ПРJ ё, ldl = la х bl = S, где S - площадь парал лелограмма, построенного на векторах ii и Б, ПРJ ё = Н для правой тройки век торов и ПРJ ё высота 1 1 1 1 1 Н'1 = - Н для левой, где Н - параллелепипеда. Получаем: (а х Б) · ё = S · (±Н), т. е. (а х Б) · ё = = ± V, где V - объем параллелепипеда, Рис. 22 образованного векторами а, Б и ё. Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объ ему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со зна ком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку. 8.2. Свойства смешанного произведения 1. Смешанное произведение не меняется при циклической переста новке его сомножителей, т. е. (ii х Ь) · ё = (Ь х ё) ·а= (ё х ii) · Б. Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллеле пипеда, ни ориентация его ребер. 2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами зна ков векторного и скалярного умножения, т. е. (ах Ь) · ё =а· (Ь х ё). Действительно, (ах Б) · ё = ±V и а· (Ь х ё) = (Ь х ё) ·а= ±V. Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов ii, Б, ё и Б, ё, а - одной ориентации. 55 Следовательно, (ах Б) · ё = а(Б х ё). Это позволяет записывать сме шанное произведение векторов (ах Ь)ё в виде аЬё без знаков векторного, скалярного умножения. 3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е. аЬё = -аёБ, аБё = -Баё, аЬё = -ёБа. = Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак. 4. Смешанное произведение ненулевых векторов а, Ь и ё равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны. Q Если аЬё = О, то а, Б, ё - компланарны. Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллеле пипед с объемом V =Р О. Но так как аЬё = ±V, то получили бы, что аЬё =Р о. Это противоречит условию: аЬё = о. Обратно, пусть векторы а, Б, ё - компланарны. Тогда вектор d = = а х Ь будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а, Б, ё, и, следовательно, d ..l ё. Поэтому d · ё = О, т. е. аБё О. 8 = 8.3. Выражение смешанноrо произведения через координаты Пусть заданы векторы а = axI +ау]+ azk, Ь Ьхi + Ьу} + Ьzk, ё = Cxt + су]+ Czk. Найдем их смешанное произведение, используя вы ражения в координатах для векторного и скалярного произведений: (ах Ь)ё = = i j ах ау k az · (cxi +су]+ Czk) = Ьх Ьу Ьz (j ~: az ji-j ~; ~; /1+1 ~= ~: k) · (cxi Ьz 1 = 1 +су}+ Czk) = ~: azЬz Сх _,ахЬх azЬz . Су+ ахЬх ау · 1· 1 1 Ьу 1 Cz. (8.1) Полученную формулу можно записать короче: Сх Су Cz так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки. Итак, смешанное произведение векторов равно определителю тре тьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов. 56 Некоторые приложения смешанного произведения 8.4. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве Определение взаимной ориентации векторов а, Ь и ё основано на следующих соображениях. Если аЬё > О, то а, Ь, ё - правая тройка; если аЬё < О, то а, Ь, ё - левая тройка. Установление компланарности векторов Векторы а, Ь и ё компланарны тогда и только тогда, когда их сме шанное произведение равно нулю (а"# О, Ь "#О, ё "#О): az Ьz аЬё=О ~ Сх Су = О ~ векторы а, Ь, ё компланарны. Cz Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и ё вычисляется как V = labёl, а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V = ~ labёl. Пример 8.1. Вершинами пирамиды служат точки А(1;2;3), В(О; -1; 1), С(2; 5; 2) и D(3; О; -2). Найти объем пирамиды. О Решение: Находим векторы а, Ь, ё: а= АВ = (-1; -3; -2), Ь =АС= (1; 3; -1), ё = AD = (2; -2; -5). Находим аЬё: -1 аЬс= -3 1 3 2 -2 -2 -1 -5 = -1·(-17)+3. (-3) - 2. (-8) = 17 - 9 + 16 = 24. Следовательно, V = ~ · 24 = 4. • Глава 111. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекции 7-9 1 § 9. СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ 9.1. Основные понятия ~ Под системоit координат на плоскости понимают способ, по зволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является nрямоуго.11:ьная (декартова) система ко ординат. Прямоугольная система координат за дается двумя взаимно перпендикулярными у прямыми - у осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и за дан единичный (масштабный) отрезок. Единицу масштаба обычно берут одинако х х вой для обеих осей. Эти оси называют ося ми координат, точку их пересечения О - на'Чалом координат. Одну из осей называ Рис. 23 ют осъю абсцисс (осью Ох), другую - осью орди-нат (осью Оу) (рис. 23). На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и на правленной слева направо, а ось ординат - вертикально и направлен ной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области - 'Четверти (или квадранты). Единичные векторы осей обозначают f и J (lfl = IJI = 1, f 1- ]). Систему координат обозначают Оху (или OfJ), а плоскость, в ко торой расположена система координат, называют координатноi1. плоскостъю. Рассмотрим произвольную точку М плоскости Оху. Вектор ОМ называется радиусом-вектором точки М. ~ Координатами точки М в системе координат Оху (Oi]) на зываются координаты радиуса-вектора ОМ. Если ОМ= (х;у), то координаты точки М записывают так: М(х;у), число х называется аб сциссоi& точки М, у - ординатоit точки М. Эти два числа х и у полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единствен ная точка М плоскости, и наоборот. 58 Способ определения положения точек с помощью чисел (коорди нат) называется методом координат. Сущность метода координат на плоскости состоит в том, что всякой линии на ней, как правило, сопо ставляется ее уравнение. Свойства этой линии изучаются путем иссле дования уравнения линии. Другой практически важной системой координат является по.л.я.р ная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым по.л.я.рноii, осью, и еди ничным вектором ё того же направления, что и луч Ор. Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение . точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом ср, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис. 24). у ~М(с;~) j х р о ё р Рис. 24 Рис. 25 Числа r и ср называются по.п.ярн.ими координатами точки М, пишут M(r; ср), при этом r называют nо.п.ярним радиусом, ср по.л.я.рным углом. Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол ср ограничить промежутком (-1Г; 1Г] (или О ~ ср радиус - < 27Г), а полярный [О; оо). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и ер, и обратно. Установим связь между прямоугольными и полярными координа тами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху, а полярную ось - с положительной полуосью Ох. Пусть х и у - моугольные координаты точки М, а r и ср - пря ее полярные координаты. Из рисунка 25 видно, что прямоугольные и полярные координаты точки М выражаются следующим образом: { х = rr ·· c~sep, у= { sшер; r = Jx2 +у2, tgep = 'JL. х Определяя величину ер, следует установить (по знакам х и у) че тверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что -1Г <ер~ 1Г. 59 Пример 9.1. Дана точка М(-1; -JЗ). Найти полярные коорди наты точки М. Q Решение: Находим r и <р: -VЗ tg<p= =v'З. r = .J3+l = 2, -1 = J + 7rn, п Е Z. Но так как точка М лежит в 3-й четверти, то п = -1 и <р = J - 7r = - 2;f. Итак, полярные координаты точки М есть r = 2, <р = - 2;f, т. е. М ( 2; -j7r). 8 Отсюда <р 9.2. Основные приложения метода координат на плоскости Расстояние межАУ Авумя точками Требуется найти расстояние d между точками А(х 1 ; У1) и В(х2; У2) плоскости Оху. Q Решение: Искомое расстояние d равно длине вектора АВ = d = IABI = у'(х2 - х1) 2 + (у2 - У1) 2 . • = (х2 - х1; У2 -у1), т. е. Деление отрезка в Аанном отношении Требуется разделить отрезок АВ, сое у диняющий точки А(х1; У1) и В(х2; У2) в за данном отношении Л А ~в > О, т. е. найти коорди наты точки М(х;у) отрезка АВ такой, что -ttJз = Л (см. рис. 26). Q Решение: Введем в рассмотрение векто ры АМ и МВ. Точка М делит отрезок АВ о в отношении Л, если х Рис. 26 АМ=Л·МВ. (9.1) Но АМ = (х - х1;У - У1), т. е. АМ = (х - x1)t +(у - Y1)J и МВ = (х2 - х; У2 - у), т. е. МВ (х2 - x)l + (У2 - у)]. Уравнение (9.1) = = принимает вид (х - x1)l +(у - У1)] = Л(х2 - x)l + Л(у2 - у)]. У читывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем х - х1 = Лх2 - Лх, т. е. 60 х = х11++Лх2 Л (9.2) и у - У1 = Лу2 - Лу, т. е. у = У1 + Лу2 1+Л . (9.3) Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления отрезка в дан ном отношении. В частности, при)..= 1, т. е. если АМ =МВ, то они примут вид х = xi 1х2 , у = Yi ! У В этом случае точка М(х; у) 2 является серединоii, отрезка АВ. 8 Заме'Чание: Если ).. = О, то это означает, что точки А и М совпа дают, если ).. < О, то точка М лежит вне отрезка АВ - точка М делит отрезок АВ внешним образом (Л говорят, что # -1, т. к. в противном случае 1JAJз = -1, т. е. АМ +МВ= О, т. е. АВ =О). ПлощаАь треугольника Требуется найти площадь треугольни- ка АБС с вершинами А(х1;У1), В(х2;У2), С(хз;уз). у~В . Q Решение: Опустим из вершин А, В, С .. перпендикуляры АА 1 , ВВ 1 , СС 1 на ось Ох 1 1 1 (см. рис. 27). Очевидно, что Рис. 27 Поэтому У1 + У2 2 с 1 х Sлвс = Sлл1в1в + Sв1ВСС1 - Sл1АСС1. Sлвс = . · (х2 - х1 ) + У2 + Уз · (хз - х2 ) - У1 + Уз · (хз - х1 ) 2 2 = = !(х2У1 - Х1У1 + Х2У2 - Х1У2 + ХзУ2 - Х2У2 + ХзУз- - Х2Уз - ХзУ1 + Х1У1 - ХзУз + Х1Уз) = = ! (Хз (У2 - У1) - Х1 (У2 - У1) - Х2 (Уз - У1) + Х1 (Уз - У1)) = = l((y2 - У1)(хз - х1) 2 т. е. 11 (уз - У1)(х2 - х1)) = 2 хз - xi Х2 - Х1 1 У2 -у1 , Уз - У1 Sл = ~ хз - х1 1 2 Уз - У1 • Заме'Чание: Если при вычислении площади треугольника получим S =О, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль. 9.3. Преобразование системы координат Переход от одной системы координат в какую-либо другую назы вается преобразованием систем'Ы координат. 61 Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной си стемы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зави симость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат. Параллельный перенос осей координат Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Под параллел·ыtъtм переносом осей координат понимают переход от си стемы координат Оху к новой системе 0 1 х 1 у 1 , при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными. у м 1 '' '' ' У: ,.., 1 'l --- --------- --- --- о х х Рис. 28 Пусть начало новой системы координат точка 0 1 имеет коорди наты (хо;Уо) в старой системе координат Оху, т. е. О1(хо;Уо). Обозна чим координаты произвольной точки М плоскости в системе Оху через (х;у), а в новой системе 0 1 х 1 у 1 через (х';у 1 ) (см. рис. 28). Рассмотрим векторы ОМ= xi +у}, OOi = xoi + уо}, О1М = x'l + y'J. Так как ОМ= OOi + О1М, то xl +у}= xol + Уо] + x'l +у'}, т. е. х · l +у ·] = (хо + х 1 ) .1, + (Уо +у') · ]. Следовательно, х', { хУ==хо+ Уо +у'. Полученные формулы позволяют находить старые координаты х и у по известным новым х' и у' и наоборот. Поворот осей координат Под поворотом oceii, координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными. 62 Пусть новая система О1х1у1 получена поворотом системы Оху на угол о: (см. рис. 29). Пусть М - произвольная точка плоскости, (х; у) - в старой системе и (х';у') - ее координаты в новой системе. Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Ох 1 (масштаб одинаков). Полярный радиус r в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны о: +l{J и l{J, где 1fJ - полярный угол в новой полярной системе. По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем cos(o: + lfJ), { ху== rr ·· sin(o: + lfJ), Но r cos 1fJ т. е. · c_osa - rs.inl{J · sina, { х == rrcosl{J cos 1fJ • + r 1fJ • cos у sш а sш а. = х' и r sin 1fJ = у'. Поэтому cosa - у' sin о:, { ху== х'х' sina +у' cosa. ~ Полученные формулы называются формуJtами поворота oce1i.. Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки М через новые координаты (х'; у') этой же точки М, и наоборот. у fj& о Рис. 29 х Рис. 30 Если новая система координат 0 1 х 1 у 1 получена из старой Оху пу тем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол а (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной систе мы 0 1 ху легко получить формулы { х = х' · coso: - у'· sino: + х0 , у = х' · sin а + у' · cos а + Уо, выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее новые координаты х' и у'. 63 § 10. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ 10.1. Основные понятия Линия на плоскости часто задается как .миожество mо'Чек, обла дающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоско сти, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности). Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел - ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии). Уравнеиием лииии (или кривой) на плоскости Оху называется та кое уравнение F(x; у)= О с двумя переменными, которому удовлетво ряют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют коор динаты любой точки, не лежащей на этой линии. Переменные х и у в уравнении линии называются текущими ко ординатами точек линии. Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств ли нии заменить исследованием его уравнения. Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(х 0 ; у 0 ) на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построе ниям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат. Пример 10.1. Лежат ли точки К(-2; 1) и L(l; 1) на линии 2х +у+ 3 =О? Q Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки К, получим 2·(-2)+1+3 =О. Следовательно, точка К лежит на данной линии. Точка L не лежит на данной линии, т. к. 2 · 1 + 1 + 3 =f. О. 8 Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F 1 (х; у) = О и F 2 (x; у) =О, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сво дится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными: { F1(x;y) =О, Fz(x; у) =О. Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пе ресекаются. Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в поляр ной системе координат. 64 Уравнение F(r;<p) =О называется уравнением данноiJ, .линии в по .л.ярноiJ, системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению. Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений: x(t), { ху== y(t), где х и у - {10.1) координаты произвольной точки М(х; у), лежащей на дан ной линии, а t - переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости. = = Например, если х t + 1, у t 2 , то значению параметра t соответствует на плоскости точка {3; 4), т. к. х 2 + 1 3, у= 2 2 = = =2 = 4. Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещает ся, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметри'Ческим, а уравнения {10.1) - параметри'Ческими уравнени- я.ми .линии. Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению вида F(x;y) =О, надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр t. Например, от уравнений { х = t, 2 у= t' путем подстанов- ки t = х во второе уравнение, легко получить уравнение у = х 2 ; или у - х 2 =О, т. е. вида F(x;y) =О. Однако, заметим, такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен. Линию на плоскости можно задать век торН'ЫМ уравнением f = f(t), где t - лярный переменный параметр. ска Каждому значению to соответствует определенный вектор fo = r(t0 ) плоскости. При изменении параметра t конец вектора f = r(t) опишет некоторую линию {см. рис. 31). Векторному уравнению линии f в системе координат Оху у о = r(t) х Рис. 31 соответствуют два скалярных уравнения {10.1), т. е. уравнения проекций на оси ко ординат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения. Векторное уравнение и параметрические уравнения линии име ют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравненu.ями движения, а линия траекториеi1, точки, параметр t при этом есть время. Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравне ние вида F(x; у)= О. 65 Всякому уравнению вида F(x; у)= О соответствует, вообще говоря, некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением (выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исклю чения. Так, уравнению (х - 2) 2 + (у - 3) 2 = О соответствует не линия, а точка (2; 3); уравнению х 2 + у 2 + 5 О на плоскости не соответствует = никакой геометрический образ). В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее урав нение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства. На рисунках 32-40 приведены примеры некоторых кривых и ука заны их уравнения. р р r = 2R· cosr.p =R т у r = 2R · sinr.p у Уо ----- х о R 2 или {х = Rcost, х+у= 2 2 Хо (х - хо) 2 +(у - уо) 2 у= Rsint х = R2 Рис. 32. Окру;нсносmь радиуса R '' ,, ' , ~ ,~ ,, , '' ' '" Рис. 33. Лемнuската Берну.л,,л,u Рис. 34. Трех.л.еnесткова.я Уравнение в прямоугольных коорди В по.'IЯрных координатах ее уравне натах: (х2 ние имеет вид r = а · cos Зr.р, где а а т > О; роза + у2)2 - а2(х2 - у2) = О, в полярных = а · y'cos 2r.p. координатах: 66 > О. р р Рис. 35. Улитка Ласкал.я У равнение в полярных координатах имеет вид r = Ь + а cos r.p. у а а х Рис. 36. Полукубическая парабола Уравнение кривой у 2 х Рис. 37. Астроида У равнение в прямоугольных коорди- 2 = х 3 или 2 натах: х з +Уз = 2; аз параметрические уравнения: { ху== tЗ. t2 , а· cos 3 t, { ху== а· sin 3 t. р 2а р Рис. 38. Кардиоида Уравнение в полярных Рис. 39. Спираль Архимеда координатах имеет вид r = a(l + cos r.p ), где а > О. Кардиоида - частный случай улитки У равнение кривой в полярных коор динатах r ное. Паскаля (а= Ь). 67 = ar.p, где а > О - постоян х Рис. 40. Циклоида Параметрические уравнения циклоиды имеют вид клоида - { х -_= a(t( 1 -- sin t),t,) где а > О. Циу а соs это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катя щаяся без скольжения по неподвижной: прямой:. 10.2. Уравнения прямой на плоскости Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные ви ды ее уравнений. Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не парал лельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой Ь точки N(O; Ь) пересечения с осью Оу и углом а между осью Ох и прямой (см. рис. 41). Под углом а (О:::; а < 7r) наклона прямой понимается наименьший угол, у на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Ох против часовой стрелки ось Ох до ее х' совпадения с прямой. Возьмем на прямой произвольную х х точку М(х; у) (см. рис. 41). Проведем через точку N ось N х', параллельную Рис. 41 оси Ох и одинаково с ней направлен ную. Угол между осью Nx' и прямой равен а. В системе Nx'y точка М имеет координаты х и у - Ь. Из определения тангенса угла следует равенство tg а = У....:::.!!_, т. е. у = tg а· х + Ь. Введем обозначение tg а = k, х получаем уравнение jy = kx + Ь, j (10.2) которому удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) прямой. Можно убедиться, что координаты любой точки Р(х; у), лежащей вне данной прямой, уравнению (10.2) не удовлетворяют. ~ Число k = tg а называется уг.л.овым коэффициентом прямой, а уравнение (10.2) - уравнением nрямоi& с уг.tt0вым коэффи циентом. Если прямая проходит через начало координат, то Ь = О и, следо вательно, уравнение этой прямой будет иметь вид у= kx. 68 Если прямая параллельна оси Ох, то а = О, следовательно, k = = tg а = О и уравнение (10.2) примет вид у = Ь. Если прямая параллельна оси Оу, то а= ~'уравнение (10.2) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент k = tg а = tg ~ не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид (10.3) х =а, где а - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (10.2) и (10.3) есть уравнения первой степени. Общее уравнение прямой Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем виде Ах+Ву+ С= О, где А, В, С - (10.4) произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно. Покажем, что уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии. Воз можны два случая. Если В = О, то уравнение (10.4) имеет вид Ах + С = О, причем А "# О, т. е. х = - ~. Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку ( - ~ ; О) . Если В -::/- О, то из уравнения (10.4) получаем у = - ~х - ~. Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом k = tg а = - ~ . Итак, уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии, оно называ ется общим уравнением пр.я..моiJ,. Некоторые частные случаи общего уравнения прямой: 1) если А = О, то уравнение приводится к виду у = - ~. Это есть уравнение прямой, параллельной: оси Ох; 2) если В= О, то прямая параллельна оси Оу; 3) если С= О, то получаем Ах+ Ву= О. Уравнению удовлетворяют координаты точки 0(0; О), прямая проходит через начало координат. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении Пусть прямая проходит через точку М(х 0 ;у 0 ) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно записать в виде у = kx + Ь, где Ь - пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку М(хо; у0 ), то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: у0 69 = kxo + Ь. Отсюда Ь = Уо - kxo. Подставляя значение Ь в уравнение у = kx нение прямой у = kx + Уо - kxo, т. е. 1 Уравнение + Ь, получим искомое урав у - Уо = k(x - xo). j (10.5) (10.5) с различными значениями k называют также уравнениями nу'Чка пр.ям'Ых с центром в точке М(х 0 ; у 0 ). Из этого пуч ка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу. Уравнение прямой, проходящей через две точки Пусть прямая проходит через точки М1 (х1; У1) и М2(х2; У2). Урав нение прямой, проходящей через точку М1 , имеет вид Угде k - Yl = k(x - Х1), (10.6) пока неизвестный коэффициент. Так как прямая проходит через точку М2 (х 2 ;у 2 ), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6): у 2 -у 1 = k(x 2 -x 1 ). Отсюда находим k = У 2 - Yi . Подставляя найденное значение k в урав х2 -Х1 пение (10.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки М1 и М2 : y-yi (10.7) У2 -у1 Предполагается, что в этом уравнении Х1 Если Х2 # х2, У1 # У2· = х1, то прямая, проходящая через точки М1(х1;у1) и М2(х2;У2), параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = х1. Если У2 = у 1 , то уравнение прямой может быть записано в виде у= у1, прямая М1М2 параллельна оси абсцисс. Уравнение прямой в отрезках Пусть прямая пересекает ось Ох в точке М1 (а; О), а ось Оу - в точке М2 (0; Ь) (см. рис. 42). В этом случае уравнение (10.7) примет вид у у-0 х-а Ь-0 О-а' Это уравнение называется уравнением ----:::::+-=====-~~""""'"'--~х пр.ямоi1 в отрезках, так как числа а и Ь указывают, какие отрезки отсекает пря Рис. 42 мая на осях координат. 70 Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0 (х 0 ; Уо) перпендикулярно данному ненулевому вектору n =(А; В). Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у) и рассмотрим вектор МоМ = (х - хо;у - Уо) (см. рис. 43). Поскольку векторы n и М0 М перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: n · МоМ = О, то есть 1А(х - хо) + В(у - Уо) = 0.1 (10.8) Уравнение (10.8) называется уравнением npя.мoii., проходящеii. -через за данную mо'Ч.ку перпендuку.л.ярно заданному вектору. Вектор n = (А; В), перпендикулярный прямой, называется нор ма.лыt'ЫМ вектором эmoii. пря.моii.. Уравнение (10.8) можно переписать в виде Ах+Ву+С =0, где А и В - бодный (10.9) координаты нормального вектора, С = -Ах 0 - Ву 0 - член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение сво прямой (см. (10.4)). у о х Рис. 43 Рис. 44 Полярное уравнение прямой Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно определить, указав расстояние р от полюса О до данной прямой и угол а между полярной осью ОР и осью l, проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой (см. рис. 44). Для любой точки M(r; <р) на данной прямой имеем: пр 1 0М=р. 71 С другой стороны, пр 1 ОМ = IOMI · cos(a - 'Р) = r · cos(<p - а). Следовательно, 1r cos(<p - а) = p. j (10.10) Полученное уравнение (10.10) и есть уравне'Н:ие nр.ямо11. в nол.ярнъ~х ко ординатах. Нормальное уравнение прямой Пусть прямая определяется заданием р и а (см. рис. 45). Рассмо трим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систе му, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде r · cos(<p- а) - р =О, т. е. r · cos<pcosa + rsin<psina - р =О. Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные коорди наты, имеем: rcos<p = х, rsinip =у. Следовательно, уравнение (10.10) прямой в прямоугольной: системе координат примет вид 1х · cos а + у · sin а - р = 0.1 (10.11) Уравнение (10.11) называется норма.п:ьнъ~м уравнением np.ямoii. Покажем, как привести уравнение (10.4) прямой к виду (10.11). У множим все члены уравнения (10.4) на некоторый: множитель ,\ 1- О. Получим ,\Ах х + ЛВу + ЛС = О. Это уравнение должно обратиться в урав нение (10.11). Следовательно, должны выполняться равенства: ,\А Рис. 45 = cos а, ЛВ = sina, ЛС = -р. Из первых двух равенств находим ,\ 2 А 2 + ,\ 2 В 2 = cos2 а+ sin 2 о:, т. е. 1 ,\ = ± ----;:::=== JA2 +в2 Множитель Л называется нормирующим множите.п.ем. Согласно тре тьему равенству ,\С = -р знак нормирующего множителя противопо ложен знаку свободного члена С общего уравнения прямой. Пример 10.2. Привести уравнение -Зх + 4у + 15 =О к нормаль ному виду. Q Решение: Находим нормирующий множитель ,\ = = -g. 1 - .J(-3)2 + 42 Умножая данное уравнение на ,\, получим искомое нормальное уравнение прямой: ix - gy - 3 = О. 72 8 10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Пусть прямые L 1 и L 2 заданы уравнениями с угловыми коэффи циентами у= klx + Ь1 и у= k2x + Ь2 (см. рис. 46). Требуется найти угол tp, на который надо повернуть в положительном напра- влении прямую L 1 вокруг точки их пере- у сечения до совпадения с прямой L 2 • Q Решение: Имеем 0:2 = 'Р + 0:1 (теорема о внешнем угле треугольника) или tp = = а2 - 0:1. Если tp-:/- ~'то о tgo:2 - tga1 tgtp = tg(o:2 - 0:1) = 1 + tgo:1 · tga2 Но tg 0:1 = kl, tg а2 = k2, поэтому Рис. 46 (10.12) • откуда легко получим величину искомого угла. Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учиты вая, какая прямая является первой, какая - второй, то правая часть формулы (10.12) берется по модулю, т. е. tgtp = 11 ~ lij ki ~}.2 1· Если прямые L 1 и L 2 параллельны, то tp = О и tg tp = О. Из форму- = k1 . И обратно, если прямые L 1 и L 2 таковы, что k1 = k 2 , то tg 'Р = О, т. е. прямые параллельны. лы (10.12) следует k2 -k1 =О, т. е. k2 Следовательно, условием параллельности двух прямы.х яв.л.яете.R ра венство их угловы.х коэффичиентов: k 1 = k2. lij Если прямые L 1 и L 2 перпендикулярны, то tp =~-Следовательно, ctgtp = 1 : ki 2 - (или k2 = k1k = О. Отсюда 1 + kl · k2 = О, т. е. kl · k2 = -1 2 -1 Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, 1 ). условием перпендикулярности прямы.х яв.л.яеmе.R равенство kl ·k2 = -1. Расстояние от точки до прямой Пусть заданы прямая L уравнением Ах + Ву + С = О и точка Мо(хо; Уо) (см. рис. 47). Требуется найти расстояние от точки Мо до прямой L. 73 Q Решение: Расстояние d от точки М0 до прямой L равно модулю про екции вектора М1Мо, где М1(х1;У1) на произвольная точка прямой L, направление нормального вектора n = (А; В). Следовательно, у - d = 1 прпМ1Моl = 'M1Mo·n1 ln! = l(xo - х1)А + (Уо - Y1)BI о JA2 +в2 х IAxo + Вуо - Ах1 - Ву11 L JА2+в2 Рис. 47 Так как точка М1(х1; у1) принадлежит прямой L, то Ах 1 + Ву1 + С = О, т. е. С= -Ах1 - Ву1. Поэтому d = IAxo + Вуо + С! Jл2+в2 (10.13) ' • что и требовалось получить. Пример 3х 10.3. Найти расстояние от точки М0 (2; -1) до прямой + 4у - 22 = О. Q Решение: По формуле (10.13) получаем - 13. 2 + 4. (-1) - 221 -- -20 -4. - d- J9+ 16 • 5 § 11. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ 11.1. Основные понятия Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени от носительно текущих координат Ах 2 + 2Вху + Су 2 + 2Dx + 2Еу + F =О. Коэффициенты уравнения - (11.1) действительные числа, но по крайней ме ре одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называ ются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, ги перболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых. 74 11.2. Окружность ~ Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окру;нсн.остью радиуса R с центром в точке М0 назы вается множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию = R. Пусть точка Мо в пря- М0 М моугольной Оху имеет М(х; у) - системе координат координаты хо, Уо, произвольная а у точка окружности (см. рис. 48). Мо(хо; уо) М(х; у) Тогда из условия М0 М = R получаем уравнение J(x - хо) 2 +(у - Уо) 2 = R, то есть о 1(х - хо) 2 +(у -уо) 2 = R 2 .1 (11.2) х Рис. 48 Уравнению (11.2) удовлетворя ют координаты любой точки М (х; у) данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности. Уравнение (11.2) называется канони'Чески.м уравнением окружно сти. В частности, полагая х 0 = О и у0 = О, получим уравнение окруж Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований ности с центром в начале координат х 2 + у 2 = R 2 • примет вид х 2 + у 2 - 2хох - 2уоу + хб + Уб - R 2 = О. При сравнении этого уравнеIJИЯ с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия: 1) коэффициенты при х 2 и у 2 равны между собой; 2) отсутствует член, содержащий произведение ху текущих коор динат. Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значе ния В = О и А = С -1 О, получим Ах 2 + Ау 2 + 2Dx + 2Еу + F = О. Преобразуем это уравнение: х 2 2 Е D F + у + 2 Ах + 2 А у + А = О, т. е. 75 (11.3) т. е. (11.4) Отсюда следует, что уравнение ( 11.З) определяет окружность при усло- вии kЕ2 + kD 2 - FА > О. Ее центр находится в точке 0 1 ( - D А ; - Е) А , а радиус Если же * *+ R= Е2 D2 F А2 + А2 - А. ~ = О, то уравнение (11.3) имеет вид Ему удовлетворяют координаты единственной точки 0 1 ( - ~; - ~). В этом случае говорят: «окружность выродилась в точку» (имеет нулевой радиус). Если kЕ2 + kD 2 - FА < О, то уравнение (11.4), а следовательно, и равносильное уравнение (11.3), не определяет никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая часть - не отрицательна (говорят: «окружность мнимая»). 11.3. Эллипс Каноническое уравнение эллипса ~ Элл.unсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плос кости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. Обозначим фокусы через F 1 и F 2 , ~А1(х,у) расстояние между ними сумму расстояний от через точки эллипса до фокусов - F1 (-7;0)0F2{C;O) ;; Рис. 49 2с, а произвольной через 2а (см. рис. 49). По определению 2а > 2с, т. е. а> с. Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы F 1 и F2 лежали на оси Ох, а начало координат совпа дало с серединой отрезка F 1 F 2 . Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: F1(-c;O) и F 2 (c;O). 76 Пусть М(х; у) - произвольная точка эллипса. Тогда, согласно + МF 2 = 2а, т. е. J(x + с) 2 + у 2 + J(x - с) 2 + у 2 = 2а. определению эллипса, М F 1 (11.5) Это, по сути, и есть уравнение эллипса. Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим образом: х2 J(x + с)2 + у2 = 2а - J(x - с)2 + у2, + 2сх + с2 + у 2 = 4а 2 - 4а · J(x - с) 2 + у 2 + х 2 - 2сх + с2 + у 2 , aJ(x - с) 2 + у 2 = а2 - сх, а 2 х 2 - 2а2 сх + а 2 с2 + а 2 у 2 = а4 - 2а 2 сх + с2 х 2 , (а2 _ с2)х2 + а2у2 = а2(а2 _ с2). Так как а > с, то а 2 - с2 > О. Положим (11.6) Тогда последнее уравнение примет вид Ь2 х 2 + а2 у 2 = а 2 Ь2 или х2 у2 ~ + Ь2=1. ~ .Можно доказать, что уравнение (11.7) (11.7) равносильно исходному уравнению. Оно называется канонu-ческuм уравнением эл липса. Эллипс - кривая второго порядка. Исследование формы эnnипса по его уравнению Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравне нием. 1. Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, по этому если точка (х; у) принадлежит эллипсу, то ему также принадле жат точки (х; -у), (-х; у), (-х; -у). Отсюда следует, что эллипс сим- метричен относительно осей Ох У Bi(O;b) и Оу, а также относительно точ ки 0(0; О), которую называют цен х тром элл:иnса. 2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. По ложив у = О, находим две точки А1(а; О) и Az(-a; О), в которых ось Рис. 50 Ох пересекает эллипс (см. рис. 50). Положив в уравнении (11.7) х =О, находим точки пересечения эллипса с осью Оу: В 1 (О; Ь) и В2 (0; -Ь). Точки А 1 , А2, В 1 , В2 называются вершинами эллипса. Отрезки А 1 А 2 и В 1 В 2 , а также их длины 2а и 2Ь называются соответственно бо.л:ьшоiJ, и .малоiJ, осями эллипса. Числа а и Ь называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. 3. Из уравнения (11. 7) следует, что каждое слагаемое в левой части 2 2 не превосходит единицы, т. е. имеют место неравенства ~ ~ 1 и ~ ~ 1 или -а :::; х ~ а и -Ь :::; у :::; Ь. Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми х = ±а, у = ±Ь. 2 2 4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых~ и ~ равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого дру гое будет уменьшаться, т. е. если lxl возрастает, то IYI уменьшается и наоборот. Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 50 (овальная замкнутая кривая). Дополнительные сведения об эллипсе Форма эллипса зависит от отношения 12.. При Ь = а эллипс превраа щается в окружность, уравнение эллипса (11. 7) принимает вид х 2 +у 2 = = а 2 • В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются от ношением f.. а ~ Отношение ~ половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксценmрuсиmеmом э.n..n.unca и обозначается буквой е («эпсилон»): е = ~' 1 1 (11.8) причем О < е < 1, так как О < с < а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде е = Ja2a_ ь2 =Ja2а~ ь2 =Jl _ (~)2, т. е. t=J1-(~) 2 и~=~. Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс бу дет менее сплющенным; если положить е = О, то эллипс превращается в окружность. Пусть М(х; у) произвольная точка эллипса с фокусами F 1 и F2 (см. рис. 51). Длины отрезков F1 M = r1 и F2M = r2 называются фокалънu.ми радиуса.ми точки М. Очевидно, r1 + r2 = 2а. 78 Имеют место формулы r1 = а+ с:х r2 = а - с:х. и у у о х х=-°' х= о. Е Е х Рис. 51 Рис. 52 Прямые х = ±Q называются директрисами эллипса. Значение € директрисы эллипса выявляется следующим утверждением. Теорема 11.1. Если r - расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d- расстояние от этой же точки до соответ ствующей этому фокусу директрисы, то отношение а есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: а = €. ИЗ равенства (11.6) следует, что а > Ь. Если же а < Ь, то уравне ние (11.7) определяет эллипс, большая ось которого 2Ь лежит на оси Оу, а малая ось 2а - на оси Ох (см. рис. 52). Фокусы такого эллипса находятся в точках F 1 (О; с) и F 2 (О; -с), где с= ../Ь2 - а 2 . 11.4. Гипербола Каноническое уравнение гиперболы ~ Гunepбo.ttoif. называется множество дуль всех точек разности плоскости, расстояний от мо ка d=J.M(x,y) ждой из которых до двух данных то чек этой плоскости, называемых фо кусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фо кусами. 79 Fi(...:~o)~ Рис. 53 Обозначим фокусы через F 1 и F2, расстояние меж,цу ними через 2с, а мо,цуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2а. По определению 2а < 2с, т. е. а < с. Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы F 1 и F 2 лежали на оси Ох, а начало координат совпало с серединой отрезка F 1 F 2 (см. рис. 53). Тогда фокусы бу,цут иметь координаты F1 (-с; О) и F 2 (c; О). ~ Пусть М(х;у) - произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы IMF1 -MF2 1=2а или MF1 -MF2 = ±2а, т. е. J(x с) 2 у 2 - J(x - с) 2 у 2 = ±2а. После упрощений, как это + + + было сделано при выводе уравнения эллипса, получим канони'Чес11:ое уравнение гипербол:ы х2 где у2 а2 - ь2 = 1, (11.9) 1ь2 = с2 - а2 .1 (11.10) Гипербола есть линия второго порядка. Исследование формы гиперболы по ее уравнению Установим форму гиперболы, пользуясь ее каконическим уравне нием. ~ 1. Уравнение (11.9) содержит х и у только в четных степенях. Сле довательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки 0(0;0), которую называют центром гu nербол.ы. 2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Поло жив у= О в уравнении (11.9), находим две точки пересечения гипербо лыс осью Ох: А 1 (а; О) и А 2 (-а;О). Положив х =О в (11.9), получаем у 2 = -Ь2 , чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает. ~ Точки А1(а;О) и А2(-а;О) называются вершинами гиперболы, а отрезок А1А2 = 2а деitствител.ьноt'J осью, отрезок ОА1 = = ОА2 =а ~ деiiствител.ьноii. nол.уосью гиперболы. Отрезок В1В2 (В1В2 = 2Ь), соединяющий точки В1(О; Ь) и В2(О;-Ь) называется мнимоit осью, число Ь - мни.моii. полуосью. Пря моугольник со сторонами 2а и 2Ь называется основным прямоугольником гиперболы. 2 3. Из уравнения (11.9) сле,цует, что уменьшаемое ~ не меньше 2 а единицы, т. е. что ~ ;::=: 1 или lxl ;::=: а. Это означает, что точки гипербо а лы расположены справа от прямой х = а (правая ветвъ гиперболы) и слева от прямой х =-а (лева.я ветвъ гиперболы). 80 у В1(О;Ь) х х=а х=-а Рис. 54 4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда lxl возрастает, 2 2 то и IYI возрастает. Это следует из того, что разность~ - ~сохраняет постоянное значение, равное единице. Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 54 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей). Асимптоты гиперболы Прямая L называется acu.м.nmomoiJ, неограниченной кривой К, ес ли расстояние d от точки М кривой К до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М вдоль кривой К от начала ко ординат. На рисунке 55 приведена иллюстрация понятия асимптоты: прямая L является асимптотой для кривой К. 2 2 Покажем, что гипербола ~ - ~ = 1 имеет две асимптоты: 1у= ~Х И у= -~Х-1 (11.11) Так как прямые (11.11) и гипербола (11.9) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки ука занных линий, которые расположены в первой четверти. Возьмем на прямой у = Ох точку N имеющей ту же абсциссу х, а что и точка М(х; у) на гиперболе у= О.,/х 2 - а 2 (см. рис. 56), и найдем а разность М N между ординатами прямой и ветви гиперболы: ь MN = -х а = -vx ь а 2 - ь а2 = -(х а vx ~-2 - а2 ) Ь (х - ./х 2 - а 2 )(х + ../х 2 - а 2 ) а х + ./х 2 - а 2 ь = а2 а х + ../х 2 - а 2 81 аЬ х+./х 2 -а 2 М ' L Рис. 55 Рис. 56 Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; числитель - есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка М N стремится к нулю. Так как М N больше расстояния d от точки М до прямой, то d и подавно стремится к нулю. Итак, прямые у= ±Q.x а являются асимптотами гиперболы (11.9). х х Рис. 57 Рис. 58 Ji При построении гиперболы (11.9) целесообразно сначала построить основной прямоугольник гиперболы (см. рис. 57), провести пря мые, проходящие через противоположные вершины этого прямоуголь ника, - асимптоты гиперболы и отметить вершины А 1 и А 2 гиперболы. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптотами которой служат оси коорАинат ~ Гипербола (11.9) называется равносmоронкеii, если ее полуоси равны (а = Ь). Ее каноническое уравнение х2 - у2 = а2. (11.12) Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения у=х и у=-х и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов. Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой системе координат Ох'у' (см. рис. 58), полученной из старой поворотом осей координат 82 = -1· Используем формулы поворота осей координат (их на угол а вывод показан на с. 63): х = х' cosa -у' sina, у = х' sin а + у' cos а. Подставляем значениях и у в уравнение (11.12): -47!") - у SШ -47!")) 2 - ( Х Slll -47!") +у COS -47!")) 2 =а 2 , ( Х 1 COS ( 1 • ( 1 • 1 2 1 , 2 2 2(х + у ) - 2(-х + у ) = а , 1 где k = 1 1 ( 1 х , ( а2 , k , · у = 2 , или у = х' , а2 2 . Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу являются асимптотами, будет иметь вид у = k. х Дополнительные сведения о гиперболе ~ Эксценmрисиmетом гиперболы (11.9) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси ги перболы, обозначается с:: > а, то эксцентриситет гиперболы боль > 1. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Так как для гиперболы с ше единицы: с: Действительно, из равенства (11.10) следует, что ~ = ~ - 1, т. е. ~ =~ис:= а J1+ (Ю2· а Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение О. ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основ а ной прямоугольник. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен тельно, ,/2. Действи- с: = ~ = J а2 + а2 = ~ = J2. а а У--;;? Фокалънъ~е радиусъt r 1 = J(x + с) 2 + у 2 и r 2 = J(x - с) 2 + у 2 для точек правой ветви гиперболы имеют вид r 1 = с:х для левой - + а и r 2 = Е:Х - а, а ri = -(Е:х +а) и r2 = -(с:х - а). Прямые х = ± Q называются директрисами гиперболы. Так как с: для гиперболы с: > 1, то Q с: < а. Это значит, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая между центром и левой вершиной. 83 ДиреКТрИСЫ ГИПербОЛЫ ИМеЮТ ТО Же СВОЙСТВО а= е, ЧТО И ДИрек ТрИСЫ эллипса. 2 2 Кривая, определяемая уравнением~ - ~ = 1, также есть гипербола, действительная ось 2Ь которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2а - на оси Ох. На рисунке 59 она изображена пунктиром. х __ ,., ...---------·· -- -Рис. 59 2 2 2 2 Очевидно, что гиперболы ~ - ~ = 1 и ~ - ~ = 1 имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются соnряже1ти.ми. 11.5. Парабола Каноническое уравнение параболы Парабо.лоtl. называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисоii. Расстояние от фокуса F до директрисы называется пара.метром параболы и обозначается через р (р >О). Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно дирек трисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О рас положим посередине между фокусом и директрисой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус F имеет координаты ( ~; О), а уравнение директрисы имеет вид х =-~,или х +~=О. 84 Пусть М(х; у) - произвольная точка параболы. Соединим точку М с F. Проведем отрезок М N перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF = MN. По формуле расстояния между двумя точками находим: МF = v(х ю у2, v(х ю у2 v(х ю - 2 + Следовательно, - 2 + = + 2. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим 2 2 х2 - рх + Т + у2 = х2 + рх + Т' т. е. (11.13) Уравнение (11.13) называется канони'Ческим уравнением параболы. Па рабола есть линия второго порядка. у :е. у 2 N о о х--2. 2 х х F(~;O) Рис. 60 Рис. 61 Исследование форм параболы по ее уравнению 1. В уравнении (11.13) переменная у входит в четной степени, зна чит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью симметрии параболы. 2. Так как р > О, то из (11.13) следует, что х ~ О. Следовательно, парабола расположена справа от оси Оу. 3. При х = О имеем у = О. Следовательно, парабола проходит через начало координат. 4. При неограниченном возрастании х модуль у также неограничен но возрастает. Парабола у 2 = 2рх имеет вид (форму), изображенный на рисунке 61. Точка 0(0; О) называется вершино11 параболы, отрезок F М = r называется фокальним радиусом точки М. 85 Уравнения у 2 = -2рх, х 2 = 2ру, х 2 = -2Р'У (р >О) также опреде ляют параболы, они изображены на рисунке 62. у у х о у2 = х2 -2рх х = 2ру х 2 = -2P'!J Рис. 62 Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена у = Ах 2 + +Вх+С, где А =j:. О, В и С любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения. 11.б. Общее уравнение линий второго порядка Уравнения кривых второго поряАка с осями симметрии, параллельными координатным осям Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке 01(XoiYo), оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны а и Ь. Поместим в центре эллипса 0 1 начало новой системы координат 0 1 х 1 у 1 , оси которой 0 1 х 1 и 0 1 у 1 па раллельны соответствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними напра вленны (см. рис. 63). В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид х ,2 у ,2 ~+ Ь2=1. Так как х' = х-х 0 , у'= х -у 0 (формулы параллельного переноса, см. с. 62), то в старой системе координат уравнение эллипса запишется в виде (х - хо) 2 а2 + (у - Уо) 2 _ 1 ь2 - . Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром в точке О1(хо;Уо) и полуосями а и Ь (см. рис. 64): (х - хо) 2 _ (у - Уо) 2 = 1 а2 ь2 . И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 65, имеют соответ ствующие уравнения. 86 у у у' ь уо х' х' Уо 01 х о х о Хо Рис. 63 у Рис. 64 у' у у' х' х' Уо Уо 01 х о х о Хо (у -уо) 2 = 2р(х-хо) Хо (у - Уо) 2 = -2р(х - хо) у у у' х' yot-----...---х х' х 0 Хо (х - хо) 2 = 2р(у - Уо) (х - хо) 2 = -2р(у - Уо) Рис. 65 Уравнение Ах2 + Су2 + 2Dx + 2Еу + F =О Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружно сти (х - х0 ) 2 +(у -у0 ) 2 = R 2 после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные чле ны, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида Ах 2 + Су 2 + 2Dx + 2Еу + F = О, (11.14) где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно. Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет од ну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго по рядка? Ответ дает следующая теорема. 87 Теорема 11.2. Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А = С), либо эллипс (при А · С > О), либо гиперболу (при А·С <О), либо параболу (при А·С =О). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) липс (окружность), для гиперболы для параболы - в точку или мнимый эл в пару пересекающихся прямых, в пару параллельных прямых. Пример 11.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением 4х 2 + 5у 2 + 20х - ЗОу + 10 =О. Q Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс (А ·С = 4·5 > >О). Действительно, проделаем следующие преобразования: 4 ( х 2 + 5х + 2]) + 5(у 2 - бу + 9) - 25 - 45 + 10 = О, 4(х+Ю 2 (х+~) 2 + (у-З)2 =1. +5(у-3) 2 =60, 15 12 Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в 0 1 ( - ~; полуосями а = v115 и Ь = -/I2. 3) и 8 Пример 11.2. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением х 2 + 10х - 2у + 11 =О. Q Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С= О). Дей ствительно, х 2 +10х + 25 - 2у + 11 - 25 =О, (х + 5) 2 = 2(у + 7). (х + 5) 2 = 2у + 14, Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке 01(-5;-7) и р = 1. • Пример 11.3. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением 4х 2 -у 2 + 8х - 8у - 12 =О (А· С= -4 <О). Q Решение: Преобразуем уравнение: 4(х 2 + 2х + 1) - (у 2 + 8у + 16) - 4 + 16 - 12 =О, 4(х + 1) 2 - (у+ 4) 2 =О, (2(х + 1) +(у+ 4)) · (2(х + 1) - (у+ 4)) =О, (2х +у+ 6)(2х - у - 88 2) =О. Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые 2х +у +6 = О и 2х -у- 2 =О. 8 Общее уравнение второго поряАка Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвестными: Ах 2 + 2Вху + Су 2 + 2Dx + 2Еу + F = О. (11.15) Оно отличается от уравнения (11.14) наличием члена с произведением координат (В =f. О). Можно, путем поворота координатных осей на угол а, преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал. Используя формулы поворота осей (с. 63) х = х 1 cosa -у 1 sina, у= х 1 sina +у' cosa, выразим старые координаты через новые: А(х' cosa -у' sina) 2 + 2В(х' cosa - у 1 sina)(x' sina + у 1 cosa)+ + С(х' sin а+ у 1 cosa) 2 + 2D(x 1 cosa - у' sin а)+ + 2Е(х' sina +у' cosa) + F =О. Выберем угол а так, чтобы коэффициент при х' · у' обратился в нуль, т. е. чтобы выполнялось равенство -2А cos а sin о:+ 2B(cos 2 о: - sin 2 о:) + 2С sin а cos о: = О, т. е. (С - А) sin 2о: + 2В cos2o: =О, т. е. (11.16) 2В cos 2о: = (А - С) sin 2о:. Отсюда 2В tg2o: =А- с· (11.17) Таким образом, при повороте осей на угол о:, удовлетворяющий условию (11.17), уравнение (11.15) сводится к уравнению (11.14). Вывод: общее уравнение второго порядка (11.15) определяет на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следу ющие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу. Заме'Ч.шние: Если А= С, то уравнение (11.17) теряет смысл. В этом случае cos2o: =О (см. (11.16)), тогда 2а = 90°, т. е. о:= 45°. Итак, при А = С систему координат следует повернуть на 45°. Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 1 Лекции 10-121 § 12. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 12.1. Основные понятия Поверхность и ее уравнение ~ Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке 0 1 есть гео метрическое место всех точек пространства, находящихся от точки 0 1 на расстоянии R. Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволя ет установить взаимно однозначное соответствие между точками про странства и тройками чисел х, у и z - их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, свя зывающего координаты всех точек поверхности. ~ Уравнением данноit поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение F(x, у, z) =О с тремя переменными х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты то чек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и z в уравнении поверхности называются текущими координатами точек поверх ности. Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка М1 ( х 1 ; у 1 ; z1) на данной поверхно сти, достаточно подставить координаты точки М1 в уравнение поверх ности вместо переменных: если эти координаты удовлетворяют урав нению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют - не лежит. Уравнение сферы Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке 01 (хо; Уо; zo). Согласно определению сферы расстояние любой ее точки М(х; у; z) от = центра О1(хо; Уо; zo) равно радиусу R, т. е. О1М R. Но О1М где О1М = (х - хо; у - уо; z - zo). Следовательно, J(x - хо) 2 + (у - Уо) 2 + (z - zo) 2 = R 90 = I01MI, или / (х - хо) 2 + (у - Уо) 2 + (z - zo) 2 = R 2 • , Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере. Если центр сферы 0 1 совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид х 2 + у 2 + z 2 = R2 • Если же дано уравнение вида F(x; у; z) = О, то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность. Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение F(x; у; z) =О может определять не поверхность, а точку, ли нию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят, «поверхность вырождается». Так, уравнению 2х 2 + у 2 + z 2 + 1 = О не удовлетворяют никакие действительные значениях, у, z. Уравнению О· х 2 + у 2 + z 2 =О удовле творяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ох (из уравнения следует: у= О, z =О, ах - любое число). Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач: 1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти урав нение этой поверхности. 2. Дано уравнение F(x; у; z) = О. Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением. Уравнения линии в пространстве Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересе чения двух поверхностей (см. рис. 66) или как геометрическое место точек, общих двум поверхностям. Если F 1 (x;y;z) =О и F 2 (x;y;z) =О стей, определяющих линию уравнения двух поверхно L, то координаты точек этой линии удо влетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными: { ~ Fi(x;y;z) =О, F2(x; у; z) =О. (12.1) Уравнения системы (12.1) называются уравнениями. ли.ни.и. в у- о пространстве. Например, - ' есть уравнения оси Ох. { z=O Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию дви жения точки (см. рис. 67). В этом случае ее задают векторн:ы.м уравнение.м r = r(t) 91 (12.2) z Fi (х; у; z) =0 z M(x;y;z) у у х Рис. 66 Рис. 67 или параметри-ческими уравнени.я.ми { = y(t), х = x(t), у z = z(t) проекций вектора (12.2) на оси координат. Например, параметрические уравнения винтовоi~ .линии имеют вид { х = Rc~st, у= Rsшt, Z - - At • 27Г Если точка М равномерно движется по образующей кругового ци линдра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг оси, то точка М описывает винтовую линию (см. рис. 68). 12.2. Уравнения плоскости в пространстве Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в про странстве Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения. Уравнение плоскости, прохоАящей через Аанную точку перпенАикулярно данному вектору Пусть в пространстве М0 (х 0 ; у0 ; z0 ) и вектором Oxyz плоскость Q задана точкой n = (А; В; С), перпендикулярным этой плос кости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор МоМ = (х - хо; у - Уо; z - 92 zo). z h у х Рис. 68 Рис. 69 При любом расположении точки М на плоскости Q векторы nи М0 М взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: n · М0 М = О, т. е. / А(х - хо) + В(у - Уо) + C(z - zo) =О., (12.3) Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравне нию не удовлетворяют (для них ~ n · М0 М "#О). Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, проходящеii. через данную точку Мо(хо; уо; zo) перпендикулярно вектору n = (А; В; С). Оно первой степени относительно текущих z. Вектор n = (А; В; С) называется нормальным координат х, у и вектором плоскости. Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (12.3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку М0 . Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкоt/, п.лоскостеti,, а уравнение (12.3) - уравнени ем связки п.лоскостеt/,. Общее уравнение плоскости Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными х, у и z: Ах+ Ву+ Cz 93 + D = О. (12.4) Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например В f. О, перепишем уравнение (12.4) в виде А(х-О)+в(у+ ~) +C(z-0) =0. (12.5) Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что урав нения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным вектором n = (А; В; С), проходящей через точку М1 (О; ~;О). - ~ Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Oxyz не которую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравне нием n,11,ocкocmu. Частные случаи общего уравнения плоскости: 1. Если D = О, то оно принимает вид Ах+ Ву+ Cz =О. Этому уравнению удовлетворяет точка 0(0; О; О). Следовательно, в этом слу чае nлоскостъ проходит 'Через на-чало координат. 2. Если С = О, то имеем уравнение Ах+ Ву+ D = О. Нормальный n = (А; В; О) перпендикулярен оси Oz. Следовательно, nлос костъ параллелъна оси Oz; если В= О- параллельна оси Оу, А= 0- вектор параллельна оси Ох. 3. Если С = D = О, то плоскость проходит через 0(0; О; О) парал = О проходит 'Через осъ Oz. Аналогично, уравнениям Ву+ Cz =О и Ах+ Cz =О отвечают плоско лельно оси Oz, т. е. плоскость Ах+ Ву сти, проходящие соответственно через оси Ох и Оу. 4. Если А= В= О, то уравнение (12.4) принимает вид Cz + D =О, т. е. z = Плоскость параллелъна плоскости Оху. Аналогично, -g. уравнениям Ах+ D = О и Ву+ D = О отвечают плоскости, соответ ственно параллельные плоскостям Oyz и Oxz. 5. Если А =В = D =О, то уравнение (12.4) примет вид Cz = О, т. е. z =О. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у= О - уравнение плоскости Oxz; х =О - уравнение плоскости Oyz. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки M1(x1;Y1;z1), M2(x2;y2;z2) и Мз(хз;уз;zз), не лежащие на одной прямой. Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и составим = = векторы М1М (х-х1; у-у1; z - z1), М1М2 (х2 - X1iY2 -у1; z2 -z1), М1Мз = (хз - Х1; Уз - У1; zз - z1). Эти векторы лежат на плоскости Q, следовательно, они компланарны. Используем условие компланарно сти трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем 94 Х-Х1 у -у1 Z - Z1 Х2 - Х1 У2 - У1 Z2 - Z1 Х3 - Уз - У1 Z3 - Z1 Х1 (12.6) = Q. Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проход.ящеi1 'Ч,ерез три дшнные то-чки. Уравнение плоскости в отрезках Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Oz соответственно отрезки а, Ь и с, т. е. проходит через три точки А(а; О; О), В(О; Ь; О) и С(О; О; с) (см. рис. 70). Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем х-а у z -а Ь О -а О с =О. + abz +асу = О, т. е. Ьсх +асу + z а+ ь +с = 1. (12.1) Раскрыв определитель, имеем Ьсх - аЬс + abz = аЬс или х у z с в у х Рис. 71 Рис. 70 Уравнение (12.7) называется уравнением n,11,ocкocmu в отрез ках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости. Нормальное уравнение плоскости Положение плоскости Q вполне определяется заданием единично го вектора ё, имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на плоскость из начала координат, и длиной р этого перпендикуляра (см. рис. 71). 95 Пусть ОК = р, а а, (3, 'У - углы, образованные единичным век тором ё с осями Ох, Оу и Oz. Тогда ё = (cosa; соs(З; COS"f). Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор f= ОМ= (x;y;z). При любом положении точки М на плоскости Q проекция радиусвектора f на направление вектора ё всегда равно р: прё r·ё=рили r = р, т. е. lr·ё-p= о.1 (12.8) Уравнение (12.8) называется нормалънъtм уравненttем плоскостtt в векторноii. форме. Зная координаты векторов f и ё, уравнение (12.8) перепишем в виде 1xcosa + усоs(З + zcos"( - р = 0.1 ~ Уравнение (12.9) (12.9) называется нормал:ьним уравнением плос кости в кoopiJuнamнou форме. Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к нормальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4) на нормирующий множитель.>.= ± J А 2 1В 2 + 02 , где знак берется противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плос кости. 12.3. Плоскость. Основные задачи Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей Пусть заданы две плоскости Q 1 и Q2: + В1у + C1z + D1 =О, А2х + В2у + C2z + D2 = О. А1х ~ Под углом ме-;нсiJу nлоскост.ями Q 1 и Q2 понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Угол 'Р между нормальными векторами n1 = (А1; В1; С1) и n2 = (А 2 ; В 2 ; С2 ) плоскостей Q1 и Q2 равен одному из этих углов (см. рис. 72) . п оэтому cos <р = I fi1I . fi2 f f или n1 · n2 COS!.p = А1А2 + В1В2 + С1С2 vAf + Bt + Ct . vА~ + в~ + с5 . Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части. Если плоскости Q1 и Q2 перпендикулярны (см. рис. 73, а), то та ковы же их нормали, т. е. fi 1 J_ n2 (и наоборот). Но тогда fi1 · n2 = О, 96 б а Рис. 73 Рис. 72 т. е. А 1 А 2 + В1В2 + С1С2 =О. Полученное равенство есть условие пер пендикулярности двух плоскостеiJ. Q1 и Q2 . Если плоскости Q 1 и Q 2 параллельны (см. рис. 73, б), то будут параллельны и их нормали n1 и n2 (и наоборот). Но тогда, как известно, координаты векторов пропорциональны: 4; = ~ = ~. Это и есть условие параллельности двух плоскостей Q1 и Q2 • Расстояние от точки до плоскости Пусть задана точка Мо(хо; Уо; zo) и плоскость Q своим уравнением Ах+ Ву+ Cz + D = О. Расстояние d от точки Мо до плоскости Q находится по формуле d = IAxo + Вуо + Czo + DI . ./А2 + в2 +с2 Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки Мо(хо;Уо) до прямой Ах+ Ву+ С= О (см. с. 73). Расстояние d от точки Мо до плоскости Q равно модулю проек ции вектора М1 М0 , где M 1(x 1;y1;z1) -произвольная точка плоскости Q, на направление нормального вектора n = (А; В; С) (см. рис. 74). Следовательно, d=I п _ММ I= 1f:ZJifo·n1= l(xo-x1)A+(yo-Y1)B+(zo-z1)CI = Рп 1 о lnl -./ А2+В2+с2 IAxo+Byo+Czo-Ax1 -Ву1 -Cz1I =----vr=A:;;;;2=+=в::=;2;;:=+=c~2---- A так как точка М1(х1; у1; z1) принадлежит плоскости Q, то Ах1 + Ву1 + Cz1 + D =О, т. е. D = -Ах1 - Ву1 - Cz1. IAxo + Вуо + Czo + DI ./ · . Отметим, что если плоскость Q vA2 +в2 +с2 задана уравнением х cos а + у cos (3 + z cos 'У - р = О, то расстояние от Поэтому d = 97 точки М0 (х 0 ; у0 ; z0 ) до плоскости Q может быть найдено по формуле d = lxo cosa + Уо соs(З + zo cos1 - PI· L z а х х Рис. 74 Рис. 75 12.4. Уравнения прямой в пространстве Векторное уравнение прямой ~ Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку М0 на прямой и вектор S, параллельный этой прямой:. Вектор S называется направляющим вектором npямoii. Пусть прямая L задана ее точкой: Мо(хо; Yoi zo) и направляющим векто ром S = (т; п; р). Возьмем на прямой: L произвольную точку М (х; у; z). Обозначим радиус-векторы точек М0 и М соответственно через fo и f. Очевидно, что три вектора 0 , f и М0 М связаны соотношением r (12.10) f= fo +МоМ. Вектор М0 М, лежащий: на прямой: L, параллелен направляюще му вектору S, поэтому М0 М = tS, где t - скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в за висимости от положения точки М на прямой (см. рис. 75). Уравнение (12.10) можно записать в виде /r= ro +ts. / ~ Полученное уравнение называется (12.11) вепmорн'Ьl.М уравнением np.ямoii.. Параметрические уравнения прямой Замечая, что f = (x;y;z), fo = (x 0 ;yo;zo), tS = (tm;tn;tp), уравне ние (12.11) можно записать в виде xi + yJ + zk = (хо + tm)i + (Уо + tn)J + (zo + tp)k. 98 Отсюда следуют равенства: { х =хо+ mt, у= Уо +nt, Z = Zo + pt. (12.12) Они называются параметри'Ческими уравнениями прямоii, в простран стве. Канонические уравнения прямой Пусть § = (т; п; р) и Мо(хо; уо; zo) - направляющий вектор прямой L точка, лежащая на этой прямой. Вектор МоМ, соеди няющий точку М0 с произвольной точкой М (х; у; z) прямой L, паралле лен вектору§. Поэтому координаты вектора М0 М =(х-х 0 ; у-у0 ; z-z0) и вектора§= (т; п;р) пропорциональны: \7=~=7·\ ~ Уравнения (12.13) (12.13) называются канони'Ческими уравнени.ями npямoit в пространстве. Заме'Чания: 1) Уравнения (12.13) можно было бы получить сразу из параметрических уравнений прямой (12.12), исключив параметр t. Из уравнений (12.12) находим х - хо у - Уо z - zo - - = - - = - - = t. т п р 2) Обращение в нуль одного из знаменателей уравнений (12.13) означает обращение в нуль соответствующего числителя. Например, уравнения х 32 = У~ 4 = z 0 1 задают прямую, про ходящую через точку М0 (2; -4; 1) перпендикулярно оси Oz (проекция вектора§ на ось Oz равна нулю). Но это означает, что прямая лежит в плоскости z = 1, и поэтому для всех точек прямой будет z - 1 =О. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки Пусть прямая L проходит через точки М1(х1 ;у1; z1) и М2(х2; у2; z2). В качестве направляющего вектора § можно взять вектор М1 М 2 = = (х2 -х1;У2 -у1; z2 - z1), т. е. S = М1М 2 (см. рис. 76). Следовательно, = х2 - Х1 , п = У2 - У1, р = z2 - z1. Поскольку прямая проходит через точку M 1 (x 1 ;y1 ;z1 ), то, согласно уравнениям (12.13), уравнения прямой L имеют вид т Х - Х1 = У - У1 99 Z - Z1 =--- (12.14) Уравнения (12.14) называются уравненu.ямu npямoii., npoxoiJя щeii. через две данwые mо-чкu . z t;~L . о А х Рис. 76 Рис. 77 Общие уравнения прямой Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений { А1х + В1у + C1z + Di =О, А2х (12.15) + В2у + C2z + D2 = О. Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость. Если плос = = кости не параллельны (координаты векторов n1 (А1; В 1 ; С1) и n2 = (А 2 ; В2 ; С2 ) не пропорциональны), то система (12.15) определяет пря мую L как геометрическое место точек пространства, координаты ко торых удовлетворяют каждому из уравнений системы (см. рис. 77). Уравнения (12.15) называют общими уравнения.ми пр.я,.м,оii. От общих уравнений (12.15) можно перейти к каноническим урав нениям (12.13). Координаты точки М0 на прямой L получаем из систе мы уравнений (12.15), придав одной из координат произвольное значе ние (например, z =О). Так как прямая L перпендикулярна векторам n1 и n 2 , то за напра вляющий вектор § прямой L можно принять векторное произведение § = n1 х fi2 = i j k Ai В1 С1 А2 В2 С2 Заме'Чание: Канонические уравнения прямой легко получить, взяв две какие-либо точки на ней и применив уравнения (12.14). 100 Пример 12.1. Написать канонические уравнения прямой L, за данной уравнениями - z + 1 = О, { х2х+у - у - Зz + 5 = О. Q Решение: Положим z = О и решим систему { х +у= -1, Находим 2х -у= -5. точку М1(-2; 1; О) Е L. Положим у= О и решим систему {x-z=-l, 2x-3z=-5. Находим вторую точку М2 (2; О; 3) прямой L. Записываем уравнение прямой L, проходящей через точки М1 и М2 : х+2 у-1 z 4 -1 3 • 12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи Угол межАУ прямыми. Условия параллельности и перпенАикулярности прямых Пусть прямые L 1 и L2 заданы уравнениями Z - Z1 Р1 и у-у2 n2 т2 Р2 Под углом между этими прямыми по нимают угол между направляющими векторами S1 = (m1; n1; Р1) и S2 = Рис. 78 = (m2;n2;P2) (см. рис. 78). Поэтому, по известной формуле для косинуса угла между векторами, получаем _ 81 · 82 coscp - IB1l · IS2I или (12.16) Для нахождения острого угла между прямыми L 1 и L 2 числитель пра вой части формулы (12.16) следует взять по модулю. Если прямые L 1 и L 2 перпендику.лярны, то в этом и только в этом случае имеем coscp =О. Следовательно, числитель дроби (12.16) равен нулю, т. е. m1m2 + n1n2 + Р1Р2 =О. 101 Если пр.я.м:ые L 1 и L 2 пара.л.ле.лън:ы, то параллельны их направля ющие векторы S 1 и S2 • Следовательно, координаты этих векторов про порциональны, т. е. :!!ll. = !!.1. = Е1... m2 n2 Р2 12.2. Найти угол между прямыми Пример х у-2 2 -1 z+2 3 +у - z - 1 =О, { 2х 2х - у + 3z + 5 = О. и 0 Решение: Очевидно, S1 = (2; -1; 3), а S2 = n1 xn2, где n1=(2;1; -1), n2 = (2; -1; 3). Отсюда следует, что S2 = (2; -8; -4). Так как S1 · S2 = = 4 + 8- 12 =о, то 'Р = 90°. • Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости Пусть прямые L 1 и L 2 заданы каноническими уравнениями Z - z Z1 Р1 и Z - Их у направляющие векторы соответст венно S1 = (m1;n1;P1) и S2 = (m2;n2;P2) (см. рис. 79). х Прямая Рис. 79 Z2 L1 M1(x1;y1;z1), проходит через радиус-вектор точку которой обозначим через r 1 ; прямая L 2 проходит через точку М2(х2; у2; z2), радиус-вектор которой обозначим через f2. Тогда f2 - f1 = М1М2 = (х2 - х1;У2 -y1;z2 - z1). Прямые L 1 и L 2 лежат в одной плоскости, если векторы S1 , S2 и М1 М2 = r 2 -r1 компланарны. Условием компланарности векторов явля ется равенство нулю их смешанного произведения: (r2 - r 1 )S1 S2 = О, т. е. Х2 - Х1 У2 - Yl Z2 - Z1 Р1 =0. Р2 При выполнении этого условия прямые L 1 и L2 лежат в одной плос кости, то есть либо пересекаются, если S2 f. ЛS 1 , либо параллельны, если S1 11 S2. 102 12.б. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости Пусть плоскость Q задана уравнением Ах + Ву + С z + D = О, а прямая L уравнениями х - Хо = У...:::...11.о. = z - zo . т ~ п р Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плос кость. Обозначим через <р угол между плоскостью Q и прямой L, а через() - угол между векторами n = (А;В;С) и S = (т;п;р) (см. рис. 80). Тогда cos() = ,:i: ~I · Найдем синус угла <р, считая <р ~ ~: sinip = sin(~ - ()) = cos(). И так как sin<p ~О, получаем sin<p = \Ат+ Вп + Ср\ J А2 + в2 + с2 . ..jm2 + п2 + р2 . (12.17) Если прямая L параллельна плоскости Q, то векторы пендикулярны (см. рис. 81), а потому S · n =О, т. е. n и S пер Am+Bn+Cp=O ~ является условием параллельности прямой и плоскости. L Q Q Рис. 80 Рис. 81 L Рис. 82 Если пряма.я L перпендикулярна плоскости Q, то векторы n и S параллельны (см. рис. 82). Поэтому равенства ~ А В С т n р являются условия.ми nерnендuку.аярносmи прямой и плоско сти. 103 Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости Пусть требуется найти точку пересечения прямой х-хо у-уо т п с плоскостью = z-zo (12.18) р (12.19) Ax+By+Cz+D =0. Для этого надо решить систему уравнений (12.18) и (12.19). Проще все го это сделать, записав уравнения прямой (12.18) в параметрическом виде: { х =хо +тt, у= Уо + nt, Z = Zo + pt. Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости (12.19), + тt) + В(уо + nt) + C(zo + pt) + D =О или t(Ат + Вп + Ср) + (Ахо + Вуо + Czo + D) =О. (12.20) Если прямая L не параллельна плоскости, т. е. если Ат+ Вп + Ср # О, получаем уравнение А(хо то из равенства (12.20) находим значение t: t + Вуо + С zo + D . = - АхоАт+Вn+Ср Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения пря мой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью. Рассмотрим теперь случай, когда Ат+ Вп + + + + Ср =О (L 11 Q): # а) если F = Ах0 Ву0 Czo D О, то прямая L параллель на плоскости и пересекать ее не будет (уравнение (12.20) решения не имеет, так как имеет вид О· t + F =О, где F #О); б) если Ахо + Вуо + Czo + D = О, то уравнение (12.20) имеет вид t · О +О = О; ему удовлетворяет любое значение t, любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости. Заключаем: пря мая лежит в плоскости. Таким образом, одновременное выполнение равенств { Ат+Вn+Ср =О, Ахо ~ + Вуо + С zo + D = О является условием nринадле-:нсности npямoii. плоскости. 12. 7. Цилиндрические поверхности ~ Поверхность, образованная движением прямой L, которая переме щается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пере секая каждый раз некоторую кривую К, называется ци.л,индрическоiJ 104 поверхностью или цил,индром. При этом кривая К называется на nравJt.Яющеit цилиндра, а прямая L - его образующеit (см. рис. 83). Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляю щие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости. Пусть в плоскости Оху лежит некоторая линия К, уравнение ко торой F(x;y) =О. (12.21) Построим цилиндр с образующими параллельными оси О z и направля ющей К. Теорема 12.1. Уравнение цилиндра, образующие которого парал лельны оси Oz, имеет вид (12.21), т. е. не содержит координаты z. z L •М х; к ;z) -у ...J._.L.J_L._i...N;tr-к Рис. 83 Рис. 84 О Возьмем на цилиндре любую точку М(х; у; z) (см. рис. 84). Она ле жит на какой-то образующей. Пусть N - точка пересечения этой обра зующей с плоскостью Оху. Следовательно, точка N лежит на кривой К и ее координаты удовлетворяют уравнению (12.21). Но точка М имеет такие же абсциссу х и ординату у, что и точка N. Следовательно, уравнению (12.21) удовлетворяют и координаты точки М(х; у; z), так как оно не содержит z. И так как М - это любая точка цилиндра, то уравнение (12.21) и будет уравнением этого цилиндра. 8 Теперь ясно, что F(x; z) = О есть уравнение цилиндра с образую щими, параллельными оси Оу, а F(y; z) =О - с образующими, парал лельными оси Ох. Название цилиндра определяется названием напра вляющей. Если направляющей служит эллипс. х2 У2 а2 + ь2 = 1 в плоскости Оху, то соответствующая цилиндрическая поверх ность называется эл,л,иnтическим цид,индром (см. рис. 85). 105 z у у Рис. 86 Рис. 85 § Частным случаем эллиптического цилиндра является круговоi1. цилиндр, его уравнение х 2 + у 2 = R2 • Уравнение х 2 = 2pz опреде ляет в пространстве nараболи-ч.ескиi1. цилиндр (см. рис. 86). Уравнение х2 у2 а2 - ь2 = 1 определяет в пространстве гиnерболи-ч.ескиi1. цилиндр (см. рис. 87). Все эти поверхности называются цилиндрами второго поряд ка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относи тельно текущих координат х, у и z. 12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностъю вра щения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Оу z. Уравнения этой кривой запишутся в виде { F(y;z) =О, (12.22) х=О. Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой L во круг оси Oz. Возьмем на поверхности произвольную точку М(х; у; z) (см. рис. 88). Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oz, и обозначим точки пересечения ее с осью Oz и кривой L соответ ственно через 01 и N. Обозначим координаты точки N через (О; У1; z1). Отрезки О1М и 0 1N являются радиусами одной и той же окружности. Jx 2 + у 2 , 01N = IY1I· Следователь Поэтому О1М = 01N. Но О1М = 2 + у 2 или У1 = 2 + у 2 • Кроме того, очевидно, z1 = z. но, IY1I = Jx ±Jx 106 z ,,.- --- -:-, - -{-•M(x;y;z) ... 1 у х ...... 1" ----~' у х Рис. 87 Рис. 88 Так как точка N лежит на кривой L, то ее координаты удовлетво ряют уравнению (12.22). Стало быть, F(y 1 ;z 1 ) =О. Исключая вспомо гательные координаты у 1 и z 1 точки N, приходим к уравнению F(±Jx2 + у 2 ; z) =О. Уравнение (12.23) - (12.23) искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точки М этой поверхности и не удо влетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения. Как видно, уравнение (12.23) получается из (12.22) простой заме ной у на ±Jx2 + у 2 , координата z сохраняется. Понятно, что если кривая (12.22) вращается вокруг оси Оу, то уравнение поверхности вращения имеет вид F(y; ±Jх 2 + z 2 ) = О; если кривая лежит в плоскости Оху (z =О) и ее уравнение F(x;y) =О, то уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси Ох, есть F(x; ±Jy2 + z2) =О. ~ Так, например, вращая прямую у= z вокруг оси Oz (см. рис. 89), получим поверхность вращения (ее уравнение ± х2 ~ + у2 = J х 2 + у 2 = z или z 2 ). Она называется конусом второго порядка. Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и пересекающими данную плоскую линию L (не проходящую через Р), называется конu-ч.ескоu nоверхносmъю или конусом. При этом линия L называется наnравл.яющеu конуса, точка Р - ее вершиноu, а прямая, описывающая поверхность, назы вается образующеu. 107 z у х х Рис. 89 Рис. 90 Пусть направляющая L задана уравнениями { а точка Р(хо; уо; zo) - F1(x;y;z) =О, (12.24) F2(x; у; z) =О, вершина конуса. Найдем уравнение конуса. Возьмем на поверхности конуса произвольную точку М (х; у; z) (см. рис. 90). Образующая, проходящая через точки Р и М, пересечет на правляющую L в некоторой точке N (х 1 ; у 1 ; z1). Координаты точки N удовлетворяют уравнениям (12.24) направляющей: { F1(x1;y1;z1) = 0, (12.25) F2(x1;y1;z1) =О. Канонические уравнения образующих, проходящих через точки Р и N, имеют вид Х -Хо ---= Х1 - Хо у-уо У1 - Уо Z - Zo (12.26) =--Z1 - Zo Исключая х1, У1 и z 1 из уравнений (12.25) и (12.26), получим уравнение конической поверхности, связывающее текущие координаты х, у и Пример 12.3. z. Составить уравнение конуса с вершиной в точке 2 2 0(0;0;0),если направляющей служит эллипс?+~= 1, лежащий в плоскости z = с. О Решение: Пусть М ( х; у; z) уравнения образующих, любая точка конуса. Канонические проходящих через точки (О; О; О) и точку (x1;Y1;z1) пересечения образующей ОМ с эллипсом будут~= JL = Х1 108 Yl =~-Исключим х 1 , у 1 и z 1 из этих уравнений и уравнения Z1 (12.27) (точка (x 1 ;y 1 ;z1 ) лежит на эллипсе), z 1 =с. Имеем: ~ = ~, JL = ~ Х1 С У1 С Отсюда Х1 = с· g;_ и У1 = с· У... Подставляя значения Х1 и У1 в уравнение z z эллипса (12.27), получим с2. х2 с2. у2 --+-=1 z2. а2 z2. ь2 х2 или у2 z2 +ь2- -- а2 с2. Это и есть искомое уравнение конуса. • 12.9. Канонические уравнения поверхностей второго порядка По заданному уравнению поверхности второго порядка (т. е. по верхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат яв ляется алгебраическим уравнением второй степени) будем определять ее геометрический вид. Для этого применим так называемый метод се'Чениft: исследование вида поверхности будем производить при помо щи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями, им параллельными. Эллипсоид Исследуем поверхность, заданную уравнением (12.28) Рассмотрим сечения поверхности (12.28) с плоскостями, параллельны ми плоскости хОу. Уравнения таких плоскостей: z = h, где h - любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя уравнениями 2 2 h2 { ~2+~=1- ~' (12.29) z = h. Исследуем уравнения (12.29): 2 2 а) Если lhl > с, с > О, то ~ + ~ < О. Точек пересечения поверхности (12.28) с плоскостями z = h не существует. 109 2 2 б) Если lhl = с, т. е. h = ±с, то ~ + ~ = О. Линия пересечения (12.29) вырождается в две точки (О; О; с) и (О; О; -с). Плоскости z =с и z = -с касаются данной поверхности. lhl <с, то уравнения (12.29) можно переписать в виде: в) Если Как видно, линия пересечения есть у эллипс с полуосями (см. рис. 91) [h2 х Ь1 = ьу J. - Рис. 91 При этом чем меньше --;?· lhl, тем больше полуоси ai и Ь1. При h =О они до стигают своих наибольших значений: а 1 примут вид 2 { = а, Ь 1 = Ь. Уравнения (12.29) 2 ~+~=1, h=O. Аналогичные результаты получим, если рассмотрим сечения поверх ности (12.28) плоскостями х = h и у = h. ~ Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить по- верхность (12.28) как замкнутую овальную поверхность. Поверх ность (12.28) называется эллипсоидом. Величины а, Ь и с называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид назы вается mрехосним; если какие-либо две полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения; если а то - в сферу х 2 у2 z 2 = а2 • + + = Ь = с, Однополостный гиперболоид Исследуем поверхность, заданную уравнением х2 2а у2 z2 + ь2 - 2= 1· с Пересекая поверхность (12.30) плоскостью z = ресечения, уравнения которой имеют вид 2 { 2 h2 ~+~ = 1+?", z = h, 110 (12.30) h, получим линию пе Как видно, этой линией является эллипс с полуосями ai=an и b1 =ЬJ1+J:;;. Полуоси а 1 и Ь 1 достигают своего наименьше го значения при возрастании h = О: а 1 = а, Ь 1 Ь. При = lhl полуоси эллипса будут увели чиваться. Если пересекать поверхность (12.30) плос костями х = h или у = h, то в сечении полу у чим гиперболы. Найдем, например, линию пере сечения поверхности (12.30) с плоскостью Oyz, уравнение которой х = О. Эта линия пересече ния описывается уравнениями { ~ - ~ = 1, Рис. 92 х =о. Как видно, эта линия есть гипербола (см. рис. 92). ~ Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением (12.30), имеет форму бесконечной расширяющейся трубки. Поверхность (12.30) называется одноnолостнъ~м гипербо лоидом. Заме-чание: можно доказать, что через любую точку гиперболоида (12.30) проходят две прямые, лежащие на нем. Двухпоnостный гиперболоид Пусть поверхность задана уравнением х2 у2 z2 д + L2ь - -:2 а с = -1. (12.31) Если поверхность (12.31) пересечь плоскостями z = h, то линия пере сечения определяется уравнениями 2 { h2 2 ~+~ = ~-1, (12.32) z= h. Огсюда следует, что: а) если lhl <с, то плоскости z = h не пересекают поверхности; 6) если lhl =с, то плоскости z =±с касаются данной поверхности соответственно в точках (О; О; с) и (О; О; -с). в) если lhl >с, то уравнения (12.32) могут быть переписаны так { а2 ( *х2 у2 1) + Ь2 ( ~ - 1) = 1 ' z = h. 111 Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ро стом lh\. Пересекая поверхность (12.31) координатными плоскостями Oyz (х =О) и Oxz (у= О), получим в сечении гиперболы, уравнения кото рых соответственно имеют вид 2 ~ ~ 2 х2 -? = -1 и -:z - z2 = -1. -:2 а с У обеих гипербол действительной осью является ось Oz. Метод сечения позволяет изобразить поверхность (см. рис. 93), определяе мую уравнением (12.31), как поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность (12.31) называется двухnо.ttосmным гunepбo.ttov.дoм. у у Рис. 94 Рис. 93 Эллиптический параболоид Исследуем поверхность, заданную уравнением 2 2 р q ~ + 'IL. = 2z ' где р > О, q > О. Рассечем поверхность (12.33) плоскостями z (12.33) = h. В сечении получим.линию, уравнения которой есть 2 { 2 ~ + '/L. = 2h р q ' z = h. Если h <О, то плоскости z = h поверхности не пересекают; если h =О, то плоскость z = О касается поверхности в точке (О; О; О); если h > О, 112 то в сечении имеем эллипс, уравнение которого имеет вид 2~h + L 2qh = l, 2 { z= h. Его полуоси возрастают с ростом h. ~ При пересечении поверхности (12.33) координатными плоскостями 2 . 2 Oxz и Oyz получатся соответственно параболы z = ~Р и z = ~Таким образом, поверхность, определяемая уравнением (12.33), имеет вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши (см. рис. 94). Поверх ность (12.33) называется эллuпmu-ческим параболоидом. Гиперболический параболоид Исследуем поверхность, определяемую уравнением 1~ -~ ~2z,I где р (12.34) > О, q > О. Рассечем поверхность (12.34) плоскостями z = h. Получим кривую 2~h - L 2qh = l, 2 { z = h, которая при всех значениях h 1- О является гиперболой. При h > О ее действительные оси параллельны оси Ох; при h 2 2 <О- параллельны оси Оу; при h = О линия пересечения ;f_ - ~ = О распадается на р q пару пересекающихся прямых jp - ~ = О и Jp + ~ = О. При пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (у = h), будут получаться параболы { х 2 = 2p(z + ~; ), у= h, ветви которых направлены вверх. При у парабола О в сечении получается 2 = 2pz, { ху=О с вершиной в начале координат и осью симметрии Oz. Пересекая поверхность (12.34) плоскостями х = h, получим пара- болы у 2 = - 2q ( z - ~;) , ветви которых направлены вниз. ~ Анализ линии пересечения позволяет определить вид поверхности: она имеет вид седла (см. рис. 95). Поверхность (12.34) называется гuперболи-ческим параболоидом. 113 у х х Рис. 95 Рис. 96 Конус второго порядка Исследуем уравнение поверхности х2 у2 z2 ~ + ьz- ?"=о. (12.35) Пересечем поверхность (12.35) плоскостями z = h. Линия пересечения 2 2 h2 ~ + JGЬ = 3 , z = h. При h =О она вырождается в точку (О;О;О). При а с h =/=О в сечении будем получать эллипсы х2 у2 С2 С2 { a2h2 + ь2h2 = 1, z = h. Полуоси этих эллипсов будут возрастать при возрастании lhl. Рассечем поверхность (12.35) плоскостью Oyz (х =О). Получится линия { 2 2 ~-~=О, х =о, распадающаяся на две пересекающиеся прямые ~ - .: = о и ~ + .: = о. ь с ь с При пересечении поверхности (12.35) плоскостью у= О получим линию { ~-~=О, а с у=О, 114 также распадающуюся на две пересекающиеся прямые - - -z = о х а с и х z а с - + - = о. ~ Поверхность, определяемая уравнением (12.35), называется кону ~ Поверхности, составленные из прямых линий, называются лuнell сом второго порядка, имеет вид, изображенный на рисунке 96. -чamЪМtu. Такими поверхностями являются цилиндрические, ко нические поверхности, а также однополостный гиперболоид и гипербо лический параболоид. Глава V. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 1 Лекции 13-221 § 13. МНОЖЕСТВА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 13.1. Основные понятия ~ Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под мно-;нсеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство ... ) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов ин ститута, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравне ния х 2 + 2х + 2 =О, о множестве всех натуральных чисел и т. д. Объекты, из которых состоит множество, называются его эдемен тами. Множества принято обозначать заглавными буквами латин ского алфавита А, В, ... , Х, У, ... , а их элементы - малыми буквами а,Ь, ... ,х,у, . .. Если элемент х принадлежит множеству Х, то записывают х Е Х; запись х Е Х или х ~ Х означает, что элемент х не принадлежит мно жеству Х. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пу стым, обозначается символом 121. Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри ко торых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свой ство, которым обладают все элементы данного множества. Например, запись А = {1, З, 15} означает, что множество А состоит из трех чисел 1, З и 15; запись А = {х : О :::; х :::; 2} означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству О :::; х ::::; 2. ~ Множество А называется подмно-;нсесmвом множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символически это обозначают так А С В («А включено в В») или В :::> А («множество В включает в себя множество А»). Говорят, что множества А и В равни или совпадают, и пишут А = В, если А С В и В С А. Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. ~ Оббединением (или суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обо значают АUВ (или А+В). Кратко можно записать AUB = {х: х Е А или х ЕВ}. 116 ~ Пересе-чен:и.ем (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принад лежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) мно жеств обозначают АnВ (или А·В). Кратко можно записать AnB = {х: х Е А их ЕВ}. В дальнейшем для сокращения записей будем использовать неко торuе простейшие логические символы: а ===} (3 - означает «из предложения а cлeiJyem предложение (З»; а ~ (3 - «предложения а и (3 равносильны», т. е. из а следует f3 и из (3 следует а; V3- означает «для любого», «для всякого»; :- «имеет место», «такое что»; «существует», «найдется»; f-t - «соответствие». Например: 1) запись Vx Е А: а означает: «для всякого элемента х Е А имеет место предложение а»; 2) (х Е А U В) ~ (х Е А или х ЕВ); эта запись определяет объединение множеств А и В. 13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел Множества, элементами которых являются числа, называются 'Числов'Ыми. Примерами числовых множеств являются: N = {1; 2; 3; ... ; п; ... } - множество натуральных чисел; Z 0 = {О; 1; 2; ... ; п; ... } - множество целых неотрицательных чисел; Z ={О; ±1; ±2; ... ; ±п; ... } - множество целых чисел; Q = { 1:;: : т Е Z, п Е N} - множество рациональных чисел. IR ---, множество действительных чисел. Между этими множествами существует соотношение N с Zo с Z с Q с Ж. Множество IR содержит рациональные и иррациональные числа. Вся кое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, ~ = 0,5 (= 0,500 ... ), i = 0,333 ... - рациональные числа. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называ ются иррационалънwми. 117 Теорема 13.1. Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2. Q Допустим, что существует рациональное число, представленное не сократимой дробью т, квадрат которого равен 2. Тогда имеем: п 2 (:) т. е. m = 2n 2 = 2, Отсюда следует, что m 2 (а значит, и m) - = = 2. = = 2k. = 2n 2 , т. е. = 2l. Но то четное число, т. е. т Подставив т 2k в равенство m 2 2n2 , получим 4k 2 2k 2 п 2 • Отсюда следует, что число п - четное, т. е. п гда дробь 1;: = ~7 сократима. Это противоречит допущению, что 1;: дробь несократима. Следовательно, не существует рационального чи сла, квадрат которого равен числу 2. 8 Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так, J2 = 1,4142356 ... , 1Г = 3,1415926 ... - иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множе ство всех бесконечных десятичных дробей. И записать IR = {х: х =а, а:10:2а:з .•. }, где а Е Z, O:i Е {О, 1, ... , 9}. Множество IR действительных чисел обладает следующими свой ствами. 1. Оно упор.ядо-ченное: для любых двух различных чисел а и Ь имеет место одно из двух соотношений а < Ь либо Ь < а. 2. Множество IR плотное: между любыми двумя различными чи слами а и Ь содержится бесконечное множество действительных чисел х, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству а< х < Ь. Так, если а < Ь, то одним из них является число а ( а< Ь ==:::} 2а <а+ Ь и а+ Ь !Ь ) < 2Ь ==:::} 2а <а+ Ь < 2Ь ==:::} а< -а+Ь 2- < Ь . 3. Множество IR непрерьиное. Пусть множество IR разбито на два непустых класса А и В таких, что каждое действительное число содер жится только в одном классе и для каждой пары чисел а Е А и Ь Е В выполнено неравенство а < Ь. Тогда (свойство непрерывности) суще ствует единственное число с, удовлетворяющее неравенству а ~ с ~ Ь ('Va Е А, 'VЬ ЕВ). Оно отделяет числа класса А от чисел класса В. Чи сло с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогда в классе А нет наибольшего). 118 Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однознач ное соответствие между множеством всех действительных чисел и мно жеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу х Е JR соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, на оборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка». 13.3. Числовые промежутки. Окрестность точки Пусть а и Ь - действительные числа, причем а < Ь. Числовыми промежутками (интервалами) называют подмноже ства всех действительных чисел, имеющих следующий вид: [а; Ь] = {х: а~ х ~ Ь} - отрезок (сегмент, замкнутый промежу- ток); (а; Ь) = { х : а < х < Ь} - интервал (открытый промежуток); [а;Ь)={х: а~х<Ь}; (а;Ь] = {х: а< х ~ Ь} - полуоткрытые интервалы (или полуот- крытые отрезки); (-оо;Ь] = {х: х ~ Ь}; (а,+оо) = {х: х ~а}; (-оо;Ь) (а,+оо) {х: х >а}; бесконечные интервалы = {х: х < Ь}; (-00,00) = {х: = -оо < х < +оо} = JR - (промежутки). Числа а и Ь называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы -оо и +оо не числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала О влево и вправо. § Пусть х 0 - любое действительное число (точка на числовой пря- мой). Окрестностью точки хо называется любой интервал (а; Ь), содержащий точку хо. В частности, интервал (хо -е,хо +е), где е >О, называется е-окресmностью точки х 0 • Число х 0 называется цент ром, а число е -- радиусом. € 9 € Хо~+с: Х Рис. 97 Если х Е (х 0 -е;х 0 + е), то выполняется неравенство хо - е < х < < хо+е, или, что тоже, jx-xol < е. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в е-окрестность точки хо (см. рис. 97). 119 § 14. ФУНКЦИЯ 14.1. Понятие функции Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (свя зи) между элементами двух множеств. ~ Пусть даны два непустых множества Х и У. Соответствие f, ко- торое каждому элементу х Е Х сопоставляет один и только один = f (х), х Е Х f : Х --+ У. Говорят еще, что функция f отобра;;нсает множество элемент у Е У, называется функциеil и записывается у или Х на множество У. Рис. 98 Например, соответствия f и g, изображенные на рисунке 98 а и б, являются функциями, а на рисунке 98 в и г - нет. В случае в - не каждому элементу х Е Х соответствует элемент у Е У. В случае г не соблюдается условие однозначности. Множество Х называется областъю определения функции f и обо значается D(f). Множество всех у Е У называется множеством зна 'ЧениiJ, функции f и обозначается E(f). 14.2. Числовые функции. График функции. Способы задания функций Пусть задана функция f : Х --+ У. liJ Если элементами множеств Х и У являются действительные числа (т. е. Х С JR и У С JR), то функцию f называют -ч.исловоil функ циеii. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать у= f(x). Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, а у - функv,иеii, или зависимоi1 переменноil, (от х). От- 120 носительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функ чиональноii, зависимости. Иногда функциональную зависимость у от х пишут в виде у = у(х), не вводя новой буквы (/) для обозначения зависимости. Частное зна-чение функции f(x) при х =а записывают так: f(a). Например, если f(x) = 2х 2 - 3, то /(О) = -3, /(2) = 5. Графиком функчии у = !( х) называется множество всех точек плос у кости Оху, для каждой из которых х является у - значением аргумента, соответствующим 1 а значением функции. Например, графиком функции у = Jl - х 2 является верхняя полу х окружность радиуса R = 1 с центром Рис. 99 в 0(0; О) (см. рис. 99). Чтобы задать функцию у = f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у. Наиболее часто встречаются три способа задания функции: ана литический, табличный, графический. Аналити'Ческиii, способ: функция задается в виде одной или не скольких формул или уравнений. Например: 2) у= {х2+1 х-4 при х < 2, при х ~ 2; 3) у 2 - 4х =О. Если область определения функции у= f(x) не указана, то пред полагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции у= х 2 является отрезок [-1; 1]. J1 - Аналитический способ задания функции является наиболее совер шенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию у= f(x). Графu'Ческиii, способ: задается график функции. Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у, соответствующие тем или иным значениям аргументах, непосред ственно находятся из этого графика. Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком - его неточность. Таб.ли'Ч·н:ыil, способ: функция задается таблицей ряда значений ар гумента и соответствующих значений функции. Например, известные 121 таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы. На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений. 14.3. Основные характеристики функции ~ 1. Функция у = f(x), определенная на множестве D, называется -ч,етноii., если Vx Е D выполняются условия -х Е D и f(-x) = = f(x); не-ч,етноii., если Vx Е D выполняются условия -х Е D и f(-x) = - f(x). График четной функции симметричен относительно оси Оу, а не четной - относительно начала координат. Например, у у= sinx, у= х 3 - = х 2 , у = Vl + х 2 , у = ln lxl - четные функции; а нечетные функции; у= х -1, у= у'х - функции общего вида, т. е. не четные и не нечетные. ~ 2. Пусть функция у = f(x) определена на множестве D и пусть D1 С D. Если для любых значений х 1 , х 2 Е D 1 аргументов из неравенства Х1 < Х2 вытекает неравенство: f(x1) < f(x2), то функция называется возрастающеii. на множе у стве D1; f(x1) ~ f(x2), то функция на зывается неубъtвающеii. на множестве D1; f(x1) > f(x2), то функция назы вается убъtвающеii. на множестве D 1 ; f(x1) ;;:: f(x2), то функция называется невозрастающеiJ на множестве D 1 • -2 о 3 Рис. 100 Например, функция, заданная гра х фиком (см. рис. 100), убывает на интер вале (-2; 1), не убывает на интервале (1; 5), возрастает на интервале (3; 5). ~ Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве D 1 называются монотоннъt.Мu на этом множестве, а возрастающие и убывающие - строго монотоннъtМи. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервад.а ми монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна на (-2; 1) и (З; 5); монотонна на (1; З). ~ 3. Функцию у = f(x), определенную на множестве D, называют ограни-ч,енноii. на этом множестве, если существует такое число М > О, что для всех х Е D выполняется неравенство lf(x)I ~ М (ко роткая запись: у= f(x), х Е D, называется ограниченной на D, если 3М > О : Vx Е D ===> lf(x)I ~ М). Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у= -Ми у= М (см. рис. 101). 122 Е§] 4. Функция у = f(x), определенная на множестве D, называется nериодическоit на этом множестве, если существует такое число Т >О, что при каждом х Е D значение (х + Т) Е D и f(x + Т) = f(x). При этом число Т называется периодом функции. Если Т функции, то ее периодами будут также числа т ·Т, где т период = ±1; ±2, ... Так, для у= sinx периодами будут числа ±27Г; ±47Г; ±67Г, ... Основной период (наименьший положительный) - это период Т = 27Г. Вообще обычно за основной период берут наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее равенству f(x + Т) = f(x). у -+ / Рис. 101 Рис. 102 14.4. Обратная функция ~ Пусть задана функция у= f(x) с областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению у Е Е соответствует единственное значение х Е D, то определена функция х = ср(у) с обла стью определения Е и множеством значений D (см. рис. 102). Такая функция ср(у) называется oбpamнoit к функции f(x) и записывается в следующем виде: х = ср(у) = 1- 1 (у). Про функции у= f(x) их= ср(у) говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию х = ср(у), обратную к функции у= J(x), достаточно решить уравнение J(x) =у относительно х (если это возможно). Примеры: 1. Для функции у = 2х обратной функцией является функция - ly· х -2· 2. Для функции у = х 2 , х Е [О; 1], обратной функцией является х = у'у; заметим, что для функции у= х 2 , заданной на отрезке [-1; 1], обратной не существует, т. к. одному значению у соответствует два зна- чениях (так, если у= ;!, то Х1 = !• х2 = -!)· 123 ji Из определения обратной функции вытекает, что функция у = f (х) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция f(x) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обрат ную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функ- ция также возрастает (убывает). Заметим, что функция у и обратная ей х = у = f(x) rp(y) изображают ся одной и той же кривой, т. е. графи ки их совпадают. Если же условить ся, что, как обычно, независимую пе ременную (т. е. аргумент) обозначить через х, а зависимую переменную че- рез у, то функция обратная функции у= f(x) запишется в виде у= rp(x). ,/ ji Это означает, что точка М1 (хо; Уо) кривой у = f(x) становится точ- х , ,/ / кой М2 (у0 ; хо) кривой у = rp(x). Но Рис. 103 точки М1 и М2 симметричны относительно прямой у= х (см. рис. 103). Поэтому графики взаимно обратных функциii. у= f(x) и у= rp(x) симметричны относите.аьно биссектрисы первого и третье го координатных уг.аов. 14.5. Сложная функция Е§] Пусть функция у = f (и) определена на множестве D, а функция и= rp(x) на множестве D 1 , причем для Vx Е D 1 соответствующее значение и = у = rp(x) Е D. Тогда на множестве D 1 определена функция f(rp(x)), которая называется c.acr.нc.нoii. функциеii. от х (или су nерnозициеii. заданных функций, или функциеii. от функции). Переменную и = rp(x) называют про.межуто'ч:н:ым аргументом сложной функции. Например, функция у у = = sin 2х есть суперпозиция двух функций sin и и и = 2х. Сложная функция может иметь несколько проме жуточных аргументов. 14.б. Основные элементарные функции и их графики Основными элементарными функциями называют следующие функции. 1) Показательна.