Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования
«Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»
Физико-технологический институт
Кафедра РМиН
ОТЧЁТ
о лабораторной работе №1
«Модель идеального вытеснения:
Химическая реакция в потоке для изотермического процесса в стационарных
условиях при отсутствии теплообмена и массообмена с окружающей
средой».
Преподаватель
В.В. Карпов
Студент
Д.С. Петров
гр. Фт-490101
Екатеринбург
2023 г.
Оглавление
Реферат ..................................................................................................................... 3
Введение ................................................................................................................... 7
Основная часть ........................................................................................................ 8
Вывод ...................................................................................................................... 17
Список используемой литературы....................................................................... 18
2
Реферат
Функциональный
оператор
(ф)
–
математическая
модель,
отображающая функциональное пространство входных переменных X ,U и
пространство переменных состояния самой ФХС в пространство выходных
переменных {ŷ}. Функциональный оператор – есть ничто иное, как
математическая модель химико-технологического процесса. Математическая
модель является идеализацией отображения и отражает степень наших знаний
о реальном процессе. Следует помнить, что Y yˆ .
Функциональный оператор для блока «холодного объекта» модели
идеального смешения запишем следующим образом:
𝑉
𝑑𝐶𝑖
𝑑𝑡
= 𝐺(𝐶0𝑖 − 𝐶𝑖 )
(1)
Где:
𝑉–
объем зоны идеального смешения;
𝐶0𝑖 – концентрация i-компонента на входе в зону ИС;
𝐶𝑖 – концентрация i-компонента на выходе из зоны ИС;
𝑡–
время;
𝐺–
объемная скорость потока.
Кроме
блока
«холодный
объект»
системный
подход
подразумевает наличие следующих блоков в модели: блок термокинетики,
блок диффузионной кинетики и блок химической кинетики.
Блок термокинетики учитывает, как перенос тепла (энергии)
движущимся гидродинамическим потоком, так и теплообмен с окружающей
средой, и выделение (поглощение) тепла за счет протекания химической
реакции.
Функциональный оператор, описывающий перенос энергии
движущимся потоком жидкости, записывается в виде уравнения (2).
3
𝐶𝑝 𝑉
𝑑𝑇𝑖
𝑑𝑡
= 𝐶𝑝 𝐺(𝑇0𝑖 − 𝑇𝑖 )
(2)
Где:
𝐶𝑝 – объемная теплоемкость потока;
𝑇0𝑖 – температура потока на входе в зону ИС;
𝑇𝑖 - температура потока на выходе из зоны ИС.
Функциональный
оператор,
описывающий
теплообмен
(𝑄𝑇 )
с
окружающей средой, записывается уравнением (3).
𝑄𝑇 = 𝐹𝑇 𝐾𝑇 (𝑇 ∗ − 𝑇)
(3)
Где:
𝐹𝑇 – поверхность теплообмена;
𝐾𝑇 – коэффициент теплопередачи;
𝑇 ∗ – температура среды, с которой происходит теплообмен (например,
температура охлаждающей или нагревающей жидкости);
T – температура потока в модели ИС.
Функциональный
оператор,
описывающий
массообмен
(𝑞𝑚 )
с
окружающей средой, записывается уравнением (4).
𝑞𝑚 = 𝐹𝑚 𝐾𝑚 (𝐶𝑖∗ − 𝐶𝑖 )
(4)
Где:
𝐹𝑚 – поверхность теплообмена;
𝐾𝑚 – коэффициент теплопередачи;
𝐶𝑖∗ – равновесная концентрация i-вещества в среде, с которой
происходит массообмен;
𝐶𝑖 – концентрация i-вещества в потоке модели ИС.
4
Функциональный оператор, описывающий перенос массы в блоке
химической кинетики, в большинстве случаев, может быть записан в виде
уравнений формальной химической кинетики (5).
𝜔𝑟𝑖 = 𝑘𝐶𝑖𝑛
(5)
Где
𝜔𝑟𝑖 – скорость химической реакции по i-компоненту;
k – константа скорости реакции;
Ci – концентрация i-компонента;
n – порядок реакции по i-компоненту.
Тепловой вклад блока химической кинетики (𝑄𝑟 ) может быть записан в
виде суммы тепловых эффектов всех химических реакций, протекающих в
системе:
𝑄𝑟 = ∑ 𝑞𝑟𝑖
(6)
Где:
𝑞𝑟𝑖 – тепловой эффект отдельной i-химической реакции.
