Формулы сокращенного умножения:
Деление с остатком:
a c ad cb
b d
b d
Квадрат суммы
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат разности
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Разность квадратов
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Куб суммы
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Куб разности
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Сумма кубов
a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2)
Разность кубов
a3 – b3 = (a – b)( a2 + ab + b2)
Формула
деления с остатком:
n=
mk + r,
где n – делимое, m делитель, k - частное, r –
остаток: 0 r < m
Вычитание
a c ad cb
b d
bd
Умножение
Делимость натуральных чисел:
арифметической прогрессией:
an+1 = an + d, где d – разность прогрессии.
Sn
Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа.
Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.
Число n называется простым, если его делителями являются
только единица и само число n.
Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}
Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет
общихделителей, кроме единицы.
an = ak + d(n – k)
an + am = ak + al, если
n+m=k+l
a1 an
n
2
Sn
2a1 d (n 1)
n
2
Десятичные числа:
Геометрическая прогрессия
Определение: Последовательность, у которой задан первый член b1 0, а
каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же
число q 0, называется геометрической прогрессией:
bn+1 = bn q, где q – знаменатель прогрессии.
bn = b1 qn – 1
bn2 = bn-1 bn+1
bn = bk qn – k
bn bm = bk bl,
если n + m = k
+l
Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
b (1 q n )
Sn 1
1 q
b
S 1
1 q
Степень
Определение
a n a a a... a , если n – натуральное число
a – основание степени, n - показатель степени
n
a1 a a m m a n
a0 1
1
a n n
a
Формулы
n
a a
an
m
a
a b a b
nm
n
n
n
n
an
a
b
b
a
Арифметический квадратный корень
Определение
a n m
m
n
Стандартный вид: 317,3 = 3,173 102 ;
0,00003173 = 3,173 10-5
Форма записи:
3173 = 3 1000 + 1 100 + 7 10 + 3
a a
a a
a
b
a b a b
2
b
k
b
k
b
abиbcac
abacbc
a b и с 0 ac bc
abисd acbd
a b и с 0 ac bc
не имеет корней
x
имеет один корень x1
имеет два корня
x1; x2
x2 + px + q = 0
Логарифм
Определение
Логарифмом числа по b основанию a называется такое число,
loga b
обозначаемое
.
a , что
a
b
a - основание логарифма (a > 0, a 1),
b - логарифмическое число ( b > 0)
lg b log10 b
f ( x) f ( x) f ( x) 0
Замена : y f ( x ) y ay
ln b loge b где e = 2,71828
Правило:
ab, cde( fg )
abcdefg abcde
99000
1%A = 0,01A
Основные типы задач на проценты:
Сколько процентов составляет число A от числа B?
S
v
t
b
log a log a b log a c
c
log a b n n log a b
t1
S
S
v1
1,25 v
Ответ:
S
v
t1
S
1 S
0,8
1,25 v
S
80 %t
1
log a b
log b a
f x dx F b F a
a
Первообразная элементарных функций
№ f(x)
F(x)
№ f(x)
F(x)
k
kx C
xn
x n1
C
n 1
1
ln x C
x
sin x cos x C
S
6
1
cos 2 x
7
1
2
sin x
8
ex
tgx C
ctgx C
ex C
Первообразная
k F x
F1 x F2 x
1
F ax b
a
Правила вычисления производной функции
(C )' 0
u
u v u v
v2
C u C u
v
Сложная функция:
№
Функ
ция
Произво
дная
1
xn
nx n 1
sin x
cos x
2
y f x y f' x'
3
4
1 S
S
80 %t
v1 1,25 v 1,25 v
v
Ответ:
уменьшится на 20%
Среднее арифметическое:
a1 a2 a3 ... an
n
log c a
Среднее геометрическое:
k
a1 a2 ... ak
Уравнение движения
1
tgx
cos2 x
ctgx
5
Функ
ция
Произво
дная
6
ex
ex
7
ax
a x ln a
8
1
sin2 x
9
1
x
ln x
loga x
1
x ln a
Равносильные уравнения:
Исходное
уравнение
Равносильное
уравнение (система)
f ( x) g ( x)
f ( x) C g ( x) C
f ( x) g ( x) 0
f ( x) 0
g ( x) 0
f ( x)
0
g ( x)
f ( x) 0
g ( x) 0
f 2 ( x) g 2 ( x) 0
f ( x) 0
g ( x) 0
v
0,8
№
cos x sin x
Числовые множества:
уменьшится на 20%
Среднее арифметическое, геометрическое
Дроби
Сложение
A
x 100%
B
B
100%
A
x%
Сложные проценты.
Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на
25%.
Как, в итоге, изменилось исходное число?
1)
A1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A
2)
A2 = (100% - 25%)A1=75%A1 = 0,75A1 = 0,751,2A = 0,9A =
90%A
3)
A1 – A = 90%A – 100%A = -10%A
Ответ:
уменьшилось на 10%. Изменение величины.
Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?
log a b c log a b log a c
log c b
1
log a m b log a b log a b
log c a
m
Определенный интеграл
k
Проценты
Определение:
Процентом называется сотая часть от числа.
log a 1 0 log a a 1
b
2
Периодическая дробь
t
v – скорость, a - ускорение.
Производные элементарных функций
Теорема Виета
Приведенное квадратное уравнение:
x1 + x2 = - p
x1 x2 = q
x1+x2 = -b/a
x1 x2 = c/a
at vt ,
……7
5
……0
b
c ) f ( x ) k ( k 0) x
Признаки делимости чисел:
D = b2 – 4ac
u v u v u v
2. f ( x) f ( x) f ( x) 0
3173 31
990
b) f ( x ) 0 f ( x ) 0
3,1737373... 3,1(73)
то
уравнение
b a
На 10
Числа, оканчивающиеся нулём.
u v' u'v'
Модуль: уравнения и неравенства
ax2 + bx + c = 0
a
Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 25.
f ax b
abba
Квадратное уравнение:
log cb
Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5.
На 25
f 1 x f 2 x
5. f ( x) k f 2 ( x) k 2 f ( x) k f ( x) k 0
loga b
Числа, сумма цифр которых делится на 9.
На 5
k f x
2
2
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 0
Формулы
Числа, сумма цифр которых делится на 3.
На 9
Функция
4.
k
Натуральный логарифм:
На 3
Определение:
Функция F(x) называется
первообразной для функции f(x), если F x f x .
1
k m k m k
a ak
a a
Десятичный логарифм:
Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 8.
…….6
……1
2
…..10
4
57061
2
35945
1
…….5
cos x sin x C
ax
C
9
ax
5
ln a
Правила вычисления первообразной функции
2
2
f ( x ) af ( x ) k f ( x ) a f ( x ) k
log b
На 8
где
4
3.
D<0
D=0
D>0
Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 4.
Тогда: v t S t ;
3
k a k a k ak a k a b k a k b a a
Если
На 4
2
x, если x 0
x
x, если x 0
Пример
Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой
Определение
-x=x
x y = x y
x x
x : y =x : y
x + y x + y
2
x = x2
Неравенства
Определения:
Неравенством называется выражение вида:
a < b (a b),
a > b (a b)
a b
a b
a b
Основные свойства:
a
Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень
которого равна a.
Дискриминант:
Признак
На 2
1
Модуль
Формулы
x 0
x - y x - y
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - ( a ) 1.
a ) f ( x ) k ( k 0) f ( x ) k
- называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.
2
где S – путь, t – время движения.
a c ac
b d b d
Пример:
Любое число можно
Деление
представить в виде:
a c a d a d
n = 2k + r, где r = {0; 1}
:
или n = 4k + r, где r = {0; 1;
b d b c bc
Составная дробь
Арифметическая прогрессия
a mb a 2; 3}
m
Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый следующий
b
b
равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется
an = a1 + d(n – 1)
2an = an-1 + an+1
Пусть S (t ) - уравнение движения материальной точки,
Натуральные числа
N = { 1; 2; 3; 4; . .}
Целые числа
Z=N
Рациональные числа
Действительные числа
Q=Z
R=Q
{ 0; -1; -2; -3; …}
1 1 1 1
; ; ; ; . . .