я функция у =ах, а > О, а-:/:- 1. На рис. 104 пока заны графики показательных функций, соответствующие различным основаниям степени. 124 у у х Рис. 104 2) Степенна.я функция у = х"', а Е llt Примеры графиков сте пенных функций, соответствующих различным показателям степени, предоставлены на рис. 105. у у х х у о~ у х о х у у х Рис. 105 125 3) Логарифми:ческая функция у = loga х, а > О, а -::/: 1; Графики логарифмических функций, соответствующие различным основаниям, показаны на рис. 106. у у х х Рис. 106 4) Тригонометри-ческие функции у= sinx, у= cosx, у= tgx, у= = ctg х; Графики тригонометрических функций имеют вид, показанный на рис. 107. y=sinx х Рис. 107 5) Обраmн'Ьtе тригонометри-ческие функции у = arcsinx, у = arccosx, у = arctgx, у = arcctgx. На рис. 108 показаны графики обратных тригонометрических функций. ~ Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного чи сла арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, де ления) и операций взятия функции от функции, называется элемен тар'НОii функцuеii. Примерами элементарных функций могут слу жить функции у . 1 tgx = arcsш - - 8 2 3 ; х 126 х + у= lg(2 + х 3 ). у у y=arccosx -1 1 х у ______________i' у __________ _ -----------~-------------- 2 х 7r .--- -----------= ']"_ --------. о х Рис. 108 Примерами неэлементарных функций могут служить функции у = sign х = { 1, х >о, О, х -1, хз х5 2 = О: у= {х +1, х, х<О, х7 если х ~О, если х >О; х2п+1 у= l - З! · З + 5! · 5 - 7! · 7 + ... + (-l)n (2n + 1)! · (2п + 1) + · · · §15. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 15.1. Числовая последовательность ~ Под 'Чис.аовоit nос.аедовате.аьносmью x 1 ,x2 ,x3 , ••• ,xn,··· по- IХп = f(n),.I нимается функция (15.1) . заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последователь ность обозначается в виде {xn} или Хп, п Е N. Число х 1 называет ся первым членом (элементом) последовательности, х 2 вторым, ... , Xn - общим или n-м ч.аеиом nос.аедоваmе.аьности. Чаще всего последовательность задается формулой его общего чле на. Формула (15.1) позволяет вычислить любой член последовательно сти по номеру п, по ней можно сразу вычислить любой член последо вательности. Так, равенства Vn = n 2 +1, Zn = (-l)n · n, 1 Уп 127 = -, п Un = п-1 --, п nEN задают соответственно последовательности Vn = {2,5, 10, .. . ,п 2 +1, ... }; Уп = {1, ~' ~' ~' ... , ~' ... }; §§] Zn = Un {-1,2,-3,4, ... , (-l)n ·n, ... }; = {О,~'~'~'~'~' ... , n: 1 , ... }. Последовательность {Хп} называется огран:и:ченноiL, если суще ствует такое число М > О, что для любого п Е N выполняется неравенство В противном случае последовательность называется неограниченной. Легко видеть, что последовательности Уп и Un ограничены, а Vn и Zn неограничены. ~ Последовательность {xn} называется возрастающеii, (неубывающеit), если для любого п выполняется неравенство Xn+i > Хп (xn+l ~ xn)· Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность. ~ Все эти последовательности называются монотонными после довательностями. Последовательности Vn, Уп и Un монотонные, а не монотонная. Zn - Если все элементы последовательности {Хп} равны одному и тому же числу с, то ее называют постоя:н:ноil. Другой способ задания числовых последовательностей - рентнъttl способ. В нем задается начальный элемент х 1 рекур (первый член последовательности) и правило определения п-го элемента по (п - 1)-му: Таким образом, Х2 Хп = /(Хп-1). f(x1), Хз = f (х2) и т. д. При таком способе за дания последовательности для определения 100-го члена надо сначала посчитать все 99 предыдущих. 15.2. Предел числовой последовательности Можно заметить, что члены последовательности Un неограниченно приближаются к числу 1. В этом случае говорят, что последователь ность Un, п Е N стремится к пределу 1. §§] Число а называется пределом noc.11.eiJoвame.11.ънocmu {xn}, если для любого положительного числа с: найдется такое натуральное число N, что при всех п > N выполняется неравенство (15.2) В этом случае пишут lim Хп = lim Хп = а или Хп --+ а и говорят, что n---+oo последовательность {xn} (или переменная Хп, пробегающая последовательность х 1 , х 2 , х 3 , ... ) имеет предел, равный числу а (или Хп стре мится к а). Говорят также, что последовательность {xn} сходите.я к а. 128 Коротко определение предела можно записать так: 1('v'c: > О 3N: '\fn > N ==> lxn - al <с:) ~ J~~ Xn = а.1 Пример 15.1. Доказать, что lim п - l = 1. n-+oo n Q Решение: По определению, число 1 будет пределом последователь ности Xn = п - l, п Е N, если '\fc: >О наiJ,дется натуральное число N, п такое, что для всех п > N выполняется неравенство ln ~ 1- 11 <с:, т. е. 1 <с:. Оно справедливо для всех п > 1, т. е. для всех п > N = (1], п с: с: где [ ~] - целая часть числа ~ (целая часть числа х, обозначаемая [х], есть наибольшее целое число, не превосходящее х; так [З] = З, [5,2] = 5). Если с:> 1, то в качестве N можно взять [~] + 1. Итак, Vc: >О указано соответствующее значение N. Это и доказывает, что lim п - 1 = 1. 8 n-+oo n Заметим, что число N зависит от с:. Так, если с:= 236 , то N = если с: = 0,01, то [ 2~] = (236] = [s~J =в; ~ ] = [100] = 100. N = [ 100 = N(c:). Поэтому иногда записывают N Выясним геометрический смысл определения предела последова тельности. а Неравенство (15.2) равносильно неравенствам -с:< Xn - а< с: или - с: < Xn <а+ с:, которые показывают, что элемент Xn находится в с:-окрестности точки а. Xn ( 1 1111111"111 1 а-е а ) а+е х Рис. 109 Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число а называется пределом последова тельности {xn}, если для любой с:-окрестности точки а найдется нату ральное число N, что все значения Xn, для которых п с-окрестность точки а (см. рис. 109). 129 > N, попадут в Ясно, что чем меньше с:, тем больше число N, но в любом слу чае внутри €-окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число. liJ Отсюда следует, что сходящаяся nос.л,едоваmе.л,ьносmь uмeem mо.л,ько oiJuн npeiJe.л,. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящеii.ся. Таковой является, например, последова тельность Vn (см. с. 128). Постоянная последовательность Xn = с, п Е N имеет предел, рав ный числу с, т. е. lim с = с. Действительно, для Ve > О при всех нату ральных п выполняется неравенство (15.2). Имеем [xn - cl = lc - cl = =о<€. 15.3. Предельный переход в неравенствах Рассмотрим последовательности {xn}, {Yn} и {zn}· Теорема 15.1. Если lim Xn = а, lim Уп = Ь и, начиная с некоторого n-too n-too номера, выполняется неравенство Xn ~ Уп. то а~ Ь. Q Допустим, что а > Ь. Из равенств n-too lim Xn = а и lim Yn = Ь следует, n-too что для любого с:> О найдется такое натуральное число N(c:), что при всех п > N(c:) будут выполняться неравенства lxn -al <с: и IYn-Ь[ <с:, т. е. а - с: < Xn <а+ с: и Ь - с: < Уп < Ь +с:. Возьмем с:= а2Ь. Тогда: Xn >а - €=а - а2Ь = ~' Т. е. Xn > ~ И Уп < Ь + € = Ь + а2Ь = ~' т. е. Уп < ~. Отсюда следует, что Xn > Yn. Это противоречит условию Xn ~ Yn· Следовательно, а~ Ь. Теорема 15.2. Если 8 lim Xn = а, lim Yn = а и справедливо нepa- n-too n-too венство Xn ~ Zn ~ Yn (начиная с некоторого номера), то lim Zn =а. n-too (Примем без доказательства.) 15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы Не всякая последовательность имеет предел. Сформулируем без доказательства признак существования предела последовательности. 130 Теорема 15.З (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная по следовательность имеет предел. В качестве примера на применение этого признака рассмотрим по следовательность Xn = (1 + ~) n, п Е N. По формуле бинома Ньютона п п(п -1) (а+ ь)п = an + - . an-1 . ь + . an-2 . ь2 + ... 1 1·2 ... + п(п - l)(n - 2) ... (п - (п - 1)) . ьп. 1·2 · 3 · · · · ·n Полагая а= 1, Ь = 1, получим п (l + .!.)n = 1 + ~. _!. + п(п - 1) . __!__ + п(п - l)(n - 2) . _.!_ + ... п 1 п п2 1·2 ···+ п(п - 1·2·3 пЗ l)(n - 2) ... (п - (п - 1)) 1 ·-= 1·2 · 3 · · · · · п пn = 1 + 1 + - 1 (1 - .!.) + - 1- ( 1 - .!.) (1 - ~) + ... 1·2 п 1·2·3 п п ···+ 1 1·2·3·····n (1--1)(1--2) ··· (1 -п-1) -п п п или ( 1+.!.)n=1+1 + - 1 (1- .!.) + - 1- ( 1 - .!.) (1- ~) + ... п 1·2 п 1·2·3 п п 1 (1 -п-1) ··· (1 -п-1) ···+ 1·2·3·····n -п · (15.3) Из равенства (15.3) следует, что с увеличением п число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число ~ убывает, поэтому величины ( 1- ~) , ( 1- ~) , ... возрастают. Поэтому последовательность {Хп} = { ( 1 + ~) n} - возрастающа.я., при этом (15.4) Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (15.3) на единицу; правая часть увеличится, получим нера венство l)n 1 1 1 ( 1+<1+1+-+--+···+ . п 1·2 1·2·3 1·2·3·····n 131 Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5, ... , стоящие в знаменателях дробей, числом 2: 1-). .!.) n < 1 + (1 + ~2 + _!_22 + " . + -2n-l (1 + n Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической про грессии: 1 1 1 1 · (1 - ( !2 )n) 1 + -2 + -22 + ". + -= = 2 ( 1 - -2n1 ) < 2. 2n-l 1- ! 2 Поэтому (15.5) Итак, последовательность огранu'Чена, при этом для 'r/n Е N выполня ются неравенства (15.4) и (15.5): 2 < (1 + *) < 3. n Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последователь ность Xn = ( 1 + *) n, п Е N, имеет предел, обозначаемый обычно буквой е: lim n-too (1 + .!.)n = е. n (15.6) Число е называют неперовим числом. Число е иррациональное, его приближенное значение равно 2,72 (е = 2,718281828459045 ... ). Число е принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по осно ванию е называется натуральным логарифмом и обозначается lnx, т. е. lnx = loge х. Найдем связь между натуральным и десятичным логарифмами. По определению логарифма имеем х = e1n х. Прологарифмируем обе части равенства по основанию 10: lgx = lg(elnx), т. е. lgx = lnx · lge. Пользуясь десятичными логарифмами, находим lg е ~ 0,4343. Значит, lg х ~ 0,4343 · ln х. Из этой формулы следует, что ln х ~ О, 41 43 lg х, т. е. lnx ~ 2,3026lgx. Полученные формулы дают связь между натураль ными и десятичными логарифмами. § 16. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 16.1. Предел функции в точке Пустъ функция у = f(x) определена в некоторо1i о-крестности mо'Чкu х 0 , кроме, битъ может, само1i mо'Чки х 0 • 132 Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения пре дела функции в точке. ~ Определение 1 (на «языке последовательностеii», или по Геiiне). Число А называется пределом функции у= f(x) в mо'Ч ке х 0 (или при х-+ х 0 ), если для любой последовательности допусти мых значений аргумента Хп, п Е N (хп =j: хо), сходящейся к Хо (т. е. lim Хп = х 0 ), последовательность соответствующих значений функ- n-+оо ции f (хп), п Е N, сходится к числу А (т. е. В этом случае пишут lim f (хп) =А). n-+oo lim f(x) = А или f(x) -+ А при х -+ х 0 . х-+хо Геометрический смысл предела функции: lim f(x) =А означает, что Х-+Хо для всех точек х, достаточно близких к точке х 0 , соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А. ~ Определение 2 (на «языке с:-8», или по Коши). Число А называется пределом функции в точке хо (или при х-+ хо), если для любого положительного с: найдется такое положительное число 8, что для всех х =j: х 0 , удовлетворяющих неравенству lx - х 0 1 полняется неравенство lf(x) <с:. < 8, вы AI Записывают lim f(x) =А. Это определение коротко можно запи х-+хо сать так: ( Vc: >О 38 >О '</х: lx - xol < 8, х i хо :=:::} lf(x) - AI <с:) {==::} или О< lx - xol < 8 {==::} lim f(x) =А. х-+хо Геометрический смысл предела функции: А= lim f(x), если для х-+хо любой с:-окрестности точки А найдется такая 8-окрестность точки х 0 , что для всех х =j: х 0 из этой 8-окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в с:-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у= f(x) лежат внутри полосы шириной 2с:, ограни ченной прямыми у = А+ с:, у = А - с: (см. рис. 110). Очевидно, что величина 8 зависит от выбора с:, поэтому пишут 8 = 8(с:). Пример 16.1. Доказать, что lim(2x х-+3 1) = 5. Q Решение: Возьмем произвольное с: >О, найдем 8 = 8(с:) > О такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству lx - ЗI < 8, выполняется неравенство 1(2х-1)-51 < е, т. e. jx-31 < ~-Взяв 8 =~,видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству lx - ЗI < неравенство 1(2х - 8( =~),выполняется 1) - 51 < е. Следовательно, lim (2х - 1) = 5. х-+3 133 8 Пример 16.2. Доказать, что, если f(x) =с, то lim с= с. Х-+Хо а Решение: Для Vc: >о можно ВЗЯТЬ Vб >о. Тогда при lx х i хо имеем lf(x) - xol < б, cl = lc - cl =О< с:. Следовательно, lim с= с. 8 х-+хо у А2 ~----------~х) y=f(x) ---r 1 1 А, 1 1 1 х о хо-о хо х о хо+о Рис. 110 Хо Рис. 111 16.2. Односторонние пределы В определении предела функции lim f(x) = А считается, что х х-+хо стремится к хо любым способом: оставаясь меньшим, чем х 0 (слева от хо), большим, чем хо (справа от хо), или колеблясь около точки хо. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к хо суще ственно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов. ~ Число Ai называется пределом функции у= f(x) слева в точке х 0 , если для любого число с: > О существует число J = б(е) > О J; хо), выполняется неравенство lf(x) - Ai 1 < < е. Предел слева записывают так: lim f(x) = А 1 или коротко: такое, что при х Е (хо - х-+хо-0 f(xo - О) = Ai (обозначение Дирихле) (см. рис. 111). Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов: (ve >О 38 = б(с:) 'т/х Е (хо; хо+ б) =? lf(x) - А21 < е) -{: : : : } -{::::::::} Коротко предел справа обозначают f(xo +О)= А2· 134 lim х-+хо+О f(x) = А2. ~ Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует lim f(x) =А, то существу х-tхо ют и оба односторонних предела, причем А= А 1 = А 2 • Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба преде ла f(x 0 -0) и f(xo+O) и они равны, то существует предел А= и А= f(xo - О). Если же Ai lim f(x) x-txo # А2, то x-txo lim f(x) не существует. 16.3. Предел функции при х -t оо ~ Пусть функция у= f(x) определена в промежутке (-оо; оо). Число А называется пределом функции f(x) npu х ---+ оо, если для любого положительного числа е существует такое число М что при всех х, удовлетворяющих неравенству неравенство lf(x) - = М (е) > О, lxl > М выполняется AI < е. Коротко это определение можно записать так: .--~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ lim f(x) =А. ( Ve> 03M>O'v'x: lxl > М ==> lf(x)-AI <е) -<===:} x-too Если х ---+ +оо, то пишут А = = lim f(x). z--t-oo lim f(x), если х ---+ -оо, то - А = x-t+oo Геометрический смысл этого определения таков: для 'Ve > О 3М > О, что при х Е (-оо; -М) или х Е (М; +оо) соответ ствующие значения функции f(x) попадают в е-окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2е, ограниченной прямыми у= А+ е и у= А - е (см. рис. 112). у Рис. 112 16.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.) ~ Функция у= f(x) называется бесконе'Чно бо,11,ьшоii npu х---+ хо, если для любого числа М >О существует число д = д(М) >О, что для всех х, удовлетворяющих неравенству О< 135 lx-xol < б, выполняется неравенство lf(x)I > М. Записывают X-tXo lim f(x) = оо или f(x)-+ оо при х-+ хо. Коротко: (vм >о 38 >о 'v'x: lx - xol < 8, х =!=Хо ===> lf(x)I > м) ~ ~ lim f(x) = оо. x-txo Например, функция у = __.1_2 есть б.б.ф. при х -+ 2. х- f(x) стремится к бесконечности при х -+ Хо и принимает лишь положительные значения, то пишут lim f(x) = +оо; если лишь Если x-txo отрицательные значения, то ~ lim f (х) = -оо. x-txo Функция у= f(x), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большоit npu х-+ оо, если для любого числа М >О найдется такое число N = N(M) >О, что при всех х, удовлетворяющих неравенству lxl > N, выполняется неравенство lf(x)I > М. Коротко: (vм >о 3N >о 'v'x: lxl > N ===> lf(x)I > м) ~ x-too lim f(x) = 00. Например, у = 2х есть б.б.ф. при х -+ оо. Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принима ет лишь натуральные значения, т. е. х Е N, то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, по следовательность Vn = п 2 + 1, п Е N, является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всяка.я 6.6.ф. в окрестности точки х 0 является неограни'Ченноii в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например, у= xsinx.) Однако, если lim f(x) =А, где А ~ коне'Чное 'Число, то функv,и.я x-txo х) ограни'Чена в окрестности точки хо. f( Действительно, из определения предела функции следует, что при AI < Е:. Следовательно, А - е < < f(x) <А+ е при х Е (хо - е; хо+ е), а это и означает, что функция f (х) ограничена. х-+ Хо выполняется условие lf(x) - § 17. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ (Б.М.Ф.) 17.1. Определения и основные теоремы ~ Функция у = f(x) называется бесконечно малоfi. npu х -+ х 0 , если 1 }~~о f (х) =О., 136 (17.1) По определению предела функции равенство (17.1) означает: для лю > О найдется число б > О такое, что для всех х, удо влетворяющих неравенству О< !х - хо! < б, выполняется неравенство бого числа е lf(x)I < е. Аналогично определяется б.м.ф. при х -+ х 0 + О, х -+ х 0 - О, х-+ +оо, х-+ -оо: во всех этих случаях f(x) -+О. Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами а:, fJ и т. д. Примерами б.м.ф. служат функции у = х 2 при х -+ О; у = х - 2 при х-+ 2; у= sinx при х-+ 7rk, k Е Z. Другой пример: Xn = ~, п Е N, - бесконечно малая последова тельность. Теорема 17.1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Q Пусть а(х) и fJ(x) - две б.м. функции при х -+ х0 . Это значит, что lim а::(х) = О, т. е. для любого е > О, а значит, и g_ 2 > О найдетх-tхо ся число б 1 >О такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству О < lx - хо 1 < б1, выполняется неравенство е ia::(x)I < 2 и (11.2) lim fJ(x) =О, т. е. x-txo (17.3) Пусть б - наименьшее из чисел б 1 и б2 • Тогда для всех х, удовле творяющих неравенству О < !х - хо! < б, выполняются оба неравен ства (17.2) и (17.3). Следовательно, имеет место соотношение е е la::(x) + ,В(х)I ~ la::(x)I + lfJ(x)I < 2 + 2 = е. Таким образом, ia::(x) + fJ(x)I < е. lim (а::(х) + fJ(x)) =О, т. е. а::(х) + fJ(x) - б.м.ф. при Ve >О 3б >О Vx: Это значит, что О< lx - хо!< б ===? x-txo Х-+ Хо. • Аналогично проводится доказательство для любого конечного чи сла б.м. функций. Теорема 17.2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая. 137 О Пусть функция f(x) ограниченаприх -t хо. Тогдасуществуеттакое числом> о, что l/(x)I ~ м (17.4) для всех х из 8 1 -окрестности точки х 0 . И пусть а(х) - б.м.ф. при х -t хо. Тогда для любого е > О, а значит, и М > О найдется такое число 82 > О, что при всех х, удовлетворяющих неравенству О < < jx - xol < 82, выполняется неравенство f: ia(x)I < м· (17.5) Обозначим через 8 наименьшее из чисел 81 и 82 • Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству О < jx - xol < 8, выполняются оба неравенства (17.4) и (17.5). Следовательно, l/(x) ·a(x)I = l/(x)l· la(x)\ < · < М М = е. А это означает, что произведение f(x) · а(х) при х -t х0 есть бесконечно малая функция. Следствие • 17.1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы (17.2) вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Следствие 17.2. Произведение б.м.ф. на число есть функция беско нечно малая. Теорема 17.3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция беско нечно малая. О Пусть lim а(х) =О, а lim f(x) = а '1 О. Функция af((x~ может быть х-7хо х-7хо Х представлена в виде произведения 6.м.ф. а(х) на ограниченную функ- цию J(x). Но тогда из теоремы (17.2) вытекает, что частное f~~~ = = а(х) · J(x) есть функция бесконечно малая. Покажем, что функция JCx) ограниченная. Возьмем е < ia\. То гда, на основании определения предела, найдется 8 >О, что для всех х, удовлетворяющих неравенству О< jx - х 0 1 < 8, выполняется нера венство 1/(х) - aj < е. А так как е > l/(x) - aj = 138 ja - /(x)j ~ lal - j/(x)j, то lal - lf(x)I <с, т. е. lf(x)I > lal - с> О. Следовательно, • т. е. функция !Сх) - ограниченная. Теорема 17.4. Если функция а(х) - бесконечно малая (а f:. О), то функция ~ есть бесконечно большая функция и наоборот: если а~х 1 функция f(x) - бесконечно большая, то f(lx) - бесконечно малая. Q Пусть а(х) есть б.м.ф. при х --t х 0 , т. е. lim а(х) =О. Тогда Х-+Хо (\fc >О 38 >О \fx: О< lx - xol < 8) la(x)I <с, ===} т. е.1alx)1 > ~' т. e. Ia(lx) 1 > М, где М =~·А это означает, что функ ция alx) есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратное утверждение. 8 За.ме-чание: Доказательства теорем приводились для случая, когда х --t хо, но они справедливы и для случая, когда х --t оо. При.мер 17.1. Показать, что функция f(x) = (х -1) 2 · sin3 - 1 х - 1 при х --t 1 является бесконечно малой. Q Решение: Так как lim (х - 1) 2 =О, то функция ip(x) = (х - 1) 2 есть х-+1 бесконечно малая при х --t 1. Функция g(x) = sin3 _L1 , х f:. 1, ограни х - чена lsin3 х !:_ 1 1~ 1. Функция f(x) = (х - 1) 2 • sin3 _Ll представляет собой произведе х ние ограниченной функции (g(x)) на бесконечно малую (ip(x)). Значит, f(x) - бесконечно малая при х --t 1. 139 8 17.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией Теорема 17.5. Если функция f(x) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции а(х), т. е. если lim х-+хо f(x) =А, то f(x) =А+ а(х). Q Пусть lim f(x) =А. Следовательно, Х-+Хо (lfe >О 38 >О lfx: О< lx - xol < 8) ==> lf(x) -А/< е, т. е. lf(x) - А - OI < е. Это означает, что функция f(x) - А имеет предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через а(х): f(x) - А= а(х). Отсюда f(x) =А+ а(х). 8 Теорема 17.б (обратная). Если функцию f(x) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции а:(х), то число А является пределом функции f(x), т. е. если f(x) = А+ а(х), то lim f(x) =А. х-+хо Q Пусть f(x) = А+а(х), где а(х) -6.м.ф. при х--+ хо, т. е. lim а:(х) = х-+хо =О. Тогда (lfe >О 38 >О lfx: О< lx - xol < 8) ==> la:(x)I < е. А так как по условию f(x) =А+ а(х), то а(х) = f(x) -А. Получаем (lfc->0 38>0 lfx: O<lx-xol<8) ==> l/(x)-Al<e . А это и означает, что • lim f(x) =А. Ж--+Хо Пример 17.2. Доказать, что lim(5+x) х-+2 = 7. Q Решение: Функцию 5 + х можно представить в виде суммы числа 7 2 (при х--+ 2), т. е. выполнено равенство 5 + х = 7 + (х - 2). Следовательно, по теореме 17.6 получаем lim (5 + х) = 7. 8 и б.м.ф. х - х-+2 140 17.3. Основные теоремы о пределах Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда х ~ х 0 и х ~ оо, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы lim f(x), lim ip(x) существуют. x-txo x-txo Теорема 17.7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: lim (f(x) ± ip(x)) = lim f(x) ± lim ip(x). х--+хо О Пусть х--+хо х--+хо lim f(x) =А, lim ip(x) =В. Тогда по теореме 17.5 о свя- x-txo зи функции, ее предела и 6.м.ф. можно записать х-tхо f (х) = А + а(х) и ip(x) = В+ /З(х). Следовательно, f(x) + ip(x) =А+ В+ (а(х) + fЗ(х)). Здесь а(х) + fЗ(х) - б.м.ф. как сумма 6.м.ф. По теореме 17.6 о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать lim (f(x)+ip(x)) = А+В, x-txo т. е. lim (f(x) + ip(x)) = lim f(x) + lim ip(x). х--+хо х--+хо х--+хо • В случае разности функций доказательство аналогично. Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечно го числа функций. Следствие 17.З. Функция может иметь только один предел при Х ~Хо. О Пусть lim x-txo О= f(x) =А и lim f(x) =В. По теореме 17.7 имеем: x-txo lim (f(x) - f(x)) = lim f(x) - lim f(x) =А - В. х---+хо х--+хо х---+хо • Отсюда А- В= О, т. е. А= В. Теорема 17.8. Предел произведения двух функций равен произведе нию их пределов: lim (f(x) · ip(x)) = lim f(x) · lim ip(x). x-txo x-txo 141 x-txo Q Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых пояснений. Так как lim f(x) =А, lim ер(х) =В, то х--+хо х--+хо f(x) =А+ а(х), где а(х) и /З(х) - ер(х) =В+ /З(х), б.м.ф. Следовательно, f(x) · ер(х) =(А+ а(х)) ·(В+ /З(х)), т. е. f(x) · ер(х) = АВ +(А· /З(х) +В· а(х) + а(х)/З(х)). Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому lim f(x) · ер(х) =А· В, Х--+Хо т. е. • lim (f(x)ep(x)) = lim f(x) lim ер(х). х--+хо х--+хо х--+хо Отметим, что теорема справедлива для произведения любого ко нечного числа функций. Следствие 17.4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: lim с· f(x) =с· lim f(x). х--+хо х--+хо • Q lim (с· J(x)) = lim с· lim J(x) =с· lim f(x). х--+хо Следствие х--+хо х--+хо х--+хо 17.5. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: lim (f(x))n = ( lim f(x))n. В частности, х--+хо х--+хо lim xn = х8, п Е N. х--+хо Q lim (f(x))n = lim (f(x) · f(x) ·. "· f(x)) = lim f(x) "" · lim f(x) = х--+хо х--+хо х--+хо х--+хо п сомножителей = ( lim f(x)) n х--+хо Теорема 17.9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: lim /(х) /( Х ) . х--+хо l lffi --=---...,... х--+хо ер( Х) lim ер( Х) Х--+Хо 142 lim ер(х) -::/:- о). ( Х--+Хо • Q Доказательство аналогично предыдущему. Из равенств lim /(х) =А Ж-+Жо и lim <р(х) =В=/; О Ж-+Жо следуют соотношения f(x) =А+ о:(х) и <р(х) =В+ (З(х). Тогда /(х) = А+ о:(х) = А + (А+ о:(х) _ А) = А + В· о:(х) - А· (З(х). <р(х) в+ (З(х) в в+ (З(х) в в В 2 +в. (З(х) Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления 6.м.ф. на функ цию, имеющую отличный от нуля предел. П оэтому lim f(x) . 1' /(х) _ А /tx)) -_ ....,l,.,..l'm~m--,-(x..,..) ж-+жо 1lm llli ( ) В, т. е. · ж-+жо g Х ж-+жо <р Х т ж-+жо • Рассмотрим пример. Пример 17.3. Вычислить lim(3x 2 - 2х + 7). ж-+1 Q Решение: lim (3х 2 - 2х + 7) = lim 3х 2 - lim 2х + lim 7 = ж-+1 ж-+1 ж-+1 ж-+1 2 = 3(lim х) - 2 lim х + 7 = 3 · 1- 2 + 7 = 8. • ж-+1 ж-+1 Пример 17.4. Вычислить lim х 2 2+ 14х - 32 ж-+2 х - 6х + 8 Q Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к. предел знаменателя, при х --+ 2, равен О. Кроме того, предел числи теля равен О. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида 8. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на х - 2 f=- О (х--+ 2, но х f=- 2): lim х 2 + 14х - 32 = lim (х - 2)(х + 16) = х 2 - 6х + 8 ж-+2 (х - 2)(х - 4) ж-+2 х + 16 lim (х + 16) 2 + 16 - lim - - - - ж-+ 2 - - - - - -9 8 - ж-+2 х - 4 lim (х - 4) - 2 - 4 · ж-+2 Пример 17.5. Вычислить lim 2х 22 + 3х + 1. ж-+оо 4х + 2х + 5 Q Решение: Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида 00 . Для 00 нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель 143 на х 2 : lim 2х2 + Зх + 1 х--+оо 4х 2 + 2х + 5 lim (2 + 1 + ~) 1 = lim 2 + 1х + ~1 = х--+оо х х = -. х--+оо 4 + ~ + ~ х х lim (4 + ~х + ~) х х--+оо 2 Функция 2 +;!+~есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому х х lim (2 + ~ + 12 ) = 2; Х--+00 Х Х • lim (4 + ~ + 52 ) = 4. х--+оо Х Х 17 .4. Признаки существования пределов Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция у = sin х при х -+ оо предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании преде ла функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела. Теорема 17.10 (о пределе промежуточной функции). Если функ ция f(x) заключена между двумя функциями 'Р(х) и g(x), стремящи мися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если lim ip(x) =А, х--+хо lim g(x) =А, х--+хо 'Р(х):::; f(x):::; g(x), то (17.6) (17.7) lim f(x) =А. Х--+Хо Q Из равенств (17.6) вытекает, что для любого е >О существуют две окрестности 61 и 62 точки х 0 , в одной из которых выполняется нера венство lrp(x) - AI < е, т. е. -е < 'Р(х) - А < е, а в другой lg(x) - AI < е, т. е. -e<g(x)-A<e. Пусть 6 - (17.8) (17.9) меньшее из чисел 01 и 62. Тогда в 6-окрестности точки Хо выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9). Из неравенств (17.7) находим, что ip(x) - А:::; f(x) - А:::; g(x) - А. 144 (17.10) С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют не равенства -с:< f(x) - А< с: или l/(x) - AI <с:. Мы доказали, что Vc: >О 38 >О Vx: то есть О< lx - xol < 8 ===} lf(x) - AI <с:, • lim f(x) =А. х-+хо Теорему 17.10 иногда шутливо называют «принципом двух мили ционеров». Роль «милиционеров» играют функции rp(x) и g(x), функ ция f(x) «следует за милиционерами». Теорема 17.11 (о пределе монотонной функции). Если функция f(x) монотонна и ограничена при х < х 0 или при х > х 0 , то суще lim f(x) = f(x 0 - О) или ствует соответственно ее левый предел ее правый предел lim х-+хо+О х-+хо-0 f(x) =!(хо+ О). Доказательство этой теоремы не приводим. Следствие 17.б. Ограниченная монотонная последовательность Xn, п Е N, имеет предел. 17.5. Первый замечательный предел При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометри ческие функции, часто используют предел sinx 1i. m - - =1, х-+0 ~ называемый предел первим отношения (17.11) Х замечаmел.ъним синуса к его аргументу npeiJe.лoм. равен Читается: единице, когда аргумент стремится к нулю. Докажем равенство (17.11). U Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОЕ че рез х (см. рис. 113). Пусть О < х < ~· На рисунке IAMI = sinx, дуга ~МВ численно равна центральному углу х, IBCI = tg х. Очевидно, име < Sсектора мов < SдсОВ· На основании соответствующих формул геометрии получаем ~ sin х < !х < tg х. Разделим неравен- ем Sдмов ! ства на -21 sin х > О, получим 1 < ~ < - 1SlПX 145 COSX или cos х < sin х < 1. Х Так как у lim cosx = 1 и lim 1 = 1, то х-+0 х-+0 по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов . sinx _ 1lill - - - 1. х-+0 (х>О) (17.12) Х Пусть теперь х < О. Имеем sin х х = sin(-x) -х , где -х > О. Поэтому . sinx 1 1lill -- = . Рис. 113 х-+0 Х (х<О) (17.13) • Из равенств (17.12) и (17.13) вытекает равенство (17.11). Пример 17.6. Найти lim sin3x. х-+О 2х О Решение: Имеем неопределенность вида §. Теорема о пределе дроби неприменима. Обозначим 3х = t; тогда при х --+ О и t --+ О, поэтому lim sin Зх = lim sin t = lim ~ . sin t = ~ lim sin t = ~ . 1 = ~. 2х t-+0 2 · ~ t-+0 2 t 2 t-+0 t 2 2 х-+О 8 Пример 17. 7. Найти lim tg х. х-+0 О Решение: lim tgx х-+0 Х Х · · = lim sшх · -1- = lim sшх. х-+0 Х COS Х х-+0 Х liml х-+0 lim cos Х х-+0 = 1·-1 = 1. 1 • 17.б. Второй замечательный предел Как известно, предел числовой последовательности Xn = ( 1 + ~) n, п Е N, имеет предел, равный е (см. (15.6)): lim (1 + ~) n = е. n n-+oo (17.14) Докажем, что к числу е стремится и функция Xn = ( 1+ ~) х при х --+ оо (х Е JR): lim (1 + ~) х = е. Х-+00 Х 146 (17.15) 1. Пусть х --+ +оо. Каждое значение х заключено между двумя + 1, где п = [х] - это целая часть х. Отсюда следует +l 1 < 1 ~ 1, 1+ +l 1 < 1+1 ::;; 1+1, положительными целыми числами: п ~ х < п п поэтому х п п х п 1 )n ( 1) х ( 1) n+l ( 1+n+1 < 1+; ~ l+п . Если х--+ +оо, топ--+ оо. Поэтому, согласно (17.14), имеем: . ( 1 11m 1 + - n-too п + 1 )n = nl~~(l + n~l)n+l = -е = lim (1 + __!_1) n-+oo n+ 1 е, lim (1+.!)n+l = lim (1+.!)n· lim (1+.!) =e·l=e. n-too n n-too n n-too n По признаку (о пределе промежуточной функции) существования предело в lim (1 + .!)х = е. x-t+oo Х (17.16) 2. Пусть х--+ -оо. Сделаем подстановку -х = t, тогда )-t )t-1 ( t )1 ( t 1 1 ) = 1 ) х = lim ( 1-lim ( 1+= lim -t- ) = lim 1+-Х t-++oo t t-++oo t - 1 t-++oo t- 1 (17.17) = lim ( 1 + -1· lim 1 + -1- = е · 1 = е. t-t+oo t - 1 t-t+oo t - 1 х-+-оо ( Из равенств (17.16) и (17.17) вытекает равенство (17.15). Если в равенстве (17.15) положить 1х =а (а--+ О при х--+ оо), оно запишется в виде 1 lim{l+o:)<> =е. a-tO ~ Равенства (17.15) и (17.18) (17.18) называются вторым замечатель- ным пределом. Они широко используются при вычислении пре делов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием е. Функция у = ех называется эксnоненцu а.л.ьноii, употребляется также обозначение ех = ехр(х). Пример 17.8. Найти х-+оо lim (1 + i)x. Х Q Решение: Обозначим х = 2t, очевидно, t--+ оо при х--+ оо. Имеем ( 1)2t = = lim (1 + -l)f · Jim (1 + -l)f = е · е = е. t-too t t-+oo t lim 1 + -2)х = lim 1 + x-too Х t-+oo t ( 2. 147 • § 18. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ 18.1. Сравнение бесконечно малых функций Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести се бя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно боль шой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к ка кому пределу. Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения. Пусть а= а(х) и /3 =О и = /З(х) есть б.м.ф. при х-+ х0 , т. е. lim а(х) = Х-+Хо lim /З(х) =О. х-+хо 1. Если lim Q/3 = А =/; О (А Е Ж), то а и /3 называются бесконе·ч:н,о Х--1-Хо малЪtми одного порядка. 2. Если lim Q/3 =О, то а называется бесконе'Чно малоi:i более высо х--tхо кого порядка, чем /3. 3. Если lim Q/3 = оо, то а называется бесконе'Ч.но мало11, более низ х-+хо кого пор.я.дка, чем /3. 4. Если lim Q/3 не существует, то а и /3 называются несравнимыми х-+хо бесконе'ЧНО малъtми. Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х -+ ±оо, Х-+ Хо± 0. Пример 18.1. Сравнить порядок функций а = 3х 2 и /3 = 14х 2 при х-+ оо. Q Решение: При х -+ О это б.м.ф. одного порядка, так как lim ~ = lim х-+0 /3 Зх 2 = ~ =/; О. х-+0 14х 2 14 Говорят, что б.м.ф. а и /3 одного порядка стремятся к нулю с примерно одинаковой скоростью. 8 Пример 18.2. Являются ли функции а одного порядка при х -+ О? 148 = 3х 4 и /3 = 7х б.м.ф. Q Решение: При х --+ О функция а есть б.м.ф. более высокого порядка, чем а = 1'im -3х4 = 1'im -Зхз = О . В этом случае б .м .ф. а . -(3 (3 , так как 1im 7 7 х--+0 х--+0 Х х--+0 стремится к нулю быстрее, чем (3. 8 Пример 18.3. Сравнить порядок функций а= tgx и (3 = х 2 при х--+ о. Q Решение: Так как а . 11m - х--+0 (3 . tg х . sin х 1 1 = х--+0 11m - - = 11m - - · - - · - = оо, х2 х--+0 Х cos Х Х • то а есть б.м.ф. более низкого порядка, чем (3. Пример 18.4. Можно ли сравнить функции а= х · sin 1 и /3 = х х при х--+ О? Q Решение: Функции а = х · sin 1 и (3 = х при х --+ О являются не х сравнимыми б.м.ф" так как предел lim ~/3 = lim х--+0 х · sin .!. х--+0 Х х = lim sin 1 не х--+0 Х существует. 8 18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые. ~ ~ = 1, то а и (3 называются эквuвалентнимu беско- Если lim ~(3 х--+хо нечно малимu (при х --+ х 0 ); это обозначается так: а,....., (3. Например, sin х ,....., х при х --+ О, т. к. lim sin х = 1; tg х ,....., х при х--+0 Х . tgx о ' т. к. 1lffi х --+ = 1. х--+0 Теорема Х 18.1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой. О Пусть а,....., а' и (3,....., /3' при х--+ Хо. Тогда . . l1m -а = l1m (а - · -а' · -(3') = 11m - Х--+Хо (3 Х--+Хо . (3 Q: 1 (3 1 а Х--+Хо Q 1 149 (3' . а' . а' · l1m - = 1 · 1 · l1m - , 1 Х--+Хо (3 Х--+Хо (3 Х--+Хо (3 1 . · l1m - · а т. е. 11m -(3 x-txo · (У· а' = x-txo 11m • · -(3 а = 11m · -(3 а' = 11m · (У. а Очевидно также, что 11m x-txo x-txo x-txo Теорема 18.2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функ ций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них. Q Пусть а"" (3 при х -t хо. Тогда lim x-txo а - (3 = lim (1 - ~) = 1 - lim ~ = 1 - 1 = О, x-txo а x-txo а а • аналогично lim а -(3 /3 =О. x-txo Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. а и (3 есть бесконечно малая высшего порядка, чем а или (3, то а и (3 эквивалентные бесконечно малые. Действительно, так как lim o...:::...J}_ = О, то lim (1 - /}_) = О, т. е. x-txo 1lim lim /}_ = X-tXo а x-txo а x-txo а О. Отсюда X-tXo lim /}_ = 1, т. е. а "' (3. Аналогично, если а а -(3 /3 = О, то а "" (3. Теорема 18.3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка. Q Докажем теорему для двух функций. Пусть а -t О, (3 -t О при х -t х 0 , причем а - б.м.ф. высшего порядка, чем (3, т. е. lim _(За =О. х-+хо Тогда lim х-+хо а +(3 (3 = lim (~(3 + 1) = lim _(За + 1 = О+ 1 = 1. Следовательно, а х-+хо х-+хо • + (3 "" (3 при х -t х 0 . Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главноii. 'Частью этоii. сумм'Ы. Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрас'Ывани ем бесконе'Чно малых в'Ысшего порядка. Пример 18.5. Найти предел lim Зх.+ 7х 2 . x-tO 150 sш2х 3 поскольку Q Решение: lim Зх .+ 7х 2 = lim --%f_ = lim Зх = 2' х-+О sш 2х х-+О sш 2х х-+О 2х • Зх ± 7х 2 ,..., Зх и sin 2х,..., 2х при х -t О. 18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций Вычисление пределов Для раскрытия неопределённостей вида 8часто бывают полез ным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как из вестно, sin х ,...., х при х -t О, tg х ,...., х при х -t О. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф. При.мер 18. б. . Q Решение: х-+0 11m Покажем, что 1 - 1-cosx 2 L 2 = lim 2 cos х ,...., х2 2sin2 ;Jt 2 2 х-+0 L 2 при х -t О . sin ;Jt sin ;Jt 2 ·-2 = 1·1=1. lim -хх = х-+0 (~-+О) 2 2 • Пример 18. 7. Найдем lim arcsinx. х-+0 Х Q Решение: Обозначим arcsin х = t. Тогда х = sin t и t -t О при х -t О. Поэтому 1. lШ X-t0 arcsin х _ 1. Х - t _ 1. lШ - - t-+0 Sill t 1 _ 1 _ 1 lffi - . - - t-+0 SIП t t - 1 - . • Следовательно, arcsin х ,..., х при х -t О. Пример 18. 8. Покажем, что /1+Х - 1 ,..., ~ при х -t О. Q Решение: Так как lim v'I+X- 1 = lim (/I+X- l)(/I+X + l) = х-+0 ~ :но ~ · ( y'l + Х ± 1) =lim х х-+0 ~( y'l ± Х + 1) =lim х-+0 2 v'I+X ± 1 =~=1 2 ' • то v1I+X - 1 ,..., ~ при х -t О. Ниже приведены ва;>fСнеii.шие эквивалентности, которые исполь зуются при вычислении пределов: 151 6. ех - 1 ,...., х (х -+ О); 7. ах - 1 ,...., х · ln а (х-+ О); 8. ln(l + х) ,...., х (х -+О); 9. loga(l + х),...., х · loga е (х-+ О); 1. sinx,...., х при х-+ О; 2. tgx,...., х (х-+ О); 3. arcsinx,...., х (х-+ О); 4. arctgx,...., х (х-+ О); 2 10. (1 + x)k - 1 ,...., k · х, k > О (х -+О); 5.1-cosx,....,~ (х-+0); в частности, -/1 + х -1,...., ~- . ~ при.мер 18.9. н айти l im . 3 . х-+0 SШ Х Q Решение: Так как tg2x,...., 2x,sin3x,...., Зх при х-+ О, то • lim tg2x = lim 2х = ~х-+О Зх 3 х-+О sin Зх При.мер 18.10. Найти lim х(е 1 /х -1). Х-+00 Q Решение: Обозначим 1 = t, из х -+ оо следует t -+ О. Поэтому х lim х(е 1 1х -1) = lim ~(et - 1) = lim ~ · t = lim 1=1. х-+= t-+0 t t-+0 t 8 t-+0 При.мер 18.11. Найти lim ar~sin~x - ~). х-+1 Х Х + Q Решение: Так как arcsin(x - 1),...., (х - 1) при х-+ 1, то . arcsin(x - 1) _ 1. (х - 1) _ 1. 1 _ 1 llffi lffi lffi - - - - - . 2 х-+1 х - 5х + 4 х-+1 (х - l)(x - 4) х-+1 х - 4 3 • Приближенные вычисления Если о: ,...., (З, то, отбрасывая в равенстве о: = (З + + (о: - (3) бесконечно малую более высокого порядка, т. е. о: - (З, получим приближенное равенство о: ~ (З. Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие. Приведенные выше важнейшие эквива лентности служат источником ряда приближенных формул. х Приведенные формулы справедливы при малых х, и они тем точнее, чем меньше х. Например, графики функций у = tg х и у = х в окрестности точки О практически не различимы (см. рис. 114), а кривая у = sinx в окрестности точки О 152 Рис. 114. tg х~х (х-+0) сливается с прямой у = х (рис. 115). На рисунках 116-118 проиллю стрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых го ворилось выше. у у у=х 1 ---------,,. 2 Рис. 115. sin х::::: х (х-+ О) Рис. 116. ln(l+x):::::x (х-+0) у 1 у y=cosx 2 у=1-х2 2 Рис. 117. cosx:::::: 1- х2 При.мер у=1+~ 18.12. Рис. 118. (х-+ О) v'1+X:::::: 1 + ~ (х-+ О) Найти приближенное значение для ln 1,032. Q Решение: ln 1,032 = ln(l + 0,032) ~ 0,032 Для сравнения результата по таблице логарифмов находим, что ln 1,032 = 0,031498... 8 § 19. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 19.1. Непрерывность функции в точке Пусть функция у = f(x) определена в точке х 0 и в некоторой окрестности этой точки. Функция у = f(x) называется непреръtвноii в mо'Чке х 0 , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е. lim f(x) = !(хо). х-+хо 153 (19.1) Равенство (19.1) означает выполнение трех условий: 1) функция f(x) определена в точке Хо и в ее окрестности; 2) функция f (х) имеет предел при х ~ х 0 ; 3) предел функции в точке х 0 равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (19.1). Так как lim х =хо, то равенство (19.1) можно записать в виде ж-tжо lim f(x) = f( lim х) = f (хо). ж-tжо (19.2) ж-+жо Это означает, что при нахождении предела непрерывноii. функции f (х) можно переii.ти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргументах подставить его преде.лыюе зна-чение х0 . Например, . ein2 lim ~ 11m е-.- = е•-+о • ж-tО = е. В первом равенстве функция и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функции еж. Прuмер 19.1. Вычислить А= lim ln(l + х). ж-+0 Х Q Решение: lim ln(l+x) = lim .! ·ln(l+x) = limln(l+x)~ = ж-+0 Х ж-+0 Х ж-+0 = ln(lim (1 + х)~) = ln е = 1. ж-+0 8 Отметим, что ln(l + х) "' х при х ~ О. Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опи раясь на понятия приращения аргумента и функции. у Пусть функция y=f(x) определена в некотором интервале (а; Ь). Возьмем произвольную точ ;}лу 1 1 1 --------, разность х 1 /(хо) : - хо называется прира 1 щением : f(x) и обозначается дх («дельта х»): 1 1 1 1 1 Хо1 аргумента х в то-чке х0 дх=х-хо. Отсюда х=хо+дх. Разность 1Х ..__.. о ку х 0 Е(а; Ь). Для любого хЕ(а; Ь) х Лх Рис. 119 соответствующих значений функций f(x)- f(x 0 ) на зывается приращением функции f(x) в то-чке х 0 и обозначается ду (или д/ или д/(хо)): дy=f(x)-f(xo) или ду=f(хо+дх)-f(хо) (см. рис. 119). Очевидно, приращения дх и ду могут быть как положительными, так и отрицательными числами. 154 Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия --+ хо и х - Хо --+ О одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид х lim (f(x) - !(хо)) =О или Х--+Хо (19.3) ~ Полученное равенство (19.3) является еще одним определением непрерывности функции в точке: функция у= f(x) называется не nреръюн.оii в точке хо, если она определена в точке х 0 и ее окрестно сти и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому прираще нию аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое (равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение. Пример 19.2. Исследовать на непрерывность функцию у = sin х. Q Решение: Функция у = sin х определена при всех х Е IR. Возьмем произвольную точку х и найдем приращение Лу: Лу = sin( х + Лх) - sin х = 2 cos ( х + ~х) · sin ~х . Тогда lim Лу = lim 2 cos (х + Л2х) · sin Л2х = О, так как произдх--+О дх--+0 ведение ограниченной функции и б.м.ф. есть б.м.ф. Согласно определению (19.3), функция у= sinx непрерывна в точке х. 8 Аналогично доказывается, что функция у = cos х также непре рывна. 19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке Функция у= f(x) называется непрерывноii, в интервале (а, Ь), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. = Функция у f(x) называется непрерывноii, на отрезке [а, Ь], если она непрерывна в интервале (а, Ь) и в точке х = а непреръина спра- ва (т. е. lim f(x) = f(a)), а в точке х = Ь непреривна слева (т. е. х--+а+о lim f(x) = f(Ь)). х--+Ь-0 19.3. Точки разрыва функции и их классификация ~ Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называют ся то-чками разрыва эmoii функции. Если х разрыва функции у = хо - точка = f(x), то в ней не выполняется по крайней ме155 ре одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно: 1. Функция определена в окрестности точки х 0 , но не определена в самой точке Хо. Например, функция у = _1__2 не определена в точке х 0 = 2 (см. х- рис. 120). у IL о :2 у х 1 1 1 1 1 1 1 ' Рис. 120 Рис. 121 2. Функция определена в точке Хо и ее окрестности, но не суще ствует предела f (х) при х --t Хо. Например, функция f(x) = {х - 1, если 2 - х, если определена в точке Хо = 2 - 1 ~ х < 2, 2 ~ х ~ 5, (/(2) = О), однако в точке хо = 2 имеет разрыв (см. рис. 121), т. к. эта функция не имеет предела при х --t 2: lim f(x) = 1, а lim f(x) =О. х-+2-0 х-+2+0 3. Функция определена в точке хо у ет lim f (х), но этот предел не ра- и ее окрестности, существу 2 вен значению функции в точке х 0 : х-+хо lim f(x) i- !(хо). Х-+Хо 1 Например, функция (см. рис. 122) 27Г х Рис. 122 Здесь хо если х 2, если х =О. x-tO а g(xo) = g(O) = 2. 156 Х f. О; = О - точка разрыва: . ( ) = 1i. m sin-х- =1, 1imgx x-tO sinx g(x) = { ---Х' ~ Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва перво го и второго рода. Точка разрыва хо называется mo'Чкoti разрива первого рода функции у= f(x), если в этой точке существуют конеч ные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е. lim x--txo-0 f(x) = Ai и lim x--txo+O f(x) = А2. При этом: а) если Ai = А2, то точка хо называется mо'Чко11, устранимого раз рива; б) если Ai /:- А2, то точка Хо называется mо'Чко11, коне'Чного раз рива. Величину IA1 - А21 называют ска'Чком функции в точке разрыва первого рода. ~ Точка разрыва х 0 называется mo'Чкofi. разрива второго рода функции у = f (х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности. 1. Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 120). у = х~ 2 , Хо = 2 - точка разрыва второго рода. 2. Для функции f(x) = {х -1, 2-х, если если - 1 ~ х < 2, 2 ~ х ~ 5, х0 = 2 является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен 11- 01=1. 3. Для функции sinx { g(x) = ; х0 при х f:. О, при х =О = О является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив g(x) = 1 (вместо g(x) = 2) при х = О, разрыв устранится, функция станет непрерывной. При.мер 19.3. Дана функция f(x) = lx-3f . Найти точки разрых _ 3 ва, выяснить их тип. Q Решение: Функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой 1 при х > 3, оси, кроме точки х = 3. Очевидно, f(x) = { Следова-1 при х < 3. тельно, lim f(x) = 1, а lim f(x) = -1. Поэтому в точке х = 3 x--t3+0 х--tЗ-0 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен 1- (-1) = 2. 8 157 19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах. Теорема 19.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю). Q Пусть функция f(x) и <р(х) непрерывны на некотором множес'l'ве Х и х0 - любое. значение из этого множества. Докажем, например, непрерывность произведения F(x) = f(x) · 1.р(х). Применяя теорему о пределе произведения, получим: lim F(x)= lim (f(x)·1.p(x))= lim f(x)· lim 1.p(x)=f(xo)-<p(xo)=F(xo). х--+хо Итак, х--+хо х--+хо х--+хо lim F(x) = F(x 0 ), что и доказывает непрерывность функ х--+хо ции f(x) · <р(х) в точке хо. Теорема 8 19.2. Пусть функции и = 1.р(х) непрерывна в точке хо, а = f(u) непрерывна в точке и 0 = <р(х0 ). Тогда сложная функция у функция /(1.р(х)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке хо. Q В силу непрерывности функции и = <р(х), lim 1.р(х) = <р(х 0 ) = и 0 , x-txo т. е. при х -+ х 0 имеем и -+ и 0 • Поэтому вследствие непрерывности функции у= !(и) имеем: lim f(<p(x)) = lim f(u) = f(uo) = /(1.р(хо)). х--+хо и--+ио Это и доказывает, что сложная функция у= !(1.р(х)) непрерывна в точке хо. 8 Теорема 19.3. Если функция у= f(x) непрерывна и строго монотон на на [а; Ь] оси Ох, то обратная функция у = 1.р(х) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [с; d] оси Оу (без доказатель ства). 158 Так, например, функция tgx = sinx, в силу теоремы 19.1, есть cosx функция непрерывная для всех значений х, кроме тех, для которых cosx =О, т. е. кроме значений х = ~ + 1Гn, п Е Z. Функции arcsinx, arctgx, arccosx, arcctgx, в силу теоремы 19.3, не прерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены. lil Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, д.л,я которых они опре делены. ~ Как известно, элементарноiJ, называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число ариф метических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарна.я функция непрерыв на в ка:;нсдоfi. точке, в котороiJ она определена. Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены. Пример 19.4. Найти lim 2ctgx. x-+i" О Решение: Функция 2ctg х непрерывна в точке х = ~, поэтому • lim 2ctgx = 2ctg t = 21 = 2. x-t~ 19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств. Теорема 19.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрез ке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наимень шего значений. Изображенная на рисунке 123 функция у = f(x) непрерывна на отрезке (а; Ь], принимает свое наибольшее значение М в точке х 1 , а наименьшее т - в точке х2. Для любого х Е [а; Ь] имеет место нера венство т ~ f(x) ~ М. Следствие 19.1. Если функция непрерывна на отрезке, то она огра ничена на этом отрезке. 159 у у в 1 1 1 1 1 с А а Х1 Х2 ь о х Рис. 123 Теорема /(с) 1(а) т'1 о 1 1 а с :1 /(Ь) ь х Рис. 124 19.5 (Больцано-Коши). Если функция у = f(x) непре рывна на отрезке [а; Ь] и принимает на его концах неравные значения f(a) =А и f (Ь) = В, то на этом отрезке она принимает и все проме жуточные значения между А и В. Геометрически теорема очевидна (см. рис. 124). Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точка с внутри этого отрезка такая, что f(c) =С. Прямая у= С пересечет график функции по крайней мере в одной точке. Следствие 19.2. Если функция у= f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [а; Ь] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается в нуль: f (с) =О. Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функ ции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох (см. рис. 125). Следствие 19.2 лежит в основе так называемого «метода половuн ного делен'UЯ», который используется для нахождения корня уравне ния f(x) =О. Утверждения теорем 19.4 и 19.5, вообще говоря, делаются невер ными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна не на отрезке [а; Ь], а в интервале (а; Ь), либо функция на отрезке [а; Ь] имеет разрыв. Рисунок 126 показывает это для следствия теоремы 19.5: график разрывной функции не пересекает ось Ох. 160 у у f(b)>O f(b) >0 у=/! о о ь х L/ !(а) <0 Рис. 125 Пример 19.5. уравнения e2 x+l Рис. 126 Определить с точностью до с: = 0,00001 корень + х 2 - 5 =О, принадлежащий отрезку [О; 1), применив метод половинного деления. Q Решение: Обозначим левую часть уравнения через /(х). Шаг 1. Вычисляем ер= J(a) и 'Ф = Шаг 2. Вычисляем х = а ! Ь. f(b), где а= О, Ь = 1. Шаг 3. Вычисляем у= f(x). Если f(x) =О, то х - корень уравне- ния. Шаг 4. При f(x) -:/;О если у· ер< О, то полагаем Ь = х, 'Ф =у, иначе полагаем а= х, ер= у. Шаг 5. Если Ь - а - с: < О то задача решена. В качестве искомого корня (с заданной точностью с:) принимается величина х = а ! Ь. Ина- че процесс деления отрезка [а; Ь] пополам продолжаем, возвращаясь к шагу 2. В результате произведенных действий получим: х = 0,29589. 8 § 20. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 20.1. Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов. Скорость прямолинейного движения Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется нерав номерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответ ствует определенное расстояние ОМ = S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S = S(t). 161 Это равенство называют законом движения mо'Чки. Требуется най ти скорость движения точки. Если в некоторый момент времени' t точка занимает положение М, то в момент времени t+дt (дt - о S(t) 1ЛS1 S(t+Лt) приращение времени) (см. рис. 127). Таким образом, перемеще ние точки М за время Рис. 127 = точка займет положение М1 , где ОМ1 = S + дS (дS - приращение расстояния) = S(t + дt) - S(t). дt будет дS = отношение дS дt выражает среднюю скорость движения точки за время дt: дS Vcp. = дt. Средняя скорость зависит от значения дt: чем меньше дt, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t. Предел средней скорости движения при стремлении к нулю про межутка времени дt называется скоростью движения mо'Чки в данн'Ыti момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V, получим V l. V = lim S(t + дt) - S(t). дS = д~~о дt , или дt-->0 (20.1) дt Касательная к кривой Дадим сначала общее определение касательной к кривой. Возьмем на непрерывной кривой L две точки Ми М1 (см. рис. 128). Прямую М М1, проходящую через эти точки, называют секущеti. Пусть точка М1 , двигаясь вдоль кривой L, неограниченно прибли- жается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стре мится к некоторому предельному положению МТ. ~ Касате.л:ьноii. к iJaннoii. кривоii. в iJaннoii. то-чке М называ ется предельное положение МТ секущей М М1 , проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М1 неограниченно прибли жается по кривой к точке М1 . Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у = f(x), имею щий в точке М(х; у) невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент k = tga, где а - угол касательной с осью Ох. Для этого проведем через точку М и точку М1 графика с абсцис сой х + дх секущую (см. рис. 129). Обозначим через rp - угол между секущей М М1 и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен kсек -_ tg rp -_ -ду -_ f(x + дх) - f(x) · дх дх 162 х о х+дх х Рис. 129 Рис. 128 При дх ~ О в силу непрерывности функции приращение ду тоже стремится к нулю; поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1 , поворачиваясь около точки М, переходит в касательную. Угол <р ~а, т. е. Следовательно, lim tg <р = tg а. lim ер= а. дх-tО дх-tО Поэтому угловой коэффициент касательной равен . . . ду f(x + дх) - f(x) k = tg а: = 1lffi tg ер = 1lffi = 1lffi . дх-tО дх-tО дх дх-tО дх (20.2) К нахождению пределов вида (20.1) и (20.2) приводят решения и множества других задач. Можно показать, что: - если Q = Q(t) - количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент времени t равна I = lim дQ = lim Q(t + дt) - Q(t) · - если N (20.3) дt-tO дt дt-tO дt ' = N (t) - количество вещества, вступающего в химиче скую реакцию за время t, то скорость хими'Ч.еско1i реакции в момент времени t равна V = lim дN = lim N(t + дt) - N(t); дt-tO Дt дt-+0 дt (20.4) - если m = т(х) - масса неоднородного стержня между точками 0(0;0) и М(х;О), то лине1iна.я плотность стержня. в то'Ч.ке х есть S = lim дm = lim т(х + дх) - т(х). дх-+0 дх дх-tО (20.5) дх Пределы (20.1)-(20.5) имеют одинаковый вид; везде требуется най ти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производноii. Эти пределы можно записать так: V=S;; tga=y~; l=Щ; V=N:; S=m~ (читается «V равно S штрих по t», «тангенс а равен у штрих по Х» и т. д.). 163 20.2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой Пусть функция у= f(x) определена на некотором интервале (а; Ь). Проделаем следующие операции: - аргументу х Е (а; Ь) дадим приращение Лх: х + Лх Е (а; Ь); -найдем соответствующее приращение функции: Лу = f(х+Лх)- - f(x); - составим отношение приращения функции к приращению аргу- мента:~; - найдем предел этого отношения при Лх --+ О: lim 01/...ЛЛ . дх х *; Если этот предел существует, то его называют производной функ- ции f(x) и обозначают одним из символов f~, f'(x); у'; ~ у~. Производноfi. функции у= f(x) в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Итак, по определению у , . f(xo + дх) - !(хо) = 1lffi дх-+О ИЛИ Лх . /(х) - !(хо) . ! '( ) = 1lill Хо Х-+Хо х - Хо Производная функции f(x) есть некоторая функция f'(x), произ веденная из данной функции. ~ Функция у = !( х), имеющая производную в каждой точке интерва ла (а; Ь), называется дифференv,ируемоfi. в этом интервале; опе рация нахождения производной функции называется дифференциро ванием. Значение производной функции у= f(x) в точке х = х0 обознача ется одним из символов: f'(xo), y'Jx=xo или у'(хо). Пример 20.1. Найти производную функции у= С, С= const. Q Решение: - Значению х даем приращение Лх; - находим приращение функции Лу: Лу f(x + Лх) - f(x) =С-С=О; - значит, ~ = 1х = О; - следовательно, у 1 -- 1"im ~ Л дх-+0 Х 164 1"im о -- о , т. е. (с)' -- о . дх-+0 • Прuмер 20.2. Найти производную функции у= х 2 • Q Решение: - Аргументу х даем приращение дх; - находим ду: ду = (х + дх) 2 - х 2 = 2х · дх + (дх) 2 ; Д11 Д11 2х · дх + (дх) 2 - составляем отношение =: = = = 2х + дх; дх дх дх - находим предел этого отношения: lim Лх-+0 дду = lim (2х + дх) = 2х. Х Лх-+0 • Таким образом, (х 2 )' = 2х. В задаче про скорость прямолинейного движения было получено V 1· дS = л~~о дt · Это равенство перепишем в виде V = s;, т. е. скорость прямоли неii:ного движени.я материалъноii то-ч.ки в момент времени t естъ про изводная от пути S по времени t. В этом заключается механи-ч.ескиii смысл производноii. !iJ Обобщая, можно сказать, что если функция у = f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная у' есть ско рость протекания этого процесса. В этом состоит физическиii. смысл, nроизводноii.. !iJ В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент касательной k = tg о: = lim ОJJ...дд . Это равенство перепишем Лх-+0 в виде f'(x) Х = tgo: = k, т. е. производная f'(x) в точке х рав на уг.л,овому коэффициенту касате.л,ьноii. к графику функции у= f(x) в точке, абсцисса кomopoii. равна х. В этом заключается геометрическиii. смис.л, nроизводноii.. ~ у Если точка касания М имеет координаты (хо; Уо) (см. рис. 130), то угловой коэффи циент касательной есть k = f'(x 0 ). Пользуясь уравнением прямой, проходящей через задан ную точку в заданном направлении (у-уо = k(x-xo)), можно записать уравнение касате.л,ьноii.: у - Уо = f'(xo) · (х - хо). ~ Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется норма.л,ью к о х Рис. 130 кривоii.. Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой ко эффициент 1 kнорм. = - k кас. 165 1 - !'(хо)· Поэтому уравнение нормали имеет вид у - Уо = - !'(~о) · (х - хо) (если f'(xo) i- О). 20.З. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции Теорема 20.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней. Q Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой точке х. Следовательно, существует предел lim ОJJ..дд = f'(x). Лх-tО Х Отсюда, по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и бесконечно t малой функции, имеем = f'(x) +а, где а-+ О при дх-+ О, то есть ду = f'(x) · дх +а· дх. Переходя к пределу, при дх -+ О, получаем lim ду = О. А это и Лх-+0 означает, что функция у= f(x) непрерывна в точке х. Обратная у теорема неверна: • непрерывная функция может не иметь производной. Приме ром такой функции является функция у= о 1х 1 = { х х, если х ~О, -х, если х < О. Изображенная на рисунке 131 функция не Рис. 131 прерывна в точке х = О, но не дифференцируема в ней. Действительно, в точке х = О имеем ду = f(O + дх) - /(О) = f(дх) = lдxl = { 1, если дх >О, дх дх дх дх -1, если дх <О. Отсюда следует, что lim 011_дд не существует, т. е. функция у = lxl Лх-+0 Х не имеет производной в точке х = О, график функции не имеет каса- тельной в точке 0(0; О). liJ За.ме"tания: 1. Существуют односторонние пределы функции у = lxl в точке х =О: lim Лх-+0-0 011_дд = -1, Х lim Лх-+О+О 011..дд = 1. В таких случаях Х говорят, что функция имеет односторонние nроизводние (или «про изводные слева и справа»), и обозначают соответственно /'_(х) и f'+-(x). 166 Если f~(x) =/. f'_(x), то производная в точке не существует. Не существует производной и в точках разрыва функции. 2. Производная у'= f'(x) непрерывной функции у= f(x) сама не обязательно является непрерывной. iJ Если функция у = f (х) имеет непрерывную производную у' = f' (х) в некотором интервале (а; Ь), то функция называется гладкоfi.. 20.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций Нахождение производной функции непосредственно по определе нию часто связано с определенными трудностями. На практике функ ции дифференцируют с помощью ряда правил и формул. Пустъ функции и = и(х) и v = v(x) - две дифференцируемие в некотором интервале (а; Ь) функции. Теорема 20.2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (и± v)' =и'± v'. Q Обозначим у = и± v. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем: у'= lim (и(х + дх) ± v(x + дх)) - (и(х) ± v(x)) дх--+0 = Лх = lim (и(х + дх) - и(х) ± v(x + дх) -v(x)) дх--+0 Лх Лх . Ли ± 1. дv ,± , = 1lffi-Д lШ-Д =и V, дх--+0 Х дх--+0 Х • т.е. (и±v)'=и'±v'. Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых. Теорема 20.3. Производная произведения двух функций равна произ ведению производной первого сомножителя на второй плюс произве дение первого сомножителя на производную второго: (и·v)'=и'v+v'и. 167 О Пусть у = иv. Тогда у'= lim Лу = lim и(х + Лх) · v(x + Лх) - и(х). v(x) дх--+0 Лх дх--+О Лх = lim (и(х) +Ли)· (v(x) + Лv) - и(х) · v(x) = дх--+О Лх = lim v(x) · и(х) + и(х) · Лv + v(x) ·Ли+ Ли· Лv - и(х) · v(x) дх--+О Лх . ( v(х)·-+и(х)·-+Лv·Ли Лv Ли) = = дх--+О l1m Лх Лх Лх . . Л Ли ( ) . Лv Ли 1. = V (Х ) • lIШ -Л +и Х · 1IШ -Л + 1IШ V • lffi -Л = дх--+0 Х дх--+0 Х дх--+0 дх--+0 Х = и' · v + и · v' + О · и' = и' · v + и · v', • т.е. (и·v)' =и'·v+и·v'. При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи не прерывности и дифференцируемости: так как функции и = и(х) и v = v(x) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому Лv ~ О и Ли ~ О при Лх ~ О. Можно показать, что: а) (с· и)'= с· и', где с= const; 6) (и · v · w )' = и' · v · w + и · v' · w + и · v · w'. Теорема 20.4. Производная частного двух функций иtх1, v x если v(x) =f =/:- О равна дроби, числитель которой есть разность произведений зна менателя дроби на производную числителя и числителя дроби на про изводную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаме- нателя: (;) = и'· v ~и· v', v =/:-О. 1 О Пусть у = :!! . Тогда v у' и х+дх ~ их +ди uf "'1 = lim v х+дх - VГxJ = lim v х +дv - v х = дх--+О Лх дх--+0 Лх = lim и(х) · v(x) + v(x) ·Ли - и(х) · v(x) - и(х) · Лv = дх--+О Лх · (v(x) 168 + Лv)v(x) V. Ли -и. Лv v . ди - и. дv Лх Лх 1. =1m 2 Лх-+О дх · (v + v · дv) Лх-+0 v 2 + v · дv . 1 =1m v · lim Ли - и · Лх-+0 Лх lim Лv u'v - uv' Лх-+0 Лх v 2 + v · lim дv v2 Лх-+0 • т. е. ( ;-) = и' v;; uv'. Следствие 20.1. (~)'=~·и'. 1 Следствие 20.2. 20.5. ( ;;-с)' = - с ~ 2v 1 , где с = const. Производная сложной и обратной функций Пусть у= !(и) и и= ср(х), тогда у= f(cp(x)) - сложная функция с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х. Теорема 20.5. Если функция и= ср(х) имеет производную и~ в точке х, а функция у= f(u) имеет производную у~ в соответствующей точке и= ср(х), то сложная функция у= /(ср(х)) имеет производную у~ в точке х, которая находится по формуле у~ =у~· и~. Q По условию Ли-+0 lim ~дд =у~. Отсюда, по теореме о связи функции, ее U предела и бесконечно малой функции, имеем ~ = у~ + а или ду =у~· ди +а· ди, (20.6) где а -+ О при ди -+ О. Функция и = ср(х) имеет производную в точке х: lim дди =и~, Лх-+0 поэтому + /3 · Х /3 ди =и~· дх дх, где -t О при дх-+ О. Подставив значение див равенство (20.6), получим ду = у~(и~ · дх + /3 · дх) + а(и~ · дх +,В· дх), т. е. ду =у~· и~· дх +у~· ,В· дх +и~· а· дх +а· ,В· дх. Разделив полученное равенство на дх и перейдя к пределу при дх -+ О, получим у~ = у~ · и~. 8 169 !il Итак, для нахождения производной сложной функции надо произ водную данноit функции по nроме;нсуточному аргументу умно;нсиmь на производную проме;нсуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов не сколько. Так, если у = f(u), и = rp(v), v = g(x), то у~ = у~· и~ · v~. Пусть у= f(x) их= rp(y) - взаимно обратные функции. Теорема 20.6. Если функция у = f(x) строго монотонна на интер вале (а; Ь) и имеет неравную нулю производную f'(x) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х = rp(y) также име ет производную rp'(y) в соответствующей точке, определяемую равен- ством rp'(y) = !'Сх) или х~ = :~. О Рассмотрим обратную функцию х = rp(y). Дадим аргументу у при ращение ду =f. О. Ему соответствует приращение дх обратной функции, причем дх =/:-О в силу строгой монотонности функции у= f(x). Поэтаму можно записать дх ду 1 - (20.7) !;ш. дх Если ду -+ О, то в силу непрерывности обратной функции прира- щение дх -+ О. И так как lim ~дд = f'(x) =f. О, то из (20.7) следуют Лх-+0 Х 1д равенства ду-+О lim ддх = = f'(lх) , т. е. rp'(y) = 1,(х ) . У lim ~ дх-+0 Лх • !il Таким образом, производная oбpamнoit функции равна обратноit величине производноit данноit функции. Правило дифференцирования обратной функции записывают так: 1 1 Ух=/ Ху ИЛИ dy 1 dx = ([Х· dy Пример 20.3. Найти производную функции у= log~tgx 4 . Q Решение: Данная функция является сложной. Ее можно предста = = вить в виде цепочки «простых» функций: у и 3 , где и log 2 z, где 4 z tg q, где q х • По правилу дифференцирования сложной функ ции (у~ =у~· и~· z~ · q~) получаем: = = 1 у~= 3 · log~tgx 4 · -~- tgx4 · ln2 170 1 4х 3 cos 2 х 4 · -~~· • Пример Пользуясь правилом дифференцирования обрат 20.4. ной функции, найти производную у~ для функции у= Vx - 1. Q Решение: Обратная функция х = у 3 +1 имеет производную х~ = Зу 2 . Следовательно, 1 1 1 • 1 Ух= х~ = Зу 2 = 3 · \,/(х - 1)2 · 20.б. Производные основных элементарных функций Степенная функция у = xn, n Е N Дадим аргументу х приращение дх. Функция у= xn получит при ращение ду = (х + дх)n - xn. По формуле бинома Ньютона имеем ду = ( xn + п. xn-1 . дх + n(n2~ 1) xn-2 . дх2 + ... + (дх)n) - Xn = = п. xn-1. дх + п(п -1) 2! хn-2дх2 + ... + (дх)n . Тогда ду п. xn-1. дх + n(n~l)xn-2дx2 +. + (дх)n дх дх -- 2. - = п. xn-1 + п(п - 1) . xn-2. дх + ... + (дх)п-1. 2! Находим предел составленного отношения при дх --+ О: lim ду = lim (n·xn- 1 +!n·(n-l)·xn- 2 дx+· · ·+(Лх)п- 1 ) = п·хп- 1 . Лх-+0 Лх Лх-+0 2 Таким образом, Например, (х 3 )' (xn)' = п. xn-1. = Зх 2 , (х 2 )' = 2х, х' = 1. Ниже (см. замечание на с. 175) будет показано, что формула произ водной степенной функции справедлива при любом п Е IR (а не только натуральном). Показательная функция у = аж, а > О, а # 1 Найдем сначала производную функции у = ех. Придав аргументу х приращение дх, находим приращение функции ду: ду = ех+дх -ех = Д11 = ех(е д х - 1). Стало быть, ДХ = е 2 (ед 2 дх - 1) и l" х едх - 1 х l" едх - 1 х l" дх х 1 х li. mду - = ~те· =e·im =e·im-=e· =е. дх-+ОЛх Лх-+0 дх Лх-+0 171 Лх Лх-+ОЛх При ех - вычислении предела воспользовались эквивалентностью 1 "" х при х ~ О. Итак, у' = ех, т. е. (ех)' = ех. Теперь рассмотрим функцию у = ах, х Е Ж. Так как ах = ех ln а, то по формуле производной сложной функции находим: (ах)'= (exlna)' = exlna. (х · lna)' = ex\na · lna =ах· 1na. Таким образом, (ах)'= ах lna. Пример 20.5. Найти производную функции у= 7х 2 - 4 х. Q Решение: Используя формулу производной сложной функции и формулу производной показательной функции, находим у'= (7х 2 - 4 х)' = 7х 2 - 4 х · ln 7 · (х 2 - 4х)' = 7х 2 - 4 х · ln 7 · (2х - 4). Логарифмическая функция у = lo&. х, а > О, а =l 1 Найдем сначала производную функции у= lnx. 8 Для нее ду _ ln(x + дх) - lnx _ ln(~) _ ln(l + ~) дх дх дх дх Переходя к пределу при дх ~ О и воспользовавшись эквивалент- ностью ln ( 1 + ~) "" ~х при дх ~ О, получаем: -= Ду lim дх-+0 Лх ln(l+ дх) х дх lim дх-+0 = -=-, дх 1 lim ~= lim дх-+0 Дх дх-+0 Х 1 Х т. е. у'= 1 или (lnx)' = 1. х х Теперь рассмотрим функцию у= loga х. Так как log х = lnx то а 1na' (logax)' =с::)'= 1:а. (lnx)' = ~l:a. Таким образом, (loga х )' = - 11- . х · na Пример 20. 6. Найти производную функции у = ln(x4 - 2х 2 + 6). Q Решение: у'= 1 . (х4 - 2х2 + 6)' = 4хз - 4х . 8 х4 - 2х 2 + 6 х 4 - 2х 2 + 6 Производную логарифмической функции у = loga х можно найти иначе. Так как обратной для нее функцией является х = аУ, то по формуле производной обратной функции имеем: (log х)' = _1_ = а (аУ)' 1 = 1 aY·lna x·lna· 172 Тригонометрические функции у= sinx, у= cosx, у= tgx, у= ctgx Для функции у = sin х имеем: ду _ sin(x + дх) - sin х _ 2 sin ~ cos(x + ~) _ sin .:;х ( дх) дх дх дх cos х+ 2 . дх - 2 Переходя к пределу при дх -t О и воспользовавшись первым за мечательным пределом lim sinддx = 1, получаем дх-+0 Х ду sin дх ( дх) lim -д = lim ---д--1- ·cos х + = 1 · cos х, дх-+0 Х дх-+0 2 --.} т. е. у'= cosx или (sinx)' = cosx. Найдем производную функции y=cosx, воспользовавшись форму лой производной сложной функции: (cosx)' = (sin(~ -х)) =cos(~ -х) 1 ·(~ -х) =cos(~ -х) ·(-1)=- sinx, 1 т. е. (cosx)'=-sinx. Для нахождения производных функций y=tgx и y=ctgx восполь зуемся формулой производной частного: (t х)' = ( sin х) '= (sin х)' cosx-sin x(cos х)' g cos х cos2 х cos2 x+sin 2 х cos 2 х 1 cos2 х ' т. е. (tgx)'=~. cos х Проделав аналогичные операции, получим формулу (ctgx)' = -+. sш х Этот результат можно получить иначе: (ctgx)'= (tg(~-x))' = cos2 (~-x) ·(-l)=--sin-\-x. Пример 20. 7. Найти производную функции у= cos2x. Q Решение: (cos2x)' = -sin2x · (2х)' = -2sin2x. Обратные тригонометрические функции у= arcsinx, у= arccosx, • у= arctgx, у= arcctgx Пусть у = arcsinx. Обратная ей функция имеет вид х = siny, у Е [-~;~].На интервале (-~; ~) верно равенство х' = cosy-:/:- О. По правилу дифференцирования обратных функций ( . )' 1 1 1 1 arcsшx = (siny)' = cosy = J1 - sin2 у - J1 - х2' 173 rде перед корнем взят знак плюс, так как cos у > О при у Е (- ~; ~). Итак, (arcsinx)' = 1 J1-x . 2 Аналогично получаем, что (arccosx)' = - J 1 . Эту формулу можно получить проще: так как arccos х + arcsin х = i, т. е. arccos х = = ZL 2 - arcsinx, то (arccosx)' = (к 2 - arcsinx)' = - 1 1-х 2 Vl-x2 Найдем производную функции у= arctgx. Она является обратной к функции х = tg у, rде у Е ( . -i; ~) . Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, получаем, что 1 2 = - 1- . (arctgx)' = - 1- =---}.- = cos 2 у= (tgy)' ::::::г.: 1 + tg у 1 + х2 cos у Итак, (arctgx)' = ~l . +х Функции arctg х и arcctg х связаны отношением 1Г arctg х + arcctg х = "2, 1Г т. е. arcctg х = 2 - arctg х. Дифференцируя это равенство, находим (arcctgx)' = (i-arctgx)' = -(arctgx)' = - 1 :х 2 ' т. е. (arcctgx)' = -~ 1 1 . +х Пример 20.8. Найти производные функций: 1) y=arccosx 2 ; 2) у= =x·arctgx; 3) у=(1+5х-3х 3 ) 4 ; 4) y=arccosy'X; 5) y=log~(З+2-x). Q Решение: 1) (arccosx 2 )' = - 1 J1 - 2 2х · (х )' = - ~; (х 2 ) 2 1 - х4 х 2) (х · arctgx)' = х' · arctgx + х · (arctgx)' = arctgx + - -2 ; 1+х 3) ((1+5х - Зх 3 ) 4 )' = 4(1+5х - 3х 3 ) 3 • (5 - 9х 2 ); 1 1 4) (arccos у'Х)' = (у'Х)2 . 2у'Х; J1 - 1 5) (log~(З+ 2-х))' = З lоg~(З+2-х) · (З + 2 _х) ln 3 · 2-х · ln 2 · (-1). 8 174 Заме'Чание: Найдем производную степенной функции у = х°' с лю бым показателем а Е Ilt В этом случае функция рассматривается для х >о. Можно записать х°' = ea·In х. По правилу дифференцирования сложной функции находим 1 х°' х х (х°')' = (ea:·lnx)' = eo"Inx. (а· lnx)' =а. ea·lnx. - =а. - =а. х°'-1, т. е. (х°')' = а· х°'- 1 . Формула остается справедливой и для х <О, если функция у= х°' существует: при всех х # О. Пример 20.9. Показать, что функция у= ~2 + 2 ~ 2 +С удовле творяет уравнению х 3 · у' + 1 = х 4 . Q Решение: Находим у': у ' = 2" 1 · 2х + 2" 1 · ( -2 ) х -3 +О, т. е. у' = х - -:5r. Подставляем значение у' в данное уравнение: х х 3 · ( х - : 3 ) + 1 = х4, т. е. х4 - 1+1 = х 4 , О= О. Функция удовлетворяет данному уравнению. 20.7. • Гиперболические функции и их производные В математике, механике, электротехнике и некоторых других дис циплинах встречаются гиперболи'Ческие функции, определяемые следу ющими формулами: ~ х sh х = е - 2 е ch х = е х +е 2 -х -х - гиперболический синус; - гиперболический косинус («цепная линия»); h х + -х h = е - е -х и cth х = ~ th х = ~ = е е - гиперболичесh х ех + е-х shx ех - е-х ский тангенс и котангенс, где е неперово число. На рисунках 132-135 показаны графики гиперболических функ х ций. Между гиперболическими функциями существуют следующие ос новные зависимости: 175 х о х Рис. 132 Рис. 133 у ---------~-\:::_ 1 о Рис. 134 х Рис. 135 ch 2 х - sh 2 х = 1; sh(x ±у)= shx · chy ± chx · shy; ch(x ±у)= chx · chy ± shx · shy; ( ) - th х ± th у . th х ± у - 1 ± th х . th у ' sh2x = 2shx · chx; Все эти ch2x = ch 2 х + sh 2 х. формулы вытекают из определения гиперболических -е -х функций. Например, с h 2 x-s h2 х= ( е х + е -х 2 )2 - ( х е 2 )2 = 1 = -(е2х + 2 + е-2х - е2х + 2 - е-2х) = -41 . 4 = 1. 4 176 Геометрическая интерпретация гиперболических функций (см. рис. 137) аналогична интерпретации тригонометрических функций (см. рис. 136). у у 1 вх о Рис. Параметрические 136. уравнения о х = cos t и у Рис. 137. Параметрические уравнения х = = = sin t определяют окружность х 2 +у 2 = 1, причем ОА = cost, АМ sint = х ch t и у = sh t определяют гипер болу х 2 - у 2 = 1, причем ОА = ch t, АМ = sht Найдем производные гиперболических функций: (shx)' = ( ех - 2 е-х )' = ех i е-х = chx, т. е. (shx)' = chx; (chx)' = (ех "1е-х)' = ех -2 е-х = shx, т. е. (chx)' = shx; (shx)' chx - shx(chx)' ch2 х - sh 2 х ch2 х ch х 1 1 = 2 , т. е. (th х)' = 2 ; ch х ch х (cthx)'=(chx)'=sh2x-ch2x=- 1 ,т.e.(cthx)'=- 1 . sh х sh х sh2 х sh 2 х (thx)' = ( shx )' = chx 20.8. Таблица производных Выведенные правила дифференцирования, формулы производных основных элементарных функций запишем в виде таблицы. На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент «Х» заменен на промежуточный аргу мент «U». Правила дифференцирования 1. (и± v)' =и'± v'; 2. (и· v)' = u'v + uv', в частности, (си)'= с· и'; 177 3. (~)' = и'v; иv', в частности,(~)'=_,_; 4. у~ =у~· и~, если у= f(u), и= rp(x); 5. у~= J,., если у= f(x) их= rp(y). Ху Формулы дифференцирования 1. (с)' = О; 2. (и°')' = а · и°'- 1 ·и', в частности, (.jU)' = 1;:: ·и'; 2vи 3. (аи)' =аи· ln а· и', в частности, (еи)' = еи ·и'; 4. (log и)' = - 1- · и' в частности (ln и)' = 1 · и'· ' ' и ' 6. (cosu)' = -sinu·u'; 1 ·и'; 7. (tgu)' = 8. (ctgu)' = - . 12 ·и'; cos2 и sш и 1 1 9. (arcsinu)' = ·и'; 10. (arccosu)' = а и· lпа 5. (sinu)' = соsи·и'; 1 ·и'; 11. (arctgu)' = ~l ·и'; ~ 12. (arcctgu)' = -~1 . и'; 13. (sh и)'= ch и· и'; 15. (th и)' = 12 · и'; ch и 14. (ch и)'= sh и· и'; 16. (cth и)' = - 12 · и'. sh и J1-u 2 +и +и Для вычисления производных надо знать лишь правила диффе ренцирования и формулы производных основных элементарных функ ций, строго соблюдать эти правила при выполнении упражнений. При.мер 20.10. Найти производную функции у= х4 -3х 3 +2х-1. Q Решение: у'= (х 4 - 3х 3 + 2х - 1)' = (х 4 )' - (3х 3 )' + (2х)' - (1)' = = 4х 3 - 3(х 3 )' + 2(х)' - О= 4х 3 - 9х2 + 2. 8 Надо стараться обходиться без лишних записей. При.мер 20.11. Найти производную функции у= 2txgx3 . Q Решение: у' = ( 2х 3 )' = 2 . (х 3 )' · tg х - х 3 · (tg х)' = 2 . 3х 2 · tg х - х 3 · со;2 ж tgx (tgx) 2 (tgx) 2 • Производная найдена. В процессе решения использованы правила 2, 3 и формулы 2, 7. При.мер 20.12. Найти производную функции у= cos(ln 12 2х). 178 Q Решение: Коротко: у' = - sin(ln12 2х) · 12 ln 11 2х · 2~ · 2. Решение с пояснениями: данную функцию можно представить сле = cosu, и = t 12 , t = lnz, z = 2х. Производную сложной функции найдем по правилу у~ = у~ · и~ · t~ · z~ (здесь проме дующим образом: у жуточных аргументов три): у1 х • = - sш и . 12 . t 11 . -1 . 2 , z т. е. Ух1 = • - sш t 12 · 12 · (1 n z )11 · 21х · 2 , т. е. у т. е. 1 х • (1 1 =-s1n nz ) 12 · 12 · ln 11 z·-, х у~ = - sin(ln 12 2х) · 12 · ln11 2х · .!:.. х Окончательно у'х = -12 · sin(ln 12 2х) · ln 11 2х · .!:.. х • § 21. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ 21.1. Неявно заданная функция Если функция задана уравнением у= f(x), разрешенным относи тельно у, то функция задана в явном виде (явная функция). ~ Под неявным заданием функции понимают задание функции в • виде уравнения F(x;y) =О, не разрешенного относительно у. Всякую явно заданную функцию у = f (х) можно записать как неявно заданную уравнением f(x) - у= О, но не наоборот. Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение от носительно у (например, у+ 2х + cosy - 1 =О или 2У - х +у= О). li Если неявная функция задана уравнением F(x; у) =О, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать урав нение относительно у: досmаmично nродифферен:цироваmь это уравнение no х, рассматривая nри этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'. Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у. Пример 21.1. Найти производную функции у, заданную уравне нием х 3 + у 3 - 3ху = О. 179 Q Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равен ство х3 + у 3 - Зху = О. Из полученного соотношения 3х 2 + 3 · у 2 ·у' - 3(1 ·у+ х ·у')= О • У - х2 следует, что у 2 у' - ху' = у - х 2 , т. е. у' = :-:т--=. у -х 21.2. Функция, заданная параметрически Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений х = x(t), { у= y(t), где t - (21.1) вспомогательная переменная, называемая параметром. Найдем производную у~, считая, что функции (21.1) имеют произ водные и что функциях= x(t) имеет обратную t = <р(х). По правилу дифференцирования обратной функции t~ = __!,.. (21.2) Xt Функцию у = f(x), определяемую параметрическими уравнения ми (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у = y(t), где t=<p(x). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у~ = =у~. t~. С учетом равенства (21.2) получаем 1 1 1 Ух= Yt · -,, т. е. Xt 1 у~ Ух=/· Xt Полученная формула позволяет находить производную у~ от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зави симости у от х. t:, Пример 21.2. Пусть {х = t. Найти у~. у= Q Решение: Имеем х~ 3t 2 , у~ 2t. Следовательно, у~ • у / = -2.. х 2t W' т. е. Зt" В этом .можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х. действительно, t , _ 2 = vз;;;х. тогда у -_ vзгz х~. 0 тсюда Ух - 3 Vx, т. е. у- 2 - зt· 180 § 22. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В ряде случаев для нахождения производной целесообразно задан ную функцию С'Нд'Ч.ала прологарифмировать. А затем результат про дифференцировать. Такую операцию называют логарифми'Ч.еским диф ференцированием. Пример 22.1. Найти производную функции у= (х 2 + 2) · V(x - 1) 3 • ех (х + 5) 3 Q Решение: Можно найти у' с помощью правил и формул дифферен цирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим ло гарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию: lny = ln(x 2 + 2) + i ln(x -1) + х - Зln(x + 5). Дифференцируем это равенство по х: 1 1 1 3 1 1 - ·у= - - ·2х+- · - - + 1 - 3 · - - . у х2 + 2 4 х- 1 х+5 Выражаем у': , 2х ( 3 3 ) У =у х 2 + 2 + 4(х - 1) + 1 - х + 5 ' т. е. 1 у = (х 2 + 2) · V(x - 1)3 · ех ( (х + 5) 3 · 2х 3 3 х 2 + 2 + 4(х - 1) + 1 - х + 5 ) · 8 iJ Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так на зываемая сmеnенно-nоказаmел:ьна.я функция у= uv, где и= и(х) и v = v(x) - заданные дифференцируемые функции от х. Найдем про изводную этой функции: lny = v · lnи, ===} 1 -·у у у1 1 1 1 1 =v ·lnи+v·-·и, и = у v · ln и + v · ~1 · и ') , ( 1 т. е. у' = и v ( v' · ln и + v · ~ · и') , или / (uv)' = иv · ln и· v' + v · иv-l ·и'./ 181 (22.1) Сформулируем правило запоминания формулы (22.1): производ ная степенно-показательной функции равна сумме производной пока зательной функции, при условии и = const, и производной степенной функции, при условии v = const. При.мер 22.2. Найти производную функции у= (sin2x)x 2 +1 . Q Решение: Пользуясь формулой (22.1), получаем: у' = (sin 2х)х 2 + 1 • ln sin 2х · 2х + (х 2 + l)(sin 2х)х 2 • cos 2х · 2. 8 Отметим, что запоминать формулу (22.1) необязательно, легче за помнить суть логарифмического дифференцирования. § 23. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 23.1. Производные высших порядков явно заданной функции Производная у' = f'(x) функции у= f(x) есть также функция от х и называется производно'i~ первого порядка. Если функция f'(x) дифференцируема, то ее производная называ- ется производной второго порядка и обозначается у" (или f"(x), ~:~, d~ (*),~)-Итак, у"= (у')'. Производная от производной второго порядка, если она существу ет, называется производной третъего порядка и обозначается ут (или f"'(x), ~:~, ... ).Итак, у"'= (у")'. Производной п-го порядка (или п-й производной) называется про изводная от производной (n - 1) порядка: 1 y(n) = (y(n-1))'. J Производные порядка выше первого называются производнъtми вьtсших порядков. Начиная с производной четвертого порядка, производные обозна чают римскими цифрами или числами в скобках (yv или yC 5 J - про изводная пятого порядка). При.мер 23.1. Найти производную 13-го порядка функции у = sinx. 182 Q Решение: у' = (sin х )' = cos х = sin ( х + ~), 2), х + ~ · 3) , у"= (у')'= (cosx)' = -sinx = sin(x + ~ · у 111 = (- sin х)' = - cos х = sin ( y 1v = (- cos х )' = sin х = sin ( х + ~ · у< 13 ) = sin ( х + ~ · 4) , 13). • 23.2. Механический смысл производной второго порядка Пусть материальная точка М двюкется прямолинейно по закону S = f(t). Как уже известно, производная данный момент времени: s; = v. s: равна скорости точки в Покажем, что вторая производна.я от пути по времени есть ве ли'Чшtа ускорения прямо.линеfiного движения mО'ЧКи, Т. е. Пусть в момент времени t + дt - скорость равна V s:' = а. t скорость точки равна V, а в момент + д V, т. е. за промежуток времени дt ско рость изменилась на величину д V. Отношение 1,.~ выражает среднее ускорение двюкения точки за время дt. Предел этого отношения при дt -t О называется ускорением точки м в данный момент t и обозначается буквой а: lim лдvt = а, дt-+0 т. е. V' =а. Но V = s;. Поэтому а= (S;)', т. е. а= s; 1• 23.3. Производные высших порядков неявно заданной функции Пусть функция у = f(x) задана неявно в виде уравнения F(x;y) =О. Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (пер вую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут х, у и 183 у'. Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй произ водной, выразим у" через х и у. Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка. Пример 23.2. Найти у 111 , если х 2 + у 2 = 1. а Решение: Дифференцируем уравнение х2 + у 2 - 1 = о ПО х: 2х + 1 ·у - х. у' х , т. е. + 2у · у' О. Отсюда у' Далее имеем: у" 2 = = --. у - х . ( - ~) у"= У у2 + х2 у2 тельно, у 111 = 23.4. =- у =- у 1 = -(так как х2 + у 2 = 1), следовауз уз -1·3у 2 ·у' =-3. (--х) =-3х уб у4 у • у5. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически f (х) задана параметрическими уравнениями Пусть функция у = x(t), { ху== y(t). Как известно, первая производная у~ находится по формуле 1 у~ = у~. (23.1) Xt Найдем вторую производную от функции заданной параметриче ски. Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что у"хх = (у')' = (у')' . t'х = (у~)~ х х х t х' ' t т. е. у // = (у~)~ 1 • хх (23.2) Xt Аналогично получаем Ym = Ухх t ( ххх 11 )' х~ ' YIV хххх = Уххх t ( 111 х~ )' ' Пример 23.3. Найти вторую производную функции Q Решение: По формуле (23.1) , (sint)~ cost Ух = (cos t)~ = - sin t = - ctgt. 184 { х = cost, . у= sшt. Тогда по формуле (23.2) ctg t)~ si;2 t 1 (cost)~ = -sint = - sin3 t" ( - 11 Ухх = • Заметим, что найти У~х можно по преобразованной формуле (23.2): 11 1 (у~)~ (~ )~ Ухх = ~ = ~ = у~'· х~ - х~' ·у~ (х~)З запоминать которую вряд ли стоит. § 24. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 24.1. Понятие дифференциала функции Пусть функция у = f(x) имеет в точке х отличную от нуля про изводную lim ~дд = f'(x) f:. О. Тогда, по теореме о связи функции, ее дх--tО Х предела и бесконечно малой функции, можно записать ~ = !' (х) +о:, где о:-+ О при дх-+ О, или ду = f'(x) · дх +о:· дх. Таким образом, приращение функции ду представляет собой сум му двух слагаемых f' (х) · дх и о: · дх, являющихся бесконечно малыми при дх-+ О. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функ ция одного порядка с дх, так как lim /'(х) · дх Д дх--tО Х = f'(x) f:. О, а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем дх: о: . дх lim дх--tО -д Х = lim о: = О. дх--tО Поэтому первое слагаемое f'(x) · дх называют главноii. -частью nрuращени.я функции ду. ~ Дифференциалом функции у= f(x) в точке х называется глав ная часть ее приращения, равная произведению производной функ ции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x)): dy = f'(x) · дх. Дифференциал (24.1) dy называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. диф ференциал функции у= х. Так как у'= х' = 1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy = dx = = дх, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx = дх. Поэтому формулу (24.1) можно записать так: 1 dy = f'(x)dx, 185 1 (24.2) !i иными словами, дифференциа.л, функции равен произведению nроизводноii. эmoii. функции на дифференциа.я независимоii. nеременноii.. Из формулы (24.2) следует равенство fШ = f'(x). Теперь обозначение производной fШ можно рассматривать как отношение дифферен циалов dy и dx. При.мер 24.1. Найти дифференциал функции f(x) = 3х 2 - sin(l + 2х). Q Решение: По формуле dy = f'(x)dx находим dy = (3х 2 - sin(l + 2х))' dx = (6х - 2 cos(l + 2х)) dx. При.мер 24.2. 8 Найти дифференциал функции у= ln(l + е 10 х) + Jx2+1. Вычислить dy при х = О, dx = 0,1. Q Решение: dy = (ln(l + е 10 х) + х х ) J х 2 + 1)' dx = ( 110е 10 + JX2+1 dx. +е х х +1 10 2 Подставив х =О и dx = 0,1, получим dy' ° 24.2. • х=О, = (12 +О )о,1 = 0,5. dx=0,1 Геометрический смысл дифференциала функции Выясним геометрический смысл дифференциала. Для этого функции у проведем к графику у = f(x) в точке М(х; у) ка сательную МТ и рассмотрим ордина ту этой касательной для точки х + Лх (см. рис. 138). На рисунке JAMJ = Лх, у+Лу Лу. Из прямоугольного тре Лу JAM1 J = угольника М АВ имеем: JABJ tga = Лх , т. е. JABJ = tga · Лх. Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga = f'(x). По этому АВ = f'(x) · Лх. 186 х х+Лх Рис. 138 х iJ Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy = АВ, т. е. дuфференцuа.л, функции. у= f(x) в точке х ра вен при.ращению ордuнати касате.л,ьноii. к графи.ку функции. в эmoii. mо'Чке, когда х no.л,y'Чum при.ращение дх. В этом и состоит геометрический смысл дифференциала. 24.3. Основные теоремы о дифференциалах Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy = f' (х) dx) и соот ветствующие теоремы о производных. Например, так как производная функции у= с равна нулю, то диф ференциал постоянной величины равен нулю: dy=c' dx=O· dx=O. Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами: d(u + v) = du + dv, d(uv) = v · du +и· dv, d ( ~) = v du - и dv (v 1' 0). v v2 Q Докажем, например, вторую формулу. По определению дифферен циала имеем: d(uv) = (uv)'dx = (u'v + uv')dx = v · u'dx +и· v'dx = vdu + udv. 8 Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведе нию производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента. О Пусть у= J(u) и и= ср(х) две дифференцируемые функции, образу ющие сложную функцию у= f(cp(x)). По теореме о производной сложной функции можно написать ' Умножив обе части этого равенства на dx, получаем y~dx=y~u~dx. Но у~ dx = dy и и~ dx = du. Следовательно, последнее равенство можно переписать так: dy =у~· du. 187 • Сравнивая формулы dy = у~ · dx и dy = у~ · du, видим, что пер вый дифференциал функции у = f(x) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента. ~ Это свойство дифференциала называют инвариантностью (не изменностью) форми первого дифференциала. Формула dy = у~ · dx по внешнему виду совпадает с формулой dy = у~ · du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле х независимая переменная, следовательно, dx = дх, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du f- f- ди. С помощью определения дифференциала и основных теорем о диф ференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов. Например, d( cos и) = ( cos и)~ · du = 24.4. - sin и · du. Таблица дифференциалов 1. d(u ± v) = du ± dv; 2. d(u · v) = vdu + udv, в частности, d(cu) =с· du; 3. d ( ~) = v du;; и dv , в частности, d (;) = - cv1v ; 4. dy =у~ dx, если у= f(x); 5. dy =у~· du, если у= !(и), и= rp(x); 6. dc =О; 7. d(u°') =а· и°'- 1 • du; 8. d(аи) =аи· lna · du, в частности, d(eu) = еи · du; 9. d(loga и) = - 11- · du, в частности, d(ln и) = 1 · du; и·nа и 1 du; 16. d(arctgu) = ~l 10. d(sinu) = cosudu; 11. d(cosu) = - sin udu; 12. d(tgu) = ~du; cos и 13. d(ctgu) = --:Jг- du; sш +и 18. d(sh и)= ch udu; 19. d(chu) = shudu; и 14. d(arcsin и) = у' 1 1-и 2 15. d(arccos и) = - +и 17. d(arcctgu) = -~ 1 1 du; h 20. d(thu) = ~hl du; с и . du; 1-и 2 du; 188 21. d(cthu) = -~hl du. s и 24.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям = f(x) в точке х f'(x) · Лх +а· Лх, где а --+ О при Как уже известно, приращение Лу функции у можно представить в виде Лу = Лх--+ О, или Лу = dy +а· Лх. Отбрасывая бесконечно малую а· Лх более высокого порядка, чем Лх, получаем приближенное равенство Лу ~ dy, (24.3) причем это равенство тем точнее, чем меньше Лх. lil Это равенство позволяет с бо.л;ьшоii, точностью вы-чи слить nриб.л,и;нсенно приращение .л,юбоii, дифференцируе моii функции. Дифференциал обычно находится значительно проще, чем прира щение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычи слительной практике. Пример УЦ.3. Найти приближенное значение приращения функ ции у = х 3 - 2х + 1 при х = 2 и Лх = 0,001. Q Решение: Применяем формулу (24.3): Лу ~ dy = (х 3 -2х+ 1)' ·Лх = = (3х 2 - 2) · Лх. dyj х=2 Лх=О,001 = (3 · 4 - 2) · 0,001 = 10 · 0,001 = 0,01. Итак, Лу ~ 0,01. Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифферен циал функции вместо ее приращения. Для этого найдем Лу: Лу = ((х + Лх) 3 - 2(х + Лх) + 1) - (х 3 - 2х + 1) = = х 3 + 3х 2 · Лх + 3х · (Лх) 2 + (Лх) 3 - 2х - 2 · Лх + 1 - х 3 + 2х - 1 = = Лх(3х 2 + 3х · Лх + (Лх) 2 - 2); Луj х=2 Лх=О,001 = 0,001(3 · 4 + 3 · 2 · 0,001+0,001 2 - 2) = 0,010006. Абсолютная погрешность приближения равна JЛу - dyj = J0,010006 - O,Olj = 0,000006. Подставляя в равенство (24.3) значения Луи dy, получим • f(x + Лх) - f(x) ~ /1(х) · Лх или J f(x + Лх) ~ f(x) + f'(x) · Лх. J (24.4) Формула (24.4) испо.лъзуетс.я. д.л.я ви'Числениtt приб.лиженнъ~х зна 'Чениtt функциtt. Пример 24.4. Вычислить приближенно arctg 1,05. 189 Q Решение: Рассмотрим функцию f(x) = arctgx. По формуле (24.4) имеем: arctg(x + Лх) ~ arctgx + (arctgx)' · Лх, т. е. Лх arctg( х + Лх) ~ arctg х + -1 - -2 • +х Так как х + Лх = 1,05, то при х = 1 и Лх = 0,05 получаем: 0,05 1Г arctg 1,05 ~ arctg 1 + 1 + 1 = '4 + 0,025 ~ 0,810. • Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не превышает величины М · (Лх) 2 , где М на сегменте [х; х наибольшее значение lf"(x)I + Лх] (см. с. 196). При.мер 24.5. Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения t2 тела Н =~·Ул= 1,6 м/с2 • Q Решение: Требуется найти H(l0,04). Воспользуемся приближенной формулой (ЛН ~ dH) H(t + Лt) ~ H(t) + H'(t) · Лt. При t = 10 с и Лt = dt = 0,04 с, H'(t) = gлt, находим 16·100 H(l0,04) ~ ' 2 + 1,6 · 10 · 0,04 = 80 + 0,64 = 80,64 (м). 8 Задача (для самостоятельного решения). Тело массой т = = 20 кг движется со скоростью v = 10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела ( Ек = m2 2 ; Ек (10,02) ~ 1004 (Дж)). 24.б. Дифференциалы высших порядков Пусть у = f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент х f'(x) dx независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции у= f(x) называется ее втор'Ым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d2y или d2 f(x). Итак, по определению d2y = d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции у= f(x). Так как dx = Лх не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным: d2 y = d(dy) = d(f'(x) dx) = (f'(x) dx)' · dx = J"(x) dx · dx = J"(x)(dx) 2 , 190 т. е. d2 y = f"(x)dx 2 . (24.5) Здесь dx 2 обозначает (dx )2 . Аналогично определяется и находится дифференциал третьего по рядка: И, вообще, дифференциал п-го порядка есть дифференциал от = d(dn- 1 y) = j(n)(x)(dx)n. Отсюда находим, что j(n) (х) = fx~. В частности, при п = 1, 2, З дифференциала (n -1)-го порядка: dny соответственно получаем: f'(x) = ~~, J"(x) = ~;, f"'(x) = ~:~, т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной. lil Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х где х - независимая переменная. Если же функцию у = f (х), функцu.я от кaкoii.-mo другоii. независимоii. переменноii., то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка. Используя формулу дифференциала произведения (d(u · v) = = vdu + udv), получаем: d2 y = d(f'(x) dx) = d(f'(x)) dx + f'(x) · d(dx) = f"(x) dx · dx + J'(x) · d2 x, т. е. d2y = !" (х) dx 2 + f' (х) · d2 x. Сравнивая формулы (24.6) (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменя ется: появляется второе слагаемое f'(x) · d2x. Ясно, что если х - независимая переменная, то d2 x = d(dx) = d(1 · dx) = dx · d(l) = dx ·О= О и формула (24.6) переходит в формулу (24.5). Пример 24.6. Найти d2y, если у= е 3 х их - независимая пере менная. о Решение: Так как у' = Зе 3 Х' у" = 9е 3 Х, то ПО формуле (24.5) имеем d2y = 9е 3 "' dx 2 . 8 При.мер 24. 7. Найти d2y, если у= х 2 их= t 3 + 1 и t симая переменная. 191 незави Q Решение: Используем формулу (24.6): так как у'= 2х, у"= 2, dx = 3t 2 dt, d 2 x = 6t dt 2 , то d 2 y = 2dx 2 + 2х · 6t dt 2 = 2(3t2 dt) 2 + 2(t 3 + 1)6t dt 2 = = 18t4 dt 2 + 12t4 dt 2 + 12t dt 2 = (30t 4 + 12t) dt 2 . Другое решение: у = х 2 , х = t 3 + 1. Следовательно, у = (t 3 + 1) 2 . Тогда по формуле (24.5) т. е. • d 2 y = (30t 4 + 12t) dt 2 • § 25. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНЫХ 25.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и при кладное значение. Теорема 25.1 (Ролль). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], дифференцируема на интервале (а; Ь) и на концах отрезка при нимает одинаковые значения f(a) = f(b), то найдется хотя бы одна точка с Е (а; Ь), в которой производная f'(x) обращается в нуль, т. е. f'(c) =О. О Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], то она дости гает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений (по теореме 19.4), соответственно, Ми m. Если М = т, то функция f(x) постоянна на [а; Ь] и, следовательно, ее производная f'(x) =О в любой точке отрезка [а; Ь]. Если М =/= т, то функция достигает хотя бы одно из значений М или т во внутреннеii, точке с интервала (а; Ь), так как f(a) = f(Ь). Пусть, например, функция принимает значение М в точке х = = с Е (а; Ь), т. е. /(с) = М. Тогда для всех х Е (а; Ь) выполняется соотношение /(с)~ f(x). Найдем производную f' (х) в точке х = с: /'(с)= lim /(с+дх)-/(с)_ Лх-+0 дх 192 (25.1) у у у м m'1 О а ь х с О Рис. 139 а с Ь Х Q а Рис. 140 С1 Рис. 141 В силу условия (25.1) верно неравенство f(c + Лх) - f(c) ~ О. Если Лх >О (т. е. Лх--+ О справа от точки х =с), то f(c + Лх) - f(c) ~О и поэтому Лх J'(c) ~О. Если Лх <О, то f(c + л;~ - f(c) ~о и !'(с) ~о. Таким образом, f'(c) =О. В случае, когда f(c) = т, доказательство аналогичное. 8 Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции у= f(x) найдется точка, в которой касательная к графику параллель на оси Ох (см. рис. 139 и 140). На рисунке 141 таких точек две. Теорема 25.2 (Коши). Если функции f(x) и ср(х) непрерывны на отрезке [а; Ь], дифференцируемы на интервале (а; Ь), причем ср'(х) =/:-О для х Е (а; Ь), то найдется хотя бы одна точка с Е (а; Ь) такая, что выполняется равенство f(b) - f(a) = !'(с). 1 ср(Ь) - ср(а) ср (с) Q Отметим, что ср(Ь)-ср(а) =/:-О, так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка с, такая, что ср'(с) =О, чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию f(b) - f(a) F(x) = f(x) - f(a) - ср(Ь) _ <р(а) (ip(x) - <р(а)). Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на от резке (а; Ь] и дифференцируема на интервале (а; Ь), так как является 193 линейной комбинацией функций f(x) и rp(x); на концах отрезка она принимает одинаковые значения F(a) = F(Ь) =О. На основании теоремы Ролля найдется точках= с Е (а; Ь) такая, что F'(c) =О. Но F'(x) = f'(x) - ~Ш=~~:)rр'(х), следовательно, F'(c) =!'(с) - f(Ь) - f(a) rp'(c) =О. rр(Ь) - rp(a) Отсюда следует !'(с)= f(b) - f(a) rp'(c) и rр(Ь) - rp(a) • f'(c) f(b) - !(а) rp'(c) = rр(Ь) - rp(a) · Теорема 25.З (Лагранж). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], дифференцируема на интервале (а; Ь), то найдется хотя бы одна точка с Е (а; Ь) такая, что выполняется равенство f(Ь) - f(a) = J'(с)(Ь - а). (25.2) Q Решение: Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив <р(х) = х, находим rр(Ь) - <р(а) = Ь- а, rp'(x) = 1, <р'(с) = 1. Подставляя эти значения в формулу ~f ~j =~~~~ -- <рJ'(c) 1 (с) , получаем J(ЬЬ =~(а) = f'(c) или f(Ь) - /(а)= f'(с)(Ь - а). 8 ij Полученную формулу называют фор.мулоu Лагран:;нса или фор.мулоu о коне-чно.