Тогда полный функциональный оператор модели идеального смешения
для случая, когда объем зоны смешения, объемная скорость и удельная
теплоемкость потока в ходе реакции не изменяются, может быть записан в
виде системы уравнений (7), описывающих перенос массы и энергии в модели:
{
𝑉
𝑑𝐶𝑖
= 𝐺(𝐶0𝑖 − 𝐶𝑖 ) + 𝑉[𝑘𝐶𝑖𝑛 + 𝐹𝑚 𝐾𝑚 (𝐶𝑖∗ − 𝐶𝑖 ) ]
𝑑𝑡
𝑑𝑇𝑖
𝐶𝑝 𝑉
𝑑𝑡
= 𝐶𝑝 𝐺(𝑇0𝑖 − 𝑇𝑖 ) + 𝑉[𝑄𝑟 + 𝐹𝑇 𝐾𝑇 (𝑇 ∗ − 𝑇)]
5
(7)
Для случая изотермичности процесса (Т = const) и стационарности
системы
(алгебраическое условие стационарности
𝑑𝐶
𝑑𝑡
= 0;
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 0)
во
времени (t), т.е. когда концентрация вещества и температура на входе в зону
ИС не изменяются во времени, а также при отсутствии массо- и теплообмена
с окружающей средой. Тогда Ф-оператор, т.е. система уравнений (7) может
быть упрощена:
0 = 𝐺(𝐶0𝑖 − 𝐶𝑖 ) + 𝑉𝑘𝐶𝑖𝑛
(8)
Разделим обе части уравнения (8) на G – объемную скорость. Получим
𝑉
новую переменную 𝜏 = , имеющую размерность и смысл времени и
𝐺
называемую средним временем пребывания частицы вещества в зоне
идеального смешения. Тогда уравнение (8) примет вид (9)
𝐶0𝑖 − 𝐶𝑖 + 𝜏𝑘𝐶𝑖𝑛 = 0
(9)
6
Введение
Цель работы:
Из математического описания полного функционального оператора РИС
построить математическую модель изотермического процесса при отсутствии
процессов тепло- и массообмена с окружающей средой, описывающую
изменение концентрации ключевых компонентов в стационарных условиях на
выходе из реактора идеального смешения.
Ход работы:
1.
Получить
систему
уравнений,
описывающую
изменения
концентраций компонентов в ходе реакции, происходящей в РИС;
2. На основе полученных уравнений построить графики изменения
концентраций на выходе из РИС;
3. Определить оптимальное время смеси в РИС, когда концентрация
компонента 3 будет максимальна.
7
Основная часть
Задача 1
1
2
2
1
3
Исходные данные:
Таблица 1 Исходные данные
С01,
С02,
С03,
k1,
k2,
k3,
k4,
кмоль*м-3
кмоль*м-3
кмоль*м-3
мин-1
мин-1
мин-1
мин-1
2
0
0,015
0,013
0,011
0,022
15
Для решения задачи воспользуемся функциональным оператором,
описывающим перенос массы в блоке химической кинетики, для реакции 1
порядка:
𝜔𝑟𝑖 = 𝑘𝐶𝑖 , где:
𝑘-константа скорости реакции;
𝐶𝑖 - концентрация i-компонента.
В химической кибернетике если вещество в ходе реакции убывает, то его
