СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
1
ТРИГОНОМЕТРИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
1 sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1
1
2
1 + tg 2 𝛼 =
cos2 𝛼
1
3
1 + ctg 2 𝛼 =
sin2 𝛼
4 tg 𝛼 ∙ ctg 𝛼 = 1
ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА
1 sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 ∙ cos 𝛼
2 cos 2𝛼 = cos2 𝛼 − sin2 𝛼
3 cos 2𝛼 = 2cos 2 𝛼 − 1
4 cos 2𝛼 = 1 − 2sin2 𝛼
СИНУС
КОСИНУС
противолежащий катет
sin 𝛼 =
гипотенуза
прилежащий катет
cos 𝛼 =
гипотенуза
ТАНГЕНС
КОТАНГЕНС
1 tg 𝛼 = противолежащий катет 1 ctg 𝛼 =
прилежащий катет
2 tg 𝛼 = sin 𝛼
cos 𝛼
прилежащий катет
противолежащий катет
2 ctg 𝛼 = cos 𝛼
sin 𝛼
ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ
ЧЁТНОСТЬ
1 sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 1 sin(−𝑥) = − sin 𝑥
2 sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 2 cos(−𝑥) = cos 𝑥
3 cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 3 tg(−𝑥) = − tg 𝑥
4 cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽 4 ctg(−𝑥) = − ctg 𝑥
ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
𝜋
1 Если в аргументе есть сколько-то , то функция меняется на кофункцию
2
Если в аргументе есть сколько-то 𝜋, то функция остаётся прежней
ПРИМЕР:
𝜋
sin ( − 𝛼) = cos 𝛼
2
tg(𝜋 + 𝛼) = tg 𝛼
2 Чтобы определить знак, нужно понять в какой четверти находится аргумент и смотреть на изначальную функцию, а не на изменившуюся
ПРИМЕР:
3𝜋
sin ( + 𝛼)
2
Это IV четверть, в ней синус имеет знак минус, поэтому
3𝜋
sin ( + 𝛼) = − cos 𝛼
2
ЛОГАРИФМЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМА
ОСНОВНОЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО
𝑐
Если log 𝑎 𝑏 = 𝑐, то 𝑎 = 𝑏
𝑎
log𝑎 𝑏
=𝑏
Для log 𝑎 𝑏
ОДЗ ЛОГАРИФМА
𝑎>0
{𝑎 ≠ 1
𝑏>0
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
1 log 𝑎 𝑏 + log 𝑎 𝑐 = log 𝑎 (𝑏 ∙ 𝑐)
2
log 𝑎 𝑏 − log 𝑎 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎
3 log 𝑎 𝑏
𝑏
𝑐
4
𝑚
1
log 𝑏 𝑎
log 𝑐 𝑏
6
log 𝑎 𝑏 =
log 𝑐 𝑎
= 𝑚 ∙ log 𝑎 𝑏
log 𝑎𝑛 𝑏 =
5
1
∙ log 𝑎 𝑏
𝑛
log 𝑎 𝑏 =
ПРОИЗВОДНЫЕ
1
1 𝐶′ = 0
5
2 𝑥′ = 1
2√𝑥
6 (𝑈 ∙ 𝑉) = 𝑈 ′ 𝑉 + 𝑈𝑉 ′
3 (𝐶𝑥)′ = 𝐶
4 (𝑥 𝑛 )′ = 𝑛 ∙ 𝑥 𝑛−1
(√𝑥)′ =
′
7 𝑈 ′ 𝑈 ′ 𝑉 − 𝑈𝑉 ′
( ) =
𝑉
𝑉2
′
8 (𝑈(𝑉)) = (𝑈(𝑉))′ ∙ 𝑉 ′
9 (sin 𝑥)′ = cos 𝑥
13 (𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥
10 (cos 𝑥)′ = − sin 𝑥
1
11
(tg 𝑥)′ =
cos2 𝑥
1
12
(ctg 𝑥)′ = − 2
sin 𝑥
14 (𝑎 𝑥 )′ = 𝑎 𝑥 ∙ ln 𝑎
1
15
(ln 𝑥)′ =
𝑥
1
16
(log 𝑎 𝑏)′ =
𝑏 ∙ ln 𝑎
2
СТЕПЕНИ
1 𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
3 (𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑚
2 𝑎𝑛 : 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚
4 𝑎𝑛 ∙ 𝑏 𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛
𝑎 𝑛
5 𝑎𝑛
=( )
𝑛
𝑏
𝑏
6 𝑎0 = 1
7
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
8 𝑎 −𝑛
𝑏 𝑛
( ) =( )
𝑏
𝑎
КОРНИ
1 √𝑎 ∙ √𝑏 = √𝑎𝑏
2 √𝑎
√𝑏
=√
2
3 (√𝑎) = 𝑎
𝑎
𝑏
5 𝑛√𝑎𝑚 = 𝑎𝑚
𝑛
4 √𝑎2 = |𝑎|
ФСУ
РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ
КВАДРАТ РАЗНОСТИ
КВАДРАТ СУММЫ
РАЗНОСТЬ КУБОВ
2
2
2
2 (𝑎
2
2
2 𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
(𝑎
(𝑎
𝑎 − 𝑏 = − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
− 𝑏) = 𝑎 − 2𝑎𝑏 + 𝑏
+ 𝑏) = 𝑎 + 2𝑎𝑏 + 𝑏
2
СУММА КУБОВ