м приращении: приращение дифференци руемой функции на отрезке [а; Ь] равно приращению аргумента, умно женному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка. Теорема Лагранжа имеет про стой геометрический смысл. Запи y=f(x) у шем формулу (25.2) в виде f(Ь)- f(a) =/'(с), 1 1 1 Ь-а :ль)-f(а) где а<с<Ь. Отношение f(Ь)-f(a) О а с Рис. 142 Ь Ь-а есть угловой коэффициент секущей х АВ, а величина /'(с) -угловой ко эффициент касательной к кривой в точке с абсциссой х =с. 194 Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции у= f(x) найдется точка С(с; !(с)) (см. рис. 142), в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ. Следствие 25.1. Если производная функции равна нулю на некото ром промежутке, то функция постоянна на этом промежутке. О Пусть f'(x) =О для \::/х Е (а; Ь). Возьмем произвольные х1 и Х2 из (а; Ь) и пусть х1 < Х2. Тогда по теореме Лагранжа 3с Е (х 1 ; х2) такая, что /(х2) - f(x1) = f'(c)(x2 - х1). Но по условию f'(x) =О, стало быть, f'(c) = О, где х1 < с < х2. Поэтому имеем /(х2) - f(x1) = О, т. е. f(x 2 ) = f(x 1 ). А так как х 1 и х 2 - произвольные точки из интервала (а; Ь), то \::/х Е (а; Ь) имеем f(x) =с. • Следствие 25.2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоян ное слагаемое. = Л(х) при х Е (а;Ь). Тогда (/1(х) - /2(х))' = !{(х) - f~(x) =О. Следовательно, согласно следствию 25.1, функция /1 (х) - f2(x) есть постоянная, т. е. fi(x) - f2 (x) =С для \::/х Е (а;Ь). 8 О Пусть !{(х) Пример 25.1. Доказать, что arcsinx+arccosx = i' где х Е [-1; 1]. Q Решение: Пусть f (х) = arcsin х + arccos х. Тогда \::/х Е ( -1; 1) имеем f'(x) = + ~ = О. Отсюда следует, что f(x) = С, т. е. h 1 - х2 1- х 2 arcsinx+arccosx =С. Положив х =О, находим 0+ Поэтому arcsin х + arccos х = х i =С, т. е. С= i· i. Это равенство выполняется и при = ±1 (проверьте!). 8 Аналогично доказывается, что arctg х + arcctg х = ~. Формуле Лагранжа можно придать другой вид. Применив теорему Лагранжа к отрезку [х; х + Лх] (дх >О), будем иметь f(x + дх) - f(x) = f'(с)дх. Каждое число с Е (х;х (25.3) + дх) можно записать в виде с= х + Одх, + дх ===? О < с - х < дх ===? где О < () < 1 (действительно, х < с < х ===?О< сЛхх < 1; положим сЛхх =()===?с= х+Одх). Формула (25.3) примет вид f(x + дх) - f(x) = J'(x + Одх)дх, где О<()< 1. 195 Используя теорему Лагранжа, можно оценить точность прибли женного равенства Лу ::::i dy. Сделаем это, считая, что функция J(x) имеет непрерывную вторую производную f"(x): Лу - dy = (f(x + Лх) - J(x)) - f'(х)Лх = f'(с)Лх - J'(х)Лх = = (f'(c) - f'(х))Лх = /"(с 1 )(с - х)Лх, где с 1 Е (х; с) (рис. 143). Итак, Лу - dy = f"(c1)(c - х)Лх. Пусть М = max [х;z+дх] lf"(x)I. Так как lc-xl < Лх, а f"(c1) ~ М, то получаем оценку IЛy-dyl ~ MIЛxl 2 • с 25.2. х+Лх Лх Хо С Рис. 143 Рис. 144 Х х Правила Лопиталя Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида 8и ~ , ко торый основан на применении производных. Теорема 25.4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 8>· Пусть функции J(x) и ср(х) непрерывны и дифференци руемы в окрестности точки х 0 и обращаются в нуль в этой точке: f(xa) = ср(ха) = О. Пусть <р 1 (х) =J. О в окрестности точки хо. Если существует предел lim f;(x) = l, то lim J(x) = lim f;(x) = l. х---+хо ср (х) z-txo ср(х) х---+хо <р (х) Q Применим к функциям f(x) и ср(х) теорему КошидЛЯотрезка [х0 ; х], лежащего в окрестности точки х 0 • Тогда f~xj-- ftxo~ = f;((c)), где с <р Х лежит между х 0 и х (рис. получаем ер Хо 144). Учитывая, что f(x 0 ) = J(x) f'(c) ср(х) = <р'(с) · ср С ср(х 0 ) = О, (25.4) При х---+ ха, величина с также стремится к х 0 ; перейдем в равен стве (25.4) к пределу: lim f(x) = lim f'(c). x-tzo <р(х) с---+хо <р 1 (с) 196 Так как lim f;((x)) = l, то lim !;((с)) = l. Поэтому lim f((x~ = l. x-txo <р Х с-+хо <р С 8 х-+хо <р Х Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если по следний существует. Заме"tания: 1. Теорема 25.4 верна и в случае, когда функции f(x) и r.p(x) не определены при х = х 0 , но Достаточно положить f(xo) = lim f(x) = О и lim r.p(x) = О. x-txo х-+хо lim f(x) =О и r.p(xo) = lim r.p(x) =О. x---txo х-+хо 2. Теорема 25.4 справедлива и в том случае, когда х --"* оо. Дей ствительно, положив х = 1, получим z lim f(x) = lim !(~) = lim (!(~))' = lim f'(~)(--f.,) x-too r.p(x) z-tO r.p(~) z-tO (r.p(~))' z-tO r.p'(~)(-f,) f'(x) . 1lffi -x-too r.p1 ( Х) · 3. Если производные f'(x) и r.p'(x) удовлетворяют тем же условиям, что и функции f(x) и r.p(x), теорему 25.4 можно применить еще раз: lim f(x) = lim f'(x) = lim f"(x) x-txo r.p( Х) х-+хо r.p 1 ( Х) х-+хо r.p 11 ( Х) и т.д. Пример 25.2. Найти lim х 1- 1 . х-+1 х nx Q Решение: lim х - 1 = x-+lxlnx = 1. lim (х - l)' = lim [~] = x-tl (xlnx)' x-tl lnx + 1 1 • Пример 25.3. Найти lim 1 - cos6x х-+0 2х 2 Q Решение: lim 1- cos6x = [О] = lim 6sinбx = [О] = ~ lim бсоsбх = 9. x-tO 2х 2 О x-tO 4х О 2 x-tO 1 8 Теорема 25.4 дает возможность раскрывать неопределенность вида о 0. Сформулируем без доказательства теорему о раскрытии неопредеоо ленности вида-. 00 197 Теорема 25.5 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 00 ). 00 Пусть функции f(x) и r.p(x) непрерывны и дифференцируемы в окрест ности точки х 0 (кроме, может быть, точки х 0 ), в этой окрестности lim f (х) = х--+хо lim r.p(x) = оо, х--+хо r.p 1 (х) -::/- О. Если существует предел lim f:(x), то lim f(x) = lim f;(x). Х--+Хо r.p( х) Х--+Хо r.p (х) Х--+Хо 'Р ( х) . tg3x пример 25.4. н айти 1im . t g 5Х х--+~ Q Решение: 3 · cos 2 5х lim tg Зх = [оо] 3 1. 1+cos10х 1. х--+~ tg 5х оо = х~ cos2 Зх · 5 = 5 х~ 1 + cos6x [~] = = ~ lim -10 sin 10х = lim sin 10х = (О] = lim 10 cos 10х = ~ 5 Х--+~ - 6 Sill 6Х Х--+~ Sill 6Х 0 Х--+~ 6 COS 6Х 3• 2-й способ: lim tgЗx = [оооо] [ х -t _!О= t ] tg 5Х --т Х--+~ = lim tg(~7r + Зt) = lim ctg Зt = lim tg 5t = ~но tg( ~7Г + 5t) но ctg 5t но tg Зt • 3 Раскрытие неопределенностей различных видов Правило Лопита.ля применяется для раскрытия неопределенно стей вида § и ~ , которые называют основными. Неопр€деленности вида О· оо, оо - оо, 100 , 00°, о 0 сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований. 1. Пусть f(x)--+ О, r.p(x)--+ оо при х--+ х 0 . Тогда очевидны следую щие преобразования: lim (J(x)r.p(x)) =[О· оо] = lim х--+хо 1\х) = [~] (или lim r.p\x) = ( 00 ] ) . х--+хо f(x) 00 х--+хо 'Р( х) Например, lim tg 1Г х (2-х) = [оо ·О]= lim 2 -71"~ = х--+2 ctg 4 х--+2 4 198 [0 = 0] -1 4 - s.in 2 ~~ · 4 7Г li~ --1--71"- х--+ 2. Пусть f (х) -+ оо, <р(х) -+ оо при х-+ хо. Тогда можно поступить так: lim (f(x) - <р(х)) = [оо - оо] = X--tXQ = lim х--+хо (-+- --+-) 7ГжJ 1 1 [5]· = lim 4'(Х) - 7Гж! х--+ хо <р(х) 1 1 4'(Х) 7ГжJ На практике бывает проще, напри.мер, !~ с:х - х ~ 1) = [оо - оо] = !~ 1:: .\: ~n~ [5] = 1- 1 [о] = !~ ~ +inx = О = !~ = .Ь 1 х+ !. = 2· х х 3. Пусть или f(x) -+ 1 и <р(х) -+ оо, или f(x) -+ оо и <р(х) -+ О, или f(x) -+ О и <р(х) -+ О при х -+ хо. Для нахождения предела вида 1 Х2" lim f(x)'l'(x) удобно сначала прологарифмировать выражение X--tXQ А= f(x)'l'(x). 1 Пример 25.5. Найти lim(cos2x);2". х--+0 Q Решение: Имеем неопределенность вида 100 • Логарифмируем выра жение А= (cos2x)~, получим: lnA = ~lncos2x. Затем находим пре дел: limlnA=lim lncos2x (OJ=lim oohz(-sin2x)2 х--+0 О х--+0 х2 х--+0 2х _ 2 lim tg2x= х--+0 2х =-2,т. е. ln lim А=-2. Отсюда lim А=е- 2 , и lim(cos2x)~=e- 2 . х--+0 х--+0 х--+0 8 Решение можно оформить короче, если воспользоваться «готовой» формулой lim <p(x)lnf(x) lim f(x)'I' (х ) = е-+•о ( = ехр lim <р(х) ln f(x) х--+хо ) х--+хо (использовано основное логарифмическое тождество: j'I' = e1nf"'). Пример 25.6. Найти lim(!.)tgx. х--+0 х ()Решение: 1 ) tg х 1 ln !. lim ( = [оо 0 ] = exp(lim tgxln -) = exp(lim _х_) = х--+0 х х--+0 х х--+0 ctg х = exp(lim x(-r)) х--+0 - sin2 х = exp(lim x(sinx) 2 ) = eO·l = ео = 1. 8 х--+0 199 Х Пример 25. 7. Пусть f (х) = { ~-х-2 при х-:/:- О, при х =О. Найти f'(x). (Дополнительно: найти f(n)(O).) Q Решение: При х -:/:- О имеем J'(x) = е-х -2 · ( -х- 2) / = 2е-х -2 · х- 3. При х = О по определению производной: 1 J'(O) = lim !(О+ Л) - f(O) = lim е-~. Л-tО Делаем замену у = Л Л-tО fi и применяем правило Лопиталя e--& lim - 1 = lim -JY = lim Л-tО l ). Л y-too еУ y-too 1 2JY · еУ = О. Таким образом, при х-:/:- О, при х =О. • Аналогично можно показать, что j(n) (О) = О. 25.3. Возрастание и убывание функций Одним из приложений производной является ее применение к ис следованию функций и построению графика функции. Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убы вания функции. Теорема 25.б (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале (а; Ь) функция f(x) возрастает (убывает), то f'(x) ~ О (J'(x) ~О) для Т/х Е (а;Ь). О Пусть функция f(x) возрастает на интервале (а; Ь). Возьмем произ вольные точки х и х + дх на интервале (а; Ь) и рассмотрим отноше- ние ~ = f(x + дх) - f(x). Функция f(x) возрастает поэтому если дх ' дх + дх > х и f(x + дх) > f(x); если дх <О, то х + дх < х и J(x + дх) < f(x). В обоих случаях~ = f(x + л;J f(x) >О, так дх >О, то х - 200 как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По усло вию теоремы функция f(x) имеет производную в точке х и является пределом рассматриваемого отношения. Следовательно, • !'(х) = lim f(x + дх) - f(x) ~О. дх-rО Аналогично дх рассматривается слу чай, когда функция f(x) убывает на ин тервале (а; Ь). Геометрически теорема 25.6 означа ет, что касательные к графику возраста ющей дифференцируемой функции об разуют острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках (на рисунке 145 в точке с абсцис Рис. 145 сой х 0 ) параллельны оси Ох. Теорема 25.7 (Аостаточные условия). Если функция f(x) диффе ренцируема на интервале (а; Ь) и f'(x) >О (f'(x) <О) для Vx Е (а; Ь), то эта функция возрастает (убывает) на интервале (а; Ь). О Пусть f'(x) >О. Возьмем точки х 1 и х 2 из интервала (а; Ь), причем х1 < х2. Применим к отрезку [х1;х2] теорему Лагранжа: f(x2)-f(x1) = = f'(c)(x2 - х1), где с Е (х1; х2). По условию f'(c) > О, Х2 - х1 > О. Следовательно, f(x2) - f(x1) >О или f(x2) > /(х1), т. е. функция f(x) на интервале (а; Ь) возрастает. • Рассмотренные теоремы 25.6 и 25. 7 позволяют довольно просто ис следовать функцию на монотонность. Напо.м:ним, что функция возра стающая или убывающая называется монотон:ноii, (см. с. 122). Пример 25.8. Исследовать функцию f(x) = х 3 - Зх - 4 на воз растание и убывание. Q Решение: Функция определена на JR= (-оо; оо). Ее производная равна: f'(x) =3х 2 -3=3(х-1)(х+1); f'(x)>O при xE(-oo;-l)u(l;oo); f'(x) <0 при хЕ (-1; 1). Ответ: данная функция возрастает и (1; оо); убывает на интервале (-1; 1). 201 на интервалах (-оо; -1) 8 25.4. ~ Максимум и минимум функций Точка Хо называется moчкoii. максимума функции у = f(x), если существует такая с:5-окрестность точки хо, что для всех х f. хо < из этой окрестности выполняется неравенство /(х) f(x 0 ). Аналогично определяется точу ка минимума функции: хо - то-ч. ка минимума функции, если 3с:5 > О Vx : О < lx - xol < с:5 ==::} f (х) > > f(xo). На рисунке 146 Х1 - точ ка минимума, а точка х2 - точка максимума функции у= f(x). Значение функции в точке мак симума Рис. 146 (минимума) называется максимумом (минимумом) функ ции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции. Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних то-ч.ках области определения. Рассмотрим условия существования экстремума функции. Теорема 25.8 (необходимое условие экстремума). Если диффе ренцируемая функция у = f(x) имеет экстремум в точке х 0 , то ее производная в этой точке равна нулю: f'(x 0 ) =О. О Пусть, для определенности, х 0 точка максимума. Значит, в - окрестности точки х 0 выполняется неравенство /(хо) > f(xo + дх). Но тогда~= f(xo + дх) - !(хо) <О если дх >О и~> О если дх дх ' ' дх ' дх <О. По условию теоремы производная !'( ) 1. хо = д~~о /(хо+ дх) - f(xo) дх существует. Переходя к пределу, при дх -t О, получим f'(x 0 ) ~О, если дх < О, и f'(x 0 ) ~ О, если дх > О. Поэтому f'(xo) = О. Аналогично доказывается утверждение теоремы 25.8, если х 0 - точка минимума функции f (х). • Геометрически равенство f'(x 0 ) =О означает, что в точке экстре мума дифференцируемой функции у= f(x) касательная к ее графику параллельна оси Ох (см. рис. 147). Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. если это не значит, что хо - f'(x 0 ) = О, то точка экстремума. Например, )I..l""IЯ функции 202 у = х 3 ее производная у' = Зх 2 равна нулю при х О, но х =О не точка экстремума (см. рис. 148). у о Хо х о Рис. 148 Рис. 147 х Рис. 149 Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют про изводной. Например, непрерывная функция у= изводной не имеет, но точках= О - lxl в точке х =О про точка минимума (см. рис. 149). Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не суще ствует. Такие точки называются криmu-ческuми. Теорема 25.9 (Аостаточное условие экстремума). Если непрерыв ная функция у = f(x) дифференцируема в некоторой д-окрестности критической точки х 0 и при переходе через нее (слева направо) про изводная f'(x) меняет знак с плюса на минус, то х 0 есть точка мак симума; с минуса на плюс, то х 0 - точка минимума. Q Рассмотрим д-окрестность точки х 0 • Пусть выполняются условия: f'(x) >О Vx Е (хо - д; хо) и f'(x) <О Vx Е (хо; Хо+ д). Тогда функция f(x) возрастает на интервале (хо - д; хо), а на интервале (хо; хо+ д) она убывает. Отсюда следует, что значение f(x) в точке х 0 является наибольшим на интервале (хо - д;хо + д), т. е. f(x) < f(x 0) для всех х Е (хо - д; х 0 ) U (х 0 ; хо+ о). Это и означает, что х 0 - точка максимума функции. Графическая интерпретация доказательства теоремы 25.9 предста влена на рисунке 150. Аналогично теорема 25.9 доказывается для случая, когда f'(x) <О Vx Е (хо - о; Хо) и f'(x) >о Vx Е (хо; Хо+ о). 203 • у у f~O 1 1 1 о Хо-8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Хо хо+8 /'>О о х Хо-8 Хо хо+8 х Рис. 150 Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстре мумы. Из теорем 25.8 и 25.9 вытекает следующее правило исследования функции на экстремум: 1) найти критические точки функции у= f(x); 2) выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точ ками области определения функции; 3) исследовать знак производной f'(x) слева и справа от каждой из выбранных критических точек; 4) в соответствии с теоремой 25.9 (достаточное условие экстрему ма) выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них. Пример 25.9. Найти экстремум функции у= J- Vx2. 9 Решение: Очевидно, D(y) = JR. Находим у' = i - 3 . 2Vx, т. е. у' = -- ~-3 vw-2 vx . Производная не существует при х 1 =О и равна нулю при х 2 = 8. Эти точки разбивают всю область определения данной функции на три интервала ( -оо; О), (О; 8), (8; оо ). Отметим на рисунке 151 знаки произ водной слева и справа от каждой из критических точек. + + --- о ---- 8 --- х Рис. 151 Следовательно, х1 =О- точка максимума, Ymax х 2 = 8 - точка минимума, Ymin = у(8) = -i. = у(О) = О, и • Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной. 204 Теорема 25.10. Если в точке х 0 первая производная функции /(х) равна нулю (!'(хо)= О), а вторая производная в точке х 0 существует и отлична от нуля (!"(хо) -f:- О), то при /"(х 0 ) <О в точке хо функция имеет максимум и минимум - при /"(хо) >О. Q Пусть для определенности /"(хо)> О. Так как !'(хо+ Лх) - !'(хо) !'(хо+ Лх) . . ! "( Хо ) = 1llli = 1llli > 0, дх--+О то !'(хо+ Лх) Лх Лх <О, то f'(xo Лх дх--+0 Лх > О в достаточно малой окрестности точки х 0 . Если + дх) <О; если Лх >О, то f'(xo + Лх) >О. Таким образом, при переходе через точку х 0 первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме 25.9, х 0 есть точка минимума. Аналогично доказывается, что если f"(x 0 ) <О, то в точке х 0 функция имеет максимум. 8 25.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Пусть функция у= f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь]. Как извест но, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значе ний. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке = = хо отрезка [а; Ь], либо на границе отрезка, т. е. при хо а или хо Ь. Если х 0 Е (а; Ь), то точку х 0 следует искать среди критических точек данной функции (см. рис. 152). Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наи- меньшего значений функции на [а; Ь]: 1) найти критические точки функции на интервале (а; Ь); 2) вычислить значения функции в найденных критических точках; 3) вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х =а их= Ь; 4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее. Заме-чани.я: 1. Если функция у= f(x) на отрезке [а; Ь] имеет лишь oiJнy крити-ческую то-чку и она является точкой максимума (мини мума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. На рисунке 152 f (хо) = /нб = /шах (нб - наибольшее, max максимальное). 2. Если функция у = f(x) на отрезке [а; Ь] не имеет критических точек, то это озачает, что на нем функция монотонно возрастает или 205 убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция при нимает на одном конце отрезка, а наименьшее (т) - на другом. у о а Хо ь х Рис. 152 Рис. 153 Пример 25.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функ ции f(x) = 3х 4 + 4х 3 + 1 на отрезке [-2; 1]. Q Решение: Находим критические точки данной функции: f'(x) = 12х 3 + 12х 2 = 12х 2 (х + 1); f'(x) =О при х 1 =О Е [-2; 1] и при х 2 = -1 Е [-2; 1]. Находим /(О)= 1, /(-1) = 3-4+1 =О, /(-2) = 48-32+1=17, /(1) = 8. Итак, fнб = 17 в точке х = -2, /нм= О в точке х = -1. 8 Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широ ко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин. Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с минимальными затратами, задача об организации производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и другие зада чи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитию и усовершенствованию методов отыскания наибольших и наименьших значений. Решением таких задач занимается особая ветвь математи ки - линейное программирование. Рассмотрим более простую задшчу. Пример 25.11. Из шара радиуса R выточить цилиндр наиболь шего объема. Каковы его размеры? Q Решение: Обозначим через х и у высоту и диаметр цилиндра. Тогда, как видно из рисунка 153, у V=V(x)=7r ( = J 4R2 - х 2 , а потому объем цилиндра 7rx 3 4R 2 - х 2 ) x=1rR2 x- 4 , 4 где х Е [О; 2R]. 206 = V (х) на промежутке [О; 2R]. Так как V'(x) = 7ГR 2 - ~7Гх 2 , то V'(x) =О при х = 2 ~v'3, кроме Находим наибольшее значение функции V того, V"(x) = -~1ГХ <О. Поэтому х = 2 ~v'3 - точка максимума. Так как функция имеет одну критическую точку, то цилиндр будет иметь наибольший объем (равный Ушах) при х = 2 ~v'3; диаметр основания цилиндра равен V4R2 - (2RJ3/З) 2 2 ~.,/6. = Таким образом, искомый цилиндр имеет высоту, равную 2 ~v'3, и диаметр, равный 2 ~.,/6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба 25.6. ~ 8 График дифференцируемой функции у= f(x) называется выnук.11.ым вниз на интервале (а; Ь), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. Гра- фик функции у = f(x) называется вы- у nук.аым вверх на интервале (а; Ь), если он расположен ниже любой ее касатель- м ной на этом интервале. Точка графика непрерывной функ ции у = f (х), отделяющая его части раз ной выпуклости, называется mо'Чко11. пе региба. На рисунке 154 кривая у= f(x) вы О а с х Рис. 154 пукла вверх в интервале (а; с), выпукла вниз в интервале (с; Ь), точка М(с; /(с)) - точка перегиба. Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следую щей теоремы. Теорема 25.11. Если функция у = f (х) во всех точках интервала (а; Ь) имеет отрицательную вторую производную, т. е. f"(x) < О, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же f"(x) >О \:/х Е (а; Ь) - О Пусть f"(x) график выпуклый вниз. < О \:/х Е (а; Ь). Возьмем на графике функции произ вольную точку М с абсциссой х 0 Е (а; Ь) и проведем через М касатель ную (см. рис. 155). Покажем, что график функции расположен ниже 207 этой касательной. Для этого сравним в точке х Е (а; Ь) ординату у кри вой у= f(x) с ординатой Укас ее касательной. Уравнение касательной, как известно, есть Укас - /(хо)= f'(xo)(x - хо), т. е. Укас =/(хо)+ J'(xo)(x - хо). Тогда у - Укас = f(x) - /(хо) - f'(xo)(x - хо). По теореме Лагранжа, f(x) - f(xo) = f'(c)(x - хо), где с лежит между хо их. Поэтому У - Укас = f'(c)(x - хо) - у У к ас , y=f(x) у J'(xo)(x - хо), т. е. у- Укас =(!'(с) - J'(xo))(x - хо). Разность /'(с) - !'(хо) снова преобразуем по формуле Лагранжа: f'(c) - !'(хо)= f"(c1)(c - хо), О а хо х ьх где с 1 лежит между х 0 и с. Таким образом, получаем Рис. 155 У - Укас = f (c1)(c - хо)(х - хо). 11 Исследуем это равенство: 1) если х >хо, то х-хо >О, с-х 0 >О и f"(c 1) <О. Следовательно, у - Укас < о, т. е. у < Укас: ----;fo с01 ~ ~ х 2) если х <хо, то х-хо <О, с-х 0 <О и /"(с 1 ) <О. Следовательно, У-Укас <о, т. е. у< Укас: ~ Итак, доказано, что во всех точках интервала (а; Ь) ордината ка сательной больше ординаты графика, т. е. график функции выпуклый вверх. Аналогично доказывается, что при f"(x) >О график выпуклый вниз. • Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема. Теорема 25.12 (достаточное условие существования точек пере гиба). Если вторая производная f"(x) при переходе через точку х 0 , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой хо есть точка перегиба. U Пусть f"(x) <О при х <хо и f"(x) >О при х >хо. Это значит, что слева от х = х 0 график выпуклый вверх, а справа - выпуклый вниз. Следовательно, точка (х 0 ; f(x 0 )) графика функции является точкой перегиба. Аналогично доказывается, что если f"(x) >О при х < О при х > хо, то точка (хо; f (хо)) - y=JW. < х0 и f''(x) < точка перегиба графика функции • 208 Пример 25.12. Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции у = х 5 - х + 5. Q Решение: Находим, что у'= 5х 4 -1, у"= 20х 3 • Вторая производная существует на всей числовой оси; у" = О при х = О. Отмечаем, что у 11 >О при х >О; у" <О при х <О. Следовательно, график функции у (-оо; О) - = х 5 - х + 5 в интервале выпуклый вверх, в интервале (О; оо) - выпуклый вниз. Точ ка (О; 5) есть точка перегиба. 8 25.7. Асимптоты графика функции Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты. Понятие асимптоты рассматривалось при изучении формы гиперболы (см. с. 81). Напомним, что аси.мптото11, кривой на зывается прямая, расстояние до которой от у y=f(x) точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис. 156). Асимптоты могут быть вертикальными, м наклонными и горизонтальными. Говорят, что прямая х = а является вер тикалъ1ю11, аси.мптото11, у= f(x), если lim f(x) х---+а = оо, или графика = оо, или функции lim f(x) = х---+а-0 d о а Рис. х 156 lim f(x) = оо. х---+а+О Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка 156 вид но, что расстояние точки М(х;у) кривой от прямой х =а равно d = = lx - al. Если х -t а, то d -t О. Согласно определению асимптоты, прямая х = а является асимптотой кривой у = f(x). Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значениях, вблизи которых функция f(x) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода. Напри.мер, кривая у= х ~ 1 имеет вертикальную асимптоту (см. рис. 157) х = -1, так как х---+-1+0 lim +2 1 = +оо, lim +2 1 = -оо. Х х---+-1-0 Х Уравнение наклон:ноi1 асимптоты будем искать в виде у= kx Найдем k и Ь. 209 + Ь. (25.5) у у y=f(x) -1 -~у х х Рис. 157 Рис. 158 Пусть М(х; у) -произвольная точка кривой у= f(x) (см. рис. 158). По формуле расстояния от точки до прямой ( d = 1AxJ:2в+~~ С 1) находим расстояние от точки М до прямой (25.5): d = lk~bl· k2 +1 Условие d -+ О будет выполняться лишь тогда, когда числитель дроби стремится к нулю, т. е. lim (kx - у+ Ь) =О. (25.6) х~оо Отсюда следует, что kx - у+ Ь = а, где а = а(х) бесконечно малая: а -+ О при х -+ оо. Разделив обе части равенства у = Ь + kx - а на х и перейдя к пределу при х-+ оо, получаем: lim '#.. = lim (~ + k - х~оо Х х~оо Х ~) . Х Так как О.-+ О и Q -+О, то х х (25.7) Из условия (25.6) находим Ь: 1 ь =}~~(у - kx). I Итак, если существует наклонная асимптота у= kx (25.8) + Ь, то k и Ь находятся по формулам (25.7) и (25.8). Верно и обратное утверждение: если существуют конечные преде лы (25.7) и (25.8), то прямая (25.5) является наклонной асимптотой. Если хотя бы один из пределов (25.7) или (25.8) не существует или равен бесконечности, то кривая у= f(x) наклонной асимптоты не имеет. 210 В частности, если k =О, то Ь = пение горизонта.л:ьноii, асимптоты. lim f(x). Поэтому у= Ь - Заме'Чание: Асимптоты графика функции у= f(x) при х -t их -t урав- х-tоо +оо -оо могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (25.7) и (25.8) следует отдельно рассматривать случай, когда х -t +оо и когда х -t -оо. Пример 25.13. Найти асимптоты графика функции у= хех. х Q Решение: Так как x-t+oo lim хе = lim ех = +оо, то график функции Х x-t +оо при х -t +оо наклонной асимптоты не имеет. При х -t -оо справедливы соотношения . k = l1m x-t-oo хех - Х . х = x-t-oo l1m е = О, Ь = X-t-00 lim (хех - Ох)= lim хех = lim ~ X-t-00 X-t-OO е Х = [ 00 ] = lim _l_ =О. 00 X-t-OO -е-Х Следовательно, при х -t -оо график имеет горизонтальную асимптоту у=О. 8 25.8. Общая схема исследования функции и построения графика Исследование функции у= f(x) целесообразно вести в определен ной последовательности. 1. Найти область определения функции. 2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат. 3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых f(x) >О или f(x) <О). 4. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида. 5. Найти асимптоты графика функции. 6. Найти интервалы монотонности функции. 7. Найти экстремумы функции. 8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции. На основании проведенного исследования построить график функ ции. Заметим, что приведенная схема исследования не является обя зательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь не сколько операций, например 1, 2, 7. Если же график функции не совсем 211 понятен и после выполнения всех восьми операций, то можно допол нительно исследовать функцию на периодичность, построить дополни тельно несколько точек графика, выявить другие особенности функ ции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопро вождать постепенным построением графика функции. При.мер 25.Ц. Исследовать функцию у= 1----:-2" и построить ее 1 х -х график. Q Решение: Выполним все восемь операций предложенной выше схе мы исследования. 1. Функция не определена при х = 1 и х = -1. Область ее опреде ления состоит из трех интервалов (-оо; -1), (-1; 1), (1; +оо), а график из трех ветвей. 2. Если х =О, то у= О. График пересекает ось Оу в точке 0(0; О); если у= О, то х =О. График пересекает ось Ох в точке 0(0; О). 3. Функция знакоположительна (у> О) в интервалах (-оо;-1) и в (-1; О) и (1; +оо). 4. Функция у = 1----:-2" х является нечетной, т. к. 1 (О; 1); знакоотрицательна -х у(-х) = 1 -х - ( -х х )2 = --1- 2 = -у(х). -х Следовательно, график ее симметричен относительно начала коорди нат. Для построения графика достаточно исследовать ее при х ~ О. 5. Прямые х = 1 их= -1 являются ее вертикальными асимптотами. Выясним наличие наклонной асимптоты: 1~х2 i·lffi - 1- = О . k = llffi - = Х-НХ> Х х-+оо 1 - Х2 (k =О при х---+ +оо и при х---+ -оо), Ь= lim (~2 -Ох)= lim -1 х 2 =0. х-+оо 1- Х х-+оо - Х Следовательно, есть горизонтальная асимптота, ее уравнение у = О. Прямая у = О является асимптотой и при х ---+ +оо, и при х ---+ -оо. 6. Находим интервалы возрастания и убывания функции. Так как у'= (-х-)' = 1(1-х 2 )-х(-2х) = 1 -х2 то у' (1 -х2)2 х 2 +1 , (1 -х2)2 > О в области определения, и функция является возрастающей на каждом интервале области определения. 7. Исследуем функцию на экстремум. Так как у' = критическими точками являются точки х 1 = (f~ ~21) 2 , то 1 и х 2 = -1 (у' не суще ствует), но они не принадлежат области определения функции. Функ ция экстремумов не имеет. 212 8. Исследуем функцию на выпуклость. Находим у": у"= ( х 2 +1)'=2x(l-x 2 ) 2 -(x 2 +1)2(1-x 2 )(-2x) = 2х(х 2 +3). (1 - х2)2 (1 - х2)4 (1 - х2)З у х у= 1-х 2 х у'~.° -1 1 о х Рис. 159 Рис. 160 = = -1, хз = 1. На рисунке 159 представлена схема изменения Вторая производная равна нулю или не существует в точках х 1 =О, х2 знаков второй производной исследуемой функции. Точка 0(0,0) - точка перегиба графика функции. График выпуклый вверх на интервалах (-1; О) и (1; оо); выпуклый вниз на интервалах (-оо; -1) и (О; 1). График функции изображен на рисунке 160. 8 § 26. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА В определении функции у= f(x) не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях, 3 когда функция является формулой вида у = ~ - 5х + 7, значения функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций у= sinx, у= ln(l +х) при любых (допустимых) значениях аргумента? Для того, чтобы вычислить значения данной функции у = f(x), ее заменяют многочленом Pn(x) степени п, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора. 213 26.1. Формула Тейлора AflЯ многочлена Пусть функция f(x) есть многочлен Pn(x) степени n: f(x) = Pn(x) = ао + aix + а2х 2 + ... + anxn. Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени п относитель но разности х-х 0 , где Хо - произвольное число, т. е. представим Pn(x) в виде (26.1) Для нахождения коэффициентов А 0 , А 1 , .•. , An продифференцируем n раз равенство (26.1): Р~(х) = Ai + 2А2(х - хо)+ 3Аз(х - хо) 2 + ... + nAn(x - xo)n- 1 , Р;:(х) = 2А2 + 2 · ЗАз(х - хо)+ ... + n(n - 1)An(x - xo)n- 2, Р;:'(х) = 2 · 3Аз + 2 · 3 · 4А4(х - хо)+ ... . . . + n(n - 1)(n - 2)An(X - х 0 )n-з, PAn)(x) = n(n - l)(n - 2) .. . 2·1An. Подставляя х = х 0 в полученные равенства и равенство (26.1), имеем: Pn(xo) = Ао, т. е. Ао = Pn(xo), т. е. т. е. А _ Р~(хо) 1 - 1! ' А _ Р;:(хо) 2 - т. е. Аз= 2! Р;:'(хо) З! ' , Подставляя найденные значения А0 , А 1 , ••• , An в равенство (26.1), по лучим разложение многочлена n-й степени Pn(x) по степеням (х -хо): Р~(хо) ( ) Р;:(хо) ( )2 Pn (х ) = Pn (Хо ) + - 1-,- х ...., Хо + 2! х - Хо + ... ... + 214 PAn)(xo) ( n J Х - Хо) . (26.2) n. ~ Формула (26.2) называется формуд.011. TeiJ.д,opa д.п.я многочд,е на Pn(x) степени п. Пример 26.1. Разложить многочлен Р(х) = -4х 3 + 3х 2 - 2х + 1 по степеням х + 1. Q Решение: Здесь хо= -1, Р'(х) = -12х 2 + 6х - 2, Р"(х) = -24х + 6, Р"'(х) = -24. Поэтому Р(-1) = 10, Р'(-1) = -20, Р"(-1) = 30, Р"' (-1) = - 24. Следовательно, -20 30 -24 Р(х) = 10 + -1-(х + 1) + 2 ! (х + 1) 2 + З!(х + 1) 3 , т. е. -4х 3 + 3х 2 - 2х + 1=10 - 20(х + 1) + 15(х + 1) 2 - 4(х + 1) 3 . 8 26.2. Формула Тейлора для произвольной функции Рассмотрим функцию у= f(x). Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию f(x) в ви де многочлена и дать оценку погрешности этого приближения. Теорема 26.1. Если функция f (х) определена в некоторой окрест ности точки х 0 и имеет в ней производные до (п + 1)-го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка с Е (х 0 ; х) такая, что справедлива формула f1(xo) !"(хо) 2 f(x) = f(xo) + 1 !-(х - хо)+ - 2-!-(х - хо) + ... ... + f(n)(xo) 1 п. (х - хо) n (с= хо ~ f(n+l)(c) + (п+ l)'. (х - хо) n+l + В(х - хо), О < 8 < 1). (26.3) Формула (26.3) называется форму.ttо11. TeiJ..ttopa д.л.я функции f(x). Эту формулу можно записать в виде f(x) = Pn(x) + Rn(x), где f'(xo) !"(хо) J(n)(xo) n 2 Pn(x)=f(xo)+-1-!-(x-xo)+-2-!-(x-xo) + ... + n! (х-хо) ~ называется многочд,еном Te11..ttopa, а j(n+l) (с) Rn(x) = (n + l)! (х - xa)n+l 215 ~ называется осmаmо'Чним 'Ч.1tеном формулы Тейлора, записан- ным в форме Лагранжа. Rп(х) есть погрешность приближенного равенства f(x) ~ Рп(х). Таким образом, формула Тейлора дает воз можность заменить функцию у= f(x) многочленом у= Рп(х) с соот ветствующей степенью точности, равной значению остаточного члена Rп(х). ~ При хо = О получаем частный случай формулы Тейлора - фор муд,у Мак.1tорена: f(x) = f(O) + f'(O) х+ f"(O) 2 + + J(n)(O) хп + f(n+l)(c) xn+I (26 4) 1! 2! х "· п! (п + 1)! ' · где с находится между О их (с= Ох, О<(}< 1). При п = О формула Тейлора (26.3) имеет вид f (х) = f (хо) + + f'(c)(x-xo) или f(x)- f(xo) = f'(c)(x-xo), т. е. совпадает с формулой Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для приближенных вычислений f(x) ~ f(xo) + f'(xo)(x - хо) (см. «диффе ренциал функции») является частным случаем более точной формулы f'(xo) f(n)(xo) п f(x) ~!(хо)+ п! (х - хо) . 1 !-(х - хо)+ ... + Пример 26.2. Найти число е с точностью до 0,001. Q Решение: Запишем формулу Маклорена для функции f (х) =е"'. На ходим производные этой функции: f'(x)=ex, f"(x)=e"', ... , f(n+l)(x)= =ех. Так как /(О)=е 0 =1, f'(O)=e 0 =1, ... , f(n)(O)=l, f(n+l)(c)=ee, то по формуле (26.4) имеем: х х2 хз xn eexn+l e"'=l+-1,+-2, . . +-31. + ... +----,+-( п. n+ 1)'' . Положим х = 1: 1 1 1 1 ее е = 1 + -1,. + -2,. + 31. +" · + 1 + ( п. n+ 1) .1' Для нахождения е с точностью 0,001 определим п из условия, что с остаточный член (п ~ l)! меньше 0,001. Так как О< с< 1, то ее < 3. Поэтому при п = 6 имеем 3 ее 7! < 5040 = 0,0006 < 0,001. Итак, получаем приближенное равенство 1 1 1 1 1 е ~ 1 + 1 + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! ~ ~ 2 + 0,5 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 + 0,0014 = 2,7181 ~ 2,718, т. е. е ~ 2,718. 8 216 Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых других элементарных функций: sin х = х - хз x2n+l х5 х2п+з 3f + 5f - ... + (-1) n ( 2п + 1) ! + (-1) n+l ( 2 п + 3) ! · cos с, х2 х4 x2n x2n+2 cosx = 1 - 2! + 4! - ... + (-l)n ( 2 п)! + (-l)n+l ( 2 п + 2)! · cosc, х2 хз xn xn+l ln(l + х) = х - 2 + 3 + ... + (-l)n-1-;- + (-l)n (п + 1)(1 + c)n+l' (1 + х )µ -_ l + µх + µ(µ - 1) х 2 + ... + µ(µ - 1) ... (µ - n + 1) х n + ' 1 21 . п. µ(µ - 1) ... (µ - n)(l + c)µ-n-l n+l + (п + 1)! х · Глава VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1 Лекции 23-241 § 27. ПОНЯТИЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 27.1. Основные понятия ~ Комnлексним числом z называется выражение вида z = где х и у - действительные числа, а i - x+iy, так называемая мнима.я единица, i 2 = -1. ~ Если х если у = О, то число О + iy = iy называется чисто мним'Ым; = О, то число х + iO = х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество JR всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е. JR с с. ~ Число х называется деitсmвиmельноii. частью комплексного числа z и обозначается х = Rez, а у - мн.имоii. частью z, у= Imz. ~ Два комплексных числа z1 = х 1 + iy 1 и z2 = х2 + iy2 называются равними (z 1 = z2 ) тогда и только тогда, когда равны их действи = х2, У1 = У2. В частности, + iy равно нулю тогда и только тогда, когда тельные части и равны их мнимые части: х1 комплексное число z = х х = у = О. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся. ~ = х + iy и z = х - iy, отличающиеся Два комплексных числа z лишь знаком мнимой части, называются соnря:нсенними. 27.2. Геометрическое изображение комплексных чисел Всякое комплексное число z = х + iy у можно изобразить точкой М(х; у) плоскости Оху такой, что х = Re z, у = Im z. И, на м у оборот, каждую точку М(х; у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = х + iy (см. рис. 161). ~ Плоскость, на комплексные которой числа, изображаются называется о комn х х Рис. 161 лексноiJ nлоскосmъю. Ось абсцисс называется деitсmвителъноit осъю, так как на ней лежат действительные числа z = х + Oi = х. Ось ординат называется мнимоiJ осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z =О+ iy. 218 ~ + iy можно задавать с помощью радиус- Комплексное число z = х вектора r = ОМ = (х; у). Длина вектора f, изображающего ком плексное число z, называется модулем этого числа и обозначается lzl или r. Величина угла между положительным направлением дей ствительной оси и вектором f, изображающим комплексное число, на зывается аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или ер. ~ Аргумент комплексного числа z = О не определен. Аргумент комплексного числа z "# О - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 27rk (k =О, -1, 1, -2, 2 ... ): Arg z = argz+27rk, где arg z - главное жутке (-7r; 7r], т. е. -71" значение аргумента, заключенное в проме < arg z ~ 7r (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [О; 271")). 27 .3. Формы записи комплексных чисел ~ Запись числа z в виде z = х + iy называют алгебраическоit фор моit комплексного числа. ~ Модуль r и аргумент ер комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора плексное число z = х у = r =ОМ, изображающего ком + iy (см. рис. 161). Тогда получаем х = rcosep, r sin ср. Следовательно, комплексное число z = х + iy можно запи сать в виде z = r cos ер + ir sin ср или z = r( cos ер + i sin ер). Такая запись комплексного числа называется тригонометрическоit формоit. Модуль r = lzl однозначно определяется по формуле r = lzl = Jx2 +у2. Например, lil = \1'0 2 + 12 = 1. Аргумент ср определяется из формул х cosep = -, r Так как ср . у sшср = -, r у tgep = -. х = Argz = argz + 2k7r, то cosep = cos(argz + 2k7r) = cos(argz), sincp = sin(argz). Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного чи сла к тригонометрической достаточно определить лишь главное значе ние аргумента комплексного числа z, т. е. считать ср = arg z. 219 liJ Так как -1Г < arg z :::; 1Г, то из формулы tg ер = ~ получаем, что у arctg 'lL х zз = i z2=-3 z1=2 х argz = arctg у_+ 1Г х для внутренних точек 1, IV четвертей, для внутренних точек 11 четверти, arctg 'lL - 1Г х для внутренних точек III четверти. Если точка z лежит на действительной или мни arg z можно найти непосредственно = О для z1 = 2; argz2 = 1Г для z2 = -3; argzз ~для zз = i; и мой оси, то (см. рис. 162). Например, argz1 Рис. 162 argz4 =-~для z4 = -8i. Используя формулу Э1iлера j ei'P ~ комплексное число = cos ер + i sin ер, 1 z = r( cos ср + i sin ср) можно записать в так называемой nоказате.л:ьноil (или эксnоненцuал.ьноii) форме z = rei'P, где r = lzl - модуль комплексного числа, а угол <р = Arg z = = argz + 2k1Г (k =О, -1, 1, -2, 2, ... ). В силу формулы Эйлера, фу'н:ки,-и.я. ei'P периодическая с основн'Ым периодом 27Г. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т. е. считать <р = arg z. Пример 27.1. Записать комплексные числа z 1 = -1 + i и z2 = -1 в тригонометрической и показательной формах. Q Решение: Для z 1 имеем izl = r = J(-1) 2 +1 2 = ../2, 1 argz = arctg(~ ) + 1Г = -~ + 1Г = з;, т. е. ср = з;. Поэтому Гп2 ( cos 31Г +zsш . . 31Г) = v~e Гп2 i т. 3" - 1 +z• = v~ 4 4 Для Z2 имеем r = J(-1)2+02=1, argz = arg(-1) = 1Г, т. е. <р = 1Г. Поэтому -1 = cos 1Г + i sin 1Г = ei'll". 220 • § 28. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ 28.1. Сложение комплексных чисел ~ Суммоil, двух комплексных чисел z1 = х1 + iy1 и z2 = х2 + iy2 называется комплексное число, определяемое равенством 1 Z1 ~ + Z2 = (х1 + Х2) + i(y1 + Yz). j (28.1) Сложение комплексных чисел обладает перемесmиmел:ьнъ~м (коммутативным) и сочеmаmел:ьнъ~м (ассоциативным) свойствами: Z1 + Z2 = Z2 + Z1, (z1 + z2) + zз = z1 + (z2 + zз). Из определения (28.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см. рис. 163). Непосредственно из рисунка видно, что lz1 + z2I ~ lz1I + lz2I· Это соотношение называется неравенством треугольника. у у о х о Рис. 163 28.2. ~ х Рис. 164 Вычитание комплексных чисел Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Раз ностью двух комплексных чисел z 1 и z 2 называется такое ком плексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число z 1, т. е. z = z1 -z2, если z+z2 = z1. Если z1 = х 1 + iy 1, z 2 = х2 + iy2, то из этого определения легко получить z: (28.2) Из равенства (28.2 следует, что геометрически комплексные числа вы читаются как векторы (см. рис. 164). Непосредственно из рисунка видно, что 1z1 - z2 I ;?; 1z1 1тим, что J z2 I- Отме- lz1 - z2I = J(x1 - х2) 2 + (У1 - У2) 2 = d, liJ т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости. Поэтому, например, равенство lz - 2il = 1 определяет на комплекс ной плоскости множество точек точки z 0 = z, находящихся на расстоянии 1 от 2i, т. е. окружность с центром в z0 = 2i и радиусом 1. 221 28.З. Умножение комплексных чисел Произведением комплексных чисел z1 = х 1 ~ + iy1 и z 2 = xz + iy2 называется комплексное число, определяемое равенством 1z = z1zz = (x1xz - Y1Yz) + i(X1Yz + У1Х2).1 (28.3) Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение (28.4) Действительно, i 2 = ii = (О+ li)(O + li) = (О - 1) + i(O +О) = -1. Благодаря соотношению (28.4) формула (28.3) получается формально + iy1 и х2 + iyz: (х1 + iy1)(x2 + iy2) = Х1Х2 + x1iY2 + iy1X2 + iy1iY2 = = х1х2 + i 2Y1Y2 + i(x1Y2 + У1Х2) = Х1Х2 - Y1Yz + i(X1Y2 + У1Х2). путем перемножения двучленов х 1 Например, (2 - 3i)(-5 + 4i) = -10 + 8i + 15i - 12i 2 = -10 + 23i + 12 = 2 + 23i. Заметим, что zz = (х + iy)(x - iy) = х 2 + у 2 - действительное число. Умножение комплексных чисел обладает переместительным, соче тательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами: Z1Zz = Z2Z1, (z1z2)zз = z1 (z2zз), Z1 (z2 + zз) = Z1Z2 + Z1Z3. В этом легко убедиться, используя определение (28.3). = r 1(cos <р 1 + i sin ер 1 ) + i sin ер2 ), заданных в тригонометрической форме: z1z2 = r1 (cos epi + i sin epi)r2 (cos ер2 + i sin epz) = = r1 r2 (cos epi cos <pz + i sin epi cos ер2 + i cos epi sin <pz - sin <р1 sin epz) = = r1 rz ( (cos epi cos epz - sin epi sin <pz) + i(sin <р1 cos epz + cos <р1 sin epz)) = = r1 rz( cos( epi + ер2) + i sin( epi + <pz) ), Найдем произведение комплексных чисел z1 и z2 = r 2 ( cos ер 2 т. е. 1z1z2 = r1r2(cos(ep1 + epz) + i sin(<p1 + epz)).1 iJ Мы показали, что при умнсr.нсении комплексных -ч.исел их моду.ли перемнсr.нсаюmся, а аргументы ск.ладываюmс.я. Это правило распространяется на любое конечное число множите лей. В частности, если есть п множителей и все они одинаковые, то 1zn = (r( cos ер+ i sin ер) )n = rn( cos пер+ i sin пер).\ ~ Формула (28.5) называется форму.11.оii. Муавра. Пример 28.1. Найти (1 + vГзi) 9 . 222 (28.5) Q Решение: Запишем сначала число z = 1 + v'зi в тригонометрической форме: r = J1 + (V3) 2 = 2; 1r ==> argz = З' vГз arg z = arctg l ==> z= 2(cos 3 + 1r .• i sш 7r) 3 . По формуле Муавра имеем z 9 = (1+V3i) 9 =2 9 (cos9i + isin9i) = = 29 (cos37r+isin37r) = 29 (-1) = -512. 8 28.4. Деление комплексных чисел ~ Деление определяется как действие, обратное умножению. Част ным двух комплексных -чисел z 1 и z2 # О называется ком плексное число z, которое, будучи умноженным на z2 , дает число z 1 , т. е. ~ = z, если z2z = z1. Z2 Если положить z1 = х1 + iy1, z2 = х2 + iy2 # О, z = х + iy, то из равенства (х2 + iy2)(x + iy) = х 1 + iy 1 следует { ХХ2 -уу2 = Х1, ХУ2 + УХ2 = У1· Решая систему, найдем значения х и у: Таким образом, На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знамена телю («избавляются от мнимости в знаменателе»). При.мер 28.2. Выполнить деление 12~ ~i. Q Решение: 1 +Зi (1 + Зi)(2 - i) 2 - i + бi + 3 5 + 5i =----= -5--l+i. = 4+1 (2+i)(2-i) 2+i • 223 Для тригонометрической формы комплексного числа формула де ления имеет вид r1 (cos <р1 + i sin <р1) r1 ( ( ) . . ( )) . . ) = - cos ip1 - ip2 + i sш ip} - ip2 . r2 (cos <р2 + i sш <р2 r2 При деJ1,ениu. комп,/1,ексных -чисе,/1, их модуJ1,и, соответст венно, де.л,,ятся, а аргументы, соответственно, ви-чита юmся. 28.5. Извлечение корней из комплексных чисел Извлечение корня п-й степени определяется как действие, обрат ное возведению в натуральную степень. ~ Корнем n-ii. степени из комп,/1,ексного -чисда z называется комплексное число Vz = w, если wn = z. Если положить z w, удовлетворяющее равенству wn = z, т. е. = r( cos <р + i sin <р), а w = р( cos (} + i sin О), то, по определению корня и формуле Муавра, получаем z = wn = pn (cos п(} + i sin пО) = r( cos <р + i sin <р). Отсюда имеем pn = r, п(} = <р + 27Гk, k = О, -1, 1, -2, 2, ... То есть (} = 'Р + 21Гk и р = Vr (арифметический корень). Поэтому равенство Vz = w принимает вид п ~ • 'Vr(cosip+isшip) = . . <р + 21Гk) Vr ( cos <р +п21Гk +isш п , k =о, 1, ... 'п - 1. Получим п различных значений корня. При других значениях k, в силу периодичности косинуса и синуса, получатся значения корня, совпада ющие с уже найденными. Так, при k = п имеем Итак, для любого z =f. О корень п-й степени из числа z имеет ровно п различных значений. Пример 28.3. Найти значения а) И= w; 6) А= w. 224 Q Решение: а) Запишем подкоренное выражение в тригонометриче ской форме: i = 1 ( cos ~ + i sin ~). Стало быть, 3 г. vi= 3 1Г 1Г зг.( :!!.+21Гk cos '2 + i sin '2 = v 1 cos 2 3 :!!.+21Гk) + i sin 2 3 , k =о, 1,2. При k = О имеем 1Г .. 1Г vз 6 2 wo = cos- +iюn- = - 6 при k .1 +i-· 2' = 1 имеем :!!. + 21Г :!!. + 21Г 51Г 51Г vз 1 w1 = cos 2 3 + i sin 2 3 = cos б + i sin 6 = - 2 + i 2; при k = 2 имеем 97Г 2 W2 = COS - 3 " 3 91Г 3 2 7Г " 7Г . = COS - + i SШ - = -i 3 2 2 . + i SШ - б) Снова запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме: -1 = СОS7Г + i sin 7Г. Поэтому 11 . . v - 1 = v1cos 7Г + i sш 1Г = cos 7Г + 21Гk + i sin 7Г + 21Гk , 2 2 k =о, 1. При k = О получаем w0 = cos ~ + i sin ~ = i, а при k = 1 получаем W1 = cos з; + i sin з; = -i. Таким образом, А = i и А = -i. • .., Глава Vll. НЕОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ J Лекции 25-281 § 29. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 29.1. Понятие неопределенного интеграла В дифференциальном исчислении решается задача: no дmmoii функции f(x) на11ти ее производную (или дифференциал). Интеграль ное исчисление решает обратную задачу: на11тt1 функцию F(x), зная ее производную F'(x) = f(x) (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f(x). ~ Функция F(x) называется nервообразноii. функции f(x) на ин тервале (а; Ь), если для любого х Е (а; Ь) выполняется равенство F'(x) = f(x) (или dF(x) = f(x) dx). Например, первообразной функции у = х 2 , х Е JR, является функция хз F(x) = 3 , так как F'(x) = (х; )' = х 2 = f(x). Очевидно, что первообразными будут также любые функции хз F(x) = 3 +с, где С - постоянная, поскольку 3 F'(x) = (~ +с)'= х 2 = f(x) (х Е JR). Теорема 29.1. Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (а; Ь), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x) +С, где С - постоянное число. О Функция F(x) +С является первообразной f(x). Действительно, (F(x) +С)'= F'(x) = f(x). Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функции f(x), т. е. Ф'(х) = f(x). Тогда для любого х Е (а; Ь) имеем (Ф(х) - F(x))' = Ф'(х) - F'(x) = f(x) - f(x) =О. А это означает (см. следствие 25.1), что Ф(х) где С - F(x) =С, постоянное число. Следовательно, Ф(х) = F(x) +С. 226 8 ~ Множество всех первообразных функций F(x) +С для f(x) на f(x) и зывается неопределенным интегралом от функции обозначается символом j f (х) dx. Таким образом, по определению 1/ f (х) dx = F(x) + С.1 ~ Здесь f(x) называется nодынmегральноu функциеu, f(x) dx подынтегральным выра:нсением, х - рования, nеременноu интегри- j - знаком неопределенного интеграла. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции на зывается интегрированием этой функции. ~ Геометрически неопределенный интеграл представляет собой се- мейство «параллельных» кривых у = F(x) +С (каждому число вому значению С соответствует определенная кривая семейства) (см. рис. 165). График каждой первообразной (кривой) называется инmе гралъноu кpuвoil. у ~y=F(x)+C1 ~y=F(x) х О ~y=F(x)+C2 ~у=F(х)+Сз ~ Рис. 165 Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл? !il Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная на (а; Ь) функция имеет на этом промежутке первообразную», а следовательно, и неопределенный интеграл. 29.2. Свойства неопределенного интеграла Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения. 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынте гральному выражению, а производная неопределенного интеграла рав на подынтегральной функции: d(J f(x) dx) = f(x) dx, 227 (/ f(x) dx) 1 = f(x). О Действительно, d(j f(x) dx) = d(F(x) +С)= dF(x) + d(C) = F'(x) dx = f(x) dx (J f(x) dx) = (F(x) +С)'= F'(x) +О= f(x). и • 1 Благодаря этому свойству правилъностъ интегрирования проверя ется дифферен:цировшнием. Например, равенство J(Зх + 4) dx = х + 4х +С 2 3 верно, так как (х 3 + 4х + С) 1 =3х 2 +4. 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функ ции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: JdF(x) = F(x) +С. О Действительно, JdF(x) = JF (x) dx = Jf(x) dx = F(x) +С. 1 8 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: Jaf(x) dx =а· Jf(x) dx, а ::f. О - постоянная. О Действительно, Jа!(х) dx = j aF'(x) dx = j (aF(x)) dx j d(aF(x)) 1 = = =а· F(x) + С1 =а· (F(x) + ~1 ) = a(F(x) +С)= а Jf(x) dx • %- = с). (положили 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: J(f(x) ± g(x)) dx = Jf(x) dx ± Jg(x) dx. Q Пусть F (x) = f(x) и G (x) = g(x). Тогда 1 1 jU(x) ±g(x))dx = j(F'(x) ±G1(x))dx = = j(F(x) ± G(x))1 dx = Jd(F(x) ± G(x)) = F(x) ± G(x) +С= = (F(x) + С1) ± (G(x) + С2) = где С1 ± С2 = С. Jf(x) dx ± j g(x) dx, 8 228 5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если = F(x) +С, то и J f(u) du = F(u) +С, где и= <р(х) - Jf(x) dx = произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Q Пусть х - независимая переменная, f(x) - и F(x) - ее первообразная. Тогда перь и = <р(х), где <р(х) J непрерывная функция f(x) dx = F(x) +С. Положим те непрерывно-дифференцируемая функция. - Рассмотрим сложную функцию F(u) = F(<p(x)). В силу инвариантно сти формы первого дифференциала функции (см. с. 188) имеем dF(u) = F'(u) du = f(u) du. Отсюда J!(и) du = Jd(F(u)) = F(u) +С. 8 Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегриро вания независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную. Так, из формулы получаем Jх 2 dx = х; +С путем замены хна и (и= <р(х)) Jи2 du =~+С. В частности, Jsin xd(sinx) sш3 х +С, . 3 = 2 Jln xd(lnx) = -ln3- +С, ! tg xd(tgx) = -tg3-x Найти интеграл J(2х 3х + х - 5) 3х 2 3 2 При.мер 29.1. 4 - Q Решение: J(2х 3х + х 4 - 2 +С. 5) dx = 2 Jх 4 dx - 3 Jх 2 2 dx + dx. Jх dx - 5 Jdx = ~ ~ ~ 2 5 1 = 2+ С1 - 3+ С2 + -2 + Сз - 5х + С4 = -х - х 3 + -х 2 - 5х +С 5 3 5 2 ' При.мер 29.2. Найти интеграл Q Решение: х+1 dx. ! -х- Jх; 1 dx = J(1 + ~) dx = х + ln lxl +С. 229 • • 29.3. Таблица основных неопределенных интегралов Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное диф ференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления (таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного интеграла. Например, так как d(sin и)= cosu · du, Jcos и du = Jd( sin и) sin и + С. то = Вывод ряда формул таблицы будет дан при рассмотрении основных методов интегрирования. Интегралы в приводимой ниже таблице называются таб.ли'Чнымu. Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения первообразных (т. е. интегрирования функции) сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Сле довательно, необходимо знать табличные интегра.,-~ы и уметь их узна вать. Отметим, что в таблице основных интегралов переменная инте грирования и может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантно сти формулы интегрирования). В справедливости приведенных ниже формул можно убедиться, взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтеграль ному выражению в левой части формулы. Докажем, например, справедливость формулы 2. Функция l опре и делена и непрерывна для всех значений и, отличных от нуля. Если и > О, то ln lиl = ln и, тогда dln lиl = dln и= du. Поэтому и Jd: ln и+ С ln lиl +С при и > О. = = Если и< О, то lnjuj = ln(-u). Но dln(-u) J~и= ln(-u) +С= ln lиl +С при и< О. -и du. Значит, и Итак, формула 2 верна. Аналогично, проверим формулу 15: d(-a1 arctg~a+c) 1 а 1 1 + (~ )2 230 .!du- 2 du 2 а - а +и · Таблица основных интегралов 1. 2. 1 du = + 1 J~ = lиl +С; и°' ~ а+1 +С (а -f; -1) ln з.Jаиdи= аи +С· lna ' 4. / еи du = еи +С; 5. / sinudu = -cosu +С (/ shudu = chu +с); Jcos и du sin и + С (/ chudu = shu +с); 6. = 7. / tgudu = - ln 1cosul +С; 8. / ctg и du = ln 1sin иl + С; 9. / = th и + с); (/ сhdи 2и = tg и + С du cos 2 и (/ shdu2 u = - cth и + с); 10. J~ = -ctgu+C sш и J ~и = ln jtg Y.j +С· 12. J cosu = ln ltg(Y. 2 + zr.) 4 +С·, 11. 2 sши , __dy,_ 1 13. / du = arcsin У.+ С; Ja2 _ u2 а 14. / du = ln !и+ ../и 2 + а2 1 +С; Ju2 + а2 15. / 16. du а2 + и2 = 1а arctg У.а + С; J du u = ...1. . ln а + и + С; а2 - 2 2а 1 а- и 1 17. / ../а 2 - u2 du = ~ · J а2 - u2 + ~ arcsin ~ + С; 18. J Ju 2 ± а2 du = ~ · Ju2 ± а2 ± 231 2 ln jи + Ju2 ± a2j +С. 2 § 30. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 30.1. ~ Метод непосредственного интегрирования Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем то- ждественных преобразований подынтегральной функции (или вы ражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводит ся к одному или нескольким табличным интегралам, называется не посредственным интегрированием. При сведении данного интеграла к табличному часто используют ся следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»): du = d(u +а), 1 dи = -d(аи), а а - число, а =i- О - число, 1 и· dи = "2d(и 2 ), соsиdи = d(sinи), sin и du = -d(cosи), 1 - du = d(ln и), и 1 cos и -2-dи = d(tgu). Вообще, f1(u) du = d(f(и)), эта формула очень часто используется при вычислении интегралов. Пример'Ы: dx 1) / х + 3 = Jd(x++33) = ln + 3/ х !х +С (формула 2 таблицы инте- гралов); 2) J(3х - 1) dx 24 J ~ (Зх - 1) 24 d(3x - 1) = (формула 1); 3) / ctg 2 х dx = J1 - . 2 sin х dx = 2 SШ Х J( 12 -.SШ -Jdx -ctgx -х +С (формулы 10 и 1); Х - 1 3 (3х - 1) dx = 1) 25 25 +с J-.-1 dx SШ 2- Х = 4) / dx _J_J v14- 3х 2 - vГз . v'з·х d(v'з·x) = - 1 · arcsш-+С vГз 2 J(2)2 _ (vГз. х)2 (формула 13); 232 5) J sin2 6х dx = ~ J (1 - cos 12х) dx = ~ J dx - ~ J cos 12х dx = 1 1 . = 2х - 2 cos 12х d(12x) · 12 = 21 х - 241 sш12х +С (формулы 1 и 6); 11 6) J dx _ _ !J(x-1)-(x+2)dx _ l)(x + 2) - (х - х-1 =-!J l)(x + 2) (х - 3 dx+!j х+2 - dx= 3 (x-l)(x+2) 3 (x-l)(x+2) 1 J d(x + 2) 1 J d(x - 1) 1 1 = -3 х+ 2 + 3 х _ 1 = -3 ln lx + 21 + З ln lx - 11 +С; udu = - J d(cosu) = -lnlcosul ! tgudu = ! sincosu cosu 7) +С (вывод формулы 7); 2 2 2 du cos 1!. + sin 1!. cos 1!. 2 2 du = j 2 j -= J du + sin и 2 sin ~ cos ~ 2 sin ~ cos ~ sin1!.2cos ~ 1!. du -_ j ctg 2и d (и) + / 2 sin 2 + Jtg 2и d (и) 2 -_ ln sш 2и и21 +С2 = ln 1sin1!.1 и +С (вывод - ln cos "2 cos; +С = ln tg 2" 8) J · J 1 1 J формулы 11); Jх(х 9) + 2) 9 dx = J (х + 2 - 2)(х + 2) 9 dx = J(х + 2) 10 dx - - 2 J (х + 2) 9 dx = j (х + 2) d(x + 2) - 2 j (х + 2) d(x + 2) = = (х +112) 10 11 10) / = 4 1 4 ctg х ll) j - 2 9 10 (х + 2) 10 +С (формула 1); j (ctgx)- 5 d(ctgx) = - ctg-4 x +с= = ctg Х • SШ Х dx 5 4 . 2 +С (формула 1); j dx _ J3-2x+x 2 - = lnjx -1 + dx _ J J2+(x-1) 2 - d(x - 1) = j(-/2)2+(x-1)2 J3 - 2х + x 2 +С (формула 14); 5+ 3 1 -х) dx = 4/ х 3 dx - ~ J d( 22x) cos 2 2х 2 cos 2х 5 31-х - / 3 1 -х d(l - х) = х 4 - "2 tg2x - lnЗ +С (формулы 1, 9, 3); 12) j (4х3 J - - 233 13) Jх • \11+x dx= j(1+x )!·x·(x +1-1)dx= 3 2 2 2 ~ J(1 + x2 )i d(1 + х 2 ) - ~ j(l + х 2 )! d(1 + х 2 ) 3 27 3 24 = 14 (1+х )з- 8 (1+х )з+с. Как видно, вычисление интегралов иногда требует некоторой изо бретательности, так сказать, «индивидуального подхода к каждой по дынтегральной функции». Соответствующие навыки приобретаются в результате значитель ного числа упражнений. 30.2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной) Метод интегрирования подстановкой заключается во введении но вой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом задан ный интеграл приводится к новому интегралу, который является та бличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой. Пусть требуется вычислить интеграл новку х = ip(t), где r.p(t) - J J(x) dx. Сделаем подста функция, имеющая непрерывную производ ную. Тогда dx = ip'(t) dt и на основании свойства инвариантности фор мулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования nодстановкоii I/ f(x) dx = Jf(ip(t)) · r.p'(t) dt., (30.1) Формула (30.1) также называется формулой замены переменных в не определенном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной х. Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t = ip(x), то- гда Jf(r.p(x)) · rp'(x) dx = Jf(t) dt, где t = r.p(x). Другими словами, формулу (30.1) можно применять справа налево. Пример 30.1. Найти J eci dx. Q Решение: Положим х = 4t, тогда dx = 4 dt. Следовательно, е { dx = 4 et dt = 4et + С = 4е { + С. J J 234 8 Пример 30.2. Найти j х · ./х - 3dx. Q Решение: Пусть ./х - 3 = t, тогда х = t 2 + 3, dx = 2t dt. Поэтому j х · vх - 3 dx = j (t + 3) · t · 2t dt = 2 =2 ! (t + 3t2) dt = 2 ! t dt + 6 ! t2dt 2 · 5t5 + 6 · 3t3 4 4 = +С= = ~(х - 3) 512 + 2(х - 3) 312 +С. Пример 30.3. 8 Получить формулу ! ./u2du+ а2 = Iniu + J u2 + а21 +С. О Обозначим t = ./и 2 + а 2 +и (подстановка Эйлера). Тогда dt= 2и 2уи2 + а2 Отсюда т.е. du+du, du dt= ./и 2 + а 2 +и yu2 + а2 dt du. dt Стало быть, ! ./u2du+ а2 = j dtt = ln ltl + С = ln \и + J и2 + a2I + С. Пример 30.4. Найти • j х · (х + 2) 100 dx. Q Решение: Пусть х + 2 = t. Тогда х = t - 2, dx = dt. Имеем: j х · (х + 2) 100 dx = j (t - 2) · t tlo2 100 dt tlOl = 102 - 2 . 101 + с = Пример 30. 5. Найти = j t 101 dt - 2 j t 100 dt = (х + 2)102 102 2(х + 2)101 - 101 + с. • ! -dx+- . еХ 1 Q Решение: Обозначим ех = t. Тогда х = ln t, dx = ~t. Следовательно, dx dt !!l. dt Jех + = J ~ = Jt( + = J + = -! 1 ln 1~+t+~1 1dt 1 -- - ! 1 d(t + ~) 1 -- ---1 1 1 + с(t+2)2-4 (2)2-(t+2)2 2·2 2-t-2 1 t 1 t t2 1) 235 t t+11 1= ln -ех- +С. = - ln - = ln 1-t-t f +1 еХ + 1 1 Здесь используется формула 16 таблицы основных интегралов. 8 30.3. Метод интегрирования по частям Пусть и = и(х) и v = v(x) - производные. Тогда d(uv) =и· dv функции, имеющие непрерьшные + v · du. Интегрируя это равенство, получим ,.....j_d_(_u_v_)_=_j_u_d_v_+_j_v_d_u__и_л_и__j_u_d_v_=_u_v___j_v_d_u---,., ~ Полученная формула называется фор.му.л.оfi. интегрирования по част.ям. Она дает возможность свести вычисление интегра- ла j и dv к вычислению интеграла j v du, который может оказаться существенно более простым, чем исходный. Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное вы ражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и и dv (это, как правило, мож но осуществить несколькими способами); затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту фор мулу приходится использовать несколько раз. Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям. 1. Интегралы вида где Р(х) - J P(x)ekx dx, многочлен, k - JР(х) ·sinkx dx, j Р(х) coskxdx, число. Удобно положить и= Р(х), а за dv обозначить все остальные сомножители. 2. Интегралы вида jP(x)arcsinxdx, jP(x)arccosxdx, j P(x)lnxdx, j P(x)arctgxdx, j P(x)arcctgxdx. Удобно положить Р(х) dx = dv, а за и обозначить остальные сомножители. 3. Интегралы вида j еах · sin Ьх dx, j еах · cos Ьх dx, где а и Ь числа. За и можно принять функцию и = еах. Пример 30.6. Найти j(2x + 1)е 3 х dx. Q Решение: Пусть [ ud =_2 xз~dl v- е х :: ~ dи_=j2 d~ d -_ 1 зх ] (можно v- е х 3е положить С= О). Следовательно, по формуле интегрирования по ча стям: ..!.e x2dx = ..!_(2x+l)e x-~e x+c. 8 / (2x+l)e x dx = (2х+1)·..!.езх_j 3 3 3 9 3 3 236 3 3 При.мер 30.7. Найти jinxdx. Q Решение: Пусть [ и = ln х dv = dx ===} ===} du = 1 dx ] х . Поэтому v= х j ln х dx = х · ln х - j х · ~ dx = х · ln х - х + С. Пример 30.8. Найти j х2 ех dx. и= х 2 Q Решение: Пусть [ dv=e х dх du = 2xdx ] • Поэтому v=e х ===} ===} j х 2 ех dx = х 2 ех - 2 j ех · xdx. Для вычисления интеграла 8 (30.2) j ех х dx снова применим метод интегриро = х, dv = ех dx ===} du = dx, v = ех. Значит, j ех · х dx = х · ех - j ех dx = х · ех - ех + С. (30.3) вания по частям: и Поэтому (см. (30.2)) j х2 ех dx = х 2 ех - 2(х · ех - ех +С). Пример 30.9. Найти Q Решение: Пусть [ 8 j arctgxdx. и = arctg х ===} dv = dx ===} du = ~ dx ] 1+х . Поэтому v= х ! arctg dx = · arctg - ! 1 + 2 dx = · arctg - 2 j d(11 ++ 2 = х х х х х х х 1 х2 ) х 1 = xarctgx - 2 in(l + х2 ) +С. 8 § 31. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 31.1. Понятия о рациональных функциях Многочлен (некоторые св~ения справочного характера) Функция вида ~ (31.1) Pn(x) = aoxn + a1xn-l + · · · + an-lX + an, где п - натуральное число, ai (i =О, 1, ... , п) - постоянные коэф фициенты, называется многоч.л.еном (или целоit рацuонал.ьноi& функциеi&). Число n называется степенью многочлена. 237 ~ Корнем много-чд,ен.а (31.1) называется такое значение х 0 (во обще говоря, комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается в нуль, т. е. Рп(хо) =О. Теорема 31.1. Если х 1 есть корень многочлена Рп(х), то многочлен делится без остатка на х - х 1 , т. е. Рп(х) = (х - х1) · Pn-1(x), где Pn-1 (х) - (31.2) многочлен степени (п - 1). Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Положи тельный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение. Теорема 31.2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен п-й степени (п >О) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный. Доказательство этой теоремы мы не приводим. Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о разло жении многочлена на линейные множители. Теорема 31.3. Всякий многочлен Рп(х) можно представить в виде Рп(х) = ао(х - х1)(х - х2) ... (х где х1, х2, ... , Xn на при корни многочлена, а 0 - Xn), (31.3) коэффициент многочле xn. Q Рассмотрим многочлен (31.1). По теореме 31.2 он имеет корень. Обо значим его через х 1 • Тогда имеет место соотношение (31.2). А так как Pn-1(x) - также многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через х2. Тогда Pn-1 (х) = (х-х2) ·Pn-2(x), где Pn-2(x) степени. Следовательно, Pn(x) = (х - х 1 )(х - многочлен (n-2)-й x 2)Pn- 2 (x). Продолжая этот процесс, получим в итоге: Pn(x) = ао(х - х1)(х - х2) ... (х - Xn)· ~ Множители (х - • Xi) в равенстве (31.3) называются д,uн.еi&н.ЪtМu мн.о;нсиmел..ями. Пример 31.1. Разложить многочлен Р3 (х) = х 3 - 2х 2 - х + 2 на множители. 238 Q Решение: Многочлен Р3 ( х) = х 3 - 2х 2 - х + 2 обращается в нуль при х = -1, х = 1, х = 2. Следовательно, • х 3 - 2х 2 - х + 2 = (х + 1)(х - l)(x - 2). Представить выражение х 3 - х 2 + 4х - 4 в виде Пример 31.2. произведения линейных множителей. Q Решение: Легко проверить, что х 3 - х 2 + 4х - 4 • = (х - 1)(х - 2i)(x + 2i). Если в разложении многочлена (31.3) какой-либо корень встретил ся k раз, то он называется корнем кратности k. В случае k = 1 (т. е. корень встретился один раз) корень называется просm'Ьtм. Разложение многочлена (31.3) можно записать в виде (31.4) если корень х1 имеет кратность ki, корень Х2 далее. При этом k 1 + k2 + · · · + kт = п, а r - - кратность k2 и так число различных корней. Например, разложение Рв(х) = (х - 3)(х + l)(x - 4)(х - 3)(х - 3)х(х - 4)(х - 3) можно записать так: Рв(х) = (х - 3) 4 ·(х+1) · (х - 4) 2 • х. Пользуясь теоремой 31.3, можно доказать следующие утверждения. Теорема 31.4. Если многочлен Рп(х) = aoxn + a1xn-l + · · · + an тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю. Теорема 31.5. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэф фициентам другого. Например, если ах 3 + Ьх 2 + сх + d с= о, d = 1. 239 = х 3 - 3х 2 + 1, то а = 1, Ь = -3, Теорема 31.б. Если многочлен Рп(х) с действительными коэффици ентами имеет комплексный корень а+ ib, то он имеет и сопряженный корень а - ib. В разложении многочлена (31.3) комплексные корни входят сопря женными парами. Перемножив линейные множители (х - (а+ ib)) · (х - (а - ib)), получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами х 2 + рх + q. В самом деле, ib)) = ((х - а) - ib)((x - а)+ ib) = (х - (а+ ib))(x - (а - = (х - а) 2 + Ь 2 = х 2 - 2ах + а2 + Ь 2 = х 2 + рх + q, где р = - 2а, q = а 2 + Ь2 • Таким образом, произведение линейных множителей, соответству ющих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами. С учетом вышеизложенного справедлив следующий факт. Теорема 31.7. Всякий многочлен с действительными коэффициента ми разлагается на линейные и квадратные множители с действитель ными коэффициентами, т. е. многочлен Рп(х) можно представить в виде Рп(х) = ао(х - x1)k (x - X2)k 1 2 ••• Х (х 2 (х - Хт)kр х + Р1Х + q1) (х 2 + PmX + qm) m. (31.5) При этом ki + k2 + · · · + kт + 2(s1 + s2 + · · · + sm) = n, все квадратные 8 81 ••• трехчлены не имеют вещественных корней. Примеры разложений (31.5): 1) х 4 - 1 = (х - 1)(х + 1)(х2 + 1); 2) х 3 - 16х = х(х 2 - 16) = х(х - 4)(х + 4); 3) х 5 - 6х 4 + 9х 3 - х 2 + бх - 9 = х 3 (х 2 - бх + 9) - (х2 - бх + 9) = = (х 2 - бх + 9)(х 3 - 1) = (х - 3) 2 • (х - 1)(х 2 + х + 1). Дробно-рациональная функция ~ Дробно-рацuональноit функцuеit (или рацuональноit дробью) называется функция, равная отношению двух многочле- нов, т. е. f(x) = ~:(~~,где Pm(x) - многочлен степени m, а Qп(х) многочлен степени п. 240 ~ Рациональная дробь называется правильноiL, если степень числи теля меньше степени знаменателя, т. е. т < п; в противном случае (если т ~ п) рациональная дробь называется неnравильноiL. liJ Всякую неправильную рациональную дробь ~~~~ мООtС.но, путем деления -числител,я на знаменатель, представить в виде суммы много-члена и правильноiL рациональноiL L(x) дроби ~' т. е. Р(х) R(x) Q(x) = L(x) + Q(x). Например, Р(х) = х 4 - 5 х + 9 - неправильная рациональная дробь. х - Q(x) 2 Разделим числитель на знаменатель в столбик: х4 - х 4 - 2х 3 - 5х + 91 х - 2 1-х~3_+_2_х~ 2 -+-4х_+_З -5х + 9 2х 3 -2х 3 -4х 2 4х 2 -5х + 9 - 4х 2 -8х Зх +9 Зх -6 15. Получим частное L(x) = х 3 + 2х 2 + 4х + 3 и остаток R(x) = 15. Следо вательно, х 4 - 5 х + 9 = х 3 + 2х 2 + 4х + 3 + _lQ_. х-2 х-2 Правильные рациональные дроби вида (I). _А_. х-а' (II). ( А )k (k ~ 2, k Е N); х-а (III). ~x+N (корни знаменателя комплексные, т. е. p 2 -4q<O); х +px+q (IV). ( 2Мх + N )k (k ~ 2, корни знаменателя комплексные), х +px+q ~ где А, а, М, N, р, q - действительные числа, называются npo- cmeiiшимu рациональными дробями 1, 11, 111 и lV типов. 241 Теорема 31.8. Всякую прави.л:ьную рациональную дробь ~f ~~, зна менатель которой разложен на множители Q(x) = (х - X1)k 1 • (х - x2)k 2 ••• (х 2 + Р1Х + Q1) 81 ••• (х2 +PmX + Qm) 8 m, можно представить (и притом единственным образом) в виде следую щей суммы простейших дробей: Р(х) А1 А2 Ak, Q(x) = х - х1 + (х - х1) 2 + · · · + (х - x 1)k 1 + В1 В2 Bk 2 +- + (Х - Х2 )2 + ... + (Х - Х2 )k + ... Х - Х2 2 Cix + D1 С2х + D2 Cs,x + Ds 1 ... + Х 2 + Р1Х + Q1 + (х2 + Р1Х + q1) 2 + ... + (х 2 + Р1Х + Q1) 81 + ... М1х + N1 М2х + N2 Ms,.,.x + N 8 ,,,_ ... + х 2 + PmX + Qm + (х 2 + РтХ + Qт) 2 + ... + (х 2 + PmX + Qт) 8 m' (31.6) где А1, А2 •... , В1, В2, ... , С1, D1, ... , М1, N1, ... - некоторые действительные коэффициенты. Поясним формулировку теоремы на следующих примерах: l) _ _х_2 _+_4___ _ А_+ _в_ + с + D . (х - 2)(х - 3) 3 - х - 2 х - 3 (х - 3)2 (х - 3)3' х3 +1 А В 2) х2(х2 + 1) = х + х 2 + Cx+D х2 + 1 ; 7х 2 + 8х + 9 = ~ + _!!_ + Сх + D + l)(x - 2)(х2 + х + 1)2 х- 1 х - 2 х2 + х + 1 Mx+N 3) (х - + (х 2 +х+1) 2 " Для нахождения неопределенных коэффициентов А 1 , А 2 , ••. , В 1 , В2, ... в равенстве (31.6) можно применить мemoiJ сравнивания коэф фициентов. Суть метода такова: 1. В правой части равенства (31.6) приведем к общему знаменате- лю Q(x); в результате получим тождество iJffi = ~t~~, где S(x) - многочлен с неопределенными коэффициентами. 2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тожде ственно равны и числители, т. е. Р(х) =S(x). 242 (31.7) 3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (по те ореме 31.5 о тождестве многочленов) в обеих частях тождества (31.7), получим систему линейных уравнений, из которой и определим иско мые коэффициенты А1, А2, ... , В1, ... 2 - 3х - 3 при.мер 31 . 3 . п редставитьдро б ь (х _2хl)(x 2 _ х + ) в виде сум- 2 5 мы простейших дробей. Q Решение: Согласно теореме 31.8 имеем: 2х 2 - 3х - 3 А = ~~ + 2Вх + С ' (x-l)(x 2 -2x+5) х-1 х -2х+5 ~~~~~~~~ т. е. 2х 2 - 3х - 3 (х - l)(x А(х 2 - 2х + 5) + (х - 1)(Вх +С) 2х + 5) 2 - (х - l)(x 2 - 2х + 5) Отсюда следует 2х 2 - 3х - 3 = Ах2 - 2Ах + 5А + Вх2 - Вх + Сх - С, т. е. 2х 2 - 3х - 3 =: (А+ В)х 2 + (-2А - В+ С)х + (5А - С). Приравнивая коэффициенты при х 2 , х 1 , х 0 , получаем { -3 = 2=А+В, -2А - В+ С, -3 = 5А-С. Решая систему, находим, что А= -1, В= 3, С= -2. Следовательно, 2х 2 - 3х - 3 ~~~~~~~~ (х - l)(x 2 - -1 - ~~+ 2х + 5) - х - 1 3х - 2 х 2 - 2х + 5 · • Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют так же метод отделы-t'ЫХ з1ш-ч,ениii аргумента: после получения тожде ства (31.7) аргументу х придают конкретные значения столько раз, сколько неопределенных коэффициентов (обычно полагают вместо х значения действительных корней многочлена Q(x)). Пример 31.4. п редставить дро б ь х(х _3х-4 )(х + l) в виде суммы 2 простейших дробей. r.. 3х - 4 _ А В С о '-.6 Решение: Имеем: х(х _ 2 )(х + l) - х + х _ 2 + х + 1 . тсюда следует 3х - 4 = А(х 2)(х + 1) + Вх(х + 1) + Сх(х - 2). 243 Положим х =О, тогда -4 = -2А, т. е. А 2 = 6В, т. е. В= = 2; положим х = 2, тогда !; положим х = -1, тогда -7 = ЗС, т. е. С=-~. Следовательно, !. + _з _1__ _ _Зх _-_4_ _ = _2 + _з_ х(х - 2)(х 31.2. + 1) х х - х 2 • +1 Интегрирование простейших рациональных дробей Найдем интегралы от простейших рациональных дробей. f __л__ dx = лJ d(x - а) = A-ln lx-al+C (формула (2) таблицы А _ J - -k d(x - -_ (х _- ka)-k+l 2. ! _ a)k dx · +1 1. х-а х-а интегралов); (х А (х а) (формула (1)); а) А· +С J tix+px+q + N dx. 3. Рассмотрим интеграл J = х Выделив в знаменателе полный квадрат, получим: -f J - Mx+N (х+ ю2 +q- 2 lf dх, 2 lf > О. Сделаем подстановку х + ~ = t. Тогда х = t - ~, 2 dx = dt. Положим q - lf = а 2 • Следовательно, используя формулы (2) причем q - и (15) таблицы интегралов, получаем J = ! М+х + + dx ! М +~) + dt х2 рх N (t - = q а2 t2 N = -- М f __!!!__ + (N - Мр) f __!!!___ -t2 + 2 t2 + а2 а2 = -М · ln (t 2 + а 2 ) + ( N - -Мр) · -1 arctg -t + С, 2 2 а а т. е., возвращаясь к переменной х, J= N-!!:!.E. f Mx+N dx = In(x +px+q)+ R.·arctg n+C. +px+q q-4 q-4 х 2 М 2 При.мер 31.5. Найти х+Е 2 "2 Jх2 ~х2~ ~ 244 10 dx. "2 = (х + 1) 2 + 9. Сделаем подстановку х + 1 = t. = t -1, dx = dt и О Решение: х2 + 2х + 10 Тогда х _ J___!!!__ = ! +3х + + 10 dx = J t t-2 + + dt = J_!_!!:!___ 2+ t2 + х2 1 2х 1) 1 9 3( 3 2 9 3 2 t 3 2 x+l 2 2 = - ln(t + 9) - - arctg - +С= - ln(x + 2х + 10) - - arctg - - +С 2 3 3 9 t 2 3 3 J( 2Мх + )k dx, ~ 4. Вычисление интеграла вида 4 . • N k 2, q- ~ >О. +px+q Данный интеграл подстановкой х + ~ = t сводится к сумме двух 2 х интегралов: t dt М ! (t2 + ( a2)k + N - ! (t2 +dt 2 Мр) р2 а2 = q- - . a2)k' 4 Первый интеграл легко вычисляется: ! (t2 t+dt 1 a2)k = 2 !(t2 +а2 d(t2 +а2 2(1 - k)(t2 + -k 1 )= ) a2)k-1 +С. Вычислим второй интеграл: dt 1 (t 2 +a2)-t2 Jk - / (t2 + a2)k -- а2 / (t2 + a2)k dt- ! (t2 t+dt ) = (J = __!__ (/ dt а2 (t2 + a2)k-1 2 __!__ а2 a2)k - ! (t2 t+dta2)k ) . 2 k- 1 (31.8) К последнему интегралу применим интегрирование по частям. Поло жим tdt dv = (t 2 + a 2)k, и= t, 1 v = 2 du = dt, ! (t 2 +а2 d(t2 +а2 ) 1 ) = 2(1- k)(t2 + a2)k-1' -k тогда ! (t2 +dt t2 t 1 a2)k = 2(1- k)(t2 + a2)k-1 - 2(1- k) ! (t2 +dt t 2(1- k)(t 2 + a 2)k- 1 a2)k-1 = 1 2(1- k) · Jk-l· Подставляя найденный интеграл в равенство (31.8), получаем 1 t 1 Jk = а2 (Jk-l - 2(1 - k)(t 2 + a 2 )k-l + 2(1 - k) Jk-l), 245 т. е. Jk 1 (2k- 3 t ) 2k - 2 Jk-l + 2(k - l)(t 2 + a2 )k-1 · = а2 Полученная формула дает возможность найти интеграл Jk для любого натурального числа k > 1. Прuмер 31.6. Найти интеграл Jз = j (t2 ~ l)з · Q Решение: Здесь а= 1, k = 3. Так как Ji = ! + 1 = arctgt t2 dt +С, то J2 = ! (t2 + 1)2 2·2-3 + - - - - -2- 2·2 - 2 2·(2-l)(t +1) dt t ---J1 1 3 t 3 t Jз = 4J2 +4(t2 +1) 2 = 4(t2 + 1)2 + 4 (12 t = 2 arctgt + 2(t2 + 1) +С, t arctgt + 2(t2 + 1) ) +С. 8 31.3. Интегрирование рациональных дробей Рассмотренный в пунктах 31.1-31.2 материал позволяет сформу лировать общее nрави.ло интегрировшн:и.я рационалъных i)робе11. liJ 1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы мно гочлена и правильной дроби; 2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на мно жители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дро бей; 3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей. Прuмер 31. 7. Найти интеграл Jх ++2х ++4х + 5 х4 3 2х 3 2х 2 4 dx. Q Решение: Под знаком интеграла неправильная дробь; выде.,-~им ее целую часть путем деления числителя на знаменатель: х5 + 2х 3 - х 5 + 2х 4 + 2х 3 -2х 4 + 4х + 4 х 4 + 2х 3 + 2х 2 х - 2 +4х +4 - - 2х 4 - 4х 3 - 4х 2 4х 3 + 4х 2 + 4х + 4 (остаток). 246 Получаем: х 5 + 2х 3 + 4х + 4 4х 3 + 4х 2 + 4х + 4 -...,..-----,---------,.-- = х - 2 + - - - - - - х4 + 2х 3 + 2х 2 х 4 + 2х 3 + 2х 2 · Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби: 4х 3 + 4х 2 + 4х + 4 х 4 + 2х 3 + 2х 2 4х 3 + 4х 2 + 4х + 4 т. е. 4х 3 + 4х 2 + 4х + 4 4х3 + 4х 2 + 4х + 4 = х 2 (х 2 + 2х + 2) А В Сх + D = ; + х 2 + х 2 + 2х + 2' = Ах(х 2 + 2х + 2) + В(х 2 + 2х + 2) + (Сх + D)x 2 , =(А+ С)х + (2А +В+ D)x + (2А + 2В)х + 2В. 3 Отсюда следует, что 2 А+С =4, { 2A+B+D= 4,=4, 2А+2В 2В=4. Находим: В = 2, А = О, С = 4, D = 2. Стало быть, 4х 3 + 4х 2 + 4х + 4 2 4х + 2 -------=-+---3 2 2 2 х4 + 2х + 2х х х + 2х + 2 х 5 + 2х 3 + 4х + 4 2 4х + 2 -..,...----,-------,.-- - х - 2 + - + - - - 3 2 2 2 х4 + 2х + 2х х х + 2х + 2 · и Интегрируем полученное равенство: +4x+4d j( х - 2 + х22 + х 2 4х+2 )d f x х4+2x + 2х 3 + 2х 2 х = + 2х + 2 х = 5 3 х2 2 = 2 - 2х - ;; + J(х +4х1)2+ 2+ 1 dx. Обозначим х + 1 = t, тогда х = t -1 и dx = dt. Таким образом, 4 + 2 dt = 4 J__!!!!___ _ 2 J__!}!__ = ! 4х + 2 dx = J4tt-2 +1 t2+1 t2+1 (х+1) 2 +1 1 = 4· 2 In(t 2 +1) - 2arctgt+C = = 2 · ln(x 2 + 2х + 2) - 2arctg(x + 1) +С. Следовательно, 2 2 +2x+2)-2arctg(x+l)+C. ! ++ 2 ++ 2 +24 dx = -2 -2x--+2ln(x х5 х 2х 3 4 х х2 4х 3 х х • Отметим, что любая рациональная функция интегрируется в эле ментарных функциях. 247 § 32. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 32.1. Универсальная тригонометрическая подстановка Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригоно метрических функций. Функцию с переменными sin х и cos х, над ко торыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление) принято обозначать R(sinx;cosx), где R- знак рациональной функции. ~ Вычисление неопределенных интегралов типа JR(siпx;cosx)dx сводится к вычислению интегралов от рациональной функции под i = t, которая называется универса.аьноii.. становкой tg Действительно, sin х = 2 tg ~ 2t 2 = -2 1 + tg ~ 1 + t 2 ' cos х = 1- tg2 !. 1 - t 2 2 = -1 + tg2 ~ 1 + t2 ' 2 / R1(t)dt, 2 x=2arctgt, dx=--2 dt. Поэтому l+t 1 . R(sшx;cosx)dx= где R 1 (t) - / (l+t2t R 1- t 2 ) 2 ; l+t 2 • l+t 2 dt= рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату. На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции. В частно сти, удобны следующие правила: 1) если функция R(sinx; cosx) 'lte'Чem'lta om'ltocumeлъ'lto sinx, т. е. R(-sinx;cosx) = -R(sinx;cosx), то подстановка cosx = t рационали зирует интеграл; 2) если функция R(sin х; cos х) 'lte'Чem'lta om'ltocumeлъ'lto cos х, т. е. R(sinx; - cosx) = -R(sinx; cosx), то делается подстановка sinx = t; 3) если функция R(sin х; cos х) 'Чem'lta om'ltocume.fi.ъ'lto sin х и cos х R(-sinx;-cosx) = R(sinx;cosx), то интеграл рационализируется под становкой tg х = t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид J R(tgx) dx. Пример 32.1. Найти интеграл / 3 + Slll . dx + COSX . Х Q Решение: Сделаем универсальную подстановку t = tg 248 i. Тогда dx = = 2 dt 2 sin х = 1+t ' 2t l+t2"' dx 3 + sin х + cos х - / J(d(+ 21+)22+ 47 t = J(1 + t2)(3 +2dt + ~::;$) - 2 t + ! 2 у7 у 7 /2 у7 1 ~~ 2 !) t cos х = 1 - t 2 . Следовательно ' 1 + t2 j dt t2 + t + 2 - г.; arctg г.; 2 + С = г.; · arctg = J1 +d~ Пример 32.2. Найти интеграл I = sш 2 х 1 + 2 tg "./7 2 + С. 7 8 . Q Решение: Так как 1 R(-sinx;-cosx) = - - - - 1+ (-sinx)2 то полагаем tg х х = 1 . --.~ 2 - = R(sшx;cosx), 1 SШ Х + = t. Отсюда arctgt, dt dx = 1 + t2 и tg 2 х t2 sin2 х = --'----~ 1 + tg 2 х = 1 + t 2 . Поэтому I _ - ! dt - / ____!!!__ _ ~ / d(J2t) (1+t 2)(1+1ft2) 2t 2 + 1 - J2 (J2t)2 + 1 1 1 = J2 arctg ./2t + С = J2 arctg( ./2 tg х) + С. 8 32.2. Интегралы типа / sinm х · cos" xdx Для нахождения таких интегралов используются следующие при емы: 1) подстановка sinx = t, если п - целое положительное нечетное число; 2) подстановка cos х = t, если т - целое положительное нечетное число; 3) формулы понижения порядка: cos 2 х = !(1 + cos2x), sin 2 х = = ! (1 - cos 2х), sin х · cos х = ! sin 2х, если т и п - целые неотриv,а телъные четные числа; 4) подстановка tgx = t, если т + п - есть четное отрицательное це.,-юе число. Пример 32.3. Найти интеграл I = 249 Jsin4 xcos5 xdx. Q Решение: Применим подстановку sin х = t. Тогда х = arcsin t, dx = = 1 dt, COSX = vr=t2 И y1-t2 I = j t 4 • ( yl-t2) 5 • dt = j t 4 (1 - t 2 ) 2 dt = j(t 4 - 2t6 + t 8 ) dt = ..;г=t2 t 5 2t7 t 9 с 1 . 5 2 . 7 1 . 9 с = 5 - 7 + 9 + = 5 sш х - 7 sш х + 9 sш х + . Пример 32.4. Найти интеграл I = • j sin х cos х dx. 4 2 Q Решение: I = j(sinxcosx) 2 sin 2 xdx = j ~ sin2 2х · ~(1- cos2x) dx = = ~ j sin 2 2xdx - ~ j sin 2 2xcos2xdx = ~ j ~(1- cos4x) dx- - ~ /sin2 2xd(sin2x) = ~х - ~ sin4x - ~ sin 3 2х +С. 16 16 Пример 32.5. 64 48 8 Найти интеграл I = j dx. 3 COSX • SШ Х = /cos- 1 х · sin- 3 xdx. Q Решение: Здесь т + п = -4. Обозначим tg х = t. Тогда х = arctg t, dx= I = t ,cosx= J1+t2 J1 + t2 и dt sinx= j ~ з . t 1 + t2 , 1 dt 1 ~ 1 f ____±_!__ dt = f Г 3 dt + j _!_ = 2 = d t t3 (v'i+t2)3 1 1 = - 2t 2 +lnltl +С= - 2 ·ctg2 x+lnjtgxl +С. 32.3. 8 Использование тригонометрических преобразований Интегра.л:ы типа j sin ах · cos Ьх dx, j cos ах · cos Ьх dx, j sin ах· sin Ьх dx вычисляются с помощью известных формул тригоно метрии: sina:cos,8 = ~(sin(a: - ,8) + sin(a: + ,8)), 250 1 cosacos/1 = 2(cos(a - /1) + cos(a + /1)), 1 sinasin/1 = 2(cos(a - /1) - cos(a + /1)). Пример 32.6. Найти интеграл I = Jsin8xcos2xdx. О Решение: 1= Jsin8xcos2xdx = ~ j(sin 10х + sinбx) dx = = !2 (-__!:__ cos 10х - ! cos 6х) +С. 8 10 6 § 33. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 33.1. Квадратичные иррациональности Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррацио нальные функции. Интегралы типа d ! Jax dx+Ьх +с' JJ ах2 + Ьх + с dx, JJaxmx+n + Ьх +с х 2 2 называют неопределенными интегралами от квадратичных иррацио нальностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом вы делить полный квадрат ах 2 +Ьх +с= = а (xz + ~х+ ~) = а ( (х+ ..!!.._) 2 + ~ - _ь_z ) = а ( (х+ ..!!.._) 2 +-4а_с__,,-,_ь_z) а а 2а а 4а 2 4а 2 2а и сделать подстановку х + ;а = t. При этом первые два интеграла при водятся к табличным, а третий - к сумме двух табличных интегралов. Пример 33.1. Найти интегралы I = 251 JJ dx 4х 2 +2х+1 . Сделаем подстановку х + :! = t, х = t - :! ,dx = dt. Тогда Пример 33.2. Найти интеграл I = j J 6 -х +2х4- х dx. 2 = О Решение: Так как 6 - 2х - х 2 = -(х 2 + 2х - 6) -((х + 1) 2 - 7) = = 7 - (х + 1) 2 , то подстановка имеет вид х + 1 = t, х = t - 1, dx = dt. Тогда I = 1t-1+4d t2 t = v7 - = - -1 ! ! J1 - + tdt t2 dt 31 J1 - t2 = (7 - t 2 ) _1.2 d(7 - t 2 ) + 3 2 ! J( dt = ./7)2 - t2 = - ~ + 3 · arcsin :П + С = 3 arcsin х~1 - Интегралы типа j J dx, где Pn(x) - Pn(x) ах2 J 6 - 2х - х 2 + С. 8 + Ьх +с многочлен сте- пени п, можно вычислять, пользуясь формулой !J Pn(x) dx=Qn-1(x)·Vax 2 +bx+c+лfv dx , ах 2 + Ьх + с ах 2 + Ьх + с где Qn-l ( х) ентами, .Л - (33.1) 1 с неопределенными коэффици многочлен степени п - также неопределенный коэффициент. Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, по лучаемого дифференцированием обеих частей равенства (33.1): Pn(x) J ах 2 + Ьх + с =(Qn-1(x) · Jax +Ьх+с)' + J 2 .Л ах2 + Ьх + с , после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых сте пенях неизвестной х. Пример 33.3. Найти интеграл I = j J х2 dx. 1- 2х - х 2 О Решение: По формуле (33.1) имеем: I = ! Vl - х 2 2х х2 dx = (Ах+ B)Vl - 2х - х 2 + Л · 252 j dx J1 - 2х - х 2 . Дифференцируя это равенство, получаем: х2 -2-2х J1-2x-x 2 2v'l-2x-x 2 --;====;;:-А·../1-2х-х2+(Ах+В)· + >. v'l-2x-x 2 , т. е. х 2 := A(l - 2х - х 2 ) +(Ах+ В)(-1- х) + >., х2 =А 2Ах - Ах 2 - Ах - В - Ах 2 - Вх + >.. Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х: 1 = -А - А { О = -2А - А - В при х 2 , О = А - В + >. при х 0 • при х 1 , Отсюда А=-!, В=~'>.= 2. Следовательно, I = (-!х + ~) 2 2 Vl - 2х - х2 + 2 JJ2 - dx(х + 1) = 2 = (-!х + ~) J1 - 2х - х 2 + 2 arcsin х + 1 +С. 2 .j2 2 8 33.2. Дробно-линейная подстановка с, ! R ( ( ах++ Ь)а/{3 0 Ь) /'У) dx, где а, Ь, , ... , (ах+ сх + d действительные числа, а,/3, ... , 8, 'У натуральные числа, Интегралы типа d - х, сх d сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки : t~ = tk, где k - а 8 ~' наименьшее общее кратное знаменателей дробей ... ' ;::;· Действительно, из подстановки ax++db = tk следует, что х = ~ сх ct -а и dx = -dktk- 1 (ctk - а) - (Ь - dtk)cktk-I ( k )2 dt, т. е. х и dx выражаются ct -а через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби : t ~ выражается через рациональную функцию от t. f \/ + dx JX+2. + Q Решение: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей i и ! Пример ЗЗ.4. Найти интеграл I = есть 6. Поэтому полагаем х + 2 (х 2) 2 - х 2 = t 6 , х = t 6 - 2, dx = 6t 5 dt, t = Vx + 2. 253 Следовательно, l = ! t46t- dt = 6 ! tt - dt1 = 6 ! (t t -1)1+ 1 dt = 5 2 2 - t3 =6 j(t+1+ t~l)dt=3t 2 +6t+6lnlt-ll+C= = 3 · Vх + 2 + 6 · Vх + 2 + 6 ln 1Vх + 2 - 11 + С. 8 Пример 33.5. Указать подстановку для нахождения интегралов: 11 = ! 2JX-1 JX _ dx, 12 - / vx+l. dx х х - - 1 (1 - х) 2 • Q Решение: Для 11 подстановках = t 2 , для 12 подстановка х + 11 = t 3 • х- 33.3. • Тригонометрическая подстановка Интегралы типа JR(x; J а2 x )dx, j R(x; J а2 + x )dx, JR(x; J х 2 a )dx 2 - 2 - 2 приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от три гонометрических функций, с помощью следующих тригонометри'Че ских подстановок: х = а · sin t для первого интеграла; х = а · tg t для второго интеграла; х = -f!-t для третьего интеграла. Slll Пример 33. б. Найти интеграл l = ! ~ dx. ~ Q Решение: Положим х = 2 sin t, dx = 2 cos t dt, t = arcsin ~. Тогда l = - 4 sin 4 cos 2 cost t= j -! J 44sin t 4sin t j dt = - ctg t - t + = = ! 1 - . sin dt = j -.dt 2t 2 · 2t 2 sшt 2t d d 2 t= 2- sшt С . х - ctg ( arcsш. х) = С - arcsш. х - v'4 х- х2 = с - arcsш 2 2 2 J4-x2) . ( ctgt = Vl-sin t = Jl-(~) 2 = sint ~ х 2 2 254 • 33.4. Интегралы типа JR(x; Jax + Ьх +с) dx 2 Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция от носительно х и J ах 2 + Ьх + с. Выделив под радикалом полный ква драт и сделав подстановку х + ;а = t, интегралы указанного типа приводятся к интегралам уже рассмотренного типа, т. е. к интегралам типа J Ja R(t; 2 - t 2 ) dt, J R(t; Ja 2 + t 2 ) dt, J R(t; Jt 2 - а 2 ) dt. Эти ин тегралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометри ческих подстановок. Пример 33. 7. Найти интеграл I = f vx +2x-4 + l)3 dx. 2 (х Q Решение: Так как х 2 +2х-4 = (х+ 1) 2 -5, то х+ 1 = t, х = t-1, dx = J = dt. Поэтому I = ~ dt. Положим t = Д dt = -'\/'5 ·2cos z dz t sшz' sin z ' z = arcsin ~. Тогда t J = JJsг!тz - 5 . (-'\/'5) cos z dz = - -1- Jcos z dz = sin z = _ 2._ · ~ J(1 + cos 2z) dz = - J5 (z + ~ sin 2z) +С = J5 2 10 2 2 ~ у'5" 2 s1n z 1 . (2 . ./5)) + с = t J5 (arcsш . хJ5 . (2 arcsшX+i . J5 ) ) + с = = -10 + 1 + 21sш __ v'5" ( . J5 v'5 · ./х 2 + 2х - 4) С 10 arcsш х + 1 + (х + 1) + · . J5 + -sш = -J5 - (arcsш10 t 2 arcsш- 2 Заме'Ч,ание: Интеграл типа J J dx дить с помощью подстановки х = х t. ах2 +Ьх+с 8 целесообразно нахо- 33.5. Интегрирование АИфференциального бинома Интегралы типа f хт ·(а+ Ьхп)Р dx (называемые интегралами от аифферен.циалъиого бшюма), где а, ь р- - действительные числа; m, п, рациональные числа, берутся, как показал Чебышев П.А., лишь в 255 случае, когда хотя бы одно из чисел р, m + 1 или m + 1 + р является п п целым. Рационализация интеграла в этих случаях осуществляется следу ющими подстановками: 1) если р - целое число, то подстановка х = tk, где k шее общее кратное знаменателей дробей m и п; 2) если m + 1 п наимень целое число, то подстановка а+ Ьхп = t 8 , где s - знаменатель дроби р; 3) если m + 1 + р п где s - целое число, то подстановка а + ьхn = xn . t 8 , знаменатель дроби р. Во всех остальных случаях интегралы типа Jxm(a + Ьхп)р dx не выражаются через известные элементарные функции, т. е. «не бе рутся». Пример 33.8. Найти интеграл I = J Vvx+1 - vГх dx. Q Решение: Так как то m = _ l п = 1 р = 1 m + 1 = 2 Поэтому делаем подстановку 2' 4' 3' п . 4 3 3 3 VX + 1 = t , х = (t - 1) , dx = 4(t - 1) 3 · 3t2 dt, t = tГх + 1. Таким V образом, I = J (tЗ t 1)2 · 12t2 (t 3 -1) 3 dt=12j(t 6 -t 3 )dt = t7 t4 12 7 4 = 12 · 7 - 12 · 4 +С= 7( Vx + l)З - 3 · ( Vx + 1)3 +С. 8 § 34. «БЕРУЩИЕСЯ» И «НЕБЕРУЩИЕСЯ» ИНТЕГРАЛЫ Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций зна чительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда выбранный путь интегрирования является наилучшим, более корот ким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не един ственным способом. Многое зависит от знания рекомендуемых многих искусственных приемов интегрирования, от сообразительности, от тре нированности. Например, J~ можно найти, не используя рекосоs х 256 мендуемую подстановку tg х = t, а применив искусственный прием: =j (cos x+sin x) dx= !~ cos х cos х 2 2 = 2 6 6 1 tg tg + 2-+- ) dx = tgx + -32 tg + -51 tg J(-cos cos cos 2- 2х 4х х х 2- х 2- 3х 5 х +С. Вряд ли стоит вычислять интеграл d Jх(х3х 2 +4х+1 + 2х + 1) х, 2 разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби: Зх + 4х + 1 С - - - - - -А + -В- + - х(х + 1) 2 - х х+1 (х + 1) 2 • Заметив, что числитель Зх 2 + 4х + 1 является производной знаменателя Зх 2 +4х+1 2 х(х 2 +2х+1) х(х 2 + 2х + 1) = х 3 + 2х2 + х, легко получить: J Зх ++ 4х ++ 2 х(х 2 2х 1 dх= j d(x 3 + 2х 2 + х) =nx+x+x+. I С 1 I з 2 2 1) х 3 + 2х 2 + х На практике при вычислении неопределенных интегралов исполь зуют различные справочники, содержащие таблицы особенно часто встречающихся интегралов. В частности, «Таблицы неопределенных интегралов» М. Л. Смолянского. Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях вычислить неопределенный интеграл, т. е. найти первообразную функ цию для подынтегральной функции. Как известно, всяка.я неnреривна.я функv,ия имеет первообразную. В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции f(x) является также элементарной функцией, говорят, что j f(x) dx «берется», т. е. интеграл выражается через элементарные функции (или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или «его найти нельзя»). Так, например, нельзя взять интеграл j ,/Х · cosxdx, так как не существует элементарной функции, производная от которой была бы равна ,/Xcosx. Приведем еще примеры «неберущихся» интегралов, ко торые имеют большое значение в приложениях: Jе-х dx - интеграл Пуассона (теория вероятностей), J iC:x - интегральный логарифм (теория чисел), 2 257 Jcosx dx, Jsinx dx - интегралы Френеля (физика), Jsi~ х dx, Jсо; х dx - интегральные синус и косинус, Jе; dx - интегральная показательная функция. 2 2 Первообразные от функции е-ж 2 , cosx2 , -11 и других хорошо из nх учены, для них составлены подробные таблицы значений для различ ных значений аргументах. .... Глава Vlll. ОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ 1 Лекции 29-331 § 35. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [а; Ь], а < Ь. Вы полним следующие действия. 1. С помощью точек Хо= а, Х1, Х2, ... , Хп = Ь (хо< Х1 < ... < Хп) разобьем отрезок [а, Ь] на п 'Части·ч:них отрезков [х 0 ; х 1 ], [х 1 ; х 2 ], .•• ... ,[Xn-1,xn] (см. рис. 166). Cn О а=хо х1 х2 Xi-1 х Xi Рис. 166 = 2. В каждом частичном отрезке [xi-liXi], i 1,2, ... ,п выберем произвольную точку Ci Е [xi-1; Xi] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину f(ci)· 3. Умножим найденное значение функции f(ci) на длину дхi = = Xi - Xi-1 соответствующего частичного отрезка: f(ci) · дхi. 4. Составим сумму Sn всех таких произведений: n Sn = f(с1)дх1 + f(с2)дх2 + ... + f(сп)дхп = ~ 2: f(ci)дxi. (35.1) i=l Сумма вида (35.1) называется ин.mеграл:ьн.оii. суммоii. функции у = f(x) на отрезке [а; Ь]. Обозначим через ,\ длину наибольшего частичного отрезка: >. = max дхi (i = 1, 2, ... , п). 5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда п -+ оо так, что,\-+ о. ~ Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел 1, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; Ь] на частичные отрез ки, ни от выбора точек в них, то число 1 называется определен.ним интегралом от функции у = f(x) на отрезке [а; Ь] и обозначается ь Jf(x)dx. Таким образом, а ь ! а п f(x) dx = lim ~ f(ci)дxi. n--+oo .l...J (Л--+0) 259 i=l (35.2) ~ Числа а и Ь называются соответственно ни:нсним и верхним пределами интегрирования, функциеii., f(x) dx - f(x) - nодынmегра.л.ьноlt nодынтегральним выр(};)fСением, х - менноii. интегрирования, отрезок [а; Ь] - nере областью (отрезком) интегрирован'ШI. ~ Функция у= f(x), для которой на отрезке [а; Ь] существует опреде ь ленный интеграл Jf(x) dx, называется интегрuруемоii. на этом а отрезке. Сформулируем теперь теорему существования определенного ин теграла. Теорема 35.1 (Коши). Если функция у= f(x) непрерывна на отрез ь ке [а; Ь], то определенный интеграл Jf(x) dx существует. а Отметим, что непрерывность функции является достаточным ус ловием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может су ществовать и для некоторых разрывных функций, в частности для вся кой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва. У кажем некоторые свойства определенного интеграла, непосред ственно вытекающие из его определения (35.2). 1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: ь ь ь j f(x) dx = Jf(t) dt = j f(z) dz. а а а Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следователь но, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции. 2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: а jf(x)dx=O. а ь 3. Для любого действительного числа с: j cdx =с· (Ь - а). а 260 § 36. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Площадь криволинейной трапеции ~ зу - Пусть на отрезке [а; Ь] задана непрерывная функция у= f(x) ~О. Фигура, ограниченная сверху графиком функции у f( х), сни = осью Ох, сбоку - прямыми х =а их= Ь, называется криво.11,и н.еti.н.011. mpaneцueti.. Найдем площадь этой трапеции. у 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 •С2 О а=хо 1 1 1 1 •Cn х1 х2 Xi-1 Х; Xn-1 Х b=Xn Рис. 167 Для этого отрезок [а;Ь] точками а= х 0 ,х 1 , ••• ,Ь = Хп (хо< < Х1 < ... < Хп) разобьем на п частичных отрезков [хо; х1], [х1; х2], ... ... ,[Xn-1;xn]· (см. рис. 167). В каждом частичном отрезке [xi-1;xi] (i = 1, 2, ... , п) возьмем произвольную точку Ci и вычислим значение функции в ней, т. е. f(ci)· = f Умножим значением функции (ci) на длину дхi Xi - Xi-1 соот ветствующего частичного отрезка. Произведение f(ci) · дхi равно пло щади прямоугольника с основанием дхi и высотой f(ci)· Сумма всех таких произведений n f (с1)дх1 + /(с2)дх2 + ... + f(сп)дхп = L f(ci)дxi = Sn i=l равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции: n S ~ Sn = L f (ci) · дхi. i=l С уменьшением всех величин дхi точность приближения криволиней ной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволиней ной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда п неограниченно возрастает так, что >. = шах дхi -t О: ь n '°' S = n---roo lim Sn = n-+oo lim ~ f(ci)дxi, (Л-+0) i=l то есть S = Jf (х) dx. а 261 Итак, определенн'ЫiL интеграл от неотрицателъноii, функции -ч.и сленно равен площади криволинеiLноii, трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла. Работа переменной силы Пусть материальная точка М перемещается под действием си лы F, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х - абсцисса движущейся точки М. Найдем работу А силы F по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = = а в точку х = Ь (а < Ь). Для этого отрезок [а; Ь] точ = ками а Хо, Х1, ... , Ь Хп (хо < х1 < ... < Хп) разобьем на п частичных отрезков [хо; х1], [х1; х2], ... , [Хп-1; Хп]· Сила, действующая на отрезке [xi-1;xi], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка дхi = Xi - Xi-l достаточно мала, то сила F на этом отрезке изме няется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке х = Ci Е [xi-1;xi]· Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке [xi-l; Xi], равна произведению F (Ci) · дхi. (Как работа постоянной силы F(ci) на участке [xi-1; xi].) Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [а; Ь] есть п А ::::J F(с1)дх1 + F(с2)дх2 + ... + F(cn)дxn = L F(q)дx;. (36.1) i=l Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина дхi. По этому за точное значение работы А принимается предел суммы (36.1) при условии, что наибольшая длина к нулю: >. частичных отрезков стремится Ь n А = Л-tО lim L F(ci)дxi = JF(x) dx. i=l а Итак, работа переменноii, сил'Ы F, вели-ч.ина котороii, естъ непреръtвна.я функция, F = F(x), деiLствующеii, на отрез-х:е [а; Ь], равна опреаеленно му интегралу от вели-ч.ин'Ы F(x) силы, взятому по отрезку [а; Ь]. В этом состоит физический смысл определенного интеграла. Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = а до t = Ь, равен определенному интегралу от скорости v(t): ь В= f v(t)dt; а масса т неоднородного стержня на отрезке [а; Ь] равна определенному ь интегралу от плотности 1(х): т = J1(х) а 262 dx. § 37. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА Пусть функция у= f(x) интегрируема на отрезке [а; Ь]. Теорема 37.1. Если функция у= f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь] и какая-либо ее первообразная на [а;Ь] (F'(x) F(x) - место формула = f(x)), то имеет ь j f(x) dx = F(Ь) - F(a). (37.1) а Q Разобьем отрезок [а; Ь] точками а = хо, Х1, ... , Ь = Хп (хо < Х1 < ... . . . < Хп) на п частичных отрезков [хо; х1], [х1; х2], ... , [Xn-li Хп], как это показано на рис. 168. х Рис. 168 Рассмотрим тождество F(b) - F(a) = F(хп) - F(xo) = (F(хп) - F(Хп-1))+ + (F(хп-1) - F(хп-2)) + · · · + (F(x2) - F(x1)) + (F(x1) - F(xo)). Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа f(Ь) - f(a) =/'(с)· (Ь - а). Получим F(b) - F(a) = F'(cn) · (хп - Хп-1) + F'(сп-1) · (Хп-1 - Хп-2) + ... п п i=l i=l · · · + F (c2) · (х2 - х1) + F (c1)(x1 - хо)= L F'(ci)дxi = L f(ci)дxi, 1 1 т. е. п F(Ь) - F(a) = L f (ci)дxi, (37.2) i=l где Ci есть некоторая точка интервала (xi-liXi)· Так как функция у = f(x) непрерывна на [а; Ь], то она интегрируема на [а; Ь]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному инте гралу от f(x) на [а; Ь]. Переходя в равенстве (37.2) к пределу при >. = max дхi -+ О, получаем п F(b) - F(a) = lim Л-70 263 L f(ci)дx;, i=l т. е. ь F(Ь) - F(a) = Jf(x) dx. • а ~ Равенство (37.1) называется форму.л,оii, Ньюmона-Леii.бнии,а. Если ввести обозначение F(Ь) - F(a) = F(x) 1:, то формулу Нью тона-Лейбница (37.1) можно переписать так: ь J f(x)dx = F(x)I:. а Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления опре деленного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от не прерывной функции f(x) на отрезке [а; Ь], надо найти ее первообразную функцию F(x) и взять разность F(Ь) - F(a) значений этой первообраз ной на концах отрезка [а; Ь]. Например, 3 Jх2 dx = х; 1~ = 9 - О = 9, о а 2 ! 4+ 2 - l(к _(-к)) dx 2 - larctg!f.1 1L х - 2 2 -2 - 2 4 4 - 4· - -2 Пример 37.1. Вычислить интеграл JJ1 + ~os 2х dx. 1r о Q Решение: 'lr / J + 2х 1 cos 2 dx = о J'lr vcos г-;:;J'lr 1cosxl dx = 2 xdx = о 2" = о Jcosxdx + J(-cosx) dx = sinxl! + (-sinx)I; = 1+1 = 2. 