Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Балаковский инженерно-технологический институт – филиал НИЯУ МИФИ МАТЕМАТИКА Методические указания к выполнению контрольной работы 2 для студентов направлений ХМТН, ТПЭН, ИФСТ заочной формы обучения Одобрено редакционно-издательским советом Балаковского инженерно-технологического института Балаково 2019 Введение Изучение математики для инженерно-технических направлений и специальностей ставит следующие цели: ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических инженерно-технических задач; привить навыки самостоятельного изучения учебной литературы по математике; развить логическое мышление и исследования прикладных выработать вопросов, а навыки также математического научить составлять математические модели инженерных задач. Методические указания направлены на развитие общих компетенций студентов и способствуют дальнейшему формированию профессиональных компетенций. Методические указания к выполнению, оформлению и сдаче контрольной работы При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил: 1. Студент должен выполнить контрольную работу по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки или студенческого билета. 2. Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. 3. На титульном листе разборчиво пишутся фамилия и инициалы студента, учебный номер (шифр), название дисциплины, номер контрольной работы, название учебного заведения. 4. В работу включаются все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту. Контрольные работы, содержащие лишь часть задания, а также задачи не своего варианта, не засчитываются и возвращаются студенту. 2 5. Решения задач надо располагать в порядке возрастания номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. 6. Перед решением каждой задачи следует полностью записать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными соответствующего номера. 7. Решения задач излагать подробно и записывать аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи. 8. После получения проверенной работы (как незачтенной, так и зачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и недочеты. 9. Рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех исправлений и дополнений в соответствии с указаниями преподавателя. Содержание контрольной работы 2 и примеры выполнения задач Темы контрольной работы 2 1. Неопределенные интегралы. 2. Определенные интегралы. 3. Функции многих переменных. 4. Дифференциальные уравнения. Основные теоретические сведения контрольной работы 2 1. Неопределенным интегралом функции f(x) называется выражение вида f ( x)dx F ( x) c , если F ( x) f ( x) . Функция F(x) называется первообразной для f(x). Основные свойства интегралов: (k – константа) 1. k f (x)dx k f (x)dx , 3 (1) 2. f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx , 3. dF( x) F ( x) C , 4. f ( x)dx f ( x) , d f ( x)dx f ( x)dx , 5. Если f (x)dx F (x) C , то f (x b)dx F (x b) C , 1 6. Если f (x)dx F (x) C , то f (ax)dx F (ax) C , a 1 7. Если f (x)dx F (x) C , то f (axb)dx F (axb) C . a Таблица интегралов: n x dx xn1 c, n 1 , (n 1) dx x c , dx x ln x c , ax a dx ln a c , x x e dxe c , sin xdx cos x c , cos xdx sin x c , dx ctgx c , 2 sin x shxdx chx c , chxdx shx c , dx cthx c , 2 sh x dx 1 x 2 2 a arctg a c , a x dx x arcsin c , a a x 2 2 x dx tgx c , 2 cos x dx thx c , 2 ch x dx x a 2 2 ln x x2 a2 c , dx 1 xa 2 2 2a ln x a c . x a При интегрировании наиболее часто используются следующие методы: а) Формула интегрирования по частям: 4 udv uv vdu . (3) Выражение dv выбирается так, чтобы его интегрирование не вызывало затруднений. За u принимается функция, дифференцирование которой приводит к ее упрощению. б) Интегрирование методом замены переменной производится по формуле: f ( ( х))( х)dх замена: t ( x), f (t)dt F (t) C F ( ( x)) C . тогда dt (t )dt (4) В результате замены должен получиться табличный интеграл или легко сводящийся к табличному. 2. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид: b b f ( x)dx F ( x) a F (b) F (a) , (5) a где F ( x) f ( x) и первообразная F (x) непрерывна на отрезке a,b. Геометрический смысл y определенного интеграла: y=f(х) Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми O х=а, х=в, у=0 и частью графика функции у=f(x), a b Рис.1. Геометрический смысл определенного интеграла f ( x) 0 если x (рис.1). 3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (I рода) определяются следующим образом: b а b a b b a a f ( x)dx lim f ( x)dx , f ( x)dx lim f ( x)dx , 5 (6) b b a a f ( x)dx lim f ( x)dx . Несобственные интегралы от неограниченных функций (II рода) определяются следующим образом: b b а 0 a f ( x)dx lim f ( x)dx , (7) если функция y f (x) имеет разрыв II рода в точке x b ; b b f ( x)dx lim f ( x)dx , а 0 a (8) если функция y f (x) имеет разрыв II рода в точке x a ; b c , f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx lim 0 a а c b (9) если функция y f (x) имеет разрыв II рода во внутренней точке с a, b . Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенств. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся. 4. Частной производной первого порядка функции двух переменных z=f(x,y) по аргументу x называется предел f f ( x x, y ) f ( x, y ) lim x . x x0 x0 x lim (10) z Обозначение zx , . x Отыскание частной производной z x сводится к дифференцированию функции одной переменной, полученной при фиксировании аргумента y. Частной производной первого порядка функции двух переменных z=f(x,y) по аргументу у называется предел 6 f f ( x, y y) f ( x, y) lim y . y y 0 y 0 y lim (11) z Обозначение zy , . y Отыскание частной производной z сводится к дифференцированию y функции одной переменной, полученной при фиксировании аргумента х. 5. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида: F ( x, y, y ) 0 (12) Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, C ) , которая при любом значении произвольной постоянной С является решением данного уравнения. Решения, получающиеся из общего решения y ( x, C ) при определенном значении произвольной постоянной С, называют частными. Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям у=у0 при х=х0 (другая запись: y x x y0 ), называется задачей 0 Коши. 6. Уравнение вида y А( x) y B( x) (13) называется линейным дифференциальным уравнением. Линейное дифференциальное уравнение можно интегрировать методом Бернулли с помощью замены y UV , где U, V – две неизвестные функции от х. 7. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами имеет вид a0 y a1 y a2 y f ( x) , 7 (14) где a0 , a1 , a2 – числа, причем a0 0 . Если f ( x) 0 , то уравнение называется однородным, если f ( x) 0 – неоднородным. Квадратное уравнение a0 k 2 a1k a2 0 называется характеристическим уравнением (15) однородного дифференциального уравнения a0 y a1 y a2 y 0 . Как известно, D a1 4a0 a2 – дискриминант квадратного уравнения. 