2 2 3 3
2; 3; и т.д.; 3,14..; .
Тригонометрические уравнения
Тригонометрия
Косинус:
Основные триг. формулы
cos x 0 x
sin 2 cos 2 1
sin
cos
cos
sin
tg
1 tg 2
ctg
1
cos 2
sin sin 2 sin
cos
2
Уравнения с синусом
sin x 1 x
2
sin
2
2
cos cos 2 cos
cos
2
2
cos cos 2 sin
sin
2
2
sin
cos cos
tg tg
sin
cos cos
Если 0 < x 1, то
Если x > 0 , то
arccos(-x) = arctg(-x) = - arctgx
arccosx
arcctg(-x) = - arcctgx
arcsin(-x) = - arcsinx
Обратные триг функции
Свойства
Функция
Область
Множество
определения
значений
1; 1
arccosx
[0; ]
cos cos cos sin sin
tg tg
tg tg
tg
tg
1 tgtg
1 tgtg
Формулы произведения функций
1
cos cos
2
1
cos cos cos cos
2
1
sin cos sin sin
2
sin sin
2
Формулы половинного аргумента
1 cos
2
cos 2
2
sin
1 cos
1 cos
tg
2 1 cos
sin
2
Формулы двойного аргумента
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos 2 sin 2 2 cos 2 1 1 2 sin 2
tg 2
2tg
1 tg 2
Формула дополнительного угла
где
a sin b cos a 2 b 2 sin
b
sin
cos
a
a2 b2
Определение тригонометрических функций
a2 b2
900
1800
1
0 cos
900
1
cos
1800
0
10
sin
0
00
sin
- 270
1
2700
0
tg
900
1
1
0
1800
1800
tg
2700
1
tg
ctg
0
1 ctg
00
sin
2700
cos
ctg
Универсальная подстановка
2tg
sin 2
1 tg 2
cos 2
1 tg 2
1 tg 2
Свойства тригонометрических функций
Свойства
Функ
ция
Область
определения
cosx
x ;
sinx
x ;
tgx
ctgx
x n, n Z
2
Множес
тво
значени
й
1; 1
1; 1
;
x n, n Z ;
ctgx a
x arcctga n, n Z
Формулы обратных триг функций
arctgxarcctgx
arcsin x arccos x
2
2
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
2
2
2n
tgx a
x arctga n, n Z
Формулы суммы аргументов:
sin sin cos cos sin
sin 2
Общая формула:
n
sin x a x 1 arcsin a n, n Z
Уравнения с тангенсом и котангенсом
sin sin 2 cos
tg tg
cos x 1 x 2n
cos x a x arccos a 2n, n Z
Формулы суммы функций
n
tg ctg 1 Частные формулы:
sin x 0 x n sin x 1 x 2n
1
sin 2
1 ctg 2
2
cos x 1 x 2n
sin 2 1 cos 2
cos 2 1 sin 2
Четностьнечетность
Период
cos(-x)= cosx
sin(-x)= -sinx
tg(-x)= -tgx
ctg(-x)= -ctgx
cos
sin
arcsinx
1; 1
[-/2; /2]
arctgx
;
(-/2; /2)
arcctgx
;
(0; )
Геометрия
Конус
Теорема косинусов, синусов
B
Теорема косинусов:
c
A
H
c 2 a 2 b 2 2abcos
b
куб
Sбок.= R(R+L)
a
b
c
2R
sin sin sin
C
вписанные углы
Sбок R L
Теорема синусов:
a
Центральный, вписанный угол
1
V R2H
3
V a3
R
Усеченный конус
Площадь треугольника
S p p a p b p c
1
S aha
2
R
1
b
c
центральный
угол
1
V H ( R12 R1 R2 R22 )
3
Sбок ( R1 R2 ) L
H
ha
Сектор
b
R
a
2
a
Вписанная окружность
abc
b
S
p
r
S
4R
c
d
Средняя линия
B
O
Средняя линия – отрезок,
с
соединяющий середины двух
a
с
сторон треугольника.
c
a
Центр окружности, вписанной в треугольник,
Средняя
линия
параллельна
nb
лежит на пересечении биссектрис треугольника.