8 1r о ~ е2 Пример 37.2. Вычислить интеграл е2 Q Решение: ! dx е2 = ln lln xl 1е = ln 2 - ln 1 = ln 2. nx - 1х J х1: х. е 264 • § 38. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке [а; Ь]. При вы воде свойств будем использовать определение интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. 1. Если с - постоянное "Ч.uсло и функция [а;Ь], то ь f(x) интегрируема на ь Jc·f(x)dx=c· Jf(x)dx, а (38.1) а т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного интеграла. Q Составим интегральную сумму для функции с· f(x). Имеем: п п i=l i=l L с· f(ci)дxi =с· L f(ci)дxi. п Тогда ь п с · lim Е с · f(x)дxi n-+oo i=l lim Е f(ci) n-+oo i=l = с· Jf(x) dx. Отсюда а вытекает, что функция с· f(x) интегрируема на [а;Ь] и справедлива формула (38.1). • 2. Если функции fi (х) и f2(x) интегрируемы на [а; Ь], тогда инте грируема на [а; Ь] их сумма и ь ь ь J(/1 (х) + f2(x)) dx Jfi (х) dx + J!2(х) dx, = а а (38.2) а т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов. ь п lim °"'U1(ci) + /2(ci))дxi = ! (!1(х) + f2(x)) dx = n-+oo L....,, i=l а п п °"' ь °"' J ь J = n-;oo lim L....,, fi(ci)дxi + n-+oo lim L....,, f2(ci)дxi = fi(x) dx + f2(x) dx. i=l i=l а а • Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых. Ь 3. а Jf(x) dx Jf (х) dx. = - а Ь 265 Это свойство можно принять по определению. Это свойство также подтверждается формулой Ньютона-Лейбница. Ь а Jf(x) dx = F(b) - F(a) = -(F(a) - F(b)) = - Jf(x) dx. а Ь 4. Если функция. f(x) интегрируема на [а; Ь] и а< с< Ь, то ь с ь Jf(x) dx Jf(x) dx + Jf(x) dx, (38.3) = а а ~ с т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью опреде ленного интеграла (или свойством адцитивности). Q При разбиении отрезка [а; Ь] на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интеграль ной суммы от способа разбиения отрезка [а; Ь] на части). Если с= Xm, то интегральную сумму можно разбить на две суммы: n m n i=l i=l i=m L f(ci)дxi = L f(ci)дxi + L f(ci)дxi. Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно для отрезков [а; Ь], [а; с] и [с; Ь]. Переходя к пределу в последнем равен стве при п-+ оо (Л-+ О), получим равенство (38.3). 8 Свойство 4 справедливо при любом расположении точек а, Ь, с (счи таем, что функция f(x) интегрируема на большем из получающихся отрезков). Так, например, если а < Ь < с, то с ь с Jf(x) dx = Jf(x) dx + Jf(x) dx. а а Ь Отсюда ь с с с ь Jf(x) dx = Jf(x) dx - Jf(x) dx = Jf(x) dx + Jf(x) dx а а Ь а с (использованы свойства 4 и 3). 5. «Теорема о среднем». Если функv,м f (х) непрерывна на отрезке [а; Ь], то существует mо'Чка с Е [а; bJ такая, 'Что ь Jf(x) dx"- = f(c) · (Ь - а). а 266 О По формуле Ньютона-Лейбница имеем ь Jf(x) dx = F(x) 1~ = F(Ь) - F(a), а где F'(x) = f(x). Применяя к разности F(b) - F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b) - F(a) = F'(c) · (Ь- а)= f(c) · (Ь - а). Свойство 5 («теорема о среднем») • У при f(x) ~ О имеет простой геометриче ский смысл: значение определенного ин теграла равно, при некотором с Е (а; Ь), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием Ь - а (см. рис. 169). Число 1 f (с) = Ь _а ь Jf (х) dx о с ь х Рис. 169 а ~ а называется средним зна-чением функции f(x) на отрезке [а; Ь]. 6. Если фуикцw~ f(x) сохрамет знак иа отрезке [а; Ь], где а < Ь, ь Jf(x) dx имеет тот же зиак, 'Что и фупкцw~. Так, если f (х) ~О на отрезке [а; Ь], то Jf (х) dx ~ О. то интеграл а ь а О По «теореме о среднем» (свойство 5) ь Jf(x) dx = f(c) · (Ь - а), а где с Е [а; Ь]. А так как f(x) ~ О для всех х Е [а; Ь], то и f(c) ~ О, Ь - а > О. ь Поэтому !(с)· (Ь - а) ~ О, т. е. Jf(x) dx ~ О. а • 7. Неравенство между пеnрер'Ывnыми фуикцw~ми па отрезке [а; Ь], (а < Ь) можно иитегрироватъ. Так, если fi (х) ~ f 2 (x) при х Е [а; Ь], ь то ь j fi(x) dx ~ j f2(x) dx. а а 267 О Так как f2(x) - fi(x);:: О, то при а< Ь, согласно свойству б, имеем ь J(f2(x) - fi(x)) dx;:: О. а Или, согласно свойству 2, ь ь ь ь Jf2(x) dx - Jfi(x) dx;:: О, т. е. Jfi(x)dx ~ Jf2(x)dx . • а а а а Отметим, что дифференцировать неравенства нельзя. 8. Оценка интеграла. Если т и М - соответственно наименьшее и наибольшее эна'Чения функv,ии у= f(x) на отрезке [а;Ь], (а< Ь), то ь т(Ь - а)~ Jf(x) dx ~ М(Ь - а). (38.4) а О Так как для любого х Е [а; Ь] имеем т ~ свойству 7, имеем f(x) ~ М, то, согласно ь ь ь Jmdx ~ Jf(x) dx ~ JМ dx. а а а Применяя к крайним интегралам свойство 5, получаем ь т(Ь-а) ~ Jf(x) dx ~ М(Ь-а). • Если f~x) Рис. 170 ;:: О, то свойство 8 иллюстрируется геометрически: площадь криволинейной трапеции заключена между площадями пря моугольников, основание которых есть [а; Ь], а высоты равны т и М (см. рис. 170). 9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подинтегральноft функv,ии: 1! /(х) d+> j 11(х)1 а < Ь. dx; О Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам -1/(x)I ~ f(x) ~ ~ lf(x)I, получаем ь ь ь -Jlf(x)I dx ~ Jf(x) dx ~ Jlf(x)I dx. а а а Отсюда следует, что 1! /(х) dxl " j11(х)1 dx. 268 • 10. Производная определенного интеграла по переменному верхне му пределу равна под'Ынтегралъноii, функ'Ции, в котороii, переменна.я. интегрирования заменена этим пределом, т. е. (! dt) ~ ~ (х). f (t) f Q По формуле Ньютона-Лейбница имеем: Jf(t) dt = F(t)I: = F(x) - F(a). х а Следовательно, (! dt) ~ ~ /(t) F(a))~ ~ F'(x) - О~ f(x). (F(x) - 8 Это означает, что определенныii, интеграл с переменн'Ым верхним пределом естъ одна из первообразн'Ых под'Ынтегралъноii, функ'Ции. § 39. ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 39.1. Формула Ньютона-Лейбница Простым и удобным методом вычисления определенного интегра ь ла j f(x) dx от непрерывной функции является формула Ньютонаа Лейбница: ь j f(x) dx = F(x)I: = F(b) - F(a). а Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найде- на первообразная функции F(x) для подынтегральной функции f(x). 71" Например, j sinxdx = - cosxj~ = -(cosn - cosO) = 2. о При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям. 39.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной) ь Пусть для вычисления интеграла j f(x) dx от непрерывной функ а ции сделана подстановках= cp(t). 269 Теорема 39.1. Если: 1) функция х = cp(t) и ее производная х' = 1.p'(t) непрерывны при t Е [а; ;J); 2) множеством значений функции х = cp(t) при t Е [а, ;JJ является отрезок [а; Ь]; 3) ср(а) =а и cp(;J) = Ь, то ь /3 j f(x) dx = j f(cp(t)) · cp'(t) dt. (39.1) а О Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [а; Ь]. Тогда по ь формуле Ньютона-Лейбница j f(x) dx = F(Ь) - F(a). Так как а (F(cp(t))' = f (cp(t)) ·ер' (t), то F(cp(t)) является первообразной для функции f(cp(t)) · cp'(t), t Е [a;;J]. Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем /3 j f(1.p(t)) · 1.p'(t) dt = F(cp(t))i~ = F(cp(;J)) - F(cp(a)) = а Ь = F(Ь) - F(a) = j f(x) dx. • а Формула (39.1) называется формулоii, заменъt nеременноii, в опре деленном интеграле. Отметим, что: 1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется; 2) часто вместо подстановки х = cp(t) применяют подстановку t = = g(x); 3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных! J 2 При.мер 39.1. Вычислить x 2 J4 - х 2 dx. о Q Решение: Положим х = 2 sin t, тогда dx = 2 cos t dt. Если х = О, то t =О; если х = 2, то t =~-Поэтому 1Г/2 2 j J х2 о 4 - х 2 dx = j 4 sin tV4 - 4 sin t · 2 cos t dt = 2 2 о 270 1Г /2 = 16 1Г /2 1 7r /2 J sin tcos tdt = 16 J 4 sin 2tdt = 4 J ~(1- cos4t) dt = 2 2 2 о о о = 2(t1; 12 - ~ sin4tl;12 ) = 2(~ - О)= 1Г. 8 39.3. Интегрирование по частям Теорема 39.2. Если функции и= и(х) и v = v(x) имеют непрерыв ные производные на отрезке [а; Ь], то имеет место формула ь ь J Jvdu. а а udv = иvl~ - (39.2) Q На отрезке [а;Ь] имеет место равенство (uv)' = и'v + uv'. Следо вательно, функция uv есть первообразная для непрерывной функции u'v + uv'. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем: ь J(u'v + uv') dx иvl:. = а Следовательно, ь ь Jv · u dx + Juv' dx = иvl: ===*' 1 а а ь ===*' ь ь ь Jvdu + Judv = иvl~ ===*' Judv = иvl: - Jvdu. 8 а а а а Формула (39.2) называется формуло11. интегрирования по 'Частям для определенного интеграла. Jxlnxdx. е Пример З9.2. Вычислить 1 Q Решение: Положим и= lnx du = ~dx] dv = xdx V - [ 2 - iL 2 271 . Применяя формулу (39.2), получаем е l 2 е 2 1 xlnxdx = ~ · lnxle - / ~ · -dx = 2 1 1 1 х 2 е2 е2 1 x 2 le е2 1 1 = 2 - О - 2 · 2 1 = 2 - 4 + 4 = 4(е 2 + l). 8 Jxsinxdx. 1Г Пример 39.3. Вычислить интеграл о Q Решение: Интегрируем по частям. Положим [ и= х du = dx ] v = - cosx · ==} dv = sinxdx ==} Поэтому Jcosxdx = -'IТ (-1) +О+ sinxl; = 'IТ. 1Г J = -xcosxl~ + · 8 о 39.4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [-а; а], симметричном относительно точки х =О. Докажем, что !а !(х) dx = -а {2 · J если !(х) - четная функция, f(x) dx, 0 О, если f(x) - (39.3) нечетная функция. Q Разобьем отрезок интегрирования [-а; а] на части [-а; О] и [О; а]. То гда по свойству аддитивности а О -а -а а J f(x) dx = J f(x) dx + Jf(x) dx. В первом интеграле сделаем подстановку х = О (39.4) О О -t. Тогда а а J f (х) dx = - Jf(-t) dt = JJ(-t) dt = Jf (-х) dx -а а О О (согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству (39.4), получим J f(x) dx = J!(-х) dx + Jf(x) dx = J(f(-x) + f(x)) dx. (39.5) а -а а О а а О О 272 Если функция f(x) четная (f(-x) = f(x)), то f(-x) + f(x) = 2/(х); + f(x) =О. если функция f(x) нечетная (f(-x) = - f(x)), то f(-x) Следовательно, равенство (39.5) принимает вид (39.3). • Благодаря доказанной формуле можно, например, сразу, не произ водя вычислений, сказать, что J 3 7Г cos 2 х · sin3 xdx =О, J е-х sinxdx =О. 2 • -3 -7Г § 40. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ь Определенный интеграл Jf(x) dx, где промежуток интегрироваа ния [а; Ь] конечный, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], называют еще собствен:ным интегралом. ~ Рассмотрим так называемые несобсmвен:ные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконеч ным промежутком интегрирования или определенный интеграл с ко нечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв. 40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл 1 рода) Пусть функция f (х) непрерывна на промежутке [а; +оо). Если ь Jf(x) dx, то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают J f(x) dx. существует конечный предел lim Ь-++оо +оо а а Таким образом, по определению +оо ! f(x) dx = Ь lim Ь-++оо а Jf(x) dx. а В этом случае говорят, что несобственный интеграл +оо J f(x) dx схо- а дитс.я. Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл +оо J f(x) dx расходится. а 273 Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке (-оо; Ь]: ь ь f (х) dx = а_!}~00 j J(x) dx. j -оо а Несобственный интеграл с двумя бесконеч у ными пределами определяется формулой +оо j с f(x) dx = а f(x) dx + j -оо -оо О +оо J f(x) dx, с х где с - Рис. 171 произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функ +оо ция f(x) ~ О на промежутке [а; +оо) и интеграл j f(x) dx сходит- а ся, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной тра- пеции (см. рис. 171). Пример 40.1. Вычислить несобственные интегралы или устано+оо вить их расходимость: 1) j О ~; 2) j 1 Q Решение: 1) +оо Ь Ь j ~ = lim Jx- dx = - lim 11 =-(О- 1) = 1, 2 Х Ь-++оо 1 Ь-++оо Х 1 о j J ~ж cosxdx; 3) -оо интеграл сходится; 2) оо 1 о cosxdx = lim jcosxdx = a---t-oo -оо lim sinxl 0 =О - a---t-oo а lim sina, a--t-oo а интеграл расходится, так как при а-+ -оо предел lim sina не суще а-+-оо ствует. ь j dx = lim Jdx = lim lnb = оо, интеграл расходится. 00 3) Х 1 Ь-+оо Х Ь-+оо 8 1 В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; до статочно лишь знать, сходится ли он или нет. Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости. 274 Теорема 40.1 (признак сравнения). Если на промежутке [а; +оо) непрерывные функции f(x) и <р(х) удовлетворяют условию О~ f(x) ~ +оо J <р(х) dx следует сходимость интеграла J f(x) dx, а из расходимости интеграла J f(x) dx еледует расходимость интеграла J <р(х) dx. ~ <р(х), то из сходимости интеграла а +оо +оо а а +оо а J 00 Пример 40.2. Сходится ли интеграл ~х + зх).? х 2 (1 1 J rl..xx = 1 00 Решение·. При х .~. ._ 1 имеем х 2 (1 1+ зх) < _,,.xl . Но интеграл '-J -~ f'I. -~ 1 ! 00 сходится. с ледовательно, интеграл х2 (ldx + зх) также сходится (и его • 1 значение меньше 1). Теорема 40.2. Если существует предел lim f((x)) = k, О < k < оо х-+оо 'Р х Jf(x) dx и J<р(х) dx одновре00 (J(x) >О и <р(х) >О), то интегралы а 00 а менно оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в смысле сходимости). Пример 40.З. Исследовать сходимость интеграла +оо J х+ 1 +оо Q Решение: Интеграл ! 2 ln 2 dx. х 2 +1 2 ln х + 2 dx сходится, так как интеграл х2 + 1 +оо ! ~ сходится и 1 1n х~+2 х +1 . 11m = х-++оо ~ 1 1n ( 1 + х2+1 1 ) . . х2+1 1. = 1lffi -1- = 1 х-++оо ~ х-++оо ~ l1m 275 • 40.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл 11 рода) Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а; Ь) и имеет бес конечный разрыв при х = Ь. Если существует конечный предел Ь-с: J f(x) dx, то его называют несобствен:н:ы.м интегралом второго рода и обозначают Jf(x) dx. lim c:--tO . а Ь а Таким образом, по определению, Ь Ь-е lim / f(x) dx = е-+0 J а а f(x) dx. Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл ь Jf(x) dx сходите.я. Если же указан:ый предел не существует или бес~онечен, то говорят, что интеграл Jf(x) dx расходится. а Аналогично, если функция /(х) у терпит бесконечный разрыв в точке х = а, то полагают ь ь lim / f(x) dx = е-+0 а . . .............. ' ...... . . . . . . . . . .. . . ................................ .. .. .. .- ... ... . ........................ ......... ... .. .................. ...... . . ...... . . .. . . ... . . . ... .. ... . о а Ь-с: J f(x) dx. а+е Если функция J(x) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [а; Ь], то не х собственный интеграл второго рода определяется формулой Рис. 172 ь с ь J j f(x) dx + Jf(x) dx. а а f(x) dx = с В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несоб ственных интеграла, стоящих справа, сходятся. В случае, когда f(x) > О, несобственный интеграл второго рода ь j f(x) dx (разрыв в точке х = Ь) можно истолковать геометрически как а площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рис. 172). Пример 40.4. Вычислить 1 J;-. о 276 Q Решение: При х = О функция у = .Ь терпит бесконечный разрыв; х 1 ! 1 J x- dx=-lim!l dx2 =lim х О =-(1-lim~) =оо, е--+0 с 1 е--+0 Х О+е 2 е--+0 О+е • интеграл расходится. Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегра лов второго рода. Теорема 40.3. Пусть на промежутке [а;Ь) функции f(x) и ip(x) не прерывны, при х = Ь терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют ь Jip(x) dx вы- условию О ~ f(x) ~ ip(x). Изь сходимости интеграла Jf (х) dx, а из расходимости интеграла Jf(x) dx вытекает расходим;сть интеграла Jip(x) dx. текает сходимость интеграла ь ь а а Теорема 40.4. Пусть функции жутке [а; Ь) и в точке х f(x) и ip(x) непрерывны на проме = Ь терпят разрыв. Если существует предел lim ftx~ = k, О< k < оо, то интегралы х--+Ь rp Х ь ь Jf(x) dx и Jip(x) dx одно а а временно сходятся или одновременно расходятся. 1 J ~х ? Пример 40.5. Сходится ли интеграл sшх о Q Решение: Функция f(x) = -.-1- имеет на [О; 1] единственный разрыв SШХ в точке х =О. Рассмотрим функцию ip(x) = 1. Интеграл х /1dx = lim /1 dx = lim lnxl =О - lim lnc 1 Х Х е--+0 О е--+0 е е--+0 О+е расходится. И так как . f (х) _ 1. х _ 1 1lШ--lШ--, х--+О sinx х--+О rp(x) 1 то интеграл J ~х также расходится. SШХ о 277 • § 41. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 41.1. Схемы применения определенного интеграла Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жид кости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [а; Ь] изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта вели чина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; Ь] точкой с Е (а; Ь) на части [а; с] и [с; Ь] значение величины А, соответствующее всему отрезку [а; Ь], равно сумме ее значений, соответствующих [а; с] и [с; Ь]. Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интеграл:ьн:ых сумм) и П схема (или метод дифференv,иала). Первая схема базируется на определении определенного инте грала. 1. Точками х 0 = а, х 1 , . .• , Хп = Ь разбить отрезок [а; Ь] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на п «элементарных слагаемых» дАi (i = 1, ... , п): А= ЛА 1 + дА 2 + ... ... +ЛАп. 2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произ ведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычи сленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину: ЛАi ~ f(ci)Лxi. При нахождении приближенного значения ЛАi допустимы некото рые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стя гивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д. Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы: п А~ f(с1)дх1 + ... + f(сп)Лхп = L f(ci)Лxi. i=l 3. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е. п А= JhIIJo L f(ci)дxi = ь Jf(x) dx. а (>.--tO) i=l Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении инте грала как о сумме бескон,е-ч,ио большого числа бесконечно мал'ьtХ слага емых. Схема I была применена для выяснения геометрического и физи ческого смысла определенного интеграла. 278 Втора.я схема представляет собой несколько видоизмененную схе му I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков»: 1) на отрезке [а; Ь] выбираем произвольное значение х и рассматри ваем переменный отрезок [а; х]. На этом отрезке величина А становит ся функцией х: А= А(х), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(х), где х Е [а; Ь] - один из параметров величины А; 2) находим главную часть приращения ЛА при изменении х на малую величину дх А = dx, т. е. находим дифференциал dA функции = А(х): dA = f(x) dx, где f(x), определяемая из условия задачи, функция переменной х (здесь также возможны различные упрощения); 3) считая, что dA ~ ЛА при дх --+ О, находим искомую величину путем интегрирования dA в пределах от а до Ь: ь А(Ь) =А= j f(x) dx. а 41.2. Вычисление площадей плоских фигур Прямоугольные координаты Как уже было установлено (см. «геометрический смысл опреде ленного интеграла»), площадь криволинейной трапеции, расположен ной «выше» оси абсцисс (! (х) ~ О), равна соответствующему определенному ин- У тегралу: ь S= ь j f(x)dx или S = j ydx. (41.1) а AS. S(x) а Формула (41.1) получена путем применения схемы I - метода сумм. Обосну- ем формулу (41.1), используя схему П. 0 а х x+dx ь х Рис. 173 Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями у х =а, х = f(x) ~ О, = Ь, у =О (см. рис. 173). Для нахождения площади S этой трапеции проделаем следующие операции: 1. Возьмем произвольное х Е [а; Ь] и будем считать, что S = S(x). 2. Дадим аргументу х приращение дх = dx (х + дх Е [а; Ь]). Функ ция S = S(x) получит приращение ЛS, представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена). Дифференциал площади dS есть главная часть приращения ЛS при дх --+ О, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основа нием dx и высотой у: dS =у· dx. 279 3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = Ь, ь получаем S = Jу dx. а Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (f(x) <О), то ее площадь может быть найдена по формуле ь S= - у f ydx. (41.2) а Формулы ......................... . .......... . . . . . . . . . . .' ........... . . . . . . . . . . . .. y=f1(x) О а (41.1) и (41.2) можно объединить в одну: ь х S= Рис. 174 1/ ydxl. Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = мыми х =а их fi(x) и у = f2(x), пря = Ь (при условии f 2 (x) ~ / 1 (х)) (см. рис. 174), можно найти по формуле ь S = ь ь Jf2(x) dx - Jfi (х) dx = J(f2(x) - fi (х)) dx. а а а у у d •<•·......... О а с d х = <р(у) о ь х Рис. 175 х Рис. 176 Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис. 175), то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы. осью Оу и непрерывной кривой х = с и у = d, = ср(у) ~ О (см. рис. 176), то ее площадь находится по формуле S = J Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у d xdy. с 280 И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривоiJ,, заданноiJ, параметри-чески x(t), { ху == y(t), t Е [а; ,8], прямыми х =а их= Ь и осью Ох, то площадь ее находится по формуле S~ 1! y(t)- х' (t) d+ где а и ,8 определяются из равенств х(а) =а и х(,8) = Ь. у у ь о Рис. 177 х а Рис. 178 При.мер 41.1. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и графиком функции у= х 2 - 2х при х Е [О; 3]. Q Решение: Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 177. Нахо дим ее площадь S: 2 S= - 3 J(х 2х) + J(х 2х) 2- 2 - dx о dx = 2 хз12 212 хзlз 213 8 27 8 8 2 = -з о+ х о+ 3 2 - х 2 = -3 + 4 + 3- 3 - 9 + 4 = 3 = 2 3· • Пример 41.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной элли псом х = acost, у= bsint. Q Решение: Найдем сначала :! площади S. Здесь х изменяется от О до а, следовательно, t изменяется от~ до О (см. рис. 178). Находим: ~S= / 7Г о о bsint· (-asint)dt= -аЬ /2 J sin tdt= 2 1Г/2 281 = -аЬ 2 Таким образом, J (1-cos2t)dt а ( tj ~ - ~12 ь = 2 о о 1 . J -sш2t 2 ~ ь 2) 7ra. = 4 о !s = 1Г~Ь. Значит, S = 7rab. • Полярные кооминаты Найдем площадь S криволинеi1ного сектора, т. е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r = ср = /3 (а< /3), где r и ср - r( ср) и двумя лучами ср = а и полярные координаты (см. рис. 179). Для решения задачи используем схему П - .метод диффере'Н.v,иала. 1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла ср, т. е. S = S(cp), где а~ ер ~ /3 (если ер= а, то S(a) =О, еслиер = /3, то S(/3) = S). 2. Если текущий полярный угол ср получит приращение дср = dep, то приращение площади ЛS равно площади «элементарного криволи нейного сектора» О АВ. Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения ЛS при dep ~ О и равен площади кругового сектора ОАС (на рисун ке она заштрихована) радиуса r с центральным углом dep. Поэтому dS = ~r 2 · dep. 3. Интегрируя полученное равенство в пределах от ср =а до ср = /3, получим искомую площадь Jr (cp) dcp. 1 /3 S = '2 2 а р о р Рис. 180 Рис. 179 Пример 41.з. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехле пестковой розой» r = асоsЗср (см. рис. 180). 282 Q Решение: Найдем сначала площадь половины одного лепестка «ро зы», т. е. ~ часть всей площади фигуры: 1Г/6 J 1Г/6 J ~(1 + соsб<р) (acos3<p) 2 d<p = ~а 2 о 2 = ~( 11Г/6 1 2 1 2 . 6 11Г/6) = ~(~ О)= 1Га + -6 sш <р о 4 6 + 24 ' 4 <р о т. е. б S d<p = о • 2 7Га 2 = 7Га 24 . Следовательно, S = Т. Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то лучами, выходящими из полюса, ее следует разбить на криволинейные секторы, к которым применить полученную формулу для нахождения площади. Так, для фигуры, изо браженной на рисунке 181, имеем: l'°Y S=2 Jr~ а d<p - 1 13 l'°Y а J3 J J 2 ri d<p - 2 r~ d<p. о р Рис. 181 41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой Прямоугольные координаты Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у= f(x), где а::::; х::::; Ь. ~ Под дJ1,uнoii дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стре мится к нулю. Покажем, что если функция у= f(x) и ее производная у' = f'(x) непрерывны на отрезке [а; Ь], то кривая АВ имеет длину, равную ь l= JJ1 + (f'(x)) dx. (41.3) 2 а Применим схему I (метод сумм). 1. Точками Хо = а, Х1, ... , Xn отрезок [а; Ь] на п частей (см. рис. = Ь (хо < х1 < ... < Хп) разобьем 182). Пусть этим точкам соответ ствуют точки М0 =А, М1 , ... , Мп =В на кривой АВ. Проведем хорды МоМ1, М1М2, ... , Мп-1Мп, длины которых обозначим соответствен но через дL1, дL2, ... , дLn. Получим ломаную МоМ1М2 ... Мп-1Мп, n длина которой равна Ln = дL 1 + дL 2 + ... + дLп = I: дL;. i=l 283 у y=f(x) Мп-1 в Мп Ао 1 Рис. 182 2. Длину хорды (или звена ломаной) дLi можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами дхi и дуi: дLi = J(дxi) 2 + (дуi) 2 , где дхi = Xi - Xi-1, дуi = f(xi) - f(xi-1). По теореме Лагранжа о конечном приращении функции дуi = f'(ci) · дхi, где ci Е (Xi-l; Xi)· Поэтому ЛLi = J(дxi) 2 + (f'(ci) · дхi) 2 = J1 + (f'(ci)) 2 • дхi, а длина всей ломаной М0 М1 ..• Мп равна n n i=l i=l L ЛLi = L Jl + (f'(ci)) дхi. Ln = (41.4) 2 • 3. Длина l кривой АВ, по определению, равна n l= lim max дL;--+0 Ln = "ЛL;. lim max дL;--+0 ~ i=l Заметим, что при ЛLi~O также и дхi~О (ЛLi=J(дxi) 2 +(дyi) 2 и, следовательно, jдxil<дLi)· Функция J1+(f 1 (x)) 2 непрерывна на от резке [а; Ь], так как, по условию, непрерывна функция f'(x). Следова тельно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда maxдxi~O: Ь n l= lim L J1 + (f'(ci)) 2 дxi = JJ1 + (f'(x)) dx. 2 max дl;--+0 . i=l (n--+oo) а ь Таким образом, l = Ь = JJ1 + (у~) 2 dx. JJ1 + (f'(x)) dx, или в сокращенной записи l = 2 а а 284 Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме x(t), { ху== y(t), а~ t ~ (З, где x(t) и y(t) - непрерывные функции с непрерывными производными и х(а) =а, х((З) = Ь, то длина l кривой АВ находится по формуле (3 l = JJ(x'(t)) + (y'(t)) dt. 2 (41.5) 2 Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой х = x(t), dx = x'(t)dt, f'(x) = ~:ш. Пример 41.4. Q Решение: Найдем Найти длину окружности радиуса R. ! часть ее длины от точки у (О; R) до точки (R; О) (см. рис. 183). Так как у = = ./R2 - х 2 , то 1 R -t=J 4 J х2 1+ Х R R 2 -х 2 о х 7r dx=R·arcsin-1 =R·-. R о 2 Значит, l = 2п R. Если уравнение окружности запи Рис. 183 сать в параметрическом виде х = R cos t, у = R sin t (О~ t ~ 2п), то 271' l = J J(-Rsin t) + (Rcost) dt = Rtl~1r = 2пR. 2 2 8 о Вычисление длины дуги может быть основано на применении ме тода дифференциала. Покажем, как можно получить формулу (41.3), применив схему П (метод дифференциала). 1. Возьмем произвольное значение х Е [а; Ь] и рассмотрим перемен ный отрезок [а; х]. На нем величина l становится функцией от х, т. е. l = l(x) (l(a) =О и l(Ь) = l). 2. Находим дифференциал dl функции l = l(x) при изменении хна малую величину дх = dx: dl = l'(x) dx. Найдем l'(x), заменяя бесконечно малую дугу М N хордой дl, стягивающей эту дугу (см. рис. 184): l'(x) = lim ~ = lim J(дх) 2 + (ду)2 = Лх-+0 дх Лх-+0 дх 2 = J1 +(у' )2. /1 + (ду) дх "' = lim Лх-+0 У Стало быть, dl = J1 + (у~)2 dx. 285 г----- 3. Интегрируя dl в пределах от а до Ь, получаем l = ь JJ1+у~ 2 dx. а ~ Равенство dl = J1+у~ 2 dx называется формулой дuфферен.циа л.а дуги в прямоугольных координатах. / !l:JJ.. т ак как Ух= dx' то dl = J(dx) 2 + (dy)2. Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для беско нечно малого треугольника мет (см. рис. 185). у _N_ _ _ в у м А О а х+ х х х о а Рис. 184 х x+dx х Рис. 185 Полярные координаты Пусть кривая АВ задана уравнением в поляр- ных координатах r = r(r.p), а ~ r.p ~ (3. Предположим, что r(r.p) и r'(r.p) непрерывны на отрезке [а; (З]. Если в равенствах х = r cos r.p, у = r sin r.p, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол r.p, то кривую АВ можно задать параметрически { cos ер, { ух == r(r(r.p) ) . r.p SШ r.p. Тогда х~ = r' (ер) cos ер - r( rp) sin rp, у~= r'(rp) sinr.p + r(r.p) cosrp. Поэтому J(x~)2 + (у~)2 = = у'~(r-(-rp-)-co_s_rp---r(_cp_)_si_n_r.p_)2_+_(r- cp-)-s-in_cp_+_r_(cp-)-c-os_r.p_)_2 = 1 1-( = J(r'(rp))2 + (r(r.p))2. Применяя формулу (41.5), получаем (3 l= JVr + r' d'[J. 2 2 "' Пример 41.5. Найти длину кардиоиды r = a(l + cos<p). Q Решение: Кардиоида r = a(l + cos<p) имеет вид, изображенный на рисунке 186. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем по ловину длины кардиоиды: 1 2z= JJ(a(1+cos'{J))2+(a(-sin'{J))2d'{J=a JJ2+2cos<pd<p= ~ ~ о о Таким образом, !t = 4а. Значит, l = 8а. Рис. 186 41.4. • Рис. 187 Вычисление объема тела Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ох: S = S(x), а~ х ~ Ь. Применим схему 11 (метод дифференциала). 1. Через произвольную точку х Е [а; Ь] проведем плоскость П, пер пендикулярную оси Ох (см. рис. 187). Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении х. Через v(x) обозначим объем части те ла, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; х] величина v есть функция от х, т. е. v = v(x) (v(a) =О, v(b) = V). 2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и х+Лх, который при ближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S (х) dx. 3. Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пре делах от а до Ь: ь (41.6) V=jS(x)dx. а Полученная формула называется фор.му.л,оu обt'>е.ма те.л,а по п.л,ощадu. nара.л,.л,е.л,ьных ceчeнu.ii. 2 2 2 Прu..мер 41.6. Найти объем эллипсоида~+ J{;b + ~ = 1. а с Q Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz и на расстоянии х от нее (-а :::;; х :::;; а), получим эллипс (см. рис. 188): у2 z2 сьR)2 + ccJ1- ~)2 = 1. Площадь этого эллипса равна = S(x) = 1ГЬс( 1 - ~). Поэтому, по формуле (41.6), имеем а j (1 - : V = 1ГЬс Рис. 188 2 2) 4 dx = 3 1ГаЬс. 8 -а Объем тела вращения Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, огра = f(x) ~ О, отрезком а :::;; х ~ Ь и ниченная непрерывной линией у прямыми х =а их= Ь (см. рис. 189). Полученная от вращения фигура называется телом вращенм. Сечение этого тела плоскостью, перпен дикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох (х Е [а; Ь]), есть круг с радиусом у= f(x). Следовательно, S(x) = 1Гу 2 . Применяя формулу (41.6) объема тела по площади пара.,тшельных сечений, получаем ь Vx = 1Г j y 2 dx. а 288 (41.7) Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции х = 'Р(У) ;::: О и прямыми х = О, у = с, у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен d Vy = 1Г fх 2 dy. (41.8} с у у=/(х) о х о Рис. 189 х Рис. 190 Пример 41. 7. Найти объем тела, образованного вращением фи гуры, ограниченной линиями у= х;, х =О, у= 2v'2 вокруг оси Оу (см. рис. 190). Q Решение: По формуле (41.8) находим: Vy = 1Г 2V2 / • 2у dy = 1ГY 2 l~V2 = 81Г. о 41.5. Вычисление площади поверхности вращения Пусть кривая АВ является графиком функции у = !(х) х Е [а;Ь], а функция у= f(x) и ее производная у 1 = ;::: О, где f'(x) непрерывны на этом отрезке. Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох. Применим схему П (метод дифференциала). 1. Через произвольную точку х Е [а; Ь] проведем плоскость П, пер пендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность враще ния по окружности с радиусом у = !(х) (см. рис. 191). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, явля ется функцией от х, т. е. s = s(x) (s(a) =О и s(Ь) = S). 289 2. Дадим аргументу х приращение дх = dx. Через точку х + dx Е Е (а; Ь] также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция s = s(x) получит приращение дs, изображенного на рисунке в виде «пояска». Найдем дифференциал площади ds, за у меняя образованную между сечениями фи в гуру усеченным конусом, образующая кото ' 1 .i:I: 1\ ' 1 рого равна dl, а радиусы оснований равны у ·•: 11 1 и у+ dy. Площадь его боковой поверхности ·:·· 1 ,, у;:( ' 1' 1' ·:(· 1 1 ' равнаds = 1Г(y+y+dy)·dl = 27Гydl+7Гdydl. ,, ::r.: ".., ' ' ___ _' :": Отбрасывая произведение dy dl как беско .· 1\ о ---+~- а• 1 1 :х: x+dx 1 ·.t.· 1 ::r.: ' ' :;~~ 1 1 Ь х нечно малую высшего порядка, чем ds, по :: лучаем ds = 21Гу dl, или, так как dl = = J1 + (у~)2 dx, то ds = 21ГуJ1 + (у~)2 dx. ,, ·н·. '' 3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х Рис. 191 = а до х = Ь, получаем ь S,,, = 27Г /у· J1 + (у~) 2 dx. (41.9) а = x(t), у= = y(t), t 1 ~ t ~ t2, то формула (41.9) для площади поверхности враще Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х ния принимает вид S,,, = 27Г t2 f y(t). J(x'(t)) + (y'(t))2 dt. 2 ti Пример 41.8. Найти площадь поверхности шара радиуса R. Q Решение: Можно считать, что поверхность шара образована враще нием полуокружности у= JR 2 - х 2 , -R ~ х ~ R, вокруг оси Ох. По формуле (41.9) находим S= 27Г !R J R2 - х2 v~ + ( ,,/R2-Х- х2 ) dx = 2 · -R R =211" J JR2-x2+x2dx=27rR·xl~н=47rR • 8 2 -R Пример 41.9. Дана циклоида a(t - sint), { ху== a(l - cost), 290 о~ t ~ 27Г. Найти площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси Ох. Q Решение: При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох площадь поверхности вращения равна 1 Jа(1 - cos t) · y'(a(l - cos t)) 2 + (asin t)2 dt = = 27r Jа 2 2 sin ~ Vl - 2 cos + cos t + sin t dt = 1r 2sx = 27r о 1r 2 • о = 47ra2 /7r sin2 ! · 2 t • 2 2 J 2 · 2 sin2 ! dt = 87ra2 /7r sin 2 ! · sin ! dt = 2 2 2 о о t) ( t) ( tl7r0 - Т cos3 il7r) = = -87ra 2 . 2 /7r( 1 - cos 2 2 d cos 2 = -167ra 2 cos 2 0 о 2 2) = -327ra = -167ra2 ( 0-1-0+ З1 ) = -167ra 2 ( -3 3- , • т. е. !sx = 3f 7ra2 . Следовательно, Sx = 634 7ra 2 • 41.б. Механические приложения определенноrо интеrрала Работа переменной силы Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под дей ствием переменной силы F = F(x), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из поло жения х =а в положение х = Ь (а< Ь), находится по формуле ь А= (см. п. 36). JF(x)dx (41.10) а Пример 41.10. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м? Q Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. F = kx, где k - коэффи циент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н = 0,01 м; следовательно, 100 = k·0,01, откуда k = 10000; следовательно, F = 10000х. растягивает пружину на х 291 Искомая работа на основании формулы (41.10) равна 0,05 А= • j 10000xdx = 5000х 2 1~'05 = 12,5 (дж). о При.мер Найти работу, которую необходимо затратить, 41.11. чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндриче ского резервуара высоты Н м и радиусом основания R м. Q Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высо ту h, равна р · h. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) раз личных слоев не одинакова. Для х решения поставленной задачи применим схему П (метод дифференциа ла). Введем систему координат так, как указано на рисунке 192. х 1. Работа, затрачиваемая на выкачи вание из Н резервуара слоя жидкости тол щиной х (О~ х ~ Н), есть функция от х, = А(х), где О ~ х ~ Н (А(О) = О, = Ао). т. е. А А(Н) 1 1 1 . .______ ----- --:--.R----, () _____ _ 2. Находим главную часть прираще ния дА при изменении х на величину дх Рис. 192 = dx, т. е. находим дифференциал dA функции А(х). Ввиду малости dx с-читаем, -что «элементарны:i1» сло11. жидко сти находите.я. на одноi1 глубине х (от края резервуара) (см. рис. 192). Тогда dA = dp · х, где dp - вес этого слоя; он равен g · "{ dv, где g - рение свободного падения, "f - плотность жидкости, dv - уско объем «эле ментарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dp = g"{ dv. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен 7r R 2 dx, где dx - вы сота цилиндра (слоя), ?ГR2 - площадь его основания, т. е. dv = ?ГR 2 dx. Таким образом, dp = g"{ · 1ГR 2 dx и dA = g"{1ГR2 dx · х. 3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х =О дох= Н, находим Ао = н 1 j 9"f1ГR2 xdx = 2 9"f1ГR2 H 2 (Дж). о • Путь, прОЙАенный телом Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v времени от = v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток ti до t2. 292 Q Решение: Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении «скорость прямолинейного дви- жения равна производной от пути по времени», т. е. v(t) = ~f. Отсюда следует, что dS = v(t) dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от t1 до t2, получаем S = t2 Jv(t) dt. 8 t1 Отметим, что эту же формулу можно получить, пользуясь схемой I или П применения определенного интеграла. Пример 41.12. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = lOt + 2 (м/с). Q Решение: Если v(t) = lOt + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t =О) до конца 4-й секунды, равен 4 s = ! (10t + 2) dt = ы 2 1~ + 2tl~ = 80 + 8 = 88 (м). • о Давление жидкости на вертикальную пластинку По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пласти ну равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой - глубину ее погружения от свободной поверхности жид кости, т. е. Р 'У - = g · 'У • S · h, где g - плотность жидкости, S - ускорение свободного падения, площадь пластинки, h - глубина ее погружения. По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикаль но погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах. Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями х = а, х = Ь, У1 = fi(x) и У2 = f2(x); система координат выбрана так, как указано на рисунке 193. Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему П (метод дифференциала). 1. Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р = р(х), т. е. р = р(х) - давление на часть пластины, соответствующее отрезку [а; х] значений переменной х, где х Е [а; Ь] (р(а) =О, р(Ь) = Р). 2. Дадим аргументу х приращение дх = dx. Функция р(х) полу полоска-слой толщины dx). Найдем дифференциал dp этой функции. Ввиду малости dx будем приближен чит приращение др (на рисунке - но считать полоску прямоугольником, все то'ЧКU которого находятся ?ta одноif. глубине х, т. е. пластинка эта - горизонтальна.я. Тогда по закону Паскаля dp = g ·'У (у2 - У1) · dx · х . ____... ..__., s 293 h 3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = Ь, получим ь ь Р = 9 · 1 j (у2 - У1)х dx или Р = 91 j (!2(х) - fi(x)) · xdx. а а о у о xo--------x+dx 1-----.,......,...................,.. у R х х Рис. 194 Рис. 193 Пример 41.13. Определить величину давления воды на полу круг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус R, а центр О находится на свободной поверхности воды (см. рис. 194). Q Решение: Воспользуемся полученной формулой для нахождения да вления жидкости на вертикальную пластинку. В данном случае пла 2 - х2 , х -./R 2 - х 2 , У2 О, стинка ограничена линиями У1 х = R. Поэтому = = ./R = R Р = 91 j (J R2 - х 2 - ( -JR 2 - х2 )) х dx = о JJю - x 2xdx = 291 · (- 2l ) J(R 2 - х 2 ) 1 12 d(R2 - х2 ) = R = 291 R о о = -91. IR 2J(R2 - x2)3 2 3 2 3 8 3 о = -391(0 - R ) = 391R . Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек М1(х1;У1), М2(х2;У2), .. . , Mn(XniYn) rn1,rn2, ... ,rnn. 294 соответственно с массами Стати-ческим моментом Sx системы материальных точек отно сительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на n их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ох): Sx = Е mi · Yi· i=l Аналогично определяется стати-чески11 момент Sy этой системы n относительно оси Оу: Sy = Е mi · Xi· i=l Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кривой, то для выражения статического момента понадобится интегри рование. Пусть у= f(x) (а~ х ~ Ь) - это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью 'У ('У= const). Для произвольного х Е у y=f(x) [а; Ь] на кривой АВ найдется точка с коорди в натами (х;у). Выделим на кривой эле ментарный участок длины у dl, содер жащий точку (х; у). Тогда масса этого участка равна "fdl. Примем этот уча сток dl приближенно за то-чку, отстоя А щую от оси Ох на расстоянии у. Тогда о а х x+dx дифференциал статического момента х dSx («элементарный момент») будет = "fdl ·у (см. Рис. 195 равен "{dl ·у, т. е. dSx рис. 195). Отсюда следует, что статический момент тельно оси Ох равен ь Sx="f Sx кривой АВ относи ь j ydl="f j y·Jl+(y~)2dx. Аналогично находим Sy ~ Sy ='У ь f а х · ..j,....1_+_(.,..-y-~)"""72 dx. а Статические моменты Sx и Sy кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс). Центром т.я.жести материальной плоской кривой у Е = f(x), х Е [а; Ь] называется точка плоскости, обладающая следующим свой ством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой у = f(x) относи тельно той жеоси. Обозначим через С(хс;Ус) центр тяжести кривой АВ. Из определения центра тяжести следуют равенства т · Хе = Sy и s s т ·Ус= Sx ИЛИ ')'l ·Хе = Sy И "{l ·Ус= Sx. Отсюда Хе = ~' Ус = ~ ИЛИ 295 Хе ь ь ь J xdl = -l- = а а ь f ydl J х · yf 1 + (у~) 2 dx _ _ _ _ _ __ _Ь = -l- = а Ус J у · yfl + (у~) 2 dx _______ а _ь J J1 + (у~) 2 dx J J1 + (у~) 2 dx а а Пример ,р.14. Найти центр тяжести однородной дуги окружно сти х 2 + у 2 = R 2, расположенной в первой координатной четверти (см. рис. 196). у у y=)R2-x2 R о R х у - ------ ;;~::: ё О а х Рис. 196 x+dx ьх Рис. 197 Q Решение: Очевидно, длина указанной дуги окружности равна 1Гf, т. е. l = 1Г.]!'. Найдем статический момент ее относительно оси Ох. Так как уравнение дуги есть у = J R 2 - х 2 и у~ = J R2-х -х2 , то ('У = const) Bx="fjRJR2-x2 ·/1+( JR2-х-х2 )2 dx= о ='У JJю - х2 · JR2R R -х2 о Стало быть, R Sx dx = 1R j dx = 1RxjRо = "(R 2. о 1R2 2R Ус = "(l = 'У. 1Гf = ---;-· Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы перво го координатного угла, то Хе = Ус = 2R. Итак, центр тяжести имеет 1Г • координаты ( 2//'; 2//'). Вычисление статических моментов и коорАинат центра тяжести плоской фигуры Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограничен ная кривой у= f(x) ;:: О и прямыми у= О, х =а, х 296 = Ь (см. рис. 197). Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна ь J ('У = const). Тогда масса всей пластинки равна 'У· S, т. е. т = 'У f (х) dx. а Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоуголь ником. Тогда масса его равна 'У· ydx. Центр тяжести С прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка С от стоит от оси Ох на !у, а от оси Оу на х (приближенно; точнее на ! расстоянии х + дх). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения 1 1 2 dSx = 'У· у dx · 2у = 21' ·у dx и dSy = 'У· у dx · х = 1ху dx. ь ь Jу2 dx, Sy ='У Jxydx. Следовательно, Sx =!'У а а По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С(хс; Ус), что т ·Хе= Sy, т ·Ус= Sx. Отсюда х s 8 _...J!.. _ _Jf_ с - - "}'8 т или и ь Пример 41.15. Sx =т "}'8 ь ! Jy 2 dx Jxydx Хе= 8х - Ус= а а Ус= ь ь f ydx f ydx а а Найдем координаты центра тяжести полукруга х 2 + у 2 ~ R 2 , у~ О ('У= const) (см. рис. 198). у Q Решение: Очевидно (ввиду симметрии R фигуры относительно оси Оу), что Хе =О. Площадь полукруга равна 7r ~ 2 • Нахо дим 8х: -R 1 8х = 21' J (VR х2 ) 2 dx R 2 - y=~R2-x2 о R Рис. 198 = -R 1 2 = 21 (R х - х 3 IR 1 R3 R3 2 3) -R = 2'Y(R3 + R3 - 3 - 3) ='У. 3R3 . 297 х Стало быть, Ус = 21R3 Sx 4 R ,s = з,1Г~2 = 3. ;· • И так, центр тяжести имеет координаты С (О; i~) . § 42. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ь Пусть требуется найти определенный интеграл j f(x) dx от непреа рывной функции !(х). Если можно найти первообразную F(x) функции f(x), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: ь j f(x) dx = F(Ь) - F(a). а Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кро ме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее перво образная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях (например, функция у= !(х) задана графически или таблич но) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых опре деленный интеграл находится с любой степенью точности. Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближен ного вычисления определенного интеграла - формулу прямоугольни ков, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла. 42.1. Формула прямоугольников Пусть на отрезке [а; Ь], а < Ь, задана непрерывная функция !(х). ь Требуется вычислить интеграл Jf(x) dx, численно равный площади а соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции, т. е. отрезок [а; Ь], на п равных частей (отрезков) длины = Ь - а = Xi - Xi-l (шаг разбиения) с помощью точек хо = а, х1,х2, ... ,хп = Ь. Можно записать, что Xi =Хо+ h · i, где i = 1, 2, ... ,п h п (см. рис. 199). В середине Ci = нату Yi х· i- i +х· 2 • каждого такого отрезка построим орди- = f(ci) графика функции у = f(x). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью h · 298 Yi· у 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ':Yn 1 1 1 1 о Сп О а=хох1 х2 Xi-1 Рис. Х Xi 199 Тогда сумма площадей всех п прямоугольников дает площадь сту пенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение ис комого определенного интеграла Ь n _ _) b-a°""f(Xi-1 +xi) !!( х )dх r:::i h( У1 + У2 + · · · + Уп = -п- ~ · 2 •=1 а ~ (42.1) Формула (42.1) называется формулоfi средних прямоугольни ков. Абсолютнал погрешность приближенного равенства (42.1) оцени вается с помощью следующей формулы: IR I ~ (Ь - а) 3 · М2 n """" где М2 - 24n 2 ' наибольшее значение lf"(x)I на отрезке [а; Ь], Отметим, что для линейной функции (f(x) = kx + Ь) формула (42.1) дает точный ответ, поскольку в этом случае f"(x) =О. 42.2. Формула трапеций Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольни ков: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяет ся обычной. Разобьем отрезок [а; Ь] на п равных частей длины h = Ь- а. Аб п сциссы точек деления а = хо, х1, х2, ... , Ь = Xn (рис. 200). Пусть Уо, у 1 , ••. , Yn - соответствующие им ординаты графика функции. Тогда 299 у Yn-1 Yn О а=хо х1 х2 Xn-1 h Ь=хn Х Рис. 200 расчетные формулы для этих значений примут вид Xi =а+ h · i, Yi = = f(xi), i =О, 1, 2, ... ,п; h = Ь - а. п Заменим кривую у= f(x) ломаной линией, звенья которой соеди няют концы ординат Yi и Yi+1 (i = О, 1, 2, ... , п). Тогда площадь кри волинейной трапеции приблюкенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями Yi, Yi+1 и высотой h = Ь- а: п ь ! f(x) dx ~ Уо + У1 2 . h + У1 + У2 . h + ... + Yn-1 + Yn . h 2 2 а или ь ! f(x) dx ---;:-~ Ь- а (Уо + Yn 2 + У1 + У2 + ... + Yn-1 ) · (42.2) а ~ Формула (42.2) называется фopмy.1tofi. mpaneцut't. Абсолютная погрешность 14. приблюкения, полученного по фор муле трапеций, оценивается с помощью формулы IRnl ~ (Ь а) 3 · 1 ;п2 М2, где М2 = max Jf"(x)J. Снова для линейной функции у= kx + Ъ фор а~х~ь мула (42.2) - точная. 42.З. Формула парабол (Симпсона) Если заменить график функции у f (х) на каждом отрезке = [xi-li xi] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную форму ь лу приближенного вычисления интеграла Jf(x) dx. а 300 Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, огра ниченной сверху графиком параболы у ах 2 +Ьх+с, сбоку - прямыми = х = -h, х = h и снизу - отрезком [-h; h]. Пусть парабола проходит через три точ ки M1(-h; Уо), М2(О; У1), Мз(h; У2), где Уо = = ah2 - bh +с - ордината параболы в точке = . <<: :::мз = х -h; у 1 с - ордината Параболы в точке х = О; У2 = ah 2 + bh + с - ордината парабо лы в точке х = h (см. рис. 201). Площадь S .. .:-:·:-:. ·.·.·.- :: .• :.::у2 ·.·.·.- .. ·.·.·.·:·:-:-:-. :-:·:·:·:·:·:-:. равна -h h S = J (ах + Ьх +с) dx = о ·:·:·:·:·:-:-:-• h х Рис. 201 2 -h хз х2 = ( а3 + ь2 + сх ) \h = 3ah 2 + 2ch. (42.3) -h 3 Выразим эту площадь через h, уо, у 1 , У2· Из равенств для ординат Yi находим, что с= у1, а= ~(Уо - 2у 1 +у2). Подставляя эти значения с и а в равенство (42.3), получаем ь Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла/f{х) dx. а Для этого отрезок [а; Ь] разобьем на 2n равных частей (отрезков) длиной h = Ь 2п а точками Xi = хо+ ih (i = О, 1, 2, ... , 2n). В точках деления а = хо, Х1, х2, ... , X2n-2, X2n-1, X2n = Ь вычисляем значения подынтегральной функции f(x): Уо, У1, У2, ... , Y2n-2, Y2n-1, Y2n, где Yi = f(xi) (см. рис. 202). Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболиче ской трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке [х 0 ; х 2 ] парабола проходит через три точки (хо; Уо), (х1; У1), (х2; У2). Используя форму лу (42.4), находим h ж2 81 = J f (х) dx 3(Уо + 4у1 + У2). = Хо 301 у ......... . . .. . . . . . ... .... ...... .. . ... ................ .....' .... . . . . . . . .. .. ......... ....... . ........ .. .. .. ... . ........ ... ....... О а=хо х1 х2 хз X2n-2 X2n-1 X2n =Ь х Рис. 202 Аналогично находим ... ' Ж2n / h f(x) dx = 3(Y2n-2 + 4Y2n-1 + Y2n)· X2n-2 Сложив полученные равенства, имеем ь h Jf(x) dx ~ 3(Уо + 4у1 + 2у2 + · · · + 2y2n-2 + 4y2n-1 + Y2n) а или ь Ь-а( / f(x) dx ~ ~ (Уо + Y2n) + 4(у1 +Уз+···+ У2п-1)+ а. ~ + 2(у2 + У4 + ... + Y2n-2) ). (42.5) Формула (42.5) называется форму.лоi1 nарабол, (или Симпсона). Абсо.лютная погрешность вычисления по формуле (42.5) оценива ется соотношением ,,,, (Ь - а) 5 IRnl "::: 180 . ( 2 п) 4 · М4, где М4 = а.~~ь lf IV (x)I. ь Отметим, что формула (42.5) дает точное значение интеграла Jf(x) dx а. во всех случаях, когда f(x) - равна трем (тогда pv =О). многочлен, степень которого меньше или 302 2 Пример 42.1. Вычислить Jхз dx, раз о бив отрезок интегрирования [О; 2] на 4 части. у Q Решение: Имеем: f(x) = хз, 8 __ Ь - а __ ~ __ ~. а = хо = О; Ь = Х4 = 2, h п 4 2 1 1 хо =О, Уо = О; х1 = 2, У1 = 8; х2 = 1, У2 = 1; хз 3 27 = 2, Уз = 8; Х4 = 2, У4 = 8; (см. рис. 203) а) по формуле прямоугольников: 1 Ci = 5 сз = 4' 2 / з - 1 3 - 27 4' Yl = 64 j С2 = 4' у 2 = 64 j - 125 Уз = 64; 7 - С4 = 4' 0 343 l 1 ;! 2 Х 2 У4 = 6' 2 Рис. 203 1 ( 1 + 27 + 125 + 64 343) = 3,875, т. е. / 2 х з dx :::::: 3,875; 64 64 64 х dx :::::: 2 о о б) по формуле трапеции: з 1(о+8 21) = 4,25, - - + В1 + 1 + В / х dx :::::: 2 2 2 Jхз т. е. 2 о dx :::::: 4,25; о в) по формуле парабол: j хз ~ (О+ 8 + 4(~ dx:::::: 6 2 2 + 2; ) + 2. 1) = 4, т. е. о Jхзdх:::::: 4. о Точное значение интеграла J2хз 412 = 4. dx = ~ 0 о Абсолютные погрешности а) 0,125; 6) 0,25; в) О. соответствующих формул таковы: 8 Глава IX. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1 Лекции 34-36 1 Функции одной независимой переменной не охватывают все зави симости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить из вестное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функ ции нескольких переменных. Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важ нейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных. Эти факты обобщаются на случай большего числа переменных. Кроме того, для функций двух перемен ных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. § 43. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 43.1. Основные понятия § Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х; у). Соответствие f, которое каждой паре чисел (х; у) Е D сопоставляет одно и только одно число z Е JR, называется фуккцuеii. двух пере менных, определенной на множестве D со значениями в JR, и записы вается в виде z = f(x; у) или f : D --t JR. При этом х и у называются - зависимо11. пере независимыми переменными (аргумента.ми), а z менно11. (функv,иеii,). Множество D = D(f) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых z в области определения, называ ется областью изменения этой функции, обозначается E(f) или Е. Примером функции двух переменных может служить площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S = ху. Областью определения этой функции является множество {(х; у) 1 х > >О, у> О}. § Функцию z = f (х; у), где (х; у) Е D можно понимать (рассматри- вать) как функцию точки М(х;у) координатной плоскости Оху. В частности, областью определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют гранuцеii oб.ttacmu. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется omкp'blmoii. Область с присоединенной к ней границей называется замкнуmоii., обозначается 75. Примером замкнутой области является круг с окружностью. 304 = f(x;y) в точке Мо(хо;Уо) обозначают zo = f(Mo) и называют "tастн·ым зна'Чением функчии. Значение функции z =!(хо; Уо) или zo = Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке Мо(хо; Уо) области D в системе координат Oxyz соответствует точка М(хо; Уо; zo), где zo = f (хо; уо) - аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некото рую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию z = f(x;y). Например, функция z = круг х 2 J1 - х 2 -у 2 имеет областью определения + у 2 :::; 1 и изображается верхней полусферой с центром в точке 0(0; О; О) и радиусом R = 1 (см. рис. 204). Функция двух переменных, как и функция одной переменной, мо жет быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графи ком. Будем пользоваться, как правило аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы. у о Рис. 204 43.2. х Рис. 205 Предел функции Для функции двух (и большего числа) переменных вводится по нятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек М(х;у) плоскости, координаты которых удовлетворяют нера венству J(x - х0 ) 2 +(у - у0 ) 2 б, называется б-окрестностью mо'Чки < Мо(х 0 ; Уо). Другими словами, б-окрестность точки М0 - это все вну тренние точки круга с центром Мои радиусом б (см. рис. 205). ~ Пусть функция z = f(x; у) определена в некоторой окрестности точки М0 (х 0 ; у0 ), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z что то же самое, при М(х; у) существует б = f(x; у) при х-+ хо и у-+ Уо (или, -+ Мо(х 0 ; Уо)), если для любого s > О > О такое, что для всех х -:/= х0 и у -:/= у0 и удовлетворяю305 щих неравенству J(x - х 0 ) 2 +(у - у0 ) 2 < б выполняется неравенство lf(x; у) -AI < е. Записывают: А= lim f(x; у) или А= ~~~g lim М-+Мо !(М). Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к М0 (число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной х -+ хо по двум направле ниям: справа и слева!) Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число е > О, найдется б-окрестность точки Мо(хо;Уо), что во всех ее точках М(х;у), отличных от Мо, ап пликаты соответствующих точек поверхности z = f(x; у) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на е. Пример 4з.1. Найти предел lim х2 -у2 х-+0 Х у-+0 22 . +у а Решение: Будем приближаться к 0(0; О) ПО прямой у = kx, где k - некоторое число. Тогда lim х2 - у2 + х-+О х2 у-+0 Функция z = у2 х2 - k2x2 1 - k2 1 - k2 = lim -2 - -2 -2 = lim - - -2 = ---. х-+О х + k x х-+О 1 + k 1 + k2 х2 У2 22 в точке 0(0; О) предела не имеет, т. к. при разных х +у значениях k предел функции не одинаков (функция имеет различные предельные значения). 8 Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогич ными свойствам предела функции одной переменной (см. п. 17.3). Это означает, что справедливы утверждения: если функции f(M) и g(M) определены на множестве D и имеют в точке Мо этого множества пре делы А и В соответственно, то и функции f(M) ± g(M), f(M) · g(M), ~~~я (g(M) # О) имеют в точке М0 пределы, которые соответственно равны А± В, А· В, ~ (В# О). 43.3. Непрерывность функции двух переменных Функция z = f(x; у) (или f(M)) называется неnрерывио-h в точ ке Мо(хо; Уо), если она: а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности, б) имеет предел lim f(M), М-+Мо 306 в) этот предел равен значению функции z в точке М0 , т. е. lim M-tMo f(M) = f(Mo) или lim f(x; у) =!(хо; Уо). x-txo y-tyo Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, назы вается непрер'Ывно11 в это11 области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются то-чками разрьtва этой функции. Точ ки разрыва z = f(x;y) могут образовывать целые линии разрыва. Так, 2 функция z = - - имеет линию разрыва у= х. у-х Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определе ние непрерывности функции z = f(x; у) в точке. Обозначим дх = х-х 0 , ду =у -уо, дz = f(x;y) - f(xo;Yo). Величины дх иду называются приращениями аргументов х и у, а дz - полн'Ым приращением функ ции f(x;y) в то-чке Мо(хо;Уо). iJ Функция z = f(x; у) называется непрерывной в точке Мо(хо; Уо) Е Е D, если выполняется равенство lim дz = О, т. е. полное прира дх-tО ду-tО щение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов х и у стремятся к нулю. Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям - подобные теоремы имели место для функций одной переменной (см. п. 19.4). 43.4. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области Приведем свойства функций, непрерывных в ограниченной замкну той области (они аналогичны свойствам непрерывных на отрезке функ ций одной переменной - см. п. 19.5). Предварительно уточним понятие области. ~ Об.ласmъю называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности. Сво11ство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки. Сво11ство связности: любые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области. ~ Точка N 0 называется гран:и:ч:ноu mо-чкоu области D, если она не принадлежит D, но в любой окрестности ее лежат точки этой обла сти (см. рис. 206). Совокупность граничных точек области D называет- 307 ся гран:ицеfj D. Область D с присоединенной к ней границей называет ся замкнуто/j областью, обозначается 75. Область называется огра ни.'Ченно/j, если все ее точки принадлежат некоторо му кругу радиуса R. В противном случае область на зывается неограни.'Ченноii.. Примером неограничен ной области может служить множество точек перво Рис. 206 го координатного угла, а примером ограниченной - д-окрестность точки Мо(хо; Уо). Теорема 43.1. Если функция z = f(N) непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области: а) ограничена, т. е. суще > О, что для всех точек N в этой области выпол lf(N)I < R; б) имеет точки, в которых принимает ствует такое число R няется неравенство наименьшее т и наибольшее М значения; в) принимает хотя бы в од ной точке области любое численное значение, заключенное между т иМ. Теорема дается без доказательства. § 44. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 44.1. Частные производные первого порядка и их геометрический смысл Пусть задана функция z = f(x; у). Так как х и у - независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение дх, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое назы вается ""астн:ым приращением z по х и обозначается дхz. Итак, дхz = f (х + дх; у) - f(x; у). Аналогично получаем частное приращение z по у: дуz = !(х;у + ду) -f(x;y). Полное приращение дz функции z определяется равенством дz = f(x + дх;у + ду) - f(x;y). Если существует предел . li. mЛхz - - = 1im Лх-+0 Лх f(x+Лx;y)-f(x;y) Лх-+0 Лх 308 , то он называется 'Частноii. производноii. функции z = f(x; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: 1 дz 1 дf ZХ'дх'!Х'дх" Частные производные по х в точке Мо(х 0 ; Уо) обычно обозначают сим волами f~(xo;yo), !~J Мо . Аналогично определяется и обозначается частная производная от z = f(x;y) по переменной у: z' = lim Луz = lim f(x; у+ ду) - f(x; у). у ду-+0 ду ду-+0 ду Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных неза висимых переменных. Поэтому частные производные функции f(x;y) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается посто янной величиной). Пример 44.1. Найти частные производные функции 2 z = 2у + ех -у + 1. Q Решение: z~ = (2у + ех 2 -У + 1)~ = (2у)~ + (ех 2 -У)~ + (1)~ = 2 =О+ ех -у· (х 2 2 2 - у)'х +О= ех -у· (2х - О) = 2х · ех -у; 2 z~ = 2+ех -у· (-1). 8 Геометрический смысл частных произвОАНЫХ функции АВУХ переменных Графиком функции z = ляется f (х; у) яв некоторая поверхность (см. п. 12.1). График функции z = f (х; Уо) есть линия пересечения этой поверх ности из с плоскостью геометрического у= у 0 • Исходя смысла произ водной для функции одной перемен ной (см. п. 20.2), f~(xo;Yo)=tga, заключаем, где а - что угол ме жду осью Ох и касательной, прове денной к кривой z=f(x;yo) в точке Mo(xo;yo;f(xo;Yo)) (см. рис. 207). Аналогично, J;(xo;Yo) = tg/3. 309 Рис. 207 44.2. Частные проиэвоАные высших порядков Частные производные аf (х; У) и а f(x; У) называют -часmн'Ымu про- ах ау изводнъtми первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х; у) Е D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются 'Частнъtми производн'Ьlмu второго порядка. Они определя ются и обозначаются следующим образом: z) z а (аах = ах2 а 2 = Zxx 11 = fx211 с х;у); ах а (az) = ауa2zах = Zxy = !"ху (х; у ); 11 ах ау а (az) a2 z // fll ( ) ах = ах ау = Zyx = ух х; у ; ау а (az) = аау2 z2 = Zyy = у2 х; у . 11 ау 111 ( ) ау Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. поряд- КОВ. а ( ах2 а 2 z) ' ах а ( ахаз z ) а4 z ( ( т ак, Zxxy - ау ау ах - ах ау ах2 ИЛИ Zxyx х 111 - 111 )/ - = z~4 )x2) и т. д. ~ tiастная производная второго или более высокого порядка, взя тая по различным переменным, называется смешан:ноit чacmнoii. nроuзво // .., т аз z /// iJноu. аковыми являются, например, Zxy' ахау2, Zxyx· Пример 44.2. Найти частные производные второго порядка функции z = х 4 - 2х 2 у 3 + у 5 + 1. О Решение: Так как z~ = 4х 3 - 4ху 3 и z~ = -6х 2 у 2 + 5у 4 , то z~Y = (4х 3 - 4ху 3 )~ = -12ху 2 , Z~x = (-6х 2 у 2 + 5у 4 )~ = -12ху 2 . о казалось, что // Zxy - Zyx. 11 • Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую приве дем без доказательства. Теорема 44.1 (Шварц). Если частные производные высшего поряд ка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отлича ющиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой. в частности ' для z = f(x·y) имеем: дхду a 2 z = д2 z . аудх ' 310 44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции Пусть функция z = f(x;y) определена в некоторой окрестности точки М (х; у). Составим полное приращение функции в точке М: дz = ~ Функция f(x + дх; у+ ду) - f(x; у). z = f(x; у) называется дифферен:цируе.моii. в точке М(х;у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде + В · ду + о: · дх + (З · ду, (44.1) где о: = о:(дх, ду) -+ О и (З = (З(дх, ду) -+ О при дх -+ О, ду -+ О. дz = А · дх Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой главную 'Частъ приращени.н функ'Ции. Главная часть приращение функции z = f(x; у), линейная относи тельно дх и ду, называется пол.н'Ьlм дифферен'Циал.ом этой функции и обозначается символом dz: dz = А· дх +В· ду. (44.2) Выражения А· дх и В· ду называют 'Часmн'Ыми дифферен'Циал.ами. Для независимых переменных х и у полагают дх = dx и ду = dy. Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде dz = А · dx + В · dy. Теорема 44.2 (необходимое функции). Если функция z условие (44.3) дифференцируемости = f(x; у) дифференцируема в точке М(х; у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные произ водные дz и дz причем дz =А дz = В. дх ду' дх ' ду О Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место равенство (44.1). Отсюда вытекает, что lim дz = О. Это означает, что функция непрерывна в точке М. Положив ду = О, дх =j:. О в равенстве (44.1), получим: Лхz дх---tО ду---tО = А· дх +о:· дх. Отсюда находим дд"'z = А+о:. Переходя к пределу при дх-+ О, получим lim дд"z =А, Х т. е. дх---tО Х g; = А. Таким образом, в точке М существует частная производ- ная f~(x;y) =А. Аналогично доказывается, что в точке М существует частная производная f~(x;y) = g~ =В. 311 8 Равенство (44.1) можно записать в виде az az дz = дхдх+ дуду+-у, где 'У = а · дх (44.4) + (З · ду -+ О при дх -+ О, ду -+ О. Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывно сти функции или существования частных производных не следует диф ференцируемость функции. Так, непрерывная функция z = J х2 + у2 не дифференцируема в точке (О; О). Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления пол ного дифференциала. Формула (44.З) принимает вид: az дz dz = -dx+ -dy дх (44.5) ду или / dz = dxz + dyz, \ где dxz = g~ dx, dyz = g~ dy - частные дифференциалы функции z=f(x;y). Теорема 44.3 (Аостаточное функции). Если функция условие Аифференцируемости z = f(x;y) имеет непрерывные частные производные z~ и z~ в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (44.5). Примем теорему без доказательства. ji Отметим, что для функции у= f(x) одной переменной существо вание производной f'(x) в точке является необходимым и доста точным условием ее дифференцируемости в этой точке. Чтобы функция z = f (х; у) была дифференцируема в точке, не обходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные. Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функ ции двух (и большего числа) переменных. 44.4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям Из определения дифференциала функции z = f(x; у) следует, что при достаточно малых jдxj и lдyj имеет место приближенное равенство дz ~ dz. 312 (44.6) Так как полное приращение дz = f( х + дх; у + ду) - f (х; у), равен ство (44.6) можно переписать в следующем виде: / f(x + дх; у+ ду) ~ f(x; у)+ f~(x; у)дх + f~(x; у)ду.1 (44.7) Формулой (44. 7) пользуются в приближенных расчетах. Пример 44.з. Вычислить приближенно 1,02 3 •01 . О Решение: Рассмотрим функцию z=xY. Тогда 1,023 •01 = (х+дх)У+лv, где х= 1, дх=О,02, у=З, ду=О,01. Воспользуемся формулой (44.7), предварительно найдя z~ и z~: z~=(xY)~=y·xv- 1 , z~=(xY)~=xY·lnx. Следовательно, 1,02 3 • 01 ~1 3 + 3 .1 3 - 1 · 0,02+1 3 · ln 1·0,01, т. е. 1,02 3 •01 ~ ~1,06. Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим: 1,02 3 • 01 ~1,061418168. 8 Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях; приближенное значение полного приращения функции и т.д. 44.5. Дифференциалы высших порядков Введем понятие дифференциала высшего порядка. Полный диф ференциал функции (формула (44.5)) называют также дифференциа лом первого порядка. Пусть функция z = f(x; у) имеет непрерывные частные производ ные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле d2 z d2 z = d ( = d(dz). Найдем его: ~; dx + ~: dy) = = (дz dx+ дzdy) 1 ·dx+ (дz dx+ дzdy) 1 ·dy= дх = ( ду х дх ду у ~:~ dx + 8~2;х dy) · dx + (::;у dx + ~:~ dy) · dy. 2 z dy 2 . Символически это Отсюда: d2 z = дх2 д2 z dx 2 + 2 · дхду д 2 z dx · dy + дду2 записывается так: 313 Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего порядка: д д d3 z=d(d2z)= ( дхdх+ дуdу )3 ·z, где д а ах ау ( -dx + -dy )3 аз а2 а а а2 аз ахз ах2 ау ах ду2 ауз = -dx3 +3-dx2· - dy+3-dx·-dy 2+-dy3 • Методом математической индукции можно показать, что dn z = ( - а ах а dx + -dy ау )п · z, n Е N. Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в случае, когда переменные х и у функции z = f(x;y) являются независимыми. Пример 44.4. (Для самосто.ятелъного решения.) Найти d2z, если z = хзу2. Ответ: d2 z = 6ху 2 dx 2 + 12х2 у dx dy + 2х 3 dy 2 • 44.б. Производная сложной функции. Полная производная Пусть z = f(x; у) -функция двух переменных х и у, каждая из ко торых является функцией независимой переменной t: х = x(t), у= y(t). В этом случае функция z = f(x(t); y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у - проме;ж;уто'Ч,'Н.'Ьtе перемен:ные. Теорема М(х; у) Е 44.4. Если z = f(x; у) - дифференцируемая в точке D функция и х = x(t) и у = y(t) - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функ ции z(t) = f(x(t); y(t)) вычисляется по формуле dz az dx дz dy dt = дх . dt + ау . dt . (44.8) О Дадим независимой переменной t приращение дt. Тогда функции х = x(t) и у= y(t) получат приращения дх и ду соответственно. Они, в свою очередь, вызовут прирашение дz функции z. Так как по условию функция z = f(x; у) дифференцируема в точке М(х;у), то ее полное приращение можно представить в виде az дz дz= ах ·Лх+ ду ·Лу+адх+/Зду, 314 где о: ---+ О, /3 ---+ О при дх ---+ О, ду ---+ О (см. п. 44.3). Разделим выра жение дz на дt и перейдем к пределу при дt ---+ О. Тогда дх ---+ О и ду---+ О в силу непрерывности функций х = x(t) и у= y(t) (по условию теоремы - . дz они дифференцируемые). Получаем: дz 1· дх дz 1·lШ -+ ду 1·lffi О:· 1·lШ -+ дх 1·lill /3 · 1·lill ду, -+-· ду дt-tO Дt дt-tO дt-tO Дt дt-tO дt-tO Дt 1lill - = - · lill дt-tO Дt дх дt-tO Дt т. е. dz _ дz . dx дz . dy 0 . dx 0 . dy dt - дх dt + дх dt + dt + dt , или • дz dx дz dy dz dt = дх . dt + ду . dt . Частн:ыft с.лу'Чаft: z = f(x; у), где у = у(х), т. е. z = f(x; у(х)) - сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сво дится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (44.8) имеем: dz dx дz dx dx дz dy dx -=-·-+-·дх ду или dz dx дz дz дх ду dy dx -=-+-·-. (44.9) Формула (44.9) носит название формулы по.лноft производноft. Общиft с.лу'Ч,а11: z = !(х;у), где х = x(u;v), у = y(u;v). Тогда z = f(x(u;v);y(u;v)) - сложная функция независимых переменных и и v. Ее частные производные g~ и g~ можно найти, используя формулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней ~:, dx дz дх Q}j_. dt , О:11._ dt соответствующими частными производными ди, ди, ди. дz дz дх дz ду ди дх ди ду ди -=-·-+-·-. (44.10) Аналогично получаем: дz = дz . дх + дz . f!Jl. [i дv дх дv ду дv Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (и и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (х и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (и и v). Пример "Ц.5. Найти g~ и g~, если z = ln(x 2 + у 2 ), х = и· v, у=:!!. v 315 - самостоятельно), используя формулу Q Решение: Найдем g~ (g~ (44.10): дz ди - 1 · 2х · v + х2 + у2 1 х2 1 + у2 · 2у · -v . У простим правую часть полученного равенства: дz 2 ди - х2 +у2 (х .v + J!.) = 2 (uv)2 + ( ~) 2 v . ( uv. v + ~) = v. v 2v 2 = u 2 (v4 + 1) и · (v 4 + 1) v2 2 и' • т. е. ддz = l. и 44.7. и Инвариантность формы полного дифференциала Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством и-нвариант ности: полный дифференциал функции z = f(x; у) сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных. Q Пусть z = f (х; у), где х и у - независимые переменные. Тогда пол ный дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид дz дz · dx + - · dy дх ду dz = (формула (44.5)). = f(x; у), где х = х(и; v), у = f(x(u;v);y(u;v)) = F(u;v), где и и v - Рассмотрим сложную функцию z = y(u;v), т. е. функцию z независимые переменные. Тогда имеем: дF dz = - ди дF дz дz · du + -дv · dv = -ди · du + -8v · dv = = (дz . дх + дz. ду) du + (дz . дх + дz . ду) dv = дх ди = ду ди дх ·( · дv ду дv ~= ~: du + ~: · dv) + ~; ( ~~ · du + ~~ · dv) . Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функций х = х(и; v) и у= у(и; v). Следовательно, и в этом случае, дz dz = - дх дz · dx + -ду · dy. 316 8 44.8. Дифференцирование неявной функции Функция z = j(x; у) называется неявноii, если она задается урав- нением F(x;y;z)=O, неразрешенным относительно z. Найдем частные производные (44.11) g; и g~ неявной функции z, заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив в уравнение вместо z функцию f(x;y), получим тождество F(x; у; f(x; у))= О. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю: д дF дF дz д дF дF дz дх F(x; у; f(x; у))= дх + дz · дх =О (у дyF(x;y;f(x;y)) = ду + дz · ду =О (х откуда дz считаем постоянным), считаем постоянным), (44.12) и дх Зам.е'Чани.я. а) Уравнение вида (44.11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение х 2 + у 2 + z 2 - 4 = О определяет функции z 1 = 4 - х 2 - у 2 и z2 = 4 - х 2 - у 2 , опреде J ленные в круге х 2 + у 2 ::; 4, z3 = J4 - -J х 2 - у 2 , определенную в полу круге х 2 + у 2 ::; 4 при у~ О и т. д., а уравнение cos(x + 2у + Зz) - 4 =О не определяет никакой функции. liJ Имеет место теорема существования не.явноit функ'Ц'U'U двух переменных: если функция F(x;y;z) и ее производные F~(x;y;z), F~(x; у; z), F~(x; у; z) определены и непрерывны в некоторой окрестно сти точки Мо(хо; Уо; zo), причем F(xo; Уо; zo) =О, а F~(xo; Yoi zo) i=- О, то существует окрестность точки М0 , в которой уравнение (44.11) опреде ляет единственную функцию z = f(x; у), непрерывную и дифференци руемую в окрестности точки (хо; Уо) и такую, что f(xo; Уо) = zo. б) Неявная функция у= j(x) одной переменной задается уравне нием F(x;y) =О. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функ ции находится по формуле Пример 44.в. Найти частные производные функции z, заданной уравнением ez + z - х 2 у + 1 = О. 317 ez + z - х 2 у + 1, F~ = -2ху, F; = -х 2 , F~ = ez + 1. По формулам (44.12) имеем: g~ = + e'fx_J! 1 , g~ = ezx: 1 . О Решение: Здесь F(x; у; z) = • При.мер "ц. 7. Найти~' если неявная функция у= f(x) задана уравнением уз + 2у = 2х. О Решение: Здесь F(x;y) =уз+ 2у - 2х, F~ = -2, F~ = Зу 2 + 2. Сле1 - довательно, Ух - - -2+ , т. е. OJJ.. dx 2 Зу 2 2+ . 2 • Зу 2 § 45. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ Рассмотрим одно из геометрических приложений частных произ водных функции двух переменных. Пусть функция z = f (х; у) диф ференцируема в точке (хо; Уо) некоторой области D Е ~2 • Рассечем поверхность S, изображающую функцию z, плоскостями х = хо и у (см. рис. 208). Плоскость х = Уо = хо пе ресекает поверхность S по некоторой линии z 0 (у), уравнение которой полу чается подстановкой в выражение ис ходной функции z = f(x; у) вместо х числа хо. Точка Мо(хо; Уо; f(xo; Уо)) принадлежит кривой z0 (у). дифференцируемости функции В силу z в точке М0 функция z0 (y) также явля ется дифференцируемой в точке у = = Уо· Следовательно, в этой точке в плоскости х = Хо к кривой zo (у) мо Рис. 208 жет быть проведена касательная l1. Проводя аналогичные рассуждения для сечения у= у 0 , построим касательную l 2 к кривой z 0 (x) в точке х = х 0 • Прямые l 1 и 12 опре деляют плоскость а, которая называется касател:ьноi/, плоскостью к поверхности S в точке Мо. Составим ее уравнение. Так как плоскость а проходит через точку Мо(хо; уо; zo), то ее уравнение может быть записано в виде А(х - хо) + В(у - Уо) + C(z - zo) =О, которое можно переписать так: z - zo = Ai(x - хо)+ В1(У - Уо) 318 (45.1) (разделив уравнение на -С и обозначив _АС= А1, !с= В1). Найдем А1 и В1. Уравнения касательных 11 и 12 имеют вид z - zo = J;(xo; Уо) · (у - Уо), х =хо; z - zo = f~(xo;Yo) · (х - хо), у= Уо соответственно. Касательная 11 лежит в плоскости а, следовательно, координаты всех точек 11 удовлетворяют уравнению (45.1). Этот факт можно запи сать в виде системы z - zo =!~(хо; Уо)(у - Уо), { х =хо, z - zo = А1(х - хо)+ В1(У-Уо). Разрешая эту систему относительно В1 , получим, что В 1 = =!~(хо; Уо). Проводя аналогичные рассуждения для касательной 12 , легко уста- новить, что А1 =!~(хо; Уо). Подставив значения А 1 и В 1 в уравнение (45.1), получаем искомое уравнение касательной плоскости: 1 ~ z - zo =!~(хо; Уо) · (х - хо)+ J;(xo; Уо) ·(у - Yo). j (45.2) Прямая, проходящая через точку Мо и перпендикулярная каса тельной плоскости, построенной в этой точке поверхности, назы вается ее норма.яью. Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости (см. с. 103), легко получить канонические уравнения нормали: • х - хо у - Уо z - zo 1 = 1 = fx(xo; Уо) fy(xo; Уо) - 1 (45.3) Если поверхность S задана уравнением F(x; у; z) =О, то уравнения (45.2) и (45.3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции: F~(xo; Уо) !' ( . ) _ F;(xo; Уо) 1"'XoiYo = -F'( . )' у хо,Уо - -F'( . ) 1 ( ) z Хо, Уо z хо, Уо (см. формулы (44.12)), примут соответственно вид F; (хо; Уо) · (х - хо) + F;(xo; Уо) ·(у - Уо) + F~(xo; Уо) · (z - zo) =О и х - хо у - Уо z - zo F~(xo;Yo) - F~(xo;yo) - F~(xo;yo). 319 За.ме'Чание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверх ности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности. Точка М0 поверхности называется ocoбoii,, если в этой точке все част ные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем. Пример 45.1. Написать уравнения касательной плоскости и нор мали к параболоиду вращения z = х 2 + у 2 в точке l\rf0 (1; -1; 2). Q Решение: Здесь z~ = f~(x;y) = 2х, J;(x;y) = 2у, f~(l;-1) = 2, J;(l; -1) = -2. Пользуясь формулами (45.2) и (45.3) получаем урав z - 2 = 2 · (х - 1) - 2 · (у + 1) или 2х - 2у - z - 2 = О и уравнение нормали: х 1 = У~ 21 = z ~ 12 . 8 нение касательной плоскости: 2 § 46. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 46.1. Основные понятия Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух пере менных аналогичны соответствующим понятиям функции одной неза висимой переменной (см. п. 25.4). Пусть функция z = f(x; у) определена в некоторой области D, точка N(xo; Уо) Е D. ~ Точка (хо; Уо) называется точкоii. максимума функции z = = f(x; у), если существует такая д-окрестность точки (хо; у0 ), что для каждой точки (х; у), отличной от (х 0 ; у0 ), из этой окрестности вы полняется неравенство f(x; у) <!(хо; Уо). ~ Аналогично определяется mо-ч.ка z минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (хо; Уо), вg из д-окрестности точки (хо; Уо) вы полняется неравенство: !(х; у) > itxo· уо\ , ~. :f(x;y) J" ' > f(xo; Уо). На рисунке 209: N 1 - симума, а N2 - 1 : .. : ~ ~у 1 о r----'--r-------'--+ --- точка мак точка минимума 1 х функции z = f(x; у). ~ Значение функции в точке мак- Рис. 209 симума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функ ции называют ее экстремумами. ji Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и мини мум имеют локал:ьнъ~'ii, (местный) характер: значение функции в точке 320 (хо; Уо) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х 0 ; у 0 ). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного. 46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума Рассмотрим условия существования экстремума функции. Теорема 46.1 (необхоАимые условия экстремума). Если в точке N(x 0 ;y0 ) дифференцируемая функция z = f(x;y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f~(x 0 ;y 0 ) =О, !~(хо; Уо) =О. О Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у= у0 • То гда получим функцию f (х; Уо) = ip(x) одной переменной, которая имеет экстремум при х = х 0 . Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), <р 1 (х 0 ) = О, т. е. f~(xo;Yo) =0. Аналогично можно показать, что !~(хо; Уо) =О. Геометрически равенства f~ (хо; Уо) = О и !~(хо; Уо) О означают, что в точке экстрему ма функции z = f(x; у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию f(x;y), = параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение ка сательной плоскости есть z = z0 • z 1 (см. форму- лу (45.2)). Заме-ч,ание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производ ных не существует. Например, функция z = 1- - ./х2 + у 2 имеет максимум в точке 0(0; О) (см. Рис. 210 рис. 210), но не имеет в этой точке частных производных. ~ Точка, в которой частные производные первого порядка функции z = f(x; у) равны нулю, т. е. f~ =О, f~ = О, называется сmацио нарно11, mo'Ч.кoii. функции z. ~ Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная про изводная не существует, называются криmи'Ч.ескими mо'Ч.ками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рас смотрим, например, функцию ся критической (в ней z~ z = ху. Для нее точка 0(0; О) являет = у и z~ = х обращаются в ноль). Однако 321 экстремума в ней функция z = ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки 0(0;0) найдутся точки для которых z >О (точки I и III четвертей) и z < О (точки П и IV четвертей). Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию. Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стаци онарной точке (хо; Уо) и некоторой ее окрестности функция f(x; у) имеет вклю непрерывные частные производные до второго порядка чительно. Вычислим в точке (хо; Уо) значения А = f::x(xo; Уо). В = = J:,:y(xo; Уо). С= f~y(xo; Уо). Обозначим д = 1 ~ ~ 1 = АС - В2 . Тогда: 1) если д >О, то функция f(x;y) в точке (хо;уо) имеет экстремум: максимум, если А <О; минимум, если А> О; 2) если д < О, то функция f (х; у) в точке (хо; у0 ) экстремума не имеет. В случае д =О экстремум в точке (хо; у0 ) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования. Примем без доказательства. Пример 46.1. Найти экстремум функции z = Зх 2 у- х 3 -у 4 • Q Решение: Здесь z~ = 6ху - 3х 2 , z~ = 3х 2 - 4у 3 • Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют. Найдем стационарные точки, решая систему уравнений: - 3х 2 =О, { 6ху 3х 2 -4у 3 =О. Отсюда получаем точки М1 (6; 3) и М2 (0; О). Находим частные производные второго порядка данной функции: z"хх = 6у - 6х ' z"ху = 6х ' z"уу = -12у 2 . В точке М1 (6;3) имеем: А= -18, В= 36, С= -108, отсюда АС - В 2 = -18 · (-108) - 36 2 = 648, т. е. д >О. Так как А Zmax = < О, то в точке М1 функция имеет локальный максимум: z(6; 3) = 3 · 36 · 3 - 63 - 34 = 324 - 216 - 81 = 27. 322 В точке М2 (0; О): А = О, В = О, С = О и, значит, Л = О. Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в точке М2 равно нулю: z(O; О) = О, Можно заметить, что z = -у 4 < О при х = О, у i=- О; z = -х 3 > О при х < О, у =О. Значит, в окрестности точки М2 (0;0) функция z принимает как отрицательные, так и положительные зна чения. Следовательно, в точке М2 функция экстремума не имеет. 8 46.З. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области Пусть функция z = f(x;y) определена и непрерывна в ограничен ной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего Ми наименьшего т значений (т. н. глобалъны,i1 экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, располо женных внутри области D, или в точках, лежащих на границе области. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений диф ференцируемой в области D функции z = f(x; у) состоит в следующем: 1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D, и вычислить значения функции в них; 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x;y) на границах области; 3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее m. Пример 46.2. Найти наибольшее и наи меньшее значения функции z = х 2 у + ху 2 + ху у в замкнутой области, ограниченной линиями: у= 1, х = 1, х = 2, у= -1,5 (см. рис. 211). х - - - '7·~:~ Q Решение: Здесь z~ = 2ху+у 2 +у, z~ = х 2 + + 2ху +х. 1. Находим все критические точки: +у+ 1) =О, { у(2х х(х + 2у + 1) =О. с у=~ о х А Е Рис. 211 Решением системы являются точки (О;О), (-1;0), (О;-1), (-i;-i)· Ни одна из найденных точек не принадлежит области D. 2. Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участ ков АВ, ВС, СЕ и ЕА (рис. 211). 323 На участке АВ: х = 1, z = у 2 + 2у, где у Е [-~;1], z~ = 2у + 2, 2у + 2 = О, у = -1. Значения функции z(-1) = -1, z(-IO = -~, z(l) = 3. На участке ВС: у = 1, z = х + 1 + 1, где х Е [1; 2], z~ = 1 - ~' х х х 1 - ..Ь = О, Х1 = 1, х2 = -1 tf. [1; 2]. Значения функции z(l) = 3, х z(2) = 3,5. На участке СЕ: х = 2, z = 2у 2 + 6у, у Е [-~; !] , z~ = 4у + 6, 4у + 6 =О, у=-~. Значения функции z(-~) = -4,5, z(!) = 3,5. На участке АЕ: у=-~, z = - 322 + !х, х Е [1;2], z~ = -3х + ~' -3х +!=О, х = :i ~ [1; 2]. Значения функции z(l) = -~, z(2) = -4,5. 3. Сравнивая полученные результаты, имеем: М = +3,5 = z(2; ~) = z(C); ат= -4,5 = z( 2; -ю = z(E). • Глава Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 Лекции 37-431 § 47. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 47.1. Основные понятия ~ При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такие уравнения называются дифференциа.п:ьны ми (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифферен циального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Так, решением уравнения у'= f(x) является функция у= F(x) первообразная для функции f(x). Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных урав нениях (ДУ). Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной перемен ной, то ДУ называют обыкиовен:н:ым; в противном случае - ДУ в 'Часmи'Ых производиих. Далее будем рассматривать только обыкновен ные ДУ. Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется по- рядком этого уравнения. . Например, уравнение у"' - 3у 11 + 2у = О - обыкновенное ДУ тре = тьего порядка, а уравнение х 2 у' + 5ху у 2 - первого порядка; у· z~ = х · z~ - ДУ в частных производных первого порядка. = Процесс отыскания решения ДУ называется его иитегрироваиие.м, а график решения ДУ - иитегра.л:ьиоit кривоit. Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к диф ференциальным уравнениям. 47.2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям ЗаАача 1 Материальная точка массы т замедляет свое движение под дей ствием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скоро- 325 сти V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 с после начала замедления, если V(O) = 100 м/с, а V(l) = 50 м/с. О Решение: Примем за независимую переменную время t, отсчитыва емое от начала замедления движения материальной точки. Тогда ско рость точки V будет функцией t, т. е. V = V(t). Для нахождения V(t) воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механи ки): т ·а= F, где а= V'(t) - есть ускорение движущегося тела, F - результирующая сила, действующая на тело в процессе движения. В данном случае F = - k V 2 , k > О - коэффициент пропорциональ ности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция V = V(t) является решением дифференци- ального уравнения т · V' = -k · V 2 или V' = _ .k_ V 2 . Здесь т - масса т re~ Как будет показано ниже (пример 48.5), V = k 1 , где с т ·t+c const. Найдя зависимость скорости от времени, легко найти скорость точки через 3 с после начала замедления. Найдем сначала параметры .k. и с. Согласно условию задачи, име m ем: V(O) = ~ = 100 и V(l) = .li. ~с = 50. Отсюда с= 150 , ~ = 1i0 . m Следовательно, скорость точки изменяется по закону V = t 1~01 . Поэтому V(З) = 25 м/с. 8 Задача 2 Найти кривую, проходяшую через точку (4; 1), зная, что отрезок любой касательной к ней, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам. О Решение: Пусть М(х;у) у А - произвольная точка кривой, уравнение которой у = f(x). Для опреде ленности предположим, что кривая расположена в первой четверти (см. рис. 212). Для составления дифференциального уравне ния воспользуемся геометрическим смыслом первой о хе в Рис. 212 х производной: tg а есть угловой коэффициент каса тельной; в точке М(х;у) он равен у', т. е. у'= tgo:. Из рисунка видно, что tg(LM ВС) = ~g. Но tg(LM ВС) = tg(180° - о:) = - tg а, МС= у. По условию задачи АМ =МВ, следовательно, ОС= СВ= х. 326 Таким образом, получаем - tg о: = '1l или у 1 = - 'll. Решением пах х лученного дифференциального уравнения является функция у = .1. х (гипербола). Решение будет приведено в п. 48.2 (пример 48.4). 8 Другие задачи Можно показать, что: • закон изменения массы радия в зависимости от времени («радио активный распад») описывается дифференциальным уравнением ~7 = -k · т, где k > О m(t) - коэффициент пропорциональности, масса радия в момент t; • «закон охлаждения тел», т. е. закон изменения температуры тела в зависимости от времени, описывается уравнением ~I =k(T-t0 ), где T(t) - температура тела в момент времени t, k - ент пропорциональности, t 0 - коэффици температура воздуха (среды охла ждения); • зависимость массы х вещества, вступившего в химическую реак цию, от времени t во многих случаях описывается уравнением ~~ = k · х, где k - коэффициент пропорциональности; • «закон размножения бактерий» (зависимость массы m бактерий от времени t) описывается уравнением m~ = k · т, где k >О; * • закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над уровнем моря описывается уравнением = -k · р, где p(h) - атмосферное давление воздуха на высоте h, k > О. Уже приведенные примеры указывают на исключительно важную роль дифференциальных уравнений при решении самых разнообраз ных задач. §48. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 48.1. Основные понятия Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде F(x; у; у 1 ) = О. 327 (48.1) Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию у и ее производную у'. Если уравнение (48.1) можно разрешить отно сительно у', то его записывают в виде у'= f(x; у) (48.2) и называют ДУ первого пор.ядка, разрешенным относител.ъно произ водноii. Мы в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ. iJ Уравнение (48.2) устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (х; у) и угловым коэффициентом у' касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ у'= f(x; у) дает совокупность направлений (поле направл.ениii) на плоскости Оху. Таково геометрическое истолкование ДУ первого по рядка. Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, на зывается изокл.иноii. Изоклинами можно пользоваться для приближен ного построенмя интегральных кривых. Уравнение изоклины можно по лучить, если положить у'= с, т. е. f(x; у)= с. Пример 48.1. С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения у'= 2х. Q Решение: Уравнение изоклин этого ДУ у будет 2х =с, т. е. изоклинами здесь будут прямые, параллельные оси Оу (х = ~). В точках прямых проведем отрезки, обра зующие с осью Ох один и тот же угол а, тангенс которого равен с. Так, при с= О имеем х =О, tga =О, поэтому а = О; при с = 1 уравнение изоклины х = поэтому tga = !, х 1 и а= 45°; tga = -1, а при с= -1: х = -!, Рис. 213 = -45°; при с= 2: х = 1, tg а = 2, а = arctg 2 ~ 63° и т. д. Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стре лочек, наклоненных к оси Ох под определенным углом (см. рис. 213), по их направлениям строим линии. Они, как видно, представляют со бой семейство парабол. 8 Дифференциальное уравнение первого порядКа, разрешенное от носительно производной, можно записать в дифференv,иал.ъ?tо1i, форме: Р(х; у) dx + Q(x; у) dy =О, 328 (48.3) где Р(х;у) и Q(x;y) - известные функции. Уравнение (48.З) удобно тем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. любую из них мож но рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида записи ДУ можно перейти к другому. Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному мно жеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величи нами). Легко догадаться, что решением уравнения у' функция у = х 2 , а также у = х 2 + 1, у = х 2 где с const. = 2х является -J2 и вообще у = х 2 +с, Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчи нить некоторым дополнительным условиям. Условие, что при х = хо функция у должна быть равна заданно му числу Уо, т. е. у = Уо называется ншчалъ·н:ым условием. Начальное условие записывается в виде у(хо) = Уо или Ylx=xo = Уо· (48.4) = Общим решением ДУ первого порядка называется функция у = <,о(х; с), содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям: 1. Функция <,о( х; с) является решением ДУ при каждом фиксиро ванном значении с. 2. Каково бы ни было начальное условие (48.4), можно найти такое значение постоянной с = ео, что функция у = <,о(х; ео) удовлетворяет данному начальному условию. ~ Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция у = <,о(х; ео), полученная из общего решения у = <,о(х; с) при конкретном значении постоянной с = ео. Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде урав нения Ф(х; у; с) = О, то такое решение называется общим интегралом ДУ. Уравнение Ф(х; у; ео) = О в этом случае называется -частным ин тегралом уравнения. С геометрической точки зрения у = <,о(х; с) есть семейство инте гральных кривых на плоскости Оху; частное решение у = <,о(х; ео) - одна кривая из этого семейства, проходящая через точку (хо; у0 ). ~ Задача отыскания решения ДУ первого порядка (48.3), удовлетво ряющего заданному начальному условию (48.4), называется зада 'Чеu Коши. Теорема 48.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении (48.2) функция f(x;y) и ее частная про изводная f~(x; у) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (хо; Уо), то существует единственное решение у = <,о(х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (48.4). 329 (Без доказательства). Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, прохо дящая через точку (Хо; Уо). Рассмотрим теперь методы интегрирования ДУ первого порядка определенного типа. 48.2. Уравнения с разделяющимися переменными Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение вида Р(х) · dx + Q(y) · dy =О. (48.5) В нем одно слагаемое зависит только от х, а другое - от у. Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными nеременнuми. Про интегрировав почленно это уравнение, получаем: j Р(х) · dx + j Q(y) · dy =с - его общий интеграл. Пример 48. 2. Найти общий интеграл уравнения х · dx -у · dy = О. Q Решение: Данное уравнение есть ДУ с разделенными переменными. Поэтому j х · dx - Jу - -и;- = с1 • Обозначим ~ = с 1 • Тогда х 2 - у 2 = с - общий интеграл ДУ. 8 · dy = с 1 или 2 2 Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися пе ре.менн'Ыми, которые имеют вид (48.6) Особенность уравнения (48.6) в том, что коэффициенты при dx и dy представляют собой произведения двух функций (чисел), одна из которых зависит только от х, другая - только от у. Уравнение (48.6) легко сводится к уравнению (48.5) путем почлен ного деления его на Q1(y) · Р2(х) =j:. О. Получаем: Р1(х) ·dx+ Qz(y) ·dy=O, Р2(х) ~ JP1(x) ·dx+j Q2(Y) ·dy=c Р2(х) Qi(Y) Qi(Y) общий интеграл. За.ме'Чания. 1. При проведении почленного деления ДУ на Q1 (y)x хР2 (х) могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение Q 1 (y) · Р2 (х) =О и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения, решения. 330 особые 2. Уравнение у'= fi(x) · f2(Y) также сводится к уравнению с раз деленными переменными. Для этого достаточно положить у' = ~ и разделить переменные. 3. Уравнение у'= f(ax + Ьу +с), где а, Ь, с ны ах числа, путем заме + Ьу + с = и сводится к ДУ с разделяющимися переменными. Дифференцируя по х, получаем: du dx dy dx -=а+Ь·-, du dx=a+b·f(u), т.е. откуда следует du а+ Ь · f(u) = dx. Интегрируя это уравнение и заменяя и на ах + Ьу + с, получим общий интеграл исходного уравнения. Пример 48.3. Решить уравнение (у+ ху) · dx + (х - ху) · dy =О. Q Решение: Преобразуем левую часть уравнения: у· (1 + х) · dx + х · (1 - у)· dy =О. Оно имеет вид (48.6). Делим обе части уравнения на ху =/:-О: 1 + х dx + 1 - у dy = О. х у Решением его является общий интеграл х ln \ху\ + х - у = с. + ln lxl + ln IYI - у = с, т. е. Здесь уравнение Qi(y) · Р2(х) =О имеет вид ху =О. Его решения = О, у = О являются решениями данного ДУ, но не входят в общий интеграл. Значит, решения х = О, у = О являются особыми. 8 х Пример 48.4. Решить уравнение у' = _ 'l/.., удовлетворяющее усло х вию у(4) = 1. Q Решение: Этот пример из п. 47.2. Имеем: представляет собой решение задачи 2 011. = _у_х или 011. = - dx. Проинтегрировав получим: dx у х ' ln \у\ = ln \с! - ln \х\, т. е. у = !::.. х общее решение ДУ. Оно представляет собой, геометрически, семейство равносторон них гипербол. Вьщелим среди них одну, проходящую через точку (4; 1). Подставим х = 4 и у = 1 в общее решение уравнения: 1 = ~, с = 4. Получаем: у= 1 - частное решение уравнения у'= _у__ х х 331 е Пример 48.5. Найти общее решение ДУ m · V 1 = -k · V 2 • а Решение: Этот пример демонстрирует решение задачи 1 ИЗ п. 47.2. Приведем данное уравнение к виду (48.5): dV 2 m · - = -kV , dt Интегрируем: j ~ + ~ 1 V = -k-- m,t+c dV k - 2 + - dt =О. V m 2 m · dV + kV dt =О, J dt = -с, т. е. - i + ~ t +с = О. Отсюда общее решение уравнения. 8 48.3. Однородные дифференциальные уравнения К уравнению с разделяющимися переменными приводятся одно родные ДУ первого порядка. ~ Функция f (х; у) называется однородноii функцие1i п-го порядка (из .мерен'UЯ), если при умножении каждого ее аргумента на произ вольный множитель ). вся функция умножится на ). n, т. е. J(Л · х; Л ·у)= лп · f(x; у). Например, функция f(x; у) = х 2 - 2ху есть однородная функция второго порядка, поскольку f(Л · х;). ·у) = (Лх) 2 - 2(Лх)(Лу) = ).2 • (х 2 - 2ху) = ). 2 · f(x; у). Дифференциальное уравнение у 1 = f(x;y) ~ (48.7) называется одн.ородн.ЪtМ, если функция f( х; у) есть однородная функция нулевого порядка. Покажем, что однородное ДУ (48. 7) можно записать в виде (48.8) О Если f(x; у) - однородная функция нулевого порядка, то, по опре делению, f(x; у)= f(Лх; Лу). Положив).= l, получаем: х f(x;y) = !(;; ;) = !( 1; ;) =ер(~)· • Однородное уравнение (48.8) преобразуется в уравнение с разделя ющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки) 1; =и 1 или, что то же самое, 1у= и. х.1 332 (48.9) Действительно, подставив у = их и у' = и' х + и в уравнение (48.8), получаем и'х+и = rр(и) или х· ~~ = rр(и)-и, т. е. уравнение с разделяю щимися переменными. Найдя его общее решение (или общий интеграл), следует заменить в нем и на 'lL. Получим общее решение (интеграл) исх ходного уравнения. Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме: 1 ДУ Р(х; у)· dx + Q(x; у)· dy = o. j (48.10) (48.10) будет однородным, если Р(х;у) и Q(x;y) - однородные функции одинакового порядка. Переписав уравнение (48.10) в виде~= -~t~;~~ и применив в правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение у'= <р(~)· liJ При интегрировании уравнений вида (48.10) нет необходимости предварительно приводить их (но можно) к виду (48.8): подста новка (48.9) сразу преобразует уравнение (48.10) в уравнение с разде ляющимися переменными. Пример 48.6. Найти общий интеграл уравнения (х2 - у 2 ) • dx + 2ху · dy = О. Q Решение: Данное уравнение однородное, т. к. функции Р(х;у) = = х 2 -у 2 и Q(x; у)= 2ху - однородные функции второго порядка. Положим у= и·х. Тогда dy = х·dи+и·dх. Подставляем в исходное уравнение: (х 2 - и2 х 2 ) • dx + 2х ·их · х · dи + 2х ·их ·и· dx, х 2 (1 - и 2 + 2и 2 ) • dx + 2их 3 • dи =О, (1 + и 2 ) • dx + 2их · dи = О, последнее - уравнение с разделяющимися переменными. Делим пере- менные dx 2и -+--·dи=О 1 +и2 х и интегрируем ln Jxl + ln(l + и 2 ) = с1, Обозначим с = ес 1 , с ln (lxl · (1 + и 2 )) = с1, lxl (1 + и 2 ) = ес 1 • > О. Тогда lxl · (1 + и 2 ) = с. Заменяя и на 'll, получаем: х 2 + у 2 = сх х уравнения. 333 общий интеграл исходного Отметим, что данное уравнение можно было сначала привести к виду (48.8): х 2 - у 2 + 2ху · :~ = О, _ х2 у2 dy dx 2ху у' = ' (ll") 2 -1 -'-"'-'----2. 1L х Затем положить у = и · х, тогда у' = и' х + и и т. д. заме'Чание. у равнение вида у , = Ь1 , с1 - !( ах+ + Ьу +с + ), а1х Ь 1У с1 8 где а, числа, приводится к однородному или с разделяющимися пере- менными. Для этого вводят новые переменные и и v, положив х у = v Ь , с, а 1 , + (3, где а и (3 - = и+а, числа. Их подбирают так, чтобы уравнение стало однородным. Пример 48. 7. Найти общий интеграл уравнения 1 - т. е. У - (х + 2у + 1) · dx - (2х +у - 1) · dy =О, + 2у + 1 х 2х + у - 1· О Решение: Положив х =и+ а, у= v + /3, получаем: dx = du, dy = dv; dy dv и + а + 2v + 2/3 + 1 и + 2v + (а + 2/3 + 1) 1 у = dx = du = 2u + 2а + v + (3- 1 = 2u + v + (2а + /3 - 1) · Подберем а и (3 так, чтобы 2/3+1 =О, { а+ 2а + (3-1 =О. Находим, что а= 1, (3 = -1. Заданное уравнение примет вид dv du и+ 2v 2и+ v и будет являться однородным. Его решение получается, как это было показано выше, при помощи подстановки v = tu. Заметим, что, решив его, следует заменить и и v соответственно на х - 1 и у + 1. В итоге получим (у-х+2) 3 = с(х+у)-общийинтегралданногоуравнения. 8 48.4. Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли Дифференциальное уравнение первого порядка называется лu неiiн'Ьl,М, если его можно записать в виде у'+ р(х) ·у = g(x), (48.11) где р(х) и g(x) - заданные функции, в частности - постоянные. Особенность ДУ (48.11): искомая функция у и ее производная у' входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой. Рассмотрим два метода интегрирования ДУ И. Бернулли и метод Лагранжа. 334 (48.11) - метод Метод И. Бернулли Решение уравнения (48.11) ищется в виде произведения двух дру гих функций, т. е. с помощью подстановки у = и· v, где и = и(х) и v = v(x) - неизвестные функции от х, причем одна из них произволь на (но не равна нулю записать как действительно любую функцию у(х) можно у(х) = ~~:~ · v(x) = и(х) · v(x), где v(x) "#О). Тогда у'= и'· v +и· v'. Подставляя выражения у и у' в уравнение (48.11), получаем: и'· v +и· v' р(х) ·и· v = g(x) или + и'· v +и· (v' + р(х) · v) = g(x). (48.12) = v(x) так, чтобы выражение в скобках было Подберем функцию v равно нулю, т. е. решим ДУ v' + р(х) · v = О. Итак, ~~ + р(х) · v = О, т. е. dv = -р(х) · dx. Интегрируя, получаем: v ln lvl = - Jр(х) · dx + ln lсl- Ввиду свободы выбора функции v(x), можно принять с= 1. Отсюда v = e-fp(x)·dx. Подставляя найденную функцию v в уравнение (48.12), получаем и'. e-f р(х) dx = g(x). Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его: du . е- f p(x)·dx = g(x), dx и= du = g(x) . е+ f p(x)·dxdx, j g(x) · ef p(x)·dxdx +с. Возвращаясь к переменной у, получаем решение у=и·v= (J g(x)·efp(x)·dxdx+c) ·e-fp(x)·dx (48.13) исходного ДУ (48.11). Пример 48.8. Проинтегрировать уравнение у'+ 2ху = 2х. О Решение: Полагаем у = и· v. Тогда и' · v +и · v' + 2х · uv = 2х, т. е. и'· v +и· (v' + 2xv) = 2х. Сначала решаем уравнение v' + 2х · v =О: dv - = -2х · dx, v 2 ln lvl = -х , Теперь решаем уравнение и'· е-х -du = 2х · ех 2 , dx du = 2 J v = е-х +и· О= 2х, т. е. 2х · ех 2 · dx, и= ех Итак, общее решение данного уравнения есть у= и· v т. е. у = 2 2 +с. = (ех 2 +с)· е-х 2 , 8 1 + с · е -х2 . 335 МетоА Лагранжа (меТОА вариации произвольной постоянной) Уравнение (48.11) интегрируется следующим образом. Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т. е. уравнение у'+ р(х) ·у= О. Оно называется .линеil-н-ым од-нороднъtм ДУ первого порядка. В этом уравнении переменные делятся: dy у= -р(х) · dx Таким образом, 1!;1 = е- у = ±с1е- f p(x)·dx и ln IYI = - / р(х) · dx + ln lcil· f p(x)·dx, т. е. или у =с· е- f p(x)·dx, где с= ±с1. Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что по стоянную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т. е. пола гаем с= с(х). Решение уравнения (48.11) ищем в виде у= с(х) ·e-fp(x)dx. (48.14) Находим производную 1 : J у'= с'(х) ехр(- р(х) dx) + с(х) ехр (- j р(х) dx) · (-р(х)). Подставляем значения у и у' в уравнение (48.11): J с'(х) ехр(- j р(х) dx) - с(х)р(х) ехр(- р(х) dx )+ J + с(х)р(х) ехр(- р(х) dx) = g(x). Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и уравнение примет вид с'(х)ехр(- Jp(x)dx) =g(x). Следовательно, dc(x) = g(x) ехр (/ р(х) dx) · dx. Интегрируя, находим: с(х) = Jg(x) · ехр(/ р(х) dx) · dx +с. Подставляя выражение с(х) в равенство (48.14), получим общее реше ние ДУ (48.11): у = [/ g( х) · ехр (/ р( х) dx) · dx + с] · ехр ( - Jр( х) dx) . Естественно, та же формула была получена методом Бернулли (ер. с (48.13)). Пример 48.9. Решить пример 48.8 методом Лагранжа. 1 Для удобства записи пользуемся обозначением eF(x) 336 = exp(F(x)). Q Решение: Решаем уравнение у'+ 2ху =О. Имеем 111_ = -2х · dx, или у у= с· е-х 2 • Заменяем с на с(х), т. е. решение ДУ у'+ 2ху = 2х ищем в виде у = с( х) · е-х 2 • Имеем у'= с'(х) · е-х 2 + с(х) · е-х 2 • (-2х). Тогда с'(х) · е-х 2 - 2хс(х) · е-х 2 + 2хс(х) · е-х 2 = 2х, или с(х) = или у т. е. с' (х) · е-х 2 = 2х, j 2х·ех 2 ·dx, или с(х) = ех 2 +с. Поэтому у= (ех 2 +с) ·е-х 2 , = 1 +с· е-х - общее решение данного уравнения. 2 8 Заме-ч,а'Н,ие. Уравнение вида (х · Р(у) + Q(y)) ·у'= R(y), где Р(у), Q(y), R(y)-::/:- О - заданные функции, можно свести к линейному, если х считать функцией, а у - аргументом: х = х(у). Тогда, пользуясь ра1 венством у' = получаем х · Р(у) + Q(y) = R(y) т. е. х' - Р(у) · х = х ~' х' ' R(y) = ~~~~ - линейное относительно х уравнение. Его решение ищем в виде х =и· v, где и= и(у), v = v(y) - две неизвестные функции. Пример 48.10. Найти общее решение уравнения (х +у)· у'= 1. Q Решение: У читывая, что у' = 1т, от исходного уравнения переходим к линейному уравнению х' = х + у. х Применим подстановку х = и · v. Тогда х' = и' · v +и · v'. Получаем: и'· v +и· v' =и· v +у, или и'· v + u(v' - v) =у. Находим функцию v: v' - v =О, dv = dy, v = еУ. v Находим функцию и: и' · еУ +и· О и= = у, т. е. и' = у· е-У, или j у· е-У · dy. Интегрируя по частям, находим: и = -у· е-У - е-У +с. Значит, общее решение данного уравнения: х =и· v =(-у· е-У - е-У +с)· еУ, или х = -у - 1 + с · еУ. Уравнение Я. Бернулли • Уравнение вида y'+p(x)·y=g(x)·yn, nEIR, n-::j:.O, n-::j:.1 ~ называется уравнением (48.15) Берну.али. Покажем, что его можно привести к линейному. Если n =О, то ДУ (48.15) - линейное, а при n = 1 - щимися переменными. 337 с разделяю В общем случае, разделив уравнение (48.15) на уп у-п. у'+ р(х). у-n-т-1 f:. О, получим: = g(x). (48.16) Обозначим y-n+l = z. Тогда z' = ddz = (1- n) · у-п ·у'. Отсюда находим х 1 y-n ·у'= -1 z -n . Уравнение (48.16) принимает вид -1 1 ·z' +р(х) ·z = g(x). -n Последнее уравнение является линейным относительно z. Решение его известно. Таким образом, подстановка z = y-n+l сводит уравнение (48.15) к линейному. На практике ДУ (48.15) удобнее искать методом И. Бернулли в виде у= и· v (не сводя его к линейному). 48.5. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель Уравнение ~ Р(х; у) dx + Q(x; у) dy =О (48.17) называется уравнением в nолн'Ьtх дифференциалах, если его левая часть есть полный и(х; у), т. е. Р(х; у) dx дифференциал некоторой функции + Q(x; у) dy = du(x; у). В этом случае ДУ (48.17) можно записать в виде du(x;y) =О, а его общий интеграл будет: и(х; у) =с. (48.18) Приведем условие, по которому можно судить, что выражение Л = Р(х;у) dx + Q(x;y) dy есть полный дифференциал. Теорема 48.2. Для того чтобы выражение Л = Р(х; у) dx+Q(x; у) dy, где функции Р(х; у) и Q(x; у) и их частные производные i~ и ~ непрерывны в некоторой области D плоскости Оху, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия дР ду дQ - 338 дх" (48.19) Необходимость Q Пусть д есть полный дифференциал, т. е. Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = du(x; у). Учитывая, что du(x; у)= g~ dx + ~~ dy (см. п. 44.3), имеем: ди ди Р(х;у) = дх; Q(x;y) = ду· Дифференцируя эти равенства по у и по х соответственно, получаем дР д2 и -=--ду дх. ду дQ и дх д2 и д2 и А так как смешанные частные производные дх . ду и ду . дх равны между собой (см. п. 44.2), получаем (48.19). Достаточность Пусть в области D выполняется условие (48.19). Покажем, что су ществует функция и(х;у) в области D такая, что du(x; у) = Р(х; у) dx + Q(x; у) dy. Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять требаваниям: ди ди дх = Р(х;у) и ду = Q(x;y). (48.20) Если в первом уравнении (48.20) зафиксировать у и проинтегриро вать его по х, то получим: и(х; у) = j Р(х; у) dx + ip(y). (48.21) Здесь произвольная постоянная с= ip(y) зависит от у (либо является числом). В решении (48.21) не известна лишь ip(y). Для ее нахождения продифференцируем функцию (48.21) по у: ~~ = (J P(x;y)dx)~ +ip'(y). Используя второе равенство (48.20), можно записать: Q(x;y) = (J P(x;y)dx)~ +ip'(y). Отсюда ip'(y) = Q(x;y) - (j Р(х;у) dx )> (48.22) В равенстве (48.22) левая часть зависит от у. Покажем, что и правая часть равенства зависит только от у. 339 Для этого продифференцируем правую часть по х и убедимся, что производная равна нулю. Действительно, ~(Q(x;y)- ~(jP(x;y)dx)) = ~~ -:x(~(J P(x;y)dx)) = = дQ - ~(~(/ P(x;y)dx)) = дQ - ~(Р) = дQ - дР =О дх ду дх дх ду дх ду в силу условия (48.19). Из равенства (48.22) находим <р(у): 'Р(У) = J ( Q(x;y) - :у (J Р(х;у) dx)) dy +с, с - coпst. Подставляя найденное значение для 'Р(У) в равенство (48.21), находим функцию и(х; у) такую, что du(x; у)= Р(х; у) dx + Q(x; у) dy. 8 liJ Таким образом, при решении ДУ вида (48.17) сначала проверяем выполнение условия (48.19). Затем, используя равенства (48.20), находим функцию и(х;у). Решение записываем в виде (48.18). Пример 48.11. Решить уравнение у'= 35-2х~ 2 . у +х Q Решение: Запишем уравнение в дифференциальной форме: (2ху - 5) dx + (Зу 2 + х 2 ) dy = О. Здесь Р(х;у) = 2ху - 5, Q(x;y) = 3у 2 + х 2 • Проверяем выполнение условия (48.19): дР -=2х· ду ' дQ -=2х; дх дР ду дQ ах· - Следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифферен циалах. Условия (48.20) будут здесь выглядеть как ди ди дх = 2ху - 5, ду = Зу 2 2 +х . Отсюда имеем и(х; у) = J (2ху - 5) dx = х 2 у - 5х + ip(y); ди ду = (х 2 у - 5х + 'fJ(y))~ = х 2 + <р'(у). Далее Зу2 + х2 = х2 + 'Р'(у), 'Р(У) =уз+ с1, 'Р'(у) = 3у2' и(х; у)= х2 у - 5х +уз+ с1. Общим интегралом является х 2 у-5х+уз+с1 = с2 , или х 2 у-5х+уз =с, где с = с2 - С1. 8 340 Если условие (48.19) не выполняется, то ДУ (48.17) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в пол ных дифференциалах умножением его на некоторую функцию t(x; у), называемую интегрирующим мнrоtеителем. Чтобы уравнение t(x; у) · Р(х; у) dx + t(x; у) · Q(x; у) dy = О было уравнением в полных дифференциалах, должно выполняться условие д д ду (t(x; у)· Р(х; у))= дх (t(x; у)· Q(x; у)). gi ·Р + i~ · = g~ ·Q+ ~ · и приведя Выполнив дифференцирование t t подобные слагаемые, получим дt ·Р- дt ·Q=t(дQ _ дР). ду дх дх (48.23) ду Для нахождения t(x; у) надо проинтегрировать полученное ДУ в частных производных. Решение этой задачи не простое. Нахождение интегрирующего множителя может быть упрощено, если допустить су ществование t как функции только одного аргумента х либо только у. Пусть, например, t = t(x). Тогда уравнение (48.23) принимает вид _ dt . Q = t . ( дQ _ дР)' dx дх ду Отсюда t(x) = ехр дР - п ри этом выражение ду Q ( или дР - dt ду !51._ дх · dx. Q t J арду Q !51..дх dx) . _ (48.24) !51._ дх должно зависеть только от х. Аналогично получаем, что если t = t(y) (t не зависит от х), то !51._ - дР t(y) = ехр(/ дх р ду dy), а подынтегральное выражение должно зависеть только от у. Пример 48.12. Решить уравнение (x 2 -y)·dx+(x 2 y 2 +x)·dy =О. Q Решение: Здесь дР = -1· qo_ = 2ху 2 + 1 т. е. дР -:j:. qo_ Однако ду ' дх ду ' дР - !51._ -1 - 2ху 2 - 1 ду дх = Q х2у2 + х зависит только от х. 341 -2 х дх Следовательно, уравнение имеет интегрирующий множитель, за висящий только от х, выражение которого может быть получено при помощи формулы (48.24). В нашем случае получим, что t(x) = ехр(- J~ dx) = exp(-2ln lxl) = : 2• Умножая исходное уравнение на t =~'получаем: х ( 1 - : 2 ) dx + ( 2 + у ~) dy = О, т.е. уравнение в полных дифференциалах! Решив его, найдем, что об щий интеграл заданного уравнения имеет вид у уз х 3 х+-+- =с. 8 48.б. Уравнения Лагранжа и Клеро Рассмотрим дифференциальные уравнения, неразрешенные отно сительно производной. К ним, в частности, относятся уравнения Ла гранжа и Клеро. Уравнение Лагранжа У равнение вида ~ где 'Р и ф - + ф(у'), известные функции от у' = у= х. ip(y') нием Лагран:;нса. *, (48.25) называется уравне Введем вспомогательный параметр, положив у' = р. Тогда уравне ние (48.25) примет вид у = х. ip(p) + '!j;(p). (48.26) Дифференцируя по х, получим: dy (р) '(р) dp '(р) dp dx='P +х·<р ·dх+'Ф dx' 0 т. е. р - ip(p) = (х · <р'(р) + ф'(р)) ·*'или (р - <р(р)). ~; - х. <р'(р) = 'Ф'(р). (48.27) Уравнение (48.27) есть линейное уравнение относительно неизвестной функции х = х(р). Решив его, найдем: х = Л(р; с). 342 (48.28) Исключая параметр риз уравнений (48.26) и (48.28), получаем общий интеграл уравнения (48.25) в виде у= 1(х;с). Отметим, что, переходя к уравнению (48.27), мы делили на 01!.dd . х d При этом могли быть потеряны решения, для которых а? = О, т. е. р = р 0 = const. Это значение р 0 является корнем уравнения p-ip(p) =О (см. (48.27)). Решение у= х·~р(р0 )+ф(р0 ) является особимдля уравнения (48.25) (см. понятие особого решения в п. 48.2). Уравнение Клеро Рассмотрим частный случай уравнения Лагранжа при ip(y') = у'. Уравнение (48.25) принимает вид 1 ~ у = х . у' + ф(у') 1 (48.29) и называется уравнением Клеро. Положив у' = р, получаем: у=хр+ф(р). (48.30) Дифференцируя по х, имеем: dp ' dp р=р+х·-+ф(р)·-, dx или dx dp (х+ф'(р))·dх=О. Если ~ = О, тор = с. Поэтому, с учетом (48.30), ДУ (48.29) имеет общее решение у= хе+ ф(с). Если х + ф'(р) (48.31) О, то получаем частное решение уравнения в параметрической форме: х = -'Ф'(р), Это решение - у= хр + ф(р). (48.32) особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в формуле общего решения уравнения. При.мер 48.13. Решить уравнение Клеро у= ху' + у' 2 • Q Решение: Общее решение, согласно формуле (48.31), имеет вид у= = сх + с2 • Особое решение уравнения получаем согласно 2формулам 2 (48.32) в виде х = -2р, у = хр + р2 • Отсюда следует: у = - ~ + 4 , т. е. - х2 У--4· • 343 §49. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 49.1. Основные понятия Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде F(x;y;y';y 11 ) =О (49.1) или, если это возможно, в виде, разрешеппом относительно cmapшeti производноu: yn = f(x;y;yr). (49.2) Будем в основном рассматривать уравнение вида (49.2): от него всегда можно перейти к (49.1). ~ Решением ДУ (49.2) называется всякая функция у= ч::~(х), кото рая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. ~ Общим решениемДУ (49.2) называется функция у= ч::~(х; с 1 ; с2), где с 1 и с 2 не зависящие от х произвольные постоянные, удовле - творяющая условиям: 1. ч::~(х; с 1 ; с2 ) является решением ДУ для каждого фиксированного значения с1 и С2. 2. Каковы бы ни были начальные условия YI х=хо y'I =уо, х=хо =у~, (49.3) существуют единственные значения постоянных с 1 = с~ и с2 = cg такие, что функция у= ч::i(x;c?;cg) является решением уравнения (49.2) и удовлетворяет начальным условиям (49.3). ~ 4) уравнения (49.2), получающееся из = ср(х; с1; с2) при конкретных значениях посто Всякое решение у= ср(х; с?; общего решения у янных с 1 = с?, с2 = cg, называется частным решением. Решения ДУ (49.2), записанные в виде Ф(х; у; с1; с2) =О, Ф(х; у; с~; 4) =О, называются общим и 'Частным интегра.п.ом соответственно. График всякого решения ДУ второго порядка называется инте гра.лъноu кривоu. Общее решение ДУ жество интегральных кривых; (49.2) представляет собой мно - одна интегра.пьная частное решение кривая этого множества, проходящая через точку (хо; у 0 ) и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом у'(хо) = УЬ· Переписав ДУ (49.1) в виде yfl ) 2 F ( х· у· у 1 • • (1 + у' ) 3 1 2 =О ' ' ' (1 + у/2)3/2 ' 344 видим, что ДУ второго порядка устанавливает связь между координа тами точки (х; у) интегральной кривой, угловым коэффициентом k =у' касательной к ней и кривизной К= у" - ,2 312 в точке (х; у). В этом (1 +у ) состоит геометрическое истолкование ДУ второго порядка. Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения ДУ (49.2), удовлетворяющего заданным начальным услови ям (49.3), называется зада-ч,е11. Коши. Теорема 49.1 (существования и единственности задачи Коши). Если в уравнении {49.2) функция f(x;y;y') и ее частные производные f~ и /~, непрерывны в некоторой области D изменения переменных х, у и у', то для всякой точки (х 0 ; у 0 ; уЬ) Е D существует единствен ное решение у= <р(х) уравнения {49.2), удовлетворяющее начальным условиям {49.3). Примем теорему без доказательства. Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ п-го порядка, которое в общем виде записывается ка F(x·y·y'·y"· ' ' ' , ... ,·y(n)) -- О ' или Y(n) -- f(x·'у·' у'·' у"·, ... ,. y(n-1)) -- О ' (49.4) если его можно разрешить относительно старшей производной. Начальные условия для ДУ (49.4) имеют вид У 1 = Уо, У 'I х=хо = Уо, У "1 1 х=жо х=жо " · · ·, У (n-1) 1 = Уо(n-1) · (49.5) = Уо, ж=хо Общее решение ДУ п-го порядка является функцией вида содержащей п произвольных, не зависящих от х постоянных. Решение ДУ (49.4), получающееся из общего решения при конкрет ных значениях постоянных с 1 = с?, с2 = с~, ... , Сп = с~, называется -ч,астн.ым решением. Зада"iа Коши для ДУ п-го порядка: найти решение ДУ (49.4), удо влетворяющее начальным условиям (49.5). Проинтегрировать (решить) ДУ п-го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того, заданы начальные условия или нет. Задача нахождения решения ДУ п-го порядка сложнее, чем перво го. Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков. 345 49.2. Уравнения, допускающие понижение порядка Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является .метод пони:ж:ения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже. Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение по рядка. 1. Пусть дано уравнение 1 у" = f (x). j (49.6) Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у 1 = = р(х). Тогда у" = р'(х) и получаем ДУ первого порядка: р = j(x). 1 Решив его, т. е. найдя функцию р = р(х), решим уравнение у 1 = р(х). Получим общее решение заданного уравнения (49.6). На практике поступают иначе: порядок понижается непосредствен но путем последовательного интегрирования уравнения. d 1 Так как у 11 = (у')1 = ~· уравнение (49.6) можно записать в виде dy' у'= = f(x) dx. Тогда, интегрируя уравнение у = f(x), получаем: 11 Jf(x) dx, или у' = r.p1 (х) +с1 . Далее, интегрируя полученное урав- нение по х, находим: у= J(r.p1(x) + с1) dx, т. е. у= r.p2(x) + с1х + с2 - общее решение данного уравнения. Если дано уравнение y(n) = f(x), то, проинтегрировав его последовательно п раз, найдем общее решение n-1 n-2 уравнения: у= 'f!n(x) + С1 • ( : - l)! + С2 • ( : _ 2)! + · · · + Cn. При.мер 49.1. Решить уравнение y 1 v = sin2x. Q Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравне ние, получим у 111 = j sin 2х dx = - ~ cos 2х + с1, у 11 = ! - 2 cos dx + ! dx = -4 1 2х 1 SШ . 2х + С1 х + С2' С1 1 х2 у' = 8 cos 2х + С1 2 + С2Х + Сз' 1 у= 16 sin 2х х3 х2 + с1 6 + с2 2 + сзх + с4 . 346 • П. Пусть дано уравнение 1 У 11 = f (х; у'), 1 (49.7) не содержащее .явно иско.моii, функции у. Обозначим у' Тогда у 11 = р, где р = р(х) - новая неизвестная функция. = р' и уравнение (49.7) принимает вид р' = f(x;p). Пусть р = ср(х; с 1 ) - общее решение полученного ДУ первого порядка. Заме няя функцию р на у', получаем ДУ: у'= ср(х;с 1 ). Оно имеет вид (49.6). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (49. 7) будет иметь вид у = Jср(х; с1 ) + с2 . dx Частным случаем уравнения (49.7) является уравнение 1 У 11 = f (у'), 1 *. (49.8) не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом: у' = р( х), у 11 = р' = с разделяющимися переменными. Получаем уравнение р' = f (р) Если задано уравнение вида =О, 1 1 F(x; y(k); y(k+l); ... ; y(n)) (49.9) которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок мож но понизить на k единиц, положив y(k) = р(х). Тогда y(k+l} = р'; ... ; y(n} = p(n-k) и уравнение (49.9) примет вид F(x;p;p'; ... ;p(n-k}) =О. Частным случаем уравнения (49.9) является уравнение F(x; y(n-1); y(n)) =О, или 1 y(n) = f(x; y(n-1)). J С помощью замены y(n-l) = р(х), y(n) = р' это уравнение сводится к ДУ первого порядка. 1 Пример 49.2. Решить уравнение у 11 - 'lL =О. х Q Решение: Полагаем у'= р, где р = р(х), у"= р'. Тогда р' - 1.!. = О. Это уравнение с разделяющимися переменны х ми: OE_dd = Р., ~ = dx. Интегрируя, получим ln IPI = ln lxl + ln lc1!, х х р х ln IPI = ln lc1xl, р = с1х. Возвращаясь к исходной переменной, получим 2 у'= с 1 х, у= с 1 ~ + с2 - общее решение уравнения. 347 8 III. Рассмотрим уравнение 1 у" = f (у; у'), 1 (49.10) которое не содержит явно независи.моii nеременноit х. Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р = = р(у), зависящую от переменной у, полагая у'= р. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р = р(у(х)): 11 у d(y') dx dp(y) dx dp(y) dy dy dx dp(y) dy =--=--=--·-=--·р, т. е. у"=р·~· Теперь уравнение (49.10) запишется в видер·~=f(у;р). Пусть р = ip(y; с 1 ) является общим решением этого ДУ первого поряд ка. Заменяя функцию р(у) на у', получаем у' = ср(у; с 1 ) - ДУ с раз деляющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения (49.10): ! (dy ) = + <р у; С1 Х Cz. Частным случаем уравнения (49.10) является ДУ 1 у" = !(у)./ Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: у' = = р(у), у"= р. ~Так же поступаем при решении уравнения F(y; у'; у"; ... ; y(n)) =О. Его порядок можно понизить на единицу, положив у' = р, где р = р(у). По правилу дифференцирования сложной функции находим у" = р~. 1 2 Затем найдем у 111 = .sl..(p · !!:JJ.. dx · рУ ) = .!L dy (р · р') У dx = р((р'У ) + р · р"УУ ) и т. д. За.ме'Чание. Уравнение (49.8) также можно решать, применяя под становку у' = р, где р = р(у). Пример 49.3. Найти частное решение уравнения у" - (у') 2 + у'(у - 1) =о, удовлетворяющее начальным условиям: у(О) = 2, у'(О) = 2. Q Решение: Уравнение имеет вид (49.10). Положив у' = р(у), у" = р · ~, получаем: dp - р2 + р ( у - 1) = о. dy р.- 348 Так как р f О (иначе у' = О, что противоречит начальному условИю у'= 2), то~ -р+у-1 =О- получили линейное ДУ первого порядка. Проведем решение полученного линейного ДУ методом Бернулли (п. 48.4). Полагаем р и'v u(v' - v) = 1 - у. + = и · v. Имеем: u'v + uv' - uv +у - 1 = О, или Подберем функцию v так, чтобы v' -v =О. Тогда dv = dy, v = еУ. v Получаем: и'· еУ +и· О= 1 - у, т. е. du = (1 - у) · е-У dy. Интегрируя это равенство, находим, что и= -(1 - у)· е-У + е-У + с 1 . Следовательно, р=иv=((-1+у)е-У+е-У+с 1 )·е+У, или р=с1еУ+у. Заменяя р на у', получаем: у'= с 1 · еУ +у. Подставляя у'= 2 и у= 2 в это равенство, находим с1: 2 = С1 е 2 + 2, Имеем у' С1 = 0. = у. Отсюда у = с2 ех. Находим с2 из начальных условий: 2 = с2е0 , с2 = 2. Таким образом, у = 2ех rо W частное решение данно 8 49.З. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Основные понятия Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравне ниям. Уравнение вида bo(x)y(n) + b1(x)y(n-l) + ... + Ьп(х)у = g(x), ~ где Ьо(х) f О, Ь 1 (х), ... , Ьп(х),g(х) - (49.11) заданные функции (от х), называется д.uнеftн'ЫМ ДУ п-го порядка. Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции Ь0 (х), Ь 1 (х), ... , Ьп(х) называются коэффии,и ентами уравнения (49.11), а функция g(x) - = ~ его свободным 'Членом. Если свободный член g(x) О, то уравнение (49.11) называется д.uнеftн'ЫМ однородним уравнением; если g(x) О, то уравне ние (49.11) называется неоднородним. Разделив уравнение (49.11) на Ьо(х) Ь1(х) Ьп(х) f f О и обозначив g(x) Ьо(х) = ai (х), · · ·' Ьо(х) = ап(х), Ьо(х) = f(x), 349 запишем уравнение (49.11) в виде приведетюго: 1 y(n) + ai(x)y<n-l) + a2(x)y(n- 2) + ... + ап(х)у = /(x). j (49.12) Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (49.12) и считать, что коэффициенты и свободный член уравнения (49.12) являются не прерывными функциями (на некотором интервале (а; Ъ)). При этих ус ловиях справедлива теорема существования и единственности решения ДУ (49.12) (см. теорему 49.1). 49.4. Линейные однородные ДУ второго порядка Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение ( ЛОДУ) второго порядка: lv" +а1(х)у 1 +а2(х)у = ol (49.13) и установим некоторые свойства его решений. = Теорема 49.2. Если функции У1 = У1(х) и У2 Yz(x) являются частными решениями уравнения (49.13), то решением этого уравне ния является также функция (49.14) где с 1 и с2 - произвольные постоянные. U Подставим функцию у = с1 У1 + С2У2 и ее производные в левую часть ЛОДУ (49.13). Получаем: (с1У1 + с2у2)" + ai (х) · (с1У1 + С2У2У + а2(х) · (с1У1 + с2у2) = = c1vr + с2у~ + а1(х) · (с1у~ + с2у~) + а2(х) · (с1У1 + с2у2) = = с1(у~' + ai(x) ·у~+ az(x) · У1) + с2(У~ + ai (х)у~ + az(x)y2) = = С1 · 0 + С2 · 0 = 0, так как функции у 1 и у 2 решения уравнения (49.13) и, значит, вы ражения в скобках тождественно равны нулю. Таким образом, функция у= с 1 у 1 уравнения (49.13). + С2У2 также является решением 8 Из теоремы 49.2, как следствие, вытекает, что если У1 и У2 (49.13), то решениями его будут также функции У = У1 + У2 и У = с · У1. Функция (49.14) содержит две произвольные постоянные и явля ется решением уравнения (49.13). Может ли она являться общим ре шением уравнения (49.13)? решения уравнения 350 Для ответа на вопрос введем понятие линейной зависимости и ли нейной независимости функций. ~ Функции У1 = У1(х) и У2 = У2(х) называются .ttuнeitнo независи мыми на интервале (а; Ь), если равенство О::1У1 + О::2У2 =о, (49.15) где 0::1, 0::2 Е ~ выполняется тогда и только тогда, когда а:: 1 = а:: 2 = О. ~ Если хотя бы одно из чисел а:: 1 или а 2 отлично от нуля и выполня ется равенство (49.15), то функции у 1 и у 2 называются .ttuнeii.нo зависимыми на {а; Ь). Очевидно, что функции у 1 и у 2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т. е. для всех х Е (а; Ь) выполняется равенство '!1.1.. = Л, или У1 = Лу2, ,\ = const. У2 Например, функции У1 = Зех и У2 = ех линейно зависимы: '!1.1.. = = 3 = const; функции У1 и Уз= е 2 х - У2 линейно независимы: '!1.1.. = ~ = У2 е х = зе-х -:/:- const; функции у4 = sinx и у5 = cosx являются линейно независимыми: равенство а 1 sin х + а:: 2 cos х = О выполняется для всех х Е JR. лишь при 0::1 = а2 = О (или '!!.± = tg х -:/:- const). У5 Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый (Ю. Вронский - опреде.лител:ь Вронского или вронскиан польский математик). Для двух дифференцируемых функций У1 = У1(х) и У2 = У2(х) вронскиан имеет вид Имеют место следующие теоремы. Теорема 49.3. Если дифференцируемые функции У1(х) и У2(х) ли нейно зависимы на (а; Ь), то определитель Вронского на этом интер вале тождественно равен нулю. О Так как функции У1 и У2 линейно зависимы, то в равенстве (49.15) значение 0::1 или 0::2 отлично от нуля. Пусть 0::1 -:/:-О, тогда у 1 = -О2.у2; °' поэтому для любого х Е (а; Ь) W(x) = _01_ , У21 , =О. 1 -02..у2 а 1 У2 У2 Теорема 49.4. Если функции у 1 (х) и у 2 (х) решения уравнения 1 линейно независимые (49.13) на (а; Ь), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль. 351 • Доказательство теоремы опустим. Из теорем 49.3 и 49.4 следует, что вронскиан не равеи нулю ни в одноii, то'Чке интервала (а; Ь) тогда и только тогда, когда 'Частные решени.я линеiiно независимы. ~ Совокупность любых двух линейно независимых на интервале (а; Ь) частных решений У1 (х) и У2 (х) ЛОДУ второго порядка опре деляет фундаментальную систему решениu этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация У= 0:1у1(х) + 0:2у2(х). 49,4, Частныерешенияу1 = sinxиy2 = соsх,уз = 2sinx = 5cosx (их бесчисленное множество!) уравнения у 11 +у = О образуют фундаментальную систему решений; решения же у 5 = О и Пример и у4 У6 = cos х - не образуют. Теперь можно сказать, при каких условиях функция (49.14) будет общим решением уравнения (49.13). Теорема 49.5 (структура общего решения ЛОДУ второго поряА ка). Если два частных решения У1 = У1(х) и У2 = У2(х) ЛОДУ (49.13) образуют на интервале (а; Ь) фундаментальную систему, то общим ре шением этого уравнения является функция (49.16) где с 1 и с2 - произвольные постоянные. О Согласно теореме 49.2, функция (49.16) является решением урав нения (49.13). Остается доказать, что это решение общее, т. е. что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям У/ х=хо = Уо, ,, 1 У х=хо = Уо, (49.17) где хо Е (а; Ь). Подставив начальные условия (49.17) в решение (49.14), получим систему уравнений (хо) + С2У2 (хо), { УоУЬ == С1У1 ClY~ (хо)+ с2у~(хо), где Уо = у(хо), УЬ = у (хо), с неизвестными с1 и с2. 1 Определитель этой системы 1 у}(хо) У7(хо) 1 = W(xo) У1 (хо) У2(хо) равен значению вронскиана 1'V(x) при х 352 = х0 • Так как решения У1 ( х) и У2 (х) образуют фундаментальную систему решений на (а; Ь) и х 0 Е (а; Ь), то, согласно теореме 49.4, W(xo) -:/:- О. Поэтому система уравнений имеет единственное решение: С1 1 1 Уо = С1о = W (Хо) . у~ о 1 1 У1(хо) с2 = с2 = W(xo) · У~ (хо) Решение у= с~у 1 (х) +cgy2 (x) является частным решением (единствен ным, в силу теоремы единственности) уравнения (49.13), удовлетворя ющим начальным условиям (49.17). Теорема доказана. 8 Пример 49.5. На основании теоремы 49.5 общим решением урав нения у" +у=О (см. пример 49.4) является функция у=с 1 sinx+c2 cosx. 49.5. Линейные ОАНОРОАНЫе ДУ n-ro поряАка Полученные результаты можно распространить на линейные од нородные дифференциальные уравнения п-го порядка, имеющие вид y(n) + al(x) · y(n-l) + а2(х) · y(n- 2) + ... + an(x) ·у= О. (49.18) 1. Если функции У1 = У1(х),у2 = У2(х), ". ,yn = Уп(х) являются частными решениями уравнения (49.18), то его решением является и функция У = С1У1 + С2У2 + · · · + CnYn· 2. Функции У1, У2, ... , Yn называются .линеii:но независим'Ьtми на (а; Ь), если равенство а1у1 + а2у2 + ... + O:nYn =О выполняется лишь в случае, когда все числа ai = О (i = 1, 2, "., п); в противном случае (если хотя бы одно из чисел ai не равно нулю) функции У1, У2, ... , Yn .линеilно зависим'Ьt. 3. Определитель Вронского имеет вид W(x) = У1 У2 Уп у~ у~' у~ у~ у~ у~ (n-1) У1 (n-1) У2 (n-1) Yn 4. Частные решения У1,У2, ... ,yn уравнения (49.18) образуют фун даментальную систему решениil на (а; Ь), если ни в одной точке этого интервала вронскиан не обращается в нуль, т. е. W(x) -:/:- О для всех х Е (а; Ь). 5. Общее решение ЛОДУ (49.18) имеет виду= С1У1 +с2у2+ .. .+CnYn, где Ci (i = 1, ... , п) - произвольные постоянные, Yi - частные решения уравнения (49.18), образующие фундаментальную систему. 353 При.мер 49. 6. Показать, что функции У1 =е"', У2 =х·е"', Уз =х 2 ·е"' образуют фундаментальную систему решений некоторого ЛОДУ тре тьего порядка (дополнительно: составить это уравнение). Q Решение: Найдем W(x): хе"' х2ех (х + l)e"' (х 2 + 2х)е"' (х + 2)е"' (х 2 + 4х + 2)е"' х х2 = ез"' 1 x+l х 2 +2х 1 х+2 х 2 +4х +2 1 = 1 х х2 о 1 2 4х+2 = езх о 2х = е 3 "' · ( 4х + 2 - 4х) = 2е 3 "'. Ясно, что W(x) :f; О для всех х Е IR. Следовательно, данные функции образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ третьего поряд ка. В общем виде ЛОДУ третьего порядка выглядит так: у 111 + ai(x)y" + а2(х)у' + аз(х)у =О. Подставив функции У1, У2, Уз в это уравнение, получим систему из трех уравнений относительно функций а 1 (х), а2(х), а 3 (х). Решая ее, полу чим ЛОДУ у 111 - Зу" + Зу' - у = О; его общее решение: • § 50. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 50.1. Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоян-ными коэф фициентами. Пусть дано ЛОДУ второго порядка 1 где р и у" + р . у' + q . у = о, 1 (50.1) q постоянны. Для нахождения общего решения уравнения (50.1) достаточно най ти два его частных решения, образующих фундаментальную систему (см. теорему 49.5). Будем искать частные решения уравнения (50.1) в виде у= ekx, 354 где k - некоторое число (предложено Л. Эйлером). Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у' и у" в урав нение (50.1), получим: k 2 · ekx + р · k · ekx + q · ekx =О, т. е. ekx · (k 2 + pk + q) =О, ~ k 2 + pk + q =О (ekx #О). или (50.2) Уравнение (50.2) называется харакmерuсmи'Ческим уравнени ем ДУ (50.1) (для его составления достаточно в уравнении (50.1) заменить у", у' и у соответственно на k2 , k и 1). При решении характеристического уравнения (50.2) возможны сле дующие три случая. Случаi1 1. Корни k1 и k2 уравнения (50.2) действительные и раз- личные: k1 # k2 ( D = 1f - q > О) . В этом случае частными решениями уравнения (50.1) являются функции У1 = ekix и У2 = ek 2 x. Они образуют фундаментальную систе му решений (линейно независимы), т. к. их вронскиан Следовательно, общее решение уравнения (50.1), согласно формуле (49.16), имеет вид (50.3) Пример 50.1. Решить уравнение у" - 5у' + 6у =О. Q Решение: Составим характеристическое уравнение: k2 - 5k + 6 = О. Решаем его: k1 = нения: у 2, k2 = 3. Записываем общее решение данного урав = с 1 е 2 х + с2 е 3 х, где с 1 и с2 - произвольные постоянные (фор мула (50.3)). 8 СлучаiJ. 2. Корни k 1 и k 2 характеристического уравнения (50.2) дей ствительные и равные: ki = k2 (D = 1f- q =О, ki = k2 = -~)· В этом случае имеем лишь одно частное решение у 1 = ekix. Покажем, что наряду с у 1 решением уравнения (50.1) будет и у 2 = = xek1x. Действительно, подставим функцию у 2 в уравнение (50.1). Имеем: у~ + ру; + qy2 = (xek1x)" + p(xek1x)' + q(xek 1x) = = (2k1ek1x + xkiek1x) + p(ek1x + xk1ek1x) + q(xek1x) = = ek 1"'(2k1 + kix + р + pxk1 + qx) = ek 1x(x(ki + pk1 + q) + (р + 2k1)). 355 Но kr+pk1 +q =О, т. к. ki есть корень уравнения (50.2); p+2k1 =О, Т. К. ПО УСЛОВИЮ ki = k2 = -~. Поэтому у~+ ру~ + qy2 = О, т. е. функция у2 = xek 1 x является решением уравнения (50.1). Частные решения у 1 = ekix и у 2 = xekix образуют фундаменталь ную систему решений: W(x) = e 2 k z-:/= О. Следовательно, в этом случае 1 общее решение ЛОДУ (50.1) имеет вид (50.4) Слу-ч,аtl, 3. Корни k 1 и k2 уравнения (50.2) комплексные: k 1 = a+/3i, k2 =а - /3i (D = ~ - q <О, а=-~, /3 = Jq- ~>О). В этом случае частными решениями уравнения (50.1) являются функции У1 = e(a+i/3)x и У2 = e(a:-i/3)x. По формулам Эйлера (см. п. 27.3) ei'P = cosip + isinrp, e-i<p = cosip - isinrp имеем У1 = еах · ei/3x = еах cos (3х + ieax sin (3х, У2 = еах · e-i/3x = еах cos {3х - ieax sin {3х. Найдем два действительных частных решения уравнения (50.1). Для этого составим две линейные комбинации решений у 1 и у 2 : У1 + У2 = е ах cos /3 х = У1 2 и У1 - У2 · /3 = е ах sш х = У2. 2i Функции у1 и у2 являются решениями уравнения (50.1), что следует из свойств решений ЛОДУ второго порядка (см. теорему 49.2).Эти ре шения у1 и :У2 образуют фундаментальную систему решений, так как W(x) -:/= О (убедитесь самостоятельно!). Поэтому общее решение урав нения (50.1) запишется в виде у= с 1 еа:х cos (3х + с2еа:х sin (3х, или 1у = еа:х( с 1 cos f3x + с2 sin f3x). j Пример 50.2. Решить уравнение у" - 6у 1 (50.5) + 25у =О. Q Решение: Имеем: k2 - 6k + 25 = О, k1 = 3 + 4i, k2 = 3 - 4i. По формуле (50.5) получаем общее решение уравнения: у= е 3 х(с1 cos4x + С2 sin4x). i 8 Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (50.1) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (50.2) и использованию фор мул (50.3)-(50.5) общего решения уравнения (не прибегая к вычисле нию интегралов). 356 Интегрирование ЛОДУ n-ro порядка 50.2. с постоянными коэффициентами Задача нахождения общего решения ЛОДУ п-го порядка (п > 2) с посто.яннъtми коэффициентами У(п) + P1Y(n-l) + P2Y(n- 2) + · · · + РпУ =О, где Pi, i = 1,п, - (50.6) числа, решается аналогично случаю уравнения вто рого порядка с постоянными коэффициентами. Сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры. Частные решения уравнения (50.6) также ищем в виде у= ekx, где k- постоянное число. Характеристическим для уравнения (50.6) является алгебраиче ское уравнение п-го порядка вида kn + P1kn-I + P2kn- 2 + · · · + Рп-1k + Рп =О. (50.7) Уравнение (50.7) имеет, как известно, п корней (в их числе могут быть и комплексные). Обозначим их через k 1 , k 2 , ••• , kп. !il Заме'Чание. Не все из корней уравнения (50.7) обязаны быть раз- личными. Так, в частности, уравнение (k - 3) 2 = О имеет два k 1 = k2 = 3. В этом случае говорят, что корень один (k = 3) и имеет кратность mk = 2. Если кратность корня равна еди нице: mk = 1, его называют простъtм. С.лу'Ча11 1. Все корни уравнения (50.7) действительны и просты (различны). Тогда функции У1 = ekix, У2 = ek 2x, ... , Уп = eknx являют ся частными решениями уравнения (50.6) и образуют фундаменталь равных корня: ную систему решений (линейно независимы). Поэтому общее решение уравнения (50.6) записывается в виде 1 Пример у= C1ek1x + c2ek2x + ... + Cneknx .1 50.3. Найти общее решение уравнения у 111 - 2у" - у' + 2у = о. Q Решение: Характеристическое уравнение k 3 - 2k2 - k + 2 = О имеет корни k1 = -1, k2 = 1, kз = 2. Следовательно, у = с 1 е-х общее решение данного уравнения. + с2 ех + с3 е 2 х - 8 С.лу'Ча11 2. Все корни характеристического уравнения действитель ные, но не все простые (есть корни, имеющие кратность т > 1). Тогда каждому простому корню k соответствует одно частное решение вида ekx, а каждому корню k кратности т > 1 соответствует т частных решений: ekx' xekx' x2ekx ... ' xm-1ekx. Пример 50.4. Решить уравнение y 1 v - у"' - Зу"+ 5у' - 2у =О. 357 О Решение: Характеристическое уравнение k 4 - k 3 - 3k 2 + 5k - 2 = (k + 2)(k - 1) 3 =О имеет корни ki = -2, k2 = 1, kз = 1, k4 = 1. Следовательно, у= с1е- 2 х + с2ех + сзхех + с4х 2 е"' - • общее решение уравнения. Слу'ч,аiJ, 3. Среди корней уравнения (50.7) есть комплексно-сопря женные корни. Тогда каждой паре а: ± /Зi простых комплексно-со пряженных корней соответствует два частных решения е"'"' cos /]х и еа:х sin,Вx, а каждой паре а:±,Вi корней кратности т > 1 соответствуют 2m частных решений вида еа:х cos ,Вх, х · еа:х cos /Зх, ... , xm-I · еа:х cos /Зх; е°'"' sin ,Вх, х · е°'х sin ,Вх, . .. , xm-l · е°'х sin ,Вх. Эти решения, как можно доказать, образуют фундаментальную систе му решений. Пример 50.5. Решить уравнение yv +y1v +2у 111 +2у" +у' +у= О. О Решение: Характеристическое уравнение k 5 + k 4 + 2k 3 + 2k 2 + k + 1=(k+1)(k 4 + 2k 2 + 1) =о имеет корни ki = у= с1е-х - -1, k2 = i, kз = -i, k4 = i, k5 = -i. Следовательно, + с2 · cosx + сз · sinx + С4Х · cosx + С5Х • sinx • общее решение уравнения. § 51. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ЛНДУ) 51.1. Структура общего решения ЛНДУ второго порядка Рассмотрим ЛНДУ второго порядка 1 у"+ а1(х)у' + а2(х)у = f(x), 1 (51.1) где а1(х), а2(х), f(x) -заданные, непрерывные на (а; Ь) функции. Уравнение ~ у"+ а1(х)у 1 + а2(х)у =О, (51.2) левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (51.1), на зывается сооmвеmсmвующuм ему оiJнороiJн:ым уравнением. 358 Теорема 51.1 (структура общего решения ЛНДУ). Общим реше нием у уравнения (51.1) является сумма его произвольного частного решения у* и общего решения у= С1У1 + С2У2 соответствующего од нородного уравнения (51.2), т. е. у = у* +у. О Убедимся, что функция (51.3) - (51.3) решение уравнения (51.1). Так как у* есть решение уравнения (51.1), а fj- решение уравнения (51.2), то (у*) 11 + ai(x)(y*)' + а2(х)у* = f(x) и (fj) 11 + ai(x)(fj) 1 + а2(х)у =О. В таком случае имеем: (у*+ fj) 11 + ai (х)(у* + fj) 1 + а2(х)(у* + fj) = = ((у*)1' + ai(x)(y*) 1 + а2(х)у*) + ((у)1' + ai(x)(fj)' + а2(х)у) = = f(x) +О= f(x). Это означает, что функция (y*+fj) является решением уравнения (51.1). Покажем теперь, что функция (51.4) является общим решением уравнения (51.1). Для этого надо доказать, что из решения (51.4) можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям у(хо) = Уо, у'(хо) = УЬ· (51.5) Продифференцировав функцию (51.4) и подставив начальные ус ловия (51.5) в функцию (51.4) и ее производную, получим систему уравпений:: где Уо + С2У2(хо) = Уо -у*(хо), { с1у1(хо) с1у~ (хо)+ с2у~(хо) = УЬ - (у*)'(хо), = у(хо), УЬ = у'(хо), с неизвестными с1 и с2. Определителем этой: системы является определитель Вронского W(x 0 ) для функции У1 (х) и У2 (х) в точке х = Хо. Функции У1 (х) и У2 (х) линейно незави симы (образуют фундаментальную систему решений), т. е. W(xo) =f:. О. Следовательно, система имеет единственное решение: с 1 =с~ и с2 = Решение у cg. = у* + с~у 1 (х) + cgy2 (x) является частным решени ем уравнения (51.1), удовлетворяющим заданным начальным услови ям (51.5). Теорема доказана. • 359 51.2. Метод вариации произвольных постоянных Рассмотрим ЛНДУ (51.1). Его общим решением является функ ция (51.3), т. е. у= у* +у. Частное решение у* уравнения (51.1) можно найти, если известно об щее решение у соответствующего однородного уравнения (51.2), мето дом вариации произволън'Ых посто.я:нн:ых (метод Лагранжа), состоя щим в следующем. Пусть у= С1У1(х)+с2У2(х) -общее решение уравне ния (51.2). Заменим в общем решении постоянные с 1 и с2 неизвестными функциями с1(х) и с2(х) и подберем их так, чтобы функция у*= с1(х) · У1(х) + с2(х) · У2(х) (51.6) была решением уравнения (51.1). Найдем производную (у*)' = с~ (х )У1 (х) + с1 (х )у~ (х) + с;(х)у2(х) + с2(х)у; (х). Подберем функции с1(х) и с2(х) так, чтобы с~ (х) · У1(х) + с;(х) · У2(х) =О. (51.7) Тогда (у*)'= с1(х) · у~(х) + с2(х) · у;(х), (у*)"= с~ (х) ·у~ (х) + с1(х) · у~'(х) + ~(х) · у~(х) + с2(х) · у~(х). Подставляя выражение для у*, (у*)1 и (у*)" в уравнение (51.1), полу чим: с~ (х) · у~ (х) + с1 (х) · у~' (х) + с; (х) · у~ (х) + с2 ( х) · у~ (х) + +а1 (х) [с1 (х )у~ (х) +с2(х)у;(х)] +а2(х)[ с1 (х)у1 (х) +с2 (x)yz (х)] = f(x), или с1(х) · [у~'(х) + ai(x) ·у~ (х) + а2(х) · У1(х)] + +с2(х) [у~(х) +а1 (х)у~(х) +а2(х)у2(х)] +с~ (х)у~ (х)+с;(х)у~(х) = f (х). Поскольку У1(х) и У2(х) - решения уравнения (51.2), то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому с~ (х) ·у~ (х) + ~(х) · у;(х) = f(x). Таким образом, функция (51.8) (51.6) будет частным решением у* уравне ния (51.1), если функции с 1 (х) и с 2 (х) удовлетворяют системе уравне ний (51.7) и (51.8): · У1(х) + с~(х) · У2(х) =О, { с~(х) с~ (х) ·у~ (х) + с~(х) · у~(х) = f (х). 360 (51.9) Определитель системы ~~ ~~~ ~~~~~ 1 1 i= О, так как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений У1(х) и yz(x) уравнения (51.2). Поэтому система (51.9) имеет единственное ре шение: с~(х) = <р1(х) и с~(х) = r.p2(x), где r.p1(x) и r.pz(x) - некоторые функции от х. Интегрируя эти функции, находим с 1 (х) и cz(x), а затем по формуле (51.6) составляем частное решение уравнения (51.1). Пример 51.1. Найти общее решение уравнения у" + у = - 1- . cosx Q Решение: Найдем общее решение fj соответствующего однородного уравнения у 11 +у = О. Имеем: k2 +1 = О, k 1 = i, k2 = -i. Следовательно, fj = с1 · cos х + cz · sin х. Найдем теперь частное решение у* исходного уравнения. Оно ищется в виде (51.6): у*= с 1 (х) ·cosx+c2 (x) ·sinx. Для нахождения с 1 (х) и с 2 (х) составляем систему уравнений вида (51.9): · cosx + с~(х) · sinx =О, { с~(х) с~ (х) · (- sin х) + с~ (х) · cos х = _1_. cosx Решаем ее: cos. х - sшх Д = 1 д1= 1 О1 ёОs"Х . 2 Х = 1, sin х 1 = COS 2 Х + SШ cosx sinx 1 =-tgx, COS Х д2= 1 - cosx . SШ Х 1 ( ) 1 =1; J(-tgx) dx = ln cosxl; = д2 = 1, cz(x) = J dx = х. с~(х) = ~1 = -tgx, с1(х) = с2 Х О1 ёОs"Х Д 1 1· Запишем частное решение данного уравнения: у* = ln 1 cos xl · cos х + + х · sin х. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид у= (fj +у*)= с1 · cosx + с2 · sinx + cosx · ln 1cosxl + х · sinx. 8 При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной следующая теорема. Теорема 51.2 (о наложении решений). Если правая часть уравне f(x) = fi(x) + + fz(x), а Yi и У2 - частные решения уравнений у"+ ai(x) · у 1 + + az(x) ·у= fi(x) и у 11 + ai(x) · у 1 + az(x)y = f2(x) соответственно, то функция у* = Yi + у2 является решением данного уравнения. ния (51.1) представляет собой сумму двух функций: 361 Q Действительно, (у; +у2)" +а1(х) ·(у; +у2)' +а2(х) ·(у; +у2) = = ((у;)"+ а1(х) ·(у;)'+ а2(х) ·у;)+ ((у2)1' + а1(х) · (у2) 1 + а2(х) · Yz) = = fi(x) + fz(x) = f(x). • 51.3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянн'Ьtми коэффициен тами, т. е. уравнение 1 где р и q- у" + р . у' + q . у = f (х)' 1 (51.10) некоторые числа. Согласно теореме 51.1, общее решение уравнения (51.10) предста вляет собой сумму общего решения у соответствующего однородного уравнения и частного решения у* неоднородного уравнения. Частное решение уравнения (51.10) может быть найдено методом вариации про извольных постоянных (п. 51.2). Для уравнений с постоянными коэффициентами (51.10) существу ет более простой способ нахождения у*, если правая часть f(x) урав нения (51.10) имеет так называемый «специальный вид»: I. f(x) = Рп(х) · eaz или П. f(x) = eaz · (Рп(х) · cosfix + Qт(х) · sin fix). Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициен тов, состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (51.10) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (51.10) и из полу ченного тождества находят значения коэффициентов. Слу'ЧаЬ 1. Правая часть (51.10) имеет вид f(x) а Е JR, Рп(х) - = Рп(х) · eaz, где многочлен степени п. Уравнение (51.10) запишется в виде 1 у"+ Р. у'+ q. у= Рп(х). eaz · 1 (51.11) В этом случае частное решение у* ищем в виде: (51.12) где r - число, равное кратности а как корня характеристического уравнения k 2 + pk + q = О (т. е. r - число, показывающее, сколько раз а является корнем уравнения k 2 + pk + q =О), а Qп(х) = A 0 xn + + A 1 xn-l + ... + An - многочлен степени п, записанный с неопреде ленными коэффициентами Ai (i = 1, 2, ... , n). 362 Q а) Пусть а не является корнем характеристического уравнения k 2 + pk + q =о, т. е. а f. k1 ,2 • Следовательно, r =О, у* = Qп(х) · еах, (у*)' = Q~(x) · еах + Qп(х) · еах ·а, (у*)"= Q~(x). еах + 2Q~(x). еах. а+ Qп(х). еах. а2. После подстановки функции у* и ее производных в уравнение (51.11), сокращения на еах, получим: Q~(x) + (2а + p)Q~(x) + (а 2 + ра + q) · Qп(х) = Рп(х). (51.13) Слева - многочлен степени п с неопределенными коэффициентами, справа - многочлен степени п, но с известными коэффициентами. При равнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систе му (п + 1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов Ао, Ai, ... , Ап. б) Пусть а является однократным (простым) корнем характери стического уравнения k2 + pk + q =О, т. е. а= ki f. k2. В этом случае искать решение в форме у* = Qп(х)еах нельзя, т. к. а 2 + ра + q = О, и уравнение (51.13) принимает вид Q~(x) + (2а + р) · Q~(x) = Рп(х). В левой части - многочлен степени (п - 1), в правой части - много член степени п. Чтобы получить тождество многочленов в решении у*, нужно иметь многочлен степени (п + 1). Поэтому частное решение у* следует искать в виде у* = х · Qп(х)еах (в равенстве (51.12) положить r = 1). в) Пусть а является двукратным корнем характеристического уравнения k 2 +pk+q =О, т. е. а= k 1 = k2 • В этом случае a 2 +pa+q =О и 2а+р =О, а поэтому уравнение (51.13) принимает вид Q~(x) = Рп(х). Слева стоит многочлен степени п - 2. Понятно, чтобы иметь слева многочлен степени п, частное решение у* следует искать в виде у* = х2Qп(х)еах • (в равенстве (51.12) положить r = 2). Слу'Чаi1 2. Правая часть (51.10) имеет вид f(x) = еах · (Рп(х) · соs(Зх + Qт(х) sin/Зx), где Рп(х) и Qт(х) - f3 - многочлены степени пит соответственно, а и действительные числа. Уравнение (51.10) запишется в виде у"+ ру' + qy = еах · (Рп(х) · соs(Зх + Qт(х) · sin/Зx). 363 (51.14) Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравнения (51.14) следует искать в виде /у*= xr · еах · (М1 (х) · соs(Зх + N1(x) · sinf3x), 1 где r - (51.15) число, равное кратности а+ f3i как корня характеристического уравнения k 2 + pk + q =О, М1(х) и N1(x) определенными коэффициентами, l - многочлены степени l с не наивысшая степень многочленов Pn(x) и Qт(х), т. е. l = max(n, m). Заме'Чани.я. 1. После подстановки функции (51.15) в (51.14) приравнивают мно гочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функци ями в левой и правой частях уравнения. 2. Форма (51.15) сохраняется и в случаях, когда Pn(x) Qт(х) =О. = О или 3. Если правая часть уравнения (51.10) есть сумма функций вида I или П, то для нахождения у* следует использовать теорему 51.2 о наложении решений. Пример 51.2. Найтиобщеерешениеуравненияу"-2у'+у = х-4. Q Решение: Найдем общее решение fj ЛОДУ у" - 2у' +у = О. Характе ристическое уравнение k 2 - 2k + 1 = О имеет корень k 1 = 1 кратности 2. Значит, fj = с 1 · е"' + с2 · х · ех. Находим частное решение исходного уравнения. В нем правая часть х - 4 = (х - 4) · е 0 ·х есть формула ви да Р1 ( х) · е 0 ·х, причем а = О, не является корнем характеристического уравнения: а=/:- k1 . Поэтому, согласно формуле (51.12), частное реше ние у* ищем в виде у* = Q1 (x) · е0 ·х, т. е. у* =Ах+ В, где А и В неопределенные коэффициенты. Тогда (у*)'= А, (у*)" =О. Подставив у*, (у*)', (у*)" в исходное уравнение, получим -2А+Ах+В = х-4, или Ах+ (-2А +В) = х - 4. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: {~2:~В=-4. Отсюда А= 1, В= -2. Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид у*= х-2. Следовательно, у= Cfi+y*) = с 1 е"'+с2хех +х-2- искомое общее решение уравнения. 8 Пример 51.3. Решить уравнение у" - 4у 1 + 13у = 40 · соsЗх. Q Решение: Общее решение ЛНДУ имеет вид у = fj + у*. Находим решение однородного уравнения fj: у" - 4у' + 13у = О. Характеристиче ское уравнение k 2 - 4k + 13 =О имеет корни k 1 = 2 Следовательно, fj = е 2 х · ( с1 · cos Зх с2 · sin Зх). + 364 + Зi, k2 = 2 - Зi. Находим частное решение у*. Правая часть ЛНДУ в нашем слу чае имеет вид f(x) = е 0 ·х · (40cos3x +О· sin3x). Так как а= О, (З = 3, а + (Зi то r = Зi не совпадает с корнем характеристического уравнения, = О. Согласно формуле (51.15), частное решение ищем в виде у*= АсоsЗх + Bsin3x. Подставляем у* в исходное уравнение. Имеем: (у*)'= -3Asin3x+3Bcos3x, (у*)"= -9Acos3x-9Bsin3x. Получаем: - 9А cos Зх - 9В sin Зх - 4( -ЗА sin Зх + ЗВ cos Зх )+ + lЗ(АсоsЗх + BsinЗx) = 40cos3x, или (-9А-12В+1ЗА) cos3x+(-9B+ 12А+1ЗВ) sinЗx = 40cos3x+O·sin3x. Отсюда имеем: { 4А - 12В = 40, 12А+4В =О. Следовательно, А= 1, В= -3. Поэтому у*= соsЗх - ЗsinЗx. И нако нец, у = е 2 х ( с 1 · cos Зх + с2 · sin Зх) + cos Зх - З sin Зх - общее решение уравнения. 8 Пример 51.4. (Дл.я самосто.ятелъного решения.) Для предложенных дифференциальных уравнений получить вид частного решения: а) у" - Зу' + 2у = 5 + ех; 6) у" - 2у' + у = 2; в) у"+ 4у = sin2x + cos 7х; г) у" + у = 5 cos 2х - х sin 2х; д) у" - Зу' = х 2 - 1 + cos х. Ответы: а) А+ х ·В· ех; 6) А; в) x(Acos 2х +В sin 2х) +С cos 7х + + Dsin 7х; г) (Ах+ В) cos2x + (Сх + D) sin2x; д) х(Ах 2 + Вх +С)+ + D cosx + Esinx. 51.4. Интегрирование ЛНДУ n-го порядка (n > 2) с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Рассмотрим линейное неоднородное ДУ n-го (n > 2) порядка у(п) + а1(х) · y(n-l) + az(x) · y(n-Z) + ... + ап(х) ·у= f(x), где а1 ( х), az (х), ... , ап (х), f (х) - заданные непрерывные функции на (а; Ь). Соответствующее ему однородное уравнение имеет вид у(п) + а1(х) · y(n-l) + ... + ап(х) ·У= О. 365 Теорема 51.3 (о структуре общего решения ЛНДУ n-ro порядка). Общее решение у ЛНДУ п-го порядка равно сумме частного решения у* неоднородного уравнения и общего решения у соответствующего ему однородного уравнения, т. е. у = у* +у. Частное решение у* ЛНДУ п-го порядка может быть найдено, если известно общее решение fj однородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных. Оно ищется в виде у*= с1(х) · У1(х) + с2(х) · У2(х) + ... + сп(х) · Уп(х), где Yi(x), i = 1, п, - частные решения, образующие фундаментальную систему, однородного уравнения. Система уравнений для нахождения неизвестных ci(x) имеет вид ciy1 + С~У2 + с;уз + ... + C~Yn = О, ciy~ + с~у~ + с;у~ + ... + с~у~ = О, ciyr + с~у~ + c~yg + ... + с~у~ =о, c'ly~n-1) + c~y~n-1) + с~у~п-1) + ... + c~y~n-1) = f(x). Однако для ЛНДУ п-го порядка с nосто.я~-тыми коэффициентами, правая часть которого имеет специальный вид, частное решение у* мо жет быть найдено методом неопределенных коэффициентов. Метод подбора частного решения у* уравнения Y(n) где Pi - + P1Y(n-l) + · · · + РпУ = f(x), числа, а правая часть f (х) имеет специальный вид, описанный 51.3 для случая п = 2, переносится без всякого изменения и на случай уравнения, имеющего порядок п > 2. в п. Пример 51.5. Решить уравнение y 1 v -у 1 = 2х. О Решение: Находим у: k4 - k =о, k(k - 1). (k 2 + k + 1) = о, k2 = 1, kз4=-!± /Зi , 2 2 ' _!"( сз cos 2х v13 + с4 sin 2х vз ) . у= с 1 + с2е"' + е 2 Находим у*: f(x) = 2х ( = е 0 ·"'·Р1 (х)), 1" = 1, у*= х(Ах+В) = Ах 2 +Вх, отсюда (у*)'= 2Ах +В, (у*) 11 = 2А, 366 (у*)"'= 0, (y*) 1 v = 0. Тогда -(2Ах +В)= 2х. Отсюда А= -1, В= О и получаем у*= -х 2 • Следовательно, функция • является общим решением уравнения. § 52. СИСТЕМЫ fJ.ИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 52.1. Основные понятия Для решения многих задач математики, физики, техники (задач динамики криволинейного движения; задач электротехники для не скольких электрических цепей; определения состава системы, в ко торой протекают несколько последовательных химических реакций I порядка; отыскания векторных линий поля и других) нередко требу ется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим систему. Cucmeмoii ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производ ные. Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей п искомых функций У1, У2, ... , Yn, следующий: { ~~ ~~~ ~~ ~ ~-2·; -~~;-~~ ~ ~~~::: ~ ~~-). ~ -~' .· .· .· .; D Гn 1 " у1 " (х·' У 1,"У 2," ... ,"У n>"у 1> 2, ... ,"Уn1 ) - о· Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно произ водной, т. е. система вида ~ dx -- f 1 (х·, у 1,·у2,· · · ·,·уn ) , О:Jп dx -- f 2 (х·у , 1,·у2,· · · ·,·уn ) , (52.1) dyn dx -- f n (х·, у1,. у 2,. · · ·,. у n ) , ~ называется нормальноii. cucmeмoii. ДУ. При этом предполага ется, что число уравнений равно числу искомых функций. Заме"tание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения высших порядков можно привести к нормальной системе вида (52.1). 367 Так, система трех ДУ второго порядка 2 dd x t- 2 F (х·1 у· z·, t·, х'· , ,у'·, z') ,' d2~ dt = F2(x;y;z;t;x';y';z'), d2z - F (x·y·z·t·x'·y'·z') "d,f;'I-3,,,,,,' описывающая движение точки в пространстве, путем введения новых переменных: ~~ =и, 1t = v, ~: = приводится к нормальной систеw, меДУ: dx -и dt - ' О11_ dt = v, dz -w dt - ' ~~ = F1 (х; у; z; t; и; v; w), ~~ = F2(x;y;z;t;u;v;w), ~~ = Fз(х; у; z; t; и; v; w). Уравнение третьего порядка у"'= f(x; у; у'; у") путем замены у'= = р, у" = р' = q сводится к нормальной системе ДУ у' =р, { = q, р' q' = f(x;y;p;q). Из сказанного выше следует полезность изучения именно нормаль ных систем. ~ Решением сuстем'Ьt (52.1) называется совокупность из п функ ций у1,У2, ... ,yn, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы. На'Ча.л:ьн'Ьtе ус.л,ови.я для системы (52.1) имеют вид (52.2) ЗаiJа'Ча Коши для системы (52.1) ставится следующим образом: найти решение системы (52.1), удовлетворяющее начальным услови ям (52.2). Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает следующая теорема, приводимая здесь без доказательства. 368 Теорема 52.1 (Коши). Если в системе {52.1) все функции f;(x; У1; · · ·, Уп) непрерывны вместе со всеми в некоторой области D ((п своими частными производными по Yi + 1)-мерного пространства), то в каждой точке Мо(хо; у~; у~; ... ; у~) этой области существует, и притом един = 'Рп(х) системы, ственное, решение У1 = <р1(х), У2 = <р2(х), ... , Уп удовлетворяющее начальным условиям {52.2). Меняя в области D точку М0 (т. е. начальные условия), получим бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде ре шения, зависящего от п произвольных постоянных: У1 = <р1(х; с1; с2; ... ; Сп), ... , Уп = 'Рп(х; с1;с2; ... ; Сп)· Это решение является общим, если по заданным начальным усло виям (52.2) можно однозначно определить постоянные с 1 , с 2 , ... , Сп из системы уравнений { ~_1_<~;-~1·;-~2·;·······;·~~~ -~-~~~ 'Рп(х; с1; с2; ... ; Сп) =у~. Решение, получающееся из общего при конкретных значениях по стоянных с1, с2, ... , Сп, называется 'Частн·ым решением системы (52.1). 52.2. Интегрирование нормальных систем Одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ является .метод сведен.и.я системы к одному ДУ въtсшего порядка. (Обратная задача - переход от ДУ к системе - рассмотрена выше на примере.) Техника этого метода основана на следующих соображениях. Пусть задана нормальная система (52.1). Продифференцируем по х любое, например первое, уравнение: d2y1 дfi дfi dy1 дfi dy2 дfi dуп -- = + - . - + - . - + ... + - . - . дх dx 2 ду1 dx ду2 dx дуп dx Подставив в это равенство значения производных ~, ~, ... , ~и; из системы (52.1), получим d 2 y1 дfi дfi дfi дfi Х Х Yl У2 Уп -d 2 = -д + -f) · fi + -д · f2 + · · · + 8 369 · fп, или, коротко, d 2y1 -2 dx = F2(x;y1;Y2; ... ;yn)· Продифференцировав полученное равенство еще раз и заменив значе- ния производных~' ... , ~11;' из системы (52.1), получим d3y1 - dx -3 =F3(х;у1;у2; ... ;уп)· Продолжая этот процесс (дифференцируем - подставляем - получа ем), находим: (52.3) dn dxl(t =Fn(x;y1;y2; ... ;yn)· Из первых (п-1) уравнений системы (52.3) выразим функции у2, уз, ... ... , Уп через х, ф ункцию У1 и ее производные у ' , у /1 , ••• , у (n-1) . П олу- - чим: 1 1 1 1 ' {у2 - .1, (х·' у1,. у'.1 >".,. y(n-1)) о/2 у _ ф (х·у ·у'· . ·у(п-1)) ~ -~- ..3.. .' .. ~ '.. ~::::: . ~ ...•. : уn -- (52.4) .1, (х· у . у'. . y(n-1)) o/n ' 1, 1' · · · ' 1 · Найденные значения yz, уз, ... , Уп подставим в последнее уравнение си- стемы (52.3). Получим одно ДУ п-го порядка относительно искомой функции У1= a;,'fP = Ф(х;у1 ;у~;.";у~п-l)). Пусть его общее решение есть У1 = ср1(х;с1;сz;".;сп)· Продифференцировав его (п - 1) раз и подставив значения производных у~, у~', ... , Yin-l) в уравнения системы (52.4), найдем функции У2, Уз,···, Yn= У2 = 1Р2(х; с1; с2; ... ; Cn), ... , Yn = 1Рп(х; С1; с2; ... ; Сп)· При.мер 52.1. Решить систему уравнений { ~ =4y-3z, ~~ = 2у- Зz. 370 Q Решение: Продифференцируем первое уравнение: у" = 4у' - Зz'. Подставляем z' у" - 4у 1 = 2у- 3z в полученное равенство: у" = 4у' - 3(2у- Зz), + 6у = 9z. Составляем систему уравнений: 4y-3z, { у'= у" - 4у' + 6у = 9z. Из первого уравнения системы выражаем z через у и у': 4у-у' (52.5) z= --3-. Подставляем значение z во второе уравнение последней системы: у 11 - 4 1 + 6 - 9( 4у - у') у У3 ' т. е. у" - у' - 6у = О. Получили одно ЛОДУ второго порядка. Решаем его: k 2 - k- 6 = О, ki = -2, k2 = 3 и у = с 1 е- 2 х + с2е 3 х - общее решение уравнения. Находим функцию z. Значения у и у' (с 1 е- 2 х + с2 е 3 х)' 2 3 = -2с1 е- х + Зс2 е х подставляем в выражение z через у и у' (форму = = ла (52.5)). Получим: Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеет вид у = С1 е- 2 х + с2е 3 х, z = 2с1 е- 2 х + ic2e3x. 8 Заме-чание. Систему уравнений (52.1) можно решать методом ин тегрируемъtх комбинациft. Суть метода состоит в том, что посредством арифметических операций из уравнений данной системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, т. е. легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции. Проиллюстрируем технику этого метода на следующем примере. Пример 52.2. Решить систему уравнений: { ~~~=у+ 1, dt = х + 1. Q Решение: Сложим почленно данные уравнения: х' +у' = х+у+2, или (х+у)' = (х+у)+2. Обозначим х+у = z. Тогда имеем z' = z+2. Решаем полученное уравнение: Z d+z 2 = dt, ln(z + 2) - lnc 1 = t, z + 2 = et С1 z + 2 = с1 et, или х + у = с1 et - 2. ' Получили так называемый nepвuft интеграл системы. Из него можно выразить одну из искомых функций через другую, тем самым 371 уменьшить на единицу число искомых функций. Например, у = с 1 et - - 2 - х. Тогда первое уравнение системы примет вид х' = c1et - 2 - х + 1, т. е. х' + х = c1et - 1. Найдя из него х (например, с помощью подстановки х = uv), найдем и у. Заме'Чание. Данная система «позволяет» образовать еще одну ин тегрируемую комбинацию: х' - у' = у - х, т. е. (х - у)' = -(х - у). Положив х - у = р, имеем: р' = -р, или 1:Е = -dt, lnp - ln с2 = -t, р р = c2 e-t, или х - у = c2 e-t. Имея два первых интеграо-~а системы, т. е. х +у = с 1 et - 2 и х - у = c2 e-t, легко найти (складывая и вычитая пер1 t - 2с2е 1 -t - 1. • ) , что х = 21 с1е t + 21 с2е -t - 1, у -- 2с1е вые интегралы 52.3. Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнений (52.1) в случае, когда она представляет собой систему ли неtiн'Ых однороднЪtх ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему d вида { : ~ ~·:.": _+ ~:'~ ~ +_ ~~~~~· dx = ап1У1 + ап2У2 + · · · + annYn· Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравне- ний с тремя неизвестными функциями У1, У2 и у3: ~ = анУ1 + а12У2 + а1зУз, 1 11п_ dx = az1Y1 + а22У2 + аzзУз, (52.6) ~ dx = аз1У1 + аз2У2 + аззУз, где все коэффициенты aij ( i, j = 1, 2, 3) - постоянные. Будем искать частное решение системы (52.6) в виде У1 =а· ekx, У2 = f3 • ekx, Уз= [ · ekx, (52.7) где а, (3, /, k-постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (52.7) удовлетворяли системе (52.6). Подставив эти функции в систему (52.6) и сократив на множитель ekx =j:. О, получим: ak = ана + ai2f3 + а~з/, { fЗk = а21а + а22/З + а2з/, f'k = аз1а + аз2/3 + азз/, 372 или { (а11 - k)a + a12f3 + а13')' =О, а21а: + (а22 - k)(З + а2з')' =О, (52.8) аз1а: + аз2f3 + (азз - k)f' =О. Систему (52.8) можно рассматривать как однородную систему трех ал гебраических уравнений с тремя неизвестными а, (3, 1'· Чтобы эта си стема имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы опре делитель системы был равен нулю: а1з а2з азз ~ =О. (52.9) k Уравнение (52.9) называется харакmерисmическим уравнени ем системы (52.6). Раскрыв определитель, получим уравнение тре тьей степени относительно k. Рассмотрим возможные случаи. Слу'Ча11 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны: ki, k2, k3 . Для каждого корня ki (i = 1, 2, З) напишем систе му (52.8) и определим коэффициенты a:i, fЗi, Т'i (один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким образом, получаем: для корня ki частное решение системы (52.6): ур) = a 1ek 1x, у~ 1 ) = _ (3 ek1x у(1) _ "' ek1x. - 1 ' 3 - 11 для корня k2 для корня kз - ' Yi2) = a2ek2x' у~2) = f32ek2x' у~2) = ')'2ek2x; ур) = а:зеkзх' у~з) = fЗзеkзх' у~з) = ')'зеkзх. Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систе му, общее решение системы (52.6) записывается в виде У1 = c1a1ek 1x + c2a:2ek 2x + с3а3еkзх, У2 = c1f31ek 1x + c2f32ek 2x + сзfЗзеkзх, Уз С1 ')'1 ekix + C2')'2ek 2x + С3')'3еkзх. = (52.10) При.мер 52.3. Решить систему уравнений: =у1 -у2, {~ 1:1п. dx -+ -4у1 У2· Q Решение: Характеристическое уравнение (52.9) данной системы имеет вид 1 1- k -4 -1 1 = 1- k о, или 1-2k+k2 -4 =О, k2 -2k-3 =О, k1 = -1, k2 = 3. Частные решения данной системы ищем в виде ур) = а 1 ekix, у~ 1 ) = (31 ek 1x и у?) = a 2ek 2 x, у~ 2 ) = (32 ek2 x. Найдем a:i и f31 (i = 1, 2). 373 При k1 = -1 система (52.8) имеет вид { (1- (-l))a1 - /31 =О, -4а1 + (1 - (-l))/31 =О, т. е. Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим а 1 = 1, тогда (31 = 2. Получаем частные решения (1) = е У1 -х При k 2 = 3 система (52.8) имеет вид - /32 =О, { -2а2 -4а2 - 2(32 = О. Положим а 2 = 1, тогда (32 = -2. Значит, корню k2 = 3 соответствуют частные решения: у~2) = езх и у;2) = _ 2 езх. Общее решение исходной системы, согласно формуле (52.10), запи- шется в виде: У1 = С1 е-х Cлy"taii, + с2е 3 х, У2 = 2с1 е-х - 2с2е 3 х. 8 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: k1 = а + ib, k2 = а - ib, k3 • Вид частных решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1. За.ме"lание. Вместо полученных частных решений можно взять их линейные комбинации (п. 50.1, случай 3), применяя формулы Эйле ра; в результате получим два действительных решения, содержащих функции вида еах · cos Ьх, еах · sin Ьх. Или, вьщеляя действительные и мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим два действительных частных решения (можно показать, что они тоже являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно сопряженный корень k 2 = а - ib не даст новых линейно независимых действительных решений. Пример 52.4. Найти частное решение системы \ ~=У1+У2, ~ = -у1 + У2 -у3, 0:1& dx = 3У2 +Уз, удовлетворяющее начальным условиям: У1(О) = 7, У2(О) = 374 2, Уз(О) = 1. О Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение: 1-k -1 1 1-k 3 о о -1 =0, 1- k (1 - k) · 11; k 1-=.\ \- 1·\~1 1-=.\ 1=о, (1 - k)(k 2k + 4) - (k - 1) (1 - k)(k 2k + 5) k1 = 1, k2 = 1+ 2i, = 1- 2i. =о, 2 - 2 - =о, kз Для k1 = 1 получаем: { о. а1 + /31 +о. 'Yl =о, -а1 + О · /31 - 'У1 = О, О · а1 + 3/31 + О · "(1 = О (см. (52.8)). Отсюда находим: /31 = О, а 1 = 1 (положили), 'У1 Частное решение системы: 1) = ех, у~ 1 ) = О, у~1 ) = -ех. Для k2 = 1+2i получаем (см. (52.8)): yi -1. -2ia2 + /32 =О, { -а2 - ~i/32 - 'У2 = О, 3/32 - 2i"(2 = о. Отсюда находим: а 2 = 1 (положили), /32 = 2i, 'У2 = 3. Частное комп лексное решение системы: Yi2) = e(l+2i)x, у~2) = 2ie(1+2i)x, у~2) = 3e(I+2i)x. В найденных решениях выделим действительную (Re) и мнимую (Im) части: yi2) = e(1+2i)x = ex(cos2x + isin2x), Re yi = ех cos 2х, Im yi = ех sin 2х; 2) 2) у~2 ) = 2ie(l+2i)x = ex(2icos2x - 2sin2x), Rey~2 ) = -2exsin2x, Imy~2 ) = 2excos2x; у~2 ) = 3e(l+ 2i)x = ex(3cos2x + i3sin2x), Rey~2 ) = 3ех cos2x, Как уже отмечено, корень k3 = Imy~2 ) = 3ех sin2x. 1 - 2i приведет к этим же самым реше ниям. 375 Таким образом, общее решение системы имеет вид У1 = с1ех + с2ех cos2x + сзех sin2x, = с1 ·О - 2с2ех sin 2х + 2сзех cos 2х, Уз = -С1 ех + 3с2ех cos 2х + 3сзех sin 2х. У2 Выделим частное решение системы. Пр~ заданных начальных услови~ ях получаем систему уравнений для определения постоянных с 1 , с2, сз: 7 = С1+С2+0, { 2 =О - О+ 2сз, ==> С1 = 5, С2 = 2, С3 = 1. 1 = -с1 + 3с2 + О, Следовательно, искомое частное решение имеет вид У1 = 5ех + 2ех cos 2х + ех sin 2х, У2 = -4ех sin 2х + 2ех cos 2х, Уз = -5ех + 6ех cos 2х + 3ех sin 2х. • Случаii, 3. Характеристическое уравнение имеет корень k кратно сти т (т = 2, 3). Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде: а) если т = 2, то У1 = (А+ Bx)ekx, У2 = (С+ Dx)ekx, Уз = = (Е + Fx)ekx; б) если т = 3, то у 1 = (А+ Вх + Cx 2)ekx, у 2 = (D + Ех + Fx 2)ekx, у3 = (G + Нх + Nx 2 )ekx. Это решение зависит от т произвольных постоянных. Постоянные А, В, С, ... , N определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через т из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим т ли нейно независимых частных решений системы (52.6). При.мер 52.5. Решить систему уравнений: ! 01& -- ~dx - У1 - У2 +Уз, rJш. dx - У1 dx - -у2 + У2 - Уз, + 2УЗ· Q Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение 1-k -1 1 1-k 1 -1 о -1 2-k 376 =0, (1- k)(2 - 2k - k + k 2 -1) - 1(-2+k+1) =О, kl = 2, k2 = kз = 1. Корню kl = 2 соответствует система (см. (52.8)): { -а:1- -/31/31- +'Yl'Yl= =о, а:1 о, {/31 =о, :==} а:1 - 'Yl =о. -/31 =о, Полагая 'Yl = 1, находим а: 1 = 1. Получаем одно частное решение ис ходной системы: ур) = е 2 х, у~ 1 ) =О, у~ 1 ) = е2х. Двукратному корню k = k 2 = k3 = 1 (т = 2) соответствует реше ние вида у~ 2 ' 3 ) = (А + Вх )ех, у~2 ' 3 ) = (С + Dx )ех, у~2 ' 3 ) = (Е + Fx )ех. Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы: В· ех +(А+ Вх)ех =(А+ Вх)ех - (С+ Dx)ex + (Е + Fx)ex, {D · ех +(С+ Dx)ex =(А+ Вх)ех +(С+ Dx)ex - (Е + Fx)ex, F · ех + (Е + Fx)ex =-(С+ Dx)ex + 2(Е + Fx)ex, или, после сокращения на ех "1 О и группировки, (D - F)x +В+ С - Е = О, { (В - F)x +А - D - Е =О, (D - F)x +С+ F - Е = О. Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда D-F=O, B-F =О, В+С-Е=О, A-D-E=O, C+F-E=O. = 2), например че = В. Тогда, с учетом пер Выразим все коэффициенты через два из них (m рез А и В. Из второго уравнения имеем F D = В. Из четвертого уравнения находим D, т. е. Е =А - В. Из третьего уравнения: С= Е - В, т. е. С = А- В - В, или С = А- 2В. Коэффициенты А и В - произвольные. Полагая А = 1, В = О, находим: С = 1, D = О, Е = 1, F = О. Полагая А= О, В= 1, находим: С= -2, D = 1, Е = -1, F = 1. вого уравнения, получаем Е =А - Получаем два линейно независимых частных решения, соответ- ствующих двукратному корню k = 1: (2) _ ех у1 -, ур) =хех, у(2) _ ех 2-, у~з) = (-2+х)ех, у(2) _ ех 3- и у~з) = (-1+х)ех. Записываем общее решение исходной системы: У1 = с1е 2 х + с2ех + сзхех, Уз= с1е 2 х У2 = с2ех + сз(х - 2)ех, + с2ех + сз(х - 1)ех. 8 Глава XI. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 Лекции 44-46 1 § 53. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 53.1. Основные понятия и определения Обобщением определенного интеграла на случай функций двух пе ременных является так называемый двойной интеграл. Пусть в замкнутой области D плос у кости Оху задана непрерывная функция z = f(x;y). Разобьем область D на п «элементарных областей» Di (i = 1, п), площади которых обозначим через лsi, а диаметры (наибольшее расстояние ме --i---------x- -0 жду точками области) - через di (см. рис. 214). В каждой области D i выберем про извольную точку Mi(x,; Yi), умножим значение f(xi; Yi) функции в этой точке Рис. 214 на дS; и составим сумму всех таких произведений: n f(x1;Y1)ЛS1 + f(x2; У2)ЛS2 + · · · + f(хп; Yn)ЛSn = L f(xi;Yi)дSi. i=l (53.1) Эта сумма называется интегра.л:ьноi1 сум.моii, функции f(x; у) в обла сти D. Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда п стремит ся к бесконечности таким образом, что maxdi -+О. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на ча сти, ни от выбора точек в них, то он называется iJвoii,нuм интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается// f(x;y)dxdy (или / / f(x;y)ds). D ~ D Таким образом, iJвohнoii, интегра.л. определяется равенством n / / f(x;y)dxdy = D ~ Lf(xi;y;). лsi. (53.2) (max ci;--+0) i=l В этом случае функция об,11,асти JL"Jo D; D - f(x;y) называется интегрируемоit в область интегрирования; х и у - менные интегрuровани..я; dx dy (или dS) - 378 пере эл.емент n.лoщaiJu. Для всякой ли функции f (х; у) существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь без доказательства. Теорема 53.1 (достаточное условие интегрируемости функции). Если функция z = f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области. Заме'Чаnи.я. 1. Далее будем рассматривать толь у ко функции, непрерывные в области инте грирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций. Лу; 2. Из определения двойного интегра ла следует, что для интегрируемой в обла сти D сумм функции существует предел и не интегральных зависит от спосо Лх; о ба разбиения области. Таким образом, мы х Рис. 215 можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 215). При этом ЛSi = Лхi · Луi, равенство (53.2) можно записать в виде j j f (х; у) dx dy = n ·Ji..IIJo L, f (xi; у;) · Лх; · Луi. (max d;--+0) i=l D 53.2. Геометрический и физический смысл двойного интеграла Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу. Объем цилиндрического тела Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z = ~О, снизу - замкнутой областью D плоскости Оху, с боков - f(x; у) ~ цилин дрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 216). Такое тело называется цилиндрu'Ческим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z = f(x;y) на плоскость Оху) произ вольным образом на п областей D;, площади которых равны ЛSi (i = = 1,п). Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями Di, огра ниченные сверху кусками поверхности z = 379 f(x; у) (на рис. 216 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием Di через дVj, получим n V= LдVi. z z=f(x;y) i=l Возьмем на каждой площадке Di произ вольную точку Mi(xi; Yi) и заменим ка ждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием Di и высотой z; = 1 ! :...:-:---- f(xi; Yi). Объем этого цилиндра приближенно ра 1 f(x;; у;) вен объему д Vi цилиндрического столби ка, т. е. дVj ~ f(XiiYi) · дS;. Тогда полу ' 1 1 1 1 чаем: у D n п i=l i=l L дVi ~ L f (xi; y;)дSi. (53.3) V = Это равенство тем точнее, чем больше чиело п и чем меньше размеры «элементар Рис. 216 ных областей» D;. Естественно принять предел суммы (53.3) при условии, что число площадок D; неограничен но увеличивается (п -+ оо), а каждая площадка стягивается в точку (maxdi-+ О), за объем V цилиндрического тела, т. е. п V = lim n---too ~ f (х;; y;)дSi, ~ (maxd;-+0) i=l или, согласно равенству (53.2), V = jj f(x;y)dxdy. (53.4) D Итак, вели'Ч.uна двоtJ,ного интеграла от неотрицательноtl, фующии равна обr,ему цил1тдри'Ч.еского тел.а. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла. Масса плоской пластинки Требуется найти массу т плоской пластинки D, зная, что ее по верхностная плотность 'У= 'У(х; у) есть непрерывная функция коорди нат точки (х;у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей Di (i = 1, п), площади которых обозначим через дSi. В каждой области Di возьмем произвольную точку М;(х;; у;) и вычислим плотность в ней: "((Xii У;). Если области D; достаточно малы, то плотность в каждой точке (х; у) Е D; мало отличается от значения 'Y(Xii у;). Считая приближен но плотность в каждой точке области Di постоянной, равной 'Y(Xii Yi), 380 можно найти ее массу mi: mi ~ "f(Xii Yi)·дSi. Так как массаm всей пла n стинки D равна т = L;mi, то для ее вычисления имеем приближенное равенство i=l п т~ L /(Xij Yi) . дSi. (53.5) i=l Точное значение массы получим как предел суммы (53.5) при условии п ~ оо и max di ~ О: '°' 1(xi; Yi)дSi, п т= lim n-+oo L (maxd;-+0) i=l или, согласно равенству (53.2), т = jj ')'(x;y)dxdy. (53.6) D Итак, двойной интеграл от функции 1(х; у) численно равен мас се пластинки, если подынтегральную функцию ')'(х; у) считать плотно стью этой пластинки в точке (х;у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла. 53.3. Основные свойства двойного интеграла Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения инте грала функции одной переменной на отрезке (см. § 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства (см. § 38). Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынте гральные функции интегрируемыми. 1. j j с· f(x;y) dxdy =с· jj f(x; у) dxdy, с D const. D 2. jjU1(x;y) ±f2(x;y))dxdy = jj fi(x;y)dxdy± j j f2(x;y)dxdy. D D D 3. Если область D разбить линией на две обла сти D1 и D2 такие, что D1 U D2 = D, а пересече ние D 1 и D 2 состоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 217), то JJ D f(x;y)dxdy = jj f(x;y)dxdy+ jj f(x;y)dxdy. ~ ~ 381 Рис. 217 4. Если в области D имеет место неравенство J(x; у) ~ О, то и JJ f(x;y)dxdy ~О. Если в области D функции f(x;y) и r.p(x;y) удо D влетворяют неравенству f(x; у) ~ r.p(x; у), то и JJ f(x;y)dxdy ~ j Jr.p(x;y)dxdy. D 5. D JJdS = S, так как f:, дS; = S. D i=1 6. Если функция f(x; у) непрерывна в замкнутой области D, пло щадь которой S, то mS:::;; JJ f(x;y) dxdy:::;; MS, где т и М - соответ D ственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D. 7. Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, пло щадь которой S, то в этой области существует такая точка (х 0 ; у 0 ), что JJ f(x;y) dxdy = f(xo;Yo) · S. Величину f(x 0 ;y0 ) = ~ · D JJ f(x;y)dxdy D называют средним зншчением фун-х;цuи f(x; у) в области D. 53.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последо вательному вычислению двух определенных интегралов. Пусть требуется вычислить двойной интеграл JJ f(x; у) dxdy, где D функция f (х; у) ~ О непрерывна в области D. Тогда, как это было показано в п. 53.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрическо го тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x;y). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было показано, что ь V = JS(x)dx, а где S(x) - площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а х = а, х = Ь - уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело. 382 Положим сначала, что область D представляет собой криволиней = а и х = Ь и кривыми у = ную трапецию, ограниченную прямыми х = <р1(х) и у = <р2(х), причем функции <р1(х) и <р2(х) непрерывны и таковы, что <р1(х) ~ <р2(х) для всех х Е [а;Ь] (см. рис. 218). Такая область называется прави.л:ьноi1 в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках. Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендику лярной оси Ох: х = const, где х Е (а; Ь]. z у О а ьх х Рис. 218 Рис. 219 В сечении получим криволинейную трапецию АБС D, ограничен ную линиями z (см. рис. 219). = f(x; у), где х = const, z = О, у = <р1 (х) и у = <р2(х) Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла 'Р2 ( х) S(x) = J f(x; у) dy. 'Pl ( х) Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так: Jь S(x)dx = Jь( <р2(х) J f(x;y)dy dx. ) V = а а <р1(х) С другой стороны, в п. 53.2 было доказано, что объем цилиндриче ского тела определяется как двойной интеграл от функции f(x;y) ~О 383 по области D. Следовательно, jj f(x;y)dxdy = V = i( rpfx) а D f(x;y)dy) dx. <р1(х) Это равенство обычно записывается в виде Ь 'Р2(х) jj f(x;y)dxdy= j dx· j а D f(x;y)dy. (53.7) <р1(х) Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного инте грала в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) назы вают двукратним (или nовторнъ~м) интегралом от функции f(x; у) по <р2 (х) области D. При этом j f(x; у) dy называется внутренним интегра 'Р1 ( х) лом. Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутрен ний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от адо Ь. Если же область D ограничена прямыми у = с и у = d (с < d), кривыми х = 'Ф1 (у) их= 'Ф2(у), причем 'Ф1(У) ~ 'Ф2(У) для всех у Е [с; d], т. е. область D плоскостью у= nравилъна.я в направлении оси Ох, то, рассекая тело const, аналогично получим: d Ф2(У) jj f(x;y)dxdy= j dy· j D с f(x;y)dx. (53.8) .Р1(У) Здесь, при вычислении внутреннего интегра.,т1а, считаем у постоянным. Заме'Ч,ани.я. 1. Формулы (53.7) и (53.8) справедливы и в случае, когда f(x;y) < <О, (х;у) Е D. 2. Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (53.7), так и по форму ле (53.8). 3. Если область D не является правильной ни «по х», ни «по у», то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси Ох или оси Оу. 4. Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные. 384 Пример 53.1. Вычислить JJ<x + 2y)dxdy, где область D огра D ничена линиями у Q Решение: На = х 2 , у = О, х + у - 2 = О. рисунке 220 изображена область интегрирования D. Она правильная в направлении оси Ох. Для вычисления дан ного двойного интеграла воспользуемся фор мулой (53.8): 2-у 1 J J (х + 2у) dx dy = J dy о D = J (х + 2у) dx = ~ Р~.~ ! (х22 + 2ух )l ~ = /1(( ~ у)2 + 4у 2у 1 2-y dy 2 о - 3 'у2 - 2у 2 )dy = 2 - о 5 = ((у - 2)3 + 7 . у2 - 2 . уз - 2 . 2 . у 2 ) 11 = 6 2·2 3 5 о 1 8 7 2 4 29 = - - + - + - - - - - = - = 1 45. 6 6 4 3 5 20 ' Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла мож но воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область D следует разбить на две области: D 1 и D 2 • Получаем: J J J (х + 2у) dx dy = J J (х + 2у) dx dy + J (х + 2у) dx dy = D ~ ~ х2 1 2-х 2 J (х + 2у) + (х + 2у) j -(ху + у2)1х2 + j (ху + у2)12-х = = J(х + х ) + J(2х х + х) ) = = dx J о dy о = о 1 dx dx. о о 1 о 1 2 3 о dy = J dx J 4 dx - 2 (2 - 2 dx 1 х5)11 + (2 х3 (х-2)3)12--(х4 -+х --+ 4 5 о 3 3 1 = (~4 + ~) + (4 - 1 - ~+~+о+~) = ~ + 3 - 2 = 1 45. 5 3 3 3 20 ' Ответ, разумеется, один и тот же. 8 385 53.5. Вычисление АВОЙноrо интеграла в полярных КООРАИНатах Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного инте грала. Определим преобразование независимых переменных х и у (замену переменных) как х =<р(и;v) и y='lj;(u;v). (53.9) Если функции (53.9) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель I(u;v) = 1 : : ди а функция (53.10) ,, дv f (х; у) непрерывна в области D, то справедлива форму.л,а замени переменных в двоitном и-нтегра.л,е: JJf(x;y)dxdy = JJ f(ip(u;v);'lj;(u;v)) · /I(u;v)/dudv. D (53.11) D• Функциональный определитель называется (53.10) Якоби или якобиа-ном (Г. Якоби - оnреде.л,ителем немецкий математик). Доказатель ство формулы (53.11) не приводим. Рассмотрим частный слуЧай замены переменных, часто используе мый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат х и у полярными координатами r и <р. В качестве и и v возьмем полярные координаты r и <р. Они связаны с декартовыми координатами формулами х = r cos ер, у = r sin ер (см. п. 9.1). Правые части в этих равенствах - непрерывно дифференцируе мые функции. Якобиан преобразования определяется из (53.10) как I(r;ip) = 1: g: !!.JL дr д'{) l=lcoscp sin 1t0 .,., -r sin <р 1 = r. rcos ер Формула замены переменных (53.11) принимает вид: JJ f(x; у) dx dy = jj f(rcos <р; r sin;p) · r · drdcp, D (53.12) D• D* - область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат. где Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах при меняют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если 386 область D* имеет вид, изображенный на рисунке 221 (ограничена лу чами v; =а и v; = /3, где а< /3, и кривыми r = r 1(v;) и r = r 2(v;), где r1(v;) ~ r2(v;), т. е. область D* правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы (53.12) можно записать в виде т2(1Р) (3 JJ r·f(rcosv;;rsinv;)drdЧ? = Jdv; J r·f(rcosv;;rsinv;)dr. (53.13) т 1 (<р) а D• Внутренний интеграл берется при постоянном v;. х Рис. 221 Рис. 222 Заме""ани.я.. 1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтеграль ная функция имеет вид f(x 2 + у 2 ); область D есть круг, кольцо или часть таковых. 2. На практике переход к полярным координатам осуществляет = r cos v;, у = r sin v;, dx dy = r dr dv;; уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют, ся путем замены х а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нуж ные пределы интегрирования по r и v; (исследуя закон изменения r и v; точки (r; v;) при ее отождествлении с точкой (х; у) области D). Пример 53.2. Вычислить круг х 2 +у 2 ~ 9. JJJ9 - х2 - у2 dx dy, где область D D Q Решение: Применив формулу (53.12), перейдем к полярным коорди натам: JJ Jg - х2 -у2 dxdy = JJ Jg - (rcosv;) 2 - (rsinЧ?)2 · rdrdЧ? = = JJ r · Jg - drdЧ?. D D r2 Область D D в полярной системе координат определяется неравен ствами (см. рис. 222) О ~ v; ~ 2?Г, О ~ r ~ 3. Заметим: область D 387 преобразуется в область D* круг - - прямоугольник. Поэтому, со гласно формуле (53.13), имеем: 3 211" jj r· Jg - r 2 dr dip = j dip j r · Jg - r 2 dr = D О 1 211" 3 О 1 1 211" =-2Jaipj(9-r2)2·d(9-r2)=-2/dip( о о 3 (9 2) 2 -r3 2 . 3 )\о= о 1 = - 3 2л f (О - 27) d;p = 9<р1 0 = l87r. 211" 8 о 53.б. Приложения двойного интеграла Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла. Объем тела Как уже показано (п. 53.2), объем цилиндрического тела находится по формуле V = jj f(x;y)dxdy, D где z = f (х; у) - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху. ПлощаАь плоской фигуры Если положить в формуле (53.4) f(x; у) = 1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н = 1. Объем тако го цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D: S = jj dxdy, D или, в полярных координатах, Масса плоской фигуры Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки D с перемен ной плотностью 'У= 1(х; у) находится по формуле т= j j 1(x;y)dxdy. D 388 Статические моменты и кооминаты центра тяжести плоской фигуры Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см. 11. 41.6) могут быть вычислены по формулам Sx = JJ y·1(x;y)dxdy и Sy = JJ X·"'f(x;y)dxdy; D D а координаты центра масс фигуры - Sy - Хе= И по формулам Sx Ус=-. т т Моменты инерции плоской фигуры Моментом 1терции материа.л:ьноii, то-чки массы т относительно оси l называется произведение массы т на квадрат расстояния d точки до оси, т. е. М1 = т · d2. Моменты инерции плоской фигуры относитель но осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам: Мх = JJ у ·'Y(x;y)dxdy, Му = 2 D JJ х ·"'f(x;y)dxdy. 2 D Момент инерции фигуры относительно начала координат - по форму ле Лfо = Мх +Му. Заме-чание. Приведенными примерами не исчерпывается примене ние двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного ин теграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3). Пример Найти объем тела, огра ниченного поверхностями х 2 у2 - z 1= О и 53.3. + х 2 + у 2 + 3z - 7 = О. z + Q Решение: Данное тело ограничено двумя параболоидами (см. рис. 223). Решая систему { х22 + у22 = z - 1, х находим + у = -3z + 7, уравнение линии их у пересечения: х 2 + у 2 = 1, z = 2. Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием Рис. 223 (круг х2 + у 2 ~ 1) и ограниченных сверху соответственно поверхностя ми z = !(7 - х 2 - у 2 ) и z = 1 + х 2 + у 2 • Используя формулу (53.4), имеем V = V1 - V2 = JJ ~(7 - х2 -у2 ) dxdy - jj(I + х2 + у 2 ) dxdy. D D 389 Переходя к полярным координатам, находим: JJ (7 - r )r · drdr.p - JJ (1 + r )r · drdr.p = = 3 J dr.p J(7r - dr - J dr.p J(r + dr = V =~ 2 2 D D 1 1 211" 1 211" r 3) о r 3) о о о !3 (~2 - !) .r.p,211" - (!2 + !) .r.pl21r = 12 13 • 271" - ~. 27Г = ~71". 4 4 4 3 = о При.мер 53.4. • о Найти массу, статические мо менты Sx и Sy и координаты центра тяжести фигу ры, лежащей в первой четверти, ограниченной эл2 липсом у 2 = 1 и координатными осями (см. у 1 4+ рис. 224). Поверхностная плотность в каждой точке 2 о фигуры пропорциональна произведению координат х Рис. 224 точки. Q Решение: По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию, 'У= "((х;у) = k · ху, где k - коэффициент пропорциональности. р; J J у =2j х т = j kxy dx dy = k j х · dx 2 dy О D k О 2 О dx · у2 lp; = 4 О k = -2k · -41 / х( 4 - х 2 ) dx = -k8 ( 2х 2 - -х44 ) 2о = -2· 2 1 о Находим статические моменты пластинки: г:-7 v·-4 2 Sx = JJу · kxy dx dy = k Jх dx ! D О j j х · kxy dx dy = k j х 2 dx D 2 4 dy = ... = 15k, о 2 Sy = у О ~ v·-4 ! у = ... = 185 dy k. о Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы 16 у -- 15. 8 х -- Si. и у -- Si... х -- 15, с т с т с с 390 • § 54. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 54.1. Основные понятия Обобщением определенного интеграла на случай функции трех пе ременных является так называемый «тройной интеграл». Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интегра ла. Поэтому изложим ее в несколько сокращенном виде. Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz задана 11епре рывная функция и= f(x; у; z). Разбив область V сеткой поверхностей Vi (i = 1, п) и выбрав в каждой из них произвольную точ n ку Mi(xi; Yii zi), составим интегральную сумму 2:: f (xi; Yii Zi)д Vi для i=l функции f (х; у; z) по области V (здесь д Vi -объем элементарной облана п частей сти Vi). Если предел интегральной суммы существует при неограничен ном увеличении числа п таким образом, что каждая «элементарная область» Vi стягивается в точку (т. е. диаметр области di стремится к нулю, т.е. di-+ О), то его называют троi1'Н:ым интегралом от функции и= f(x; у; z) по области V и обозначают jjj f(x;y;z) ·dxdydz (или jjj f(x;y;z)dv). v v Таким образом, по определению, имеем: n jjj f(x;y;z) ·dxdydz = JhIIJo Lf(xi;Yi;zi)дVi = v (maxd;-+0) i=l = Здесь dv = dx dy dz - JJJ f(x;y;z)dv. v (54.1) элемент объема. Теорема 54.1 (существования). Если функция и= f(x; у; z) непре рывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной (54.1) при п -+ оо и maxdi -+ О существует и не зависит V на части, ни от выбора точек Mi(xi; Yi; zi) в них. суммы ни от способа разбиения области Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл: 1. jjj c·f(x;y;z)dv=c· jjj f(x;y;z)dv, c-const. v v 391 2. JJJU1(x;y;z) ± f2(x;y;z))dv = v = JJJ fi(x;y;z)dv± JJJ f2(x;y;z))dv. v v 3. JJJ f(x;y;z)dv = JJJ f(x;y;z)dv + JJJ J(x;y;z)dv, если V = V1 V Vz = V1 U V2 , а пересечение Vi и V2 состоит из границы, их разделяющей. 4. J J J j(x; у; z) dv ~ О, если в области V функция f(x; у; z) ~ О. v Если в области интегрирования f(x; у; z) ~ 1i0(x; у; z), то и JJJ f(x;y;z)dv ~ J JJ 1i0(x;y;z)dv. v v j 5. JJ dv = V, так как в случае f(x;y;z) = 1 любая интегральная V n сумма имеет вид Ед Vi = V и численно равна объему тела. i=l 6. Оценка тройного интеграла: т · V::::; JJJ f(x;y;z)dv::::; М · V, v где т и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения функ ции f(x;y;z) в области V. 7. Теорема о среднем значении: если функция f(x;y; z) непрерыв на в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка Мо(хо; Уо; zo), что j J J f(x; у; z) dv = f(xo; Уо; zo) · V, v где V - объем тела. 54.2. Вычисление тройного интеграла в Аекартовых координатах В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводит ся к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Пусть областью интегрирования V является тело, ограниченное снизу поверхностью z = z1 ( х; у), сверху - поверхностью z = причем z1 (x; у) и z2(x; у) (z1 (х; у) ::::; z2(x; у)) - z2 ( х; у), непрерывные функции в замкнутой области D, являющейся проекцией тела на плоскость Оху 392 (см. рис. 225). Будем считать область V - прави.11ьно1J. в направле нии оси Oz: любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в области V функции f (х; у; z) имеет место формула z2(x;y) JJJ f(x;y;z)dv= JJ( J f(x;y;z)dz)ds, V D (54.2) z1(x;y) сводящая вычисление тройного интеграла к вычислению двойного ин теграла от однократного (доказательство формулы (54.2) не приводим). При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z при постоянных х и у в пределах изменения z. Нижней границей инте грала является аппликата точки А - точки входа прямой, параллель ной оси О z в область V, т. е. z = z 1 ( х; у); верхней границей точки В - точки выхода прямой из области V, т. е. аппликата z = z2 (x; у). Ре зультат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных: х и у. у ...... ' . .. ... .................... ................. . .. ... .... .. ... . ' :::::::::::::::::n::::::::::::::::: .. .. ..... .. . . .. ' О ьх а Рис. 225 Рис. 226 = Если область D ограничена линиями х =а, х = Ь (а< Ь), у ip 1 (х) и у= ip2(x), где ip1(x) и ip2(x) - непрерывные на отрезке [а, Ь] функции, причем ip 1 (х) ~ ip2(x) (см. рис. 226), то, переходя от двойного интеграла по области D к повторному, получаем формулу Ь <р2(х) z2(x;y) JJJ f(x;y;z)dxdydz= j dx J dy J f(x;y;z)dz, V а <р 1 (х) (54.3) z1(x;y) по которой вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах. 393 Заме'Чания. 1. Если область V более сложная, чем рассмотренная, то ее следует разбить на конечное число таких областей (правильных), к которым можно применить формулу (54.3). 2. Порядок интегрирования в формуле (54.3), при определенных условиях, может быть иным. Пример 54.1. Вычислить JJJ (х + z) dxdydz, v у где V ограничена плоскостями х = О, у = О, z = 1, х +у+ z = 2 (рис. 227). Q Решение: Область V является правильной Рис. 227 в направлении оси Oz (как, заметим, и в направлении осей Ох и Оу). Ее проекция на плоскость Оху является пра вильной в направлении оси Оу (и оси Ох). Согласно формуле (54.3), имеем: J Jx Jjj(x+z)dxdydz= dx v о 1 z2 2-х-у Jdx J dy · (xz + 2 ) / = 1 о = о 2 J-y(x+z)dz= 1-х 1 = dy о Jdx J (2х - х - ху - х + - х2 - у - 2) dy = 1-х 1 о = (2 2 1 )2 о 1dx 1 ( у2 2 ху - х у - х 2 1 ) ,1-х - (2 - х6 - у)з - "2у = 0 о = ](х-х2-х2+хз_х(l;х)2 -~+ (2~х)з -~+~x)dx= о =а.х; _ 2 _х; +х44 -~(~2 _ 2 .х; +х:)-~·х-(2;4х) 4 )\:= 3 2 1 1 2 1 16 1 = 4 - 3 + 4 - 24 - 3 - 24 + 24 = 4. 394 • 54.З. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто приме няется метод подстановки, т. е. совершается преобразование перемен ных. Пусть совершена подстановках = ip(и;v;w), у= ф(и;v;w), z = = х(и; v; w). Если эти функции имеют в некоторой области V* про странства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель I(u ·, v·, w) = дх ди дх дv дх дw !!.JL ди l!JJ. дv !!.JL дw дz ди дz дv дz дw то справедлива формула замени переменних в тройном интеграле: jjj f(x;y;z) dxdydz = v = jjj f(ip(и;v;w);ф(и;v;w);x(и;v;w)) · II(и;v;w)ldиdvdw. (54.4) v· Здесь I(u;v;w) определитель Якоби, или якобиан преобразования - (примем без доказательства). Для часто вычисления тройного используют так интеграла называемые цилин z дрические координаты. Положение точки М(х; у; z) в простран M(x;y;z) стве Oxyz можно определить заданием трех чисел r, <р, z, где r - M(r; ер; z) z длина радиуса-вектора проекции точки М на плоскость Оху, <р - у угол, образованный: этим радиусом-векто ром с осью Ох, z - аппликата точки М (см. рис. 228). Эти три числа (r, <р, z) называются ци Рис. 228 линдри"tескими координатами точки М. Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми ко ординатами следующими соотношениями: J х = r · cos <р, у = r · sin <р, z= zJ (r ~ О, 'РЕ [О; 2п], z Е IR). 395 Возьмем в качестве и; v, w цилиндрические координаты r, rp, z и вычислим якобиан преобразования: I(r·, m·, r z) = дх дr &rp дх дх дz S!.1L дr !!JL д<р S!.1L дz дz дr дz д<р дz дz cos rp sin rp -r sin ер о rcosrp О о о 1 =r;;::: О. Формула замены переменных (54.4) принимает вид JJJ f(x;y;z)dxdydz = JJJ f(rcoscp;rsincp;z)rdrdcpdz. v (54.5) v· Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к инте грированию r, по rp и по z аналогично тому, как это делается в по декартовых координатах. Заме-ч,ание. К цилиндрическим координатам бывает удобно перей ти в случае, если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью. При.мер 54. 2. Вычислить JJJz · dx dy dz, где V - область, огра v ниченная верхней частью конуса х2 + у 2 = z 2 и плоскостью z = 1. Q Решение: На рис. 229 изображена область интегрирования V. Вы = числим интеграл путем перехода к цилиндрическим координатам: х = r · coscp, у= r · sincp, z = z. Здесь dxdydz = r · drdcpdz. Уравнение конуса примет вид r 2 cos 2 cp+r 2 sin2 ср = z 2 , т. е. z r. Уравнение окруж = ности х 2 + у 2 = 1 (границы области D) запишется так: r = 1. Новые переменные изменяются в следующих пределах: r О до 2к, а z - от О до 1, ер - - от от r до 1 (прямая, параллельная оси Oz, пересекающая область D, входит в конус z = r и выходит из него на высоте z = 1). Таким образом, согласно формуле (54.5), получаем: 27Т 1 1 JJJz dx dy dz = JJJz · r · dr drp dz = J dcp Jr d1· Jz dz = V V 27Т = О 1 2 1 2ir r О 1 1 2 J dcp Jr dr · z2 = J dcp Jr · ( 2 - r2 ) dr = 1r о о о 271" о r4 r2 1 1 27r 1 2ir J dcp · ( 4 - 8) lo = 8 J drp = 8 · 'Pjo о 7Г = 4· о Заметим, что, не переходя к цилиндрическим координатам, получим: 1 ~ -1 -~ 1 JJJz · dx dy dz = J dx J dy J z · dz. V 396 Jx2+y2 • z z М(х· у· z) , M(pi <р; 8) z=l 1 1 1 1 у 1 у Рис. 230 Рис. 229 Сфери'Ческими координата.