2 Возможны следующие случаи: а) Если D>0, то общим решением уравнения a0 y a1 y a2 y 0 является функция k x k x y С1e 1 C2 e 2 , (16) где k1 , k 2 – корни характеристического уравнения. б) Если D=0, то общим решением является функция y С1e kx хC 2 e kx , (17) где k – корень характеристического уравнения. в) Если D<0, то общим решением является функция y ex (С1 cos x C2 sin x) , где (18) k1 i , k 2 i – комплексные корни характеристического уравнения. 8. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами основывается на следующей теореме: Если y - некоторое частное решение неоднородного уравнения a0 y a1 y a2 y f ( x) и Y – общее решение соответствующего однородного уравнения 8 a0 y a1 y a2 y 0 , то общее решение неоднородного уравнения имеет вид y y Y . Укажем правило нахождения (19) частного решения неоднородного уравнения по виду правой части f(x): x а) Если f ( x) Pn ( x) e , то частное решение находят в виде y x r Qn ( x) ex , (20) где r – число, равное кратности , как корня характеристического уравнения a0 k a1k a2 0 ; Qn ( x) A0 A1 x ... An x 2 n – многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами A0 , A1 ,..., An . x б) Если f ( x) e ( Pn ( x)соsx Qm ( x) sin x) , где Pn (x) , Qm (x) – многочлены степени n и m соответственно, и – действительные числа, то частное решение находят в виде y x r ex ( М l ( x) cos x N l ( x) sin x), (21) где r – число, равное кратности i , как корня характеристического уравнения a0 k a1k a2 0 ; M l (x) , 2 N l (x) – многочлены степени l=max(n,m) с неопределенными коэффициентами. Примеры выполнения задач контрольной работы Пример 1. Найти (7 x 3) 3 dx. Р е ш е н и е. Применяем метод непосредственного интегрирования – первую формулу таблицы интегралов и седьмое свойство интегралов. Получаем: 3 5 1 2 2 (7 x 3)3 dx (7 х 3) 2 dx (7 x 3) 2 C (7 x 3)5 C. 75 35 Проверка проводится дифференцированием: 9 2 5 2 5 ( 7 x 3 ) C (7 x 3) 3 7 (7 x 3) 3 . 35 35 2 Пример 2. Найти ln x dx . x Р е ш е н и е. Применяем метод замены переменных 3 t ln x ln x dx t2 2 t dt C ln 3 x C. dx 3 x 3 dt x 2 Пример 3. Найти arctgxdx. Р е ш е н и е. Применим метод интегрирования по частям. Положим u=arctgx, dv=dx, тогда du dx 1 x2 , v=x. Используя формулу (3), имеем arctgxdx xarctgx Пример 4. Найти xdx 1 d (1 x ) 1 xarctgx xarctgx ln(1 x2 ) C. 2 2 2 2 1 x 1 x 2 2 x2 5 x 8 dx. ( x2 2)( x 1) Р е ш е н и е. Подынтегральная рациональная дробь является правильной и она разлагается на элементарные дроби: 2 x2 5 x 8 Mx N A . ( x2 2)( x 1) x2 2 x 1 Освобождаясь от знаменателей в обеих частях этого равенства приравнивая числители, получаем тождество для и вычисления неопределенных коэффициентов M, N и A: 2х2-5х+8=Мх(х+1)+N(х+1)+Ах2+2А. Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными. Одно уравнение получим, полагая х=-1 (корень знаменателя подынтегральной функции). Два других получим, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества, например, при х2 и при х0: 10 х=-1: 15=А+2А, х2 : 2=М+А, х0 : 8=N+2А. Решение этой системы: А=5, М=-3, N=-2. Таким образом, получаем 3x 2 5 2 x2 5 x 8 xdx dx dx dx 2 dx 3 2 2 2 5 x 1 2 x 1 ( x 2)( x 1) x 2 x 2 x 2 3 x ln( x2 2) 2arctg 5 ln x 1 C . 2 2 Пример 5. Вычислить несобственный интеграл или показать его dx ; x 2 расходимость: 1) 2 dx . x 1 1 2) Р е ш е н и е. 1. Первый интеграл является несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования. Согласно определению, имеем: dx b 1 1 1 1 1 1 lim lim lim . 