т
третьей стороне и равна
Если окружность вписана в произвольный
е
её половине:
C
1
A
четырехугольник, тогда попарные суммы
b
nb b
противолежащих сторон равны между собой:
2
a+b=c+d
Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь
Описанная окружность
которого равна одной четверти от исходного
Касательная, секущая
Равносторонний треугольник
треугольник, у которого все стороны равны.
O
Все углы равны 600.
O
O
O
Каждая из высот является одновременно
биссектрисой и медианой.
Центр окружности, описанной около треугольника,
Центры описанной и вписанной окружностей
лежит на пересечении серединных перпендикуляров к
совпадают.
его трем сторонам.
Радиусы окружностей:
a 3
a 3
Центр окружности, описанной около прямоугольного
r
; R
6
3
треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Около трапеции можно описать окружность только
Площадь
a2 3
a
1
S a b sin
2
S
4
Равнобедренный треугольник
треугольник, у которого две стороны равны.
1.Углы, при основании треугольника, равны
2.Высота, проведенная из вершины, является
биссектрисой и медиан
b
б
b
тогда, когда трапеция равнобочная.
Если окружность описана около произвольного
четырехугольника, тогда попарные суммы
противолежащих углов равны между собой:
A
O
Сектор – часть круга,
ограниченная двумя
его радиусами.
Длина дуги сектора:
R
l
180 0
Площадь сектора:
B
S
R 2
360 0
Касательная, секущая
B
N
M
A
P
K
O
C
Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну
общую точку.
Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие
точки.
AB OB AC OC
AB AC
AM AN AP AK AB
2
Призма
V Sосн H
Длина окружности, площадь
радиус
a
bc
b
R
Прямоугольный треугольник
h
Теорема Пифагора: c 2 a 2 b 2
Тригонометрические соотношения:
Площадь:
S
1
a b
2
l d 2 R
Площадь круга:
S R 2
Хорда
Центр описанной окружности лежит на середине
гипотенузы.
Радиусы окружностей: r a b c ; R c
2
2
Высота, опущенная на гипотенузу:
Катеты:
a c bc
ab
;
c
a
b
2
S бок 2 RH
V R 2 H
Медиана
B
C
B
c
M
A
bc
a ac c ; b bc c
Неравенство треугольника:
a + b > c; a + c > b; b + c > a
Сумма углов:
Против большей стороны лежит больший угол, и обратно,
против большего угла лежит большая сторона.
Против равных сторон лежат равные углы, и обратно,
против равных углов лежат равные стороны.
D
Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.
Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен
хорде.
В окружности равные хорды равноудалены от центра
окружности.
Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством:
4
V R3
3
ac
b
c
A
Шар
S
бок
4 R 2
c w
делящий угол пополам.
Биссектриса делит противолежащую сторону на части ,
пропорциональные прилежащим сторонам: ab : ac = b : c
Биссектриса делит площадь треугольника,
пропорционально прилежащим сторонам.
w bc a a
a
Шаровой сектор
H
R
2
V R 2 H Sбок R 2RH H 2
3
Шаровой сегмент
S 2 RH
1
V 2 H (3R H )
3
H
R
b
C
Медиана – отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой противоположной стороны.
Медианы треугольника точкой их пересечения
делятся в отношении 2:1 (считая от вершины
треугольника).
Медиана делит треугольник на два треугольника с
равными площадями.
ma
AM MB CM MD
B Биссектриса
a
ab
C
A
b
Биссектриса – отрезок,
выходящий из вершины треугольника и
m
a
ac
Основные соотношения в треугольнике
Длина окружности:
a
b
b
cos ; sin ; tg
c
c
a
h
Цилиндр
прямая
призма
хорда
дуга
a
диаметр
Od
ac – проекция катета
a
1
2
2b 2 2c 2 a 2
a 2mb2 mc2 ma2
2
3
Правильная пирамида
и
м
Правильная пирамида
пирамида, у которой в основании
правильный многоугольник, а вершина с
проецируется в центр основания.
М
м
м
Все боковые рёбра равны между м
собой и все боковые грани – равные
равнобедренные треугольники.
1
1
V S
H; S
P h,
бок 2
3 осн
Усеченная пирамида
1
Sбок ( P1 P2 ) H
2
1
V ( S1 S 2 S1 S 2 )
3
Скалярное произведение
Выпуклый четырёхугольник
Скалярное произведение
d1
a b a b cos
a b x a xb y a y b z a z b
d2
Произвольный выпуклый четырёхугольник:
Сумма всех углов равна 3600.
a
1
S d1 d 2 sin
2
Правильный многоугольник
Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого
все стороны и углы равны между собой.
Около всякого правильного многоугольника можно описать
окружность и в него вписать окружность, причём центры этих
окружностей совпадают.
b
Сумма, разность векторов
a ( x a ; y a ; z a ) и b( x b ; y b ; z a )
a b ( x a xb ; y a y b ; z a z b )
a b ( x a xb ; y a y b ; z a z b )
a
a
Сторона правильного n–угольника:
1
1
360 0
S n Pn r; S n R 2 nsin
2
2
n
ab
180 0
n
R
O
r
Произвольный выпуклый многоугольник
Произвольный выпуклый многоугольник:
Сумма всех углов равна n 2 или 180 0 n 2
Трапеция
Углы на плоскости
a
n
h
Трапеция: b
Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а
другие не параллельны, называется трапецией.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и
внутренние
односторонние
равна:
вертик
альны
е
Перпендикулярность,
коллинеарность
Перпендикулярные вектора:
1
nn 3
2
Число диагоналей:
смежные углы
an 2 R sin
Площадь правильного n–угольника:
b
a b
b
Площадь:
n
a b Площадь:
a b
S
h nh
2
2
Квадрат
Квадрат:
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется
квадратом.
Диагональ квадрата d a 2
Площадь:
a b ab 0
Коллинеарные вектора:
1
S a 2 d 2
2 a
x
y
z
a b a a a
xb y b z b
a b ab
d
a
Ромб
Ромб:
Параллелограмм, все стороны которого равны
Координаты вектора: a( x ; y ; z ) a x i y j z k
называется ромбом.
a
a
a
a
a
a
Диагональ ромба является его осью симметрии.
Диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали
Длина вектора:
являются биссектрисами углов.
2
2
2
a xa y a z a
Площадь:
1
S d1d 2
2
Умножение вектора на число:
Параллелограмм
a ( xa ; y a ; z a )
Координаты вектора
Параллелограмм:
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны
попарно параллельные называется параллелограммом.
Середина диагонали является центром симметрии.
Противоположные стороны и углы равны.
Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных
треугольника.
Диагонали делятся точкой пересечения пополам:
Свойства прямых и плоскостей
S
B
B
A
C
M
A
’
O
B
’
d12 d 22 2(a 2 b 2 )
A
D
(SO) – перпендикуляр к плоскости (ABCD). O – проекция точки S.
SO – расстояние от точки S до плоскости (ABCD).
Площадь:
S a ha a b sin
– двугранный угол между плоскостями (SAB) и (ABCD).
Теорема о трёх перпендикулярах:
B
AB SM AB OM
C
Значения
Функция
cosx
0
1
0
300
3
2
450
2
2
600
1
2
900
0
A
sinx
0
1
2
2
2
3
2
1
tgx
0
3
3
1
3
-
ctgx
-
3
1
3
3
0
d2
ha
b
1
d 1 d 2 sin
2
d1
a
D
Прямоугольный параллелепипед
V=abc d2=a2+b2+c2