ми точки М(х; у; z) пространства Oxyz называется тройка чисел р, ip, (},где р - М, ifJ - длина радиуса-вектора точки угол, образованный проекцией радиуса-вектора ОМ на плос кость Оху и осью Ох, (} - угол отклонения радиуса-вектора ОМ от оси Oz (см. рис. 230). Сферические координаты р, ip, (} связаны с декартовыми коорди натами х, у, 1 z соотношениями: х = pcosip · sinO, у= psinip · sinO, z = pcos(} 1 (р ~ о, о ~ ip ~ 27r, о~ (} ~ 1Г). В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно про изводить, перейдя к сферическим координатам. Для этого нужно вос пользоваться формулой замены переменных в тройном интеграле (54.4). Так как якобиан преобразования COS ipSill (} - р sin ер sin (} р cos ер cos (} I(r; <р; z) = sin <р sin (} р cos ер sin (} р sin ер cos (} о -psinO cos (} . . (} 1 sin ер sin (} = р sm ер sш · cos (} р sin ер cos (} 1 . (} -psm + . + р cos ер sш (} . 1 cos ер sin (} (} cos pcOSipCOS01-psin(} - = р sin ер sin О( -р sin ер sin2 (} - р sin epcos 2 О)+ + р cos ер sin О( -р cos ер sin2 (} - р cos ер cos2 О) = = - р2 sin2 ifJ sin (} · 1 - р2 cos2 ер sin (} · 1 = - р 2 sin (} · 1 = - р2 sin (}, то JJJ f(x;y;z)dxdydz = v 397 = JJJ f(pcosrpsinO; psinrpsinO; pcosO) · р 2 sinO · dpdrpdO. (54.6) v• Замечание. Переходить к сферическим координатам удобно, когда область интегрирования V есть шар (уравнение его границы х 2 + у 2 + + z 2 R 2 в сферических координатах имеет вид р R) или его часть, а также если подынтегральная функция имеет вид f(x 2 + у 2 + z 2 ). = = Прuмер 54.3. Вычислить JJJ dx · dy · dz v 1 + (х2 + у2 + z2)2 - l , шар х 2 + у 2 + z 2 :::; 1. где V - Q Решение: Вычислим интеграл путем перехода к сферическим коор динатам: х = pcosrpsinO, у= psinrpsinO, z = pcosO. Тогда dV = dx dy dz = р 2 sin О dp drp dO. сфера и ее уравнение имеет вид р = 1, подынте Граница области V - гральная функция после замены переменных примет вид ( 12 3 ; 2 , 1+ р ) 1 . Новые переменные изменяются в следующих пределах: р т. е. ~l +р от О до 1, rp - от О до 27Г, О - от О до 7Г. Таким образом, согласно фор- муле (54.6), 1 I = JvJJ + рз р2 7Г 27Г 2 1 JsinOdO J drp J1 : рз dp = 1 1 1 = Jsin О dO J drp ( З ln 11 + p I) = Jsin О dO J 3ln 2 drp = 1 ,.2 ,.= З ln 2 Jsin () dO · rp = ; ln 2 Jsin О dO = · 7Г sinOdpdrpd() = о 27Г 3 о о о о 7Г 1 2,.- j0 о о 127Г 0 о о 27Г 47Г = 3 1n2(-cos0) !,.-0 = 3 1n2. 54.4. Некоторые приложения тройного интеграла Объем тела Объем области V выражается формулой V = JJJdv или v V = JJJdx dy dz - в декартовых координатах, v 398 • JJJr dr di.p dz - в цилиндрических координатах, v V = JJJр2 sin (} dp d'fJ d(} - в сферических координатах. V = v Масса тела Масса тела т при заданной объемной плотности 'У вычисляется с помощью тройного интеграла как т= JJJ 1(x;y;z)dxdydz, v где 1(х; у; z) объемная плотность распределения массы в точке - M(x;y;z). Статические моменты Моменты Sxy, Bxz, Syz тела относительно координатных плоско стей Оху, Oxz, Oyz вычисляются по формулам Sxy = Jj Jz · 1(х; у; z) dv, Syz = v Jj Jх · 1(х; у; z) dv, v Bxz= jjj y·1(x;y;z)dv. v Центр тяжести тела Координаты центра тяжести тела V находятся по формулам Syz Bxz Хе=-, т Ус=-, т Sxy Zc = --. т Моменты инерции тела Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам Ixy = JJJ z ·1(x;y;z)dv, lyz = JJj х2 ·1(x;y;z) dv, v v lxz= JJJ y ·1(x;y;z)dv, 2 2 v а моменты инерции относительно координатных осей: lx = JjJ(у 2 +z2 )·1(х; у; z) dv, ly = JJJ(х 2 +z2 )·1(х; у; z) dv, v v 2 2 lz = JJJ(х +у ) ·1(x;y;z)dv_. v Пример 54.4. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = х 2 + у 2 и z = 1. 399 Q Решение: Данное тело ограничено сверху плоскостью z = 1, снизу параболоидом z = х 2 +у 2 (см. рис. 231). Объем тела находим, используя цилиндрические координаты: 21Г 1 1 V = 111 r · dr dcp dz = / dcp 1 r · dr 1 dz = V О 21Г О r2 21Г 1 = 1dcp1r(l-r2)dr=1 о о 1 1 1 21Г 7Г (2 - 4)dcp = 4'Pjo = 2· 8 о 1 у у Рис. 231 Рис. 232 Пример 54.5. Найти массу шара х 2 + у 2 + z 2 ~ 2Rz, если плот ность в каждой точке шара обратно пропорциональна расстоянию от нее до начала координат (дополнительно: найти координаты центра тяжести). Q Решение: Уравнение сферы х 2 + у 2 + z2 = 2Rz можно записать так: х 2 + у 2 + (z - R) 2 = R 2 • Центр шара расположен в точке 01 (О; О; R) (см. рис. 232). Пусть M(x;y;z) - произвольная точка шара. Тогда, по условию, плотность 'У определяется формулой k "'(х· у· z) - ---;::==== 1 ' где k - ' - - / ух 2 +у 2 +z 2' коэффициент пропорциональности, J х2 + у2 + z 2 - расстоя ние от точки М до начала координат. Итак, т = 111 'Y(x;y;z) dv = v JJv J Jx 2 +ky 2 + z 2 dv. Вычислять интеграл будем в сферических координатах. Уравнение сферы х 2 + у 2 + z 2 = 2Rz примет вид р 2 = 2Rp · cosB, т. е. р = 2RcosB. 400 Поэтому сферические координаты будут изменяться в следующих пре делах: р - от О до 2Rcos8; () - гральная функция примет вид т= от О до ~; 'Р - от О до 211". Подынте- ~ = k. Поэтому VP 2 р 1[ k 21Г 2 2Rcosll JvJJ-· р2 sin () dp d'P d() = k J d'P Jsin () d() J р dp = р о о о 7Г 27Г 2 71" 27Г 1 2 = k J d'P Jsin () d() · 2 · 4R2 cos2 () = -2R 2 k J d'P J cos2 () d(cos 8) = о о 27Г о 3 () = -2R2 k / d'fJ· со~ о 1 27Г 2 271" 4 : = -2R2 k· (- 3 ) d'P = ;зkR 2 'Plo = 37rkR 2 • 11[ f о о Из соображений симметрии следует, что Хе = О, Ус = О; вычислив интеграл ..l. т j"J.fj z J х2 +kу2 + v ты центра тяжести (О; О; gR). z2 dv, найдем zc = 15 л. Итак, координа8 Глава Xll. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ J Лекции 47-50 1 Обобщением определенного интеграла на С-J"'Iучай, когда область ин тегрирования есть некоторая кривая, является так называемый криво линейный интеграл. § 55. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 РОДА 55.1. Основные понятия Пусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) длины l. Рассмотрим непрерывную функцию f(x;y), определенную в точках дуги АВ. Разобьем кривую АВ точками М0 = А,М1 ,М2 , ••• . . . , Мп = В на п произвольных дуг Mi-lMi с длинами дli (i = 1, 2, ... , п)(см. рис. 233). Выберем на каждой дуге Mi-iMi произвольную точку (xi; Yi) и составим сумму n 2::: f(xi; fii)дzi. (55.1) i=l у fi; х о Рис. 233 Ее называют интегра.лъноi~ суммоi~ для функ-ции f (х; у) по кри воi1 АВ. Пусть Л = max дli - 1~i~n наибольшая из длин дуг деления. Если при Л -t О (тогда п -t оо) существует конечный предел интегральных 402 сумм (55.1), то его называют криволинеii:н:ым интегралом от функции f(x; у) по длине кривоii АВ (или 1 рода) и обозначают Jf(x;y)dl). J j(x; у) dl (или АВ L Таким образом, по определению, п ! f (х; у) dl = п~оо lim ""'f(xi; Yi)дli· L....,, АВ (55.2) (Л~О) i=l Условие существования криволинейного интеграла 1 рода (суще ствования предела интегральной суммы (55.1) при п --+ оо (Л -t О)) представляет следующая теорема, которую мы приводим здесь без до казательства. Теорема 55.1. Если функция f(x;y) непрерывна в каждой точке гладкой кривой (в каждой точке (х; у) Е L существует касательная к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемеще нии точки по кривой), то криволинейный интеграл 1 рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них. Аналогичным образом вводится понятие криволинейного интегра ла от функции f(x; у; z) по пространственной кривой L. Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине дуги (I рода). J f(x; у) dl = j f(x; у) dl, т. е. криволинейный интеграл I ро- 1. АВ БА да не зависит от направления пути интегрирования. 2. j c·f(x;y)dl=c· j f(x;y)dl,c=const. L L З. jU1(x;y)±f2(x;y))dl= j fi(x;y)dl± j f2(x;y)dl. L 4. J L L L f(x;y)dl = j f(x;y)dl + j Li L2 f(x;y)dl, если путь интегрирова- ния L разбит на части L1 и Lz такие, что L = L1 единственную общую точку. 403 ULz и L1 и Lz имеют 5. Если для точек кривой L выполнено неравенство fi(x;y) Jf1(x;y)dl ~ Jf2(x;y)dl. ~ !2(х;у), то L ~ L J dl = lim f дli = l, где l - длина кривой АВ. 6. n--+oo . 1 АВ (Л--+0) i= 7. Если функция f(x; у) непрерывна на кривой АВ, то на этой кри вой найдется точка (хе; Ус) такая, что рема о среднем). 55.2. J f(x;y)dl = f(XciYc) ·l (тео- Ав Вычисление криволинейного интеграла 1 рода Вычисление криволинейного интеграла I рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательства правила вычисления криволинейного интеграла I рода в случаях, если кривая L задана параметрическим, полярным и явным образом. Параметрическое представление кривой интегрирования Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t), у = y(t), t Е [а; /1], где x(t) и y(t) - непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке А соответствует t значение t = = а, точке В - /3, то /3 ! f(x; у) dl = ! ! (x(t); y(t)) . Jх;' + YF dt. 1 АВ (55.3) а Аналогичная формула имеет место для криволинейного интегра ла от функции f(x;y;z) по пространственной кривой АВ, задаваемой уравнениями х = x(t), у= y(t), z = z(t), а~ t ~ (З: /3 J f(x; у; z) dl Jf (x(t); y(t); z(t)) · J х;' + yl' + zl' dt. = АВ (55.4) а Явное представление кривой интегрирования Если кривая АВ задана уравнением у= rp(x), х Е [а; Ь], где tp(x) непрерывно дифференцируемая функция, то ь J f(x;y)dl= Jf(x;rp(x))·Jl+y'{dx. АВ (55.5) а Подынтегральное выражение в правой части формулы (55.5) получа ется заменой в левой части у= tp(x) и dl = дуги кривой - см. п. 41.3). 404 Ji +у';' (дифференциал dx Пример 55.1. Вычислить Jху dl, где L - отрезок прямой ме 2 L жду точками 0(0; О) и А(4; 3). Q Решение: Уравнение прямой ОА есть у= ~х, О~ х ~ 4. Согласно 2RJ2 формуле (55.5), имеем: Jху2 dl = J4х · (:,31 х) · 1 + ( 4) dx = 64454Jх 3 dx ='45. О L • О Поля!Jное П!Jедставление КIJИВОЙ интегlJИIJОвания Если плоская кривая L задана уравнением r = r(cp), а ~ ер ~ (З в полярных координатах, то dl = Jr 2 + (r~) 2 dcp и /3 J f(x;y)dl = Jf(rcoscp;rsincp) · Jr +r~ 2 dcp. (55.6) 2 °' L Подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла в фор мулах (55.3)-(55.6) должен быть меньше верхнего. Пример 55.2. Вычислить J(х + y)dl, где L L лепесток лемнискаты r = y'sin 2ср, расположенной в 1 координатном углу. Q Решение: Кривая интегрирования изображена на рисунке 234. Воспользуемся формулой (55.6). Так 2 как dl = о р Рис. 234 cos 2ср dcp SШ 2ср + . 2 dcp = sш ер y'sin 2ср . / dcp r то, заметив, что О~ ер~ ~'получаем: к к 2 2 j(x+y)dl= j(rcoscp+rsincp)d: = j(coscp+sincp)dcp=2. L О 8 О 55.З. Некоторые приложения криволинейноrо интеrрала 1 рода Криволинейный интеграл 1 рода имеет разнообразные приложения в математике и механике. 405 Длина кривой Длина l кривой АВ плоской или пространственной линии вычи сляется по формуле l = J dl. АВ Площадь цилиндрической поверхности Если направляющей цилиндри ческой поверхности служит кривая АВ, лежащая в плоскости Оху, образующая параллельна z оси а Оz (см. рис. 235), то площадь поверхфункцией z = f(x;y), находится по формуле Q = ности, = задаваемой J f(x;y)dl. АВ Рис. 235 Масса кривой Масса материальной кривой АВ (провод, цепь, трос, ... ) определя- ется формулой m = J 'У(М) dl, где 'У= 'У(М) = 'У(х; у) - плотность АВ кривой в точке М. Q Разобьем кривую АВ на п элементарных дуг M;-1Mi (i = 1,п). Пусть (xi; Yi) - произвольная точка дуги Mi-tMi. Считая прибли женно участок дуги однородным, т. е. считая, что плотность в каждой точке дуги такая же, как и в точке (х;; Yi), найдем приближенное значение массы m; дуги Mi-tMi: mi ~ "f(XiiYi)дli. Суммируя, находим приближенное значение массы m: n L f'(Xii Yi)дli. (55.7) i=l За массу кривой АВ примем предел суммы (55.7) при условии, что m~ maxдli-+ О (п-+ оо), т. е. n т= lim n-+oo ~ 1(xi; Yi)дli, L (max дl;-+0) i=l или, согласно формуле (55.2), m= J 1(x;y)dl. АВ (Заметим, что предел существует, если кривая АВ гладкая, а плотность задана непрерывной в каждой точке АВ функцией.) 8 406 Статические моменты, центр тяжести Статические моменты относительно осей Ох и Оу и координаты центра тяжести материальной кривой АВ определяются по формулам Sx = j y·"((x;y)dl, Sy = j X·"f(x;y)dl, АВ Sy m Sx m Хе=-, АВ Ус=-. Моменты инерции Для материальной кривой АВ моменты Ix, Iy, Io инерции относи тельно осей Ох, Оу и начала координат соответственно равны: j y ·"((x;y)dl, Iy = j x ·"((x;y)dl, Io = j (x +y )·"f(x;y)dl. 2 lx= 2 2 АВ АВ 2 АВ При.мер 55. 3. Найти центр тяжести полуокружности х 2 + у 2 = R 2 , лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице в каждой точке кривой ("( = 1). Q Решение: Из соображений симметрии ясно, у что центр тяжести находится на оси Оу (см. рис. 236). Поэтому Хе= О. Ордината центра тя- R J у. dl Ус= J dl . жести АВ АВ Знаменатель дроби - Поэтому длина полуокружности. о А х в Рис. 236 j dl = 7Г R. АВ Для вычисления числителя воспользуемся параметрическими уравнениями окружности х = Rcost, у= Rsint, О~ t ~ 7Г. Имеем: 1r 1r j у · dl = j R sin t · J R2 sin t + R cos t · dt = R j sin t dt = 2R 2 АВ 2 2 2 О 2. О Следовательно, Ус = 2RR2 = 2R. Итак, Хе = О, Ус = 2R. 7Г 7Г 7Г • § 56. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 11 РОДА 56.1. Основные понятия Решение задачи о вычислении работы переменной силы при пере мещении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) при водит к понятию криволинейного интеграла П рода. Криволинейный интеграл П рода определяется почти так же, как и интеграл 1 рода. 407 Пусть в плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) и функция Р(х;у), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кри вую АВ точками М0 = А, М1 , ... , Мп = В в направлении от точки А к точке В на п дуг Mi-iMi с длинами Лli (i = 1, 2, ... , п). На каждой «элементарной в у дуге» Mi-1Mi возьмем точку (XiiYi) и соста вим сумму вида Yi '°' Р(х" у~·) · Лх· :мi Лу; Yi-1 п ' '' ' ~ 1М;-1: А Мо '' :' Лх·: 1 где л Xi ' -0 ----------х 1 ' i, i i, (56.1) i=l ' Xi-1 Xi Рис. 237 = Xi - Xi-1 - проекция дуги Mi-1Mi на ось Ох (см. рис. 237). Сумму (56.1) называют интегральноii, су.ммоii. для фу11:1сции Р(х; у) по пе реме11:н.оtt х. Таких сумм можно соста вить бесчисленное множество. (Отличие сумм (55.1) и (56.1) очевидно.) Если при .А = max Лl; -+ О интегральная сумма (56.1) имеет кo- l~i~n нечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек (xi; Yi), то его называют криволине11ны.м интегралом по координате х (или П рода) от функv,ии Р(х; у) по кривоii. АВ и обозначают j P(x;y)dx или j P(x;y)dx. L АВ Итак, ! АВ n '°' P(x;y)dx = n-+=~ lim P(x;;Yt)Лxi. (.\-+О) i=l Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции Q (х; у) по координате у: ! АВ где Луi - n Q(x;y)dy = n-+oo lim '°'Q(x;;Yt)Лyi, ~ (.\-+О) i=l проекция дуги M;-iMi на ось Оу. Криволине11н'Ьtii интеграл П рода общего вида J Р(х; у) + dx Q(x; у) dy АВ определяется равенством j P(x;y)dx+Q(x;y)dy= j P(x;y)dx+ J Q(x;y)dx. АВ АВ 408 АВ JQ(x; у; z) dx+Q(x; у; z) dy+R(x; у; z) dz Криволинейный интеграл L по пространственной кривой L определяется аналогично. Теорема 56.1. Если кривая АВ гладкая, а функции Р(х; у) и Q(x; у) непрерывные на кривой АВ, то криволинейный интеграл 11 рода су ществует. Отметим лишь некоторые свойства криволинейного интеграла П рода. 1. При изменении направления пути интегрирования криволиней ный интеграл П рода изменяет свой знак на противоположный, т. е. ! =- ! АВ ВА (проекция дуги Mi-1Mi на оси Ох и Оу меняют знаки с изменением направления). 2. Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т. е. !=/+/ АВ АС СВ 3. Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ох, то j Р(х; y)dx =О (все дхi = О); L аналогично для кривой, оси Оу: лежащей в плоскости, перпендикулярной j Q(x; y)dy =О (все дуi = О). L 4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается f) не зависит от выбора начальной точки (зависит только ~т направ ления обхода кривой). Q Действительно, о f =/+/А AmCnA AmC (см. рис. 238). С другой стороны, CnA С m Рис. 238 409 f Таким образом, !+! = CnAmC CnA f AmC • f AmCnA CnAmC 56.2. Вычисление криволинейного интеграла 11 рода Вычисление криволинейного интеграла П рода, как и I рода, может быть сведено к вычислению определенного интеграла. Параметрическое представление кривой интегрирования Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t) и у = y(t), где функции x(t) и y(t) непрерывны вместе со своими про изводными x'(t) и y'(t) на отрезке [а;,8], причем начальной точке А кривой соответствует значение параметра t =а, а конечной точке В - значение t = ,8. И пусть функция Р(х; у) непрерывна на кривой АВ. Тогда, по определению, ! АВ n P(x;y)dx = n-+oo lim L..... """'P(xi;Yi)дxi. (Л-+0) i=l Преобразуем интегральную сумму к переменной t. Так как дхi = Xi - Е (ti-1;ti), Лti = x(ti) - x(ti-1), (25.2)) имеем: дхi = x'(ci)дti, где Ci Е Xi-I то по формуле Лагранжа (см. = ti -ti-l· Выберем точку (xi; Vi) так, чтобы Xi = x(ci), Yi = y(ci). Тогда преп образованная интегральная сумма 2::: P(x(ci); у(е;)) · x'(ci) · дti будет i=l интегральной суммой для функции одной переменной Р(х( t); у( t)) · х' (t) на промежутке [а:;µ']. Поэтому /3 j P(x;y)dx = j P(x(t);y(t))x'(t)dt. АВ (56.2) а Аналогично получаем: /3 J Q(x;y)dy= j Q(x(t);y(t))y'(t)dt. АВ (56.3) а Складывая почленно полученные равенства (56.2) и (56.3), полу- чаем: {3 j Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = J(P(x(t); y(t) )x'(t) + Q(x(t); y(t))y'(t)) dt. АВ а (56.4) 410 Явное представление кривой интегрирования Если кривая АВ задана уравнением у= <р(х), х Е [а; Ь], где функ ция ср(х) и ее производная ср 1 (х) непрерывны на отрезке [а; Ь], то из формулы (56.4), приняв х за параметр, имеем параметрические урав нения кривой АВ: х = х, у= ср(х), х Е [а;Ь], откуда получим: ь J Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = J[Р(х; <р(х)) + Q(x; ср(х) )1t1' (х)] dx. (56.5) АВ а В частности, ь j Р(х; у) dx = j Р(х; ср(х)) dx. АВ Если АВ - (56.6) а гладкая пространственная кривая, которая описыва ется непрерывными на отрезке [а;,В] функциями х = x(t), у= y(t) и z = z(t), то криволинейный интеграл j Р(х; у; z) dx + Q(x; у; z)dy + R(x; у; z) dz АВ вычисляется по формуле /3 j Pdx + Q dy + Rdz = j [P(x(t); y(t); z(t))x'(t)+ АВ а +Q(x(t); y(t); z(t))y'(t) + R(x(t); y(t); z(t))z'(t)]dt. (56.7) За.ме-ч,ание. Криволинейные интегралы I и П рода связаны соотно шением j Pdx + Qdy = j (Pcosa + Qcos,В) dl, где а и ,В - углы, АВ АВ образованные касательной к кривой АВ в точке М(х; у) с осями Ох и Оу соответственно. При.мер 56.1. Вычислить I = j (х - у) 2 dx + (х + у) 2 dy, L L ломаная ОАВ, где 0(0; О), А(2; О), В(4; 2). у Q Решение: Так как L = ОАВ = ОА + АВ (см. рис. 239), ТО I = ! ! +!. = L ОА АВ Уравнение отрезка ОА есть у= О, О~ х ~ 2; уравнение отрезка АВ: у = х - 2, х Е [2; 4]. Со411 О у=О 2 Рис. 239 4 х гласно формуле (56.5), имеем: 2 4 l= j[(x-0) 2 +0]dx+ j[22 +(2x-2) 2 ·1)dx= 2 о = х; 1: + 4х1: + ~ · ( 2 х 32)3 1: = i + (16 - 8) + ~ (216 - 8) = 1~6. 8 Пример 56.2. Вычислить/= j y 2 dx+(x 2 +z)dy+(x+y+z 2 )dz, L отрезок прямой в пространстве от точки L - A(l; О; 2) до точки В(З; 1;4). Q Решение: Составим уравнение прямой:, проходящей через точки А и В: х 2 1 = = z 2 2 или в параметрической форме: х = 2t + 1, у = t, l z = 2t + 2. При перемещении от точки А к точке В параметр t меняется от О до 1. По формуле (56.7) находим, что 1 I = j [t 2 + ( (2t + 1) + 2t + 2) · 1 + (2t + 1 + t + (2t + 2) 2 • 2 о = ! 1 2 ) • 2] dt = 95 (14t 2 + 28t + 13) dt = 3. • о 56.З. Формула Остроградского-Грина Связь между двойным интегралом по области D и криволиней ным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Остроградского-Грина, которая широко применяется в математиче ском анализе. Пусть на плоскости Оху задана область D, ограниченная кривой, пересекающейся с прямыми, параллельными координатным осям не более чем в двух точках, т. е. область D - Теорема правильная. 56.2. Если функции Р(х; у) и Q(x; у) непрерывны вместе со своими частными производными ~~ 111 ~ в области D. то имеет место формула JJ(~~ - ~:)dxdy= f Pdx+Qdy, где L - (56.8) грани~В области D и интегрирЬвание вдоль кривой L произ водится в положительном направлении (при движении вдоль кривой, область D остается слева). 412 Формула (56.8) называется формулой Остроградского-Грина. О Пусть у= <р1(х) - уравнение дуги АпВ, а у= <р2(х) - уравнение дуги АтВ (см. рис. 240). Найдем сначала jj~~ dxdy. По правилу вычисления двойного интеграла, имеем: дР ь ! Ь D = ь а у= tp2(x) у rp2(x) дР j j ду dx dy = j dx j D ду dy = <р1(х) в dx · Р(х;у) lrp2(x) = <р1(х) у= tp1(x) ь а = j Р(х;<р2(х)) dx - j Р(х;<р1(х)) dx. а о ьх а Рис. 240 а Или, согласно формуле (56.6), jj ~р dxdy = j Р(х; у) dx - j Р(х; у) dx = у D АтВ j =- АпВ Р(х; у) dx - Вт А j Р(х; у) dx = - j Р(х; у) dx. (56.9) АпВ L Аналогично доказывается, что jj ~~ dxdy = j Q(x; у) dx. D (56.10) L Если из равенства (56.10) вычесть равенство (56.9), то получим формулу (56.8). • Заме"iание. Формула (56.8) справедлива и для произвольной обла сти, которую можно разбить на конечное число правильных областей. Пример С помощью формулы Остроградского-Грина вы 56.3. числить l= j Jx +y2 dx+y·(xy+ln(x+Jx 2 +y2))dy, 2 L где L - контур прямоугольника с вершинами А(З; 2), В(6; 2), С(6; 4), D(З; 4). Q Решение: На рисунке 241 изображен контур интегрирования. По- скольку дQ = у· (У· Jx 2 +у 2 + 1 ); дР = дх J х2 + у2 ду J х2У+ у2 , по формуле (56.8) имеем: 413 I = JJ(y(yJxz + у2 + 1) D х2 + у2 J у J х2 + у2 = )dxdy = 6 4 JJ j dx Jу 2 dy = 56. D 3 у 2 dx dy = 8 2 у у 4 2 о D ~~~~~~0 л: с :в '' '' 3 х 6 о Рис. 241 х Рис. 242 56.4. Условия независимости криволинейноrо интеграла 11 рода от пути интегрирования ~ Пусть А(х1;У1) и В(х2;У2) - две произвольные точки односвязной области D плоскости Оху (область D называется односв.яз ноiJ, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит D (область без «дыр»)). Точки А и В можно соединить различными линиями (на рис. 242 это L 1 , L 2 и L 3 ). По каждой из этих кривых интеграл I = j Р(х; у) dx + Q(x; у) dy АВ имеет, вообще говоря, свое значение. Если же его значения по всевозможным кривым АВ одинаковы, то говорят, что интеграл I не зависит от вида пути интегрирования. В этом случае для интеграла I достаточно отметить лишь его начальную точку А(х1; У1) и его конечную точку В(х2; У2) пути. Записывают: (х2;у2) I = j Р(х; у) dx + Q(x; у) dy. (56.11) (х1;у1) Каковы же условия, при которых криволинейный интеграл П рода не зависел от вида пути интегрирования? 414 Теорема 56.3. Для того чтобы криволинейный интеграл f Pdx+Qdy I = L не зависел от пути интегрирования в односвязной области D, в кото рой функции Р(х; у), Q(x; у) непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие дР ду дQ - (56.12) ах· Q Докажем достаточность условия (56.12). Рассмотрим произвольный замкнутый контур АтВпА (или L) в области D (см. рис. 243). Для него имеет место формула Остроградского-Грина (56.8). В силу усло вия (56.12) имеем: f Р dx + Q dy О, или = f Р dx + Q dy = О. AmBnA L Учитывая свойства криволинейного ин теграла, имеем: f Pdx+Qdy= = J Р dx + Q dy + J Р dx + Q dy = J Pdx+Qdy- J Pdx+Qdy =О, AmBnA AmB BnA AmB т. е. Рис. 243 AnB J Р dx + Q dy J Р dx + Q dy. = AmB AnB Полученное равенство означает, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. • liJ В ходе доказательства теоремы получено, что если выполняется условие ~f; = ~, то интеграл по замкнутому контуру равен ну лю: f Pdx + Qdy = О. L Верно и обратное утверждение. 415 Следствие 56.1. Если выполнено условие (56.12), то подынтеграль + Q(x; y)dy является полным дифференци ное выражение Р(х; y)dx алом некоторой функции и= и(х;у) (см. (44.5)), т. е. Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = dU(x;y). (56.13) Тогда (см. (56.11)): (х2;у2) I= (х2;у2) J Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = J dU(x; у) = (х1;у1) (х1;у1) = И(х;у) т. е. l (x2;y2) (х1;у1) = И(х2;У2) - U(x1;y1), (х2;у2) J Р(х; у) dx + Q(x; у) dy U(x2;y2) - И(х1; У1) (56.14) = (х1;у1) Формула (56.14) называется обобщенной формулой Ньютона Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала. Следствие 56.2. Если подынтегральное выражение Pdx + Qdy есть полный дифференциал и путь интегрирования L замкнутый, то f Р dx + Q dy = О. L Заме-ч,аии.я. 1. Чтобы не спутать переменную интегрирования х с верхним пре делом х, переменную интегрирования обозначают другой буквой (на пример, t, ~'и т.д.). 2. Функцию И= U(x; у), удовлетворяющую условию (56.12), можно найти, используя формулу х И(х; у) = у J Р(х; Уа) + j Q(x; ~) d~ +С. dx хо (56.15) Уо В качестве начальной точки (хо; Уо) обычно берут точку (О; О) - начало координат (см. пример 56.5). 3. Аналогичные результаты справедливы для криволинейного ин теграла j Р dx + Q dy + R dz L 416 по пространственной кривой. Условие (56.12), равенство (56.13), фор мулы (56.14) и (56.15) имеют соответственно вид: дР - ду дQ дх ' дQ дR дz ду дR дР ' -дх =; дz Pdx+Qdy+Rdz =dU(x;y;z), (ж2;у2;z2) J Р dx + Q dy + Rdz = И(х2; У2; z2) - И(х1; у1; ж U(x;y;z) = z1), z у J P(x;yo;zo)dx+ JQ(x;{;zo)~+ JR(x;y;()d(+C Уо жо ZQ (см. пример 73.1). (1;1) Пример 56.4. Найти 1 = J ydx + xdy. (О;О) Q Решение: Здесь Р =у, Q = х, ~; = ~ = 1. Согласно вышепри веденной теореме, интеграл не зависит от пути интегрирования. В ка честве пути интегрирования можно взять отрезок прямой у = х, дугу параболы у= х 2 и т. д. или воспользоваться формулой (56.14). Так как ydx + xdy = d(xy), то J (1;1) 1= (1;1) d(x·y)=xyl (О;О) (О;О) =1-0=1. 8 Пример 56.5. Убедиться, что выражение е-У dx - (2у +хе-У) dy представляет собой полный дифференциал некоторой функции И(х; у) и найти ее. Q Решение: Для того чтобы указанное выражение являлось полным дифференциалом, необходимо выполнение условий (56.12): д -(е-У) ду - д -(-(2у+хе-У)) = -е-У; дх условия выполнены, следовательно, е-У dx - (2у = -е-У + xe-Y)dy = dU (х; у). А так как полный дифференциал имеет вид д д dU(x;y) = дхИ(х;у)dх+ дуИ(х;у)dу (см. п. 44.3), то верны соотношения д дх И(х; у)= е-У; д ду И(х; у) = -(2у +хе-У). 417 (56.16) Интегрируем по х первое из уравнений, считая у постоянным, при этом вместо постоянной интегрирования следует поставить tp(y) - неизвест ную функцию, зависящую только от у: U(x; у) = J е-У dx =хе-У+ rp(y). Подставляя полученное выражение во второе из уравнений (56.16), най дем tp(y): д -(хе-у+ ср(у)) =-хе-У+ ср 1 (у) ду = -(2у +хе-У); rp(y) = -у 2 +с. tp 1(y) = -2у, • Таким образом, U(x; у) =хе-У - у 2 +с. Отметим, что функцию И проще найти, используя формулу (56.15): х у U(x;y) = J e- 0 dx+ J<-Ц+xe-f.)df.+C= о о = х -у 2 +хе-у - х +С= хе-у -у 2 +С. 56.5. Некоторые приложения криволинейного интеграла 11 рода Площадь плоской фигуры Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Оху и ограниченной замкнутой линией L, можно найти по формуле S = ~ f х dy - у dx, (56.17) L при этом кривая L обходится против часовой стрелки. О Действительно, положив в формуле Остроградского-Грина (56.8) Р(х;у) =О, Q(x;y) = х, получим: jj(I - O)dxdy = f О· dx +xdy, D L f xdy. или S= Аналогично, полагая Р = L -у, Q (56.18) = О, найдем еще одну формулу для вычисления площади фигуры с помощью криволинейного инте грала: S= - f ydx. L 418 (56.19) Сложив почленно равенства (56.18) и получим: S = ~ (56.19) и разделив на два, f xdy-ydx. • L Формула (56.17) используется чаще, чем формулы (56.18) и (56.19). Работа переменной силы Переменная сила F(P(x; у); Q(x; у)) на криволинейном участке АВ производит работу, которая находится по формуле А= f Р dx + Q dy. (56.20) АВ Q Действительно, пусть материальная точка (х; у) под действием пе ременной силы F перемещается в плоскости Оху по некоторой кривой АВ (от точки А до точки В). Разобьем кривую АВ точками Мо = А,М1,М2, ... ,Мп =В на п «эле ментарных» дуг у Mi-1Mi длины дli и в каждой из них возьмем произвольную точку рис. Ci(xi;Yi), i 244). Заменим 1;2;".;п (см. каждую дугу Mi-1Mi вектором Mi-1Mi=(дxi; дуi), а силу F будем считать постоянной на векторе перемещения Mi-1Mi и равной О хн х; х; х заданной силе в точке Ci дуги Mi-1Mi: Рис. 244 Fi = (P(xi;Yi);Q(xi;Yi)). Тогда скалярное произведение Fi · Mi-tMi можно рассматривать как приближенное значение работы Fi вдоль дуги Mi-1Mi: Ai ~ Fi · мi-1Mi = P(xi; fii) · дхi + Q(xi; Yi) · дуi. Приближенное значение работы А силы F на всей кривой составит величину А= п п п i=l i=l i=l L Ai ~ L P(xi; Yi) · дхi + L Q(xi; Yi) · дуi. За точное значение работы А примем предел полученной суммы при Л = max дli ---+ О (тогда, очевидно, дхi ---+О и дуi ---+ О): 1::;;i::;;n п А= л~о lim ""'P(xi;Yi)·дxi+Q(xi;Yi)·дyi= L..J (п~оо) i=l J P(x;y)dx+Q(x;y)dy.8 АВ За.ме.,,ание. В случае пространственной кривой АВ имеем: А= J Р(х; у; z) dx + Q(x; у; z) dy + R(x; у; z) dz. АВ 419 Пример 56.6. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой х = а · cos 3 t, у = а · sin 3 t. Q Решение: При обхождении астроиды в положительном направлении параметр t изменяется от О до 27Г (см. рис. 245). Применяя формулы (56.17) и (56.4), получим: 1 S= 2 21Г j (acos t · 3asin tcost + asin t · 3acos tsin t) dt = 3 о 2 21Г = 3 2 21Г ! . За 2 j sш 2t dt = ~ j 1 - cos 4t dt = За 7Г • 2 • 2 2 4 о 8 2 2 о 8 8 z у а а х х Рис. 245 Рис. 246 Пример 56. 7. Найти работу силы F = 4x6l + xyJ вдоль кривой у = х 3 от точки 0(0; О) до точки B(l; 1). Q Решение: По формуле (56.20) находим: А= j 1 4x 6 dx+xydy= L 1 j(4x 6 +x·x 3 ·3x 2 )dx= j1x6 dx=1. О 8 О § 57. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 РОДА 57.1. Основные понятия Обобщением двойного интеграла является так называемый поверх ностный интеграл. Пусть в точках некоторой поверхности S, с площадью S, простран ства Oxyz определена непрерывная функция верхность S на п частей (см. рис. f(x; у; z). Разобьем по Si, площади которых обозначим через дSi 246), а диаметры - через di, 420 i = 1; п. в каждой части si возьмем произвольную точку Mi(Xii Yii Zi) и составим сумму n f (xi; Yii zi)ЛSi. L (57.1) i=l Она называется интеграл:ьноii, для функции f(x; у; z) по поверхно сти s. ~ Если при Л = m;uc di -t О интегральная сумма (57.1) имеет пpe1.::;i::;n дел, то он называется nоверхностним интегралом I рода от функции f(x;y;z) по поверхности S и обозначается// f(x;y;z)ds. s Таким образом, по определению, n JJ f(x;y;z)ds = 1~ Lf(XiiYiiZi)ЛSi. S (57.2) (n--+oo) i=l il Отметим, что «если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция f (х; у; z) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теорема существования). Поверхностный интеграл I рода обладает следующими свойствами: JJс· f(x; у; z) ds =с· JJ f(x; у; z) ds, где с - число. s s 2. jjU1(x;y;z)±f2(x;y;z))ds= JJ fi(x;y;z)ds± JJ f2(x;y;z)ds. 1. s s s З. Если поверхность S разбить на части 5 1 и 8 2 такие, что S = = 8 1 U82 , а пересечение 5 1 и 8 2 состоит лишь из границы, их разделя ющей, то JJ f(x;y;z)ds = JJ f(x;y;z)ds + JJ f(x;y;z)ds. s ~ 4. Если на поверхности 8 ~ f2(x;y;z), то выполнено неравенство JJ fi(x;y;z)ds ~ JJ f2(x;y;z)ds. s 5. ~ s JJds = 8, где 8 - площадь поверхности 8. s 6. jJJ f(x;y;z)dsl ~ jjlf(x;y;z)lds. s s 421 fi (х; у; z) ~ 7. Если f(x; у; z) непрерывна на поверхности S, то на этой поверх ности существует точка (хе; Ус; zc) такая, что jj f(x;y;z)ds = f(XciYciZc) ·S s (теорема о среднем значении). 57.2. Вычисление поверхностного интеграла 1 рода Вычисление поверхностного интеграла 1 рода сводится к вычисле нию двойного интеграла по области D - проекции поверхности S на плоскость Оху. Разобьем поверхность S на части Si, i = 1; п. Обозначим через ai проекцию Si на плоскость Оху. При этом область D окажется разбитой на п частей ai, а2, ... , an. Возьмем в ai произвольную точку Pi(xi; Yi) и восстановим перпендикуляр к плоскости Оху до пересечения с поверх ностью s. Получим точку Mi(Xii Yii Zi) на поверхности si. Проведем в точке Mi касательную плоскость и рассмотри:м ту ее часть Ti, которая на плоскость Оху проектируется в область ai (см. рис. 247). Площади элементарных частей Si, Ti и а 1 обозначим как дSi, дТi и даi соот ветственно. Будем приближенно считать, что (57.3) Обозначив через "(; острый угол между осью О z и нормалью ni к поверхности в точке Mi, получаем: лтi . cos l'i = даi (57.4) (область O'i есть проекция Ti на плоскость Оху). Если поверхность S задана уравнением z = = z(x; у), то, как известно (см. (45.2)), уравнение касательной плоскости в точке Mi есть z~(xi; Yi) · (х - Xi) + z;(xi; Yi) · (y-yi) - (z- Zi) =О, где z~(xi;y;), z~(x;;yi), -1 - координаты нор мального вектора к плоскости. Острый угол l'i есть угол между векторами k Рис. 247 ni = (-z~(xi; Yi); -z;(xi; Yi); 1). Следовательно, 1 422 = (О; О; 1) и Равенство (57.4) принимает вид дТi = J1+z~ 2 (xi; Yi) + z~ 2 (xi; Yi)дai. В правой части формулы (57.2) заменим дSi (учитывая (57.З)) на по лученное выражение для лтi, а Zi заменим на z(xi; Yi)· Поэтому, пе реходя к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра si (а следовательно, и ai), получаем формулу jj f(x;y;z)ds= jj f(x;y;z(x;y))·J1+z~ 2 +z~ 2 dxdy, S (57.5) D выражающую интеграл по поверхности S через двойной интеграл по проекции S на плоскость Оху. Отметим, что если поверхность S задана уравнением вида у = у(х; z) или х = х(у; z), то аналогично получим: jj f(x;y;z)ds= jj f(x;y(x;z);z)·V1+y~ 2 +y~ 2 dxdz S D1 и jj f(x;y;z)ds= jj f(x(y;z);y;z)·J1+x~ 2 +x~ 2 dydz, S (57.6) D2 где D 1 и D2 проекции поверхности S на координатные плоскости Oxz и Oyz соответственно. Пример 57.1. Вычислить I = j j (х - Зу+ 2z) ds, где S - часть s плоскости 4х +Зу+ 2z - 4 = О, расположенной в I октанте (см. рис. 248). О Решение: Запишем уравнение плоскости в виде z = 2 - 2х - ~У· Находим zx' = -2, Zy 1 =-~.По формуле (57.5) имеем: 1 ~ !j(x-3y+4-4x-3y) · J1 +4+ ~dxdy ~ ./29 = - 2- 1(1-х) ./29 1 3 j j (4 - Зх - 6у) dx dy = - 2- j dx j (4 - Зх - 6у) dy = О D О li(l-x) 2 ./29. 1 = - 2- / dx(4y- Зху- Зу ) о 423 о = / = -v'29 2- 1(3(116 16 (1 - х) 2) dx = х) - 4х(1- х) - 3 о = v'29(_16.(1-x) _ 2х2 + 4 .х 3 +16_(1-х) 3 )11= v'29. 8 2 2 3 2 3 3 о 3 9 z z Рис. 248 Рис. 249 При.мер 57. 2. Вычислить I = JJ х(у + z) ds, s где S - часть цилиндрической поверхности х = .Jl=Y2, отсеченной плоскостями z =О, z = 2 (см. рис. 249). Q Решение: Воспользуемся У х'-Ото -- - .J[=Y2' z ' I = jj .J[=Y2 ·(у+ z) · 1 ~ 2 = (57.6). Ji ~ у2 + 1 1 Поскольку о ~ 2 -l х' у 2 dydz = jj (у+ z) dydz = 2 J dyj(y+z)dz= j (yz+~)J 0 dy= j -1 где D 1 - формулой 1 (2y+2)dy=4, -1 прямоугольник АА1В 1 В. 424 • 57 .3. Некоторые приложения поверхностного интеграла 1 рода Приведем некоторые примеры применения поверхностного инте грала 1 рода. Площадь поверхности Если поверхность В задана уравнением z = z(x;y), аее проекция на плоскость Оху есть область D, в которой z(x;y), zx'(x;y) и zy'(x;y) непрерывные функции, то ее площадь S вычисляется по формуле S = jj ds, s или S jj J1 + Zx' + Zy dxdy. 2 = 12 D Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления массы, координат центра масс, моментов инерции материальных по верхностей с известной поверхностной плотностью распределения мас сы 'У= 1(х; у; z). Все эти величины определяются одним и тем же спо собом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей, делая для каждой области деления упрощающие задачу предположе ния; находят приближенное значение искомой величины; переходят к пределу при неограниченном измельчении области деления. Проиллю стрируем описанный способ на примере определения массы материаль ной поверхности. Масса поверхности Пусть плотность распределения массы материальной поверхности есть 'У = 1(х; у; z). Для нахождения массы поверхности: 1. Разбиваем поверхность S на п частей Si, i = 1, 2, ... , п, площадь которой обозначим лsi. 2. Берем произвольную точку Mi(Xii Yii Zi) в каждой области si. Предполагаем, что в пределах области Si плотность постоянна и равна значению ее в точке Mi. 3. Масса mi области Si мало отличается от массы 1(xi; Yii Zi)ЛSi фиктивной однородной области с постоянной плотностью n 4. Суммируя mi по всей области, получаем: т ~ 2: 1(xi; Yii zi)ЛSi. i=l 5. За точное значение массы материальной поверхности S принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение si, т. е. при стремлении к нулю диаметров областей n т= т. е. lim maxd;-+0 т= 2: 1(xi; Yi; Zi)дSi, i=l 11 i(x;y;z) ds. (57.7) s Моменты, центр тяжести поверхности Статистические моменты, координаты центра тяжести, моменты инерции материальной поверхности S находятся по соответствующим формулам: Sxy = 11 z·1(x;y;z)ds, М:с = jj(y +z ·1(x;y;z)ds, s s Byz = IJ x·1(x;y;z)ds, Му= Jl(x 2 +z2 )·1(x;y;z)ds, s s = JJ y·1(x;y;z)ds, Bxz 2) 2 Mz = JJ (х 2 +у 2 ) ·1(x;y;z)ds, s s Syz Bxz т т Хе=-, Ус=-, Вху Zc = - , т Мо = jj(x2 +у 2 +z 2 ) ·1(x;y;z)ds. s Прuмер 57.З. Найти массу полусферы радиуса Я, если в каждой точке поверхности плотность численно равна расстоянию этой точки от радиуса, перпендикулярного основанию полусферы. О Решение: На рисунке 250 изображена полусфера радиуса R. Ее уравнение z J R 2 - х2 - у2 ; r = J х 2 + у 2 - поверхностная плот ность полусферы. По формуле (57.7) находим: т= JJJ х2 + у2 ds = JJJ х2 + у 2 х S D х Уfi+ R2 -хх: -у 2+ R 2 -хУ: -у 2dxdy= = яfrr Jx2 +у2 j JR2 _ (х2 +у2) Рис. 250 dxdy. Переходим к полярным координатам: m=Rj"Г 1 у-/я2 _ r2 D R 2:ir r ·rdrdt.p=Rjdt.p·J О 426 О 2 r 2 RЗ dr=:::__ 2 . - / я2 _ r2 у 1~11утренний интеграл вычислен с помощью подстановки r = R sin t: п sш t · R ! . rR2r _ r2 r= J RRcost R 2 2 d о у 2·2 п cost dt= R 2 о J 1 - cos 2t t= 2 о d 2 . 2t 1~ ) = R 2 ( 1Г - О ) = --Т. 1Г R2 = R 2 ( 21 t 10~ - 21 sш 4 0 8 § 58. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ 11 РОДА 58.1. Основные понятия Поверхностный интеграл 11 рода строится по образцу криволиней ного интеграла 11 рода, где направленную кривую разлагали на элемен ты и проектировали их на координатные оси; знак брали в зависимости от того, совпадало ли ее направление с направлением оси или нет. ~ Пусть задана двусторонн.я..я поверхность (таковой является плоскость, эллипсоид, любая поверхность, задаваемая уравнени ем z = f(x; у), где f(x; у), fx' и fy 1 - функции, непрерывные в неко торой области D плоскости Оху и т. д.). После обхода такой поверх ности, не пересекая ее границы, направление нормали к ней не меня ется. Примером одностороннеiJ, поверхности является так называемый лист Мебиуса, получающийся при склеивании сторон АВ и CD пря моугольника ABCD так, что точка А совмещается с точкой С, а В - с D (см. рис. 251). :. . ______________.: r;: ;:=з Рис. 251 Далее, пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхности S в пространстве Oxyz определена непрерывная функция f(x; у; z). Вы бранную сторону поверхности (в таком случае говорят, что поверхность ориентирована) разбиваем на части si, где i = 1, 2, ... 'n, и проекти руем их на координатные плоскости. При этом площадь проекции Л11i берем со знаком «плюс», если выбрана верхняя сторона поверхности, или, что то же самое, если нормаль n к выбранной стороне поверхно сти составляет с осью Oz острый угол (см. рис. 252, а), т. е. COS/"i >О; со знаком «минус», если выбрана нижняя сторона поверхности (или COS/"i <О) (см. рис. 252, б). В этом случае интегральная сумма имеет вид n L f(xi; Yii Zi)Л11i, i=l 427 (58.1) где даi = (Si)Oxy - площадь проекции si на плоскость Оху. Ее отли чие от интегральной суммы (57.1) очевидно. z z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 о 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 iL±!?a; х о у х 1 1 1 • 1 1 Ь7 у б а Рис. 252 Предел интегральной суммы (58.1) при Л = maxdi -t О, если он существует и не зависит от способа разбиения поверхности S на части Si и от выбора точек Mi Е Si, называется поверхностним интегралом II рода (по координатам) от функции f(x;y;z) по переменным х и у по выбранной стороне поверхности и обозначается jj f(x;y;z)dxdy. s Итак, n j j f(x; у; z) dx dy = l~ L f (xi; Yi; Zi)дai. (n-+oo) i=l S Аналогично определяются поверхностные интегралы П рода по пе ременным у и z и z и х: n jj f(x;y;z)dydz = l~ Lf(xi;Yi;zi) · (Si)Oyz, (п-+оо) i=l S n jj f(x;y;z)dxdz = l~ LЛxi;Yi;zi) · (Si)Oxz· S (n-+oo) i=l Общим видом поверхностного интеграла П рода служит интеграл jj Р(х; у; z)dydz + Q(x; у; z) dzdx + R(x;y; z) dx dy s (= jj Pdydz+ jj Qdzdx+ JJ Rdxdy), s где Р, Q, R - s s непрерывные функции, определенные в точках двусто ронней поверхности S. 428 Отметим, что если 8 - замкнутая поверхность, то поверхностный 11нтеграл по внешней стороне ее обозначается JJ, по внутренней //. 8 -8 Из определения поверхностного интеграла 11 рода вытекают следующие его свойства: 1. Поверхностный интеграл 11 рода изменяет знак при перемене стороны поверхности. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла. 3. Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соот ветствующих интегралов от слагаемых. 4. Поверхностный интеграл 11 рода по всей поверхности 8 = 8 1 +82 равен сумме интегралов по ее частям 8 1 и 82 (аддитивное свойство), если 8 1 и 8 2 пересекаются лишь по границе, их разделяющей. 5. Если 81, 82, 8з - цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям Oz, Ох, Оу, то JJ R(x;y;z)dxdy = JJ P(x;y;z)dydz = JJ Q(x;y;z)dxdz =О. 8з 82 81 58.2. Вычисление поверхностного интеграла 11 рода Вычисление поверхностного интеграла 11 рода сводится к вычисле нию двойного интеграла. Пусть функция R(x; у; z) непрерывна во всех точках поверхности 8, заданной уравнением z = z(x;y), где z(x;y) - непрерывная функ ция в замкнутой области D (или Dxy) - проекции поверхности 8 на· плоскость Оху. Выберем ту сторону поверхности 8, где нормаль к ней образует с осью Oz острый угол. Тогда даi >О (i = 1, 2, ... , n). Так как Zi = z(xi; Yi), то интегральная сумма (58.1) может быть записана в виде п п i=l i=l L R(xi; Yii Zi)дo-i = L R(xi; Yii z(xi; Yi))дo-i. (58.2) Правая часть этого равенства есть интегральная сумма для функции R(x;y;z(x;y)), непрерывной в области D. Переходя к пределу в равен стве (58.2) при .А---? О, получаем формулу jjR(x;y;z)dxdy= JJ R(x;y;z(x;y))dxdy, 8 D (58.3) выражающую поверхностный интеграл 11 рода по переменным х и у че рез двойной интеграл. Если выбрать вторую сторону, т. е. нижнюю, 429 поверхности S, то полученный двойной интеграл берут со знаком «ми нус». Поэтому jj R(x;y;z)dxdy = ± j j R(x;y;z(x;y)) dxdy. S (58.4) D Аналогично jj Q(x;y;z)dxdz = ± j j Q(x;y(x;z);z)dxdz, S (58.5) D". jj P(x;y;z)dydz = ± j j P(x(y;z);y;z)dydz, s где (58.6) v •• Dxz и Dyz - проекции поверхности S на плоскости Oxz и Oyz соответственно (замкнутые области). В формуле (58.5) поверхность S задана уравнением у = у(х; z), а в формуле (58.6) - уравнением х = х(у; z). Знаки перед интегралами выбираются в зависимости от ориентации поверхности S (так, в фор муле (58.5) берем знак «плюс», если нормаль к поверхности образует с осью Оу острый угол, а знак «минус» - если тупой угол). Для вычисления общего поверхностного интеграла П рода исполь зуют формулы (58.4)-(58.6), проектируя поверхность S на все три ко ординатные плоскости: j j Р(х; у; z) dydz + Q(x; у; z) dxdz + R(x;y;z) dxdy = s = ± j j P(x(y;z);y;z) dydz± Dy• ± j j Q(x;y(x;z);z)dxdz± j j R(x;y;z(x;y))dxdy. D~z Dzy За.ме'Чание. Можно показать справедливость равенств dx dy = cos 'У · ds, dx dz = cos f3 · ds, dy dz = cos а · ds, где ds - элемент площади поверхности S; cosa, соs{З, cos1 вляющие косинусы нормали (58.7) напра n к выбранной стороне поверхности S. Поверхностные интегралы I и П рода связаны соотношением jj Pdydz+Qdxdz+Rdxdy = jj(Pcosa-гQcosf3+Rcos1)ds. (58.8) s s Пример 58.1. Вычислить I1 = jj-xdydz+zdzdx+5dxdy s по верхней стороне части плоскости 2х - Зу октанте. 430 +z 6, лежащей ~ IV Q Решение: На рисунке 253 изображена заданная часть плоскости. Нормаль n, соответствующая ука занной стороне поверхности, образует с осью Оу ту пой угол, а с осями Ох и Oz - z 6 острые. В этом можно убедиться, найдя направляющие косинусы нормаль ного вектора n = (2; -3; 1) плоскости: lnl = v'4 + 9 + 1 = v114, 3 cos/3 = - J14 <О, 2 cos а = . г,-; > О, v14 1 COS')' = /1А > 0. v14 Поэтому перед двойными интегралами в формулах (58.4) и (58.6) следует брать знак «плюс», а в формуле (58.5) - знак «минус». Сле довательно, 11 = + JJ (-3 - ~У+~) dydz - JJ zdzdx + 5// dxdy = Dy:z О 3у+6 = J dy J -2 Dz:z l Dzy 6-2х 3 3 (-3- 2y+ 2z)dz-J dx J о о zdz+5·~·2·3=-9. 8 о 58.3. Формула Остроградского-Гаусса Связь между поверхностным интегралом П рода по замкнутой по верхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой по верхностью устанавливает следующая теорема. Теорема 58.1. Если функции Р(х; у; z), Q(x; у; z), R(x; у; z) непре рывны вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной области V, то имеет место формула JJJ(~~ + ~~ + ~~)dxdydz = JJ Pdydz+Qdxdz+Rdxdy, (58.9) v где 8 - s граница области V и интегрирование по 8 производится по ее внешней стороне. Формула (58.9) называется формулоil, Остроградского-Гаусса (является аналогом формулы Остроградского-Грина (см. п. 56.3). Q Пусть область V ограничена снизу поверхностью 8 1 , уравнение которой z = z1(x;y); сверху - поверхностью 8 2 , уравнение которой 431 z = z2(x;y) (функции z 1 (x;y) и z 2(x;y) непрерывны в замкнутой обла проекции V на плоскость Оху, z 1 (x;y) ~ z2(x; у)); сбоку цилиндрической поверхностью S3 , образующие которой параллельны оси Oz (см. рис. 254). сти D - Рассмотрим тройной интеграл z z=z2(x;y) JJJ v ~~dxdydz = z2(x;y) дR = JJ dxdy дzdz= J z1 (х;у) D = JJ R(x; у; z2(x; y))dxdyD - JJ R(x;y;z1 (x;y))dxdy. D у Двойные интегралы в правой части равен ства заменим поверхностными интеграла ми П рода по внешней стороне поверхно Рис. 254 стей S 1 и S 2 соответственно (см. (58.3)). Получаем: JJJ ~~dxdydz = JJ Rdxdy + S2 V 11 Rdxdy. 81 Добавляя равный нулю интеграл j/Rdxdy по внешней стороне S3 (см. свойство 5 п. 58.1), получим: 11/ ~~dxdydz = 111 ~~ v V или Sз JI Rdxdy+ 11 S2 S1 dxdydz = где S - 11s Rdxdy+ IJ Rdxdy, Sз R(x;y;z) dxdy, (58.10) поверхность, ограничивающая область V. Аналогично доказываются формулы JJI ~Q dx dy dz = 11s Q(x; у; z) dxdz, (58.11) JJJ~:dxdydz= JJ P(x;y;z)dydz. (58.12) v v у s Складывая почленно равенства (58.10), (58.11) и (58.12), получаем формулу (58.9) Остроградского-Гаусса. 432 • За.ме-чания. 1. Формула (58.9) остается справедливой для любой области V, которую можно разбить на конечное число областей рассмотренного вида. 2. Формулу Остроградского-Гаусса можно использовать для вычи сления поверхностных интегралов П рода по замкнутым поверхностям. JJ -xdydz + zdzdx + 5dxdy, Пример 58.2. Вычислить I = где внешняя S - +s сторона пирамиды, ограниченной плоскостями 2х - Зу + z = 6, х = О, у = О, z = О. Q Решение: По формуле (58.9) находим: I = • JJJ(-1 + О + О) dx dy dz = - JJJdv = - ~ · 3 · 6 = -6. v v z Заметим, что интеграл I 1 (см. пример 58.1) мож 6 но вычислить иначе: в Sз где поверхности S 2 , 8 3 , 84 есть соответственно тре угольники ОАС, АОВ, СОВ (см. рис. 255). у Имеем: I1 = -6 + JJ 5dxdy- JJ zdzdx+ (ОАС) + Рис. 255 (АОВ) 1 6-2х JJ (-О) dy dz = -6 + 5 · 2 · 2 · 3 - Jdx J zdz = (СОВ) 3 О о 1 /3 (6-2х) 2 dx=9-2· 1 ( -2 1) · (6-2х) 3 1 3 =-9. =+9- 2 3 0 о 58.4. Формула Стокса Связь между поверхностными и криволинейными интегралами П рода устанавливает следующая теорема. 433 Теорема 58.2. Если функции Р(х; у; z), Q(x; у; z) и R(x; у; z) непре рывны вместе со своими частными производными первого порядка в точках ориентированной поверхности S, то имеет место формула - дP)dxdy + (дR - дQ)dydz + (дР - дR)dxdz = !!( дQ дх ду ду дz дz дх s = f Pdx + Qdy + Rdz, (58.13) L где L - граница поверхности S и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (т. е. при обходе границы L поверхность S должна оставаться все время слева). Формула (58.13) называется формуло11, Стокса (Д. Г. Стокс - ан глийский математик, физик). f (х; у) - уравнение поверхности S, функции !(х; у), fx'(x;y), fy'(x;y) непрерывны в замкнутой области D (проекции по верхности S на плоскость Оху), L 1 - граница области D (см. рис. 256). Будем считать, что поверхность S пe z z = f (x; y) ресекается с любой прямой, параллель О Пусть z = ной оси Oz, не более чем в одной точ ке. Выберем верхнюю сторону поверхно сти S. Рассмотрим сначала интеграл вида f Р(х; у; z) dx. L Значения функции Р(х; у; z) на L рав ны значениям функции P(x;y;z(x;y)) на 1 У ~ L 1 • Интегральные суммы для криволи нейных интегралов П рода по контурам L и L 1 совпадают. Поэтому --L1 f P(x;y;z)dx = f P(x;y;z(x;y))dx. Рис. 256 L Применим к L1 этому интегралу формулу Остроградского-Грина (см. п. 56.3). Тогда получим: J P(x;y;z(x;y))dx = JJ(o- :У (P(x;y;z(x;y)))dxdy = Li дР D дР дz = - JJ(дy + дz · дy)dxdy. D 434 Преобразуем полученный двойной интеграл в равный ему поверх ностный интеграл П рода (см. п. 58.2). Для этого последнее равенство перепишем в виде ! P(x;y;z(x;y))dx = - !"f} Li (дР дР дz) д + дz. д у у S COS"(dS (см. 58.7) и используем уравнение нормали к поверхности S (см. (45.3)). Так как выбрана верхняя сторона поверхности S, т. е. cos 'У > О ('У острый угол между нормалью n имеет проекции - g~, n к поверхности S и осью О z), то нормаль - g~, 1. Направляющие косинусы пропорцио нальны соответствующим проекциям: дz дz cosa: cos/3: cos1 = - дх : - ду : 1. Отсюда - дz = cos /3 . Тогда ду COS"( -f'f(дP + дР. дz) COS"(dS = -f"f(дP - дР. cos/3) COS"(dS = } s ду дz ду = -jrf дР cos1ds - } ду s Следовательно, f L Р(х; у; z) dx = } s ду дz COS"( дР cos/3 ds = j" f дР dxdz - дР dxdy. дz !"{ } S } дz s дР ду дР дz dx dz - дdх dy. у Аналогично получаются при соответствующих условиях еще два равенства: f Q(x;y;z)dy= !"{} f R(x;y;z)dz= !"{} L L дQ дQ дxdxdy- дzdydz, S S дR дR дdydz- дxdxdz. у Складывая почленно три последних равенства, получаем формулу Стокса (58.13). • Отметим, что формулу Стокса (58.13) можно применить и для по верхностей более сложного вида (разбив ее на части рассмотренного выше типа). Формулу Стокса можно применять для вычисления криволиней ного интеграла по замкнутому контуру с помощью поверхностного ин теграла. 435 Из формулы Стокса вытекает, что если выполняются условия дQ дР дR дх = ду' дQ дР ду = дz' дR дz = дх (см. п. 56.4), то криволинейный интеграл по произвольному простран ственному замкнутому контуру L равен нулю: f Р dx+Q dy+Pdz =О. L Следовательно, в данном случае криволинейный интеграл не зависит от вида пути интегрирования. f х у dx + dy + zdz, где кон- Пример 58.3. Вычислить I = L окружность х 2 + у 2 = тур L - 2 3 R 2 ; z = О: а) непосредственно, 6) используя формулу Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу z = + я2 - х2 - у2. J Q Решение: Поверхность интегрирования изображена на рисунке 257. а) Запишем уравнение окружности в параметрической форме: х = Rcost, у= Rsint, z =О, t Е [0;27Г]. По формуле (56.7) имеем: 211" I = Рис. 257 J R cos 2 2 t · R 3 sin 3 t(-Rsint) · dt+ о 27f 27f J Rcostdt=-R j sin tcos tdt+0= + 4 6 о 2 о 2п 1 Rв 1 2 2 о Rв +8 2п j (2 sin2t) · 2 · (1- cos2t)dt = - 8 · J sin 2tdt+ = -R6 о 2п Rв Rв 7Г Rв Jsin 2tcos2tdt = - 16 J(1-cos4t) dt+O = - 16 27Г = - -8-. 2n 2 о о 6) По формуле Стокса (58.13) находим: I = //(О - О) dy dz + (О - О) dx dz + (О - 3х 2 у 2 ) dx dy = 8 = -3 JJ х2 у2 dx dy -3 JJ х2 у 2 dx dy. = S D Переходя к полярным координатам, получаем: I = -3 JJ r 5 sin2 R 2n 'Р · cos 2 'Р dr d'P = -3 D J О 436 sin2 'Р cos2 'Р d'{J · Jr dr = 5 О =-~R6 6 2 7Г 2 7Г 1 1 1 2cpdcp --R J ! -· 4 8 2 sin 2 = 6 • - о (1 - cos4cp) dcp = о = - R6 . ср,27Г +О= - 1ГR6. 16 о 8 58.5. • Некоторые приложения поверхностного интеграла 11 рода С помощью поверхностного интеграла П рода можно найти объем тела, ограниченного сверху поверхностью S2 (z = z2 (x; у)), снизу -- поверхностью S 1 (z = z 1 (x;y)), сбоку- цилиндрической поверхностью S3 , образующие которой параллельны оси Oz: V = ~ JJ xdydz + ydzdx + zdxdy, (58.14) s где S = S1 + S2 + Sз. Действительно, положив в формуле Остроградского-Гаусса (58.9) P(x;y;z) = х, Q(x;y;z) =О, R(x;y;z) =О, находим: JJ xdydz = JJJ dxdydz, т. е. V = JJ xdydz. s v (58.15) s Аналогично, полагая Р = О, Q = у, R = О, находим еще одну формулу для нахождения объема тела с помощью поверхностного ин теграла П рода: V = JJ ydxdz. (58.16) s Наконец, положив Р =О, Q =О, R = z, по формуле (58.9) находим третью формулу V = JJ zdxdy, (58.17) s выражающую объем тела через поверхностный интеграл П рода. Сложив почленно равенства (58.15)-(58.17) и разделив на три, по лучим формулу (58.14). Другие применения поверхностного интеграла П рода рассмотрим в главе XVI «Элементы теории поля». Глава Xlll. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ / Лекции 51-521 § 59. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 59.1. Основные понятия Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследо ваниях математического анализа, имеют разнообразные практические применения. ~ Числовим рядом (или просто р.ядом) называется выражение вида 00 L (59.1) Un = U1 + U2 + ... + Un + ... , n=1 где и 1 , и 2 , ... , Un, ... - действительные или комплексные числа, назы ваемые -членами ряда, Un - общим членом ряда. Ряд (59.1) считается заданным, если известен общий член ряда Un, выраженный как функция его номера п: Un = Е§] f(n). Сумма первых п членов ряда (59.1) называется п-й ·ч,асmи-чноii суммоil, ряда и обозначается через Sn, т. е. Sn = и~ + и2 + · · · + Un· Рассмотрим частичные суммы Если существует конечный предел S = lim Sn последовательно п---tоо сти частичных сумм ряда (59.1), то этот предел называют суммоii 00 ряда (59.1) и говорят, что ряд сходится. Записывают: S = 2::: Un· n=1 Если lim Sn не существует или lim Sn = оо, то ряд (59.1) назы- n-+оо n-1-oo вают расходящимся. Такой ряд суммы не имеет. Рассмотрим примеры. 1. Ряд 2 + 17 - з;\ + 196 + . . . нельзя считать заданным, а ряд 2 + 5 + 8 + ... - можно: его общий член задается формулой Un = 3п -1. 2. Ряд О + О + О + ... + О + . . . сходится, его сумма равна О. 3. Ряд 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... расходится, Sn = п -t оо при n -+ оо. 4. Ряд 1-1+1-1+1-1 +... расходится, так как последовательность частичных сумм 1, О, 1, О, 1, О, ... (S1 = 1, S 2 = О, 5 3 = 1, ... ) не имеет предела. 438 1 00 5. Ряд .L: n=l п(п 1 S1 = S2 + 1) сходится. Действительно, 1 2' 1.2 = 1- 1 + - 1 = (1 - ~) + (~ - ~) = 1 - ~ = -1·2 2. 3 2 2 3 3' ................... ' Sn = 1 1 1 1 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + п(п + 1) = = (1- ~) + (~ - ~) + (~ - ~) + ... + (~ - п: 1) = l - п: 1 · Следовательно, lim Sn = lim (1 - __!_l) = 1, n--+oo n--+oo n+ т. е. ряд сходится, его сумма равна 1. Рассмотрим некоторые важные свойства рядов. Своil,ство 1. Если ряд (59.1) сходится и его сумма равна S, то ряд 00 L CUn = CU1 + CU2 + ... + CUn + ... , (59.2) n=1 где с - произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (59.1) расходится и с=/. О, то и ряд (59.2) расходится. 0 Обозначим п-ю частичную сумму ряда (59.2)через S~и). Тогда s~и) = CU1 + CU2 + ... + CUn = с(и~ + Uz + ... + Uп) =с. Sn. Следовательно, lim s~и) = lim сSп =с· lim Sп =с· S, n--+oo n--+oo n--+oo т. е. ряд (59.2) сходится и имеет сумму cS. Покажем теперь, что если ряд (59.1) расходится, с =/. О, то и ряд (59.2) расходится. Допустим противное: ряд (59.2) сходится и имеет сумму S1 . Тогда S1 = n--+oo lim s~и) = lim сSп = с lim Sп. n--+oo n--+oo Отсюда получаем: lim Sп- 81 ' n--+oo т. е. ряд С (59.1) сходится, что противоречит условию о расходимости ряда (59.1). 8 439 Своii.ство 2. Если сходится ряд (59.1) и сходится ряд 00 (59.3) LVn, n=l а их суммы равны S 1 и S2 соответственно, то сходятся и ряды 00 L(un ± Vn), (59.4) n=l причем сумма каждого равна соответственно S1 ± Sz. О Обозначим n-e частичные суммы рядов (59.1), (59.3) и (59.4) через S~и), S~v) и Sn соответственно. Тогда lim Sп = lim (S(и) ± S(v)) = lim s~и) ± lim S~v) = 81 ± Sz, n-tex> n-+oo n n n---too n---too т. е. каждый из рядов (59.4) сходится, и сумма его равна S 1 ± Sz соот ветственно. • !i Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд. В справедливости этого утверждения можно убедиться методом от противного. Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом. Своi1ство 3. Если к ряду (59.1) прибавить (или отбросить) конеч ное число членов, то полученный ряд и ряд (59.1) сходятся или расхо дятся одновременно. О Обозначим через S сумму отброшенных членов, через k - наиболь ший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставших ся членов ряда (59.1), будем считать, что на месте отброшенных чле нов поставили нули. Тогда при n Sп - S~ = S, где S~ - > k будет выполняться равенство это n-я частичная сумма ряда, полученного из ряда (59.1) путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому lim Sn = S + lim S~. Отсюда следует, что пределы в левой и правой n-+oo n-+oo частях одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (59.1) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходят ся) ряды без конечного числа его членов. Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов. Ряд • 00 Un+l + Un+z + · · · = L Uk (59.5) k=n+I называется n-м остатком ряда (59.1). Он получается из ряда (59.1) отбрасыванием п первых его членов. Ряд (59.1) получается из остатка 440 нобавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (59.1) и его остаток (59.5) одновременно сходятся или расходятся. [(il Из свойства 3 также следует, что если ряд (59.1) сходится, то его = S - Sn = Un+I + Un+2 + ... стремится к нулю при lim rn = о. остаток rn п -+ оо, т. е. n-;oo 59.2. Ряд геометрической прогрессии Исследуем сходимость ряда а+ aq + aq 2 + ... + aqn-l +... (а-:/; О), (59.6) который называется р.ядом геометри'ЧескоiJ, прогрессии. Ряд (59.6) ча сто используется при исследовании рядов на сходимость. Как известно, сумма первых n членов прогрессии находится по формуле Sn = а(~ --qqn), q-:/; 1. Найдем предел этой суммы: 1" a(l - qn) а 1" qn . S 11m n= 1m =---а 1m - - . n-+oo n-;oo 1- q 1- q n-;oo 1 - q Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q: 1. Если lql < 1, то qn -+ О при n -+ оо. Поэтому lim Sn = -1 а п-;оо ряд (59.6) сходится, его сумма равна -1 а - q , ; -q 2. Если lql > 1, то qn -+ оо при n -+ оо. Поэтому lim Sn = оо, n-+oo ряд (59.6) расходится; 3. Если lql = 1, то при q = 1 ряд (59.6) принимает вид а+а+а+···+а+···,длянегоSп=n·аи lim Sп=оо,т.е.ряд(59.6) п-;оо расходится; при q = -1 ряд (59.6) принимает вид а - а+ а - а+ ... в этом случае Sn = О при четном n и Sn = а при нечетном n. Следова тельно, ~ lim Sn не существует, ряд (59.6) расходится. n-+oo Итак, ряд геометрической прогрессии сходится при ходится при lql ~ 1. lql < 1 и рас- ! Пример 59.1. Показать, что ряд 23 + 22 + 2 + + ... + 2 п1:_3 + ... сходится. Q Решение: Данный ряд можно переписать так: 3 31 31 31 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 22 + ... + 2 · 2 п + · · · Как видно, он представляет собой ряд геометрической прогрессии с а= 23 и q = ! < 1. Этот ряд сходится согласно свойству 1 числовых • рядов. 441 59.3. НеобхоАимый признак сходимости числового РЯАа. Гармонический РЯА Нахождение п-й частичной суммы Sn и ее предела для произволь ного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки схо димости. Первым из них, как правило, является необходимый признак сходимости. Теорема 59.1. Если ряд (59.1) сходится, то его общий член ип стре мится к нулю, т. е. lim иn = О. n-+oo Q Пусть ряд (59.1) сходится и n-f.oo lim Sп = S. Тогда и lim Sп-1 = S n---700 (при п--+ оо и (п - 1)--+ оо). Учитывая, что Un = Sn - Sn-1 при п > 1, получаем: lim Un = lim (Sn - Sn-1) = lim Sn - lim Sn-1 = S - S =О. n-+oo n-+oo n-+oo n-+oo 8 Следствие 59.1 (достаточное условие расходимости ряда). Если lim Un f. О или этот предел не существует, то ряд расходится. n-+oo а Действительно, если бы ряд СХОДИЛСЯ, ТО (по теореме) lim ип = 0. n-+oo Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится. Пример 59.2. Исследовать сходимость ряда • f Зп+- 52 . n=1 n r. р ряд ~ Зп-2 расходится, т. к. '-.1 ешение: ~ п + n-1 5 3 - 2 lim ип = lim ~ = 3 f. О, n-+oo n-+oo n + i> т. е. выполняется достаточное условие расходимости ряда. Пример 59.3. • Исследовать сходимость ряда (1+~)1 +(1+~)2 +... +(l+~)n+ ... а Решение: Данный ряд расходится, т. к. n-+oo lim Un = lim (1 + 1) n n-+oo n = е f. О. 8 442 Теорема 59.1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не lim Un = О не следует, что ряд сходит достаточное: из условия n-+оо ся. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых lim Un =О. n-too В качестве примера рассмотрим так называемый гар.мони'Ч,ескufi, ряд 1 1 1 1 1 1 +2+3+4+ ... +;;:+ ... 2:::;;:= 00 (59.7) n=1 Очевидно, что это. lim Un =О. Однако ряд (59.7) расходится. Покажем n-too О Как известно (см. (17.14)), n-too lim (1 + l)n = е. Отсюда следует, что n при любом п Е N имеет место неравенство ( 1 + ~) п < е. Логарифмируя это неравенство по основанию е, получим: п · ln( 1 + ~) < 1, т. е. .!_ > ln п + 1, п п 1 - > ln(n + 1) - ln п. п Подставляя в полученное неравенство поочередно п = 1, 2, ... , п - 1, п, получим: 1 > ln2, 1 - > ln3- ln2 2 ' 1 - > ln4- ln3 з ' .................. , 1 - > ln (п + 1) - ln п. п Сложив почленно эти неравенства, получим Sn > ln(n ку lim ln(n + 1) = оо, получаем n~oo lim Sn = + 1). Посколь оо, т. е. гармонический п~оо ряд (59.7) расходится. • В качестве второго примера можно взять ряд Здесь lim Un = lim n-too Ь = О. Однако этот ряд расходится. n-too у n 443 О Действительно, 1 1 1 1 1 1 1 1 Sп = Vl + J2 + vГз + ... у'п > у'п + у'п + ... у'п = у'п · п = ..;n, т. е. Sn > у'п. Следовательно, Sn--+ оо при п--+ оо, ряд расходится. 8 § бО. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЗНАКОПОСТОЯННЫХ РЯДОВ Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, возмож ности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достато-ч,н'Ьtх признаков. Е§1 Рассмотрим некоторые из них для знакоnоJtи.нсumеJtъных ря дов, т. е. рядов с неотрицательными членами (знакоотрицательный ряд переходит в знакоположительный путем умножения его на ( -1), что, как известно, не влияет на сходимость ряда). бО.1. Признаки сравнения рядов Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим («эта.лонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы. Теорема 60.1. Пусть даны два знакоположительных ряда 00 (60.1) и 00 LVn. (60.2) n=l Если для всех п выполняется неравенство (60.3) то из сходимости ряда (60.2) следует сходимость ряда (60.1), из рас ходимости ряда (60.1) следует расходимость ряда (60.2). О Обозначим n-e частичные суммы рядов (60.1) и (60.2) соответствен но через S~и) и S~v). Из неравенства (60.3) следует, что (60.4) 444 Пусть ряд (60.2) сходится и его сумма равна S 2. Тогда lim S~v) = S2. n->oo Члены ряда (60.2) положительны, поэтому S~v) < S2 и, следовательно, с учетом неравенства (60.4), S~и) :::;; S2 . Таким образом, последователь ность siи), S~и), S~и), ... монотонно возрастает (ип > О) и ограниче на сверху числом S2 • По признаку существования предела (см. теоре ма 15.3) последовательность {S~и)} имеет предел lim S~n) = S 1 , т. е. n->oo ряд (60.1) сходится. Пусть теперь ряд (60.1) расходится. Так как члены ряда неотри цательны, в этом случае имеем lim S~и) = оо. Тогда, с учетом нера п--+оо венства (60.4), получаем lim s~v) = оо, т. е. ряд (60.2) расходится. • n->oo За.ме'Чшние. Теорема 60.1 справедлива и в том случае, когда нера венство (60.3) выполняется не для всех членов рядов (60.1) и (60.2), а начиная с некоторого номера N. Это вытекает из свойства 3 числовых рядов (см. п. 59.1). Теорема 60.2 (предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда (60.1) и (60.2). Если существует конечный, отличный от О, предел lim ~ = А (О < А < оо), то ряды (60.1) n->oo Vn и (60.2) сходятся или расходятся одновременно. Q По определению предела последовательности (см. п. 15.2) для всех п, кроме, возможно, конечного числа их, для любого Е > О выполняется неравенство 1 ~ - А 1 < Е, или (А - Е) · Vn < Un < (А+ Е) · Vn. (60.5) Если ряд (60.1) сходится, то из левого неравенства (60.5) и теооо ремы 60.1 вытекает, что ряд L: (А - e)vn также сходится. Но тогда, n=1 согласно свойству 1 числовых рядов (см. п. 59.1), ряд (60.2) сходится. Если ряд (60.1) расходится, то из правого неравенства (60.5), тео ремы 60.1, свойства 1 вытекает, что и ряд (60.2) расходится. Аналогично, если ряд (60.2) сходится (расходится), то сходящимся (расходящимся) будет и ряд (60.1). • 00 Пример 60.1. Исследовать на сходимость ряд n~I 3 ) 2 п · 445 Q Решение: Сравним данный ряд с рядом геометрической: прогрессии ~ 1n , который сходится (q -_ l < 1) . Имеем 1 n~l 2 2 3 2n + < 21n . Следова- тельно, данный ряд сходится. 8 00 Пример 60.2. Исследовать сходимость ряда L зЬ· n=l vn Q Решение: Здесь Un = зЬ· Возьмем ряд с общим членом Vn = 1, vn п который расходится (гармонический ряд). Имеем зЬ ~ 1. Следоваvn п тельно, данный ряд расходится. 8 00 При.мер 60. 3. Исследовать сходимость ряда 2:: tg 57Г • n=l n Q Решение: Применим предельный признак сравнения. Так как tg 2L lim ---f1- = zr. 5 :/- О (см. пример 17. 7), то по теореме 60.2 исходный n-too n ряд расходится, как сравнимый: с гармоническим рядом. 60.2. 8 Признак Даламбера В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и за паса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (1717-1783, французский: математик) позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим ря дом. Теорема 60.3. Пусть дан ряд (59.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел lim Un+i = l. n-too Тогда ряд сходится при l < 1 и расходится при l > 1. Un О Так как lim Un+l = l, то по определению предела для любого е > О n-too Un найдется натуральное число N такое, что при п > N выполняется неравенство Un+I Un Un+l ll < е или l-e<--<l+e. (60.6) Un ' Можно подобрать е так, что число l+e < 1. Обозначим Пусть l < 1. l + е = q, q < 1. Тогда из правой части неравенства (60.6) получаем Un+I - < q, или Un+I < q · Un, п > N . В силу свойства 3 числовых рядов Un 446 можно считать, что иn+l < q · иn для всех п = 1, 2, 3, ... Давая номеру п эти значения, получим серию неравенств: U2 < q · ut, из < q · и2 < q2 щ, U4 < q · из < qз и~, .................. ' т. е. члены ряда U2 + из + и4 + ... + иn + . . . меньше соответствующих членов ряда qui + q 2 и1 + qзui + ... + qn+lui + ... , который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем О< q < 1. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд и2 +из + ... + иn + ... , следовательно, сходится и исходный ряд (59.1). Пусть l > 1. В этом случае lim Un+l = l > 1. Отсюда следует, что, n-+oo Un начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство ип+~ иn или > 1, Un+1 > Un, т. е. члены ряда возрастают с увеличением номера п. Поэтому lim иn i О. На основании следствия из необходимого призна n-+оо ка (см. п. 59.3) ряд (59.1) расходится. • Заме'Чан:ия. 1. Если l = 1, то ряд (59.1) может быть как сходящимся, так и расходящимся. 2. Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида п! или ап. Пример 60.4. Исследовать на сходимость ряд Е -\. n=l n. Q Решение: Находим 1 Un+l . lim (n+l)! = 1lffi - - = n-+oo --ln-+oo Un nf . 1lffi n-+oo (n п! + 1)! . 1 1lffi -+1 n-+oo n Так как l = О < 1, то данный ряд по признаку Даламбера сходится. Пример 60.5. Исследовать сходимость ряда 447 оо n 3 L -:::2· n=l n о. 8 Q Решение: Вычисляем l= lim ( n4oo 3n+1 (n + 3n) 1) 2 3n.3.n2 n4oo 3n · (n + 1) 2 : - = lim n2 =3 lim n4oo Так как l = 3 2 =3 lim ( -1(-п-) п+1 n4oo 1 + n 2 1 ) =3. > 1, то данный ряд по признаку Даламбера расходится . • 60.З. Радикальный признак Коши Иногда удобно пользоваться радикальнiым признаком Коши для исследования сходимости знакоположительного ряда. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера, о чем говорят его формулировка и доказательство. Теорема 60.4. Пусть дан ряд (59.1) с положительными членами и lim ~ = l. существует конечный или бесконечный предел n4oo < 1 и расходится при l > 1. Тогда ряд сходится при l Как и для признака Даламбера, в случае, когда l = 1, вопрос о сходимости ряда остается открытым. Доказательство теоремы анало гично доказательству признака Даламбера. Поэтому опустим его. оо Пример 60. 6. Исследовать на сходимость ряд L 32n · ( п+ 1 ) n=l n2 n Q Решение: Так как n n2 оо 1 n n2 2 L3n·(n+l) = 'L3n·(n+1) ' 2 оо n=l n=l то применим радикальный признак Коши к ряду n 1 оо L 3n. (n + 1) n2 n=l Вычисляем l = lim n 'и;; = lim n Ряд L з1п · ( п+ 1 ) n=l n n2 n4oo у "'n оо n4oo )п 2 - 1 lim 1 - 1 1 <1 3n . п + 1 - 3 n4oo ( 1 + ~) n - 3 . е 1 ( n . сходится, а значит, сходится и исходный ряд, согласно свойству 1 числовых рядов. 8 448 60.4. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд 00 Теорема 60.5. Если члены знакоположительного ряда 2:: Un могут n=l быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1; +оо) функции f(x) так, что Ui = f(l), U2 = /(2), ... , Un = 1) если f(n), ... , то: +оо j f(x) dx сходится, то сходится и ряд (59.1); 1 2) если +оо j f(x) dx расходится, то расходится также и ряд (59.1). 1 О сходимости несобственных интегралов см. § 40. Q Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху гра фиком функции у= f(x), основанием которой служит отрезок оси Ох от х = 1 до х = п (см. рис. 258). у о 1 2 3 п-1 п х Рис. 258 Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки [1; 2], [2; 3], ... Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем: n /(2)·1+ /(3)·1+ ... + f(n)·l < Jf(x) dx < f(l)-1+ f(2)·1+ ... + f(n-1)·1, 1 449 или n Jf(x) dx <и~+ и2 + ... + (60.7) Sn < f f(x) dx < Sn Слу'Чаii, 1. Несобственный интеграл J f(x) dx сходится, т. е. J f(x) dx = А. Поскольку Jf(x) dx < J J(x) dx = А, то с учеи2 +из+ ... + Un < Un-1, 1 или n Ui Un. 1 +ос 1 n +ос 1 +ос 1 1 том неравенства (60.7) имеем: Sn - и~ <А, т. е. Sn <и~+ А. Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограни чена сверху (числом и~+ А), то, по признаку существования предела, имеет предел. Следовательно, ряд (59.1) сходится. Слу'Чаii, 2. Несобственный интегра.r1 +ос J f(x) dx расходится. Тогда 1 n Jf(x) dx неограниченно возрастают при п-+ оо. Учитывая, что Sn > Jf(x) dx + (см. получаем, +ос J f(x) dx = +оо и интегралы 1 1 n Un (60.7)), 1 что Sn -+ оо при п -+ оо. Следовательно, данный ряд (59.1) расходится . Заме'Чание. Вместо интеграла +оо • J f(x) dx можно брать интеграл +оо J f(x) dx, где k Е N, k > 1. Отбрасывание k первых членов ряда 1 k в ряде (59.1), как известно, не влияет на сходимость (расходимость) ряда. Прuмер 60. 7. Исследовать на сходимость ряд f: --11- . n= 2 п · nn Q Решение: Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функция f(x) = - 11 удовлетворяет условиям теоремы 60.5. Находим х nx +оо dx J xlnx ln llnxlj~ = оо. = 2 - расходится. Значит, ряд с общим членом Un = -х 11nx 450 • Ряд (60.8) J'Де р >О- действительное число, называется обобщеннuм гармони 'Ческим рядом. Для исследования ряда (60.8) на сходимость применим интегральный признак Коши (признаки Даламбера и Коши ответа о сходимости не дают). Рассмотрим функцию f(x) = х1Р. Эта функция непрерывна, моно тонно убывает на промежутке (1; +оо) и f(n) = п1Р = Un. При р 1= 1 имеем: оо ! d а 1-р ~ = lim Jx-Pdx = lim _x__ la = хР 1 а-+оо а-+оо 1 - р 1 1 - 1-р 1 { 1 lim (-а__ - - - ) - р-1' а-+оо 1 - р 1- р оо, если р > 1, если р < 1. ~ При р = 1 имеем гармонический ряд Un = 1, который расходится ~ п 00 (второй способ: j ~ = оо). Итак, ряд (60.8) сходится при р > 1, 1 1 + 32" 1 + ... + ~ 1 + ... 1. В частности, ряд 1 + ~ сходится (полезно знать). п расходится при р ~ Рассмотренные признаки сходимости (есть и другие) знакополо жительных рядов позволяют судить о сходимости практически любого положительного ряда. Необходимые навыки приобретаются на практи ке. § 61. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ бl.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующи мися. Знако"tередующимся рядом называется ряд вида 00 Ui - U2 + U3 - U4 +. · · + (-1)n+1Un + · · · = z)-1)n+1Un, (61.1) n=l где Un > О для всех п Е N (т. е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Для знакочередующихся рядов имеет место достаmо'Чниi1, признак сходимости (установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И. Бер нулли). 451 Теорема 61.1 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (61.1) сходится, если: 1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е. щ > и2 >из > · · · > ип > ... ; 2. Общий член ряда стремится к нулю: lim иn =О. n-400 При этом сумма S ряда (61.1) удовлетворяет неравенствам 0 < S <и~. (61.2) О Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа (2m) членов ряда (61.1). Имеем S2m =и~ - и2 +из - и4 + .. · + и2m-1 - и2m = = (щ - и2) +(из - щ) + ... + (и2m-1 - и2т)· Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, поло жительно. Следовательно, сумма S2m > О и возрастает с возрастанием номера 2m. С другой стороны, S2m можно переписать так: S2m = щ - (и2 - из) - (и4 - U5) - ... - (u2m-2 - и2m-1) - и2т· Легко видеть, что S 2m имеет предел < щ. Таким образом, последовательность S2, 84, возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она S 6 , ••• , S 2 m, . . . lim S2m = S, причем О < S < щ. n-400 Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа (2m+ 1) чле- нов ряда (61.1). Очевидно, что S2m+1 = S2m + U2m+i· Отсюда следует, что • lim S2m+i = lim (S2m + и2m+i) = lim В2т +О= S, m-400 т. к. m-400 m-400 lim u 2m+l = О в силу второго условия теоремы. Итак, lim Sn = S m---too n---+oo как при четном п, так и при нечетном п. Следовательно, ряд (61.1) сходится, причем О < S < и1. • Заме-ч,ания. 1. Исследование знакочередующегося ряда вида -щ + U2 - из + U4 - ••• (61.3) (с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (-1) к исследованию ряда (61.1). Ряды (61.1) и (61.3), для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются леttбницевскими (или рядами Лейбница). liJ 2. Соотношение (61.2) позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного 452 ряда его частичной суммой Sn. Отброшенный ряд (остаток) предста- 11ляет собой также знакочередующийся ряд (-1)п+ 1 (ип+1 -ип+2 + ... ), сумма Нп которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т. е. < ип+l· Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных •1ленов. Пример 61.1. Вычислить приблизительно сумму ряда f)-l)n-1. ln· п n=l Q Решение: Данный ряд лейбницевского типа. Он сходится. Можно 3аписать: 1 - ~ + -Ь = S. Взяв пять членов, т. е. заменив S на - ··· 1 55 1 1 1 3 1 1 1 = 1 - 22 + 33 - 44 + 55 = 4 + 27 - 256 + 3125 :::::: О, 7834 ' сделаем ошибку, меньшую, чем -Ь = 46 ~ 56 < 0,00003. Итак, S:::::: 0,7834 . • бl.2. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов ~ Знакочередующийся ряд явл~ется частным случаем знакопере менного ряда. Числовой ряд L: un, содержащий бесконечное мно n=l жество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакоnеременн'ЬtМ. Для знакопеременных рядов имеет место следующий общи11 доста mо'Чн:ы11 признак сходи.мости. Теорема 61.2. Пусть дан знакопеременный ряд Ui + U2 + · · · + Un + · ·· (61.4) Если сходится ряд (61.5) составленный из модулей членов данного ряда, знакопеременный ряд (61.4). 453 то сходится и сам О Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов (61.4) и (61.5): 00 (и~+ lиil) + (и2 + lи2I) + · · · + (un + Junl) + · · · = ~)ип + lипl). n=1 00 Очевидно, что О :::; Un + lиnl :::; 2Junl для всех п Е N. Но ряд I: 2Junl n=l сходится в силу условия теоремы и свойства 1 числовых рядов (п. 59.1) . Следовательно, на основании признака сравнения (п. 59.3) сходится 00 и ряд I: (ип + lиnl). Поскольку данный знакопеременный ряд (61.4) n=1 представляет собой разность двух сходящихся рядов 00 00 00 n=l n=l n=l то, на основании свойства 2 числовых рядов, он (ряд (61.4)) сходится . • Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если сходится ряд (61.4), то это не означает, что будет сходиться ряд (61.5). При.мер 61.2. Исследовать сходимость ряда f: (-l)n+l .1. n n=l Q Решение: Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака Лейбница. Следовательно, указанный ряд сходит ся. Однако ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т. е. ряд 1 1 1 1 +2+з+4 + ··· = расходится (гармонический ряд). 1 2:: ~, n=l 00 • 61.3. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов Знакопеременный ряд называется абсо.ttюmно с:z:одящи.мся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Знакопеременный ряд называется усл,овно с:z:од.ящи.мс.я, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расхо дится. Так, ряд, показанный в примере (61.2), условно сходящийся. Ряд ~(-l)n-1. ~ п! L.,, n=1 454 Абсолютно сходится, т. к. ряд, составленный из модулей его членов, 1~ходится (см. пример 60.4). Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды зани мают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства ко- 11ечных сумм (переместительность, сочетательность, распределитель- 11ость). Основные свойства абсолютно сходящихся рядов приводим без до казательства. liJ 1. . Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму 8, то ряд, полу- ченный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму 8, что и исходный ряд (теорема Дирихле). 2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами 8 1 и S 2 можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящий ся ряд, сумма которого равна 8 1 + 82 (или соответственно 8 1 - 82). 3. Под произведением двух рядов и~ + и2 + ... и v1 + v2 + ... пони мают ряд вида (uiv1) + (uiv2 + u2v1) + (и1Vз + u2v2 + изv1) + ... · · · + (utVn + U2Vn-1 + · · · + UnV1) + · · · Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами 8 1 и 82 есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна 81 · 82. Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычи таются, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не за висят от порядка записи членов. В случае условно сходящихся рядов соответствующие утвержде ния (свойства), вообще говоря, не имеют места. Так, переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добить ся того, что сумма ряда изменится. Например, ряд 1 - ~ + i - ! + ... условно сходится по признаку Лейбница. Пусть его сумма равна 8. Пе репишем его члены так, что после одного положительного члена будут идти два отрицательных. Получим ряд 111111 1 1 1 - 2 - 4 + 3 - 6 - 8 + 5 - 10 - 12 + ... = 1 1 1 1 1 1 = 2 - 4 + 6 - 8 + 10 - 12 + ... = = ~ ( 1 - ~ + ~ - ~ + ~ - ~ +. ") = ~8. Сумма уменьшилась вдвое! Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ря да можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или расходящийся ряд (теорема Римана). 455 Поэтому действия над рядами нельзя производить, не убедившись в их абсолютной сходимости. Для установления абсолютной сходимо сти используют все признаки сходимости знакоположительных рядов, заменяя всюду общий член ряда его модулем. Глава XIV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ / Лекции 53-551 § 62. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 62.1. Основные понятия Ряд, членами которого являются функции от х, называется функ циональным: 00 L Uп(х) = ut (х1) + и2(х) + ... + Un(x) + ... (62.1) n=1 Придавая х определенное значение х 0 , мы получим числовой ряд ut(xo) + и2(хо) + ... + ип(хо) + ... , который может быть как сходящимся, так и расходящимся. ~ Если полученный числовой ряд сходится, то точка х 0 называет ся mo-чкoii. сходи.мости ряда (62.1); если же ряд расходится mo-чкoii. расходимости функционального ряда. Совокупность числовых значений аргументах, при которых функ циональный ряд сходится, называется его областью сходимости. В области сходимости функционального ряда его сумма являет ся некоторой функцией от х: S = S(x). Определяется она в области сходимости равенством S(x) = lim Sn(x), n-too где Sп(х) = ut(x) + и2(х) + ... + un(x) - частичная сумма ряда. 00 Пример 62.1. Найти область сходимости ряда L xn. n=O Q Решение: Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем q = х. Следовательно, этот ряд сходится при lxl < 1, т. е. при всех х Е (-1; 1); сумма ряда равна -1 1 : -х 00 1 S(x) = ~ xn = --, ~ 1-х n=O Пример при lxl < 1. 62.2. Исследовать сходимость функционального ряда ~ sinn 2 x ~ n=1 2 n 457 • • Q Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда: 2 lsi;2x 1+lsin2;х1+ ... +1si:~2x 1+... (62.2) Так как при любом х Е IR имеет место соотношение j sinn~ 2 x 1 ~ ~' а ряд с общим членом А сходится (обобщенный гармонический ряд, п р = 2 > 1, см. п. 60.4), то по признаку сравнения ряд (62.2) сходится при х Е Jlt Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится при всех х Е IR = (-оо; +оо). ~ 8 Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях осо бую роль играет ряд, членами которого являются степенные функ ции аргументах, т. е. так называемый cmeneн'НOii. pяiJ: 00 L anxn = ао + aix + а2х2 + ... + anxn + . . . (62.3) n==O Действительные (или комплексные) числа ао, а 1 , а 2 , .•• , an, ... на зываются коэффициентами ряда (62.3), х Е IR - действительная переменная. Ряд (62.3) расположен по степеням х. Рассматривают также сте пенной ряд, расположенный по степеням (х - х 0 ), т. е. ряд вида 00 L ап(х - xo)n = ао + ai (х - Хо) + · · · + ап(Х - Xo)n + ... , (62.4) n==O где Хо - некоторое постоянное число. Ряд (62.4) легко приводится к виду (62.3), если положить х-х 0 = z. Поэтому при изучении степенных рядов можем ограничиться степен ными рядами вида (62.3). § 63. СХОДИМОСТЬ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (62.3). Область сходимости степенного ряда (62.3) содержит по крайней мере одну точку: х =О (ряд {62.4) сходится в точке х = х 0 ). 63.1. Теорема Н. Абеля Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы. Теорема х 63.1 (Абель). Если степенной ряд (62.3) сходится при = хо ;/ О, то он абсолютно сходится при всех значениях х, удо влетворяющих неравенству lxl < !хо 1458 О По условию ряд 00 I: anxo сходится. Следовательно, по необходимо n=О lim anxo = О. Отсюда следует, что величина n--+oo anXo ограничена, т. е. найдется такое число М > О, что для всех п выполняется неравенство lanxol ~ М, п =О, 1, 2, ... му признаку сходимости Пусть lxl < lxo 1, тогда величина q = 1 ; 0 1 < 1 и, следовательно, lanxnl=lanxol·l:;1 ~M·qn, n=0,1,2, ... , т. е. модуль каждого члена ряда (62.3) не превосходит соответствую щего члена сходящегося (q < 1) ряда геометрической прогрессии. По lxl < lxol ряд (62.3) абсолютно схо этому по признаку сравнения при дящийся. • Следствие 63.1. Если ряд (62.3) расходится при х = х 1 , то он рас ходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству lxl > lx1 j. Q Действительно, если допустить сходимость ряда в точке х 2 , для которой lx2I > lx1I, то по теореме Абеля ряд сходится при всех х, для которых lxl < lx2I, и, в частности, в точке Х1, что противоречит усло ~ю. • 63.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда Из теоремы Абеля следует, что если Хо -:/:- О есть точка сходимо сти степенного ряда, то интервал сходимости данного ряда; при ( -lxo 1; lxo 1) весь состоит из точек всех значениях х вне этого интервала ряд (62.3) расходится. - R ряд расходится ряд сходится R o:.:i:i:i:t:i))))X•X•)))))X(•XW:(•))):(((((((((((((t;J О jx 0 j -lxol ряд расходится Рис. 259 Е§1 Интервал (-lxol; lxol) и называют интервалом сходимости lxol = R, интервал сходимости можно степенного ряда. Положив записать в виде ( - R; R). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т. е. которых R > О- это такое число, что при всех х, для lxl < R, ряд (62.3) абсолютно сходится, а при lxl > R ряд расходится (см. рис. 259). 459 В частности, когда ряд (62.3) сходится лишь в одной точке х 0 =О, то считаем, что R = О. Если же ряд (62.3) сходится при всех значениях х Е JR (т. е. во всех точках числовой оси), то считаем, что R = оо. Отметим, что на концах интервала сходимости ( т. е. при х =Rи при х = - R) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно. Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (62.3) мож но поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда laol + la1xl + la2x2 + ... + lanxnl + ... 1 и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует пре дел 1.lffi 'Un+l -Un n-too I= n-+oo i· 'an+1xn+I I= anX n lffi l О, 1Х 1 • l"lffi lan+I - - ...J. т- n-+oo an х :/: о. По признаку Даламбера ряд сходится, если lxl · lim j an+I 1 < 1, т. е. n-too an ряд сходится при тех значениях х, для которых . 1- an 1; xl < 1·1m 11an+1 1 = n-+oo l1m an+I 1 n--+oo ап ряд, составленный из модулей членов ряда (62.3), расходится при тех значениях х, для которых lxl > lim 1~1. Таким образом, для ря n-+оо an+I да (62.3) радиус абсолютной сходимости R = l.lffi 1-an- 1. n-too an+I (63.1) Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно установить, что 1 R=----lim n-too Заме-чани.я. yja'J" (63.2) 1 1= о, то можно убедиться, что ряд (62.3) aб 1. Если lim an+I n-too an солютно сходится на всей числовой оси. В этом случае R = оо. Если I lim /an+I = оо, то R =О. n-+oo an 2. Интервал сходимости степенного ряда (62.4) находят из нера lx - Хо < R; имеет вид (Хо - R; Хо + R). 3. Если степенной ряд содержит не все степени х, т. е. задан непол венства 1 ный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без опреде ления радиуса сходимости (формулы (63.1) и (63.2)), а непосредственно 460 11рименяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей членов данного ряда. оо n n=O n. Пример 63.1. Найти область сходимости ряда 'Е ~ Q Решение: Воспользуемся формулой (63.1): R = lim 1 n--+oo ti = (n+l!) 1 lim n--+oo (п +, l)! = lim (п + 1) = оо. n. n--+oo Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси . • Пример 63.2. хз Найти область сходимости ряда хз х7 x2n-1 х - 3 + S - 7 + · · · + (- l )n+l 2п - 1 + · · · Q Решение: Заданный ряд неполный. Воспользуемся признаком Да ламбера. Для данного ряда имеем: lx2n-1 I lиnl = 2 п _ 1, lx2n+l I lипнl = 2 п + 1 ' lim 1ип+11 = lim 1x2nнl. (2п -1) = 1x2I · lim 2п -1 = х2. + 1) · ix 2 n-l I n--+oo 2n + 1 Ряд абсолютно сходится, если х 2 < 1 или -1 < х < 1. Исследуем n--+oo Un n--+oo (2n поведение ряда на концах интервала сходимости. i - ! + +- ... ,который сходится по i + ! - ++ ... - это тоже сходящий При х = -1 имеем ряд -1 + признаку Лейбница. При х = 1 имеем ряд +1 - ся лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок [-1; 1]. Пример 63.3. 8 Найти область сходимости ряда t ~-~:~~- n=1 Q Решение: Находим радиус сходимости ряда по формуле (63.1): R = lim 1 n--+oo 1 n · 2n-l : 1 (n + 1) · 2n 461 1 = lim (п + 1). 2n = 2. n--+oo n. 2n-l Следовательно, ряд сходится при -2 < х При х = + 2 < 2, т. е. при -4 < х <О. -4 имеем ряд ~ (-2)n = 2 ~(-l)n_! L.., n · 2n-l n' L.., n=l n=l который сходится по признаку Лейбница. При х = О имеем расходящийся ряд оо 2n оо 1 L: п. 2 п-1 = 2 L: ~· n=l n=l Следовательно, областью сходимости исходного ряда является по- луотрезок [-4; О). 8 63.3. Свойства степенных рядов Сформулируем без доказательства основнъtе сво11ства степенных рядов. lil 1. Сумма S(x) степенного ряда (62.3) является непрерывной функ цией в интервале сходимости ( - R; R). 00 00 n=О n=O liJ 2. Степенные ряды 2: anxn и 2: Ьпхn, имеющие радиусы сходимости соответственно R 1 и R 2 , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R 1 и R 2 . 3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда S(x) = ао + а1х + а2х 2 + азх 3 + ... + anxn +... при - R (63.3) < х < R выполняется равенство S'(x) = а1 + 2а2х + 3азх 2 + ... + п · anxn-l + ... (63.4) 4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом от резке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ря да (63.3) при -R <а< х < R выполняется равенство (см. замечание 1, с. 416) х х х х х j S(t) dt = j ао dt + j a1t dt + j a2t2 dt + ... + j antn dt + . . . (63.5) а а а а а Ряды (63.4) и (63.5) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд. Перечисленные свойства 1-4 остаются справедливыми и для сте пенных рядов вида (62.4). Свойства степенных рядов широко используются в теоретических исследованиях и в приближенных вычислениях. 462 § б4. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 64.1. Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию f(x) разлагать в степенной ряд, т. е. функцию f(x) представлять в виде суммы степен ного ряда. Как известно (см. теорема 26.1), для любой функции f(x), опре деленной в окрестности точки х 0 и имеющей в ней производные до (n + 1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора: !'(хо) /"(хо) f(x) =/(хо)+ 1 !-(х - хо)+ ~(х - хо) ·· · + 2 + ... f(n)(xo) {х - xo)n + Rn(x), n.1 (64.1) ~~)_{с]_ - xo)n+i, с Е (хо, х), - остаточный член в liJ где Rn(x) = Тп+W(х форме Лагранжа. Число с можно записать в виде с= х 0 +0(х-х 0 ), где О<()< 1. Формулу (64.1) кратко можно записать в виде 1 /(х) = Pn(x) + Rn(x), 1 где Pn(x) =/(хо)+ f'l~o) (х-хо) + ... + j(n:)xo) (x-x 0 )n - многочлен Тейлора. Если функция f(x) имеет производные любых порядков (т. е. бес конечно дифференцируема) в окрестности точки х 0 и остаточный член Rn(x) стремится к нулю при п-+ оо ( lim Rn(x) =О), то из формулы n-too Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням (х - х 0 ), называемое р.ядо.м Teiiлopa: 00 f' (хо) f(n) (хо) n f(x) =/(хо)+ --(х - хо)+···="" (х - хо) . 1! L..J п! (64.2) n=O Если в ряде Тейлора положить хо = О, то получим разложение функции по степеням х в так называемый р.яд Маклорена: f(x) '(О) (О) f"(O) f(n) ! =f(O) +-х+ --х + ··· ="" xn 1! 2! · 2 00 ~ n=O п! (64.3) Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в 463 окрестности точки х 0 • Но отсюда еще не следует, что он будет схо диться к данной функции /(х); он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции f(x). Так, например, функция f(x) = {е -~, если х "1 О, О, имеет в точке х если х =О = О производные всех порядков, причем f(n) (О) = О при всяком п (см. пример 19.5). Ряд Маклорена имеет вид О О О 2 n о+2!х+2!х + ... +п!х + ... Он сходится, но его сумма S(x) в любой точке х равна нулю, а не /(х). Пусть для функции f(x) составлен соответствующий ей ряд Тей лора. Теорема 64.1. Для того чтобы ряд Тейлора (64.2} функции /(х) схо дился к /(х) в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точ ке остаточный член формулы Тейлора (64.1) стремился к нулю при п ~ оо, т. е. чтобы lim Rn(x) =О. n-+oo О Пусть ряд Тейлора (64.2) сходится к функции окрестности точки х 0 , т. е. /(х) = f(x) в некоторой lim Sn(x). Так как n-я частичная n-+oo сумма Sn(x) ряда (64.2) совпадает с многочленом Тейлора Pn(x), т. е. Sn(x) = Pn(x), находим: lim Rn(x) = lim (/(х) - Pn(x)) = lim (!(х) - Sn(x)) = n-+<X> n-+oo n---too = f(x) - lim Sn(x) = f(x) - f(x) =О. n-+oo Обратно, пусть lim Rn(x) =О. Тогда n-+oo lim Sn(x) = lim Pn(x) = lim (/(х) - Rn(x)) = n-+oo n-+oo n-+oo = /(х) - lim Rn(x) = f(x) - О= f(x). n-+oo Заме'Чание. Если ряд Тейлора • (64.2) сходится к порождающей функции f(x), то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ря = = да Тейлора, т. е. Rn(x) тп(х). (Напомним, что Rn(x) f(x) а тп(х) S(x) - Sn(x), где S(x) - сумма ряда Тейлора.) = Sn(x), liJ Таким образом, задача разложения функции f(x) в степенной ряд сведена по существу к определению значений х, при которых 464 Н.n(х)--+ О (при п--+ оо). Если сделать это не просто, то следует каким нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд Тейлора схо дится к данной функции. На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Теорема 64.2. Если модули всех производных функций f(x) ограни > чены в окрестности точки х 0 одним и тем же числом М О, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции f(x) сходится к функции f(x), т. е. имеет место разложение (64.2). Q Согласно теореме 64.1, достаточно показать, что n-+oo lim Rn(x) = О. По условию теоремы 64.2 для любого п имеет место неравенство IJ(n)(x)I ~ М. Тогда имеем: f(n+l) (с) 1 lim IRn(x)I = lim 1 ( l)' (х - xo)n+l ~ n-+oo n-+oo n + . . 1 ~im n-+oo М · 1(х - xo)n+l 11' 1(х - Xo)n+l 1. - М ·1т (n + 1)! n-+oo (n + 1)! (х - х )n+l I Осталось показать, что J1~ 1 (п +°i)! = О. Для этого рассмотрим ряд оо 1(х - xo)n+11 ~ (п+ 1)! · Так как 1' lx-xoln+2.(n+l)! = 1х - Хо 1 · 1'1m -1- = О < 1, . Un+1 1im - - = im Un n-+oo (n + 2)! · lx - x 0 jn+l n-+oo n + 2 n-+oo то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимого признака сходимости, lim Un = n-+oo lim n-+oo Следовательно, 64.2. lx - Х 1п+1 (n +0 1)'. =О. lim Rп(х) =О. n-+oo Разложение некоторых элементарных функций в РЯА Тейлора (Маклорена) Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена (64.3) нужно: а) найти производные f'(x), f"(x), ... , f(n) (х), ... ; б) вычислить значения производных в точке х 0 = О; 465 • в) написать ряд (64.3) для заданной функции и найти его интервал сходимости; г) найти интервал (-R; R), в котором остаточный член ряда Ма клорена Rп(х)--+ О при п--+ оо. Если такой интервал существует, то в нем функция f(x) и сумма ряда Маклорена совпадают. Заме-чание. В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремится к нулю при п--+ оо. Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена не которых элементарных функций (эти разложения следует запомнить): х х2 хп 1. . п. ех = 1 + 1 + -21 + ... + r х Е (-оо; оо), + ... ' (64.4) хз х5 x2n+1 sinx=x- 3! + 5! - ... +(-l)n( 2n+l)!+ ... , хЕ(-оо;оо), (64.5) х2 х4 x2n х Е (-оо; оо), cosx=l- 1 +41 - - ... +(-l)n-( ) 1 + ... , 2. . 2п. (64.6) а а(а -1) 2 а(а - 1) ... (а - п + 1) п (1 +х )°' -_ 1 +х + ... + х + ... , 1 11. х+ 21. п. [-1;1], { х Е (-1: 1], (-1, 1), еслиа~О, если -1 <а< О, 1 2 п -1 -=l+x+x + ... +х + ... , -х х2 хз хп+l ln(l+x)=x- 2 + 3 - ... +(-l)nn+l +.", хз х5 x2n+1 arctgx=x-3+5- ... +(-l)n 2n+l ···• 1 х3 1 · 3 х5 (64.7) если а~ -1, хЕ(-1;1), (64.8) хЕ(-1;1], (64.9) хЕ[-1;1], (64.10) 1 · З · 5 х7 arcsinx = х + - · - + · - + - - · - +... (64.11) 2·4 5 2·4·6 7 2 3 1 · 3 · 5 ... (2п - 1) х 2 п+l ···+ 2 · 4 · 6 . . . (2п) ·--+ ... , хЕ(-1;1], (64.12) 2п + 1 хз х5 х2п+1 shx=x+ 1 +5-,+".+( )'+"., 3. . 2п + 1. хЕ(-оо;оо), (64.13) 466 х2 х4 х6 xzn chx=l+- + 1 + ... + - ( )' + ... , 21 +41 . . х Е (-оо; оо). 2п. 6. (64.14) Докажем формулу (64.4). Пусть f(x) = ех. Q Имеем: а) f'(x) = ех, f"(x) = ех, ... , J(n)(x) = ех, ... ; 6) /(О)= 1, /'(О) = 1, ... , f(п)(О) = 1, ... ; х +х2 + ... + 1xn + ... ., R -- i·im l_Qn__I -- i·im 1(п+1)! 1-в ) е х ,. . ., 1 +11 . 21. n. n-+oo an+l n-+oo n.1 = lim (п + 1) = оо, т. е. ряд сходится в интервале (-оо; оо); n-+oo г) для всех х Е (-R; R) имеем lf(n)(x)I = ех < eR = М, т. е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом М = eR. Следовательно, по теореме 64.2 lim Rп(х) =О. Таким обра n-+оо • 2 зом, ех = 1 + f! + ~! + ... Докажем формулу (64.5). Пусть !(х) = sinx. Q Имеем: а) f'(x) = cosx = sin(x + ~), f"(x) = - sinx = sin(x + 2 · ~), J (x) = - cosx = sin(x + 3 · ~), ... , J(n)(x) = sin(x + п · 111 i) ... ; о, 6) J(n)(O) = sin 7r2n = { -1, п = о, 2, 4, 6, ... ' п = 3, 7, 11, ... , +1, п = 1, 5, 9, ... ; . хз х5 n x2n+1 в) sшх,....., х - 3Т + 5Т - ... + (-1) · ( 2n + l)! + ... Легко прове- рить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всех х Е (-оо; оо); г) любая производная функции f(x) = sinx по модулю не превосходит единицы, lf(n)(x)I = lsin(х + п · ~) 1 ~ 1. Следовательно, по теореме 64.2 имеет место разложение (64.5). Докажем формулу {64.6). Пусть f(x) 8 = cosx. Q Формулу (64.6) можно доказать так же, как и формулу (64.5). Одна ко проще получить разложение функции cos х, воспользовавшись свой ством 3 степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд (64.5), получим: х2 х4 + -4! - ... ' 2! cosx = 1- Докажем формулы х Е (-оо;оо). (64.13), (64.14). Пусть f(x) f(x) = shx). 