скорость записывается со знаком «минус», а если увеличивается, то знаком
«плюс». Для рассматриваемой задачи получаем следующие уравнения:
𝜔1 = −𝑘1 𝐶1 − 𝑘2 𝐶1
𝜔2 = 𝑘1 𝐶1
𝜔3 = 𝑘2 𝐶1
Поскольку,
процесс
изотермический,
тепло-
и
массообмен
с
окружающей средой отсутствуют, реакция 1 порядка, для выражения
концентрации получаем следующее уравнение:
𝐶0𝑖 − 𝐶𝑖 + 𝜏𝜔𝑖 = 0
Для рассматриваемой задачи получаем следующие уравнения:
𝐶01 − 𝐶1 + 𝜏(−𝑘1 𝐶1 − 𝑘2 𝐶1 ) = 0
𝐶02 − 𝐶2 + 𝜏𝑘1 𝐶1 = 0
𝐶03 − 𝐶3 + 𝜏𝑘2 𝐶1 = 0
8
Преобразуем полученные уравнения, для выражения концентрации:
𝐶1 =
𝐶01
1 + 𝜏(𝑘1 + 𝑘2 )
𝐶2 = 𝐶02 + 𝜏𝑘1 𝐶1
𝐶3 = 𝐶03 + 𝜏𝑘2 𝐶1
Используя
полученные
уравнения,
строим
график
зависимости
концентрации от времени:
Таблица 2 Изменение концентрации от времени для задачи 1
t
C1
C2
C3
1
14,59144
2,189689
0,218872
10
11,71875
3,523438
1,757813
50
6,25
6,0625
4,6875
100
3,947368
7,131579
5,921053
300
1,595745
8,223404
7,180851
400
1,229508
8,393443
7,377049
600
0,842697
8,573034
7,58427
700
0,728155
8,626214
7,645631
Рисунок 1 – Зависимости концентраций веществ C1, С2, С3 в
зависимости от времени для задачи 1
9
Оптимальное время пребывания смеси в реакторе, когда концентрация
компонента 3 будет максимальна, наступит, когда компонент 1 прореагирует на
95%, примем С1= 0,05C01. Получаем следующее уравнение:
𝐶01 − 0,05𝐶01 + 𝜏(−𝑘1 ∗ 0,05𝐶01 − 𝑘2 ∗ 0,05𝐶01 ) = 0
Выразив из него время получаем:
𝜏опт =
𝐶01 − 0,05𝐶01
15 − 0,05 ∗ 15
=
= 659 мин
0,05𝐶01 (𝑘1 + 𝑘2 ) 0,05 ∗ 15 ∗ (0,015 + 0,013)
Задача 2
Для задачи 2 составляем уравнения, пользуясь тем же принципом, что и
в задаче 1:
𝜔1 = 𝑘3 𝐶2 − 𝑘1 𝐶1
𝜔2 = 𝑘1 𝐶1 − 𝑘3 𝐶2 − 𝑘2 𝐶2
𝜔3 = 𝑘2 𝐶2
Для рассматриваемой задачи получаем следующие уравнения:
𝐶01 − 𝐶1 + 𝜏(𝑘3 𝐶2 − 𝑘1 𝐶1 ) = 0
𝐶02 − 𝐶2 + 𝜏(𝑘1 𝐶1 − 𝑘3 𝐶2 − 𝑘2 𝐶2 ) = 0
𝐶03 − 𝐶3 + 𝜏𝑘2 𝐶2 = 0
Выражаем концентрацию:
𝐶1 =
𝐶2 =
𝐶01 + 𝜏𝑘3 𝐶2
1 + 𝜏𝑘1
𝐶02 + 𝜏𝑘1 𝐶1
1 + 𝜏𝑘3 + 𝜏𝑘2
𝐶3 = 𝐶03 + 𝜏𝑘2 𝐶2
Подставляем полученную формулу для C2 в C1:
𝐶02 + 𝜏𝑘1 𝐶1
)
1 + 𝜏𝑘3 + 𝜏𝑘2
1 + 𝜏𝑘1
𝐶01 + 𝜏𝑘3 (
𝐶1 =
10
𝐶1 (1 + 𝜏𝑘1 ) = 𝐶01 + 𝜏𝑘3 (
𝐶01 = 𝐶1 (1 + 𝜏𝑘1 ) −
𝐶01 =
𝐶02 + 𝜏𝑘1 𝐶1
)
1 + 𝜏𝑘3 + 𝜏𝑘2
𝜏𝑘3 (𝐶02 + 𝜏𝑘1 𝐶1 )
1 + 𝜏𝑘3 + 𝜏𝑘2
𝐶1 (1 + 𝜏𝑘1 ) ∗ (1 + 𝜏𝑘3 + 𝜏𝑘2 ) − 𝜏𝑘3 (𝐶02 + 𝜏𝑘1 𝐶1 )
1 + 𝜏𝑘3 + 𝜏𝑘2
𝐶1 (1 + 𝜏𝑘1 ) ∗ (1 + 𝜏𝑘3 + 𝜏𝑘2 ) − 𝜏𝑘3 𝐶02 − 𝜏 2 𝑘1 𝐶1 𝑘3
𝐶01 =
1 + 𝜏𝑘3 + 𝜏𝑘2