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 )
УРАВНЕНИЯ
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )
ТЕОРЕМА ВИЕТА
𝑏
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑎
{
𝑐
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑎
2
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
МОДУЛИ
КАК РАСКРЫВАТЬ МОДУЛИ
Если внутримодульное выражение положительное, то просто
Если внутримодульное выражение отрицательное, то раскрываем
опускаем модуль
модуль, меняя все знаки внутри модуля на противоположные
ПРИМЕР:
ПРИМЕР:
𝑦 = |2 − 1| = 2 − 1
𝑦 = |1 − 2| = −1 + 2
СВОЙСТВА МОДУЛЕЙ
|𝑎|
1 |𝑎 ∙ 𝑏| = |𝑎| ∙ |𝑏|
2 𝑎
3 |𝑎|2 = 𝑎2
| |=
|𝑏|
𝑏
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
1 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑑 ∙ (𝑛 − 1)
2
𝑆𝑛 =
3 𝑑 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑚
𝑛−𝑚
(𝑎1 + 𝑎𝑛 )
∙𝑛
2
МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ
БЫЛО
СТАЛО
(𝑎 − 1)(𝑓 − 𝑔)
log 𝑎 𝑓 − log 𝑎 𝑔
𝑓
𝑔
(𝑎 − 1)(𝑓 − 𝑔)
𝑎 −𝑎
|𝑓| − |𝑔|
(𝑓 − 𝑔)(𝑓 + 𝑔)
(𝑓 − 𝑔)
√𝑓 − √𝑔
ЗАДАНИЕ 10
УРАВНЕНИЕ ПУТИ
𝑆 =𝑣∙𝑡
расстояние = скорость ∙ время
СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ
𝑉средняя =
𝑆суммарное
𝑡суммарное
СХЕМА ЗАДАЧ НА СПЛАВЫ И СМЕСИ
Доля1 ∙ 𝑚1 + Доля2 ∙ 𝑚2 = Доля3 ∙ 𝑚3
3
УГЛЫ
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
СУММА УГЛОВ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
У треугольника 180°
У четырёхугольника 360°
У пятиугольника 540°
У шестиугольника 720°
У 𝑛 −угольника 180°(𝑛 − 2)
В сумме 180°
Равны
НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ УГЛЫ
СООТВЕТСТВЕННЫЕ УГЛЫ
Равны при параллельных прямых (первый
признак параллельности прямых)
Равны при параллельных прямых (второй
признак параллельности прямых)
СВОЙСТВО ОСТРЫХ УГЛОВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
ОДНОСТОРОННИЕ УГЛЫ
В сумме 180° при параллельных прямых
(третий признак параллельности прямых)
СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС ТУПЫХ УГЛОВ
sin 𝐴 = cos 𝐵
sin 𝐵 = cos 𝐴
tg 𝐴 = ctg 𝐵
tg 𝐵 = ctg 𝐴
sin 𝛼 = sin 𝛽
cos 𝛼 = − cos 𝛽
tg 𝛼 = − tg 𝛽
ctg 𝛼 = − ctg 𝛽
ТРЕУГОЛЬНИК
ПЛОЩАДЬ (ЧЕРЕЗ ВЫСОТУ)
𝑆=
1
∙ 𝑎 ∙ ℎ𝑎
2
ПЛОЩАДЬ (ЧЕРЕЗ УГОЛ)
𝑆=
1
∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ sin 𝛼
2
𝑆 = 𝑝𝑟
𝑝 − полупериметр
ТЕОРЕМА СИНУСОВ
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
= 2𝑅
sin 𝛼 sin 𝛽 sin 𝛾
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
ПЛОЩАДЬ (ЧЕРЕЗ РАДИУС)
ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
1 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 ∙ cos 𝛼
2
2
cos 𝛼 =
2
ПЛОЩАДЬ (ЧЕРЕЗ РАДИУС)
𝑎𝑏𝑐
4𝑅
ПЛОЩАДЬ (ФОРМУЛА ГЕРОНА)
𝑆=
𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)
2
𝑏 +𝑐 −𝑎
2𝑏𝑐
СВОЙСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
В любом треугольнике сумма длин двух
сторон больше длины третьей стороны
ПРИМЕР:
• Лежит на серединах сторон
• Параллельна основанию
• Равна половине основания
В ЛЮБОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ:
– против большей стороны больший угол
– против средней стороны средний угол
– против меньшей стороны меньший угол
3+4>5
3+5>4
4+5>3
4
БИССЕКТРИСА, МЕДИАНА И СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР
ТЕОРЕМА О БИССЕКТРИСЕ
СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ
𝑎𝑙 𝑎
=
𝑏𝑙 𝑏
ЦЕНТР ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ
Если точка лежит на биссектрисе угла, то она Центр вписанной в треугольник окружности
равноудалена от сторон этого угла
– это точка пересечения биссектрис
СВОЙСТВО МЕДИАНЫ
СВОЙСТВО МЕДИАНЫ
СВОЙСТВО МЕДИАНЫ
Медиана разбивает треугольник на два
равновеликих (с одинаковыми площадями)
В прямоугольном треугольнике медиана,
проведённая к гипотенузе, равна половине
гипотенузы
Медианы треугольника пересекаются в
одной точке и точкой пересечения делятся в
отношении 2:1 считая от вершины
СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР
ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ
СВОЙСТВО СЕРЕДИННОГО ПЕРПЕНДИКУЛЯРА
Серединный перпендикуляр – это прямая,
выходящая из середины стороны
треугольника под прямым углом к этой
стороне
Серединные перпендикуляры к сторонам
Точка, лежащая на серединном
треугольника пересекаются в точке,
перпендикуляре к отрезку, равноудалена от
являющейся центром окружности, описанной концов этого отрезка
около треугольника
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА
По двум сторонам и углу между ними
ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА
По стороне и двум, прилежащим к ней углам По трём сторонам
ПОДОБИЕ
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ
По двум углам
ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
ВТОРОЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ
По двум пропорциональным сторонам и углу По трём пропорциональным сторонам
между ними
ОТНОШЕНИЕ ОБЪЁМОВ
ОТНОШЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
ПОДОБИЕ ABC и HBK
В подобных треугольниках
отношение периметров,
биссектрис, медиан, высот и
серединных перпендикуляров
равно коэффициенту подобия
Отношение площадей подобных
треугольников равно квадрату
коэффициента подобия
𝑆большого треугольника
= 𝑘2
𝑆маленького треугольника
Отношение объёмов подобных
фигур равно кубу коэффициента
подобия
𝑉большой фигуры
= 𝑘3
𝑉маленькой фигуры
𝐵𝐾
𝐴𝐵
𝐵𝐻
cos 𝐵 =
𝐵𝐶
∆ 𝐴𝐵𝐶~∆ 𝐻𝐵𝐾 по 2 признаку
𝐵𝐾 𝐵𝐻
(
=
и угол 𝐵 − общий)
𝐴𝐵 𝐵𝐶
cos 𝐵 =
5
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
ПЛОЩАДЬ
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
𝑆=
𝑎∙𝑏
2
Катет, лежащий напротив угла 30°, равен
половине гипотенузы
РАДИУС
𝑅=
СВОЙСТВО
ВЫСОТА
𝑐
2
ℎ=
ВЫСОТА
ℎ2 = 𝑑𝑒
𝑎𝑏
𝑐
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
СВОЙСТВО
Биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, равны
РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК
ПЛОЩАДЬ
𝑆=
√3𝑎2
4
ВЫСОТА
ℎ=
РАДИУС
√3𝑎
2
1
√3 ∙ 𝑎
6
1
2
𝑟 = ∙ℎ
3
𝑟=
РАДИУС
1
√3 ∙ 𝑎
3
2
2
𝑅 = ∙ℎ
3
𝑅=
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
ПЛОЩАДЬ (ЧЕРЕЗ ВЫСОТУ)
𝑆 = 𝑎ℎ𝑎
ПЛОЩАДЬ (ЧЕРЕЗ УГОЛ)
𝑆 = 𝑎𝑐 ∙ sin 𝛼
СВОЙСТВО
В параллелограмме сумма углов,
прилежащих к любой стороне, равна 180°
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
ВТОРОЙ ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Если две стороны равны и параллельны
Если противоположные стороны попарно
равны
Если диагонали пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам
РОМБ
ПЛОЩАДЬ (ЧЕРЕЗ ДИАГОНАЛИ)
𝑆=
𝑑1 ∙ 𝑑2
2
ПЛОЩАДЬ (ЧЕРЕЗ РАДИУС)
𝑆 = 𝑝𝑟
6
ТРАПЕЦИЯ
ПЛОЩАДЬ
𝑆=
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ
• Лежит на серединах сторон
• Параллельна основаниям
• Равна полусумме оснований
𝑎+𝑏
∙ℎ
2
СВОЙСТВО РАВНОБЕДРЕННОЙ ТРАПЕЦИИ
𝐴𝐻 = 𝐷𝐾 =
СВОЙСТВО
В трапеции сумма углов, прилежащих к
боковой стороне, равна 180°
ПРИЗНАК РАВНОБЕДРЕННОЙ ТРАПЕЦИИ
𝐴𝐷 − 𝐵𝐶
2
Если трапеция вписана в окружность, то она - равнобедренная
ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК
ПЛОЩАДЬ
𝑆=
𝑑1 ∙ 𝑑2 ∙ sin 𝛼
2
РАВНОСТОРОННИЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК
ПЛОЩАДЬ
3√3𝑎2
𝑆=
2
РАДИУС
𝑅=𝑎
РАДИУС
ДИАГОНАЛИ
ПЛОЩАДИ ЧАСТЕЙ
√3𝑎2
4
1
2
𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆шестиугольника
6
3 𝑆𝐴𝐶𝐷𝐹 = √3𝑎2
2
4
𝑆𝐴𝐶𝐷𝐹 = 𝑆шестиугольника
3
1
√3𝑎
𝑟=
2
𝑆𝐴𝐵𝐶 =
ТЕОРЕМЫ СО СТРАШНЫМИ НАЗВАНИЯМИ
ТЕОРЕМА ПТОЛЕМЕЯ
𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 ∙ 𝐶𝐷 + 𝐴𝐷 ∙ 𝐵𝐶
(работает только для вписанного
четырёхугольника)
ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ
Если прямая пересекает две стороны
треугольника и продолжение третьей, то
𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐶𝐾
∙
∙
=1
𝐷𝐵 𝐸𝐶 𝐾𝐴
ТЕОРЕМА ЧЕВЫ
Чевиана – это отрезок в треугольнике,
соединяющий вершину треугольника с
точкой на противоположной стороне
Если в треугольнике три чевианы
пересекаются в одной точке, то
𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐶𝐾
∙
∙
=1
𝐷𝐵 𝐸𝐶 𝐾𝐴
7
ОКРУЖНОСТЬ
ПЛОЩАДЬ КРУГА
𝑆 = 𝜋𝑅2
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
𝐶 = 2𝜋𝑅
ПРИЗНАК ОПИСАННОГО ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА
𝑎+𝑐 =𝑏+𝑑
СВОЙСТВО КАСАТЕЛЬНОЙ
Касательная к окружности
перпендикулярна радиусу,
проведённому в точку касания
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ
Вписанный угол равен половине
дуги, на которую он опирается
Центральный угол равен
градусной мере дуги, на которую
он опирается
ПРИЗНАК ВПИСАННОГО ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА
ПРИЗНАК ВПИСАННОГО ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА
∠𝐴 + ∠𝐶 = 180°
∠𝐵 + ∠𝐷 = 180°
Если два равных угла между стороной и
диагональю опираются на один отрезок, то
около четырёхугольника можно описать
окружность
СВОЙСТВО КАСАТЕЛЬНЫХ
КАСАТЕЛЬНАЯ И СЕКУЩАЯ
Отрезки касательных к
𝐴𝐷 2 = 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶
окружности, проведённые из
одной точки, равны, и составляют
равные углы с прямой,
проходящей через эту точку и
центр окружности
СВОЙСТВО СЕКУЩИХ
𝐴𝐷 ∙ 𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶
ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА
𝑆 = 𝑝𝑟
𝑝 − полупериметр
ВПИСАННЫЙ УГОЛ
СВОЙСТВО ХОРД
𝑎∙𝑏 =𝑐∙𝑑
КАСАТЕЛЬНАЯ И ХОРДА
𝛼=
⌣ 𝐴𝐵
2
СВОЙСТВО ХОРД
Хорды, стягивающие равные дуги, равны
СВОЙСТВО КАСАЮЩИХСЯ ОКРУЖНОСТЕЙ
ВНЕВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ
Линия центров двух касающихся
окружностей проходит через точку касания
Вневписанная окружность треугольника – это
окружность, касающаяся одной из сторон
треугольника и продолжений двух других его
сторон. У любого треугольника существует
три вневписанных окружности