467 • chx (или Q Заменив в формуле (64.4) хна -х, получим разложение функции е-"': х х2 х3 х4 xn е-х = 1- -11 + -21 - -31 + -41 - ... + (-l)n. + ... ' . . . r . п. (64.15) справедливое для всех х Е (-оо; оо). Суммируя (и вычитая) почленно равенства (64.4) и (64.15), полу чим разложение гиперболического косинуса (синуса): chx= shx= е"' + е-х 2 е"' - е-х 2 х2 х4 =1+2Т+ 4 ! + ... , х3 х5 =х+ 3 ! +5!+ ... , хЕ(-оо;оо), х Е (-оо; оо). Формулы (64.13) и (64.14) доказаны. Докажем формулу {64.7). Пусть f(x) = • (1 +хУ\ где а Е IR. Q Имеем: а) f'(x) = a(l + х)а- 1 , f"(x) = а(а - 1)(1 + х)а- 2 , f(n)(x) = а(а - 1) ... (а - (п - 1))(1 + х)а-п, ... , п Е N; б) /(О) = 1, /'(О) =а, /"(О) = а(о: - 1), ... , f(n)(O) = о:(а - 1) ... (а - п + 1), ... ; о:(о: - 1) 2 в) (1 + х)а ,. . , 1 +ах+ 2 !х + ... .. " . . . + а(а - l)(a - 2\ ... (о: - n + 1) xn + ... ; п. г) R- lim /--°:n_l- lim 1o:(a-l)(o:-2) ... (o:-(n-l))·(n+l)!1п! ·a(o:- l)(a- 2) ... (а- (n- l))(a-n) - - n-+oo an+l - n-+oo = lim 1n+l1 =1, т. е. составленный для функции (1+х)а ряд сходится n-+oo a-n в интервале (-1; 1). Можно показать, что и в данном случае, т. е. при х Е (-1; 1), остаточный член Rn(x) стремится к нулю при п-+ оо. • Ряд (64.7) называется биномиалън'Ым. Если а= п Е N, то все чле ны ряда с (п + 1)-го номера равны О, так как содержат множитель а - п = п - п = О. В этом случае ряд (64. 7) представляет собой извест ную формулу бинома Ньютона: (1 + х )n _ 1 - n + l!x + n(n - 1) 2 n(n - 1) ... 1 п х + ... + п! х . 21 Докажем формулу {64.8). Пусть f (х) = -1 1 . -х Q Формула (64.8) может быть получена разными способами: 1) пользуясь правилом разложения функции в ряд; 468 2) рассматривая ряд 1 + х + х 2 + х 3 + ... + xn + ... как ряд геоме трической прогрессии, первый член которой равен единице и знамена тель q = х; известно (см. пример 62.1), что данный ряд сходится при х Е (-1; 1) и его сумма равна -1 1 ; -х 3) воспользовавшись формулой (64.7): положив в ней а заменив х на -х, получим формулу (64.8). -1 и Докажем формулу (64.9). Пусть f(x) = ln(l + х). • Формула (64.9) также может быть доказана разными способами. Приведем один из них. О Рассмотрим равенство - 1 - = 1-х+х 2 -х 3 + ... + (-1)nxn + ... , 1+х справедливое для всех х Е ( -1; 1). Используя свойство 4 степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке [О; х], х Е ( -1; 1): или ln(l + х) = х - х2 хз хп+1 2 + 3 - ... + (-l)n п + 1 + · · · Можно показать, что это равенство справедливо и для х = 1. • Докажем формулу (64.10). Пусть f(x) = arctgx. О Положив в формуле (64.7) а = -1 и заменив х на х 2 , получим равенство - 1- 2 =1-x 2 +x 4 1+х ... +(-1)n·x 2 n+ ... , ХЕ (-1;1). Тогда х 1 / 1 + t2 dt = о J х о х х 1 dt - / t 2 dt + / о о х t 4 dt - ... + / (-l)ntZn dt + ... , о или хз х5 x2n+1 arctg х = х - - + - - ... + (- l)n _ _ + ... 3 5 2п + 1 Можно показать, что равенство справедливо и при х = ±1, т. е. при всех х Е [-1; 1]. • Докажем формулу (64.12). Пусть f(x) = arcsinx. 469 О Положив в формуле (64.7) а=-~ и заменив хна (-х 2 ), получим равенство 1 х2 1·3 4 1·3·5 6 ~=l+2+2.4x +2·4·6х + ... , хЕ[-1;1]. Тогда 1 1.3 ! ~dt = ! dt + ! 2 dt + ! 2. 4 t dt + ... ' х о или х 1 t х t2 о о х 4 о 1 х3 1 · 3 х5 arcsin х = х + - · - + - - · - + ... 2 3 2·4 5 Можно показать, что полученное равенство справедливо при всех х Е [-1; 1]. • Ряды (64.4)-(64.14) в комбинации с правилами сложения, вычита ния, умножения, дифференцирования, интегрирования степенных ря дов (см. свойства степенных рядов) могут быть использованы при раз ложении (некоторых) других функций в ряд Маклорена (Тейлора). Пример 64.1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) = 3"'. Q Решение: Так как 3х = e1n 3 "' = е"' ln 3 , то, заменяя х на х ln 3 в раз ложении (64.4), получим: х ln3 ln 2 3 2 ln 3 3 3 lnn 3 n 3 = 1+Т!х+ 21 х +----згх + ... +---;т---х + ... , х Е (-оо;оо). 8 Пример 64.2. Выписать ряд Маклорена функции f(x) = ln(4-x), Q Решение: Так как f( х) = ln (4 - х) = ln 4 ( 1 - ~) = ln 4 + ln [1 + ( - ~)] , то, воспользовавшись формулой (64.9), в которой: заменим х на (-i), получим: х (-~)2 (-~)3 ln(4-x) = ln4+ (- 4) - - 2 - + - 3 - - ... , или 1 1 х2 1 xn+l ln(4 - х) = ln4 - 4х - 42 . 2 - ... - 4п+1 . n + 1 - ... ' если -1 < -i ~ 1, т. е. -4 ~ х < 4. 470 • Пример 64.З. Разложить в ряд Маклорена функцию 2 f(x) = -3 - . -х Q Решение: Воспользуемся формулой (64.8). Так как 2 2 2 1 f(x)=-= = 3-х 3·(1-~) з·1-~' то, заменив хна j в формуле (64.8), получим: _2 ~. (1 + ~ + (~)2 + (~)3 + "·)' 3-х = 3 3 3 3 или 2 2 2 х 2 х2 2 х2 2 х3 2 xn 3 - Х = 3 + 3 . 3 + 3 . 32 + 3 . 32 + 3 . 33 + ... + 3 . 3n + ... ' • где -1<j<1, т. е. -3 < х < 3. § 65. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 65.1. Приближенное вычисление значений функции Пусть требуется вычислить значение функции f(x) при х = х 1 с заданной точностью с > О. Если функцию f(x) в интервале (-R; R) можно разложить в сте пенной ряд f(x) = ао + aix + а2х 2 + ... + anxn + ... и х 1 Е (-R; R), то точное значение f(x 1 ) равно сумме этого ряда при х = х 1 , т.е. f(x1) = ао + aix1 + a2xi + ... + anx~ + ... , а приближенное - частичной сумме Sn(x 1), т.е. f(x1) ~ Sn(x1) = ао + aix1 + a2xi + ... + anx~. Точность этого равенства увеличивается с ростом п. Абсолютная по грешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е. где 471 Таким образом, ошибку lf(x1) - Sn(x1)I можно наfiти, оценив остаток rп(х1) ряда. Для рядов лейбницевского типа lrn(x1)I = lиn+1(x1) + Un+2(x1) + Un+з(x1) + ... j < lиn+1(x1)I (см. п. 61.1). В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположи тельный) составляют ряд из модулей членов ряда и для него старают ся найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обыч но это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. И в качестве оценки lrn(x1)I берут величину остатка этого нового ряда. Пример 65.1. Найти sin 1 с точностью до 0,001. Q Решение: Согласно формуле (64.5), · _ 1 3 1 5 _ ~( sшl-1- 3 !1 +5!1 -···-~ -1 )n+l 1 (2n-l)!" n=l Стоящий справа ряд сходится абсолютно (проверить самостоятельно). Так как J! ~ 0,008(3) > 0,001, а f! ~ 0,0002 < 0,001, то для нахождения sin 1 с точностью до 0,001 достаточно первых трех слагаемых: 1 1 sin 1~1 - 3! + 5!·= 0,842. Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член (т.е. меньше, чем 0,0002). Вычисленное микрокалькулятором значение sin 1 примерно равно 0,84147. 8 Пример 65.2. Вычислить число е с точностью до 0,001. Q Решение: Подставляя х = 1 в формулу (64.4), получим: 1 1. 1 2. 1 е=1+ 1 + 1 + ... + 1 n. + ... Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем п слагаемых и оце ним ошибку rп(х): 1 1 1 rп(х) = (п + 1)! + (п + 2)! + (п + 3)! + ... = ~ 1)! ( 1 + п: 2 + (n + 2)1(n + 3) + · · ·) < 1 1 < (n ~ 1)! ( 1 +n:1+(п:1) 2 + · · ·) = (п ~ 1)! n-h) = n!·n' = (n C- 472 т. е. rп(х) < - 11- . Остается подобрать наименьшее натуральное число n.·n п, чтобы выполнялось неравенство - 11- < 0,001. n. ·n Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется при n ~ 6. IIоэтому имеем: • 1 1 1 1 1 517 е ~ 1+1 + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! = 2720 ~ 2,718. За.ме'Чание. Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена с где с находится между О и х 1 • В последнем примере Rn (1) = (n ~ 1) ! , О< с < 1. Так как ее < е 1 < 3, то Rn(l) < (n Rt;(l) < ~! < 0,001, е ~ 1+1 + ! l)!. При n = 6 имеем: J-! + ". + k ~ 2,718. 65.2. Приближенное вычисление определенных интегралов Бесконечные ряды применяются также для приближенного вычи сления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции (см.§ 34) либо нахождение первообразной сложно. ь Пусть требуется вычислить j f(x) dx с точностью до с:> О. Если а подынтегральную функцию !( х) можно разложить в ряд по степеням х и интервал сходимости (-R; R) включит в себя отрезок [а; Ь], то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством по членного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций. 1 4 Пример 65.3. Вычислить интеграл € = 0,001. j е-х 2 dx с точностью до о Q Решение: Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, заменяя х на (-х 2 ) в формуле (64.4): е-х2 х2 х4 хб = 1 - Т! + 2! - 3! + ... ' 473 х Е (-оо;оо). (65.1) Интегрируя обе части равенства (65.1) на отрезке (о;!], лежащем вну три интервала сходимости (-оо; оо), получим: i. Получили ря~ лейбницевского типа. Так как l!. 43 = 0,0052 ... > > 0,001, а 21 . 5 . 45 < 0,001, то с точностью до 0,001 имеем: l 4 ! е -х2 • 1 1 dx ~ 4 - 192 = 0,245. о Заме-ч,ание. Первообразную F(x) для функции f(x) = е-х 2 легко найти в виде степенного ряда, проинтегрировав равенство (65.1) в пре делах от О до х: F(x) = jх е -t2 dt = о jх 1- t2l! + t42! - . . . ) dt = ( о хз х5 х1 = х - 1! · 3 + 2! · 5 - 3! · 7 + · · ·' xz Функции f(x) = J;e -2 и F(x) = х Е (-оо; оо). х j f(t) dt играют очень важ о ную роль в теории вероятностей. Первая - плотность стандартно- го распределени.я веро.ятностеiJ,, вторая - функци.я Лап.ласа F(x) х t2 = = А; j е -2 dt (или интеграл веро.ятностеiJ,). Мы получили, что о функция Лапласа представляется рядом 1 F(x) = у'?;; ( х3 х5 х1 ) х - 2 · 3 + 22 2! · 5 - 23 • 3! · 7 + · · · ' который сходится на всей числовой оси. 474 65.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений Если решение дифференциального уравнения не выражается че рез элементарные функции в конечном виде или способ его решения с.лишком сложен, то для приближенного решения уравнения можно nоспользоваться рядом Тейлора. Познакомимся с двумя способами решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Пусть, например, требуется решить уравнение у" = f (х; у; у'), (65.2) удовлетворяющее начальным условиям Ylx=xo = Уо, Y1 lx=xo =У~· (65.З) Способ последовательного дифференцирования Решение у= у(х) уравнения (65.2) ищем в виде ряда Тейлора: у= у (хо ) у' (хо) у" (хо) 2 + -1-!-(х - хо)+ - 2-!-(х - хо) + ... ··· + У(п)(хо) 1 п. (х - хо) п + ... , (65.4) при этом первые два коэффициента находим из начальных усло вий у' (65.3). Подставив в уравнение (65.2) значения х = х0 , у = уо, = УЬ, находим третий коэффициент: у" (хо) = f (хо; Уо; УЬ). Значения у"' (х 0 ), у( 4 ) ( х0 ), • . • находим путем последовательного дифференциро вания уравнения (65.2) по х и вычисления производных при х = х 0 . Найденные значения производных (коэффициентов) подставляем в ра венство (65.4). Ряд (65.4) представляет искомое частное решение урав нения (65.2) для тех значений х, при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением дифференциального уравнения (65.2). Рассмотренный способ применим и для построения общего реше ния уравнения (65.2), если у0 и УЬ рассматривать как произвольные постоянные. Способ последовательного дифференцирования применим для ре шения дифференциальных уравнений любого порядка. При.мер 65.4. Методом последовательного дифференцирования найти пять первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд ре- шения уравнения у"= х 2 +у 2 , у(-1) = 2, у'(-1) = 475 !· Q Решение: Будем искать решение уравнения в виде 1( у= у(-1) +у ~ 1) "( 1) (х + 1) +у 2~ (х + 1) 2 +у 111 ( 3~ 1) (х + 1) 3 + ... Здесь у(-1) = 2,у'(-1) =!·Находим у"(-1), подставив х = -1 вис ходное уравнение: у" ( -1) = (-1 )2 + 22 = 5. Для нахождения последу ющих коэффициентов дифференцируем заданное дифференциальное уравнение: у 111 = 2х + 2уу', у( 4 ) = 2 + 2(у') 2 + 2уу", у( 5 ) = 4у'у" + 2у'у" + 2уу 111 = 6у 1 у11 + 2уу 111 , ••• При х = -1 имеем: у ///( -1 ) = -2 + 2. 2. 21 =о, 1 у( 4 ) (-1)= 2 + 2. - + 2. 2. 5 = 22,5, 1 4 у( 5 ) ( -1) = 6 . - . 5 + 2 . 2 . о = 15, ... 2 Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, полу чим: Способ неопределенных коэффициентов Этот способ приближенного решения наиболее удобен для инте грирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Пусть, например, требуется решить уравнение у"+ Р1(х)у 1 + Р2(х)у = f(x) с начальными условиями у(хо) (65.5) = Уо, у'(хо) = УЬ· Предполагая, что коэффициенты р 1 (х), р2(х) и свободный член f(x) разлагаются в ряды по степеням х - х 0 , сходящиеся в некото R; хо+ R), искомое решение у= у(х) ищем в виде ром интервале (хо степенного ряда У= Со+ с1(х - хо)+ с2(х - хо) 2 + ... + Сп(х -хо)п + ... (65.6) с неопределенными коэффициентами. Коэффициенты Со и с 1 определяются при помощи начальных усло вий Со= Уо, с1 = УЬ· 476 Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем ряд (65.6) два раза (каков порядок уравнения) и подставляем выраже ния для функции у и ее производных в уравнение (65.5), заменив в нем р 1 ( х), Р2 (х), f (х) их разложениями. В результате получаем тождество, из которого методом неопределенных коэффициентов находим недо стающие коэффициенты. Построенный ряд (65.6) сходится в том же интервале (хо Пример R; Хо+ R) и служит решением уравнения (65.5). 65.5. Найти решение уравнения у" + ху' +у = х cos х, у(О) = О, у' (О) = 1, используя метод неопределенных коэффициентов. О Решение: Разложим коэффициенты уравнения в степенные ряды: Р1(х) х, Р2 = 1, = х2 х4 ) f(x)=xcosx=x ( 1-2!+ 4! - .... Ищем решение уравнения в виде ряда У = Со + С1Х + С2Х 2 + С3Х 3 + ... Тогда у' = с1 + 2с2х + Зсзх 2 + 4с4 х 3 + ... , у" = 2с2 + 2 · 3 · С3Х + 3 · 4 · С4Х 2 + .. . = 1. Подставляем получен Из начальных условий находим: Со= О, с 1 ные ряды в дифференциальное уравнение: (2с2 + 2 · 3 · сзх + 3 · 4 · с4х 2 + ... ) + х(с1+2с2х + Зсзх 2 + 4с4х 3 + ... )+ +(Со + С1Х + С2Х 2 + С3Х 3 + ... ) = Х 1 - ~~ + :~ - ~~ + ... ). ( Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х: х0 : 2с2 =О, х1 : 2 · 3 · сз + 2 = 1, х2 : 3 · 4 · с4 + 2с2 + Cz =О, х3 : 1 4 · 5 · С5 + Зсз + сз = - 2, х4 : 5 · 6 · св + 4с4 + с4 = О, Отсюда находим, что с2 = с4 = св = . . . = О, сз 1 - З!, с5 1 = S!, с7 = - ~!, . . . Таким образом, получаем решение уравнения в виде хз у т.е. у= sinx. х5 х7 = х - 3Т + 5Т - 7! + ... ' • Глава XV. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ j Лекции 56-581 § 66. РЯДЫ ФУРЬЕ 66.1. Периодические функции. Периодические процессы При изучении разнообразных nериоди-ч,еских процессов, т. е. про цессов, которые через определенный промежуток времени повторяются (встречаются в радиотехнике, электронике, теории упругости, теории и практике автоматического регулирования и т. д.), целесообразнее раз лагать периодические функции, описывающие эти процессы, не в сте пенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд. Напомним, что функция у = f(x), определенная на множестве D, называется nериоди-ческоii, (см. п. 14.3) с периодом Т > О, если при каждом х Е D значение (х + Т) Е D и выполняется равенство f(x + Т) = f(x). Для построения графика периодической функции периода Т доста точно построить его на любом отрезке длины Т и периодически про должить его во всю область определения. Отметим основные свойства периодической функции. 1. Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период Т, есть периодическая функция с периодом Т. 2. Если функция f(x) имеет период Т, то функция f(ax) имеет период ~: действительно, f (а · ( х + ~)) = f (ах + Т) = f (ах). 3. Если функция f(x) имеет период Т и интегрируема на отрезке [хо;х1]ЕЖ,то а+т ь+т а Ь J f(x)dx= J f(х)dхприлюбыхаиЬЕ[хо;х1]. О Пусть, например, О < а < Ь < Т, тогда а+Т J Ь f(x) dx = а а+Т J f(x) dx + j f(x) dx. (66.1) ь а С другой стороны, Ь+Т J f(x) а+Т dx = Ь+Т J f (х) dx + j j(x) а+т ь 478 dx. (66.2) ь+т ь ь J f(х)dх=(подстановках=и+Т)= J Но f(u+T)du= а+Т а J f(x)dx. а Подставляем полученный результат в (66.2) и, сравнивая с (66.1), име- Р.м а+т ь+т а Ь J f(x) dx = J f(x) dx. т В частности, 8 ь+Т Jf (х) dx J f(x) dx. = о ь Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции sinx и cosx. Период этих функций равен 211", т. е. т = 211". Простейшим периодическим процессом (движением) является про стое гармони'Ческое колебание (движение), описываемое функцией у =А· sin(wt t ~О, где А - + <ро), амплитуда колебания, w - (66.3) 'Частота, <ро - на'Чалъна.я фаза. Функцию такого вида (и ее график) называют пpocmoil, гармони- "оii,. Основным периодом функции (66.3) является Т = 211", т. е. одно w полное колебание совершается за промежуток времени 211" (w показы w вает, сколько колебаний совершает точка в течение 211" единиц време ни). Проведем преобразование функции (66.З): у= Asin(wt + <ро) = Asinwtcos<po + Acoswtsin<po = acoswt + bsinwt, (66.4) где а = А sin <ро, Ь = А cos <ро. Отсюда видно, что простое гармоническое колебание описывается периодическими функциями sin wt и cos wt. Сложное гармони'Ческое колебание, возникающее в результате на ложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также описывается функциями вида sin wt и cos wt. Так, функция <p(t) = Ао + А1 sin(t + <р 1 ) + А2 sin(2t + <р2) + ... + Азо sin(ЗOt + <рзо) = 30 = Ао + L An sin(nt + 'Pn) n=l 30 или, что равносильно, функция <p(t) = Ао + L (ап cosnt + Ьn sin nt) n=I задает сложное гармоническое колебание. Так как период первой гар- 3, ... , тридцатой моники есть Т1 = 211", второй Т2 = 2; , третьей Тз = 2 479 Т30 = ~О, а период функции у= А0 («нулевая гармоника») есть любое число, то функция ip( t) имеет период, равный 27r, т. е. Т = 27r. Понятно, что при наложении простых гармоник получаем перио дическую функцию, описывающую сложное периодическое колебание (периодический процесс). Возникает вопрос: всякую ли периодическую функцию, описываю щую периодический процесс, можно представить в виде суммы простых гармоник вида (66.3) или (66.4)? Если да, то как найти неизвестные па раметры (коэффициенты) каждой из этих гармоник? Ответим сначала на второй вопрос, а потом и на первый. бб.2. Тригонометрический ряд Фурье С помощью так называемого тригонометрического ряда любую (практически) периодическую функцию можно представить в виде ря да, членами которого являются простые гармоники. ~ Тригонометрическим ряiJом называется функциональный ряд вида % + а1 cos Х + ь1 sш . Х + ... + an cos пх + ьn sш . пх + · · · = 2 ао 00 ~ Ь . = 2 + L...,, an COS nx + n SШ nx, (66.5) n=l где действительные числа а 0 , an, Ьn (п = 1, 2, ... ) называются коэффи циентами ряда. Ряд (66.5) можно записать в виде а; + 00 L An sin(nx + 'Pn)· (66.6) n=l Действительно, положив an = An sinipn, Ьn = An cosipn, получим: an cos пх + Ьn sin пх = An sin(nx + 'Рп); ряд (66.5) принимает вид (66.6), при этом Ап = + ь; и tg'Pn = 1:· Ja; Свободный член ряда записан в виде ~ для единообразия полу чающихся в дальнейшем формул. Приведем формулы, которые понадобятся нам в дальнейшем. Считая тип целыми положительными, находим: 7Г sin пх 11Г = 0 (п 1' 0) ! cosnxdx xj 1Гп = 21Т-1Г (п =О), -7Г J пх dx О при любом п, { = (66.7) -7Г 7Г sin = -7Г 480 (66.8) J cosmx · cosnxdx 7Г _,,. 1 1 ,,. = 2 = (cos(m + п)х + cos(m - п)х) dx = {о (т 1' п), 1Г (66.9) (т = п), J sin тх · cosnx dx = 1 = 2 J (sin(m + п)х + sin(m - п)х) dx =О, 7Г -7Г (66.10) 7Г J sinmx · sinnxdx = 7Г _,,. 1 =2 1 ,,. (cos(m - п)х - cos(m + n)x) dx = {о (т 1Г 1' п), (66.11) (т = п). Заме'Ч.ани.я. 1. Формулы (66.7)-(66.11) показывают, что семейство функций 1, cosx, sin х, cos 2х, sin 2х, cos Зх, sin Зх, .. . , cos пх, sin пх, ... § обладает своt&сmвом орmогонал:ьносmи: интеграл от произве дения любых двух функций этого семейства на интервале, имею щем длину 21Г, равен нулю. 2. Формулы (66.7)-(66.11) справедливы и в случае, когда область 3 периодических функций, п. 66.1). Пусть f(x) - произвольная периодическая функция с периодом 21Г. Предположим, что функция f(x) разлагается в тригонометриче ский ряд, т. е. f(x) является суммой ряда (66.5): интегрирования есть отрезок (О; 21Г] (см. свойство f(x) = ~о + 00 L an cosnx + Ьn sinnx. (66.12) n=l Так как функция f(x) (и сумма ряда) имеет период 21Г, то ее мож но рассматривать в любом промежутке длины 21Г. В качестве основ ного промежутка возьмем отрезок [-1Г; 1Г] (также удобно взять отрезок [О; 21Г]) и предположим, что ряд (66.12) на этом отрезке можно почленно интегрировать. Вычислим коэффициенты an и Ьn· Для этого проинте грируем обе части равенства (66.12) в пределах от -1Г до 1Г: J _,,. f(x)dx = J ~ + f: ( J dx _,,. an n=l _,,. cosnxdx + Ьn j sinnxdx) = -7Г 7Г ! 2 dx = ао = 481 1Гао. Интегралы от всех, кроме нулевого, членов ряда равны нулю в силу формул (66.7) и (66.8). Отсюда 1 ао =; J f(x)dx. 7r (66.13) -?r Умножив обе части равенства (66.12) на cosmx и проинтегрировав по лученный ряд в пределах от -1Г до 1Г, получим: J f(x)cosmxdx ~ _,,.J cosmxdx+ 00( + L an J cosmx · cosnxdx + Ьn J cosmxsinnxdx . 7r 7r = -?r n=l В силу формул т = 7r 7r _,,. _,,. ) (66.7), (66.9) и (66.10) из последнего равенства при п получаем: J f(x)cosnxdx = аn1Г· 7r _,,. Отсюда 1 an =; ! 7r f(x)cosnxdx, п = 1,2,3,." (66.14) -?r Аналогично, умножив равенство (66.12) на sin тх и проинтегриро вав почленно на отрезке [-1Г; 1Г], найдем: 1 Ьп=; ~ J f(x)sinnxdx, n=l,2,3, ... _,,. 7r (66.15) Числа ао, an, Ьn, определяемые по формулам (66.13)-(66.15), на зываются поэффuцuенmамu Фурье функции f(x), а тригоно метрический ряд (66.5) с такими коэффициентами - рядо.м Фурье функции f(x). Для интегрируемой на отрезке [-7Т; 1Т] функции f (х) записывают f(x) "' а; + 00 L an cos пх + Ьn sin пх n=l и говорят: функции f(x) соответствует (поставлен в соответствие) ее ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, то его сумму обозначим S(x). 482 § 67. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ 21Г-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 67.1. Теорема Дирихле Выясним условия, при которых знак соответствия (.....,) можно за менить знаком равенства ( =), т. е. условия, при которых ряд Фурье функции f(x) сходится и имеет своей суммой как раз функцию f(x). Будем рассматривать функции f(x), имеющие период Т = 27Г. Та кие функции называют 27Г-nериоди-ч,ески.ми. Сформулируем теорему, представляющую достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье. Теорема 67.1 (Дирихле). Пусть 27Г-периодическая функция f(x) на отрезке [-7Г; 1Г] удовлетворяет двум условиям: 1. f(x) кусочно-непрерывна, т. е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1 рода; 2. f(x) кусочно-монотонна, т. е. монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна. Тогда соответствующий функции f(x) ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом: 1. В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с самой функцией: S(x) = f(x); 2. В каждой точке х 0 разрыва функции сумма ряда равна S( ) _ f(xo - О)+ f (хо+ О) Хо , 2 т. е. равна среднему арифметическому пределов функции f (х) справа и слева; 3. В точках х = -7Г и х = 7Г (на концах отрезка) сумма ряда равна S(-1Г) = S(7r) = f(-1Г +О)+ f{7Г - О). 2 [iJ Таким образом, если функция f(x) удовлетворяет условиям 1 и 2 теоремы (условия Дирихле), то на отрезке [-?Г; 1Г] имеет место раз ложение (66.12): 00 f (х) = ~ + L an cos пх + Ьn sin пх, n=1 причем коэффициенты вычисляются по формулам (66.13)-(66.15). Это 483 равенство может нарушиться только в точках разрыва функции f(x) и на концах отрезка [-1Г; 1Г]. В силу периодичности исходной функции и суммы ряда Фурье мо жет быть получено указанное разложение во всей области определения функции. Заме-чания. 1. Если функция f(x) с периодом 211" на отрезке [О; 21Г] удовлетво ряет условиям Дирихле, то для нее имеет место разложение (66.12), где коэффициенты вычисляются по формулам 1 21r ао =; j f(x)dx, о 1 21r an =; j J(x)cosnxdx, п = 1,2,3, ... , о 1 21r Ьп=; j f(x)sinnxdx,n=l,2,3, ... о 211" 1Г (Интегралы j f(x) dx и j f(x) dx равны в силу свойства 3 периоди-11" о ческой функции - см. п. 66.1.) 2. Условиям Дирихле удовлетворяют большинство функций, кото рые встречаются в математике и ее приложениях. Существуют функ ции, не удовлетворяющие условиям Дирихле, но при этом разложимые в ряд Фурье, т. е. теорема Дирихле дает лишь достаточное условие раз ложимости, но не необходимое. Пример 67.1. Разложить в ряд Фурье функцию /(х) периода 211", заданную на отрезке [-1Г; 1Г] формулой f(x) = { ~хх при О~ х ~ 11", - 1Г ~ х < О. при Q Решение: На рисунке 260 изображен график функции f (х). Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, значит, она разложима в ряд Фурье. Находим коэффициенты ряда: 1 1Г 1 о 1 1Г 31!" ао=; j f(x)dx=; j (-x)dx+;/2xdx=2, -11" -11" о 11Г an=; 111" J f(x)cosnxdx=;1-11"°j (-x)cosnxdx+;/2xcosnxdx= о -ir 484 у у y=f(x) 27Г y=S(x) 27Г х -27Г -7Г о -21Г -7Г о х Рис. 260 = --1 (х -sinnx lo + 21 cosnx lo ) + -2 (х -sinnx lтг + 21 cosnx lтг) = 7Г n -тr n -тr 7Г п о n о = - -1-(1- cos1Гn) + _2_(cos1Гn - 1) = -~(1- (-l)n). 1Гn2 1Гn2 1Гn2 Аналогично находим 1 Ьn = - 7Г J f( х) sin nx dx = · · · = -1 (-1) 1Г п n+I. -тг Исходной функции f(x) соответствует ряд Фурье 37Г ~ 3 1 . f(x) "'S(x) = - 4 + L....J - -2 (1 - (-l)n) cosnx + -(-l)n+l sш пх. 1Гn n=1 п Функция f(x) непрерывна во всех внутренних точкой отрезка [-1Г; 1Г], поэтому, согласно теореме Дирихле, для всех этих точек имеем равен ство f(x) = S(x), т. е. _ ~ (cosx cos3x cos5x ) !( х ) -_ S( х ) -_ 37Г 4 7Г 12 + 32 + 52 + . . . + sinx sin2x cos3x ) + ( - 1 - - - 2 - + - 3 - - .... В точках х = ±7Г сумма S(x) ряда равна f(-1Г+О)+f(1Г-0) 2 7Г+21Г 3 = - 2 - = 27Г. Графики функций f(x) и S(x) показаны на рис. 260. 485 • 67.2. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций Если разлагаемая на отрезке [-п; п] в ряд Фурье функция f(x) является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэф фициентов Фурье (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда (он становится так называемым неполным). Если функция f(x) 'Четна.я, то ее ряд Фурье имеет вид 00 ао "\""" f(x) = 2 + L.,, an cosnx, (67.1) n=l где 2 а 0 =; 2 j f(x) dx, ап =; j J(x) cosnxdx, п Е N. 7r о 7r (67.2) о Если функция f(x) не'Чеmна.я, то ее ряд Фурье имеет вид 00 f(x) = L Ьп sin пх, (67.3) n=l где 2 Ьп = ; 7r j !( х) sin пх dx, п Е N. (67.4) о Q Как известно (см. п. 39.4), если функция f(x) интегрируема на сим метричном отрезке [-а; а], то !а f(x) dx {2 · j f(x) dx, если f(x) - четная функция, = -а 0 О, если f(x) - (67.5) нечетная функция. Если функция f(x) - четная, то f(x) cosnx - четная функ f(x) cosnx), а f(x) sin пх - нечетная функция (f(-x)sin(-nx) = -f(x)sinnx). Если же f(x) нечетная функция, то, очевидно, функция !( х) cos пх - нечетная, а !( х) sin пх - четная. С учетом формулы (67.5) ~з формул (66.13)-(66.15) получаем формулы (67.1)-(67.4). • ция (f(-x) cos(-nx) = ~ Ряды (67.1) и (67.3) называются неnо.л.нымu тригонометрически ми рядами, или рядами по косинусам и по синусам соответственно. Пример х Е (-;rr; п), Т 67.2. Разложить в ряд Фурье функцию = 21r. 486 f(x) = х, у у y=f(x) y=S(x) х Рис. 261 Q Решение: На рисунке 261 изображен график заданной функции. Условиям Дирихле функция у = х удовлетворяет. Эта функция - нечетная. Следовательно, ап =О, п =О, 1, ... , а Ьn = 3_ j,,. х sin пх dx = 3_ (-.:_ cos пх 1,,. + ~ sin пхj,,.) = 3_ (- ~) cos 7rn, 7Г 7Г п о п о 7Г п о т. е. Ьп = 1 · (-1) n+i ( п Е N). Ряд Фурье содержит только синусы: п -~2 ( l)n+l . _ (sinx sin2x sinЗx ) ~ ~ . . sш пх - 2 -1- - -2- + -3- - . " . х - n=l При этом S(±7r) = -7Г 2+ 7Г =О (см. рис. 261). • Разложение в ряд Фурье функций произвольного 67.3. периода Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с перио дом, отличным от 27Г. Пусть функция f(x), определенная на отрезке [-l; l], имеет период 2l (f(x + 2l) = f(x), где l - произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле. Сделав подстановку х = lt, данную функцию f(x) преобразуем в 7Г функцию cp(t) = !(~t), которая определена на отрезке [-7r;7r] и имеет период Т = 27Г. Действительно, если t = -7Г, то х = -7Г -l, если t = 7r, то х = l и при < t < 7r имеем -l < х < l; cp(t + 27Г) = f ( ~(t + 27Г)) = f ( ~t + 2t) = f ( ~) = cp(t), т. е. cp(t + 27r) = cp(t). 487 Разложение функции cp(t) в ряд Фурье на отрезке [-7r; 7r] имеет вид 00 cp(t) = ~ + L:ancosnt+Ьпsinnt, n=l где 1 1Г ап=; j cp(t)cosntdt (п=О,1,2" .. ), -1Г 1 1Г j cp(t) sin nt dt (п = 1, 2, ... ). Ьп = ; -1Г Возвращаясь к переменной х и заметив, что t = 1rlX, dt = ydx, получим 00 ао ~ 7rnx . 7rnx f(x) = 2 + L.., ап cos -l- + Ьп sш -l-' (67.6) n=l где ! f(x)cos-1rnX1-dx ! . 1rnX1 l 1 ап=у (п=О,1,2, ... ), -l (67.7) l 1 Ьп =у f(x)sш--dx (п = 1,2, ... ). -l Ряд (67.6) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (67.7), называется р.я.дом Фуръе для функи,ии f(x) с периодом Т = 21. Заме"tание. Все теоремы, имеющие место для рядов Фурье 27r-пе риодических функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций, период которых Т = 21. В частности, если f(x) на отрезке [-l; l] 'Четна.я, то ее ряд Фурье имеет вид 00 ао ~ 7rnx f(x) = 2 + L.., ап cos - 1-, (67.8) n=l где 1 2 1rnx ап = l j f (х) cos - 1- dx, о если f(x) - 1 2 ао = у j f (х) dx, п = 1, 2, ... ; (67.9) о не"tеmна.я функция, то <XJ f(x) = L Ьп sin 7r;X, (67.10) n=l где ! f(x) . 1rnX1- dx, l 2 Ьп = l sш - о 488 п = 1,2, ... (67.11) Пример 67.3. Разложить функцию f(x) =хна интервале (-4; 4) в ряд Фурье. Q Решение: Данная функция нечетная, удовлетворяет условиям Ди рюше. По формулам (67.10) и (67.11), при l = 4, имеем: 00 '°'Ь . 'lrnx х=~пsш4, i=l 4 где Ьп = ~ Jxsin 'lr~X dx, п = 1,2,3, ... о Вычисляем Ьп: Ьп = 4 4 7rnx 14 +4 · -4s i n7rnx -1 ( -x-cos-- - 1) 2 7rn 4 о 7rn 7rn 4 о 8 8 = --COS'lrn = - · (-l)n+l, 7rn 7rn n = 1,2,3, ... Таким образом, х sin ~ sin Z1rx sin З7rх = -8 ( __ 4_ - __ 4_ + __ 4_ - ... ) 7r для -4 1 2 3 • < х < 4. 67.4. Представление непериодической функции рядом Фурье Пусть у = f(x) - числовой оси (-оо непериодическая функция, заданная на всей < х < оо). Такая функция не может быть разложена в ряд Фурье, т. к. сумма ряда Фурье есть функция периодическая и, следовательно, не может быть равна !( х) для всех х. Однако у У1& р.я.да '' ' y=f(x) ! f 1 (x) ~~ -l: О : а 01: Рис. 262 непериоди'Ческа.я функv,и.я f (х) может быть представлена в виде :l Ь х Фурье на любом коне'Ч.ном проме жутке [а; Ь], на котором она удовлетво ряет условиям Дирихле. Для этого мож но поместить начало координат в сере дину отрезка [а; Ь] и построить функцию fi(x) периода Т = 2/ = IЬ - al такую, что fi(x) = f(x) при -l ::::; х ::::; l. На рисун ке 262 приведена иллюстрация построе ния функции fi(x). 489 Разлагаем функцию fi(x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [а; Ь] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функ цией !(х). Вне этого промежутка сумма ряда и f(x) являются совер шенно различными функциями. Пусть теперь непериодическую функцию f(x) требуется разло жить в ряд Фурье на отрезке [О; l]. (Это частный случай: начало ко = ординат перенесено в точку х а отрезка [а; Ь]; область определения функции f (х) будет иметь вид [О; l], где l = lb - al .) Такую функцию можно произвольным образом доопределить на отрезке [-l; О], а затем осуществить ее периодическое продолжение с периодом Т = 21. Разложив в ряд Фурье на отрезке [-l; l] полученную таким образом периодическую функцию fi(x), получим искомый ряд для функции f(x) при х Е [О; l]. В частности, функцию f(x) можно доопределить на отрезке [-l; О] f(x) = f(-x)) 263. В этом случае функция f(x) разлагается в ряд Фурье, который содержит только косинусы (см. формулы (67.8) и (67.9)). четным образом (т. е. чтобы при -l ~ х ~ О было см. рис. у у y=f(x) : """,_/-f1 (х) -l о '' ' -z: о '' х ~ Рис. 263 х ...... "" Рис. 264 Если же функцию f (х) продолжить на отрезок [-l; О] нечетным образом (см. рис. 264), то она разлагается в ряд, состоящий только из синусов (см. формулы (67.10) и (67.11)). Ряд косинусов и ряд синусов для функции f(x), заданной на отрез ке [О; l], имеют одну и ту же сумму. Если х 0 - точка разрыва функции f(x), то сумма как одного, так и другого ряда равна одному и тому же числу: S(xo) = f(xo - О)~ f (хо+ О). Заме'Чание. Все, что было сказано о разложении в ряд Фурье функ ции f(x) на отрезке [О; l], переносится практически без изменения на случай, когда функция задана на отрезке [О; 7r]; такую функцию мож но разложить как в ряд косинусов, так и в ряд синусов (формулы (67.1) и (67.3)). При.мер 67.4. Разложить в ряд косинусов функцию f(x) = 7r о< х < 7r. 490 2х, Q Решение: Продолжим функцию f(x) на отрезок [-7r; О] четным обра зом (см. рис. 265). Разлагаем в ряд функцию 7r2x, 0<x<7r, fi(x)= { 7r+X 2 у -11" < х <о ' ,,,... с периодом Т = 27r. Условиям теоремы Дирихле функция fi (х) удовлетворяет. Используя формулы (67.1) и (67.2), нахо- , ...о...... ...." о х Рис. 265 дим: 21"11"-Х 7r - 2-dx= 2 , ао=; an о 1 = -7r2!"1Г-Х - 2-cosnxdx = -2 (1- COS1Гn). 7rn о Таким образом, ) _ 7r - х _ 1Г 2 ( cos х cos Зх cos 5х ! (х ) --2--4+; у+----з2+~+ ... ' ) 2 где О < х < 1Г ( при этом S(O) = 2"+" 2 = ~' S(±7r) = О! О =О . 67.5. • Комплексная форма ряда Фурье Ряды Фурье часто применяются в комплексной форме записи. Пре образуем ряд (66.12) и его коэффициенты (66.13)-(66.15) к комплексной форме. Для этого используем формулы Эйлера, выражающие косинус и синус через показательную функцию: einx + e-inx einx - e-inx sin пх = ----- cosnx = - - 2- (из формулы Эйлера ei'f' равенства sinrp = е . e-i<.p i<.p = cos 'Р + i sin 'Р и вытекающего из нее = cos 'Р - i sin 'Р находим, что cos 'Р = -i<.p 2ie ао 2i е i<.p + -i<.p 2е , ). Подставив эти выражения в ряд (66.12), находим: 00 f (х) = 2 + L an . einx + e-inx 2 + Ьn . einx - e-inx 2i = n=l ао 00 = 2 + L an · einx + e-inx einx - e-inx - ibn · 2 = 2 n=l а (а - ib )einx =_..o.+L n n + (а n + ibn )e-inx = 00 2 n=l оо 2 2 = ао + '""Cneinx +С ne-inx' б где о означено Сп 2 ~ an n=l ibn = an -2 ibn , с -n -491 +2 - (67.12) Найдем выражения для комплексных коэффициентов Сп и С-п· Ис пользуя выражения для ап и Ьп (формулы (66.14) и (66.15)), получим: J7Г 1(1 Сп= 2 ; J7Г 1 f(x)cosnxdx-i; -~ f(x)sinnxdx ) = -~ J 7Г 1 = 211" J" 1 f(x)(cos_nx - i sin пх) dx = 211" -7Г f(x)e-inxdx, -7Г т. е. J f(x)e-iпxdx (п = 1, 2, 3, ... ), 1 " Сп= 211" (67.13) -7Г Со= ао 1 2 = 211" j" f(x) dx, (67.14) -7Г J7Г 1(1 С-п = 2 ; -~ 1 = 211" J 7Г J7Г 1 f(x)cosnxdx+i; f(x)sinnxdx ) -п 1 f(x)(cos пх + i sin пх) dx = 211" -7Г J 7Г • f(x)einxdx (п = 1, 2, 3 ... ). -л (67.15) Таким образом, формулу (67.12) можно записать в виде J(x) =Со+ 00 00 п=1 n=-oo L Спеiпх + С-пе-iпх' ИЛИ /(х)= L Cneiпx. (67.16) Коэффициенты этого ряда, согласно формулам (67.13)-(67.15), можно записать в виде Сп = - 1 21!" J f(x)e-iпxdx (n =О, ±1, ±2, ... ). 7Г • (67.17) -7Г ~ Равенство (67.16) называется комnлекскоit формоii. ряда Фу рье фуккциu f(x), а числа Сп, найденные по формуле (67.17), комплексными коэффициентами ряда Фурье. Если функция f(x) задается на отрезке [-l; l], то комплексная фор ма ее ряда Фурье имеет вид L спе-iплх1-, Cn= 21l /l f(x)e _ iп1Гх dx (n=0,±1,±2, ... ). 00 f(x)= 1 n=-oo -l (67.18) Как видим, комплексная форма ряда Фурье (и коэффициентов) более компактна, чем обыкновенный ряд Фурье. 492 В электротехнике и радиотехнике члены ряда Спе гармоника.ми, коэффициенты Сп - функции J(x) = L l называются комплексными амплитудами гар моник, а числа Wп = тrln (n = О, ±1, ±2, ... ) 00 i7rnX волновыми 'Числа.ми Cпeiwnx. n=-oo Совокупность величин {с 1 ,с 2 , ... ,сп,···} называется амплитуд ным спектром. Графически амплитудный спектр изображается в виде вертикаль ных отрезков ДЛИНОЙ Сп, раСПОЛОЖеННЫХ В точках Wп = тrг ЧИСЛОВОЙ оси. Пример 67.5. Построить ряд Фу у рье в комплексной форме для 2-периоди 1 1 1 ческой функции 1 хЕ[-1;0), Т= 2 . f(x)={O, 1 - 1 1 1 1 2 3 1 -2 -1 о х Е [О; 1], 1 -1 1 4 х Рис. 266 Q Решение: На рисунке 266 изображен график функции f (х). По формулам (67.18) находим (l = 1): l !1 -i1rnx 11 -1 ( ) Сп= 2 e-iтrпxdx = - e2тrni О= 2тrni е-iтгп -1 = о i ( . . 1) (-l)п-1. -1-0 ; = -2 - cos 1Гn - i sш 1Гn = i, n 1 2 1Гn 1Гn 1 ео = 2 1 Jdx = 2· 1 о Следовательно, для всех точек непрерывности функции f (х) справедливо равенство 1 . ~ (-l)п - 1 iтгпх !( х ) =-+i ~ е = 2 27Гn п=-оо (п#О) . (еi1ГХ 1 =--i 2 ( S(O) = О! 1 = ~' S(±l) = 1 е-1ГХ e3iтrx e-3iтrx -7r+ - + -37Г- + -37Г - + ... 7Г ) ! 1 = 1, на графике S(x) не отмечена) . • § 68. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Как известно, всякую (периодическую или непериодическую) функцию f(x), удовлетворяющую на отрезке [-l;l] условиям теоремы 493 Дирихле, можно разложить в ряд Фурье 00 L an COSWnX + Ьn sinwnx, f(x) = ~ + (68.1) n=1 где Wn = 1Гг, 1 an = l l j f(t) COSWntdt (n =О, 1, 2, ... ), -l 1 Ьn = l J f(t) (68.2) l (п = 1, 2, ... ). sinwnt dt -l Это разложение будет справедливым на всей числовой оси Ох в том случае, когда f(x) - периодическая функция с периодом Т = 2l. Рассмотрим случай, когда f (х) - непериодическая функция, за данная на бесконечном промежутке (-оо; оо) (т. е. l = +оо). Будем предполагать, что на любом конечном промежутке [-l; l] функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и что сходит ся следующий несобственный интегра.,т~: J lf(x)I dx М < оо. 00 = -оо Говорят: f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси. Подставляя в ряд (68.1) значения коэффициентов an и Ьn (68.2), получим: 1 f(x) = 2l J f(t) dt + l100L j f(t)(coswnt · coswnx + sin Wnt · sinwnx) dt, l l -l n=1-/ т. е. 1 f(x) = 2l J f(t) dt + l1 L J J(t) · coswn(t - х) dt. l 00 -1 1 (68.3) n=l -1 Будем теперь неограниченно увеличивать l. Первое слагаемое в правой части равенства (68.3) при l-+ +оо стремится к нулю, т. к. l 1 1 1 2l / f(t) dtl~ 2l -l Рассмотрим f lf(t)ldt ~ 1 ! lf(t)! dt = 2iм -+о. 00 1 2l -/ второе -оо слагаемое в равенстве (68.3). Величина 2 Wn = 1Гln принимает значения w1 = у, w2 = [, w3 = 3{ , ... , образующие бесконечную арифметическую прогрессию с разностью дwn = у 494 (дwn = Wn+l - Wn, п = О, 1, 2, ... ), при этом дwn --+ О при l --+ +оо. Итак, 1 00 l L J f(t) · 1 00 l х) dt = ; L COSWn(t - n=l -l l j f(t) · coswn(t - х) dt · Т = n=l -l ~ '%;, = (j f (t) СОО "'n(t - х) dt) д..J, = ~ '%;, l'("'n) · д..Jno l J f(t) · coswn(t - х) dt, Wn = у, l7Г, 2 где <р(wп) = •.• , п{, ... -1 Полученная сумма напоминает интегральную сумму для функции l <p(w) = J f(t) · cosw(t - х) dt, w Е (О; +оо) -l (доказывается, что так оно и есть), поэтому, переходя в равенстве (68.3) к пределу при l--+ +оо, получаем '°' <p(wn)дwn = -1 J <p(w) Шv, 1 00 f(x) = - lim 00 7Г 1--+оо ~ 7Г n=l или 1 f(x) = ; ~ О JdJJ.J J f(t) cosw(t - х) dt. 00 о (Х) (68.4) -= Формула (68.4) называется фор.му.ло11, Фурье, а интеграл в правой части формулы - uнтегра.ло.м Фурье для функции f(x). Формула Фурье имеет место в точках непрерывности функции f(x); в точках разрыва данной функции интеграл Фурье равен сред нему арифметическому ее односторонних пределов: ~ 1 1 dJJ.J f(t) cosw(t - х) dt = f(x - О); f(x +О). -= о Формулу (68.4) можно переписать в другом виде (в виде однократ ного интеграла): 1 J(x) = ; JdJJ.J J f(t) cosw(t - х) dt = (Х) (Х) -= о 1 = ; JdJJ.J J f (t) (cos wt · cos wx + sin wt · sin wx) dt -= (1 J(Х) f(t)coswtdt·coswx+;1 J f(t)sinwtdt·sinwx, JdJJ.J; (Х) (Х) = о 00 о 00 -= -= 495 ) т. е. J(A(u;) cosu;x + B(u;) sinu;x) dы, 00 f(x) = (68.5) о где 1 J f(t)cosu;tdt, B(u;) =; J f(t)sinu;tdt. A(u;) =; 00 -оо 1 00 -оо Как видно, есть аналогия между рядом Фурье и интегралом Фу рье: в обоих случаях функция /(х) раскладывается на сумму гармони ческих составляющих. Однако, ряд Фурье суммируется по индексу п, принимающему дискретные значения п = 1, 2, 3, ... , в интеграле Фурье производится интегрирование по непрерывной переменной u;. Некоторые сведения, связанные с интегралом Фурье, изложим в виде замечаний. Заме'Чания. 1. Если функция f(x) - 'Четная, то формула Фурье (68.5) прини мает вид JA(u;) cosu;xdы, где A(c.v) =; j f(t)cosu;tdt; 2 00 f(x) = о 00 (68.6) о в случае нечетной функции - f(x) = JB(u;) sinu;x dы, где B(w) = ;2 j f(t) sinwt dt. 00 00 о о (68.7) 2. Если функция f(x) задана лишь на промежутке (О; +оо), то ее можно продолжить на промежуток (-оо; О) разными способами, в част ности - четным или нечетным образом: в первом случае она будет представлена формулой (68.6), во втором - формулой (68.7). 3. Формулу Фурье (68.5) можно представить в симметричной форме записи, если положить в формулах (68.6) и (68.7) A(u;) = ~A(w), B(u;) = ~B(u;). В случае четной функции (2 f(x) =у; [ A(u;)cosu;xdы, где A(w) =у;(2 f f(t)coswtdt; 00 00 в случае нечетной: функции (2 f(x) =у; (2 f B(u;)sinu;xdы, где B(w) =у; [ f(t)sinwtdt. 00 - 00 496 ~ Функции A(w) и B(w) называются соответственно косинус-пре образованием и синус-преобразованием Фурье для функции f(x). 4. Интеграл Фурье (68.4) в ко.мплексноi1 форме имеет вид 1 оо. 00 . J eir,,,;xdw J f(t)e-ir,,,;tdt; f(x) = 2 7Г -оо -оо интеграл Фурье (68.5) имеет вид J 1 00 f(x) = 2 7Г c(w)eir,,,;xdw, -оо J f(t)e-ir,,,;tdt; или в симметричной форме записи 00 где c(w) = -оо f(x) = - 1 00 / 27Г . c(w)eir,,,;xdw, -оо где 00 f(t)e-ir,,,;tdt c(w) = / -00 (c(w) = Ь--с(w)). v27Г Пример 68.1. Представить интегралом Фурье функцию f(x)= { е-х, хЕ(О;+оо), О, х=О, -ех, хЕ(-оо;О). Q Решение: Функция удовлетворяет условиям представимости инте гралом Фурье, абсолютно интегрируема на промежутке (-оо; +оо): 00 о -оо -оо J lf(x)I dx = J exdx + Jе-х dx = 2. 00 о Функция нечетная, применим формулу (68.7): 2 B(w) = 7Г +оо J e-t sinwtdt 2 ~l+w = - · 7Г о Следовательно, 2 f(x)=; +оо J l:w ·sinwxdw, xE(-oo;O)U(O;+oo). 2 о 497 8 Заме'Чание. Интересно отметить, что если х = /(l) = ~ / 1Т 00 о 1, то wsinw dw. 1 + (.<)2 С другой стороны, /(1) = е- 1 = 1. Таким образом, е 00 1 о • у sш у dy = /(1) . ~ = ~. 1 + у2 2 2е Иными словами, при помощи представления функций интегралом Фу рье иногда можно вычислить величины несобственных интегралов. Глава XVI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ / Лекции 59-621 § 69. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОЛЯ Теория поля - крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля. К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других тех нических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, маг нитные, электрические силы - все они изменяются обратно пропор ционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в рас творах происходит по законам, общим с распространением тепла в раз личных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т. д. Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического ана лиза функций многих переменных. ~ По.л,ем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой области соответствует определенное число И = U(M), гово рят, что в области определено (задано) ска.tt.ярн.ое nо.л,е (или функция mо'Чки). Иначе говоря, скалярное поле - это скалярная функция И ( М) вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор а = а(М), то говорят, что задано векторное nо.л,е (или векторная функv,и.я mо'Чки). Примерами скалярных полей могут быть поля температуры (воз духа, тела, ... ), атмосферного давления, плотности (массы, воздуха, ... ), электрического потенциала и т. д. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидко сти (ветра), магнитное поле, поле плотности электрического тока и т. д. Если функция U(M) (а(М)) не зависит от времени, то скаляр ное (векторное) поле называется стаv,ионарН'ЫМ (или установившим ся); поле, которое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное поле температуры при охлаждении тела), называется не стаv,ионарнъ~м (или неустановившимся). Далее будем рассматривать только стационарные поля. Если V - область трехмерного пространства, то скалярное поле И можно рассматривать как функцию трех переменных х, у, z (координат точки М): И= U(x; у; z). 499 (69.1) (Наряду с обозначениями И = И(М), И= И(х; у; z), используют запись И= U(r), где f - радиус-вектор точки М.) Если скалярная функция И(М) зависит только от двух перемен ных, например х и у, то соответствующее скалярное поле И(х; у) назы вают плоским. Аналогично: вектор ii = ii( М), определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргу ментов х, у и z: ii = а(х; у; z) (или ii = a(f)). Вектор ii = ii(M) можно представить (разложив его по ортам ко ординатных осей) в виде ii = Р(х; у; z)l + Q(x; у; z)J + R(x; у; z)k, где Р(х; у; z), Q(x; у; z), R(x; у; z) - проекции вектора ii(M) на оси ко ординат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проек ций вектора ii = ii(M) равна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например, ii = Р(х; y)l + Q{x; y)J. Векторное поле называется одпородпъ~.м, если ii(M) - постоянный вектор, т. е. Р, R и Q - постоянные величины. Таким полем является поле тяжести. Здесь Р = О, Q = О, R = -mg, g - тяжести, т ~ В - ускорение силы масса точки. дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции (U(x;y;z) - определяющая скалярное поле, P(x;y;z), Q(x;y;z) и R(x; у; z) - задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими частными производными. Пример 69.1. Функция И = J1 - х 2 -у 2 - z 2 определяет ска лярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром в начале координат и радиусом R = 1; скалярное поле И = х 2 z +у 2 определено во всем пространстве, за исключением точек оси Oz (на ней х 2 +у 2 =О). Пример 69.2. Найти поле линейной скорости V материальной точки Ivf, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростью i:J вокруг оси Oz (см. п. 7.4). Q Решение: Угловую скорость представим в виде вектора r:J, лежащего на оси Oz, направленного вверх. Имеем: i:J Построим радиус-вектор f = {О; O;w) (i:J = wk). = (х; у; z) точки М (см. рис. 267). Численное значение линейной скорости V (модуль), как известно из курса физики, равно wp, где р расстояние вращающейся точки 500 M(x;y;z) от оси вращения (оси Oz).Ho р = rsin<p (ер - угол между = wp = w · r · sincp, т. е. V = = jwxrj. вектором r и осью Oz). Следовательно, V Вектор скорости V направлен в сторону z вращения, совпадает с направлением вектор r r, ного произведения w х (V j_ V j_ w, векто ры w, r, V образуют правую тройку). Следо вательно, V = GJ х r, т. е. V= i j k о о (;.) х у z = -wyz + wx] +о · k Рис. 267 или V = (-wy;wx;O). Поле линейных скоростей V тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, есть плоское векторное поле. 8 § 70. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 70.1. Поверхности и линии уровня Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией И = И (х; у; z). Для наглядного представления скалярного поля используют поверхно сти и линии уровня. ~ Поверхностью уровня скалярного поля называется геометри ческое место точек, в которых функция И ( М) принимает постоян- ное значение, т. е. Давая в уравнении И(х; у; z) =с. (70.1) (70.1) величине с различные значения, полу чим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки ко ординат точки в уравнение (70.1). Для скалярного поля, образованного функцией И= J1 - х2 - у2 - z2' поверхностями уровня является множество концентрических сфер с J1 - центрами в начале координат: х 2 - у 2 - z 2 = с. В частности, при = 1 получим х 2 + у 2 + z 2 = О, т. е. сфера стягивается в точку. с Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня темпера турного поля (изотермические поверхности) представляют собой кру говые цилиндры, общей осью которых служит нить. ~ В случае плоского поля И= И(х; у) равенство И(х; у) =с предста вляет собой уравнение .auнuu уровня поля, т. е. линия уровня - 501 это линия на плоскости Оху, в точках которой функция и(х; у) сохра няет постоянное значение. В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одина ковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек мест ности. Линии уровня применяются в математике при исследовании по верхностей методом сечений (см. п. 12.9). 70.2. Производная по направлению Для характеристики скорости изменения поля и= и(М) в задан ном направлении введем понятие «производной по направлению». Возьмем в пространстве, где задано поле и ( = и х; у; z), некото рую точку М и найдем скорость изменения функции и при движении точки М в произвольном направлении Х. Пусть вектор Х имеет начало z в точке М и направляющие косинусы cos а, Х cos/3, cos1. Приращение функции и, возникающее при переходе от точки М к некоторой точке j3 i Лz --- -- ---L-~----· .,._".J-~ _____ . . Лу t" Лх о~~~~~~~-- М1 в направлении вектора Х определяется как Ли = и(М1) - и(М), или у ли= и(х х Рис. 268 + Лх;у + Лу;z + Лz) - и(х;у;z) (см. рис. 268). Тогда ЛЛ = jMM1 1 = J(Лх)2 + (Лу)2 + (Лz)2. Производноti от функции и= и(М) в точке М по напра влению Х называется предел аи = lim Ли = lim ал дл-tо лл М1-+м и(М1 ) - и(М). 1мм11 Производная по направлению Х и характеризует скорость измене ния функции (поля) в точке М по этому направлению. Если i~ > О, то функция и возрастает в направлении .Л, если ~~ < О, то функция и в направлении Х убывает. Кроме того, величина j ~~ j представляет собой мгновенную скорость изменения функции и в направлении .Л в точке М: чем больше 1~~ 1, тем быстрее изменяется функция и. В этом состоит физический смысл производной по направлению. 502 Выведем формулу для вычисления производной по направлению, считая, что функция U(x;y;z) дифференцируема в точке М. Тогда ее полное приращение в этой точке М можно записать так: дИ дU дU ЛИ= дх ·дх+ ду ·ду+ дz ·дz+6дх+6ду+6дz, где 6, 6, 6 - бесконечно малые функции при дЛ-+ О (см. п. 44.3). Поскольку дх = дЛсоsа, ду = дЛсоs(З, дz = дЛсоs')', то дU ди дU дU дЛ = дх coso: + ду соs(З + дz cos')' + 6 cosa + 6 соs(З + 6 cos')'. Переходя к пределу при дЛ -+О, получим формулу для вычисления производной по направлению: дU дU дU дU дЛ = дх coso: + ду соs(З + дz COS')'. (70.2) В случае плоского поля И= U(x;y) имеем: соs(З = cos = sin о:, cos 'У = О. Формула (70.2) принимает вид: дU дU дU (i - а) . ал = дх сова+ ду sша. Заме'Ч.ание. Понятие производной по направлению является обоб щением понятия частных производных ~~, ~~, ~~. Их можно рассма тривать как производные от функции и по направлению координатных осей Ох, Оу и Oz. Так, если направление Л совпадает с положитель ным направлением оси Ох, то, положив в формуле (70.2) о:= О, f3 = ~, 'У= i· получим ~~ = ~~. Пример 70.1. Найти производную функции и= х 2 + у 2 - 4yz в точке М(О; 1; 2) в направлении от этой точки к точке М1 (2; 3; 3). О Решение: Находим вектор ММ 1 и его направляющие косинусы: м М1=(2;2; 1), 2 cosa = у4+4+1 - 2 2 3' соs(З = 3' COS')' = 1 з· Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке М: аи аи аи aul = -о= о ' аи 2 - 4 . 2 = -6 дх = 2х, дх м 2 ду = 2у - 4z, 1 = ду м 503 az = -4у, , аи 1 = -4. дz м Следовательно, по формуле (70.2) имеем: дИ 1 = О . ~ - 6 . ~ - 4 . ~ = - 16 дЛ м З З З . З . Поскольку ~~ < О, то заданная функция в данном направлении убы ~~ 70.3. Градиент скалярного поля и его свойства В каком направлении Х производная ~~ имеет наибольшее значе ние? Это направление указывает вектор, называемый градиентом ска лярного поля. Можно заметить, что правая часть равенства (70.2) представляет собой скалярное произведение единичного вектора е = (cos а; cos (J; cos 'У) и некоторого вектора g- = ( дИ · дИ · дИ) . ~ дх' ду' дz Вектор, координатами которого являются значения частных про изводных функции U(x;y;z) в точке M(x;y;z), называют гради- ентом функции и обозначают grad И т. е. grad И = ( дИ · дИ · дИ) дх' ду' дz ' или дИ - дИ - ' дИ - gradU = a;;i + дуj + дzk. Отметим, что grad И есть векторная величина. Говорят: скалярное поле И порождает векторное поле градиента И. Теперь равенство (70.2) можно записать в виде дИ дЛ = е · gradU, или м ё ~~ дЛ = 1 grad ИI · cos r.p, х где r.p - Рис. 269 дИ (70.З) угол между вектором grad И и направле- нием Х (см. рис. 269). ij Из формулы (70.З) сразу следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда cos ср = 1, т. е. при ер = О. Таким образом, направление градиента совпадает с направлением Х, вдоль которого функция (поле) меняется быстрее всего, т. е. градиент функции указ'Ьtвает наnравле'Ние наибистреiiшего возрастани.я функ ции. Наибольшая скорость изменения функции И в точке М равна 504 В этом состоит физический смысл градиента. На указанном свой стве градиента основано его широкое применение в математике и дру гих дисциплинах. Приведем важные своii,ства градиента функции. 1. Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, прохо дящей через данную точку. О Действительно, по любому направлению вдоль поверхности уровня (и = с) ~~ = О. Но тогда из (70.3) следует, что cos 'Р = О, т. е. 'Р = ~. 8 2. grad(и + V) = grad и + grad V, 3. grad(c ·и)= с· gradи, с= const, 4. grad(и · V) =и grad V + V gradи, и) _ V gradи - и grad V 5. grad( V vz ' 6. grad/(и) = fJrgradи. О Доказываются эти свойства на основании определения градиента. Докажем, например, последнее свойство. Имеем: - а - а - а grad !(и) = ах(! (и) )i + ау(! (и) )j + az (!(и) )k = аf = - аи аи, аf аи ах аи ау · -z+- · - .., аf аи аи - аf az ·k= -аи ·gradи. ·J+- · - 8 Заме'Чание. Приведенные свойства градиента функции остаются справедливыми и для плоского поля. Пример 70.2. Найти наибольшую скорость возрастания функции и=~+'!!..+~ в точке А(-1· 1· -1). у z х ' ' Q Решение: Имеем: grad и = - + -1).., + (-у - + -1)(-1- -z)' + (-х у х2 z у2 gradи(-1; 1;-1) = 2l + z J z2 х k; oJ - 2k = 2l - 2k. Наибольшая скорость возрастания функции равна 1 gradи(A)I = v'4 +о+ 4 = 2v2. Отметим, что функция и будет убывать с наибольшей скоростью (2v'2), если точка А движется в направлении - grad и(А) = -2z + 2k (антиградиентное направление). 8 505 § 71. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ 71.1. Векторные линии поля Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором а= а(М). Из учение поля удобно начинать с понятия векторных линий; они явля ются простейшими геометрическими характеристиками поля. ~ Beкmopнoti, линиеii. поля а называется линия, касательная к ко торой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора а(М). Это понятие для конкретных полей имеет ясный физический смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными ли ниями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока); для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном. Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через не которую замкнутую кривую, называется векторно11 трубкоi1. Изучение векторного поля обычно начинают с изучения располо жения его векторных линий. Векторные линии поля z а= Р(х; у; z)l + Q(x; у; z)] + R(x; у; z)k описываются системой а(М) (71.1) дифференциаль ных уравнений вида dx dy dz P(x;y;z) - Q(x;y;z) - R(x;y;z). (71.2) у О Действительно, пусть PQ - вектор ная линия поля, f = xl + у] + zk - ее радиус-вектор. Тогда вектор = dx · l + + dy · J + dz · k направлен по касательной dr Рис. 270 к линии PQ в точке М (см. рис. 270). В силу коллинеарности векторов а и dr следует пропорциональ- ность их проекций, т. е. равенства (71.2). Пример 71.1. 8 Найти векторные линии поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью w вокруг оси Oz. Q Решение: Это поле определено вектором V = -wyl + wxJ (см. при мер 69.2). Согласно (71.2), имеем: dx -wy dy dz r..vx о или 506 { wx dx = -wy dy, О· dy = r..vxdz. Интегрируя, получим: { Х2 + у2 = С1, z = с2, т. е. векторные линии данного поля представляют собой окружности с центрами на оси Oz, лежащие • в плоскостях, перпендикулярных к этой оси. Поток поля 71.2. Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Для наглядно сти будем считать а(М) вектором скорости некоторого потока жидко сти, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность 8 находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости протекает через поверхность 8. Выберем определенную сторону поверх- ности S. Пусть n = единичный ваемой вектор (coso:;cos,В;cos')') нормали к стороне поверхности поверхность на ii(M;) Разобьем S. элементарные - рассматри площадки 81, 82, ... , 8п. Выберем в каждой площадке точку Mi (i = 1, 2, ... , п) (см. рис. 271) и вы s числим значения вектора скорости а(М) в каждой точке: а(М1), Будем ii(M2), ... , а(Мп). приближенно считать каждую Рис. 271 площадку плоской, а вектор а постоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времени через 8i протекает количество жидкости, прибли женно равное Ki ~ Hi · Л8i, где ЛSi - площадь i-й площадки, Hi - высота i-го цилиндра с образующей ii(Mi)· Но Hi является проекцией вектора ii(Mi) на нормаль ni: Hi = пpп:;ii(Mi) = a(Mi) · ni, где ni - единичный вектор нормали к поверхности в точке Mi. Следовательно, общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за единицу времени, найдем, вычислив сумму п к~ L a(Mi) . пi . Л8i. i=l Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа эле ментарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров di площадок): п к= J1IIJo L a(Mi) · пi · лsi = / j а(М) · п · ds. s (maxd;-->0) i=l 507 Независимо от физического смысла поля а(М) полученный: инте грал называют потоком векторного поля. Е§] Потоком вектора а через поверхность S называется инте грал по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т. е. К= JJ ands. (71.3) s Рассмотрим различные формы записи потока вектора. Так как а. п (см. (6.2)), то = lnl . прr;;а = прr;;а = an К= jj ands, (71.4) s где an - проекция вектора а на направление нормали n, ds - диффе- ренциал (элемент) площади поверхности. Иногда формулу (71.3) записывают в виде К= fjaJS, s где вектор ds направлен по нормали к поверхности, причем jdsl = ds. Так как n = (cosa;cos/);cos1), а= (P;Q;R), где Р = P(x;y;z), Q = Q(x; у; z), R = R(x; у; z) - проекции вектора а на соответствующие координатные оси, то поток (71.3) вектора а, можно записать в виде К= JJ(Pcosa + Qcosf) + Rcos"()ds. s Используя взаимосвязь поверхностных интегралов 1 и 11 рода (см. формулу (58.8)), поток вектора можно записать как jк =у Pdydz+Qdxdz+Rdxdy. I (71.5) liJ Отметим, что поток К вектора ii есть скалярная величина. Вели чина К равна объему жидкости, которая протекает через поверх ность S за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока (независимо от физического смысла поля). Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем V. Тогда поток вектора записывается в виде к=!! an ds (иногда f ands или f an ds, ... ). s s s В этом случае за направление вектора n обычно берут напра- вление внешней: нормали и говорят о потоке изнутри поверхности (см. рис. 272). 508 S Если векторное поле а = а( М) есть поле скоростей текущей жидко сти, то величина потока К через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V (объема V) и втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхности S, где векторные линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с вектором а острый угол и а · n > О; в точках, где векторные линии n <О). входят в объем, а· При этом если К > О, то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополни тельные исmо'Чники. Если К < О, то внутри области V имеются стоки, поглощающие избыток жидкости. Можно сказать, что источники - начинаются, а стоки - точки, откуда векторные линии точки, где векторные линии кончаются. Так, в электростатическом поле источником является положительный заряд, стоком - отрицательный заряд магнита (см. рис. 273). Если К = О, то из области V вытекает столько же жидкости, сколько в нее втекает в единицу времени; внутри области либо нет ни источников, ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно компенсируется. z у Рис. 272 Рис. 273 Рис. 274 Пример 71.2. Найти поток вектора а= z · I - х · J +у· k через верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоско сти Зх + 6у - 2z - 6 =О с координатными плоскостями (см. рис. 274). Q Решение: Поток найдем методом проектирования на три координат ные плоскости. Для этого воспользуемся формулой случае Р = z, Q = -х, R =у. Имеем: К= JJ zdydz - xdxdz + ydxdy. s 509 (71.5). В нашем Расчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затем сведем их вычисление к вычислению двойных интегралов. Нормаль к верхней стороне треугольника образует с осью Ох тупой угол, с осью Оу - тупой, а с осью Oz - острый угол. {Единичный вектор данной плоскости есть n = ±(~z + ~J - ~k); на верхней стороне cos1 > О, поэтому надо выбрать знак «минус»; получим: cos а = - ~, cos /3 = - ~, COS/ = ~.) Итак, К= К1 + К2 + Кз. Находим К1, К2, Кз: J s j j z dy dz = - j dy j z dz = " · = 2, вое К2 = - j j х dx dz = о зу-з 2 о j j xdxdz = Jxdx j О АОС S 3 о 1 К1 = j z dy dz = - dz = · · · = 2, Зх-6 -26-Зх Кз = jj ydxdy = jj ydxdy = j dx 1 ydy = ... = -.31 АОВ S В результате имеем: К=~+ 2 + Пример 71.3. -6- 2 О о i = 3~. • Найти поток радиус-вектора f z через внешнюю сторону поверхности прямого кону са, вершина которого совпадает с точкой 0(0; О; О), если известны радиус основания R и высота конуса Н (см. рис. 275). О Решение: К= jj rпds = jj rпds + jj 'Гnds = К1 + К2. S бок.пов. осн. Очевидно, что К1 =О, т. к. прпf =О; К2= Рис. 275 ff rпds=H· /! ds=H·7ГR2 , осн. осн. у • т. к. прпf = Н. Итак, К= 1ГНR2 • 71.З. Дивергенция поля. Формула Остроградскоrо-Гаусса Важной характеристикой векторного поля (71.1) является так на зываемая дивергенция, характеризующая ность источников и стоков поля. 510 распределение и интенсив ~ Дивергени,иеii. (или расходимостью) векторного пол.я а(М) = P(x;y;z)i + Q(x;y;z)J + R(x;y;z)k о точке М называется скаляр вида дР + f!O + дR и обозначается дх ду дz символом diva(M), т. е . . _ дР дQ дR d1va(M) = дх + ду + дz. (71.6) Отметим некоторые своiJ,ства дивергенции. 1. Если а - постоянный вектор, то div а= О. 2. div( с · а) = с · div а, где с = const. 3. div(a+Б) = diva+divБ, т. е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых. скалярная функция, а - 4. Если И - вектор, то div(U ·а)= И· diva + agradU. Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.6). Дока жем, например, справедливость свойства 4. О Так как И · а= И · Р · i + И · Q · J+ И · R · k, то div(U. а)= .i.(u. Р) + .i.(u. Q) + .i.(u. R) = дх ду дz = идР +РдИ +идQ +QдИ +идR +RдИ = дх дх ду ду дz дz = и(дР + дQ + дR) +Раи +QдИ +RдИ = дх ду дz дх ду дz =И· div а+ а· grad И. • Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запи шем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского-Гаусса JJ Р dy dz + Q dx dz + R dx dy = JJJ (~= + ~~ + ~~) dv s (71. 7) v в так называемой векторной форме. Рассматривая область V, ограниченную замкнутой поверхностью S, в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть форму лы (71.7) есть поток вектора а через поверхность S; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора а. Следова тельно, формулу (71.7) можно записать в виде JJ ands = JJJ divii·dv s v (в котором она чаще всего и встречается). 511 (71.8) liJ Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторно го по.ля 'Через замкнутую поверхность S (в направлении внешнеii, нормали, т. е. изнутри) равен троii,ному интегралу от дивергенции это го по.ля по оббему V, ограни-ченному данноil поверхностыо. Используя формулу (71.8), можно дать другое определение дивер генции векторного поля а(М) в точке М (не связанное с выбором ко ординатных осей). По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 54.1) имеем: JJJ diva(M)dv V · diva(Mo), = v где М0 - некоторая (средняя) точка области V. Тогда формулу (71.8) можно переписать в виде// ап dS = V · div а(М0 ). Отсюда s div а(Мо) = ~ jj an ds. s Пусть поверхность S стягивается в точку. Тогда V -+ О, М0 -+ М, и мы получаем выражение для div а( М) в точке М: div а(М) = bi~ ~ 0 jj an ds. (71.9) s ~ Дивергенцuеii. векторного пол.я в точке М называется предел отношения потока поля через (замкнутую) поверхность S, окружа ющую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку М (V-+ О). Определение (71.9) дивергенции эквивалентно (можно показать) определению (71.6). Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле. Исходя из физического смысла потока (обычно условно счита ют, что а( М) есть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при diva(M) > О точ ка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает; при div а(М) < О точка М есть сток, поглощающий жидкость. Как следует из равенства (71.9), величина div а(М) характеризует мощность (интен сивность, плотность) источника или стока в точке М. В этом состоит физический смысл дивергенции. Понятно, что если в объеме V, ограниченном замкнутой поверхно стью S, нет ни источников, ни стоков, то div а = О. Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, т. е. div а(М) = О, называется со.леноиiJа.лыtым (или трубчатым). 512 При.мер 71.4. Найти дивергенцию поля линейных скоростей V жидкости, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью w. О Решение: Примем ось вращения жидкости за ось Oz. Тогда, как по казано ранее (см. пример 69.2), V = -wyz + wxJ +О· k. Имеем: д д д divV(M)= дх(-wу)+ ду(wх)+ дz(О)=О. Поле V - • соленоидальное. 71.4. Циркуляция поля Пусть векторное поле образовано z вектором (71.1). Возьмем в этом поле не которую замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление. Пусть r = xl +у}+ zk - радиус вектор точки М на контуре L. Известно, что вектор dr = dx·z+dy·) +dz·k напра у влен по касательной к кривой в напра влении ее обхода (см. рис. 276) и !dr! = = dl, где dl - дифференциал дуги кри вой (dl = J(dx)2 + (dy)2 + (dz)2). ~ Рис. 276 Криволинейный интеграл по замкну:9МУ контуру L от скалярного произведения вектора а на вектор dr, касательный к контуру L, называется циркуляциеit вектора а вдоль L, т. е. (71.10) Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как а· dr = !dr! · пpdra =ат· dl = Pdx + Qdy + Rdz, где ат - проекция вектора а на касательную т, проведенную в напра влении обхода кривой L, то равенство (71.10) можно записать в виде С= f ат· dl, (71.11) L или (71.12) 513 ~ Циркуляция С, записанная в виде (71.12) имеет простой физиче ский смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то цирку ляция - это работа силы а(М) поля при перемещении материальной точки вдоль L (п.56.5). Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция от лична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение adr сохраняет знак: положительный, если направление вектора а совпадает с направлением обхода векторной линии; отрица тельный - в противном случае. Пример 71.5. Найти циркуляцию вектора поля линейных ско ростей вращающегося тела (см. пример 69.2) V -wyl + wx] вдоль = замкнутой кривой L, лежащей в плоскости а, перпендикулярной оси вращения. Q Решение: Будем считать, что направление нормали к плоскости а совпадает с направлением оси Oz. Согласно формуле (71.12), имеем: f -wy dx + wx dy w f -у dx + х dy С= = L L = 2L<.i( ~ = f -у dx + х dy) = 2w · S, L где S - площадь поверхности, ограниченной кривой L (см. 56.17). Заметим, что если нормаль к поверхности S образует угол 'У с осью Oz, то циркуляция будет равна С= 2w · S · cos )1; с изменением угла 1' величина С изменяется. 8 z Пример 71.б. Вычислить циркуляцию век 1 с торного поля а= (х - 2z)l + (х +Зу+ z)] + (5х + y)k вдоль периметра треугольника с вершинами А(1; О; О), В(О; 1; О), С(О; О; 1) (см. рис. 277). Q Решение: Согласно формуле (71.12), имеем: С= Рис. 277 f (x-2z)dx+(x+3y+z)dy+(5x+y)dz= J + J + J АВ L ВС На отрезке АВ: х +у = 1, z = О, следовательно, о J = J(х - О) dx + (х + 3 - Зх +О)· (-dx) +О= 23 . АВ 1 514 СА На отрезке ВС: у+ z = 1, х =О, следовательно, о f f (О - 2 + 2у) ·О+ (О+ Зу+ 1 - у) dy +(О+ у)· (-dy) -2·3 = вс = 1 На отрезке СА: х + z = 1, у= О, следовательно, 1 J = J(х - 2 + 2х) dx +О - 1(5х +О)· (-dx) = -3. СА О Следовательно, !+!+! f С= АВСА 71.5. § АВ ВС = ~ + ( - ~) + ( -3) = -3. СА • Ротор поля. Формула Стокса Ротором (или вихрем) векторного пол.я ii = Р(х; у; z)l + Q(x; у; z)J + R(x; у; z)k называется вектор, обозначаемый rotii(M) и определяемый формулой _ rot a(M) = (aR - - -aQ) ~ + (ар - - -aR) + (aQ - - -aP)-k. (71.13) az az "7 i ау ах J ах ау Формулу (71.13) можно записать с помощью символического опре делителя в виде, удобном для запоминания: rot ii(M) = i j k fx д ду д дz р Q R Отметим некоторые сво11.ства ротора. 1. Если ii - постоянный вектор, то rot ii = О. 2. rot(c · ii) =с· rot ii, где с= const. 3. rot(ii + Б) = rot ii + rot Б, т. е. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых. 4. Если И - скалярная функция, а ii(M) - векторная, то rot(U · ii) = И rot ii + grad И х ii. Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.13). Пока жем, например, справедливость свойства 3: 515 Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, за пишем известную в математическом анализе (см. п. 58.4) формулу Стокса: f Pdx + Qdy + Rdz = JJ(~R - ~~)dydz+ L у S + ( -дР - -дR) dxdz + (дQ - - -дР) dx dy. дz дх дх ду (71.14) Левая часть формулы (71.14) представляет собой циркуляцию вектора а по контуру L, т. е. f Pdx+Qdy+Rdz = f aтdl (см. (71.11)). Интеграл L L в правой части формулы (71.14) представляет собой поток вектора rot а через поверхность S, ограниченную контуром L (см. (71.3)), т. е. 8 R - дQ)dydz+ (дР - дR)dxdz+ (дQ - дP)dxdy= Js'f( 1 = !! rotn ads. s ду дz дz дх дх ду z Следовательно, формулу Стокса можно запи- ~ сать в виде f aтdl = !! rotn ads. L 0'-----у х Рис. 278 L (71.15) S Такое представление формулы Стокса на зывают ее векторноil формоil. В этой формуле положительное направление на контуре L и вы бор стороны у поверхности S согласованы между собой так же, как в теореме Стокса. !i Формула (71.15) показывает, что циркуляция вектора а вдо.л:ь за мкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора а 'Через поверхность S, .лежащую в по.ле вектора а и ограни-че'Нную контуром L (натянутую на контур) (см. рис. 278). 516 Используя формулу (71.14), можно дать другое определение рото ра поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координат ной системы. Для этого применим формулу Стокса (71.15) для достаточно малой плоской площадки S с контуром L, содержащей точку М. По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 57.1, свой ство 7) имеем: j j rotn ads = rotn а(Мо) · S, s где Мо - некоторая (средняя) точка площадки S (см. рис. 279). Тогда формулу (71.15) можно записать в виде f a,,.dl = rotn а(Р) · S. rotn ii L Отсюда: rotn а(Р) = ~ Пусть контур L f а,,. dl. sм L стягивается в точку М. Тогда М0 --+ М, а S--+ О. Перейдя к пределу, получаем: rotn а(М) = lim -81 5--+0 !9!ii(M) Рис. 279 f а,,. dl. L ~ Ротором вектора а в mо-чке М называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения цирку ляции вектора а по контуру L плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки. Как видно из определения, ротор вектора а(М) есть векторная величина, образующая собственное векторное поле. Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля. Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью (пример 69.2) GJ, т. е. ротор вектора V = -1.AJ · у · l + l.AJ · х · J. По определению ротора i rot ii(M) = lx -yl.AJ j k X(J.) 0 ly lz = д(-yw))J+ (д(хw) _ д(-y1.AJ))k= (О- д(wx))l-(oдz дz дх ду = О - О + 2w · k = 2GJ. Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его мо дуль равен удвоенной угловой скорости вращения. 517 С точностью до числового множителя ротор поля скоростей V представляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим связано само название «ротор» (лат. «вращатель»). Заме'Чание. Из определения (71.13) ротора вытекает, что напра вление ротора- это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S. Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению (см. п. 70.3). § 72. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА 72.1. Векторные дифференциальные операции первого порядка Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем И и векторным полем а являются grad И, div а, rot а. Действия взятия градиента, дивергенции и ротора называются вектор Н'Ыми операциями первого порядка (в них участвуют только первые производные). Эти операции удобно записывать с помощью так называемого опе ратора Гами.л:ьтона Этот символический вектор называют также оператором У' (чита ется «набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умноже ние» вектора У' на скаляр И или вектор а производится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов /Jx , /1у , lz на величины И, Р, Q, R понимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин. Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные опе рации первого порядка: 1. У'И = (1Ц + д._] + д_f) ·И= дИ:t + дИ] + дИ,;; = gradИ. дх ду дх &z ду дz 2. У'а = (д._l+д._]+д._k) ·(P·l+Q-]+R·k) = дР +f!Sl+&R = diva. & 3 . "7 v ха= & ~ i д ] д & ~ & k {) дх &у Р Q R f)z = rot а. Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним 518 надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами диффе ренцирования. В частности, производная по направлению (70.2) может быть записана в виде аи ю. = \lИ . е = (е. \7) · и, где е = (coso:; соs{З; cos7). 72.2. Векторные дифференциальные операции второго порядка После применения оператора Гамильтона к скалярному или век торному полю получается новое поле, к которому можно снова приме нить этот оператор. В результате получаются дифференциальные опе рации второго порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка: div grad И, rot grad И, grad div а, div rot а, rot rot а. (Понятно, что операция div а - div div а, например, не имеет смысла: скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е. о div div а, бес смысленно.) Запишем явные выражения для дифференциальных операций вто рого порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что оператор действует только на множитель, расположенный непосред ственно за оператором. liJ 1. divgradU = \7(\lU) = (\7 · \l)U = (f:2 + - ::2 + ::2) ·И = ~:ч + ~:ч + ~:ч. Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа скалярной функции И и обозначается дИ. Таким образом, а2 и а2 и а2 и дх ду дz divgradU = дИ = -2 + -2 + --2 · (72.1) Дифференциальное уравнение Лапласа дИ = О играет важную роль в различных разделах математической физики. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гар.мони"tеские функции. За.ме"tание. К равенству (72.1) можно прийти, введя в рассмотрение скалярный оператор дельта: а2 а2 а2 д = У' · \7 = дх2 + ду2 + дz2 (который тоже называют оператором Лапласа). liJ 2. rot grad И = \7 х (\lU) = (\7 х \l)U = О, так как векторное произ ведение двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое. 519 3. grad div а = д - д д - - = V'(V' ·а)= дх (diva) · i + ду (diva) · j + дz (diva) · k = a2 Q а2 Р а2 я ~ а2 Р a2 Q а2 я а2 Р a2 Q .,. = ( дх 2 + дудх + дzдх)~ + (дхду + ду 2 + дyoJJ+ а2 я - + (дхдz + дудz + oz 2 )k. 4. div rot а = V' · (V' х а) = О, так как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря - соленоидальное. 5. rot rot а = V' х (V' х а) = V' (V' ·а) - (V' · V')a = grad div а - да, так как двойное векторное произведение обладает свойством а х (Ь х ё) = Б . а. ё - ё. а . Б. Здесь да = др l + ДQ J+ дR k - векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к вектору а. § 73. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОСНОВНЫХ КЛАССОВ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 73.1. Соленоидальное поле Напомним, что векторное поле а называется соленоиiJа.лънuм, если во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е. div а= О. Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных ско ростей вращающегося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет элек трический ток, и другие. Приведем некоторые своiiства соленоидального поля. 1. В соленоидальном поле а поток вектора через любую замкну тую поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает из формулы (71.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет ис точников и стоков. 2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого вектор = ного поля, т. е. если div а О, то существует такое поле Б, что а = rot Б. Вектор Ь называется вектор'Н'ЫМ nоте-нчиалом поля а. Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения соленоидального поля. Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное нами доказано (выше мы показали, что divrot а= О). утверждение - поле ротора векторного поля есть соленоидальное 520 3. В соленоидальном поле а поток вектора через поперечное се чение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсивностъю трубки). Q Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными се чениями 81 и S2; боковую поверхность трубки обозначим через S (см. рис. 280). Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую из S1 , S2 и S, равен нулю. Следовательно, JJ ands+ JJ ands+ JJ ands= JJJ divadv=O, S где n- S1 S2 V внешняя нормаль. s Рис. 280 Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль пендикулярна к векторам поля, то n пер JJ an ds =О и, следовательно, s Переменив направление нормали на площадке 8 1 , т. е. взяв вну треннюю нормаль n1 , получим: • В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означа ет, что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени, равно количеству жидкости, вытекающей из нее. 73.2. Потенциальное поле Векторное поле а называется потен'Циалъним (или безвихревим, или градиентним), если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е. 521 rot ii = О. Примером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного заряда (и другие). Приведем основные свойства потенциального поля. Своi1ство 1. Циркуляция потенциального поля i'i по любому за мкнутому контуру в этом поле равна нулю. Q Это непосредственно вытекает из формулы (71.14). Следовательно, С= aтdl =О. 8 f L В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле ско ростей текущей жидкости равенство С = О означает, что в потоке нет замкнутых струек, т. е. нет водоворотов. Своi1ство 2. В потенциальном поле ii криволинейный интеграл JР dx + Q dy + R dz вдоль любой кривой L с началом в точке М1 L и концом в точке М2 зависит только от положения точек М1 и М2 и не зависит от формы кривой. Q Это свойство вытекает из свойства 1. Действительно, взяв в поле две точки М1 и М2 , соединим их двумя кривыми М1 рМ2 и M 1 qM2 Рис. 281 так, чтобы контур M1pM2qM1 лежал внутри поля (см. рис. 281). Тогда, в силу свойства 1, имеем f Pdx + Qdy +Rdz =О. M1pM2qM1 Учитывая свойства криволинейного интеграла, получаем: f Р dx + Q dy + R dz = M1pM2qM1 Р dx + Q dy + R dz + J Pdx +Qdy+Rdz = M2qM1 т. е. J Р dx + Q dy + R dz = ~р~ / Р dx + Q dy + R dz. • ~q~ Свойство 3. Потенциальное поле является полем градиента неко торой скалярной функции И(х;у; z), т. е. если rota =О, то существует функция И(х; у; z) такая, что а= gradU. 522 -_ о Из равенства rot а - дР !Ш_ _ О вытекает, что ду - !Ш_ _ дR дх , дz - дR _ ду , дх - = ~~, т. е. выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифферен циалом некоторой функции И= И(х; у; z) (следствие 56.1). Эту функ цию называют потенциалом векторного поля а= Pl + Q] + Rk; dU = = Pdx + Qdy + Rdz. Отсюда: Р = дИ Q = дИ R = дИ. Следовательно дх' - а= Р · i ду' - дИ - дz - дИ дИ - ' - + Qj + Rk = -дх · i + -ду · j + -дz · k = grad И, • т. е. вектор поля а является градиентом скалярного поля. Заме'Чание. Из равенства rot grad И ждение - О следует обратное утвер = поле градиента скалярной функции И= И(х; у; z) является потенциальным. Из равенства а = grad U следует, что потенциальное поле опреде ляется заданием одноii, скалярной функции И = И(х; у; z) - его потен циала. Потенциал векторного поля может быть найден по формуле (x;y;z) J U(x;y;z)= Pdx+Qdy+Rdz= (xo;yo;zo) х JР(х; z у Yoi zo) dx + ХО J Q(x; ~; zo) d~ + (73.1) координаты фиксированной точки, (х; у; z) - ординаты произвольной точки. стью произвольного постоянного до R(x; у;() d( +с, zo Уо где (хо; Yoi zo) J Потенциал определяется слагаемого (из-за с ко точно того, что grad(U +а)= gradU). Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных функций (P(x;y;z), Q(x;y;z), R(x;y;z) - проекции вектора поля на оси координат). Заме'Чание. Определение потенциального поля может быть дано иначе - векторное поле а называется потенциальным, если оно явля ется градиентом некоторого скалярного поля, т. е. а = гда пишут а grad И. (Ино = - grad И; знак «минус» пишут для удобства, обычно векторные линии направлены в сторону убывания И: поток жидкости направлен туда, где давление меньше; теплота перемещается от более нагретого места к менее нагретому и т. д.) Пример 73.1. Установить потенциальность поля а(М) = (yz - 2x)l + (xz - 2у)] + xyk и найти его потенциал. 523 О Решение: Имеем: rota = i j k д дх д ду д дz yz-2x xz-2y ху = (х - x)l - (у - у)}+ (z - z)k =О. Следовательно, поле вектора а потенциальное. Найдем потенциал И по формуле (73.1), выбирая в качестве фик = Уо = zo = О. Так как = -2х, Q(x; у; zo) = -2у, R(x; у; z) = ху, то сированной точки начало координат, т. е. хо Р(х; Уо; zo) х z у U(x;y;z) = jC-2x)dx+ j(-2[,)dt;,+ j xyd(+c= -x 2 -y 2 +xyz+c. 8 о 73.З. о о Гармоническое поле Векторное поле а называется гармо'Ни'Ч.еским (или лаnласовt>tм), если оно одновременно является т. е. если rot а потенциальным и соленоидальным, = О и div а = О. Примером гармонического поля является поле линейных скоро стей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков. Так как поле а потенциально, то его можно записать в виде а= gradU, где И= U(x;y;z) - потенциал поля. Но так как поле одновременно и соленоидальное, то div а = div grad и = о, или, что то же самое, а2 и а2 и а2 и ЛИ = дх2 + ду2 + дz2 = О, т. е. потенциальная функция И гармонического поля а является реше нием дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция назы вается, как уже упоминали, гармонической. Глава XVll. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1 Лекции 63-681 § 74. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 74.1. Основные понятия Пусть даны два множества D и Е, элементами которых являются комплексные числа (см. гл. VI). Числа z = х + iy множества D будем изображать точками комплексной плоскости z, а числа w = множества Е - ~ и+ iv точками комплексной плоскости w. Если каждому числу (точке) z Е D по некоторому правилу по- ставлено в соответствие определенное число (точка) w Е Е, то говорят, что на множестве определена одкозкачная функция комп лексного переменного w = f(z), отображающая множество D в мно жество Е (см. рис. 282). Если каждому z Е D соответствует = несколько значений w, то функция w = f ( z) называется многозншч:н.011,. Множество D называется об.ластъю определения функции w = f(z); множе ство Е1 всех значений w, которые f(z) принимает на Е, называется об.ластъю yl А-~! v w ~о зна-чениti, этой функции (если же каждая Рис. 282 точка множества Е является значением функции, то Е - чений функции; в этом случае функция и область зна f отображает D на Е). Да.лее, как правило, будем рассматривать такие функции w = f (z), для которых множества D и Е1 являются областями. 06.ластъю ком плексной плоскости называется множество точек плоскости, обладаю щих свойствами открытости и связности (см. § 43). Функцию w = f (z) можно записать в виде и+iv = т. е. где f(x+iy), f(x+iy) = и(х;у) +iv(x;y), и= и(х;у) = Ref(z), v = v(x;y) = Imf(z), (х;у) Е D. Функцию и(х; у) при этом называют деti,ствите.лъноti, -частъю функции f (z), а v(x; у) - мнимоti,. Таким образом, задание функции комплексного переменного рав носильно заданию двух функций двух действительных переменных. 525 Пример 74.1. Найти действительную и мнимую части функции w =z 2 • Q Решение: Функцию w = z 2 можно записать в виде 'U+iv = (x+iy) 2 , т. е. 'U + iv Отсюда следует: 'U = 74.2. х2 - = х 2 - у 2 + i2xy. у2 , v = • 2ху. Предел и непрерывность функции комплексного переменного Пусть однозначная функция w = f(z) определена в некоторой окрестности точки zo, исключая, может быть, саму точку zo. Под б окрестностъю mо'Чкu z0 комплексной плоскости понимают внутрен ность круга радиуса б с центром в точке zo. ~ = Число w0 называется nреде,11,ом функции w f(z) в точке z 0 (или при z --+ zo), если для любого положительного е- найдется такое положительное число б, что для всех z неравенству f::. zo, удовлетворяющих lz - zol < б, выполняется неравенство lf(z) - wol < е-. Записывают: lim f(z) = w0 • Это определение коротко можно зa z-+zo писать так: ('v'e->0 3б>О 'v'z:O< \z-zo\ <б==} \f(z)-wol <е-) {::::::::> lim f(z)=wo. z-+zo Из определения следует, что если предел wo существует, то суще ствуют и пределы lim и(х; у) = ио Х-+Хо и У-+Уо lim v(x; у) = vo. х-+хо у-+уо Верно и обратное утверждение. Теоремы об арифметических свойствах пределов для функции од ного (или нескольких) действительного переменного остаются справед ливыми и для функции комплексного переменного. Так, если функции fi(z) и f2(z) имеют пределы в точке zo Е D, то lim (c1fi (z) ± c2f2(z)) = с1 lim fi (z) ± с2 lim f2(z), z-+zo где С1, С2 - z-+zo z-+zo постоянные; lim fi(z) · f2(z) = lim fi(z) · lim f2(z) z-+zo и z-+zo lim fi(z) . f 1 (Z ) _ z-+zo 1lffi -------, z-+zo f2(z) lim f2(z) z-+zo если z-+zo lim f2(z) f::. О. z-+zo 526 ~ Пусть функция w = f(z) определена в точке z = zo и в некоторой = f(z) называется н.еnрерывн.оit в mо'Чке zo, если lim f (z) = f(zo). ее окрестности. Функция w z--+zo Определение непрерывности можно сформулировать и так: функ- ция f (х) непрерывна в точке zo, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: lim дf(z) =О. дz--+0 Функция f(z) непрерывна в области D, если она непрерывна в ка ждой точке этой области. Непрерывная в замкнутой области функция комплексного пере менного обладает теми же свойствами, что и непрерывная функция действительного переменного (см. теорема 43.1). 74.3. Основные элементарные функции комплексного переменного Определим основные элементарные функции комплексного пере менного z = х + iy. Показательная функция ~ Показательная функция w = ez определяется формулой w = ez = ех ( cos у + i sin у). (74.1) Положив в этом равенстве у= О, устанавливаем, что для действитель ных значений z = х показательная функция ez совпадает с показатель ной функцией действительного переменного: ez = ех. Показательная функция w = ez обладает «известным» свойством: ez 1+z 2 . Действительно, по правилу умножения комплексных ez 1 · ez 2 = чисел («модули перемножаются, а аргументы складываются», п. 28.3), имеем: + У2) + i sin(y1 + У2)) = = ех1 +х2 . ( cos(y1 + У2) + i sin(y1 + У2)) = ех1 +x2+i(y1 +У2) = ez1 +z2. ez 1 • ez 2 = ех 1 • ех 2 ( cos(y1 Аналогично можно убедиться в справедливости свойств: ez 1 :ez 2 =ez 1-z 2 , (ez)n=enz (n Е N). Учитывая, что lezl = ех, а ех-:/:- О, утверждаем, что показательная функция ez нигде в нуль не обращается, т. е. ez-:/:- О. Исходя из определения (74.1), легко убедиться, что lim Re z--+-oo (х--+-оо) ez = О, lim Re z--++oo (х--++оо) выражение ez при z -+ оо не имеет смысла. 527 ez = оо, Положив в равенстве (74.1) х = О, у = tp, получим классиче + i sin tp. С ее помощью, в частности, скую формулу Эйлера ei'P = cos tp можно представить тригонометрическую форму комплексного числа z = r · (cos ip+ i sinip) в более компактной форме z = r · ei'P(= jzl · eiarg z), называемой nоказательноil формоil комплексного числа (см. п. 27.3) li Показательная функция комплексного переменного обладает и специфическим свойством: она является nepuoдuчecкoit с мни мым основным периодом 27Гi. Q Действительно, ez+ 2 ,,.i = ez · e2 ,,.i = ez · (cos 211" + i sin 27Г) = ez, т. е. ez+ 2 ,,.i = e,,.i = -1 <О. ez. Отметим, что ez не всегда больше нуля. Например, 8 Логарифмическая функция ~ Эта функция определяется как функция, обратная показательной: число w называется .яогарифмом чис.яа z "!-О, если ew = z, обо значается w = Lnz. Так как значения показательной функции ew = z всегда отличны от нуля, то логарифмическая функция w = Lnz опре делена на всей плоскости z, кроме точки z = О (стало быть, имеет смысл и выражение Ln(-2)). + iv, получим, согласно определению Положив z = r · ei'P, w = и логарифмической функции, eи+iv = r · ei'P, или еи · eiv = r · ei'P. Отсюда имеем: еи = r, v = tp + 2k7Г, т. е. и= ln r, v = tp + 2k1Г (k =О, ±1, ±2, ... ). Следовательно, w = Lnz =и+ iv = lnr + i(<p + 2k1Г) = ln lzl + i(argz + 2k1Г), (74.2) т.е. Lnz = lnlzl + i(argz + 2k7Г) или, Lnz = lnlzl + iArgz, где Arg z = arg z + 2k1Г. Формула (74.2) показывает, что логарифмическая функция ком плексного переменного имеет бесчисленное множество значений, т. е. w = Ln z - многозначная функция. Однозначную ветвь этой функции можно выделить, подставив в формулу (74.2) определенное значение k. Положив k =О, получим од нозначную функцию, которую называют главным зна'Ченuем логариф ма Ln z и обозначают символом ln z: lnz = ln lzl + i argz, Если z - где - 7Г < argz ~ 7Г. действительное положительное число, то arg z (74.3) = О и ln z = = ln lzl, т. е. главное значение логарифма действительного положи тельного числа совпадает с обычным натуральным логарифмом этого числа. 528 Формулу (74.2) можно переписать так: Ln z = ln z + 2k7Гi. Из формулы (74.2) следует, что логарифмическая функция w = Ln z обладает известными свойствами логарифма действительного переменного: Ln(z1 · z2) = Lnz1 + Lnz2, Ln(;:) = Lnz1 - Lnz2, Lnzn = п · Lnz, 1 Ln Vz = - · Lnz. п О Докажем, например, первое свойство: Ln(z1 · z2) = ln lz1 · z2I + iArg(z1 · z2) = ln(lz1 l · lz2 I) + i(Argz1 + Argz2) = = (ln lz1I + iArgz1) + (ln lz2I + iArgz2) = Lnz1 + Lnz2. Пример 74.2. • Вычислить Ln(-1) и ln(-1); ln2i. Q Решение: Для числа z = -1 имеем lzl = 1,argz = 7Г. Следовательно, Ln(-1) = lnl+i(7Г+2k7Г) = i7Г(2k+l), ln(-1) = 7Гi (формулы (74.2) и (74.3)); ln 2i = ln l2il + iarg2i = ln 2 + i~. 8 Степенная функция w Если п - равенством w = zn натуральное число, то степенная функция определяется = zn = rn (cos n<p + i sin n<p). Функция w = zn - однознач- ная. Если п = 1 (q Е N), то в этом случае w ar:: I( argz + 2k7Г = zq1 =q vz = ауГi::il 1z1 cos + i..sш argz q+ 2k7Г) , q где k = О, 1, 2, ... , q - 1. 1 Здесь функция w = zq есть многозначная (q-значная) функция. Однозначную ветвь этой функции можно получить, придав k определенное значение, например k = О. Если п = '!!., где р, q Е N, то степенная функция определя<:>тся равенством q w ( p(argz + 2k7Г) + isш . . p(argz + 2k7Г)) = zq1!. = ( zql)P = ау~I 1z1P cos . q q Функция w = 1!. zq - многозначная. Степенная функция w телем а = а = za с произвольным комплексным показа + i/3 определяется равенством W = Za = eaLnz. 529 Функция w = za определена для всех z =Р О, является многозначной · "L · i·i(1!:+21rk) -1I-21rk 2 функцией. Так, ii = ei ni = е = е 2 , где k =О, ±1, ±2, ... . При k = О имеем: ii = е _11 2 • Тригонометрические функции Тригонометрические функции комплексного аргумента z = х + iy определяются равенствами eiz _ e-iz sinz=---2i sinz tgz = - - , cosz cosz=---2 cosz ctgz = -.-. sшz При действительных z эти определения приводят к тригонометриче ским функциям действительного переменного. Так, при z = х (у= О) . SШ Z = eix - e-ix 2i 1 . . . . 1 . . . = 2i (COS Х + Z SШ Х - ( COS Х - i SШ Х)) = 2i 2i SШ Х = SШ Х. Тригонометрические функции комплексного переменного сохраня ют многие свойства тригонометрических функций действительного пе ременного. В частности, sin2 z + cos2 z = 1, sin 2z = 2 sin z cos z, cos( z1 + z2) = cos z1 cos z2 - sin z1 sin z2, sin(z + 2п) = sinz, cos(-z) = cosz, sin(-z) = -sinz, tg(z + п) = tgz, 11" cosz=O при z= 2 +kтr(k=O,±l,±2, ... ), 2tgz tg2z = 2 , 1-tg z sin(z + ~) = cosz, . (z+ 311") = -cosz, sш 2 и т. д. Докажем, например, первое свойство: о . е sш 2 z + cos2 z = ( e2iz - iz -е -iz) 2 ( 2i + 2 + e-2iz e2iz е iz + -iz ) 2 е 2 + 2 + e-2iz -----~+------- -4 -e2iz 4 + 2 _ e-2iz + e2iz + 2 + e-2iz 4 530 4 = 4 = l. • li Отметим, что тригонометрические функции sin z и cos z в комп z неограничены: лексной плоскости sin z = оо, lim Im z--+±oo Так, например, cosi = е lim Im z--+±oo cos z = оо. + е -1 ~ 1,54 > 1, cos3i > 10. 2 Гиперболические функции Эти функции определяются равенствами shz thz=-h , с z chz cthz= - h . s z Легко заметить связь между гиперболическими и тригонометриче скими функциями. Заменяя в указанных функциях z на iz, получим: shiz = isinz, или sinz = -ishiz, chiz = cosz (а также tgiz = itgz, ctgiz = -ictgz). Пользуясь этими равенствами, можно получить ряд формул, связывающих гиперболические функции. Так, заменяя в формуле sin2 z + cos 2 z = 1 тригонометрические функции гиперболическими, получим (-i sh iz) 2 + (ch iz) 2 = 1, или - sh 2 iz+ch 2 iz = 1. Так как здесь z - любое комплексное число, то iz можно заменить на z; получим формулу ch 2 z - sh 2 z = 1. Приведем еще ряд формул: ch2z = ch 2 z + sh 2 z, sh2z = 2shzchz, ch(-z) = chz, sh(-z) = -shz, ch(z1 + z2) = chz1 chz2 + shz1 shz2, shz + chz = ez, и т.д. Из определения гиперболических функций следует, что функции sh z и ch z периодические с периодом 27ri; функции th z и cth z имеют период 7ri. Обратные тригонометрические и гиперболические функции § Число w называется арксинусом числа z, если sin w = значается w = Arcsin z. Используя определение синуса, имеем z = sin w = е iw 2ie z, и обо -iw , или e 2 iw_2izeiw_1 =О. Отсюдаеiw = iz+J(iz) 2 +1, т. е. eiw = iz+VI=Z2" (перед корнем можно не писать знак ±, так как VI=Z2 имеет два 531 значения). Тогда iw = Ln(iz+v1l=Z2}, или w = i1n(iz+ v'1-z 2 ). i Таким образом, w Функция w = Arcsinz = -iLn(iz + ~). = Arcsinz многозначна (бесконечнозначна). Аналогично определяются другие обратные тригонометрические функции. Можно показать, что Arccosz = -iLn(z + ~), i - z i Arctg z = -- Ln - 2 i +z i z - i Arcctgz = -2 Ln - - . z +i Функции, (z ::/; ±i), (z ::/; ±i). обратные гиперболическим, обозначаются соответственно w = Arshz (ареасинус), w = Archz (ареакосинус), w = Arthz (ареа тангенс), w = Arcthz ( ареакотангенс). Обратные гиперболические функции имеют следующие выражения: J Arshz = Ln (z + z2 + 1) , Archz = Ln(z + ~), 1 1+z 1 z+1 Arthz = -Ln - - , Arcthz = -2 Ln - - . 2 1- z z-1 Все эти функции бесконечнозначны. 74.4. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Эйлера-Даламбера Пусть однозначная функция w = f(z) определена в некоторой окрестности точки z, включая и саму точку. Тогда предел . дw _ 1. f (z + дz) - f(z) -_ !'( z, ) 1lШ--llli дz-+0 Лz дz-+0 (74.4) Лz если он существует, называется производноii функции то-чке то-чке z, а функция f(z) f(z) в называется дифференцируемоti. в z. Подчеркнем, что в равенстве (74.4) дz любым образом стремится к нулю, т. е. точка z приближаться к точке + дz может z по любому из бесконечного множества различных направлений (см. рис. 283) (в аналогичной ситуации для функции одного действи тельного переменного точка х Рис. 283 + дх приближается к точке х лишь по двум направлениям: слева и справа). 532 Из дифференцируемости функции f(z) в некоторой точке z сле дует ее непрерывность в этой точке (отношение 1_~ при дz ~ О мо жет стремиться к конечному пределу f'(z) лишь при условии, что и дw ~О). Обратное утверждение не имеет места. При каких условиях функция w = J(z) будет дифференцируемой в данной точке? Теорема 74.1. Если функция w = и(х; у)+ iv(x; у) определена в не которой окрестности точки z = х + iy, причем в этой точке действи тельные функции и(х;у) и v(x;y) дифференцируемы, то для диффе ренцируемости функции w = f(z) в точке z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства ди дv ди дv дх ду, ду - дх. (74.5) Равенства (74.5) называются ус.лови.