𝐶01 (1 + 𝜏𝑘3 + 𝜏𝑘2 ) + 𝜏𝑘3 𝐶02 = 𝐶1 ((1 + 𝜏𝑘1 ) ∗ (1 + 𝜏𝑘3 + 𝜏𝑘2 ) − 𝜏 2 𝑘1 𝑘3 )
𝐶1 =
𝐶01 (1 + 𝜏𝑘3 + 𝜏𝑘2 ) + 𝜏𝑘3 𝐶02
(1 + 𝜏𝑘1 ) ∗ (1 + 𝜏𝑘3 + 𝜏𝑘2 ) − 𝜏 2 𝑘1 𝑘3
Используя полученные уравнения, проводим расчеты и строим график
зависимости концентрации от времени:
Таблица 3 Изменение концентрации от времени для задачи 2
t
С1
C2
C3
1
14,80184
2,169949
0,028209
10
13,35225
3,228095
0,419652
50
9,92
4,290909
2,789091
100
7,766423
4,014599
5,218978
300
4,284298
2,595041
10,12066
500
2,974729
1,870036
12,15523
800
2,042038
1,312102
13,64586
1000
1,689362
1,093617
14,21702
1500
1,18013
0,771701
15,04817
2000
0,906868
0,596042
15,49709
2500
0,736383
0,485481
15,77814
11
Рисунок 2 - Зависимости концентраций веществ C1, С2, С3 в
зависимости от времени для задачи 2
Для определения оптимального времени пребывания смеси в реакторе
воспользуемся методом, аналогичным примененному в задаче 1:
𝐶1 = 0,05𝐶01
𝐶1 =
𝐶01 (1 + 𝜏𝑘3 + 𝜏𝑘2 ) + 𝜏𝑘3 𝐶02
(1 + 𝜏𝑘1 ) ∗ (1 + 𝜏𝑘3 + 𝜏𝑘2 ) − 𝜏 2 𝑘1 𝑘3
Подставим числовые значения:
0,05 ∗ 15 =
15 ∗ (1 + 𝜏 ∗ 0,011 + 𝜏 ∗ 0,013) + 𝜏 ∗ 0,011 ∗ 2
(1 + 𝜏 ∗ 0,015) ∗ (1 + 𝜏 ∗ 0,011 + 𝜏 ∗ 0,013) − 𝜏 2 ∗ 0,015 ∗ 0,011
0,75 =
15 + 0,165𝜏 + 0,195𝜏 + 0,022𝜏
(1 + 0,015𝜏) ∗ (1 + 0,011𝜏 + 0,013𝜏) − 0,000165𝜏 2
0,75 =
15 + 0,382𝜏
1 + 0,011𝜏 + 0,013𝜏 + 0,015𝜏 + 0,000195𝜏 2
0,75 =
15 + 0,382𝜏
1 + 0,039𝜏 + 0,000195𝜏 2
𝜏опт = 2452 мин
12
Задача 3
Для задачи 3 составляем уравнения, пользуясь тем же принципом, что и
в двух предыдущих задачах:
𝜔1 = 𝑘3 𝐶3 − 𝑘1 𝐶1 − 𝑘2 𝐶1
𝜔2 = 𝑘2 𝐶1 + 𝑘4 𝐶3
𝜔3 = −𝑘3 𝐶3 −𝑘4 𝐶3 + 𝑘1 𝐶1
Для рассматриваемой задачи получаем следующие уравнения:
𝐶01 − 𝐶1 + 𝜏(𝑘3 𝐶3 − 𝑘1 𝐶1 − 𝑘2 𝐶1 ) = 0
𝐶02 − 𝐶2 + 𝜏(𝑘2 𝐶1 + 𝑘4 𝐶3 ) = 0
𝐶03 − 𝐶3 + 𝜏(−𝑘3 𝐶3 −𝑘4 𝐶3 + 𝑘1 𝐶1 ) = 0
Выражаем концентрацию:
𝐶1 =
𝐶01 + 𝜏𝑘3 𝐶3
1 + 𝜏(𝑘1 + 𝑘2 )
𝐶2 = 𝐶02 + 𝜏𝑘2 𝐶1 + 𝜏𝑘4 𝐶3
𝐶3 =
𝐶03 + 𝜏𝑘1 𝐶1
1 + 𝜏(𝑘3 + 𝑘4 )
Подставляем полученную формулу для C3 в C1:
𝐶03 + 𝜏𝑘1 𝐶1
)
1 + 𝜏(𝑘3 + 𝑘4 )
1 + 𝜏(𝑘1 + 𝑘2 )
𝐶01 + 𝜏𝑘3 (
𝐶1 =
𝐶1 (1 + 𝜏(𝑘1 + 𝑘2 )) = 𝐶01 + 𝜏𝑘3 (
𝐶01 = 𝐶1 (1 + 𝜏(𝑘1 + 𝑘2 )) −
13
𝐶03 + 𝜏𝑘1 𝐶1
)
1 + 𝜏(𝑘3 + 𝑘4 )
𝜏𝑘3 (𝐶03 + 𝜏𝑘1 𝐶1 )
1 + 𝜏(𝑘3 + 𝑘4 )
𝐶01 =
𝐶1 (1 + 𝜏(𝑘1 + 𝑘2 )) ∗ (1 + 𝜏(𝑘3 + 𝑘4 )) − 𝜏𝑘3 (𝐶03 + 𝜏𝑘1 𝐶1 )
1 + 𝜏(𝑘3 + 𝑘4 )
𝐶1 (1 + 𝜏(𝑘1 + 𝑘2 )) ∗ (1 + 𝜏(𝑘3 + 𝑘4 )) − 𝜏𝑘3 𝐶03 − 𝜏 2 𝑘1 𝐶1 𝑘3
𝐶01 =
1 + 𝜏(𝑘3 + 𝑘4 )
𝐶01 (1 + 𝜏(𝑘3 + 𝑘4 )) + 𝜏𝑘3 𝐶03 =
= 𝐶1 ((1 + 𝜏(𝑘1 + 𝑘2 )) ∗ (1 + 𝜏(𝑘3 + 𝑘4 )) − 𝜏 2 𝑘1 𝑘3 )
𝐶1 =
𝐶01 (1 + 𝜏(𝑘3 + 𝑘4 )) + 𝜏𝑘3 𝐶03
(1 + 𝜏(𝑘1 + 𝑘2 )) ∗ (1 + 𝜏(𝑘3 + 𝑘4 )) − 𝜏 2 𝑘1 𝑘3
Используя полученные уравнения, проводим расчеты и строим график
зависимости концентрации от времени:
Таблица 4 Изменение концентрации от времени для задачи 3
t
C1
C2
C3
1
14,593707
2,19438
0,211912
10
11,833442
3,831959
1,334599
50
6,6834805
8,424968
1,891551
100
4,390742
11,0776
1,531654
300
1,8662253
14,36331
0,77046
1000
0,6211937
16,10475
0,274056
2000
0,3181387
16,53941
0,14245
14
Рисунок 3 - Зависимости концентраций веществ C1, С2, С3 в
зависимости от времени для задачи 3
Как видно из графика для компонента 3 имеется максимум функции.
Определив этот максимум можно узнать оптимальное время. Выводим
уравнение концентрации компонента 3 аналогично концентрации компонента
1:
𝐶3 =
𝐶03 (1 + 𝜏(𝑘1 + 𝑘2 )) + 𝜏𝑘1 𝐶01
(1 + 𝜏(𝑘1 + 𝑘2 )) ∗ (1 + 𝜏(𝑘3 + 𝑘4 )) − 𝜏 2 𝑘1 𝑘3
Подставим известные величины в уравнение:
𝐶3 =
0 ∗ (1 + 𝜏(0,015 + 0,013)) + 𝜏 ∗ 0,015 ∗ 15
(1 + 𝜏(0,015 + 0,013)) ∗ (1 + 𝜏(0,011 + 0,022)) − 𝜏 2 ∗ 0,015 ∗ 0,011
𝐶3 =
0,225𝜏
(1 + 0,028𝜏) ∗ (1 + 0,033𝜏) − 0,000165𝜏 2
𝐶3 =
0,225𝜏
1 + 0,061𝜏 + 0,000759𝜏 2
Возьмем производную и приравняем её к 0
1 − 0,000759𝜏 2
𝑦́ = 0,225
(1 + 0,061𝜏 + 0,000759𝜏 2 )2
15
0,225 − 0,000170775𝜏 2
𝑦́ =
1 + 0,122𝜏 + 0,005239𝜏 2 + 0,000092598𝜏 3 + 5,76081 ∗ 10−7 ∗ 𝜏 4
𝑥1 = 36,2977
𝑥2 = −36,2977
𝜏опт = 36 мин
16
Вывод
В ходе лабораторной работы была построена математическая модель
изотермического процесса при отсутствии процессов тепло- и массообмена с
окружающей средой, описывающая изменение концентрации ключевых
компонентов в стационарных условиях на выходе из реактора идеального
смешения.
Также были построены графики изменения концентрации всех
компонентов при заданных исходных концентрациях.
И для каждой задачи определены оптимальное время пребывания смеси
в реакторе, когда концентрация компонента «3» будет максимальна.
Полученные результаты:
Задача 1: 𝜏опт = 659 мин
Задача 2: 𝜏опт = 2452 мин
Задача 3: 𝜏опт = 36 мин
17
Список используемой литературы
1. Химическая реакция в потоке. Модель идеального смешения:
методические указания для выполнения лабораторной работы № 1 по курсу
«Оптимизация и моделирование химико-технологических процессов» / сост.
Л.Ф. Ямщиков. – Екатеринбург: УрФУ, 2017. – 8 с.
18