2 blim 2 2 x b x b b 2 b b 2 2 2 x 2 b dx Следовательно, данный интеграл сходится. 2. Второй интеграл является неограниченной функции f ( x) несобственным интегралом от 1 , которая терпит бесконечный разрыв x 1 в нижнем пределе при х= 1. Согласно определению, получаем: 2 dx ln x 1 lim ln 1ln lim ln , x 1 0 x 1 lim 0 0 0 1 1 1 2 dx 2 lim т.е. этот несобственный интеграл расходится. Пример 6. Найти общее решение уравнения xy y x cosx и частное 2 решение, удовлетворяющее начальному условию y 2 0 . Р е ш е н и е. Уравнение является линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) первого порядка. Решим его методом Бернулли. 11 Сначала делаем замену y UV , y U V V U . Подставляем в уравнение, предварительно разделив левую и правую части на х: U V V U UV 1 x cos x . x Группируем 2-е и 3-е слагаемые: 1 U V V U UV x cos x , x выносим общий множитель: 1 U V U V V x cos x . x Получаем систему уравнений: 1 V V 0 . x U V x cos x Находим функцию V, решая уравнение V V 1 0: x dV 1 dV dx dV dx V 0 , 0, 0 , ln V ln x ln c , dx x V V x x ln V ln x ln c , V cx , V c1 x . Из всего семейства функций выбираем V x (при c1 1). Находим функцию U, решая уравнение U V x cos x : U х x cos x , U cos x , dU cos x , dU cos x dx , dU cos x dx , dx U sin x c . Итак, получили общее решение ЛДУ: y (sin x c) x . Для нахождения частного решения подставляем значения x общее решение: 12 2 , y0 в 0 (sin 2 C1 ) 2 C1 1 0 C1 1 . Значит, y (sin x 1) x – частное решение неоднородного уравнения. Пример 7. Найти общее решение уравнения y3 y10 y xe 2 x и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (0) 1 12 , y (0) 1 8 . Р е ш е н и е. Рассмотрим однородное уравнение y 3 y 10 y 0 . Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид k 2 3k 10 0 , откуда k1 5 , k1 2 . Следовательно, уоо C1e 5 x C2 e 2 x – общее решение однородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде yчн ( Ax B)e 2 x . Ae 2 x 2( Ax B)e 2 x (2 Ax A 2 B)e 2 x ; yчн Имеем 2 Ae 2 x 2(2 Ax A 2 B)e 2 x (4 Ax 4 A 4 B)e 2 x . yчн Подставим эти выражения в уравнение: (4 Ax 4 A 4 B)e 2 x 3(2 Ax A 2 B)e 2 x 10( Ax B)e 2 x xe 2 x . Так как e 2 x 0 , то 4 Ax 4 A 4B 6 Ax 3 A 6B 10 Aх 10 B x , 12 Ax A 12 B x , 12 A 1 A 1 12 , A 12 B 0 B 1 12 A 1 144 . Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид: yчн (1 12 x 1 144 )e 2 x 1 144 (1 12 x)e 2 x , а общее решение неоднородного уравнения имеет вид: 13 yон C1e 5 x C2 e 2 x 1 144 (1 12 x)e 2 x . Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным y (0) 1 12 . условиям: Следовательно, С1 С2 1 144 1 12 С1 С2 11 144 , 5C1e 5 x 2C2 e 2 x 1 144 12e 2 x (1 12 x)(2)e 2 x yчн 5C1e 5 x 2C2 e 2 x 1 144 e 2 x (24 x 14) , y (0) 1 8 5C1 2C2 1 144 (14) 1 8 5C1 2C2 1 144 . Решив систему С1 С 2 11 144 , 5 C 2 C 1 144 1 2 получаем C1 17 13 . , C2 836 504 Итак, частное решение имеет вид: y 13 5 x 17 2 x 1 e e (1 12 x)e 2 x . 504 836 144 Пример 8. Найти частные производные u u u u функции , , x y z x z 4y2z . y x Р е ш е н и е. Считая функцию u функцией только одной переменной х, а переменные у и z рассматривая как постоянные, находим u 1 z . x y x 2 Аналогично, считая u функцией только у, а затем – только z, получаем u 1 4y2 . z x u x 2 8 yz , y y 14 Задания к контрольной работе 2 I. Найти частные производные первого порядка. 1. z=cos(х3y)+х2+y; 2. z=arcsin(4хy)+х2y; 3. z=tg(3х3-2)+8y; 4. z=3xy-4y; 5. z=5х3+2yх2+e2xy; 6. z=cos(х3-6)+9у-4; 7. z=ln(3хy5)-yх2-25; 8. z=ctg(х+4y2)-4хy-8; 9. z=arctg(х-y)+хy-8; 10. z=e2x-y sin(3y). II. Найти неопределенные и определенные интегралы. xdx 11. а) 7 x 2 x 18dx ; в) 3 x cos xdx; x 4dx ; в) x ln 1 3x dx; x 23dx ; в) xe б) x 12dx ; в) arctg 4xdx; б) x 19dx ; 3 в) x ln xdx; б) ; x 2 4 x 12 4 sin x cosx 3 dx ; (cos x sin x ) 0 г) dx ; 2 x sin 5 12. а) б) x 2 2x 8 x3 1 dx ; г) 4 2 0 ( x 4 x 2) 1 13. а) dx 5 x 2 б) ; x x 20 2 7 x dx; 2tgx dx ; 2 0 cos x 4 г) dx ; 5x 3 14. а) x2 x 6 1 ln 3 x dx ; г) x 1 e 15. а) sin 2 3x dx; 2 2 x 0 1 x4 г) x 2 x 15 2 dx ; 15 16. а) e x 2 4 б) dx; 5 x 6dx ; в) x sin 5 xdx; x 2 4 x 12 2 sin x x cos x г) ( x sin x) 3 dx ; 4 17. а) dx ; 7 4x 2 б) 5 x 7 dx ; в) (2 x 5) sin xdx; x 2 x 20 2arctgx x dx ; 1 x2 0 1 г) 18. а) dx ; cos 2 2 x 1 2 2 arcsin x x г) 1 x 0 2 5 xdx ; x x6 в) б) 5 x 2dx ; x в) arcsin dx; 3 1 2 dx ; 19. а) cos 4 dx; x 3 ln xdx ; x б) x 2x 8 2 x г) xe dx ; 0 20. а) dx 3 ( 2х 1 )2 e б) ; 5х 1 x 2 2x 15 3x в) xe dx ; dx; 2 г) ln xdx . 1 III. Вычислить несобственный интеграл или показать его расходимость. 1 21. 0 dx 1 x 2 , dx 24. 4 , x 2 14 27. dx 0 4x 2 1 0 25. x 1 3 1 dx 2 0 9x 1 e 2 26. , 0 dx (3 x 2)d 28. 3 , x 0 29. e 16 3 , x ln x 0 8 , dx 23. dx , 0 22. e 5 x x 2 xdx , , 4 30. 5 dx 3 x 54 . Найти IV. частные решения дифференциальных удовлетворяющие начальным условиям. 31. 1) ysin x y cos x 1 y0 0 , 2) y 5 y 6 y 2 cos x 32. 1) y y sin x e cos x sin 2 x 2 2) y 2 y 5 y x 1 33. 1) y x0 2 ; y(0) 3 , y (0) 1 2 ; y0 3 , x0 2 ; y(0) 3 , y (0) 1 5 ; 2y x2 x y0 1 , x0 3 ; y(0) 3 , y (0) 4 3 ; y0 2 , x0 0 ; 2) y 2 y 10 y sin 2 x y (0) 0 , y (0) 3 4 ; 35. 1) (1 x ) y 2 xy (1 x ) y0 5 , x0 2 ; y(0) 3 , y (0) 9 ; y0 1 , x0 ; y(0) 1 4 , y (0) 0 ; y0 0 , x0 e ; y (0) 1, y (0) 1 ; y0 4 , x0 0 ; y (0) 1, y (0) 3 ; 39. 1) y cos x 2 y sin x 2 y0 3 , x0 0 ; 2) y 9 y 36e y (0) 0 , y (0) 0 ; 2 2) y 4 y 4 y x 3x 34. 1) y y ex 1 x2 2 2 2 2) y 4 y 3 y e 5x 36. 1) xy 2 y x cos x 3 2) y 4 y sin 2 x 1 3 2 37. 1) y x ln x y 3x ln x 2) y y e x 38. 1) y 2 xy xe x2 2 2) y 6 y 9 y 9 x 12 x 2 3x 17 уравнений, 3y x 3e x x y0 e , x0 1 ; 2) y 2 y 8 y 3 sin x y(0) 1 , y (0) 3 2 . 40. 1) y Таблица вариантов Вариант Контрольная работа 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Литература Основная 1. Демидович, Б.П. Дифференциальные уравнения: учеб.пособие / Б.П. Демидович, В.П. Моденов. – Санкт-Петербург: Лань, 2019. – 280 с. 2. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х тт. Том 2: учебник / Г.М. Фихтенгольц. – СанктПетербург: Лань, 2019. – 800 с. 3. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие / Г.Н. Берман. – Санкт-Петербург: Лань, 2019. – 492 с. Дополнительная 18 4. Данко, Д. П. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб.пособие для вузов / Д. П. Данко, Данко П. Е. [и др.]. – 7-е изд., испр . – Москва: М.: АСТ: Мир и Образование, 2014. – 816 с. 5. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. – 11 изд. – Москва: Айрис-пресс, 2013. – 608 с. 6. Запорожец, Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: Учебное пособие. – 6-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2014. – 464 с. Содержание Введение…………………………………………………………………..……2 Методические указания к выполнению, оформлению и сдаче контрольной работы….……………………………………………………………………......2 Содержание контрольной работы и примеры выполнения задач……..……3 Задания к контрольной работе...……………………………………………..14 Таблица вариантов……………………………………………………………18 Литература ………………………………………..…....……………………..18 Содержание……………………………………………………………………19 19