ями Эitлера-Даламбера (или условиями Коши у Римшна). z+Лz 1~z~;ду ' О Необходимость Пусть функция ма в точке z, ствует зависит и не J(z) дифференцируе тогда предел от пути, (74.4) по суще дz = Лх+iду ~ О. Можно считать, что точка z z которому + дz приближается к точке z по прямой, Лz=Лх z+Лz 0 х параллельной действительной оси (оси Ох), Рис. 284 т. е. дz = дх ~О, ду =О (рис. 284). То~да '() . Jz=11m (u(x+Лx;y)+iv(x+Лx;y))-(u(x;y)+iv(x;y)) д Лх--+0 Х . (и(х + дх; у) - и(х; у))+ i(v(x + дх; у) - v(x; у)) = hm = Лх--+0 дх . Лхи + iдxv . Лхи . . Лхv ди . дv = 1lШ = 1lffi - - +i 1lffi - - = - +i-. Лх--+0 Если же точка z Лх Лх--+0 Лх Лх--+0 Лх дх дх + дz приближается к точке z по прямой, парал лельной мнимой оси (оси Оу), то дz = iду ~ О, дх = О. В этом случае '() . (u(x;y+дy)+iv(x;y+дy))-(u(x;y)+iv(x;y)) Лу--+0 iду fz=11m = = lim Луи+iдуv = -iди + дv = дv -iди_ Лу--+0 iду 533 ау ау ау ау Сравнив найденные пределы получим ди + i дv = дv - i ди = f' (z). ' дх дх ду ду Отсюда следует: ди = дv ди = - дv. дх ду' ду дх Достаmо'Ч.ность Пусть теперь условия (74.5) выполняются. Докажем, что функция f(z) дифференцируема. Так как функции и(х; у) и z v(x; у) дифференцируемы в точке = х + iy, то их полные приращения можно представить (см. (44.4)) в виде ди где а1 и = ди дх + ди ду + а l, дv = дх дv дх + дv ду + а 2, дх ду ду а2 бесконечно - малые более высокого порядка, чем lдzl = у'(дх) 2 + (ду) 2 . Тогда дw (и(х + дх; у+ ду) + iv(x + дх; у+ ду)) - (и(х; у)+ iv(x; у)) дz дх+iду ( ди дх + ди ду + а ) + i ( дv дх + дv ду + а ) дх ду 1 дх &у 2 - ди+iдv дх+iду дх +iду ди д дх + ду &и Д + · &v д + · &v д х у trz х ~ву у а1 дх + iду Заменяя в числителе правой части ди на - дv ду . + ia2 + дх + iду. дv на ди согласно дх' ду дх' условиям (74.5), получаем: дw ди Дх - дv Ду + i &v Дх + i ди Ду дz дх +~ду дх дх _дх где 0:1 дх +аз, + ia2 аз= дх +iду' т. е. дw _ ~(дх + iду) + i~(дх + iду) -д - д z а а3 - ·д x+i у _ ди . дv -8 +i8 х +аз, х +аз - бесконечно малая высшего порядка относительно lдzl. Отсюда следует что lim дw = f'(z) существует. При этом f'(z) = ди + iдv. ' дz--+0 дz дх дх • С учетом условий Эйлера-Даламбера (74.5) производную диффе ренцируемой функции f(z) можно находить по формулам .дv '( ) - дv .дv ! '()-ди z - дх + i дх' ! z - ду +~дх' !'(z) = ди - iди' дх ду 534 !'(z) = дv -iди. ду ду (74.6) Правила дифференцирования функций действительного перемен ного справедливы и для функций комплексного переменного, диффе ренцируемых в точке z. Это означает, что если fi(z) и f 2(z) дифферен цируемы в некоторой точке z комплексной плоскости, то верно следу ющее: 1. (!1(z) ± f2(z))' = f{(z) ± f2(z), 2. (!1(z) · f2(z)) 1 = f{(z) · f2(z) + fi(z) · f2(z), 3 (fi(z) )' _ f{(z) · f2(z) - fi(z) · f;2(z) · f2(z) - Ji(z) (fz(z) =1 О). 4. Если cp(z) дифференцируема в точке z, а f(w) дифференцируема в точке w = cp(z), то (f(cp(z)))' = f~(cp) · cp~(z). 5. Если в некоторой точке z функция f(z) дифференцируема и существует функция 1- 1(w), дифференцируемая в точке w = причем u- 1 (w)) 1 =1 о, то f'(z) = u-l~w))'' где 1- 1 (w) - f(z), функция, обратная функции f(z). \i Приведем без доказательства теорему о дифференцируемосmи основних эл.еменmарних функциu компл.ексного пе = ez, w = sinz, w = cosz, w = shz, w = chz, w = zn (п Е N) дифференцируемы в любой точке комплексной плос кости; функции w = tg z и w = th z также дифференцируемы в люременного: функции w бой точке плоскости, кроме точек z = ~ + 7rk и z = ( ~ + 27rk) · i (k = О, ±1, ±2, ... ) соответственно; для функций w = Ln z, w = za в окрестности каждой точки z =/; О можно выделить однозначную ветвь, которая является дифференцируемой в точке z функцией. 74.5. Аналитическая функция. Дифференциал Фундаментальным понятием в теории функций комплексного пе ременного является понятие аналитической функции. ~ Однозначная функция морфной) в mо'Чке f(z) называется анал.иmи'Ч.ескоit (голоz, если она дифференцируема (выполнены условия Эйлера-Даламбера) в некоторой окрестности этой точки. Функция f(z) называется анал.иmи'Ч.ескоu в обл.асmи D, если она дифференцируема в каждой точке z Е D. Как видно из этого определения, условие аналитичности в mо'Ч.ке не совпадает с условием дифференцируемости функции в этой же точке (первое условие - более сильное). 535 ~ Точки плоскости z, в которых однозначная функция f(z) анали тична, называются правильными точками f(z). Точки, в кото рых функция f(z) не является аналитической, называются особ'ЫМи точками этой функции. Пусть функция w = f(z) аналитична в точке z. Тогда lim ддw = Лz-+0 Z = f'(z). Отсюда следует, что i~ = f'(z) +а, где а -t О при дz -t О. Тогда приращение функции можно записать так: дw Если = f'(z)дz + а:дz. f'(z) =/:- О, то первое слагаемое f'(z)дz является при дz -t О бесконечно малой того же порядка, что и дz; второе слагаемое а:дz есть бесконечно малая более высокого порядка, чем дz. Следователь но, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции w = f(z). = f(z) в точке z называется главная часть ее приращения, т. е. dw = f'(z)дz, или dw = f'(z)dz (так как при w = z будет dz = z 1 дz = дz). Отсюда следует, что f'(z) = ~~, т. е. производная функции равна отношению § Дифференциалом dw аналитической функции w дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного. Заме'Чаnие. Если функция f(z) = и(х;у) + iv(x;y) аналитична в некоторой области D, то функции и(х; у) и v(x; у) удовлетворяют диф- а2<g ференциальному уравнению Лапласа (дх + az<g ду =О, см. п. 72.2). Q Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Далам бера по у, а второе по х, получаем: д2 и д2 v дхду - ду 2 ' д2 v д2 и дх 2 = - дудх ' откуда a2v + д2v = о. дх2 • ду2 Функции и(х; у) и v(x; у) являются гармопи-ческими фупкv,иями. Пример 74.З. Проверить, является ли функция w = z 2 аналити ческой. Найти ее производную. Q Решение: Находим действительную Re w = и и мнимую Im w = v части функции: w = z 2 = (х + iy) 2 = х 2 - у 2 + 2ixy. Таким образом, и= х 2 - у 2 , v = 2ху. Проверяем условия Эйлера-Да ламбера (74.5): ди -=2х, дх дv -=2х; ду -ди = -2у, {)у - - = -2у. дv ах 536 Условия (74.5) выполняются во всех точках комплексной плоскости z. Функция w = z 2 дифференцируема, следовательно, аналитична во всех точках этой плоскости. Ее производную найдем по одной из фор мул (74.6), например по первой: (z 2)' = :х (х 2 - у 2 ) + i :х (2ху) = 2х + i2y = 2(х + iy) = 2z, = т. е. (z 2 )' 2z. Заметим, что производную функции w = z 2 можно найти, восполь зовавшись определением производной (74.4): w' = lim дw = lim (z + дz)2 - z2 = lim 2zдz + (дz)2 Лz-->0 Лz Лz-->0 Лz Лz-->0 Лz = lim (2z + дz) = 2z. Лz-->0 Пример 8 74.4. Найти аналитическую функцию w =и+ iv по ее = хз - 3ху 2 + 2. заданной действительной части и Q Решение: Отметим, что функция и является гармонической функ+ иуу - . циеи ихх - 6х, Uyy - - 6х, следовательно, ихх " ( 11 _ Для 11 _ 11 определения мнимой части v 11 _ О) воспользуемся условиями Эйлера-Даламбера (74.5). Так как g~ = (хз - 3ху 2 + 2)~ = Зх 2 - Зу 2 , то, согласно первому условию, g~ = Зх 2 - Зу 2 • Отсюда, интегрируя по у, находим: v = Для J~~ dy = j (3х2 - Зу 2 ) dy = 3х2 у - уз+ rp(x). определения функции rp( х) воспользуемся вторым условием Эйлера-Даламбера. Так как ди - ду = (хз - 3ху 2 + 2)' = -6ху, у а ~~ = (Зх 2 у -уз+ rp(x))~ = 6ху + rp'(x), то -6ху = -(6ху + rp'(x)). Отсюда rp'(x) =О и rp(x) =С, где С= const. = Зх 2 у -уз+ С. Находим функцию w =и+ iv: w =и+ iv = хз - 3ху 2 + 2 + i(Зх 2 у - уз+ С) = = хз +i3x2 y-3xy 2 -iуз +2+Ci = (х+iу)з +2+iC = zз +2+iC. Поэтому v 537 8 74.б. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении Пусть функция w = f(z) аналитична в точке z0 и f'(z0 ) -/:-О. Вы ясним геометрический смысл аргумента и модуля производной. Функция w = f(z) отображает точку wo = f (zo) плоскости w. Пусть произвольная точка z z0 плоскости z в точку = zo + Лz из окрестности точки zo перемещается к точке z0 по некоторой непрерывной кривой l. Тогда в плоскости w соответствующая точка w = wo + Лw будет перемещаться к точке w 0 по некоторой кривой L, являющейся отображением кривой l в плоскости w (рис. 285). у о о х и Рис. 285 По определению производной f' (z0 ) = lim ЛЛw . Отсюда следует, дz-+0 что lf'(zo)I = 1 lim ЛЛwZ 1= Z llЛЛwll. Величина JЛzl = Z = Jz - zol представляет собой расстояние между точками zo и z0 + Лz, а JЛwl - расстояние между точками wo и wo + Лw. Следовательно, дz-+0 lim 1ЛЛw1 = lim Лz-+0 Z дz-+0 lf'(zo)I есть предел отношения бесконечно малого расстояния между wo + Лw к бесконечно малому рассто + Лz. Этот предел не зависит (f(z) ана отображенными точками w 0 и янию между точками z 0 и z 0 литична в точке z0 ) от выбора кривой l, проходящей через точку z0 . Следовательно, предел lim llЛЛw/ = lf'(zo)I в точке zo постоянен, т. е. Z дz-+0 одинаков во всех направлениях. ~ Отсюда вытекает геометрический смысл модуля производной: ве- личина lf'(zo)I определяет коэффициент растяжения (подобия) в = lf'(zo)I точке zo при отображении w f(z). Величину называют коэф фициентом раст.я:нсени.я, если > 1, или коэффициентом lf'(zo)I сЭtСати.я, если lf'(zo)I < 1. Пример функции w = 74.5. Найти коэффициент растяжения (сжатия) для !z в точке z 2 0 = 3- 4i. 538 Q Решение: Функция w = !z 2 аналитична в точке z0 = 3 - 4i, при этом w' = z. Следовательно, lf'(zo)I = lzol = IЗ - 4il = 5 > 1. Коэффи Циент растяжения для функции w = !z2 в точке z0 равен 5 (плоскость растягивается). 8 Для аргумента производной в точке z0 имеем: arg/'(zo) = lim arg ддw = lim (argдw - argдz) = Лz--+0 Лz--+0 Z = Лz--+0 lim arg д w - lim arg дz = а2 - а1, Лz--+0 углы, которые образуют касательные к кривым l и L где а 1 и а 2 - соответственно в точках z0 , и w 0 с положительными направлениями действительных осей на плоскостях z и w (см. рис. 285). Отсюда а2 = а 1 +arg !' (z0 ). Это означает, что arg f' (z0 ) - это угол, на который нужно повернуть касательную к кривой l в точке z 0 для того, чтобы получить направление касательной к кривой L в точке w 0 . Другими словами, argf'(z0 ) - это угол между отображенным и пер воначальным направлениями касательных к кривым l и L в точках z0 и w 0 соответственно. В этом состоит геометрический смысл аргумента производной argf'(zo). В силу аналитичности функции f(z) в точке z0 (мы предположи ли, что f(zo) i О) угол arg f'(z 0 ) один и тот же для всех кривых, про z0 • Для другой пары кривых l 1 и L 1 в тех же !' (zo) = а~ - а~ = <р. Таким образом, arg f'(zo) = а2 -а1 =а~ -а~, т. е. если кривые l и l1 образуют в точке zo на плоскости z угол <р = argf'(z0 ), то такой же угол <р = arg f'(zo) будут ходящих через точку точках zo и wo будем иметь arg образовывать в точке w 0 кривые L и L 1 , являющиеся отображениями кривых l и l 1 на плоскости w (см. рис. 286). v у ~L о о 01 х и Рис. 286 Это свойство отображения w = f(z) называется своftство.м сохра ненu.я (консерватизма) углов в точке z0 . ~ Отображение w = f(z), обладающее свойством сохранения углов и z0 , называется конформним постоянством растяжений в точке 539 (т. е. отображением, сохраняющим форму). Если при этом сохраня ется и направление отсчета углов, то такое отображение называется конформным отобра;нсением 1-го рода; если направление отсчета углов изменяется на противоположное - конформным отобра;нсе нием 2-го рода. iJ Таким образом, если функция f(z) является аналитической в не которой точке z0 комплексной плоскости z и в этой точке ее про f(z) конформно в этой изводная отлична от нуля, то отображение w = точке. Отображение w = f(z) называется конформным в области D, если оно конформно в каждой точке этой области. iJ Справедливо следующее утверждение: если функция w = f(z) ана- литична в области D, причем во всех точках области f'(z) #О, то отображение конформно в D; если отображение w = области D, то функция w = f(z) конформно в f(z) аналитична в D и во всех точках этой области f'(z) #О. Пример 74.в. Выяснить геометрическую картину отображения, осуществляемого функцией w = 2z. Q Решение: Отображение w = 2z конформно во всех точках плоскости z, т.к. w' = 2 #О. Коэффициент растяжения в любой точке плоскости z равен 2. Так как arg w' = arg 2 = О, то направление при отображении не меняется. Таким образом, отображение w = 2z есть преобразование гомотетии с центром в нулевой точке (w =О при z =О) и коэффициентом гомоте тии, равным 2. 8 § 75. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 75.1. Определение, свойства и правила вычисления интеграла Пусть в каждой точке некоторой гладкой кривой L с началом в точке z 0 и концом в точке Z определена непрерывная функция /(z). Разобьем кривую L на п частей (элементарных дуг) в направлении от zo к z точками z1,z2, ... ,Zn-1 (см. рис. 287). В каждой «элементарной дуге» Zk-lZk (k = 1, 2, ... , n) выберем n произвольную точку Ck и составим интегральную сумму L f(Ck)дzk, где дzk = Zk - Zk-l · k=1 ~ Предел такой интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшей из элементарных дуг, если он существует, называется 540 z у Yk У1о--1 о Xk--1 х Xk Рис. 287 uнmегра.л,ом от функции f(z) no кpuвoii. (no контуру) L и обозна Jf(z) dz. чается символом L Таким образом, ! n f(z) dz = L Покажем, что если L - f(Ck)дzk· (75.1) гладкая кривая, а f(z) - непрерывная и lim L max lдzkl-+0 k(n-too) -1 однозначная функция, то интеграл (75.1) существует. f(z) = и(х;у) + iv(x;y), z = х + iy, ck = Действительно, пусть = Xk + iYk· Тогда J(Ck) = и(хk; Yk) + iv(xk; Yk), дzk = (xk + iyk) - (xk-1 + iYk-1) = дхk + iдyk. Поэтому n n Lf(Ck)дzk = L(и(XkiYk) +iv(XkiYk)) · (дхk +iдyk) = k=1 k=1 n n = 'L(и(XkiYk)дxk-v(xk;fik)дyk) +i'L(v(XkiYk)дxk +и(xkiYk)дyk)· k=l k=l Обе суммы, находящиеся в правой части последнего равенства, являются интегральными суммами для соответствуюIЦИх криволиней ных интегралов (см. п. 56.1). При сделанных предположениях о кривой L и функции f(z) пре делы этих сумм существуют. Поэтому после перехода к пределу (в по следнем равенстве) при max lдzkl-+ О получим: J L f ( z) dz = Jи dx - v dy + i L J v dx + и dy. L 541 (75.2) Формула (75.2) показывает, что вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению криволинейных ин тегралов от действительных функций действительных переменных. Формулу (75.2) можно записать в удобном для запоминания виде: j f(z) dz = j (и+ iv)(dx + i dy). L ~ (75.3) L Если х = x(t), у = y(t), где t 1 ~ t ~ t2 ния кривой L, то z параметрические уравне = z(t) = x(t) + iy(t) называют комnд.екснъ~м nарамеmри-ческим уравнением кривой L; формула (75.3) преобра зуется в формулу t2 j f(z)dz = j f(z(t))z'(t)dt. L (75.4) ti а Действительно, считая z(t) непрерывной и дифференцируемой функцией, получаем t2 j f(z) dz = j (и+ iv)(dx + i dy) = j (и+ iv)(x~ + iy~) dt = L L ti t2 j f (z(t))z'(t) dt. • ti Приведем основные своii,ства интеграла от функции комплексного переменного. 1. j dz = z - zo. L а n L дzk = дz1 + .. .+Лzп = Z1 -zo+z2-Z1 + .. .+zп-Zn-1 = z-zo. • k=l 2. j(f1(z)±f2(z))dz= j fi(z)dz± L 3. L J f2(z)dz. L Jaf (z) dz =а j J(z) dz, а - комплексное число. L 4. j f(z) dz = L L j f(z) dz, т. е. при перемене направления пути L- интегрирования интеграл изменяет свой знак на противоположный (в других обозначениях кривой: j = - j ). АВ ВА 542 5. jf(z) dz = j f(z) dz+ J f(z) dz, где L = Ll +L2, т. е. интеграл L Li L2 по всему пути L равен сумме интегралов по его частям L 1 и L 2 • 6. Оценка модул.я интегра.ла. Если l/(z)I ~ М во всех точках кри вой L, то\/ f(z) dz\ ~ Ml, где l - длина кривой L. L О Действительно, где n I.: lдzki - длина ломаной zoz1z2 ... Zn, вписанной в кривую L. • k=l Все приведенные свойства интеграла функции комплексного пере- менного непосредственно вытекают из его определения (75.1) и пред ставления (75.2). у Пример 15.1. Вычислить I = 1 j Imzdz, .-....--~ L где L - L полуокружность jzj = 1, О ~ -1 ~ argz ~ 7r (см. рис. 288). о х 1 Рис. 288 Q Решение: Используя формулу (75.3), имеем: I = { x=cost, y=sint j у (dx + i dy) = j у dx + i j у dy = L L = L -1 -1 1 1 j ~dx+i j ~ - 2х dx= 2~ х 1 ) 1-1 - iх-2 1-1 = --. = ( -~ +-arcsinx 2 2 2 2 7r 1 1 Используя формулу (75.4), имеем (z = cost + isint): l= jsint(-sint+icost)dt= J-~(1-cos2t)dt+i jsintcostdt= о о о .1 sш . 2 t 11Г = --. 7r 1 + -1 sш2t . ) 11Г +i= ( --t 2 4 о 2 о 2 543 • 75.2. Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница Теорема 75.1 (Коши). Если функция f(z) аналитична в односвяз ной области D, то интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D, равен нулю, т. е. f f(z)dz =О. L О Докажем теорему, предполагая непрерывность производной f'(z) (это упрощает доказательство). По формуле (75.2) имеем: f f(z)dz= f udx-vdy+i f vdx+udy. L В силу аналитичности L L f(z) = и+ iv и непрерывности связной области D, функции и = и(х; у) и v f'(z) в одно = v(x; у) непрерывны и дифференцируемы в этой области и удовлетворяют условиям Эйлера- Даламбера: g~ = д~~v) и g~ = g~. Эти условия означают равенство нулю интегралов иdх -vdy и vdx + udy (см. теорему 56.З). Следовательно, f f L L f f(z)dz =О. • L Теорема Коши допускает распространение на случай многосвязной области. Рассмотрим для определенности трехсвязную область D, ограни ченную внешним контуром L и внутренними контурами Ll и L2. Выбе рем положительное направление обхода контуров: при обходе область D остается слева (см. рис. 289). Пусть функция f(z) аналитична в области D и на контурах L, L 1 и L 2 ( т. е. в замкнутой области D; функция называется аналитической в замкнутой области D, если она аналитична в некоторой области, содержащей внутри себя область D и ее границу L). Проведя два разреза (две дуги) /l и -у2 области D (см. рис. 289), по лучим новую односвязную область D 1 , ограниченную замкнутым ори ентированным контуром Г, состоящим из контуров L, L 1 , L 2 и разрезов /1 и /2: Г = L + 1{ + Ll + 1i + Lz + 12 + 11. По теореме Коши для односвязной области f(z) dz =О, но f ! = f + j + j + j =0, '"Yf 544 т.к. каждый из разрезов (дуг) -у 1 и -у2 при интегрировании проходится дважды в противоположных направлениях. Поэтому получаем: Jf(z) dz = f f(z) dz + f f(z) dz + f f(z) dz =О, Г L Ll L2 т. е. интеграл от аналитической в замкнутой многосвязной области D функции f(z) по границе области D, проходимой в положительном на правлении, равен нулю. Рис. 290 Рис. 289 Заме-чание. Изменив направление обхода внутренних контуров L 1 и L2, будем иметь f f(z) dz = f f(z) dz + f f(z) dz, где все контуры L Ll L2 (L, L 1 и L 2 ) обходятся в одном направлении: против часовой стрелки (или по часовой стрелке). В частности, если f(z) аналитична в двусвяз ной области, ограниченной контурами L и l и на самих этих контурах f f(z) dz f f(z) dz, т. е. «интеграл от функции f(z) (см. рис. 290), то = L l по внешнему контуру L равен интегралу от функции f(z) по внутрен- нему контуру l» (контуры L и l обходят в одном направлении). Следствие 75.1. Если f(z) - аналитическая функция в односвязной области D, то интеграл от нее не зависит от формы пути интегриро вания, а зависит лишь от начальной точки z0 и конечной точки z пути интегрирования. Q Действительно, пусть L 1 и L 2 - две кривые в области D, соединя ющие точки z 0 и z (рис. 291). f f(z)dz =О, т. е. J f(z) dz+ J f(z) dz =О, или j f(z) dz - J f(z) dz =О, откуда J f(z) dz = J f(z) dz. • По теореме Коши L 1 +L2 Ll L;/ Ll L2 Ll 545 L2 В таких случаях, когда интеграл зависит только от начальной точ ки и конечной точки пути интегрирования, пользуются обозначением z Jf(z) dz = J f(z) dz. Если здесь зафиксиро- L вать точку zo,- а точку z изменять, то Jf (z) dz z zo будет функцией от z. Обозначим эту функцию z через F(z): F(z) = Рис. 291 j f(z) dz. Можно доказать, zo что если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то функ ция F(z) также аналитична в D, причем F'(z) = ( j f(z) dz)' = f(z). zo ~ Функция F(z) называется nервообрааноi1. для функции f(z) в области D, если F'(z) f(z). Можно показать, что если F(z) есть некоторая первообразная для f (z), то совокупность всех первообразных f (z) определяется формулой = F(z) +С, где С= const. ~ Совокупность всех первообразных функций оnреде.аенwым uнmегра.л.ом от функции f(z) называется не f(z) и обозначается символом j f(z) dz, т. е. j_f_(_z)-d-z-=-F-(z_)_+_C_,-гд_е_F_'(-z)_=_f_(_z)__,., r-1 z Пусть функция F(z) = j f(z) dz есть первообразная функция для z zo f(z). Следовательно, j f(z) dz = F(z) +С. Положив здесь z = z0 , поzо лучим О= F(zo)+C (контур замкнется, интеграл равен нулю). Отсюда С= -F(zo), а значит, z j f(z) dz = F(z) - F(zo). zo Полученная формула называется формулоа Ньютона-Леабниv,а. Интегралы от элементарных функций комплексного переменного в области их аналитичности вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и в действительном анализе. f Так,/ ez dz = ez+C; sinzdz = -cosz+C; i 2 о и т.д. 546 . f 3z dz = 3· 3 1: = z3 -i f --11.L; б) f При.мер 75.2. Вычислить интегралы: а) Z - Zo L (z-z 0 )ndz L ( п # -1), где L есть окружность радиуса R с центром в точке z0 , обходимая против часовой стрелки (см. рис. 292). У Q Решение: а) Теорема Коши неприменима, т. к. функция - 1не аналитична в точке z0 • Пара- Уо -@ о Хо Z - Zo метрические уравнения окружности =хо+ Rcost, у= Уо L есть х = + Rsint, где О~ t ~ 27Г. Следо- 1 вательно, z = х + iy = хо + R cos t + iy0 + iR sin t = х Рис. 292 =(хо+ iyo) + R(cost + isint) = zo + R · eit. Таким образом, мы получили, что комплексно-параметрическое урав нение данной окружности есть z = z 0 + R · eit, О ~ t ~ 27Г. Поэтому по формуле (75.4) получим: f -- = ! 2 11" i · R · eit dz L б) При п f z-zo О R·e ! 2 11" it dt = i dt = 27Гi. О # -1 имеем: 211" (z-zo)ndz= j (R·eit)nR·i·eitdt= О L = iRп+1 ! ei(п+1)t 211" dt = Rпн . е i(n+l)t 2 п 111" = +1 о Rn+1 О Rn+l 0 = -1 (cos 27r(n + 1) + i sin 27r(n + 1) - е ) = - -1 (1 - 1) =О. n+ п+ Итак, f L dz . - - = 21ГZ, Z - Zo f (z - zo)ndz =О, п - целое, п # -1. L 75.3. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши Теорема 75.2. Пусть функция f(z) аналитична в замкнутой одно и L - граница области D. Тогда имеет место связной области D формула f (zo) = f ff 1ГZ L где z 0 Е D - (z) dz, Z - Zo (75.5) любая точка внутри области D, а интегрирование по контуру L производится в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки). 547 • ~ Интеграл, находящийся в правой части равенства (75.5), называ ется интегралом Коши, а сама эта формула называется инmе гра.11.ьноii. форму.11.оii Коши. Формула Коши (75.5) является одной из важнейших в теории функ ций комплексного переменного. Она позволяет находить значения ана литической функции f(z) в любой точке zo, лежащей внутри области D через ее значения на границе этой области. О Построим окружность lr с центром в точке zo, взяв радиус r столь малым, чтобы данная окружность была расположена внутри области (чтобы lr не пересекала L). Получим двусвязную область D 1 ( заштрихо ванную на рис. 293), ограниченную контурами L и lr, в которой функция f(z) аналитична. Z - Zo Тогда, согласно замечанию к теореме Коши (с. 545), имеем: (z) dz f J(z) dz. f fZ-Zo Z-Zo Рис. 293 = L lr Отсюда следует: _1 27Гi f f(z) dz z - zo = _1_ 27Гi L f f(z) dz = _..!:_ f f(zo) + f(z) - f(zo) dz = z - zo z - zo 27Гi 4 = ~f(zo) 27Г~ 4 f~ + ~ f f(z) - f(zo) dz. z - zo z - zo 27Г~ lr Но lr f __@__ 27Гi (см. пример 75.2). Следовательно, Z - Zo = lr ~ 27ГZ f f(z) dz = ~ f(zo). 27Гi + ~ f f(z) - f(zo) dz, Z - Zo Z - Zo 27ГZ 27ГZ L т. е. ~ 27Г~ 4 f f(z) dz _ f(zo) = ~ f f(z) - f(zo) dz. z - zo 27ri z - zo L (75.6) lr Оценим разность в левой части равенства (75.6). Так как аналитиче ская функция f(z) непрерывна в точке zo Е D, то для любого числа е >О найдется число r >О такое, что при iz - zol ~ r (на окружности lr имеем lz - zol = r) справедливо неравенство lf(z) - f(zo)I < е. 548 Применяя свойство 6 об оценке модуля интеграла (п. 75.1), имеем: -f(zo)I = 1~ f f(z)-j(zo) dzl ~ 1 ~ f f(z)dz z - zo z - zo 27ri 27ri L 4 ~ _..!:._ "" 2 7r f lf(z)z-zo - f(zo)I d ~ _..!:_~ 2 z "" 1 _ 2 7rr 7rr - 1 l, с:. Так как с: может быть выбран сколь угодно малым, а левая часть по следнего неравенства не зависит от с:, то она равна нулю: ~ 27ri f f(z) dz - f(zo) =О, L Z - Zo • откуда следует формула (75.5). Отметим, что интегральная формула Коши (75.5) справедлива и для многосвязной области: каждый из контуров обходится так, чтобы область D оставалась слева. Применяя интегральную формулу Коши, можно доказать следую щие теоремы-следствия. 75.3. Для всякой дифференцируемой в точке z0 функции f(z) существуют производные всех порядков, причем п-я производная Теорема имеет вид: f (n)( Zo ) -_ ~. 27ri f (z - f(z)z )n d L +1 0 (75.7) z. Теорема 75.4. В окрестности каждой точки z 0 , где существует про изводная f'(zo). функция f(z) может быть представлена сходящимся рядом: f(z) = f(zo) + J'(zo)(z - zo) + J"~;o) (z - zo) 2 + ... · ·· + ~ j(n)(zo) 1 п. (z - zo) n + . . . (75.8) Таким образом, производна.я ана.аитическоi& функции mак -;нсе яв.11.Яется ана.аити-ческоi& функциеi&. Напомним, что из дифференцируемости действительной функции не следует даже существования второй производной (функция у = 549 VX имеет производную в точке х = О, а производная этой функции при х = О не существует). ~ !~ х Ряд (75.8) называется рядом Teti..л.opa функции f(z) в точке zo. Ряд Тейлора дифференцируемой в точке z0 функции существует и сходится к самой функции. Ряд же Тейлора для действительной функ ции f(x) может сходиться к другой функции или быть расходящимся. Заме-ч,ание. Формула п-й производной функции f(z) может быть получена из формулы Коши f (z) = ~ 27Г~ f f,,f -Шz df,, (75.9) L (в формуле (75.5) заменено z на f,,, z0 на z) путем последовательного дифференцирования равенства (75.9) по z: f (f,,-z)n+l JШ d~. f(n)(z) = ~ 27Гi (75.10) L Формулы (75.5) и (75.7) можно использовать для вычисления ин тегралов по замкнутым контурам. Пример 75.3. f z 2d~ 4 , где а) L - окружность Вычислить L lzl = 1, б) L - = 2. окружность lz - il Q Решение: а) функция f(z) = ~4 является аналитической вобла z + сти lzl ~ 1. В силу теоремы Коши имеем б) f z2d~ 4 О. = На рисункеL 294 представлена область, ограниченная контуром интегрирования. у В этой области lz - il ~ 2 находится точка z = 2i, в которой знаменатель подынтегральной функции равен нулю. Перепишем интеграл в виде f z +4 f х dz 2 L -i -2i 1 = L z+2i 2i z - dz. Функция f(z) = z ~ 2i является аналитиче- ской в данной области. Применяя интегральную Рис. 294 формулу Коши (75.5), находим: = 21Гi (z-+1-2i) = 27Гi_!_ = ~2 · f -33._ z +4 4i Пример 75.4. Вычислить f c~iz dz. 1 2 z=2i L lzl=l 550 • Q Решение: Внутри круга и на его границе izi = 1 функция f(z) = cosz аналитична. Поэтому, в силу формулы (75.7), имеем cosz d - f cosz (z dz = f zз z lz\==1 lz\==1 -О )2+1 = 2 ~i (cos z)"I 2. z=O = кi(- cos z) 1z=O = -кi. 8 § 76. РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 76.1. Числовые ряды Ряд 00 L ип = и1 + и2 + ... + ип + ... , (76.1) n=1 ~ членами которого являются комплексные числа, называется чи словым рядом (в комплексной области). Ряд (76.1) с комплекс ными членами иn = an 00 + ibn можно записать в виде 00 L иn = L(an + iЬп) = (а1 + ib1) + (а2 + ib2) + ... + (ап + iЬп) + ... , n=1 n=1 где an и Ьn (п = 1, 2, 3, ... ) - действительные числа. Сумма Sn n n n п k=1 k=1 k=1 k=1 = 2: иk = 2: (ak + ibk) = 2: ak + i 2: bk первых п членов ряда (76.1) называется п-й 'ч,асmи'Чно11. суммо11. ряда. Если существует конечный предел S последовательности частичn n ных сумм Sn ряда: S = lim Sn = lim n-+oo называется сходящимся, а S - 2: ak+i lim 2: bk, то ряд (76.1) n-+oo k=l n-+oo k=l суммой ряда; если lim Sn не существу n-+оо ет, то ряд (76.1) называется расходящимся. Очевидно, что ряд (76.1) сходится тогда и только тогда, когда схо дится каждый из рядов 00 L ak = а1 + а2 + ... + an + ... k=1 и (76.2) 00 (76.3) L bk = Ь1 + Ь2 + ... + bn + ... k=1 При этом S = S 1 + iS2, где S1 - сумма ряда (76.2), а S2 - сумма ряда (76.3). Это означает, что исследование сходимости ряда с ком плексными членами сводится к исследованию сходимости рядов (76.2) и (76.3) с действительными членами. 551 В теории рядов с комплексными членами основные определения, многие теоремы и их доказательства аналогичны соответствующим определениям и теоремам из теории рядов с действительными членами. Приведем некоторые из них. Остатком р.я.да (76.1) называется разность 00 rп = Un+l + Uп+2 + ... = L k=n+l 00 Uk = L 00 ak + i L ьk. k=n+l k=n+l Теорема 76.1 (необХОАИМЫЙ признак СХОАимости РЯАа). Если ряд (76.1) сходится, то его общий член Un при n --+ оо стремится к нулю: lim Un = О. n-too Ряд (76.1) называется абсолютно сходящимсл, если сходится ряд 00 L lипl = lиil + lи2I + "· + lиnl + "· (76.4) n=l Теорема 76.2. Если сходится ряд (76.4), то абсолютно сходится ряд (76.1). Q По условию ряд с общим членом lиnl = Ja~ + Ь~ сходится. Тогда в силу очевидных неравенств lanl ~ Ja'fi + ь; и IЬnl ~ Ja; + ь; и на 00 основании признака сравнения (теорема 60.1) сходятся ряды 00 I: lanl и n=l I: IЬnl· Отсюда следует сходимость рядов (76.2) и (76.3), а значит, и n=l абсолютная сходимость ряда (76.1). 8 iJ Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд. Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно складывать и пе ремножать. iJ При исследовании на сходимость рядов с комплексными членами применимы все известные из действительного анализа признаки сходимости знакопостоянных рядов, в частности признак Даламбера: если существует lim 1 Un+I 1 = l, то при l < 1 ряд (76.4) абсолютно сходится, а при l n-too >1- Un расходится. 552 76.2. ~ Степенные ряды Стеnен:н:ым рядом в комплексной области называют ряд вида 00 L CnZn =Со+ C1Z + c2z 2 + ... + CnZn + ... , (76.5) n=O где Сп - комплексные числа (коэффициенты р.я.да), z = х + iy - ком- плексная переменная. Рассматривают также и степенной ряд вида 00 L Сп(z - zo)n, (76.6) n=O который называют рядом по степеням разности z - комплекс zo, zo - z0 = t ряд (76.6) сводится к ряду (76.5). Ряд (76.5) при одних значениях аргумента z может сходиться, при ное число. Подстановкой z других ~ - расходиться. Совокупность всех значений z, при которых ряд (76.5) сходится, называется обл,астъю сходимости этого ряда. Основной теоремой теории степенных рядов является теорема Абе ля, устанавливающая область сходимости степенного ряда. Теорема 76.3 (Абель). Если степенной ряд (76.5) сходится при z = z0 :j:. О (в точке z0), то он абсолютно сходится при всех значе ниях z, удовлетворяющих условию lzl < lzol- Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы Абе ля в действительном анализе (теорема 63.1). Следствие 76.1. Если ряд (76.5) расходится при z = z0 , то он расхо дится при всех значениях z, удовлетворяющих условию вне круга радиуса lzol с центром в начале координат). lzl > lzol (т. е. Из теоремы Абеля следует существование числа R = lzol тако izl < R, го, что при всех значениях z, удовлетворяющих неравенству степенной ряд (76.5) абсолютно сходится. Неравенству izl < R удовле творяют точки комплексной области, лежащие внутри круга радиуса R с центром в точке z = О. Величина R называется радиусом сходимости ряда (76.5), а круг lzl < R кругом сходимости ряда. В круге izl < R ~ ряд (76.5) сходится, вне этого круга - расходится; на окружности lzl = R могут располагаться как точки сходимости, так и точки расхо димости ряда. 553 Принято считать, что R = О, когда ряд (76.5) сходится в одной точ ке z = О; R = оо, когда ряд сходится на всей комплексной плоскости. Кругом сходимости ряда (76.6) является круг точке Радиус сходимости ряда R = lz - zol < R с центром в z = zo. lim 1_fn__1 (или R n-+oo Cn+l . (76.5) l1m можно вычислить по формуле v'iCJ ), получаемой после примене lcnl 1 n n-+oo ния признака Даламбера (или Коши) к ряду из модулей его членов исходного ряда. Приведем (без доказательств) некоторые своi1ства степенного ряда. 1. Сумма степенного ряда внутри круга его сходимости есть ана литическая функция. 2. Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно диф ференцировать и почленно интегрировать любое число раз. Получен ный при этом ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. оо n Пример 76.1. Найти область сходимости ряда L ~· n=O n. а Решение: Здесь Сп= ~!' Cn+1 = (п ! 1)!, R = lim 1~1 = lim (п +, l)! = lim (п + 1) = оо, n-+oo Cn+l n-+oo n. n-+oo т. е. R = оо. Следовательно, областью сходимости является вся плос кость z. • Пример 76.2. Найти область сходимости ряда Lоо ~-in ( + 1 2n. n=O n 1 l (n + 2) Q Решение: Здесь R = nl~~ 2n+l (п +l) 2n = 2. Данный ряд сходится в области lz - il < 2. 8 Пример 76.3. Определить радиус сходимости ряда и исследовать сходимость ряда в точках z1 554 = О, z2 = i, zз = 3 - 2i. Q Решение: Воспользуемся признаком Даламбера. Здесь 1- lz2n+21 1· 1Un+11- 1· lz2n+21Vn -1 12 ~' lffi lffi ~ 2 - Z . vn+ 1 n--+oo Un n--+oo vn+ llz п1 Ряд сходится при всех z, удовлетворяющих неравенству lzl 2 < 1, т. е. lzl < 1. Кругом сходимости является круг с центром в точке z = О и радиусом 1. Точка z 1 = О лежит внутри круга сходимости, в этой точке ряд сходится абсолютно. Точка z 2 = i лежит на границе круга сходимости, 1Un l -_ lz2nl Г.:: , 1 Un+1 - yn в этой точке ряд может сходиться (абсолютно или условно) и расхо диться. Подставляя значение z2 получим (-l)n+ 1 = i в выражение общего члена ряда, Fn = - Vn (,;'2n ( l)n+l ( l)n ( 1)2n+l =- Jn = - Jп· Числовой ряд с общим членом Un = )п расходится согласно интегральному при знаку Коши (теорема 60.5). Следовательно, в точке z2 = 2n оо i степенной ряд ~ ( -1) п+ 1 .cL_ расходится. n=O Точка z 3 Vn = 3 - 2i лежит вне круга сходимости, ряд в этой точке расходится. 8 76.3. РяА Тейлора zol < R функция f(z) может быть единственным образом разложена в этом круге в Теорема 76.4. Всякая аналитическая в круге lz степенной ряд 00 f(z) = 2: Сп(z - zo)n, (76.7) n=O коэффициенты которого определяются формулами сп = f(n)(zo) = _1 п! где lr - 21ri f _!_('--~)~ dt ( - z )n (~ lr 0 +1 " ) п = о, 1, 2, 3, ... ' произвольная окружность с центром в точке (76.8) z0 , лежащая внутри круга. Степенной ряд (76. 7) называется р.ядом Те11лора для функции /(z) в рассматриваемом круге. Q Возьмем произвольную точку z внутри данного кру га и проведем окружность с центром в точке zo и ра < R так, чтобы точка z находилась внутри круга lz - zol < r (см. рис. 295). диусом r 555 Рис. 295 Так как функция /(z) аналитична в круге \z-z0 \ < r и на его гра нице lr, то ее значение в точке z можно найти по формуле Коши (75.9): f(z) = -21 . 'IП f .,,-z /(~) d~, где~ - точка на окружности lr. Имеем: lr 1 (~ - zo) - (z - zo) 1 ~-z 1 1 FZo" 1- =\ z-zo. ~-zo Так как \z - zol < !~ - zo\, то \ ~ ;~ < 1, следовательно, выражение 1 1 ~ можно рассматривать как сумму членов бесконечно убываю ~-zо щей геометрической прогрессии с первым членом Z-Zп r1и знаменате "' -Zo лем ~. Таким образом, <,, - Zo 1 1 z - zo (z - zo) 2 (z - zo)n ~ - z = ~ - zo + (~ - zo) 2 + (~ - zo) 3 + · · · + (~ - z0 )n+l + · · · У множим обе части этого равенства на величину -21 . f Ю и проинте1r~ грируем его почленно по контуру lr. Получим: т. е. f(z) = n=O f (z - zo)n217ri. f (~ JЮZo ~~+1' или f(z) = f Cn(Z - zo)n, lr n=O - ;i f (~ 1J:~~~+l (n =О, 1, 2, ... ). Используя формулу (75.10), где Cn = 2 lr получим представление коэффициентов ряда через функции J(z) в точке zo: Cn = J(n) (zo) n.1 n-e производные (n =О, 1, 2, ... ). Таким образом, мы получили разложение функции f(z) в сте пенной ряд (76.7), коэффициенты которого определяются по форму лам (76.8). Докажем единственность этого разложения. Допустим, что функция f(z) в круге \z - zol < R представлена другим степенным рядом f(z) = Ьо + b1(z - zo) + b2(z - zo) 2 + ... + Ьn(z - zo)n + ... 556 Последовательно дифференцируя почленно этот ряд бесконечное чи сло раз, будем иметь: J'(z) = Ь1 + 2Ь2(z - zo) + 3Ьз(z - zo) 2 + ... + пЬп(z - z0 )n-l + ... , J"(z) = 2Ь2 + 3 · 2Ьз(z - zo) + ... + n(n - 1)Ьп(z - zo)n- 2 + ... , J"'(z) = 3 · 2Ьз + ... + n(n - 1)(п - 2)Ьп(z - z0 )n-з + ... , ......................... ' j(n)(z) = п! · Ьn + (n + 1)! · Ьп+l · (z - zo) + ... , Полагая в этих равенствах, а также в исходном ряде z = z0 , полу- . _ _ , _ !" (zo) _ f(n) (za) , , ... , Ьn чаем. Ьа - f (za), Ь1 - f (zo), Ь2 , ••• Сравни2. 1 п. вая найденные коэффициенты Ьn ряда с коэффициентами ряда (76.7), . устанавливаем, что Ьn =Сп (п =О, 1, 2, ... ), а это означает, что указан ные ряды совпадают. Функция f(z) разлагается в степенной ряд единственным обра- ~. Приведем разложения некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена): z z2 z3 ez = 1 + 1! + 2! + З! + ... ' zз z5 z1 sin z = z - -31 + ! - -71 + ... , . 5. . z2 z4 z6 cos z = 1 - 2! + 4! - 6! + ... , z2 zз ln(l + z) = z - 2 + З - ... , (1 + z) а _ - 1 а + l!z + а(а - 2! 1) z 2 + а(а - l)(a - 2) З! z 3 + ... Первые три разложения справедливы во всех точках комплексной плоскости, последние два - в круге lzl < 1. liJ Заменив z на iz в разложении функции ez, получим: е iz iz (iz) 2 (iz) 3 = 1 +-+--+--+···= 1! 2! З! = ( 1- ~~ + ~: - .. ·) + i ( z - ~: + ~~ - .. ·), т. е. формулу Эйлера eiz = cos z + i sin z. 557 Нули аналитической функции 76.4. Как показано выше, всякая функция f (z), аналитическая в окрест ности точки z 0 , разлагается в этой окрестности в степенной ряд (76.7): коэффициенты которого определяются по формулам (76.8). ~ Точка zo называется нулем функции f (z), если f(zo) = О. В f(z) в окрестности точки z0 в этом случае разложение функции степенной ряд не содержит нулевого члена, т. к. с 0 = только Со= О, но и с1 = с2 = ... = Cm-1 =О, а Cm функции f(z) в окрестности точки z 0 имеет вид f(z 0 ) =О. Если не i О, то разложение f(z) = Cm(z - zo)m + Cm+l (z - zo)т+I + ... + Сп(z - zo)n + ... , (76.9) а точка zo называется нулем кратности т (или нулем т-го порядка). Если т = 1, то z0 называется просm'Ым нулем. Из формул (76.8) для коэффициентов ряда Тейлора следует, что если zo является нулем кратности т функции f(z), то f(zo) = = f'(zo) = ... = f(m-l)(zo) = О, но f(m)(zo) i О. В этом случае пред ставление функции степенным рядом (76.9) можно переписать в виде f(z) = (z - zo)m<p(z), где <p(z) =Ст+ Cmн(z - zo) + ... Для функции <p(z) точка z (76.10) = z0 уже не является нулем, так как <p(zo) = =Ст i 0. \i] Справедливо и обратное утверждение: если функция f(z) имеет вид (76.10), где т - натуральное число, а <p(z) аналитична в точке z0 , причем <p(zo) f:. О, то точка z0 есть нуль кратности т функции f(z). 76.5. Ряд Лорана Теорема 76.5. Всякая аналитическая в кольце r < lz - zol < R (О ( r < R ( оо) функция f(z) может быть разложена в этом кольце в ряд +оо f(z) = L Сп(z - zo)n, (76.11) n=-oo коэффициенты которого определяются формулой 1 Сп = 27Гi f (~ - !Юzo)n+I d~ (п =О, ±1, ±2, ... ), (76.12) L где L - произвольная окружность с центром в точке z 0 , лежащая внутри данного кольца. 558 Ряд (76.11) называется рядом Лорана для функции f(z) в рассма триваемом кольце. Q Возьмем произвольную точку z внутри кольца r < lz - z0 1 < R и проведем две окружности Li и L2 с центрами в точке zo так, чтобы точка z была между ними и каждая окружность находилась внутри данного кольца (см. рис. 296). Функция f (z) аналитична в кольце ме жду окружностями Li и L2 и на самих окруж ностях. Поэтому по формуле Коши для мно госвязной области имеем: Рис. 296 где обе окружности L 1 и L 2 обходятся против часовой стрелки. Преобразуем слагаемые, стоящие в правой части равенства (76.13), рассуждая, как и при выводе формулы Тейлора. zol < 1~ -zol, или zo 1 < 1. Поэтому дробь ~ можно представить в виде 1 "-zo "-z На окружности L2 выполняется неравенство lz - ; - 1 1 1 ~-z - (~-zo)-(z-zo) - (~-zo)(l- ~=~~) = z - zo 1 (z - zo)n = "-zo -,+ ('"-z0 )2 + · · · + ('"-zo )n+l + · · · Тогда _1 f Ю = _1 f Ю + _1 (z _ zo) fIO + . •• 27ГЦ - z 21ГЦ - zo 27Гi (~ - z0 ) 2 1 n f (~) ... + -2 . (z - zo) ( )n+1 + ... 1Г~ ~ - Zo Проинтегрируем это равенство по контуру L 2 : -21 . n f -,f (~)-di;=1 f f (~) 2 . "-z L2 n L2 1 -,-d~+(z-zo)2n . "-~ f L2 f IO (~ - zo)n+1 d~ + ... ' (76.14) 559 1 Сп = 2 1Гi f (( _ !(0 zo)п+l d( (п =О, 1, 2, ... ) L2 j(п) (z ) (здесь Сп -1 ) 0 , так как функция f(z), возможно, не аналитична п. в точке zo). На окружности L1 имеем lf. - zol < lz - zol, т. e. If,Z -- zo 1<1. Тогда Zo 1 1 1 = z-( (-z = (z-zo)-(~-zo) = - 1 (z-z0 )(1-;:=~~) 1 f, - zo (( - zо)п ) z - zo + (z - z0 ) 2 + · · · + (z - zo)п+l + · · · · ( Значит, 1 !Ю 1 !Ю 1 (-zo 1 ((-zо)п -2-·-с- = -.-(-)+2 1ГZ 2 1ГZ· ( Z-Zo )2Л~)+ ...+2 1ГZ. (Z-Zo )п+1fЮ+. · · 1ГZ "-z Z-Zo Проинтегрируем это равенство почленно по контуру L 1 : - _1 21Гi f !Юz df. = ( - L1 = (z - zo)- 1 2 ~i / !Ю d( + (z - zo)- 2 2 ~i / L1 f(f,)(f, - zo) d( + ... L1 ... + (z - zo)-(п+l) 2~i / /(~)(( - zо)п df, + ... = L1 1 = ,L)z - zо)-п 2 1Гi / 00 т. е. - -21 . 1ГZ f j -юz dC" -- ~ -с <, - L п=l f(f,)(f, - zo)п-l~, (76.15) L1 п=1 С-п (z - zo )-п , где L1 С-п = -211ГZ. f (f, - f(~~п+l d( Zo (n = 1, 2, 3, ... ). L1 Подставив разложения (76.14) и (76.15) в равенство (76.13), получим f(z) = оо оо +оо п=О п=1 п=-оо L Сп(z - zо)п + L С-п(z - zо)-п = L Сп(z - zо)п. 560 Формулы для коэффициентов Сп и с_п можно объединить, взяв вместо контура Li и L2 любую окружность L с центром в точке zo, лежащую в кольце между L 1 и L 2 (следует из теоремы Коши для мно- ;i f (~ !;~~п+i d~ (п =О, ±1, ±2, ...). госвязной области): Сп= 2 8 L Можно доказать, что функция /(z), аналитическая в данном коль < lz - zol < R, разлагается в ряд Лорана (76.11) единственным це r образом. Ряд Лорана для функции +оо оо оо f(z) = п~оо Сп(z - zо)п = ~ Сп(z - zо)п + ~ (z ~-;о)п состоит из двух частей. Первая часть ряда Лорана, т. е. ряд 00 fi (z) = L Сп(z - zо)п, п=О ~ называется nравильноii. частью ряда Лорана; этот ряд схо дится к аналитической функции / 1 (z) внутри круга lz - zol < R. Вторая часть ряда Лорана, т. е. ряд 00 f2(z) = L (z -С-пzo )п' п=l называется главноii. частью ряда Лорана; этот ряд сходится к аналитической функции f2(z) вне круга lz Внутри кольца r +оо < lz - zol < R ряд I:; zol > r. сп(z - zо)п сходится к п=-оо аналитической функции f(z) = f1(z) + f2(z). В частности, если функция f(z) не имеет особых точек внутри кру га lz - zol < R, то ее разложение в ряд Лорана обращается в ряд Тей лора. Заме..,,ание. На практике при разложении функции в ряд Лорана используют известные разложения основных элементарных функций; дробь вида - -1- z - Zo разлагается в ряд, являющийся рядом геометриче ской прогрессии; дробь вида ( 1 )k, где k > 1 - Z -Zo целое, разлагается в ряд, который получается из ряда геометрической прогрессии после- довательным дифференцированием ( k -1) раз; сложная дробь предста вляется в виде суммы простейших дробей. Пример 76.1,. Разложить в ряд Лорана функцию f(z) окрестности точки z 0 = О. 561 l ez в Q Решение: Воспользуемся известным разложением и и2 un . . п. еи = 1 + -1, + -2, + ... + 1 + ... , справедливым на всей комплексной плоскости. Положив и = 1, полу чим 1 1 1 = 1 + -,- + - - 2 + ... + rn + ... , z -::/- о. l еz 1.z Пример 76.5. z n.z 2!z • Разложить в ряд Лорана функцию 1 ! (z) = z2 - z - 6 в окрестности точки zo = О. Q Решение: Функция имеет две особые точки: z 1 = -2 и z 2 = 3. Она аналитична в областях: а) О ::::; lzl < 2; б) 2 < /zl < 3; в) lzl > 3. Представим функцию /(z) в виде f(z) =!С~ 3 - z { 2). а) В круге lzl < 2 (рис. 297) имеем: 1 -=-!-1 -=-!(1+~+ z: + ...) (здесь 1-зzl<l, т. e. lzl<З), z-3 31-~ 3 3 3 - z~ =-~ ~~ =-~(1- ~ + ~:- · ~) 2 1 (здесь 1-~1<1, т. е. lzl<2). Следовательно, f(z) = z2 - ~ - 6 = -~ ~ (3n~l + (-l)n 2n~1 )zn = 1 n-O 1 7 -- - 6 + 36 z - 27 . 8 z 2 + ... , ряд Лорана функции /(z) обращается в ряд Тейлора. б) В кольце 2 < lzl < 3 (рис. 298) имеем: z ~ 3 = -~ ( 1 + ~ + ;: + ...) (lzl < 3), _1_ = ! . _1_ = ! (1 - ~ + 22 - •• ·) = z +2 z 1 + 1z z 1 22 2 = +-z - 2z + 3z z - ··· Следовательно, 562 z2 (lzl > 2). у ....... у Рис. 297 .·.-.·.·.·.у· Рис. 299 Рис. 298 в) В области izl > 3 (рис. 299) имеем: - 1- = ~ · ~ = ~ (1 + ~ + 3: + ...) z-3 z 1--z z z z z: = ~ ~ ~ = ~ ( ~ ~: 2 - · · ·) (izl > 2). + 1- 1 (izl > 3), Следовательно, f(z) = 76.б. L z 3nп+1 1 ( 00 1 2 z -z- 6 = -5 00 2п ) L(-l)n п+1 · z n=O - п=О • Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции Как уже знаем, ocoбoiJ, то'Ч,1щfi, функции f(z) называется точка, в которой функция не является аналитической. ~ Особая точка z = z0 функции f(z) называется изо.лированноii., f(z) не имеет других если в некоторой окрестности ее функция особых точек. Если z0 - изолированная особая точка функции ствует такое число R f(z), то суще > О, что в кольце О < iz - zol < R функция f(z) будет аналитической и, следовательно, разлагается в ряд Лора- на (76.11): f(z) = Е Сп(z - zo)n + Е n=O n=1 ( С-п )п. Z - Zo При этом возможны следующие случаи: ~ 1) Ряд Лорана не содержит главной части, т. е. в ряде нет членов с отрицательными показателями. В этом случае точка z0 называется устранимоii. ocoбoii. mo'Чкoii. функции f(z). 563 ~ 2) Разложение Лорана содержит в своей главной части конечное число членов, т. е. в ряде есть конечное число членов с отрица тельными показателями. В этом случае точка z0 называется полюсом функции f(z). ~ З) Разложение Лорана содержит в своей главной части бесконеч ное множество членов, т. е. в ряде есть бесконечно много членов с отрицательными показателями. В этом случае точка z0 называется существенно особоu то'Чкоit функции f (z). Укажем особенности поведения аналитической функции f(z) в окрестности особой точки каждого типа. Устранимые особые точки Если z0 - устранимая особая точка, то в окрестности точки zo 00 разложение (76.11) имеет вид J(z) = 2:: сп(z - z0 )n. Это разложение n=O lz - zol < R, кроме точки z = zo. f(z 0) = Со, где с0 = lim f(z) (т. е. определить функ- справедливо во всех точках круга Если положить z---+zо цию f(z) в точке z0 ), то функция f(z) станет аналитической во всем круге lz - zol < R (включая его центр z = z 0 ); особенность точки z0 устраняется, точка z0 становится правильной точкой функции f(z)). Из равенства lim f(z) =Со (Со -:/:- оо) следует, что в достаточно мa- z-tzo лой окрестности устраняемой особой точки zo функция f(z) является ограниченной. ~ Справедливо и обратное утверждение: изолированная особая то'Чка z = z0 .является устранимоu, если существует ко не'Чниit предел lim f(z) =А. z-tzo Полюсы Если z 0 - полюс, то в окрестности точки z 0 разложение (76.11) _ имеет вид f(z) где c_m С-1 Lоо Сп(z - zo) п + - + (Z -С-2Zo )2 + ... + (Z -C-m )m, Z - Zo Zo n=O # О. В этом случае полюс z0 называется полюсом т-го порядка функции f(z); если т = 1, то полюс z0 называется простим. Запишем последнее равенство в виде f(z) = (z _ 1zo)m (Cz - zo)m ~ cn(z - zo)n + C-1(z - zo)m- 1+ + C-2(z - zo)m- 2 + ... + C-m) или g(z) f(z) = (Z - Zo )m' 564 (76.16) где g(z) - аналитическая функция, причем g(z0 ) = c_m #О. Отсюда следует, что f(z)-+ оо при z-+ z0 , т. е. в достаточно малой окрестности полюса функция f(z) бесконечно велика. liJ Справедливо и обратное утверждение: изолированна.я особа.я точка z = z0 явл.яеmс.я пол.юсом, если Из равенства (76.16) имеем (z - lim f(z) = оо. z---tzo z0 )m f(z) = g(z). Отсюда получаем удобный способ определения порядка полюса z0 : если lim (z - zo)m f(z) = C-m z---tzo (c-m #О, C-m # оо), (76.17) /i] то точка z0 есть полюс m-го порядка. Имеется связь между нулем и полюсом функции. Теорема 76.6. Если точка zo - нуль m-го порядка функции f(z), то zo является полюсом m-го порядка функции Jtz); если точка zo полюс m-го порядка функции f(z), то z0 является нулем m-го порядка 1 функции f(z). а Докажем т-го первую порядка для часть теоремы. функции f(z). Пусть z Тогда имеет Zo место есть нуль равенство f(z) = (z - zo)mip(z), где ip(z) аналитична в точке zo, причем rp(zo) #О. Тогда (z - zo)m Jlz) = ip(z) и }~п;0 (z - zo)m J(z)) = rp(~o) #О (# оо). ( Этоозначает(см. (76.17)),чтодляфункции JCz) точкаz=z0 является полюсом m-го порядка. Вторая часть теоремы (обратной) доказывает ся аналогично. • Существенно особая точка Если z0 - существенно особая точка, то, как доказывается (тео рема Сохоцкого-Вейерштрасса), в достаточно малой окрестности точ ки z0 функция f(z) становится неопределенной. В такой точке ана.пи тическая функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Выбирая различные последовательности точек {zп}, сходящихся к су щественно особой точке z 0 , можно получать различные последователь ности соответствующих значений функций, сходящиеся к различным пределам. 1 Пример 76.б. Определить тип особенности функции f(z) = ez в точке z =О. 565 1 О Решение: Функция f (z) = е z в окрестности точки z = О имеет следу1 00 ющее лорановское разложение: ez = Е n=O fn (см. пример 76.4). Точка n.z z = О является существенно особой точкой. Если z --+ О вдоль положи1 тельной части действительной оси, то lim ez = z-tO 1 lim ех = +оо; если x-tO+O 1 z --+ О вдоль отрицательной части действительной оси, то lim е z z-tO = • 1 lim x-t0-0 ех =О. За.ме-ч,ание. Классификацию изолированных особых точек можно распространить на случай, когда особой точкой функции f (z) является бесконечно удаленная точка, z = оо. Окрестностью точки z = оо называют внешность какого-либо кру га с центром в точке z = О и достаточно большим радиусом R (чем больше R, тем меньше окрестность точки z = оо). Точку z = оо называют изолированной особой точкой, если в не которой окрестности ее нет других особых точек функции f(z). Бесконечно удаленная изолированная особая точка может оказать ся устранимой особой точкой, полюсом порядка т или существенно особой точкой. В первом случае лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки z = оо не имеет членов с положительными показа - имеет их лишь конечное число, в третьем случае телями, во втором в разложении имеется бесконечно много членов с положительными по казателями. ~ Изучение функции f(z) в окрестности точки z = оо можно свести путем подстановки z = ~ к изучению функции f ( t) в окрестно сти точки z =о. Пример 76. 7. Найти особые точки функции f(z) = ~· z О Решение: Особой точкой функции f(z) является z =О. Найдем пре дел функции при z --+ О: lim sin z = lim sin z 1 z-+0 ZГ z-tO Z ? = оо. Следовательно, точка z = О является полюсом. Можно убедиться, что lim z 2 ~ = оо, z-tO Z lim z 3 ~ = 1 -f; О. Следовательно (см. (76.17)), точка z =О - z-tO Z третьего порядка. Пример 76.8. полюс 8 Исследовать особенности функции z+3 f(z) = z(z + 2)(z - 1) 2 · 566 а Решение: Для данной: функции точки Z1 =о и Z2 полюсы, zз = 1 - = -2 - простые полюс второго порядка. 8 Пример 76.9. Выяснить поведение функций: f(z) = _1_3 , g(z) = z2 = ~l z в окрестности точки z = оо. +z Q Решение: Сделаем подстановку z = .l. Тогда функция f(z) = _1_3 zw примет вид t(t) = 1 _wзw· При условии j3wl < 1 имеет место разложение t(t) = w(l +3w+ (3w) 2 + ... ).Возвращаясь к старой: перемен ной:, имеем 1 1( 3 32 ) f(z) = - - = - 1+-+2+·.. z- 3 z Z z 1 3 3 3n = -+2+3+ ... = L ---+1' lzl > 3. Z z z n=O zn 2 00 Поэтому точка z = оо является устранимой: особой: точкой: (см. последнее замечание). 2 Можно убедиться, что z = оо для функции g(z) = ~z является +z правильной: точкой:. 8 § 77. ВЫЧЕТ ФУНКЦИИ 77.1. Понятие вычета и основная теорема о вычетах ~ Вычетом аналитической: функции f(z) в изолированной: особой: точке z 0 называется комплексное число, равное значению интегра- ;i f f(z) dz, взятого в положительном направлении по окружно ла 2 L сти L с центром в точке z 0 , лежащей: в области аналитичности функции f(z) (т. е. в кольце О< lz - zol < R). Обозначается вычет функции f(z) в изолированной: особой: точке zo символом Res f (zo) или Res(f (z); zo). Таким образом, Res f(zo) = 2~i f f (z) dz. (77.1) L Если в формуле (76.12) положить п = -1, то получим С-1 = 2 ~i f f(z) dz или Res f(z 0) = с_ 1 , L !i т. е. вычет функции f (z) относительно особой: точки z равен коэф 0 фициенту при первом члене с отрицательным показателем в раз ложении функции f(z) в ряд Лорана (76.11). 567 Теорема 77.1 (Коши). Если функция f(z) является аналитической в замкнутой области D, ограниченной контуром L, за исключением конечного числа особых точек Zk (k = 1, 2, ... , п), лежащих внутри области D, то f f(z) dz = 21Гi L Res f(zk)· п L (77.2) k=l О Вокруг каждой особой точки zk опишем окружность lk так, чтобы она целиком содержалась в области D, не содержала внутри других особых точек и чтобы никакие две из этих окружностей не имели общих точек (см. рис. 300). Тогда на основании теоремы Коши для многосвязной области (см. замечание на с. 545) имеем: f f(z) dz = f f(z) dz + f f(z) dz + ... + f f(z) dz, l1 L !" l2 где при интегрировании все контуры обходятся против часовой стрел ки. Но, согласно формуле (77.1), имеем: f f(z) dz = 21Гi Res f (z f f(z) dz = 21Гi Resf(z 1 ), 2 ), l2 f f(z) dz = 21Гi Resf(zп)· ln Рис. 300 Следовательно, f f(z) dz = 27Гi Res /(z1) + ... + 21Гi Res f (zп), L т. е. f f(z) dz 21Гi f: Res f (zk)· • = L 77.2. k=l Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов Прави.лън:ые и.ли устранимъ'е особ'Ьlе mo-ч,1ru. Очевидно, если z = z0 есть правильная или устранимая особая точка функции f(z), 568 то Res f(zo) = О (в разложении Лорана (76.11) в этих случаях отсут ствует главная часть, поэтому с_ 1 =О). Полюс. Пусть точка zo является простым полюсом функции f(z). Тогда ряд Лорана для функции f(z) в окрестности точки z0 имеет вид с 00 J(z) = L; Сп(z - zo)n + --=.!..__. Отсюда n=O z - zo 00 (z - zo)f (z) = С-1 + 2:: Сп(z - zo)n+ 1. n=O Поэтому, переходя в этом равенстве к пределу при z чаем 1 Resf(zo) = С-1 = }~п;0 (z - zo)f(z). I -+ z0 , полу (77.3) За.ме-ч,ание. Формуле (77.3) для вычисления вычета функции f(z) в простом полюсе можно придать другой вид, если функция f(z) явля ется частным двух функций, аналитических в окрестностях точки z0 • Пусть f(z) = :t;f, где cp(z0 ) # О, а g(z) имеет простой нуль при z = z0 (т. е. g(zo) = O,g'(zo) # О). Тогда, применяя формулу (77.3), . _ . <p(z) _ . cp(z) _ cp(zo) имеем. Res f (zo) - z~IIJ0 (z - zo) grzy - }!..IIJ0 g(z)-g(zo) - g' (zo), т. е. z-zo ( cp(z) ) Res g(z);zo cp(zo) =g1(zo)" (77.4) Пусть точка z0 является полюсом m-го порядка функции f(z). То гда лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки z0 име оо ет вид f(z) = L; Cп(z-zo)n+~+ ( с_ 2 )2 + ... + ( C-m)m. Отсюда • n=O Z - Zo Z - Zo Z - Zo 00 (z-zo)m f(z) = L; Cп(z-zo)n+m+c-m +с-mн (z-zo)+ .. .+с-1 (z-zo)m- 1. n=O Дифференцируя последнее равенство (m -1) раз, получим: dm-1 dzm-1 ((z - zo)m J(z)) = 00 = (m-l)!c-1 + 2:: cп(n+m)(n+m-l)(n+m-2) ... (n+2)(z-zo)n+1. n=O Переходя здесь к пределу при z -+ z0 , получаем 1 Resf(zo) = ( ~-1 l)' lim ---т-т((z-zo)mf(z)). т . z-tzo dz Существенно особа.я то-ч,ка. Если точка z 0 - (77.5) существенно особая точка функции f(z), то для вычисления вычета функции в этой точке 569 обычно непосредственно определяют коэффициент с_ 1 в разложении функции в ряд Лорана. Пример 77.1. Найти вычеты функции f(z) = ~ + 2 в ее особых z -z4 точках. Q Решение: Особыми точками функции f(z) являются: z1 = 1 стой полюс, z 2 =О - про полюс третьего порядка (m = 3). Следовательно, по формуле (77 .4) имеем Res(J(z)·' 1) -- (z 3z -+ z24 )' 1z=l -- 31+2 - -3 - 4 . Используя формулу (77.5), находим: . (z+2)" . ( (z-0) 3 z+2 )" = -1 11m Res(f () z ; О ) = -211 l1m -1 = -21 ·6 = 3. 8 3 4 2 z - z . z-+0 Пример z-+0 Найти вычет функции f(z) 77.2. - Z 1 = ez в особой точке z =о. О Решение: Лорановское разложение данной функции в окрестности = О было найдено в примере 76.4. Из него находим С-1 = 1, т. е. Res(f(z); О) = 1. 8 точки z Теорема о вычетах часто используется для вычисления интеграла от функции комплексного переменного по замкнутому контуру. Пример 77.3. Вычислить . f (z - l)~(z 2 + l), где L-окружность у L lz - 1 - il = ../2. Q Решение: Функция J(z) = (z _ l)2Cz 2 + l) имеет в круге lz - 1 - il < ../2 (см. рис. 301) простой полюс z1 = i и полюс второго порядка z 2 = 1. Применяя о формулы (77.2), (77.3) и (77.5), получаем: 1 х Рис. 301 f (z-1 )~~z +1 = 27ri(Res(f(z);i) + Res(f(z); 1)) = 2 ) L = 27ri.[1·lffi 1) 2 (z + i)(z - i) lffi 1) 2 (z + i) 2·(l· = 7ri z- i z-+i (z - z-+i (z - 1 . + 1lffi 1 ) '] + -1 l"lffi (( z - 1)2 1! z-+1 (z -1) 2 (z 2 + 1) -2z ) = + 1) 2 z-+1 (z 2 570 2·(1 1Г"l - - 4 -1) = 2 - -7Гi . 2 • 211" Определенный интеграл вида J R(sin х; cosx) dx с помощью замео ны z = eix в некоторых случаях удается преобразовать в интеграл по замкнутому контуру izl = 1 от функции комплексного переменного, к которому уже применима основная теорема о вычетах. Прuмер 77.4. Вычислить с помощью вычетов интеграл 211" I= dx ! (3+2cosx) о 2 . Q Решение: Произведем замену переменного, положив z = eix. Тогда . ix -ix z + !. 2 dz = ieixdx = izdx, cosx = е +2 е = ~ = z 2~ 1 . При изменении х от О до 27Г точка z опишет в положительном направлении окружность izl = 1. Следовательно, 2 11" dx dz J (3+2cosx) = lzl=lf iz(3 + 2z~t1 )2 -----~= 2 О В круге izl < 1 функция f(z) 1 i f (z +zdz _ I 3z + 1) 2 lzl=l 2 - · ( 2 z l) 2 имеет полюс второго z +3z+ порядка Z1 = - 3 ;- J5. По формуле (77.5) находим Res ( f(z); -3+ У§) = 2 ;;;) 2 ) / - _.!:_ lim z ( ( z - -3 + v 5 - 1! z-t ~ 2 {z - ~)2. (z -з-.,15")2 2 2 2 lim z-t 3 --~ 7Г. с ледовательно, I -_lТ · 27Г~. · .J§ 25 5 tiд_z 2 --~ -- 3 3 = 5.J§" ~ (z + з+.Л) 2 2 • Глава XVlll. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1 Лекции 69-71 1 Операционное исчисление играет важную роль при решении при кладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике. Операционное исчисление - один из методов математического ана лиза, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференци альных и некоторых типов интегральных операторов и решение урав нений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых ал гебраических задач. Методы операционного исчисления предполагают реализацию сле дующей условной схемы решения задачи. 1. От искомых функций переходят к некоторым другим функци ям - их изображениям. 2. Над изображениями производят операции, соответствующие за данным операциям над самими функциями. 3. Получив некоторый результат при действиях над изображения ми, возвращаются к самим функциям. В качестве преобразования, позволяющего перейти от функции к их изображениям, будем применять так называемое преобразование Ла пласа. § 78. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 78.1. Оригиналы и их изображения Основными первоначальными понятиями операционного исчисле ния являются понятия функции-оригинала и функции-изображения. Пусть f(t) - действительная функция действительного перемен ного t (под t будем понимать время или координату). ~ Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям: 1. f (t) =О при t < О. 2. f(t) - кусочно-непрерывная при t ~О, т. е. она непрерывна или имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке оси t таких точек лишь конечное число. Е§] 3. Существуют такие числа М > О и s 0 ~ О, что для всех t выпол няется неравенство lf(t)i ~ М ·e 80 t, т. е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число so называется показателем роста f(t). 572 Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описываю щих различные физические процессы. Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого мо мента времени; удобнее считать, что в момент t = О. Третьему усло вию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно положить 2 s 0 = О), степенные tn (п > О) и другие (для функций вида /(t) = aet условие 3 не выполняется). Не является оригиналом, например, функ ция f(t) = (не удовлетворяет второму условию). t За.ме-чание. Функция f(t) может быть и комплексной функцией = fi (t) +if2(t); она счи тается оригиналом, если действительные функции fi (t) и / 2 (t) явля действительно переменного, т. е. иметь вид f(t) ются оригиналами. ~ ИзобраЭ1Сением оригинала f(t) называется функция F(p) ком s + iст, определяемая интегралом плексного переменного р = 00 F(p) = j f (t) · e-pt · dt. (78.1) о ~ Операцию перехода от оригинала /(t) к изображению F(p) называют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригина лом f(t) и изображением F(p) записывается в виде f(x) ~ F(p) или F(p) ~ f(x) (принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения - соответствующими большими буквами). Теорема 78.1 (существование изображения). Для всякого ориги нала /(t) изображение F(p) существует (определено) в полуплоскости Rep = s > s 0 , где s 0 - показатель роста функции /(t), причем функ ция F(p) является аналитической в этой полуплоскости (s > s 0 ). ............. .. . . .. . .... .. Q Докажем первую часть теоремы. Пусть р = = s + iст произвольная точка полуплоскости Rep = s > s 0 (см. рис. 302). Учитывая, что lf(t)I:::; М · esot, находим: 11 о f(t) · e-pt dt\ :::; f lf(t) · e-ptl dt:::; о 573 .............. .. . . . . . . ... .. . .. .. . .. . . .. ......... ... ............ . .. . . . .... .. .. о so ·S Рис. 302 так как s - s 0 > О и le-pt 1 = le-st · e-iut 1 = e-st · 1 cos at - i sin ati = e-st. Таким образом, IF(p)I = 1 / 00 f(t) · e-pt dtl ~ __!!___. S - (78.2) Во о Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (78.1), т. е. изобра жение F(p) существует и однозначно в полуплоскости Rep = s > s 0 . Следствие 8 78.1 (необходимый признак существования изобра f(t), жения). Если функция F(p) является изображением функции то lim F(p) =О. р-+оо Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (78.2), когда Re р Так = в --+ +оо. как F(p) - аналитическая функция в полуплоскости Rep > s 0 , то F(p) --+ О при р --+ оо по любому направлению. Отсю да, в частности, следует, что функции F(p) = 5, F(p) = р2 не могут быть изображениями. Отметим, что из аналитичности функции F(p) следует, что все ее особые точки должны лежать левее прямой Re р = = в в 0 или на са мой этой прямой. Функция F(p), не удовлетворяющая этому условию, не является изображением функции f(t). Не является изображением, например, функция F(p) = tgp (ее особые точки расположены на всей оси s). Теорема 78.2 (о единственности оригинала). Если функция F(p) служит изображением двух оригиналов / 1 (t) и f2(t), то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны. (Примем без доказательства.) Пример 78.1. Найти изображение еди 1 (t) 11------- ничной функции Хевисайда l(t) = { ~ при о t;::: О, при t <О Рис. 303 (см. рис. 303). 574 Q Решение: По формуле (78.1) при s = Rep >О (s0 =О) находим: ь ь j 1 · e-pt dt = lim j e-pt dt = lim --1 · e-ptl = -,1 00 F(p) = Ь--tоо b--too о р О р о т. е. F(p) =~'или, в символической записи, l(t) ~~'или 1 ~ ~- 8 Заме"tание. В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко запи сывать в виде f(t), подразумевая, что при t ~О, f(t) = {f(t) О Пример 78.2. при t <О. Найти изображение функции f(t) = eat, где а - любое число. Q Решение: Данная функция является оригиналом. По формуле (78.1) имеем j eate-pt dt = lim jь e-(p-a)t dt = - lim --1- · e-(p-a)tl ь = 00 F(p) = Ь--tоо о Ь--tоо р а О о . ( 1 е-(р-а)·Ь) 1 = 11m - - =--, Ь--+оо р - а р - а р - а если Re(p- а) >О. Таким образом, eat Пример 78.3. 1 =. -(Rep > Rea). р-а (78.3) • Найти изображение функции f(t) = t. Q Решение: В этом случае преобразование Лапласа имеет вид ь 00 [ t · e-pt dt = ь~~ [ te-pt dt = [ и =t 1 du = dt ] dv = e-pt dt v = -~e-pt = . ( -t · е - Рtlь - -е 1 - Рtjь) = -1 = Ь--+оо 11m р О р2 О р2 11 · lim Ь · е-рЬ = lim Ь · e-sb = 0), Т. е. ( Т. К. Ь--tоо р J 2 l+ (]'2 ·Ь--tоо 1 8 . 1 t=;=2· р 575 (78.4) • l1i\I Заме'Чание. Функция F(p) = р-а - 1- является аналитической не ~ только в полуплоскости Rep > Rea, где интеграл (78.1) сходится, а на всей комплексной плоскости р, кроме точки р = а. Такая особен ность наблюдается и для многих других изображений. Далее для нас будет более важным, как правило, само изображение функции, а не область, в которой оно выражается интегралом (78.1). Свойства преобразования Лапласа 78.2. Находить изображения, пользуясь только определением изображе ния, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа су щественно облегчают задачу нахождения изображений для большого числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям. Линейность Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линей ная комбинация изображений, т. е. если fi (t) ~ F1 (р), f 2 ( t) ~ F2 (р), с 1 и с2 - постоянные числа, то С1 · fi(t) с2 · f2(t) ~ С1 · F1 (р) С2 · F2(p). + + О Используя свойства интеграла, находим J(с1 fi(t) + с2 f2(t)) · dt = = с1 J fi (t) · dt + с2 J -f2(t) · 00 · · e-pt о 00 00 · e-pt dt e-pt о = с1 · F1 (р) + с2 • F2(p). • о Пример 78.4. Найти изображения функций sinwt, coswt (w - любое число), с (const), chwt, shc.vt. Q Решение: Пользуясь свойством линейности, формулой (78.3), нахо дим: • SШ c.vt = eiwt - e-i<.Jt 2i т. е. . 1 ( 1 1 ) c.v = - --- - --· 2i р - ic.v р + iw - р2 + w2 ' . sшw t . :::;= р 2 (;) +w 2. (78.5) 2. (78.6) Аналогично получаем формулу . coswt :::;= Далее, с= с· 1 ~ с· 1, т. е. р с р р 2 . с - р" ....,.. 576 +w Наконец, chwt = e01 t + e-OJt 2 =. 1. _1_ + 1. - 1- = Р т е 2 р - (А) 2 р + (А) р2 - "-12 • • chwt ф р 2 р 2• (78.7) 2• (78.8) -(А) Аналогично получаем формулу . h swt::т р (А) 2 -(А) • ПОАОбие ! ·F(x), т. е. умножение Если f(t) Ф F(p), Л > О, то f(Лt) Ф аргумента оригинала на положительное число Л приводит к делению изображения и его аргумента на это число. Q По формуле (78.1) имеем 00 f(Лt) ф j f(Лt) · e-pt · dt = [положив Лt = t = 1] о 1 = л . / ! (t1). 00 е _E.t1 А . / f(t). 00 . dt1 = л1 о е _E.t А . dt = л1 F (р) л . о (так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегриро вания). 8 Например, пусть cos t Ф р2 ~ 1 . Тогда 1 cos wt Ф - · w Е. (~) ~ +1 = 2 р р ±w 2• Смещение (затухание) Если f(t) ф F(p), а= const, то eat · f(t) ф F(p- а), т. е. умножение оригинала на функцию eat влечет за собой смещение переменной р. Q В силу формулы (78.1) имеем eat · f (t) ф 00 00 о о j eat · f (t)e-pt dt = j f(t)e-(p-a)t dt = F(p - а) • (Re(p - а) > so). 577 Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями: · t :::;=· (р е at ·SШW е at е е Пример 78.5. at at W )2 -а h . · s wt :::;= ( , (78 . 9) , (78.10) р- а )2 t . · cosw :::;= ( +w 2 +w 2 р-а W )2 р-а h t . · с w :::;= (р -w 2 р- а )2 -w -а , 2. Найти оригинал по его изображению 2р-5 F(p) = р2 - 6р + 11 · Q Решение: Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было вос пользоваться свойством смещения: F(p) _ 2р - 5 _ 2(р - 3) + 1 _ - р2 - 6р + 11 - (р - 3) 2 + 2 - =2· р-3 (р - 3)2 + (J2)2 v'2 +__!__· v'2 = (р - 3)2 + (J2)2 . ~ 2 · e 3t · cos v'2t + ~ · e3t sin v'2t = f(t). (См. формулы (78.9), (78.10) и свойство линейности.) 8 Запаздывание Если f(t) ~ F(p), т > О, то f(t - т) ~ е-рт F(p), т. е. запаздыва ние оригинала на положительную величину т приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на е-рт. О Положив t - т J = t 1 , получим 00 f(t - т) ~ о = 00 f(t - т) · e-pt dt = j f(t1)e-p(ti+т) dt1 = -т 00 00 о о j f (t1)е-рт · e-pti dt1 = е-рт j f(t)e-pt dt = е-рт F(p). • Поясним термин «запаздывание». Графики функции f(t) и f(t-т) имеют одинаковый вид, но график функции f(t-т) сдвинут на т единиц 578 Рис. 304 Рис. 305 вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции f(t) и f(t-т) описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией !( t - т), начинается с опозданием на время т. Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изобра жения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсные процессы. 1 при t ~ т, называется обобщенноii, едини"t0 при t < т нoii. функи,иеii. (см. рис 305). Функция 1(t-т) = { Так как l(t) ~~'то l(t - т) ~ ~ · е-Рт. Запаздывающую функцию g(t) = { ~(t - т) при t ~ т, при t <т можно записать так: g(t) = f(t - т) · 1(t - т). Пример 78.6. Найти изображение f(t) = t - 1. Q Решение: Для того чтобы быть оригиналом, функция j(t) должна удовлетворять условиям 1-3 (см. п. 78.1). В этом смысле исходную задачу можно понимать двояко. Если понимать функцию f(t) как ~ f(t) = { - 1 при t ~О, при t <О, т. е. f (t) = (t - 1) · l(t) (см. рис. 306, а), то, зная, что t ~ ~ (см. р формулу (78.4)), 1 ~~и, используя свойство линейности, находим 1 f (t) = (t - 1) · l(t) ~ 2 р 579 1 - - = F(p). р Если же понимать функцию f(t) как f(t) = {t - 1 при t<~ 1,1, О при t т. е. f(t) = (t - 1) · 1(t - 1) (см. рис. 306, б), то, используя свойство запаздывания, находим f(t) = (t - 1) · 1(t - 1) ~ ~ · е-Р = F(p). 8 р f(t) f(t) о f(t) 1--- t о -1 t 1 о б а Рис. 306 Пример t 3 78. 7. Рис. 307 Найти изображение функции f (t) = { 1 О приt<О, при О ::::; t::::; 3, при t > 3. О О Решение: Данная функция описывает единичный импульс (см. рис. 307), который можно рассматривать как раЗность двух оригина лов: единичной функции l(t) и обобщенной единичной функции l(t-3). Поэтому f(t) = l(t) - 1(t - 3) ~ ~ - ~ · с 3Р = F(p). Пример 78. 8. Найти изображение функции /(t) = 8 f(t) {~ 4-t при t < О, t ~ 4, 2 при О::::; t::::; 2, при 2 < t < 4. О Решение: Функция-оригинал о изобра жена на рис. 308. Запишем ее одним ана 2 4 Рис. 308 литическим выражением, используя функции Хевисайда 1 ( t) и 1 (t - т): f(t) = t. l(t) - t · 1(t - 2) + (4 - t) · l(t - 2) - (4 - t) · 1(t - 4), т.е. J(t) = t · 1(t) - (t- 2 + 2) · l(t - 2) - (t- 2 - 2) · l(t - 2) + (t- 4) · l(t- 4). 580 Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: ! (t) = t. l(t) - 2(t - 2) . l(t - 2) + (t - 4) . l(t - 4). Изображение функции f(t) будет равно 1 1 1 р2 р2 р2 • f(t) ~ - - 2 · -е- 2 Р + -е- 4Р = F(p). Заме'Чания. 1. Изображение периодического оригинала с периодом, равным Т, т есть F(p) = 1-Тр 1-е Jf (t)e-pt dt. о 2. Свойство опережения f (t + т) ~ еРт ( F(p) меняется значительно реже. Jf(t)e-pt dt) прит о Дифференцирование оригинала iJ Если f(t) ~ F(p) и функции f1(t), f"(t), .. " f(n)(t) являются ори гиналами, то J'(t) ~ р · F(p) - !(О), f"(t) ~ р2 • F(p) - р ·/(О) - /'(О), f 111 (t) ~ р3 • F(p) - р2 ·/(О) - р · J'(O) - !"(О), (78.11) (78.12) (78.13) ......................... ' (78.14) Q По определению изображения находим , • / 00 f (t) 7 , f (t)e -pt dt = [ и = e-pt 1 du = -pe-pt dt ] dv = f'(t)dt v = f(t) = о = f(t)e-ptl: +р J f(t)e-pt dt =-/(О)+ pF(p). 00 о Итак, f'(t) ~ p·F(p)-f(O). Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной f"(t): J"(t) = (! 1 (t)) 1 ~ р(р · F(p) - /(О)) - J'(O) = р2 • F(p) - р ·/(О) - /'(О). Аналогично найдем изображение третьей производной f 111 (t): f 111 (t) ~ р(р2 · F(p) - р · f(O) - J'(O)) - J"(O) = = р3 . F(p) - р2 ·!(О) - р ·/'(О) - J"(O). Применяя формулу (78.11) (п - 1) раз, получим формулу (78.14). 581 • За.ме'Чание. Формулы (78.11)-(78.14) просто выглядят при нулевых начальных условиях: если /(О) = О, то f'(t) ~ р · F(p); если /(О) = = f'(O) = О, то f' 1 (t) ~ р2 • F(p), и, наконец, если /(О) = /1(0) = ... . . . = f(n-l)(O) = О, то f(n)(t) ~ рп · F(p), т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на р. Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со свойством линейности широко используется при решении линейных дифференциальных уравнений. Пример 78.9. Найти изображение выражения x 111 (t) - 2x 11 (t) - 3x1 (t) + 2x(t) + 2, если х(О) = 3, х 1 (0) =О, х 11 (0) = -2. Q Решение: Пусть x(t) ~ Х(р) = Х. Тогда, согласно форму лам (78.11)-(78.13), имеем x 1 (t)~p·X-3, x 11 (t) ~ р2 • Х - р · 3 - О, x 111 (t) ~ р 3 · Х - р2 · 3 - р ·О+ 2, . 2 2=2·1 = -. 'р Следовательно, x 111 (t) - 2x11 (t) - 3x'(t) + 2x(t) + 2 ~ . =:= р 3 · Х - 3р 2 2 + 2 - 2(р 2 · Х - 3р) - 3(р · Х - 3) + 2Х + -. р 8 Дифференцирование изображения [i Если /(t) ~ F(p), то F 1 (p) ~ -t · J(t), F 11 (p) ~ (-1) 2 • t 2 • f(t), ............ ' т. е. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на (-t). О Согласно теореме 78.1 существования изображения, F(p) является аналитической функцией в полуплоскости Rep = s > s 0 • Следователь но, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя ин теграл (78.1) по параметру р (обоснование законности этой операции 582 опустим), получим 00 j (f (t) · e-pt)~ dt = о 00 00 о о = j f (t) · (-t)e-pt dt = j (-t · f (t) )e-pt dt Ф -t · f(t), т. е. F' (р) ф -t · f (t). Тогда F" (р) = (F 1 (p)) 1 ф -t(-t · f (t)) = t 2 • f(t), Fm(p) ф -t(t2 · J(t)) = -t3 · J(t) и вообще p(n)(p) ф (-l)n · tn · f(t). • Пример 78.10. Найти изображения функций tn (n Е N), eat · tn, t · sinwt, t · coswt, t · shwt, t · chwt, eat · t · sinwt, eat · t · coswt. Q Решение: Так как 1 Ф ~, то, в силу свойства дифференцирования изображения, имеем -t · 1 ф -~, т. е. р . 1 t::;:: 2· р Далее находим -t2 ф (~)' = --3r, т. е. t 2 ф ~·Продолжая диффер р р р ренцирование,получим n! n . t ::;:: рn+l · С учетом свойства смещения получаем е at .t n · n! ::;:: (р - a)n+l. Согласно формуле (78.5), sinwt ф ( т. е. - (р2 р 2 w +w р 1 2) Р 2 w +w 2 • Следовательно, ф -tsinwt, t . t -;- - SШW , или + w2)2 -'- 2wp . 2wp . t sш wt ::;:: (р 2 + w2 ) 2 • (78.15) Аналогично, используя формулы (78.6), (78.7) и (78.8), находим . t coswt ::;:: р2 -w2 (р 2 2pw . t sh wt ::;:: +w (р 2 2)2 , 2 2, -w) р2 +w2 . tchwt=;=( 2 р 583 -w 2) 2 . (78.16) С учетом свойства смещения и формул (78.15) и (78.16), получаем е е at • 2w(p - а) • · t · sшwt ::;= (( р-а at )2 +w 2 ) 2 , (р - а) 2 - . · t · coswt ::;= (( р-а )2 • w2 +w 2 ) 2 . Интегрирование оригинала t !i Если f(t) ~ F(p), то j f(т) dт ~ Fl), т. е. интегрированию ори о гинала от О до t соответствует деление его изображения на р. t О Функция cp(t) = j f(т) dт является оригиналом (можно проверить). о Пусть cp(t) ~ Ф(р). Тогда по свойству дифференцирования оригинала имеем cp'(t) ~ р · Ф(р) - ср(О) = р · Ф(р) (так как ср(О) = О). А так как cp'(t) = (} о J(т) dт) = J(t), 1 t то F(p) = р · Ф(р). Отсюда Ф(р) = F(p), т. е. р t Jf(т) dт ~ F(p). р 8 о Интегрирование изображения JF(p) dp сходится, то J F(p) dp ~ 00 Если f(t) ~ F(p) и интеграл р 00 р ~ f~t), т. е. интегрированию изображения от р до оо соответствует деление его оригинала на t. О Используя формулу (78.1) и изменяя порядок интегрирования (об основание законности этой операции опускаем), получаем 584 Пример 78.11. Найти изображение функции si~ t; найти изобра жение интегрального синуса t Jsi~ dт. 7 о 00 Q Решение: Так как sin t ~ р2 ~ 1 , то si~ t ~ / р2 ~ 1 dp = ~ -arctgp, р т. е. si~ t ~ ~ - arctgp = arcctgp. Применяя свойство интегрирования оригинала , получаем Jsin dт =. t т 7 .1L 2р • arctgp_ р о Умножение изображений Если fi (t) ~ F1 (р), /2(t) ~ Fz(p), то t F1(p) · F2(p) ~ Jfi(т) · /2(t - т) dт. (78.17) о t Jf т) · f t - т) dт является ориги О Можно показать, что функция 1( 2( о на.лом. Используя преобразование Лапласа (78.1), можно записать j f1(т)·f2(t-т)dт~ 1(1 fi(т)·f2(t-т)dт)e-ptdt= о о о t Je-pt dt Jfi(т) · /2(t - т) dт. 00 = о Область D т о интегрирования полученного дву кратного интеграла определяется условиями О ~ t < t < оо, О~ т ~ t (см. рис. 309). Изменяя т = t - порядок интегрирования и полагая Рис. 309 ti, получим t Jfi(т) · /2(t - т) dт ~ Jfi(т) dт Je-pt · /2(t - т) dt = Jf~(т)е-рт dт J f2(t1)e-pti dt1 = F1(p) · F2(p). 00 00 о т = о 00 о 00 о 585 • ~ Интеграл в правой части формулы (78.17) называется сверmко~ функцuu fi(t) и f2(t) и обозначается символом fi(t) * f2(t), т. е. t Jfi(т) · f2(t - т) dт. fi(t) * f2(t) = о Можно убедиться (положив t - т =и), что свертывание обладает свойством переместительности, т. е. fi(t) * f2(t) = f2(t) * fi(t). Умножение изображений соответствует свертыванию их оригиналов, т. е. F1(p) · F2(P) ~ fi(t) * f2(t). Пример 78.12. Найти оригинал функций 1 F(p) = (р2 + w2)2 Г\. р ешение: '..1 Т р и F(p) = (р2 + w2)2 · F(p) = (р2 +1 '·' 2) · ( 2 1 ак как ..., р +с...1 2), и 2 р 1 . 1 · t +w 2 ::;= -w ·s1nw , то F(p) ~ t J..!:.""' · sinc...1r · ..!:.w · sinw(t - т) dт = о 1 t = - 2 · j(cosw(2r - t) - cosc...1t) dт = 2w о = 2 ~2 С~. sinw(2r - t)I: - coswt. тl:) = ) = - 1(1.. 2 -sшwt- tcosc...1t ) = - 1(. 3 sшwt-c...1t · cosc...1t, 2w w 1 т. е. 2с...1 1 (р2 +w2) 2 ~ -2w3 (sinwt - wt · coswt). Аналогично получаем • р . 1 . (р2 + w2)2 ::;= 2w . t. sшwt. Следствие 78.2. Если fi оригиналом, то р · F1(p) · F2(p) ~ * !2 ~ F1(p) · F2(p) и /{(t) также является t Jf{(т) · f2(t - т) dт + fi(O) · f2(t). о 586 (78.18) Q Запишем произведение р · F 1 (р) · F 2 (р) в виде р · F1 (р) · F2 (р) = р · F1 (р) · F2 (р) - /i (О) · F2 (р) + /i (О) · F2 (р), или р · F1 (р) · F2(p) = (р · F1 (р) - fi (О)) · F2(p) + /i (О) · F2(p). Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соот ветствующих оригиналам fi (t) (f{(t) =';: p·F1 (р)- fi (О)) и /2(t). Поэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно fi (t) * f2(t) + /i (О) · f2(t) или записать р · F1 (р) · F2(p) =';: t Jf{(т)·f2(t-т)dт+f1(0)·f2(t). p·F1(p)·F2(p)=';= • о ~ Формула (78.18) называется формуло11. Дюамеля. На основании свойства переместительности свертки формулу Дю амеля можно записать в виде t Jf2(т) · !{ (t - т) dт + f2(t) · /i (О). р · F1 (р) · F2(p) =';: о Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям. Пример 78.13. Найти оригинал, соответствующий изображению 2р2 F(p) = (р2 + 1)2. Q Решение: Так как 2р2 - 2 1 р (р2 + 1)2 - р. р2 + 1 . р2 + 1 и 1 . . - 2- - :::;=sшt, р +1 р . t - 2 - - :::;= cos' р +1 то на основании формулы Дюамеля (78.18) имеем t 2р· ~ · ~ =';: 2/соsт · cos(t-т)dт +О= t · cost + sint. р +1 р +1 о Умножение оригиналов ст Если fi(t) =';: F1(p) и /2(t) =';: F2(p), то l Л (t) · f2(t) =';: 2 7Гi J :-:-: .·.·.· ·.: ·.·. ·:-:-:-:- ·>:· :-y+ioo -:-:-:-: . ._"::·:·:·:·:·:·::·: ·:·: ................ . .. ... .. ...... , ............ ................ . . . . . . . . ., .... ... .. .. .. . . .. ... .. ..... ..... ............. .' ..... .····· ........... . . . .. ...... .. .... ... ... ... ..... ....... -,+ioo F1 (z) · F2(P - z)dz, -y-ioo где путь интегрирования - мая Rez вертикальная пря- = 'У > s 0 (см. рис. 310) (примем без доказательства). 587 8 О Рис. 310 Резюме Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют собой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для удобства пользования перечислим эти свойства. 1. Линейность: с1 · fi(t) + с2 · /2(t) ~ с1 · Fi(p) + с2 · F2(p). 2. Подобие: f(Лt) ~ F(х),л >о. i. 3. Смещение: eat · J(t) ~ F(p - а). 4. Запаздывание: f(t - т) ~ е-рт · F(p), т > О. 5. Дифференцирование оригинала: J'(t) ~ р · F(p) - /(О), J"(t) ~ р2 · F(p) - р ·/(О) - /'(О), / 111 (t) ~ р3 • F(p) - р2 ·/(О) - р ·/'(О) - /"(О), 6. Дифференцирование изображения F'(p) ~ -t · /(t), Fu(p) ~ (-1)2. t2. /(t), 7. Интегрирование оригинала: j f(т) dт ~ Fl). t о 8. Интегрирование изображения: 00 j F(p) dp ~ f~t). р t 9. Умножение изображений: F1 (р) · F2(p) ~ = fi * /2. j fi(т) · /2(t - т) dт = о 1+ioo 10. Умножение оригиналов: fi(t)·/2 (t) ~ 2 ~i j F1 (z)·F2(p-z) dz. 1-ioo 78.3. Таблица оригиналов и изображений Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие ме жду некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и их изображениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изобра жений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному исчислению» (авторы В. А. Диткин и П. И. Кузнецов). 588 Таб.аuца оригиналов u uэобра;нсенuii № Оригинал Изображение f f(t)e-pt dt 00 f (t) F(p) = о 1 1 1 2 eat _1_ 3 t -;; 4 sinwt Р2 +w2 5 coswt р2 +w2 6 shwt р2 -w2 7 chwt Р2 -w2 8 eat · sinwt 9 eat · coswt 10 eat · shwt 11 eat · chwt 12 р р-а tn (п - 1 "" р "" р "" (р-а)2 +w2 р-а (p-at +w2 (р _ а)2 _ ""2 р-а (р- а)2 _ ""2 п! целое) pn+1 п! 13 eat . tn 14 t · sinwt 2wp (р2 +w2J2 15 t · coswt (р +w2)2 16 t · shwt 2wp (р2 -w2J2 17 t · chwt (р 18 eat · t · sinwt 19 eat · t · coswt 20 2~ 3 (sinwt - wtcoswt) 2~ 3 (wtchwt - shwt) 21 (р- a)n+1 ~2 "" ~+w 589 _ w2)2 2w(e- а} ((р - а)2 + ""2/ (р - а)2 - "" ((р- а)2 + w2)2 1 (р2 + w2)2 1 (р2 _ w2)2 Оригинал № Изображение f f (t)e-vt dt 00 f(t) F(p) = о 22 sin(wt ±ер) 23 cos(wt ±ер) WCOS;f ±psin~ Р +w2 Е. cos ~ =r w sin ~ р +w2 § 79. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 79.1. Теоремы разложения Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, по зволяющие по заданному изображению F(p) находить соответствую щий ему оригинал f(t). Теорема 79.1. Если функция F(p) в окрестности точки р = оо может быть представлена в виде ряда Лорана 00 "" Сп Со С1 С2 р р р F(p) = L.,, п+~ = - + 2 + 3 + · · ·' n=Op то функция является оригиналом, имеющим изображение F(p), т. е. F(p) = оо оо n=Op n=O tn L ~:1 ~ L Сп· !n. = J(t). Примем эту теорему без доказательства. Пример 79.1. Найти оригинал f(t), если F(p) = ~ · sin ~; р р F(p) = -/--. р +1 Q Решение: Имеем F (р) = ~ · sin ~ = ~ ( ~ - 2. !_ + 2. !_ - " .) = !_ - _!_ !_ + _!_ !_ - ... р р р Р 3! рз 5! р5 р2 3! р4 5! р6 590 1 t3 - 1 t5 Следовательно, на основании теоремы 79.1 f(t) - t - З! З! + 5! 5! - t >о. Запишем лорановское разложение функции F(p) окрестности точки р = оо: ... , = р~l в + F( ) _ _ Р_ _ р _ ~ . 1 = р - р2 +1 - р2 (1+?) - р 1-(-?) = ~ (1 - :2 + :4 - .. ·) = ~ - р~ + :5 -... ' где 1?-1 < 1, т. е. IPI > 1. Следовательно, f(t) = 1- ~~ + ~~ - ... , т. е. f(t) = cost, t >О. 8 Теорема 79.2. Если F(p) = ~~ - правильная рациональная дробь, знаменатель которой В(р) имеет лишь простые корни (нули) Р1,Р2, ... ,рп. то функция f(t) = t A/Pk) . ePkt k=1 в (pk) (79.1) является оригиналом, имеющим изображение F(p). Q Отметим, что дробь ~~~ должна быть правильной (степень мно гочлена А(р) ниже степени многочлена В(р)); в противном случае не выполняется необходимый признак существования изображения lim F(p) =О (п. 78.1), т. е. F(p) = БА~) не может быть изображением. ~00 р Разложим правильную рациональную дробь ~~~ на простейшие: А(р) С1 С2 Сп р-р1 Р-Р2 р-рп F(p) = В(р) = - - + - - + ... + - - , где Ck (k = 1, 2, ... , п) - (79.2) неопределенные коэффициенты. Для опре деления коэффициента с 1 этого разложения умножим обе части этого равенства почленно на р - Р1: А(р) ( С2 С3 Сп ) В(р) · (р- Р1) = С1 + (р- Р1) р- Р2 + р- Рз + · · · + р- Рп · Переходя в этом равенстве к пределу при р ---t р 1 , получаем с1 = lim А(р) · (р - Р1) lim А(р) p--+pi В(р)-В(р1) р--+р1 В(р) р-р1 591 = Итак, с 1 = :,([;;/).Аналогичным путем (умножая обе части равенства (79.2) нар - Pi) найдем Ci = :1rP}) , i = 2, ... , п. Подставляя найденные значения с 1 , с2 , ••• , Сп в равенство (79.2), • получим Так как по формуле (78.3) _1_...:... eP1t р-р1 -;- _1_...:... eP2t ' -;- р-р2 ' ... ' то на основании свойства линейности имеем F(p) = А(р) = В(р) :t :t A1(pk) . _1_ ~ A1(pk) . ePkt = f(t). р - Pk k=l В (Pk) k=l В (Pk) • За.ме'Чание. Легко заметить, что коэффициенты Ck (k = 1, 2, ... , п) определяются как вычеты комплексной функции F(p) в простых по- люсах (формула (77.4)): Ck = :,y;k)) = Res(~~~ ;pk ). Можно показать, что если F(p) = ~~~ - правильная дробь, но корни (нули) Р1,Р2, ... ,Рп знаменателя В(р) имеют кратности т 1 , m 2 , ••• , тп соответственно, то в этом случае оригинал изображе ния F(p) определяется формулой f(t) = Lп ( 1 1)1 lim (А( ) B(p)ept. k=l mk - . p-tpk р (р- Pk)mk ) (mk-1) . (79.3) Теорему 79.2 можно сформулировать следующим образом: Теорема 79.3. Если изображение F(p) = ~~ является дробно рациональной функцией отри р 1 ,р 2 , ••• ,pn - простые или кратные полюсы этой функции, то оригинал f(t), соответствующий изображе нию F(p), определяется формулой F(p) = ~((р)) ~ р :t Res(F(pk) · ePkt) = f(t). k=l 592 (79.4) 79.2. Формула Римана-Меллина li! Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана Меллина), имеющее вид l f(t) = 2 пi J F(p) · dt, -y+ioo (79.5) ePt -y-ioo где интеграл берется вдоль любой прямой Re р = 'У > S0 • При определенных условиях интеграл (79.5) вычисляется по фор-у+iоо n ;i [ F(p) · dt = k"fl Res(F(p) · муле f(t) = 2 li! ePt ePt; Pk). -y-ioo Заме"tание. На практике отыскание функции-оригинала обычно проводят по следующему плану: прежде всего следует по табли це оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изо бражения F(p) соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию F(p) стараются представить в виде суммы простей ших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т.д. Пример 79.2. Найти оригинал по его изображению F(p)= ~- 34 _ р+ Q Решение: Проще всего поступить так: F( ) _ р - 3 _ р 3 _ р - р2+4 - р2+4 - р2+4 - р2: 22 ~ р2 ~ 22 ~cos2t-~sin2t=f(t) (использовали свойство линейности и формулы (78.5) и (78.6)). Если же использовать теорему 79.2 разложения, то будем иметь: А(р) = р - 3, В(р) = р2 + 4, В'(р) = 2р, корни знаменателя р 1 = 2i и Р2 = -2i и, согласно формуле (79.1), 2i - 3 2 •t - 2i - 3 2•t 1 2•t 2•t 2•t 2 •t ) f(t) = - .е • + . е- • =-: (2i(e • +е- • )-3(е • -е- •) = 2 . 2i = :i 2 ( - 2i) 4i (2i(cos 2t + i sin 2t + cos 2t - i sin 2t)- - 3 (cos 2t + i sin 2t - cos 2t + i sin 2t)) = = :i (4i cos2t - 6i sin 2t) = cos 2t - 593 ~ sin 2t = f (t). 8 Пример 79.3. Найти функцию-оригинал, если ее изображение задано как F(p) = рэ(рl- l). Q Решение: Здесь А(р) = 1, В(р) = р3 (р-1), В'(р) = 4р3 -Зр 2 , р 1 = 1 - =О- простой корень знаменателя, р 2 3-кратный корень (m = 3). Используя формулы (79.1) и (79.3), имеем: f (t) = -1- · e 1 ·t + -1 lim ( 3 1 ePt · (р - 0) 3 )" = 2! p--tO р (р - 1) 4- 3 pt)" = ... = et - -t2 - t - 1 = et + -1 lim ( _е_ 2 p--tO т. е. р - 1 2 f (t) = е t - 2t 2 - t - 1. Приведем другой способ нахождения f(t). Разобьем дробь p 3 (pl- l) на сумму простейших дробей: F(p) = 1 = _ 1 - 1 - 1 + _1_. Рэ (р - 1) Р Р- 1 il ps Следовательно, f(t) = -1- t - t; + et. Приведем третий способ нахождения произведение р 3( 1 р- f(t). Представим F(p) как · _l__l , и так как :\- ~ t2 и _l__l ~ et, то, 1) = :\р рр р2 пользуясь свойством умножения изображений, имеем: =J~т2et-r dт = [ и= т du = 2т dт ] = dv et-r v -et-r 1 t-r lt +-· 1 2 · J t-т d [ и =т du = dт ] dv = et-r dr v -et-r = t F(p) · 2 dт = 2 1 = о t т2 =--е 2 о те 2 1 т= = о 1 2 +О+ ( -r · е t-r)lt -е t-r1t = --t 1 2 - t +О - 1 + е t = = --t 2 о о 2 t2 = et - 2 - t - 1 = f(t). 8 § 80. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ Пусть требуется найти частное решение линейного дифференци ального уравнения с постоянными коэффициентами у(п) + aiy(п-l) + ... + апу = f (t), 594 (80.1) удовлетворяющее начальным условиям ... ' у(О) = ео, где Со, с1, ... , Cn-1 - заданные числа. Будем считать, что искомая функция y(t) вместе с ее рассматри ваемыми производными и функция f(t) являются оригиналами. Пусть y(t) ~ У(р) = У и f(t) ~ F(p) = F. Пользуясь свойствами дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении (80.1) от оригиналов к изображениям: (Р ny -рn-1 CQ-pn-2 С1 -. · .-Сп-1 ) +а1 (рn-1y -рn-2 CQ-. · .-Сп-2 ) +. · · ... + an-1(pY - со)+ anY = F. Полученное уравнение называют операторн:ым (или уравнением в изображениях). Разрешим его относительно У: Y(pn + a1pn-l + ... + Un-1P + ап) = F + eo(pn-l + alpn- 2 + ... + ап-1)+ + С1 (Рn-2 + а1рn-3 + ... + an-2 ) + ... + Cn-1, т. е. У(р)·Qп(Р) = F(p)+Rn-1(p), где Qп(р) и Rn-1 (р) многочлены от р степени п и п - алгебраические 1 соответственно. Из последнего уравнения находим у(р) = F(p) + Rп-1 (р) Qп(р) . (80.2) Полученное равенство называют операторным решением диффе ренциального уравнения (80.1). Оно имеет более простой вид, если все начальные условия равны нулю, т. е. у(О) = у'(О) = ... = y(n-l)(O) =О. В этом случае У(р) = _!ip)_ Qп(Р). Находя оригинал y(t), соответствующий найденному изображению (80.2), получаем, в силу теоремы единственности, частное решение дифференциального уравнения (80.1). Заме'Чание. Полученное решение y(t) во многих случаях оказыва ется справедливым при всех значениях t (а не только при t ~О). Пример 80.1. Решить операционным методом дифференциаль ное уравнение у" - Зу'+ 2у = 12e3 t при условиях у(О) = 2,у'(О) = 6. Q Решение: Пусть y(t) ~ У(р) =У. Тогда y'(t) ~ рУ -у(О) = рУ - 2, у" (t) ~ р2 У - ру(О) - у' (О) = р2 У - 2р - 6, и e3t == _1_ . р-3' 595 Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение: р2 У - 2р - 6 - 3(рУ - 2) + 2У = 12 ___1_3 . Отсю р 2р2 - 6р + 12 - () да У (р ) = (р- l)(p _ 2 )(р _ 3). Находим у t. Можно разбить дробь на сумму простейших (У (р) = _л__l + В 2 + С 3 ), но так как корни знар менателя (р 1 р- р- = 1, р2 = 2, р3 = 3) простые, то удобно воспользоваться второй теоремой разложения (формула (79.1)), в которой А(р) = 2р2 - 6р + 12, В'(р) = (р- 2)(р- 3) + (р- l)(p- 3) + (р - l)(p- 2). Получаем: y(t) = 8 8 12 e1·t + e2·t + -еЗ·t = 4et - 8e2t + 6езt. (-1)·(-2) 1·(-1) 2·1 Пример 80.2. Найти решение урав- 8 f(t) нения 1 2 · t, если О ~ t < 2, { у" + 4у = 3 - t, если 2 ~ t < 3, О, если t < О, t ~ 3 при условии у(О) =О, у'(О) =О. 2 3 t Рис. 311 Q Решение: График данной функции имеет вид, изображенный на ри сунке 311. С помощью единичной функции правую часть данного диф ференциального уравнения можно записать одним аналитическим вы ражением: 1 1 /(t) = 2t. l(t) - 2t · l(t - 2) + (3 - t). l(t - 2) - (3 - t)l(t - 3) = 1 1 = 2t · l(t) - 2 (t - 2 + 2) · l(t - 2) - (t- 2 - 1) · l(t - 2) + (t - 3) · l(t - 3) = 1 1 = 2t · l(t) - 2(t - 2) · l(t - 2) - 1(t - 2) - (t - 2). 1(t - 2)+ 1 3 + l(t-2) + (t-3) · l(t-3) = 2t · l(t)- 2(t-2) · l(t-2) + (t-3) · l(t-3). Таким образом, имеем у"+ 4у = ~t. l(t) - ~(t - 2) · l(t - 2) + (t - 3) · l(t - 3). 2 2 Операторное уравнение, при нулевых начальных условиях имеет вид 2 р У +4У 1 1 3 1 -2 1 -3 = -- --е Р+ -е Р. 2р2 2р2 р2 596 Отсюда У( ) - ~. 1 р - 2 р2(р2 +4) Так как 1 1(1 1 ) 41(1р2 21. р2 2 ) ~ 41( 21 ) р2 (р2 + 4) = 4 р2 - р2 + 4 - = + 22 t - sin 2t ' то по теореме запаздывания находим: y(t) = ~ (t - ~ sin2t) - ~ (t - 2 - ~sin2(t - 2)) l(t - 2)+ + ~(t - 3- ~ sin 2 (t - 3)) 1 (t - 3). 8 Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен тами. Покажем это на конкретном примере. Пример 80.3. Решить систему дифференциальных уравнений { = х' =у- z, у' х +у, х(О) = 1, у(О) = 2, z(O) = 3. z' = х + z; Q Решение: Пусть х = x(t) ~ Х(р) = Х; у= y(t) ~ У(р) =У; z = z(t) ~ Z(p) = Z. Находим, что х' ~ рХ - 1; у' ~ рУ - 2; z' ~ pZ - 3. Система операторных уравнений принимает вид { - рХ-У +Z= 1, Х (р - l)Y = -2, Х + (1 - p)Z = -3. Решая эту систему алгебраических уравнений, находим: р-2 х (р) = р(р - 1) ' 2р2 - р- 2 У(р) = р(р - 1)2 ' Z(p) = 3р2 - 2р- 2 р(р- 1)2 597 Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения: р-2 Х(р) = р(р- 1) = 2р - 2 - р 2(р - 1) = p(p- l) = р(р- l) У(р) = Z(p) = р 2 1 . t р(р- l) = р - р- 1 7 2 - е = x(t), 2р2 - р- 2 ( 2 4 1 ) 2 = -- + - -1 - (р Ф -2 + 4et - tet = y(t), р р- 1)2 р р- 1 3р2 - 2р - 2 ( рр-1 )2 Ответ: x(t) = 2 - 2 5 = -- + - -1 - ( р р- 1 р-1 . t t )2 ::;:: -2 + 5е - te = z(t). et, y(t) = -2 + 4et - tet, z(t) = -2 + 5et - tet. 8 С помощью операционного исчисления можно также находить ре шения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэф фициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечных разностях (разностных уравнений}; производить суммирование рядов; вычислять интегралы. При этом решение этих и других задач значи~ тельно упрощается. ПРИЛОЖЕНИЯ Правила дифференцирования 1. (и± v)' =и'± v'; 2. (и· v)' = и'v + uv', в частности, (си)'= с· и'; 3. ( ; ) =и v;; uv , в частности, 1 , / ( ~ )' 1 = -~; 4. у~ =у~· и~, если у= f(u), и= ср(х); 5. у~ = J,-, если у= f(x) их= ср(у). Ху Формулы дифференцирования 1. (с)' =О; 1- ·и'· 2 . (и°')'= а· и°'- 1 ·и' ' в частности ' ( у"' Гu)' = -2y'U ' 3. (аи)' =аи · ln а· и', в частности, (еи)' = еи ·и'; 4. (log и)' = - 1а u·lna ·и' в частности (ln и)' = 1 ·и'· ' ' и ' 5. (sinu)' = соsи·и'; 6. (cosu)' = - sin и· и'; 1 ·и'; cos 2 u 8. (ctgu)' = - . 12 ·и'; sш и 9.(arcsinu)'= 1 ·и'; 7.(tgu)'= V1-u 2 10. (arccosu)' = - 1 ~ ·и'; 1 11. (arctgu)' = ~l ·и'; +и 12. (arcctgu)' =-~·и'; l+и 13. (shu)' = chu ·и'; 14. (ch и)'= sh и· и'; 15. (thu)' =~·и'; ch и 16. (cthu)' =-~·и'. sh и 599 Таблица основных интегралов Jаи du lna аи + С· ' 4. Jеи du еи +С; 5. Jsin и du cos и + С (/ sh и du = ch и + С); 6. Jcos и du = sin и+ С (/ chudu = shu +с); 7. Jtgudu ln cosul +С; 8. Jctgudu = ln sinu/ +С; 9. J du = tg и + С (! chdu u =thu+c); cos u 10. J _dи = - ctg и + С (! shdu = - cth и + с); sш и 11. J ~и ln \tg .!! +С· 2 ' 12. f cosu ln /tg(.!! 2 + л.)1 4 +С·' du = arcsin .!! +С; 13. J Ja2 -u2 = 3. = = - = - 1 1 2 2 2 2u = sши 1 _!fu_ = а 14. JJu2du 15. J du+ = 1 arctg .!! + С; 16. J du +а2 а2 u2 а2 - u 2 = ln /и+ ./и 2 + а2 / +С; а а = .1... ·ln1a+и1 +С; 2а а- и J./а2 - u2 du ~ ./а2 - и2 + 2 arcsin *+С; 18. JJu ± а2 du = ~ · ./u2 ± а2 ± 22 ln lи + ./u2 ± а2 1 +С. 17. = 2 · 2 600 Таблица раэложений в ряд Маклорена некоторых элементарных функций х х2 xn ех = 1 + -11 + -21 + · · · + - 1 + ... , . . хз х Е (-оо; оо), п. х5 х2п+1 sinx=x- З! + 5! -···+(-l)n( 2n+l)!+ ... , хЕ(-оо;оо), х2 х4 x2n cosx = 1 - 2! + 4! - · · · + (-l)n ( 2 п)! + ... , х Е (-оо; оо), а а(а - 1) 2 а(а - 1) ... (а - п + 1) n ••• ( l + х )°' -_ 1 + l!x + х + + п! х + ... , 2! [-1; 1], { х Е (-1:1], (-1,1), 1 2 +···+х n --=1+х+х 1-х если а~ О, если -1 <а< О, если а~ -1, + ... , ) хЕ ( -1;1, х2 хз xn+l ln(l+x)=x- 2 + 3 -···+(-l)nn+l + ... , хЕ(-1;1], хз х5 x2n+1 arctg х = х - З + 5" - · · · + ( -1) n 2 п + 1 ... , х Е [-1; 1], 1 х3 1 · 3 х5 1 · 3 · 5 х7 arcsinx =х+- · - + - · - + - - · - + ... 2 3 2·4 5 2·4·6 7 1 · 3 · 5 ... (2п - 1) x 2n+l ···+ 2 · 4 · 6 . . . (2п ) ·2п -... , ++ 1 хз х5 x2n+1 shх=х+зт+ 5! +···+( 2n+l)!+ ... , хЕ(-оо;оо), х2 х4 х6 x2n chx = 1 + 2! + 4! + 6! + · · · + ( 2 п)! + ... , х Е (-оо; оо). 601 хЕ(-1;1), Таблица оригиналов и изображений No Оригинал Изображение 00 F(p) = / f(t)e-pt dt f(t) о 1 1 _j_ 2 eat 3 t 4 sinwt р2 +w2 5 coswt р2 +w2 6 shwt р2 -(;.)2 7 chwt р2 -(;.)2 8 eat · sinwt (р- а)2 + "-'2 9 eat · coswt (р- а12 + "-'2 10 eat · shwt 11 eat · chwt 12 р-а tn (п - 1 Р1 (;.) р (;.) р (;.) р-а (р _ а)2 _ w2 р-а (р _ а)2 _ w2 п! целое) pn+i п! 13 eat. tn 14 t · sin wt 15 t · cos wt 16 t · sh wt 17 t · chwt 18 eat · t · sin wt 19 eat · t · cosr,,;t 20 2~ 3 ( sin wt - wt cos wt) 2 ~ 3 (wtchr,,;t - shwt) 21 (р- a)n+i 602 2wp (р2 +w2/ ~2 (;.) <Р + w2)2 2wp (р2 _ w2/ ~2 +w <Р _ w2)2 2w(p - а) ((р- а)2 + w2)2 (р-а)2 -r,,; ((р _ а)2 + r,,;2)2 1 (р2 + r,,;2)2 1 (р2 _ w2)2 No Оригинал Изображение f f (t)e-pt dt 00 f(t) F(p) = о 22 sin((.Jt ± <р) 23 cos((.Vt ± <р) cos ~ ± 1! sin ':Е. р + (.J2 1! cos ~ =t= (.V sin ':Е. (.V р + (.V'}, По вопросам оптовых закупок обращаться: тел./факс: (495) 785-15-30, e-mail: [email protected] Адрес:!Vlосква,пр.!Vlира, 104 Наш сайт: www.airis.ru Книги издательства «АЙРИС-пресс» можно приобрести в магазине дом книги НА ЛАдожской по адресу: г. !Vlосква, ул. Ладожская, д. 8 (м. «Бауманская» ). Тел. (499) 221- 77-33 Интернет-магазин: www.dom-knigi.ru доставка по почте во все уголки России и зарубежья. Режим работы: понедельник - суббота с 9 до 21 часа, воскресенье с 10 до 20 часов, без перерыва Издательство «АЙРИС-пресс» приглашает к сотрудничеству авторов образовательной и развивающей литературы. По всем вопросам обраwаться по тел.: (495) 785-15-33, e-mail: editoг@airis.ru Адрес редакции: 129626, !Vlосква, а/я 66 Учебное издание Письменный Дмитрий Трофимович КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Полный курс Ведущий редактор Е. Н. Куликова Редакторы Л. В. Абламская, В. В. Черноруцкий Художественный редактор, оформление А. М. Драговой Иллюстрации Е. В. Панкратьев, А. Ю. Терская Технический редактор В. А. Артемов Компьютерная верстка Е. Г. Иванов Корректоры Н. С. Калашникова, З. А. Тихонова Подписано в печать 03.08.11. Бумага офсетная. Формат 60х90 l/16. Гарнитура «Компьютер Модерн». Печать офсетная. Печ. л. 38,0. Усл. печ. л. 38,0. Тираж 10 ООО экз. Заказ № 7668. ООО «Издательство «АЙРИС-пресс» 129626, г. Москва, проспект Мира, д. 104. Оrпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ЗАО •ИПК Парето-Принт» 170546, Тверская обл" Калининский р-н, торгово-промышленная зона Боровлево-1, № 3 «А» www.pareto-print.ru

Письменный Конспект Полный курс

Похожие документы

Разделы

Поддержка

Письменный Конспект Полный курс

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib